9789147116157

MATEMATIK

Matematik Numerus är en ny matematikserie för gymnasiets högskoleförberedande program. Böckerna ger goda förutsättningar för fortsatta studier och passar också för vuxenutbildning och basår.

Utmärkande för serien:

numerus 2C

• uppgifter kopplade till förmågorna • utförliga lösningar i facit och på webben • rikt och pedagogiskt genomtänkt digitalt material Matematik Numerus omfattar samtliga kurser på gymnasiets b- och c-spår.

Läs mer om serien och digitalt material på www.liber.se.

Eva von Heijne är civilingenjör och lärare i matematik och kemi, med lång erfarenhet från undervisning på gymnasiet. För närvarande är Eva verksam inom Vuxenutbildningen i Lidingö.

RUNG VON HEIJNE

Andreas Rung är civilingenjör och lärare, med en doktorsexamen i fysik. Han undervisar vid Kungsholmens gymnasium i Stockholm.

MATEMATIK

numerus 2C

ANDREAS RUNG Best.nr 47-11615-7

EVA VON HEIJNE

Tryck.nr 47-11615-7

9789147116157_Gymnasiematematik_2c_omslag_FINAL.indd 1

2018-06-28 15:05

MATEMATIK

numerus 2C

ANDREAS RUNG EVA VON HEIJNE

LIBER

s I-VI MatematikNumerus2c Intro.indd 1

2018-06-29 07:25

ISBN 978-91-47-11615-7 © 2018 Andreas Rung, Eva von Heijne och Liber AB PROJEKTLEDARE: Calle Gustavsson och Jonas Klingberg OMSLAG: Cecilia Frank FORMGIVNING: Cecilia Frank/Frank Etc. AB och Nette Lövgren BILDREDAKTÖR: Marie Olsson ILLUSTRATIONER: Björn Magnusson SÄTTNING: Monica Schmidt/Exakta Print AB och Daniel Sjöfors/Blå Huset (facit) PRODUKTION: Adam Dahl GRANSKARE: Lars Thunberg

Första upplagan 1 REPRO: Repro 8 AB, Stockholm TRYCK: People Printing, Kina, 2018

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00

Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

s I-VI MatematikNumerus2c Intro.indd II

2018-06-29 07:25

Bildförteckning Omslagsbilder: Shutterstock

97 Tom Merton/Caiaimage /IBL Bildbyrå

206 Susanne Wahlström/Johnér

6

100 Mikael Svensson/Johnér

250 Christian Beutler/Keystone/TT

8 Per Magnus Persson/Johnér

106 Johanna Hanno/TT

254 Matton Collection/Johnér

24 John Birdsall/REX /IBL Bildbyrå

117 SPL/IBL Bildbyrå

255 Bernd Wuestneck/DPA/TT

137 Maskot/Johnér

27 plainpicture/Johnér

263 Johan Bjurer/TT

143 Håkan Hjort/Johnér

31 Maskot/Johnér

268 Maskot/Johnér

153 Hulton Archive/Getty Images

41 Andreas Hillengrend/TT

274 Hans Bjurling/Johnér

159 Bridgeman/IBL Bildbyrå

45 Maskot/Johnér

278 Matton Collection/Johnér

160 (1) Cultura Creative/Johnér

46 Susanne Kronholm/Johnér

280 Magnus Fond/Johnér

160 (2) Peter Dazeley/Alamy/IBL Bildbyrå

281 Peter Carlsson/Johnér

Håkan Hjort/Johnér

58 Hussein El-alawi/Sydsv/TT 80 Mel Longhurst/Camera Press/ IBL Bildbyrå

162 Claudio Bresciani/TT

96 Jorge Dominguez/IBL Bildbyrå

178 Pia Ulin/Johnér

164 Matton Collection/Johnér

239 Ulf Palm/TT

Övriga foton: Shutterstock

BILDFÖRTECKNING

s 285-340 MatematikNumerus2c_Facit ny.indd 340

2018-06-29 09:25

Till läsaren Välkommen till Matematik Numerus 2c!

HUR ÄR BOKEN UPPLAGD?

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG

Boken är indelad i 5 kapitel. Vart och ett av dessa börjar med en kort text om syftet med kapitlet.

Sedan varvas avsnitt med förklarande text, kontrollfrågor, lösta exempel och uppgifter att lösa.

I varje kapitel finns en eller flera större datorbaserade övningar under rubriken Programmering och digitala verktyg. Övningarna fungerar både som lektionsaktiviteter i grupp och för enskilt arbete. Här tränar du användning av symbolhanterande verktyg, kalkylering och programmering.

De program som används är Microsoft Excel, GeoGebra och programmeringsspråket Python 3.

KONTROLLFRÅGOR OCH EXEMPEL

Genom att svara på Kontrollfrågor kan du testa att du har förstått den förklarande texten. Det är också bra om du studerar lösta Exempel innan du börjar med uppgifterna. Exemplen är konkreta och tar upp det viktigaste i teorin.

UPPGIFTER MED FÖRMÅGEMARKERINGAR

Uppgifterna är indelade i tre olika svårighetsgrader. Dessutom är de indelade efter matematisk förmåga. På ett streck över en eller flera uppgifter anges nivån (svårighetsgraden). De små bokstäverna till höger anger vilka förmågor som tränas i uppgifterna: NIVÅ 2

B P PL M R K

Syftet med markeringen är att du själv ska ha koll på att du verkligen tränar alla förmågor under kursens gång, och veta på vilken nivå du klarar dem. En bred matematisk förmåga har du nytta av i dina studier, ditt arbete och i vardagen.

DISKUTERA, RESONERA OCH MODELLERA

I boken finns större problemlösningsuppgifter, som kallas Diskutera, resonera och modellera. Du kan lösa dessa uppgifter på egen hand, men de är också lämpliga att diskutera med någon annan.

SAMMANFATTNING OCH BLANDADE UPPGIFTER

I slutet av kapitlen finns en Sammanfattning som ger dig en tydlig översikt över de viktigaste momenten i kapitlet. Därefter följer Blandade uppgifter från kapitlet, sorterade efter nivå och förmåga.

KAPITELTEST MED BEDÖMNINGSMALL

Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest med bedömningsmall. Mallen fyller du själv i. Syftet är att du ska kunna identifiera vad du behöver träna mer på. Bedömningsmallen gör det också lättare för din lärare att få en bild av dina kunskaper.

TACK

Vi vill rikta ett stort tack till de lärare och elever som kommit med förslag till förändringar och förbättringar under tillkomsten av denna bok. Vi vill speciellt tacka Lars Thunberg, som granskat materialet. Eventuella kvarvarande brister ansvarar vi naturligtvis själva för.

Lycka till med studierna!

Författarna och Liber AB

TILL L ÄSAREN

s I-VI MatematikNumerus2c Intro.indd III

III

2018-06-29 07:25

P – PROCEDURFÖRMÅGA

FÖRMÅGOR B – BEGREPPSFÖRMÅGA

Att förstå, använda och beskriva matematiska begrepp och sambanden mellan begreppen

EXEMPEL

Att hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär, såväl med verktyg (t.ex. miniräknare) som utan verktyg.

EXEMPEL

Ekvationen 6x = 36 har lösningen x = 6.

Grundläggande procedurförmåga visar du till exempel genom att lösa en ekvation eller förenkla ett uttryck.

Viktiga begrepp är funktion, ekvation, uttryck och variabel. Att förstå dessa begrepp och att kunna använda dem korrekt räknas som begreppsförmåga.

