9789140677433

■ ■ ■

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

15

10

3c

Exponent 3c är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.

e ponent

e ponent

s

5

(2, 4) (1, 1)

0 0

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/lab

(3, 5)

1

2

3

4

t

e ponent   

,   

3c Författare till Exponent 3c är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

e3c_omslag_120705.indd 1

2012-07-06 09.50

innehåll

Funktioner och gränsvärden 10 1

Inledning, 11

1.1 Polynom 12 Polynom med en term, 12 Polynom av grad två, 16 Räknelagar för polynom, 19 Polynom av högre grad, 21 Antal nollställen och extrempunkter hos polynom, 25 Nollställen till faktoriserade polynom, 28 Polynom av grad två i faktoriserad form, 30 Polynom av högre grad i faktoriserad form, 33

1.2 Absolutbelopp 36 1.3 Rationella uttryck 42

er, 51

Förenkling av rationella uttryck, 42 Lösning av rationella ekvationer, 46

1.4 Diskreta och kontinuerliga funktioner samt gränsvärden 49 Diskreta och kontinuerliga funktioner, 49 Gränsvärden, 52 2

Derivata 66

Inledning, 67

2.1 Ändringskvot 68 2.2 Derivata 73 Grafisk tolkning av derivata, 73 Uppskattning av derivata med symmetrisk ändringskvot, 77 Linjära funktioner, 79 Derivata hos ickelinjära funktioner, 82

8

e3c.indb 8

2012-07-06 10.41

2.3 Deriveringsregler för potens funktioner 87 Deriveringsregel för potensfunktioner med positiv heltalsexponent, 87 Deriveringsregler för summor av funktioner, 90 Deriveringsregel för potensfunktioner, 93 Andra beteckningar för derivata, 96

2.4 Tangenter 99 Tangent och derivata, 99 Tangentens ekvation, 102

Primitiva funktioner och enkla integraler 164 4

Inledning, 165

4.1 Primitiva funktioner 166 Primitiva funktioner med villkor, 171

4.2 Integraler 173 Samband mellan integral och derivata, 177 Beräkning av bestämda integraler med primitiva funktioner, 178

3

Användning av derivata 114

4.3 Naturvetenskapliga tillämpningar 181

Inledning, 115

5

3.1 Extremvärdesproblem 116

Trigonometri i olika sammanhang, 189

Växande och avtagande funktioner, 116 Lokala extrempunkter, 120 Största och minsta värde, 124 Tillämpningar, 127 Andraderivata, 131 Extrempunktsbestämning med andraderivata, 132 Andraderivatan och konkavitet, 134

3.2 Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata 138

Trigonometri 188

5.1 Trigonometriska grundbegrepp 190 5.2 Cirkelns ekvation och enhetscirkeln 194 Cirkelns ekvation, 194 Enhetscirkeln och trigonometri, 197 Vinklar på enhetscirkeln, 200 Samband mellan trigonometriska värden i de fyra kvadranterna, 203 Trigonometriska ekvationer, 207

Derivatans graf, 138

5.3 Triangelsatser 210

3.3 Deriveringsregler för exponential funktioner 143

Areasatsen, 211 Sinussatsen, 213 Mer om sinussatsen, 216 Cosinussatsen, 219

Derivata av exponentialfunktioner och talet e, 143 Talet e och den naturliga logaritmen, 147 Derivatan av a x, 149 Naturvetenskapliga tillämpningar, 151

5.4 Problemlösning 223 Tips 232 Lösningar 234 Facit 240

9

e3c.indb 9

2012-07-06 10.41

1

Funktioner och gr채nsv채rden

10

e3c.indb 10

2012-07-06 10.41

Centralt innehåll n

Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar för hantering av dessa begrepp

n

Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad

n

Begreppet absolutbelopp

n

Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet gränsvärde

Inledning En stor del av kurs 3c handlar om att med olika hjälpmedel studera och förstå funktioner. Ibland är vi intresserade av att veta om funktioner växer eller avtar och hur snabbt dessa förändringar i så fall sker. I andra sammanhang kan vi söka efter optimala värden. Med det menar vi exempelvis värden hos en variabel som ger ett så stort eller så litet värde som möjligt hos en funktion.

Detta kan exempelvis användas för att bestämma hur en förpackning ska utformas för att få en given volym med så lite material som möjligt. Inom ekonomi kan det vara intressant att avgöra hur priset på en produkt påverkar försäljningen och därmed inkomsterna och beräkna det pris som ger den största inkomsten.

För att underlätta förståelsen av sådana problemställningar inleds boken med ett kapitel där sambandet mellan funktioners uttryck och egenskaper undersöks. Vilka faktorer påverkar funktionernas egenskaper och på vilket sätt? Vi studerar även hur aritmetikens lagar används för att hantera funktioner och lösa ekvationer samt begreppet gränsvärde, som vi återkommer till i kapitel 2.

Din första uppgift Rita följande grafer med hjälp av räknare eller dator. Besvara därefter frågorna som följer.

A: y = x + 1 B: y = x2 – 1 C: y = x3 – 3x – 1 D: y = 2x4 – 4x2 + 1 Hur många nollställen har kurvorna A–D? Hur många extrempunkter har kurvorna A–D? Hur många gånger byter kurvorna A–D riktning?

Sammanfatta dina svar i en tabell med tabellhuvud enligt figuren:

Exponent med högst värde

Antal nollställen

Antal extrempunkter

Antal riktningsändringar

Formulera dina slutsatser i ord.

De slutsatser du förhoppningsvis kommit fram till är maximalt tänkbara värden. För fallen B–D kan slutsatserna delvis se annorlunda om funktionsuttrycken ges ett annat utseende. Du får möjlighet att undersöka den här typen av funktioner mer i detta kapitel. k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 11

11

2012-07-06 10.41

A ER ET EP R

1.1 Polynom

Teorigenomgång

Ett polynom är en funktion av typen p(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + … + a2x2 + a1x + a0.

Koefficienterna an till a0 är reella tal och n är ett naturligt tal, det vill säga ett ickenegativt heltal.

