9789152360521

matematik

Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö

2b

matematik

Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö

2b

SANOMA UTBILDNING

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm www.sanomautbildning.se info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Lena Bjessmo, Emelie Reuterswärd, Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Magnus Hesselroth Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson.

Matematik Origo 2b ISBN 978-91-523-6052-1 © 2022 Attila Szabo, Niclas Larson, Daniel Dufåker, Roger Fermsjö, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för ­utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet ­hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Balto Print, Litauen 2022

Till läsaren Matematik Origo 2b är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 2b på Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet eller Estetiska programmet. Boken är helt ­anpassad efter den reviderade ämnesplanen 2021. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. u Matematik Origo 2b är indelad i sex kapitel. Varje

kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem. u Varje teorigenomgång följs av lösta Exempel

som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra. u Till varje avsnitt finns uppgifter av olika karaktär på

tre nivåer. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk ­diskussion.

Dessa är markerade med en tonad ruta . u Efter varje delkapitel kommer Resonemang och

begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamrater och din lärare utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik.

u I slutet av varje kapitel finner du Uppslaget.

Där finns uppgifter som ger möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering.

I Undersök finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter. Där får du träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt. I Rätt eller fel? får du tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp. u I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om ­Historia

som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. u Tankekartan visar hur de olika matematiska

begreppen hänger ihop och kan ses som en ­sammanfattning av kapitlet. u I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre

nivåer. Uppgifterna behandlar moment både från det innevarande och de föregående kapitlen.

Det ger dig möjlighet att kontinuerligt befästa dina kunskaper. u Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest. Där har

du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper.

Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan digitalt verktyg och en del där du får använda ett digitalt verktyg.

Lycka till med dina matematikstudier!

Författarna

Innehåll 1 Räta linjer och

­ekvationssystem

6

1.1 Räta linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Räta linjens ekvation i k-form 8 Räta linjens ekvation i allmän form 13

1.2 Ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Grafisk lösning av linjära ekvationssystem 17 Substitutionsmetoden 23 Additionsmetoden 29 Problemlösning med hjälp av ekvationssystem 34

Historia: Att lösa ekvationssystem. . . . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Algebra och

­andragradsekvationer

37 38 40 41 44

46

2.1 Algebraiska uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Multiplicera och faktorisera algebraiska uttryck 48 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln 53 Faktorisering av uttryck 57

2.2 Enkla andragradsekvationer. . . . . . . . . . . . . 60 Ekvationer av typen x2 = a 60 Att lösa andragradsekvationer med faktorisering 63

2.3 Fullständiga andragradsekvationer. . . . 66 Kvadratkomplettering 66 Lösningsformel för andragradsekvationer 70 Antal lösningar till en andragradsekvation 75 Problemlösning med andragradsekvationer 77

Historia: Ekvationer av högre grad. . . . . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 82 84 85 88

3 Andragradsfunktioner

90

3.1 Andragradsfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Funktioner 92 Grafen till en andragradsfunktion 97 Andragradsekvationer och andragradsfunktioner 104 Andragradsfunktioner och modellering 110

3.2 Andragradsfunktioner och grafritande hjälpmedel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Andragradsekvationer och olikheter 117 Problemlösning med grafritande hjälpmedel 122

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Historia: Räknehjälpmedel. . . . . . . . . . . . . . 130 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Blandade uppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4 Geometri och bevis

140

4.1 Matematisk bevisföring. . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Olika slags vinklar 142 Vinklar i trianglar och månghörningar 146 Implikation och ekvivalens 150 Satser och bevis 155 Pythagoras sats 161 Koordinatgeometri 164

4.2 Klassiska satser om trianglar. . . . . . . . . . . 167 Likformiga månghörningar 167 Likformiga trianglar 169 Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen 173 Satser om kongruens 178

4.3 Klassiska satser om cirkeln. . . . . . . . . . . . . 183 Satser om vinklar i cirkeln 183 Kordasatsen och vinklar i inskrivna fyrhörningar 189

Historia: Euklidisk geometri.. . . . . . . . . . . . 193 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Blandade uppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5 Logaritmer

204

5.1 Exponentialekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Exponential- och potensekvationer 206 Tiologaritmer 212 Exponentialekvationer och tiologaritmer 217

5.2 Logaritmlagar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Räkneregler för logaritmer 221 Tillämpningar av logaritmer 225

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Historia: Från logaritmtabell till räknesticka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Blandade uppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6 Statistik

242

6.1 Sammanställa och bearbeta data. . . . . 244 Lägesmått 244 Spridningsmått 249 Statistik med digitala verktyg 255 Standardavvikelse 260 Normalfördelning 265

6.2 Statistiska samband.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Linjär regression 273 Olika regressionsmodeller 280

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Historia: Normalfördelning som modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Blandade uppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Facit

298

Register

334

1

Räta linjer och ekvationssystem

Delkapitel 1.1 Räta linjens ekvation 1.2 Ekvationssystem

Förkunskaper ■ Ekvationslösning ■ Räta linjens ekvation

Centralt innehåll ■ Begreppet linjärt ekvations-­

system. Metoder för att lösa linjära ­ekvationssystem.

6

I

bland kommer rapporter om att en asteroid riskerar att kollidera med jorden. Forskare kan finna modeller för jordens och asteroidens rörelsebanor genom att beskriva dem med ekvationer. Varje punkt i respektive bana är en lösning till den ekvationen och om det finns någon punkt som löser båda ekvationerna, skär banorna varandra i den punkten. Om banorna dessutom skär varandra vid samma tidpunkt är katastrofen ett faktum.

Att hitta en gemensam lösning till två ekvationer kallas att lösa ett ekvationssystem. Ett exempel från vardagen kan uppkomma vid val av elavtal. Ett sätt att jämföra två olika avtal är att ställa upp ekvationer som beskriver kostnaden vid förbrukning av ett visst antal kilowattimmar. För att se vid vilken förbrukning de båda avtalen ger samma kostnad, kan man lösa ekvationssystemet där de tillhörande ekvationerna ingår och därefter avgöra vilket avtal som är bäst.

När du är klar med kapitlet ska du kunna u bestämma en rät linjes ekvation i k-form och i allmän form u lösa ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder u lösa problem med hjälp av ekvationssystem

Att hyra bil Ekvationerna y = 15x + 300 och y = 11x + 400 beskriver kostnaden att hyra en bil i ett dygn hos biluthyrarna Alfa respektive Beta. Den totala kostnaden y kr beror i båda fallen av antalet körda mil x. u Vilken av biluthyrarna Alfa eller Beta bör man välja om man ska köra

ca 15 mil på ett dygn? u Vilken av biluthyrarna Alfa eller Beta bör man välja om man ska köra

ca 40 mil på ett dygn? u Red ut för vilka körsträckor per dygn som de olika biluthyrarna är billigast.

Nog med information?

Miriam och Samuel är syskon. Vilken information behöver du som minst känna till för att kunna avgöra hur gamla de är? Välj bland påståendena här nedanför.

A Miriam och Samuel är tillsammans 21 år.

B Miriam är sju år äldre än Samuel.

C Samuel är sju år yngre än Miriam.

D Miriam är dubbelt så gammal som Samuel.

7

1.1 Räta linjens ekvation Räta linjens ekvation i k-form Räta linjer behandlade vi utförligt redan i gymnasiets första matematikkurs.

Vi visade då att varje ekvation i formen y = kx + m motsvarar en rät linje i ett koordinatsystem. Ett exempel på en sådan ekvation är y = 3x + 4, där k = 3 och m = 4.

Från ekvation till graf När x = 0 är y = k ∙ 0 + m = m.

Linjens konstantterm m anger alltså alltid skärningen med y-axeln.

1

Om vi vill rita linjen y = 3x + 4 i ett koordinatsystem, räcker det att vi känner till två punkter på linjen. Sätter vi in x = 0 i ekvationen, får vi y=3∙0+4=4 Linjen skär alltså y-axeln vid y = 4, dvs. i punkten med koordinaterna (0, 4).

För att bestämma ytterligare en punkt som ligger på linjen väljer vi ett annat x-värde än 0 och räknar ut motsvarande y-värde. För x = 2 får vi y = 3 ∙ 2 + 4 = 10 y

Linjen går alltså även genom punkten med koordinaterna (2, 10).

Talparen (0, 4) och (2, 10) utgör alltså var sin lösning till ekvationen y = 3x + 4. Vi markerar punkterna med koordinaterna (0, 4) och (2, 10) i ett koordinatsystem och drar en rät linje genom dem. Den räta linjen består av oändligt många talpar (x, y), som alla är lösningar till ekvationen y = 3x + 4.

Från graf till ekvation

Om vi i stället har en rät linje i ett koordinatsystem och vill bestämma linjens ekvation, kan vi börja med att markera två punkter på linjen. I exemplet till höger väljer vi (x1, y1) = (3, 5) och (x2 , y2) = (9, 1).

Med hjälp av punkternas koordinater bestämmer vi linjens riktningskoefficient, k.

x

y

1

x 1

∆y y2 – y1 _____ 1 – 5 ___ –4 2 ​ ​ = ______ ​ ​ = ​ ​ = ​​ ​​ = –​ __ ​ k = ___ ∆x x2 – x1 9 – 3 6 3 Om x-värdet ökar med 3, så minskar y-värdet med 2

I grafen kan vi avläsa att den räta linjen skär y-axeln i punkten med koordinaterna (0, 7). Det ger att m = 7. Ekvationen för den räta linjen blir alltså 2 y = –​ __ ​ x + 7 3

8

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

k-form

2 Ekvationerna y = 3x + 4 och y = –​ __ ​ x + 7 är skrivna i formen y = kx + m, 3 så kallad k-form. Det är ett vanligt sätt att ange ekvationen för en linje.

Räta linjens ekvation i k-form u Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens

ekvation i k-form. u Riktningskoefficienten k anger linjens lutning (riktning) i förhål-

lande till x-axeln. Värdet av m anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln. u Riktningskoefficienten för en linje genom två olika punkter med

koordinaterna (x1, y1) och (x2, y2) är ∆y y2 – y1 k = ___ ​ ​ = ______ ​ ​ ∆x x2 – x1

Exempel: I figuren är en rät linje ritad. Bestäm linjens ekvation.

Lösning: Linjen skär y-axeln för y = 5. Det ger att m = 5 i ekvationen y = kx + m.

Vi bestämmer riktningskoefficienten k genom att välja två punkter på ­linjen, t.ex. skärningspunkten med y-axeln (0, 5) och punkten med ­koordinaterna (3, –1), och beräkna

1

y

1

x 1

∆y y2 – y1 ______ –1 – 5 ___ –6 k = ___ ​ ​ = ______ ​ ​ = ​ ​ = ​​ ​​ = –2 ∆x x2 – x1 3 – 0 3 Svar: Ekvationen för linjen är y = –2x + 5.

Exempel: Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med ­koordinaterna (1; 3,5) och (4; 12,5).

Lösning: Linjen går genom punkterna (1; 3,5) och (4; 12,5). Vi använder punkternas koordinater för att bestämma linjens riktningskoefficient. ∆y y2 – y1 _________ 12,5 – 3,5 __ 9 ​ ​ = ______ ​ ​ = ​ ​

= ​ ​ = 3 k = ___ ∆x x2 – x1 4–1 3 Vi sätter in värdet på riktningskoefficienten tillsammans med koordinaterna för en av de givna punkterna i räta linjens ekvation.

3,5 = 3 ∙ 1 + m

Vi sätter in koordinaterna x = 1 och y = 3,5

m = 3,5 – 3 = 0,5 Svar: Ekvationen för den räta linjen är y = 3x + 0,5.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

9

4 Exempel: Rita linjen y = –​ __ ​ x – 1 i ett koordinatsystem.

3 Lösning: Metod 1: Utan värdetabell Av ekvationen ser vi att m = –1. Alltså skär linjen y-axeln i punkten med koordinaterna (0, –1).

Vi markerar den punkten i koordinatsystemet.

y

1

Riktningskoefficienten ges av

x 1 ∆x = 3

∆y 4 ​ ​ = –​ __ ​ k = ___ ∆x 3

∆y = –4

Det betyder att om vi utgår från (0, –1) och tar tre steg åt höger i x-led (∆x = 3), så behöver vi gå fyra steg nedåt (∆y = –4) för att åter nå en punkt på linjen. Vi markerar den punkten. Nu kan vi rita den räta linjen med hjälp av de två punkterna.

1

Metod 2: Med värdetabell

Vi gör en värdetabell: 4 ​ ​ ∙ 0 – 1 = –1 x = 0 ger y = – __ 3

4 x = 3 ger y = – __ ​ ​ ∙ 3 – 1 = –5 3

y

x

y

0

–1

3

–5

6

–9

1

x 1

4 x = 6 ger y = – __ ​ ​ ∙ 6 – 1 = –9 3 Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och drar en rät linje genom dem.

Nivå 1

1102 Bestäm ekvationen för den räta linjen. a)

1101 I koordinatsystemet är en rät linje ritad.

Den räta linjen kan beskrivas med en ekvation i formen y = kx + m. a) Bestäm värdet av konstanten m.

y

y x

1 1 1

x 1

b)

y

b) Bestäm riktningskoefficienten k. c) Ange linjens ekvation.

x

1 1

10

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

Nivå 2

1103 Rita följande linjer i ett koordinatsystem. a) y = x + 2

1111 Tabellen visar vilken skostorlek som passar

b) y = –2x + 3

respektive fotlängd.

1 c) y = __ ​ ​ x – 3 2

1104 Ge exempel på ett talpar x och y som är en lösning till ekvationen y = 3x – 4.

1105 Ligger punkten med koordinaterna (–2, 6)

på den räta linje som beskrivs av ekvationen y = –3x + 1?

1106 En rät linje med riktningskoefficienten

k = 3 går genom punkten med koordinaterna (1, 4). Bestäm linjens ekvation.

1107 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna a) (1, 3) och (3, 7)

x 2 med koordinaterna (2, 4). Ange ekvationen för en annan rät linje som går genom samma punkt.

1108 Den räta linjen y = __ ​ ​+ 3 går genom punkten

linjen med ekvationen y = 2x + 7. Bestäm b.

1110 Vi har ekvationen y = –2x + 5. a) Bestäm det värde på x som löser ­ekvationen om y = –3. b) Bestäm ytterligare en lösning till ­ekvationen.

Skostorlek

22,8

36

23,6

37

24,4

38

25,2

39

26,0

40

26,8

41

27,6

42

a) Ange en ekvation y = kx + m som beskriver hur skostorleken y beror av fotlängden x cm. b) Använd din ekvation och bestäm sko­stor­ leken för en person som fotlängden 20,4 cm. c) Använd din ekvation och bestäm fotlängden för en person som har storlek 47.

b) (–1, –2) och (1, 3)

1109 Punkten med koordinaterna (2, b) ligger på

Fotlängd (cm)

2 3 a) Bestäm värdet på x som löser ekvationen 1 om y = __ ​ ​ 4 b) Bestäm ytterligare en lösning till ekvationen där ett av talen är ett bråk.

1112 Givet ekvationen y + __ ​ ​ x = 6

1113 En ekvation i formen y = kx + m har en ­lösning x = 3 och y = –2.

a) Bestäm en ekvation som har dessa värden som en lösning. b) Bestäm ytterligare en ekvation som har dessa värden som en lösning.

1114 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna a) (–2, –1) och (1, –2) b) (1; 2,5) och (5; 6,5)

( ) ( )

1 1 c) ​ 1, ​ __ ​ ​ och ​ 4, ​ __ ​ ​ 3 2

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

11

1

1115 Cecil har hittat olika recept för kanelbullar

och har lagt märke till att mängden mjöl kan anges både i deciliter och i gram.

1 Cecil mäter upp __ ​​ ​​ kg mjöl och noterar att 2 det motsvarar ca 8 dl. Han mäter sedan hela mjölpaketet på 2 kg och finner att det rymmer ca 33 dl.

1116 Figuren här nedanför visar en rät linje som

går genom punkten B = (–3, 4). Linjen skär den positiva y-axeln i punkten A. y

A

Han sammanfattar i en värdetabell. x (g)

y (dl)

500

8

2 000

33

Cecil använder sedan värdetabellen för att hitta ett samband mellan vikt och volym för mjöl. Han prickar in värdena som två punkter i ett koordinatsystem och drar en rät linje genom dem

1

a) Använd värdena i tabellen och bestäm ekvationen för Cecils linje. Svara exakt i formen y = kx + m. b) Använd ekvationen i uppgift a) och beräkna hur många deciliter 200 g mjöl motsvarar.

B

x

Avståndet mellan origo och punkten A är dubbelt så stort som avståndet mellan origo och punkten B. Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna A och B.

1117 En rät linje med riktningskoefficienten 3 går

genom punkterna med koordinaterna (a, –3) och (5, a). Bestäm linjens ekvation.

1118 En rät linje med ekvationen y = 2x går

genom punkten A som har x-koordi­naten a.

Triangeln i figuren har ett hörn i origo, ett hörn på x-axeln och det tredje hörnet vinkelrätt upp från x-axeln i punkten A.

c) Använd ekvationen i uppgift a) och beräkna hur många gram 10 dl mjöl motsvarar.

För vilket värde på a har triangeln arean 10 a.e.? Svara exakt.

d) Det finns en brist i Cecils samband. Ge ett exempel på en vikt x g där Cecils samband inte gäller. Motivera ditt svar.

y A

x

1 1

Nivå 3 1119 Visa att ekvationen för en rät linje med rikt-

ningskoefficienten k, som går genom punkten med koordinaterna (x1, y1), kan skrivas i så kallad enpunktsform: y – y1 = k(x – x1)

12

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation i allmän form

Horisontella linjer

Figuren här nedanför visar två räta linjer som är parallella med koordinat­ axlarna. Den horisontella röda linjen har riktningskoefficienten 0 och linjens ekvation är alltså y

y = 0 ∙ x + 3 dvs. y = 3

y-koordinaten är 3 för alla punkter på linjen x

1 x-koordinaten är –2 för alla punkter på linjen

Vertikala linjer

Allmän form

1

Den vertikala blå linjen kan däremot inte beskrivas med en ekvation i formen y = kx + m. Räta linjer som är parallella med y-axeln beskrivs med en ekvation av formen x = a där a är en konstant. Exempelvis kan den blå linjen beskrivas med ekvationen x = –2.

Vertikala linjer kan alltså inte skrivas i k-form. Men alla räta linjer kan ­skrivas i allmän form ax + by + c = 0

Det är vanligt att man i den allmänna formen strävar efter att konstanterna a, b och c är heltal

Till exempel kan ekvationen y = 2x – 3 skrivas i allmän form enligt –2x + y + 3 = 0

Här är a = –2, b = 1 och c = 3

Ekvationen x = 7 kan också skrivas i allmän form som x – 7 = 0.

Räta linjens ekvation i allmän form Räta linjens ekvation skrivs i allmän form enligt ax + by + c = 0, där a, b och c är konstanter.

Parallella linjer

Ekvationerna y = 3x – 2 och y = 3x + 4 har båda riktningskoefficienten 3.

Om man ritar linjerna i ett koordinatsystem, så kommer de därför att ha samma lutning (riktning). De är parallella med varandra. Omvänt gäller att om två linjer är parallella, så vet man att de har samma värde på riktnings­ koefficienten. När man vill avgöra om två linjer är parallella är det enklast att beskriva linjerna med ekvationer i k-form.

Parallella linjer För två räta linjer med riktningskoefficienterna k1 och k2 gäller att u om k1 = k2 så är linjerna parallella u om linjerna är parallella så är k1 = k2

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

13

1

Vinkelräta linjer

y L2 1

L1

1 De räta linjerna L1: y = 2x + 1 och L2: y = −​​ __ ​ x​+ 3 är vinkelräta mot varan2 dra. För dessa linjer gäller att k1 · k2 = −1. Produkten av deras riktnings­ koefficienter är alltså −1. Det är ett samband som gäller för alla linjer som är vinkelräta mot varandra. I uppgift 1139 får du härleda detta samband.

x 1

Vinkelräta linjer För två räta linjer med riktningskoefficienterna k1 och k2 gäller att u om k1 · k2 = −1 så är linjerna vinkelräta u om linjerna är vinkelräta så är k1 · k2 = −1

1

Exempel: Ange ekvationen för de räta linjerna i figuren.

Lösning: Samtliga linjer är parallella med någon av koordin­at­axlarna.

y L2

Linje L1 skär y-axeln vid –2,5 och har därför ­ekvationen y = –2,5.

L3 x

1 L1

1

Linje L2 skär x-axeln vid –3 och har därför ­ekvationen x = –3.

Linje L3 skär x-axeln vid 4 och har därför ekvationen x = 4.

Svar: Linjerna har ekvationerna L1: y = –2,5; L2: x = –3 och L3: x = 4.

Exempel: Två räta linjer beskrivs av ekvationerna x – 2y – 6 = 0 och –4x – 2y + 8 = 0 a) Skriv ekvationerna i k-form. b) Avgör om linjerna är vinkelräta.

Lösning: a) Vi löser ut y ur respektive ekvation. x – 2y – 6 = 0 –4x – 2y + 8 = 0 x – 6 = 2y x y = __ ​ ​– 3 2

–4x + 8 = 2y y = –2x + 4

x Svar: I k-form skrivs linjernas ekvationer y = __ ​ ​– 3 och y = –2x + 4 2 b) När ekvationerna står i k-form ser vi att linjernas värden 1 på riktningskoeffieienterna, k1 = __ ​ ​ och k2 = –2, multiplicerat med 2 varandra är –1. Alltså är de vinkelräta.

Svar: Ja, linjerna är vinkelräta.

14

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

Nivå 1

1127 Ange ekvationen för en linje som är parallell med linjen

1120 Bestäm ekvationen för den räta linjen. a)

b)

y

y

x

1

1 a) y = – __ ​ ​ x + 4 3 b) –8x + 2y + 15 = 0

1

1128 Bestäm ekvationen för den räta linje som går

x

1

genom punkten med koordinaterna (1, 3) och är parallell med linjen y = 2x – 3.

1

1129 Ekvationen 2x + 3y + 6 = 0 beskriver en rät linje i ett koordinatsystem. Vilken eller vilka av ekvationerna här nedanför beskriver samma räta linje?

1121 Skriv ekvationerna i k-form. a) 6x + 2y – 12 = 0 b) 2x – 3y + 12 = 0

2 A y = –​ __ ​ x – 2 3 2 B y = __ ​ ​ x – 2 3 2 C y = –​ __ ​ x + 2 3

1122 Skriv ekvationerna i allmän form. a) y = 2x + 4

x b) y = __ ​ ​+ 4 3

1123 Para ihop de linjer som är parallella.

A y = 2x + 5 1 B y = __ ​ ​ x + 2 2 C y = –x – 7

D 4x + 6y + 12 = 0

1 y = –x + 2

1130 En rät linje går genom punkterna (–1, 2)

2 y = 2x – 7

och (1, –2). En annan rät linje har ekvationen y = –2x + 10. Visa att linjerna är parallella.

3 y = 0,5x + 5

1124 Vilken eller vilka av punkterna ligger på ­linjen 5y + 2x – 5 = 0?

A = (0, 1) C = (3, 2)

Nivå 2

( )

1 B = ​ 2, __ ​ ​ ​ 5 D = (–5, 3)

1131 Punkten med koordinaterna (a, 3) ligger på

linjen med ekvationen 3x + y = 9. Bestäm a.

1125 Anton säger att om man vill lösa uppgift 1124 måste man först skriva om ekvationen i k-form. Har Anton rätt? Förklara.

1126 Figuren till höger

visar tre linjer ritade i ett koordinatsystem.

Två av dem är y = 3 och x = 2. Den tredje linjen skär de andra två vid koordinataxlarna.

Bestäm ekvationen för den tredje linjen.

1132 För vilket värde på a gäller att ekvationen ax + 2y + 4 = 0 beskriver en linje som är parallell med linjen y = –2x + 4?

1133 För två linjer som är vinkelräta mot varandra

y

x

så gäller att produkten av deras riktnings­ koefficienter är –1. Ange ekvationen för en 1 linje som är vinkelrät mot linjen y = –​ __ ​ x + 4.

3

1134 Två räta linjer har ekvationerna y = 2x + a

och 2y – x = b, där a och b är konstanter.

Anta att linjerna alltid ska skära ­varandra i en punkt som ligger på linjen y = 3x. Visa vilket samband som då måste gälla mellan a och b.

(Np Ma2b vt 2014)

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

15

1

1135 En rät linje är vinkelrät mot ax + 2y – 6 = 0

och går genom punkten (a, b). Vilket värde har b om linjerna skär y-axeln i samma punkt?

1139 Linjerna L1 och L2 i figuren här nedanför är ritade så att de är vinkelräta mot varandra.

Visa med hjälp av linjerna L1 och L2 att k1 ∙ k2 = –1.

1136 En rät linje skär grafen till exponentialfunk-

y

tionen y = 2x för x = –2 och x = 3.

L1 (a, b)

y

x x

1

Bestäm linjens ekvation. Svara exakt.

(b, –a)

L2

1140 En linje kan beskrivas i k-form och i allmän

Nivå 3 1137 Ekvationerna 2x + y = 7 och 3x + 2y = 12 har en gemensam lösning x och y. Bestäm denna gemensamma lösning till ekvationerna.

1138 Två räta linjer motsvaras av ekvationerna

x = a och y = b, där a och b är konstanter, a < 0 och b > 0. a) Ange koordinaterna för linjernas ­skärningspunkt. b) Ange en ekvation i allmän form för den räta linje som går genom skärningspunkten och origo.

form, men också i så kallad parameterform.

Exempelvis skrivs linjen y = x + 1 i para­ meterform som

{

= t ​​ ​ ​x y = t + 1​ där t är ett reellt tal. a) Ta fram några punkter (x, y) som uppfyller sambanden, genom att välja några olika värden på t, och visa att de alltid hamnar på linjen y = x + 1. b) Ange ekvationen i allmän form för den räta linje som i parameterform skrivs

{

x = t + 2 ​ ​ ​ ​ y = t – 1​ c) En linjes ekvation i allmän form är x + y – 10 = 0. Skriv linjens ekvation i parameterform.

Resonemang och begrepp u Vad menas med att koordinaterna till en punkt (x, y) kan betraktas som en lösning till ekvationer i formen y = kx + m? u Kan man markera samtliga lösningar till ekvationen y = 2x + 1 i ett koordinatsystem?

Motivera ditt svar. u För vilka värden på x kommer det att finnas ett y-värde som tillsammans med x-värdet löser ekvationen 2x – 3y = 5? u Vad är skillnaden mellan räta linjens ekvation i allmän form och i k-form? u Hur kan man gå till väga om man vill bestämma var linjen ax + by + c = 0 skär koordinataxlarna?

16

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.1 Räta linjens ekvation

1.2 Ekvationssystem Grafisk lösning av linjära ekvationssystem Lösningar till ekvationen y = x – 1

Ekvationen y = x – 1 innehåller två obekanta tal, x och y. Om vi till exempel väljer x = 4, så kan vi ta reda på vilket y-värde som tillsammans med x = 4 löser ekvationen. Vi får y=x–1=4–1=3 Med andra ord är talparet x = 4 och y = 3 en lösning till ekvationen.

