Kerstin Olofsson
Verner Gerholm
Innehåll
1.1 Uttryck, ekvationer och formler
1.2 Andragradsuttryck
1.3 Andragradsekvationer 39 Uppslaget, Koll på kapitlet, Samhälle och yrkesliv, Blandade uppgifter, Kapiteltest 56
2 Räta linjer och
ekvationssystem
2.1 Koordinatsystem och linjära samband
2.2 Räta linjens ekvation
2.3 Ekvationssystem
Samhälle och yrkesliv, Uppslaget, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest 113
Funktioner
3.1 Linjära funktioner och exponentialfunktioner
3.2 Andragradsfunktioner
3.3 Potensfunktioner
Samhälle och yrkesliv, Uppslaget, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest 177
4.1 Lägesmått
4.2 Spridningsmått och normalfördelning 210 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest 236
5.1 Avståndsberäkningar
Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest 294
Matematik Origo nivå 2a
Matematik Origo är en serie matematikböcker för gymnasiet som gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till Matematik Origo nivå 2a hör en elevbok, en Lärarguide, det digitala presentationsverktyget Lärarstöd+ och kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.
Till eleven Till läraren
Elevboken består av fem kapitel och lyfter särskilt fram matematikens relevans. Här finns tydliga genomgångar på ett lättillgängligt språk och varierade uppgiftstyper på tre nivåer.
I appen Alva får dina elever hjälp när de ska jobba på egen hand efter lektionerna. Där finns lösningar till bokens Nivå 3uppgifter.
Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.
Prov, Övningsblad och Aktiviteter är ett kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter till varje kapitel i elevboken. Materialet säljs som nedladdningsbara pdf:er.
Prov, övningsblad och aktiviteter
I Lärarstöd+ har vi samlat elevboken, Lärarguiden och Prov, Övningsblad och Aktiviteter på ett ställe. Allt innehåll från elevboken – som teoritext, exempel och uppgifter –kan visas separat och klickas fram stegvis.
Algebra
Algebra är en av matematikens hörnstenar och att kunna hantera algebraiska uttryck är en grundförutsättning för att ta till sig de flesta delar av matematiken på gymnasienivå. I kapitlet arbetar vi vidare med algebraiska förenklingar utifrån det som redan behandlats i Matematik Origo nivå 1a. Här introduceras bland annat de klassiska konjugat- och kvadreringsreglerna, som är grundläggande för arbetet med andragradsekvationer.
Kommentarer till kapitlets innehåll
I det första delkapitlet 1.1 Uttryck, ekvationer och formler får eleverna repetera sina kunskaper om uttryck, ekvationer och formler. Delkapitlet avslutas med två avsnitt om budgetering. Där får eleverna nyttja sina kunskaper om formler för att effektivisera beräkningar i kalkylprogram. Avsnitten om budgetering är märkta med P för programanpassning och därmed valbara utifrån elevernas yrkesprogram.
I delkapitel 1.2 Andragradsuttryck får eleverna arbeta med uttryck av andra graden. Vi börjar med att repetera utvidgade distributiva lagen och använder denna för att introducera konjugat- och kvadreringsreglerna. Delkapitlet avslutas med ett avsnitt om faktorisering. Det avsnittet är en viktig språngbräda för att senare förstå nollproduktmetoden vid lösning av andragradsekvationer.
Delkapitel 1.3 Andragradsekvationer behandlar inledningsvis enkla andragradsekvationer av formen x2 = a. Därefter presenterar vi faktorisering som lösningsmetod och den kraftfulla pq-formeln. I det följande avsnittet får eleverna nyttja sina kunskaper om andragradsekvationer för att lösa matematiska problem. Delkapitlet avslutas med ett fördjupningsavsnitt om kvadratkomplettering. Det kan användas för att motivera pq-formeln.
I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan
u ställa upp och tolka algebraiska uttryck, formler och ekvationer
u förenkla algebraiska utryck
u lösa ekvationer av första graden
u ställa upp och tolka uttryck av andra graden
u multiplicera uttryck inom parenteser
När du är klar med kapitlet ska du kunna
u använda konjugat- och kvadreringsreglerna
u faktorisera algebraiska uttryck
u lösa andragradsekvationer
u använda andragradsekvationer vid problemlösning
För vissa program
u göra en budget med hjälp av kalkylprogram
Centralt innehåll
u Motivering och hantering av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.
u Metoder för att lösa andragradsekvationer.
u Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning.
u Problemlösning med särskild utgångspunkt i arbetsoch samhällsliv.
u Breddning eller fördjupning av matematiska begrepp och metoder som är relevanta för arbetslivet och utbildningens karaktär.
u Hjälpmedel och verktyg som är relevanta för att hantera matematik inom arbetslivet och utbildningens karaktär.
Först till 100
Spela spelet två och två eller tre och tre. Ni behöver två tärningar i olika färger, exempelvis en röd och en vit. Turas om att utföra instruktionerna här nedanför. Varje spelare börjar på 0 poäng.
u Spelaren slår båda tärningarna. Värdet på den röda tärningen kallar vi för r och värdet på den vita tärningen kallar vi för v
u Spelaren väljer ett av de algebraiska uttrycken här nedanför och beräknar dess värde utifrån värdet på den röda (r) och den vita tärningen (v).
Först till 100
u Uttryckets värde adderas till spelarens tidigare poängsumma.
u Den spelare som först får poängsumman exakt 100 vinner.
Kapitelintroduktion
I Lärarguiden får du en bakgrund till varje kapitel och kommentarer kring hur författarna har tänkt när de skapat kapitlets innehåll och strutur. Här finns även kommentarer till kapitlets introduktionsaktivitet.
I introduktionsaktiviteten Först till 100 får eleverna öva på att uppskatta och beräkna värdet av algebraiska uttryck med två variabler. Målet är att vara den förste som når den totala poängsumman 100. I och med att eleverna tävlar mot varandra behöver de inte bara utföra sina egna beräkningar, utan också kontrollera att kompisarna räknar rätt. Spelmomentet gör att eleverna behöver tänka strategiskt, vilket tränar deras resonemangsförmåga.
Aktiviteten går att utvidga och variera. Du kan till exempel låta eleverna lägga till fler algebraiska uttryck, låta dem använda tärningar med fler än sex sidor eller tävla till poängsumman 200. Du kan också välja att ta bort tävlingsmomentet och i stället låta eleverna samarbeta för att nå en viss poängsumma.
