9789144109756

HÅKAN SOLLERVALL

| Aritmetik för lärare

Håkan Sollervall är universitetslektor och verkar som lärare i matematik och matematikdidaktik vid Linnéuniversitetet i Växjö. Han är författare till flera läromedel i matematik för högskola och gymnasium.

Aritmetik för lärare Tal och de fyra räknesätten

Lärare behöver känna till många vägar in i matematiken för att effektivt kunna möta och utveckla elevers tankar, idéer och resonemang till en djupare och brett förankrad förståelse. I den här boken behandlas den specialiserade kunskap i aritmetik som lärare behöver för att kunna bedriva en varierad matematikundervisning.

Aritmetik för lärare

Genom metodisk variation mellan matematikens representationsformer erbjuder Aritmetik för lärare många spännande infallsvinklar för att förstå och arbeta med tal och de fyra räknesätten.

Med stöd av bilder, diagram, naturligt språk och symboler kan beräkningar utföras och problem lösas på flera olika sätt.

Aritmetik för lärare innehåller utförliga resonemang, ett stort antal genomarbetade exempel och en mängd uppgifter som ger läsaren goda förutsättningar att utveckla en allsidig förståelse och känsla för matematiska begrepp och processer.

Boken vänder sig till verksamma och blivande lärare i matematik.

Andra upplagan

2:a uppl.

Art.nr 32877

HÅKAN SOLLERVALL

www.studentlitteratur.se

978-91-44-10975-6_cover Ny.indd 1

2015-11-03 10:38

32877‐02_sollervall_s1‐5_104, senast sparat 2015‐10‐30 10:00

Första upplagan av denna bok hade titeln ”Tal och de fyra räknesätten”.

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e‐bok, är e‐boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok‐utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljö‐ anpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 32877 ISBN 978‐91‐44‐10975‐6 Upplaga 2:1 © Författaren och Studentlitteratur 2015 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Fransisco Ortega Omslagsbild: shutterstock/tmcphotos Printed by Interak, Poland 2015

32877‐02_sollervall_s1‐5_104, senast sparat 2015‐10‐06 19:21

INNEHÅLL

INNEHÅLL

Förord 5 Inledning 9 1. Räkning med positiva heltal 17 Addition av positiva heltal 17 Subtraktion av positiva heltal 28 Multiplikation av positiva heltal 34

2. Bråk och division 45 Begreppet bråk 45 Stambråk 48 Addition av bråk med lika nämnare 50 Förlänga och förkorta 52 Jämförelse av bråk 56 Addition av bråk med olika nämnare 59 Multiplikation av bråk 63 Division av positiva heltal 66 Tillämpad bråkräkning 73 Proportionsräkning 75 Division av bråk med positivt heltal 78 Att dividera med ett stambråk 81 Att dividera med ett bråk 84 Prioriteringsregler: Att räkna med flera räknesätt 89 Vilket tal tänker jag på? 90

3. Decimaltal och potenser 93 Matematikhistoria: Talsymboler och talsystem 93 Vårt vanliga positionssystem 95 Något om olika talbaser 96 Tal i vanliga basen tio 98

3

© F Ö R F A T T A R E N O C H S T U D E N T L I T T E R A T U R

32877‐02_sollervall_s1‐5_104, senast sparat 2015‐10‐06 19:21

INNEHÅLL

Tiopotenser och grundpotensform 102 Avrundning och överslagsräkning 107 Gällande siffror och grundpotensform 109 Potenser med positiva baser 111 Regler för potensräkning 113 Kvadrat och kvadratrot 118 Kubik och kubikrot 119 Något om potenser med bråk som exponenter 120

4. Negativa tal och subtraktion 123 Negativa heltal och motsatta tal 123 Subtraktion kan skrivas som addition 125 Addition och subtraktion av heltal 127 Multiplikation och division av heltal 131

5. Likheter och olikheter 135 Likhetstecken 135 Talmängder 138 Olikheter 141 Räknereglers giltighet 143

6. Procenträkning 145 Enkel procenträkning 145 Procentsats i decimalform 149 Mer om delen, procentsatsen och det hela 150 Ändringsfaktor 152 Något om formler 155

Uppgifter 159 Inledning 159 Kapitel 1 159 Kapitel 2 165 Kapitel 3 174 Kapitel 4 177 Kapitel 5 180 Kapitel 6 181

