9789152344354 by Smakprov Media AB

matematik

3b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter

Niclas Larson Daniel Dufåker Emelie Reuterswärd

Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla

matematik

Målbeskrivningar, tankekarta och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet

Lärarguide

Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Tekniska programmet

ISBN 978-91-523-4435-4

(523-4435-4)

Lärarguide

Linjär optimering, ändringskvot och derivata Linjär optimering är en del av den gren av matematiken som kallas optimering. Ett klassiskt optimeringsproblem är att maximera ett företags vinst givet vissa begränsningar av till exempel arbetskraft och råvarutillgång. Linjära optimeringsproblem i två variabler kan modelleras med system av olikheter och åskådliggöras i ett tvådimensionellt koordinatsystem. På så sätt bygger delkapitlet om linjär optimering vidare på elevernas kunskaper om räta linjer från kurs 2b. I delkapitel 2.2 och 2.3 möter eleverna för första gången derivatabegreppet, som ligger till grund för en stor del av innehållet i kurs 3b. Delkapitlen fokuserar i första hand på derivatans definition och tolkning. Viktiga förkunskaper är att kunna hantera algebraiska förenklingar samt räta linjens ekvation. Dessutom krävs att eleven har tagit till sig gränsvärdesbegreppet. Många av uppgifterna är tänkta att lösas utan hjälpmedel, eftersom syftet är att träna på att bestämma derivata för hand. Uppgifterna med kontext är i de flesta fall anpassade så att de ska gå att lösa på detta sätt. Men vi visar också hur derivatans värde i en viss punkt kan bestämmas med grafritande hjälpmedel. Det är en viktig kunskap för att effektivt kunna lösa uppgifter där beräkningarna är mer betungande.

2 Linjär optimering, Delkapitel 2.1 Linjär optimering 2.2 Sekanter och tangenter 2.3 Derivata

Förkunskaper ˭ Algebraiska uttryck ˭ Ekvationslösning ˭ Räta linjens ekvation ˭ Funktioner och deras grafer ˭ Begreppet gränsvärde

Centralt innehåll ˭ Användning av linjär optimering i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena. ˭ Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. ˭ Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion.

ändringskvot och derivata O

m man åker bil och samtidigt tittar på bilens hastighetsmätare, så ser man hur hastigheten ändras både vid inbromsningar och vid omkörningar. Hastighetsmätaren visar inte bilens medelhastighet, den visar bilens hastighet i ett visst ögonblick. För att matematiskt kunna beskriva hastigheten i ett visst ögonblick, använder man derivata, som är ett mått på förändringshastighet. Om förändringhastigheten är konstant, så kan man beskriva sambandet med en rät linje. I ekonomiska tillämpningar använder man räta linjer för att beskriva produktionsbegränsningar och för att bestämma de mest optimala villkoren. Metoden kallas därför linjär optimering. När du är klar med kapitlet ska du kunna ˭ använda linjär optimering i ekonomiska och samhällsvetenskapliga tillämpningar ˭ förklara och använda begreppen lutning, ändringskvot och derivata ˭ bestämma ändringskvot och derivata ur en graf och med hjälp av ett funktionsuttryck ˭ beräkna genomsnittliga förändringshastigheter ˭ uppskatta förändringshastigheten i ett givet ögonblick ˭ beräkna derivatan genom att använda derivatans definition

Vattenhastighet En behållare med höjden 45 cm fylls med vatten som har ett jämnt flöde. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd h beror av tiden t. cm 50

40 30 20 10

t 20 40

60 80

˭ Det tar 90 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet stiger vattennivån under samma tid? ˭ Med vilken medelhastighet stiger vattennivåns höjd h i intervallet 10 ≤ t ≤ 30? ˭ När stiger vattennivåns höjd som snabbast? ˭ Vilken form kan vattenbehållaren tänkas ha?

Fritt fall Ett föremål faller sträckan s(t) meter på t sekunder enligt s(t) = 4,9t2. ˭ Beräkna medelhastigheten från t1 = 3,0 s till t2 = 4,0 s. ˭ Beräkna medelhastigheten från t1 = 3,0 s till t2 = 3,5 s. ˭ Beräkna medelhastigheten från t1 = 3,0 s till t2 = 3,1 s. ˭ Uppskatta momentanhastigheten för t = 3,0 s genom att minska avståndet mellan t1 och t2 ytterligare.

Kommentarer till kapitlets innehåll

I det andra delkapitlet 2.2 Sekanter och tangenter introducerar vi begreppen sekant och tangent och använder dem för att beskriva genomsnittlig respektive momentan hastighet. Begreppet derivata införs som riktningskoefficienten för tangenten i en viss punkt.

I delkapitlet 2.1 Linjär optimering repeterar vi inledningsvis räta linjens ekvation och linjära ekvationssystem. Goda förkunskaper om dessa moment är en förutsättning för att eleverna ska kunna ta till sig avsnitten om linjär optimering. I slutet av delkapitlet visar vi hur man åskådliggör system av olikheter i koordinatsystem och använder detta för att lösa linjära optimeringsproblem.

Vi inleder delkapitel 2.3 Derivata med att visa hur man kan bestämma grafens lutning i en punkt genom att låta en följd av sekanter övergå i en tangent. Detta motiverar avsnittets viktigaste resultat: derivatans definition. I kapitlets sista avsnitt visar vi hur begreppet derivata kan användas för att beskriva förändringshastigheter i tillämpningar.

lärarguide matematik origo b linjär optimering, ändringskvot och derivata

Introduktionsproblem I det första introduktionsproblemet, Vattenhastighet, får eleverna tolka en graf och beräkna genomsnittliga förändringshastigheter. Den tredje deluppgiften handlar om momentan förändring, men kan förhoppningsvis intuitivt besvaras med vetskapen att en brantare graf innebär högre förändringshastighet. Den avslutande deluppgiften ställer krav på att eleverna kan tolka grafen och översätta den till en verklig kontext. Uppgiften kan vidareutvecklas genom att man ger liknande grafer som beskriver hur vattennivån höjs om behållarna har en annan form, eller genom att låta eleverna skissa grafen till en viss given behållare. På www.desmos.com kan eleverna utföra en liknande övning (Water line) interaktivt. Det andra introduktionsproblemet, Fritt fall, leder fram till idén att man med en följd av sekanter successivt närmar sig en tangent. I detta fall utgår vi från den algebraiska formeln s(t) = 4,9t2. Ett alternativ är att i stället utgå ifrån funktionens graf.

Svar till Fritt fall Svar till Vattenhastighet ∆h 45 ___ = ___ cm/s = 0,5 cm/s ∆t 90 ∆h 30 – 20 ___ = ______ cm/s = 0,5 cm/s ∆t 30 – 10 Kommentera gärna att sekanterna i de två inledande uppgifterna är parallella. Svar: Vattennivåns höjd stiger som snabbast precis när behållaren börjar fyllas. Svar: T.ex. en kon med spetsen nedåt, eftersom vattnet stiger mycket snabbt i början men stigningshastigheten därefter avtar successivt.

s(4,0) – s(3,0) 4,9 · 4,02 – 4,9 · 3,02 ____________ = ________________ = 4,0 – 3,0 4,0 – 3,0 = 34,3 m/s s(3,5) – s(3,0) 4,9 · 3,52 – 4,9 · 3,02 ____________ = ________________ = 3,5 – 3,0 3,5 – 3,0 = 31,85 ≈ 31,9 m/s s(3,1) – s(3,0) 4,9 · 3,12 – 4,9 · 3,02 ____________ = ________________ = 3,1 – 3,0 3,1 – 3,0 = 29,89 ≈ 29,9 m/s Vi väljer t2 = 3,001. 2

4,9 · 3,001 – 4,9 · 3,0 s(3,001) – s(3,0) __________________ ______________ = =

3,001 – 3,0 = 29,4049 ≈ 29,4 m/s

3,001 – 3,0

lärarguide matematik origo b linjär optimering, ändringskvot och derivata

2 Linjär optimering, Delkapitel 2.1 Linjär optimering 2.2 Sekanter och tangenter 2.3 Derivata

Förkunskaper ˭ Algebraiska uttryck ˭ Ekvationslösning ˭ Räta linjens ekvation ˭ Funktioner och deras grafer ˭ Begreppet gränsvärde

ändringskvot och derivata O

Vattenhastighet En behållare med höjden 45 cm fylls med vatten som har ett jämnt flöde. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd h beror av tiden t. cm 50

40 30 20 10

t 20 40

60 80

Kommentarer till kapitlets innehåll

lärarguide matematik origo b linjär optimering, ändringskvot och derivata

4,9 · 3,001 – 4,9 · 3,0 s(3,001) – s(3,0) __________________ ______________ = =

3,001 – 3,0 = 29,4049 ≈ 29,4 m/s

3,001 – 3,0

lärarguide matematik origo b linjär optimering, ändringskvot och derivata

Räta linjens ekvation

2.1 Linjär optimering

För att eleverna ska kunna ta till sig avsnittet om linjär optimering krävs goda kunskaper om räta linjens ekvation. Därför har vi valt att inleda kapitlet med att repetera detta. Riktningskoefficienten k ligger också till grund för derivatans definition, som vi behandlar senare i kapitlet.

Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation.

Räta linjens ekvation Optimering

Rät linje

I teoritexten på sidan 54 i elevboken nämner vi att räta linjens ekvation kan skrivas både i k-form och i allmän form. Det kan vara bra att trycka lite extra på den allmänna formen. Den är vanlig, både i linjära ekvationssystem och i de system av olikheter som uppkommer i linjär optimering.

