9789152360767

matematik

Kerstin Olofsson Verner Gerholm

1a

Sm a

kpro v!

Matematik Origo 1a Kreativ, relevant och elevnära Elevbok

Lärarguide

Prov, Övningsblad och Aktiviteter

Matematik Origo 1a är en matematikbok för yrkesprogrammen med ett elevnära tilltal, ett stort antal varierade uppgifter och ett tydligt fokus på matematikens relevans. Boken är utvecklad i enlighet med den ämnesplan för Matematik 1a som träder i kraft 2021.

För att du ska få ut som mycket som möjligt av Matematik Origo 1a, rekommenderar vi att du använder den tillsammans med Matematik Origo 1a Lärarguide. Lärarguiden följer elevboken, uppslag för uppslag, med tips, idéer och inspiration till din undervisning. Materialet innehåller didaktiska tips och kommentarer till elevbokens uppgifter, som gör ditt och elevernas arbete med elevboken mer effektivt.

matematik

Kerstin Olofsson Verner Gerholm

1a

matematik

Kerstin Olofsson Verner Gerholm

1a

Lärarguide

I kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter 1a finns gott om övningsblad och aktiviteter som gör det enkelt att variera din undervisning och att anpassa undervisningen till varje elev. Här finns även prov och bedömningsstöd till varje kapitel i elevboken. Övningsblad Ekvationer 1 Lös ekvationerna

1 6x – 14 = 28

2 9 – 5x = 49

8x 3 12 = ___ 3

Aktivitet Procentjakten

Övningsblad Symmetri

Ni behöver en tärning och var sin spelmarkör. Varje spelare startar med 1 200 poäng.

• Avgör om följande figurer är spegelsymmetriska, rotationssymmetriska eller asymmetriska.

• Slå tärningen och flytta spelmarkören så många steg som tärningen visar.

• Rita in symmetrilinjerna i de spegelsymmetriska figurerna och ange antalet symmetrilinjer.

• Rutan du hamnar på anger med hur många procent din poängsumma förändras. Räkna ut din nya poängsumma och anteckna resultatet.

• Ange rotationsvinkeln för de rotationssymmetriska figurerna, dvs. hur många grader som figuren som minst ska roteras för att överlappa sitt ursprungliga läge.

• Vinner gör den spelare som har flest poäng när alla deltagare har gått i mål.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3x 4 ___ + 5 = 14 2

5 3x – 4,5 = 4x – 10,5

6 3(6x – 8) = 5

7 5x – 4 = –7 – 2x + 3

8 2(7x + 1) = 4x – 3

9 4(3x – 1) = 5 – (8x + 4)

(Bilder: Shutterstock)

10 2x(1 + x) + 3x = 2x2 + 12

matematik origo © sanoma utbildning och författarna

matematik origo © sanoma utbildning och författarna matematik origo © sanoma utbildning och författarna

Innehåll 1 Matematik i vardag och yrkesliv

5 Sannolikhetslära

172

6

5.1 Enkla slumpförsök. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

1.1 Matematik i vardag och yrkesliv. . . . . . . . . . . 8 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Samhälle och yrkesliv, Uppslaget, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2 Tal i vardag och yrkesliv

22

2.1 Positionssystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Bråk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Potenser och prefix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Algebra

64

3.1 Formler, uttryck och mönster. . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Arbeta med uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Uppslaget, Samhälle och yrkesliv, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Procent

124

4.1 Procent och procentberäkningar.. . . . . . . 126 4.2 Procentuella förändringar. . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Procentberäkningar i samhället. . . . . . . . . 143 Uppslaget, Koll på kapitlet, Samhälle och yrkesliv, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6 Funktioner

204

6.1 Grafer och koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . 206 6.2 Linjära funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.3 Exponentialfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Samhälle och yrkesliv, Uppslaget, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7 Statistik

260

7.1 Statistiska undersökningar. . . . . . . . . . . . . . . 262 7.2 Tolka och granska statistik. . . . . . . . . . . . . . . 271 7.3 Statistiska samband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Uppslaget, Koll på kapitlet, Samhälle och yrkesliv, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8 Geometri

300

8.1 Omkrets, area och volym. . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.2 Vinklar, likformighet och symmetri. . . . . 318 8.3 Rätvinkliga trianglar och trigonometri. 334 8.4 Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Samhälle och yrkesliv, Uppslaget, Koll på kapitlet, Blandade uppgifter, Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Facit

370

Register

410

4

Procent

När du är klar med kapitlet ska du kunna uu skriva andelar i bråk-, decimal- och

procentform

uu beräkna andelen, delen och det hela

med hjälp av sambandet delen andelen = _______ ​ ​ det hela

uu använda huvudräkning för att göra

procentberäkningar

uu använda och tolka begreppet

­förändringsfaktor

uu beräkna procentuella förändringar i

flera steg

uu göra beräkningar med ränta uu beräkna kostnader för olika typer av

lån och kreditköp med och utan ­kalkylprogram

För vissa program uu använda promille och ppm uu skilja på procent och procentenheter uu tolka och använda index

124

Du ska kunna

Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål.

Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.

Procentjakten Arbeta i en grupp om 2–4 personer. Ni behöver en tärning och var sin spelmarkör. Varje spelare startar med 1 200 poäng. uu Slå tärningen och flytta spelmarkören så många steg som

tärningen visar.

uu Rutan du hamnar på anger med hur många procent din

poängsumma förändras. Räkna ut din nya poängsumma och anteckna resultatet.

uu Vinner gör den spelare som har flest poäng när alla

deltagare har gått i mål.

START

+10 % –10 % +20 % –20 %

Inledande aktivitet

De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om.

Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.

–25 % 0% +50 % +25 % –50 % –10 % +10 % –20 % +20 % –5 %

+5 % –20 %

+25 %

+40 % –90 % MÅL

0%

125

3.1 Formler, uttryck och mönster Även om du sällan tänker på det, används formler och uttryck både till vardags och i yrkeslivet. Vågen i livsmedelsaffären använder en formel för att beräkna rätt pris, en sjuksköterska använder formler för att beräkna mängden medicin som en patient behöver och en hantverkare kan ta hjälp av ett uttryck för att beräkna vad arbetet kommer att kosta för kunden.

3

Formler och uttryck Formel

Teori och exempel

Josef är hovslagare. Vid kundbesök tar han 1 050 kronor i grundavgift och dessutom 470 kronor för varje påbörjad timme. Han beräknar kostnaden för kunden i ett datorprogram där han har skrivit in formeln K = 1 050 + 470x

470x = 470 ∙ x

Att veta vad matematiken används I formeln är K kostnaden i kronor och x är antalet arbetstimmar. till skapar motivation. I både teori Beroende på hur många timmar Josef arbetar får kunden betala olika och exempel ger vi exempel på matematikens relevans. Teori- mycket. genomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den3 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 3 = 2 460 kr skull väja för det som är svårt.

5 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 5 = 3 400 kr Exemplen är rikligt kommenterade 10 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 10 = 5 750 kr och har utförliga förklaringar.

Variabel

Vi ser att kostnaden K och antalet timmar x varierar. Därför kallar man x och K för variabler.

Koefficient

K = 1 050 + 470x Konstantterm

Algebraiskt uttryck

Variabelterm

Vi kan också beskriva kostnaden med ett algebraiskt uttryck 1 050 + 470x En skillnad mellan ett uttryck och en formel är att en formel har ett likhetstecken. Ett sådant finns inte i ett uttryck.

66

ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster

Exempel: Beräkna värdet av uttrycket

a) 7a + 5 om a = 4 b) 2a + b2 om a = –3 och b = –1 Lösning: a) Vi sätter in a = 4 i uttrycket och får

7 ∙ 4 + 5 = 33 b) Vi sätter in a = –3 och b = –1 i uttrycket och får 2 ∙ (–3) + (–1)2 = –6 + 1 = –5

3

Exempel: Amina ska ta körkort. På körskolans hemsida hittar hon formeln K = 4 100 + 800x. Den beskriver den totala kostnaden K kr för att ta körkort om man tar x stycken körlektioner. Beräkna den totala kostnaden för Aminas körkort om hon

a) tar 15 körlektioner b) inte tar några körlektioner Lösning: a) Vi sätter in x = 15 i formeln K = 4 100 + 800x

K = 4 100 + 800 ∙ 15 = 16 100 Svar: Aminas körkort kostar 16 100 kronor om hon tar 15 körlektioner.

Starter

b) Vi sätter in x =med 0 i en formeln.

Uppgifterna inleds

I beloppet 4 100 kronor kan t.ex. kostnaden för teori- och riskutbildning ingå

­ tarter. Det är ofta en uppgift S K = 4 100 + 800 ∙ 0 = 4 100 av öppen karaktär som bjuder Svar: Aminas körkort kostar 4 100 kronor om hon inte tar några in till olika lösningar och svar.

Inte sällan är uppgiften körlektioner. konstruerad för att ge möjlighet att disku­tera vanliga missuppfattningar.

