Vektor
9 Matematik | Ă rskurs 9
LĂRARHANDLEDNING
Inger Amberntsson Jonas Bjermo Daniel Domert Lars Madej Anita RistamÀki Linda Söderberg
InnehÄll Hej och vÀlkommen till Vektor
5
1 Tal
11
1.1 Potenser med negativ exponent Kommentarer till uppgifterna
11 11
1.2 Grundpotensform och prefix Kommentarer till uppgifterna
13 16
1.3 Multiplikation och division med brÄk Kommentarer till uppgifterna
17 18
1.4 Kvadratrötter Kommentarer till uppgifterna
19 19
1.5 Olika typer av tal Kommentarer till uppgifterna
20 20
1.6 Talbaser och talsystem Kommentarer till uppgifterna
22 22
Fokus pĂ„ förmĂ„gorna 1 â översikt
24
Fördiagnos 1 med facit
25
Repetitionsblad med facit
28
Arbetsblad med facit
33
Diagnos 1 med facit
44
Provuppgifter 1 med facit och bedömning
47
2 Geometri
57
2.1 Pythagoras sats Kommentarer till uppgifterna
57 57
2.2 Volym Kommentarer till uppgifterna
58 58
2.3 Mer om volym Kommentarer till uppgifterna
59 60
2.4 BegrÀnsningsarea Kommentarer till uppgifterna
61 62
2.5 Symmetri Kommentarer till uppgifterna
63 64
Fokus pĂ„ förmĂ„gorna 2 â översikt
65
Fördiagnos 2 med facit
66
Repetitionsblad med facit
69
Arbetsblad med facit
73
Diagnos 2 med facit
84
Provuppgifter 2 med facit och bedömning
87
3 Algebra
98
3.1 LinjÀra funktioner Kommentarer till uppgifterna
98 99
3.2 Ekvationssystem Kommentarer till uppgifterna
101 103
3.3 Exponential- och potensfunktioner Kommentarer till uppgifterna
104 105
3.4 Konjugat- och kvadreringsreglerna Kommentarer till uppgifterna
106 106
Fokus pĂ„ förmĂ„gorna 3 â översikt
108
Fördiagnos 3 med facit
109
Repetitionsblad med facit
112
Arbetsblad med facit
118
Diagnos 3 med facit
130
Provuppgifter 3 med facit och bedömning
133
4 Sannolikhet
143
4.1 Kombinatorik Kommentarer till uppgifterna
143 145
4.2 Vad Àr sannolikhet? Kommentarer till uppgifterna
147 147
4.3 Sannolikhet för flera hÀndelser i rad Kommentarer till uppgifterna
149 149
Fokus pĂ„ förmĂ„gorna 4 â översikt
151
Fördiagnos 4 med facit
152
Repetitionsblad med facit
154
Arbetsblad med facit
158
Diagnos 4 med facit
163
Provuppgifter 4 med facit och bedömning
166
5 Repetition
177
5.1 Begrepp â Kommentarer till uppgifterna
177
5.2 Metodâ Kommentarer till uppgifterna
179
5.3 Problemlösning â Kommentarer till uppgifterna
181
Bedömningsmatris 184
Hej och vĂ€lkommen till Vektor Vektor Ă€r ett lĂ€romedel i matematik för grundskolans Ă„kâ 7ââ9 som Ă€r skrivet helt utifrĂ„n Lgr 11, bĂ„de nĂ€r det gĂ€ller förmĂ„gor och centralt innehĂ„ll. NĂ€r du blĂ€ddrar igenom boken kommer du mĂ€rka att vi pĂ„ olika sĂ€tt lyfter fram och tydliggör de förmĂ„gor som i slutĂ€ndan ska bedömas utifrĂ„n kunskapskraven. Det Ă€r vĂ„rt sĂ€tt att försöka hjĂ€lpa dig som undervisar en bit pĂ„ vĂ€g. VĂ„r förhoppning Ă€r att de elever som anvĂ€nder Vektor ska uppleva att de fĂ„r en lĂ€ttillgĂ€nglig och gedigen teoribakgrund till de moment vi tar upp. För oss som arbetat fram Vektor Ă€r det viktigt att ge förklaringar till varför man gör pĂ„ olika sĂ€tt och inte bara âreceptâ pĂ„ hur man gör. Samtidigt strĂ€var vi efter att göra eleven medveten om, och delaktig i, sitt lĂ€rande genom att tydliggöra det som eleverna förvĂ€ntas utveckla, och senare ska bli bedömda utifrĂ„n â förmĂ„gorna. Vi vill att eleverna ska veta vad de olika förmĂ„gorna innebĂ€r och hur man visar dem pĂ„ olika kvalitativa nivĂ„er, sĂ„ att de sjĂ€lva ska kunna pĂ„verka sin utveckling. Till hjĂ€lp hĂ€r har vi tagit fram en bedömningsmatris som utgĂ„r ifrĂ„n den som finns i Lgr 11, men med ett lite mer elevanpassat tilltal.
