9789147094080

:?<<;H;DJ?7B;AL7J?ED;H E9> C7J;C7J?IA CE:;BB;H?D=

:?<<;H;DJ?7B;AL7J?ED;H E9> C7J;C7J?IA CE:;BB;H?D= ~g VkhZYY [ g ] \h`daZhijYZgVcYZ e cnW g_Vgc^k ! ZmZbeZak^h ^cdb ^c\Zc_ gh" dX] cVijgkZiVgegd\gVb# 9Zc `dbW^cZgVg `aVhh^h`V a hc^c\h" bZidYZg bZY bdYZgcV bZidYZg [g c \gjeeVcVanh# IZmiZc ~g \ZcZg h bZY ZmZbeZa dX] kc^c\hjee\^[iZg! k^hhV bZY [jaahi~cY^\V a hc^c\Vg# B c\V kVca^\V a~gdW X`Zg ~g WZ\g~chVYZ i^aa Zii VciVa heZX^ZaaV Y^[[ZgZci^VaZ`kVi^dcZg hdb bVc g `Vg `jccV a hV bZY Zc`aV gZXZei# 9Z ÓZhiV bViZbVi^h`V bdYZaaZg ^cdb cVijgkZiZch`Ve dX] iZ`c^` aZYZg YdX` i^aa ^X`Za^c_~gV Y^[[ZgZci^VaZ`kVi^dcZg hdb bVc ^ciZ `Vc a hV bZY igVY^i^dcZaaV bZidYZg# BZY YZ gZYh`Ve hdb \Zh ^ YZccV Wd` a^\\Zg b c\V ^cigZhhVciV i^aa~bec^c\Vg ^cdb g~X`] aa# Ç9Zc Vaab~ccV jee[Viic^c\Zc ]Vg kVg^i Vii i^aa~bec^c\Vg Vk A^ZiZdg^Zc P\gjeeVcVanhZcR `g~kZg db[ViiVcYZ Va\ZWgV^h`V `jch`VeZg ] \i dkVc[ g hijYZcic^k # 9Zi kZggVh`VcYZ bZY >WgV\^bdkh Wd` P# # #R ~g Vii YZc k^hVg Vii YZi \ g VaaYZaZh jib~g`i Vii ^c[ gV A^Zh ^Y Zg e Zc ZaZbZci~g c^k ! dX] Y~g^\Zcdb Zgh~iiV YZc \~c\hZ `d`Wd`h" [gVbhi~aac^c\Zc bZY Zc WZ\g^ea^\ dX] [gVb[ g Vaai he~ccVcYZ bViZbVi^h` iZdg^#Ç DaaZ HidgbVg`! jc^kZgh^iZihaZ`idg! @I=#

; g[ViiVgZc! egd[Zhhdg CV^a >WgV\^bdk! ~g ^ciZgcVi^dcZaai Zg`~cY [ g h^c [dgh`c^c\ dX] ~g ^YV\ kZg`hVb k^Y 7aZ`^c\Z iZ`c^h`V ] \h`daV# =Vc ]Vg [ gjidb Zc hidg b~c\Y Vgi^`aVg ^ kZiZch`Vea^\V i^Y`g^[iZg dX`h h`g^k^i ÓZgV VkVcXZgVYZ W X`Zg ^ ~bcZi#

D7?B >$ ?8H7=?CEL

?8H7=?CEL

;d fhWaj_ia akhi _

:?<<;H;DJ?7B ;AL7J?ED;H E9> C7J;C7J?IA CE:;BB;H?D=

> YZccV hkZch`V jeeaV\V ]Vg ~kZc 8aVZh ?d\g jh! jc^kZgh^iZihaZ`idg k^Y 7aZ`^c\Z iZ`c^h`V ] \h`daV! bZYkZg`Vi hdb gZYV`i g#

AbWii_iaW eY^ ceZ[hdW c[jeZ[h ?Ya[b_d` hW cWj[cWj_iaW ceZ[bb[h Iocc[jh_ eY^ _dlWh_Wdifh_dY_f[h

Best.nr 47-09408-0 Tryck.nr 47-09408-0

2009-07-07 â&#x20AC;&#x201C; sida 1 â&#x20AC;&#x201C; # 1

En praktisk kurs i differentialekvationer och matematisk modellering

Nail H. Ibragimov

2009-07-07 – sida 3 – # 3

Förord

Förord till tredje upplagan Denna bok baseras på föreläsningar av författaren på Blekinge Tekniska Högskola och används som kursbok i flera kurser: I Differentialekvationer. Kursen kombinerar flera klassiska metoder, huvudsakligen för linjära ekvationer, med nya metoder för att lösa ickelinjära ekvationer analytiskt. I kursen, som är utformad för nybörjare, lär sig studenten också att hitta symmetrier av differentialekvationer genom att lösa en bestämmande ekvation.

I Analytiska metoder i matematisk modellering. Tyngdpunkten i denna kurs ligger i de ickelinjära matematiska modellerna som återfinns inom teknik och naturvetenskap. Kursen täcker områden som ickelinjär superposition, symmetrier, konserveringslagar och gruppinvarianta lösningar.

I Gruppanalys av differentialekvationer. Kursen introducerar matematik- och ingenjörsstudenter i de delar av teorin om transformationsgrupper och Liealgebror som behövs för de viktigaste praktiska tillämpningarna. Under kursens gång utvecklar studenten sin analytiska förmåga och lär sig moderna metoder för lösning av ickelinjära ordinära och partiella differentialekvationer.

I Distributions- och invariansprinciper i begynnelsevärdesproblem. En lättare introduktion som behandlar grundläggande begrepp inom distributionsteorin med tyngdpunkt på användbara verktyg. Lies infinitesimala teknik utvidgas till rummet av distributioner och används med en invariansprincip för att

2009-07-07 – sida 4 – # 4

4

beräkna fundamentala lösningar och lösa begynnelsevärdesproblem för ekvationer med konstanta och variabla koefficienter.

Den tredje upplagan innehåller flera tillägg, mest i kapitel 6 och 7. Jag har kompletterat med min senaste teori om integrerande faktor för högre ordningens differentialekvationer (i avsnitt 6.6), Lies bevis av huvudsatsen om ickelinjär superposition (i avsnitt 6.7), och beräkningar av symmetrier för partiella differentialekvationer (i avsnitt 7.1). Dessutom har en revision gjorts av kapitel 3 och 5 jämte en genomgång av alla övningar i boken.

