9789147107360

SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST IN T R A M DHAMRE EVA SME

on unness Sj s a n o J รถm olmstr H in t r Ma dhamre Eva Sme

Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3c och motsvarande kurser inom vuxenutbildning.

EXEMPEL

Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!

!

definition: r

!

sats: vertikalv

Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken.

!

Antalet värdesiffro

aKtivitet

Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare.

Aktiviteter är avsnitt med laborativ karaktär.

Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp.

I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa.

Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.

digitala rutan

I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för att lösa problem.

TEST

Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare.

tanKenöt

Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns!

Lycka till med kursen!

Författarna

3

Innehåll 1

trigonometri

1.1 Repetition av viktig algebra 8 1.2 Trigonometri i rätvinklig triangel 10

Exakta värden 14

1.3 Enhetscirkeln 16 1.4 Triangelsatserna 22

Areasatsen 22 Sinussatsen 25 Aktivitet: Sinussatsen 30 Cosinussatsen 31 Problemlösning 34 Upptäck & visa: Vilken är kurvan? 36

1.5 Cirkelns ekvation 37

Digitala rutan: Rita en cirkel på parameterform 40 Sammanfattning 42 test 2 44 Blandade uppgifter 46

6

2

algebra

2.1 Repetition 52

Potenser 52 Algebra och ekvationer 54 Faktorisera 56 Aktivitet: Geometriska bevis 57 2.2 Polynom och faktorer 58

Polynom 58 Faktorer, rötter och nollställen 61 2.3 Rationella uttryck 66

Förkorta rationella uttryck 66 Mer om förenkling 69 Digitala rutan: Rationella funktioner 72 Multiplikation och division av rationella uttryck 73 Addition och subtraktion av rationella uttryck 75 Upptäck & visa: Lek med tal 78 2.4 Ekvationer och olikheter 79

Lösa olikheter från grafer 79 Mer om grafer 83 Olikheter med teckenstudium Ekvationer med nämnare 90 Absolutbelopp 93 Sammanfattning 96 test 2 97 Blandade uppgifter 99

4

50

86

3

derivator 102

3.1 Förändringar 104

Repetition av räta linjen 104 Ändringskvot 108 En kurvas lutning 114 Beräkning av gränsvärden 120 Digitala rutan: Gränsvärde med räknare 125

4

4.1 Fler derivator 184

Derivatan av y = ex 184 Naturliga logaritmer 189 Derivatan av y = 2x 193 Problemlösning 195 Aktivitet: Matematisk modell 199 4.2 Integraler 200

3.2 Derivator 126

Använda derivatans definition 126 Deriveringsregler för polynom 130 Upptäck & visa: Symmetrisk differenskvot 136 Digitala rutan: Derivata med räknare 137 Tillämpningar på derivata 138

Primitiva funktioner 200 Aktivitet: Bestämma arean under en kurva 206 Beräkna integraler 207 4.3 Integral och area 214

Arean av ett område mellan två kurvor 214 Mer om integraler 221 Digitala rutan: Integraler med räknare 227 Upptäck & visa: Förhållandet mellan areor 228 Tillämpningar av integraler 229 Digitala rutan: Ett hundrameterslopp 233

3.3 Derivator och grafer 140

Rita kurvor med hjälp av derivatan 140 Största och minsta värde 148 Derivatans graf 151 Andraderivatan 156 Maximi- och minimiproblem 159 Aktivitet: Areaproblem 163

Sammanfattning 234 test 4 236 Blandade uppgifter 239

3.4 Mer om derivator 164

Lite algebra 164 Derivatan av potensfunktioner 165 Diskontinuerliga funktioner 168 Diskret funktion 169 Inflexionspunkt och derivata 170 Sammanfattning 172 test 3 174 Blandade uppgifter 177

talet e och integraler 182

5

repetition

244

Facit 256 Facit till tankenötter 280 Sakregister 281

5

Mål I det här kapitlet får du lära dig • Exakta trigonometriska värden • använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp • Hur man bevisar sinus-, cosinus- och areasatsen för en godtycklig triangel • Bestämma arean av en godtycklig triangel • Bestämma sidor och vinklar i en godtycklig triangel • Egenskaper hos cirkelns ekvation • skriva funktioner på parameterform • strategier för matematisk problemlösning • använda digitala hjälpmedel för att lösa problem och öka din begreppsförståelse

1 Ordet geometri betyder jordmätning och numera kan vi använda GPS-teknik för olika avståndsmätningar. GPS är en förkortning för Global Positioning System.

Med en GPS-mottagare får du veta var du befinner dig. Du får alltså både geografiska koordinater och höjd över havet. Hur fungerar detta?