Avsluta gärna aktiviteten med att diskutera några av följande frågor i helklass.
u Vilka algebraiska uttryck använde ni i början respektive i slutet av spelet?
u Vilket av de algebraiska uttrycken kan anta det största möjliga värdet? Vilket av de algebraiska uttrycken kan anta det minsta möjliga värdet?
u Hur många spelomgångar krävs som minst? Hur ser den serien ut? Finns det mer än en sådan serie?
I Prov, övningsblad och aktiviteter finns aktiviteten för utskrift.
Aktivitet
■ Först till 100
Grafisk lösning av ekvationssystem
I inledningen till detta avsnitt repeterar vi att lösningarna till en ekvation av formen y = kx + m representeras av en rät linje i ett koordinatsystem. Om eleverna vet att lösningarna till två linjära ekvationer motsvaras av två räta linjer blir det naturligt att skärningspunkten ger en gemensam lösning till ekvationerna. Vi vill på detta sätt befästa den grundläggande förståelsen för vad ett ekvationssystem är. Samtidigt får vi en grafisk lösningsmetod för ekvationssystem med två obekanta. Med utgångspunkt i en grafisk representation behandlar vi även ekvationssystem som har en, ingen respektive oändligt många lösningar.
Tips till din undervisning
I Lärarguiden hittar du mängder av tips till din undervisning. Det kan vara förslag på inledande problem, kommentarer till kritiska punkter i lärandet, en historisk utvikning eller en matematisk fördjupning.
Efter att ha arbetat med avsnittet ska eleverna kunna u lösa ekvationssystem med en grafisk metod u avgöra om ett ekvationssystem har noll, en eller oändligt många lösningar u lösa problem med hjälp av ekvationssystem
Lektionsstart
Ett sätt att inleda en lektion om ekvationssystem är att låta eleverna lösa ekvationen 3x + 5 = 2 som har den entydiga lösningen x = −1. Uppmana sedan eleverna att komma med förslag på lösningar till ekvationen 3x + y = 2 och lista några av dessa i en värdetabell.
T.ex. x −2 −1 0 3 4,5 y 8 5 2 −7 −11,5
Genom att jämföra ekvationerna med varandra kan eleverna urskilja att ekvationen 3x + y = 2, till skillnad från 3x + 5 = 2, har oändligt många lösningar.
Gå vidare genom att låta eleverna ge förslag på lösningar till en annan ekvation med två obekanta, t.ex. x + 2y = 9 och lista även dessa lösningar i en värdetabell.
T.ex. x −3 −1 0 1 12
y 6 5 4,5 4 −1,5
Finns det något talpar som löser båda ekvationerna?
Eleverna hittar snart den gemensamma lösningen x = −1 och y = 5. Det blir då naturligt att införa begreppet ekvationssystem och klargöra att lösningen till ett ekvationssystem består av det (de) talpar som är en gemensam lösning till ekvationerna.
Bygg gärna vidare mot en grafisk lösning genom att rita linjerna utifrån värdetabellerna och visa att lösningen motsvarar den punkt där linjerna skär varandra.
2.3 Ekvationssystem
Grafisk lösning av ekvationssystem
Lösningar till ekvationen Den räta linjen i figuren har ekvationen y = x − 3. Ekvationen y = x − 3 har oändligt många lösningar, till exempel x = 2, y = −1 och x = 4, y = 1. Alla lösningar (x y) till ekvationen är punkter på linjen.
Ekvationen y = −2x + 3 har också oändligt många lösningar, till exempel x = 0, y = 3 och x = 2, y = −1. Tillsammans bildar lösningarna en rät linje.
Skärningspunkt Om vi ritar linjerna till ekvationerna y = x − 3 och y = −2x + 3 i samma koordinatsystem ser vi att de skär varandra i punkten med koordinaterna (2, −1). Talparet x = 2 och y = −1 är alltså en lösning till båda ekvationerna.
Ekvationssystem De två ekvationerna här ovanför bildar ett ekvationssystem
{ y = x − 3 y = −2x + 3
I ett ekvationssystem skriver man ekvationerna och lösningen i en klammer
När man löser ett ekvationssystem söker man det eller de talpar x och y som är en lösning till båda ekvationerna. Ekvationssystemet här ovanför har alltså lösningen
{ x = 2 y = −1
Exempel
Lös ekvationssystemet grafiskt
x − 2y = −5 (2)
{ 2x − y = −1 (1)
Lösning/Kommentar
Vi börjar med att skriva ekvationerna i k-form
{ y = 2x + 1 (1)
y = x + 5 2 (2)
Linjerna ritas sedan i ett koordinatsystem, antingen för hand eller med digitalt hjälpmedel.
Koordinaterna för skärnings- y x 1 1 y = 2x + 1 y = x + 5 2 punkten är (1, 3) och lösningen till ekvationssystemet är därför
{ x = 1 y = 3
Antal lösningar När man ritar två räta linjer i ett koordinatsystem kommer linjerna antingen att skära varandra i en punkt, vara parallella eller ha alla punkter gemensamma. Ett ekvationssystem kan därför ha en lösning, sakna lösning eller ha oändligt många lösningar.
En lösning: Linjerna har olika k-värden, t.ex.
{ y = 2x − 2 y = −2x + 5
{ y = 2x + 1 y − 1 = 2x y x y x y x
Saknar lösning: Linjerna har samma k-värde, men olika m-värden, t.ex.
{ y = 2x − 2 y = 2x + 1
Oändligt många lösningar: Ekvationerna beskriver samma linje, t.ex.
Exempel: Lös ekvationssystemet grafiskt utan digitalt hjälpmedel.
{ y = 0,5x + 2 y = −x + 5
Lösning: Vi ritar linjerna i samma koordinatsystem.
Den första linjen skär y-axeln i punkten (0, 2). Riktningskoefficienten k = 0,5 betyder att y-värdet ökar med 0,5 när x ökar med 1.
Den andra linjen går genom punkten (0, 5). Riktningskoefficienten k = −1 betyder att y-värdet minskar med 1 när x ökar med 1.
Vi ser att linjerna skär varandra i punkten (2, 3).
Svar: Ekvationssystemet har lösningen { x = 2 y = 3
Vi prövar lösningen genom att kontrollera att talen x = 2 och y = 3 löser båda ekvationerna:
3 = 0,5 ∙ 2 + 2 det stämmer!
3 = −2 + 5 det stämmer!
LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM u 2.3 EKVATIONSSYSTEM 101
Det kan vara bra att uppmuntra eleverna att sätta in x = 1 och y = 3 i ekvation (1) och ekvation (2) och kontrollera att talparet verkligen är en lösning till ekvationssystemet. Det befäster förståelsen för vad lösningen till ett ekvationssystem är.