Exempel på polynom är följande: p2(x) = 4x2 – 2,5x + π

p1(x) = –5x4

p3(x) = 2x + 3

p4(x) = –6

Exponenterna är i samtliga fall naturliga tal. En funktions grad avgörs av den term, vars variabel har högst exponent. Polynomen p1 till p4 ovan har graderna 4, 2, 1 respektive 0. Polynomet p(x) = 0, nollpolynomet, har emellertid inte grad 0. Dess grad är odefinierad och saknar därmed värde.

Exempel på funktioner som inte är polynom är f2(x) = 5x –1 f3(x) = f1(x) = 4x1,5 – 3x + 2

x

f4(x) = 5x

Exponenterna hos dessa funktioner är inte naturliga tal (exempelvis är kvadratroten ur x detsamma som x upphöjt till ½). De enklaste polynomen består bara av en enda term. Ett polynom med en term är samtidigt en potensfunktion, en funktion av typen p(x) = a ∙ xn. För potensfunktioner finns det inga begränsningar för exponenten n men om potensfunktionen samtidigt ska vara ett polynom måste n vara ett naturligt tal. Vi ska börja med att studera sådana polynom.

Polynom med en term I kurs 1c behandlades potensfunktioner. Här följer en kort repetition av potensfunktioner där exponenten är ett naturligt tal. Det innebär som sagt att dessa potensfunktioner samtidigt är polynom. Vi börjar med att studera graferna till y = xn, där exponenten n har heltalsvärden mellan ett till fyra. y

y=x

2 1 –2

–1

y

y

5

2

y = x2

4 1

2

–2 –2

–1

5

1

3

x

–1

y

y = x3

–2

–1

1

2

3

x

2

–1

2

1

–2

1

0

1

2

x

y = x4

4

–2

–1

0

1

2

x

Figurerna visar i tur och ordning en proportionalitet, en parabel, en tredjegrads- och en fjärdegradskurva. Gemensamt för potensfunktioner med positiv heltalsexponent är att deras grafer går genom origo, dvs. x = 0 är ett nollställe till varje sådan funktion.

Att lösa en potensekvation av typen xn = a innebär att vi söker de x-värden som uppfyller likheten. Sådana ekvationer kan lösas algebraiskt eller grafiskt.

12

e3c.indb 12

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.41

R EP ET ER A

När man löser en potensekvation algebraiskt används en av potenslagarna, (xn)m = xnm för att få variabeln x ensam i ekvationens ena led. xn = a

(x ) n

Upphöj båda leden till 1/n.

1n

= a1 n

Förenkla vänsterledet enligt (xn)1/n = xn ∙ 1/n = x1 = x.

x = a1 n

Då n är ett positivt jämnt tal finns även roten x = – a

1n

En grafisk lösning av xn = a innebär att man ritar funktionen y = xn och den horisontella linjen y = a i samma koordinatsystem och läser av x-koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan och linjen. En titt på graferna ovan antyder att om n är ett udda tal finns det precis en rot (lösning) till ekvationen xn = a. Om n istället är ett jämnt tal kan det finnas upp till två rötter men det händer också att rot saknas. Exempelvis saknar ekvationen x2 = –1 rot medan ekvationen x4 = 1 har två rötter. Detta gäller under förutsättning att vi endast studerar reella tal och inte komplexa. Detta gäller hela kapitlet.

Algebraisk lösning av potensekvation Lös ekvationerna a) 4x2 = 196 Lösning: a) 4x2 = 196 x2 = 49

c) 3x4 = 48

Dividera båda leden med 4.

Ta kvadratroten ur båda leden. Glöm inte den negativa lösningen.

x = ± 49 x = ±7 b)

b) x7 = 777

Förenkla.

x7 = 777

Upphöj båda leden till

(x ) = 777

Förenkla vänsterledet.

1 7 7

1 7 1 7

x = 777 x ≈ 2,59

1 .

7

Beräkna ett närmevärde med räknaren.

1

Det finns ett alternativt sätt att skriva 777 7 som visas nedan.

Lösningen fås genom att ta sjunde roten ur 777. x7 = 777 x = 7 777 x ≈ 2,59 c)

Skriv 7 Math

3x4 = 48

777 på räknaren.

Dividera båda leden med 3.

x4 = 16 1

x

Upphöj båda leden till 1

(x 4) 4 = ± 16 4 x = ±2

1 . Observera att det också finns en negativ lösning då exponenten är ett jämnt tal.

4

Förenkla vänsterledet och beräkna högerledet.

1

svar: a) x = ±7 b) x = 777 7 ≈ 2,59

c) x = ±2

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 13

13

2012-07-06 10.41

A ER ET EP R

Grafisk lösning av potensekvation En funktion ges av y = –x4. Använd grafritande räknare för att a) rita funktionens graf i intervallet –2 ≤ x ≤ 2. b) bestämma rötterna till ekvationen y = –12.

Lösning: a) Skriv in funktionen y = –x4, välj lämplig skala och låt räknaren rita grafen enligt de steg som visas i figurerna.

b) För att bestämma rötterna till ekvationen –x4 = –12 görs i tur och ordning följande: Skriv in funktionen y = –12.

Låt räknaren rita linjen.

Välj skärning (intersect eller skärning) i beräkningsmenyn (calculate eller beräkna).

Välj en startpunkt till vänster om origo för att få den negativa roten.

Upprepa valet av skärning och välj en startpunkt till höger om origo för att få den positiva roten.

svar: a) Se ovan b) x ≈ –1,9 eller x ≈ 1,9

1 2 3

14

e3c.indb 14

öva i 1001

Lös ekvationerna utan räknare. a) x3 = 64 b) 2x3 – 5 = 49 c) x4 = 625

1002

Lös ekvationerna och ge svaren med tre gällande siffror. b) 3x3 – 5 = 520 a) x5 = 550 c) x4 = 6 250

1003

Lös ekvationerna (helst utan räknare). a) x100 = 2100 b) x100 = 2200 c) x6 = 1024

1004

Med en passare kan cirklar ritas för radier upp till 10,0 cm. Låt x cm vara radiens längd och y cm2 cirkelns area. a) Rita en graf för hur arean beror av radien.

