9789127426313 by Smakprov Media AB

LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE

3 bc

VUX

3bc VUX

Matematik 5000

Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.

Välj mellan RÖD SERIE

för serviceinriktade yrkesprogram

GUL SERIE

för tekniskt inriktade yrkesprogram

Matematik 5000

är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.

Matematik

5000

GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE

för NA och TE

BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning

För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000

ISBN 978-91-27-42631-3

9 789127 426313

Matematik5000_Green_3bcVUX.indd 1

2012-12-13 17:08

Kurs 3bc Vux.indb 2

2012-12-18 14.28

Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Varje kapitel avslutas med:

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

• K an du det här? och Diagnos som tillsammans

Denna bok, Kurs 3bc Vux lärobok, riktar sig till elever som studerar på komvux och liknande utbildningar. Kapitel 1,2 3 och 4 motsvarar kurs 3b. Kapitel 1,2, 3 och 5 motsvarar kurs 3c.

Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel

som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera

undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Historik, med tillhörande uppgifter, sätts

matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard-

karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning och uppgifter av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-

tion: Sant eller falskt?

• E n kort Sammanfattning av kapitlet.

ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Till dessa diagnoser finns fullständiga lösningar i svarsdelen.

• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet

finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Efter dessa repetitionsuppgifter finns fem diagnoser. De har ett liknande innehåll som diagnoserna i varje kapitelslut

• T vå olika varianter av Blandade övningar av-

slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till ett stort antal uppgifter. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik

förord

Kurs 3bc Vux.indb 3

2012-12-18 14.28

Innehåll 1. Algebra och funktioner

2.4 Deriveringsregler I I 101 Derivatan av exponentialfunktionen y = ekx 101 Naturliga logaritmer 105 Derivatan av exponentialfunktionen y = ax 107 Tillämpningar och problemlösning 109

Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7

1.1 Algebra och polynom

Polynom och räkneregler Faktorisera 13 Potenser 15 Kvadratrötter 18 Ekvationer 20

1.2 Rationella uttryck

Centralt innehåll 70 Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 71

Ändringskvoter 72 Begreppet derivata 77

2.2 Gränsvärde och derivatans definition Gränsvärde 83 Derivatans definition

131

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?

132

Extrempunkter och extremvärden 132 Växande eller avtagande 134 Historik: Matematik till och från Sverige 137 Förstaderivatan och grafen 138 Största och minsta värde 142 Polynomfunktioner 145 Potensfunktioner 152 Andraderivatan 155 Andraderivatan och grafen 156 Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar den största lådan? Grafritande räknare 160 Tillämpningar och problemlösning 162 Aktivitet: Undersök – Funktioner och derivator 166 Aktivitet: Undersök – Antiderivata

Derivatan av polynom 88 Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 95 Derivatan av potensfunktioner 96 Historik: Tangenter och derivata 99 Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 100

Kurs 3bc Vux.indb 4

Centralt innehåll 130 Inledande aktivitet: Max och min

130

159

168

3.3 Från derivata till funktion 169

2.3 Deriveringsregler I 88

3. Kurvor, derivator och integraler

3.2 Derivator och tillämpningar 145

2. Förändringshastigheter och derivator

2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata

116

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 119 Sammanfattning 2 120 Kan du det här? 2 122 Diagnos 2 123 Blandade övningar kapitel 2 124 Blandade övningar kapitel 1 – 2 127

Inledning 38 Räta linjens ekvation 41 Aktivitet: Upptäck – Funktioner och nollställen 45 Andragradsfunktioner 46 Andragradsfunktioner och nollställen 49 Grafiska lösningsmetoder 53 Exponentialfunktioner och potensfunktioner 56 Aktivitet: Laborera – Pendeln 60 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 1 62 Kan du det här? 1 64 Diagnos 1 65 Blandade övningar kapitel 1 66

113

Olika differenskvoter 113 Grafritande räknare och derivators värde

Vad menas med ett rationellt uttryck? Förlängning och förkortning 26 Addition och subtraktion 31 Multiplikation och division 36

1.3 Funktioner

2.5 Grafisk och numerisk derivering

Primitiva funktioner 169 Primitiva funktioner med villkor

172

3.4 Integraler 174 Inledning 174 Aktivitet: Undersök – Finn arean 177 Integralberäkning med primitiv funktion 178 Tillämpningar och problemlösning 182 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 187 Sammanfattning 3 188 Kan du det här? 3 190 Diagnos 3 191 Blandade övningar kapitel 3 192 Blandade övningar kapitel 1 – 3 195

innehåll

2012-12-18 14.28

4. Geometrisk summa och linjär optimering Centralt innehåll 200 Inledande aktivitet: Talföljder

4.1 Geometrisk summa

200

201

202

Hur beräknas en geometrisk summa? 202 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar 204 Aktivitet: Laborera – Hur högt studsar bollen? 209

4.2 Linjär optimering

210

276

Absolutbelopp och rotekvationer 276 Skissa grafer 280 Naturvetenskapliga/tekniska tillämpningar och problemlösning 283 Blandade övningar kapitel 1 – 3 och 5 286

Repetitionsuppgifter

Inledning 210 Halvplan 212 Områden i planet och system av olikheter 215 Största och minsta värde i ett område 218 Tillämpningar 222

290

Extra diagnoser med svar

298

Svar, ledtrådar och lösningar Register

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 228 Sammanfattning 4 229 Kan du det här? 4 230 Diagnos 4 231 Blandade övningar kapitel 4 232 Blandade övningar kapitel 1 – 4 234

5. Trigonometri och komplettering kurs 3c

5.3 Komplettering kurs 3c

306

358

238

Centralt innehåll 238 Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 239

5.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 240 Trigonometri i rätvnkliga trianglar 240 Två speciella trianglar 243 Cirkelns ekvation 244 Godtyckliga trianglar 245 Aktivitet: Undersök – Enhetscirkeln 246

5.2 Triangelsatserna

250

Areasatsen 250 Sinussatsen 253 När ger sinussatsen två fall? 255 Cosinussatsen 260 Tillämpningar och problemlösning 265 Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 268 Historik: Trigonometri och geodesi 269 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 270 Sammanfattning 5 271 Kan du det här? 5 272 Diagnos 5 A Trigonometri 273 Blandade övningar Trigonometri 274

innehåll

Kurs 3bc Vux.indb 5

2012-12-18 14.28

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

Kurs 3b och 3c

Centralt innehåll ✱ hantering av algebraiska uttryck och ekvationer. ✱ generalisering av aritmetikens lagar. ✱ begreppen polynom och rationellt uttryck. ✱ Kontinuerlig och diskret funktion. ✱ polynom-, potens- och exponentialfunktioner.