FÖRMÅGOR RL – RELEVANSFÖRMÅGA

Att kunna relatera till matematikens roll, betydelse och användning inom andra ämnen, och i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.

EXEMPEL

Du visar att du förstår matematikens roll i världen runtomkring genom att till exempel redogöra för hur geometri används vid byggkonstruktion, eller procent vid ränteberäkningar.

IV

När du arbetar med Matematik Numerus 2c kommer du att träna olika matematiska förmågor.

K – KOMMUNIK ATIONSFÖRMÅGA

Att kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

EXEMPEL

Kommunikation handlar om det matematiska språket. Om du använder korrekta begrepp och symboler kan andra förstå hur du tänker. Det kan till exempel vara att skriva ”6x = 36 som har lösningen x = 6”, i stället för att inkorrekt skriva ”6x = 36 = 6”.

NUMERUS 2C

s I-VI MatematikNumerus2c Intro.indd IV

2018-06-29 07:25

PL – PROBLEMLÖSNINGSFÖRMÅGA

Att formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.

EXEMPEL

”I en förening med 24 medlemmar är 1/6 män. Hur många i gruppen är inte män?” Vid problemlösning ska du tolka ett problem, och översätta det till matematiska symboler och uttryck.

Sedan behöver du en strategi för att lösa problemet. I exemplet är målet att komma fram till att 5/6 inte är män och att det motsvarar 20 personer.

M – MODELLERINGSFÖRMÅGA

Att tolka en verklig situation och utforma en matematisk modell för den samt att använda modellen och utvärdera dess användningsområde och begränsningar.

EXEMPEL

”Du köper x äpplen för 5 kr/st och y bananer för 7 kr/st. Ställ upp en formel för den totala kostnaden.”

R – RESONEMANGSFÖRMÅGA

Att följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

Modellering går ut på att översätta mellan verklighet och modell. Här handlar det om att kunna formulera sambandet 5x + 7y = total kostnad. Du ska sen kunna använda sambandet för att räkna ut kostnaden för till exempel 8 bananer och 10 äpplen.

EXEMPEL

”Förklara vad det innebär att en rät linje har riktningskoefficienten –2”.

Resonemangsförmåga visar du när du diskuterar matematik. Målet är här att beskriva, muntligt eller skriftligt, hur riktningskoefficienten påverkar linjens lutning.

FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR

s I-VI MatematikNumerus2c Intro.indd V

V

2018-06-29 07:25

Innehåll 1 ALGEBRA 1.1 1.2 1.3 1.4

Repetition av algebra ................................................2 Repetition av ekvationer och funktioner ............7 Räta linjer och linjär regression.......................... 14 Ekvationssystem ...................................................... 31

4 GEOMETRI 4.1 4.2 4.3

Vinklar...................................................................... 176 Koordinatgeometri ............................................... 188 Skala, likformighet och kongruens.................. 196 SAMMANFATTNING ................................................ 219

SAMMANFATTNING ................................................. 53

BLANDADE UPPGIFTER ........................................ 221

BLANDADE UPPGIFTER ......................................... 55

KAPITELTEST ........................................................... 225

KAPITELTEST ............................................................ 60

5 STATISTIK 2 ICKELINJÄR ALGEBRA 2.1 2.2 2.3 2.4

Polynom och algebraiska regler.......................... 64 Andragradsekvationer ........................................... 73 Andragradsfunktioner .......................................... 87 Rotekvationer, substitution och ekvationssystem..................................................... 102

5.1 5.2 5.3

Läges- och spridningsmått ................................. 230 Normalfördelning ................................................. 246 Analys och hantering av statistiska data ........ 259 SAMMANFATTNING ................................................ 275 BLANDADE UPPGIFTER ........................................ 277 KAPITELTEST ........................................................... 281

SAMMANFATTNING ................................................ 126 BLANDADE UPPGIFTER ........................................ 128 KAPITELTEST ........................................................... 132

FACIT SVAR TILL KONTROLLFRÅGOR........................... 285 SVAR OCH LÖSNINGAR TILL

3 ICKELINJÄR ALGEBRA OCH LOGARITMER

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG .. 288 SVAR OCH LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER ............................................. 292

3.1 3.2 3.3 3.4

Potensekvationer ................................................... 136 Potens- och exponentialfunktioner................. 137 Exponentialekvationer och logaritmer .......... 148 Potens- och exponentialregression.................. 160

REGISTER ................................................................. 338 BILDFÖRTECKNING ................................................ 340

SAMMANFATTNING ................................................ 165 BLANDADE UPPGIFTER ........................................ 167 KAPITELTEST ........................................................... 171

VI . NUMERUS 2C

s I-VI MatematikNumerus2c Intro.indd VI

2018-06-29 07:25

Kapitel 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Repetition av algebra Repetition av ekvationer och funktioner Räta linjer och linjär regression Ekvationssystem

ALGEBRA Vad du kommer att lära dig …

Hur man kan använda system av ekvationer för att lösa problem där flera olika variabler ingår. Dessutom får du lära dig hur man kan analysera och utvärdera statistiska data med hjälp av linjär anpassning. … och varför Som naturvetare eller tekniker kommer du att använda algebra, funktioner och ekvationssystem för att skapa matematiska modeller av olika fenomen. Inom biologin kan modellerna till exempel beskriva hur storleken varierar hos fiskar eller ödlor, eller hur antalet hjortdjur ökar eller minskar inom ett område.

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 1

CENTRALT INNEHÅLL ■ Begreppet linjärt ekvationssystem.

■ Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationssystem med två och tre obekanta tal, såväl med som utan numeriska och symbolhanterande verktyg.

■ Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

■ Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, såväl med som utan digitala verktyg.

■ Statistiska metoder för rapportering av observationer och mätdata från undersökningar inklusive regressionsanalys med digitala verktyg.

2018-06-29 09:36

1.1 Repetition av algebra Inledande aktivitet Utgå från tabellen och utför de angivna räkneoperationerna. Skriv resultaten i de tomma fälten.

Addera 2x

5

Subtrahera 3x – 1

Multiplicera med x

Dividera med 3x/2

5 + 2x

3x – 1 –x + 1 2

3x – 5x + 8

Algebraiska uttryck – Kommer du ihåg?

Algebraiska uttryck innehåller tal, variabler och tecken för räkneoperationer.

I det algebraiska uttrycket 25x + 2y – 20 är x och y variabler. 25x och 2y är variabeltermer med koefficienterna 25 och 2. –20 är en konstantterm.

Vi kan beräkna värdet av ett algebraiskt uttryck genom att ersätta x och y med givna siffror.

Den räkneordning som vi måste följa när flera olika räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är: Prioriteringsregler

1. Beräkna alla parenteser.

2. Utför sedan alla multiplikationer och divisioner.

3. Avsluta med att addera och subtrahera alla termer.

KONTROLL

Förenkla uttrycket 7⋅3 14 − ⋅5 9−2

2 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 2

2018-06-29 09:36

Vi repeterar också hur man förkortar och förlänger bråk eller rationella tal.

Att förlänga och förkorta bråk

När vi förlänger ett bråktal multiplicerar vi täljare och nämnare med samma tal.

När vi förkortar ett bråktal dividerar vi täljare och nämnare med samma tal.

Kom ihåg!

När vi adderar och subtraherar rationella tal måste talen ha samma nämnare.

När vi multiplicerar och dividerar rationella tal behöver talen däremot inte ha samma nämnare.

