LÖSNINGSBOK
THOMAS ÖSTBERG
LĂśsningsbok M 2b Thomas Ă–stberg
ISBN 978-91-47-10494-9 © 2013 Thomas Östberg och Liber AB Calle Gustavsson Thomas Östberg Cecilia Frank Thomas Östberg Adam Dahl Första upplagan 1 Exaktaprinting AB, Malmö Kina 2013
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 kundservice.liber@liber.se
4149b
4149c
4149d
√ L¨ os grafiskt x + 1 = x −√1. Rita graferna till y = x + 1, anv¨and v¨ ardetabellen i uppgift 4149a, och y = x − 1, som har k = 1 och m = −1, i samma koordinatsystem. Finn sedan de x f¨or vilka kurvorna sk¨ ar varandra i koordinatsystemet:
Vi ser i figuren att kurvorna sk¨ar varandra vid x = 3. √ Rita grafen till y = x + 1, anv¨and v¨ ardetabellen i uppgift 4149a, och linjen y = 3 i samma koordinatsystem. Finn √ sedan de x f¨ or vilka x + 1 > 3 i koordinatsystemet:
√ Vi ser i figuren ovan att x + 1 > 3 f¨or alla x > 8. √ Rita grafen till y = x + 1, anv¨and v¨ ardetabellen i uppgift 4149a, och linjen y = 1 + 0, 2x i samma koordinatsystem. Finn sedan de x f¨ or vilka kurvan och linjen sk¨ ar varandra i koordinatsystemet:
N¨amnaren f˚ ar inte vara lika med 0: 9 − x2 + 2, 5xp= 0 ⇒ x2 − 2, 5x − 9 =⇒ x = 1,√ 25 ± (−1, 25)2 − (−9) ⇒ x = 1, 25 ± 10, 5625 ⇒ x = 1, 25 ± 3, 25 ⇒ x1 = 4, 5 x2 = −2. 4151
Anv¨and grafritande hj¨alpmedel f¨or att rita grafen:
a b c
Vi ser att linjen och grafen sk¨ar varandra vid x = 15 och x = 0. 4150
Anv¨ and grafritande hj¨ alpmedel f¨or att rita grafen:
4152a
88
Vi ser i grafen att v¨ardem¨angden ¨ar f (x) ≥ 0. Vi ser i grafen att definitionsm¨angden ¨ar x √≥ −8. x + 8 = −0, 25x ⇒ (x + 8)0,5 = −0, 25x ⇒ (x+8)0,5∗2 = (−0, 25x)2 ⇒ x+ 2 2 8 = 0, 0625x2 ⇒ 0, 0625x p −x−8 ⇒ x − 2 16x − 128 ⇒ x = 8 ± (−8) − (−128) ⇒ √ √ x = 8 ± 64 + 128 ⇒ x = 8 ± 192 ⇒ x ≈ 8 ± 13, 86 ⇒ x1 ≈ 21, 9 x2 ≈ −5, 86. x1 f¨orkastas. Svar: x ≈ −5, 86 Anv¨and grafritande hj¨alpmedel f¨or att rita grafen:
4152b
I grafen ser vi att sk¨ arningspunkterna ligger vi x ≈ 0, 11 och x ≈ 2, 9. I minir¨ aknaren kan du f˚ a fram det exakta x -v¨ ardet, men h¨ ar ska vi avrunda till 2 v¨ ardesiffror. Vi ser i grafen som ¨ ar ritad 4152a att 0, 5x − 1 > lg x d˚ a 0 < x < 0, 11 och x > 2, 9.