På liknande sätt kan vi bestämma vilket x-värde som svarar mot ett visst y-värde. Om vi väljer y = 5, får vi 5 = x – 1 som ger att x = 6. Talparet x = 6 och y = 5 är alltså också en lösning till ekvationen. Andra exempel på talpar som är lösningar till ekvationen är x = 2, y = 1 och x = 0, y = –1. y

Vi ser att det till varje värde på x finns ett bestämt värde på y som löser ekvationen. Alla lösningar till ekvationen är alltså par av tal, x och y. Om vi markerar alla sådana lösningar (x, y) som punkter i ett koordinatsystem, bildar de tillsammans en rät linje.

Lösningar till ekvationen 4x + 2y – 10 = 0

x = 4 och y = 3 är en lösning till ekvationen 1

y

På samma sätt beskriver lösningarna (x, y) till ekvationen 4x + 2y – 10 = 0 en rät linje. Den linjen blir lättare att rita om vi först skriver den i k-form:

x

1 1

4x + 2y – 10 = 0 2y = –4x + 10

x

1

Linjen visar alla lösningar till ekvationen y = –2x + 5

y = –2x + 5 Skärningspunkt

Om vi ritar linjerna till ekvationerna y = x – 1 och y = –2x + 5 i samma ­koordinatsystem, så ser vi att ­linjerna skär varandra i punkten med ­koordinaterna (2, 1). Det innebär att talparet x = 2, y = 1 är en ­lösning till båda ekvationerna.

y

x

1 1

x = 2 och y = 1 är en lösning till båda ekvationerna

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

17

1

Ekvationssystem

Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer som man vill bestämma gemensamma lösningar till. För att visa att ekvationerna y = x – 1 och y = –2x + 5 är ett ekvationssystem sammanfogar man dem med en klammer:

{

y=x–1 ​​ ​

y = –2x + 5 ​ ​​Lösningen till ekvationssystemet är det talpar som löser båda ekvationerna. ​ I vårt exempel har vi redan bestämt att lösningen är x = 2 och y = 1.

Lösningen brukar också markeras med klammer:

{

​​ x ​ = 2 ​​​ y = 1​

1

Grafisk lösning

Linjära ekvationssystem

Antal lösningar

Som vi såg på föregående sida kan man lösa ett ekvationssystem med två obekanta genom att rita graferna till ekvationerna i samma koordinatsystem.

Det kallas för att man löser ekvationssystemet grafiskt. Detta kan man göra för hand eller med ett digitalt hjälpmedel. Koordinaterna för grafernas eventuella skärningspunkter ger det eller de talpar som är en gemensam lösning till båda ekvationerna.

De ekvationssystem vi arbetar med i det här kapitlet kallas linjära ekvations­ system, eftersom graferna till ekvationerna är räta linjer.

Ritar man två linjer i ett koordinatsystem, kommer linjerna antingen att skära varandra i en punkt, vara parallella eller ha alla punkter gemensamma.

Ett ekvationssystem kan därför ha en lösning, sakna lösning eller ha oändligt många lösningar. y

y

x

x

En lösning

Saknar lösning

Linjerna har olika k-värden, t.ex.

Linjerna har samma k-värde, men olika m-värden, t.ex.

{

y = 2x – 2 ​ ​

​​ y = –2x + 5​

18

y

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

{

y = 2x – 2 ​ ​ ​​ y = 2x + 1​

x

Oändligt många lösningar

Ekvationerna beskriver samma linje, t.ex.

{

y = 2x + 1 ​ ​

​​ y – 2x – 1 = 0​

Exempel: Lös ekvationssystemet grafiskt, utan digitalt hjälpmedel.

{

–3x + 3y – 3 = 0 ​ ​

​ ​ y = –3x + 5 ​ Lösning: Lösningen till ekvationssystemet är koordinaterna (x, y) till den punkt där linjerna skär varandra.

Vi skriver om den första ekvationen i k-form genom att lösa ut y.

–3x + 3y – 3 = 0

Dividera båda led med 3

–x + y – 1 = 0

Addera x och 1 till båda led

y=x+1 Vi väljer att rita linjerna med hjälp av en värdetabell. x

y=x+1

y = –3x + 5

–1

0

8

0

1

5

2

3

–1

1

Vi markerar punkterna i koordinatsystemet och drar de räta linjerna genom punkterna. Nu kan vi avläsa skärningspunkten till x = 1 och y = 2. y

x

1 1

Vi kontrollerar lösningen genom att sätta in x = 1 och y = 2 i båda ekvationerna.

–3x + 3y – 3 = 0

VL = –3 · 1 + 3 · 2 – 3 = 0 = HL

y = –3x + 5

VL = 2, HL = –3 ∙ 1 + 5 = 2 = VL

Det stämmer!

{

x = 1 Svar: Ekvationssystemet har lösningen ​ ​ ​​ y = 2​

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

19

Exempel: Lös ekvationssystemet med grafritande hjälpmedel.

{

2x + 2y = 1 ​ ​

​​ 4x – 3y = 21​ Lösning: Vi använder GeoGebra. Vi skriver in ekvationerna i inmatningsfältet, en Skärning mellan två objekt och klickar på skäri taget. Sen väljer vi ningspunkten.

1 Koordinaterna för skärningspunkten A ger lösningen x ≈ 3,2 och y ≈ –2,7.

{

x ≈ 3,2 Svar: Ekvationssystemet har lösningen ​ ​

​​ y ≈ –2,7​

NIVÅ 1

1204 Avgör med hjälp av prövning om talparen är lösningar till ekvationssystemet

{

1201 En lösning till ekvationen y = x + 3 är x = 0

2x – y = 3 ​ ​

​​ 2y – 4x + 6 = 0​ a) x = 1, y = –1

1202 Ange tre lösningar till var och en av

b) x = 0, y = –3

och y = 3. Ange ytterligare en lösning till ekvationen.

c) x = 5, y = 7

ekvationerna. a) y = –7x

b) 2x + y = 5

1203 Lös följande ekva-

y

tionssystem med hjälp av figuren.

{ {

y = –x + 3 a) ​ ​ ​

​ y=x+5 ​ y = x – 1 b) ​ ​

​​ y = –x + 3​

20

1205 Avgör om talparen är lösningar till ekvationsy=x+5

y=x–1 x

1 1 y = –x + 3

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

systemet

{

y = 3x + 4 ​ ​ ​ ​ x = –y + 4​ a) x = –2, y = –2 b) x = 1, y = 2 c) x = 0, y = 4

1206 Lös ekvationssystemet

{

y = 3x ​ ​ ​​ y = –x + 4​ grafiskt genom att a) för hand rita de linjer som ekvationerna beskriver b) därefter läsa av skärningspunkten c) och ange ekvationssystemets lösning

1207 Lös ekvationssystemet

{

3x + 2y – 5 = 0 ​ ​

​ ​ x–y–5=0 ​ grafiskt genom att a) först skriva om ekvationerna i k-form b) för hand rita de linjer som ekvationerna beskriver c) sedan läsa av skärningspunkten d) och ange ekvationssystemets lösning

1208 Lös ekvationssystemen grafiskt, utan att använda digitalt hjälpmedel.

{ { {

y = 2x a) ​ ​ ​​ y = –x + 3​ y=x+1 b) ​ ​ ​​ y = 3x – 5​ y=x–4 c) ​ ​ ​​ y = 5x + 4​

1209 Lös ekvationssystemen med digitalt ­hjälpmedel.

{ {

21x – 12y = 14 a) ​ ​

​ ​ 4x + 3y = 13 ​ 5x + 20y = 8 b) ​ ​

​ ​ x – 6y = 80 ​

1210 Bestäm den gemensamma lösningen till ekvationerna y = –5x och x = 3y.

1211 Rita i ett koordinatsystem två räta linjer vars ekvationer tillsammans utgör ett ekvationssystem med lösningen

{

= 2 ​ ​x ​​ y = 5​

1212 Bestäm med hjälp av

y

figuren antalet lösningar till ekvationssystemen.

x

1 1

{ {

y = –1,5x + 1 a) ​ ​

​ ​ y = 0,5x – 2 ​ y = 0,5x – 2 b) ​ ​ ​

​ 2y = x + 6 ​

{ y = 2x + 3​

1213 Avgör om ekvationssystemet ​ ​

​ y = x ​ har noll, en eller ett oändligt antal lösningar.

1214 Med hjälp av en figur kan man grafiskt bestämma lösningen till ett ekvations­ system.

y

x

1 1

a) Vilken lösning har ekvations­ systemet? b) Vilket är ekvationssystemet?

1215 Bestäm antalet lösningar till följande ekvationssystem.

{ { {

2y – 4x – 6 = 0 a) ​ ​

​ ​ y = 2x – 1 ​ 3x – 3y – 3 = 0 b) ​ ​

​ ​ 2x – 3 = y ​ 3x – 2y + 4 = 0 c) ​ ​ ​​ 6x – 4y + 8 = 0​

1216 Här är prisförslag från två olika elbolag. Båda

förslagen består av en fast kostnad och en rörlig kostnad. Den totala kostnaden per månad är y kr, vid förbrukningen x kWh. Nordkraft: y = 39 + 0,62x Kraftkompaniet: y = 49 + 0,54x

a) Vad står talen 39 och 0,62 för i formeln för Nordkraft? b) Vid vilken månadsförbrukning i kWh är den totala kostnaden lika för de två avtalen? c) Vilket elbolag ska man välja om man förbrukar mer el än i svaret till b)?

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

21

1

NIVÅ 2

1219 Lilly ska hyra bil och tvekar mellan två olika

1217 Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon vill ha 5 hg godis och skickar med honom 30 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 7,90 kr/hg och det billigare 4,90 kr/hg. Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor? Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp ekvationssystemet:

{

x+y=5 ​ ​

​​ 4,90x + 7,90y = 30​

1

a) Förklara vad x och y betyder i ekvations­ systemet. b) Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen beskriver. c) Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan.

(Np MaB vt 2005)

1218 Bestäm konstanten k så att ekvations­ systemet

{

y = kx + 7 ​ ​

​​ 2y – 3x + 2 = 0​ a) har en lösning b) saknar lösning

22

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

bilar. Den svarta bilen kostar 384 kr/dygn att hyra och uppskattad bränslekostnad är 113 kr per 100 km. Den grå bilen kostar 480 kr/dygn och uppskattad bränslekostnad är 86 kr per 100 km. Vilken bil bör Lilly välja, om det är priset som avgör?

NIVÅ 3 1220 Ange värden på konstanterna a och b så att ekvationssystemet

{

3y = ax + 3 ​ ​ ​ ​ 2y = 3x + b​ får oändligt många lösningar.

1221 Beskriv hur värdet av konstanterna a och b påverkar antalet lösningar till ekvations­ systemet

{

2y = x + b ​ ​ ​ ​ y = ax + b​

1222 Här ser du ett ekvationssystem som inte är linjärt.

{

y = 2x2 + 3 ​ ​

​​ –8x + 2y – 3 = 0​ Lös ekvationssystemet.

Substitutionsmetoden I förra avsnittet presenterade vi en grafisk metod för att lösa linjära ekvations­system. Ritar man för hand kan det ibland vara svårt att läsa av den exakta lösningen. Grafritande hjälpmedel ger däremot ofta exakta lösningar eller mycket bra närmevärden. En annan ­möjlighet att lösa ett ekvations­system exakt är att använda algebraiska ­lösningsmetoder.

Algebraisk lösning

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden och additionsmetoden är två algebraiska metoder för att lösa ekvationssystem. I det här avsnittet kommer vi att beskriva substitutions­metoden och i nästa avsnitt tar vi upp additionsmetoden.

Vi visar hur man använder substitutionsmetoden för att lösa ekvations­ systemet

{

y = 9 – 2x (1) ​ ​

​ ​ ​ ​ 3x – 2y = 3​ (2)

ordboken

Vi har numrerat ekvationerna, (1) och (2), för att lättare kunna hänvisa till dem i lösningen.

Att substituera betyder att ersätta eller byta ut.

Jämför med engelskans substitute.

I den första ekvationen ser vi att y är lika med 9 – 2x. Det betyder att vi kan ersätta y i ekvation (2) med detta uttryck. Då får vi en ekvation med bara en obekant, som vi kan lösa på vanligt sätt.

3x – 2y = 3

Ekvation (2)

3x – 2(9 – 2x) = 3

Vi ersätter y i ekvation (2) med uttrycket 9 – 2x

3x – 18 + 4x = 3 7x – 18 = 3 7x = 21 x = 3

Nu har vi x-värdet

Nu vet vi värdet på x. Genom att sätta in x = 3 i någon av ekvationerna kan vi finna y-värdet. Vi väljer ekvation (1): y = 9 – 2x = 9 – 2 ∙ 3 = 3 Lösningen till ekvationssystemet är alltså

{

= 3 ​ ​x ​​ y = 3​ Den bärande idén i substitutionsmetoden är alltså att byta ut den ena obekanta i en av ekvationerna, så att den ekvationen bara innehåller en obekant.

Prövning

Lösningen kan prövas genom att sätta in x = 3 och y = 3 i båda ekvationerna.

Ekvation (1): VL = 3, HL = 9 – 2 ∙ 3 = VL Ekvation (2): VL = 3 ∙ 3 – 2 ∙ 3 = 3 = HL Lösningen stämmer!

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

23

1

Vi sammanfattar substitutionsmetoden: 1. Lös ut en av de obekanta ur någon av ekvationerna. Ibland är en av de

obekanta redan ensam i det ena ledet.

2. Ersätt den obekanta i den andra ekvationen med det uttryck som

du fick i punkt 1. Då får du en ekvation med bara en obekant.

3. Lös ekvationen du fick i punkt 2. På det sättet får du värdet på den ena

obekanta.

4. Sätt in värdet du fick fram i punkt 3 i valfri ekvation för att finna värdet på

den andra obekanta.

I vårt exempel på föregående sida stod en av de obekanta (y) ensam i ena ledet i ekvation (1). När så inte är fallet får man inleda med att lösa ut en av variablerna. Vi visar i ett exempel.

1

Exempel: Lös ekvationssystemet

{

x – 2y + 3 = 0 (1) ​ ​

​ ​ ​ ​ 4x – 5y + 7 = 0​ (2) Lösning: Vi börjar med att lösa ut en obekant ur någon av ekvationerna. I det här fallet är det lättast att lösa ut x ur ekvation (1). Vi får x = 2y – 3, som vi sätter in i ekvation (2).

4x – 5y + 7 = 0

Vi ersätter x med uttrycket 2y – 3

4(2y – 3) – 5y + 7 = 0 8y – 12 – 5y + 7 = 0

Vi har fått en ekvation med endast y som obekant

3y = 5 5 ​​ ​​ y = __ 3 Vi har bestämt värdet av y och sätter in det i ekvationen x = 2y – 3.

5 x = 2 ∙ __ ​​ ​ ​– 3 3

5 Vi sätter in y = __ ​​ ​​ 3

1 x = __ ​​ ​​ 3

10 9 __ 5 1 2 ∙ __ ​​ ​​ – 3 = ___ ​​ ​​ – __ ​​ ​​ = ​​ ​​ 3 3 3 3

1 x = __ ​ ​

Svar: ​​ ​ 3 ​​ ​ 5 y = __ ​ ​ 3​

Med en algebraisk metod får vi en exakt lösning

24

{

Kontrollera gärna din lösning genom insättning i ekvationerna

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

Exempel: En dag såldes det 350 biljetter till en cirkusföreställning. Biljetterna ­kostade 300 kr för vuxna och 175 kr för barn. Den dagen såldes biljetter för 76 250 kr. Hur många biljetter av varje slag hade sålts?

Lösning: Vi kallar antalet vuxenbiljetter för x och antalet barnbiljetter för y.

Nu kan vi ställa upp ett ekvationssystem.

Antalet sålda biljetter är 350

{

x + y = 350 (1) ​ ​

​ ​ ​ ​ 300x + 175y = 76 250​ (2) Summan av intäkterna från vuxenbiljetterna och barnbiljetterna är 76 250 kr.

1

Vi använder substitutionsmetoden och löser ut y ur ekvation (1).

Det ger y = 350 – x.

Vi kunde lika gärna ha löst ut x

När vi sätter in detta i ekvation (2) får vi: 300x + 175y = 76 250

Vi utnyttjar att y = 350 – x

300x + 175(350 – x) = 76 250 300x + 61 250 – 175x = 76 250 125x + 61 250 = 76 250 125x = 15 000 x = 120

Det har sålts 120 vuxenbiljetter

Nu sätter vi in x = 120 i ekvation (1), y = 350 – x. y = 350 – 120 = 230

Det har sålts 230 barnbiljetter

Vi kontrollerar att vår lösning stämmer: Antal biljetter som har sålts totalt är 120 + 230 = 350.

Intäkten är 300 kr ∙ 120 + 175 kr ∙ 230 = 76 250 kr.

Det stämmer!

Svar: Det hade sålts 230 barnbiljetter och 120 vuxenbiljetter.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

25

Nivå 1

Lös ekvationssystemen med substitutionsmetoden.

1223 Lös ekvationssystemet

{

y = 1 – 4x ​ ​

​​ x = y + 14​ med substitutionsmetoden genom att följa följande steg: a) Ersätt y i den andra ekvationen med 1 – 4x. b) Lös ekvationen du fick i a), så att du får reda på värdet av x. c) Sätt in x-värdet i första ekvationen och bestäm y.

1

d) Vilken är ekvationssystemets lösning?

Lös ekvationssystemen med substitutionsmetoden.

{ {

x = 3y y = 5x + 28​

{ {

y = 2x + 7 y = 7x – 8 ​

1224 a) ​ ​

​ ​ y = 4x b) ​ ​

​​ 3x + 2y = 22​

1225 a) ​ ​ ​ ​ 3y – 4x = 0 b) ​ ​ ​

​ y = 2x – 2 ​

1226 Lös ekvationssystemet

{

2x + y – 6 = 0 ​ ​ ​​ 3x + 4y = –11​ med substitutionsmetoden genom att följa följande steg: a) Lös ut y ur den första ekvationen. b) Ersätt y i den andra ekvationen med uttrycket du fick i a). Vilken ekvation får du nu? c) Lös ekvationen du fick i b), så att du får värdet på x. d) Sätt in värdet på x i uttrycket från a) och räkna ut y.

26

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

{ {

2x – y = 7 y + 19 = 5x​

1227 a) ​ ​

​​ x+y=8 b) ​ ​

​​ 2x + 3y = 19​

{ 4a – b = 1 ​

2a + 5b = ​ 6 1228 a) ​ ​ ​

{

6x + y = 3 b) ​ ​

​​ 2x – 0,5y = –0,1​

1229 En burk innehåller 50 glaskulor av två olika

storlekar. Den mindre sorten väger 2,5 g och den större väger 3,5 g. Tillsammans väger kulorna 155 g.

Klara har fått i uppgift att bestämma hur många kulor det finns av varje slag i burken.

Hon ställer upp ekvationssystemet

{

x + y = 50 ​ ​

​​ 2,5x + 3,5y = 155​ a) Förklara med ord vad de två ekvationerna i ekvationssystemet betyder. b) Lös ekvationssystemet. c) Tolka resultatet i b).

1230 Du ska lösa uppgiften: Summan av två tal är 131 och ­differensen av talen är 15. Vilka är talen?

Du kan lösa uppgiften med hjälp av ett ekvationssystem. Börja med att kalla talen för x och y. a) Ställ upp en ekvation som visar att summan av talen är 131, och en annan ekvation som visar att differensen av talen är 15. b) Lös ekvationssystemet som de två ekva­ tionerna bildar, och besvara frågan i uppgiften.

1231 Biljetten till en fotbollsmatch kostar 120 kr

för vuxna och 30 kr för barn. Totalt såldes 340 biljetter och man fick in 40 800 kr i biljett­intäkter. Hur många biljetter till vuxna respektive till barn hade sålts?

1232 Rebecca ska teckna ett mobilabonnemang.

Hon har bestämt sig för operatören Teletub och jämför deras abonnemang ”Tjenis” med ”Polaris”.

Tjenis

Polaris

Månadsavgift

99 kr, ingår obegränsade samtal och sms

249 kr, ingår obegränsade samtal och sms

Surf

12,90 kr/GB

5,90 kr/GB

Nivå 2 1234 Lös ekvationssystemen med substitutionsmetoden.

{

– w – 11 ​ = 0 ​

a) ​ ​5u

4w + 3u = 2 ​

{

s + 2(t – 6) = 0 b) ​ ​

​ ​ 3s + 2t = 30 ​

1235 Anna och Lina har börjat lösa ekvations­ systemet

{

4x + 7y + 20 = 0 ​ ​

​ ​ 3y – 5 = x ​ Anna har börjat sin idé till lösning med att skriva

4(3y – 5) + 7y + 20 = 0 Hon inser att man kan undersöka vilket abonnemang som är bäst genom att ställa upp två ekvationer, som beskriver hur månadskost­ naden y kr beror av den fasta avgiften och datamängden x GB. Ekvationen för Tjenis blir y = 99 + 12,90x.

Hon sneglar på Lina och ser att hon har ­skrivit

a) Ställ upp motsvarande ekvation för Polaris.

b) Gör färdigt Annas lösning.

b) Lös ekvationssystemet som de två ekvationerna bildar.

c) Gör färdigt Linas lösning.

c) Vad får du reda på genom att lösa ekvationssystemet?

1233 Betrakta ekvationssystemet

{

2y = 1 – 2x ​ ​ ​ ​ 3y + 4 = x ​ a) Lös ekvationssystemet grafiskt. b) Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden. c) Vilken metod tycker du var enklast?

x+5 4x + 7 ∙ _____ ​ ​ + 20 = 0 3

a) Beskriv vad det är Anna respektive Lina har gjort.

d) Tyckte du att någon av varianterna var lättare än den andra? I så fall vilken? Motivera ditt svar.

1 2 begränsar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm triangelns area.

1236 Linjerna y + x – __ ​ ​ = 0 och y – 2x + 7 = 0

1237 Om en bil under en tidsperiod har konstant acceleration, så kan man bestämma bilens fart med hjälp av formeln v = v0 + at där v är farten t sekunder in i tidsperioden, a är accelerationen och v0 är farten när bilen börjar accelerera.

Bestäm utgångsfarten och accelerationen, givet att farten efter 3,0 s är 14 m/s och att den efter ytterligare 2,0 s är 20 m/s.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

27

1

1238 Lös ekvationssystemet

{

2x + 3y – 3(x + 5) + y = 1 ​ ​

​ ​ x – 6 + (y – 1) = –3 ​

1239 Allya har tänkt lösa ekvationssystemet här

nedanför med hjälp av substitutionsmetoden.

{

y = –6x + 1 ​ ​

​​ 18x + 3y = 3​ Hon börjar med att byta ut y i den andra ekvationen mot –6x + 1. När hon fortsätter lösningen blir hon mycket förvånad.

1

a) Gör samma sak som Allya, dvs. sätt in –6x + 1 i stället för y i andra ekvationen, och lös den ekvation du får. Vad blir ­resultatet? b) Tolka betydelsen av resultatet i a).

1240 a) Visa genom att använda substitutions­

metoden att ekvationssystemet saknar ­lösningar.

8x + 2y – 28 = 0 ​ ​

​ ​ 3y + 12x = 3 ​

{

b) Beskriv hur graferna till de två ekvationerna förhåller sig till varandra.

28

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

Nivå 3 1241 Bestäm p och q så att ekvationssystemet får lösningen x = 1 och y = 3.

{

y = px + q ​ ​ ​​ py = 5 – qx​

1242 Anders simmar i Österdalälven. Han ­simmar 50 m på 2 minuter och 5 sekunder när han simmar mot strömmen. När han ­simmar åt andra hållet tar samma sträcka bara 40 sekunder. Beräkna hur fort han ­simmar utan hjälp av strömmen.

1243 Här ser du ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta.

{

4x – 3y + 2z = 3 (1) – y + z ​ = 4​ ​​ ​​ ​​ ​2x

​ (2)​​​ ​ y+z=0 ​ (3) I ekvation (3) finner du ett enkelt samband mellan y och z. Använd sambandet för att substituera i ekvation (1) och (2), så att dessa två ekvationer ger ett ekvationssystem med två obekanta. Lös sedan ekvationssystemet fullständigt.

Additionsmetoden Additionsmetoden är en algebraisk lösningsmetod som ibland kan vara enklare att använda än substitutionsmetoden. Precis som med substitutionsmetoden, är idén att skriva om ekvationssystemet till en ekvation med endast en obekant.

Additionsmetoden

Vi ska lösa ekvationssystemet med hjälp av additionsmetoden.

{

x – 2y = 1 (1) ​​​ ​​ ​

​ ​ x + 2y = 5 (2)​ Om vi adderar ekvationerna ledvis, vänsterled med vänsterled och högerled med högerled, så kommer y-termerna att ta ut varandra. (x – 2y) + (x + 2y) = 1 + 5

vänsterled + vänsterled = högerled + högerled

2x = 6

y-termerna tar ut varandra eftersom –2y + 2y = 0

Men hur vet man att man får addera ekvationerna ledvis? Jo, eftersom x + 2y är lika med 5, har vi adderat lika mycket till båda led, och det får man ju göra i en ekvation.

Vi får en ekvation med bara en obekant, 2x = 6, som har lösningen x=3 Vi sätter sedan in x = 3 i till exempel ekvation (2), för att bestämma y. x + 2y = 5

Vi utnyttjar att x = 3

3 + 2y = 5 2y = 2 y=1 Lösningen till ekvationssystemet är alltså

{

= 3 ​​ ​x ​​​ y = 1​ I vårt exempel kunde vi direkt addera ekvationerna ledvis, för att eliminera y-termerna. Ibland behöver man multiplicera den ena eller bägge ekvationerna med en faktor innan man adderar ekvationerna ledvis, för att någon av de obekanta ska ta ut varandra. Vi visar det i exemplen på nästa sida.

Observera återigen att lösningen x = 3, y = 1 löser båda ekvationerna i ekvationssytemet. Det kan vara en god idé att pröva lösningen.

Substitutionsmetoden och additionsmetoden är likvärdiga lösningsmetoder.

Om man behärskar båda metoderna väl kan man välja den metod som ger enklast beräkningar för just det ekvationssystem som man arbetar med.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

29

1

Vi sammanfattar additionsmetoden: 1. Undersök om någon av de obekanta termerna har samma koefficient,

men med motsatt tecken i de två ekvationerna. Om så är fallet kan du gå direkt till punkt 3.

2. Ändra den ena eller båda ekvationerna så att någon av de obekanta ter-

merna har samma koefficient men med olika tecken i de två ekvationerna. Det gör du genom att multiplicera den ena eller båda ekvationerna med lämpliga tal.

3. Addera ekvationerna ledvis. På det sättet elimineras den ena av de två

obekanta och du får en ekvation med endast en obekant.

4. Lös ekvationen med en obekant på vanligt vis. På det sättet får du värdet

på den ena obekanta.

1

5. Sätt in värdet på den obekanta från steg 4 i valfri ekvation. Nu innehåller

den ekvationen endast en obekant. Lös ekvationen för att finna värdet på den andra obekanta.

{

7y – 8x = 44 (1) Exempel: Lös ekvationssystemet med additionsmetoden ​​ ​

​​ ​​ ​ ​​ 14y + 23x = 10​ (2) Lösning: Om vi direkt adderar de två ekvationerna ledvis kommer varken x- eller y-termerna att ta ut varandra. Här ser det ut att vara lättast att försöka få bort y-termerna, eftersom det är 7y i ekvation (1) och 14y i ekvation (2).