Kurs 3bc Vux.indb 6

2012-12-18 14.28

894789475849

89478947584

112 777

482398678567

7547 55

238876744

15343274

Inledande aktivitet VILKA UTTRYCK ÄR LIKA? Arbeta i par. Dela ett A4-papper så att du får 16 papperslappar. På lapparna skriver du följande matematiska uttryck (ett uttryck per lapp). Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp. 1

3x – x

x+ x 3

(x + 1) (x – 1)

1 + x (x – 1) + x

x2 – 1 10

x∙ x 6

Kurs 3bc Vux.indb 7

x2 + 1

x (x – 1) + 1 12

x3– x

3 11

(x – 1) 2

1 – 2x + x 2

2x – 4 – x + 7 – x

(x + 1) 2

2012-12-18 14.28

1.1 Algebra och polynom Polynom och räkneregler

Exempel

I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av sambandet y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm och två variabeltermer. Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren!

polynom

Ett polynom är en summa av termer av typen a ∙ x n, där x är en variabel, exponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas koefficient. Varje polynom kan skrivas a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x 3 + . . . + an x n

gradtal

Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal. y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 är ett exempel på ett andragradspolynom. x2y2 + 2x 3 +5xy är ett polynom i två variabler x och y. Polynomets gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda exponenten. Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b. Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax2 + bx + c. Summan, differensen och produkten av två polynom är också ett polynom.

Kurs 3bc Vux.indb 8

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med polynom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c och d representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer. Exempel 1

parentes med + före kan tas bort.

(8 + 2x) + (3 – 4x) = 8 + 2x + 3 – 4x = 11 – 2x

parentes med – före kan tas bort om alla tecken ändras.

Exempel 2

lika tecken ger plus, olika ger minus.

Exempel 3

(8 + 2x) – (3 – 4x) = 8 + 2x – 3 + 4x = 5 + 6x

3 x (x 2 – 5 x + 2) = 3 x 3 – 15 x 2 + 6 x

(8 – 2x) (3 – 4x) = 8 ∙ 3 – 8 ∙ 4x – 2x ∙ 3 + 2x ∙ 4x = 24 – 38 x + 8 x 2

(2x + 3)(2x – 3) = 4x2 – 6x + 6x – 9 = 4x2 – 9 Med hjälp av konjugatregeln kan vi direkt skriva (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 – 9

Exempel 4

(y + 3)2 = (y + 3)(y + 3) = y2 + 3y + 3y + 9 = y2 + 6y + 9 Med hjälp av kvadreringsregeln kan vi direkt skriva (y + 3)2 = y2 + 6y + 9

Parentesreglerna (a + b) + (c – d ) = a + b + c – d (a + b) – (c + d ) = a + b – c – d (a + b) – (c – d ) = a + b – c + d Räknelagar

Distributiva lagen a (b + c) = ab + ac (a + b) (c + d ) = ac + ad + bc + bd Konjugatregeln (a + b) (a – b) = a2 – b2 Kvadreringsreglerna (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 9

2012-12-18 14.28

1101

Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer. Den största exponenten ska vara 4. T ex p (x) = x4 + 5x2 – 4 eller p (x) = 2x4 – x3 + 10x

1102

Förenkla a) x(x – 2) – 3(x – 5) a) x(x – 2) – 3(x – 5) =

b) (x – 2)2 + (x + 2)(x – 2) multiplicera in i parenteserna.

= x2 – 2x – 3x + 15 = = x2 – 5x + 15 b) (x – 2)2 + (x + 2)(x – 2) = = x2 – 4x + 4 + x2 – 4 =

Utveckla med kvadreringsoch konjugatregeln.

= 2x2 – 4x 1103

Förenkla a) 7x – (x – 3)2

b) (3y + 5)(3y – 5)

a) 7x – (x – 3)2 = = 7x – (x2 – 6x + 9) = = 7x – x + 6x – 9 =

obs! parentes.

= 13x – x2 – 9

Ändra tecken när du tar bort parentesen.

b) (3y + 5)(3y – 5) = = (3y)2 – 52 = = 3y · 3y – 25 = 9y2 – 25

1104

En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N (x) = 2 500 + 350x + 25x2 där N (x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Beräkna och tolka N (5) – N (4). N (4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 42 = 4 300

efter 4 minuter finns det 4 300 bakterier.

N (5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 52 = 4 875

efter 5 minuter finns det 4 875 bakterier.

N (5) – N (4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580 Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten. 10

Kurs 3bc Vux.indb 10

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

1105 Förenkla

1112 Ge ett exempel på ett andragradspolynom med

a) 8x + 7 – 2x + 1 b) 3x + 6 – 5x + 2

a) tre termer

c) 15y – 6x – 14y + 3x

b) två termer.

d) t – t + 4t – 7t – 9 2

1113 Förenkla a) (x + y)2 – (6 x + y2)

1106 Multiplicera in a) 2(3x – 4)

c) x(x 2 – 3x)

b) (x + 6)(x – 6) – 36

b) x(5x + 2)

d) 5x(2x – x + 4)

c) x 2 – (x – 6)2

d) 25x – (5 – x)(5 + x)

1107 Förenkla a) 3x – (x + 5)

c) 3x 2 + x(2x – 1)

b) 2(3x – 4) + 1

d) 5 – 2(4x – 3)

1114

a) (x + 2)(x + 3)

c) (x + 3)(2x – 4)

b) (x – 5)(x + 4)

d) (a + b)(2a + b)

1109 Utveckla med konjugatregeln b) (2x – 5)(2x + 5)

1110 Utveckla med kvadreringsreglerna a) (a + 5)2

c) (3x + 4)2

b) (3 – y)

d) (2x – y)

3(b – a)

1108 Utveckla och förenkla

a) (x + 4)(x – 4)

2a – 4

1111 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N(p) kan beräknas med N (p) = 3 000 – 20p

a–b

6(a – b + 1)

b–a

a) Förenkla summan av uttrycken i kolumnen i mitten. b) Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten. Vad ska stå i A och B? 1115 Beräkna värdet för uttrycket 2(a – 2)2 – 2a(a – 3) om a = 4 a) före förenkling b) efter förenkling.