EXEMPEL 1

Utför additionen

5 3 + och svara i enklaste bråkform.

6 7

Vi förlänger det första bråket med 7 och det andra bråket med 6 för att få samma nämnare.

5 3 5 ⋅ 7 3 ⋅ 6 5 ⋅ 7 + 3 ⋅ 6 35 + 18 53 + = + = = = 42 42 6 7 6⋅7 7⋅6 6⋅7

NIVÅ 1

1101

1102

B P PL M R K

Beräkna och svara i enklaste form 9 2 − 11 3 3 Förläng eller förkorta bråket − så att 7 a) täljaren blir 9

1103

Beräkna vilket tal som är störst utan att använda räknare. a)

9 7 eller 11 9

b)

8 7 eller 15 13

b) nämnaren blir –56

1.1 REPETITION AV ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 3

3

2018-06-29 09:36

Multiplikation och division av rationella tal

Vid multiplikation av rationella tal multiplicerar vi täljare och nämnare var för sig. a c a ⋅ c ac ⋅ = = b d b ⋅ d bd Vid division av rationella tal multiplicerar vi täljarens bråk med nämnarens inverterade bråk. a b = a ⋅ d = ad c b c bc d

EXEMPEL 2

3 4 ⋅ och svara i enklaste bråkform.

8 5 Vi multiplicerar täljare och nämnare var för sig och förkortar:

a) Utför multiplikationen

3 4 3⋅ 4 3⋅ 4 3 ⋅ = = = 8 5 8 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 5 10 3 12 och svara 7 14 i enklaste bråkform.

b) Utför divisionen

Vi multiplicerar bråket i täljaren med nämnarens inverterade bråk och förkortar: 3⋅ 2⋅7 1 3 12 3 14 = ⋅ = = 7 14 7 12 7 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2

NIVÅ 1

1104

B P PL M R K

Beräkna 1 1 a) 4 ⋅ ⋅ 3 16

B P PL M R K

1105

b)

12 8 13 3

I en förening med 24 medlemmar är 1/6 män. a) Hur stor andel kvinnor är det i gruppen? b) Hur många kvinnor är det i gruppen?

4 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 4

2018-06-29 09:36

NIVÅ 2

1106

1107

B P PL M R K

Förklara för din kamrat vad produkten av x2 bråket 2 och dess inverterade bråk blir. y x ≠ 0 och y ≠ 0.

1 1 + 4 Beräkna 12 3 7

NIVÅ 3

1108

1109

B P PL M R K

−a har ett värde som ligger mitt 72 1 4 emellan och . Vilket är talet a?

3 9 Bråket

2 21 För ett bråk gäller att x = .

7 16 4 ?

Vad är x 3

Räkneregler vid lika tecken/olika tecken

Vid addition ändras inga tecken i parentesen då den tas bort.

2a + (b – a) = 2a + b – a = a + b Vid subtraktion ändras alla tecken i parentesen då den tas bort.

2a – (b – a) = 2a – b + a = 3a – b För alla räknesätt gäller att lika tecken ger ett positivt resultat och att olika tecken ger ett negativt resultat.

Från föregående kurs vet vi också att 1. Ordningen mellan termer i en addition kan kastas om.

2. Ordningen mellan faktorer i en produkt kan kastas om.

3. Additioner får utföras i valfri ordning, likaså multiplikationer.

4. En faktor framför en parentes ska multipliceras med alla termer i parentesen.

Dessa regler kan sammanfattas i tre lagar: Räknelagar

1. De kommutativa lagarna 2. De associativa lagarna 3. Den distributiva lagen

a+b=b+a a·b=b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a(b + c) = (b + c)a = ab + ac

1.1 REPETITION AV ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 5

5

2018-06-29 09:36

EXEMPEL 3

Förenkla uttrycket 2x(x – y) – (2x – y)4x Framför 2x(x – y) står ett plustecken. Vi kan multiplicera in faktorn framför och bara ta bort parentesen.

Framför (2x – y) står ett minustecken. Vi utför därför operationen i två steg: först multiplicerar vi in 4x och därefter tar vi bort parentesen och byter tecken.

2x(x – y) – (2x – y)4x = = 2x2 – 2xy – (8x2 – 4xy) = = 2x2 – 2xy – 8x2 + 4xy = –6x2+ 2xy

NIVÅ 1

1110

B P PL M R K

1111

a) b(a – b) – (a – b)

En kohage ska inhägnas. Långsidan ska vara x m och kortsidan 30 m kortare.

Skriv ett förenklat uttryck för kohagens

Beräkna b) 3x(x2 – y) – x(x – y)

1112

Beräkna

a) omkrets.

a) 2x(x – y) – (y – x) · 2x

b) area.

b) 2u(u + v) – v(2u + 2v) + u(u + 3v) NIVÅ 2

1113

B P PL M R K

Beräkna abc( a + b + c) – (a – b – c)abc

NIVÅ 3

1114

B P PL M R K

I uttrycket a(x + 2b) + 2c är x en variabel och a, b och c är konstanter. Om x = 4 har uttrycket värdet 12. Ange ett förenklat samband som måste gälla mellan a, b och c. Ge förslag på möjliga heltalsvärden för a, b och c.

6 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 6

2018-06-29 09:36

1.2 Repetition av ekvationer och funktioner Ekvationer VL

En ekvation är en likhet.

4x

HL

variabel =

20

Ekvationens vänstra led, VL, är lika med ekvationens högra led, HL. En ekvation innehåller minst en obekant, en variabel. Variabeln kallas ofta för x.

I en ekvation med variabeln x har vi hittat lösningen, eller roten, till ekvationen när vi har räknat ut det värde (eller de värden) på x för vilka VL = HL. Ekvationslösning

Grundregeln när vi löser ekvationer är att vi måste göra exakt samma räkneoperationer i ekvationens vänstra led som i ekvationens högra led. Bryter vi mot detta väger inte balansvågen jämnt längre.

Vi strävar alltid efter att få variabeln ensam på ena sidan om likhetstecknet och siffertermerna på den andra sidan om likhetstecknet.

KONTROLL

Lös ekvationen a + 4 = 7 – 2a

EXEMPEL 1

Lös ekvationen 2x – 3(x + 5) = 4(6 – x) Vi multiplicerar in –3 och 4 i parenteserna och byter tecken i den vänstra parentesen eftersom det står ett minustecken framför 3.

2x – 3(x + 5) = 4(6 – x) 2x – 3x – 15 = 24 – 4x Vi samlar x- termerna i vänstra ledet och siffertermerna i högra ledet.

2x – 3x + 4x = 24 + 15 3x = 39

⇒

x = 13

1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 7

7

2018-06-29 09:36

NIVĂ… 1

1201

B P PL M R K

LĂśs ekvationen

NIVĂ… 3

Ange en ekvation, pĂĽ formen ax2 + bx + c = 0, som har lĂśsningarna x = 3 och x = 5.

1207 2

a(2a + 1) = 6 + 2a – a 1202

LĂśs ekvationen

B P PL M R K

EXEMPEL 2

a – 2(a + 4) = 3(5 – 4a) LÜs ekvationen NIVÅ 2

B P PL M R K

1203

Summan av tre pü varandra fÜljande udda tal är 15. Vilka är talen?

1204

Bestäm värdet pü a om ekvationen 3a(4 – x) = 12 – ax har lÜsningen x = 3.