Skärning med y-axeln

Ett företag som tillverkar sängar vill naturligtvis göra en så god vinst som möjligt. Företaget måste ta hänsyn till att kostnad, tillverkningstid och vinst är olika för olika sängmodeller och att det finns begränsningar i form av tillgängliga arbetstimmar och ekonomiska resurser. För att vinsten ska bli så stor som möjligt, behöver företaget bestämma hur många sängar av varje modell som bör tillverkas. De behöver göra vad som kallas en vinstoptimering. Senare i kapitlet kommer vi att ställa upp och lösa den här typen av problem grafiskt med hjälp av räta linjer. Vi börjar därför med att repetera räta linjens ekvation. Lösningar till räta linjens ekvation y = kx + m, där k och m är konstanter, är par av tal x och y. Om man markerar alla dessa talpar (x, y) i ett koordinatsystem, så får man en rät linje.

Det här är en paruppgift som kan användas för att inleda lektionen. Dela in eleverna i par. Uppmana varje elev att skriva ner en ekvation för en valfri rät linje och att rita en valfri rät linje i ett koordinatsystem. Låt sedan eleverna byta anteckningsblock med varandra. De

k-form och allmän form

Lösning:

∆y –6 – 0 a) k = ___ = ______ = –3 ∆x 2 – 0 Eftersom linjen går genom origo är m = 0. Svar: y = –3x

liter 60

4–3 1 b) k = _____ = __ 4–1 3

Volym

1 Vi sätter in k = __ tillsammans med koordi3 naterna (1, 3) i räta linjens ekvation: 1 3 = __ · 1 + m 3 8 m = __ 3 1 8 x+8 Svar: y = __x + __ Eller y = _____ 3 3 3

40 30 20

(x2, y2) (x1, y1)

x1 – x2

   ∆y = y2 – y1 

Sträcka 10

∆x = x2 – x1

mil

y2 – y1 b) För att beräkna riktningskoefficienten k använder vi formeln k = ______ x2 – x1 43 – 50 –7 k = ______ = ___ ≈ –0,8 21 – 12 9 Riktningskoefficienten är k ≈ –0,8. Det betyder att bensinmängden i tanken minskar med 0,8 liter per mil, dvs. bensinförbrukningen är ungefär 0,8 liter/mil.

Räta linjens ekvation kan skrivas på olika sätt: y = kx + m är räta linjens ekvation i k-form och ax + by + c = 0 är räta linjens ekvation i allmän form.

Lösning/Kommentar

c) Avläs linjens skärningspunkt med y-axeln och förklara vad den innebär.

          

räta linjens ekvation, ekvation som beskriver

b) (1, 3) och (4, 4)

Ju större värde på k, desto mer lutar linjen. Om k < 0, så lutar linjen nedåt. Riktningskoefficienten k = 0 innebär att linjen är parallell med x-axeln.

Viktiga begrepp

Lektionsstart

x2 – x1

a) (0, 0) och (2, –6)

(0, m)

Kristinas bil är fulltankad när hon startar sin resa. När hon har kört 12 mil visar bensinmätaren att hon har 50 liter bensin i tanken. Efter ytterligare 9 mil visar bensinmätaren att hon har 43 liter bensin kvar i tanken.

förändring i y-led Δy k = _______________ = ___ förändring i x-led Δx

Δx

Δy Δx

b) Beräkna linjens riktningskoefficient och förklara vad den betyder i det här sammanhanget.

(0, m)

En rät linje lutar lika mycket överallt. Lutningen kan anges med linjens riktningskoefficient k. Riktningskoefficienten k beräknas enligt

Med hjälp av koordinaterna (x1, y1) och (x2, y2) för två punkter på linjen kan riktningskoefficienten k beräknas med formeln

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna

Δy k = ____ Δx

a) Rita ett koordinatsystem och avsätt sträckan på x-axeln och bensinmängden på y-axeln. Markera punkterna (12, 50) och (21, 43) och dra en linje genom dem.

Värdet av konstanten m i y = kx + m är y-koordinaten för punkten där linjen skär y-axeln.

Δy y2 – y1 ______ y –y k = ___ = ______ = 1 2

en rät linje, dvs. beskriver vilka punkter som tillhör linjen. Ekvationen kan anges i exempelvis k-form eller allmän form. k-form, (för rät linje) ekvation i formen y = kx + m, där k och m är konstanter. Ekvationen beskriver vilka punkter (x, y) som den räta linjen består av. allmän form, (för rät linje) ekvation i formen ax + by + c = 0 som beskriver en rät linje, där (x, y) är punkter på linjen och a, b och c är konstanter.

7 Exempel:

y = kx + m

Riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning och m är y-koordinaten för den punkt där linjen skär y-axeln.

Riktningskoefficient

Exempel

Räta linjens ekvation

c) Vi ser att linjen skär y-axeln i punkten (0, 60). Det innebär att det finns 60 liter bensin i bilen när den är fulltankad.

linjär optimering, ändringskvot och derivata • 2.1 linjär optimering

Exempel ska nu rita den linje som kompisens ekvation beskriver samt bestämma ekvationen för den linje som kompisen ritat. När eleverna är klara diskuterar de gemensamt sina lösningar. Uppgiften kan varieras på flera sätt. Ett sätt är att låta eleverna skriva ekvationen för den räta linjen i allmän form i stället för i k-form. Man kan också ge fördjupande uppgifter som: • Ange ekvationen för en linje som är parallell med din kamrats linje. • Ange ekvationen för en linje som är vinkelrät mot din kamrats linje.

linjär optimering, ändringskvot och derivata . linjär optimering

Bestäm ekvationen för den linje, som är parallell med y = –4x + 2 och som går genom punkten med koordinaterna (5, –1).

Lösning/Kommentar En linje som är parallell med den givna linjen har samma värde på riktningskoefficienten, k = –4. Vi sätter in k = –4 tillsammans med koordinaterna (5, –1) i räta linjens ekvation och får:

Tips Med hjälp av GeoGebra kan man undersöka vad som händer med en linje i formen ax + by + c = 0 när man ändrar värdet på konstanterna a, b och c. Man kan till exempel tydligt visa att linjer parallella med y-axeln fås när värdet på konstanten b sätts till 0. På Matematik Origos hemsida finns en färdig GeoGebraapplikation där man kan variera värdet på konstanterna a, b och c och se hur linjen förändras.

Övningsblad Räta linjens ekvation

–1 = –4 · 5 + m m = 19 Svar: Linjens ekvation är y = –4x + 19.

linjär optimering, ändringskvot och derivata . linjär optimering

Räta linjens ekvation

2.1 Linjär optimering

Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation.

Räta linjens ekvation Optimering

Rät linje

Skärning med y-axeln

k-form och allmän form

Lösning:

∆y –6 – 0 a) k = ___ = ______ = –3 ∆x 2 – 0 Eftersom linjen går genom origo är m = 0. Svar: y = –3x

liter 60

4–3 1 b) k = _____ = __ 4–1 3

Volym

1 Vi sätter in k = __ tillsammans med koordi3 naterna (1, 3) i räta linjens ekvation: 1 3 = __ · 1 + m 3 8 m = __ 3 1 8 x+8 Svar: y = __x + __ Eller y = _____ 3 3 3

40 30 20

(x2, y2) (x1, y1)

x1 – x2

   ∆y = y2 – y1 

Sträcka 10

∆x = x2 – x1

mil

Räta linjens ekvation kan skrivas på olika sätt: y = kx + m är räta linjens ekvation i k-form och ax + by + c = 0 är räta linjens ekvation i allmän form.

Lösning/Kommentar

c) Avläs linjens skärningspunkt med y-axeln och förklara vad den innebär.

          

räta linjens ekvation, ekvation som beskriver

b) (1, 3) och (4, 4)

Ju större värde på k, desto mer lutar linjen. Om k < 0, så lutar linjen nedåt. Riktningskoefficienten k = 0 innebär att linjen är parallell med x-axeln.

Viktiga begrepp

Lektionsstart

x2 – x1

a) (0, 0) och (2, –6)

(0, m)

förändring i y-led Δy k = _______________ = ___ förändring i x-led Δx

Δx

Δy Δx

b) Beräkna linjens riktningskoefficient och förklara vad den betyder i det här sammanhanget.

(0, m)

En rät linje lutar lika mycket överallt. Lutningen kan anges med linjens riktningskoefficient k. Riktningskoefficienten k beräknas enligt

Med hjälp av koordinaterna (x1, y1) och (x2, y2) för två punkter på linjen kan riktningskoefficienten k beräknas med formeln

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna

Δy k = ____ Δx

a) Rita ett koordinatsystem och avsätt sträckan på x-axeln och bensinmängden på y-axeln. Markera punkterna (12, 50) och (21, 43) och dra en linje genom dem.

Värdet av konstanten m i y = kx + m är y-koordinaten för punkten där linjen skär y-axeln.

Δy y2 – y1 ______ y –y k = ___ = ______ = 1 2

7 Exempel:

y = kx + m

Riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning och m är y-koordinaten för den punkt där linjen skär y-axeln.

Riktningskoefficient

Exempel

Räta linjens ekvation

c) Vi ser att linjen skär y-axeln i punkten (0, 60). Det innebär att det finns 60 liter bensin i bilen när den är fulltankad.

linjär optimering, ändringskvot och derivata • 2.1 linjär optimering

linjär optimering, ändringskvot och derivata . linjär optimering

Bestäm ekvationen för den linje, som är parallell med y = –4x + 2 och som går genom punkten med koordinaterna (5, –1).