Starter Uttrycken 5x och 5 + x ser ganska lika ut. a) Vad är skillnaden mellan uttrycken? b) Vad är värdet av uttrycken om x = 4? c) Är värdet av 5x alltid större än värdet av 5 + x?

Nivå 1 3101 Beräkna värdet av uttrycken om a = 4.

a) 7 + a a c) ​ __ ​ 2

b) 4a d) 5 – 3a

3102 Vilka variabler innehåller uttrycket

9a + 15b + 17?

ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster

67

3103 Beräkna värdet av y i formeln y = 20x + 50

3107 Med hjälp av formeln V = π ∙ r2 ∙ h kan

om

man beräkna volymen av en cylinder med radien r och höjden h. Vilka två beräkningar ger volymen av cylindern i figuren?

a) x = 1 b) x = 0

c) x = –0,5

4

3104 Omkretsen av triangeln kan beräknas med

(cm)

12

uttrycket 2x + 7. Hur stor är omkretsen om x = 12?

V = π ∙ 4 ∙ 2 ∙ 12 V = π ∙ 42 ∙ 12 V = π ∙ 12 ∙ 12 ∙ 4 V = π ∙ 122 ∙ 4 V = π ∙ 4 ∙ 4 ∙ 12

(cm)

3

x

3108 Beräkna värdet av uttrycken om Uppgifter på tre nivåer a = –3 och b = 6.

x

7

3105 Vilka av alternativen i rutan är

Till varje avsnitt finns rikligt med uppgifter, både föra) 2a den + b elev som behöver enkla c) som ab ingångar och för den elev behöver utmaningar.

a) formler

b) a – b b d) ​ __ ​ a

3109 Uttrycken 3 + a och 3a ser ganska lika ut.

a) Vad är skillnaden mellan dem?

b) algebraiska uttryck

b) Vad är värdet av uttrycken om a = 5? y = 2x – 3 2x – 3 3a + 5b

U = R ∙ I

3106 Kostnaden K kronor för att hyra en moped

i Thailand x dagar kan man beräkna med formeln K = 150 + 50x. a) Vad kostar det att hyra en moped i 3 dagar? b) Vad kostar det att hyra en moped i 3 veckor?

c) Är värdet av 3a alltid större än värdet av 3 + a ?

3110 7 1nn Om man säljer a stycken produkter som

kostar p kronor styck, så kan man beräkna intäkten I kronor med formeln I=p∙a a) Beräkna intäkten om man säljer 1 500 produkter till priset 299 kronor per styck. b) Ge förslag på vilka värden a och p kan ha om I = 100 000 kronor.

Nivå 2 3111 Beräkna värdet av uttrycken för

a = 3 och b = –2. a) a – b c) ab +

68

ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster

b2

b) 2a – 3b d) 4a2 – ab

3112 Jämför

uttrycken x2 och 2x.

3115 7 1nn Kostnaden för att åka taxi kan beräknas

med formeln

a) Förklara vad som skiljer uttrycken åt.

K = 45 + 11x + 500y

b) Vad är värdet av uttrycken om x = 3?

där K är kostnaden i kronor, x är antalet ­kilometer och y är tiden i timmar. Vad ­skulle det kosta att åka taxi från skolan hem till dig?

c) Är värdet av x2 alltid större än värdet av 2x? Förstoringsglas

Uppgifter märkta med förstoringsglas är uppgifter där 3113 Bromssträckan s meter för en personbil eleverna själva får ta reda på km/h ärden s =information 0,005 ∙ v2 med hastigheten eller vuppskatta som saknas. Uppgifterna övar a) Beräkna bromssträckan för en bil med modelleringsförmågan och hastigheten 50 km/h. lämpar sig för helklassarbete, eftersom antaganden leder b) En tumregel säger olika att om hastigheten till olika svar. fördubblas, så fyrdubblas

bromssträckan. Undersök med ett räkneexempel om tumregeln stämmer.

3114 7 1nn En gris som väger x kg ska enligt

Jordbruksverket ha ett utrymme som är minst y m2, där x y = 0,20 + ___ ​ ​ 84 a) Hur stort utrymme behöver en gris som väger 50 kg? b) En bonde har ett utrymme på 30 m2.

Hur många grisar kan han ha där?

Nivå 3 3116 Vattnets kokpunkt ändras med höjden över

havet. Den kan beräknas med formeln t = 100 · 0,961h där t är kokpunkten i grader Celsius och h är höjden över havet i kilometer. Äggula koagulerar vid temperaturen 70 grader. Är det möjligt att koka och servera ett hårdkokt ägg på toppen av Mount Everest?

