55
3.3. Ekvationer av första och andra graden
Av exemplet framgår att en andragradsekvation kan ha två, en eller ingen reell rot. En annan typ av andragradsekvation med två termer innehåller x2 -termer och x-termer. Uppgift 3.13. Lös ekvationen x2 = 26x. Lösning: Ekvationen reduceras och vänster led faktoriseras. x2 = 26x
⇐ ⇒
x=0
x2 − 26x = 0
eller
⇐ ⇒
x − 26 = 0
⇐ ⇒
x(x − 26) = 0 x=0
eller
⇐ ⇒
x = 26
Lösningen bygger på att en produkt är 0 om och endast om en eller flera faktorer är 0. Svar: Lösningsmängden till ekvationen är {0, 26}.
ä
För att lösa en allmän andragradsekvation, skrivs den först om genom reducering på standardform, x2 + px + q = 0. Den ekvationen är ekvivalent med den ursprungliga. Därefter kan man tillämpa en formel (kallas ibland pq-formeln) som ger lösningen. Metoden är känd från skolkursen. I sats 3.3 (s. 56) bevisas att den ger rätt resultat. Uppgift 3.14. Lös ekvationen 10 + 5x − 2x2 = 20x − 5x2 − 8 . Lösning: Reducera först ekvationen så att alla termer 6= 0 hamnar i vänster led. Det sker genom att addera de tre termerna −20x, 5x2 och 8 till båda leden. I nästa steg multipliceras båda leden med 31 . Därefter kan formeln användas. 10 + 5x − 2x2 = 20x − 5x2 − 8
⇐ ⇒
2
3x − 15x + 18 = 0 ⇐ ⇒ x2 − 5x + 6 = 0 r 5 25 5 1 x= ± −6 = ± ⇐ ⇒ 2 4 2 2 x = 2 eller x = 3
⇐ ⇒
Svar: Rötterna till ekvationen är 2 och 3. Kontroll: Ekvationen har två rötter. Vi sätter in och prövar, vilket inte behövs, men blir en kontroll. x = 2 ger vänster led = 10 + 10 − 8 = 12 och höger led = 40 − 20 − 8 = 12 x = 3 ger vänster led = 10 + 15 − 18 = 7 och höger led = 60 − 45 − 8 = 7 Resultatet bekräftar att ekvationen har rötterna 2 och 3. © Författarna och Studentlitteratur
ä