9789147019113

Matematiska problem som kan lösas med flera olika metoder och som innehåller många svårighetsnivåer brukar ibland kallas rika matematiska problem.

Ett rikt problem kan alla i klassen arbeta tillsammans med. Var och en kan hitta sin lösningsmetod och möta utmaningar på sin egen nivå. Efteråt kan alla diskutera och jämföra sina olika lösningar. Målet är att eleverna ska få många ”aha-upplevelser” när de ser varandras lösningsmetoder och på så sätt få en bättre förståelse och begreppsuppfattning i matematik.

Med hjälp av boken 32 rika problem i matematik kan du variera din undervisning och öka elevernas kreativitet, nyfikenhet och lust att lära sig matematik.

På varje uppslag i boken hittar du ett rikt problem tillsammans med ett lärarblad med förslag på olika lösningsmetoder. Samtliga problem i boken finns även att hämta i lättare versioner och i färg på Libers hemsida.

32 Maria Larsson

R*i*k*a problem www.liber.se

i matematik

Best nr 47-01911-3 Tryck nr 47-01911-3-04

LIBER 32_rp_omslag.indd 1

2014-10-28 08:54

ISBN 978-91-47-01911-3 © 2007 Maria Larsson och Liber AB Redaktör: Conny Welén Formgivare: Lotta Rennéus Layout: Christer Langseth, Stenstrand Information Teckningar: Tomas Karlsson Illustrationer: Björn Magnusson Första upplagan 5 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2015

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Undantag Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade ”Kopiering tillåten”.

Kopiering får dock endast ske till eleverna på den egna skolan och kopiorna får ej på något sätt spridas utanför den egna skolans verksamhet.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

32_rp_omslag.indd 2

2014-10-28 08:54

Förord Hur kan man som lärare ge lagom utmaning till varje elev på elevens egen nivå och samtidigt ha en levande matematisk diskussion i klassen som alla elever kan delta i? Enligt min uppfattning rymmer rika problem mycket av svaret på just den frågan. Med rika matematiska problem kan individualisering kombineras med samarbete och kommunikation i klassrummet på ett väldigt bra sätt.

Den här boken vänder sig till dig som är matematiklärare och känner att du vill inspireras och utveckla din undervisning. Boken innehåller ett handfast material för att arbeta med rik problemlösning som stärker elevernas förståelse, begreppsuppfattning, kreativitet, självförtroende, samarbetsförmåga samt förmåga att argumentera för, jämföra och värdera olika lösningar.

Boken har kommit till för att jag blev inspirerad av rika problem och ville göra ett samlat problemlösningsmaterial som lätt kan användas direkt i undervisningen. Jag har utgått ifrån vad jag själv vill använda för slags problemlösningsmaterial i min matematikundervisning. Boken är enkel att använda då det på varje uppslag finns ett färdigt elevblad (som även finns i en lättare version samt i färg på webben) och utförliga lösningsförslag och lektionsförslag. Du som lärare kan lägga merparten av din förberedelsetid på att verkligen tänka igenom vilka olika lösningsstrategier som just dina elever kan tänkas komma med. Då finns det goda möjligheter till mycket intressanta samtal i klassen.

Ett problemlösningspass runt ett rikt problem kan vara så otroligt mycket mer givande än ett mer traditionellt problemlösningspass då eleverna försöker lösa ett antal olika uppgifter.

Jag har upplevt att om man försöker lösa behovet av individualisering genom att olika elever får arbeta med olika problem av skiftande svårighetsgrad förlorar man möjligheten till gemensamma diskussioner. Eleverna arbetar ju då med olika saker och har inte utbyte av varandras idéer. Vid arbete med ett rikt matematiskt problem får alla elever tillfälle att fördjupa sig i ett och samma problem. Det ligger i problemets natur att man kan lösa det på flera olika sätt och att man kan gå olika djupt ner i problemet. Eftersom alla kan vara med och lösa uppgiften och diskutera olika lösningar tränas alla dessutom i att prata matematik.

Jag är övertygad om att språket spelar en mycket stor roll för elevernas förståelse i matematik och rika problem hjälper eleverna att utveckla sitt matematiska språk.