Notera att man i vissa digitala hjälpmedel, t.ex. GeoGebra, kan rita linjerna genom att skriva in dem i allmän form. Man behöver alltså inte först skriva om dem i k-form.
Exempel
Vilka av talparen
{ x = −1 y = 2 { x = 4 y = 5
{ x = −0,9 y = 2,3 { x = 6 y = 0 { x = 2 3 y = 7
är lösningar till
a) y = 3x + 5
b) 2x + 6y = 12
c) { y = 3x + 5 2x + 6y = 12
Lösning/Kommentar
a) och och { x = 2 3 y = 7 { x = −0,9 y = 2,3 { x = −1 y = 2
b) och { x = −0,9 y = 2,3 { x = 6 y = 0
c) { x = −0,9 y = 2,3
Uppgiften lyfter fram att var och en av ekvationerna har flera lösningar men att lösningen till ekvationssystemet består av den eller de lösningar som är gemensamma för ekvationerna. De givna talparen har valts så att de representerar alla möjligheter. Det finns alltså talpar som uppfyller en, ingen respektive båda ekvationerna.
Övningsblad
■ Ekvationssystem, grafisk lösning
Kommentarer och exempel I Lärarguiden finns författarnas kommentarer till teoritexter och exempel. Det finns också kompletterande exempel till varje avsnitt.
Koordinatsystem
Det här avsnittets innehåll är inte nytt för eleverna, men det är en viktig grund för hela kapitlet och kan därför vara värt en repetition. Nya begrepp som tillkommer i avsnittet är kvadrant, längdenhet och areaenhet. Det är användbara begrepp när eleverna senare ska arbeta med avståndsformeln i kapitel 5.
Efter att ha arbetat med avsnittet ska eleverna kunna u markera och läsa av punkter i ett koordinatsystem u begreppen kvadrant, längdenhet och areaenhet
Tips
Yrkesmatematik
På NCM:s webbplats ncm.gu.se finns en sida som heter Matematikpapper. Där finns kopieringsunderlag till olika koordinatsystem, både med och utan gradering på koordinataxlarna. Många elever uppskattar att få färdiga koordinatsystem, men det är också nyttigt att träna på att rita koordinatsystem och välja gradering själv. Här får du som lärare anpassa undervisningen efter vad som passar elevgruppen och enskilda elever.
I Lärarguiden lyfter vi matematikens relevans. Här finner du konkreta exempel på hur matematiken används i elevernas yrkesämnen.
Yrkesmatematik − koordinatsystem
Uppmuntra gärna eleverna att fråga sina yrkeslärare om hur koordinatsystem används i deras yrkesämnen. Det är vanligt att man där endast använder första kvadranten, men det finns även andra möjligheter. Ett exempel är styrning av industrirobotar, där man använder tredimensionella koordinatsystem. Här i Matematik nivå 2a nöjer vi oss med två dimensioner.
I vardagslivet används en typ av koordinatsystem i både vägkartor och i schackspel, men där beskriver koordinaterna ett rektangulärt område och inte en exakt punkt.
Att tänka på
Det kan vara värt att repetera hur man prickar in och anger punkter som inte har heltalskoordinater. Då får man möjlighet att lyfta fram skrivsättet med semikolon, till exempel (2,5; −1,5). Det kan också vara värt att repetera egenskaper hos de punkter som är placerade på koordinataxlarna. Det är viktigt att eleverna känner till att xkoordinaten är 0 för alla punkter på yaxeln och att ykoordinaten är 0 för alla punkter på x axeln. Det underlättar när de ska förstå mvärdet i räta linjens ekvation och begreppet nollställe senare i kursen.
Begreppet kvadrant kan vara nytt för en del elever. Det kan kännas överraskande att kvadranterna numreras moturs. Betona därför gärna detta lite extra.
2.1 Koordinatsystem och linjära samband
Koordinatsystem
Kvadrant Du har tidigare arbetat med koordinatsystem. Ett koordinatsystem består av två koordinataxlar, x-axeln och y-axeln. Axlarna skär varandra i origo och delar in koordinatsystemet i fyra kvadranter
Andra kvadranten
1 1 x y (−4, −2) 4 l.e.
Tredje kvadranten Första kvadranten Fjärde kvadranten
Koordinater Alla punkter i ett koordinatsystem kan beskrivas med ett talpar (x, y) som kallas koordinater. Punkten som är markerad i tredje kvadranten här ovanför har koordinaterna (−4, −2). Koordinaterna beskriver punktens läge i förhållande till x-axeln och y-axeln.
Längdenheter När man mäter avstånd i koordinatsystem anger man resultatet i längdenheter. I figuren är kortaste avståndet mellan punkten (−4, −2) och y-axeln 4 längdenheter (4 l.e.).
Exempel: I ett koordinatsystem finns punkterna A = (2, 3) och B = (2, −1). a) I vilken kvadrant ligger respektive punkt?
b) Hur stort är avståndet mellan A och B?
Lösning: a) Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem.
Svar: Punkt A ligger i första kvadranten och punkt B ligger i fjärde kvadranten.
b) Vi avläser avståndet mellan punkterna. Avståndet anges i längdenheter.
Svar: Avståndet mellan punkterna är 4 längdenheter (4 l.e.).
Exempel
a) Markera punkterna A = (−2, 0), B = (−2, −3) och C = (0, −3) i ett koordinatsystem.
b) I vilken kvadrant ligger punkt B?
Hur stort är avståndet mellan
c) A och B d) B och C
Lösning/Kommentar
a) 1 y x 1 A B C
b) I den tredje kvadranten.
c) 3 l.e. d) 2 l.e.
En utvidgning av exemplet är att låta eleverna beräkna arean av triangeln ABC. Det ger tillfälle att introducera begreppet areaenhet.
Starter
En kvadrat är ritad i ett koordinatsystem.
Den har ett hörn i punkten (−1, 0) och ett
hörn i punkten (3, 0).Vilka koordinater har kvadratens övriga hörn?