GPS utnyttjar att det finns satelliter på noggrant bestämda lägen. Dessa satelliter befinner sig på ca 20 000 km höjd och sänder hela tiden ut signaler. När din GPS tar emot en signal från en satellit A, beräknas den tid som det tar för signalen att färdas från satelliten till GPSmottagaren. Då kan avståndet mellan GPS-mottagaren och A bestämmas.

Observera att det finns flera platser på jorden med samma avstånd till A. Alla platser som befinner sig på en viss cirkel på jordytan har samma avstånd till A. Med hjälp av ytterligare en satellit (B), kan avståndet mellan din GPS-mottagare och satelliten B bestämmas. Också här ligger alla platser som har samma avstånd till B på en cirkel. Cirklarna skär varandra i två punkter, och du befinner dig i någon av dessa punkter.

BEGREPP

För att också få höjden över havet, behövs en fjärde satellit.

hypotenusa motstående katet närliggande katet

A

enhetscirkel sinus cosinus tangens cirkelns ekvation

B

parameterform areasatsen sinussatsen GPS, som ägs av USA:s försvarsmakt, utvecklades under 1970-talet och sattes i drift på 1990-talet. Idag finns även ryska, kinesiska och europeiska satelliter för positionsbestämning.

cosinussatsen

Till sist bestämmer signalen från en tredje satellit vilken punkt det är.

TRIGONOMETRI

7

KAPITEL 1

1.1 REPETITION AV VIKTIG ALGEBRA I det här korta avsnittet repeterar vi lite algebra som är bra att kunna längre fram i kapitlet.

!

Kvadreringsregler:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Några ekvationer:

x a

a

=b ⇒ x=b·a

Fullständig andragradsekvation: x2 + 6x + 8 = 0

x

=b ⇒ a=b·x ⇒ x=

p x2 + px + q = 0 ⇒ x = − ± 2

a b

2

 p   − q 2

x = −3 ± 32 − 8 x = –3 ± 1 x1 = –3 + 1 = –2 x2 = –3 – 1 = –4 Pythagoras sats: a2 + b2 = c2

c

a b

EXEMPEL

Bilden visar en rätvinklig triangel. Bestäm triangelns sidor.

Pythagoras sats ger ekvationen (x – 7)2 + x2 = (x + 1)2 Vi utvecklar kvadraterna och får x2 – 14x + 49 + x2 = x2 + 2x + 1 x2 – 16x + 48 = 0 x–7 Nu är ekvationen skriven på normalform. x = 8 ± 82 − 48 x = 8 ± 16

x=8±4

(m) x+1

x

x1 = 12 x2 = 4

Roten x = 12 ger sidorna 12 + 1 = 13 och 12 – 7 = 5 Roten x = 4 ger sidorna 4 + 1 = 5 och 4 – 7 = –3 Lägg märke till att roten x = 4 är en falsk rot eftersom en sida blir negativ. Den falska roten förkastas. svar: Sidorna är 12 m, 13 m och 5 m.

8

1.1 REPETITION aV VIKTIG alGEBRa

KAPITEL 1

Förenkla 1101

a) (3 + x)2 – 9

b) (y – 8)2 + 16y – y2

1102

a) (5 + x)2 + (x – 5)2

1110

a) x2 + 75 = (2x)2

1111

a) Bestäm triangelns sidor. b) Är det sant att omkretsen < 24 cm? (cm)

b) (4 + x)2 – (4 – x)2 1103

x

a) (3 – x)2 + 3(3 – 2x) b) (c – x)2 + 2cx

1104

x = 0,3 a) 7

1105

a)

1106

a) 20 =

1107

a) x2 + 52 = 132

b) 32 + x2 = 52

1108

a) x2 + 2x – 8 = 0

b) x2 – 12x + 11 =0

1109

a) (x – 7)2 = 25

b) (x + 2)2 = 100

1 5x

x+4

x+2

Lös ekvationerna

2x = 0,8 5

b) x2 + 82 = (x + 4)2

6 = 0,5 b) x

I de följande trigonometriska ekvationerna ska du lösa ut x. Observera att ditt svar inte blir ett tal, utan ett uttryck som t ex x = 5 sin v.

b)

15 = 0,3 2x

1112

a)

x = sin v 3

b) 0,2 =

cos v x

b)

x 8 = 24 3x

1113

a)

0,5 = sin v x

b) tan v =

1114

a)

7 x = cos v 0,2

b)

8 ⋅ x ⋅ sin v = 20 2

1115

a)

x 15 = sin a sin v

b)

sin a sin v = 7 x

8 x

TANKENÖT 1

Figuren visar hur man kan bygga en stor triangel med hjälp av mindre triang lar.

För att bygga tre rader enlig t figuren behövs det 9 små tria nglar.