Delar av boken i tredje upplagan har reviderats tack vare diskussioner med mina studenter, och jag vill tacka dem för deras stora intresse för ny metodik. Mitt innerligaste tack till min hustru Raisa för hennes ständiga hjälp.

Karlskrona, 17 november 2006

Förord till den andra upplagan Den andra upplagan innehåller betydelsefulla ändringar och tillägg i, praktiskt taget, varje kapitel. Nya avsnitt har lagts till, t.ex. om ickelinjära superpositioner (avsnitt 6.7) och konserveringslagar (avsnitt 7.3).

I tillämpningar av differentialekvationer är poängen att kunna finna om ekvationen är integrerbar i sluten form för att sedan konstruera lösningen så enkel som möjligt. För att kunna formulera essensen av min erfarenhet att lösa olika typer av differentialekvationer, omformulerar jag ett berömt franskt visdomsord cherchez la femme: Om ni inte kan lösa en ickelinjär differentialekvation, cherchez le groupe.

Följaktligen lade jag till avsnitt 6.5 om beräkning av symmetrier för att lösa de så kallade bestämmande ekvationerna. Det kommer att hjälpa läsaren att få grepp om svårigheterna i ämnet. När väl metoden för de bestämmande ekvationerna är förstådd, kommer studenten finna det enkelt att hitta symmetrier med hjälp av datori-

2009-07-07 – sida 5 – # 5

5

serade beräkningsprogram för algebra och integrationsmetoderna som presenteras i denna bok.

En gruppteoretisk utgångspunkt mot distributioner och fundamentala lösningar har utvecklats och diskuterats grundligt med tyngdpunkt på deras tillämpningar. Liegruppanalys har en central roll i denna bok. Jag är av den åsikten att Liegrupper är intressanta först och främst för deras användbarhet när vi löser differentialekvationer. Det var ett misstag att isolera dem från denna naturliga tillämpning och placera dem som en gren inom abstrakt algebra.

To isolate mathematics from the practical demands of the sciences is to invite the sterility of a cow shut away from the bulls.

P.L. Chebyshev, 1821-1894 Jag vill tacka min kollega Claes Jogréus för ständig hjälp. Min hustru Raisa läste igenom manuskriptet i varierande stadier inför slutförandet av andra upplagan, korrigerade feltryck och bidrog med flera värdefulla anmärkningar, för vilka jag är tacksam. Det är också ett nöje att få tacka mina döttrar Sania och Alia för ett antal hjälpsamma kommentarer.

Karlskrona, 31 augusti 2005

Förord till första upplagan Modern matematik har över 300 års historia. Från första början var den fokuserad på differentialekvationer som ett viktigt verktyg inom matematisk modellering. De flesta matematiska modellerna inom fysik, teknik, biomatematik, etc. leder till ickelinjära differentialekvationer. Dagens teknologer och naturvetenskapliga studenter och forskare inom matematisk modellering stöter ständigt på problem som rör lösningsmetodiken för differentialekvationer.

Ibland kan lösningarna återges analytiskt med traditionella ad hocmetoder som passar för integrering av en viss typ av ekvationer.

Oftast kan lösningarna dock inte erhållas med dessa metoder, detta trots att det finns omfattande kataloger med lösningar till bland annat över 400 typer av andra ordningens ordinära differentialekvationer.

2009-07-07 – sida 6 – # 6

6

Å andra sidan kan fundamentala naturlagar och tekniska problem som formuleras i termer av differentialekvationer framgångsrikt behandlas, och ekvationerna lösas, med hjälp av Liegruppmetoder. Exempelvis kan Liegruppanalys reducera de klassiska 400 ekvationerna till endast 4 typer av ekvationer! Utvecklingen av gruppanalys förser oss med omfattande stöd för att teorin tillhandahåller ett universellt verktyg för att hantera ett ansenligt antal differentialekvationer där andra tillvägagångssätt fallerar. Faktum är att gruppanalysen är den enda universella och effektiva metoden som finns för att lösa ickelinjära differentialekvationer analytiskt.

De gamla integrationsmetoderna vilar väsentligt på linjäritet och på konstanta koefficienter. Gruppanalysen hanterar lika lätt linjära och ickelinjära ekvationer, som konstanta och variabla koefficienter.

Till exempel är den linjära ekvationen dny dxn

+ a1

d n−1 y dxn−1

+ · · · + an−1

dy dx

+ an y = 0

med konstanta koefficienter a1 , . . . , an traditionellt sett skild från ekvationen x¯ n

d n y¯ d n−1 y¯ d y¯ n−1 ¯ ¯ + a + · · · + a + an y¯ = 0, x x 1 n−1 d x¯ n d x¯ n−1 d x¯

känd som Eulers ekvation. I gruppanalysens synsätt är dock dessa två ekvationer endast två olika representationer av en och samma ekvation med två kända kommuterande symmetrier, nämligen, X1 =

∂ ∂x

,

X2 = y

∂ ∂y

och

X 1 = x¯

∂ , ∂ x¯

X 2 = y¯

∂ ∂ y¯

för första respektive andra ekvationen. Dessa symmetrier spänner över två liknande Liealgebror och kan lätt överföras till transfor¯ som konverterar Eulers ekvation till en med mationen x = ln |x| konstanta koefficienter.

Gruppanalys är i dag på väg att bli en naturlig del av läroplanen inom differentialekvationer och ickelinjär matematisk modellering och fler och fler studenter läser kurserna.

I kursen Partiella differentialekvationer vid Moscow Institute of Physics and Technology deltog mer än 100 studenter när jag undervisade i Lies gruppanalys-metoder, att jämföra med 10 studenter när vi hade ett traditionellt kursinnehåll. Samma effekt blev det när jag hade liknande föreläsningar för studenter i Sydafrika och

2009-07-07 – sida 7 – # 7

7

Sverige. Nuvarande textinnehåll är baserat på dessa föreläsningar och reflektioner. Dessutom bygger innehållet till en viss grad även på min egen smak och erfarenhet. Boken är upplagd efter kurserna i differentialekvationer som ges på Blekinge Tekniska Högskola. I min presentation av ämnet har jag strävat efter att göra gruppanalys mer tillgänglig för ingenjörs- och matematikstudenter.

Tyngdpunkten i denna bok ligger därför på tillämpningar av kända symmetrier snarare än på beräkningar av okända symmetrier.

Jag är djupt tacksam för ovärderlig hjälp från Elena Ishmakova under förberedandet av detta manuskript. Ett välförtjänt tack går också till min kollega Claes Jogréus för hans assistans. Till sist vill jag tacka min hustru Raisa för hennes stöd och förståelse inför detta projekt.