Övningsblad Räta linjens ekvation

–1 = –4 · 5 + m m = 19 Svar: Linjens ekvation är y = –4x + 19.

linjär optimering, ändringskvot och derivata . linjär optimering

Derivatan av ex Man skulle utan tvivel kunna påstå att talet e, jämsides med π, är den viktigaste konstanten i modern matematik. Den förekommer i så skilda sammanhang som analys, sannolikhetsteori och kombinatorik. Inom analysen och differentialkalkylen är talet e bas till den naturliga logaritmen och bas till exponentialfunktionen y = ex. Talet e är också bas i den funktion som beskriver normalfördelningskurvan: –(x – µ)2 1___ ________ f(x) = _____ · e 2σ2 . Inom kombinatorik kan σ√2π man visa att sannolikheten att man permuterar en mängd av n element så att inget element förekommer i sin ursprungliga position är 1 ungefär __ . e Det här avsnittet kan nog te sig lite märkligt för eleverna. Vi föresätter oss att hitta derivatan till exponentialfunktionen y = ax, men nöjer oss med att hitta en funktion som är sin egen derivata. För att eleverna ska förstå varför vi tar denna omväg via ex kan man behöva klargöra att det är ett steg på vägen till att kunna derivera allmänna exponentialfunktioner.

Viktiga begrepp talet e, gränsvärdet av (1 + h)1/h när h → 0,

(

)

1 eller ekvivalent, gränsvärdet av 1 + __ n när n → ∞. När e utgör basen i exponentialfunktionen f(x) = ex är funktionen sin egen derivata, f '(x) = f(x) = ex.

Att tänka på Det är inte helt självklart för alla elever att konstanter som ges med en bokstav, t.ex. e, är tal. För att tydliggöra detta kan man vid några tillfällen göra omskrivningen y = ex ≈ 2,718x. I genomgången på sidan 112 i elevboken visar vi att derivatan av funktionen y = ax är produkten

112

3.2 Exponentialfunktioner och

Talet e

tillämpningar av derivata

Tidigare i kapitlet har vi lärt oss att derivera funktioner av typen __ f(x) = x5 – 3x2 + 5√x + 9.

Derivatan av ex

Exponentialfunktioner är funktioner som kan skrivas f(x) = ax, där a > 0. I en exponentialfunktion är basen konstant och variabeln x står i exponenten. Hur deriverar vi exponentialfunktionen f(x) = ax? f(x + h) – f(x) ax + h – ax ax ∙ ah – ax f '(x) = lim ____________ = lim ________ = lim _________ = h→0 h→0 h→0 h h h

f'(0) ≈ 0,69 x 1

f(x) = 3x

h–1 2______ h

0,1

0,7177 1,1612

1,7462

0,01

0,6956 1,1047

1,6225

0,001

0,6934 1,0992

1,6107

0,0001 0,6932 1,0987

1,6096

om f(x) = f'(0) ≈ 1,10 x

1 1

h–1 5______ h

2,5937

0,01

2,7048

0,001

2,7169

0,0001

2,7181

a) f(x) = 9ex

b) f(x) = ex + ex

12 c) f(x) = 7ex + ___ – 3e x

d) f(x) = ex + 2

Lösning/Kommentar

c) f(0) är inte definierat och därmed är heller inte f '(0) definierat. d) f(x) = ex + 2 = e2 · ex ger f '(x) = e2 · ex och f '(0) = e2 · e0 = e2.

0,000 01 2,7183

Ett irrationellt tal är ett tal som inte kan uttryckas som kvoten av två heltal.

, så är f '(x) ≈ 0,69 ∙ 2

om f(x) = 3x, så är f '(x) ≈ 1,10 ∙ 3x Den enklaste formen för derivatan av f(x) = ax får vi förstås om f '(0) = 1. Då blir derivatan lika med funktionen, dvs. f '(x) = ax ∙ f '(0) = ax ∙ 1.

Lästips The story of a number – Eli Maor (1994)

ah – 1 avax och gränsvärdet lim _____ . Man kan h→0 h behöva förklara för eleverna att detta innebär att derivatan till en exponentialfunktion är produkten av funktionen själv och en konstant, D(ax) = C · ax. För att tydliggöra att ah – 1 uttrycket lim _____ är en konstant för givet h→0 h värde på a kan det vara klokt att låta eleverna genomföra undersökningarna av gränsvärdena 2h – 1 3h – 1 _____ och _____ numeriskt. h h

Historik: Talet e

Derivatan av f(x) = ex

I elevboken introducerar vi talet e som den bas till exponentialfunktionen f(x) = ax som gör att funktionen är sin egen derivata. Men talet e var känt för matematiker åtminstone ett halvt århundrade innan teorin kring derivata grundades.

Om f(x) = ex, så är f '(x) = ex Talet e är ett irrationellt tal med närmevärdet e ≈ 2,72.

deriveringsregler • 3.2 exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

deriveringsregler . exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

e ≈ (1 + h)1/h

0,1

Bestäm f '(0) om

b) f '(x) = e + ex ger f '(0) = e + e0 = e + 1

Vi löser ut e

Exempel

a) f '(x) = 9ex ger f '(0) = 9 · e0 = 9 · 1 = 9

Av tabellen kan vi utläsa att talet e har närmevärdet 2,72.

Tabellen visar tydligt att för f(x) = 2x är f '(0) < 1 och för f(x) = 3x är f '(0) > 1. Det sökta värdet på a, som ger f '(0) = 1, måste alltså vara ett tal mellan 2 och 3.

112

Vi undersöker talet e ≈ (1 + h)1/h numeriskt för små värden på h:

Tabellen visar att 2x

f'(0) = k = 1

e ≈ (1 + h) a0 = 1

Derivatan av f(x) = ax kan alltså uttryckas som produkten f '(x) = ax ∙ f '(0). ah – 1 Vi undersöker f '(0) = lim _____ numeriskt för några positiva heltal a, h→0 h genom att låta h anta små värden.

Men vilket tal är e? eh – 1 Vi vet att lim _____ = 1 h→0 h

1/h

ah – 1 ah – 1 Om x = 0, så är f '(0) = a0 ∙ lim _____ = lim _____ h→0 h→0 h h

h–1 3______ h

Funktionen f(x) = ex är lika med sin egen derivata.

eh ≈ 1 + h

ah – 1 f '(x) = ax ∙ lim _____ h→0 h

f(x) = 2x

y f(x) = ex

För små värden på h gäller eh – 1 _____ ≈1 Vi börjar med att lösa ut eh h eh – 1 ≈ h

Faktorn ax är inte beroende av h och påverkas inte av att h går mot noll.

Uttrycket kan skrivas

Eftersom f(x) = ex medför att f '(0) = 1, så gäller att derivatan av f(x) = ex är f '(x) = ex ∙ f '(0) = ex

Värdet av talet e

Enligt derivatans definition har vi

ax ∙ (ah – 1) = lim __________ h→0 h

Beteckningen e introducerades runt år 1730 av Leonhard Euler. Han var även först med att använda symbolen π för att beteckna förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter.

För talet e gäller att eh – 1 lim _____ = 1 h→0 h

Derivatan av ex Exponentialfunktioner

Vi söker ett tal mellan 2 och 3 som ger f '(0) = 1 och kallar detta tal för e.

På din räknare

Om du vill få fram ett närmevärde av e med e hjälp av din räknare, så trycker du 2ND ENTER . Vill du beräkna e3, så trycker du 2ND ex 3 ) ENTER .

deriveringsregler • 3.2 exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

113

Användbara applikationer På Matematik Origos hemsida finns två applikationer som kan användas för att introducera talet e. I den ena applikationen visar vi grafen till y = ax och grafen till dess derivata, y'. Genom att variera basen a kan eleverna se att det verkar finnas en bas a sådan att graferna sammanfaller, dvs. sådan att funktionen är sin egen derivata. Undersökningen visar att detta tycks inträffa för a ≈ 2,718. I den andra applikationen genomförs gränsvär2h – 1 3h – 1 desbestämningar av _____ , _____ interakh h tivt. När h går mot 0 ser eleverna att kvoten närmar sig ett bestämt värde. I applikationen

Talet e uppkom sannolikt ungefär samtidigt ur flera olika beräkningar. Så tidigt som 1618 förekom talet implicit i John Napiers arbete om logaritmer. Med vissa justeringar kan man nämligen betrakta de Napierska logaritmerna som 1 logaritmer med basen __ . Andra matematiker e fann att e är det tal som gör att arean under 1 hyperbeln y = __ från x = 1 till x = e är precis 1. x Man fann också att när ett fixt belopp förräntas n gånger under ett år till en given årlig räntesats så närmar sig beloppet ett gränsvärde, med kopplingar till talet e. Är räntan 100 % får man precis e gånger pengarna vid årets slut.

kan man också troliggöra att gränsvärdet av ah – 1 kvoten _____ är 1 då a = e. h

deriveringsregler . exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

113

Viktiga begrepp talet e, gränsvärdet av (1 + h)1/h när h → 0,

(

)

1 eller ekvivalent, gränsvärdet av 1 + __ n när n → ∞. När e utgör basen i exponentialfunktionen f(x) = ex är funktionen sin egen derivata, f '(x) = f(x) = ex.

112

3.2 Exponentialfunktioner och

Talet e

tillämpningar av derivata

Tidigare i kapitlet har vi lärt oss att derivera funktioner av typen __ f(x) = x5 – 3x2 + 5√x + 9.