Vektors struktur Vektor Äk 9 bestÄr av fem kapitel som i sin tur bestÄr av ett antal underavsnitt. Varje avsnitt bestÄr av teorigenomgÄngar, rÀkneexempel och elevuppgifter. Undantaget Àr kapitel 5, som har en annan struktur. Varje kapitel inleds med en Prata matte. Det Àr en uppgift eller aktivitet vars syfte Àr att fÄ eleverna att komma igÄng och fundera över det som sedan tas upp i kapitlet. Tanken med Prata matte Àr att den görs gemensamt i klassen och att eleverna ska samarbeta med varandra. I flera avsnitt finns nÄgot som vi valt att kalla Undersök. Det Àr uppgifter som syftar till att eleven, med lite handledning, pÄ egen hand ska komma fram till nya matematiska insikter som Àr till hjÀlp i det fortsatta arbetet.
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 5
Elevuppgifterna Àr indelade i olika nivÄer, genom vilka man kan vÀlja tvÄ alternativa vÀgar.
Starta Alla elever börjar med Starta och möter dÄ uppgifter som tar upp det som Àr nytt i avsnittet. Uppgifterna pÄ Starta löses oftast i ett steg och eleverna fÄr tydlig ledning i vad de förvÀntas göra. Till exempel sÄ kan vi be dem att svara med en viss enhet eller avrunda pÄ ett visst sÀtt, och de berÀkningar som görs följer i huvudsak de rÀkneexempel som finns i samband med teorigenomgÄngen.
VĂ€g 1
VĂ€g 2
Starta
Starta
Ett varv till
Kör vidare
Kör vidare
Ăka
I slutet av Starta ligger en pratbubbla med texten: âHur gick det? Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidareâ. Tanken Ă€r att eleven ska göra en sjĂ€lv-skattning och pĂ„ egen hand avgöra om hen Ă€r redo att gĂ„ vidare eller behöver repetera.
Ett varv till I Ett varv till möter eleverna uppgifter med samma karaktÀr och pÄ samma svÄrighetsnivÄ som i Starta. HÀr fÄr man möjlighet att möta och befÀsta de nya, grundlÀggande begreppen i avsnittet ytterligare innan svÄrighetsnivÄn ökar. Efter Ett varv till gÄr man vidare till Kör vidare.
Diagnos
Repetera
Fokus pÄ förmÄgorna
Kör vidare Uppgifterna pĂ„ Kör vidare löses oftast i flera steg och svĂ„righetsgraden ökar efterhand. Fortfarande trĂ€nar uppgifterna de nya begrepp och metoder som tagits upp i avsnittets genomgĂ„ngar och exempel, men hĂ€r kan man ocksĂ„ möta sĂ„dant som man jobbat med tidigare. Ăka PĂ„ Ăka fortsĂ€tter svĂ„righetsnivĂ„n att stiga och hĂ€r finns möjligheter för eleverna att möta tuffare utmaningar. PĂ„ Ăka blandar vi matematiken i Ă€nnu större utstrĂ€ckning, men huvudfokus ligger pĂ„ avsnittsinnehĂ„llet. PĂ„ Ăka kan det ibland dyka upp matematiskt innehĂ„ll som eleven inte stött pĂ„ tidigare, men dĂ„ finns det en âinbyggdâ förklaring, en liten handledning, till eleverna som gör det möjligt för dem att arbeta med uppgiften. Diagnos NĂ€r eleverna arbetat igenom kapitlets olika avsnitt Ă€r det dags för Diagnos. Diagnosen testar i första hand det centrala innehĂ„ll som tas upp i kapitlet. Varje uppgift i diagnosen Ă€r kopplad till uppgifter i Repetera, sĂ„ att eleven ska veta vad som behöver trĂ€nas pĂ„ ytterligare. Repetera De elever som efter att ha gjort diagnosen behöver repetera kapitlets innehĂ„ll gör det i Repetera. HĂ€r möter de uppgifter som till syfte och karaktĂ€r liknar uppgifterna pĂ„ Starta och Ett varv till. © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LĂ€rarhandledning Ă„k 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 6
Fokus pÄ förmÄgorna Sist i kapitlet ligger ett avsnitt som heter Fokus pÄ förmÄgorna. Syftet med avsnittet Àr att tydligt arbeta mot förmÄgorna. Man kan antingen vÀlja uppgift utifrÄn den eller de förmÄgor man vill trÀna pÄ, eller lösa uppgifterna och dÀrefter identifiera de förmÄgor man har anvÀnt i sina lösningar. En förteckning över vilka uppgifter som trÀnar vilka förmÄgor finns i lÀrarhandledningen.