Nivå 1
2101 Vilka koordinater har de punkter där grafen skär koordinataxlarna?
y x 1 1
71nn Skriv koordinaterna för en punkt
a) i andra kvadranten
b) i tredje kvadranten
c) som ligger på x-axeln
d) som ligger på y-axeln
2103 Avståndet från origo till punkten (−3, 0) är
3 längdenheter (3 l.e). Hur långt är avståndet mellan
1 1 x y (−3, 0)
a) origo och punkten (−6, 0)
b) punkterna (−3, 2) och (6, 2)
c) punkterna (−1, 5) och (−1, −2)
d) punkterna (2; 1,9) och (2; 3,4)
2104 I koordinatsystemet är två linjer ritade.
1 1 x y P
a) Rita av och markera de punkter på linjerna där avståndet till P är 4 l.e. (längdenheter).
b) Ange punkternas koordinater.
2105 Vilka koordinater har punkterna?
10 5 x y A C B
2106 Vad har alla punkter som ligger på a) x-axeln gemensamt b) y-axeln gemensamt
71nn Rita av koordinatsystemet och markera Längd
Skostorlek cm 160 180 36 38 40 42 44
a) din egen längd och skostorlek som en punkt i koordinatsystemet
b) tre av dina kompisars längd och skostorlek som punkter i koordinatsystemet
RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM u 2.1 KOORdINATSYSTEM OCH LINJÄRA SAMbANd 71
Kommentarer till uppgifterna
Uppgifterna i det här avsnittet tränar inte i någon större utsträckning att pricka in eller läsa av punkter. I stället ligger fokus på begrepp som längdenhet och kvadrant och på att befästa sådant som eleverna behöver ha med sig inför arbetet med räta linjer och andragradsfunktioner, till exempel att läsa av skärningspunkter med koordinataxlarna (2101) eller utforska samband mellan punkter i koordinatsystem (2106).
I uppgift 2105 får eleverna läsa av koordinaterna för tre punkter i ett koordinatsystem. Om eleverna får fel svar, kan det bero på att de inte läst av graderingen på axlarna tillräckligt noga.
Den öppna uppgiften 2107 visar på en praktisk användning av koordinatsystem, där elevens längd och skostorlek bildar koordinaterna för en punkt i koordinatsystemet.
Om det finns tillfälle att sammanställa hela klassens data, kan man diskutera korrelationen mellan längd och skostorlek. Man kan också visa hur man kan anpassa en rät linje till materialet.
Starter
Svar:
Det finns tre möjliga lösningar, beroende på om sträckan mellan (−1, 0) och (3, 0) ses som den undre sidan, övre sidan eller som diagonalen i kvadraten.
1 y x 1
Figuren visar att kvadratens övriga hörn kan vara (−1, 4) och (3, 4), (−1, −4) och (3, −4) eller (1, 2) och (1, −2).
Alternativ starter
Punkten (3, 4) har avståndet 5 l.e. till origo.
a) Rita ett koordinatsystem och markera fyra andra punkter som också har avståndet 5 l.e. till origo.
b) I vilken kvadrant ligger var och en av punkterna som du markerade i a)?
Svar:
a) T.ex.
(−3, 4)
1 y x 1
(−3, −4) (3, 4) (0, 5) (3, −4)
b) Punkten (0, 5) ligger inte i någon kvadrant. Punkt (−3, 4) ligger i andra kvadranten, punkt (−3, −4) ligger i tredje kvadranten och (3, −4) ligger i fjärde kvadranten.
Ett sätt att utvidga uppgiften är att diskutera om det finns fler punkter med avståndet 5 l.e. till origo. Hur många sådana punkter finns det? Några elever kanske inser att det finns oändligt många sådana punkter och att de tillsammans bildar en cirkel med radien 5 l.e. och medelpunkt i origo.
Att tänka
på
Det är viktigt att eleverna förstår varför additionsmetoden fungerar. I vardera ekvation är värdet av vänster led och höger led lika. Vid ledvis addition kommer vi därför att addera lika mycket till båda led. Genom att lyfta fram detta förstår eleverna förhoppningsvis att det går lika bra att subtrahera eller till och med dividera ekvationerna ledvis, om vi skulle vilja det. Att dividera ekvationerna ledvis är ibland en framkomlig väg när man ska lösa icke-linjära ekvationssystem.
Att välja lösningsmetod
Ett av målen med undervisningen om ekvationssystem är att eleverna ska utveckla sin procedurförmåga. En aspekt av procedurförmågan är att kunna välja den lämpligaste metoden. Ett bra sätt att arbeta med detta är att låta eleverna diskutera vilken av de tre behandlade metoderna som de tycker är mest effektiv för att lösa följande ekvationssystem.
a) { y = 3,2x + 4 y = −1,7x 2 b) { y = 4x 2 5x − y = 17
c) { 2x + 3y = 12 5x − 3y = 8 d) { 50,5x + 2,1y = −18 12,3x + 14y = 39,3
Starter
Svar:
Ylva har fel. Ekvationssystemet går utmärkt att lösa med additionsmetoden, men då måste hon först multiplicera en av ekvationerna med −1. Först då kommer y-termerna att ta ut varandra när hon adderar ekvationerna ledvis. (Hon kan också multiplicera den första ekvationen med 3 och den andra med −2, om hon vill att x-termerna ska ta ut varandra vid additionen.)
Alternativ starter
Den lokala matbutiken har lockpriser på frukt. Vilda köper 3 kg päron och 1 kg clementiner. För det får hon betala 82 kr. Hennes kompis köper 2,5 kg päron och 3 kg clementiner och betalar 90 kr. Vad är kilopriset för päron respektive clementiner?
Svar:
Vi får ekvationssystemet
{ 3p + c = 82
2,5p + 3c = 90 med lösningen
Exempel: Lös ekvationssystemet { 2x + y = 10 (1) 4x − 3y = −25 (2)
Lösning: Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden. För att y-termerna
ska ta ut varandra multiplicerar vi båda leden i ekvation (1) med 3.
3(2x + y) = 3 · 10
Det ger ekvationssystemet
{ 6x + 3y = 30 4x − 3y = −25
När vi adderar ekvationerna ledvis får vi:
10x = 5 x = 0,5
6x + 3y = 30 + 4x − 3y = −25 10x + 0 = 5
Vi sätter in x = 0,5 i någon av ekvationerna, till exempel ekvation (1):
2x + y = 10
2 · 0,5 + y = 10 y = 9
Svar: { x = 0,5 y = 9
Nivå 1
Starter
Ylva försöker lösa ekvationssystemet med additionsmetoden.
{ 2x + y = 8 3x + y = 5
När hon adderar ekvationerna ledvis får hon 5x + 2y = 13
Hon konstaterar att det inte verkar gå att lösa det här ekvationssystemet med additionsmetoden. Har Ylva rätt?