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.41

R EP ET ER A

b) Vilken area har en cirkel med radien 8,0 cm? c) Vilken radie har en cirkel med arean 275 cm2?

1005

1009

Grafen visar en funktion som kan skrivas y = kx2. Vilket värde har konstanten k? T y 90

En förvaringslåda ska rymma 27 dm3. Vilken sidlängd ska den ha om den ges formen av en kub?

80 70 60 50 40 30 20 10 –4

1010

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

x

Grafen visar en funktion som kan skrivas y = kx3. Vilket värde har konstanten k? y 4

1006

1007 1 2 3 4

Hastigheten v m/s hos ett föremål som fallit x m ges av sambandet v2 = 19,6x. Hur stor hastighet har ett föremål som fallit 25 m?

3 2 1

–2

En rätvinklig triangel har kateterna a och b och hypotenusan c. Bestäm den okända sidan då a) a = 5,0 cm och b = 12 cm b) a = 15 cm och c = 17 cm

1008

Sidorna hos en låda, som är formad som ett rätblock, har proportionerna 3:4:5. Lådans volym är 7,5 l.

Beräkna lådans sidor.

1

2

x

–1 –2 –3 –4

1011

öva ii

–1

a) Beskriv gemensamma drag hos graferna till y = x, y = x3, y = x5 och y = x7. b) Beskriv gemensamma drag hos graferna till y = x2, y = x4, y = x6 och y = x8. c) Hur många rötter har ekva tionen xn = a om n är ett udda tal. d) Hur många rötter har ekvationen xn = a om n är ett jämnt tal. k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 15

15

2012-07-06 10.41

A ER ET EP R

Polynom av grad två

Teorigenomgång

Andragradspolynom har formen p(x) = ax2 + bx + c. Sådana polynom har du arbetat med i kurs 2c. Här följer en sammanfattning av det viktigaste.

Ett polynoms nollställen fås genom att algebraiskt lösa ekvationen p(x) = 0 eller genom att avläsa grafens skärningspunkter med x-axeln.

Studera graferna till de tre andragradspolynomen nedan och jämför med lösningarna av de ekvationer man får då man sätter p(x) = 0 p(x) = x2 – 4x + 4

p(x) = x2 – 4x + 3

p(x) = x2 – 4x + 5

y

y

y

2

2

2

1

1

1

0

0 1

2

–1

3

0

x

1

2

–1

3

x

1

2

3

x

–1

x2 – 4x + 3 = 0

x2 – 4x + 4 = 0

x2 – 4x + 5 = 0

x = 2 ± 22 – 3

x = 2 ± 22 – 4

x = 2 ± 22 – 5

x=2± 1 x=2±1 x1 = 1

x=2± 0 x=2±0 x=2

x = 2 ± –1 Ekvationen saknar lösning.

x2 = 3 De tre exemplen illustrerar att polynom av grad två kan ha två, ett eller inget nollställe.

Polynom av typen p(x) = ax2 + bx + c har ett lokalt minimum om koefficienten a framför x2termen är positiv. Om a däremot är negativ har polynomet ett lokalt maximum. Det finns två vanliga algebraiska metoder för bestämning av ett andragradspolynoms extrempunkt, det vill säga dess minimi- eller maximipunkt. En metod grundar sig på formeln för lösning av en andragradsekvation av typen x2 + px + q = 0.

2

  Lösningen ges av x = − p ±  p  − q 2 2 p På grund av en andragradskurvas symmetriska utseende anger termen − kurvans symmetri2 2 p  linje eftersom de två lösningarna ligger på samma avstånd,   − q , från denna. En extrempunkt 2 hos en andragradskurva ligger alltid på symmetrilinjen.

En annan metod använder sig av kvadratkomplettering. Dessa båda metoder visas i varsitt exempel.

16

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c_Kap_1.indd 16

2012-07-09 14.36

R EP ET ER A

Bestämning av extrempunkt och nollställen med pq-formeln Bestäm nollställen och extrempunkten för polynomet p(x) = 2x2 + 8x – 10.

Avgör också om extrempunkten är ett lokalt maximum eller minimum.

Lösning: Använd pq-formeln för att lösa ekvationen p(x) = 0.

2x2 + 8x – 10 = 0 x2 + 4x – 5 = 0 x = –2 ± 22 + 5 x = –2 ± 3  x = −5  1  x 2 = 1 Det innebär att symmetrilinjen ges av x = –2 Insättning av x = –2 i p(x) = 2x2 + 8x – 10 ger p(–2) = 2(–2)2 + 8(–2) – 10 = –18 Eftersom koefficienten framför x2-termen är positiv, är det ett lokalt minimum.  x = −5 och ett lokalt minimum i punkten (–2, –18). svar: Polynomet har nollställen  1  x 2 = 1

Bestämning av extrempunkt genom kvadratkomplettering Bestäm extrempunkten för polynomet p(x) = –3x2 + 6x – 9.

Avgör också om det är ett lokalt maximum eller minimum.

Lösning: Faktorisera först genom att bryta ut värdet –3. p(x) = –3x2 + 6x – 9 = –3(x2 – 2x + 3) Kvadratkomplettera x2 – 2x +3 genom att utnyttja att (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 (kvadreringsregeln). p(x) = –3(x2 – 2x + 3) = –3(x2 – 2x + 1 + 2) = –3((x – 1)2 + 2) = –3(x – 1)2 – 6 Eftersom kvadratuttryck som (x – 1)2 inte kan vara negativa måste det, oavsett värde på x, gälla att –3(x – 1)2 ≤ 0 Polynomets maximivärde är därför –6 och det inträffar då –3(x – 1)2 = 0, dvs. då x = 1 svar: Polynomet har ett lokalt maximum i punkten (1, –6).