Karlskrona, 31 augusti 2004

Nail H. Ibragimov

2009-07-07 – sida 8 – # 8

Innehåll

1

Grundläggande begrepp från analysen

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Introduktion . . . . . . . . . .

Naturfenomen . . . . . . . . .

Fysik och tekniska vetenskaper Diffusionsfenomen . . . . . .

Biomatematik . . . . . . . . .

Vågfenomen . . . . . . . . . .

10 28 46 53 61 67

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

67 69 77 100 104 108

Ordinära differentialekvationer: Traditionella lösningsmetoder 122

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4

Elementär matematik . . . . . . . . .

Differential- och integralkalkyl . . . .

Vektoranalys . . . . . . . . . . . . . .

Beteckningar inom differentialalgebra Variationskalkyl . . . . . . . . . . . .

Matematiska modeller

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3

10

Introduktion och elementära metoder Första ordningens ekvationer . . . . .

Andra ordningens linjära ekvationer Högre ordningens linjära ekvationer .

Första ordningens ekvationssystem .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Första ordningens partiella differentialekvationer

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . .

Homogen linjär ekvation . . . . . . . . .

Partikulärlösning till inhomogen ekvation Kvasi-linjära ekvationer . . . . . . . . . .

System av homogena ekvationer . . . . .

. . . . .

122 132 144 160 164 179

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

179 180 182 185 188

2009-07-07 – sida 9 – # 9

INNEHÅLL

5

Linjära andra ordningens partiella differentialekvationer

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6

6.5 6.6 6.7

. 210 . 222 . 225 235

Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Transformationsgrupper . . . . . . . . . . . . . .

Symmetrier för första ordningens ekvationer . . .

Integration av första ordningens ekvationer utifrån symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andra ordningens ekvationer . . . . . . . . . . .

Högre ordningens ekvationer . . . . . . . . . . .

Ickelinjär superposition . . . . . . . . . . . . . . .

. 235 . 236 . 247 . . . .

254 264 286 308 333

Symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Gruppinvarianta lösningar . . . . . . . . . . . . . . 342 Invarians och konserveringslagar . . . . . . . . . . 356

Generaliserade funktioner eller distributioner

8.1 8.2 8.3 8.4 9

. 202

Ickelinjära partiella differentialekvationer

7.1 7.2 7.3 8

196

. 196

Ickelinjära ordinära differentialekvationer

6.1 6.2 6.3 6.4

7

Ekvationer med flera variabler . . . . . . . . . . .

Klassificering av ekvationer med två oberoende variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integration av hyperboliska ekvationer med två variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Begynnelsevärdesproblem . . . . . . . . . . . . .

Blandade problem. Variabelseparation . . . . . .

9

Introduktion till generaliserade funktioner Operationer med distributioner . . . . . .

Distributionen ∆(r 2−n ) . . . . . . . . . . .

Transformationer av distributioner . . . . .

377

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Invariansprinciper och fundamentallösningar

9.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2 Invariansprinciper . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3 Cauchys problem för värmeledningsekvationen 9.4 Vågekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5 Ekvationer med variabla koefficienter . . . . . . Övningar till kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

377 382 386 390 397

. . . . . .

. . . . . .

397 398 404 409 422 423

Litteraturförteckning

437

Sakregister

441

2009-07-07 – sida 10 – # 10

KAPITEL 1

Grundläggande begrepp från analysen

Detta inledande kapitel är tänkt att möta behoven hos nybörjare och ger därför den bakgrund i elementär matematik och matematisk analys som är nödvändig att förstå för efterföljande kapitel av denna bok.

För vidare läsning: E. Goursat [10].

1.1

Elementär matematik Tal, variabler och elementära funktioner Reella tal uppträder i alla praktiska sammanhang (när vi t.ex. mäter avstånd och vikt) som ett decimaltal med ändligt antal decimaler.

Exempelvis så är avståndet till månens perigeum S km, där talet S uppskattas till 356 630. En mer exakt uppskattning av avståndet är 356 629 km och 744 m. Alltså, S ≈ 356 629,744 = 356 629 +

7 10

+

4 100

+

4 1000

.

Om vi fortsätter med allt bättre approximationer får vi en alltmer exakt representation av talet S – som till slut leder oss till ett decimaltal med oändligt många decimaler. Därför använder vi följande definition.

DEFINITION 1.1.1

Reella tal identifieras med decimaltal med oändlig decimalutveckling a = a0 , a1 a2 . . . an . . . ,

(1.1)

2009-07-07 – sida 11 – # 11

ELEMENTÄR MATEMATIK

11

där a0 är ett heltal och a1 , a2 , . . . , an . . . är siffror, dvs. de kan anta någon av de tio arabiska siffersymbolerna, 0 till och med 9.

T.ex. betyder (1.1) att a = a0 +

ANMÄRKNING 1.1.1

a1 10

+

a2 100

+ ··· +

an 10n

+ ··· ·

(1.2)

Om (1.1) är ett decimaltal med periodisk (speciellt ändlig) decimalutveckling, och endast i detta fallet, är a ett rationellt tal, dvs. a = p/q, kan skrivas på formen a=

p q

,

där p och q är heltal, q 6= 0. De reella talen som bestäms av icke-periodiska oändliga decimalutvecklingar betecknas som irrationella tal. Talen 0, (9) = 0, 9999 . . . och 1 ses som identiska.

EXEMPEL 1.1.1

Välkända exempel på irrationella tal är: √ 2 = 1, 4142136 . . . ≈ 1,41 π = 3,1415926535 . . .

≈ 3,14

e = 2, 718281828459045 . . . ≈ 2, 72

1 1 γ = lim 1 + + · · · + − ln n ≈ 0,58 n→∞ 2 n där γ är den så kallade Eulers konstant.

ANMÄRKNING 1.1.2

Det är en historisk tillfällighet att vi representerar de reella talen i ett decimalsystem. Om den babyloniska kulturen hade varat mycket längre hade vi antagligen använt det babyloniska sexagesimala talsystemet, och i stället för (1.2) representationen a = a0 +

a1 60

+

a2 602

+ ··· +

an 60n

+ ··· ·

(1.3)

2009-07-07 – sida 12 – # 12

12

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

DEFINITION 1.1.2

En variabel x är en storhet som kan tilldelas ett godtyckligt numeriskt värde. En storhet med fixt värde kallar vi en konstant. Vi skiljer på godtyckliga konstanter och absoluta konstanter. En godtycklig konstant behåller ett givet värde i en beräkning medan en absolut konstant alltid har samma värde i alla beräkningar.