Vektor och fĂ€rgsnurrorna Vissa uppgifter i Vektor Ă€r markerade med en snurra med fĂ€rgade fĂ€lt. De olika fĂ€rgerna Ă€r kopplade till de fem förmĂ„gorna i matematik enligt Lgr 11. De fem förmĂ„gorna Ă„terfinns ocksĂ„ pĂ„ fliken till Vektors omslag. I de uppgifterna som Ă€r markerade med en snurra framtrĂ€der en eller flera förmĂ„gor extra tydligt, vilket man kan utnyttja pĂ„ olika sĂ€tt. Du kan till exempel anvĂ€nda âsnurruppgifternaâ som:
1 Undervisningsuppgift Du ska starta upp ett nytt arbetsomrĂ„de och vill samtidigt fokusera pĂ„ nĂ„gon eller nĂ„gra av de fem förmĂ„gorna. SĂ€g att du vĂ€ljer t ex problemlösning, som Ă€r röd i Vektors fĂ€rgsnurra. Titta igenom vilka uppgifter i kapitlet som har en snurra med röd markering. LĂ„t eleverna lösa en av dessa uppgifter och gĂ„ dĂ€refter igenom den pĂ„ tavlan tillsammans med eleverna. Visa lösningar pĂ„ olika kravnivĂ„er, peka ut kĂ€nnetecken för problemlösningsförmĂ„ga och berĂ€tta för eleverna vad du tittar efter i din bedömning av elevens förmĂ„ga att lösa problem samt att resonera kring sitt problemlösande. HĂ€r kan man ta hjĂ€lp av matrisen. 2 Ăvningsuppgift Efter din genomgĂ„ng löser eleverna sjĂ€lva uppgifter med röd markering. Genom att lösa övningsuppgifter lĂ€r sig eleverna identifiera och anvĂ€nda förmĂ„gorna, och till sin hjĂ€lp har de matrisen. De trĂ€nar ocksĂ„ pĂ„ att sjĂ€lva bedöma vilken kravnivĂ„ de ligger pĂ„. Titta pĂ„ och diskutera deras lösningar. Visa vad de kan göra för att komma vidare i sin utveckling av problemlösningsförmĂ„gan. 3 Elevdialog För att kunna förklara nĂ„got för nĂ„gon annan mĂ„ste man verkligen förstĂ„ det sjĂ€lv. LĂ„t eleverna lösa ett problem och sedan byta lösning med en kompis. LĂ„t dem bedöma varandras lösningar med hjĂ€lp av matrisen. NĂ€r eleven hamnar i bedömarens roll mĂ„ste han eller hon tĂ€nka till ordentligt nĂ€r det gĂ€ller vad de olika förmĂ„gorna och kravnivĂ„erna innebĂ€r. 4 Skarp bedömning VĂ€lj uppgift utifrĂ„n den förmĂ„ga du vill bedöma. Samla in elevernas lösningar och bedöm dem utifrĂ„n kunskapskraven. Du kan ocksĂ„ vĂ€lja att lĂ„ta eleverna göra en eller flera uppgifter muntligt. Gör du detta med jĂ€mna mellanrum, och för olika förmĂ„gor, fĂ„r du en kontinuerlig bedömning. Du kan dĂ„ upptĂ€cka elever som har svĂ„righeter och kan hjĂ€lpa dem i tid. Dessutom blir du inte beroende av summativa prov för att sĂ€kerstĂ€lla var eleven befinner sig. Eleven vet hur hen ligger till, och betyget blir ingen överraskning. Elever som vill nĂ„ högre fĂ„r ocksĂ„ insikter och redskap för att ta sig dit under terminen. © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LĂ€rarhandledning Ă„k 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 7
Vektor och kommunikation Vi som arbetar fram Vektor ser matematiken som ett kommunikationsÀmne och vi tycker att muntlig kommunikation Àr lika viktig som skriftlig. Vissa uppgifter Àr markerade med pratbubblor. De uppgifterna bedömer vi som extra lÀmpliga att jobba med muntligt, i par eller i grupp, för att fÄ möjlighet att trÀna pÄ att uttrycka sig muntligt med hjÀlp av det matematiska sprÄket.