Beräkna N (140) och tolka resultatet i ord.

1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 11

2012-12-18 14.28

1116 Utveckla och förenkla

1120 Utveckla och förenkla

a) 5x – 4(2x – 3)(x – 5)

a) (x – 2) 3

b) 3(a – b)2 – 2(a – b)2

b) (x – 1) x + (x 2 – 2x – 4) (x + 1)

1117 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad får det polynom som bildas då p(x) a) adderas med x 2 b) multipliceras med x2. Motivera dina svar. 1118 Bollens höjd y m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 där x m är avståndet från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y (2,5) – y (2,0). 1119 Konstreproduktioner AB producerar högst 30 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar x målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter:

1121 Kostnaden K kr att producera x tröjor är K (x) = 800 + 15 x + 0,3 x 2 Vinsten vid försäljning av x tröjor är V (x) kr. Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten då tröjorna säljs för 90 kr/st. 1122 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda om hon tar 3 000 kr för en vecka. För varje hundralapp som hon ökar hyran med förlorar hon en hyresgäst. a) Beräkna den totala intäkten om hyran för en stuga höjs med 5 hundralappar. b) Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten beror av en höjning med x hundralappar. c) Undersök vad den maximala intäkten är.

Kostnad i kr: K (x) = 5 000 + 80x + 10x2 Intäkt i kr: I (x) = x(1 200 – 20x) Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst. Vinsten V (x) = I (x) – K (x) a) Beräkna och tolka I (20). b) Beräkna och tolka V (20). c) Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten V (x).

Kurs 3bc Vux.indb 12

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

Faktorisera Vi kan skriva ett tal eller ett polynom som en produkt av faktorer. När vi skriver 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 = 3 ∙ 5 2

faktoriserar vi talet 75.

x + 7 x = x (x + 7)

faktoriserar vi polynomet x 2 + 7 x.

Faktorisering av algebraiska uttryck kan användas vid förenkling och ekvationslösning. Vi visar två metoder att faktorisera polynom. två metoder

1 Utbrytning av största möjliga faktor. 2 x4 + 6 x 3 − 4x2 = 2 x 2(x2 + 3x − 2) 2 Omvänd användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna. a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 a 2 – 2ab + b 2 = (a – b)2

1123

Bryt ut största möjliga faktor. a) 12 x − 15

b) a 2 + a

c) 6 a 2 − 4 a

a) 12 x − 15 = 3 ∙ 4 ∙ x − 3 ∙ 5 = 3(4 x − 5) b) a 2 + a = a ∙ a + a ∙ 1 = a(a + 1) c) 6 a 2 − 4 a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a − 2 ∙ 2 ∙ a = 2 a(3 a − 2)

1124

Faktorisera x3 + 3x2 – 7x Vi bryter ut x. x3 + 3x2 – 7x = x(x2 + 3x – 7)

1125

Faktorisera a) 16 − x 2

b) 9 x 2 – 25

a) 16 – x 2 = 4 2 – x 2 = (4 + x ) (4 – x)

Konjugatregeln omvänt.

b) 9 x – 25 = (3 x) – 5 = (3 x + 5)(3 x – 5) 2

1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 13

2012-12-18 14.28

1126

Faktorisera a) x2 + 8 x + 16

b) x2 − 6 x + 9

c) 5x2 + 20x + 20 Kvadreringsregeln omvänt.

a) x2 + 8 x + 16 = x2 + 2 ∙ 4 x + 42 = (x + 4)2 b) x2 − 6 x + 9 = x2 − 2 · 3 · x + 32 = (x − 3)2 c) 5x2 + 20x + 20 = 5(x2 + 4x + 4) = = 5(x2 + 2 · 2 · x + 22) = 5(x + 2)2 1127 Bryt ut faktorn 3.

1135 Faktorisera om det är möjligt.

a) 3x + 3

c) 6x2 + 15

b) 9x – 12

d) 21 – 6x + 3x

1128 Bryt ut faktorn x. a) 3x 3 − 2x2 + 5x

d) x2 – 9

b) 3x – 14

e) x2 + 18x + 9

c) x2 + 9

f) 4x 3 + 2x2 – x

1136 Faktorisera så mycket som möjligt.

b) x – x 2

c) 2x – x

a) 7x – 14x2

1129 Bryt ut så mycket som möjligt. a) 4y2 – 6y

c) 8ax2 − 30x

b) 12x3 – 30x2

d) 15x 3 – 10x2 + 45x

a) 2x2 – 8

c) x2 – 14xy + 49y2

b) 3a2 – 12b2

d) 50a2 + 40a + 8

1137 Alice och Julia försöker att faktorisera polynomen p(x) = 8 x3 – 2 x och h(x) = 12 x2 + 72 x + 108

1130 Faktorisera med konjugatregeln. a) x2 – 49

c) 16a2 – 25

b) 1 – x2

d) 4a2 – 4b2

Alice påstår att båda polynomen kan faktoriseras och Julia påstår att endast ett av polynomen kan faktoriseras. Vem har rätt? Motivera ditt svar.

1131 Vad står a) x2 − b) 9y2 +

och

för?