EKVATIONSSYSTEM u 2.3 EKVATIONSSYSTEM
2335 Du ska lösa ekvationssystemet med additionsmetoden.
{ 2x + y = 11 3x − y = 4
a) Addera ekvationerna ledvis och lös ekvationen du får.
b) Använd resultatet i a) för att bestämma värdet på y
2336 Lös ekvationssystemen med additionsmetoden.
a) { −1,1x + 3y = 4 1,1x + y = 16 b) { 3x + 2y
5 = 0 2y − 3x + 7 = 0
Exempel
Vid en tv-sänd välgörenhetsgala kunde tittarna skänka bidrag via två olika telefonnummer. Med ett samtal till det ena numret skänkte man 25 kr och med ett samtal till det andra numret skänkte man 100 kronor. Under kvällen mottogs totalt 16 228 samtal och man samlade in 992 350 kronor. Hur många samtal ringdes till det dyrare numret?
Lösning/Kommentar
Om x är antalet samtal till det billigare numret och y är antalet samtal till det dyrare numret, så kan vi ställa upp ekvationssystemet
{ x + y = 16 228
25x + 100y = 992 350
Vi multiplicerar båda leden i den första ekvationen med −25.
{ −25(x + y) = −25 ∙ 16 228
25x + 100y = 992 350
c = 10
{ p = 24
Päronen kostar 24 kr/kg och clementinerna 10 kr/kg.
2337 Du har följande ekvationssystem
{ y + 2x = 5
−2y + 5x = 8
a) Vilket tal ska du multiplicera den övre ekvationen med för att y-termerna ska försvinna direkt när du adderar ekvationerna?
b) Lös ekvationssystemet med hjälp av additionsmetoden.
2338 Kerstin löser ekvationssystemet
{ 2x + 3y = 10
x − y = 10
med additionsmetoden. Hon börjar så här:
2342 Josefin och Svante köper LP-skivor i en skivaffär på Södermalm. LP-skivorna är märkta med olika färger för olika priser. Josefin betalar 260 kr för en rödmarkerad skiva och två gulmarkerade. Svante betalar 355 kr för en röd och tre gula. Josefins köp kan beskrivas med ekvationen x + 2y = 260.
a) Beskriv Svantes köp med en liknande ekvation.
b) Använd ekvationerna och additionsmetoden för att beräkna priset på en röd respektive gul skiva.
2343 Ekvationssystemet här nedanför kan lösas med additionsmetoden på olika sätt.
Yrkesmatematik – ekvationssystem
Linjära ekvationssystem förekommer i en mängd tillämpningar. I allt från mekanik och elektronik till kemi finns problemställningar som kräver linjära ekvationssystem för sin lösning. I aktiviteten Nollpunktsanalys i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter får eleverna se exempel på hur ekvationssystem kommer till användning inom ekonomi.
{ 2x + 3y = 10
3x − 3y = 10
Kerstin har gjort ett fel i början av sin lösning.
a) Förklara vad Kerstin har gjort för fel. b) Lös ekvationssystemet.
2339 Lös ekvationssystemen med valfri algebraisk metod.
a) { 2x + 3y = 1 x − y = 8
b) { 2x − y = −2 2y + 4x = 8
2340 På ett matteprov skulle eleverna lösa ekvationssystemet
{ y + 12x = 82
8y − x = 74
a) Förklara varför lösningen x = 6 inte gav full poäng.
b) Lös ekvationssystemet fullständigt.
2341 Differensen av talen a och b är 19. Summan av talen a och b är 65. Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm sedan talen a och b
{ y + 3x = 5 (1) 4y − x = 0,5 (2)
a) Multiplicera ekvation (2) med 3 och lös ekvationssystemet.
b) Multiplicera ekvation (1) med −4 och lös ekvationssystemet.
2344 Ines ska köpa en bukett blommor till sin pojkvän som precis tagit studenten. Hon väljer rosor för 40 kr styck och germini för 30 kr styck.
a) Ge två förslag på hur Ines kan sätta ihop buketten om den ska kosta 400 kr.
b) Ines köper 15 blommor för totalt 500 kr. Hur många blommor köpte hon av varje sort?
Vi adderar ekvationerna ledvis
25x − 25y = −405 700 + 25x + 100y = 992 350 0 + 75y = 586 650 y = 7 822
Svar: Till det dyrare numret ringdes 7 822 samtal.
Uppmärksamma eleverna på att man i det här exemplet inte behövde lösa hela ekvationssystemet för att besvara frågan. Hur kan man ta reda på hur många samtal som ringdes till det billigare numret?
Vad muttrar du om?
På NCM:s webbsida ncm.gu.se finns strävan Vad muttrar du om? Där introduceras ekvationssystem med två och tre obekanta i en praktisk kontext med utgångspunkt i vikten hos skruvar och muttrar.
Kommentarer till uppgifterna
I de inledande uppgifterna 2335 och 2336 kan eleverna direkt eliminera en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. I de följande uppgifterna 2337–2340 behöver eleverna multiplicera en av ekvationerna innan de adderar dem. På Nivå 2 möter eleverna sedan uppgifter där båda ekvationerna måste multipliceras med något tal för att additionsmetoden ska kunna användas.
Övningsblad och Aktiviteter
För en del elever är multiplikation med ett negativt tal en svårighet. Det gör att teckenfel inte är ovanligt. En annan vanlig feltyp är att man glömmer att multiplicera högerledet. Det vill vi göra eleverna uppmärksamma på i uppgift 2338. Även 2340 är konstruerad för att bemöta en vanlig missuppfattning. Där lyfter vi det vanliga felet att eleverna endast anger värdet av den ena variabeln som ekvationssystemets lösning.
En del elever behöver mer färdighetsträning än vad som erbjuds i läroboken, medan andra elever i stället behöver mer utmanande arbetsuppgifter. Till många avsnitt i läroboken finns därför extra färdighetsträning i form av Övningsblad och mer omfattande uppgifter, inte sällan med en koppling till yrkeslivet, som vi kallar Aktiviteter. Övningsbladen och aktiviteterna säljs separat som nedladdningsbara dokument.
Uppgift 2342 och 2344 kan vara givande att kontrastera mot varandra. I 2344 betecknar variablerna antal, medan variablerna i uppgift 2342 betecknar pris. En del elever upplever detta som helt olika situationer, vilket gör att de får svårt att se att de kan använda samma lösningsmetod.