lg(25 + 4) = lg 29 (det finns ingen logaritmlag att f¨orenkla uttrycket med)
4158a 4158b
lg x2 + lg x3 = lg(x2 · x3 ) = lg x5 = 5 lg x lg xy − lg x − lg y = lg xy − (lg x + lg y) = lg xy − lg xy = 0
4159a 4159b
lg 10 x + lg x = lg 10 − lg x + lg x = lg 10 = 1 lg(x · 10x ) − lg(100x) = lg x + lg 10x − (lg 100 + lg x) = lg x + x lg 10 − (2 + lg x) = lg x + x · 1 − 2 − lg x = x − 2
4160a
lg 0, 1y + lg y − lg y 2 = lg 0, 1y + lg yy2 = lg 0, 1y + lg y1 = lg(0, 1y · y1 ) = lg 0, 1 = lg √ 10−1 = −1 √ lg √10x2 − lg 10x = lg 10 · x − lg 10x = lg √ 10x = lg √110 = lg 10−0,5 = −0, 5 · 2 10 x lg 10 = −0, 5 · 1 = −0, 5
4160b
4161a
Fo ¨rdjupning Mer om logaritmlagarna 4153a 4153b 4153c
4157c
4161b
lg 100x = lg 100 + lg x = 2 + lg x x = lg x − lg 10 = lg x − 1 lg 10 lg 1000x = x lg 1000 = x · 3 = 3x
4162a 4162b
4154a 4154b
4154c 4155a 4155b 4155c 4156a 4156b 4156c
4157a 4157b
14x 7
lg 14x − lg 7 = lg = lg 2x = lg y + lg 10 − lg y = lg 10 = 1 lg y + lg 10 y eller 10 lg y + lg 10 y = lg(y · y ) = lg 10 = 1 lg 500 + lg 2 = lg(500 · 2) = lg 1000 = 3 lg 2+lg 5 = 1; V L = lg 2+lg 5 = lg(5·2) = lg 10 = 1. Vilket skulle visas, VSV. V L = lg 2000 − lg 2 = lg 2000 2 = lg 1000 = 3. VSV. V L = 3 lg 2 = lg 23 = lg 8. VSV. √ lg 10 = lg 100,5 = 0, 5 · lg 10 = 0, 5 · 1 = 0, 5 √ lg 10 1000 = lg 10 + lg 10000,5 = 1 + 0, 5 lg 1000 = 1 + 0, 5 · 3 = 1 + 1, 5 = 2, 5 lg √110 = lg 1 − lg 100,5 = 0 − 0, 5 lg 10 = −0, 5 · 1 = −0, 5
4163a
4163b
4164a 4164b
lg 7x + lg 72x = lg(7x · 72x ) = lg(7x+2x ) = lg 73x = 3x lg 7 lg xy + lg xy = lg( xy · xy ) = lg xy xy = lg 1 = 0 lg 25x − lg 52x = x lg 25 − lg(52 )x = x lg 25 − x lg 52 = x lg 25 − x lg 25 = 0 3 x·z 3 lg x·z y 2 + 2 lg xy + lg z · lg 0, 001 = lg y 2 + lg(xy)2 + lg z · lg 10−3 = lg x · z 3 − lg y 2 + lg x2 + lg y 2 + (lg z) · (−3) = lg x + lg z 3 + 2 lg x−3 lg z = 3 lg x+3 lg z−3 lg z = 3 lg x lg 2x + lg x = lg 18 ⇒ lg(2x · x) = lg 18 ⇒ lg 2x2 √ = lg 18 ⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ x = ±3 ⇒ x1 = 3 x2 = −3. Negativa l¨osningen f¨orkastas. Svar: x = 3 3 lg x2 − lg x = 4 ⇒ lg xx = 4 ⇒ lg x2 = 2 4 ⇒ lg √ x = lg 10000 ⇒ x2 = 10000 ⇒ x = ± 10000 ⇒ x = ±100. Negativa l¨osningen f¨orkastas. Svar: x = 100 2 lg x = lg x + lg 2 ⇒ lg x2 = lg 2x ⇒ x2 = 2x ⇒ x = 2 lg(x−2)+lg(x+2) = lg 5 ⇒ lg((x−2)(x+ 2)) = lg 5 ⇒ lg(x2√−4) lg 5 ⇒ x2 −4 = 5 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ x = ±3. Negativa l¨osningen f¨orkastas. Svar: x = 3