Vektor och fördjupningarna PĂ„ nĂ„gra platser i Vektor har vi valt att fördjupningsmarkera delar av genomgĂ„ngar. Detta har vi gjort för att vi tycker att momentet som gĂ„s igenom Ă€r spĂ€nnande, intressant och viktigt, Ă€ven om det pĂ„ den hĂ€r nivĂ„n inte krĂ€vs frĂ„n kursplanens hĂ„ll att alla elever arbetar med det. Uppgifter som behandlar de fördjupningsmarkerade delarna Ă„terfinns bara pĂ„ Ăka.
Vektor och bedömningsmatrisen Till uppgifterna som Àr markerade med en fÀrgsnurra finns en bedömningsmatris. I matrisen Àr kunskapskraven i Lgr 11 tolkade med avseende pÄ de olika förmÄgorna. Matrisens sprÄk Àr elevanpassat och syftet med den Àr att eleverna sjÀlva ska kunna vara delaktiga i bedömningen av sitt eget arbete. Man ska kunna se pÄ vilken nivÄ man befinner sig och vad som krÀvs för att ta steget mot ett högre betyg. Matrisen hittar du hÀr i lÀrarhandledningen.
Vektor och minirÀknaren I Vektor har vi valt att anvÀnda en minirÀknarsymbol vid uppgifter dÀr vi bedömer att det behövs ett hjÀlpmedel. SjÀlvklart kan du som lÀrare vÀlja att göra en annan bedömning och bestÀmma tillsammans med dina elever hur ni anvÀnder minirÀknaren. I vissa avsnitt sitter symbolen bredvid en nivÄrubrik. Det betyder att minirÀknare kan anvÀndas till samtliga uppgifter pÄ den nivÄn.
Vektor och provfrÄgor I Vektor har vi valt att tillhandahÄlla ett antal provuppgifter per kapitel dÀr du som lÀrare sjÀlv vÀljer vilka uppgifter du vill anvÀnda, utifrÄn de förmÄgor du vill testa.
Vektor och lĂ€xor I Vektor finns mĂ„nga olika typer av uppgifter. Beroende pĂ„ i vilket syfte du ger dina elever lĂ€xor kan du anvĂ€nda dessa uppgifter pĂ„ olika sĂ€tt. Ăr syftet med lĂ€xan att: âą eleven ska trĂ€na pĂ„ att anvĂ€nda sina matematiska förmĂ„gor? AnvĂ€nd en âsnurruppgiftâ eller en uppgift frĂ„n avsnittet Fokus pĂ„ förmĂ„gorna som du vĂ€ljer utifrĂ„n vad som ska trĂ€nas. LĂ€xan kan,
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 8
om man sÄ önskar, utökas med att eleven dessutom gör en bedömning av sin lösning/sina lösningar med hjÀlp av en bedömningsmatris som lÀraren och eleven kan diskutera tillsammans. ⹠eleven ska fÀrdighetstrÀna pÄ nÄgot sÀrskilt moment, eller nÄgon sÀrskild metod? AnvÀnd nÄgot av de arbetsblad som finns till varje avsnitt. ⹠eleven ska repetera ett moment? AnvÀnd nÄgot at de repetitionsblad som finns till varje avsnitt. ⹠eleven ska trÀna pÄ att identifiera vilka förmÄgor som anvÀnds i en lösning? AnvÀnd en valfri uppgift frÄn avsnittet Fokus pÄ förmÄgorna tillsammans med en generell bedömningsmatris.
VÄr mÄlsÀttning med det hÀr sÀttet att tÀnka kring lÀxor Àr att möjliggöra en flexibilitet och att erbjuda olika möjligheter för lÀrare att möta elever pÄ individnivÄ. Elevers behov varierar och det Àr sÀllan alla behöver trÀna pÄ samma saker vid samma tillfÀlle. PÄ det hÀr sÀttet ges varje elev möjlighet att stÀrka sina kunskaper och förmÄgor och komma vidare i sin utveckling med utgÄngspunkt i var just hen befinner sig.