Vi multiplicerar båda leden i ekvation (1) med –2 och får –2(7y – 8x) = –2 ∙ 44 Det ger ekvationssystemet

{

–14y + 16x = –88 ​​ ​

​ ​​ ​​ 14y + 23x = 10 ​ Nu tar y-termerna ut varandra när vi adderar ekvationerna ledvis: –14y + 16x = –88 +

14y + 23x = 10 39x = –78

Vi får en ekvation med bara x som obekant

x = –2 Vi bestämmer värdet av y genom att sätta in x = –2 i någon av ­ekvationerna, till exempel i ekvation (1).

7y – 8x = 44

Vi utnyttjar att x = –2

7y – 8 ∙ (–2) = 44 7y = 28 y = 4

Kontrollera genom prövning att lösningen är korrekt

{

= –2 ​ Svar: Ekvationssystemet har lösningen ​​ ​x ​​ y=4 ​

30

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

{

3x – 4y – 12 = 0 (1) Exempel: Lös ekvationssystemet ​​ ​

​​ ​ ​ ​ 2x + 9y + 13 = 0​ (2) Lösning: Här behöver vi multiplicera bägge ekvationerna för att de obekanta ska ta ut varandra. Vi multiplicerar ekvation (1) med –2 och ekvation (2) med 3.

–2(3x – 4y – 12) = –2 ∙ 0

Vi får –6x i vänsterledet

3(2x + 9y + 13) = 3 ∙ 0

Vi får 6x i vänsterledet

Vi förenklar och adderar därefter ekvationerna ledvis –6x + 8y + 24 = 0 + 6x + 27y + 39 = 0

När vi adderar ekvationerna ledvis tar x-termerna ut varandra

35y + 63 = 0

1

35y = –63 63 9 y = –​ ___ ​ = –​ __ ​ 35 5 9 Vi sätter in y = –​​ __ ​​ i ekvation (1): 5 9 __ 3x – 4 ∙ ​​ –​ ​ ​​ – 12 = 0 5 36 ___ 3x + ​ ​ – 12 = 0 5

( )

24 3x = ___ ​ ​ 5

Vi kan välja vilken ekvation vi vill 9 Vi utnyttjar att y = –​​ __ ​​ 5

36 60 36 60 – 36 ___ 24 12 – ___ ​​ ​​ = ​​ ___ ​​ – ​​ ___ ​​ = ​​ _______ ​​ = ​​ ​​ 5 5 5 5 5

8 x = __ ​ ​ 5

{

8 x = __ ​ ​

Svar: ​​ ​ 5 ​​​ 9 y = –​ __ ​ 5​

Nivå 1 1244 Lös ekvationssystemet

{

2x + y = 11 ​​ ​ ​ 3x – y = 4 ​​med additionsmetoden genom att ​ a) addera ekvationerna ledvis och lösa­ ­ekvationen du får b) använda resultatet i a) för att bestämma värdet på y

1245 Lös ekvationssystemen med additions­ metoden.

{ { { {

x + y = 100 a) ​​ ​ ​

​​ x – y = 50 ​ –1,1x + 3y = 4 b) ​​ ​ ​ ​​ 1,1x + y = 16 ​ 4y + 3x – 17 = 0 c) ​​ ​

​ ​​ 2x – 4y + 2 = 0 ​ 3x + 2y – 5 = 0 d) ​​ ​ ​​​ 2y – 3x + 7 = 0​

c) ange ekvationssystemets lösning RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

31

1246 Du har följande ekvationssystem

1251 Katja har försökt lösa ekvationssystemet här

{

y + 2x = 5 ​​ ​

​​​ –2y + 5x = 8​ a) Vilket tal ska du multiplicera den första ekvationen med för att y-termerna ska ­försvinna när du adderar ekva­tionerna ­ledvis? b) Lös ekvationssystemet med additions­ metoden.

1247 Lös ekvationssystemen med additionsmetoden.

1

{

3x – y = 4 a) ​​ ​

​​ ​ 2y – 3x = 1​

{

2x + 3y = 1 b) ​​ ​ ​

​​ x–y=8 ​

1248 Janne har fått i uppgift att lösa ett ekvationssystem med additionsmetoden.

{

x + 5y = 12 (1) ​​ ​

​​ ​​ ​ ​​ –2x – 7y = –27​ (2) Han börjar så här:

{

Janne har gjort ett fel i början av sin lösning. a) Förklara vad Janne har gjort för fel. b) Lös ekvationssystemet.

1249 Lös ekvationssystemen med additions­

{

3x – 7y = 11 a) ​​ ​

​​ ​ 3x + 5y = –13​

{

3x – 2y = –5 b) ​​ ​

​ 8y – 20 = 12x

​​ 1250 Johanna och Michael köper CD-skivor i Lon​ don. CD-skivorna har färgmarkeringar som

Du ser hennes förslag på lösning här:

{

x + 3y = –2 ​​ ​ ​ ​​ –x + y = 10​ Ledvis addition ger (x + 3y) + (–x + y) = –2 + 10 x + 3y – x + y = 8 4y = 8 Svar: y = 2 Dragana säger att svaret inte är riktigt. Har Dragana rätt och vad är det i så fall som Katja har gjort fel?

1252 I det här ekvationssystemet måste man mul-

tiplicera båda ekvationerna med olika tal, för att kunna använda additionsmetoden.

{

4x + 14y = 9 ​​ ​

​​​ 6x – 11y = –10​ Ge förslag på vilka tal man kan multiplicera ekvationerna med, för att man efter ledvis addition ska få en ekvation med bara en ­obekant.

1253 Lös ekvationssystemen med additions­ metoden

{

10x + 8y = 44 a) ​​ ​ ​​ ​ 11x + 7y = 61​

{

4y = 6x – 4 b) ​​ ​

​​ ​ 10y – 15x = 10​

1254 När en sten slungas upp i luften, kan man

kod för priset. Johanna betalar 32 pund för två röda och en blå skiva. Michael betalar 36 pund för en röd och tre blå skivor. Johannas köp kan beskrivas med ekvationen

beskriva stenens höjd h meter över marken efter t sekunder med ekvationen

2x + y = 32

a) Från ett tidigare experiment vet man att h = 40 m när t = 2,0 s och att h = 45 m när t = 3,0 s. Visa att det leder till ekvationerna a – 2b = 20 och a – 3b = 15.

a) Beskriv Michaels köp med en liknande ekvation. b) Använd ekvationerna för att beräkna priset på en röd respektive en blå skiva.

(Np MaB vt 2002)

32

{

x + 3y = –2 ​​ ​

​​​ –x + y = 10​

Nivå 2

Jag skriver om ekvation (1) så att x-termen blir 2x.

2x + 10y = 12 ​​ ​

​​​ –2x – 7y = –27​

metoden.

nedanför med additionsmetoden.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

h = at – bt2 där a och b är konstanter.

b) Bestäm konstanterna a och b.

1255 Emil säljer hamburgare och läsk vid en orienteringstävling. Hamburgarna kostar 30 kr och läsken 10 kr. När tävlingen är slut har han 5 900 kr i kassan. Han tjänar 15 kr på varje hamburgare och 4 kr på varje läsk. Hans totala vinst blir 2 780 kr. Hur många ham­ burgare och hur många läsk har han sålt?

1256 Summan av två tal är 2. Summan av det

dubbla värdet av det ena talet och halva 1 ­värdet av det andra talet är ​​ __ ​​ . Vilka är talen?

4

1257 Lös ekvationssystemet med algebraisk metod.

{

(x + 4)(y – 2) = (x – 5)(y + 4) ​​ ​

​ ​​ 6y – x – 6 = 2x – y – 2 ​

(Np Ma2a vt 2015)

1258 Ett ekvationssystem består av två ekvationer som båda innehåller variablerna x och y. ­Ekvationssystemets enda lösning är

{

= 12 ​​ ​x ​​​ y = –7​ Ge exempel på ett ekvationssystem som ­uppfyller dessa krav.

Nivå 3 1259 I ekvationssystemet nedan är A och B ­konstanter.

{

15x – 6 = –By ​​ ​

​ ​​ Ax – 3y = 4 ​ Bestäm konstanterna A och B så att ekvationssystemet har oändligt många lösningar.

(Np Ma2b ht 2013)

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

33

1

Problemlösning med hjälp av ekvationssystem Modell för problemlösning Du känner kanske igen problemlösningsmodellen från Matematik Origo 1b

I det här avsnittet får du träna på att lösa problem med hjälp av ekvationssystem. Arbetet med matematiska problem kan delas upp i fyra faser. Här har vi anpassat modellen till problem med just ekvationssystem.

1. Förstå problemet

Rita diagram eller skisser som hjälper dig att förstå problemet. Inför lämpliga beteckningar för okända storheter.

1

Faserna behöver inte följa varandra i precis den här ordningen, men varje meningsfull problemlösningsaktivitet börjar med att man förstår problemet och slutar med att man reflekterar över lösningens rimlighet.

2. Utarbeta en plan

Ställ upp ett passande ekvationssystem.

3. Utför planen

Lös ekvationssystemet.

4. Se tillbaka på lösningen

Kontrollera lösningen. Är svaret rimligt? Tolka lösningen och besvara frågan.

Exempel: Py ska handla till en Halloweenfest. Ett hopfällbart bord och 8 hattar ­kostar 2 351 kr. Skulle hon i stället köpa 12 hattar och en svart kappa får ­ appan är 250 kr billigare än det hopfällhon betala 2 977 kr. Den svarta k bara bordet. Hur mycket kostar en hatt?

Lösning: Vi följer modellen för problemlösning.

Förstå problemet

Vi inför variabler för de okända storheterna.

Pris hatt: x kr Pris svart kappa: y kr Pris bord: y + 250 kr

svarta kappans pris + 250 kr

Utarbeta en plan

Vi beskriver informationen vi har fått med hjälp av ekvationer.

8x + (y + 250) = 2 351

Åtta hattar och ett bord kostar 2 351 kr

12x + y = 2 977

Tolv hattar och en svart kappa kostar 2 977 kr

Utför planen

Ekvationerna bildar tillsammans ett ekvationssystem som vi löser med grafritande hjälpmedel.

{

x = 219 ​​ ​ ​​​ y = 349​ Se tillbaka på lösningen

Priset 219 kr för en hatt verkar vara rimligt. Nu kan vi besvara frågan.

Svar: En hatt kostar kostade 219 kronor.

34

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

Nivå 1

1267 Lotta och Gustav vill hyra en bil i ett dygn.

1260 Morfar berättar för sina barnbarn: ”När jag var

Efter att ha tittat på olika erbjudanden har de hittat två firmor som ligger nära deras hem.

liten fanns det sammanlagt 127 barn i min by och i grannbyn. Men i grannbyn fanns det 19 fler barn än i min by.” Hur många barn fanns i respektive by?

Renting 199 kr per dygn plus 9 kr per mil Leasing 99 kr per dygn plus 12 kr per mil

1261 I en triangel är en vinkel rät. Skillnaden ­mellan de två övriga vinklarna är 32°. Bestäm triangelns minsta vinkel utan att använda digitalta hjälpmedel.

Nivå 2

1262 En mjukglass med topping kostar 26 kr.

­ jukglassen är 16 kr dyrare än toppingen.

M Hur mycket kostar glassen utan topping?

1263 Koordinatsystemet

y

visar en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen. a) Ange ekvationen för den räta linjen L.

Hur många mil ska de räkna med att köra för att tjäna på att hyra hos Renting?

1268 I en grotta finns det spindlar och myror.

Kaveh har kommit fram till att det finns 263 kryp och att de tillsammans har 1 278 ben. Hur många spindlar respektive myror finns det i grottan? Otto säger att Kaveh måste ha räknat fel. Har Otto rätt? Motivera.

L P

1

x 1

b) Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten P. (Np Ma2b vt 2015)

1264 En linje går genom punkterna (2, –5) och

(–3, 7). En annan linje har ekvationen y = 2,7x + 0,4. Bestäm linjernas skärningspunkt.

1265 På en gård finns det två sorters djur: får och

ankor. Johannes, som äger gården, säger att det finns 28 djur totalt och att de sammanlagt har 78 ben. Hur många ankor respektive får finns på gården?

1266 a) Konstruera ett ekvationssystem med

två obekanta som har lösningen x = 5 och y = –3.

1269 Åsa och Torbjörn arbetar på en sommarkoloni.

Barnen på kolonin serveras mellanmjölk (fetthalt 1,5 %) till måltiderna. En dag får de en felaktig leverans som bara innehåller ­lättmjölk (fetthalt 0,5 %) och standardmjölk (­fetthalt 3 %). De beslutar sig därför att blanda dessa båda sorter. Åsa skriver följande på en lapp:

a liter lättmjölk och b liter standardmjölk a + b = 10 (1) 0,005a + 0,03b = 0,015 ∙ 10 (2) a) Förklara vad ekvation (1) beskriver. b) Förklara vad ekvation (2) beskriver. c) Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda?

(Np MaB ht 1998)

b) Hur många möjliga svar finns det i a)?

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

35

1

1270 Maria och Peter vill köpa en chokladask.

I affären inser de att pengarna som de har med sig inte räcker. För Maria fattas det 24 kr och för Peter 2 kr. Även när de lägger ihop sina pengar, så räcker inte pengarna till för att kunna köpa choklad­asken. Hur mycket kostar choklad­asken?

1271 Beräkna arean av triangeln mellan linjerna y1 = 0,4x + 3, y2 = 4 – 2,5x och x = 6

1272 Tre syskon, Eric, Danny och Mattias, kommer

till en hamburgerrestaurang. Eric betalar 98 kronor för en hamburgare, en läsk och en pommes frites. Danny betalar 63 kronor för två pommes frites och en läsk medan Mattias betalar 30 kronor för två läsk.

1

Vad kostar en hamburgare, en läsk respektive en pommes frites?

1273 Luka har köpt material för att fräscha upp sin

sommarstuga. För en stege och 10 liter målarfärg har han betalat 2 726 kr. För 5 liter målarfärg av samma märke och en borrmaskin har han betalat 2 311 kr. Det enda han minns med säkerhet är att borrmaskinen var 600 kr dyrare än ­stegen.

Hur mycket kostar en liter målarfärg?

1274 För tre tal gäller att u summan av talen är 159 u medelvärdet av det största och det minsta

talet är 41 u differensen mellan det största och det

minsta talet är 164 Vilka är talen?

Nivå 3 1275 I ekvationssystemet här nedanför är a ett reellt tal. Bestäm ekvationssystemets ­lösningar.

{

x+y=a ​​ ​

​​​ x + ay = 1​

1276 Kristina och Pontus har gett sig ut på cykeltur

och bestämde sig för att cykla med endast två olika hastigheter: v km/h och w km/h.

Pontus cyklade 23 km på 70 minuter. Under 40 minuter cyklade han med v km/h och under 30 minuter med w km/h. Kristina ­cyklade tre och en halv timme. Hon färdades 18 km i v km/h och sedan 55 km i w km/h.

Vilka värden kan v anta?

1277 I ekvationssystemet är a ett reellt tal. Lös

ekvationssystemet med en algebraisk metod och bestäm dess lösningar.

{

ax + y = 1 ​​ ​

​​​ x + ay = 1​

Resonemang och begrepp u Vad menas med att bestämma en gemensam lösning till två ekvationer? u Vilka skillnader finns det mellan att lösa ett linjärt ekvationssystem grafiskt jämfört med att lösa det algebraiskt? u Förklara varför man kan addera två ekvationer ledvis, som man gör när man ­använder sig av additions­metoden, utan att ekvationssystemets lösning ändras. u I vilka fall är substitutionsmetoden att föredra framför additionsmetoden? u Förklara varför vissa linjära ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta saknar lösning.

36

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  1.2 Ekvationssystem

Ledtråd: a2 – 1 = (a – 1)(a + 1)

Historia

Att lösa ekvationssystem Nio böcker om räknekonsten Säg att Wang köper två apelsiner och tio litchi och betalar 22 pengar, medan Qing köper tre apelsiner och sju litchi och betalar 25 pengar. Vad kostar apel­ siner och litchi per styck?

Texten här ovanför är hämtad ur boken Nio böcker om räknekonsten (på kinesiska Jiuzhang Suanshu) från ca 100 e.Kr. Där presenterades ett stort antal matematiska problem, däribland problem som resulterade i ekvationssystem. Problemen presenterades tillsammans med metoder för att lösa dem.

Bland annat fanns lösningsmetoder för ekvationssystem med tre och fyra obekanta. Redan för 2 000 år sedan kände alltså kinesiska matematiker till hur man löste ekvationssystem som är mer avancerade än vad vi har presenterat i det här kapitlet. Några förklaringar till varför metoderna fungerade gav man dock inte.

Gausselimination För att lösa ekvationssystem med tre eller fyra obekanta används i dag en metod som liknar den som kineserna använde. Den innebär att man stegvis eliminerar en obekant åt gången för att i den sista ekvationen ha endast en obekant kvar. Nu för tiden kallas metoden successiv elimination eller gauss­ elimination. Vi visar principen i ett exempel: 1

3

?

Lös problemet om apelsiner och litchi som är beskrivet i texten.

{ {

2x + 3y – z = 7 (1) + y + z = 8 ​ ​​ ​x

​ ​​​ ​​(2)​​​ ​ x + y – z = 0 ​ (3)

Multiplicera (2) och (3) med 2

2

2x + 3y – z = 7 (1) – y + 3z = 9 ​ ​​ ​0

​ ​ ​ ​(2)​​​ ​ 0 – y – z = –7 ​ (3)

Subtrahera (3) med (2)

4

{

(1) 2x + 3y – z = 7 ​​ ​​​ + 2y + 2z = ​16 ​​ ​2x

​ ​​ ​ (2)​ 2x + 2y – 2z = 0 ​ (3)

{

2x + 3y – z = 7 – y + 3z = 9​ ​ ​​​ ​​ ​0

0 + 0 – 4z = –16​

(1) ​​(2)​ ​​​ (3)

Subtrahera (2) med (1) och (3) med (1)

Med hjälp av gausselimination har vi fått ekvationssystemet

{

2x + 3y – z = 7 + 3z = ​ 9​ ​ ​​ ​​ ​–y

–4z = –16 ​ som vi kan lösa på samma sätt som vi gjort tidigare i kapitlet. Ekvations­ systemets lösning blir

?

{

Lös ekvationssystemet

x + y – 2z = 14 3x – 2y + z = –14​ ​​ ​

​ ​ ​​ 2x + 2y – z = 19 ​ med gausselimination.

{

x=1 ​​ ​y = 3 ​​ ​​ z = 4​ Metoden är namngiven efter den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss.

Gauss återupptäckte denna metod för att lösa ekvationssystem när han höll på med det som han själv uppfattade som en av de viktigaste uppgifterna för vetenskapsmän, nämligen att bestämma jordens form.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  HISTORIA

37

1

Uppslaget Rätt eller fel?

Om räta linjens ekvation är i formen y = kx + m, så kan man direkt avläsa linjens skärningspunkt med y-axeln.

En ekvation med två obekanta har oändligt många lösningar.

Om man löser ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer, så bestämmer man två linjers skärningspunkt.

Alla räta linjer skär x-axeln i minst en punkt.

Alla räta linjer skär minst en av koordinat­ axlarna.

1

Om man i ett ekvationssystem multiplicerar båda leden av en ekvation med 2, så behöver man sedan dividera de x- och y-värden man får fram med 2 för att finna ekvationssystemets lösning.

Man kan använda en ekvation i k-form för att beskriva en lodrät linje.

Undersök Linjer och trianglar Linjerna y = kx + 13 2:a och y = x + 1 skär varkvadranten andra i en punkt som 3:e ligger i 1:a kvadranten kvadranten om k väljs på lämpligt sätt. Då är skärningspunktens ­koordi­nater positiva.

Ekvationssystem och antal lösningar y 1:a kvadranten x

4:e kvadranten

u Du har ekvationssystemet

{

3x + 2y = u ​​ ​ ​ ​​ vx – y = 6 ​ u Sätt u = v = 2 och lös ekvationssystemet. u Välj talen u och v så att ekvationssystemet

­saknar lösningar.

u Låt k = 0 och rita upp de båda linjerna.

u Välj talen u och v så att ekvationssystemet har

u Linjerna y = kx + 13, y = x + 1 samt y-axeln

u Visa att om koefficienterna a1, a2, b1 och b2

Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.

­bildar en triangel då k = 0.

Linjerna y = kx + 13, y = x + 1 samt y-axeln bildar en annan triangel då k = –1.

Beräkna och jämför trianglarnas areor. u Arean av den triangel som begränsas av

­linjerna y = kx + 13, y = x + 1 samt y-axeln är beroende av värdet på k. Undersök och beskriv hur arean beror av k, under förutsättningen att linjerna skär varandra i första kvadranten.

(Np MaB vt 2002)

38

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  UPPSLAGET

oändligt antal lösningar.

till ekvationssystemet

{

a1x + b1y = c1 ​​ ​ ​​​ a2x + b2y = c2​ a) uppfyller villkoret a1b2 – a2b1 = 0, så har ekvationssystemet noll eller oändligt många lösningar b) uppfyller villkoret a1b2 – a2b1 ≠ 0, så har ekvationssystemet precis en lösning

Problemlösning och modellering Att tillverka och sälja mobiler Ett företag tillverkar och säljer mobiltelefonerna Achronya (modell A) och Bestado (modell B). De två modellerna tillverkas vid samma fabrik.

Naturligtvis vill företaget producera det antal av varje telefonmodell som ger den största vinsten totalt. Hur stor vinsten är beror på flera saker.

Modell A är mer avancerad och har ett högre pris.

Vinsten per såld mobil är 1 500 kr för modell A och 1 000 kr för modell B. Ledningen på företaget vill vara säker på att mobiltelefonerna håller hög kvalitet, så kontroll­ enheten genomför rutinmässiga kontroller av mobilerna. Detta tar i genomsnitt 4 minuter per mobil för modell A och 3 minuter per mobil för modell B. Den totala arbetstiden för kontrollenheten uppgår till 750 timmar per månad. u Teckna ett uttryck för företagets vinst. u Hur stor blir vinsten för företaget om man

u Hur lång tid behöver kontrollenheten för att

hinna kontrollera 20 000 st av modell A och 10 000 av modell B på en månad? Hinner ­kontrollenheten med att kontrollera alla ­telefonerna?

u Ge två olika exempel på hur många av respek-

tive modell som företaget ska tillverka för att vinsten ska bli 10 miljoner kronor. Hinner kontroll­enheten med att kontrollera alla ­mobiler?

1

u Hur många telefoner måste man tillverka och

sälja av varje modell för att vinsten ska bli 16 miljoner kronor. Företaget har som krav att kontrollenheten utnyttjas fullt ut.

u På grund av problem med underleverantörer

kan de avdelningar som tillverkar mobiltele­ fonerna endast göra 10 000 av varje modell per månad. Bestäm den största vinsten under dessa nya förutsättningar.

t­ illverkar och säljer 20 000 st av modell A och 10 000 av modell B på en månad?

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  UPPSLAGET

39

Tankekarta

Räta linjer och ekvationssystem Räta linjens ekvation u k-form: y = kx + m

1

Linjära ekvationssystem

u riktningskoefficient k

u grafisk lösning

u skär y-axeln i (0, m)

u algebraisk lösning

y2 – y1 _______ ​

u en lösning, ingen lösning,

u k = ​

x2 – x1

oändligt antal lösningar

u allmän form : ax + by + c = 0

Algebraisk lösning av ekvationssystem Parallella och vinkelräta linjer

40

u k1 = k2

parallella linjer

u k1 ∙ k2 = –1

vinkelräta linjer

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  TANKEKARTA

u substitutionsmetoden u additionsmetoden

Blandade uppgifter Nivå 1

8 Niclas vill pröva att träna på Svennes gym en

1 Rita i ett koordinatsystem linjerna som bestäms av ekvationerna y = x och y = –0,5x + 1,5. Ange därefter lösningarna till ekvationssystemet

{

y=x ​​ ​

​​​ y = –0,5x + 1,5​

2 Bestäm ekvationen för den räta linje som har

månad och undersöker gymmets olika betalningsalternativ.

Alternativ 1: Månadskort 400 kr + 25 kr per t­ räningstillfälle Alternativ 2: 80 kr per träningstillfälle

a) riktningskoefficienten 3 och går genom punkten med ­koordinaterna (2, 1)

a) Beskriv kostnaden för de olika alternativen med hjälp av ekvationer. Låt y vara kostnaden och x antal träningstillfällen.

b) riktningskoefficienten –2 och går genom punkten med koordinaterna (–1, –4)

b) Hur många gånger ska Niclas träna för att han ska tjäna på att köpa månadskort?

1

3 Du har ekvationen y = 2x + 3. a) Ange en lösning till ekvationen

«

b) Hur många lösningar finns till ekvationen?

4 Bestäm längden av sträckan mellan följande punkter

a) (–2, 3) och (5, 1)

9 Vilka av följande linjer är parallella?

b) (3, –5) och (4, –2)

5 Lös ekvationssystemet grafiskt.

{

y = 3x – 1 ​​ ​

​​​ y = 5x – 5​

a)

B 3x + 2y – 2 = 0 C y = 2x + 1 D y = –1,5x – 1

6 Bestäm linjernas ekvationer. y

A 4x – 3y + 1 = 0

b)

vinkelrät mot linjen y = 2x + 3?

x

1

10 Vilken riktningskoefficient har en linje som är

1

11 Bestäm ekvationen för den räta linje som går

genom punkterna med koordinaterna (–20, –10) och (20, 10).

12 Två räta linjer beskrivs av ekvationerna 7 Lös ekvationssystemen algebraiskt

{

x​ = 3 ​​​ a) ​​ y = 3x – 2​ y–x=3 b) ​​ ​ ​​​ y + x = 11​

{ {

2x – 5y = 10 c) ​​ ​ ​​​ 3x + 5y = 40​

2y – 4x = 3 och 2y + 5x = 1. Avgör om linjerna är vinkelräta mot varandra. Motivera ditt svar.

13 Ange ekvationen för den linje som går genom punkten med koordinaterna (2, 4) och är a) parallell med x-axeln b) parallell med y-axeln

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  BLANDADE UPPGIFTER

41

14 Bestäm ekvationen för linjen genom a) (–1, 8) och (2, 2) b) (–3, –1) och (3, 1)

15 Bestäm k så att linjen y = kx – 4 blir vinkelrät 3 mot y = – ​ __ ​ ​ x​+ 3.

2

19 Den räta linjen med ekvationen y = 3x – 2 är

parallell med en annan rät linje som går genom punkten med koordinaterna (1, 4). Bestäm ekvationen för linjen genom (1, 4).

20 Figuren nedan kan användas för att grafiskt lösa ett linjärt ekvationssystem. y

4 3 Skriv ekvationen i allmän form ax + by + c = 0 och ange heltalen a, b och c.

16 Den räta linjen y = __ ​​ ​​ x – 3 är skriven i k-form.

x

1 1

17 Ge ett exempel på ett ekvationssystem som har

1

«

lösningen

{

a) Ange lösningen till ekvationssystemet.

​​ x ​ = 1 ​​​ y = –2​

b) Vilket är ekvationssystemet?

(Np MaB vt 2002)

18 Emma skulle under början av 2000-talet teckna ett telefonbonnemang. Hon hade bestämt sig för Tele1 och jämförde deras ”Knock-ut” med ”Polare”.