Sätt tänderna i problemen tillsammans med dina elever! Det kommer att ge er mycket arbetsglädje, många intressanta matematiska samtal och varierade lektioner. Om ni jobbar med rik problemlösning som ett regelbundet inslag får matematikundervisningen ett lyft och kreativiteten och idérikedomen börjar blomstra i klassrummet. Upptäckarglädjen hos eleverna får en skjuts genom att de själva, med stöd av dig som lärare och varandra, får upptäcka matematiska samband istället för att få dem serverade. Förståelsen hos eleverna ökar när de får gå på djupet i ett rikt problem och sedan förklara för varandra hur de har löst problemet. Begreppsuppfattningen hos eleverna stärks genom att de verkligen får tillfälle att prata matematik. Deras matematiska självförtroende byggs på vartefter de utvecklar fler och fler strategier för att ta itu med de rika problemen och lär sig se kopplingar mellan olika lösningsmetoder. Kort och gott: Rika matematiska problem är fantastiskt kul!

Jag hoppas att ni kommer att ha många givande, roliga och rika matematikstunder.

Vänliga hälsningar Maria Larsson

Om den här boken Denna bok innehåller 32 rika matematiska problem. Varje problem ligger på ett uppslag med lärarbladet på vänstersidan och elevbladet på högersidan. Elevbladet får kopieras till eleverna och på lärarbladet finns det konkreta lektionsförslag och många olika lösningsförslag. För att du ska få en överblick över problemen finns här en tabell som visar vilka matematiska områden som problemen kan leda in på. Till varje problem hör även en lightversion som ligger på webben, se www.liber.se/32rikaproblem. Där kan du även skriva ut bokens alla problem i färg.

Kod till hemsidans lärarsida: Rh6dk723

Översikt Sida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

2

Buskar på rad Mosaikmönster Bygga korthus Såga i bitar Tornet i Hanoi Skaka hand Smått och gott Hårsnoddar i en ask Val till sjuan Busskön Nilofars bilder Träna tillsammans En brakmiddag Beduinens döttrar Stearinljusen Felblandad saft Fritidsintressen Gå på teater Klädrea Fikabröd Tapas till lunch Med eller utan moms Bröderna Eriksson Annas syskon Gå och bada Dyra köttbullar Chokladfabriken Cykelturen Hinna ikapp Leif Fåren i hagen Hagen och muren Störst låda

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70

Aritmetik med naturliga tal

Proportionalitet/ Bråk / Procent

Geometri

Måttsystem/ Enheter

Algebra

Funktioner/Grafer

Tabeller/Diagram

Se mรถnster

Kombinatorik

3

Vad är rik problemlösning?

Alla elever i en klass ska kunna arbeta med ett rikt problem, oavsett förmåga i matematik.

Tröskeln för att ta itu med ett rikt problem ska vara så låg att alla elever kan ta sig över den. Samtidigt ska problemet innehålla ett matematiskt djup som gör att även de mest matematikbegåvade kan finna utmaningar i att lösa problemet. Ett rikt problem ska både ge eleverna tillfälle att tillämpa den matematik de redan har kommit i kontakt med och samtidigt ge upphov till helt nya matematiska tankar. Ett rikt problem ska kräva ansträngning för att lösas och därför är det viktigt att man ger eleverna gott om tid.

Annars kommer inte det rika matematiska problemet till sin fulla rätt.

Ett rikt problem ska kunna lösas på ett flertal olika sätt med olika lösningsstrategier. När man arbetar med ett rikt problem kan man komma in på en mängd olika matematiska områden. De kan sedan knytas ihop med varandra genom kopplingar mellan elevernas olika lösningar på problemet. Ett rikt problem ska kunna samla hela klassen i en diskussion av problemet och alla olika lösningsförslag. Alla elever ska kunna lösa åtminstone någon del av problemet. Eleverna kommer att komma olika långt med lösningen av problemet vilket är naturligt. Några elever kommer antagligen att lösa alla delproblemen medan andra kommer att lösa något eller några.