Hur många sm å trianglar be hövs det för att bygg a a) 4 rader? b) 44 rader?

TRIGONOMETRI

9

KAPITEL 1

1.2 TRIGONOMETRI I RÄTVINKLIG TRIANGEL Sedan tidigare vet du att rätvinkliga trianglar har två kateter. Det är viktigt att du vet vilken som är vilken av dessa. Därför kallar man kateterna för närliggande repektive motstående katet, och utgår då från en av de spetsiga vinklarna.

Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet.

Kateten som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet. närliggande katet

hyp oten usa

v

usa oten hyp v närliggande katet

motstående katet

motstående katet

Titta på de blå trianglarna till vänster.

24

12

v 8 v

4

Den stora triangeln är en förstoring av den lilla triangeln i skala 3:1.

Eftersom trianglarna har samma form (är likformiga) så är vinkeln v lika stor i båda trianglarna. motstående katet = 0,5 För båda trianglarna gäller att kvoten hypotenusa 4 12 = 0,5 = 0,5 Stora triangeln: 8 24 motstående katet Kvoten hypotenusa kallas sinus för vinkeln v

Lilla triangeln:

Här gäller för båda trianglarna att sin v = 0,5 De trigonometriska begreppen sin x, cos x och tan x definieras på följande sätt:

!

DEFINITION: Trigonometriska funktioner

sin v = cos v = tan v =

10

motstående katet hypotenusa

=

närliggande katet hypotenusa motstående katet närliggande katet

1.2 TRIGONOMETRI I RÄTVINKlIG TRIaNGEl

a c

= =

b c a b

c

a

v b

KAPITEL 1

EXEMPEL 1

Bestäm den sida som är markerad med x. (cm)

Definitionen av cosinus ger x cos34° = 7,1 x = 7,1 · cos 34°

7,1 34° x

x ≈ 5,9 svar: Sidan är 5,9 cm.

EXEMPEL 2

Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.

(cm) 27

20

v

Eftersom vi vet motstående katet och hypotenusan, använder vi definitionen av sin v. sin v =

20 27

Beräkningen av vinkeln v görs nu med räknare.

Hur räknarens sinusfunktion ska användas, beror på vilken räknare som används. Det är viktigt att du vet hur just din räknare fungerar, titta gärna i bruksanvisningen.

Lägg märke till att räknaren ska vara inställd på grader, dvs Degree.

SIN–1(20/27) 47,7945536

Symbolen sin–1 ska tolkas så att sin–1(20/27) beräknar den vinkel v där sin v = 20/27. sin–1 utläses ”sin-invers” och kan även skrivas arcsin (utläses ”arcus-sinus”).

Räknaren ger alltså v ≈ 48° svar: 48°

TRIGONOMETRI

11

KAPITEL 1

EXEMPEL 3

Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.

(cm) 15

v 31

Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v. tan v =

31 15

v ≈ 64° (64, 17…)

svar: 64°

EXEMPEL 4

I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren.

76°

Beräkna triangelns omkrets och area.

21,6 cm

Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur.

10,8 a 10,8 a= sin38° sin38° =

b

a ≈ 17,54...

38°

a

10,8 cm

Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas.

Omkretsen = (2 · 17,54… + 21,6) cm ≈ 56,7 cm.

Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd.

10,8 b 10,8 b= tan38° tan38° =

b ≈ 13,82 Triangelns area är

13,82 ⋅ 21,6 ≈ 149 2

svar: Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2.

12

1.2 TRIGONOMETRI I RÄTVINKlIG TRIaNGEl

KAPITEL 1

1201 Beräkna de markerade vinklarna.

1206 I en rätvinklig triangel gäller för vinkel x

Svara i hela grader. a)

b)

11

5

5

v

v

3 2

5

9

c)

4 .

3 a) Bestäm ett exakt värde för cosx.

att tan x =

1207 Triangeln ABC är likbent. Beräkna med

två värdesiffror triangelns a) omkrets

7

d)

v

b) Är det sant att sin x < cos x?

B

v

(cm) A

37°

37° 10,2

1202 Beräkna den sida som är markerad med x.

Avrunda till två värdesiffror. a) 27°

31 dm x

x

c)

x

35°

d) x

varför sin x och cos x inte kan bli större än 1, medan däremot tan x kan bli hur stort som helst.

1209 Beräkna triangelns area med två

17 cm

42°

19° 23 m

värdesiffror.

36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta vinkel.

1204 En kraft F kan delas upp i två

komposanter, Fx och Fy enligt figuren.

Hur stora blir Fx och Fy om F = 14 kN? F

32°

41° 11,4

1210 Beräkna utan räknare sin–1(sin 45°).

1211 Beräkna vinkeln v i triangeln. Svara i hela

grader.