Knock-ut Månadsavgift

0 kr

Minutavgift dygnet runt: Fasta nätet inom Sverige Mobiltelefoner inom Sverige Öppningsavgift/samtal

49 öre 49 öre 69 öre

Polare Månadsavgift

49 kr

Minutavgift dygnet runt: Fasta nätet inom Sverige Mobiltelefoner inom Sverige Öppningsavgift/samtal

0 kr 0 kr 69 öre

Hon räknade med att hon skulle ringa 50 samtal per månad och att det nästan alltid skulle vara till mobiltelefoner. Därför satte hon upp två ekvationer som beskriver hur månadskostnaden y kr beror av samtalstiden x minuter: Knock-ut

y = 50 · 0,69 + 0,49x

Polare

y = 49 + 50 · 0,69

a) Lös ekvationssystemet. b) Vad får du reda på genom att lösa det?

Nivå 2 21 Bestäm talet b så att linjen genom punkterna med koordinaterna (1, b) och (3, 3b) har riktningskoefficienten 5.

22 Genom tre av punkterna med koordinaterna

(0, 13), (6, 16), (–20, 1) och (100, 63) kan man dra en rät linje. Vilka punkter gäller det?

23 En rät linje med riktningskoefficienten –1 går

genom punkten med koordinaterna (1, 4). Ange koordinaterna för linjens skärningspunkt med x-axeln.

24 Ange ett värde på konstanten a så att ekvationssystemet

{

y = –3x + 1 ​​ ​ ​ ​​ 2y – ax = 4 ​ saknar lösning.

25 En rät linje går genom punkterna med koordinaterna (6, 7) och (–1, 2). En annan rät linje går genom punkterna med koordinaterna (9, 4) och (4, 11). Är linjerna vinkelräta mot varandra?

26 Lös ekvationssystemen

{

3x – 6y = 5 a) ​​ ​ ​​ ​ 6x – 9y = 8​

42

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  BLANDADE UPPGIFTER

{

5x + 3y = 23 b) ​​ ​ ​​​ 2x + 4y = 12​

27 I ett koordinatsystem finns de tre punkter som

markerats i figuren. Wilma anser, att dessa tre punkter ligger på en rät linje. Madeleine menar, att punkterna inte alls ligger på en rät linje utan att det bara ser ut så. Undersök vem som har rätt.

30 I en större halvcirkel har vi ritat två halvcirklar.

Är den stora halvcirkelns omkrets större, mindre eller lika med summan av de två mindre halvcirklarnas omkretsar? Besvara frågan utan att mäta i figuren. Motivera ditt svar.

y (10, 8) (3, 4)

x

(–6, –1)

Nivå 3 (Np MaB vt 2002)

28 Kostnaden för att hyra en bil består av en fast

avgift och en kilometerkostnad. Hos en firma kostar det 300 kr att hyra bilen och köra 50 km.

Samma firma tar 350 kr för 75 km. Beräkna den fasta avgiften och kilometerkostnaden.

29 Bestäm arean av det område som begränsas av de räta linjerna y = x + 3, y = –2x + 6 och de båda positiva koordinataxlarna.

31 Bestäm koordinaterna för de punkter på linjen

med ekvationen y = x vars avstånd till origo är ___ exakt √ ​​ 32 ​​ längdenheter.

32 En familj vill hyra bil en dag för att göra en

rundresa i Småland. Hos Småbil kostar hyrbilen 456 kr per dag inklusive 100 km och därefter 2,30 kr för varje extra km. Den andra firman, ­Miljöfordon, tar 345 kr per dag för hyrbilen och 1,50 kr för varje körd km. a) Efter hur många körda km blir bilen billigare att hyra hos Småbil? b) För vilka körsträckor är bilen billigare att hyra hos Småbil?

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  BLANDADE UPPGIFTER

43

1

«

Kapiteltest Del 1 Utan digitalt hjälpmedel 1 Bestäm linjernas ekvationer.

y

x

1 b)

a)

1

2 Bestäm ekvationen för den räta linje som a) har riktningskoefficienten –2 och går genom punkten med koordinaterna (–2, 4)

1

b) går genom punkterna med koordinaterna (1, –2) och (2, 2)

3 Ange en lösning till ekvationen 4x + 5y + 3 = 0.

4 Figuren till höger kan användas för att lösa ett

y

ekvationssystem.

a) Bestäm lösningen till ekvationssystemet med hjälp av figuren. b) Vilket är ekvationssystemet?

x

1 1

5 Ekvationen 4y + 2x = 8 bestämmer en rät linje. a) Bestäm linjens riktningskoefficient. b) Ge exempel på en linje som är parallell med 4y + 2x = 8. c) Avgör om linjen som bestäms av ekvationen 4y + 2x = 8 är vinkelrät mot x+1 linjen y = _____ ​ ​ . Motivera ditt svar.

2

6 För två tal gäller att: u summan

av talen är 6

u differensen

mellan talen är –14

a) Ställ upp ett ekvationssystem som man kan bestämma talen med. b) Lös ekvationssystemet och bestäm talen.

7 Lös ekvationssystemen

{

4x + y = 14 a) ​​ ​ ​​ ​ x + 5y = 13​

{

3a b) ​​

​ + 2b = 7 ​​​ 2a – 3b = –4​

8 En rät linje som går genom punkterna med koordinaterna (2, a) och (b, 4) har riktningskoefficienten 3. Bestäm a och b så att punkten med koordinaterna (4, 7) ligger på linjen.

44

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  KAPITELTEST

Del 2 Med digitalt hjälpmedel 9 Lös ekvationssystemet grafiskt

{

3y + 1,5x = 12 ​​ ​

​​​ 2y – 5x + 2 = 0​

10 En rät linje har riktningskoefficienten –2 och går genom punkten med koordinaterna (1, 8).

a) Bestäm linjens ekvation. b) Ange koordinaterna för ytterligare en punkt på linjen.

11 I figuren är linjen L1 inritad. En annan linje, L2,

ska vara vinkelrät mot L1 och gå genom P = (4, 3). Vilka koordinater har skärningspunkten mellan L1 och L2?

y L1 P x

1 1

12 På nöjesfältet Lundagrön kan man köpa ett åkband för att fritt kunna åka alla attraktionerna. Man kan välja mellan att köpa ett åkband för en hel dag eller att köpa ett åkband som gäller endast för en kväll. Den totala kostnaden för två åkband som gäller en heldag, samt ett åkband som endast gäller för kvällen, är 817 kr. Den totala kostnaden för ett åkband som gäller för en hel dag, samt två åkband som endast gäller för kvällen, är 737 kr. a) Ställ upp ett ekvationssystem som hjälper dig att bestämma priset för de olika typerna av åkband. b) Lös ekvationssystemet. c) Hur mycket kostar ett åkband för en hel dag respektive ett åkband för endast en kväll?

13 Ett ekvationssystem kan ha en lösning, ingen lösning eller oändligt många lösningar. u Ge

ett exempel på ett ekvationssystem som har en enda lösning och ett exempel på ett ekvationssystem som saknar lösningar. Motivera dina val av exempel.

u Bestäm

talet t så att ekvationssystemet 6x + 3y = 12 ​​ ​ ​ ​​ 4x – ty = 26 ​ saknar lösningar.

{

u Kan

man välja t så att ekvationssystemet får oändligt antal lösningar?

Motivera.

RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM  KAPITELTEST

45

1

2

Algebra och andragradsekvationer

Delkapitel 2.1 Algebraiska uttryck 2.2 Enkla andragradsekvationer 2.3 Fullständiga andragradsekvationer

Förkunskaper ■ Algebraiska uttryck ■ Potenser ■ Förstagradsekvationer ■ Kvadratrötter

Centralt innehåll ■ Motivering och hantering av

­konjugat- och kvadreringsreglerna.

■ Metoder för att lösa andragrads-

ekvationer.

■ Problemlösning som omfattar

begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.

46

A

lgebra är ett av matematikens mest centrala områden. Tillsammans med aritmetiken (räkneläran) utgör den en bas för i stort sett all matematik. Att formulera, utveckla och förenkla algebraiska uttryck är därför en grundläggande kunskap för att förstå andra delar av matematiken.

Variabler, koefficienter och konstanter är grundstenar i det algebraiska språket, som vi kan använda för att lösa problem och föra generella resonemang. Det språket kan också användas när vi skapar matematiska modeller av verkligheten med hjälp av ekvationer och funktioner. Allt detta gör algebra till ett viktigt inslag i många samhällsvetenskapliga och ekonomiska sammanhang.

När man använt algebra för att ställa upp en matematisk modell, blir nästa steg i lösningen ofta att lösa en ekvation. Vid optimeringsproblem, t.ex. när man vill maximera sin vinst eller minimera sina kostnader, kan en andragradsekvation vara ett avgörande steg i lösningen.

I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att u multiplicera och faktorisera algebraiska uttryck

När du är klar med kapitlet ska du kunna u motivera konjugatregeln och ­kvadreringsreglerna samt använda

dessa för att förenkla och faktorisera uttryck

u lösa fullständiga andragradsekvationer u bestämma antalet lösningar till en andragradsekvation u ställa upp och lösa andragradsekvationer vid problemlösning

Andragradsekvationer I ekvationen x2 = 6x – 5 är den obekanta, x, upphöjd till 2. Sådana ekvationer kallas för andragradsekvationer. u Visa att både x = 1 och x = 5 är lösningar till andragradsekvationen

x2 = 6x – 5. u Visa att både x = –2 och x = 4 är lösningar till andragradsekvationen

x2 = 2x + 8. u Testa att addera de två lösningarna i respektive uppgift här ovanför och

jämför med ekvationerna. Vilken slutsats kan du dra? u Testa nu att i stället multiplicera lösningarna och jämför med ekvatio-

nerna. Vilken slutsats kan du dra? u Teckna en andragradsekvation som har lösningarna x = 3 och x = –5. u Visa att x = 3 och x = –5 är lösningar till din ekvation.

47

2.1 Algebraiska uttryck Multiplicera och faktorisera algebraiska uttryck

Distributiva lagen I tidigare kurs utförde vi multiplikationer av typen 2x(3 – 6x) Faktorn 2x multipliceras med varje term i parentesen: 2x(3 – 6x) = 2x ∙ 3 – 2x ∙ 6x = 6x – 12x2 När man multiplicerar en faktor med ett uttryck i parentes på det här sättet, använder man den distributiva lagen.

2

Distributiva lagen För alla tal och algebraiska uttryck a, b och c gäller a(b + c) = ab + ac

Utvidgade distributiva lagen

I kurs 1b multiplicerade vi även två parentesuttryck, till exempel (2 + x)(3x + 4) Varje term i den ena parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen.

(2 + x)(3x + 4) = 2 ∙ 3x + 2 ∙ 4 + x ∙ 3x + x ∙ 4 = 6x + 8 + 3x2 + 4x = 3x2 + 10x + 8 Vi sammanfattar metoden så här: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Likheten (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd kan också tolkas geometriskt med hjälp av figuren.

a+b

a

ac

ad

b

bc

bd

c

d c+d

Att metoden fungerar är en direkt följd av den distributiva lagen. Därför kallas sambandet ibland för den utvidgade distributiva lagen. Vi visar hur man med hjälp av den distributiva lagen kan inse att sambandet stämmer. (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd = ac + ad + bc + bd Även när någon av parenteserna innehåller uttryck med tre eller fler termer, multipliceras varje term i den ena parentesen med varje term i den andra parentesen. Det kan man motivera med hjälp av den distributiva lagen, på samma sätt som här ovanför.

48

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

Faktorisera uttryck

I föregående kurs bröt vi också ut en gemensam faktor ur ett uttryck, till exempel 4x – 12 = 4(x – 3)

4 är en faktor i både 4x och 12 eftersom 4x = 4 ∙ x och 12 = 4 ∙ 3

Även i det fallet använder vi den distributiva lagen. ab + ac = a(b + c)

a är den ena faktorn och (b + c) är den andra

Eftersom vi har skrivit ab + ac som en produkt av faktorer a ∙ (b + c), säger vi att vi har faktoriserat uttrycket.

Vi kan alltså använda den distributiva lagen på två olika sätt, dels för att skriva ett uttryck som en summa av termer, dels för att skriva ett uttryck som en produkt av faktorer. Senare i kapitlet kommer vi att visa hur man kan använda faktorisering som ett redskap för att förenkla uttryck och lösa ekvationer.

Exempel: Multiplicera och förenkla uttrycken så långt som möjligt. a) x(3x – 2) b) (a + 3)(a + 7) c) (2x – 3y)(4y + 5x) – (5 + 4x)(3x – 2)

Lösning: a) x(3x – 2) = x ∙ 3x – x ∙ 2 = 3x2 – 2x

x multipliceras med varje term i parentesen

x ∙ 3x = 3 ∙ x ∙ x = 3x2

b) (a + 3)(a + 7) = a ∙ a + a ∙ 7 + 3 ∙ a + 3 ∙ 7 = Varje term i den ena parentesen multipliceras = a2 + 7a + 3a + 21 = a2 + 10a + 21

med varje term i den andra parentesen

c) (2x – 3y)(4y + 5x) – (5 + 4x)(3x – 2) = Multiplicera ihop uttrycken i parentes

= (8xy + 10x2 – 12y2 – 15xy) – (15x – 10 + 12x2 – 8x) = = 8xy + 10x2 – 12y2 – 15xy – 15x + 10 – 12x2 + 8x = Lägg ihop termer av samma slag

= –7xy – 2x2 – 12y2 – 7x + 10

Eftersom det är minustecken framför parentesen ändrar vi tecken framför varje term i parentesen när vi tar bort den

Eftersom de kvarvarande termerna är av olika slag, kan vi inte förenkla uttrycket ytterligare

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

49

2

Exempel: Faktorisera uttrycken genom att bryta ut största gemensamma faktor. a) 7a2 – 28a b) 24x3 – 24x2 c) 12x3y + 32xy2 d) 2(x – 3) + y(x – 3) Lösning: a) 7a2 – 28a = 7a ∙ a – 7a ∙ 4 = 7a(a – 4) 7a är den största gemensamma faktorn i ​7a​2​och 28a

b) 24x3 – 24x2 = 24x2 ∙ x – 24x2 ∙ 1 = 24x2(x – 1) 24x2 är den största gemensamma faktorn i 24x3 och 24x2

2

c) 12x3y + 32xy2 = 4 ∙ 3 ∙ x ∙ x ∙ x ∙ y + 8 ∙ 4 ∙ x ∙ y ∙ y = 4xy(3x2 + 8y) 4xy är den största gemensamma faktorn i 12x3y och 32xy2

d) 2(x – 3) + y(x – 3) = (x – 3)(2 + y)

x – 3 är gemensam faktor

Exempel: Förenkla uttrycken.

3x – 9x2 a) ​ ________ ​

1 – 3x (x + 5)(x + 5) – 25 b) ​ ________________

​

x + 10 x − 2 _____ x c) _____ ​ ​

+ ​ ​ x 1−x Lösning: Vi kan förenkla uttrycket om täljare och nämnare har en gemensam faktor, som vi kan förkorta med. a) Vi bryter ut den största gemensamma faktorn ur täljaren och förkortar.

3x – 9x2 _________ 3x(1 – 3x) _________ 3x(1 – 3x) ​ ________ ​ = ​ ​

= ​ ​

= 3x 1 – 3x 1 – 3x 1 – 3x b) Vi multiplicerar ihop parentesuttrycken och förenklar (x + 5)(x + 5) – 25 ____________________ x2 + 5x + 5x + 25 – 25 ​ ________________

​ = ​

​ = x + 10 x + 10 x2 + 10x ________ x(x + 10) = ​ ________ ​

= ​ ​

=x x + 10 x + 10

Vi faktoriserar täljaren

Faktorn x + 10 kan förkortas bort

x − 2 _____ x (x − 2)(1 − x) _______ ​x​2​ x − ​x​2​− 2 + 2x + x​ ​2​ ______ 3x − 2 c) _____ ​ ​

+ ​ ​ = ​ ____________

​ + ​ ​ = ​ _________________

​ = ​ ​ x 1−x x(1 − x) x(1 − x) x − ​x​2​ x − ​x​2​

50

Vi förlänger för att få gemensam nämnare

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

Nivå 1

2107 Multiplicera och förenkla uttrycken.

2101 Teckna ett uttryck för rektangelns area och förenkla det så långt som möjligt.

a) (x + 3)(2x + 7) b) (4y – 8)(y + 3) c) (5x + 9)(3x – 4) d) (y – 1)(6y – 2)

x

2108 Vilket eller vilka av uttrycken A–D beskriver arean av figuren?

a

2x + 1

2102 Multiplicera och förenkla uttrycken så långt

2a

som möjligt.

7

a) 3(x + 3) – 3x

4

2

b) 4(x – 8) + 16 c) 8x + 3(x + x2)

A 4(2a + a) + a(7 – 3)

d) 5(x – 2) – (1 – x)

B 7 ∙ 4 – 2a(7 – 3) C 4(2a + a) + 7a

2103 Bryt ut största gemensamma faktor.

D 7a + 8a

a) 4a + 12 b) y2 – 12y

2109 Lös ekvationerna.

c) 21a – 14ab

a) 4x(2x + 3) = 8(x2 + 1)

d) x + 3x2

b) (3y – 1)(2 + y) = y(2 + 3y)

2104 Multiplicera och förenkla uttrycken.

2110 Faktorisera uttrycken på två olika sätt.

a) (a + 5)(a + 5)

a) 10x3 – 5x2

b) (a – 5)(a – 5)

b) 24xy – 16xy2

c) (a + 5)(a – 5)

c) x3y – xy2

2105 Multiplicera och förenkla uttrycken.

2111 Multiplicera och förenkla uttrycken.

a) (x + 1)(x + 1)

a) 7a + (3a – 4)(6 – 2a)

b) (x + 3)(x + 3)

b) 2b(3 – 2b) – (5b – b)(b + 6)

c) (x + 7)(x + 7) d) Kan du utifrån resultaten här ovanför förutsäga vad (x + 9)(x + 9) kan skrivas som, utan att utföra multiplikationen?

2106 Fyll i de tomma rutorna så att likheterna stämmer. a) 8(

+ 2) = 8x + 16

b) x(

+ 1) = x2 +

c) (

+ 1)(x +

2112 Förenkla uttrycken 4x2 – 12x a) ​ _________ ​

2 4x2 – 12x b) ​ _________

​ x 4x2 – 12x c) ​ _________

​ 4x

) = x2 + 3x + x + 3

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

51

2113 Faktorisera täljarna och förenkla sedan så långt som möjligt.

2

2121 Multiplicera och förenkla uttrycken. a) (x2 – 3x + 2)(x – 4) – (x2 – 5x + 4)(x – 2)

2

4a + a a) ​ _______

​ a

4x – 12x b) ​ _________ ​

x–3

2114 Förenkla uttrycken x2 – 3x a) ​ _______ ​

x–3

(x + 3)(x + 3) – 9 b) ​ ________________

​

x+6

b) (x2 + 2x – 3)(2x2 – 3x + 1) c) x(x2m + xm – 1) – xm

Nivå 3 2122 Hörnen på ett A4-papper, med måtten

Nivå 2

210 mm × 297 mm, klipps bort och pappret viks sedan till en öppen låda. Kvadraterna som klipps bort i hörnen har sidlängden x cm. Teckna ett uttryck för lådans volym och förenkla så långt som möjligt.

2115 En rektangel har arean (2a2 – 18a) cm2.

Ange höjden om basen är

2

a) a cm

b) 2a cm

x

2116 Teckna ett uttryck för arean av det färgade området och förenkla det så långt som ­möjligt. x + 10 x+1

2x + 5

x+1

2123 Lös ekvationen

2117 Bryt ut –2x ur uttrycken. a) –20xy + 50x3

b) 18x2y + 24xy2

(

b) (x – 1)(x2 – x + 3)

a(a – 1) x + ax

5

52

10

2125 Visa att a) (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 b) (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3

2126 Skriv om uttrycken som produkten av två parentesuttryck.

2120 Förenkla uttrycken 1 1 a) ​ _____ ​ – ​ _____ ​ x–1 x+1 (x – 5)(x + 5) b) ​ ____________ ​ (5 – x)(5 + x) 1 1 c) ​ __ ​ + __ ​ ​ när xy = a och x + y = b x y

/

ax + ay _______ bx + by _______ ​ ​ ​ ​

c) 2y(y + 2)(y2 – 2)

2119 Förenkla uttrycket ​ _______ ​, om x = a – 1.

)

2124 Förenkla uttrycket

2118 Multiplicera och förenkla uttrycken. a) 3x – (x – 5) – (x + 3)(x – 1)

) ( )(

r 3 r 1 1 ​ __ ​​ __ ​ ​ – 4r ​= ​ ​ __ ​ – ​ __ ​ ​​ __ ​ ​ – 8r ​ 2 4 4 2 2

a) ​x2​ ​− 3x − 18

b) ​x2​ ​+ x − 6

2127 Faktorisera

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

a) y(y + 2)3 + 2y(y + 2)4 _1

_3

b) ​x(x + 1)​2​∙ ​(x – 1)​​ 2 ​​ – ​(x + 1)​2​∙ ​(x – 1)​​ 2 ​​

Kvadreringsreglerna och konjugatregeln Produkten (9x + 4)(9x + 4) innehåller två parenteser med identiska uttryck.

För att snabbt kunna beräkna den här typen av produkter finns det två minnesregler, som kallas för första och andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Första kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett uttryck med två termer som har additionstecken mellan sig. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Första termen i kvadrat

Plus dubbla produkten

Likheten ​(a + b)​2​= ​a2​ ​+ 2ab + ​b2​ ​kan också tolkas geometriskt med hjälp av figuren till höger.

Arean av hela kvadraten är (a + b)2 men arean är också summan av de mindre rektanglarnas areor, a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Alltså är (a +

Andra kvadreringsregeln

b)2

=

a2

+ 2ab +

Plus andra termen i kvadrat

a+b

a

a2

ab

b

ab

b2

a

b

b2

a+b

Andra kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett uttryck med två termer som har subtraktionstecken mellan sig. (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 Första termen i kvadrat

Plus andra termen i kvadrat

Minus dubbla produkten

Även den här likheten kan tolkas geometriskt. Det får du själv göra i uppgift 2153.

Polynom och binom

Om vi använder första kvadreringsregeln för att skriva om uttrycket (9x + 4)(9x + 4) får vi (9x + 4)2 = (9x)2 + 2 ∙ 9x ∙ 4 + 42 = 81x2 + 72x + 16 I uttrycket 81x2 + 72x + 16 har alla variabeltermer positiva heltalsexponenter. Sådana uttryck kallas med ett gemensamt namn för polynom. Polynom som innehåller två termer, till exempel 9x + 4 kallas för binom. Första och andra kvadreringsregeln visar alltså hur man kan kvadrera binom.

Konjugatregeln

Binomen 9x + 4 och 9x – 4 är lika förutom tecknet mellan termerna.

Sådana binom kallas konjugerade binom eller konjugatbinom. För produkten av sådana binom finns också en regel. Den kallas för konjugatregeln. (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Minus andra termen i kvadrat

Första termen i kvadrat

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

53

2

Om vi använder konjugatregeln för att skriva om uttrycket (9x + 4)(9x – 4) får vi (9x)2 – 42 = 81x2 – 16

Räkneregler för binom Första kvadreringsregeln

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Andra kvadreringsregeln

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2

Konjugatregeln

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Reglerna hjälper oss att snabbare utföra multiplikationer av binom, men ännu viktigare är att de kan användas för att faktorisera uttryck. Senare kommer vi att utnyttja det för att lösa andragradsekvationer och undersöka andragradsfunktioner.

Exempel: Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna och konjugatregeln. a) (x – 3)2

b) (3x + 4)2

c) (5z + 1)(5z – 1)

andra kvadreringsregeln Lösning: a) (x – 3)2 = x2 – 2 ∙ x ∙ 3 + 32 = x2 – 6x + 9 Använd 2 2 2 ​(a – b)​ ​= ​a​ ​– 2ab + ​b​ ​

b) (3x +

4)2

(a + b)2

=

(3x)2

+ 2 ∙ 3x ∙ 4 +

a2

42

=

9x2

+ 24x + 16

b2

2ab

Använd första kvadreringsregeln ​(a + b)​2​= ​a2​ ​+ 2ab + ​b​2​

Använd konjugatregeln

c) (5z + 1)(5z – 1) = (5z)2 – 12 = 25z2 – 1 (a + b)(a – b) = ​a2​ ​– ​b2​ ​ Exempel: Förenkla (7x – 2y)(2y + 7x) Lösning: (7x – 2y)(2y + 7x) =

= (7x – 2y)(7x + 2y) =

Eftersom det är plustecken mellan termerna i den andra parentesen kan vi byta plats på termerna.

Då ser vi att vi kan använda konjugatregeln.

Vi använder konjugatregeln

= (7x)2 – (2y)2 = 49x2 – 4y2

54

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

Nivå 1

2136 Utveckla följande uttryck.

Utveckla följande uttryck med hjälp av kvadreringsreglerna.

2128 a) (x + 3)2

b) (6 + x)2

c) (x + 5)2

uttrycket (2y – 5)2.

Sandra: (2y – 5)2 = 4y2 – 20y – 25

b) (x – 1)2

c) (10 – x)2

c) (5x + 5y)2

2137 Sandra, Ina och Lotta har utvecklat

d) (3x + 2)2

2129 a) (x – 5)2

( )

1 2 b) ​​ x – __ ​ ​ ​​ ​ 2 d) (2x + 0,5y)2

a) (3 + 12x)2

Ina: (2y – 5)2 = 2y2 – 20y + 25

d) (2x – 3)2

Lotta: (2y – 5)2 = 4y2 – 20y + 25

2130 Utveckla uttrycken med hjälp av konjugat­ regeln.

a) Har någon av dem gjort rätt? b) Hur kan de som har gjort fel ha tänkt?

a) (x + 4)(x – 4)

b) (x – 10)(x + 10)

c) (7 – y)(7 + y)

d) (9 + y)(y – 9)

2131 Sacha har utvecklat uttrycket (4x +

3)2

med hjälp av kvadreringsregeln. Han fick resultatet 16x2 + 9. Ilija menar att Sacha har gjort fel. Vilket fel har Sacha gjort och vilken är den riktiga lösningen?

2132 Teckna ett uttryck för kvadratens area och förenkla så långt som möjligt. a)

a) (4x – 2)2

b) 2(7 – 8b)2

1 c) ​ __ ​ (9y – 3x)2 3

d) –(10b – 0,1a)2

Nivå 2 2139 Förenkla uttrycket så långt som ­möjligt.

( )( )

x x 4​ __ ​ ​ – 1 ​​ ​ __ ​ +1 ​ 2 2

(Np Ma2b ht 2012)

b) 3y – 5

2x + 3

2140 Andrea och Mike har utvecklat uttrycket

3y – 5

2(x + 3)2 på två olika sätt.

2x + 3

2133 Utveckla uttrycken med hjälp av konjugat­ regeln.

a) (x + 5)(x – 5)

2

2138 Utveckla uttrycken.

b) (7a + 9)(7a – 9)

c) (6x – 3y)(6x + 3y) d) (2z – 5)(5 + 2z)

Andrea: 2(x + 3)2 = (2x + 6)2 = 4x2 + 24x + 36 Mike: 2(x + 3)2 = 2(x2 + 6x + 9) = 2x2 + 12x + 18 Har någon av dem gjort rätt? Motivera.