Derivatan av ex

f'(0) ≈ 0,69 x 1

f(x) = 3x

h–1 2______ h

0,1

0,7177 1,1612

1,7462

0,01

0,6956 1,1047

1,6225

0,001

0,6934 1,0992

1,6107

0,0001 0,6932 1,0987

1,6096

om f(x) = f'(0) ≈ 1,10 x

1 1

h–1 5______ h

2,5937

0,01

2,7048

0,001

2,7169

0,0001

2,7181

a) f(x) = 9ex

b) f(x) = ex + ex

12 c) f(x) = 7ex + ___ – 3e x

d) f(x) = ex + 2

Lösning/Kommentar

c) f(0) är inte definierat och därmed är heller inte f '(0) definierat. d) f(x) = ex + 2 = e2 · ex ger f '(x) = e2 · ex och f '(0) = e2 · e0 = e2.

0,000 01 2,7183

Ett irrationellt tal är ett tal som inte kan uttryckas som kvoten av två heltal.

, så är f '(x) ≈ 0,69 ∙ 2

Lästips The story of a number – Eli Maor (1994)

Historik: Talet e

Derivatan av f(x) = ex

Om f(x) = ex, så är f '(x) = ex Talet e är ett irrationellt tal med närmevärdet e ≈ 2,72.

deriveringsregler • 3.2 exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

deriveringsregler . exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

e ≈ (1 + h)1/h

0,1

Bestäm f '(0) om

b) f '(x) = e + ex ger f '(0) = e + e0 = e + 1

Vi löser ut e

Exempel

a) f '(x) = 9ex ger f '(0) = 9 · e0 = 9 · 1 = 9

Av tabellen kan vi utläsa att talet e har närmevärdet 2,72.

Tabellen visar tydligt att för f(x) = 2x är f '(0) < 1 och för f(x) = 3x är f '(0) > 1. Det sökta värdet på a, som ger f '(0) = 1, måste alltså vara ett tal mellan 2 och 3.

112

Vi undersöker talet e ≈ (1 + h)1/h numeriskt för små värden på h:

Tabellen visar att 2x

f'(0) = k = 1

e ≈ (1 + h) a0 = 1

Men vilket tal är e? eh – 1 Vi vet att lim _____ = 1 h→0 h

1/h

ah – 1 ah – 1 Om x = 0, så är f '(0) = a0 ∙ lim _____ = lim _____ h→0 h→0 h h

h–1 3______ h

Funktionen f(x) = ex är lika med sin egen derivata.

eh ≈ 1 + h

ah – 1 f '(x) = ax ∙ lim _____ h→0 h

f(x) = 2x

y f(x) = ex

För små värden på h gäller eh – 1 _____ ≈1 Vi börjar med att lösa ut eh h eh – 1 ≈ h

Faktorn ax är inte beroende av h och påverkas inte av att h går mot noll.

Uttrycket kan skrivas

Eftersom f(x) = ex medför att f '(0) = 1, så gäller att derivatan av f(x) = ex är f '(x) = ex ∙ f '(0) = ex

Värdet av talet e

Enligt derivatans definition har vi

ax ∙ (ah – 1) = lim __________ h→0 h

Beteckningen e introducerades runt år 1730 av Leonhard Euler. Han var även först med att använda symbolen π för att beteckna förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter.

För talet e gäller att eh – 1 lim _____ = 1 h→0 h

Derivatan av ex Exponentialfunktioner

Vi söker ett tal mellan 2 och 3 som ger f '(0) = 1 och kallar detta tal för e.

På din räknare

Om du vill få fram ett närmevärde av e med e hjälp av din räknare, så trycker du 2ND ENTER . Vill du beräkna e3, så trycker du 2ND ex 3 ) ENTER .

deriveringsregler • 3.2 exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

113

kan man också troliggöra att gränsvärdet av ah – 1 kvoten _____ är 1 då a = e. h

deriveringsregler . exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

113

Geometrisk summa I avsnittet definierar vi begreppet geometrisk summa och den formel man kan anvĂ¤nda fĂśr att berĂ¤kna sĂĽdana summor. Via ett specialfall presenterar vi ocksĂĽ en idĂŠ om hur man kan bevisa att formeln stĂ¤mmer. Det strikta beviset finns som uppgift 33 pĂĽ NivĂĽ 3 i Blandade uppgifter.

6.2 Geometriska summor Geometrisk summa Om man summerar elementen i en geometrisk talfĂśljd, sĂĽ fĂĽr man en geometrisk summa. Ett exempel pĂĽ en geometrisk summa fĂĽr man om man sĂ¤tter in samma belopp varje ĂĽr pĂĽ ett sparkonto med fast rĂ¤ntesats och berĂ¤knar hur mycket man totalt har pĂĽ kontot efter ett visst antal ĂĽr. RĂ¤ntesatsen kan variera mycket, bl.a. beroende pĂĽ bindningstid och konjunkturlĂ¤ge.

Synne sĂ¤tter in 5 000 kr pĂĽ ett konto i bĂśrjan av varje ĂĽr. RĂ¤ntesatsen Ă¤r 3,9 %. Den sista insĂ¤ttningen gĂśr hon 10 ĂĽr efter den fĂśrsta. Det blir totalt 11 insĂ¤ttningar. Synne fĂĽr olika mycket rĂ¤nta pĂĽ sina insĂ¤ttningar, eftersom pengarna finns pĂĽ kontot under olika lĂĽng tid. Tabellen visar hur mycket varje insĂ¤ttning Ă¤r vĂ¤rd. 1 2 3 4 Ă&#x2026;r InsĂ¤ttning 5 000 5 000 5 000 InsĂ¤ttning i bĂśrjan â&#x20AC;Ś av fĂśrsta ĂĽret

I det hĂ¤r avsnittet fĂĽr eleverna anvĂ¤nda summatecknet â&#x2C6;&#x2018;. NĂ¤r eleverna vant sig vid skrivsĂ¤ttet mĂ¤rker de fĂśrmodligen att det Ă¤r ett effektivt hjĂ¤lpmedel vid matematisk kommunikation.

InsĂ¤ttning i bĂśrjan av 11:e ĂĽret

Talet 11 betyder att det Ă¤r 11 termer i summan

s11 = 5 000 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,0392 + â&#x20AC;Ś + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910

kan berĂ¤knas med formeln

a1(kn â&#x20AC;&#x201C; 1) sn = ________ kâ&#x20AC;&#x201C;1 I exemplet med Synnes kapital var a1 = 5 000, k = 1,039 och n = 11.

Geometrisk summa Den geometriska summan sn = a1 + a1 â&#x2C6;&#x2122; k + a1 â&#x2C6;&#x2122; k2 + â&#x20AC;Ś + a1 â&#x2C6;&#x2122; kn â&#x20AC;&#x201C; 1 a1(kn â&#x20AC;&#x201C; 1) (fĂśr k â&#x2030; 1) kan berĂ¤knas med formeln sn = ________ kâ&#x20AC;&#x201C;1

Summatecknet

Summatecknet â&#x2C6;&#x2018; ger en mĂśjlighet till ett enklare skrivsĂ¤tt nĂ¤r man ska uttrycka summor med mĂĽnga termer. Uttrycket

â&#x2C6;&#x2018; 2n = 2 â&#x2C6;&#x2122; 1 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 2 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 3 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 4 = 2 + 4 + 6 + 8. Vi kan alltsĂĽ skriva den geometriska summan 11

3 + 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,04 + 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,042 + â&#x20AC;Ś + 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,0410 = â&#x2C6;&#x2018; 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1 n=1

7 Exempel: LĂśsning:

BerĂ¤kna den geometriska summan 25 + 25 â&#x2C6;&#x2122; 1,2 + 25 â&#x2C6;&#x2122; 1,22 + â&#x20AC;Ś + 25 â&#x2C6;&#x2122; 1,213.

25 â&#x2C6;&#x2122; (1,214 â&#x20AC;&#x201C; 1) s14 = ____________ â&#x2030;&#x2C6; 1 480 1,2 â&#x20AC;&#x201C; 1

7 Exempel:

1,039s11 â&#x20AC;&#x201C; s11 = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 + â&#x20AC;Ś + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03911 â&#x20AC;&#x201C; 5 000 â&#x20AC;&#x201C; 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;Ś â&#x20AC;&#x201C; 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910

b) BerĂ¤kna summan.

LĂśsning:

s11

â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1

n=1

till en summa av termer genom

â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1 = 7 + 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04 + 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,042 + â&#x20AC;Ś + 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,0420

n=1

5 000 â&#x2C6;&#x2122; (1,039 â&#x20AC;&#x201C; 1) = ________________ â&#x2030;&#x2C6; 67 083

b) Vi har a1 = 7, k = 1,04 och n = 21

1,039 â&#x20AC;&#x201C; 1

7 â&#x2C6;&#x2122; (1,04 â&#x20AC;&#x201C; 1) â&#x2030;&#x2C6; 224 â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1 = ____________

Direkt efter den 11:e insĂ¤ttningen fanns det alltsĂĽ ungefĂ¤r 67 000 kr pĂĽ Synnes konto.

216

a) Vi skriver om uttrycket

att lĂĽta n gĂĽ frĂĽn 1 till 21. Vi fĂĽr summan

s11 â&#x2C6;&#x2122; (1,039 â&#x20AC;&#x201C; 1) = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; (1,03911 â&#x20AC;&#x201C; 1)

geometrisk summa, en summa dĂ¤r termerna

â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1

n=1

a) Teckna summan utan att anvĂ¤nda summatecken.