1

Fx 2

1205 Titta på rektangeln.

a) Beräkna vinkeln v i hela grader. b) Beräkna rektangelns area i hela m2. (m) 15,1

(cm)

8,2

1203 I en rätvinklig triangel är kateterna

Fy

C

1208 Utgå från en vinkel x. Förklara

b)

15 cm

b) area.

23,5

v 5

1212 Rita, utan att använda gradskiva,

en rätvinklig triangel som har en vinkel 58°. Förklara hur du tänker.

v

TRIGONOMETRI

13

KAPITEL 1

1213

Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan? Svara med en decimal. y

y Q P 5 le

4 le 37°

80°

x

1216

Visa att det för alla rätvinkliga trianglar sin v gäller att tan v = cos v

1217

Beräkna arean av en regelbunden femhörning med sidan 7,0 cm.

x

1214

I en triangel ABC gäller för vinklarna att B + C = 90°. Visa att sin B = cos C.

1215

I en rätvinklig triangel är den kortaste sidan 8,0 cm. För den minsta vinkeln v 1 gäller att 2,4 = . Bestäm triangelns tan v största sida.

Bilden visar USA:s försvarshögkvarter Pentagon.

Namnet kommer från den geometriska formen, en femhörning (pentagon).

Exakta värden För vinklarna 30°, 45° och 60° kan vi bestämma exakta värden för cosinus, sinus och tangens.

Vinklarna 30° och 60°

Triangeln nedan är liksidig och har sidan 2a. Höjden h delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med de spetsiga vinklarna 30° och 60°.

Var och en av dessa två trianglar brukar kallas en halv liksidig triangel.

Höjden h i triangeln beräknas med Pythagoras sats: h2 + a2 = (2a)2 h2 = 4a2 – a2 2

2a

2

h = 3a +

h = ( – ) 3a 2

a

h = a⋅ 3

14

1.2 TRIGONOMETRI I RÄTVINKlIG TRIaNGEl

2a

h

60°

h>0

slutsats: Triangelns höjd = halva sidan ·

30°

3

a

KAPITEL 1

Vinkeln 45°

En rätvinklig triangel med vinkeln 45° fås enkelt genom att dela en kvadrat i två delar. Kvadraten nedan till höger har sidan 1. Med hjälp av Pythagoras sats får vi att kvadratens diagonal blir 2 . Prova gärna själv!

!

Diagonalen i en kvadrat = sidan ·

2

Höjden i en liksidig triangel = halva sidan ·

3

45° 2

30°

2

1

3 45°

60°

1

1

Med hjälp av de två blå trianglarna ovan kan vi nu bestämma exakta trigonometriska värden för vinklarna 30°, 60° och 45°. Vi ser t ex att sin 60° =

3 2

cos45° =

1 2

sin30° =

1 = 0,5 2

1 tan45° = = 1 1

EXEMPEL

Bestäm exakt värde för triangelns omkrets och area.

Triangelns höjd = 4 ⋅ 3 (halv liksidig triangel) Hypotenusan = 2 · 4 = 8

(cm)

60° 4

Omkretsen = 4 + 8 + 4 3 = 12 + 4 3 Triangelns area = 4 ⋅ 4 3 = 8 3 2 svar: Omkrets = 12 + 4 3 cm och area = 8 3 cm2

TRIGONOMETRI

15

KAPITEL 1

Använd ”de speciella trianglarna” på förra sidan.

Bestäm exakta värden till följande.

1218

a) sin 30° a) cos 30°

b) sin 60 · tan 60 + cos 45 · sin 45 1226

I en ”halv kvadrat” är den längsta sidan 3 cm. Bestäm ett exakt värde på längden av de övriga sidorna.

1227

I en ”halv liksidig triangel” är den längsta kateten 7 cm. Ange ett exakt värde på

b) cos 60°

c) cos 45° 1220

a) tan 30°

b) tan 60°

c) tan 45° 1221

(cm)

a) längden av de övriga sidorna

Beräkna ett exakt värde på triangelns area.

b) triangelarean.

60°

1228

8

1222

En liksidig triangel har sidan 18 cm.

Beräkna ett exakt värde på triangelns area.

1223

I en liksidig triangel är höjden 6 cm.

Beräkna ett exakt värde på triangelns area.

1224

Beräkna exakt. a) (sin 30)2 + (cos 30)2

b) sin 60°

c) sin 45° 1219

1225

I en ”halv liksidig triangel” är den kortaste sidan 5 cm. Ange ett exakt värde på a) längden av de övriga sidorna

I en tabell kan man läsa att sin45° =

1 .

2

2 .

2 Är båda rätt eller står det fel i någon av tabellerna? Motivera.