Facit 187

4

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

Förord De som sysslar mycket med matematik brukar lyfta fram att det handlar om att kunna lösa matematiska problem, vilket kräver att man kan räkna ”med förståelse”. Matematisk problemlösning förutsätter både praktisk räkneförmåga och teoretisk förståelse för de beräkningar som utförs. Praktiskt och teoretiskt kunnande samverkar när problemlösaren tolkar och analyserar den givna uppgiften, väljer strategier och metoder, samt utför nödvändiga beräkningar. Båda typerna av kunnande behövs också när problem‐ lösaren ska utvärdera valda strategier, metoder och resultat, samt tolka resultatet i relation till den givna uppgiften. I Aritmetik för lärare läggs stor vikt vid att både använda och resonera om olika sätt att räkna, hur man kan förstå beräkningarna och varför det är rimligt att räkna enligt vissa bestämda regler.

ARITMETIK SOM LÄRAN OM TAL OCH DE FYRA RÄKNESÄTTEN

Läran om att räkna med tal kallas för aritmetik, en beteckning härledd från grekiskans arithmos (tal). Inom aritmetiken behandlas tal i olika former och hur flera tal kan kombineras och omvandlas med de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division.

Den första svenska läroboken i detta ämne är Aurelius räknelära Arithmetica från 1614 som riktar sig till den ”som til thenne Konst lust och behagh hafwe”. Just räknelära och räknekonst är två äldre synonymer till aritmetik. I inledningen till Arithmetica betonas vikten av att kunna aritmetik med följande formulering:

Såsom ock ingen Politie eller någhot Regemente/ Land eller Rijke/ Stadh eller Byy / Ja / icke thet ringeste Torp i Werldenne finnes / thet thenne konst icke behöfwer.

Hela Arithmetica finns att läsa på https://ncm.gu.se/node/289.

5

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

ARITMETIK I VARDAGSLIVET OCH I UNDERVISNINGEN

I vardagslivet är talen ofta sammansatta med någon enhet och det sammansatta uttrycket kallas då storhet. Exempelvis är 37 meter en storhet som består av (mäte)talet 37 och (mått)enheten meter. Även om aritmetiken främst behandlar tal utan enheter, så är det viktigt att i undervisningen också arbeta med storheter. Talen bidrar till att vi kan förstå vardagliga fenomen – till exempel längdmätning – och de vardagliga fenomenen hjälper oss att förstå talen som matematiska objekt. Att relatera till vardagliga kontexter och att använda olika matematiska representationer som bilder, diagram och symboler för att gestalta tal och beräkningar, är viktiga strategier både för läraren som ska undervisa aritmetik och för eleven som ska lösa matematiska problem och lära sig aritmetik.

Aritmetik handlar alltså inte enbart om att räkna med talsymboler. Även i denna bok används bilder och diagram, till‐ sammans med symboliska uttryck och naturligt språk, för att repre‐ sentera tal och som stöd för att förstå matematiska konstruktioner.

I Aritmetik för lärare syftar användandet av dessa representationer till att utveckla läsarens matematiska kunnande, men de kan självklart även användas för att undervisa elever i skolan. Hur detta kan gå till, dvs hur undervisning av tal och de fyra räknesätten kan organiseras, planeras och genomföras går utöver ambitionerna för denna bok. Aritmetik för lärare behandlar det läraren behöver kunna om tal och de fyra räknesätten för att kunna bedriva matematikundervisning och stödja elevers lärande inom detta område. Boken behandlar däremot inte undervisning om tal och de fyra räknesätten och den behandlar heller inte teorier om hur elever lär sig aritmetik, dvs det som numera kallas matematik‐ didaktik.

LÄRARES ÄMNESKUNSKAPER I ARITMETIK

I din lärarutbildning eller i din fortbildning som lärare är det viktigt att du får möjlighet att studera både matematik och matematik‐ didaktik, åtminstone om man ska tro merparten av de som forskar inom detta fält. En av dessa forskare är Deborah Loewenberg‐Ball, som har bidragit till att utveckla den så kallade MKT‐modellen (MKT: Mathematical Knowledge for Teaching). Enligt denna modell kan den nödvändiga matematik‐lärarkunskapen till att börja med

6

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_110, senast sparat 2015‐10‐30 10:48

delas in i ämnesinnehållslig kunskap (Subject Matter Knowledge, SMK) och pedagogisk ämneskunskap (Pedagogical Content Knowledge, PCK). Den markerade delen av ”MKT‐ägget” nedan symboliserar det innehåll som behandlas i denna bok.