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c_Kap_1.indd 17

17

2012-07-09 14.36

A ER ET EP R 1 2

1 2 3 4 5

18

e3c.indb 18

öva i 1012

Bestäm polynomens nollställen. a) f(x) = x2 + 8x + 7 b) g(x) = x2 – 6x + 5 c) h(x) = x2 – 4x – 5

1013

Bestäm polynomens nollställen. a) f(x) = x2 + 3x – 4 b) g(x) = –x2 + 5x – 4 c) h(x) = 2x2 + 3x – 2

1014

Bestäm extrempunkter och avgör om de är lokala maximi- eller minimipunkter. a) f(x) = x2 + 5 b) g(x) = –2x2 + 3 c) h(x) = x2 + 6x + 5

1015

Bestäm extrempunkter och avgör om de är lokala maximi- eller minimipunkter. a) f(x) = 2x2 – 8x – 5 b) g(x) = –2x2 – 4x – 6 c) h(x) = –3x2 + 9x – 8

1016

Bestäm extrempunkter och avgör om de är lokala maximi- eller minimipunkter. a) f(x) = (x – 3)2 – 4 b) g(x) = –2(x + 3)2 + 2 c) h(x) = 2((x + 3)2 + 3)

öva ii 1017

Hanna säger: ”Jag tänker på ett positivt tal, lägger till tre, kvadrerar resultatet och drar ifrån det tal jag först tänkte på. Då har jag resultatet 113.” Vilket tal tänkte Hanna på?

1018

Vid kast med en liten boll anger y m dess höjd och x m dess vågräta avstånd från kastaren. Funktionen y = –0,025(x2 – 38x – 80) ger sambandet mellan y och x. Hur högt når bollen?

1019

Ett affär säljer CD-skivor.

Antalet sålda skivor per dag (x) beror på priset (p kr) enligt sambandet x = 600 – 2p. a) Teckna ett samband för dagsinkomsten y kr som funktion av priset p kr. T b) Bestäm det pris som ger den högsta dagsinkomsten.

1020

Vid konstant acceleration ges sträckan s m av formeln s = v0t + at2/2, där vo m/s är starthastigheten, a m/s2 är accelerationen och t s är tiden för rörelsen.

Hur lång tid har det gått då en bil med starthastigheten 11 m/s och accelerationen 4,0 m/s2 har kört 90 m?

1021

I ett koordinatsystem är linjen y = –4x + 8 ritad. En rektangel är placerad så att den har två sidor på de positiva koordinataxlarna, ett hörn i origo, och det motsatta hörnet på en punkt på linjen. a) Teckna en funktion som beskriver rektangelns area. Låt x-koordinaten för punkten på linjen vara din variabel. T b) Bestäm var punkten ska placeras för att rektangelns area ska bli så stor som möjligt.

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.41

utmaning geometrisk Lösning av andragradsekvation René Descartes visade på 1600-talet hur man geometriskt kan lösa en andragradsekvation. För att lösa en ekvation av typen x2 – ax – b2 = 0 ritade han en rätvinklig triangel med kateterna b och a/2 tillsammans med en cirkel enligt figuren. Med hjälp av Pythagoras sats tecknade han ett samband som han sedan använde för att geometriskt bestämma en rot till ekvationen. x Förklara varför sträckan x (den förlängda a hypotenusan i figuren) motsvarar den 2 positiva roten till ekvationen a a x– x2 – ax – b2 = 0. Negativa rötter 2 2 var på den tiden ointressanta.

1 2 3 5

b

Räknelagar för polynom Polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med hjälp av samma räknelagar som du är van vid. Vi utgår från två polynom och studerar resultaten av tre av räkneoperationerna. Division ingår inte i kursen. q(x) = x2 + 3x r(x) = x2 – 2x + 4 p1(x) = q(x) + r(x) = (x2 + 3x) + (x2 – 2x + 4) = x2 + 3x + x2 – 2x + 4 = 2x2 + x + 4 p2(x) = q(x) – r(x) = (x2 + 3x) – (x2 – 2x + 4) = x2 + 3x – x2 + 2x – 4 = 5x – 4 p3(x) = q(x) ∙ r(x) = (x2 + 3x)(x2 – 2x + 4) = x4 – 2x3 + 4x2 + 3x3 – 6x2 + 12x = = x4 + x3 – 2x2 + 12x Lägg märke till följande: n

Vid addition och subtraktion av två polynom får summan och differensen högst samma grad som polynomet med högst grad (grad(p) ≤ max(grad(q), grad(r)).

n

Vid multiplikation av två polynom multipliceras varje term i det första polynomet med varje term i det andra polynomet. En följd av det är att graden hos produkten av två polynom är summan av graderna hos de två polynomen (grad(p) = grad(q) + grad(r)). Regeln gäller dock inte om ett av polynomen är nollpolynomet (p(x) = 0) eftersom detta polynom saknar grad. k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 19

19

2012-07-06 10.41

Förenkla och bestäm graden Förenkla polynomen och bestäm dess grader. a) (x3 – 6x2 – 4x) + (6x2 – x3) b) (x3 – 6x2 – 4x) – (6x2 – x3) c) (x3 – 6x2 – 4x)(6x2 – x3) Lösning: a) (x3 – 6x2 – 4x) + (6x2 – x3) = x3 – 6x2 – 4x + 6x2 – x3 = –4x Grad: 1 b) (x3 – 6x2 – 4x) – (6x2 – x3) = x3 – 6x2 – 4x – 6x2 + x3 = 2x3 – 12x2 – 4x Grad: 3 c) (x3 – 6x2 – 4x)(6x2 – x3) = 6x5 – x6 – 36x4 + 6x5 – 24x3 + 4x4 = –x6 + 12x5 – 32x4 – 24x3 Grad: 6 svar: se ovan

1 2

öva i 1022

Förenkla och bestäm graden. a) (3x2 – 4x) + (2x2 – 5) b) (4x2 – 1) + (5x2 + 4x – 3) c) (2x3 – 3x2 + 4x) + (5 – 3x2 – 2x3)

1026

Förenkla och bestäm graden. a) (x3 + x2 – x + 1)( x2 – x) b) (x2 – 5x + 8)(2x2 + 2x – 2) c) (x – 3)(3x4 – x3 + 2x2 – 2x + 2) T

1023

Förenkla och bestäm graden. a) (x2 + 3x – 4) – (x2 – 4) b) (x4 – x2 – x) – (x2 + x4) c) (x3 + 8x2 + 3) – (7x2 – x3)

1027

1024

Förenkla och bestäm graden. a) (3x2 – 2x)(x2 – 5) b) (2x3 + x2 + 3)(x2 – x) c) (1 – x2)(6x2 +3x –1)

p(x) och q(x) är två polynom, där inget av dem är nollpolynomet och där grad(p) = m och grad(q) = n.