I en ennan tabell står det att sin45° =

1229

Omkretsen av en ” halv liksidig triangel” är exakt 6 cm. Visa att längden av triangelns kortaste sida är exakt (3 − 3) cm.

b) triangelns area.

1.3 ENHETSCIRKELN Bilden på nästa sida visar en cirkel som är placerad i ett koordinatsystem med medelpunkten i origo. Cirkeln har radien 1 längdenhet och kallas enhetscirkel.

Titta på den blå triangeln i cirkeln. Triangeln är rätvinklig och dess hypotenusa = cirkelns radie.

Triangeln har en vinkel som är 30°. Låt oss bestämma sin 30° och cos 30° med hjälp av enhetscirkeln.

16

1.2 TRIGONOMETRI I RÄTVINKlIG TRIaNGEl

KAPITEL 1

y

120

110

100

90

80

1,0

0

13

70

60

50

14

40

0

0,8

15

30

0

0,6

160

20

0,4

(0,87;0,5)

170

10

0,2

0

30°

180 –0,6

–0,4

–0,2

0,2

0,6

1,0 360

0,8

x

0,87

340

200

–0,2

0,4

350

190

–0,8

–0,4

0 21

0

33

–0,6

0

22

0

32

–0,8

31

0

30

290

0

0

–1,0

0

–1,0

280

270

260

250

23

24

Hypotenusa = 1 (cirkelns radie).

Motstående katet = 0,5 (vi avläser y-värdet där radien skär cirkelbågen) Närliggande katet ≈ 0,87 (x-värdet där radien skär cirkelbågen) Detta innebär att sin30° =

0,5 = 0,5 1

cos30° ≈

0,87 = 0,87 1

tan30° ≈

0,5 0,87

Vi får sin 30° genom att avläsa y-koordinaten i enhetscirkeln. cos 30° får vi genom att avläsa x-koordinaten. tan30° =

sin30° . Se triangeln i enhetscirkeln. cos30°

TRIGONOMETRI

17

KAPITEL 1

De trigonometriska begreppen kan definieras med hjälp av enhetscirkeln, där vinkeln v vrids i positiv riktning, dvs som pilen vid v visar.

Koordinaterna för radiens skärningspunkt med cirkelbågen avläses.

!

DEFINITION 1

sin v = y-koordinaten

(x, y)

tan v =

sin v cos v

då cos v ≠ 0

sin v

cos v = x-koordinaten –1

1 v cos v

1

–1

Med hjälp av definitionerna, kan vi nu bestämma sinus och cosinus även för vinklar som är större än 90°.

EXEMPEL 1

a) Bestäm sin 140° och cos 140° med hjälp av enhetscirkeln på föregående sida.

I enhetscirkeln finns en radie ritad för 140°.

Eftersom sinus-värdet = y-koordinaten, ska vi avläsa y-värdet där radien skär cirkelbågen. sin 140° ≈ 0,64.

På motsvarande sätt bestämmer vi cos 140° genom att avläsa x-koordinaten. cos 140° ≈ –0,77. b) Använd radien vid 250° och bestäm sinus och cosinus för 250°. sin 250° ≈ –0,94 cos 250° ≈ –0,34

18

1.3 ENHETsCIRKElN

KAPITEL 1

Vi ska nu titta på två viktiga samband som fås ur enhetscirkeln.

1

y 180° – v x

v –1

y 1

1

v –v

–1

–1

x 1

–1

Titta på enhetscirkeln ovan till vänster. Vinklarna v och (180°– v) har markerats. Vad gäller för y-koordinaterna för dessa? Jo, de är lika. sin (180°– v) = sin v Titta på enhetscirkeln ovan till höger. Vinklarna v och – v har markerats.

Vad gäller för x-koordinaterna för dessa? Jo, de är lika. cos (– v) = cos v

! sin (180°– v) = sin v

cos (–v) = cos v

Detta innebär t ex att sin 10° = sin 170° och att cos 30° = cos (–30°) De här två sambanden kommer du att använda när du löser trigonometriska ekvationer.

EXEMPEL 2

Lös ekvationen sin v = 0,5

där 0° ≤ v ≤ 360°

Vi använder räknaren och får v = 30° Ekvationen har även lösningen v = 180° – 30° = 150°

y 150°

30° x

Se enhetscirkeln.

För vinklar v i intervallet 0°< v < 360° får en ekvation av typen sin v = 0,5 två lösningar. Miniräknaren ger endast den ena lösningen.

Använd därför alltid enhetscirkeln som hjälpmedel då du löser dessa ekvationer. svar: v1 = 30°

v2 = 150°

TRIGONOMETRI

19

KAPITEL 1

EXEMPEL 3

Lös ekvationen cos v = 0,5

y

60°

Vi använder räknaren och får

x

v = 60° Ekvationen har även lösningen v = –60° Se enhetscirkeln.