3117 Beräkna värdet av uttrycken för

x = –2, y = 1 och z = –3. a) x2 + 3xy – z2 b) 2xz + 5y – z3 c) 4xyz – xz2

ALGEBRA u 3.1 formler, uttryck och mönster

69

3

Ränta, lån och kreditköp i kalkylprogram När man beräknar ränta och kostnader för lån och kreditköp blir det ofta enklare att arbeta i ett kalkylprogram.

Exempel: Emanuel lånar 15 000 kr till 10 % årsränta. Han amorterar 1 000 kr i månaden. Använd ett kalkylblad och beräkna Emanuels lånekostnad

a) den första månaden

4

b) det första kvartalet

Lösning: a) I kolumn B skriver vi den aktuella skulden. Skulden Nya ämnesplaner minskar med 1 000 kr per I den nya ämnesplanen i månad eftersom Emanuel Matematik 1a, finns ett tydligare fokus på digitala amorterar. verktyg. Matematik Origo 1a är utvecklad i enlighet med den nya ämnesplanen.

I kolumn C beräknar vi månadsräntan i kronor. I cell C2 skriver vi

=B2*0,10/12

Årsräntan är 10 % av den aktuella skulden.

Månadsräntan är 1/12 av det.

När vi trycker på Retur dyker talet 125 upp i cell C2.

I kolumn D vill vi beräkna den totala månadskostnaden. I cell D2 skriver vi Total månadskostnad = amortering + månadsränta =1000+C2 När vi trycker på Retur dyker talet 1 125 upp i cell D2.

Svar: Den första månaden är lånekostnaden 1 125 kr. b) Vi tar tag i det nedre högra hörnet av cell C2 och drar nedåt. Sedan tar vi tag i cell D2 och drar nedåt. Då beräknas månadsräntan respektive månadskostnaden för månad 2 och 3.

Vi vill beräkna summan av månadskostnaderna för de första tre månaderna. I cell D5 skriver vi

=D2+D3+D4

Du kan också använda kalkylprogrammets verktyg för att beräkna summa

När vi trycker på Retur dyker värdet 3 350 upp i cell D5.

Svar: Det första kvartalet är den totala lånekostnaden 3 350 kr.

148

PROCENT u 4.3 procentberäkningar i samhället

Starter

4320 Använd kalkylbladet som du skapade i

uppgift 4319. Beräkna fondens värde år 10 om

Einari har lånat 4 500 kr till räntan 4,5 %.

Han skapar ett kalkylblad för att beräkna kostnaderna.

a) Sherin i stället sätter in 20 000 kr b) och årsräntesatsen är 4 % 4321 Anne har tagit ett lån på 240 000 kr för att

a) I cell D2 skriver Einari formeln =0,045*B2. Vilket värde dyker upp?

reparera sitt stall. Hon betalar ingen ränta men amorterar 15 600 kr per år. För in följande värden i ett kalkylblad.

4

b) Vilken rubrik bör han skriva i cell D1? c) Hur ska Einari göra för att beräkna den totala lånekostnaden? a) Vilken formel ska stå i cell B3?

Nivå 1 4319 Sherin har satt in 15 000 kr i en räntefond

med 3 % årlig ränta. För in följande värden i ett kalkylblad.

b) Använd kalkylbladet och beräkna Annes skuld år 4. c) Hur lång tid tar det för Anne att betala tillbaka lånet?

4322 Använd kalkylbladet som du skapade i

uppgift 4321. Undersök hur lång tid tar det för Anne att betala tillbaka lånet om hon a) lånar 300 000 kr a) Skriv formeln =B2*1,03 i cell B3.

Vilket tal visas? b) Vad har du beräknat i a)? c) Markera cell B3. Ta tag i cellens nedre högra hörn och dra nedåt.

Vilka tal visas i cell B4 och B5?

b) och amorterar 18 000 kr per år 4323 Du lånar 30 000 kr till 10 % årsränta. Varje

månad amorterar du 1 000 kr. Skapa ett kalkylblad som visar dina lånekostnader de första sex månaderna.

d) Vad har du beräknat i c)?

PROCENT u ALGEBRA u 4.3 procentberäkningar i samhället

149

Programanpassning

Nivå 2

8359 Vid middagstid var skuggan av ett träd

25 % längre än trädet. Vilken vinkel bildas mellan solstrålarna och marken?

8356 Beräkna vinkeln u. (cm)

a)

4x

u 9x

b)

u __ ​​√ ​​z 3

(cm)

z

Nivå 3 8360 Beräkna rymddiagonalens vinkel mot

basytan.