= (x + 3)(x −

)

+ 25 = (3y +

1132 Faktorisera med kvadreringsreglerna. c) x + 20x + 100

a) (a + 3)2 – (5b)2

b) x – 12x + 36

d) x – 16x + 64

b) (a + 3)2 – 9b2

2 2

1133 Går x + x + 1 att faktorisera omvänt med kvadreringsregeln? Motivera. 2

1134 Vilket uttryck ska kvadreras för att ge 4x2 + 4x + 1?

Kurs 3bc Vux.indb 14

b) 0,25 – 0,01y2

1139 Faktorisera

a) x + 6x + 9 2

1138 Faktorisera x2 1 – a) 4 9

c) (a + 3)2 – (b – 3)2 1140 Polynomet 84x – 28x2 – 63 kan i faktorform skrivas a(bx – c)2 Bestäm talen a, b och c.

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

Potenser Upprepad addition kan skrivas som en multiplikation: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3 och x + x + x + x = 4 · x =4x Upprepad multiplikation kan skrivas som en potens: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 och x · x · x · x = x4 potens bas, exponent

34 kallas en potens och läses ”3 upphöjt till 4”. 3 kallas bas och 4 exponent. Vi repeterar räknelagarna för potenser. Potenslag a ∙a =a x

Exempel 34 ∙ 35 = 34 + 5 = 39

x+y

( a x ) y = a xy

( y 2 )4 = y 2 ∙ 4 = y 8

ax = ax–y ay ( a ∙ b)x = a x ∙ b x

m7 = m7 – 4 = m3 m4 ( 5 x )3 = 53 ∙ x 3 = 125 x 3

()

x 3 x3 = 8 2

a x ax = x b b

Vad menas med 5 0? 53 Vi vet att 3 = 1 (täljaren och nämnaren är lika). 5 53 Enligt den andra potenslagen är 3 = 53−3 = 50 5 Om lagen ska gälla måste 5 0 = 1 Vad menas med 5 –2? 3 Vi beräknar 55 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 1 = 12 5⋅5⋅5⋅5⋅5 5⋅5 5 5 53 Enligt den andra potenslagen är 5 = 53−5 = 5−2 5 1 Om lagen ska gälla måste 5−2 = 2 5 Definitioner

a0 = 1

a –x =

1 ax

a ≠ 0 i båda fallen.

Potenslagarna gäller för alla reella exponenter. Exponenterna kan t ex vara negativa tal, bråk eller tal i decimalform.

1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 15

2012-12-18 14.28

1141

Skriv utan potens. Arbeta utan räknare. a) 3 –2

c) 10 · 1,020

b) 10 –1 + 10 –2

5 d) 47 2

a) 3 –2 = 12 = 1 3 9 1 1 b) 10 –1 + 10 –2 = 1 + 2 = 0,1 + 0,01 = 0,11 10 10 c) 10 · 1,020 = 10 · 1 = 10

Det finns ingen potenslag för addition.

d) Vi skriver om till samma bas. 5 45 = (22) = 210 = 210 – 7 = 23 = 8 27 27 27

1142

Förenkla med potenslagarna. 4

a) 2x 3 · x b)

x0,5 x–1,5

(b−3)–2

1 3

d) (3x)2 e) (– 3y4)

a) 2x 3 · x b)

–

f)  3a  b –

1 3

= 2x 3

1 +–   3

= 2x 3

–

1 3

= 2x 3 = 2x1 = 2x

x0,5 = x0,5–(–1,5) = x0,5 + 1,5 = x2 x–1,5

c) (b–3) = b–3(–2) = b6 –2

d) (3x)2 = 32 · x2 = 9x2 e) (−3y 4) = (−3)2 · ( y 4) = 9y8 2

3a 2 (3a)2 32 a2 9a2 f)   = = = 2 2 2 b b b b

1143

Bryt ut 2 x ur 2 x + h − 2 x, dvs skriv i faktorform. x h 2 x + h − 2 x = 2 x · 2 h − 2 x = 2 (2 − 1)

Kurs 3bc Vux.indb 16

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

1144 Skriv utan potens. Arbeta utan räknare. a) 2−2

c) 51 · 50

b) 10−3 + 10−2

1152 Förenkla

2,5

x x −3,5

a6 a9

e) (5y)

c) (a 2)

−3

b) (3 ) = 3−14

d) 5 x/5 = 5 7

1147 Vilka av förenklingarna är felaktiga? Förklara vad som är fel. a) 7 + 7 + 7 + 7 + 7 förenklas till 75 b) (6a)2 förenklas till 12a2 −4 1 förenklas till 5 5·5·5·5

d) 2 ·2 förenklas till 4

1148 Beräkna utan räknare. 3 37 c) (19 1/3) a) 8 3 452 3 2 b) d) 45 + 45 + 45 2

()

1149 Förenkla a) x2(x2 + x) – x 3

c) (b2 + 3)2

b) a3(a−2 + 2a)

d) (x + y2)(x – y2)

a) (2x)3 + (2x 3) + 2(x 3)

( ) ( ) 2

y4 · 9 3

( )

1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 17

1155 Förenkla a) (5 x + 5 –x )2 b) a x (a3x + 2a–x ) 1156 Lös ekvationen a) 25x – 2 = 2 x b) 25x – 2 = 4 x 1 c) 32x = 27 d) 23x ∙ 2 –5 = 2 x 1157 Bryt ut och skriv i faktorform a) x 2 x a – 3x a b) a3 + h – a3

1158 Bestäm exponenten x om 239 – 238 = 22 · 23 x

c) (2 ∙ x 4 ) + 2 ∙ (x 4 ) 2a b2

34 kan användas för att 34 34 motivera att a 0 = 1 och uttrycket 7 3 1 för att motivera a–n = n a Förklara hur.

1154 Uttrycket

c) a2 n + a n

1150 Förenkla

1153 Förenkla

e) (2y)0 + 5y0 förenklas till 6.

3 b) 2 y

c) 4 x/46 = 4−5

c) (3x + 3x)

a) 2 x · 212 = 29

a) x · x

1 3

b) 3 ∙ 10 –a + 3 ∙ 10 –a

1146 För vilken exponent x är 2 x

1 2

a) 3 ∙ 10 –a ∙ 3 ∙ 10 –a

b−2 b

a) hälften av y b) en fjärdedel av y.