2141 Beräkna värdet av uttrycken med hjälp av

2134 Lös ekvationerna b) (x – 1)2 = (x – 7)(x + 7)

kvadreringsregeln. Använd a)-uppgiften för att lista ut ett bra sätt att lösa de övriga uppgifterna.

c) (2x – 1)2 = (2x + 2)2

a) (50 + 2)2

a) (x + 5)2 = x2 + 35

2135 Fyll i de tomma rutorna så att likheterna stämmer.

+ 8x + 16 = (x +

b)

– 16 = (3x + 4)(3x – 4) – 12a + 9 = (

c) 362

2142 Fyll i de tomma rutorna så att likheterna stämmer.

a) x2

c) 4a2

b) 632

)2 –

3)2

a) (x + b) (

)2 = x2 + 6x +

+ 5)2 = 4y2 +

c) (a +

)(a –

)=

+ 25 – 36

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

55

2143 Visa att

2148 Multiplicera och förenkla 2

2

(2(x + 1) – y3)(2(x + 1) + y3).

a) (a + b) – (a – b) = 4ab b) (a – b)2 = (b – a)2

2149 a) Förklara varför 2n – 1 är ett udda tal, givet att n är ett heltal.

2144 Bilden visar fyra hästhagar som är kvadra-

tiska respektive rektangulära med sidlängderna x och y meter.

b) Visa att summan av kvadraten på talet 2n – 1 och kvadraterna på de två udda tal som följer därefter är 12n2 + 12n + 11

Nedan visas en skiss över hur hagarna ser ut ovanifrån. (m)

2

y x

x

y

y

x

Hästarna ska flyttas till en ny gemensam hage. Den nya hagen är kvadratisk och har lika stor area som de fyra ursprungliga hagarna tillsammans. Bestäm ett förenklat uttryck för sidans längd hos den nya hagen.

(Np Ma2b ht 2012)

c) Visa att produkten av två udda tal alltid är udda.

2150 Skriv om 9 991 som differensen mellan två

kvadrattal. Använd resultatet som hjälp för att faktorisera 9 991.

2151 Visa att uttrycket x2 – 6x + 10 är större än eller lika med 1 för alla värden på x.

2152 Johan påstår att hälften av medelvärdet av

kvadraterna av två heltal alltid är mindre än kvadraten av deras medelvärde. Undersök om detta är sant.

2153 Med hjälp av figurer kan man motivera

2145 Utveckla kvadraterna a) (x3 – x4)2 b) (7x – 1)2

­kvadreringsreglerna och konjugatregeln. a) Ta hjälp av figuren här nedanför för att motivera andra kvadreringsregeln.

( )

a

x 1 2 c) ​4​ __ ​ ​ – ​ __ ​ ​​ ​ 2 3

2146 Multiplicera uttrycken och förenkla. __ __ a) (x + √ ​ 7 ​ )(x – √ ​ 7 ​ ) __ __ √ √ b) (x​ 3 ​ – 4) (x​ 3 ​ + 4)

( )(

)

x 2 2 __ x c) ​ ​ __ ​ + ​ __ ​ ​​ __ ​ ​ – ​ ​ ​ 2 x x 2 d) (x + (1 – a))(x – (1 – a))

a b b

b) Utgå från figuren här nedanför. Fördela om ytorna och motivera konjugatregeln. a

Nivå 3 2147 Ett knep för att utföra kvadreringen 452 är att i stället beräkna 40 ∙ 50 + 25.

a) Visa att 40 ∙ 50 = 452 – 25 b) Beräkna 852 med samma knep. c) Förklara varför knepet alltid fungerar.

56

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

a b

b

Faktorisering av uttryck Vi har tidigare faktoriserat uttryck genom att bryta ut en gemensam faktor, som till exempel 3x + 6 = 3(x + 2) Men det är inte möjligt att med denna metod faktorisera uttrycket x2 – 6x + 9 eftersom termerna inte har någon gemensam faktor.

Uttrycket kan dock faktoriseras med hjälp av första kvadreringsregeln, eftersom x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3)(x – 3) I detta avsnitt visar vi hur konjugat- och kvadreringsreglerna kan användas för att faktorisera och förenkla uttryck. I nästa delkapitel visar vi hur man med hjälp av faktorisering kan lösa en del andragradsekvationer.

Exempel: Faktorisera uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna eller konjugatregeln. a) ​x2​ ​+ 12x + 36

b) 16x2 – 25

c) x5 – 4xy2

Lösning: a) Jämför vi uttrycket ​x​2​+ 12x + 36 med första kvadreringsregeln, ser vi att det är av formen ”första termen i kvadrat, plus dubbla produkten, plus andra termen i kvadrat”. Uttrycket kan därför faktoriseras med hjälp av första kvadreringsregeln.

Jämför med första x​ 2​ ​+ 12x + 36 = ​x2​ ​+ 2 ∙ x ∙ 6 + ​62​ ​= ​(x + 6)​2 ​ kvadreringsregeln

​a​2​+ 2ab + b ​ ​2​ = ​(a + b)​2​

b) Jämför vi uttrycket 16x2 – 25 med konjugatregeln, ser vi att det är av formen ”första termen i kvadrat, minus andra termen i kvadrat”.

Uttrycket kan därför faktoriseras med hjälp av konjugatregeln.

16x2 – 25 = (4x)2 – 52 = (4x + 5)(4x – 5)

Jämför med konjugatregeln ​a​2​– ​b​2​= (a + b)(a – b)

c) Genom att först bryta ut x ur uttrycket, får vi ett uttryck av formen ”första termen i kvadrat, minus andra termen i kvadrat” innanför parentesen. x5 – 4xy2 = x(x4 – 4y2) = x​ ((x2)​2​– (2y)2)

x4 = ​(x2)​2​ och 4y2 = (2y)2

Uttrycket i parentesen går sedan att faktorisera med konjugatregeln.

Vi får ​x((x2)​2​– (2y)2) = x(x2 + 2y)(x2 – 2y)

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

57

2

Exempel: Förenkla uttrycken genom att använda konjugat- eller kvaderingsreglerna. x2 – 4 a) ​ ______ ​ x+2

x2 + 6x + 9 b) ​ __________ ​

x+3

Lösning: Om vi hittar en gemensam faktor till täljare och nämnare, så kan den ­förkortas bort.

2

x2 – 4 (x + 2)(x – 2) a) ​ ______ ​ = ​ ____________

​ = x – 2 x+2 x+2

Vi förkortar med x + 2

x2 + 6x + 9 _______ (x + 3)2 b) ​ __________ ​

= ​ ​ = x + 3 x+3 x+3

Vi förkortar med x + 3

Nivå 1

2160 Fyll i de tomma rutorna så att likheterna­ stämmer.

2154 Vilket uttryck får du om du faktoriserar

a) x2 + 20x + 100 = (x +

uttrycket ​ x​2​+ 20x + 100 korrekt?

A x(x + 20)

B ​ (x + 10)​2​

C ​(x + 20)​2​

D ​(x + 50)​2 ​

2155 Faktorisera uttrycken med hjälp av första ­kvadreringsregeln. a) a2 c) y2

+ 10a + 25

b) x2

+ 6x + 9

+ 14y + 49

d) s2

+ 2st + t2

2156 Faktorisera uttrycken med hjälp av andra

2

b) 4x – 12x + 9 = (2x – c) x2

b) x2 – 10x + 25

c) y2 – 16y + 64

d) a2 – 12ab + 36b2

2157 Faktorisera uttrycken med hjälp av konjugatb) x2 – 64

c) 4x2 – 1

d) x2 – 100y2

2158 Faktorisera uttrycken med hjälp av någon av kvadreringsreglerna. a) x2 + 2x + 1

b) x2 – 18x + 81

1 c) x2 + xy + __ ​ ​ y2 4

d) 25 – 10y + y2

)

) – 4)

x2 + 8x – 16 med hjälp av någon av kvadreringsreglerna. Jonna lyckas inte lösa uppgiften. Förklara för Jonna varför det inte går.

2162 Faktorisera täljaren och förkorta så långt som möjligt.

a2 – 36 a) ​ _______ ​

a–6

x2 – 10x + 25 b) ​ ____________

​

x–5

2163 Om man vill faktorisera uttrycket

2x2 + 8x + 8, kan man inleda med att bryta ut den gemensamma faktorn 2. Uttrycket skrivs då 2(x2 + 4x + 4). Slutför faktoriseringen av uttrycket.

Nivå 2 2164 Ett uttryck för arean av en kvadrat är

2159 Ylvali påstår att x + 3 är en faktor i x2 – 9.

Har hon rätt eller fel? Motivera ditt svar.

58

) (x –

+ 4) (

)

2

2161 Jonna får i uppgift att faktorisera uttrycket

regeln.

a) y2 – 16

= (x +

d) 36x2 – 16 =(

­kvadreringsregeln. a) a2 – 2a + 1

–

49y2

) (x +

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

(x2 – 22x + 121) dm2. Ange ett uttryck för ­kvadratens sida.

2165 Faktorisera uttrycken. Ledtråd: Bryt först ut en gemensam faktor. a) –2x2 + 8y2

2171 Förenkla följande uttryck. x2 + 2x + 1 a) __________ ​ ​

x2 – 1 x2 – 6x + 9 ______ 2x – 2 b) __________ ​ ​

∙ ​ ​ x2 – 1 x–3

b) 4a2 – 32a + 64

2166 Faktorisera uttrycken med hjälp av konjugatregeln.

4 a) x2 – __ ​ ​ 9

a2

16 b) ​ ___ ​ – ​ ___ ​ 4 25

a b __ ​ ​ + __ ​ ​

b a

c) ​ ______ ​ 1 1 __ ​ ​ – __ ​ ​ a b

c) x2 – 3

2167 Faktorisera uttrycken.

2a 1 a) a2 + ___ ​ ​ + ​ __ ​ 3 9 2 c) y – 10

Nivå 3

4 4 b) x2 – __ ​ ​ x + ___ ​ ​ 7 49 d) a2 – b4

2172 Faktorisera uttrycken. a) a2 + n + an

2168 Fyll i de tomma rutorna så att likheterna

b) 4n + 2n – 1

­stämmer.

c) 4(x + 5) – x2(x + 5)

y2 – 16 a) ​ _______ ​ =y+4 y–

2173 Visa att (a + b) – 4ab ≥ 0 för alla värden på 2

x2 + 4x + b) ​ ___________ ​

=x+2 x+2

a och b.

2174 Förenkla uttrycket

y2 – + 81 c) ​ ___________ ​

=y–9 y–9

3 1 ______ ​ ​ – ​ _____ ​

2x – 2 x + 1 _____________ ​

​ 1 x

2169 En triangel har arean (16x – 4xy2) cm2.

_____ ​ ​ + ______ ​ 2 ​

Bestäm basen om höjden är 4x cm.

x–1

2170 Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

5x2 + 5x a) ​ ________

​ 25 – 10x

​x​ ​ – 1

2175 Faktorisera uttrycken.

11x2y2 – 33x2 b) ​ _____________

2 2 ​

a) (x – 1)(x + 2)2 – (x – 1)2(x + 2)

22x – 55x y

b) x2 – 9y2 + 12x + 36

Resonemang och begrepp u Förklara skillnaden mellan ett uttryck och en ekvation. u Förklara hur multiplikationen (3a + 5)(6 + 2a) kan utföras. u Vilka likheter och skillnader finns mellan ett polynom och ett binom? u Ge exempel på hur konjugat- och kvadreringsreglerna kan användas för att förenkla huvudräkning. u Bakgrunden till namnen på kvadreringsreglerna är ju lätt att förstå, men varför heter det konjugatregeln? u Nämn några olika metoder som man kan använda för att faktorisera ett uttryck. u Vilken nytta kan man ha av att faktorisera uttryck?

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.1 algebraiska uttryck

59

2

2.2 Enkla andragradsekvationer Ekvationer av typen x2 = a Andragradsekvation

Ekvationer som 3x2 + x = 7 och x2 = 6, sägs vara av andra graden eftersom den obekanta, x, är upphöjd till två. Redan i kurs 1b löste vi andragradsekva2 tioner av typen__ x2 = 6, med __ hjälp av kvadratrötter. Lösningarna till x = 6 skrev vi x = ±​√6 ​ , där ​√6 ​ är det positiva tal vars kvadrat är 6. I det här avsnittet repeterar vi hur man löser sådana andragradsekvationer. Vi inleder med att repetera definitionen av kvadratrot.

Kvadratrot

2

Kvadratroten ur ett tal a ≥ 0, är det tal b ≥ 0 som uppfyller b2 = a. __ Vi skriver b = √ ​ a ​ .

Saknar lösning

Notera att kvadratroten inte är definierad för negativa tal. Det innebär att vi inte kan lösa ekvationer som exempelvis x2 = –9, eftersom det inte finns något reellt tal vars kvadrat är negativ. Vi säger att ekvationen saknar lösning.

Exempel: Lös andragradsekvationen 6x2 – 54 = 0.

Lösning: 6x2 – 54 = 0 Vi adderar 54 till båda led för att få 6x2 ensamt 6x2 = 54 6x2 54 ____ ​ ​ = ___ ​ ​ 6

6

x2 = 9

__

x = ±​√9 ​ = ±3

Vi dividerar båda led med 6 för att få x2 ensamt

Både 32 och (–3)2 är lika med 9

Svar: x1 = 3 och x2 = –3

Exempel: Lös ekvationen x(x + 3) = 3x + 14 exakt. Ange även ett närmevärde med tre decimalers noggrannhet.

Lösning: x(x + 3) = 3x + 14 x2

+ 3x = 3x + 14

Utför multiplikationen i VL Subtrahera 3x från båda leden

x2 + 3x – 3x = 3x + 14 – 3x x2 = 14

___

x = ±​√14 ​

Exakt lösning

x ≈ ±3,742

Närmevärde med tre decimaler

___ ___ Svar: x1 = √ ​ 14 ​ ≈ 3,742 och x2 = –​√14 ​ ≈ –3,742

60

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.2 Enkla andragradsekvationer

Exempel: Lös ekvationen (x – 13)2 = 784 Lösning: (x – 13)2 = 784

____

x – 13 = ±​√784 ​

x – 13 = ±28 x − 13 är alltså antingen 28 eller −28. Det ger: x – 13 = 28

x – 13 = –28

x = 41

x = –15

Prövning:

x = 41 VL = (41 –

13)2

=

282

= 784 = HL

Det kan vara en god idé att pröva sin lösning

2

Prövning:

x = –15 VL = (–15 – 13)2 = (–28)2 = 784 = HL Svar: x1 = 41 och x2 = –15

Nivå 1

2204 Vilken eller vilka av andragradsekvationerna A–D saknar lösning?

2201 Lös andragradsekvationerna utan digitalt hjälpmedel. a) x2 = 81

b) x2 = 49

c) ​x​2​– 100 = 0

d) ​x​2​= –49

A x2 = 35 B x2 + 35 = 0 C 35x2 = 0

2202 En kvadrat har arean 64 cm2. Hur lång är dess sida? Lös uppgiften i följande steg.

x2 D ​ ___ ​ = 1 35

2205 Lös andragradsekvationerna och avrunda till tre decimaler.

a) Kalla kvadratens sida för x och ställ upp en ekvation.

64 cm2

a) 4y2 = 80

b) 3 – m2 = –7

c) πr2 = 10

d) 0,2x2 – 1 = 0

b) Lös ekvationen.

2206 En kvadrat har arean 85 cm2. Bestäm kvadra-

c) Besvara frågan.

tens omkrets.

2203 Lös andragradsekvationerna utan digitalt hjälpmedel. a) 9 =

x2

– 16

c) 3y2 = 48

b) 4 –

x2

=3

d) –y2 = –100

2207 Lös andragradsekvationerna utan digitalt hjälpmedel. a) x2 = 52

b) x2 = 0,25

42 c) x2 = ___ ​ 2 ​ 9

4 d) x2 = __ ​ ​ 9

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.2 Enkla andragradsekvationer

61

2208 Lös andragradsekvationerna. Svara exakt. a) 6t2 = 35 – t2 2

2

b) 14 – 9a = –16 – 4a

kvadratens area.

2215 Lös ekvationen

c) 7x2 + 4 = 3x2 – 12

(x – 5)2 – (x + 3)(x – 3) = (x + 4)2 – 18x

2209 Hur många lösningar har ekvationen x2 – a = 0 om

2216 Lös andragradsekvationerna och svara exakt. a) (x – 2)2 = 9

a) a = 36

b) (x + 3)2 – 30 = 6

b) a = –100

c) (5 – 2x)2 – 144 = 0

c) a = 0

2210 Lös ekvationen (x + 3)2 – 6x + 27 = 2x2

2

2214 I en kvadrat är diagonalen 10 cm. Bestäm

2211 En bil som kör med hastigheten v km/h på torr asfalt har bromssträckan s meter, där s = 0,005v2 a) Hur lång är bromssträckan för en bil som kör i 30 km/h? b) Polisen mäter upp 44 meter långa bromsspår vid en olycksplats. Hur snabbt körde bilen?

Nivå 2

2217 Lös andragradsekvationerna och svara exakt.

64 a) (x – 2)2 = ___ ​ ​ 81 4 12 b) (x + 3)2 – ___ ​ ​ = ​ ___ ​ 25 25 8 1 c) (5 – 2x)2 – ___ ​ ​ = ​ ___ ​ 49 49

2218 I rektangeln ABCD är sträckan AB tre gånger så lång som sträckan BC. Sträckan AC är 20 cm. Bestäm exakt rektangelns a) omkrets

Nivå 3

2212 Reza tjänar 34 500 kr per månad. Han får

samma procentuella löneökning två år i rad och tjänar sedan 36 105 kr per månad. Hur stor var den procentuella ökningen varje år?

2213 Bestäm längden av kateterna i triangeln.

10

(cm)

2219 En kvadrat har arean A. Uttryck kvadratens omkrets med hjälp av A.

2220 Låt d beteckna längden av diagonalen i en ­kvadrat och A beteckna kvadratens area.

Visa att d2 = 2A.

3x

4x

62

b) area

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.2 Enkla andragradsekvationer

Att lösa andragradsekvationer med faktorisering Andragradsekvationer med förstagradsterm

Ekvationen x2 – 7x = 0 är av andra graden eftersom x är upphöjd till två.

Men till skillnad från andragradsekvationerna i förra avsnittet innehåller ekvationen även en förstagradsterm, 7x. Det gör att vi inte kan lösa ekvationen med roturdragning som i förra avsnittet. I stället utnyttjar vi att uttrycket i vänsterledet kan faktoriseras.

Om vi faktoriserar vänsterledet i ekvationen x2 – 7x = 0 får vi x(x – 7) = 0 Här är det ena ledet skrivet i faktorform och det andra ledet är 0. Om produkten av två faktorer är 0, så måste minst en av faktorerna vara noll. I vårt fall betyder det att antingen x = 0 eller x – 7 = 0 , dvs. x = 7. Vi kan visa att just dessa tal löser ekvationen: x=0

ger VL = 0 ∙ (0 – 7) = 0 ∙ (–7) = 0 = HL

x = 7

ger VL = 7 ∙ (7 – 7) = 7 ∙ 0 = 0 = HL

Ekvationen har alltså lösningarna x1 = 0 och x2 = 7.

Samma idé kan vi använda för att lösa alla ekvationer som kan skrivas om så att ena ledet är i faktorform och det andra ledet har värdet noll. Vi visar med hjälp av några exempel.

Exempel: Lös andragradsekvationerna a) x(x + 4) = 0

b) (x + 24)(3x – 2) = 0

Lösning: a) x(x + 4) = 0

Vänsterledet är skrivet i faktorform

Minst en av faktorerna x eller x + 4 måste vara 0, för att produkten ska bli 0. x = 0

x + 4 = 0

x = –4 Svar: x1 = 0 och x2 = –4 b) (x + 24)(3x – 2) = 0

Vänsterledet är skrivet i faktorform

Minst en av faktorerna x + 24 eller 3x – 2 måste vara 0, för att produkten ska bli 0. x + 24 = 0

3x – 2 = 0

x = –24

3x = 2

2 x = __ ​ ​ 3

2 Svar: x1 = – 24, x2 = __ ​ ​ 3

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.2 Enkla andragradsekvationer

63

2

Exempel: Lös andragradsekvationerna a) 2x2 + 3x = 0

b) 9x2 = –15x

Lösning: a) 2x2 + 3x = 0 x(2x + 3) = 0

Vi faktoriserar vänsterledet

Minst en av faktorerna x eller 2x + 3 måste vara 0, för att produkten ska bli 0. x = 0

2x + 3 = 0

2x = –3 3

x = – __ ​ ​ 2 3 Svar: x1 = 0 och x2 = – __ ​ ​ 2

2

b) 9x2 = –15x 9x2 + 15x = 0

Samla termerna i VL

3x(3x + 5) = 0

Vi faktoriserar vänsterledet genom att bryta ut 3x

Minst en av faktorerna 3x eller 3x + 5 måste vara 0, för att produkten ska bli 0.

3x = 0

3x + 5 = 0

x = 0

3x = –5

5 x = – __ ​ ​ 3

5 Svar: x1 = 0, x2 = –​ __ ​ 3

Exempel: Lös andragradsekvationen 2x2 + 4x + 2 = 0.

Lösning: Vi kan lösa ekvationen genom att faktorisera vänsterledet.

2x2 + 4x + 2 = 0

Bryt ut den gemensamma faktorn 2

2(x2 + 2x + 1) = 0

Faktorisera med första kvadreringsregeln

2(x + 1)2 = 0 För att VL ska vara 0, måste x + 1 = 0. Det ger x = –1 Svar: x = –1

64

Ekvationen har endast en lösning

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.2 Enkla andragradsekvationer

Nivå 1

2228 Efter att ha seglat på grund skickar Eva och

2221 Lös ekvationerna a) x(x – 36) = 0

b) x(x – 8) = 0

c) 2(x + 13) = 0

d) 4x(x – 36) = 0

2222 Lös ekvationen x2 – 2x = 0 genom att a) först bryta ut x i vänsterledet b) sedan bestämma de värden på x som gör att produkten blir noll Lös ekvationerna

2223 a) x2 + 8x = 0 c) 3x2 – 12x = 0

b) x2 – x = 0 d) 4x2 = 2x

2224 a) (x – 12)(x – 4) = 0 b) x(2x + 10) = 0 c) (3x – 9)(5 – 2x) = 0 d) 6(x + 3)(x – 5) = 0

Svante upp en nödraket. Raketens bana beskrivs av h(t) = 25t – 5t2 där h(t) är höjden i meter över vattnet och t är tiden i sekunder efter det att de skickat i väg raketen. Efter hur lång tid slår raketen ner i vattnet?

2229 Lisa löser ekvationen x(x – 6) = 0 och får

­lösningarna x1 = 0 och x2 = 6. Hon tycker att metoden borde kunna användas för att lösa ekvationen x(x – 6) = 14, eftersom 14 kan skrivas som 2 ∙ 7. Förklara varför metoden inte fungerar om produkten är något annat än 0.

2230 Konstruera en andragradsekvation med

1 ­rötterna x1 = 0 och x2 = –​ __ ​ som är skriven i 3 formen ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är h ­ eltal.

2231 Vilka tal a och b gör att ekvationen

(ax + 2)(bx – 5) = 0 har lösningarna x1 = 1 och x2 = 5?

Nivå 2 2225 Lös ekvationen x2 – 16 = 0 a) med roturdragning

Nivå 3

b) genom att faktorisera ekvationens vänstra led med hjälp av konjugatregeln

2232 Linus ska lösa ekvationen x2 = 8x. Han gör så

2226 Ange en andragradsekvation med rötterna a) x1 = 0 och x2 = 9

här:

x2 = 8x x2 8x __ ​ ​ = ___ ​ ​ x x x=8

b) x1 = 2 och x2 = –3

vänstra ledet med hjälp av någon av kvadreringsreglerna.

Elvira har löst ekvationen på ett annat sätt och fått två lösningar till ekvationen, som vid prövning visar sig vara korrekta.

a) x2 – 2x + 1 = 0

a) Vilka är de två lösningarna?

2227 Lös ekvationerna genom att först faktorisera

b) x2 + 6x + 9 = 25

b) Förklara varför Linus metod inte ger båda lösningarna.

Resonemang och begrepp u Har alla andragradsekvationer i formen x2 = a, där a är en konstant, två reella rötter? u Kan alla andragradsekvationer lösas med hjälp av faktorisering? u Varför kan det vara problematiskt att lösa en ekvation av typen x(x – a) = 0 genom att först dividera båda led med x?

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.2 Enkla andragradsekvationer

65

2

2.3 Fullständiga andragradsekvationer Kvadratkomplettering Hittills i kapitlet har vi främst löst andragradsekvationer av typen x2 = 14 och x2 + 14x = 0 Den första ekvationen saknar x-term och den andra ekvationen saknar konstantterm.

Fullständig andragradsekvation

2

En fullständig andragradsekvation innehåller en x2-term, en x-term och en konstantterm. Ett exempel på en fullständig andragradsekvation är 2x2 + 12x = 32 Allmänt kan varje andragradsekvation skrivas i formen ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter. Ekvationen 2x2 + 12x = 32 skrivs i denna form 2x2 + 12x – 32 = 0 där a = 2, b = 12 och c = –32.

Det finns olika sätt att lösa fullständiga andragradsekvationer. Ett sätt är att skriva om ekvationen så att vänsterledet blir en kvadrat. Vi visar ­metoden genom att lösa ekvationen 2x2 + 12x = 32 Vi börjar med att dividera båda leden med 2 och får då x2 + 6x = 16 För att kunna skriva om vänsterledet till en kvadrat, adderar vi 9 till båda led.

Vänsterledet x2 + 6x + 9 kan då skrivas om till (x + 3)2 med hjälp av den första kvadreringsregeln. Vi får x2 + 6x + 9 = 16 + 9

Vi adderar 9 till ekvationens båda led

x2 + 6x + 9 = 25

Vi utnyttjar att (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

(x + 3)2 = 25 Nu kan vi lösa ekvationen. x + 3 = ±5 x + 3 är alltså antingen 5 eller –5. Det ger: x + 3 = 5

x + 3 = –5

x = 2

x = –8

Ekvationen har alltså lösningarna x1 = 2 och x2 = –8.

66

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

Kvadratkomplettering

Metoden att skriva om vänstra ledet till en kvadrat, kallas för kvadratkomplettering och har en geometrisk tolkning. Namnet kommer av att man i den geometriska tolkningen kompletterar en figur med en kvadrat, i vårt fall en kvadrat med arean 9 a.e., så att figuren blir kvadratisk. Tillägget av kvadraten med arean 9 a.e. motsvarar additionen med 9 i lösningen på förra sidan.

1. x

3.

2.

x2

6x

x

6

x2

x

3x 3x

x

3

x+3

3

3x

32

x

x2

3x

x

3

3 x+3

x+6 Vi vill lösa ekvationen x2 + 6x = 16

Vi omfördelar figurens yta

Om vi lägger till en liten kvadrat med arean 9 a.e., bildas en stor kvadrat med sidan (x + 3).