Slutligen lĂśser vi ut ut s11

Viktiga begrepp

()

a1(kn â&#x20AC;&#x201C; 1) Summan berĂ¤knas med formeln sn = ______ kâ&#x20AC;&#x201C;1

En geometrisk summa beskrivs med uttrycket

n=1

geometrisk summa â&#x20AC;˘ 6.2 geometriska summor

1,04 â&#x20AC;&#x201C; 1

geometrisk summa â&#x20AC;˘ 6.2 geometriska summor

217

HĂ¤r kan man ĂĽterknyta till lektionsstarten med schackbrĂ¤det pĂĽ sidan 210 hĂ¤r i LĂ¤rarguiden. Samtliga riskorn pĂĽ schackbrĂ¤det ges av den geometriska summan 1 + 2 + 4 + 8 + â&#x20AC;Ś + 263.

Ă&#x2013;vningsblad Geometriska summor

Aktivitet Geometriska serier

216

geometrisk summa . geometrisk summa

Arean kan beskrivas med en geometrisk serie. Antalet nya trianglar vid iteration n Ă¤r 3 Âˇ __ 4n â&#x20AC;&#x201C; 1 â&#x2C6;&#x161;3 stycken. Arean av den fĂśrsta triangeln Ă¤r ___ . 4 1 De nya trianglarna har en area som Ă¤r __ av 9 den fĂśregĂĽende triangeln, sĂĽ__vid iteration n har â&#x2C6;&#x161;3 1 n varje sĂĽdan triangel arean ___ Âˇ __ . Arean av 4 9 alla de nya trianglarna Ă¤r dĂĽ i varje steg __ n nâ&#x20AC;&#x201C;1 1 1 4 3 â&#x2C6;&#x161; __ Âˇ __ An = 3 Âˇ 4n â&#x20AC;&#x201C; 1 Âˇ ___ Âˇ __ = ____ fĂśr 4 9 4â&#x2C6;&#x161;3 9 n â&#x2030;Ľ 1. Om vi bortser frĂĽn arean av den ursprungliga triangeln fĂĽr vi fĂśljande uttryck fĂśr arean 1__ 4 4 2 4 3 A = ____ 1 + __ + __ + __ + â&#x20AC;Ś 4â&#x2C6;&#x161;3 9 9 9 Med hjĂ¤lp av formeln fĂśr geometrisk summa kan arean skrivas 4 n 1 â&#x20AC;&#x201C; __ 1__ __ 9 1__ _______ 1__ ___ 9 A = lim ____ Âˇ 1 = ____ Âˇ = ____ n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; 4â&#x2C6;&#x161;3 5 4 4 3 4 3 5 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; __ 1 â&#x20AC;&#x201C; __ 9 9 Den totala arean Ă¤r dĂ¤rfĂśr __ __ 9 __ ____ 2â&#x2C6;&#x161;3 3 â&#x2C6;&#x161; ___ _____ Atot = + = 4 20â&#x2C6;&#x161;3 5

()

Exempel Tips

Ett fascinerande exempel pĂĽ en konvergent geometrisk serie kan hittas i von Kochs snĂśflinga. Flingan utgĂĽr frĂĽn en liksidig triangel med sidan 1. Varje sida i triangeln delas i tre delar, den mittersta delen tas bort och ersĂ¤tts med tvĂĽ nya sidor som Ă¤r lika lĂĽnga som den sida som togs bort. Detta upprepas oĂ¤ndligt mĂĽnga gĂĽnger. Omkretsen efter n iterationer beskrivs av en 4 n geometrisk talfĂśljd: On = 3 Âˇ __ som gĂĽr 3 mot â&#x2C6;&#x17E; nĂ¤r n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;.

Vi har a1 = 25, k = 1,2 och n = 14.

1,039s11 = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,0392 + â&#x20AC;Ś + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03911

1,039s11 â&#x20AC;&#x201C; s11 = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03911 â&#x20AC;&#x201C; 5 000

betyder

n=1

Vi multiplicerar bĂĽda leden i ekvationen med kvoten 1,039 Sedan subtraherar vi ekvationerna ledvis

â&#x2C6;&#x2018;n

n=1

1 + 2 + 3 + 4 + 5. Man lĂĽter helt enkelt n gĂĽ frĂĽn 1 till 5 och eftersom det Ă¤r n som stĂĽr till hĂśger om â&#x2C6;&#x2018;, sĂĽ blir termerna 1, 2, 3, 4 och 5. PĂĽ samma sĂ¤tt Ă¤r

Termerna i hĂśgra ledet tar ut varandra parvis och kvar blir

bestĂĽr av elementen i en geometrisk talfĂśljd, dvs. en summa av formen sn = a1 + a1 Âˇ k + a1 Âˇ k2 + â&#x20AC;Ś + a1 Âˇ kn â&#x20AC;&#x201C; 1 summatecknet â&#x2C6;&#x2018;, anvĂ¤nds fĂśr att skriva en summa pĂĽ ett kompakt sĂ¤tt, oavsett antalet termer.

nâ&#x20AC;&#x201C;1

sn = a1 + a1 â&#x2C6;&#x2122; k + a1 â&#x2C6;&#x2122; k + â&#x20AC;Ś + a1 â&#x2C6;&#x2122; k Summan har n termer. Den hĂśgsta exponenten Ă¤r n â&#x20AC;&#x201C; 1.

Totalt pĂĽ kontot efter 10 ĂĽr 5 000 Âˇ 1,03910 5 000 Âˇ 1,0399 5 000 Âˇ 1,0398 Âˇ Âˇ Âˇ 5 000 5 000 5 000 + â&#x20AC;Ś + 5 000 Âˇ 1,03910

Det finns en formel som underlĂ¤ttar berĂ¤kningen av en geometrisk summa, framfĂśrallt nĂ¤r det Ă¤r mĂĽnga termer i summan. Vi motiverar formeln med hjĂ¤lp av Synnes insĂ¤ttningar.

De flesta tillĂ¤mpningarna i avsnittet Ă¤r av ekonomisk karaktĂ¤r. HĂ¤r har vi varit tvungna att anpassa modellerna fĂśr att de ska passa de kunskaper eleverna har i kurs 3b.

Hur mycket finns det pĂĽ kontot direkt efter den 11:e insĂ¤ttningen? Det totala kapitalet anges av en geometrisk summa. I bĂśrjan av ĂĽr 11 finns det 5 000 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,0392 + â&#x20AC;Ś + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910 kr pĂĽ kontot.

von Kochs snĂśflinga

AllmĂ¤nt gĂ¤ller att den geometriska summan

Geometrisk serie En geometrisk serie Ă¤r en geometrisk summa med oĂ¤ndligt mĂĽnga termer. Trots att antalet termer Ă¤r oĂ¤ndligt, kan serien mycket vĂ¤l vara konvergent, dvs. ha en Ă¤ndlig summa. Om |k| < 1 Ă¤r serien konvergent. Summan berĂ¤knas a1 dĂĽ med uttrycket ____ . Elevboken innehĂĽller 1â&#x20AC;&#x201C;k inte nĂĽgra exempel pĂĽ geometriska serier, men fĂśr den intresserade eleven kan en sĂĽdan uppgift vara en spĂ¤nnande utmaning, se exemplet med von Kochs snĂśflinga eller aktiviteten Geometriska serier.

Teckna den geometriska summa som kan 8 Âˇ (1,389 â&#x20AC;&#x201C; 1) berĂ¤knas med uttrycket ___________ 0,38 a) med en fĂśljd av termer b) med hjĂ¤lp av â&#x2C6;&#x2018;-tecknet

LĂśsning/Kommentar a) Vi ser i uttrycket att a1 = 8, k = 1,38 och n = 9. AlltsĂĽ kan summan tecknas 8 + 8 Âˇ 1,38 + 8 Âˇ 1,382 + â&#x20AC;Ś + 8 Âˇ 1,388 b) Med stĂśd frĂĽn a)-uppgiften fĂĽr vi 9

â&#x2C6;&#x2018; 8 Âˇ 1,38m â&#x20AC;&#x201C; 1

m=1

(

() ()

()

)

( ) ()

Trots att snĂśflingan har en oĂ¤ndlig omkrets har den alltsĂĽ begrĂ¤nsad area.

geometrisk summa . geometrisk summa

217

InsĂ¤ttning i bĂśrjan av 11:e ĂĽret

Talet 11 betyder att det Ă¤r 11 termer i summan

s11 = 5 000 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,0392 + â&#x20AC;Ś + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910

kan berĂ¤knas med formeln

a1(kn â&#x20AC;&#x201C; 1) sn = ________ kâ&#x20AC;&#x201C;1 I exemplet med Synnes kapital var a1 = 5 000, k = 1,039 och n = 11.

Summatecknet

Summatecknet â&#x2C6;&#x2018; ger en mĂśjlighet till ett enklare skrivsĂ¤tt nĂ¤r man ska uttrycka summor med mĂĽnga termer. Uttrycket

â&#x2C6;&#x2018; 2n = 2 â&#x2C6;&#x2122; 1 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 2 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 3 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 4 = 2 + 4 + 6 + 8. Vi kan alltsĂĽ skriva den geometriska summan 11

3 + 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,04 + 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,042 + â&#x20AC;Ś + 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,0410 = â&#x2C6;&#x2018; 3 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1 n=1

7 Exempel: LĂśsning:

BerĂ¤kna den geometriska summan 25 + 25 â&#x2C6;&#x2122; 1,2 + 25 â&#x2C6;&#x2122; 1,22 + â&#x20AC;Ś + 25 â&#x2C6;&#x2122; 1,213.