Det kommer även att vara skillnader i hur eleverna har löst ett rikt problem. En del kommer att lösa problemet på en generell och abstrakt nivå medan andra kommer att hålla sig på en mer konkret nivå. Genom att diskutera de olika lösningarna tillsammans får eleverna se olika strategier och tankesätt. När de får se och höra hur kompisarna har tänkt samt diskutera igenom problemet kommer de flesta elever att få någon ny insikt. Det har även visat sig vara mycket lärorikt att förklara sina lösningar för andra i klassen eftersom det kräver att eleven som förklarar verkligen har förstått själv.

Alla rika problem i den här boken avslutas med att eleverna får skapa egna liknande problem och sedan försöka lösa varandras problem. När eleverna skapar nya problem kan förståelsen bli ännu djupare eftersom de tvingas tänka igenom problemets struktur och vilken matematik som finns i problemet. Dessutom blir det tydligt för läraren hur väl varje elev har förstått problemets natur. Forskning om rika problem finns presenterad i Hagland, Hedrén & Taflin (2005). Där finns en utförlig beskrivning av bland annat vilka kriterier som gäller för att ett problem ska vara rikt.

För att fördjupa elevernas förståelse och begreppsuppfattning i matematik krävs mer samtal och diskussioner i klassrummet. Undervisningen behöver även vara individualiserad för att varje elev ska få ut så mycket som möjligt av matematiklektionerna. Rik problemlösning sammansmälter det bästa av två världar och möjliggör både individualisering och matematiska samtal. Eleverna fördjupar sig nämligen i ett och samma rika problem men på sin egen nivå och på sitt eget sätt. Det gör att man på ett naturligt sätt får igång matematiska samtal och diskussioner i smågrupper och i helklass. Genom diskussionerna ökar kunskapsutbytet mellan eleverna. När eleverna får se olika lösningsstrategier både på en abstrakt och på en mer konkret nivå kan de upptäcka nya sammanhang och få nya insikter. Genom att resonera och argumentera kring olika idéer och lösningar stärks elevernas förståelse och begreppsuppfattning liksom deras tilltro till sin egen förmåga.

4

Strategier vid rik problemlösning För att lösa ett matematiskt problem kan man använda sig av en mängd olika lösningsstrategier, till exempel: • • • • • •

rita bilder sätta upp en tabell söka mönster gissa och prova använda konkret material ställa upp en ekvation

• • • • • •

resonera logiskt lösa ett enklare problem av samma typ arbeta baklänges dramatisera göra en modell rita ett diagram eller en graf

Ett rikt problem ska gå att lösa på många olika sätt. Olika elever kan föredra olika lösningsmetoder. Uppmuntra gärna eleverna till att lösa de rika problemen på flera olika sätt och till att reflektera över för- och nackdelar med olika lösningssätt.

Olika uttrycksformer gör också att man kan komma in på algebra på ett meningsfullt sätt.

Om en elev har löst ett problem genom att exempelvis prova sig fram kan en annan elevs algebraiska lösning ge en insikt i varför algebran är ett så kraftfullt och användbart verktyg.

Många insikter kommer av att eleverna får se en mängd olika lösningar av samma problem.

De lösningsförslag som ges här i boken är endast förslag och ska tjäna som underlag och inspiration. Det finns naturligtvis många fler sätt att tänka och lösa problemen. Dina elever kommer säkert med ytterligare spännande förslag och idéer.

organisation av rik problemlösning Här kommer förslag på hur du som lärare kan organisera arbetet med rika problem med avseende på arbetsgång, gruppindelning, tidsåtgång och material.

Förslag till arbetsgång och gruppindelning Arbetsgången med inledning, individuellt arbete, gruppdiskussioner och avslutande klassdiskussion har visat sig fungera bra vid arbete med rika problem.

Lärarens inledning Inled gärna på ett sätt som väcker elevernas nyfikenhet, kreativitet och lust att lösa problemet. Se därefter till att alla elever förstår formuleringen och innebörden av problemet genom att gå igenom förutsättningar och frågeställningar ordentligt. För att alla elever verkligen ska ha en chans att arbeta med problemet kan det behövas att lärare och elever tillsammans går igenom problemtexten och förutsättningarna noga, särskilt om problemtexten är lite längre. Uppmuntra eleverna till att lösa problemet på flera olika sätt.