Övningsblad
■ Ekvationssystem, algebraisk lösning
■ Ekvationssystem, tillämpningar
Aktivitet
■ Problemlösning: Räta linjer (uppgift 3 och 4)
■ Gruppuppgift: Ekvationssystem
■ Problemlösning: Linjära ekvationssystem
■ Nollpunktsanalys
■ Klasskamp
Starter
Om vi antar att det är de båda kateterna som är 7,5 cm respektive 18 cm långa, ges längden av hypotenusan c av ekvationen
7,52 + 182 = c2
56,25 + 324 = c2
c = ±√380,25 = ±19,5 Vi bortser från den negativa roten eftersom en sträcka alltid är positiv
Om vi antar att en av kateterna är 7,5 cm och hypotenusan är 18 cm, så ges längden av den andra kateten b av ekvationen
7,52 + b2 = 182
b2 = 324 − 56,25
b = ±√267,75 ≈ ±16,4 Vi bortser från den negativa roten eftersom en sträcka alltid är positiv
Svar: Den tredje sidan kan vara antingen 19,5 cm eller 16,4 cm.
Diskutera gärna med eleverna varför det inte kan vara sträckan som är 7,5 cm som kan vara hypotenusan.
Alternativ starter
Exempel: Lina ska bygga en altan längs med kortsidan av sin sommarstuga. För att vara säker på att hon bygger altanen i rät vinkel mot huset, mäter hon sträckorna i figuren. Är det rät vinkel mellan huset och det som ska bli altanens kant?
Lösning: Triangeln är rätvinklig om sidlängderna uppfyller Pythagoras sats. a2 + b2 = 2,02 + 4,82 = 27,04 Summan av kvadraterna på kateterna c2 = 5,22 = 27,04 Kvadraten på hypotenusan Eftersom a2 + b2 = c2 är triangeln rätvinklig. Svar: Ja, med de måtten får altanen en rät vinkel mot huset.
Beräkna längden av sidan markerad med x
Starter I en rätvinklig triangel är två av sidorna 7,5 cm och 18 cm. Hur lång är den tredje sidan?
Nivå 1
5101 Vad kallar man sidorna i en rätvinklig triangel?
5102 Beräkna längden av hypotenusan.
Starter och Exituppgift I varje avsnitt ges förslag på uppgifter som du kan använda för att inleda och avsluta lektionen.
Visa att areorna av halvcirkel a och halvcirkel b tillsammans är 8 c b a 10 6 lika stora som arean av halvcirkel c
Svar:
Aa = π ∙ 32 2 Areacirkel = πr2 Ab = π
Aa + Ab = 9π 2 + 16π 2 = 25π 2 = Ac
Diskutera gärna med eleverna om motsvarande samband gäller för alla rätvinkliga trianglar och hur man skulle kunna visa det.
Yrkesmatematik – Pythagoras sats
Lyft gärna matematikens relevans genom att utgå från exemplet på sidan 252 i elevboken. Det visar hur Pythagoras sats används i vardagen och i vissa yrkesämnen.
GEOMETRI u 5.1 AVSTåNDSbERÄKNINGAR
Problemlösningsuppgift
5104 Gunnar ska resa en 14 meter hög flaggstång och vill att flaggstången ska stå i rät vinkel mot marken. Han har fäst en lina i toppen av flaggstången. Linans längd är exakt 16 meter. Hur långt från flaggstången ska linan nå för att flaggstången ska stå i rät vinkel mot marken? (m) ? 14 16
Pythagoreiska tripplar är ett intressant talteoretiskt problem. Det här problemet kan ges till intresserade elever:
u Tre positiva heltal a, b och c som uppfyller likheten
a2 + b2 = c2
kallas för en pythagoreisk trippel. Visa att om a, b och c är en pythagoreisk trippel, så är även de tre talen ka, kb och kc en pythagoreisk trippel, förutsatt att k är ett positivt heltal.
Lösning/Kommentar
Om a, b och c är en pythagoreisk trippel, så är
a2 + b2 = c2
Då gäller även
k2a2 + k2b2 = k2c2 Vi multiplicerar båda leden med k2
(ka)2 + (kb)2 = (kc)2 för varje positivt heltal k.
Talen ka, kb och kc uppfyller alltså Pythagoras sats. Eftersom ka, kb och kc är positiva heltal är de därmed en pythagoreisk trippel. v.s.v.
5105 Liam ska sätta upp väggarna till ett rektangulärt rum. Väggarna är 7 meter och 5 meter långa. Hur lång ska diagonalen vara för att rummets hörn ska vara vinkelräta?
5106 Hur lång är sidan x? 6 x x + 3 (cm)
2
71nn Matheo cyklar till simhallen längs gångvägen och Tabitha joggar över ängen. Vem hinner först?
1,2
5108 Beräkna sidan AD i parallelltrapetsen.
5110 Hur långa är triangelns sidor?
x x (cm)
5111 En 10 meter hög bambu är bruten så att den når marken 3 meter bort från basen. Hur högt över marken är den bruten?
3,0 m ?
5112 Visa att diagonalen i en kvadrat med sidan x är √2 ∙ x
5113 Triangelns area är 40 cm2. Hur lång är hypotenusan?
(cm)
Kommentarer och ledtrådar till uppgifterna Till varje avsnitt finns kommentarer till avsnittets uppgifter. Där diskuteras bland annat svårigheter och uppgifternas koppling till olika förmågor. Vi ger också förslag till ledtrådar till utvalda uppgifter.
Nivå 3
5109 Yin-Yi ska bygga en enkel ramp till sitt hus. Hon har läst att förhållandet mellan rampens höjd och dess längd längs marken bör vara mellan 1:20 och 1:12. Räcker en ramp som är 6 meter lång?
0,40 m
5114 Beräkna längden av den rätvinkliga triangelns sidor. 2x + 2 2x + 3 x (cm)
5115 Ett vasstrå står i mitten av en cylinderformad damm vars radie är 3 meter. Vasstråets spets når 1 meter över vattenytan. När det dras till kanten av dammen når det vattenytan precis. Hur djup är dammen?
GEOMETRI u 5.1 AVSTåNDSbERÄKNINGAR 253
Exituppgift
I en rätvinklig triangel är en katet 3,6 meter och hypotenusan 3,9 meter. Hur lång är den andra kateten?
Svar: Vi kallar den okända kateten för a. Pythagoras sats ger a2 + 3,62 = 3,92
a = √3,92 − 3,62 = 1,5 m a är en sträcka och kan inte vara negativ
Den andra kateten är alltså 1,5 m.