3x x −2 = 4+ 4 2

3x x −2 = 4+ 4 2 3x x − =6 4 2

Vi samlar x-termerna i vänstra ledet och siffertermerna i hÜgra ledet och fÜrenklar.

B P PL M R K

1205

FÜr vilket värde pü x har triangeln och rektangeln samma omkrets?

4

x+3

x+1

4

3x

ĺ&#x2020;˘ 4 < 2ĺ&#x2020;Ł 4 u6 x

Vi multiplicerar büda leden med MGN, den minsta gemensamma nämnaren, som är 4.

4 â&#x2039;&#x2026; 3x 4 â&#x2039;&#x2026; x â&#x2C6;&#x2019; = 4â&#x2039;&#x2026;6 4 2

2x â&#x20AC;&#x201C; 1

Vi fĂśrkortar och fĂśrenklar.

x

3x â&#x20AC;&#x201C; 2x = 24 â&#x2021;&#x2019;

x = 24

Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

1206

Anna ska blanda bül till midsommarfesten. Bülen ska innehülla 90 % läsk och 10 % lemonad. Hur münga cl läsk ska Anna ta till 25 cl lemonad?

NIVĂ&#x2026; 1

Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

1208

LĂśs ekvationerna x x 12s â&#x2C6;&#x2019; 5 + +4 =9 a) = 2s + 1 b) 3 2 8

1209

LĂśs ekvationen x 3x 4 x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; = 21 2 4 5

8 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 8

2018-07-04 08:26

NIVĂ&#x2026; 2

1210

Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

Inträdet till ett nÜjesfält är hälften sü dyrt fÜr barn som fÜr vuxna. Pensionärer betalar 3/4 av vuxenpriset. Familjen Widlund, som bestod av tvü vuxna, tre barn och en pensionär, besÜkte nÜjesfältet en dag.

Hur mycket betalade var och en om den sammanlagda kostnaden fÜr inträdet var 1 700 kronor?

NIVĂ&#x2026; 3

LĂśs ekvationen x ( x 1) u

LĂśs ekvationen 10a u

Vi fĂśrkortar och fĂśrenklar.

x + 3x2 + 3x = 4x + 4

x-termerna tar ut varandra.

3x2 = 4

Vi dividerar med 3 och drar roten ur bĂĽda leden.

ĺ&#x2020;Ł

1213

NIVĂ&#x2026; 3

120 = 4a + 5

1214

â&#x2021;&#x2019;

4 2 =Âą 3 3

NIVĂ&#x2026; 2

Vi multiplicerar büda leden med MGN, som är 10a.

10a â&#x2039;&#x2026; 12 2 â&#x2039;&#x2026; 10a 1 â&#x2039;&#x2026; 10a = + Vi fĂśrkortar och a 5 2a fĂśrenklar.

4a = 115

4 u x ( x 1) x

12 2 1 = + a 5 2a

12 2 1

u 10a 5 2a a

ĺ&#x2020;˘

1

ĺ&#x2020;˘ x 1 3ĺ&#x2020;Ł

x ( x + 1) â&#x2039;&#x2026; 1 4 â&#x2039;&#x2026; x ( x + 1) + 3x ( x + 1) = ( x + 1) x

x =Âą

EXEMPEL 3

1 4 +3 = x +1 x

Vi multiplicerar büda leden med MGN, som är x(x + 1).

Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

Bestäm värdet pĂĽ a i ekvationen a 2ax â&#x2C6;&#x2019; 5 y â&#x2C6;&#x2019; z = , om x = 2 och y är 1/3 av 2 x och z är 1/4 av y.

1211

EXEMPEL 4

115 a= = 28,75 4

Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

LĂśs ekvationen 4 1 = 4 x + 5 6x Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

Bestäm sambanden mellan a, b och c sĂĽ att a b c = + x 2 + 3x x x + 3 (x â&#x2030; 0 och x â&#x2030; â&#x20AC;&#x201C;3)

NIVĂ&#x2026; 1

1212

Bâ&#x20AC;&#x201A;Pâ&#x20AC;&#x201A;PLâ&#x20AC;&#x201A;Mâ&#x20AC;&#x201A;Râ&#x20AC;&#x201A;K

LĂśs ekvationerna 4 1 a) +5 = 3a 2a

b)

14 1 = +4 3x 6

1215

LĂśs ekvationen 6x 6 â&#x2C6;&#x2019; =2 3x â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2C6;&#x2019; 2

1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 9

9

2018-07-04 08:29

Funktioner En funktion är ett samband, eller ett beroende, mellan två eller flera variabler. I gymnasiematematiken begränsar vi oss till funktioner av en oberoende variabel, ofta betecknad x och en beroende variabel, ofta betecknad y.

Att ”y är en funktion av x” betecknar vi allmänt y = y(x). Skrivsättet visar att y beror av x. Även andra beteckningar, som till exempel f(x) eller h(t), används för funktioner, men betydelsen är densamma.

Funktion

En funktion är ett samband mellan två eller flera variabler.

En funktion innehåller en beroende variabel och en eller flera oberoende variabler. y är en funktion av x om det för varje värde på x endast finns ett värde på y.

En funktion kan beskrivas på flera olika sätt, till exempel: Med ord

Med en formel

Arean av en cirkel är π gånger radien i kvadrat.

A = π · r2 där A är cirkelns area och r är cirkelns radie.

Med en värdetabell

Med en graf

Radie

Area

0

0

1

π

2

4π

3

9π

4

16π

A 8 6 4 2 r –2

2

Om vi studerar värdetabellen ovan ser vi att 0 ≤ r ≤ 4 och att 0 ≤ y ≤ 16π.

Dessa r-värden är funktionens definitionsmängd och y-värdena är funktionens värdemängd.

10 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 10

2018-06-29 09:36

KONTROLL

Representerar a)-uppgiften eller b)-uppgiften en funktion? a) y = 5x – 2 b) x-värde

y-värde

0

0

1

1

2

8

3

12

3

15

Definitions- och värdemängd

De tillåtna x-värdena för en funktion kallas funktionens definitionsmängd.

De y-värden som svarar mot de tillåtna x-värdena kallas funktionens värdemängd.

KONTROLL

EXEMPEL 1

Vilken är definitionsmängden och värdemängden för y =

1 ? x −3

Funktionen y(x) bestäms av uttrycket y(x) = 2x2 – 4 a) Bestäm y(1)

Vi söker funktionens värde då x = 1, och ersätter därför x med 1.

y(1) = 2·12 – 4 = −2

Funktionen har värdet –2 för x = 1.

b) Bestäm y(2a) y(2a) = 2·(2a)2 – 4 = 8a2 – 4 c) Lös ekvationen y(x) = 1

Funktionen har värdet 8a2 – 4 för x = 2a.

Här är frågeställningen den omvända.

2x2 – 4 = 1

Vi söker det eller de x-värden för vilka funktionen har värdet 1.

x ≈ ±1,58

För x ≈ ±1,58 har funktionen värdet 1.

1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 11

11

2018-06-29 09:36

EXEMPEL 2

Figuren visar grafen till funktionen f(x).

y 8 6 4 2 x –4

–2

2

a) Bestäm f(1) Vi söker funktionens värde för x = 1. Alltså läser vi av y-koordinaten för den punkt på grafen där x = 1. f (1) = 8

Funktionens värde är 8 för x = 1.

b) Bestäm f(0) Vi söker funktionens värde för x = 0. Vi läser av y-koordinaten för den punkt på grafen där x = 0, det vill säga grafens skärningspunkt med y-axeln. f (0) = 3

Funktionens värde är 3 för x = 0.

c) Lös ekvationen f (x) = 0 Vi söker de x-värden för vilka funktionen är 0, det vill säga funktionens nollställen. Vi läser av de punkter där y-koordinaten är 0, det vill säga grafens skärningspunkter med x-axeln. f (x) = 0 för x = –1 och x = –3

Funktionen är 0 för x = –1 och x = –3.