Vektor och filmer I den interaktiva elevboken finns alla teorigenomgÄngar inspelade pÄ film. Det finns ocksÄ kompletterande teorigenomgÄngar kopplade till uppgiftsnivÄn Ett varv till. Filmerna Àr tÀtt kopplade till innehÄllet i Vektor och Àr avsedda att öka flexibiliteten i lÀromedlet. Den första filmen i varje avsnitt visar bokens teorigenomgÄng med tillhörande exempel. Den andra filmen i varje avsnitt Àr avsedd för de elever som efter Start behöver en extra genomgÄng innan de jobbar vidare med Ett varv till. Filmerna finns ocksÄ pÄ Vektors webbplats. Inloggningsuppgifter till den hittar du pÄ lÀrarhandledningens titelsida.
Extrablad Till Vektor 9 finns det ett omfattande extramaterial.
Förkunskapstest Förkunskapstestet görs lÀmpligen innan arbetet med kapitlet sÀtts igÄng. Syftet med testet Àr att undersöka om eleverna har de förkunskaper som krÀvs. Det finns ett förkunskapstest per kapitel. Repetitionsblad Till varje uppgift pÄ fördiagnosen Àr det kopplat ett antal repetitionsuppgifter. Dessa finns pÄ repetitionsbladen. Tanken Àr att eleven bara ska behöva repetera de moment som hen hade problem med.
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 9
Arbetsblad Arbetsbladen Ă€r tĂ€nkta att anvĂ€ndas av de elever som behöver ytterligare repetition efter âEtt varv tillâ. Det finns 1-2 arbetsblad till de flesta avsnitten. Vissa av arbetsbladen Ă€r utformade som spel. Dessa blad kan anvĂ€ndas av alla elever.
Diagnos Till varje kapitel finns en diagnos som testar kapitlets centrala innehĂ„ll. Varje uppgift Ă€r kopplade till en eller flera âRepeteraâ-uppgifter i elevboken. Provuppgifter Till varje kapitel finns ett antal provuppgifter. Observera att detta inte Ă€r ett komplett prov, utan uppgifter som du som lĂ€rare kan anvĂ€nda för att konstruera ett eget prov. Till varje uppgift finns det facit och bedömningsstöd.
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 1 0
3.3 Exponential- âoch
potensfunktioner AllmÀnt
s 144
s 144
SÄvÀl exponential- som potensfunktionen bygger pÄ att vi kan skriva upprepad multiplikation som en potens. Det Àr viktigt att eleverna kopplar detta till förÀndringsfaktor respektive potenser. I nedanstÄende förklaring av exponentialfunktionen utgÄr vi frÄn att x Àr ett heltal.
Exponentialfunktioner
s 144
NÀr vi har en variabel, x, i exponenten innebÀr detta att vi multiplicerar basens vÀrde med sig sjÀlvt x gÄnger. För att se detta tydligt kan man lÄta eleverna anvÀnda funktionen i Exempel 3301 och göra en tabell dÀr de fÄr rÀkna fram vÀrdet för respektive Är. Repetera Àven att alla tal (utom 0) upphöjt med 0 har vÀrdet ett och att nÄgot upphöjt med 1 blir talet sjÀlvt, i detta fall 0,8. De fÄr Àven berÀkna skillnaden i kronor mellan Ären och skillnaden i procent för att se sambandet mellan funktionen, förÀndringsfaktorn och den procentuella minskningen. à r
VĂ€rde
Minskning i kronor frÄn Äret innan
Minskning i procent frÄn Äret innan
0 (ny bil) 1 2 3 4 5
Potensfunktioner
s 146
Till skillnad frÄn exponentialfunktionen vet vi hÀr exponenten, men inte basen. Dvs i exponentialfunktionen Äterfinns variabeln i exponenten och i potensenfunktionen Àr variabeln i potensen bas. Vi vet alltsÄ i en potensfunktion hur mÄnga gÄnger talet ska upprepas, men detta tal Àr variabeln. Det finns mÄnga exempel pÄ potensfunktioner: areaformler och volymformler kan ses som potensfunktioner, acceleration och retardation kan beskrivas med potensfunktioner och Àven en beskrivning av summan pÄ ett konto efter 5 Är, beroende pÄ rÀntan (förÀndringsfaktor x) blir en potensfunktion. Notera hÀr skillnaden frÄn exponential-funktionen. NÀr vi har ett givet antal Är, men inte vet rÀntan, fÄr vi en potensfunktion.