Exempel: Lös andragradsekvationerna och svara exakt. a) x2 + 12x – 13 = 0

b) 5x2 – 40x + 50 = 0

Lösning: Vi löser ekvationerna med kvadratkomplettering. a) x2 + 12x – 13 = 0 x2

Addera 13 till båda leden

+ 12x = 13

Om vi adderar 36 till båda leden så kan VL skrivas om som en kvadrat

x2 + 12x + 36 = 13 + 36 (x + 6)2 = 49

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

x + 6 = ±7 x + 6 är alltså antingen 7 eller –7. Det ger: x + 6 = 7

x + 6 = –7

x = 1

x = –13

Svar: x1 = 1, x2 = –13 b) 5x2 – 40x + 50 = 0 x2 – 8x + 10 = 0

Dividera båda leden med 5, för att koefficienten framför x2-termen ska bli 1

x2 – 8x = –10 x2 – 8x + 16 = –10 + 16 (x – 4)2 = 6

Vi adderar 16 till båda leden eftersom x2 – 8x + 16 kan skrivas om till (x – 4)2

__ __ x – 4 = ±​√6 ​ ​√6 ​ är ett exakt värde __

__

x–4=√ ​ 6 ​

x – 4 = –​√6 ​

x=4+√ ​ 6 ​

x=4–√ ​ 6 ​

__

__

__

__

Svar: x1 = 4 + √ ​ 6 ​ och x2 = 4 – √ ​ 6 ​

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

67

2

Exempel: I lekparkens fotbollsplan är en sida 7 meter längre än den andra.

Fotbollsplanens area är 368 m2. Vilka mått har fotbollsplanen?

Lösning: Vi antar att bredden är x m. Då är längden (x + 7) m.

Eftersom arean är 368 m2, kan vi ställa upp ekvationen x(x + 7) = 368 som kan skrivas x2 + 7x = 368. Vi löser ekvationen med kvadrat­ komplettering. x2 + 7x = 368

( ) ( ) 7 x + 7x + ​​ ( __ ​ ​ )​​ = 380,25 2 7 ​​ ( x + __ ​ ​ )​​ ​= 380,25 2

( )

7 2 7 2 ​ ​ ​​ ​ = 368 + ​​ __ ​ ​ ​​ ​ x2 + 7x +​​ __ 2 2 2

2

2

7 2 Vi adderar ​​ __ ​ ​ ​​ ​till ekvationens båda led 2

( ) ( )

7 2 7 2 Vi utnyttjar att ​x2​ ​+ 7x + ​​ ​ __ ​ ​​ ​= ​​ x + __ ​ ​ ​​ ​ 2 2

​

2

_______ 7 x + __ ​ ​ = ±​√380,25 ​

2 x + 3,5 = ±19,5 x + 3,5 = 19,5

x + 3,5 = –19,5

x = 16

x = –23

Ekvationen har alltså lösningarna x = 16 och x = –23. Endast den första lösningen är positiv och kan motsvara längden av en sträcka.

Planens andra sida är 7 m längre och har alltså längden (16 + 7) m = 23 m.

Svar: Planens mått är 23 m × 16 m.

Nivå 1

2302 Ekvationslösningarna med kvadratkomplette-

2301 Malin löser en andragradsekvation med hjälp av kvadratkomplettering. Hon har kommit fram till att ​(x − 5)​2​= 100

ring är påbörjade. Fyll i det som saknas i rutorna och slutför sedan lösningarna. a) x2 + 4x = 12 x2 + 4x +

= 12 +

(x + 2)2 =

x​ 2​ ​– 10x = 75 ​x​2​– 10x + 25 = 75 + 25 (x – 5)2 = 100

x+2=± b) x2 – 6x + 5 = 0 ​x​2​− 6x = −5 x2 – 6x +

Hjälp Malin att fullfölja lösningen av ­ekvationen.

68

(x –

)2

x–

=±

=

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

= –5 +

2303 Lös ekvationerna med hjälp av kvadratkompettering.

a) x2 + 8x = 9 b) x2 – 10x – 11 = 0 c) y2 + 5y + 4 = 0 d) y2 – 7y + 12 = 0

2304 Två på varandra följande positiva heltal har produkten k(k + 1). Vilka är heltalen om ­produkten är a) 156

b) 552

Nivå 2

2310 Bosse och Helena löser ekvationen

x2 + 12x + 3 = 0 med kvadratkomplettering.

Bosse inleder med att subtrahera 3 från båda led, medan Helena inleder med att addera 33 till båda led. Förklara hur Bosse och Helena kan ha tänkt.

Nivå 3 2311 Låt x – 1, x och x + 1 vara tre positiva heltal.

Produkten av dem är fem gånger så stor som deras summa. Vilka är de tre talen?

2312 Bestäm triangelns area.

a) 5x2

2

(cm)

2305 Lös ekvationerna exakt.

y + 12

y + 10

– 10x = 15

b) 2x2 – 8x + 10 = 0

17

c) x2 – 12x + 8 = 0

2313 Enya visar en matematisk konstighet för sin

2306 Lös ekvationerna a) 2x2 + 7x + 5 = x(x + 3) + 17 b) 9x2 + 36x + 36 = 4

25 – 45 = 16 – 36

( )

2307 Bestäm triangelns sidor.

9 2 Adderar ​​ ​ __ ​ ​​ ​till båda led 2

(cm)

( )

x

Skriver om båda led med kvadreringsregeln

( ) ( )

9 2 9 2 ​​ 5 – __ ​ ​ ​​ ​ = ​​ 4 – __ ​ ​ ​​ ​ 2 2

x+6

2308 Ett papper av formatet A5 har formen av en

rektangel där ena sidan är 62 mm längre än den andra. Arean är 31 250 mm2. Vilka mått har ett A5-papper?

2309 Bestäm värdet av a, så att ekvationens ena lösning är x = 1. Hitta sedan ekvationens andra lösning. b) x2 + ax – 7 = 0 c) ax2 + 5x – 6 = 0

( )

9 2 9 2 52 – 45 + ​​ __ ​ ​ ​​ ​= 42 – 36 + ​​ __ ​ ​ ​​ ​ 2 2

20

a) x2 + 4x + a = 0

kompis Senéad. Hon utgår från likheten 25 – 45 = 16 – 36 och kvadratkompletterar bägge led. Hon får följande resultat

Tar kvadratroten ur båda led

( ) ( )

9 9 ​ 5 – __ ​ ​ ​ = ​ 4 – __ ​ ​ ​ 2 2 9 Adderar till __ ​ ​ till båda led 2

5=4

Sinéad förstår att något inte stämmer, men kan inte komma på vad det kan vara.

Hjälp Enya att förklara för Sinéad vad som ligger bakom det tokiga resultatet.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

69

Lösningsformel för andragradsekvationer Vi har tidigare visat tre olika metoder för att lösa andragradsekvationer.

Ekvationen x2 – 16 = 0 kan vi lösa med kvadratrotsurdragning, ekvationen x2 – 16x = 0 genom faktorisering och den fullständiga andragradsekvationen x2 – 16x + 15 = 0 med kvadratkomplettering.

Vi ska nu visa ytterligare ett sätt att lösa fullständiga andragradsekvationer.

Varje andragradsekvation kan skrivas i formen x2 + px + q = 0 där p och q är konstanter. Till exempel kan den fullständiga andragradsekvationen 10x2 + 20x = 150 skrivas om till

2

x2 + 2x – 15 = 0

Vi dividerar båda led i ekvationen med 10 och subtraherar sedan 15 från båda led

där p = 2 och q = –15.

Formeln som används för att lösa andragradsekvationer i denna form brukar kallas pq-formeln, eftersom det räcker att du känner till p och q i ekvationen för att kunna lösa den.

pq-formeln En andragradsekvation av formen x2________ + px + q = 0 har lösningarna ________ 2 p p p p 2 x1 = –​ __ ​+ ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​– q ​ och x2 = –​ __ ​– ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​– q ​ 2 2 2 2

√ ( )

√ ( )

Om vi vill använda pq-formeln för att lösa ekvationen x2 + 2x – 15 = 0, konstaterar vi först att p = 2 och q = –15. Sedan sätter vi in värdena i formeln.

___________

√ ( )

q med ombytt tecken

_________

___ 2 2 2 ​ ​ ​​ ​ – (–15) ​ = –1 ± ​√1 2 + 15 ​ = –1 ± ​√16 ​ = –1 ± 4 x = –​ __ ​ ± ​ ​​ __ 2 2 Halva p med ombytt tecken

Halva p i kvadrat

Rötterna blir alltså x1 = –1 – 4 = –5 och

x2 = –1 + 4 = 3

Eftersom alla andragradsekvationer kan skrivas i formen x2 + px + q = 0, kan man lösa alla andragradsekvationer med hjälp av pq-formeln. Men glöm inte bort de andra metoderna du har lärt dig, som roturdragning, faktorisering och kvadratkomplettering. De går ibland snabbare att använda än pq-formeln.

Hur kan man komma fram till pq-formeln och hur vet vi att den fungerar? Vi härleder formeln med hjälp av kvadratkomplettering. Som jämförelse löser vi även ekvationen x2 + 3x + 1 = 0 med kvadratkomplettering.

70

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

Härledning av pq-formeln

x2 + 3x + 1 = 0

x2 + px + q = 0

x2 + 3x = –1

x2 + px = –q

( ) ( ) ( __ ) ________ ( __ ) __ ( __ ) √________ __ __ √( )

( ) ( ) 3 3 p p ​​ x + ​ ​ ​​ ​ = ​​ ​ ​ ​​ ​ – 1 ​​ ( x + __ ​ ​ ​​ ​ = ​​ ( __ ​ ​ ​​ ​ – q 2 2 2) 2) ________ 3 3 p p __ x + ​ ​ = ±​√​​ ( __ ​ ​ )​​ ​ – q ​ x + ​ ​ = ±​ ​​ ​ ​ ​​ ​ – 1 ​ 2 2 2 2 ________ 3 3 p p __ x = –​ ​ ± ​ ​​ ​ ​ ​​ ​ – 1 ​ x = –​ ​ ± √ ​ ​​ ( __ ​ ​ )​​ ​ – q ​

2 2 2 2 3 2 3 2 x2 + 3x + ​​ __ ​ ​ ​​ ​ = ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – 1 2 2 2

Subtrahera med konstanttermen i båda leden p 2 Addera med ​​ ​ __ ​ ​ ​ 2

( )

p 2 p 2 x2 + px + ​​ __ ​ ​ ​​ ​ = ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q Skriv om VL med 2 2

2

2

2

2

2

2

2

kvadreringsregeln

Lös ut x Vi har härlett pq-formeln

2

Exempel: Lös ekvationerna a) x2 – 8x + 7 = 0

b) x2 + 3x + 2 = 0

Lösning: Vi löser ekvationerna med pq-formeln. a) x2 – 8x + 7 = 0 Vi ser att p = –8 och q = 7. Dessa värden sätts in i pq-formeln:

_________

( ) √ ( )

q med ombytt tecken

________

–8 –8 2 ​ ​ ​± ​ ​​ ___ ​ ​ ​​ ​– 7 ​ = 4 ± ​√(–4) 2 – 7 ​ x = –​ ___ 2 2 Halva p med ombytt tecken

Halva p i kvadrat

________ _______ __ __ √​( –4)​2​– 7 ​ x=4±√ ​ 9 ​ ​

= ​√16 – 7 ​ =√ ​ 9 ​

x = 4 ± 3

Vi får två rötter

x = 4 + 3 = 7 och x = 4 – 3 = 1 Svar: x1 = 7 och x2 = 1 b) x2 + 3x + 2________ =0

√ ( )

3 3 2 ​ ​ ​​ ​– 2 ​ x = –​ __ ​ ± ​ ​​ __ 2 2

_____

√ __ √__

3 9 x = –​ __ ​ ± ​ __ ​ ​ – 2 ​ 2

4

3 1 9 9 8 __ 1 __ x = –​ __ ​ ± ​ ​ ​ ​ ​

​ – 2 = __ ​ ​ – __ ​ ​ = ​ ​ 4 4 4 4 2 4 3 1 x = –​ __ ​ ± ​ __ ​ 2 2 3 1 3 1 __ x = –​ ​ + ​ __ ​ = –1 och x = –​ __ ​ – ​ __ ​ = –2 2 2 2 2 Svar: x1 = –1, x2 = –2

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

71

Exempel: Lös ekvationen 2x2 + 40x = 88 Lösning: 2x2 + 40x = 88 För att kunna använda pq-formeln skriver vi först ekvationen i formen x2 + px + q = 0.

2x2 + 40x = 88

Subtrahera båda leden med 88

2x2 + 40x – 88 = 0

Dividera båda leden med 2

2

x + 20x – 44 = 0 Nu kan vi använda pq-formeln med p = 20 och q = –44. ____________ ________

​ 10 2 + 44 ​ x = –10 ± √

√ ( )

20 20 2 ____ x =–​ ____ ​ ± ​ ​​ ​ ​ ​​ ​– (–44) ​ 2 2

____ ____ √144 ​ x = –10 ± √ ​ 144 ​ ​

= 12

2

x = –10 + 12 = 2 och x = –10 – 12 = –22 Svar: x1 = 2 och x2 = –22

Exempel: Fabian tävlar i spjutkastning. Kastets höjd beskrivs av h(t) = –3t2 + 9t + 1,8 där h(t) är höjden i meter och t är tiden i sekunder från utkastet.

Hur länge befinner sig spjutet i luften?

Lösning: När spjutet landar är spjutets höjd 0 meter. Vi behöver alltså lösa ekvationen h(t) = 0.

–3t2 + 9t + 1,8 = 0 Vi dividerar båda leden med –3, så att pq-formeln kan användas.

–3t2 + 9t + 1,8 ___ 0 ​ _____________

​ = ​ ​ –3 –3 t2 – 3t – 0,6 = 0

p = –3 och q_____________ = –0,6 –3 3 2 t = –​ ____ ​ ​ ​ ± ​ ​​ –​ __ ​ ​​ ​– (–0,6) ​ 2 2

t ≈ 1,5 ± 1,7

Lösningen t = 1,5 – 1,7 är negativ och kan inte motsvara hur lång tid ett spjut varit i luften. Den förkastas.

_________ t = 1,5 ± √ ​ 1,5 2 + 0,6 ​ _____ t = 1,5 ± √ ​ 2,85 ​

t ≈ 3,2

( ) √ ( )

Svar: Spjutet är i luften i 3,2 sekunder.

72

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

Nivå 1

2320 Stina vill lösa ekvationen x2 – 16 = 0 med

Lös uppgifterna utan digitalt hjälpmedel.

2314 Amin vill lösa andragradsekvationen

pq-formeln. Hon sätter in p = 0 och q = –16 i pq-formeln och får

_________

√ ( )

0 0 2 ​ ​ ​​ ​ + 16 ​ x = –​ __ ​ ± ​ ​​ __

x2 – 6x + 5 = 0 med hjälp av pq-formeln, men är lite osäker på hur man använder den rätt.

2 2 a) Fullfölj Stinas lösning. Vilka är ekvationens rötter?

a) Hjälp Amin att identifiera p och q i ekvationen x2 – 6x + 5 = 0.

b) Visa Stina hur hon skulle kunna lösa ekvationen på ett enklare sätt.

b) Visa Amin hur resten av lösningen till ekvationen ska se ut.

c) Ge tips till Stina hur hon kan se om en andragradsekvation enklare kan lösas utan att använda pq-formeln.

Lös ekvationerna.

2321 Rektangelns area är 216 cm2. Hur långa är

2315 a) x2 + 4x – 21 = 0

2

rektangelns sidor?

b) x2 – 6x – 55 = 0

(cm)

c) x2 – 14x + 13 = 0

x

2316 a) t2 + 7t + 6 = 0 b) s2 + s – 12 = 0

x+6

c) v2 + 3v – 4 = 0

2322 Lös ekvationerna

2317 Du vill lösa ekvationen 2x2 = 4x + 6 med pq-formeln.

a) Skriv om ekvationen så att högerledet blir 0. b) Skriv om ekvationen så att koefficienten framför x2 blir 1. c) Lös ekvationen med pq-formeln.

Lös ekvationerna och svara exakt.

2318 a) x2 = 8x + 20 2

b) 2x + 24x – 266 = 0 c) 3x2 – 12x – 24 = 0

2319 a) 3s + 4 = s2 b) 2x2 c) y2

– 8x + 8 = 0

– 10y + 23 = 0

d) 2t2

– 10t + 10 = 0

a) (x – 2)(x – 1) = 12 x2 b) ​ __ ​ = 4x – 9 3 c) 4x2 + 15 = x2 + 18x

Nivå 2 2323 Edvin och Maja diskuterar hur man enklast

löser olika typer av andragradsekvationer. De har hittat följande varianter: 1. x2 – 25 = 0 (Ekvation med x2-term och konstantterm) 2. x2 + 4x = 0 (Ekvation med x2-term och x-term) 3. x2 – 6x + 5 = 0 (Ekvation med x2-term, x-term och konstantterm) Ge förslag till Edvin och Maja hur de ska kunna lösa de tre olika ekvationerna på enklaste sätt.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

73

2324 Ekvationen y = 1,7 + x – 0,1x2 beskriver

­ annys stöt med kula, där y är kulans höjd i F meter då den har färdats x meter horisontellt. a) Hur högt håller Fanny kulan när hon stöter i väg den? b) Hur långt stöter hon?

2325 Ange en andragradsekvation i formen

ax2 + bx + c = 0 som saknar lösningar.

2326 Begränsningsarean av en rak cirkulär cylinder beräknas med formeln A = 2πr2 + 2πrh.

Bestäm r om A = 300 cm2 och h = 10 cm.

2

2327 Ange två olika andragradsekvationer i formen ​ ax​2​+ bx + c = 0 som båda har rötterna x1 = –7 och x2 = –4.

__ __ 2328 Lös ekvationen (x – √ ​ 3 ​ )2 – 4(x – √ ​ 3 ​ ) + 3 = 0

om du vet att t2 – 4t + 3 = 0 har lösningarna t1 = 3 och t2 = 1. Svara med exakta ­värden.

(Np Ma2b vt 2014)

2329 Lös ekvationen x4 – 20x2 + 19 = 0. Börja med

74

formeln i stället för pq-formeln, när man löser andragradsekvationer. Den formeln säger att ekvationen________ ax2 + bx + c = 0 har lösningarna –b ± √ ​ b 2 – 4ac ​ x = _____________

​ ​ 2a Bevisa att formeln ger ekvationens lösningar.

2331 Det finns två samband mellan rötterna till en andragradsekvation och koefficienterna till ekvationen.

Om x1 och x2 är lösningar till ekvationen x2 + px + q = 0, så är x1 + x2 = –p och x1 ∙ x2 = q Visa att

Nivå 3

att sätta x2 = t.

2330 I många länder används den så kallade abc-

a) x1 + x2 = –p b) x1 ∙ x2 = q

2332 Max har upptäckt att om q är negativ i ekva-

tionen x2 + px + q = 0, så är alltid den ena roten positiv och den andra negativ. Han kan inte riktigt förstå varför det blir så, men ­Mollie säger att det är enkelt. Hjälp Mollie att förklara för Max varför hans upptäckt stämmer.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

Antal lösningar till en andragradsekvation

Ekvationens rötter

Vi har visat att en andragradsekvation i formen x2 + px + q = 0 har lösningarna

________

√ ( )

p p 2 x = –​ __ ​± ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​ 2 2 Diskriminant

Två lösningar

( )

p 2 Uttrycket ​ ​ __ ​ ​ ​​ ​ – q under rottecknet i pq-formeln kallas ekvationens 2 diskriminant. Värdet av diskriminanten visar om ekvationen har två lösningar, en lösning eller om den saknar lösningar.

Ekvationen x2 – 6x + 5 = 0 har två lösningar

________

________

x1 = 3 + √ ​ (–3) 2 – 5 ​ = 5 och x2 = 3 – √ ​ (–3) 2 – 5 ​ =1 Det beror på att diskriminanten, talet under rottecknet, är positiv: 32 – 5 = 4 > 0 Om diskriminanten är positiv, kan vi dra roten ur uttrycket och ekvationen får två lösningar.

En lösning

Om vi löser ekvationen x2 – 6x + 9 = 0 med pq-formeln, ser vi att den bara har en lösning

______

__

x=3±√ ​ 3 2 – 9 ​ = 3 ± ​√0 ​ = 3 Det beror på att diskriminanten är noll, 32 – 9 = 0. När diskriminanten är 0, får ekvationen endast en lösning, en så kallad dubbelrot.

Ingen lösning

Löser vi ekvationen x2 – 4x + 5 = 0 med pq-formeln märker vi att talet under rottecknet blir negativt.

______

___

x=2±√ ​ 2 2 – 5 ​ = 2 ± ​√–1 ​

Det betyder att diskriminanten är mindre än noll. Eftersom vi inte kan dra roten ur ett negativt tal, saknar ekvationen lösningar.

Exempel: Hur många lösningar har andragradsekvationen x2 – 6x + 8 = 0?

Lösning: Vi löser ekvationen x2 – 6x + 8 = 0 med pq-formeln och får

________

x = 32 ±​√(–3) 2 – 8 ​

Man kan också ställa upp diskriminanten direkt, utan att först ställa upp pq-formeln.

Diskriminanten, talet under rottecknet, blir (–3)2 – 8 = 9 – 8 = 1 > 0 Eftersom värdet på diskriminanten är positivt har ekvationen två ­lösningar.

Svar: Ekvationen har två lösningar.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

75

2

Exempel: För vilka värden på konstanten c gäller att ekvationen x2 + 2x + c = 0 a) har två rötter

b) har en dubbelrot

c) saknar rötter

Lösning: Vi uttrycker lösningarna till ekvationen med pq-formeln och får

________

x = –1 ± √ ​ 1 2 – c ​ Diskriminanten 1 – c är positiv om c < 1, noll om c = 1 och negativ om c > 1.

Svar: Ekvationen har två rötter om c < 1, en dubbelrot om c = 1 och saknar rötter om c > 1.

2

Nivå 1

2337 För vilka värden på a har ekvationen

2333 Sixten ska bestämma antalet lösningar till tre olika andragradsekvationer. Han använder ________ pq-formeln och får: 2 2 2 __ 2 A x + 2x + 1 = 0 x = –​ ​ ± ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​– 1 ​ 2 2

√ ( ) __ __ √( ) ___ ___ √( )

________

B x2 + 4x + 3 = 0

4 4 2 x = –​ ​ ± ​ ​​ ​ ​ ​​ ​– 3 ​ 2 2

__________

–6 –6 2 C x2 – 6x + 10 = 0 x = –​ ​ ± ​ ​​ ​ ​ ​​ ​– 10 ​ 2 2 Hjälp Sixten att avgöra hur många lösningar varje ekvation har.

2334 Hur många lösningar har ekvationerna?

x2 + 6x + a = 0 a) två rötter

b) en dubbelrot

c) inga rötter

Nivå 2 2338 Ange värdet på a så att ekvationen x2 + ax + 18 = 0 får lösningarna x1 = 3 och x2 = 6.

2339 För vilka värden på koefficienten a har ekvationen x2 + ax + 10 = 0 a) två rötter

b) en dubbelrot

c) inga rötter

2

a) x + 18x – 81 = 0 b) y2 – 7y + 15 = 0 c) z2

– 12z + 3 = 0

2335 Lös ekvationerna. Svara exakt. a) x2 + 4x + 8 = 0 b) x2 – 6x – 7 = 0 c) 3x2 – 6x + 3 = 0

2336 Konstruera en andragradsekvation som a) har två lösningar b) har en lösning c) saknar lösning

76

Nivå 3 2340 Diskriminanten till en andragradsekvation av formen ax2 + bx + c = 0 är b2 – 4ac. Skriv ekvationen i formen x2 + px + q = 0 och visa p 2 att b2 – 4ac har samma tecken som ​​ ​ __ ​ ​​ ​ – q.

2

()

2341 Om diskriminanten till en andragradsekva-

tion har värdet noll, så har ekvationen en dubbelrot. Visa att omvändningen också gäller­dvs. visa att om en andragradsekvation har en dubbelrot, så är värdet av diskriminanten noll.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

Problemlösning med andragradsekvationer Paul vill inhägna en hundrastgård längs med långsidan av sitt hus med hjälp av ett 40 m långt stängsel. Hundrastgården ska ha formen av en rektangel med arean 200 m2. Eftersom ena sidan av rastgården kommer att ligga mot huset, kan Paul använda stängslet till områdets övriga tre sidor.

Ett möjligt sätt att sätta upp stängslet är att göra två av sidorna 10 m långa och den tredje sidan 20 m lång. I så fall används 40 meter stängsel och arean blir 20 m ∙ 10 m = 200 m2. Men är det den enda möjligheten?

Förstå problemet

Utarbeta en plan

Vi ritar en figur och inför beteckningar.

Om vi kallar längden av de två lika långa sidorna för x, så blir längden av den tredje sidan (40 – 2x) meter.

40 – 2x x

x

2

Arean av området ges av basen gånger höjden A = x(40 – 2x) = 40x – 2x2 Eftersom vi vet att arean av området ska vara 200 m2 kan vi ställa upp följande ekvation: 40x – 2x2 = 200

Utför planen

Vi löser ekvationen.

40x – 2x2 = 200

Vi subtraherar 200 från båda led

–2x2 + 40x – 200 = 0

Vi dividerar båda led med –2

x2 – 20x + 100 = 0

Vi använder pq-formeln för att lösa andragradsekvationen

_________ x = 10 ± √ ​ 10 2 – 100 ​ x = 10

Se tillbaka på lösningen

Diskriminanten blir 0 och ekvationen har alltså en dubbelrot x = 10

Eftersom x = 10 är den enda lösningen till ekvationen, så har det ursprungliga problemet bara en lösning, nämligen att inhägnaden har två sidor som är 10 m långa och en sida som är 40 m – 2 ∙ 10 m = 20 m lång. Då blir arean 200 m2.

Genom att teckna en modell för arean och lösa den uppkomna andragradsekvationen kunde vi bestämma den enda möjliga lösningen till det ursprungliga problemet.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

77

Exempel: Produkten av två på varandra följande heltal är 182. Vilka är talen?

Lösning: Förstå problemet Två på varandra följande heltal är två heltal som ligger d ­ irekt efter varandra, som exempelvis (–8) och (–7) eller 132 och 133.

Utarbeta en plan

Vi betecknar det mindre heltalet med x. Nästföljande heltal blir då x + 1.

Produkten av heltalen ska vara 182. Det ger ekvationen x(x + 1) = 182 Utför planen

Vi löser ekvationen.

2

x(x + 1) = 182

Vi multiplicerar in x i parentesen

x2 + x = 182 pq-formeln

x2

Kvadratkomplettering

+ x – 182 = 0

__________

√ ( )

2

1 1 x = –​ __ ​ ± ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​+ 182 ​ 2 2

____ 1 729 __ x = –​ ​ ± ​ ____ ​ ​ ​ 2

√

( )

()

1 2 1 2 x2 + x + ​​ ​ __ ​ ​​ ​= 182 + ​​ __ ​ ​ ​​ ​ 2 2

( )

1 2 1 ​​ x + __ ​ ​ ​​ ​= 182 + __ ​ ​ 2 4

____

√

1 729 x + __ ​ ​ = ±​ ____ ​ ​ ​

4

2

1 27 x = –​ __ ​ ± ​ ___ ​ 2 2

4

1 27 x = –​ __ ​ ± ​ ____ ​ 2 2

1 27 1 27 x = –​ __ ​ + ​ ___ ​ eller x = –​ __ ​ – ​ ___ ​ 2 2 2 2

Ges av båda metoderna

x = 13 eller x = –14 Se tillbaka på lösningen

Vi får nu två alternativ. Om det mindre talet är 13, så blir det större talet 14 och produkten av talen blir 13 ∙ 14 = 182. Om det mindre talet är –14, så blir det större talet –13 och produkten av talen blir (–13) ∙ (–14) = 182.