102 104

1145 Skriv som en enda potens a) x6 · x −3

1151 Låt y = 2 20 och bestäm

1159 Förenkla 33 + 2x + 32x 32 + x – 3x 17

2012-12-18 14.28

Kvadratrötter Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter.

Definition

Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a. (√a )2 = √a · √a = a

a≥0

Lägg märke till följande: 1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.

√25

står alltså bara för det positiva talet 5.

2 Ekvationen x2 = 25 har däremot två lösningar.

De är x1 = √25 = 5 och x2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5

3 – √25 är inte detsamma som – √25 = –5 ,

√–25 medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal.

Sambandet a 2 = √a ger tillsammans med potenslagarna a xb x = (ab)x och

Lagar för kvadratrötter

1160

ax  a  x = följande lagar. bx  b 

√a · √b = √ab

a≥0

b≥0

√

a≥0

b>0

√a a = √b b

Beräkna utan räknare a) √25 + √2 · √50

b) 9 2 + 4 –0,5

a) √25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15 1

b) 9 2 + 4 –0,5 = √9 +

1161

Visa att 1

1 √2 = √2 2

1 · √2

√2 √2 · √2 18

Kurs 3bc Vux.indb 18

1 1 1 =3+ = 3 + = 3,5 40,5 2 √4

√2 2

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

1170 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida.

Arbeta utan räknare.

1162 Beräkna a) √4 + √9

c) √2 · √8

b) √4 · √9

d) (√2)2 + √8 · √8

1163 Skriv som en potens med basen 10 a) √10 b)

c) 10 √10

1 √10

10 √10

1164 Beräkna a) 100 0,5

c) 100 –0,5

b) √10 · √10

d ) √5 · √20

1165 Beräkna a) √(–3)2

c) √4 · 108

b) √32 + 42

d) √9 · 10 –2

c) 2a a

1166 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen a) x2 = 10

c) x2 + 22 = 32 x2 d ) = 52 2

b) 2x2 = 10

1167 Beräkna den exakta lösningen till ekvationen

(√5 + √3 ) (√5 − √3 ) b) (√2 − √8 ) (√2 + √8 ) c) √2 (√50 + √2 ) d) √4 (√9 − √1 ) a)

1168 Om du vet att a) √700

1.1 AlgebrA och polynom

√3 · √3 · √3 √3 + √3 + √3

x √x + x √x

√x · √x

1172 Utveckla och förenkla a) (√a + √b) (√a – √b) b) (√x + h + √x ) (√x + h – √x ) c) (√a + √b)2 – (√a + b)2 1173 Bestäm exponenten x

1169 Visa att

Kurs 3bc Vux.indb 19

√7 ≈ 2,646 vad är då b) √70 000?

a) 2 √3 = √12

1171 Förenkla så långt som möjligt

√32 = √2 4

√√

a a  a x = b b  b

√√√

x b) a b a =  a  b b a b

2012-12-18 14.28

Ekvationer Exempel

Stoppsträckan s m för en bil vid ett visst underlag kan beräknas med formeln s = v ∙ t + 0,1 ∙ v2 där v är hastigheten i m/s och t är förarens reaktionstid i s. ◗ Vad är reaktionstiden, om stoppsträckan vid 25 m/s (90 km/h) är 100 m? Svaret får vi ur förstagradsekvationen 100 = 25 ∙ t + 0,1 ∙ 252 ◗ Vid vilken hastighet är stoppsträckan 60 m, om förarens reaktionstid är 1,0 s? Svaret får vi ur andragradsekvationen 60 = v + 0,1 ∙ v2 Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer.

1174

Lös ekvationen (x − 3)2 – x 2 = x – 19 (x – 3)2 – x 2 = x – 19

Utveckla med kvadreringsregeln.

x 2 – 6x + 9 – x 2 = x – 19

Förenkla.

– 6x + 9 = x – 19

Addera 6x till båda leden.

9 = 7x – 19

Addera 19 till båda leden.

28 = 7x x=4

1175

kvadratrotsmetoden

Lös ekvationen a) x 2 = 9

b) 2 x 2 + 15 = 3

a) x 2 = 9

b) 2 x 2 + 15 = 3

x=± 9

obs! Två lösningar.

2 x 2 = –12

x = ±3

x 2 = –6

x = 3 eller x = –3

x = ± –6 Vi får ett negativt tal under rottecknet. Ekvationen saknar reella lösningar.

Kurs 3bc Vux.indb 20

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

Lösningsformeln

Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna p 2 x=– p ± –q 2 2

√( )

()

p Andragradsekvationen saknar reella rötter om 2 ett negativt tal under rottecknet. 1176

– q < 0, dvs om vi får

Lös ekvationen 2 x2 + 12 x – 32 = 0 2 x2 + 12 x – 32 = 0

Dividera med 2 för.

x + 6 x – 16 = 0 2

p , dvs halva 2 koefficienten för x med ombytt tecken. –

– q, dvs den konstanta termen med ombytt tecken.

x=–

6 6 ±   + 16  2 2 Kvadrera.

x = –3±

32 + 16 = – 3 ± 25

x = –3 ± 5 x1 = – 3 + 5 = 2

x2 = –3 – 5 = –8

Svar: x1 = 2 och x2 = –8

nollproduktmetoden

1177

Faktorisera först Vl genom att bryta ut x. om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll.

Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras. Metoden kallas nollproduktmetoden. Lös ekvationen a) 2 x 2 – 5 x = 0

b) x 3 – 2 x 2 – 3 x = 0

a) 2x2 – 5x = 0

b) x 3 – 2 x 2 – 3 x = 0

bryt ut x i Vl.

x ∙ ( x – 2 x – 3) = 0 2

x(2x – 5) = 0 x = 0 eller (2x – 5) = 0 x1 = 0

x2 = 2,5

x = 0 eller x 2 – 2 x – 3 = 0 x1 = 0

x = 1 ± √1 + 3 x = 1±2 x2 = 3

Svar: a) x1 = 0 1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 21

x2 = 2,5

b) x1 = 0

x2 = 3

x3 = –1

x3 = –1 21

2012-12-18 14.28

Lös ekvationerna. 1178 a) 3x + 7 = 34 b) 5x – 9 = x + 15 1179 a) x2 = 81

d) 6 – 4x = 12 c) x2 + 31 = 0

b) 2 t2 = 70

d) 3 x 2 − 18 = x 2

1180 a) x (x + 5) = 0 b) 2x (x – 8) = 0 1181 a) 4x2 = 8x b) 8x = 2x

c) 3x + 2 = 5x – 3

c) x2 + 4x = 0 d) 3x2 – 12x = 0 c) (x + 1)(x – 1) = 0 d) (x – 3)(2x + 4) = 0

1182 Ge ett eget exempel på en andragradsekvation som har lösningarna a) x = 2 och x = −2 b) x = 0 och x = 8 Lös ekvationerna. 1183 a) (y + 2) (y + 7) = y 2 + 6y + 20 b) (x − 1)(x − 2) = (x − 3)(x − 4) c) (x + 1) 2 – x 2 = 5 1184 a) x2 – 4x + 3 = 0 b) x2 + 8x – 9 = 0

c) y2 – 3y + 4 = 0 d) (z − 4)2 = 64

1185 a) 2 x 2 + 24x + 70 = 0 b) 5x 2 − 50x + 90 = 10 c) 8z 2 − 8z + 2 = 0 d) 10y − y 2 = 9 1186 (Tal 1)2 – (Tal 2)2 = 14 Tal 1 är 2 större än Tal 2. Vilka är talen? 1187 Lös ekvationerna. Börja med att bryta ut x. a) x 3 – 9x = 0 b) x – 4x = 0 3

c) x 3 + 2 x 2 – 8x = 0 d) 2 x – 40 x + 198 x = 0 3

Kurs 3bc Vux.indb 22

1188 Den totala kostnaden K kronor för att producera x detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x2 a) Beräkna kostnaden för att producera 450 detaljer. b) Hur många detaljer kan produceras för 100 000 kr? 1189 Lös ekvationen a) (x + 3)(x – 4)(2x +1) = 0 b) 4(x + 7)2 = 36 c) 3(t2 + 5) = 12t d) 4(3 – 3x)(8 – 2x2) = 0 1190 I ekvationen 4x2 – (2 – k)2 = 0 är k en konstant. Lös ekvationen. Svara på så enkel form som möjligt.

1.1 AlgebrA och polynom

2012-12-18 14.28

substitution

Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution. Det är då viktigt att kontrollera om lösningarna stämmer med ursprungsekvationen.

1191

Lös ekvationen x4 – 8x2 – 9 = 0 Vi ersätter x2 med t. Då kan x4 ersättas med t2 och vi får andragradsekvationen t2 – 8t – 9 = 0 t = 4 ± √16 + 9 t=4±5 t1 = 9 och t2 = –1 Vi får x2 = 9 och x2 = –1 Ekvationen x2 = 9 har lösningen x = ±3 Ekvationen x2 = –1 saknar reell lösning (men de komplexa rötterna är x = ±i ) Svar: Ekvationen x 4 – 8x2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3

1192 Lös ekvationerna genom att sätta x 2 = t. a) x 4 – 10x 2 + 9 = 0 b) x 4 – 2 x 2 − 8 = 0 c) x 4 – 2x 2 − 3 = 0 1193 Ekvationen x (4x + 5a) = 0 har en lösning x = 2. 2

Vilket värde har a?

1195 Du har ekvationen

b) Vilka rötter har ekvationen i a)? c) Pröva rötterna i den ursprungliga ekvationen. Duger båda rötterna? d) Vilken lösning har ekvationen x +2 = x ?

1194 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N (x) = 2 500 + 350x + 25x 2 där N (x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats?

1.1 AlgebrA och polynom

Kurs 3bc Vux.indb 23

x +2 = x

a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet som en andragradsekvation i normalform.

1196 Lös ekvationen a) x 2(x + 1) – 64(x + 1) = 0 b)

3x − 2 + 2 − x = 0

2012-12-18 14.28

1.2 Rationella uttryck Vad menas med ett rationellt uttryck? rationellt tal

rationellt uttryck

a där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal. b 5 13 och – Exempel på rationella tal är 7 9 En kvot av två heltal

Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x) q(x) x+5 x2 + 4x + 2 och Exempel på rationella uttryck är x x–2 Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.

1201

Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas vara K (x) =

50 x 100 – x

a) Beräkna och tolka K (90). b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x. 50 · 90 = 450 100 – 90 Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna.

a) K (90) =

b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100.

Kurs 3bc Vux.indb 24

1.2 Rationella uttRyck

2012-12-18 14.29

1202

För vilka x-värden är uttrycket inte definierat? a)

5x – 1 2x

5x 2x + 4

2x x +1 2

x2 – 10 x – 12 x + 35 2

a) När x = 0. b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2. c) x2 + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden på x. d) x2 – 12x + 35 = 0 x = 6 ± √ 36 – 35 Uttrycket är inte definierat då x = 5 och x = 7.

1203 Du har uttrycket G(x) = a) Beräkna G(5).

x+7 2x – 8

b) För vilket x-värde är nämnaren lika med noll? 1204 Du har uttrycket G(x) = a) Beräkna G(2).

x2 + 3x – 2 3x + 6

b) För vilket värde på x är uttrycket ej definierat? c) Är det sant att G(–3) < G(2)? Motivera ditt svar. 1205 Då Lena försöker beräkna värdet av 2xy för x = 6 och y = –3 uttrycket x + 2y med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens fönster. Förklara varför. 1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte definierade? x–6 x–6 c) a) 2 x2 + 10 x 2 x2 + 10x + 12 b)

x–6 2 x2 + 10

1.2 Rationella uttRyck

Kurs 3bc Vux.indb 25

2 x – 10 2 x 3 – 50 x

1207 Skriv ett rationellt uttryck som a) inte är definierat för x = 7 b) antar värdet 0 för x = 7 c) inte är definierat för x = ± 3 d) är definierat för alla x. 1208 Emil uppskattar att kostnaderna för hans bil varje år uppgår till 25 000 kr + 20 kr/mil. Anta att han kör x mil under ett år. Ställ upp ett uttryck som ger Emils genomsnittliga bilkostnad per mil. 1209 Om man vet medicindosen för en vuxen, kan dosen för ett barn beräknas med x ·d y= x + 12 där d är vuxendosen, y är barndosen och x är barnets ålder. a) Hur många tabletter bör en fyraåring få, om en vuxen kan ta 6 tabletter? b) Vilken är vuxendosen om en treåring får 0,5 cl?