Dessutom gäller olikheten m ≥ n.

Vad kan man säga om graden hos a) p(x) + q(x) b) p(x) – q(x) c) p(x) ∙ q(x)

1028

För polynomen p(x) och q(x) gäller att grad(p(x) + q(x)) < grad p(x).

Kan man dra någon slutsats av det vid en jämförelse av grad(p(x)) och grad(q(x))?

1025

20

e3c.indb 20

öva ii

Förenkla och bestäm graden då q(x) = = x3 – 2x2 – 4x och r(x) = x3 – 2x2 – 4. a) p1(x) = q(x) + r(x) b) p2(x) = q(x) – r(x) c) p3(x) = q(x) ∙ r(x)

1 2 3

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.41

Polynom av högre grad Funktionen y = x3 + 2x2 – 4x + 2 är en polynomfunktion av grad tre. Dess graf visas i figuren. Den har ett nollställe och två extrempunkter. Koefficienterna framför de termer som innehåller variabeln x avgör grafens form och om dessa ändras kan grafen få ett helt annat utseende. I det kommande avsnittet ska vi titta närmare på polynom av högre grad och undersöka hur utseende, antalet nollställen och extrempunkter beror av dess funktionsuttryck. För att kunna ge grafers utseende en tydlig beskrivning, behövs ett antal begrepp. Vi ska därför börja med att definiera några sådana begrepp.

Växande och avtagande funktioner En funktion är växande om dess graf växer från vänster till höger. På motsvarande sätt är en funktion avtagande om dess graf avtar från vänster till höger. En vågrät funktion är både växande och avtagande. I figuren är grafen A växande, grafen B både växande och avtagande och grafen C avtagande.

y 10 5

–4

–3

–2

–1

2

1

x

–5 –10 –15

y 4

A

3 2

B

1 –4

–3

–2

–1

1

2

3

4

x

–1

Om en funktion är växande i ett intervall och vi här godtyckligt väljer två punkter x1 och x2 gäller:

–2 –3

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

C

–4

På motsvarande sätt gäller för avtagande funktioner: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).

Extrempunkter Betrakta grafen i figuren. Den är omväxlande växande och avtagande. Den innehåller också extrempunkter.

En extrempunkt kan vara antingen ett lokalt maximum eller ett lokalt minimum. I figuren finns det ett lokalt maximum i punkten (–1, 2) och ett lokalt minimum i punkten (1, –2).

Med ett lokalt maximum menas ett funktionsvärde som är större än eller lika med alla andra funktionsvärden i den närmaste omgivningen. Motsvarande definition för ett lokalt minimum är ett funktionsvärde som är mindre än eller lika med alla andra funktionsvärden i den närmaste omgivningen.

y 2

1

–2

1

–1

2

x

–1

–2

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 21

21

2012-07-06 10.41

Tangenter och terrasspunkter En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt. Det innebär att den har en punkt gemensam med kurvan och att kurvans riktning i tangeringspunkten sammanfaller med riktningen hos tangenten. I figuren tangerar den blå linjen kurvan i punkten (1, 2) och är därmed en tangent.

y 2

1

–2

–1

1

2

x

2

x

–1

–2

En tangent till ett lokalt maximum eller minimum hos ett polynom är alltid en vågrät linje (A och C i figuren).

I figuren finns dessutom den vågräta tangenten B. Den tangerar kurvan i en terrasspunkt. I den närmsta omgivningen till en terrasspunkt är en kurva antingen enbart växande eller enbart avtagande. I figuren är kurvan avtagande på båda sidor om terrasspunkten.

y

A

6

4

B

2

–2

–1

1

C

–2

Växande och avtagande Rita funktionen f(x) = 2x3 + 3x2 med hjälp av dator och undersök i vilka intervall den är växande respektive avtagande.

y 3

Lösning: Skriv in funktionen i t.ex. GeoGebra och låt programmet rita grafen enligt figuren.

Kurvan byter riktning då x = –1 och x = 0.

Det ger slutsatserna i svaret nedan. svar: Funktionen är växande för x ≤ –1 eller x ≥ 0 samt avtagande för –1 ≤ x ≤ 0.

22

e3c.indb 22

2 1

–2

–1

1

x

–1 –2

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.41

Extrem- och terrasspunkter Bestäm terrass- och extrempunkter för funktionen y = 6x5 – 10x3 + 2.

y 6

Lösning: Grafen har vågräta tangenter för punkterna (–1, 6), (0, 2) och (1, –2). Punkternas y-koordinater kan även beräknas med hjälp av respektive x-koordinat:

4

2

x = –1 ⇒ y = 6(–1)5 – 10(–1)3 + 2 = 6 x = 0 ⇒ y = 6 ∙ 05 – 10 ∙ 03 + 2 = 2 x = 1 ⇒ y = 6 ∙ 15 – 10 ∙ 13 + 2 = –2

–1

1

x

–2

svar: Maximipunkt i (–1, 6), terrasspunkt i (0, 2) och minimipunkt i (1, –2).

1 2

öva i 1029

1030

Ange för den funktion som illu streras av grafen om den är avtagande eller växande i följande intervall: a) 2 ≤ x ≤ 5 b) –2 ≤ x ≤ 5 c) –2 ≤ x ≤ 2 d) –5 ≤ x ≤ –2 e) –5 ≤ x ≤ 2 f) –5 ≤ x ≤ 5

Grafen i figuren har två extrempunkter, en i (–1, 1) och en i (1, –1).

Ange de intervall för vilka gäller att funktionen i figuren är a) avtagande b) växande y

1

y

–1

1

x

4 3

–1

2 1 –4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3

2

3

4

x

1031

Vilka punkter på grafen från övning 1030 ger vågräta tangenter?

–4

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 23

23

2012-07-06 10.42

1032

Figuren visar grafen till ett polynom.

Den har tre punkter med vågräta tangenter. Ange maximi-, minimi- och terrasspunkter för grafen.