Svar: Talen är antingen 13 och 14 eller –13 och –14.

Nivå 1 2342 Produkten av två på varandra följande heltal är 15 252. Vilka är talen?

2344 Summan av två tal är 27. Produkten av talen är 50. Vilka är de två talen?

2345 Differensen mellan två positiva tal är 4. ­Produkten av talen är 96. Vilka är talen?

2343 I en rektangel är höjden 7 cm kortare än

basen. Bestäm rektangelns omkrets om dess area är 40 cm2.

78

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

2346 En boll kastas nedåt från ett torn. Höjden h(t)

meter över marken t sekunder efter kastet ges av h(t) = 155 – 15t – 5t2. a) Från vilken höjd kastades bollen? b) Vilket är värdet på h(t) när bollen slår i ­marken? c) Hur lång tid tar det för bollen att nå marken?

2347 Produkten av det största och det minsta talet av tre på varandra följande positiva heltal är 143. Vilken är summan av de tre talen?

2348 Gräsmattans area är 80 m2. Bestäm x. x

5

2355 Familjen Jansson betalade

totalt 420 kr för den mjölk som de drack under en månad. Månaden efter ökade priset på mjölken med 50 öre per liter.

Genom att minska mjölkdrickandet med 4 liter blev kostnaden för mjölk även denna månad 420 kr.

Hur mycket kostade en liter mjölk före prishöjningen?

2356 Visa att för tre på varandra följande heltal

(m)

­ äller att differensen mellan kvadraten på det g största talet och kvadraten på det minsta talet är fyra gånger så stor som talet i mitten.

2x + 1

2357 Lös det icke-linjära ekvationssystemet

x

2349 Bestäm a så att ekvationen x – ax + 36 = 0 2

får en dubbelrot.

{

​x2​ ​ + y ​ 2​ ​ = 25 ​ ​ ​

​ y – x = 1 ​

2358 Figuren nedan visar en rektangel med ­diagonalen inritad.

2350 Summan av ett heltal och dess inverterade tal

(cm)

50 är ___ ​ ​ . Vilket är talet?

7

a+4

Nivå 2 2351 Andragradsekvationen x2 + ax + 24a = 0 har en rot x = –6. Vilken är den andra roten?

2352 För två tal a och b gäller att a – b = 5 och a2 – b2 = 195. Bestäm talen a och b.

2353 Två på varandra följande positiva heltal

­ vadreras. Summan av kvadraterna blir 113. k Vilka är talen?

2354 Lös ekvationerna. a) x3

+

b) 2x3

24x2

+

6x2

a–4

a) Vilka värden kan a anta om rektangelns area ska vara större än 18 cm2? Svara exakt. b) Längden av________________ rektangelns diagonal ges av √ uttrycket ​ (a

+ 4)2 + (a – 4)2 ​. Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

(Np Ma2b vt 2014)

+ 44x = 0 – 8x = 0

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

79

2

Nivå 3 2359 För att dela en sträcka i två enligt det gyllene snittet, ska man dela den så att den kortare sträckan förhåller sig till den längre, såsom den längre sträckan förhåller sig till hela sträckan.

Dela en sträcka som är 1 meter lång enligt det ­gyllene snittet. Hur lång är den längre sträckan? Svara exakt.

2361 Ammar ska lägga klinker kring sin 4 × 8

meter stora pool. Han har 58 m2 klinker och klinkergången ska vara lika bred överallt.

Beräkna bredden på klinkergången om all klinker går åt.

2360 Ett snöre är 24 m långt. Snöret kan formas till olika geometriska figurer.

2

2362 Visa att uttrycket 1 + x(2 – x)x – x2(1 – x) ald-

rig antar ett negativt värde, oavsett värde på x.

Figur 1

Figur 2

2363 I ekvationen ax2 – a2x = –2 är a en positiv

konstant. Lös ekvationen och visa vilka värden på a som ger två olika reella rötter.

a) Hela snöret formas till en liksidig triangel, se Figur 1. Bestäm triangelns area. b) Snöret delas sedan i två olika långa delar.

Av varje del formas en kvadrat, se Figur 2.

Undersök om det är möjligt att kvadraterna tillsammans får arean 17 m2.

(Np Ma2b vt 2014)

2364 Det finns många lösningar till följande ekva-

tion (x2 − 5x + 5)(x + 2)(x – 3) = 1. Lös ekvationen.

Ledtråd: Fundera över vilka kombinationer av a och b som ger ab = 1.

(Np Ma2b vt 2012)

2365 Om de två rötterna till ekvationen

x2 – 85x + c = 0 är primtal, vilket värde har då siffersumman av konstanten c?

Tips! Ta hjälp av sambanden i rutan till uppgift 2331.

Resonemang och begrepp u Förklara bakgrunden till begreppet kvadratkomplettering. u Ordet diskriminering betyder urskilja. Vad är det man kan urskilja med en andragradsekvations diskriminant? u Är det lämpligt att lösa ekvationen 5x2 = 10x med hjälp av pq-formeln?

Varför/varför inte? u I vilka sammanhang kan det vara användbart att faktorisera ett uttryck? u Vilken är pq-formelns främsta styrka? Jämför betydelsen av att kunna lösa andragradsekvationer med hjälp av pq-formeln i dag jämfört med för t.ex. 30 år sedan.

80

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  2.3 Fullständiga andragradsekvationer

(Kängurutävlingen junior 2015)

Historia

Ekvationer av högre grad Matematisk duell

Gerolamo Cardano (1501–1576).

Ferros lösning till tredjegradsekvationen x3 + px = q:

____________ _______

√ √ √ √

3 q q2 p3 ​ ​ + ​ ​ ​ + ​ ​ ​ ​ + x = ​

__

___ ____

2 4 27 ____________ _______

3 q q2 p3 + ​ __ ​ ​ – ​ ___ ​ ​ + ​ ____ ​ ​ ​ 2 4 27

I början av 1500-talet arbetade flera italienska matematiker, bl.a. Cardano, Ferro och Tartaglia, med att finna fullständiga lösningar till den allmänna tredjegradsekvationen. De arbetade var för sig och blev ofta oense om vem som upptäckt vad. På den tiden var det viktigt att hålla sina resultat hemliga, för att sedan kunna trumfa med dem i rätt ögonblick.

Ferro var den förste att lösa en ekvation av typen x3 + px = q omkring år 1515. Han gav lösningen till sina elever vid universitetet i Bologna under tystnadslöfte. Så var nämligen den pythagoreiska traditionen.

Samtidigt arbetade Tartaglia med lösningen till en ekvation av typen 3 + px2 = q och långt senare, år 1535, annonserade han att han hade hittat x lösningen. En av Ferros elever, Fiore, som hade fått lösningsmetoden av Ferro, antog att det bara var tomt skryt från Tartaglias sida och utmanade honom på en matematisk duell. Deltagarna skulle ge varandra 30 problem att lösa på kortast tid. Duellen ägde rum i Venedig samma år. Under de 50 dagar som duellen pågick lyckades Tartaglia lösa ekvationer av Ferros typ.

Fiore kunde däremot inte hitta lösningen till de problem som krävde Tartaglias lösning. Det hela blev mycket förnedrande för Fiore.

Resultatet av duellen väckte intresse hos matematikern Cardano. Han hade nämligen bestämt sig för att skriva ett matematiskt verk och fick, mot tystnadslöfte, reda på lösningen från Tartaglia. Cardano svek dock Tartaglia och offentliggjorde lösningsmetoden år 1545 i sin bok Ars Magna.

Ekvationer av grad 4 och högre

Évariste Galois (1811–1832).

?

Lös ekvationen x3 + 6x = 20 med Ferros lösningsformel.

Ferrari, som var Cardanos elev, visade sedan hur man kan lösa fjärdegrads­ ekvationer redan när han var 23 år gammal. Han omvandlade fjärdegradsekvationer till tredjegradsekvationer, vars lösning ju redan var känd. Även lösningsmetoden för fjärdegradsekvationer presenterades i Ars Magna.

Lösningsformlerna för polynomekvationer av grad 3 och 4 var betydelsefulla och banade väg för nya upptäckter inom matematiken. Emellertid lyckades man inte hitta någon lösning till den allmänna femtegradsekvationen. År 1824 bevisade norrmannen Abel att det inte finns någon allmän lösning till femtegradsekvationer. Det beviset får även tillskrivas fransmannen Galois.

Både Abel och Galois dog unga, men hann ändå presentera en rad viktiga resultat. Abel dog i tuberkulos vid 26 års ålder i april 1829. Galois dödades i en framprovocerad duell om en flicka i maj 1832, endast 20 år gammal. ­Natten innan duellen tecknade han ner flera av sina matematiska resultat.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  HISTORIA

81

2

Uppslaget Rätt eller fel?

En andragradsekvation har alltid två lösningar.

Att faktorisera är samma sak som att förenkla.

x = 0 kan inte vara en rot till en andragrads­ ekvation.

2

pq-formeln är alltid det lättaste sättet att lösa en andragradsekvation på.

Om man vid problemlösning använder en andragradsekvation och får en negativ lösning, så måste den lösningen förkastas.

Ekvationen (x + 3)(x – 6) = 1 har rötterna x = –3 och x = 6.

En andragradsekvation har alltid en positiv och en negativ rot.

Om ekvationen ax2 + bx + c = 0 har en ­dubbelrot, så är b2 – 4ac = 0.

Rötterna till ekvationen ax2 + bx = 0 får vi genom att sätta x = 0 och ax + b = 0.

Undersök Faktorisera med konjugatregeln

Tre i följd

För att faktorisera stora tal kan man ta hjälp av konjugatregeln.

Sven försöker multiplicera de tre på varandra ­följande heltalen 19 ∙ 20 ∙ 21 utan att använda digitalt hjälpmedel. Emma säger att man får rätt svar genom att först beräkna kuben på talet i mitten och sedan dra ifrån talet i mitten.

u Faktorisera 51 genom att skriva det som diffe-

rensen mellan 102 och 72.

u Faktorisera 231 och 9 975 på samma sätt. u Faktorisera 9 991. u Hitta på en egen liknande uppgift och låt en

kompis lösa den.

u Visa att Emmas regel gäller för multiplikatio-

nen 19 ∙ 20 ∙ 21.

u Undersök Emmas regel på fler produkter av tre

på varandra följande heltal. Verkar regeln stämma?

u Kalla heltalet i mitten för x och visa att regeln

gäller allmänt.

82

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  UPPSLAGET

Problemlösning och modellering Tvärnit En oväntad situation inträffar i trafiken och tvingar en bilförare att stanna på så kort tid som möjligt. Stoppsträckan kan delas in i två delar: stoppsträcka = reaktionssträcka + bromssträcka Reaktionssträckan är den sträcka som bilen färdas innan föraren börjar bromsa, dvs. den tid det tar att uppfatta faran, fatta beslutet att bromsa och flytta foten till bromspedalen. Bromssträckan är den sträcka som bilen färdas under själva inbromsningen. Summan av de två sträckorna kallas stoppsträckan.

Reaktionssträckan är direkt proportionell mot bilens hastighet, medan bromssträckan är proportionell mot kvadraten av hastigheten. Martin kör med hastigheten v km/h och under vissa förutsättningar kan en modell för att beräkna stoppsträckan s meter vara s = 0,3v + 0,01v2. u Beräkna stoppsträckan om Martin färdas i

30 km/h, 50 km/h respektive 70 km/h.

u När Martin är ute och kör på en landsväg kom-

mer en älgko med en kalv upp på vägen ca 150 meter framför bilen. Med vilken hastighet kan Martin högst färdas, om han ska hinna stanna framför älgarna?

u Martins granne är en eftermiddag ute och kör

bil. En modell för stoppsträckan är då s = 0,7v + 0,01v2. Nämn några tänkbara skäl till skillnaden mellan modellerna.

u Martin räknar med att om det börjar regna, så

2

kommer stoppsträckan att fördubblas när han färdas i 70 km/h, jämfört med stoppsträckan som ges av s = 0,3v + 0,01v2. Bestäm en modell på formen s = av + bv2, som kan användas för att beräkna Martins stoppsträcka om det börjar regna. Reaktionssträckan är oförändrad.

u Martin har hört sägas att om väglaget är torrt

och om hastigheten ökar med 10 km/h, så ökar stoppsträckan med motsvarande ungefär 20 % av talet som anger hastigheten i kilometer i timmen. Undersök om det stämmer.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  UPPSLAGET

83

Tankekarta

Algebra och andragradsekvationer

2

Algebraiska uttryck

Andragradsekvationer

u uttryck i parenteser

u ax2 + bx + c = 0, där a ≠ 0

u förenkling

u två, en eller ingen lösning

u kvadreringsreglerna

u algebraisk lösning

u konjugatregeln u faktorisering

Algebraisk lösning Faktorisering

u faktorisering

u bryta ut gemensam faktor

u kvadratkomplettering

u använda konjugat- och

u pq-formeln för ­ekvationer i

kvadreringsreglerna

84

u roturdragning

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  TANKEKARTA

formen ​ x​2​+ px + q = 0

Blandade uppgifter Nivå 1

10 Utför följande multiplikationer 1 a) ​ __ ​ (5a – 4b + 7) 2 b) 3x(x + 2xy – 3y)

1 Förenkla uttrycken a) 3a + 7 – 2a + 3 b) 6x + 2 + 5 – 2x

11 Förenkla uttrycken

c) (3a + 5b) – (4a – 2b)

2 Lös andragradsekvationerna utan digitalt verktyg. a) x2 = 144

b) y2 = –225

c) a2

d) 2b2

– 900 = 0

– 75 = 25

a) x2 + 18x = 0

b) (x – 3)(x + 17) = 0

c) 6x – 3x2 = 0

d) (x + 8)(2x – 10) = 0

4 Lös ekvationssystemen algebraiskt

{

b) 3x(x – 4) – (3x + 2)(x – 1) 4x2 + 12x c) ​ _________ ​

x+3

12 Förkorta uttrycken

3 Lös ekvationerna

y=x–2 a) ​ ​ ​ ​ 2x + y = –3​

a) (2x – 5) – (3x + 1)(9 – 1)

{

x + 2y = 8 b) ​ ​

​​ 2x + 3y = 14​

5 Utför följande multiplikationer a) 3(5x + 2)

10x – 14 a) ​ ________ ​

6x

2

9a – 6ab ​ c) ​ ___________

18ab – 12b2

13 Skriv förenklade uttryck för rektanglarnas area. a)

b)

b) 4a(3a – 2b)

3x + 3

c) 2x(3,5x + 4y)

8–y

6 Var skär grafen till y = 3x – 7 a) y-axeln b) x-axeln

2

c)

3

7 Utveckla uttrycken a) (9 +

2

20x2 – 12x ​ b) ​ __________

12x2

2a + 3b

3x)2

b) (5z – 11)2 c) (4b + 11a)(4b – 11a)

8 Faktorisera uttrycken a) 56a3 + 42a b) y2 – 22y + 121 c) 9a2 – 36

9 Lös ekvationerna a) 4(3x – 5) = 16

4

14 Mie har utvecklat uttrycket (2x + 5)2 och fått

resultatet 4x2 + 25. Pär-Anders säger att Mie har gjort fel. Har Pär-Anders rätt och vilket fel kan Mie i så fall ha gjort?

15 Utveckla och förenkla uttrycken a) (2a + b)2 – 4ab b) (5a – 3b)2 + (5a – 3b)(5a + 3b) c) (3x + 2y)2 – (3x + 2y)(2y – 3x)

b) 2(1,5x + 7) = 10x c) 2,5(8 + 2x) = 8 + 7x

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  BLANDADE UPPGIFTER

85

«

16 Skriv förenklade uttryck för figurernas area. a)

b)

24 Faktorisera VL med hjälp av kvadreringsreg-

b) y2 + 26y + 169 = 49

2x

25 En rektangel har arean 1 802 cm2. Bestäm rek-

c)

a+b

tangelns omkrets, om den ena sidan är 19 cm kortare än den andra.

d) 10a + 4b

2a – b

Nivå 2 5ab

17 Lös ekvationssystemen algebraiskt.

«

a) x2 – 12x + 36 = 25

2y

3x + 8

2

lerna och lös ekvationerna.

y–x

{

3x + 2y = 1 a) ​ ​ ​

​ x – 2y = 3 ​

26 Lös andragradsekvationerna. Svara exakt. a) x2 = x

{

7x – 5y = 29 b) ​ ​ ​​ 5y + 7x = –11​

b) (6 + x)2 = –2(x + 3) c) (3n + 3)(3n – 3) = 6(n2 – 2)

18 Lös ekvationerna grafiskt. a) x2 – x – 6 = 0

b) 4x – x2 = 1

27 Bestäm lösningen till ekvationssystemet

{

y = 2x2 – 5x + 1 ​ ​

​ ​ y = 3x – 5 ​

19 Lös ekvationerna. Svara exakt. a) x2

– 6x – 7 = 0

28 Figuren till vänster visar ett rektangulärt

2

b) x + 4x – 8 = 0 c) 3x2

område.

– 6x – 12 = 0

20 Vilket värde ska t ha om punkten med koordina-

x

terna (2, 3) ska ligga på linjen 3x – ty + 7 = 0?

A = 629 m

21 Lös ekvationerna a) (x – 6)2 = 4

b) (2x – 6)2 = 4

c) (3x – 2)2 = 25

d) 14 = (5x – 3)2 + 5

b) beskriver en linje som är parallell med y-axeln

x

10

c) Hur förändras ekvationen från a) efter att man kompletterat figuren med den mindre kvadraten?

23 Vilken operation ska utföras i båda leden för att vänstra ledet ska gå att faktorisera med någon av kvadreringsreglerna?

d) Lös ekvationen.

29 Skriv linjernas ekvationer i k-form.

b) 3x2 + 18x + 27 = 48

86

x

b) I den andra figuren har arean omfördelats, så att området nästan är kvadratiskt. Vilka mått har den mindre kvadrat som måste läggas till i övre högra hörnet, för att hela figuren ska bli en stor kvadrat?

a) är parallell med linjen y = 5x – 12

c) x2

20 2

a) Teckna en ekvation för att bestämma x utifrån den vänstra figuren.

22 Ge exempel på ekvationen för en rät linje som

a) x2 + 8x + 10 = 3

(m)

10

x

– 3x + 8,25 = 18,5

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  BLANDADE UPPGIFTER

y–2 a) ​ _____ ​ = x 2 y+1 b) 3(2x – 7) = _____ ​ ​

2 y–4 c) ​ _____ ​ – 2(3x + 2) = 2 5

30 I en kvadrat är diagonalen 10 cm. Bestäm kva-

36 Förkorta uttrycken så långt som möjligt

dratens area.

31 Faktorisera täljare och nämnare och förkorta så långt som möjligt 6x2

– 4ab b) ​ _________ ​

3a – 6b

x2 – 4y2 c) ​ _______ ​

x + 2y

4a2 – 12a + 9 d) ​ ____________

​

4a – 6

mans. Christian säger att han inte riktigt förstått den andra kvadreringsregeln och ber att ­Torbjörn ska förklara den. Hjälp Torbjörn med vad han ska säga, skriva eller rita.

38 Lös ekvationen (2x – 6)(8x – 3) – (3 + 4x)(4x – 7) = 0

2

39 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna ­stämmer.

33 Bestäm konstanterna a och b så att ekvations-

a) (

{

systemet

b)

ay + bx = 0 ​

​ ​ bx 2ay + ___ ​ ​ = 11 6

) = 6a2 – a –

+ 7)(2a – (

+

c) (4m + 5n)(

)(

– –

) = 3x2 – 12y2 )=

+ 14mn – 8m2

2x 40 De räta linjerna y = ___ ​ ​ och x = a avgränsar

har lösningen ​

{

37 En handlare vill sälja 100 kg blandfärs för

Nivå 3

32 Torbjörn och Christian pluggar matte tillsam-

​ x ​ = 1 ​​ y = 3​

4m2 – 4mn + n2 b) ​ ______________

​ 12m2 – 3n2

50 kr/kg. Han blandar den av nötfärs som kostar 62,50 kr/kg och fläskfärs som kostar 48,10 kr/kg.

Hur mycket av vardera sorten ska han välja?

2a2

9x + a) ​ ________ ​

6x

(a + 2b)2 a) ​ ________ ​ 3a + 6b

a tillsammans med x-axeln ett område. Bestäm värdet på konstanten a så att områdets area blir 3 areaenheter.

​

34 Vilma har ett rektangulärt trädgårdsland, där

längden är 3 meter längre än bredden. Hon utökar både längd och bredd med 2 meter och får på detta sätt ett land, som är 20 m2 större än det tidigare. Hur stor area har trädgårdslandet efter utökningen?

41 Lös ekvationerna a) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0 b) (x2 + 2x)(x – 4x2) = 0

35 Du ska bestämma konstanterna a, b och c i

andragradsekvationen ​ax​2​+ bx + c = 0. Vilken eller vilka av informationspunkterna (1) och (2) behöver du for att kunna bestämma alla tre konstanterna a, b och c? Välj bland alternativen A–E. (1) Ekvationens ena lösning är x = 5.

(2) För koefficienten framför ​x2​ ​gäller att a = 1.

A (1) men inte (2) B (2) men inte (1) C Både (1) och (2) räcker var för sig D (1) och (2) tillsammans E (1) och (2) räcker inte för att lösa uppgiften

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  BLANDADE UPPGIFTER

87

«

Kapiteltest Del 1 Utan digitalt hjälpmedel 1 Multiplicera ihop uttrycken och förenkla så långt som möjligt. a) 2x(3 + 8x)

c) (2y – 6)2

b) (a + 7)(3a + 2b)

2 Vilket av uttrycken passar bäst att förenkla med hjälp av konjugatregeln?

A (2 + a)(2 + b) B (3 – 7x)(7x + 3) C (4 – 2y)2

3 Faktorisera uttrycken så långt som möjligt. a) 4a + 12ab

2

b) a2 – 6a + 9

4 Lös ekvationerna. Svara exakt. a) x2 = 26 b) x2 + 16x = 0 c) (2x – 10)(3x + 1) = 0 d) x2 – 22x + 40 = 0

5 Lös ekvationen (2x – 3)2 – (3x2 – 2) = (x + 5)(x – 5) 6 Förenkla uttrycken 6x2 – 2x a) ​ ________ ​

2x

16 – x2 b) ​ ___________ ​ x2 + 8x + 16

7 Zoran ska lösa ekvationen ​x​2​+ 12x + 36 = 81 och börjar med att faktorisera vänstra ledet med hjälp av första kvadreringsregeln. a) Skriv om ekvationen genom att faktorisera VL. b) Fullfölj lösningen.

8 I Hodas mattebok står det Lös andragradsekvationen x2 + 18x +

=0

Som du ser så har det blivit en fläck i boken precis där konstanttermen står.

Hoda börjar då fundera över hur värdet på termen har betydelse för om ekvationen har några rötter. a) Ange ett värde på konstanttermen som gör att ekvationen saknar rötter. b) Ange ett värde på konstanttermen som gör att ekvationen har två rötter samt ange de två rötterna.

9 En kvadrat och en rektangel har lika stor omkrets. Den ena sidan i rektangeln är 2 cm längre än den andra sidan. Vilken figur har störst area och hur mycket skiljer det?

88

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  KAPITELTEST

Del 2 Med digitalt hjälpmedel 10 Lös ekvationerna med två decimalers noggrannhet. a) ​3,2x​2​− 2,5 = 0

b) ​−0,01x​2​+ 3,2x − 4,2 = 0

11 Figuren består av två rektanglar. Teckna ett

x–2

förenklat uttryck som beskriver figurens a) omkrets

2x – 4

2

b) area c) Bestäm figurens omkrets om dess area är ​12 cm​2​.

x–3 x

12 Figuren visar ett område med arean 950 m2.

2

(m) A = 950 m2

x

x

8

a) Teckna en ekvation som kan användas för att beräkna x. b) Lös ekvationen. c) Vilka mått har området?

13 När vissa förhållanden råder kan stoppsträckan s meter för Aziz bil beskrivas med

s = 0,005v2 + 0,15v där s(v) är stoppsträckan i meter och v den ursprungliga hastigheten i km/h. u Beräkna u Vilken

Aziz stoppsträcka när han håller hastigheten 70 km/h.

fråga besvaras av ekvationen 0,005v2 + 0,15v = 0?

När Aziz kommer över ett backkrön, ser han ett omkullfallet träd över vägen 50 meter bort. u Vilken

är den högsta fart Aziz kan ha över backkrönet för att undvika en kollision med trädet? Ställ upp en ekvation som du kan använda för att besvara frågan.

u Lös

ekvationen och tolka din lösning.

ALGEBRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER  KAPITELTEST

89

Facit 1 Räta linjer och

ekvations­system

1101 a) m = –2

b) k = 3

=

b) y = –3x + 5

1103 a)

storleken och x är fotlängden i cm.

b) Skostorleken är 33 om fot­ längden är 20,4 cm. c) En person med skostorleken 47 har fotlängden 31,6 cm.

c) y = 3x – 2

1102 a) y = 2x + 3

1111 a) y = 1,25x + 7,5, där y är sko­

y

69 8

1 4

1112 a) x = ___ ​ ​ om y = __ ​ ​ 1 17 b) T.ex. x = __ ​ ​ och y = ___ ​ ​ 2 3

x 1

b)

y

1

x 5 3 3 x 5 c) y = ___ ​ ​ + ​ ___ ​ 18 18

1114 a) y = –​ __ ​ – __ ​ ​ b) y = x + 1,5

x

1 1

1105 Nej, den ligger inte på linjen. Om vi sätter in x = –2 i ekvationen så får vi y = 7. Alltså kan (–2, 6) inte vara en punkt på linjen.

1106 y = 3x + 1 1107 a) y = 2x + 1

5 1 b) y = __ ​ ​ x + __ ​ ​ 2 2

1108 T.ex. y = 2x 1109 b = 11 1110 a) x = 4 b) T.ex. x = 0; y = 5

356

C och 1

1124 Punkterna A, B och D ligger på 1125 Nej, Anton har fel. Man kan sätta in punkternas koordinater även om ekvationen är skriven i allmän form och kontrollera om koordinaterna löser ekvationen.

3 2

1126 y = –​ __ ​ x + 3 1 3 b) T.ex. y = 4x + 4000

1128 y = 2x + 1 1129 A och D beskriver samma räta

c) 10 dl motsvarar 620 gram mjöl.

1130 Den räta linjen y = –2x + 10 har

1117 y = 3x – 12 ___ 1118 a = √ ​ 10 ​

koefficienten k och går genom punkten med koordinaterna (x1, y1). Vi väljer en godtycklig punkt på linjen (x, y) och tecknar följande uttryck för riktnings­ koefficienten: y – y1 ​ ​ k = _______ x – x1 Vi multiplicerar sedan båda leden med (x – x1) och får k(x – x1) = (y – y1) v.s.v. (vilket skulle visas)

1120 a) y = 3,5

b) x = 4 2 3

1121 a) y = –3x + 6 b) y = __ ​ ​ x + 4

FACIT  1. Räta linjer och ekvationssystem

linje.

riktningskoefficienten –2. Vi beräknar riktningskoefficienten för den andra linjen: 2 – (–2) ​ ​ = –2 k = _________ –1 – 1 Eftersom linjerna har samma värde på riktningskoefficienten är de parallella.