25 â&#x2C6;&#x2122; (1,214 â&#x20AC;&#x201C; 1) s14 = ____________ â&#x2030;&#x2C6; 1 480 1,2 â&#x20AC;&#x201C; 1

7 Exempel:

b) BerĂ¤kna summan.

LĂśsning:

s11

â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1

n=1

till en summa av termer genom

â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1 = 7 + 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04 + 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,042 + â&#x20AC;Ś + 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,0420

n=1

5 000 â&#x2C6;&#x2122; (1,039 â&#x20AC;&#x201C; 1) = ________________ â&#x2030;&#x2C6; 67 083

b) Vi har a1 = 7, k = 1,04 och n = 21

1,039 â&#x20AC;&#x201C; 1

7 â&#x2C6;&#x2122; (1,04 â&#x20AC;&#x201C; 1) â&#x2030;&#x2C6; 224 â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1 = ____________

Direkt efter den 11:e insĂ¤ttningen fanns det alltsĂĽ ungefĂ¤r 67 000 kr pĂĽ Synnes konto.

216

a) Vi skriver om uttrycket

att lĂĽta n gĂĽ frĂĽn 1 till 21. Vi fĂĽr summan

s11 â&#x2C6;&#x2122; (1,039 â&#x20AC;&#x201C; 1) = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; (1,03911 â&#x20AC;&#x201C; 1)

geometrisk summa, en summa dĂ¤r termerna

â&#x2C6;&#x2018; 7 â&#x2C6;&#x2122; 1,04n â&#x20AC;&#x201C; 1

n=1

a) Teckna summan utan att anvĂ¤nda summatecken.

Slutligen lĂśser vi ut ut s11

Viktiga begrepp

()

a1(kn â&#x20AC;&#x201C; 1) Summan berĂ¤knas med formeln sn = ______ kâ&#x20AC;&#x201C;1

En geometrisk summa beskrivs med uttrycket

n=1

geometrisk summa â&#x20AC;˘ 6.2 geometriska summor

1,04 â&#x20AC;&#x201C; 1

geometrisk summa â&#x20AC;˘ 6.2 geometriska summor

217

Ă&#x2013;vningsblad Geometriska summor

Aktivitet Geometriska serier

216

geometrisk summa . geometrisk summa

()

Exempel Tips

Vi har a1 = 25, k = 1,2 och n = 14.

1,039s11 = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,039 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,0392 + â&#x20AC;Ś + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03910 + 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03911

1,039s11 â&#x20AC;&#x201C; s11 = 5 000 â&#x2C6;&#x2122; 1,03911 â&#x20AC;&#x201C; 5 000

betyder

n=1

Vi multiplicerar bĂĽda leden i ekvationen med kvoten 1,039 Sedan subtraherar vi ekvationerna ledvis

â&#x2C6;&#x2018;n

n=1

Termerna i hĂśgra ledet tar ut varandra parvis och kvar blir

nâ&#x20AC;&#x201C;1

sn = a1 + a1 â&#x2C6;&#x2122; k + a1 â&#x2C6;&#x2122; k + â&#x20AC;Ś + a1 â&#x2C6;&#x2122; k Summan har n termer. Den hĂśgsta exponenten Ă¤r n â&#x20AC;&#x201C; 1.

Totalt pĂĽ kontot efter 10 ĂĽr 5 000 Âˇ 1,03910 5 000 Âˇ 1,0399 5 000 Âˇ 1,0398 Âˇ Âˇ Âˇ 5 000 5 000 5 000 + â&#x20AC;Ś + 5 000 Âˇ 1,03910

Det finns en formel som underlĂ¤ttar berĂ¤kningen av en geometrisk summa, framfĂśrallt nĂ¤r det Ă¤r mĂĽnga termer i summan. Vi motiverar formeln med hjĂ¤lp av Synnes insĂ¤ttningar.

De flesta tillĂ¤mpningarna i avsnittet Ă¤r av ekonomisk karaktĂ¤r. HĂ¤r har vi varit tvungna att anpassa modellerna fĂśr att de ska passa de kunskaper eleverna har i kurs 3b.

von Kochs snĂśflinga

AllmĂ¤nt gĂ¤ller att den geometriska summan

Teckna den geometriska summa som kan 8 Âˇ (1,389 â&#x20AC;&#x201C; 1) berĂ¤knas med uttrycket ___________ 0,38 a) med en fĂśljd av termer b) med hjĂ¤lp av â&#x2C6;&#x2018;-tecknet

â&#x2C6;&#x2018; 8 Âˇ 1,38m â&#x20AC;&#x201C; 1

m=1

(

() ()

()

)

( ) ()

Trots att snĂśflingan har en oĂ¤ndlig omkrets har den alltsĂĽ begrĂ¤nsad area.

geometrisk summa . geometrisk summa

217

historia

I historikavsnittet i elevboken beskriver vi hur Leibniz och Newton oberoende av varandra utvecklade de idéer som presenteras i det här kapitlet. Leibniz och Newton står rättmätigt som grundare till denna teori, men metoder för att bestämma tangenter och extrempunkter hade faktiskt utvecklats tidigare. I princip varje framstående matematiker under 1600-talet kunde beräkna arean under en kurva, en tangents lutning och bestämma maxima och minima. Storheten i Leibniz och Newtons arbete var att de insåg hur alla dessa metoder kunde sammanfogas till en och samma teori. De insåg att derivata och integral kunde betraktas som varandras inverser och de införde beteckningar och algoritmer som effektiviserade metoderna. Tänk att våra elever i dag kan lösa problem som förr i tiden krävde en Leibniz eller en Newton!

Newton, Leibniz och derivatan Bittra rivaler Den engelske vetenskapsmannen Isaac Newton (1642–1727) och den tyske filosofen och matematikern Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) införde begreppet derivata oberoende av varandra i slutet av 1600-talet. Med hjälp av derivata lyckades de lösa svåra geometriska uppgifter med enkla algebraiska formler. I stället för att geometriskt konstruera tangenten till kurvan i en given punkt, så kunde de nu bestämma tangentens lutning, dvs. funktionens derivata, i den punkten. När deras resultat blev kända, så utbröt det ett allvarligt gräl mellan dem, som handlade om vem som var först med de viktiga upptäckterna. Leibniz publicerade sina oerhört svårförståeliga resultat i tyska tidskriften Acta Eruditorum år 1682. Där finns bland annat skrivsättet dy/dx för derivata och villkoret att dy/dx = 0 där kurvans tangent har lutningen noll. Dessa beteckningar ansågs ändamålsenliga och passade de samtida matematikerna.

Isaac Newton (1642–1727)

Newton kallade sin metod för fluxionsmetoden. Han använde följande beteckningar: x = fluent, x˙ = fluxion och x˙o = moment Fluenten beskrivs som en punkt som rör sig. Fluxionen av en fluent är hastigheten i varje punkt. Momentet definieras som x˙ multiplicerat med ett kort tidsintervall o. Under mycket korta tidsintervall o kommer koordinaten för fluenten att ändras från x till x˙o. Om man ska derivera en funktion enligt Newtons metod, så går man till väga på följande sätt. Tänk dig att rörelsen av en punkt (x, y) beskrivs av y = x2 – 3x. Efter ett mycket kort tidsintervall kommer punktens koordinater att vara x + x˙o samt y + y˙o. Då kan funktionen uttryckas y + y˙o = (x +

x˙o)2

– 3(x + x˙o)

x2 − 3x + y˙o = x2 + 2xx˙o + ( x˙o)2 – 3x – 3x˙o

Sätt in y =

– 3x i VL

Förenkla

y˙o = 2xx˙o + x˙2o2 – 3x˙o

Förkorta med o

y˙ = 2xx˙ + x˙2o – 3x˙

Låt o närma sig noll, då går x˙ 2o mot nott

y˙ = 2xx˙ – 3x˙ y˙ __ = 2x – 3 x˙

Dividera båda leden med x˙ dy Det här känner vi igen som derivatan ___ dx

Newtons beteckningar y˙ och x˙ motsvarar Leibniz beteckning för dy och dx . Den bittra rivaliteten mellan Newton och Leibniz kunde inte lösas under deras livstid, men resultatet av deras arbete har för alltid förändrat vår syn på matematiken och naturvetenskapen.

? Derivera funktionen y = x2 + 4x – 1 med Newtons metod.

UPPREPAD DERIVERING Om man deriverar f(x), så får man derivatan av f(x). Det kallas även förstaderivatan av f(x) och skrivs f '(x). Deriverar man en gång till, så får man andraderivatan av f(x), som skrivs f ''(x) och uttalas ”f-bis-x”. Deriverar man ytterligare en gång, så får man tredjederivatan f '''(x). Fjärdederivatan betecknas f (4)(x), femtederivatan f (5)(x) osv.

• Bestäm f ''(x) och f '''(x) för f(x) = + 5x + 1. • Bestäm f (6)(x) för f(x) = 7ex. 3x • Bestäm f ''(x) för f(x) = 5 · 3 . • Bestäm f (50)(x) för f(x) = e2x. • Finn en sluten formel för att uttrycka f (n)(x), om f(x) = 2e5x. • Beskriv f (n)(x) för n = 1, 2, 3, 4, om f(x) = kxa. • Vad händer med f (n)(x) för f(x) = kxa när n > a, om a är ett positivt hel3x2

• Visa ett exempel på det som beskrevs i förra punkten.