2012-12-18 14.29

Förlängning och förkortning förlängning

förkortning

Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck. 1 5·1 5 = = 2 5 · 2 10

Förlängning med 5.

2 x·2 2x = = x + 3 x · (x + 3) x 2 + 3x

Förlängning med x.

Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttryck divideras med en gemensam delare. 6x 6 x /2 3x = = 8 8 /2 4

Förkortning med 2.

För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera. 5 x3 5x · x2 x2 = = 5x – 10x 5x (x – 2) x – 2

Förkortning med 5x.

enklaste form

1210

Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet i enklaste form. Förläng med 3. 2x b) 6x a) 5

x–4 2x

2x 2 x · 3 6 x = = 5 5·3 15 6x 6 x · 3 18 x b) 6 x = = = 1 1·3 3 x – 4 3 (x – 4) 3 x – 12 c) = = 2x 3 · 2x 6x

1211

Kurs 3bc Vux.indb 26

Förläng så att nämnaren blir 24x. a)

3 4

3 3 · 6x 18 x = = 4 4 · 6x 24 x

x + 3 4 x (x + 3) 4 x2 + 12 x = = 6 4x · 6 24 x

x+3 6

1.2 Rationella uttRyck

2012-12-18 14.29

1212

Skriv i enklaste form a)

2x 14 x2

3 x5 y2 15 x2y7

12 x – 30 3x + 6

a) Vi faktoriserar och förkortar med 2 och med x. 1

2x 2·x 2·x 1 = = = 14 x2 2 · 7 · x · x 2 · 7 · x · x 7x 1

b) Vi faktoriserar och förkortar med 3x2 och med y2 . 1

3 x5 y2 3 x 2 · x 3 · y2 3 x 2 · x 3 · y2 x3 = = = 2 7 2 2 5 2 2 5 15 x y 5 · 3x · y · y 5 · 3x · y · y 5 y5 1

c) Vi faktoriserar och förkortar med 3. 12 x – 30 3(4 x – 10) 4 x – 10 = = 3x + 6 3(x + 2) x+2

1213

Förenkla om möjligt följande uttryck x2 – 3 x 2x – 6

x x + x2

x x 1 = = x + x2 x (1 + x) 1 + x

x2 – 3 x x (x – 3) x = = 2x – 6 2(x – 3) 2

2 x – 3y 6xy

Förenkla dubbelbråket

( (

x y x y 10 – – 2 5 2 5 x y = 10 x + y + 2 5 2 5

Kurs 3bc Vux.indb 27

2 x – 3y 6xy

täljaren kan inte faktoriseras. ingen förenkling är möjlig.

1214

1.2 Rationella uttRyck

) )

x y – 2 5 x y + 2 5 =

genom att förlänga med 10.

5x – 2y 5x + 2y

2012-12-18 14.29

Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer. x + 3y kan därför inte förkortas. x Du frestas väl inte att förkorta och stryka x -termerna?

VARNING

1215 Förläng med 2. a)

3x 7

x+3 7

4 x

x–3 x

1221 Vad ska stå i parentesen?

1216 Förläng så att nämnaren blir 15x. a)

2 x

x–2 5x

2 3x

2x + 1 3

1217 Skriv i enklaste form 28 a) 32 b)

10 x 3 15 x 2

3 ab3 c) 18 a3b d)

2x + 2 2x

1218 Skriv i enklaste form. Börja med att bryta ut. 10 a) 5 x + 15 b)

2x – 4 6x + 8

2x c) 5 x + x2 d)

x2 + 4x x2 + 3x

1219 Skriv i enklaste form. a)

4 h + h2 h

h 2 x h + h2

3h 3h + x

2 h2 – 4 h 3h – 6

(?) 35 x = 28 x y 7y (?) 4x + 2 b) = 5 10 x + 5 a)

3ax 3 = a x 2 + a2 x (?)

1222 Beräkna värdet för uttrycket 6y2 – 8y om y = 9 9 y – 12 a) före förenkling b) efter förenkling. 1223 Förläng med 12 och förenkla

Kurs 3bc Vux.indb 28

2a 2b – 3 4 b) a b + 3 4

(4 + 1/3) a) (3 – 1/4)

1224 Polynomet p(x) beskrivs av formeln p(x) = 6 x 2 – 48 x. Vilket polynom är q(x) om det rationella p (x) kan förenklas till uttrycket q (x) a) 2

2x + 2y kan förkortas men x+y

1220 Förklara varför 2x + y inte x+y

b) 3x

x–8 ? 2x

1.2 Rationella uttRyck

2012-12-18 14.29

1225

Förenkla x2 – 9 a) x–3

2 x2 – 98 3 x + 21

x 2 – 12 x + 36 x 2 – 36

a) Vi faktoriserar med konjugatregeln: x 2 – 9 (x + 3) (x – 3) = =x+3 x–3 (x – 3) b) Utbrytning och faktorisering med konjugatregeln ger 2 x2 – 98 2 (x2 – 49) 2 (x + 7) (x – 7) 2 (x – 7) = = = 3 x + 21 3 (x + 7) 3 (x + 7) 3 c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt konjugatregeln ger x 2 – 12 x + 36 (x – 6)2 x–6 = = (x + 6) (x – 6) x + 6 x 2 – 36

x2 – 25 x+5

x+4 x 2 – 16

49 – x2 7–x

1227 Förkorta så långt som möjligt. a)

a+1 a2 – 1

a2 + 1 b) a+1

2a2 + 4a a2 – 4

a–b d) 2 2 a –b

1228 Förkorta så långt som möjligt. a)

6 + 2x 9 – x2

5x2 – 5 b) x–1

x2 + 2x + 1 x+1

x 2 – 8 x + 16 d) x–4

1229 Förenkla 4x2 – 4x a) 2 8 x – 16 x + 8

2 a 2 – 18 b 2 b) 2 a – 6ab + 9b2

1230 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket 9 – x2 om x = 2,999. 3–x

1.2 Rationella uttRyck

Kurs 3bc Vux.indb 29

7 (9 – z 2) =3+z 21 + 7z och är osäker på om det blev rätt.