EXEMPEL 1.1.2

I cirkelns ekvation, x2 +y2 = R2 , representerar variablerna x och y koordinaterna längs med cirkelns omkrets, medan radien R är en godtycklig konstant. Formeln C = 2π R för cirkelns omkrets innehåller, förutom den godtyckliga konstanten R, dessutom två absoluta konstanter, 2 och π ≈ 3,14.

SATS 1.1.1

Ett reellt tal a är ett gränsvärde för en följd av rationella tal rn = pn /qn , där pn och qn 6= 0 är heltal: a = lim rn .

(1.4)

n→∞

BEVIS

Låt det reella talet a vara givet av ekvationen (1.1). Vi betecknar med rn de ändliga delsummorna av den korresponderande serien (1.2): r1 = a0 + rn = a0 +

a1 10 a1 10

, r2 = a0 + +

a2 100

a1 10

+ ··· +

+

a2 100

an

10n

,...,

·

Det ger en följd av rationella tal {rn } som uppfyller ekvationen (1.4).

Följande definition baseras på satsen 1.1.1.

2009-07-07 – sida 13 – # 13

13

ELEMENTÄR MATEMATIK

DEFINITION 1.1.3

Exponentialfunktionen y = ax , där a > 0 är något reellt tal som definieras av följande ekvationer: a0 = 1, a1 = a, an = |{z} a · · · a , n = 2, 3, . . . , (x = n); n

√q p a = b ⇔ bn = a; a q = ap , (x = p/q); √ q ax = lim axn ≡ lim n apn , (x = lim xn , xn = pn /qn ) · √n

1 n

a ≡

n→∞

n→∞

n→∞

Exponentiallagarna: a−x =

1 ax

, ax ay = ax+y , (ab)x = ax bx , (ax )y = axy .

√ EXEMPEL 1.1.3

Betrakta talet 10

2

= 25, 954... . Vi har att

√ 2 = lim xn , där √n→∞ 2 =

x0 = 1, x1 = 1,4, x2 = 1,41, . . . . Följaktligen är 10 där y0 =

10x0

= 10, y1 =

10x1

≈ 25,12, y2 =

10x2

lim yn ,

n→∞

≈ 25,70, . . . .

När vi löser differentialekvationer stöter vi ofta på exponentialfunktionen y = ex .

(1.5)

Här är e ett reellt tal som bestäms av ett av de viktigaste gränsvärdena inom matematisk analys:

1 n e = lim 1 + . n→∞ n

(1.6)

Dess värde med femton decimalers noggrannhet ser vi i exempel 1.1.1. Funktionen (1.5) är en representant för de så kallade elementära funktionerna som definieras enligt följande.

2009-07-07 – sida 14 – # 14

14

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

DEFINITION 1.1.4

De grundläggande elementära funktionerna är: y = C,

C = konstant;

y=x ,

med x > 0, α ett reellt tal;

y = ax ,

med a > 0, a 6= 1;

α

y = loga x,

med a > 0, a 6= 1;

x > 0;

y = sin x, y = cos x, y = tg x (≡ tan x), y = ctg x; y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.

En funktion y = f (x) kallas en elementär funktion om den erhålls från grundläggande elementära funktioner med ett ändligt antal operationer som addition, subtraktion, multiplikation, division, och superposition.

ANMÄRKNING 1.1.3

ANMÄRKNING 1.1.4

Logaritmen loga x med a = e kallas för den naturliga logaritmen och beteckas ln x.

Alla de grundläggande trigonometriska funktionerna kan fås genom en kombination av exempelvis sin x, och andra elementära funktioner. Faktum är att, p p sin x 1 − sin2 x cos x = 1 − sin2 x, tg x = p , cot x = sin x 1 − sin2 x Liknande relationer existerar mellan inversa trigonometriska funktioner som exempelvis arcsin x = arctg √

EXEMPEL 1.1.4

x

(1.7)

1 − x2

Följande hyperboliska funktioner ger flera exempel på icke grundläggande men elementära funktioner: sinh x =

ex − e−x 2

, cosh x =

ex + e−x 2

, tanh x =

ex − e−x ex + e−x

(1.8)

2009-07-07 – sida 15 – # 15

ELEMENTÄR MATEMATIK

15

Elementära funktioner av flera variabler återges på liknande sätt.

EXEMPEL 1.1.5

Följande funktion ψ(t, x, z) är en elementär funktion med tre variabler, t, x, z :

1

1

ψ = − ln M + 2 sin2 x + l1 e−z sin x + l2 e−2z (1.9) 4 t och innehåller tre godtyckliga konstanter, l1 , l2 och M.

EXEMPEL 1.1.6

Följande funktioner återfinns ofta i applikationer givna av integraler och är inte elementära: Si(x) =

Zx

sin t t

dt

(sinusintegralen),

(1.10)

0

Z∞

Ci(x) = −

cos t t

x

2 erf(x) = √ π

Zx

dt

2

e−t dt

(cosinusintegralen),

(felfunktionen),

(1.11)

(1.12)

0

Zx

Ei(x) = −

−∞

Γ(x) =

Z∞

et t

dt, li(x) =

e−t tx−1 dt

Zx

dt ln t

≡ Ei(ln x),

(1.13)

0

(gammafunktionen).

(1.14)

0

Gammafunktionen spelar en viktig roll inom analys och differentialekvationer. Den har intressanta generella egenskaper, t.ex. π Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(x)Γ(1 − x) = , (1.15) sin(π x) och de anmärkningsvärda numeriska värdena (se, t.ex [34]):

n 2π n/2 1 √ Γ(1) = 1, Γ = π, Γ = , Γ(n + 1) = n!

2 2 ωn (1.16) där ωn är ytarean av enhetssfären i n dimensioner.

2009-07-07 – sida 16 – # 16

16

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

Andragrads- och tredjegradsekvationer Elementära matematiska problem kan ofta lösas med hjälp av metoden med transformationer. Låt oss börja med grundläggande algebra.

Vi vet att lösningarna x = x1 och x = x2 till den generella andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0,

a 6= 0,

(1.17)

ges av x1,2 =

√ −b ± b2 − 4ac 2a

·

(1.18)

Uttrycket b2 − 4ac

(1.19)

är den så kallade diskriminanten av andragradsekvationen (1.17).

Det följer ur (1.18) att diskriminanten måste vara lika med noll (1.19), b2 − 4ac = 0,

(1.20)

för att ekvationen (1.17) ska ha två lika lösningar, x1 = x2 .