Om x0 är ett närmevärde av en rot till ekvationen f(x) = 0, så kan man göra en bättre uppskattning av roten med Newton-Raphsons metod. Lite förenklat kan man säga att metoden bygger på att man med derivata bestämmer en tangent till f i x0. Den tangentens skärningspunkt med x-axeln kommer i de allra flesta fall att vara en bättre approximation till roten än det ursprungliga närmevärdet x = x0.

y = f(x) Tangent

Sökt rot

(x0, f(x0))

x x0

Vill man bestämma en rot till ekvationen f(x) = 0 med Newton-Raphsons metod, så gör man så här: 1 Hitta först ett närmevärde x0 till roten, till exempel genom att gissa eller genom att rita grafen y = f(x) och läsa av nollstället. f(x0) 2 Bestäm ett bättre närmevärde x1 till roten med formeln x1 = x0 – _____ f '(x0) 3 Upprepa steg 2 tills du fått en tillräckligt bra approximation av roten. f(xn) Du använder nu den rekursiva formeln xn + 1 = xn – _____ f '(xn) beräkna x1, x2 och x3.

• Lös ekvationen e3x = 5 – 3x med hjälp av Newton-Raphsons metod. • Visa med hjälp av Newton-Raphsons metod att man med den rekursiva

(

)

Allmänt gäller: f (n)(x) = k · a(a – 1)(a – 2)… …(a – (n – 1)) · xa – n • För n > a är f (n)(x) = 0. • Om f(x) = 3x2 så är a = 2. För n = 3 har vi att f'''(x) = 0.

Newton-Raphsons metod

• Ekvationen e3x = 5 – 3x kan omformas till e3x + 3x – 5 = 0. Vi ritar grafen till funktionen f(x) = e3x + 3x – 5 och uppskattar roten till x0 = 0,5.

• Ekvationen x3 − 2x − 5 = 0 har en rot nära 2. Starta med x0 = 2 och

formeln 1 a xn + 1 = __ xn + __ 2 xn

n = 4 ger f (4)(x) = k · a(a – 1)(a – 2)(a – 3)xa – 4

• Ekvationen x3 – 2x – 5 = 0 ger f(x) = x3 – 2x – 5 och f '(x) = 3x2 – 2. f(xn) får vi Med x0 = 2 och formeln xn + 1 = xn – _____ f '(xn) f(2) –1 f(x0) x1 = x0 – _____ = 2 – ____ = 2 – ___ = 2,1 f '(x0) f '(2) 10 f(2,1) 0,061 f(x1) _____ ______ = 2,1 – = 2,1 – _____ ≈ x2 = x1 – f '(x1) f '(2,1) 11,23 ≈ 2,094568 f(2,094568) f(x2) ≈ 2,094568 – __________ ≈ 2,094551 x3 = x2 – _____ f '(x2) f '(2,094568)

tal?

NEWTON-RAPHSONS METOD

Newtons fluxionsmetod

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

problem och undersökningar

Historik: Leibniz och Newton

kan lösa ekvationen x2 – a = 0 och bestämma ett närmevärde till √a .

1 1

f(x) = e3x + 3x – 5 126

deriveringsregler • historia

deriveringsregler • problem och undersökningar

127

Gränsvärdesbegreppet Leibniz och Newtons idéer vilade på ett intuitivt gränsvärdesbegrepp. Under årtiondena som följde publiceringen kritiserades deras idéer. Vad menades egentligen med att först låta o vara skilt från 0, och dividera med det, för att senare i beräkningarna låta o försvinna? Hur skulle man betrakta dessa oändligt små enheter? George Berkeley var en av dem som kritiserade Newtons idéer om infinitesimaler i sin essä The Analyst år 1734: They are neither finite Quantities, nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?

Svar till historiefrågan 2

• y + y˙o = (x + x˙o) + 4(x + x˙o) – 1 Sätt in y = x2 + 4x – 1 i VL

x2 + 4x – 1 + y˙o = x2 + 2xx˙o + (x˙o)2 + 4x + 4x˙o – 1 Förenkla

Svar till Problem och undersökningar Upprepad derivering • f ''(x) = 6 f '''(x) = 0 • f (6)(x) = 7ex

2 2

y˙o = 2xx˙o + x˙ o + 4x˙o

• f ''(x) = 5 · 32 · (ln 3)2 · 33x = 45 · (ln 3)2 · 33x

Förkorta med o, som inte är noll utan oändligt litet

• f (50)(x) = 250e2x

y˙ = 2xx˙ +

x˙2o

+ 4x˙

Låt o närma sig noll

y˙ = 2xx˙ + 4x˙ Dividera med x˙ y˙ dy __ = 2x + 4 Det här känner vi igen som derivatan ___ dx x˙

• f (n)(x) = 2 · 5n · e5x

f(0,5) f(x0) = 0,5 – ______ ≈ 0,440305 x1 = x0 – _____ f '(x0) f '(0,5) f(0,440305) f(x1) ≈ 0,440305 – __________ ≈ 0,435547 x2 = x1 – _____ f '(x1) f '(0,440305) f(0,435547) f(x2) ≈ 0,435547 – ___________ ≈ 0,435520 x3 = x2 – _____ f '(x2) f '(0,435547) Svar: x ≈ 0,4355 __

• Rötterna till ekvationen x2 – a = 0 är x = ±√a . För att lösa ekvationen med Newton-Raphson sätter vi f(x) = x2 – a. Då är f '(x) = 2x och vi får: a f(xn) xn2 – a x = xn – ______ = xn – __n + ___ = xn + 1 = xn – _____ f '(xn) 2xn 2 2xn x a 1 a = __n + ___ = __ xn + __ 2 2xn 2 xn

(

)

n = 2 ger f ''(x) = k · a · (a – 1) · xa – 2

Beroende på vår första gissning kommer vi med __ denna iterationsformel att få ett närmevärde till √a __ eller –√a .

n = 3 ger f '''(x) = k · a · (a – 1)(a – 2)xa – 3

v.s.v.

• n = 1 ger f '(x) = k · a · xa – 1

Det dröjde in på 1800-talet innan matematikerna Cauchy och Weierstrass formellt definierade gränsvärdesbegreppet och satte Newtons och Leibniz idéer på stadig mark.

126

deriveringsregler historia

deriveringsregler problem och undersökningar

127

historia

Isaac Newton (1642–1727)

x˙o)2

– 3(x + x˙o)

x2 − 3x + y˙o = x2 + 2xx˙o + ( x˙o)2 – 3x – 3x˙o

Sätt in y =

– 3x i VL

Förenkla

y˙o = 2xx˙o + x˙2o2 – 3x˙o

Förkorta med o

y˙ = 2xx˙ + x˙2o – 3x˙

Låt o närma sig noll, då går x˙ 2o mot nott

y˙ = 2xx˙ – 3x˙ y˙ __ = 2x – 3 x˙

Dividera båda leden med x˙ dy Det här känner vi igen som derivatan ___ dx

? Derivera funktionen y = x2 + 4x – 1 med Newtons metod.

• Visa ett exempel på det som beskrevs i förra punkten.

y = f(x) Tangent

Sökt rot

(x0, f(x0))

x x0

• Lös ekvationen e3x = 5 – 3x med hjälp av Newton-Raphsons metod. • Visa med hjälp av Newton-Raphsons metod att man med den rekursiva

(

)

Allmänt gäller: f (n)(x) = k · a(a – 1)(a – 2)… …(a – (n – 1)) · xa – n • För n > a är f (n)(x) = 0. • Om f(x) = 3x2 så är a = 2. För n = 3 har vi att f'''(x) = 0.

Newton-Raphsons metod

• Ekvationen e3x = 5 – 3x kan omformas till e3x + 3x – 5 = 0. Vi ritar grafen till funktionen f(x) = e3x + 3x – 5 och uppskattar roten till x0 = 0,5.

• Ekvationen x3 − 2x − 5 = 0 har en rot nära 2. Starta med x0 = 2 och

formeln 1 a xn + 1 = __ xn + __ 2 xn

n = 4 ger f (4)(x) = k · a(a – 1)(a – 2)(a – 3)xa – 4

tal?

NEWTON-RAPHSONS METOD

Newtons fluxionsmetod

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

problem och undersökningar

Historik: Leibniz och Newton

kan lösa ekvationen x2 – a = 0 och bestämma ett närmevärde till √a .

1 1

f(x) = e3x + 3x – 5 126

deriveringsregler • historia

deriveringsregler • problem och undersökningar

127

Svar till historiefrågan 2

• y + y˙o = (x + x˙o) + 4(x + x˙o) – 1 Sätt in y = x2 + 4x – 1 i VL

x2 + 4x – 1 + y˙o = x2 + 2xx˙o + (x˙o)2 + 4x + 4x˙o – 1 Förenkla

Svar till Problem och undersökningar Upprepad derivering • f ''(x) = 6 f '''(x) = 0 • f (6)(x) = 7ex

2 2

y˙o = 2xx˙o + x˙ o + 4x˙o

• f ''(x) = 5 · 32 · (ln 3)2 · 33x = 45 · (ln 3)2 · 33x

Förkorta med o, som inte är noll utan oändligt litet

• f (50)(x) = 250e2x

y˙ = 2xx˙ +

x˙2o

+ 4x˙

Låt o närma sig noll

y˙ = 2xx˙ + 4x˙ Dividera med x˙ y˙ dy __ = 2x + 4 Det här känner vi igen som derivatan ___ dx x˙

• f (n)(x) = 2 · 5n · e5x

(

)

n = 2 ger f ''(x) = k · a · (a – 1) · xa – 2

Beroende på vår första gissning kommer vi med __ denna iterationsformel att få ett närmevärde till √a __ eller –√a .

n = 3 ger f '''(x) = k · a · (a – 1)(a – 2)xa – 3

v.s.v.