Subject Matter Knowledge Pedagogical Content Knowledge

Knowledge of

Common Content and Content Specialized Teaching Knowledge of Knowledge Content Content and Horizon Knowledge Curriculum Knowledge Content of Content Knowledge and Students

Ball, Thames och Phelps (2008)

Det framgår också av målen för den nya lärarutbildningen (2011) att såväl grundlärare som ämneslärare ska ges förutsättningar att utveckla såväl ämneskunskaper som ämnesdidaktiska kunskaper under sin lärarutbildning. Alla matematiklärare behöver lära sig både matematik och matematikdidaktik, fast med ett innehåll som är anpassat till den egna yrkesutövningen och som går utöver vad man har lärt sig i grundskolan och gymnasieskolan. Den ämnes‐ innehållsliga kunskapen (Subject Matter Knowledge) består inte enbart av denna allmänna ämneskunskap (Common Content Know‐ ledge) utan omfattar också en sammanhangsbunden kunskap om skolans matematik (Horizon Content Knowledge) men framför allt en specialiserad ämneskunskap (Specialized Content Knowledge).

Denna specialiserade ämneskunskap ger de nödvändiga förutsätt‐ ningar som behövs för att kunna bedriva en varierad och allsidig matematikundervisning, där elevers tankar och idéer kan tas till vara och utvecklas. Matematikläraren måste ha tillräckliga ämneskunskaper i matematik för att kunna tolka, bedöma och utveckla sina elevers matematiska idéer på ett bra sätt. Dessa ämneskunskaper behövs också för att läraren ska kunna bedriva

7

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_110, senast sparat 2015‐10‐30 11:14

matematikundervisning som stimulerar eleverna att undersöka och upptäcka matematiska idéer, strukturer och samband.

ARITMETIK FÖR LÄRARE – INNEHÅLL OCH STRUKTUR

Aritmetik för lärare behandlar ämneskunskap i aritmetik, med syfte att utveckla en allsidig förståelse för matematiska begrepp (särskilt tal) och matematiska processer (de fyra räknesätten). En viktig strategi för att utveckla denna allsidiga förståelse är att konsekvent använda flera olika representationer (bild, diagram, symboler, språk), där varje representation ger en ny infallsvinkel till att förstå begreppet eller processen. Ett utförligt exempel med olikfärgade flaggor, som redovisas i bokens inledande kapitel, visar hur olika representationer var för sig kan användas för att behandla ett mate‐ matiskt problem och hur de tillsammans kan bidra till att förstå problemets matematiska struktur.

Aritmetik för lärare är både en läsebok och en räknebok. Den inledande läsdelen innehåller många genomarbetade exempel och avslutas med en stor mängd uppgifter och facit. Uppgifterna är sorterade efter respektive kapitel i läsdelen, vilket underlättar för läsaren att varva läsning och räkning.

Denna lärobok har utformats med tanke på att den ska kunna användas för samtliga inriktningar i lärarutbildningen. Den kan med fördel användas tillsammans med Geometri för lärare, som också är utgiven av Studentlitteratur och har ett liknande upplägg som denna bok fast med fokus på geometri som kunskapsområde.

Avslutningsvis vill författaren önska dig mycket nöje att utforska matematiken och speciellt aritmetiken på ett sätt som lägger stor vikt inte bara vid räknefärdighet utan också lyfter fram den sammanhangsbundna och specialiserade förståelse för aritmetikens mönster och strukturer som du behöver för att lyckas med ditt viktiga uppdrag som matematiklärare.

Växjö 30 oktober 2015 Håkan Sollervall

8

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

Inledning VAD INNEBÄR DET ATT KUNNA MATEMATIK?