12 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 12

2018-06-29 09:36

NIVÅ 1

1216

1217

1218

B P PL M R K

Funktionen y(x) bestäms av uttrycket y(x) = x3 + 5x – 6

B P PL M R K

1220

Du har funktionen y = y(x).

Förklara i ord betydelsen av

a) Bestäm y(0)

a) y(0)

b) Bestäm y(2)

b) y(x) = 0

Du har funktionen y(x) = 2x2 + 8.

Bestäm x om y(x) = 12,5.

Figuren visar grafen till funktionen y = y (x)

NIVÅ 2

1221

B P PL M R K

Du har funktionen h(x) = 5x2 + 4 a) Bestäm h(x – 2) b) Bestäm h(a/3)

Bestäm med hjälp av grafen a) y(1)

1222

b) funktionens nollställen.

Du har funktionen f ( x ) =

9 +3. x

Bestäm x om f (x– 2) = 12.

c) y(0) y

1223

6

Värdetabellen beskriver en funktion.

Ange funktionens formel.

4 2 x 2

–2 –2

B P PL M R K

1219

När Märta var 2 år vägde hon 12 kg. Idag är Märta 10 år och väger 35 kg.

NIVÅ 3

y

–1

5

0

3

1

1

2

–1

B P PL M R K

1224

Funktionerna f (x) och g(x) definieras som 1 f (x ) = − 3x + 2 och g(x) = x2 – 2x.

2x Bestäm f (g(1)).

1225

Skissa en graf som visar sambandet mellan

a) Vilken är den beroende variabeln och vilken är den oberoende variabeln? b) Teckna med matematiska symboler ett funktionsuttryck som anger att Märta vägde 12 kg när hon var 2 år.

x

a) en kubs volym och dess sida. b) en kubs totala begränsningsarea och dess sida.

1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 13

13

2018-06-29 09:36

1.3 Räta linjer och linjär regression Räta linjens ekvation Alla funktioner av typen y = kx + m har grafer som är räta linjer. Sambandet y = kx + m kallas därför den räta linjens ekvation. y y=x+2

y = –0,5x + 1 4 2

x –4

2

–2

4

m-värdet

På y-axeln gäller att x = 0 för alla punkter. Sätter vi in x = 0 i den räta linjens ekvation får vi y = k · 0 + m, det vill säga y = m. Värdet på m anger var linjen korsar y-axeln. k-värdet

I funktionen y = kx + m är k linjens riktningskoefficient. k-värdet anger hur mycket y ökar eller minskar om x ökar med 1. Om k > 0 är funktionen växande, vilket innebär att y ökar när x ökar. Om k < 0 är funktionen avtagande, vilket innebär att y minskar när x ökar. Om k = 0 är funktionen varken växande eller avtagande. Resultatet är en funktion vars graf är parallell med x-axeln. Funktionen är y = m. y

y=x+2

4 1 steg 1 steg 1 steg

2

1 steg

För 1 steg i x-riktningen tar vi 1 steg i y-riktningen för att komma tillbaka till linjen. Lutningen k = 1.

x –2

2

4

k = 1. k > 0 innebär att funktionen är växande.

14 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 14

2018-06-29 09:36

y För 2 steg i x-riktningen tar vi 1 steg i negativ y-riktning för att komma tillbaka till linjen.

För 1 steg i x-riktningen tar vi alltså 0,5 steg i negativ y-riktning. k = –0,5.

4

2

2 steg

y = –0,5 x + 1

–1 steg 2 steg

–2

2

x –1 steg

k = –0,5. k < 0 innebär att funktionen är avtagande.

6

y

4 2 x 2

–2 –2

Parallella linjer har samma lutning.

Två linjer som har samma riktningskoefficient är parallella med varandra.

Två viktiga linjer

För att kunna beskriva alla räta linjer som kan dras i ett koordinatsystem behöver vi också kunna beskriva linjer som är parallella med koordinataxlarna.

Linjen y = m, där m är konstant, är parallell med x-axeln.

Linjen x = a, där a är konstant, är parallell med y-axeln.

4 2

y

4 y=2

2

y x=1 x

x 2

–2 –2

Linjen y = 2

–2

2 –2

Linjen x = 1

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 15

15

2018-07-04 08:33

EXEMPEL 1

Bestäm den räta linjens ekvation på k-form, y = kx + m.

4

y

2

(3, 2) x 2

–2 –2

(0, –2)

Vi utgår från de givna punkterna på linjen och bestämmer linjens riktningskoefficient k: Deltasymbolen Δ används för att beskriva en differens i matematiken.

I y-riktningen är skillnaden Δy = 2 – (–2) = 4.

I x-riktningen är skillnaden Δx = 3 – 0 = 3.

Linjens skärning med y-axeln, m: m-värdet i räta linjens ekvation är m = –2 eftersom linjen skär y-axeln där y = –2.

4 Linjens ekvation är alltså y = x − 2 3

Kvoten

Δy utläses Δx

Lutningen k =

”delta-y genom delta-x”

y 4 = x 3

Räta linjer

Räta linjens ekvation på k-form:

y = kx + m

m anger var grafen skär y-axeln. k är riktningskoefficienten som anger linjens lutning: ändring i y -led Δy k= = ändring i x -led Δx Ett positivt k-värde innebär att y-värdet ökar då x ökar.

Ett negativt k-värde innebär att y-värdet minskar då x ökar.

Linjen y = m är parallell med x-axeln.

Linjen x = a är parallell med y-axeln.

KONTROLL

1 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (1, 1) och (5, 3).

2 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (2, 5) och (2, 9).

16 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 16

2018-07-03 13:19

Enpunktsform, tvåpunktsform och allmän form Enpunktsform

Ekvationen för en rät linje kan bestämmas på flera olika sätt.

y (x, y)

Om du känner till koordinaterna för en punkt samt linjens lutning kan du använda dig av den så kallade enpunktsformen.

Δy (x1, y1) Δx

Vi kallar koordinaterna för den kända punkten för (x1, y1). En annan godtycklig punkt på linjen har koordinaterna (x, y).

x

Δy y − y1 = . Δx x − x1 Ur sambandet löser vi ut y genom att multiplicera båda sidor med nämnaren x – x1.

För att bestämma linjens lutning k använder vi sambandet k =

k=

y − y1 ⇔ k(x – x1) = y – y1 x − x1

Därefter adderar vi y1 till båda leden och får k(x – x1) + y1 = y eller y = k(x – x1) + y1 EXEMPEL 1

Bestäm ekvationen för den räta linje som har lutningen k = 3 och som går genom punkten (2, 5).

Vi använder enpunktsformen y = k(x – x1) + y1 där (x1, y1) = (2, 5) och k = 3. y y = 3(x – 2) + 5 = 3x – 6 + 5 = 3x – 1

6

Linjen y = 3x – 1 uppfyller villkoren.

4

(2, 5)

2 x 2

–2 –2

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 17

17

2018-06-29 09:36

Tvåpunktsform

Om vi känner till koordinaterna för två punkter (x1, y1) och (x2, y2) kan vi i stället använda den så kallade tvåpunktsformen.