Individuellt arbete och gruppdiskussioner Låt eleverna ägna en stund åt att fundera igenom problemet på egen hand innan de börjar arbeta i grupp. När eleverna sedan ska diskutera problemet i grupper är det bra om de är tre till fyra elever i varje grupp. Det brukar ofta ge en bra gruppdynamik med många olika idéer och aktivitet från alla gruppmedlemmar. Två elever kan vara för lite för att idéerna ska flöda och grupper med fem elever eller fler resulterar sällan i att alla elever är delaktiga i diskussionen. Skillnad i nivå inom gruppen är bra, men om skillnaden inom gruppen

5

är alltför stor gynnar det ofta inte eleverna. Mitt förslag är därför att se till att bilda diskussionsgrupper där den matematiska nivån skiljer sig en del, men inte för kraftigt, mellan eleverna. Att behålla samma grupper under en period kan inverka positivt.

En sekreterare i varje grupp kan skriva ner det gruppen kommer fram till. Gå under tiden omkring och lyssna och anteckna för att fånga upp idéer till klassdiskussionen. Ställ väl avvägda frågor för att eleverna ska komma vidare när det behövs, men lotsa inte eleverna igenom problemet. Lägg märke till vilka idéer eleverna har, även missuppfattningar och felaktiga slutsatser, för att så mycket som möjligt ska framkomma vid klassdiskussionen.

Avslutande klassdiskussion Se till att alla grupper får komma till tals och att de olika idéer och strategier som eleverna har tas upp. Varje grupp kan redovisa sina förslag genom att till exempel skriva på tavlan, blädderblocket eller använda overheadprojektorn. Eleverna får här öva på att förklara, lyssna och argumentera för sin lösning. Uppmuntra elever som lyssnar att ställa frågor till den grupp som redovisar. Om det behövs kan du själv hjälpa till att ställa frågor.

• • • • • • •

Varför har de valt just den här lösningsmetoden? Är det någon annan i klassen som har gjort på något liknande sätt?

Vilka för- och nackdelar kan de se med lösningen?

Tycker de andra i klassen att det är en bra lösning?

Stämmer lösningen? Är lösningen krånglig eller enkel?

Finns det några andra lösningsmetoder som kan användas?

När alla grupper har redovisat sina lösningar kan du sammanfatta och fördjupa diskussionen samt visa på viktiga lösningsstrategier och samband. Eleverna kan få visa sina egna liknande problem direkt efter klassdiskussionen eller vid nästa lektion. Om inte eleverna hinner skapa egna problem på lektionstid kan de få i hemläxa att hitta på ett eget liknande problem och lösa det. Nästa lektion blir några elever uttagna att presentera sina problem. Klasskamraterna får lösa deras problem och sedan kan likheter och skillnader med ursprungsproblemet diskuteras.

Förslag till tidsåtgång Räkna med att eleverna behöver minst en till två lektioner för att lösa ett rikt problem.

Tiden behövs för att eleverna ska ha en chans att fördjupa sig i problemet. Ett förslag på tidsåtgång kan se ut så här: 5–10 minuter åt en intresseväckande inledning och en ordentlig genomgång av problemet så att alla förstår vad problemet går ut på 10–15 minuter åt individuellt arbete med problemet 20–25 minuter åt arbete och diskussioner i smågrupper 25–30 minuter åt klassdiskussion Naturligtvis kan lämpliga tidsramar variera beroende på problemets karaktär, hur djupt man vill gå in på problemet, elevernas inställning och problemlösningsvana samt hur lång lektionen är. Man kan också låta ett rikt problem vila och återkomma till det senare.

Björkqvist (1999) betonar att rika problem kan användas som nyckelproblem att återkomma till många gånger. Eleverna får då använda sina nya kunskaper för att gå vidare med problemet ur nya infallsvinklar. Det kan stärka deras begreppsförståelse och förmåga att se sammanhang ytterligare.

6

Förslag till material Införskaffa bra grundmaterial som dina elever kan använda vid behov när de arbetar med de rika problemen. Material som kan behövas för att arbeta med problemen i den här boken är: kartong och papper i olika färger färgpennor eller kritor saxar linjaler vanlig tejp och maskeringstejp limstift stenar, knappar, kapsyler tändstickor snöre nålar

underlägg som nålarna fäster på hårsnoddar askar spelpjäser i olika färger och storlekar tärningar legobitar sockerbitar klossar spelkort ris

Ett tips kan vara att göra i ordning ”lådor” med en grunduppsättning material i varje låda.