8357 Du vet att sin v = 0,2. Beräkna värdet av

a) 3 sin v

P

8 2

b) sin 3v

5

8358 Segelbåtens mast är 15 m hög. För att

komma under bron försöker besättningen luta båten. Hur många grader måste båten luta för att komma under bron?

(m)

9 7

8361 Man har lagt en asfalterad väg genom en

cylindrisk tunnel som är 19 m i diameter.

Hur stor är vinkeln u i figuren?

19 m

12 m u 4m

Kommunikationsuppgifter

Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna att samtala om matematik.

Resonemang och begrepp Sant eller falskt

Fundera och förklara

Hypotenusan är alltid den längsta sidan i ÓÓ en rätvinklig triangel. närliggande katet ________________ tan v = ​ ​ ÓÓ motstående katet

tan 45° = 1 ÌÌ

Avgör om påståendena är sanna eller falska.

Pythagoras sats gäller bara i rätvinkliga ÓÓ trianglar.

Det finns oändligt många tal som ÓÓ uppfyller a2 + b2 = c2 cos 2v har samma värde som 2 cos v ÓÓ

346

GEOMETRI u 8.3 rätvinkliga trianglar och tyrigonometri

Rita bilder och förklara varför sin 30° = cos 60° ÌÌ en triangel med sidorna 6, 8 och 10 är ÌÌ rätvinklig

Programanpassning

8.4 Vektorer Vad är en vektor?

Temperatur och vikt (massa) är exempel på storheter som endast har storlek, inte någon riktning. Sådana storheter kallas skalärer.

Det mesta som vi mäter i vardagen, till exempel temperatur eller vikt, kan vi beskriva med endast ett tal. Vi säger till exempel att det är 3 grader kallt eller att äpplet väger 0,2 kg. Men när vi ska beskriva hur båtarna här nedanför rör sig, vill vi inte bara ange deras fart utan även deras riktning.

B A

D

C

Programanpassning E

Vektor

En del avsnitt har vi5valt att knop markera som programanVarje pil i bilden visar en båts fart och riktning, kallar hastighet. passning.det Detvi ger dig som lärare möjlighet att visar anpassa Pilens längd visar hur fort båten åker och pilens riktning åt vilket innehållet efter din elevgrupp håll båten är på väg. En hastighet är ett exempel på en vektor. Det är en och efter de karaktärsämnen storhet som har både storlek och riktning. Varje pil i bilden representerar som eleverna läser.

en vektor.

Skrivsätt

Vektorer skrivs vanligtvis med en bokstav med__en_liten pil över.

Båtarnas _ ​ › ​ › __ ​ › __ ​› ​› hastighet kan alltså betecknas med vektorerna A​ ​ , B ​ ​ , C​ ​ , D​ ​ och ​E ​ .

Båtarna B och D har samma hastighet. De åker med samma fart och i samma riktning. Därför har pilarna till B och D samma längd och samma riktning.

De _ __ ​› ​› representerar samma vektor. Vi skriver ​B ​ = D​ ​ .

Samma vektor

​__›

B​ ​

​__›

D​ ​

​__›

Motsatt vektor

Storleken av en vektor

När vi ska bestämma storleken av en vektor kan vi mäta längden av den pil som representerar vektorn. I vårt fall motsvarar 1 cm på bilden 5 knop. Pilen som hör till båten E är 2 cm. Det betyder att båt E kör med _ ​› farten 2 · 5 knop = 10 knop.

Storleken av vektorn ​E ​är alltså 10 knop. _ ​› Det brukar skrivas som |​E ​| = 10 knop.

Multiplicera en vektor med ett tal

Om vi multiplicerar vektorn A​ ​ med två får vi vektorn ​__› 2​A​ . Vektorn behåller samma riktning men blir dubbelt så lång. Det innebär att vektorn beskriver en båt som åker i samma riktning men dubbelt så fort.

Båtarna A och C åker lika fort men åt motsatta håll.

Därför är pilarna__lika långa, men riktade åt motsatt ​› ​__› håll. Vektorerna ​ A​

och C​ ​

kallas för motsatta vektorer. Vi __ __ __ __ ​› ​› ​› ​› skriver ​A​ = –​C​ eller ​C​ = –​A​ .

__ ​›

​__› C​ ​

A​ ​

​__›

​__›

2​A​ = 2 · A​ ​ ​__›

A​ ​

Obs! Om man multiplicerar med ett negativt tal, så blir riktningen den motsatta

GEOMETRI u 8.4 vektorer

347

P

8

Uppslaget Vem har rätt?