Vi utgår från enpunktsformen y = k(x – x1) + y1 och ersätter k med Δy y 2 − y1 . k= = Δx x 2 − x1 Resultatet blir y = EXEMPEL 2

y 2 − y1 ( x − x1 ) + y1 x 2 − x1

Bestäm ekvationen för linjen genom punkterna (1, 3) och (4, 9).

Eftersom vi vet koordinaterna för två punkter är tvåpunktsformen lämplig att använda.

Vi låter (x1, y1) = (1, 3) och (x2, y2) = (4, 9) Tvåpunktsformen: y = y=

y − y1 ( x − x1 ) + y1 x 2 − x1

9−3 ( x − 1) + 3 4 −1

6 y = ( x − 1) + 3 = 2 x − 2 + 3 = 2 x + 1 3 Linjens ekvation är alltså y = 2x + 1.

Allmän form

Den allmänna formen förekommer ofta när vi arbetar med digitala verktyg.

Räta linjens ekvation på allmän form är ax + by + c = 0.

Genom att lösa ut y får vi linjens ekvation på k-form: c a y = − x − = kx + m b b a Linjen har alltså lutningen k = − , och y-koordinaten för skärningsb c punkten med y-axeln är m = − . b

18 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 18

2018-06-29 14:37

EXEMPEL 3

En rät linje har ekvationen 2x + 3y – 5 = 0.

Hur ser linjens ekvation ut på formen y = kx + m? (så kallad k-form) 2x + 3y – 5 = 0 2 5 x+y− =0 3 3 y

Vi dividerar alla led med 3.

2 5 x+ 3 3

Vi ”flyttar” termer för att lösa ut y.

På k-form är den räta linjens ekvation y

2 5 x+ .

3 3

Olika former av räta linjens ekvation

y = kx + m y = k(x – x1) + y1 y − y1 y= ( x − x1 ) + y1 x 2 − x1 ax + by + c = 0

NIVÅ 1

1301

B P PL M R K

k-form enpunktsform tvåpunktsform allmän form

1303

En rät linje skriven på allmän form är x + y – 2 = 0. Hur ser linjens ekvation ut på k-form?

1304

Genom en punkt (a, 5) går en rät linje med lutningen k. Bestäm linjens ekvation på k-form om

Bestäm k och m för de räta linjerna a) y = 2x – 3 b) y = –0,4x + 5 c) 2x – 4y + 3 = 0 d) –3x + 5y – 10 = 0

1302

a) a = 2 och k = 3

Bestäm räta linjens ekvation på k-form om

b) a = –3 och k = –1

a) k = 3 och linjen går genom punkten (1, 5)

c) a = 1,5 och k = 0,6 d) a = –2,5 och k = –1,6

b) k = –1 och linjen går genom punkten (0, –2) c) linjen går genom punkterna (1, 5) och (4, 10) d) linjen går genom punkterna (–3, –2) och (1,5; 7)

B P PL M R K

1305

Ekvationen för en rät linje är y = 1,6x + 8.

Bestäm ekvationen för en parallell linje som går genom punkten (10, 12).

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 19

19

2018-06-29 09:36

1306

I en butik säljer man naturgodis för 14 kr/hg. Det finns också en presentburk man kan köpa för a kr. Den totala kostnaden kan beskrivas med modellen y = 14x + a, där y är kostnaden i kr och x är antalet hg. Vad kostar burken, om modellens graf går genom punkten (6, 110)?

1314

Bestäm talen a och b så att linjen ax + by + 3 = 0 är samma linje som y = 6x – 7.

1315

Avgör om punkterna (3, 7), (–2, 25) och (8, –9) ligger på samma räta linje.

NIVÅ 3

1316

1307

1308

B P PL M R K

Ibland skriver man den räta linjen på så x y kallad interceptform, + = 1 . a b x y a) Visa att + = 1 går att forma om till 2 3 ekvationen för en rät linje på k-form. b) Bestäm koordinaterna för linjens skärningspunkter med x- och y-axlarna.

För vilket värde på talet a är linjerna 4x – 3y + 5 = 0 och ax + 2y + 3 = 0 parallella med varandra?

c) Visa att en linje som skär koordinataxlarna i punkterna (a, 0) och (0, b) x y har ekvationen + = 1 . a b

Bestäm talet c så att linjen 1,5x – 2y + c = 0 går genom punkten (2; 2,25)

B P PL M R K

NIVÅ 2

B P PL M R K

1317 1309

2x − 3 y + 2 = går att 4 3 forma om till ekvationen för en rät linje på k-form.

Visa att ekvationen

Bestäm ett algebraiskt samband för a uttryckt i b.

1318

1310

Bestäm den funktion f(x) = kx + m för vilken gäller f (–1) = 3 och f (2) = 4.

En rät linje går genom punkten (6, 5) och är parallell med en linje genom punkterna (–2, 5) och (3, 7). Bestäm ekvationerna för de båda linjerna.

Bestäm talen a och b så att de tre punkterna ligger på samma räta linje.

1312

(1, 1), (3, 5) och (a, 11)

1313

(–3, b), (3, 7) och (12, –29)

Två linjer är px – 5y + 6 = 0 och 3x + 2y + q = 0. Hitta två tal p och q som gör att a) linjerna är parallella.

B P PL M R K

1311

Punkterna (0 , 1), (4 , b) och (a , –3) ligger på en rät linje.

b) linjerna har en gemensam skärningspunkt med y-axeln. c) båda linjerna går genom punkten (2, 3).

1319

Genom punkterna (2, 1) och (a, a2 – 3) går en rät linje. a) Vilken lutning har linjen? b) Bestäm linjens lutning då a = 2,1, då a = 2,01 och då a = 2,001. Vilka slutsatser drar du?

20 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 20

2018-07-04 11:53

Vinkelräta linjer I figuren nedan har vi ritat två sträckor som utgår från origo och slutar i var sin punkt, P respektive Q. Hur stor är vinkeln mellan linjerna? y

P = (–b, a)

Q = (a, b) y x

a

b z x

y

b

x a

Vi drar räta linjer från punkterna rakt ner mot x-axeln. Då bildas två rätvinkliga trianglar. Sidornas längder bestäms av koordinaterna för punkterna. Vi ser att trianglarna är kongruenta. Det betyder att de har precis lika långa sidor, och att alla vinklar i den ena triangeln är precis lika stora som motsvarande vinklar i den andra triangeln.

Symbolen ⊥ betyder att en linje är vinkelrät mot en annan.

Vinkeln x + y + z = 180°. I en rätvinklig triangel gäller x + y + 90° = 180°.

Det innebär att vinkeln z = 90° och att linjerna OP och OQ alltså bildar rät vinkel med varandra. Ofta skriver man OP ⊥ OQ. En linje som är vinkelrät mot en annan rät linje kallas ofta för en normal.

Linjen OP har lutningen k1 =

Δy 0−a a = =− Δx 0 − (−b) b

Linjen OQ har lutningen k2 =

Δy b − 0 b = = Δx a − 0 a

a b Produkten mellan lutningarna för linjerna är k1k2 = − ⋅ = −1 b a Vinkelräta linjer

Två räta linjer med riktningskoefficienterna k1 och k2 är vinkelräta mot varandra om k1 · k2 = –1 En linje som är vinkelrät mot en annan kallas ofta för en normal. y1 ⊥ y2 betyder att linjerna y1 och y2 är vinkelräta mot varandra.