2
lg 10y 2 − lg y = lg 10y y = lg 10 · y = lg 10 + lg y = 1 + lg y lg 25 + lg 4 = lg(25 · 4) = lg 100 = 2 89
4165a
83x = 9·4x ⇒ lg 83x = lg 9·4x ⇒ 3x lg 8 = lg 9 + lg 4x ⇒ 3x lg 8 − x lg 4 = lg 9 ⇒
4197
24x+1 = 32768 ⇒ (4x + 1) lg 2 = ⇒ x = lg 32768 ⇒ 4x + 1 = lg 32768 lg 2 lg 32768 −1 lg 2
4
4198
4203
Finn funktionens nollst¨allen 20000x − 500x2p= 0 ⇒ x2 − 40x =√ 0 ⇒ x = 20 ± (−20)2 ⇒ x = 20 ± 400 ⇒ x = 20 ± 20 ⇒ x1 = 40 x2 = 0. Maximipunkten, maximala int¨akten, finns mitt emellan nollst¨allena. S¨att in x = 20: f (20) = (20000 · 20 − 500 · 202 ) kr = 200000 kr.
4204
Arean = (36 − 2x) · x cm2 . Antag att arean ¨ar A cm2 . Vi har ekvationen A = (36 − 2x) · x ⇒ A = 36x − 2x2 . Finn funktionens 2 2 nollst¨allen: 36x p− 2x = 0 ⇒ x −√18x = 0 ⇒ x = 9 ± (−9)2 ⇒ x = 9 ± 81 ⇒ x = 9 ± 9 ⇒ x1 = 18 x2 = 0. Maximipunkten, maximala arean, finns mitt emellan nollst¨allena. Svar: x = 9
4205a
2 x2 −4x+2 p = x−2 ⇒ x −5x+4 =√0 ⇒ x = 2, 5± (−2, 5)2 − 4 ⇒ x = 2, 5± 2, 25 ⇒ x = 2, 5 ± 1, 5 ⇒ x1 = 4 x2 = 1. B˚ ada funktionerna i samma koordinatsystem:
⇒ x = 3, 5
√ 49−0,5 + ( 2)−2 =
√1 49
+ (√12)2 =
1 7
+ 12 ⇒
9 14 .
4199a
4199b
4199c
4200a 4200b
4201a 4201b
4202a
4202b
2 x2 + 4x p+ 6 = 3 ⇒ x + 4x + 3 = √0 ⇒ x = 2 −2 ± (−2) − 3 ⇒ x = −2 ± 1 ⇒ x = −2 ± 1 ⇒ x1 = −1 x2 = −3. Svar: x = −3 och x = −1. Linjen y = 3 kommer att sk¨ ara kurvan vid just x = −3 och x = −1. p x2 + 4x + 6√= 0 ⇒ x = −2 ± (−2)− 6 ⇒ x = −2 ± −2. Ekvationen saknar reella r¨ otter. Svar: Ekvationen saknar reella r¨ otter, p.g.a. att kurvan sk¨ar aldrig x axeln. x2 + 4x + 6 = a ⇒px2 + 4x + 6 − a = 0 ⇒ √x = −2 ± (−2)2 − (6 − a) ⇒ −2 ± 4 − 6 + a. Om uttrycket under rottecknet ¨ ar lika med noll f˚ ar ekvationen en dubbelrot. 4 − 6 + a = 0 ⇒ a = 2. Svar: a=2
4205b