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 1 0 4
Fördjupning: Potensekvationer
s 148
x PĂ„ vissa minirĂ€knare kan det finnas en knapp â ây eller liknande, medan den saknas pĂ„ andra.
Det Àr dÀrför viktigt att eleverna förstÄr att n:te-roten ur och upphöjt 1 till innebÀr exakt samma sak. n
Uppgift 3325
s 151
Uppgiften kan ocksÄ lösas genom att eleven inser skillnaden mellan grafer frÄn potensfunktioner och exponentialfunktioner. Exponentialfunktioner börjar frÄn noll och vÀxer mot oÀndligheten (vÀrdet pÄ y) medan potensfunktioner endast Àr noll nÀr x Àr lika med noll. Exponentialfunktioner vÀxer ocksÄ snabbare Àn potensfunktioner.
Uppgift 3329
s 152
Enklast Àr om eleven skriver ned summan och rÀknar ut den. Försök ocksÄ att fÄ hen att se att svaret kan berÀknas genom 1 + 2 + 22 + ⊠+ 215. Ett roligt sÀtt att visa poÀngen med uppgiften Àr att be eleven lÀgga riskorn pÄ ett schackbrÀde. Ett korn i ruta ett, tvÄ korn i ruta tvÄ osv. Det Àr ett bra sÀtt att visa den snabba tillvÀxttakten vid exponentiell tillvÀxt.
Uppgift 3330
s 152
LÄt eleven börja med ett kÀnt antal celler, t ex 2 st. Efter en minut finns 4 celler, tvÄ minuter 8 celler, och 3 minuter 16 celler. HjÀlp eleven att inse att antal celler ökar med en faktor 2 varje minut, eftersom det handlar om en fördubbling av antal celler. För att öka förstÄelsen, anvÀnd gÀrna exemplet med schackbrÀdet i uppgift 3329 ovan, dÀr varje ruta representerar en minut.
Uppgift 3335
s 152
Om eleven har svĂ„rt att komma fram till lösningen kan du be hen att skriva upp en ekvation för rĂ€nteökningen: 12â461,82 = 10â000 â nx. KĂ€nt Ă€r ju dock att x = 5, sĂ„ ekvationen som ska lösas blir n5 = 1,246182. Med hjĂ€lp av minirĂ€knare kan eleven rĂ€kna ut vĂ€rdet pĂ„ n.
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 1 0 5
Fokus pĂ„ förmĂ„gorna 3 I tabellen visas de förmĂ„gor som eleverna trĂ€nar i uppgifterna till avsnittet Fokus pĂ„ förmĂ„gorna pĂ„ s. 164âââ165 i elevboken. 3601
3602
3603
3604
3605
X
3606
3607
3608
X
X
X
X
X
Kapitel 3 Problemlösning (inkl Resonemang) Begrepp (inkl Resonemang) Metod Kommunikation (inkl Resonemang)
x
x
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 1 0 8
Sid 1 (2)
fördiagnos 3 Algebra 1 Vilka koordinater har punkterna AâââE?
Rep 1
y 4
A:
3
B:
B A
2 1
C:
â5 â4 â3 â2 â1 â1 D â2
D: E:
C
â3
x 1
2
3
4
5
E
â4
2 Rita ett koordinatsystem med axlar
Rep 2
frÄn -6 till 6. Markera punkterna A
(0, 2)
B
(3, -3)
C
(-1, 4)
D
(-2, -4)
E
(5, 0)
F
(3, 4)
3 Vilka koordinater har origo?
Rep 3
4 a) UtgÄ frÄn funktionen y = x + 3 och gör en vÀrdetabell.
Rep 4âââ6
b) Rita grafen till funktionen. c) AnvĂ€nd grafen för att bestĂ€mmaâ y-vĂ€rdet förâ x = 0,5. d) Ligger punkten (4, 6) pĂ„ linjen? y=x+3
x
y
kopieringsunderl ag © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
f ö rd i agn o s â 1 0 9
Sid 2 (2) 5 Lös ekvationerna
Rep 7âââ12
x b) =2 6 2x d) 10 = +4 3
a) x + 14 = 20 c) 3x â 1 = 5 6 Teckna ekvationen och lös den.
Rep 13âââ14
a) Ett tal multipliceras med 5 och subtraheras sedan med 13. Differensen blir dÄ 37.
Vilket Àr talet?
b) Ett tal divideras med 4 och adderas sedan med 18. Summan blir dÄ 20.
Vilket Àr talet?