Varje gång man ska arbeta med ett rikt problem plockar man ihop och delar ut det material som kan behövas för just det aktuella problemet. Du kan titta under rubriken Använd konkret material i varje problem för att se vilket material som kan behövas för just det rika problem du tänkt arbeta med.

Lärarens roll vid rik problemlösning Din roll som lärare är central för att problemen verkligen ska bli ”rika” och inte ”fattiga”.

Det är därför viktigt att du uppmärksammar elevernas tänkande, visar intresse samt stödjer eleverna när de till exempel förkastar en bra idé som är värd att prova. Tänk på att ställa väl avvägda frågor vid rätt tillfälle utan att lotsa eleverna genom problemet. För att bredda och fördjupa elevernas tänkande kan du även fråga hur eleverna har tänkt, om problemet går att lösa på något annat sätt, hur de kan kontrollera om deras lösning verkligen stämmer etc. Hur du förhåller dig till problemlösningen och till dina elever avgör om problemen blir rika på matematik eller inte.

Om eleverna ska våga visa sina lösningar, ställa frågor, argumentera och blotta sina missuppfattningar krävs det att ni har en öppen och tillåtande stämning i klassrummet.

Ett sätt att uppnå det är att ta upp missuppfattningar och felaktigheter som en del av lärandeprocessen och inte som något att skämmas för. Antagligen har andra i klassen gjort samma fel och lyfter man fram det i ljuset kan förståelsen öka och problemlösningen avdramatiseras.

Det är av yttersta vikt att du som lärare lägger ner tid på att noga tänka igenom problemet och olika lösningsmetoder på förhand. Några av de strategier som kan komma upp finns presenterade på lärarsidorna bredvid varje problem. Om du är väl förberedd på vilka olika lösningsförslag och frågeställningar som kan tänkas dyka upp samt vilka kopplingar mellan olika matematiska områden som kan göras, så kan dina elevers idéer verkligen användas till att fördjupa diskussionen.

7

LÄRARHANDLEDNING 1

Buskar på rad Lektionsförslag Ha gärna några lätta mönster med ”plattor” på tavlan när eleverna kommer in för att eleverna ska börja tänka kring mönster. Låt eleverna komma med förslag på vad som kan komma härnäst. Gå igenom dagens problem och förvissa dig om att alla har förstått frågeställningen. Arbeta med problemet först enskilt, sedan i smågrupper och låt till sist hela klassen diskutera samt visa och förklara sina lösningar. Det här problemet kan få eleverna att upptäcka vitsen med omskrivningar av algebraiska uttryck eftersom antalet plattor kan uttryckas på flera olika sätt beroende på hur man ser på mönstret. Se även översikten i början av boken för vilka matematiska områden det här problemet kan leda in på.

Lösningsförslag

Rita en bild och resonera logiskt Man kan utgå från lodräta rader av plattor. Mellan varje buske samt i ändarna är det en lodrät rad med tre plattor.

Sedan är det även en platta över och under varje buske.

Om n är antalet buskar kan antal plattor över och under buskarna uttryckas som 2n och antal plattor mellan buskarna och vid ändarna kan tillsammans uttryckas som 3(n + 1). Totala antalet plattor kan uttryckas som 2n + 3(n + 1) = 2n + 3n + 3 = 5n + 3, där n är antalet buskar.

Ett alternativt resonemang är att utgå från horisontella rader av plattor. Den övre och undre raden består vardera av 2n + 1 plattor. Plattorna mellan buskarna samt i ändarna är n + 1 stycken. Totalt är det (2n + 1) + (2n + 1) + (n + 1) = = 5n + 3 plattor, där n är antalet buskar.

Använd konkret material Om man lägger plattor med till exempel stenar, lego eller tärningar går det att se att man för varje buske lägger till 5 plattor med formen av ett spegelvänt C. Ett tredje resonemang är att utgå från hela rektangeln och sedan dra ifrån buskplanteringarna. Totala antalet plattor blir 3(2n + 1) – n = 6n + 3 – n = 5n + 3, där n är antalet buskar.