öva ii 1035

y

1

–1

1

x

1036

Ge ett andragradspolynom som har en lokal minimipunkt i (1, 3). T

1037

Funktionerna g(x) = x3 och h(x) = x är växande för samtliga x-värden. Vilka av följande funktioner kan vara avtagande i något intervall? Motivera och försök att svara utan att rita kurvorna. a) f(x) = g(x) + h(x) b) f(x) = 2g(x) + 3h(x) c) f(x) = g(x) – h(x) T

1038

Kan man dra några slutsatser om funktionen g(x) = (p(x))2 då följande förutsättningar gäller? a) p(x) är växande för alla x-värden i definitionsmängden. b) p(x) är växande och positiv för alla x-värden i definitionsmängden. c) p (x) är växande och negativ för alla x-värden i definitionsmängden. d) p(x) är avtagande för alla xvärden i definitionsmängden. e) p(x) är avtagande och positiv för alla x-värden i definitionsmängden. f) p(x) är avtagande och negativ för alla x-värden i definitionsmängden.

–1

1033

1034

Ange för varje polynom om det är växande eller avtagande. a) p1(x) = –2x + 3 b) p2(x) = 2x3 c) p3(x) = –x4, x > 0 d) p4(x) = –x4, x < 0 Rita funktionen f(x) = x3 – 12x och bestäm dess extrempunkter.

utmaning växande poLynom Polynomet p(x) = ax + bx + c, där a ≠ 0, är givet. Ange för vilka intervall polynomet är växande och om dessa intervall gäller under några särskilda villkor.

Motivera dina svar.

2

24

e3c.indb 24

1 2 3 5 6

För vilka värden på x är polynomet växande? a) f(x) = x2 + 4x – 4 b) g(x) = –x2 + 6x + 4 c) h(x) = 2x2 – 8x – 2

1 2 3 5 6

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.42

Antal nollställen och extrem - punkter hos polynom

Teorigenomgång

I den inledande uppgiften hade du möjlighet att undersöka hur många extrempunkter och nollställen polynom av olika grad kan ha. Tidigare har du arbetat med andragradspolynom och sett att de alltid har en extrempunkt och högst två nollställen.

y 4

3

2

Grafen visar ett polynom av grad 4, p(x).Polynomet har fyra nollställen och tre extrempunkter. Man kan visa att varje polynom av grad fyra har högst fyra nollställen och tre extrempunkter. För polynom av grad n kan man visa motsvarande slutsatser.

1

–2

–1

1

2

x

–1

för polynom av grad n gäller : Antal nollställen: Högst n.

Antal extrempunkter: Högst n–1

p(x) = x 4 – x 3 – 4 x2 + 2 x + 3

Dessutom kan man visa följande (vilket du får chans att undersöka i en utmaning senare): För polynom av jämn grad finns det minst en extrempunkt.

För polynom av udda grad finns det minst ett nollställe.

Avläsa antalet nollställen grafiskt

y

I figuren visas grafen till en tredjegradsfunktion f(x).

Den tangerar x-axeln i punkten (1, 0).

Hur många nollställen har funktionen

2

–1

a) f(x) b) g(x) = f(x) + 0,1 c) h(x) = f(x) – 0,1

1

x

–2

Lösning: a) Antalet skärningspunkter med x-axeln ger två nollställen. b) Om kurvan flyttas en aning uppåt kommer den högra minimipunkten att hamna ovanför x-axeln. Det resulterar i att det bara blir ett nollställe. c) Om kurvan flyttas en aning neråt kommer den högra minimipunkten att hamna under x-axeln. Det resulterar i att det blir tre nollställen. svar: a) Två nollställen

b) Ett nollställe

c) Tre nollställen

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 25

25

2012-07-06 10.42

Bestämma antalet nollställen med hjälp av givna punkter Grafen för en tredjegradsfunktion går genom punkterna (1, –1), (2, 2) och (3, –1).

Hur många nollställen har funktionen?

Lösning: Punkterna markeras i ett koordinatsystem för att kunna få en bild över hur grafen ser ut.

En tredjegradsfunktion har i stora drag ett av de två utseenden som visas i figurerna. Eftersom de givna punkterna växelvis är placerade under och över x-axeln måste grafen skära denna i tre punkter. Det innebär att det finns tre nollställen.

y

y

3

3

2

2

1

1

1

2

3

4

1

x

–1

–1

–2

–2

2

3

4

x

svar: Tre nollställen

1 2

öva i 1039

e3c.indb 26

Hur många nollställen kan det högst finnas hos en polynomfunktion av graden a) 3 b) 5 c) 8 d) n

1040

Hur många extrempunkter kan det högst finnas hos en polynomfunktion av graden a) 3 b) 5 c) 8 d) n

1041

Grafen till en polynomfunktion av andra graden går genom punkterna (–1, 3) och (1, –3). Hur många nollställen har funktionen?

1042

26

y

I figuren visas grafen till tredjegradspolynomet p(x). a) Bestäm funktionens nollställen. b) Hur många nollställen har funktionen q(x) = p(x) + 1? c) Hur många nollställen har funktionen r(x) = p(x) – 1?

1

–1

1

x

–1

1043

Rita grafen till funktionen y = x3 – 2x2 – 5x + 6 och bestäm dess nollställen.

1044

Hur många nollställen har funktionerna b y = x3 + 1 a y = x2 + 1 c y = x4 + 1

1045

Hur många nollställen har funktionerna b y = x3 – 1 a y = x2 – 1 c y = x4 – 1

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.42

1 2 3 4 5

1050

Hur många nollställen har funktionen y = xn – xn-1 då n är ett heltal större än 1.

Ett polynom av grad 3 har tre nollställen. Kan man dra någon slutsats om antalet extrempunkter?

1051

Hur många nollställen har funktionen y = xn – xn-2 då n är ett heltal större än 2.

Ett polynom av grad 3 har två e xtrempunkter. Kan man dra någon slutsats om antalet nollställen?

1052

Hur många nollställen har funktionen y = xn + xn-2 då n är ett heltal större än 2.

Ett polynom av grad 4 har fyra nollställen. Kan man dra någon slutsats om antalet extrempunkter?