1231 Felicia förenklar:

1226 Förenkla

Pröva om HL = VL för z = 0 respektive z = 1. 1232 Förenkla så långt som möjligt a)

(4 + h)2 – 4 2 h

2(3 + h)2 – 2 · 3 2 h

1233 Förenkla genom att förlänga med x. a)

( )/(

1–x x –1 – 1

4 –x x

4 +4 x

)

(x + h)2 – x 2 genom att h a) först använda kvadreringsregeln

1234 Förenkla uttrycket

b) först använda konjugatregeln omvänt.

2012-12-18 14.29

Exempel

Hur kan vi förenkla uttrycken

3+x 3–x och ? x+3 x–3

3+x x+3 = = 1 x+3 x+3 Uttrycken 3 + x och x + 3 är lika. Däremot är 3 – x inte lika med x – 3. 3–x – x + 3 – 1(x – 3) = –1 = = x–3 x–3 x–3

Vi bryter ut −1

Kom ihåg: Bryt ut –1

1235

b – a = (–1) ∙ (a – b)

Förenkla a)

15 – 5 a a–3

15 – 5 a 5(3 – a) –5(a – 3) = = = –5 a–3 a–3 a–3

a2 – 4 (a + 2)(a – 2) (a + 2)(a – 2) a+2 a+2 = = = =– 6 – 3a 3(2 – a) – 3(a – 2) –3 3

1236 Bryt ut –1 i täljaren. a)

2–x 3

3 – 2x – x2 4

8–x x–8 2 x – 14 7–x

(2 a – 1)2 1238 a) 1 – 2a 1239 a)

Kurs 3bc Vux.indb 30

a2 – 4 6 – 3a

x + 1 2 1240 a)  1 + x 1241 a)

Förenkla 1237 a)

a2 – 1 a – a2

9 – a2 a–3 20 – 4 y d) 2 y – 25 c)

10a – 50 b) 25 – a 2 b)

36 x 2 – 12 x + 1 1 – 36 x 2

b) 

b–a2 a–b

4x2 – 4x + 1 5 x – 10 x 2

2 x 3 – 8x 4x2 – 2 x 3

(12 – 2 x)2 x2 – 12 x + 36

1 – x2 (x – 1)2

1242 Bryt ut (– 2) ur parentesen och förenkla a)

(4 – 2 x) x–2

(4 – 2 x)3 x–2

(4 – 2 x)2 x–2

(4 – 2 x)6 x–2

1.2 Rationella uttRyck

2012-12-18 14.29

Addition och subtraktion lika nämnare

Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt. 4 2 4+2 6 2 + = = = 9 9 9 9 3 På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare. x 4x x + 4x 5x + = = x+2 x+2 x+2 x+2

olika nämnare gemensam nämnare MGN

Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt. Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare. En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck. Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN. 5 3 + =___ 6 4

Vilken gemensam nämnare ska vi välja?

Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och 4, t ex 12, 24 eller 36. Om vi väljer MGN, som här är 12, blir beräkningarna enklast: 5 3 10 9 19 + = + = 6 4 12 12 12

1243

a) Beräkna 2 –

5 7 – 6 8

a) MGN = 24 ger 2 –

b) Förenkla

x 1 x + – 24 36 30

5 7 2 · 24 5 · 4 7 · 3 48 20 21 7 – = – – = – – = 6 8 1 · 24 6 · 4 8 · 3 24 24 24 24

b) 24 = 2 · 2 · 2 · 3  36 = 2 · 2 · 3 · 3  MGN = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360  30 = 2 · 3 · 5 

ta med faktorer så att produkten blir delbar med 24, 36 och 30.

x 1 x x · 15 1 · 10 x · 12 15x 10 12x + – = + – = + – = 24 36 30 24 · 15 36 · 10 30 · 12 360 360 360 =

15x – 12x + 10 3x + 10 = 360 360

1.2 Rationella uttRyck

Kurs 3bc Vux.indb 31

2012-12-18 14.29

1244

Förenkla

1 2 + 6 3x

MGN: 2 ∙ 3 ∙ x = 6 x Vi förlänger till nämnaren 6 x: 1 2 1 · x 2·2 x 4 x+4 + = + = + = 6 3x 6 · x 2 · 3x 6x 6x 6x

1245

a) Lös ekvationen

b) Förenkla uttrycket

2x + 1 2x + =6 6 8

2x + 1 2x + 6 8

a) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN 24: 24 (2 x + 1) 24 · 2 x + = 24 · 6 6 8 4(2x + 1) + 3 ∙ 2x = 144 8x + 4 + 6x = 144 14x + 4 = 144 14x = 140 x = 10 b) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 Vi förlänger till nämnaren 24: 2x + 1 2x 4(2 x + 1) 3 · 2x 8x + 4 6x + = + = + = 6 8 4·6 3·8 24 24 8 x + 4 + 6 x 14 x + 4 2 (7x + 2) 7x + 2 = = = = 24 24 2 · 12 12

Sammanfattning

Kurs 3bc Vux.indb 32

I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation. När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde.

1.2 Rationella uttRyck

2012-12-18 14.29

Kurs 3bc Vux.indb 33

2012-12-18 14.29

LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE

3 bc

VUX

3bc VUX

Matematik 5000

Välj mellan RÖD SERIE

för serviceinriktade yrkesprogram

GUL SERIE

för tekniskt inriktade yrkesprogram

Matematik 5000

är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.

Matematik

5000

GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE

för NA och TE

BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning

För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000

ISBN 978-91-27-42631-3

9 789127 426313

Matematik5000_Green_3bcVUX.indd 1

2012-12-13 17:08