I enlighet med traditionen lär sig studenter tidigt att få fram lösningen (1.18) genom att kvadratkomplettera. Naturligtvis är denna lösningsmetod enkel men inte tillräckligt effektiv för att tackla den allmänna tredjegradsekvationen eller ekvationer av högre grad för den delen.

Transformation av ekvationer förser oss med en generell metod som är lämplig både för lösning av andragradsekvationer och förenkling av ekvationer av högre grad. Den enklaste transformationen av ekvationer ges av en linjär transformation i variabeln x: y = x + ε.

(1.21)

Den transformerar en given ekvation av grad n till en annan av samma grad. I det här fallet blir andragradsekvationen (1.17) efter substitutionen x = y − ε till ay2 + (b − 2aε)y + aε2 − bε + c = 0. Således, transformation (1.21) transformerar (1.17) till en ny andragradsekvation, a y2 + b y + c = 0,

2009-07-07 – sida 17 – # 17

ELEMENTÄR MATEMATIK

17

där a = a,

b = b − 2aε,

c = c + aε2 − bε.

(1.22)

Genom att låta ε bestämmas av b − 2aε = 0, får vi b = 0 och c = c − b2 /(4a). Då följer att transformationen y=x+

b

(1.23)

2a

transformerar (1.17) till ekvationen ay2 −

b2 − 4ac 4a

= 0.

Substitution av lösningarna √ b2 − 4ac y1,2 = ± 2a i ekvationen (1.23), ger slutligen lösningarna (1.18) till ekvationen (1.17).

Betrakta nu den generella tredjegradsekvationen med binomialkoefficienter för att underlätta beräkningarna: ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0,

a 6= 0.

(1.24)

Efter den linjära transformationen y = ax + b

(1.25)

har vi ett uttryck på formen y3 + 3py + 2q = 0,

(1.26)

p = ac − b2 ,

(1.27)

där 2q = a2 d − 3abc + 2b3 .

Den reducerade ekvationen (1.26) löser vi lätt genom att sätta √3 √3 y = k + l.

Då √3 y3 − 3 kl y − (k + l) = 0

2009-07-07 â&#x20AC;&#x201C; sida 18 â&#x20AC;&#x201C; # 18

18

1 GRUNDLĂ&#x201E;GGANDE BEGREPP FRĂ&#x2026;N ANALYSEN

och ekvationen (1.26) ger â&#x2C6;&#x161;3 k + l = â&#x2C6;&#x2019;2q, kl = â&#x2C6;&#x2019;p.

Det fĂśljer att k och l är lĂśsningar till andragradsekvationen z 2 + 2qz â&#x2C6;&#x2019; p3 = 0.

AlltsĂĽ ges en av lĂśsningarna, t.ex. k, av k = â&#x2C6;&#x2019;q +

q q 2 + p3 .

LĂĽt r

q â&#x2C6;&#x2019;q + q2 + p3

3

u=

vara nĂĽgon â&#x2C6;&#x161;3 av tre värden av denna kubikrot. DĂĽ ges alla de tre värdena k av u, u, 2 u. Här är en imaginär tredje enhetsrot, dvs. 3 = 1, med fĂśljande form (se avsnitt 1.2, exempel 1.2.1): â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;1 + i 3 = , med i = â&#x2C6;&#x2019;1 .

2 Kvadraten av är det komplexa konjugatet av tredje enhetsroten: â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; i 3 2 = ¡ 2 â&#x2C6;&#x161;3 â&#x2C6;&#x161;3 Eftersom kl = â&#x2C6;&#x2019;p, är de korresponderande värdena av l â&#x2C6;&#x2019;

p u

â&#x2C6;&#x2019;

,

p u

2 ,

â&#x2C6;&#x2019;

p u

.

De kan skrivas om pü formen v, v 2 , v , där r v=

3

â&#x2C6;&#x2019;q â&#x2C6;&#x2019;

q q 2 + p3 .

Sammanfattningsvis, har vi kommit fram till den sü kallade Cardanos lÜsning fÜr en tredjegradsekvation, vilket innebär att lÜsningarna till (1.26) ges av y1 = u + v,

y2 = u + 2 v,

y3 = 2 u + v,

(1.28)

2009-07-07 – sida 19 – # 19

ELEMENTÄR MATEMATIK

19

där r u=

3

q −q + q2 + p3 ,

r v=

3

−q −

q q 2 + p3 .

(1.29)

Uttrycket q 2 + p3

(1.30)

benämns diskriminanten av tredjegradsekvationen (1.26). Det följer av (1.29) att (1.26) har multipla rötter när värdet av diskriminanten är noll. Lösningarna till en allmän tredjegradsekvation (1.24) ges av (1.28) genom substitutionen i ekvationen (1.29) med hjälp av (1.27).

EXEMPEL 1.1.7

Ekvationen y3 − 6y + 4 = 0 har formen (1.26) med p = −2 och q = 2. Här är q 2 + p3 = −4, och därför kan (1.29) uttryckas enligt följande u=

q 3

2(−1 + i) ,

q v = 3 2(−1 − i) .

Beräkningen visar att u = 1 + i, v = 1 − i, och formlerna (1.28) ger tre distinkta reella lösningar : √ √ y1 = 2, y2 = −(1 + 3), y3 = −1 + 3 .

(1.31)

ANMÄRKNING 1.1.5

Diskriminanten för den allmänna tredjegradsekvationen (1.24)

har formen

3a 2b c 0

(ad)2 − 6abcd + 4ac3 0

3b 2c d = −9

(1.32)

0 a 2b 3c

−3(bc)2 + 4b3 d

0 b 2c 3d

När diskriminanten (1.32) är noll uppfylls villkoret för att ekvationen (1.24) ska ha två lika rötter. Dessutom, villkoret för att ekvationen (1.24) ska ha tre lika lösningar ges av följande två ekvationer (1.20): b2 − ac = 0,

b3 − a2 d = 0.

(1.33)

En invariant beskrivning av av diskriminanten (1.32) och ekvationerna (1.33) återges i [21], avsnitt 10.1.3.

2009-07-07 – sida 20 – # 20

20

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

Area av likformiga figurer. Ellipsen som exempel DEFINITION 1.1.5

Transformationerna x = x cos θ + y sin θ + a1 , y = y cos θ − x sin θ + a2 , (1.34) bestående av rotationer och translationer, bevarar längderna mellan punkter. Därför bevaras också arean av geometriska figurer i (x, y)-planet. Av den anledningen betecknas transformationerna (1.34) som isometriska eller rigida förflyttningar i (x, y)-planet. Inom geometrin sägs två figurer vara lika om den ena avbildas på den andra genom en lämplig isometrisk förflyttning.