–60°

svar: v = ±60°

1301

1302

1303

1304

1305

Bestäm cos 230° med räknaren. Skissa en enhetscirkel och förklara vad det är du har räknat ut!

Använd enhetscirkeln och bestäm sinus för följande vinklar. a) 40° b) 150° c) 210° Använd enhetscirkeln och bestäm cosinus för följande vinklar. a) 60° b) 110° c) 310° Använd enhetscirkeln och bestäm sinus för följande vinklar. a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° e) 0° f) –30° Använd enhetscirkeln och bestäm cosinus för följande vinklar. a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° e) 0° f) –60°

Använd räknare och lös ekvationerna då 0° < v < 360°. Svara i hela grader.

1306

a) sin v = 0,766 a) sin v = 0,8

a) cos v = 0,766

b) sin v =

1.3 ENHETsCIRKElN

2 3

b) cos v = 0,866

c) cos v = 0,342 1309

Använd enhetscirkeln (inte räknaren) för att bestämma. a) tan 45°

b) tan 180°

c) tan 90° 1310

Ge exempel på två vinklar som har sinusvärdet 0,5.

1311

Bestäm följande med hjälp av en enhetscirkel, dvs utan att använda räknaren. a) sin–1(–0,5)

1312

b) cos–1(–0,5)

Den markerade punkten i enhetscirkeln har koordinaterna (a, b). Uttryck följande med hjälp av a och b. a) sin v

b) cos v

c) tan v

d) cos(180° – v) y (a, b) v

c) sin v = 0,08

20

Lös ekvationerna.

b) sin v = 0,866

c) sin v = 0,342 1307

1308

x

KAPITEL 1

1313 Slå sin–1(2) på din räknare och

förklara resultatet.

3 . Använd detta 2 och enhetscirkeln för att förklara varför 3 sin240° = − ?

2

1314 Vi vet att sin60° =

1315 Utgå från talen talen a = sin 20°,

b = cos 95° och c = sin 170°.

Ordna talen i storleksordning utan att använda räknare. Motivera.

1316 Bestäm, utan att använda räknare, ett

exakt värde på a) sin 210° b) cos 210° d) tan 210°

1318 Pariserhjulet i Göteborg har en radie på

30 m. Antag att du sätter dig i en korg som befinner sig längst ner. När hjulet har roterat 150° stannar det för att nya passagerare ska kliva ombord.

a) Hur högt över marken befinner du dig då hjulet stannar? Svara i hela meter. b) Nu startar hjulet igen och om ett tag är du igen på samma höjd som i a-uppgiften. Hur många hela meter har du åkt sedan uppehållet i a)?

1319 I enhetscirkeln är en punkt med

koordinaterna (a, b) markerad. Skriv ett förenklat uttryck i a och b . a) cos v · tan(v + 180°) b) sin(–v) · tan v y

1317 a) Beräkna värdet av uttrycket 2

2

(sin v) + (cos v) för v = 30°, 45° och 60°. Observera att du inte ska använda räknare!

(a, b) v

x

b) Formulera en slutsats om uttryckets värde. c) Bevisa din slutsats.

trigonometri

21

KAPITEL 1

1.4 TRIANGELSATSERNA I det förra avsnittet bestämde vi sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar.

Här ska vi bevisa några satser som kan användas då trianglarna inte är rätvinkliga.

Areasatsen Bilden visar en triangel där två sidor och mellanliggande vinkel är kända.

Lägg speciellt märke till att:

4,1

• Triangeln inte är rätvinklig • Höjden inte är känd

46° 3,8

a

Kan vi bestämma triangelns area?

h

v

Låt oss först undersöka en allmän triangel med sidorna a och b samt mellanliggande vinkeln v. Vi har dragit höjden h, så att vi får två rätvinkliga deltrianglar. Se bilden till vänster.

Titta på den vänstra deltriangeln.

b

Här gäller att sin v =

h a

Triangelns area A =

b ⋅ h b ⋅ a ⋅ sin v = 2 2

⇒

h = a · sin v

slutsats: Om vi känner två sidor samt den mellanliggande vinkeln kan vi bestämma triangels area. Vi kan alltså beräkna arean utan att veta höjden!

Gäller formeln även för en trubbvinklig triangel? Se bilden. h

a 180° – v

v b

Vi ritar höjden h och bestämmer sin(180° – v). h sin(180° − v ) = ⇒ h = a · sin (180° – v) a Eftersom sin(180° – v) = sin v kan vi skriva att h = a · sin v Vi får alltså samma uttryck som vi fick i den första triangeln.