1053

Ett polynom av grad 4 har tre extrempunkter. Kan man dra någon slutsats om antalet nollställen?

öva ii 1046

1047

1048

1049

Ett polynom av grad 2 har ett nollställe. Kan man dra någon slutsats om extrempunktens placering?

utmaning extrempunkter och noLLstäLLen Den här uppgiften knyter an till två påståenden på sidan 25 om antalet nollställen och extrempunkter till polynom. n

Finns det exempel på polynom av grad n, där n är ett jämnt tal, som saknar nollställen? Motivera.

n

Finns det exempel på polynom av grad n, där n är ett udda tal, som saknar nollställen? Motivera.

n

Finns det exempel på polynom av grad n, där n är ett jämnt tal, som saknar extrempunkter? Motivera.

n

Finns det exempel på polynom av grad n, där n är ett udda tal, som saknar extrempunkter? Motivera.

1 2 3 5

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 27

27

2012-07-06 10.42

Nollställen till faktoriserade polynom

Teorigenomgång

Nollställen till andragradspolynom, dvs. polynom på formen p(x) = ax2 + bx + c, har du bestämt tidigare. Det är ofta komplicerat att bestämma nollställen till polynom av högre grad än två. Det finns emellertid några undantag. Om ett polynom är skrivet i faktoriserad form, är det vanligtvis lätt att bestämma dess nollställen. Med faktoriserad form menas att det är skrivet som en produkt av faktorer. Ett polynom av tredje graden i faktoriserad form kan exempelvis se ut så här: p(x) = x(x – 1)(x + 3) Om polynomet ska ha värdet 0, krävs det att en av faktorerna x, (x – 1) och (x + 3) är 0.

Detta används för att hitta polynomets nollställen. Tekniken illustreras i det följande exemplet.

Nollställen till en faktoriserad ekvation Bestäm samtliga nollställen till polynomet p(x) = x(x – 1)(x + 3).

Lösning: p(x) = 0 ger oss ekvationen x(x – 1)(x + 3) = 0 Minst en av faktorerna i vänsterledet måste ha värdet 0. Det ger följande tre ekvationer: x=0

x–1=0 x=1

x+3=0 x = –3

svar: x = 0, x = 1 och x = –3

1 2

28

e3c.indb 28

öva i 1054

Bestäm polynomens nollställen. a) p(x) = (x + 3)(x – 5)(x – 2) b) p(x) = (x + 1)(x – 4)(x + 2) c) p(x) = x(x – 8)(x + 8)

1055

Bestäm polynomens nollställen. a) p(x) = (x – 3)2(x – 5)3 b) p (x) = (x + 4)(2x – 4)6 c) p(x) = x2(x + 7)(x – 7)

1056

Bestäm polynomens nollställen. a) p(x) = x(x – 1)2 b) p(x) = x(x2 – 1) c) p(x) = x2(x2 – 1)2

1057

a) Lös ekvationen (x – 1)(x – 5) = 0. b) Lös ekvationen x2 – 6x + 5 = 0. c) Utför parentesmultiplikationen (x – 1)(x – 5). d) Varför har ekvationerna i a- och b-uppgifterna samma lösning? e) Hur kan funktionen f(x) = x2 – 6x + 5 skrivas om i faktoriserad form, som en produkt av två parenteser?

1058

Funktionen f (x) = x 2 – 4x + 3 har gemensamma nollställen, x = 1 och x = 3. Skriv i faktoriserad form a) f (x) = x 2 – 4x + 3 b) g(x) = 3x 2 – 12x + 9 T

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.42

1 2 3

öva ii 1059

Lös ekvationerna T a) x(x + 1)2 = (x + 1)2 b) x(x – 1)(x + 1) = 2(x – 1)(x + 1) c) x2(x2 – 1)2 = 2x(x2 – 1)2

1060

Produkten av tre på varandra följande heltal har värdet 0. Vilka är de tre möjliga heltalen?

1061

Då ett tal multipliceras med summan av talet och 5 blir produkten 0.

Bestäm talet.

1062

Produkten av tre tal, a, b och c, är 0.

Talet b är dubbelt så stort som a + 1.

Talet c fås genom att subtrahera b med 4. Vilka är talen? L

5 6

1063

a) Ekvationen x2 – 6x + 5 = 0 har lösningarna x1 = 1 och x2 = 5.

Försök att hitta ett sätt att kombinera lösningarnas värden 1 och 5 så att du får koefficienterna –6 och 5 i ekvationen. b) Undersök därefter om din metod fungerar på ekvationen x2 + 8x + 12 = 0 som har lösningarna x1 = –2 och x2 = –6. c) Uttryck ett möjligt samband mellan koefficienterna p och q och lösningarna x1 och x2 i ekvationen x2 + px + q = 0. d) Undersök om detta samband alltid gäller.

utmaning

pascaLs triangeL

Blaise Pascal (1623−62) var en fransk filosof, matematiker och författare. Hans berömda triangel används framför allt inom sannolikhetsläran, en gren av matematiken som till stor del Pascal och Pierre de Fermat (1601−65) ligger bakom. De sex första raderna i triangeln ser du i figuren. n

Hur bör den sjunde raden se ut enligt det mönster som finns?

n

Den tredje raden visar koefficienterna för kvadreringsregeln: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 På motsvarande sätt kan man ur triangeln utläsa att (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Hur kan (a + b)4 utvecklas med hjälp av triangeln?

1 2 3 5

1 1 1 1 1 1

3 4

5

1 2

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

n

Hur bör motsvarande uttryck för (a – b)2, (a – b)3 och (a – b)4 se ut?

n

Då man bygger tresidiga pyramider med kulor innehåller varje lager olika antal kulor. I det översta lagret finns det bara en kula, i nästa finns det tre och i det tredje lagret från ovan finns det sex kulor.

Hur många finns det i det fjärde lagret? Kan Pascals triangel hjälpa dig att få fram det värdet?

På vilket sätt? Hur många kulor blir det i nästa lager?

n

Kan du även använda Pascals triangel för att beräkna det sammanlagda antalet kulor i en tresidig pyramid om du vet höjden på den?