Vi betraktar en skalningstransformation x = ax,

y = by

(1.35)

som även kallas likformighetstransformation eller dilation. De godtyckliga konstanterna a 6= 0 och b 6= 0 kallas transformationens parametrar. Skalningstransformationen ger en likformig töjning (eller sammmandragning) från origo om a = b, annars ger den en icke-likformig töjning (eller sammandragning).

DEFINITION 1.1.6

Två geometriska figurer, där den ena erhålls ur den andra genom skalningstransformation (1.35), sägs vara likformiga.

EXEMPEL 1.1.8

En godtycklig rektangel är likformig med enhetskvadraten {0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ 1}.

Vi låter en given rektangel bestå av sidorna a och b. Först förflyttar vi den med en passande translation och roterar till ett ”standardläge”, så att vi får rektangeln på formen {0 ≤ x ≤ a,

0 ≤ y ≤ b}.

2009-07-07 – sida 21 – # 21

ELEMENTÄR MATEMATIK

21

Töjningen x = x/a, y = y/b transformerar rektangeln till enhetskvadraten {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

SATS 1.1.2

Låt två enkla geometriska figurer, M och M, vara likformiga och låt den senare vara erhållen ur den första genom skalningstransformation x = ax, y = by. Då kan areorna S och S av M respektive M, definieras enligt S = abS.

BEVIS

(1.36)

Låt oss först titta på en rektangel med sidorna m och n i riktning x respektive y. Efter en dilation får vi en rektangel med sidorna m = am och n = bn. Därför definieras rektanglarnas ursprungliga och nya areor av S = mn respektive S = m n, som definieras av (1.36). Vi kan täcka en godtycklig figur som inte är alltför komplicerad med ett rutmönster av rektangulära områden och använda definitionen (1.36) på dessa rektanglar. Tänk nu att denna process upprepas tills vi har ett mycket fint rutmönster.

Eftersom arean S ger gränsvärdet och därmed summorna av alla areor som täcks av rektanglar, visar detta satsen.

Ett bra exempel är ellipsen. En ellips i (x, y)-planet, definieras som positionen av de punkter där summan av alla avstånd till två fixa punkter är konstant. Dessa fixa punkter kallas ellipsens brännpunkter. Låt oss använda ellipsens ekvation uttryckt i kartesiska rätvinkliga koordinater: x2 a2

+

y2 b2

= 1,

(1.37)

där a 6= 0 och b 6= 0 är godtyckliga konstanter som betecknar ellipsens halva stora respektive lilla axel.

Sats 1.1.2 ger oss en grundläggande metod för att beräkna ellipsens area. Vi noterar att en ellips (t.ex. specialfallet, en cirkel) är lik enhetscirkeln x2 + y2 = 1.

2009-07-07 – sida 22 – # 22

22

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

I synnerhet gäller att töjningen x=

x a

y=

,

y b

konverterar ellipsen (1.37) till enhetscirkeln x2 + y2 = 1, med arean S = π. Nu kan formeln (1.36) uttryckas enligt S=

S ab

,

där S betecknar ellipsens area. Följaktligen kan ellipsens area (1.37) definieras enligt S = π ab.

(1.38)

Algebraiska andragradskurvor Räta linjer, ellipser (i specialfall cirklar), hyperbler och parabler förser oss med välkända exempel på algebraiska kurvor i planet.

Exempel på ickealgebraiska kurvor är trigonometriska funktioner, som sinus, cosinus och tangens: y = sin x,

y = cos x,

y = tan x,

logaritmiska, exponentiella och sannolikhetsfunktioner: y = ln x,

y = ex ,

2

y = e−x ,

och en mångfald av spiraler som Arkimedes spiral, de logaritmiska, hyperboliska och paraboliska spiralerna: r = aθ, ln r = aθ, r θ = a, (r − c)2 = aθ, q där r = x2 + y2 , θ = arctan(y/x) och a, c = konstant.

I allmänhet definieras algebraiska kurvor i (x, y)-planet av ekvationen P (x, y) = 0, där P (x, y) är något polynom av godtycklig grad i två variabler, x och y. Låt oss titta på andragradsekvationer: Ax2 + 2Bxy + C y2 + ax + by + c = 0,

(1.39)

2009-07-07 – sida 23 – # 23

ELEMENTÄR MATEMATIK

23

där A, . . . , c är godtyckliga konstanter. Om A = B = C = 0, så reduceras ekvationen (1.39) till den linjära ekvationen ax + by + c = 0, vilken definierar en rät linje. Vi kommer att diskutera andragradskurvor som ges av ekvation (1.39) då minst en av de kvadratiska termerna Ax2 , 2Bxy och C y2 ingår.

En generell linjär transformation x = α x + β y + µ,

y =γx+δy+ν

(1.40)

i planet avbildar en ekvation (1.39) till en ekvation med samma form. Vi betraktar här inverterbara transformationer (1.40), sådana att ∆ = αδ − βγ 6= 0.

(1.41)

DEFINITION 1.1.7

Två ekvationer på formen (1.39) som är associerade genom en linjär transformation (1.40) sägs vara ekvivalenta. Kurvor som ges av ekvivalenta ekvationer kallas ekvivalenta kurvor.

Vi klassificerar algebraiska kurvor enligt deras ekvivalens. Lägg märke till att den linjära transformationen (1.40) är sammansatt av den så kallade homogena linjära transformationen x = α x + β y,

y =γx+δy

(1.42)

och av translationen x = x + µ,

y = y + ν.

(1.43)

Begreppet homogen kommer av det faktum att transformationen (1.42) innehåller första gradens termer i x, y och därför avbildar det kvadratiska uttrycket i ekvation (1.39), Ax2 + 2Bxy + C y2 på kvadratisk form igen, e x 2 + 2B exy + C e y 2, A

(1.44)

2009-07-07 – sida 24 – # 24

24

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

där e = α 2 A + 2αγB + γ 2 C, A e = αβA + (αδ + βγ)B + γδC, B

(1.45)

e = β 2 A + 2βδB + δ 2 C. C Vidare ändrar inte translationen (1.43) ekvationens kvadratiska uttryck i (1.39). Därför börjar vi med klassifikation av de algebraiska andragradskurvorna efter ekvivalens i kvadratisk form (1.44) med avseende på den linjära homogena transformationen (1.42). e och C e Observera först att man kan sätta koefficienterna A lika med 0 i (1.45) samtidigt. Vi kan nämligen uttrycka ekvatioe = 0 och C e = 0, dividera med γ 2 respektive δ 2 , nerna enligt A och beteckna kvantiteterna α/γ och β/δ med λ, enligt följande andragradsekvation: Aλ2 + 2Bλ + C = 0.