Kommentarer till uppgifterna
De inledande uppgifterna på Nivå 1 tränar eleverna att tillämpa Pythagoras sats i enkla situationer. I 5105 möter eleverna omvändningen av Pythagoras sats. Där får de bestämma hur lång diagonalen ska vara för att väggarna ska bli vinkelräta. Även 5109 lyfter matematikens relevans. Där behöver eleverna bestämma rampens längd längs marken med hjälp av Pythagoras sats, och sedan undersöka om förhållandet mellan höjd och längd ligger innanför det godkända intervallet. En del elever kan behöva påminnas om innebörden av skrivsätten 1:20 och 1:12.
I flera av uppgifterna, 5106, 5111 och 5114, får eleverna tillfälle att repetera och använda kvadreringsreglerna. Om eleverna gör fel i dessa uppgifter, kan det bero på att de glömt den dubbla produkten.
Såväl 5111 på Nivå 2 och 5115 på Nivå 3 är uppgifter med historisk anknytning. Uppgift 5111 är inspirerad av en uppgift i den indiske matematikern Bhaskaras verk Lilivati från mitten av 1100 talet. Originaluppgiften kan i översättning formuleras:
När en bambu på plan mark, trettiotvå alnar hög, bruten av vindens kraft, når marken sexton alnar bort; säg, matematiker, hur långt från roten är den bruten?
Uppgift 5115 är i sin tur inspirerad av en uppgift från det kinesiska verket Nio böcker om räknekonsten.
Ledtrådar till uppgifterna
5107 Hur lång sträcka måste Matheo respektive Tabitha cykla? Med vilken hastighet är det rimligt att Matheo respektive Tabitha rör sig?
5108 Notera att sträckan AD är lika lång som den vinkelräta sträckan mellan hörnet C och basen AB. Kan du hitta ett sätt att beräkna längden av den sträckan?
5109 Hur lång är rampens längd längs marken? Vilket är förhållandet mellan rampens höjd och längd?
5110 Använd Pythagoras sats. Kom ihåg att (2x)2 = 4x2 .
5111 Kalla den sökta sträckan för x. Hur kan du uttrycka längden av hypotenusan, om hela bambun är 10 meter lång?
5112 Du kan ha nytta av att känna till att √a ∙ b = √a ∙ √b .
5115 Situationen kan beskrivas med följande figur.
Uppgifterna på Uppslaget kan användas i slutet av varje kapitel, men passar också bra att arbeta med under kapitlets gång. I tabellen ser du i vilket avsnitt som uppgifterna passar särskilt bra.
Rubrik Uppgift Avsnitt/Moment
Vem har rätt?
1 3.3 Potenser och potenslagar
2 3.1 Exponentialfunktioner
3 3.2 Mer om andragradsfunktionens graf
Problemlösning 1 3.2 Bestämma största och minsta värde
2 3.3 Potensekvationer
3 3.2 Mer om andragradsfunktionens graf
Modellering 1 3.3 Potensekvationer
2 3.2 Bestämma största och minsta värde
Matematik i användning
3.3 Potensfunktioner
Svar till Vem har rätt?
1 a) Alvin har gjort rätt.
b) Alva har adderat potenserna genom att addera exponenterna. Den regeln gäller vid multiplikation. Noel har felaktigt räknat med att 100 = 0.
2 Yong-Shi har räknat med att intäkterna ökar med lika många kronor varje år, medan Hjalmar har räknat med att intäkterna ökar med lika många procent varje år.
3 Ruth har gjort rätt. Ella glömmer att dividera båda led med 2 innan hon använder pq-formeln. Phil verkar tro att nollställen är där x = 0, dvs. där grafen skär y-axeln.
Fullständiga lösningar
I Lärarguiden finns svar och lösningar till Resonemang och begrepp, Uppslaget, Samhälle och yrkesliv samt till Kapiteltest Längst bak i Lärarguiden finns även fullständiga lösningar till lärobokens Nivå 3uppgifter.
Vem har rätt?
1 Alva, Noel och Alvin beräknar
102 + 103 + 100
101
Alva 102 + 3 + 0 − 1 = 104
Noel
100 + 1 000 + 0 10 = 1 100 10 = 110
Alvin 100 + 1 000 + 1 10 = 1 101 10 = 110,1
a) Vem har rätt?
b) Vilka fel har de andra gjort?
2 Ett företag ökar sina intäkter från
500 000 kr till 650 000 kr på tre år. Yong-Shi och Hjalmar uppskattar intäkterna framåt i tiden med var sin modell:
Yong-Shi I(x) = 650 000 + 50 000x Hjalmar I(x) = 650 000 ∙ 1,091x Hur kan de ha tänkt?
3 Ella, Ruth och phil ska bestämma nollställena till funktionen
f(x) = 2x2 + 12x + 18. Ella 2x2 + 12x + 18 = 0 x = − 12 2 ± √62 − 18 = −6 ± √18
Två nollställen: x1 ≈ −10,2 och x2 = −1,8
Ruth 2x2 + 12x + 18 = 0 x2 + 6x + 9 = 0
x = −3 ± √32 − 9 = −3
Ett nollställe: x = −3
Phil f(0) = 2 ∙ 02 + 12 ∙ 0 + 18 = 18
Ett nollställe: (0, 18) Har någon av dem gjort rätt?
Svar till Problemlösning
Problemlösning
1 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen f(x) = (x − 2)(x − 8). En rät linje går genom andragradsfunktionens minimipunkt och ena nollställe. Bestäm den räta linjens ekvation.
4 1 x y
2 Anna ska vara ute på fjället en hel dag. Det är 0 °c utomhus, så hon gör varm choklad och tar med sig i en termos. Temperaturen hos den varma chokladen avtar exponentiellt med tiden. Tabellen visar temperaturen hos den varma chokladen vid två olika tidpunkter.
Tid (h) Temperatur (°C) 0 95 3,0 80 chokladen är god att dricka så länge temperaturen inte understiger 60 °c Hur länge kan Anna vänta med att dricka sin varma choklad?
3 Vilka värden kan konstanten m ha för att graferna till funktionerna y = x2 + 3,7 och y = 2x + m inte ska skära varandra? (Np Ma2a ht 2013)
1 Funktionens nollställen är x = 2 och x = 8. Symmetrilinjen ligger mellan dessa och har alltså ekvationen x = 5. Minimipunkten ligger på symmetrilinjen. Dess y-koordinat är f(5) = (5 − 2)(5 − 8) = 3 · (−3) = −9. Minimipunktens koordinater är alltså (5, −9). Tillsammans med nollstället (2, 0) ger det
k = −9 − 0 5 − 2 = −3
Insättning av x = 2, y = 0 och k = −3 i räta linjens ekvation ger
0 = −3 · 2 + m
m = 6
Svar: Linjens ekvation är y = −3x + 6.