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c.indb 29

29

2012-07-06 10.42

Polynom av grad två i faktoriserad form I vissa sammanhang finns det fördelar med att skriva polynom i faktoriserad form. Det kan exempelvis underlätta ekvationslösning och förenkling av uttryck. Faktorisering av andragradspolynom gjorde vi i kurs 2 med de metoder som visas nedan.

Metod

Exempel

Bryta ut en faktor

8x + 6x = 2x(4x + 3)

Använda konjugatregeln

x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)

Använda en kvadreringsregel

x2 – 6x + 9 = (x – 3)2

2

Ofta kan ingen av dessa tre metoder användas. En metod som alltid fungerar är att beräkna polynomets nollställen och använda dessa vid faktoriseringen. Om nollställen saknas kan polynomet inte faktoriseras.

Om du har gjort uppgift 1057, har du konstaterat att ekvationerna x2 – 6x + 5 = 0 och (x – 1)(x – 5) = 0 har samma lösningar, x = 1 eller x = 5.

Det beror på att följande omskrivning är möjlig: x2 – 6x + 5 = (x – 1)(x – 5) Om ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna x1 och x2 beror det alltså på att ekvationen kan skrivas i faktoriserad form: (x – x1)(x – x2) = 0 Detta kan användas för att faktorisera polynom.

för ett andragradspolynom gäller Om polynomet p(x) = ax2 + bx + c har två nollställen, x1 och x2, kan polynomet skrivas om i faktoriserad form: p(x) = a(x – x1)(x – x2)

Exempel: Faktorisering av polynom Skriv polynomen i faktoriserad form. a) p(x) = x2 + 8x + 16 b) q(x) = 2x2 + 8x – 10 Lösning: a) Eftersom polynomet har tre termer och 16 = 42 undersöker vi först om en kvadreringsregel kan användas. Då alla termer dessutom är positiva väljer vi att undersöka kvadraten av x + 4. (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 Polynomet överensstämmer med det givna och kan därmed skrivas p(x) = (x + 4)2

30

e3c.indb 30

2012-07-06 10.42

b) I det här fallet verkar det inte fungera med någon kvadreringsregel.

Beräkna därför polynomets nollställen.

2x2 + 8x – 10 = 0 2(x2 + 4x – 5) = 0 x2 + 4x – 5 = 0 x = –2 ±

22 + 5

x = –2 ± 9 x = –2 ± 3  x = −5  1  x 2 = 1 Det innebär att polynomet kan skrivas 2x2 + 8x – 10 = 2(x2 + 4x – 5) = 2(x – (–5))(x – 1) = 2(x + 5)(x – 1) Svar: a) p(x) = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

1 2

1068

öva i 1064

1065

1066

1067

b) q(x) = 2x2 + 8x – 10 = 2(x + 5)(x – 1)

Faktorisera genom att bryta ut lämpliga faktorer. a) p(x) = 2x2 + 5x b) p(x) = 3x2 – 6x c) p(x) = 2x2 + 10 Faktorisera med konjugatregeln. a) p(x) = x2 – 25 b) p(x) = 9x2 – 16 c) p(x) = 3x2 – 12 Faktorisera med någon av kva­ dreringsreglerna. a) p(x) = x2 + 6x + 9 b) p(x) = 9x2 – 6x + 1 c) p(x) = 3x2 – 30x + 75 Faktorisera. a) p(x) = 5x2 – 15x b) p(x) = 5x2 – 80 c) p(x) = 2x2 – 16x + 32

Faktorisera. a) p(x) = x2 – 6x + 8 b) p(x) = x2 + 2x – 3 c) p(x) = 3x2 + 9x – 12

öva ii 1069

1 2 3

a) Är (x – 2) en faktor i polynomet p(x) = 2x2 + 6x – 20? T b) Kan du svara på frågan i a­uppgiften utan att lösa ekvationen 2x2 + 6x – 20 = 0 och i så fall hur?

1070

Är (x – 1) en faktor i polynomet p(x) = x3 + 2x2 – 3x?

1071

Innehåller polynomet p(x) = x4 – x2 faktorerna (x – 1) och (x + 1)?

1072

Faktorisera polynomet p(x) = x3 – 81x.

1073

Faktorisera polynomet p(x) = x4 – 81 med hjälp av konjugatregeln. L

5 6

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

e3c_Kap_1.indd 31

31

2012-07-09 14.36

utmaning

finn fem feL exempel 1

1

1 2 2  –1 = (–1) = −1 =  −1  = 12 = 1 = 1   Varför blir –1 lika med 1? Vad är fel?

1

( )

2⋅

1 2

( )

1 2 3 5 6

exempel 2 3 3 + 6 3 + 3 3 3 1+ 1 2 = = = = =2 9 3 ⋅ 3 3 ⋅ 3 1⋅ 1 1 3 3 6 Varför blir lika med 2? Vad är fel?

9 exempel 3 x=2 x–2=0 x(x – 2) = x · 0

Subtrahera med 2 på båda sidor.

x (x - 2) = x · 0 x –2 x -2

Förkorta i vänsterledet. Förenkla i högerledet.

Multiplicera med x på båda sidor.

Dividera med (x – 2) på båda sidor.

x=0 Varför ändras x = 2 till x = 0? Vad är fel? exempel 4 2 = 4 = ±2 Varför blir 2 lika med ±2? Vad är fel? exempel 5 Studera följande omskrivningar av en ekvation. a=b a2 = ab a2 – b2 = ab – b2 (a + b)(a – b) = b(a – b) a+b=b a=0

Multiplicera båda sidor med a.

Subtrahera båda sidor med b2.

Faktorisera båda sidor.

Dividera båda sidor med (a – b).

Subtrahera båda sidor med b.

Varför medför likheten a = b att a = 0? Vad är fel?

32

e3c.indb 32

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

2012-07-06 10.42

e3c.indb 33

2012-07-06 10.42

■ ■ ■

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

15

10

3c

Exponent 3c är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.

e ponent

e ponent

s

5

(2, 4) (1, 1)

0 0

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/lab

(3, 5)

1

2

3

4

t

e ponent   

,   

3c Författare till Exponent 3c är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

e3c_omslag_120705.indd 1

2012-07-06 09.50