(1.46)

Om B 2 − AC 6= 0, har ekvationen (1.46) två distinkta lösningar, λ1 6= λ2 ,. Sätt α/γ = λ1 och β/δ = λ2 eftersom ekvationerna α = λ1 γ, β = λ2 δ med γ 6= 0, δ 6= 0 överensstämmer med villkoret e och C e samtidigt.

6 λ2 . Det följer att vi kan eliminera A (1.41) då λ1 = 2 Uttrycket B − AC kallas diskriminanten för andragradsekvationen (1.44). Följande påstående kan härledas från ekvationerna (1.45).

HJÄLPSATS 1.1.1

En homogen linjär transformation (1.42) omvandlar diskriminanten enligt följande: e2 − A eC e = ∆2 (B 2 − AC ), B

(1.47)

där ∆ definieras av (1.41).

I enlighet med hjälpsats 1.1.1, är de tre villkoren B 2 − AC > 0,

B 2 − AC = 0, B 2 − AC < 0

(1.48)

oförändrade under en transformation (1.42) och således under den generella linjära transformationen (1.40). Alltså ska vi hantera varje fall (1.48) separat.

2009-07-07 – sida 25 – # 25

ELEMENTÄR MATEMATIK

B 2 − AC > 0

25

Då har ekvationen (1.46) två distinkta lösningar √ √ −B + B 2 − AC −B − B 2 − AC λ1 = , λ2 = · A A e och C e lika med 0 samtidigt genom att sätta α/γ = λ1 Vi sätter A och β/δ = λ2 . Genom att exempelvis låta γ = δ = 1, göra en variabelsubstitution α = λ1 , β = λ2 i (1.45) och använda att λ1 λ2 = C/A, λ1 + λ2 = −2B/A får vi e= B

2(AC − B 2 ) A

6= 0.

Genom att göra en substitution i ekvationen (1.39) med variablerna x, y som definieras av (1.42) får vi: x = λ1 x + λ2 y,

y = x + y.

(1.49)

e och vi har kommit fram till följande ekvation för Dividera med B en hyperbel: x y + a˜ x + b˜ y + c˜ = 0.

(1.50)

En konsekvens är att vi kan säga att ekvationen (1.39) med B 2 − AC > 0 representerar algebraiska kurvor av hyperbolisk typ.

Vi kan ytterligare förenkla ekvationen (1.50) genom en translation (1.43), x = x˜ + µ,

y = y˜ + ν.

Genom att låta µ = −b˜ och ν = −a˜ kan vi reducera ekvationen (1.50) till standardform x˜ y˜ = k,

k = konstant

Om k = 0 reduceras hyperbeln till räta linjer som skär varandra, x˜ = 0 och y˜ = 0. Notera att vi genom beteckningarna x˜ = ξ+η, y˜ = ξ − η, får en andra standardform för en hyperbelekvation: ξ 2 − η2 = k,

k = konstant

2009-07-07 – sida 26 – # 26

26

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

ANMÄRKNING 1.1.6

B 2 − AC = 0

Det är givet ovan att A 6= 0. Om A = 0 och C 6= 0, byter vi x och y och kommer återigen fram till antagandet A 6= 0. Slutligen, om A = C = 0 så gäller B 6= 0 och ekvationen (1.39) är redan på formen (1.50).

Då har ekvationen (1.46) multipla lösningar λ = −B/A. Vi låter e = 0. Därtill ger valet β = λδ B e = 0 och β/δ = λ och får C e A 6= 0. Vi kan sätta att γ = δ = 1. Då fordrar villkoret (1.41) att α 6= λ. Genom att skriva om ekvationen (1.39) till variablerna x, y definierade av (1.42): x = α x + λ y,

y = x + y,

(α 6= λ).

(1.51)

e har vi följande ekvation: Genom division med A x 2 + a˜ x + b˜ y + c˜ = 0.

(1.52)

˜ Translationen x = x˜ − (a/2) och y = y˜ reducerar den senare ekvationen till uttrycket för parabelns standardekvation: x˜ 2 + b˜ y˜ + k = 0.

Således kan vi säga att ekvationen (1.39) med B 2 − AC = 0 representerar de algebraiska kurvorna av parabolisk typ.

B 2 − AC < 0

Då har ekvationen (1.46) två komplexa lösningar, λ1 = p + iq, λ2 = p − iq, där p=−

B A

,

q=

√ AC − B 2 A

·

e och C e lika med 0 samtidigt genom Man kan sätta koefficienterna A att låta α/γ = λ1 och β/δ = λ2 i (1.45). Man kan t.ex. sätta γ = δ = 1 och får en komplex variabelsubstitution enligt x = (p + iq) x0 + (p − iq) y0 ,

y = x0 + y 0

(1.53)

som avbildar ekvationen (1.39) till en hyperbelekvation (1.50).

Emellertid vill vi undvika komplexa variabelbyten och enbart

2009-07-07 – sida 27 – # 27

ELEMENTÄR MATEMATIK

27

använda reella variabler. I detta syfte löser vi ekvationen (1.53) med avseende på x0 och y0 : x0 =

y 2

+i

py − x 2q

,

y0 =

y 2

−i

py − x 2q

,

och betraktar de reella och imaginära delarna av dessa komplexa variabler och tillhörande konjugat (multiplicerat med 2 för enkelhetens skull) som nya reella variabler: x = y,

y=

py − x q

·

Vi löser den senare ekvationen med avseende på x, y, och vi erhåller följande reella transformation på formen (1.42): x = px − qy,

y = x.

(1.54)

Den avbildar ekvationen (1.39) till en ekvation på formen x2 + y2 + a˜ x + b˜ y + c˜ = 0.

(1.55)

Man kan eliminera förstagradstermerna genom translationen ˜ ˜ x = x˜ − (a/2), y = y˜ − (b/2) och således reducera (1.55) till standardform x˜ 2 + y˜ 2 = k.

Denna ekvation representerar en cirkel om k > 0, en punkt om k = 0, men ger ingen användbar ort om k < 0. Därför säger vi att ekvationen (1.55) representerar en cirkel, underförstått att det urartade fallet ovan kan inträffa. Då en cirkel är ett specialfall av en ellips, säger vi att ekvationen (1.39) med B 2 − AC < 0 representerar algebraiska kurvor av elliptisk typ.