Areasatsen gäller alltså för alla trianglar.

!

SATS: Areasatsen

Arean A =

22

1.4 TRIaNGElsaTsERNa

a ⋅ b ⋅sinv 2

a v b

KAPITEL 1

EXEMPEL 1 (cm)

Bestäm triangelns area.

4,1

Areasatsen ger A =

3,8 ⋅ 4,1 ⋅ sin46° 2

46° 3,8

A ≈ 5,6 svar: Arean är 5,6 cm2.

EXEMPEL 2

I en triangel är två sidor 5 cm och 6 cm.

Hur stor är den mellanliggande vinkeln om triangelns area är 7,5 cm2?

(cm)

5 v 6

Vi använder areasatsen och får ekvationen 5 ⋅ 6 ⋅ sin v = 7,5 2 15 · sin v = 7,5 sin v =

7,5 15

sin v = 0,5 v = 30° Ekvationen sin v = 0,5 har också lösningen v = 180° – 30° = 150°.

Det finns alltså två trianglar som uppfyller villkoren.

Den andra triangeln ser ut som figuren nedan:

5

150° 6

svar: Den mellanliggande vinkeln är 30° eller 150°.

TRIGONOMETRI

23

KAPITEL 1

1401 Beräkna arean av trianglarna. Sidorna

1409 I en triangel ABC är AB = 5 cm

är givna i meter. Avrunda svaren till två värdesiffror.

a)

b)

2,5 35°

120° 3,2

45°

c) 12,3

11,5

och AC = 10 cm. Hur ska vinkeln A väljas för att triangeln ska få så stor area som möjligt. Förklara hur du tänker.

4,0 57° 3,0

1410 Titta på triangeln. Här gäller att BC är

en parallelltransversal och AE = 7,0 cm.

Beräkna arean av triangeln ABC.

1402 Beräkna arean av en triangel där två

sidor är 6,8 cm och 9,5 cm och den mellanliggande vinkeln är 74°.

A

1403 I en triangel är två sidor 18,5 cm och

area. Se bilden.

85°

E

1411

I en likbent triangel är de lika långa sidorna a enheter långa och den mellanliggande vinkeln är v. Bestäm ett samband för arean.

1412

Visa att arean A av en liksidig triangel s2 3 . med sidan s är A = 4

(m)

12

53° C

D

1404 I en likbent triangel är de lika sidorna 12 cm

vardera. Beräkna triangelns toppvinkel i hela grader om triangelarean är 56 cm2.

B

2,0

5,6 cm. Bestäm den mellanliggande vinkeln i hela grader om triangelns area är a) 24 cm2 b) 17 cm2 c) 51 cm2.

1405 Bestäm fyrhörningens

(cm)

3,0

14

85°

123°

17

13

1406 I en triangel är sidorna 12 m, 14 m och

18 m. Triangelns minsta vinkel är 41,8°.

Bestäm triangelns area.

1413 a) Bilden visar en regelbunden 6-hörning

som är inskriven i en cirkel med radie r. Visa att arean av en n-hörning kan beräknas med sambandet n 360° 2 A = ⋅ sin ⋅r 2 n

1407 I en parallellogram är sidorna 7,1 cm och

3,2 cm. En vinkel i parallellogrammen är 115°. Bestäm parallellogrammens area.

1408 En parallellogram har sidorna a och

b och en vinkel v. Visa att man kan beräkna arean av en parallellogram med sambandet A = a · b · sin v.

24

1.4 triangelsatserna

n 360° ⋅ sin 2 n med 4 decimaler, då n = 50, n = 200 och n = 400.

b) Beräkna faktorn

c) Vad händer med faktorns värde, då n blir större och större?

KAPITEL 1

Sinussatsen Titta på triangeln ABC .

C

b

A

a

B

c

Lägg märke till att den motstående sidan till vinkeln A kallas a.

Till vinkel B kallas den motstående sidan b.

Nu ska vi använda areasatsen och skriva arean på tre sätt. b ⋅ c ⋅ sin A a ⋅ c ⋅ sin B a ⋅ b ⋅ sin C = = 2 2 2

Vi multiplicerar varje led med 2 och får b · c · sin A = a · c · sin B = a · b · sin C Till sist divideras varje led med a · b · c. sin A sin B sin C = = a b c Dessa samband kallas sinussatsen.

!

SATS: Sinus-satsen

sin A a

=

sin B

b

b

Kan även skrivas

a sin A

=

b sin B

A

a B

Vilken av formlerna i rutan ska vi använda?

När vi ska bestämma en vinkel använder vi helst formeln med ”vinkeln i täljaren”, dvs

sin A sin B = a b

När vi ska bestämma en sida använder vi formeln med ”sidan i täljaren” a b = dvs sin A sin B

TRIGONOMETRI

25

KAPITEL 1

EXEMPEL 1

I triangeln ABC är vinkeln A = 52° och vinkeln B = 39°.