1 Grafen visar vikt och pris för några chokladkartonger.

Vikt A

C

B

D Pris

På Uppslaget1 finns Punkterna med koordinaterna (1, 2) och uppgifter som särskilt (–4, –3) är två av hörnen i en kvadrat. tränar de matematiska Vilka koordinater kan de övriga två förmågorna.

Kajtek: Kartong A och B har samma pris.

Remy: Kartong A och B har samma vikt.

6

Problemlösning

Uppslaget

Chris: Kartong B och C har samma pris per kilo.

hörnen ha?

2 Vad kostar en 15-bitars tårta?

6 bitar 180 kr 10 bitar 280 kr 12 bitar 330 kr

Har någon av dem rätt? Motivera.

2 En båt kostade 220 000 kr i inköp.

Båtens värde minskade sedan med 10 % per år. Vem beskriver värdeminskningen med rätt funktionsuttryck?

Ailin: Minskningen är 10 %, alltså 0,1.

Funktionsuttrycket blir f(x) = 220 000 · 0,1x.

Bella: Eftersom minskningen är 10 % varje år blir funktionsuttrycket f(x) = 220 000 – 0,1x.

Clara: Förändringsfaktorn är 0,9.

Funktionsuttrycket blir y = 220 000 · 0,9x.

3 Aileya och Melvin läser i tidningen att ett företag med 400 anställda behöver anställa 50 personer det närmaste året.

Aileya: Så bra! Om det fortsätter på samma sätt har företaget blivit dubbelt så stort om 8 år.

Melvin: Nej, om företaget fortsätter att växa i samma takt kan det vara dubbelt så stort redan om 6 år.

Vem har rätt? Hur kan de ha tänkt?

248

FUNKTIONER u UPPSLAGET

3 Under en fotbollsmatch måste en fullsatt läktare evakueras på grund av bengalbränning. Grafen visar hur antalet personer på läktaren minskar. Om läktaren fortsätter att tömmas i samma takt, hur lång tid tar det då innan läktaren är tom?

st 3 000 2 000 1 000

Antal

Tid 2 4 6 8 10 min

Matematik i användning

Modellering 1 Mattias inventerar ett område för att bestämma hur vanlig en viss växt är. Han lägger ut en provruta och räknar alla plantor av den arten i det området. Han hittar 22 exemplar. Efter 1 år gör han om inventeringen och finner då 26 exemplar i samma ruta. Hur många exemplar borde han finna efter ytterligare 4 år?

2 Vid arkeologiska utgrävningar hittar man ibland skelett. Genom att mäta längden av skelettets lårben kan forskare uppskatta den avlidna personens kroppslängd. Åke och Lisa utbildar sig till arkeologer och hittar en tabell som visar längden av en mans lårben och mannens längd.

Lårbenets längd (cm)

Kroppslängd (cm)

43,0

162,0

45,0

167,4

46,5

171,5

47,0

172,8

a) Åke säger att sambandet mellan kroppslängd och lårbenets längd är en proportionalitet. Lisa säger att sambandet är linjärt men inte en proportionalitet. Har någon av dem rätt? b) Vid en utgrävning hittar Lisa ett lårben som är 46,0 cm. Ungefär hur lång borde mannen ha varit?

Det finns klockor som kan mäta din puls, dina steg och hur långt du går på en dag. Ofta räcker det att du skriver in din längd, så kan klockan utifrån antalet steg du tar beräkna hur långt du har gått. Då utnyttjar klockan att det finns ett samband mellan kroppslängd och steglängd.

6

I diagrammet här nedanför kan du se sambandet mellan steglängd och kroppslängd. cm

Steglängd

80 70 60 Kroppslängd 150

160

170

180

190

cm

uu Vilken är din steglängd enligt

diagrammet? uu Hur långt har du gått om du har tagit

651 steg? uu Klockan kan räkna ut hur långt du har gått Relevans eftersom den vet din kroppslängd och

I Matematik i användning får hur många steg du har tagit. Hur ser eleverna se konkreta exemformeln ut som klockan använder? pel på hur matematiken används i samhället.