A 3x â 6 = 9
7 Till vilka av ekvationerna Àr x = 4 en lösning?
B
10x + 7 = 12 8
D 8=
6x ââ 1 2
8 a) Skriv en potens med
Rep 15âââ16
20 C + 13 = 18 x
Rep 17
basen 5 och exponenten 2
b) BerÀkna potensen. 9 Vilken Àr förÀndringsfaktorn vid en minskning med
a) 10â%
b) 2â%
10 Vilken Àr förÀndringsfaktorn vid en ökning med
a) 1â%
Rep 18
Rep 19
b) 25â%
11 Förenkla
Rep 20âââ21
a) 4(x â 5) b) 5(3 + x) c) 7(2x + 3)
kopieringsunderl ag © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
f ö rd i agn o s â 1 1 0
Sid 1 (4)
repetitionsblad 3
Algebra y
A
5
1 Vilka koordinater har punkterna AâââE?
4 3
A:
E
2
B:
1
C:
â5 â4 â3 â2 â1 â1 D â2
D:
x
B 1
2
3
4
5
â3
E:
â4
C
â5
2 a) Rita ett koordinatsystem med axlarna frÄn -6 till 6.
b) Rita in en rektangel i ditt koordinatsystem. c) Namnge hörnen AâââD. d) Vilka koordinater har punkterna AâââD?
A:
B:
C:
D:
3 Rita ett koordinatsystem med axlarna frÄn
-5 till 5 och markera punkterna A
(2, 4)
B
(-1, -5) C origo
D
(-3, 4)
E
(3, 0)
F
(2, -4)
4 Fyll i vÀrdetabellerna utifrÄn funktionerna.
a)
y=x+1 x
y
b) c) d) y=xâ2 y = 3x x
y
x
y
y = 2x + 1 x
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
kopieringsunderl ag © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
y
re pe t i t i o n sbl a d â 1 12
arbetsblad 3.2 Ekvationssystem (â1â) 1 Lös ekvationssystemen grafiskt.
a)
y 6
ïŁ±ââây = x + 3 ïŁČâây = 5 â x ïŁł
5 4
y=x+3
x
3
y=5âx
y
x
0
0
1
1
2
2
y
1
x
â6 â5 â4 â3 â2 â1 â1
1
2
3
4
5
6
â2 â3
2
â4 â5 â6
b)
ïŁ±ââây = x + 2 ïŁČâây = 3 â x ïŁł
y 6 5
y=x+2
y=3âx
4 3
x
y
x
y
2
0
0
1
1
1
â6 â5 â4 â3 â2 â1 â1
2
2
â2
x 1
2
3
4
5
6
â3 â4 â5 â6
2 Lös ekvationssystemen med ersÀttningsmetoden.
a)
ïŁ±ââây = x + 3 ïŁČâây = 5 â x ïŁł
b)
ïŁ±ââây = x + 2 ïŁČâây = 3 â x ïŁł
kopieringsunderl ag © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
a rbe t sbl a dâ 12 1
Sid 1 (2)
diagnos 3
Algebra
1 Temperaturen pÄ vattnet i en badtunna Àr 42 °C.
3501
NÀr man slutat elda sjunker temperaturen med 7 °C per timme.
Skriv en funktion för temperaturen T efter x timmar. 2 Anna jobbar som prenumerationsförsÀljare. Hennes mÄnadslön
3502âââ3503
kan beskrivas med funktionen y = 12â000 + 20x nĂ€r hon sĂ€ljer x prenumerationer.
Vad betyder 12â000 och 20 i funktionen? D
B
y
C
5
3 Vilken funktion hör ihop
A
4
med viken graf?
3504
3 2
y = 3x + 1 y = -2x y=xâ2 y = -3x + 4
1 -3 -2 -1 -1
x 1
2
3
4
5
6
-2 -3
4 BestÀm linjens ekvation. 8
3505âââ3506
y
7 6 5 4 3 2 1 -1
1
x 1
2
5 Rita linjen till funktionen y = x â 3.
3507âââ3508
6 Ligger punkten (2, 5) pÄ linjen y = 2x + 1?
3509
7 En rÀt linje gÄr genom punkterna (2, 5) och (6, 13).
3510âââ3511
a) RÀkna ut linjens k-vÀrde. b) RÀkna ut linjens m-vÀrde. c) Skriv linjens ekvation.
kopieringsunderl ag © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
d i agn o s â 13 0
Sid 1 (2)
provuppgifter 4
Sannolikhet
1 I ett hus med 8 studentlÀgenheter bor det 10 studenter. Förklara med hjÀlp av lÄdprincipen varför minst tvÄ
av studenterna delar lÀgenhet.