0, 87x > 1, 2 ⇒ x lg 0, 87 > lg 1, 2 ⇒ x < lg 1,2 lg 0,87 ⇒ x < −1, 3 lg(2x) < 0, 8 ⇒ 10lg(2x) < 100,8 ⇒ 2x < 0,8 100,8 ⇒ x < 102 ⇒ x < 3, 2 Svar: 0 < x < 3, 2 lg x = 1 + 2 lg 3 ⇒ lg x = lg 10 + lg 32 ⇒ lg x = lg(10 · 9) ⇒ x = 90 lg(lg x) = −1 ⇒ 10lg(lg x) = 10−1 ⇒ 1 1 lg x = 10 ⇒ x = 10 10 S¨ att in x = 16, y = 2, 0 och l¨os ut k: 2, 0 = 4, 0 · 10k·16 ⇒ 0, 5 = 10k·16 ⇒ 16k lg 10 = lg 0, 5 ⇒ k = 16lglg0,510 ⇒ k ≈ −0, 0188. S¨att in x = 24: y ≈ 4, 0 · 10−0,0188·24 ⇒ y ≈ 4, 0 · 0, 35. Detta motsvarar 35 % av ursprungliga m¨ angden. Svar: 35 % S¨ att in y = 3, 0 och l¨ os ut x : 3, 0 = 4, 0 · 10−0,0188·x ⇒ 0, 75 = 10−0,0188·x ⇒ lg 0, 75 = (−0, 0188 · x) lg 10 ⇒ lglg0,75 10 = lg 0,75 −0, 0188·x ⇒ x = −0,0188 lg 10 ⇒ x ≈ 6, 6. Svar: C.a. 6,6 timmar
94
4205c
Svar: I a-uppgiften r¨aknade vi ut x koordinaten f¨or sk¨arningspunkterna. x2 −4x+2 p = x−a ⇒ x2 −5x+2+a = 0 ⇒ 2 x √= 2, 5 ± (−2, 5) − 2 − a ⇒√x = 2, 5 ± 6, 25 − 2 − a ⇒ x = 2, 5 ± 4, 25 − a. Ekvationen har exakt en l¨osning, dubbelrot, d˚ a uttrycket under rottecknet ¨ar lika med 0. 4, 25 − a = 0 ⇒ a = 4, 25 B˚ ada graferna, y = x − 4, 5 och y = x2 − 4x + 2 i samma koordinatsystem:
2x = 2 ⇒ x lg 2 = lg 2 ⇒ x = 1 4209
= Arean f¨or lilla rektangeln: x · (72−2x) 2 x · (36 − x) Arean f¨or den stora rektangeln: (x + 2) · 72−2(x+2) = (x+2)· 68−2x = (x+2)(34−x) 2 2 Sammanlagda arean = x · (36 − x) + (x + 2)(34 − x). B¨orja med att finna nollst¨allena: x · (36 − x) + (x + 2)(34 − x) = 0 ⇒ 36x − x2 + 34x − x2 + 68 − 2x = 0 ⇒ −2x2 + 2 68x + 68 = p 0 ⇒ x − 34x − 34 = 0 ⇒ 2 x = 17 ± (−17) − (−34) √ ⇒ x = 17 ± √ 289 + 34 ⇒ x = 17 ± 323 ⇒ x ≈ 17 ± 17, 97 ⇒ x1 ≈ 34, 97 x2 ≈ −0, 97. Maximipunkten ligger mitt emellan nollst¨allena, x ≈ 17. Maximala v¨ardet p˚ a rektanglarnas sammanlagda area = (17 · (36 − 17) + (17 + 2)(34 − 17)) cm2 = (323 + 19 · 17) cm2 = 646 cm2 .
4210
B¨orja med att logaritmera ekvationerna: (1): 32x+y = 243 ⇒ (2x + y) lg 3 = lg 243 (2): 24x−y = 8192 ⇒ (4x−y) lg 2 = lg 8192 L¨os ut y ur (1): lg 243 2x + y = lglg243 att in 3 ⇒ y = lg 3 − 2x. S¨ i (2) (4x − ( lglg243 3 − 2x)) lg 2 = lg 8192 ⇒
Linjen och kurvan tangerar varandra i x = 2, 5. 4206
S¨att in f (2) = 25: (1): 25 = A · b2 . Vi har ocks˚ a f¨ oljande ekvation: (2): A · b9 = 1, 25A · b8 att in detta L¨os ut A ur (1): A = 25 b2 och s¨ i (2): 25 25 9 8 7 b2 · b = 1, 25 · b2 · b ⇒ 25 · b = 1, 25 · 6 25 · b ⇒ 25b = 31, 25 ⇒ b = 1, 25. S¨att in b = 1, 25 i (1): 25 25 = A · 1, 252 ⇒ A = 1,25 2 ⇒ A = 16. Svar: b = 1, 25 och A = 16.