FUNKTIONER u UPPSLAGET

249

Koll på kapitlet Du ska kunna

2.1 Positionssystemet

Tu se H nta un l d Ti rat ot al a En l ta l

Ti on d H el un dr Tu ad se el nd el

s. 24–34

använda begrepp som till exempel hundratal, tiondelar och tusendelar

2

Själv­ skattning

Exempel

5387,625

göra beräkningar med tal i decimalform

5 hundradelar + 27 tusendelar = 0,05 + 0,027 = 0,077

multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000

10,89 0,307 · 10 = 3,07 ​ ______ ​ = 0,1089 100

använda avrundnings­ reglerna

4 3 2 1 0

9 8 7 6 5

göra överslagsberäkningar

2.2 Bråk

Talet 125,349 avrundat till en decimal: 125,3 Eftersom 3:an följs av 4 avrundar vi nedåt

1 288 + 407 ≈ 1 300 + 400 = 1 700

s. 35–42

använda och tolka tal i bråkform

Tal i bråkform beskriver ofta andelar:

7 Sju av lagets tolv spelare är under 18 år, dvs. ___ ​ ​ av laget är under 12 18 år.

Ett bråk är också ett tal och kan placeras på en tallinje.

3 __ ​ ​ 5

0

0,5

1

Genom att förlänga och förkorta kan vi skriva samma tal med olika bråk.

1 Vi förlänger __ ​ ​ med 4: 2 1 ____ 1 ∙ 4 __ 4 __ ​ ​ = ​ ​ = ​ ​ 2 2∙4 8 70 Vi förkortar ​ ____ ​ med 10: 100 70 _______ 70/10 ___ 7 ____ ​ ​ = ​ ​ = ​ ​ 100 100/10 10 använda begreppet förhållande

8

Sammanfattning

I Koll på kapitlet sammanfattar vi innehållet i kapitlet utifrån de lärandemål som vi formulerade i inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.

3

Längden av sträckorna förhåller sig som 8:3.

250

TAL I VARDAG OCH YRKESLIV u KOLL PÅ KAPITLET

Kan inte

Känner mig ganska säker

Känner igen men behöver repetera

Är helt säker

Samhälle & yrkesliv

Matematiska modeller Matematiska samband Vi kan använda matematiska funktioner för att beskriva saker i vår omvärld. Det kallas för att använda matematiska modeller. Med modellernas hjälp kan vi förutspå hur ett företags vinster kommer att förändras med tiden, visa hur antalet bakterier växer i livsmedel eller beskriva sambandet mellan fetma och högt blodtryck.

Simuleringar Matematiska modeller kan också användas för att göra simuleringar.

Då visar man ett verkligt förlopp virtuellt på en dator. I den virtuella miljön kan man enkelt testa det som är dyrt eller tidskrävande att testa i verkligheten. Man kan till exempel undersöka vad som händer med en människa i en bilkrock, utan att behöva göra ett enda krocktest.

I den matematiska modellen kan man enkeltSamhälle göra om försöket, och och yrkesliv testa vad som händer om man t.ex. ändrar bilens hastighet.

I avsnittet Samhälle och

yrkesliv sätter vi matematiken

Matematik i stället för djurförsöki ett historiskt eller samhälleligt sammanhang och lyfter

?

Ge exempel på när man kan ha nytta av att använda matematiska modeller.

De senaste åren har liknande simuleringar börjat användas i stället fram hur den används i för djurförsök. Tekniken har bland annat använts i forskning om nya yrkeslivet. cancerbehandlingar.

En vanlig behandling mot cancer är cellgifter. Cellgifterna påverkar inte bara tumörernas celler, utan också kroppens alla friska celler. Om en patient får för stor dos cellgift, kan patienten drabbas av hemska biverkningar. Därför är det viktigt att patienten får precis rätt dos cellgift.

Forskare vid Uppsala universitet har skapat en matematisk modell som beskriver hur kroppens celler reagerar på cellgift. Med hjälp av formlerna kan forskarna simulera vad som händer med kroppens friska celler om de ökar eller minskar dosen. På så sätt kan de hitta den optimala dosen cellgift, utan att behöva göra tester på ett djur eller på en människa.

Försök med matematiska modeller är billigare och tar kortare tid, än att göra motsvarande studier på djur. Men de nya metoderna erbjuder också helt nya möjligheter. Genom att mata in information om en patient, till exempel vikt, längd eller ålder, i den matematiska modellen, tror forskare att man i framtiden kommer att kunna skräddarsy läkemedel efter varje persons individuella behov.

FUNKTIONER u SAMHÄLLE OCH YRKESLIV

251

6

&

Blandade uppgifter 8 Du spelar roulett och satsar på ett och samma

Nivå 1 1 Av 3 000 bilförare som passerade en

kontrollstation saknade 143 förare bilbälte.