KONTROLL

Vilken lutning har en linje som är vinkelrät mot y = 4x + 7?

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 21

21

2018-06-29 09:36

EXEMPEL 1

Bestäm ekvationen för en linje som är vinkelrät mot linjen y = 5x – 11.

Den sökta linjen har lutningen k. Produkten mellan riktningskoefficienterna ska vara –1: 5 · k = –1

Kom ihåg: x ⋅

1 x = a a

⇔

k=−

1 5

Normalen till y = 5x – 11 är då till exempel y ⊥ = −

EXEMPEL 2

x .

5

Vilken ekvation har linjen som är vinkelrät mot y = –2x + 4 och som går genom punkten (3, 11)?

Den sökta vinkelräta linjen har ekvationen y⊥ = k⊥x + m Produkten mellan lutningarna är –1: –2 · k⊥ = –1

⇔

k⊥ =

−1 = 0,5 −2

Det innebär att y⊥ = 0,5x + m. Vi sätter in punkten (3, 11) och bestämmer m: 11 = 0,5 · 3 + m

⇔

m = 11 – 1,5 = 9,5

Den sökta linjens ekvation är y⊥ = 0,5x + 9,5.

EXEMPEL 3

Utanför linjen y = 0,5x + 2 ligger punkten P = (3, 1). Bestäm koordinaterna för punkten P′ som är speglingen av punkten P i linjen.

Med speglingen P ′ menar vi en punkt som ligger lika långt från linjen som punkten P, och där både P och P′ ligger på en linje som är vinkelrät mot den kända linjen.

Den linje som både P och P′ ligger på har riktningskoefficienten –2, eftersom –2 · 0,5 = –1.

Den vinkelräta linjens ekvation: y⊥ = –2x + m En punkt på linjen är P = (3, 1). Vi sätter in punkten i den vinkelräta linjens ekvation: 1 = –2 · 3 + m m=7

22 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 22

2018-07-04 08:38

Den vinkelräta linjen (normalen) till linjen y = 0,5x + 1 är y⊥ = –2x + 7.

För att kunna bestämma avståndet mellan punkten P och linjen bestämmer vi nu skärningspunkten mellan de båda räta linjerna.

I skärningspunkten gäller 0,5x + 1 = –2x + 7

(y-koordinaterna lika)

2,5x = 6 x = 2,4 Att x = 2,4 ger y = 0,5 · 2,4 + 1 = 2,2 Skärningspunkten har koordinaterna (2,4; 2,2) För att gå från P = (3, 1) till skärningspunkten behöver vi förflytta oss Δx = 0,6 i negativ x-riktning och Δy = 1,2 i positiv y-riktning. y 4 P’ 3

Δy Δx

Skärningspunktens koordinater är (2,4; 2,2)

2 Δy

P = (3, 1)

1

Δx x 1

2

3

4

5

Spegelpunkten P′ kommer vi till om vi går lika långt och på samma sätt från skärningspunkten. Vi tar 0,6 steg i negativ x-riktning och 1,2 steg i positiv y-riktning: Från x = 2,4 går vi –0,6 steg till x = 1,8 Från y = 2,2 går vi 1,2 steg till y = 3,4 P′ har koordinaterna (1,8; 3,4).

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 23

23

2018-06-29 09:36

NIVÅ 1

1320

1321

B P PL M R K

Vilken lutning har en linje som är vinkelrät mot a) y = x + 5

b) y = 3x – 11

c) y = 4,4 – 2x

d) y = 12,9 – 0,25x

Bestäm talet a så att linjen y = ax + 2 är a) vinkelrät mot linjen 3x + 2y = 0

NIVÅ 3

1329

Två punkter P = (4, 12) och Q = (9, 7) binds samman med varandra och med en punkt R på y-axeln så att en rätvinklig triangel uppstår. Bestäm koordinaterna för punkten R.

1330

Punkterna P = (0, 2), Q = (5, –1) och R = (3, 7) ritas in i ett koordinatsystem.

b) parallell med linjen 3x + 2y = 0 1322

1323

a) y = 2x + 5

b) y = –2x – 1

c) y = 4x

d) y = 0,5x + 12

e) y = –0,25x – 9

f) y = –0,5x + 3

NIVÅ 2

1324

1325

a) Visa att linjerna PQ och PR är vinkelräta mot varandra

Bestäm ekvationen för en linje som är vinkelrät mot y = 4x + 3 och som går genom punkten (–4, 5).

Para ihop de linjer som är vinkelräta mot varandra.

B P PL M R K

En rät linje på allmän form är ax + by + c = 0. Vilken lutning har linjens normal?

En rät linje har ekvationen 5x – 6y + 3 = 0. En annan rät linje har ekvationen ax + 2y = 0. Bestäm a så att linjerna är a) parallella

B P PL M R K

b) Punkten S läggs till så att de fyra punkterna bildar en rektangel.

Vilka koordinater har S? 1331

Punkten P = (3, 3) speglas i linjen L vars ekvation är y = –2x + 1. Spegelpunkten benämns Q. Med spegling menas att avståndet från punkten P till linjen är lika stort som från spegelpunkten Q till linjen, och P och Q ligger på samma räta linje som är vinkelrät mot linjen L. a) Bestäm koordinaterna för spegelpunkten Q. b) Bestäm koordinaterna för spegelpunkten Q om linjen L i stället har ekvationen y = –0,25x + 2.

b) vinkelräta.

1326

Bestäm k och m så att de vinkelräta linjerna y = 6x + m och y⊥ = kx – 4 har sin skärningspunkt på y-axeln.

1327

Utanför linjen 6x + y – 12 = 0 ligger punkten P = (3, 6). Bestäm på allmän form ekvationen för normalen som går genom P.

1328

En triangel har sina hörn i punkterna (2, 6), (6, 9) och (–1, 10). Visa att triangeln är rätvinklig.

24 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 24

2018-06-29 09:36

Linjära modeller och linjär regression Simon skaffar en ödla som husdjur. Han vill se om den växer som den ska, och mäter därför längden på ödlan en gång varannan vecka under några månader. Mätningen sammanfattas i en tabell och ett diagram. x (antal veckor) y (längd i cm)

0

2

4

6

8

10

12

8,2

9,7

10,9

11,3

13

14,9

15,8

längd 16

cm

12 8 4 antal 4

Simon vill bestämma en linjär modell, y = kx + m, för hur ödlan växer. Han drar därför en linje som är så bra anpassad till mätpunkterna som möjligt.

längd 16

8

12 veckor

cm

12 8 4 antal 4

8

12 veckor

Han kan bestämma linjens ekvation genom att använda två punkter på linjen. Startvärdet, att ödlan var 8,2 cm när han precis fått hem den, ger punkten (0; 8,2). En annan punkt som är lätt att läsa av är punkten (6, 12).

12 − 8,2 ≈ 0,63 . Det innebär att ödlan i genomsnitt 6−0 har växt 0,63 cm/vecka.

Linjens k-värde är då

Linjens m-värde är 8,2 eftersom ödlan var 8,2 cm efter 0 veckor.

Linjens ekvation är alltså y = 0,63x + 8,2.

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 25

25

2018-06-29 14:38

Hur kan Simon vara säker på att det är den modell som bäst överensstämmer med hans mätningar? Om vi ritar med hjälp av ögonmått är det svårt att se om den linje vi ritat verkligen är den bästa. Och vad menas med att linjen är ”bäst”?