Ställ upp en ekvation Antalet plattor ökar alltså med 5 för varje ny buske. Eftersom man startar med 3 lodräta plattor samt ett spegelvänt C måste formeln för antal plattor vara 3 + 5n = 5n + 3 där n är antalet buskar.

Sätt upp en tabell Antal buskar

Antal plattor

1

8

2

13

3

18

4

23

5

28

...

...

10

53

...

...

15

78

...

...

n

5n + 3

För varje ny buske ökar antalet plattor med 5. Eftersom det är 8 plattor runt den första busken kan formeln skrivas som 5n + 3, där n är antalet buskar.

8

För att ta reda på hur många buskar Camilla måste plantera om hon har 208 plattor kan man ställa upp följande ekvation där n är antalet buskar: 5n + 3 = 208 5n = 205 205 = 41 n= 5 Det finns alltså utrymme för 41 buskar.

Variationer Låt eleverna bygga plattmönster av stenar, knappar, tärningar, klossar, lego etc. på alla möjliga fantasifulla sätt och ta fram formeln för summan av alla plattor. Flera olika färger på plattorna kan ingå i mönstret. En annan variant kan vara att fråga hur de följande figurerna i en serie kan se ut om man endast presenterar de två första figurerna i serien med plattor. Du hittar en lightversion av Buskar på rad på Libers hemsida: www.liber.se/32rikaproblem.

Buskar på rad Camilla ska plantera buskar vid en gågata i city. Runt varje buske lägger hon plattor som figuren visar. Varje vit ruta är en platta och varje svart ruta är en rabatt där en buske planteras.

2 buskar

3 buskar

1. Hur många plattor går det åt runt a) 4 buskar? b) 5 buskar? c) 10 buskar? d) 15 buskar? e) n buskar?

2. Hur många buskar måste Camilla plantera om hon lägger 208 plattor?

3. Hitta på ett eget liknande problem och lös det.

4. Byt problem med en kompis och försök lösa varandras problem.

Jämför era lösningar.

Kopiering tillåten · 32 rika problem i matematik © Liber AB

1 buske

9

LÄRARHANDLEDNING 2

Sätt upp en tabell

Mosaikmönster

1

Antal svarta bitar 1

0

2

4·1+1=5

4 · 12 = 4 · 1 = 4

3

4·2+1=9

4 · 2 2 = 4 · 4 = 16

4

4 · 3 + 1 = 13

4 · 3 2 = 4 · 9 = 36

5

4 · 4 + 1 = 17

4 · 42 = 4 · 16 = 64

Nummer

Lektionsförslag Ha gärna några lätta mönster på tavlan när eleverna kommer in i klassrummet för att eleverna ska börja tänka kring mönster. Låt eleverna komma med förslag på vad som kan komma härnäst. Gå igenom dagens problem och förvissa dig om att alla har förstått frågeställningen. Arbeta med problemet först enskilt, sedan i smågrupper och låt till sist hela klassen diskutera samt visa och förklara sina lösningar. När eleverna tittar på de vita mosaikbitarnas mönster kan de upptäcka att summan av successiva udda heltal alltid ger kvadrattal. Se även översikten i början av boken för vilka matematiska områden det här problemet kan leda in på.

Antal vita bitar

...

...

...

10

4 · 9 +1 = 37

4 · 92 = 4 · 81 = 324

...

...

...

15

4 · 14 + 1 = 57

4 · 14 2 = 4 · 196 = 784

...

...

...

n

4(n – 1) + 1

4(n – 1) 2

Antal mosaikbitar som går åt totalt till figur n fås genom att addera antalet svarta och vita mosaikbitar i figur n: 4(n – 1) + 1 + 4(n – 1)(n – 1) = = 4(n – 1) (1 + n – 1) + 1 = 4n(n – 1) + 1

Lösningsförslag Använd konkret material Om man bygger upp ett antal figurer med till exempel svarta och vita stenar, tärningar eller papperslappar så ser man att de svarta bitarna bildar ett X. I varje vinkel av X:et kan man se att de vita mosaikbitarna växer så här:

Ett annat sätt att räkna ut antalet mosaikbitar i figur n är att utgå från hela figuren som är en kvadrat med sidan 2n – 1. Det totala antalet bitar fås då som kvadratens area, d.v.s. (2n – 1)2. Det här kan man även använda för att kontrollera att man räknat rätt. De två formlerna för det totala antalet mosaikbitar måste överensstämma med varandra.