• n = 1 ger f '(x) = k · a · xa – 1

Det dröjde in på 1800-talet innan matematikerna Cauchy och Weierstrass formellt definierade gränsvärdesbegreppet och satte Newtons och Leibniz idéer på stadig mark.

126

deriveringsregler historia

deriveringsregler problem och undersökningar

127

lösningar

Linjär optimering, ändringskvot och derivata

2101 Uttryck 1 hör ihop med linje B. Skärningspunkten med y-axeln är (0, 1), vilket ger m = 1, och när vi går ett steg till höger i x-led så minskar y-värdet med 3, dvs. k = –3. Det stämmer in på ekvationen y = –3x + 1. Uttryck 2 hör ihop med linje A. Skärningspunkten med y-axeln är (0, 0), vilket ger m = 0, och när vi går ett steg till höger i x-led så ökar y-värdet med 1, dvs. k = 1. Det stämmer in på ekvationen y = x. Uttryck 3 hör ihop med linje C. Skärningspunkten med y-axeln är (0, 1), vilket ger m = 1, och när vi går tre steg till höger i x-led så 1 minskar y-värdet med 1, dvs. k = − . Det stämmer in 3 1 på ekvationen y = − x + 1. 3

∆ y 1 − (− 3) = = −2 2−4 ∆x Vi sätter in k = –2 och koordinaterna för punkten (2, 1) i ekvationen y = kx + m för att bestämma m. 1 = –2 · 2 + m m=5

2107 k =

Svar: Linjens ekvation är y = –2x + 5. Kommentar: Vi hade lika gärna kunnat välja att stoppa in koordinaterna för punkten (4, –3) i ekvationen i stället för (2, 1). Det hade gett samma resultat. 2108 a) Riktningskoefficienten är 320 och betyder att kostnaden per timme är 320 kr. b)

Kostnad

Svar: 1B, 2A, 3C ∆y 12 − 3 9 = = = −3 ∆ x − 4 − (− 1) − 3 ∆y 4−2 b) k = = =2 ∆ x 2,5 − 1,5

2102 a) k =

Tid h

2103 a) Linjen skär y-axeln i (0, 4) eftersom m = 4

2109 a)

Antal sålda spel

b) Linjen lutar tre steg ner för varje steg åt höger. 2104 a) Linjen går genom origo och punkten (2, 35). ∆ y 35 − 0 k= = = 17,5 ∆x 2 − 0 b) Riktningskoefficienten uttrycker jämförpriset i kr/kg. 2105 Vi sätter in riktningskoefficienten k = koordinater i y = kx + m för att bestämma m. 1 1 = ⋅ (− 2) + m 2 1 = –1 + m m=2 Svar: Linjens ekvation är y =

1 och punktens 2

1 x + 2 = 0,5 x + 2. 2

2106 a) Punkten ligger på linjen eftersom 1 y(4) = − ⋅ 4 + 1 = − 1, dvs. x = 4 och y = –1 2 uppfyller linjens ekvation. b) Punkten ligger inte på linjen eftersom 1 y(4) = ⋅ 4 − 1 = 1 ≠ − 1, dvs. x = 4 och y = –1 2 uppfyller inte linjens ekvation.

Tid Veckor

∆ y 136 − 98 = ≈ 12,7 4 −1 ∆x Riktningskoefficienten betyder att försäljningsökningen i genomsnitt är 12,7 spel/vecka.

b) k =

2110 a) Linjen skär y-axeln när x = 0. Insättning av x = 0 ger 5y – 3 · 0 + 12 = 0 y = –2,4 Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0; –2,4). Linjen skär x-axeln när y = 0. Insättning av y = 0 ger 5 · 0 – 3x + 12 = 0 x=4

38 2 264kapitel lärarguide matematik origo b lösningar kapitel : linjär optimering, ändringskvot och derivat

Vi kontrollerar nu om även punkten (–2, 1) ligger på linjen. I så fall uppfyller koordinaterna x = –2 och y = 1 linjens ekvation y = 0,5x + 2. VL = y = 1 HL = 0,5x + 2 = 0,5 · (–2) + 2 = 1 VL = HL Ja, alla tre punkterna ligger på en och samma linje.

Linjen skär alltså x-axeln i punkten (4, 0). Svar: Skärningspunkterna är (0; –2,4) och (4, 0). b) Linjen skär y-axeln när x = 0. Insättning av x = 0 ger 1 2y + ⋅ 0 +1 = 0 3 y = –0,5 Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0; –0,5). Linjen skär x-axeln när y = 0. Insättning av y = 0 ger 1 2 ⋅ 0 + x +1 = 0 3 x = –3 Linjen skär alltså x-axeln i punkten (–3, 0). Svar: Skärningspunkterna är (0; –0,5) och (–3, 0). 2111 Vi bestämmer ett uttryck för riktningskoefficienten: −3 − 5 k= a a− 2 Denna ska vara lika med 4. Det ger ekvationen −3 − 5 =4 a a− 2 −8 =4 a 2 a −8 = 4 ⋅ 2 –8 = 2a a = –4 2112 Linjen som går genom (4, 4) och (–2, 1) har lutning 4 −1 1 k= = 4 − (− 2) 2 Linjen som går genom (4, 4) och (10, 7) har lutning 7−4 1 k= = 10 − 4 2 Svar: Punkterna ligger på samma linje. Alternativ lösning: Vi bestämmer ekvationen för den linje som går genom två av punkterna och kontrollerar sedan om även den tredje punkten ligger på linjen: Vi bestämmer ekvationen för linjen genom punkterna (4, 4) och (10, 7). 7−4 3 k= = = 0,5 10 − 4 6 Insättning av k = 0,5 och koordinaterna för punkten (4, 4) i y = kx + m ger 4 = 0,5 · 4 + m m=2 Linjens ekvation är y = 0,5x + 2.

2113

4x + 3 4 y − 2 = 5 2 2(4x + 3) = 5(4y – 2) 8x + 6 = 20y – 10 8 x + 16 y= 20 y = 0,4x + 0,8

2114 Vi ritar figur och inför beteckningar. y 3 A 2 T1

1 R –1

T2 2

x 3

–1

Det finns flera sätt att bestämma figurens area. Ett sätt är att dela in figuren i två trianglar och en rektangel och bestämma summan av deras areor. Vi bestämmer skärningspunkten A genom att sätta linjernas ekvationer lika. 2x + 1 = –x + 3 2 x = som vid insättning i någon av linjernas 3 7 ekvationer ger y = . Punkten A har alltså 3 2 7 koordinaterna  ,  . 3 3 Höjden i triangel T1 är

7 4 − 1 = l.e. Det ger arean: 3 3

4 2⋅ b⋅h 4 AT1 = = 3 = a.e. 2 2 3 Arean av triangel T2 är b ⋅ h 1⋅1 1 AT2 = = = a.e. 2 2 2 Arean av rektangel R är A R = b · h = 2 · 1 = 2 a.e.

kapitel 2 265 39 lärarguide matematik origo b lösningar kapitel : linjär optimering, ändringskvot och derivata

lösningar

Linjär optimering, ändringskvot och derivata

∆ y 1 − (− 3) = = −2 2−4 ∆x Vi sätter in k = –2 och koordinaterna för punkten (2, 1) i ekvationen y = kx + m för att bestämma m. 1 = –2 · 2 + m m=5

2107 k =

Kostnad

Svar: 1B, 2A, 3C ∆y 12 − 3 9 = = = −3 ∆ x − 4 − (− 1) − 3 ∆y 4−2 b) k = = =2 ∆ x 2,5 − 1,5

2102 a) k =

Tid h

2103 a) Linjen skär y-axeln i (0, 4) eftersom m = 4

2109 a)

Antal sålda spel

1 och punktens 2

1 x + 2 = 0,5 x + 2. 2

Tid Veckor

∆ y 136 − 98 = ≈ 12,7 4 −1 ∆x Riktningskoefficienten betyder att försäljningsökningen i genomsnitt är 12,7 spel/vecka.

b) k =

38 2 264kapitel lärarguide matematik origo b lösningar kapitel : linjär optimering, ändringskvot och derivat

2113

4x + 3 4 y − 2 = 5 2 2(4x + 3) = 5(4y – 2) 8x + 6 = 20y – 10 8 x + 16 y= 20 y = 0,4x + 0,8

2114 Vi ritar figur och inför beteckningar. y 3 A 2 T1

1 R –1

T2 2

x 3

–1

7 4 − 1 = l.e. Det ger arean: 3 3

4 2⋅ b⋅h 4 AT1 = = 3 = a.e. 2 2 3 Arean av triangel T2 är b ⋅ h 1⋅1 1 AT2 = = = a.e. 2 2 2 Arean av rektangel R är A R = b · h = 2 · 1 = 2 a.e.

kapitel 2 265 39 lärarguide matematik origo b lösningar kapitel : linjär optimering, ändringskvot och derivata

lösningar

matematik

3b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter

Niclas Larson Daniel Dufåker Emelie Reuterswärd

Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla

matematik

Lärarguide

Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Tekniska programmet

ISBN 978-91-523-4435-4

(523-4435-4)

Lärarguide