Vi summerar ovanstående resultat med följande sats.

SATS 1.1.3

En andragradsekvation (1.39) representerar en kurva av hyperbolisk typ och kan avbildas med en homogen linjär transformation till en form (1.50): x y + a˜ x + b˜ y + c˜ = 0,

om B 2 − AC > 0,

(1.56)

2009-07-07 – sida 28 – # 28

28

1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FRÅN ANALYSEN

parabolisk typ och kan avbildas till en form (1.52): x 2 + a˜ x + b˜ y + c˜ = 0,

om B 2 − AC = 0,

(1.57)

och elliptisk typ och kan avbildas till en form (1.55): x2 + y2 + a˜ x + b˜ y + c˜ = 0,

ANMÄRKNING 1.1.7

1.2

om B 2 − AC < 0. (1.58)

Det är klart utifrån transformationen (1.53) att elliptiska och hyperboliska kurvor hänger samman genom komplexa linjära transformationer.

Differential- och integralkalkyl Deriveringsregler Låt f (x) vara en funktion av en variabel. Dess derivata f 0 (x) vid punkten x definieras av f 0 (x) = lim

f (x + ∆x) − f (x) ∆x

∆x→0

·

(1.59)

Sedvanliga sätt att beteckna derivatan av y = f (x) är df (x) dx

,

y0 ,

dy dx

,

D(y) = Dx (y),

D(f (x)) = Dx (f (x)).

Låt u = f (x1 , x2 , . . . , xn ) vara en funktion av n variabler. Dess partiella derivata med avseende på en av variablerna, säg xi , definieras enligt ∂f ∂xi

= lim i

f (x1 , . . . , xi + ∆xi , . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn )

∆x →0

∆xi

·

(1.60) Vanliga beteckningar är ∂u ∂xi

,

ui = uxi ,

där x = (x1 , x2 , . . . , xn ).

Di (u) = Dxi (u),

Di (f (x)),

ISBN 978–91–47–09408-0 © 2009 Nail H. Ibragimov och Liber AB Originalets titel: A Practical Course in Differential Equations and Mathematical Modelling © 2004, 2005, 2006 Nail H. Ibragimov förlagsredaktör Peter Rajan översättning Lena Nieminen Burton redaktör Claes Jogréus Omslag Nette Lövgren Omslagsbild Photodisc Volumes 03 ombrytning Frank Wikström Repro Elanders Tryck Elanders Första upplagan 1

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm Tel 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice Tel 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

:?<<;H;DJ?7B;AL7J?ED;H E9> C7J;C7J?IA CE:;BB;H?D=

:?<<;H;DJ?7B;AL7J?ED;H E9> C7J;C7J?IA CE:;BB;H?D= ~g VkhZYY [ g ] \h`daZhijYZgVcYZ e cnW g_Vgc^k ! ZmZbeZak^h ^cdb ^c\Zc_ gh" dX] cVijgkZiVgegd\gVb# 9Zc `dbW^cZgVg `aVhh^h`V a hc^c\h" bZidYZg bZY bdYZgcV bZidYZg [g c \gjeeVcVanh# IZmiZc ~g \ZcZg h bZY ZmZbeZa dX] kc^c\hjee\^[iZg! k^hhV bZY [jaahi~cY^\V a hc^c\Vg# B c\V kVca^\V a~gdW X`Zg ~g WZ\g~chVYZ i^aa Zii VciVa heZX^ZaaV Y^[[ZgZci^VaZ`kVi^dcZg hdb bVc g `Vg `jccV a hV bZY Zc`aV gZXZei# 9Z ÓZhiV bViZbVi^h`V bdYZaaZg ^cdb cVijgkZiZch`Ve dX] iZ`c^` aZYZg YdX` i^aa ^X`Za^c_~gV Y^[[ZgZci^VaZ`kVi^dcZg hdb bVc ^ciZ `Vc a hV bZY igVY^i^dcZaaV bZidYZg# BZY YZ gZYh`Ve hdb \Zh ^ YZccV Wd` a^\\Zg b c\V ^cigZhhVciV i^aa~bec^c\Vg ^cdb g~X`] aa# Ç9Zc Vaab~ccV jee[Viic^c\Zc ]Vg kVg^i Vii i^aa~bec^c\Vg Vk A^ZiZdg^Zc P\gjeeVcVanhZcR `g~kZg db[ViiVcYZ Va\ZWgV^h`V `jch`VeZg ] \i dkVc[ g hijYZcic^k # 9Zi kZggVh`VcYZ bZY >WgV\^bdkh Wd` P# # #R ~g Vii YZc k^hVg Vii YZi \ g VaaYZaZh jib~g`i Vii ^c[ gV A^Zh ^Y Zg e Zc ZaZbZci~g c^k ! dX] Y~g^\Zcdb Zgh~iiV YZc \~c\hZ `d`Wd`h" [gVbhi~aac^c\Zc bZY Zc WZ\g^ea^\ dX] [gVb[ g Vaai he~ccVcYZ bViZbVi^h` iZdg^#Ç DaaZ HidgbVg`! jc^kZgh^iZihaZ`idg! @I=#

; g[ViiVgZc! egd[Zhhdg CV^a >WgV\^bdk! ~g ^ciZgcVi^dcZaai Zg`~cY [ g h^c [dgh`c^c\ dX] ~g ^YV\ kZg`hVb k^Y 7aZ`^c\Z iZ`c^h`V ] \h`daV# =Vc ]Vg [ gjidb Zc hidg b~c\Y Vgi^`aVg ^ kZiZch`Vea^\V i^Y`g^[iZg dX`h h`g^k^i ÓZgV VkVcXZgVYZ W X`Zg ^ ~bcZi#

D7?B >$ ?8H7=?CEL

?8H7=?CEL

;d fhWaj_ia akhi _

:?<<;H;DJ?7B ;AL7J?ED;H E9> C7J;C7J?IA CE:;BB;H?D=

> YZccV hkZch`V jeeaV\V ]Vg ~kZc 8aVZh ?d\g jh! jc^kZgh^iZihaZ`idg k^Y 7aZ`^c\Z iZ`c^h`V ] \h`daV! bZYkZg`Vi hdb gZYV`i g#

AbWii_iaW eY^ ceZ[hdW c[jeZ[h ?Ya[b_d` hW cWj[cWj_iaW ceZ[bb[h Iocc[jh_ eY^ _dlWh_Wdifh_dY_f[h

Best.nr 47-09408-0 Tryck.nr 47-09408-0