(2n – 1)2 = 4n2 – 4n + 1 = 4n(n – 1) + 1

n=2

n=3

n=4

n=5

I bilden nedan visas hur man flyttar runt de vita bitarna så att figurerna omformas till kvadrater med sidan (n – 1).

Arean för varje kvadrat är då (n – 1)2.

n=2

n=3

n=4

n=5

Eftersom varje figur består av fyra sådana kvadrater går det åt 4(n – 1)2 vita mosaikbitar till figur n. Sedan tittar vi på de svarta bitarna. Varje ben av de svarta mosaikbitarna växer så här:

n=2

n=3

n=4

n=5

Varje ben är en bit kortare än figurens nummer. Eftersom hela figuren består av fyra likadana ben samt en svart bit i mitten går det åt 4(n – 1) + 1 svarta mosaikbitar till figur n.

Det stämmer!

Resonera logiskt Antalet svarta bitar består av en bit i mitten samt fyra ben som vardera är en bit kortare än figurens nummer.

Därför kan antalet svarta bitar i hela figuren uttryckas som 4(n – 1) + 1. Antalet vita bitar består av fyra likadana fjärdedelar. Antalet vita bitar i varje fjärdedel kan skrivas som (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…) vilket är kvadrattal (0 · 0, 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3, 4 · 4, 5 · 5, 6 · 6…). Faktorerna i kvadrattalen är hela tiden ett mindre än figurens nummer.

Därför kan antalet vita bitar i varje fjärdedel uttryckas som (n – 1)(n – 1) och antalet vita bitar i hela figuren som 4(n – 1)(n – 1) = 4(n – 1)2.

Rita en bild Antalet mosaikbitar som går åt totalt till figur n kan illustreras med följande bild:

n=2

n=3

n=4

n=5

Eftersom varje figur består av en bit i mitten samt fyra omgivande rektanglar som vardera är n(n – 1) bitar stor går det åt 4n (n – 1) + 1 mosaikbitar totalt till figur n.

Variationer En variation på problemet kan vara att låta eleverna bygga egna mosaikmönster av stenar, knappar, tärningar eller klossar. Sedan får de försöka ta fram formeln för summan av alla ingående element i olika färger. Du hittar en lightversion av Mosaikmönster på Libers hemsida: www.liber.se/32rikaproblem.

10

Mosaikmönster Åsa och Jens ska lägga ett mosaikgolv i sitt badrum enligt det mönster som bilden visar.

Figur 1 Figur 2

1. Hur många svarta respektive vita mosaikbitar går det åt till a) figur 4? b) figur 5? c) figur 10? d) figur 15? e) figur n?

2. Hur många mosaikbitar går det åt totalt till figur n?

3. Hitta på ett eget liknande problem och lös det.

4. Byt problem med en kompis och försök lösa varandras problem.

Jämför era lösningar.

Kopiering tillåten · 32 rika problem i matematik © Liber AB

Figur 3

11

Matematiska problem som kan lösas med flera olika metoder och som innehåller många svårighetsnivåer brukar ibland kallas rika matematiska problem.

Ett rikt problem kan alla i klassen arbeta tillsammans med. Var och en kan hitta sin lösningsmetod och möta utmaningar på sin egen nivå. Efteråt kan alla diskutera och jämföra sina olika lösningar. Målet är att eleverna ska få många ”aha-upplevelser” när de ser varandras lösningsmetoder och på så sätt få en bättre förståelse och begreppsuppfattning i matematik.

Med hjälp av boken 32 rika problem i matematik kan du variera din undervisning och öka elevernas kreativitet, nyfikenhet och lust att lära sig matematik.

På varje uppslag i boken hittar du ett rikt problem tillsammans med ett lärarblad med förslag på olika lösningsmetoder. Samtliga problem i boken finns även att hämta i lättare versioner och i färg på Libers hemsida.

32 Maria Larsson

R*i*k*a problem www.liber.se

i matematik

Best nr 47-01911-3 Tryck nr 47-01911-3-04

LIBER 32_rp_omslag.indd 1

2014-10-28 08:54