2 På 3 timmar har temperaturen sjunkit från 95 till 80 grader. Om a beskriver den genomsnittliga procentuella förändringen per timme, kan vi ställa upp potensekvationen
95 · a3 = 80
a = ( 80 95 )1/3 ≈ 0,944
Modellering
1 Antalet lejon i Afrika blir allt färre. År 1980 fanns det ca 70 000 lejon. År 2012 räknade man till 32 000 individer. Ungefär hur många lejon finns kvar i dag? Använd en matematisk modell för att göra en rimlig uppskattning.
2 Martina tillverkar träskulpturer som hon säljer i en butik. Under några veckor undersöker hon hur antalet skulpturer hon säljer per vecka beror på priset per skulptur. Hon för in resultatet i ett diagram.
Matematik i användning
I tiokamp tävlar man i tio olika friidrottsgrenar, bl.a. kulstötning, 110 meter häck och längdhopp. De tävlande får poäng i varje gren utifrån sina resultat. Den som har högst sammanlagd poäng i de tio grenarna vinner.
Varje gren ger poäng enligt en formel av typen
P = a(x − b)c eller P = a(b − x)c där x är resultatet i grenen och talen a, b och c är olika för varje gren. Hoppgrenarna ger till exempel poäng enligt formlerna i rutan, där x är resultatet i centimeter.
Höjd: P = 0,8465(x − 75)1,42
Längd: P = 0,14354(x − 220)1,40
Stav: P = 0,2797(x − 100)1,35
a) Hur många poäng ger ett längdhopp på 740 cm?
a) Sambandet mellan antalet sålda skulpturer och priset per skulptur kan antas vara linjärt. Beskriv hur antalet sålda skulpturer N beror av priset x
b) Martina undrar vilket pris hon ska sätta på sina skulpturer för att få så stora intäkter som möjligt. Hon skriver följande funktionsuttryck som modell för intäkten: I(x) = x N(x). Vilket råd ger du henne?
b) Hur högt måste man hoppa i stavhopp för att få lika många poäng som för längdhoppet i a)?
Formlerna utarbetades bl.a. av den österrikiske matematikern Karl Ulbrich. Tanken var att ett gott resultat i respektive gren skulle ge ungefär 1 000 poäng.
c) Hur högt respektive långt måste man hoppa i respektive gren för att få 1 000 poäng?
d) Kim hoppar 1,92 m i höjdhopp, 6,72 m i längdhopp och 4,90 m i stavhopp. Vilken gren tjänar han mest på att förbättra sig i?
Svar till Modellering
1 En möjlighet är att minskningen varit exponentiell. Kalla förändringsfaktorn för a. Det ger ekvationen
70 000 · a32 = 32 000
a = ± ( 32 000 70 000 )1/32 ≈ ±0,976
FUNKTIONER u UPPSLAGET 179
Chokladens temperatur efter x timmar kan då beskrivas med exponentialfunktionen
f(x) = 95 · 0,944x Vi löser ekvationen f(x) = 60 grafiskt och får lösningen x ≈ 8.
Svar: Anna måste dricka chokladen inom åtta timmar.
3 För att de två funktionerna ska sakna skärningspunkt får inte x2 + 3,7 = 2x + m. Alltså måste vi räkna ut när den ekvationen saknar lösning.
x2 + 3,7 = 2x + m
x2 − 2x + (3,7 − m) = 0
Vi använder pq-formeln
x = 1 ± √12 − 3,7 + m
x = 1 ± √−2,7 + m
Ekvationen saknar lösning när uttrycket under rottecknet är negativt, dvs. när m < 2,7.
Svar: Konstanten m måste vara mindre än 2,7 för att de två funktionerna inte ska skära varandra.
Vi bortser från den negativa roten eftersom en förändringsfaktor inte kan vara negativ
Antalet lejon i Afrika x år efter år 2012 ges då av
y = 32 000 ∙ 0,976x
I skrivande stund är det år 2024. Insättning av x = 12 ger
32 000 · 0,97612 ≈ 24 000 lejon i Afrika.
En annan möjlighet är att minskningen varit linjär.
Antalet lejon har då minskat med
70 000 − 32 000 32 = 1 187,5 lejon/år
Antalet lejon i Afrika x år efter år 2012 ges då av
y = 32 000 − 1 187,5x
Insättning av x = 12 ger
32 000 − 1 187,5 ∙ 12 = 17 750 lejon i Afrika.
2 a) Vi anpassar en linje efter punkterna och bestämmer linjens ekvation: N(x) = −0,05x + 24.
b) Martinas modell för intäkten I(x) = x · N(x) ger andragradsfunktionen I(x) = −0,05x2 + 24x. Funktionen har sitt största värde för x = 240. Martina bör alltså sätta priset 240 kr på sina skulpturer.
Svar till Matematik i användning
a) P = 0,14354(740 − 220)1,40 ≈ 911 poäng
b) 0,2797(x − 100)1,35 = 911
(x − 100)1,35 = 911 0,2797
x = ( 911 0,2797 )1/1,35 + 100 ≈ 500
Det skulle behövas ett stavhopp på 5 meter för att få lika många poäng.
c) Vi ställer upp ekvationerna
0,8465(x − 75)1,42 = 1 000 (höjdhopp)
0,14354(x − 220)1,40 = 1 000 (längdhopp)
0,2797(x − 100)1,35 = 1 000 (stavhopp)
Vi löser ekvationerna med ett grafritande hjälpmedel och får resultatet att det behövs 2,21 meter i höjdhopp, 7,76 meter i längdhopp och 5,29 meter i stavhopp.
d) Kims resultat skulle ge honom 732 poäng i höjdhopp, 748 poäng i längdhopp och 880 poäng i stavhopp.
Om han ökar sina resultat med 1 cm i varje gren, blir poängen i stället 741, 751 respektive 883. Det indikerar att en förbättring på 1 cm ger störst utdelning i höjdhopp.
2a nivå
Lärarguiden till Matematik Origo nivå 2a följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.
Här finns bland annat extra exempel
didaktiska tips och kommentarer förslag på hur du kan inleda och avsluta lektionen kopplingar till elevernas yrkesämnen lösningar till flera av elevbokens uppgifter
Till Matematik Origo nivå 2a finns även komponenterna elevbok, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.
Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.