Ett vanligt svar är att det handlar om att kunna räkna och att kunna lösa matematiska problem. Detta kräver i sin tur förmåga att kunna utföra beräkningar, men också förmåga att analysera, syntetisera och utvärdera situationer som kan beskrivas med matematiska be‐ grepp och konstruktioner. Matematik handlar både om att räkna och att tänka, i ett samspel där räknandet stimulerar tänkandet och tänkandet stödjer räknandet. Redovisade beräkningar döljer ofta omfattande resonemang och argumentation, där enbart den ”vinnande” strategin redovisas efter att flera möjliga strategier har prövats och övervägts. Att inte direkt kunna formulera en bra strategi kan tolkas som ett personligt misslyckande, när prövningen och sökandet efter en möjlig strategi för att lösa ett nytt problem i själva verket är kärnan i matematisk verksamhet. Därför är det viktigt att i matematikundervisningen lyfta fram de resonemang och den argumentation som används vid problemlösning. Elever behöver få möjlighet att kommunicera sina egna lösningar samt diskutera både egna och andras lösningar. Men för att ha något att diskutera måste de ha goda matematiska grundkunskaper. I den matematiska förmågan ingår att kunna hantera beräkningar, lösa rutinuppgifter, göra matematiska undersökningar, hantera mate‐ matiska begrepp och samband, värdera metoder och strategier, analysera och lösa problem, samt utvärdera matematiska konstruk‐ tioner och lösningar. En mer detaljerad beskrivning finns i de gäll‐ ande läroplanerna och Skolverkets kommentarsmaterial.

Läroplanerna i matematik har förändrats över tid. De gällande läroplanerna från 2011 lyfter tydligare fram matematiska förmågor än tidigare läroplaner, som lade större vikt vid att utveckla färdigheter och förståelse av ett ämnesinnehåll. Oavsett vad man väljer att sätta främst – förmågor eller innehåll – så behövs det ”rena räknandet” för att utveckla de fyra kunskapsformerna ”fakta, förståelse, färdighet, förtrogenhet”. Räknandet ska naturligtvis inte enbart inriktas mot att utveckla räknefärdighet och faktakunskap.

En väl genomtänkt variation och mängd av standarduppgifter som kräver olika lösningsmetoder utvecklar förtrogenhet och förståelse

9

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

som eleven kan använda sig av för att lösa mer utmanande problemuppgifter, där eleven inte enbart följer en given metod utan också tolkar uppgiften, överväger olika metoder och väljer en metod, tolkar svaret samt utvärderar hela lösningsprocessen. För att kunna göra allt detta behövs goda grundkunskaper i aritmetik.

HUR BEHÖVER MATEMATIKLÄRAREN KUNNA MATEMATIKEN?

Läraren måste ha mycket bättre matematiska kunskaper än elever‐ na, för att kunna möta dem i deras tänkande och för att kunna vidareutveckla deras idéer mot formella lärandemål, så som de formuleras i läroplanerna för grundskolan och gymnasieskolan. Det innebär exempelvis att läraren måste känna till och kunna lyfta fram sådant som eleverna inte har kommit på själva. Undervis‐ ningen bör organiseras med syfte att utveckla elevernas matema‐ tiska idéer och konstruktioner, men det kommer alltid att finnas tillfällen då läraren behöver tillföra nya idéer i elevernas pågående arbete. Utöver att kommentera elevernas olika lösningsförslag behöver läraren kunna identifiera och lyfta fram ytterligare förslag och metoder, resonera om likheter och skillnader samt ta initiativ till att diskutera vilken typ av uppgifter som kan lösas med samma metod och varför en viss metod ibland fungerar bättre än en annan.

Läraren behöver också kunna hjälpa eleverna att upptäcka sam‐ band mellan det de gör just nu och annan matematik samt verklig‐ heten utanför skolan. Denna del av matematiskt kunnande inne‐ fattar också att känna till och kunna peka ut riktning för fortsatt lärande, som en vägvisare i den matematiska terrängen.

MATEMATISKA PROCESSER OCH REPRESENTATIONER

Ett språk kan användas för att beskriva ett fenomen eller en situation. Matematiken kan liknas vid ett språk (som svenska) men har en särskild egenskap som går utöver den språkligt beskrivande.

Matematiken kan nämligen processas, vilket innebär en omformu‐ lering som ofta pågår i flera steg och som lämnar den ursprungliga situationen. Varje steg i processen bidrar till nya insikter.

Att exempelvis skriva 197 238 på formen 197 3 235 ger nya idéer om hur summan kan beräknas och hur talet 3 kan användas för att förenkla beräkningen.