2 Yvette ska hÀnga upp fem tavlor pÄ rad. PÄ hur mÄnga olika sÀtt kan tavlorna hÀngas upp? 3 PÄ ett café finns det 4 olika sorters pajer som man kan fÄ med
vaniljsÄs eller vaniljglass.
Hur mÄnga olika kombinationer av paj med sÄs eller glass
finns det?
4 a) Hur mĂ„nga olika âordâ med fem bokstĂ€ver kan du bilda
av ordet MATTE?
b) Hur mĂ„nga olika âordâ med nio bokstĂ€ver kan du bilda av ordet MATEMATIK? 5 Sannolikheten att dra en hjĂ€rter ur en kortlek kan skrivas
1 4 a) BestĂ€m Pâ(dam).
Pâ(hjĂ€rter) = , dĂ€r P stĂ„r för probability.
b) StĂ€mmer det att Pâ(hjĂ€rter) + Pâ(spader) = Pâ(hjĂ€rter eller spader)? Motivera. c) StĂ€mmer det att Pâ(hjĂ€rter) + Pâ(dam) = Pâ(hjĂ€rter eller dam)? Motivera 6 PĂ„ ett lyckohjul stĂ„r det âVinst var 20:e gĂ„ng!â. Hanna har spelat
19 gÄnger utan vinst.
Betyder det att hon borde vinna nÀsta gÄng? 7 PÄ en tÀrning förekommer varje siffra endast en gÄng. Sannolikheten att slÄ tvÄ femmor i rad med tÀrningen Àr 1 Hur mÄnga sidor har tÀrningen?
144
8 I en skÄl finns röda, gröna och gula karameller. Om man tar
en karamell utan att titta Ă€r sannolikheten att fĂ„ en röd 20â% 2 och sannolikheten att fĂ„ en grön karamell 3 I skĂ„len finns det 14 stycken gula karameller.
Hur mÄnga röda respektive gröna karameller finns det i skÄlen?
kopieringsunderl ag © 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm. Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
prov upp gif t e r â 16 6
Sid 1 (9)
provuppgifter 4
Facit och bedömning
1 Facit Eftersom det finns fler studenter Àn lÀgenheter kommer minst en lÀgenhet
att bebos av fler Àn en student.
Bedömning
E
C
A
Problemlösning Begrepp Metod Resonemang Kommunikation
EB + ER Eleven förstÄr lÄdprincipen och kan resonera godtagbart kring antalet studenter i en lÀgenhet. CB + CR Eleven förstÄr lÄdprincipen och kan tydligt motivera varför antalet studenter i minst en lÀgenhet mÄste vara mer Àn en. 2 Facit Tavlorna kan hÀngas upp pÄ 120 olika sÀtt.
Bedömning
E
C
A
Problemlösning Begrepp Metod Resonemang Kommunikation
EM + EP Eleven förstÄr att hon ska anvÀnda multiplikationsprincipen och pÄbörjar en lösning. CM + CP Eleven anvÀnder multiplikationsprincipen och svarar korrekt.
© 2016 Jonas Bjermo, Daniel Domert, Lars Madej och Natur & Kultur, Stockholm Vektor, LÀrarhandledning Äk 9, ISBN 978-91-27-44698-4
l Ă€ r a rh a n d l e d nin g â 16 8
Inger Amberntssonâ Jonas Bjermoâ Daniel Domertâ Lars Madejâ Anita RistamĂ€kiâ Linda Söderberg
Vektor Matematik | Ă rskurs 9
Vektors strÀvan Àr att tydligöra de matematiska förmÄgorna enligt Lgr 11 och synliggöra varje elevs lÀrande och utveckling. Vektors lÀrarhandledning ger lÀraren möjlighet att skapa en flexibel undervisning genom att till varje kapitel i elevboken erbjuda ⹠Förkunskapstest ⹠Filmade teorigenomgÄngar ⹠Didaktiska tips och kommentarer utifrÄn den aktuella teorin ⹠Kommentarer till uppgifterna ⹠Bedömningsmatriser ⹠Diagnos med facit ⹠ProvfrÄgor med bedömningsstöd ⹠Kopieringsunderlag med repetitonsuppgifter ⹠Kopieringsunderlag med extra fÀrdighetstrÀning Vektor Àr ett lÀromedel i matematik för grundskolans Äk 7-9. För mer information se nok.se/vektor