Sidan BC är 15 cm. Se figuren.

C Bestäm längden av sidan AC i hela cm.

15

b

Sinussatsen ger b 15 15 ⋅ sin39° = ⇒ b= sin39° sin52° sin52°

(cm)

A

52°

39°

B

b ≈ 12 svar: Sidan AC är 12 cm.

Om vi vet två vinklar och en sida i en triangel kan vi med sinussatsen bestämma de övriga sidorna. Den tredje vinkeln kan vi bestämma med triangelns vinkelsumma.

I nästa exempel vet vi två sidor och en vinkel i en triangel.

Exemplet visar hur de övriga vinklarna kan bestämmas.

EXEMPEL 2

B

I triangeln ABC är BC = 18 cm och AC = 15 cm.

Vinkeln A = 52°. Beräkna vinklarna B och C i hela grader.

18

sin B sin52° 15 ⋅ sin52° = ⇒ sin B = 15 18 18

B ≈ 41 Nu använder vi triangelns vinkelsumma och beräknar vinkeln C.

A

52° 15

C = 180° – 52° – 41° = 87° 15 ⋅ sin52° 18 också har lösningen B = 180° – 41° = 139°

Observera att ekvationen sin B =

Om B = 139° blir C = 180° – 139° – 52° < 0 Vinkeln B kan alltså inte vara 139°. Det är en falsk lösning! svar: B ≈ 41° och C ≈ 87°.

26

1.4 TRIaNGElsaTsERNa

C

KAPITEL 1

!

När sinussatsen används för att bestämma en vinkel, får vi alltid två lösningar.

Båda dessa lösningar måste kontrolleras, så att vi vet om lösningen är korrekt eller falsk.

Att en lösning är falsk kan ibland avslöjas genom att triangelns vinkelsumma inte stämmer.

EXEMPEL 3

I en triangel ABC är sidan AC 17 cm och sidan BC 13 cm. Vinkeln A är 43°.

Bestäm vinklarna B och C. Svara i hela grader.

B

Vi börjar med att rita triangeln.

Sinussatsen ger: sin B sin43° = 17 13 sin B =

(cm) 13

A

43°

C

17

17 ⋅ sin43° 13

B ≈ 63° C = 180° – 43°– 63° = 74° eller B

B = 180° – 63° = 117° C = 180° – 43°– 117° = 20° Här får vi två lösningar! Se bilden.

B A

(cm) 13

13

43° 17

C

svar: B = 63°och C = 74° eller B = 117° och C = 20°

TRIGONOMETRI

27

FACIT

103 (3) Science Photo Library/IBL 108, 111, 118 Shutterstock Omslagsfoto: Les Cuncliffe/ 135 Danny Twang/Scanpix Age fotostock/IBL 147, 154 Shutterstock 161 Michael Steinberg/Scanpix 6 (1), 7 (1) Photodisc 163, 179, 181, 182 (1, 2) Shutterstock 6 Magnus Hallgren/DN/Scanpix 182 (3) Bridgeman Art Library/IBL 7 (2) Shutterstck 192 Hans Runesson/Scanpix 14 Photo Researchers/IBL 195 Lars Hallstrom/Age/Scanpix 21 David Andrén/IBL 197 Berit Roald/Scanpix 29 Mark D Callanan/Getty Images 227 Claudio Bresciani/Scanpix 35 Hussein El Alawi/Sydsv/Scanpix 231 Jann Lipka/Scanpix 47 Anders Nicander/Scanpix 232, 233 Shutterstock 48 Conny Hedengren/IBL 240 Gorm Kallestad/Scanpix 50 Peter Goddard/Science Photo Library/IBL 243 Volvo Personvagnar Sverige AB 51 Science Photo Library/IBL 244 Nils-Johan Norenlind/Tiofoto/NordicPhotos 55 Shutterstock 249 Shutterstock 65 Riksbanken 250 Tom Schandy/Rex Features 69 Photo Researchers/IBL 255 Elin Berge/DN/Scanpix 74, 95, 101, 102 Shutterstock 103 (2) Jeremy Burgess/Science Photo Library/IBL 256 Matton Images BILDFÖRTECKNING

282

ISBN 978-91-47-10736-0 © 2012 Jonas Sjunnesson, Martin Holmström, Eva Smedhamre och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Graphycems, Spanien 2012

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

M3c

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 3c.

Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen.

Boken passar också för vuxenutbildning och basår.

• Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

• Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.

• Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.

• Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan.

Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Best.nr 47-10736-0 Tryck.nr 47-10736-0