10

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

Även om matematikuppgifter ofta relaterar till verklighetsnära situationer, kan de matematiska beskrivningarna processas utan återkoppling till den aktuella situationen. Trots detta kan de pro‐ cessade beskrivningarna ge ny information om situationen. Detta är en del av matematikens styrka, att ”rena” matematiska processer kan ge avsevärd ökad förståelse av en situation. Samtidigt kan de kraftfulla matematiska processerna uppfattas som abstrakta (vilket de är) och svåra att förstå (vilket de inte behöver vara) vilket läraren kan underlätta genom att konkretisera processerna. Mate‐ matiken kräver mycket av den som ska lära sig men ger samtidigt mycket tillbaka.

Både lärare och elever måste vara inställda på att vrida och vända på problem genom att använda olika representationsformer.

Den elev som inte förstår ett problem som är representerat med symboler, kanske kan börja med att representera det med en bild, ett diagram eller med egna ord. Den nya representationen kan ge nya insikter om hur problemet kan tolkas och lösas. Genom att arbeta med olika representationsformer förstår vi också uppgiften och matematiken på ett bättre sätt än om vi använder en enda lösningsmetod. Nedan ska vi studera ett exempel där vi med hjälp av ett träddiagram kan se en upprepad addition, som i sin tur kan tolkas som multiplikation. Genom att växla mellan olika represen‐ tationsformer får vi en bättre insikt i problemets natur. Med stöd i de enklare representationsformerna får vi ingångar till de mer abstrakta. Vi kan räkna med större säkerhet när lösningen är för‐ ankrad i flera tankeformer och vi får dessutom fördjupad förståelse för den matematik som uppgiften är tänkt att förmedla.

MATEMATISKA REPRESENTATIONSFORMER

När en elev tar sig an en matematikuppgift använder sig eleven av sin befintliga förståelse och befintliga kunskap, som eleven har tillägnat sig genom att internalisera sina tidigare erfarenheter av att interagera med omvärlden.

Eleven börjar med att tolka uppgiften. Uppgiften kan innehålla en formulering i naturligt språk (svenska, engelska, eller annat språk), en bild (avbildning) eller någon form av diagram (tabell, tallinje, graf eller liknande) som tillför information om den aktuella problemsituationen. Ibland räcker detta inte för att förstå uppgiften

11

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

utan eleven kan själv behöva representera informationen på ett sätt som gör uppgiften begriplig, till exempel genom att använda fysiskt material som klossar, pinnar, fingrar, linjal eller passare.

Erfarenheter Erfarenheter

Symboler

Diagram

Fysiskt material Bilder

Kunskap, förståelse

Ibland syns lösningen direkt när informationen har representerats på ett lämpligt sätt, men ofta måste den första representationen processas. Detta kan göras på två kvalitativt olika sätt: dels genom att behandla representationer av samma form och dels genom att omvandla mellan olika former. Exempelvis kan en symbolisk behandling av 197 238 innebära att man skriver

Språk

197

238

197

3

235

200

235

435

medan en omvandling kan innebära en tolkning på tallinjen. I denna bok kommer du att möta många exempel på både behandling och omvandling av matematiska representationer.

Nedan redovisas ett inledande exempel som avser att visa hur olika representationer kan stödja varandra och bidra till fördjupad förståelse. Lägg särskilt märke till hur lösningsförsöken vandrar mellan olika representationsformer: från text och bild till egna bilder, till symboler, till träddiagram och åter till symboler. Dessa omvandlingar mellan olika former tillsammans med behandling inom varje form bidrar till fördjupad insikt om uppgiftens natur och matematiska struktur.

12

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

Exempel: Mattelandets flagga består av fyra lika stora horisontella fält, som ska färgas med fyra olika nyanser grått. Det finns precis fyra färger/nyanser att välja mellan. En flagga kan se ut så här:

På hur många olika sätt kan man färga en sådan flagga?

Lösning: Vi ska lösa uppgiften på flera olika sätt. Enklaste sättet, som kanske är mest tidsödande, är att rita alla möjliga flaggor. Vi börjar med att rita alla som har mörkaste färgen/nyansen överst:

Innan vi går vidare funderar vi på om vi verkligen har fått med alla flaggor som har mörkaste färgen överst. När vi är övertygade om att det bara finns precis de sex flaggor vi har ritat fortsätter vi att rita de som har näst mörkaste färgen överst:

13

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

Det blir sex olika sådana flaggor också. Antingen inser man detta genom att räkna dem, eller kanske man kommer på att det bör/ska bli lika många som i förra fallet (eftersom man varierar de tre åter‐ stående färgerna i båda fallen).