4x lg 2 − 4207
4208a
4208b
(x − 9) lg x < 0 ⇒ x lg x − 9 · lg x < 0 ⇒ x lg x < 9 · lg x ⇒ (lg x)(x − 9) < 0 ⇒ 1 < x < 9. x m˚ aste vara st¨ orre ¨ an 1 eftersom om x ¨ ar 1 blir v¨ ansterledet 0 och mindre ¨an 1 d˚ a blir VL positivt. D˚ ax ¨ ar st¨orre ¨an 9 blir VL positivt och lika med 9 blir VL 0. Ans¨att 3x = t, vilket medf¨ or att 32x +3x = 2 os ekvationen t2 + t − 6 = t + t = 6. L¨ p 2 0 ⇒ t = √ −0, 5 ± (−0, 5) + 6 ⇒ t = −0, 5 ± 6, 25 ⇒ t = −0, 5 ± 2, 5 ⇒ t1 = 2 t2 = −3. Negativa l¨ osningen f¨ orkastas. 2 3x = 2 ⇒ x lg 3 = lg 2 ⇒ x = lg lg 3 ⇒ x ≈ 0, 63. Ans¨att 2x = t, vilket medf¨ or att 4x = t2 . 2 L¨os ekvationen tp= t + 2 ⇒ t2 − t − 2 = 0√ ⇒ t = 0, 5 ± 0, 52 + 2 ⇒ t = 0, 5 ± 2, 25 ⇒ t = 0, 5 ± 1, 5 ⇒ t1 = 2 t2 = −1. Negativa l¨ osningen f¨ orkastas. 95
lg 243 lg 3
lg 2 + 2x lg 2 = lg 8192 ⇒
4x lg 2 + 2x lg 2 = lg 8192 +
lg 243 lg 3
lg 2 ⇒
lg 2·(4x+2x) = lg 8192+ lglg243 3 lg 2 ⇒ 6x = lg 8192+ lglg243 3 lg 2 lg 2
lg 8192+ lg 243 lg 2
lg 3 ⇒x= ⇒ 2 lg 2 x ≈ 3. S¨att in x = 3 i (1): (2 · 3 + y) lg 3 = lg 243 ⇒ 6 lg 3 + y lg 3 = lg 3 lg 243 ⇒ y = lg 243−6 ⇒ y = −1. lg 3
4211
1
B¨orja med att skriva om xy = 2 ⇒ xy· y = 1 1 2y ⇒ x = 2y . 1 S¨att in x = 2 y i (2x2 )3y = 1 ⇒ 1 2 (2(2 y )2 )3y = 1 ⇒ (2(2 y ))3y = 1 ⇒ 3y 6 3y+6 2 · (2 ) ⇒ 2 = 1 ⇒ (3y + 6) lg 2 = lg 1 ⇒ 3y + 6 = 0 ⇒ y = −2. S¨att in y = −2 i xy = 2 ⇒ x−2 = 2 ⇒ 1 1 x−2· −2 = 2 −2 ⇒ x = 11 ⇒ x ≈ 0, 71. 22
V¨ardet blir (0, 71)2 + (−2)2 ≈ 4, 5.
M-seriens lösningsböcker innehåller fullständiga lösningar till kursböckernas uppgifter. Böckerna är tänkta att underlätta självstudier och förbättra förståelsen för hur man löser matematiska problem.
Best.nr 47-10494-9 Tryck.nr 47-10494-9