I matematiken går det att beräkna vilken linje som är den som är bäst anpassad till mätdata. Ett sätt är att beräkna avstånden, eller avvikelserna, från alla mätpunkterna till linjen, och se till att den sammanlagda avvikelsen blir så liten som möjligt. Den bästa linjen är den som har den minsta summan av avvikelser.

Avvikelserna kan både vara positiva, om linjen ligger över mätpunkterna, och negativa, om linjen ligger under mätpunkterna. Det som är intressant är storleken på avvikelserna, och för att inte tecknet ska spela någon roll studerar man avvikelsernas kvadrater som är positiva tal. längd 16

cm d6

12 8

d3

d2

d7

d5

d4

d1

4 antal 4

8

12 veckor

Simon vill alltså minimera summan d12 + d22 + d32 + d42 + d52 + d62 + d72 .

Metoden för att göra det för hand är relativt invecklad, men en grafritande räknare eller en dator kan beräkna den bästa linjen med hjälp av minsta kvadratmetoden eller linjär regression.

Simon gör en tabell på sin räknare. I den första kolumnen skriver han in antalet veckor, och i den andra kolumnen matar han in ödlans längd.

Med hjälp av räknaren kan nu Simon göra linjär regression. Det innebär att han låter räknaren räkna fram ekvationen för den räta linje som är bäst anpassad till tabellvärdena.

Räknaren ger honom sambandet y = 0,6304x + 8,1893. Här är y ödlans längd och x antalet veckor. Hans ödla växer alltså cirka 0,63 cm per vecka, och den var ca 8,2 cm när han köpte den.

26 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 26

2018-06-29 09:36

EXEMPEL 1

Bestäm ekvationen för den räta linje som bäst anpassar sig till mätdatat i tabellen. x

0

2

4

6

y

8

13,5

14,7

16,8

1. Mata in data i statistiktabeller i din grafräknare. På vissa räknare gör man det genom ”STAT” och sedan ”EDIT”. I listan L1 matar du in x-värden, och i listan L2 matar du in y-värden.

L1 0 2 4 6 -----

L2 L3 8 ----13.5 14.7 16.8

2. Välj applikation för linjär regression. På vissa räknare använder man ”STAT”, ”CALC” och sedan ”LinReg (ax+b)” följt av ”ENTER”.

På vissa räknare måste man därefter välja x-listan L1, y-listan L2, därefter välja ”Calculate” och trycka ”ENTER”.

3. Resultatet presenteras på räknaren: LinReg y=ax+b a=1.38 b=9.11

Den bästa linjens ekvation är enligt räknaren y = 1,38x + 9,11.

Om du utgår från tabellen i exemplet och matar in den i din räknare kanske inte den räta linjen ovan överensstämmer helt med det du får fram med din räknare. Räknare har lite olika tekniker för att göra linjär regression.

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 27

27

2018-06-29 09:36

EXEMPEL 2

Med ett kalkylprogram gör du så här: 1. Mata in dina data i tabellen i ett kalkylblad.

2. Markera de celler som innehåller dina data och gör ett punktdiagram. I vissa program använder man ”Infoga” och sedan väljer man punktdiagram från en menyrad.

3. Högerklicka på en av datapunkterna i diagrammet. Då kommer en menyflik upp där du kan välja ”Lägg till trendlinje”.

4. Välj ”linjär”, och ”visa ekvation i diagrammet” som är en kryssruta.

y = 1,38x + 9,11

Ekvationen för linjen blev y = 1,38x + 9,11 även med kalkylprogrammet.

28 K APITEL 1 . ALGEBR A

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 28

2018-06-29 09:36

NIVÅ 1

1332

B P PL M R K

x

1

2

3

4

y

4

5,8

8,4

9,8

NIVÅ 2

1335

a) Pricka in punkterna i tabellen i ett koordinatsystem. Använd linjal och dra en rät linje som är så bra anpassad till punkterna som möjligt. Bestäm linjens ekvation.

Vikt (kg)

1334

4

6

7,5

9,3

y

2,1

7,8

12,8

18,3

x

1,2

2,5

4,4

7,6

y

8,5

4,3

–1,5

–10,5

1

2

3

4

5

3,950 4,135 4,324 4,525 4,868 5,225

b) Elina antar att viktökningen följer en rät linje. Vilken ekvation har den räta linje som är bäst anpassad till hennes mätning? c) Hur mycket kommer hennes lillebror att väga när han fyller 5 år, om viktökningen fortsätter att vara linjär?

Resonera om modellens rimlighet.

1336

En mätning resulterade i följande tabell:

0

a) Mata in tabellvärdena i din räknare eller i ett kalkylprogram på datorn.

Mata in x- och y-värdena i din räknare eller i ett kalkylprogram. Bestäm ekvationen för den linje som är så bra anpassad till värdena som möjligt. x

Elina har fått en lillebror, och hon väger honom varje vecka under sex veckor.

Tabellen sammanfattar hennes mätning.

Vecka

b) Mata in x- och y-värdena i ett digitalt verktyg. Använd linjär regression för att bestämma linjens ekvation. Hur skiljer sig ekvationen från ditt svar i a-uppgiften?

1333

B P PL M R K

Vid en fysiklaboration har eleverna mätt hur massan m gram hos en metallstav beror av stavens volym V i cm3. Resultatet presenteras i en tabell.

Volym (cm3)

4,8

6,5

9,4

11,6

14,6

Massa (g)

13,1

17,4

25,1

31,5

39,6

a) Bestäm ekvationen för den räta linje som är bäst anpassad till dessa mätdata.

Massan är proportionell mot volymen.

Proportionalitetskonstanten kallas densitet och har enheten g/cm3.

b) Bestäm ett ungefärligt värde för y(20).

a) Bestäm linjens ekvation med linjär regression på ett digitalt verktyg och tolka resultatet.

c) Lös ekvationen y = 47 och svara med en decimals noggrannhet.

b) Vilken densitet har metallen? c) Hur mycket bör en metallstav som har volymen 40,0 cm3 väga enligt din modell? d) Vilken volym har ett föremål som väger 260 gram enligt din modell?

1.3 R ÄTA LINJER OCH LINJÄR REGRESSION

s 1-62 MatematikNumerus2c_Kap 1.indd 29

29

2018-06-29 09:36

MATEMATIK

Matematik Numerus är en ny matematikserie för gymnasiets högskoleförberedande program. Böckerna ger goda förutsättningar för fortsatta studier och passar också för vuxenutbildning och basår.

Utmärkande för serien:

numerus 2C

• uppgifter kopplade till förmågorna • utförliga lösningar i facit och på webben • rikt och pedagogiskt genomtänkt digitalt material Matematik Numerus omfattar samtliga kurser på gymnasiets b- och c-spår.

Läs mer om serien och digitalt material på www.liber.se.

Eva von Heijne är civilingenjör och lärare i matematik och kemi, med lång erfarenhet från undervisning på gymnasiet. För närvarande är Eva verksam inom Vuxenutbildningen i Lidingö.

RUNG VON HEIJNE

Andreas Rung är civilingenjör och lärare, med en doktorsexamen i fysik. Han undervisar vid Kungsholmens gymnasium i Stockholm.

MATEMATIK

numerus 2C

ANDREAS RUNG Best.nr 47-11615-7

EVA VON HEIJNE

Tryck.nr 47-11615-7

9789147116157_Gymnasiematematik_2c_omslag_FINAL.indd 1

2018-06-28 15:05