Om man inte kommer på genvägen (att det finns sex flaggor vardera som börjar med de två ljusaste färgerna) kan man fortsätta rita.

Vi räknar alla flaggorna, det finns sammanlagt 6 6 6 6 24 stycken. Nu har vi löst uppgiften genom att rita bilder, vi hade kunnat göra motsvarande med fysiskt material (till exempel genom att klippa och klistra eller använda färgade stavar).

En liknande lösning kan vi göra med symboler. Vi kan numrera färgerna 1, 2, 3, 4 och representera flaggorna med följder av dessa siffror:

1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

Nästa lösning ska vi göra med ett diagram, ett så kallat träddiagram.

Vi bestämmer oss för en färg i taget. Första färgen kan väljas på fyra olika sätt. När den första färgen är vald återstår tre färger att välja för andra fältet. När den andra färgen också är vald återstår två

14

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

32877‐02_sollervall_107, senast sparat 2015‐10‐08 22:11

INLEDNING

färger att välja för tredje fältet. När även den tredje färgen är vald finns bara en färg kvar för sista fältet.

1 2 3 4

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2

4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1

”Trädgrenen” längst till vänster representerar ”flaggan” 1234.

(Läsaren får själv fundera ut vilka ”flaggor” de övriga trädgrenarna representerar.) Genom att räkna trädtoppar (längst ner) ser vi (återigen, på ett nytt sätt) att det finns sammanlagt 24 möjliga flaggor.

Lägg märke till att trädet har 4 grenar högst upp. De fördelar sig vardera i 3 grenar. Efter andra valet har vi således 3

3

3

3

4∙3

12

stycken olika påbörjade flaggor. Efter tredje valet har vi dubblerat antalet påbörjade flaggor och vi har lika många kvar efter det fjärde valet. Lösningen kan symboliskt sammanfattas med multiplika‐ tionen 4∙3∙2∙1

24

kan skrivas ”4!”, läses ”fyra i fakultet”

Denna uppställning med multiplikation har stor matematisk potential och kan generaliseras i många riktningar (vilket vi inte redovisar här, se dock de inledande uppgifterna längre bak i boken).

När dessa generaliseringar görs är det viktigt att känna till formelns bakgrund, att veta vilka egenskaper och strukturer i en uppgift som leder fram till att den kan lösas genom att ställa upp en multipli‐ kation.

Detta exempel visar hur vi med stöd i de enklare representa‐ tionsformerna får ingångar till de mer abstrakta. Vi kan räkna med större säkerhet när lösningen är förankrad i flera tankeformer och vi får dessutom fördjupad förståelse för den matematik som uppgiften är tänkt att förmedla.

15

©FÖRFATTAREN OCH STUDENTLITTERATUR

HÅKAN SOLLERVALL

| Aritmetik för lärare

Håkan Sollervall är universitetslektor och verkar som lärare i matematik och matematikdidaktik vid Linnéuniversitetet i Växjö. Han är författare till flera läromedel i matematik för högskola och gymnasium.

Aritmetik för lärare Tal och de fyra räknesätten

Lärare behöver känna till många vägar in i matematiken för att effektivt kunna möta och utveckla elevers tankar, idéer och resonemang till en djupare och brett förankrad förståelse. I den här boken behandlas den specialiserade kunskap i aritmetik som lärare behöver för att kunna bedriva en varierad matematikundervisning.

Aritmetik för lärare

Genom metodisk variation mellan matematikens representationsformer erbjuder Aritmetik för lärare många spännande infallsvinklar för att förstå och arbeta med tal och de fyra räknesätten.

Med stöd av bilder, diagram, naturligt språk och symboler kan beräkningar utföras och problem lösas på flera olika sätt.

Aritmetik för lärare innehåller utförliga resonemang, ett stort antal genomarbetade exempel och en mängd uppgifter som ger läsaren goda förutsättningar att utveckla en allsidig förståelse och känsla för matematiska begrepp och processer.

Boken vänder sig till verksamma och blivande lärare i matematik.

Andra upplagan

2:a uppl.

Art.nr 32877

HÅKAN SOLLERVALL

www.studentlitteratur.se

978-91-44-10975-6_cover Ny.indd 1

2015-11-03 10:38