Hur stor är sannolikheten att en slumpvis utvald bilförare saknar bilbälte enligt undersökningen?

nummer hela tiden. Efter att du har förlorat tre gånger i rad satsar du en fjärde gång. Nu är chansen att du vinner A högre än tidigare B lägre än tidigare

C samma som tidigare Blandade uppgifter

2 Ett kort dras slumpmässigt ur en vanlig I Blandade uppgifter finns 9 Vilken till är komplementhändelsen till en trea kortlek. Hur stor är sannolikheten attextra det övningsuppgifter är

när öva man kastar en tärning? kapitlet. Här får eleverna på samtliga begrepp och metoder i kapitlet, utan 10 Frida kastar en tändsticksask rakt upp i luften 3 Hur stor är sannolikheten att en slumpmäsnågon inbördes ordning. en hjärter?

5

«

sigt vald person

a) är född på en söndag b) är född på en måndag, tisdag eller onsdag

200 gånger och noterar att den landar stående på högkant 23 gånger. Ungefär hur stor är sannolikheten att tändsticksasken inte hamnar på högkant efter landningen?

4 I en besticklåda finns 5 gafflar, 3 skedar och

7 knivar. Hur stor är sannolikheten att du får upp en gaffel när du slumpmässigt väljer ett bestick? Svara i bråkform.

5 Om sannolikheten att göra mål på straff i

fotboll är 80 %, hur många mål borde man då göra på 300 straffar?

6 Använd träddiagrammet och svara på frågorna.

0,3

0,6 A

0,2 B

med 14 pojkar och 11 flickor. Två elever, en pojke och en flicka, ska få åka till London.

0,8

C

D

a) Hur stor är sannolikheten för händelse A? b) Hur stor är sannolikheten för att antingen händelse C eller D inträffar?

7 I en studie undersökte forskare risken för att

drabbas av en ärftlig sjukdom. Man fann att P(sjuk) = 0,003. Förklara vad det betyder.

199

är 0,35. Hur stor är sannolikheten att det är grönt ljus två gånger i rad?

12 Timmo går i en klass

0,7

0,4

11 Sannolikheten för grönt ljus vid ett trafikljus

SANNOLIKHETSLÄRA u BLANDADE UPPGIFTER

a) Hur stor är sannolikheten att Timmo får åka? b) Har man större chans att få åka om man är flicka än om man är pojke?

Motivera ditt svar.

Kapiteltest Del 1 1 Du har talet 37 561. Om du låter

­hundratalssiffran och tusentalssiffran byta plats får du talet 1

37 651

X 2

73 561

35 761

5 6

6 7

6 Jämför talen ​​ __ ​​ och ​​ __ ​​ . Vilket alternativ är

rätt?

5 6 1 ​​ __ ​​ är större än ​​ __ ​​

6 7 5 6 X ​​ __ ​​ är mindre än ​​ __ ​​ 6 7 5 6 2 ​​ __ ​​ är lika med ​​ __ ​​ 6 7

2 Avrunda 0,4269 till hundradelar.

1

0,427

X 0,400 2

0,43

7 En ny förskola köper in uteleksaker för

8 914 kr, spel och pussel för 3 876 kr och pysselmaterial för 3 016 kr. Gör en överslagsberäkning och beräkna den totala kostnaden.

1

3 Beräkna 0,57 – 0,3 1

0,54

14 000 kr

X 2

15 000 kr

16 000 kr

X 0,27 2

0,24

8 Jämför talen 0,000 47 och 4,7 · 10–3. Vilket

alternativ är rätt?

9 4 Vilket av följande tal är inte lika med ​ ___ ​ ?

24 3 1 ​ __ ​ 8 18 X ​ ___ ​ 48 4 2 ​ ___ ​ 12 Kapiteltest

Sist i varje kapitel ligger ett knyter an till lärande12 test, som 5 Beräkna ​ ___ ​ +målen 5 · 23i kapitlets inledning. Det 3 ger eleverna möjlighet att själva 1 44 kontrollera sina kunskaper.

Testet är indelat i två delar: X 72 en del med flervalsfrågor och en 2 1 004 del där eleverna ska redovisa sina lösningar.

1

0,000 47 är större än 4,7 · 10–3

X 2

0,000 47 är mindre än 4,7 · 10–3

Talen är lika stora

9 Vilket alternativ är lika mycket som 12 000 kJ? 1

12 MJ

X 2

1 200 MJ

12 000 000 MJ

10 Vilket alternativ är lika mycket som 0,022 m?

1

0,000 22 km

X 2

22 mm

2 200 µm

TAL I VARDAG OCH YRKESLIV u KAPITELTEST

62

2

1a Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikations­uppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Natur­vetenskapsprogrammet och Tekniska programmet

ISBN 978-91-523-6076-7