1116 y = 2x + 10

1119 Den räta linjen har riktnings­ 1104 Till exempel x = 1 och y = –1.

B och 3

b) 200 g motsvarar 3 dl mjöl.

d) T.ex. skulle vikten 20 gram motsvara volymen 0 dl och det är ju orimlligt!

y

1123 A och 2

1127 a) T.ex. y = –​ __ ​ x + 6

x 1 60 3 dl och x är vikten i gram.

1

c)

b) T.ex. y = 2x – 8

1115 a) y = ___ ​ ​ – ​ __ ​ där y är antalet x

b) x – 3y + 12 = 0

linjen.

1113 a) T.ex. y = x – 5 1

1122 a) 2x – y + 4 = 0

1131 a = 2 1132 a = 4 1133 T.ex. y = 3x – 23 1134 Genom att ersätta y med 3x i

båda de givna ekvationerna, erhåller vi sambanden x = a och 5x = b. Detta innebär att 5a = b.

1135 b = 5 31x + 67 20

1136 y = ________ ​ ​

1137 x = 2 och y = 3 är den gemen­ samma lösningen till ekvatio­ nerna.

1138 a) Koordinaterna för linjernas skärningspunkt är (a, b).

1206 a)

1215 a) Saknar lösning eftersom

y

l­ injerna är parallella och inte skär varandra.

b) bx – ay = 0

b) En lösning

1139 Vi tecknar ett uttryck för rikt­

ningskoefficienten till linje L1 och kallar den för k1. Vi får då b – 0 __ b ​

​ = ​ ​ k1 = ______ a–0 a Vi tecknar på samma sätt ett uttryck för riktningskoefficien­ ten till linje L2 och kallar den för k2. Vi får då

–a – 0 a ​ ​ = –​ __ ​ k2 = _______ b–0 b Produkten av riktningskoeffi­ cienterna är

( )

1

b) 125 kWh

{

c) Kraftkompaniet

x​ = 1 c) ​ ​​ y = 3​

b) (1, 3)

1217 a) x är antal hekto billigt godis

{

och y antal hekto dyrt godis.

3 5 y = –​ __ ​x + __ ​ ​ 2 ​ 2 ​​ 1207 a) ​​ ​ y=x–5 ​ b)

b) Den övre ekvationen betyder att den sammanlagda vikten av godis ska vara 5 hg. Den undre ekvationen betyder att kostnaden för det billiga godi­ set och kostnaden för det dyra godiset är 30 kr totalt. x ≈ 3,2 hg c) ​ ​

​​ y ≈ 1,8 hg​ Ja, det är möjligt.

y

{

x

1

1140 a) T.ex. så har vi att t = 1 ger

b) t = 1 ger x = 3 och y = 0.

Vidare ger t = 2 att x = 4 och y = 1. Vi har alltså en rät linje som går genom punk­ terna med koordinaterna (3, 0) och (4, 1). Linjens ekva­ tion är y = x – 3, som i allmän form kan skrivas x – y – 3 = 0.

1216 a) Den fasta kostnaden är 39 kr och en kWh kostar 0,62 kr.

b a ​ ​ ∙ ​ –​ __ ​ ​= –1 k1 ∙ k2 = __ a b v.s.v. x = 1 och y = 2 och t = 2 ger x = 2 och y = 3. Koordi­ naterna x = 1 och y = 2 mot­ svarar en punkt på linjen y = x + 1 eftersom talen upp­ fyller linjens ekvation: VL = 2 = 1 + 1 = HL Koordinaterna x = 2 och y = 3 uppfyller på samma sätt ekvationen eftersom VL = 3 = 2 + 1 = HL

c) Oändligt många lösningar eftersom linjerna är identiska.

x

1

1

3 2

1218 a) Alla k ≠ __ ​​ ​​ c) (3, –2)

{ {

1208 a) ​ x ​ = 1 ​ ​ y = 2​ x​ = –2 c) ​ ​​ y = –6​

{

{ b) ​ x { ​y == 34 ​​​

d) ​ x ​ = 3 ​​ y = –2​

{

{ y = 0​

y = –7,84​

x​ = 0 1210 ​ ​​

1211 T.ex.

y

{

x = t c) ​ ​ ​​ y = –t + 10​

1201 T.ex. x = 1; y = 4 1202 a) T.ex. x = 0 och y = 0, x = 1

1

och y = –7 samt x = 2 och y = –14.

b) T.ex. x = 0 och y = 5, x = 1 och y = 3 samt x = 2 och y = 1.

{

x​ = –1 ​ ​ 1203 a) ​ y=4 ​

{

x​ = 2 b) ​ ​​ y = 1​

1204 a) Ja b) Ja c) Ja 1205 a) Nej b) Nej c) Ja

x

1

1219 Om Lilly ska köra mindre än

36 mil på ett dygn, så bör hon välja den svarta bilen. Annars bör hon välja den grå bilen.

x ≈ 1,78 x = 32,96 1209 a) ​ ​ ​ ​ b) ​ ​ ​​ y ≈ 1,96​

3 b) k = __ ​​ ​​ 2

9 2

1220 a = __ ​​ ​​ och b = 2 1 2 en lösning för alla värden på b.

1 Om a = __ ​ ​ har ekvationssystemet 2 oändligt många lösningar om b = 0 respektive saknar l­ösningar om b ≠ 0.

1221 Om a ≠ __ ​ ​ har ekvationssystemet

{

x = 0,5 y = 3,5​

{ 1224 a) ​ ​ { xy == –6–2 ​ ​​ 1225 a) ​ x { ​y == 313 ​ ​ ​

x = 3 ​​ d) ​ ​ y = –11​

b) Lösningar saknas

1213 Ekvationssystemet har en lös­

ning. Eftersom riktningskoeffi­ cienterna för de linjer som ingår är olika så kommer linjerna att skära varandra i en punkt.

{ y = –1​

x​ = –2 ​ ​ 1214 a) ​

{

y=x+1 b) ​ ​ ​​ y = –2x – 5​

x = 1,5 y = 7,5​

1223 a) x = (1 – 4x) + 14 b) x = 3

1212 a) En lösning

{

1222 ​ ​ ​ ​ och ​ ​ ​​ c) y = –11

{ b) ​ x { ​y == 34 ​​​

x​ = 2 b) ​ ​​ y = 8​

1226 a) y = 6 – 2x b) 3x + 4(6 – 2x) = –11 c) x = 7

d) y = –8

FACIT  1. Räta linjer och ekvationssystem

357

=

{ y = 1​

x​ = 4 1227 a) ​ ​ ​

{

1 a = __ ​ ​ 2 ​ ​ 1228 a) ​ ​ b = 1​

{

x​ = 5 b) ​ ​​ y = 3​

{

x = 0,28 b) ​ ​ ​​ y = 1,32​

1229 a) Den övre ekvationen betyder

att det finns x st mindre kulor och y st större kulor i burken.

Tillsammans blir de 50 st.

Den undre ekvationen bety­ der att den mindre sorten väger 2,5 g och den större sorten väger 3,5 g. Tillsam­ mans väger kulorna i burken 155 g.

=

1237 a = 3 m/s2, v0 = 5 m/s

{ y = 4​

x​ = 0 1238 ​ ​​

angett hela lösningen. Sätter vi in y = 2 i den undre ekvationen får vi

1239 a) Efter förenkling av VL får

​–x + 2 = 10 som ger x = –8​

man 3 = 3.

b) Ekvationerna är identiska, vilket medför att ekvations­ systemet har oändligt många lösningar. Alla talpar som löser den ena ekvationen löser också den andra.

1240 a) Om man löser ut y ur första

ekvationen och sätter in y = –4x + 14 i andra ekvatio­ nen, så får man 48 = 3 efter förenkling av VL och det är absurt.

{

b) ​ x ​ = 20 ​​ y = 30​ c) Det är 30 st av de större och 20 st av de mindre kulorna i burken.

{

x + y = 131 1230 a) ​ ​ ​ ​

x – y = 15 ​ b) Talen är 73 och 58 (x = 73 och y = 58).

b) Det är två parallella linjer.

{

p=1 q = 2​

1241 ​ ​

​​ 1242 Ca 0,83 m/s

{

x=7

1231 340 vuxenbiljetter och inga

1243 ​​ y​ = 5​ ​​​

1232 a) y = 249 + 5,90x

1244 a) x = 3

barnbiljetter.

{

x ≈ 21,4 b) ​ ​ ​ ​ y ≈ 375 ​ c) Att Tjenis och Polaris har samma månadskostnad (375 kr) om man förbrukar ca 21,4 GB surf.

{

x = 1,375 1233 a) ​ ​

​​ y = –0,875​

{

11 x = ___ ​ ​ 8 b) ​ ​ ​​ 7 y = –​ __ ​ 8​ c) Svaret beror på tycke och smak och på vilket hjälp­ medel man har tillgängligt.

{ w = –1​

1234 a) ​ u ​ = 2 ​ ​

{

= 9 b) ​ ​s ​​ 3 t = __ ​ ​ 2​ 1235 a) Anna har substituerat x i den första ekvationen och Lina har valt att substituera y.

{

{

= –5 ​ ​ b) ​ ​x c) ​ x ​ = –5 ​ ​ y=0 ​ y=0 ​ d) Svaret beror på tycke och smak, men det kan underlätta att man gör som Anna och på så sätt undviker nämnare i ekvationen.

{ 1245 a) ​​ x { ​y == 7525 ​​ ​​ c) ​​ { x​y == 32 ​​ ​​ 1246 a) 2

{

x​ = 3 1247 a) ​​ ​​ ​ y = 5​

Den fullständiga lösningen till ekvationen är alltså

{

x​ = –8 ​ ​​ ​​ y=2 ​

1252 T.ex. kan man multiplicera ekva­ tion (1) med 3 och ekvation (2) med –2.

{ y = –7​

x​ = 10 1253 a) ​​ ​​​ b) Ekvationssystemet saknar lösningar.

1254 a) Insättning av t = 2,0 ger

40 = a ∙ 2,0 – b ∙ 2,02, som efter division med 2 ger 20 = a – 2b. På samma sätt ger insättning av t = 3,0 att vi får 45 = a ∙ 3,0 – b ∙ 3,02, och division med 3 ger 15 = a – 3b.

b) ​a = 30 och b = 5​

z = –5​

x​ = 3 c) ​​ ​​​ y = 5​

b) y = 5

1255 140 hamburgare och 170 läsk.

1 5 1256 Talen är –​​ __ ​​ och __ ​​ ​​.

{

2

{ y = 4​

2

b) ​​ x ​ = 10 ​ ​​ y=5 ​

x​ = 8 1257 ​​ ​​​

x​ = 2 d) ​​ ​ ​​ 1 y = –​ __ ​ 2​

x+y=5 1258 T.ex. ​​ ​ ​​​

{

{ b) ​​ { x​y == 5–3 ​​​ ​

b) ​​ x ​ = 2 ​​​ y = 1​

{

x – y = 19​

9 2

1259 ​A = 10 och B = –​ __ ​​ 1260 54 respektive 73 barn 1261 29°

1248 a) Janne har inte multiplicerat

1262 21 kr

{ 1249 a) ​​ x​ { y == –1–2 ​​​ ​

1264 ​(x, y) ≈ (–0,118; 0,082)​

med 2 i HL. Det ska vara 24 i HL.

= 17 ​ ​​ b) ​​ x​ y = –1 ​

b) Ekvationssystemet har oänd­ ligt många lösningar. Alla talpar som uppfyller ekvatio­ nen 3x – 2y = –5 löser ekva­ tionssystemet.

1250 a) x + 3y = 36 b) Priset för en röd skiva är 12 pund och för en blå 8 pund.

1236 3 a.e.

358

1251 Dragana har rätt. Katja har inte

FACIT  1. Räta linjer och ekvationssystem

1263 a) y = x + 2

b) T.ex. y = 2x

1265 11 får och 17 ankor

{

x+y=2 1266 a) T.ex. ​​ ​ ​​​ x = –2y – 1​ b) Oändligt många svar

1267 Drygt 33 mil 1268 Otto har rätt. Ekvationssystemets lösning är x = 413 och y = –150, men vi kan inte ha ett negativt antal djur. Kaveh måste alltså ha räknat fel.

1269 a) Det är totalt 10 liter mjölk. b) Summan av fett i lättmjölken och standardmjölken ska vara lika med fettmängden i 10 liter mellanmjölk. c) 6 liter lättmjölk och 4 liter standardmjölk.

1270 25 kr (förutsatt att båda har mer än 0 kr)

1271 Ca 46 a.e.

1272 Hamburgaren kostar 59 kr,

läsken 15 kr och pommes frites 24 kr.

1273 203 kr 1274 –41, 77 och 123 1275 För a = 1 har ekvationssystemet oändligt många lösningar. Om a ≠ 1 gäller att ekvationssyste­ met har en unik lösning, som beror av värdet på a.

{

x = 1 + ​ a ​​ ​​ ​ y = –1 ​ 69 1276 v kan vara ___ ​​ ​​ km/h (= 9,9 km/h) 7 eller 18 km/h.

1277 För a = –1 saknar ekvationssys­ temet lösning. För a = 1 har ekvationssystemet oändligt många lösningar.

Om a ≠ ±1 gäller att ekvations­ systemet har en unik lösning, som beror på värdet på a.

{

1 x = _____ ​ ​ 1 + a ​​ ​ ​​​ 1 y = _____ ​ ​ 1 + a​

« Blandade uppgifter

{

1 ​​ x ​ = 1 ​​​ y = 1​ 2 a) y = 3x – 5 b) y = –2x – 6

3 a) T.ex. x = 1; y = 5 är en lösning till ekvationen.

b) Det finns oändligt många ­lösningar till ekvationen.

___ 4 a) ​​√___ 53 ​​ l.e. ≈ 7,3 l.e. b) ​​√10 ​​ l.e. ≈ 3,2 l.e.

{ y = 5​

5 ​​ ​x = 2 ​​​

x 2

6 a) y = – __ ​​ ​​+ 2

24 a = –6

(eftersom ekvationerna då beskriver två parallella linjer)

3 b) y = __ ​​ ​​ – 3 2

{ y = 7​ b) ​​ { x​y == 47 ​​​​ c) ​​ x { y​ == 102 ​ ​​ ​

25 De är vinkelräta eftersom k1 · k2 = –1

x​ = 3 7 a) ​​ ​​​

1 3

26 a) x = __ ​​ ​​

8 a) Alternativ 1: y = 400 + 25x Alternativ 2: y = 80x

b) 8 gånger måste Niclas minst träna för att tjäna på att köpa månadskort

9 Linje B och linje D är parallella med

varandra (deras riktningskoefficien­ ter har samma värde).

10 Den har en rikntingskoefficient 1 med värdet –​​ __ ​​ .

2

12 Linjerna är inte vinkelräta mot ­varandra eftersom k1 · k2 ≠ –1

13 a) y = 4 b) x = 2

28 Fast avgift 200 kr och 2 kr/km.

29 7,5 a.e.

30 Stora halvcirkelns omkrets är lika med summan av de två mindre halvcirklarnas omkretsar

b) För körsträckor mellan 74 km och 149 km

Kapiteltest

1 a) x = 3

14 a) y = –2x + 6

b) y = –2

x b) y = __ ​​ ​​ 3

2 a) y = –2x b) y = 4x – 6

2 3

15 k = __ ​​ ​​ 16 4x – 3y – 9 = 0 där a = 4, b = –3

och c = –9 (eller –4x + 3y + 9 = 0 där a = –4, b = 3 och c = 9)

17 T.ex.

2x + y = 0 ​​ ​ ​​​ 3x + 2y = –1​ = 100 18 a) ​​ x​ ​​​ y = 83,5​ b) Om hon ringer 100 min/mån, så är kostnaden lika stor oavsett abonnemang. Då kostar det 83,50 kr/mån.

{

{ y = –2​

inte på en rät linje. Linjerna mellan punkterna har olika k-värden.

32 a) Efter 74 km

x 2

19 y = 3x + 1

27 Madeleine har rätt, punkterna ligger

31 (–4, –4) och (4, 4)

11 y = __ ​​ ​​

{

2 y = –​​ __ ​​ 3 b) x = 4 y=1

{

7 5

3 T.ex. x = 1 och y = −​​ __ ​​

{

5 y = __ ​ ​ x – 2 x = 3

4 a) ​​ ​

​​ ​ b) ​​ ​ 3

​​​ y = 3​ 1 y = –​ __ ​ x + 4 3 ​ 1 5 a) k = –​​ __ ​​ 2 x b) T.ex. y = –​​ __ ​​ – 3 2 c) De angivna linjerna är inte v ­ inkel­­räta mot varandra eftersom pro­ dukten av riktningskoefficienterna 1 1 k1 = –​​ __ ​​ och k2 = __ ​​ ​​ inte är –1.

2 2

{

{

x+y=6 6 a) ​​ ​ ​ x – y = –14

21 b = 5

​​b) De två talen är 10 och –4. ​ = 3 = 1 ​ ​​​​ 7 a) ​​ x​ ​​ ​ b) ​​ a ​ y = 2​ b = 2​

22 (0, 13), (6, 16) och (100, 63)

8 a = 1 och b = 3

23 (5, 0)

x ≈ 1,7 9 ​​ ​

​​​

x​ = 2 ​​ ​ 20 a) ​​

y = –2x + 2 b) ​​ ​ ​ ​​ y=x–4 ​

{

{

{

y ≈ 3,2​

FACIT  1. Räta linjer och ekvationssystem

359

=

10 a) y = –2x + 10 b) T.ex. (0, 10)

( )

16 7 11 (3,2; 1,4) = ​​ ___ ​ ​, ​ __ ​ ​​

2 Algebra och

andragrads­ ekvationer

5 5

12 Om x är priset i kronor för en hel

dag och y är priset i kronor för en kväll: 2x + y = 817 a) ​​ ​ ​ x + 2y = 737

{ {

​​b) ​​ x ​ = 299 ​​​ y = 219​ ​ c) Ett åkband för en hel dag kostar 299 kr och ett åkband för en kväll kostar 219 kr.

=

2101

​​2x​2​​

2102 a) 9

b) 4x – 16 2

2103 a) 4(a + 3)

b) a2 – 10a + 25 c)

Ekvationssystemet y = 2x + 2 ​​ ​ ​ ​ ​ y = 2x – 4 ​

2106 a) x

u För t = –2 så saknar ekvations­

systemet lösningar. u Ekvationssystemet har oändligt

antal lösningar endast om de två ekvationerna som ingår i ekva­ tionssystemet beskriver samma linje. Ekvationssystemet skrivs y = –2x + 4 ​​ ​

4 26 y = __ ​ ​x – ___ ​ ​ t t ​​Vi kan inte ​välja t så att 4 –26 ​​ ​__ ​​ = –2 och ​​ ____ ​​ = 4. t t

{

b) x2 + 6x + 9 c) x2 + 14x + 49 d) ​​x2​ ​​ + 18x + 81

2107

b) x och x c) x och 3

a) 2x2

+ 13x + 21

b) 4y2

+ 4y – 24

c) 15x2

+ 7x – 36

d) 6y2 – 8y + 2

2121 a) 0

b) 2x4 + x3 – 11x2 + 11x – 3

2122 ​​4x​3​​ − ​​101,4x​2​​ + 623,7x 1 15

2123 r = ___ ​​ ​​ 2a b

2124 ​​ ___ ​​ 2125 a) VL = (x – y) (x2 + xy + y2) =

b) VL = (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3 = x3 + y3 = HL

2126 a) (x − 6)(x + 3) b) (x + 3)(x − 2)

2127 a) y(y + 2)3(2y + 5) b) (x + 1)2(x − 1)1/2

2128 a) x2 + 6x + 9

b) x2 + 12x + 36

2108 D

c) x2 + 10x + 25 2 3

2 b) y = __ ​​ ​​ 3

2109 a) x = __ ​​ ​​

2110 a) Till exempel 5x2(2x – 1) eller x(10x2 – 5x)

b) Till exempel 8xy(3 – 2y) eller y(24x – 16xy) c) Till exempel xy(x2 – y) eller x(x2y – y2)

2111 a) –6a2 + 33a – 24 b) –8b2 – 18b

2112 a) 2x2 – 6x

d) 9x2 + 12x + 4

2129 a) x2 – 10x + 25 b) x2 – 2x + 1

c) x2 – 20x + 100 d) 4x2 – 12x + 9

2130 a) x2 – 16 c) 49 –

b) x2 – 100

y2

d) y2 – 81

2131 Ilija har rätt. Sacha har missat ”dubbla produkten”. Rätt svar: 16x2 + 24x + 9

2132 a) A = (4x2 + 12x + 9) a.e.

b) 4x – 12

b) A = (9y2 – 30y + 25) a.e.

c) x – 3

2113 a) 4a + 1

b) 4x

2114 a) x

b) x

2115 a) (2a – 18) cm b) (a – 9) cm

2116 x2 + 23x + 49 a.e.

2133 a) x2 – 25 2

b) 49a2 – 81 2

c) 36x – 9y

2134 a) x = 1 2135 a) 4

d) 4z2 – 25

1 b) x = 25 c) x = –​​ __ ​​ 4 b) 9x2 c) 2a

2136 a) 9 + 72x + ​​144x​2​​

2117 a) –2x(10y – 25x2)

1 b) x2 – x + __ ​​ ​​ 4 c) 25x2 + 50xy + 25y2

2118 a) –x2 + 8

d) 4x2 + 2xy + ​0,25​y2

b) –2x(–9xy – 12y2)

b) x3

–

2x2

+ 4x – 3

c) 2y4 + 4y3 – 4y2 – 8y

360

b c) ​​ __ ​​ a

x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3 = x3 – y3 = HL

– 25

2105 a) x2 + 2x + 1

saknar lösningar, eftersom två linjer med samma riktnings­ koefficient är parallella och därför aldrig skär varandra.

b) y(y – 12)

c) 7a(3 – 2b) d) x(1 + 3x)

y = 2x + 1 ​​ ​ ​

​​ y = –2x ​ har en lösning, eftersom två linjer med olika riktningskoefficient skär varandra i en punkt.

{

d) 6x – 11

2104 a) a2 + 10a + 25 a2

2 x −1

2120 a) ​​ ______ 2 ​​ b) –1

c) x2m + 1

c) 3x + 11x

13  Ekvationssystemet

{

+ x a.e.

a 1+a

2119 ​​ _____

​​

FACIT  1. Räta linjer och ekvationssystem

2137 a) Ja, Lotta har gjort rätt. b) Sandra har fel tecken på sista termen och missar att den ska vara positiv. Ina har fel på första termen då hon bara tar y i kvadrat och inte (2y) i kva­ drat.

2138 a) 16x2 − 16x + 4

b) 128b2 – 224b + 98 c) 3x2 – 18xy + 27y2 d) 2ab − ​​0,01a​2​​ − 100b

2139

x2

–4

2140 Mike har gjort rätt. Det är bara

x + 1 som ska tas upphöjt till 2.

2141 a) ​​(50 + 2)​2​​ = ​​50​2​​+ 2 · 50 · 2 + ​​2​2​​ = 2 500 + 200 + 4 = 2 704

b) 3 969

c) 1 296

2142 a) 3 och 9 b) 2y och 20y c) 6, 6 och a2

2143 a) VL = (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab = HL v.s.v.

b) VL = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 HL = (b – a)2 = b2 – 2ab + a2 = a2 – 2ab + b2 = VL HL = VL v.s.v.

2144 (x + y) meter 2145 a) x8 – 2x7 + x6

b) 72x – 2 · 7x + 1 4 4 ​​ ​​x + __ ​​ ​​ c) x2 – __ 3 9

2146 a) x2 – 7

b) 3x2 – 16 4 ​x2​ ​ c) ​​ __2 ​​ − ​​ __ ​​ ​x​ ​ 4 d) x2 – a2 + 2a – 1

2149 a) Eftersom 2n innehåller fak­

torn 2 är det delbart med två och därför ett jämnt tal. Talet 2n – 1 är heltalet innan 2n och därmed ett udda tal.

b) De nästkommande udda tal efter 2n – 1 är 2n + 1 och 2n + 3. Summan av kvadra­ terna av dessa blir (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)2 = (4n2 – 4n + 1) + (4n2 + 4n + 1) + (4n2 + 12n + 9) = 12n2 + 12n + 11 v.s.v. c) Vi kallar de två udda talen för 2m + 1 och 2n + 1 där m och n är heltal. Produkten av dessa tal är (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1. Eftersom m och n är heltal kommer även 2mn + m + n vara ett heltal. Därför kommer 2(2mn + m + n) vara ett jämnt tal och 2(2mn + m + n) + 1 ett udda tal, v.s.v.

2150 Skriv differensen som 1002 – 32.

Detta uttryck kan skrivas om med konjugatregeln 1002 – 32 = (100 – 3)(100 + 3).

Talet 9 991 kan alltså faktorise­ ras till 97 · 103.

2152 Vi kallar heltalen för a och b.

Medelvärdet av kvadraterna är a2 + b2 ​​ _______ ​​ och hälften av detta är 2 2 2 ​a​ ​+ b ​ ​​ _______ ​​ ​​.

Kvadraten av 4 a+b 2 deras medelvärde är ​​​ ​ _____ ​ ​​ ​​ = 2 (a + b)2 ____________ a2 + 2ab + b2 _______ ​​ ​​ = ​​ ​​.

4 4 Differensen av uttrycken är

( )

​a2​ ​+ 2ab + b ​ 2​ ​ _______ ​a2​ ​+ b ​ 2​ ​ ​​ ____________

​​ − ​​ ​​ = 4

4

2

ab samma tecken är ​​ ___ ​​ ≥ 0 och då 2 har Johan rätt. Men någon av a ab och b är noll så är ​​ ___ ​​ = 0 och 2 om a och b har olika tecken så ab gäller ​​ ___ ​​ ≤ 0. Därmed stämmer 2 inte Johans påstående i dessa fall, och därför har han fel.

2153 a) Den färgade kvadraten har

sidan a – b och arean (a – b)2.

Samma area kan även uttryckas om man till hela kvadratens area (​​a​2​​) först lägger till ytterligare en liten kvadrat med arean b​ ​​ 2​​ och där­ efter tar bort två rektanglar med arean ab vardera. Alltså är ​​(a − b)​2​​ = a ​​ 2​ ​​ − 2ab + b​ ​​ 2​​, v.s.v.

2151 x2 – 6x + 10 = x2 – 6x + 9 + 1 =

(x – 3)2 + 1. Eftersom ett tal i kvadrat alltid är positivt eller noll kommer (x – 3)2 alltid vara större än eller lika med noll.

Därmed kommer x2 – 6x + 10 vara större än eller lika med ett.

b) Hela figuren har ytan a2 – b2.

Efter omfördelning kan figu­ ren få utseendet a–b

b

         

(45 + 5)(45 – 5) = 50 · 40 = VL

a+b

b) 852 = 80 · 90 + 25 = 7 225

2148 4x2 + 8x – y6 + 4

b

a–b

2147 a) HL = 452 – 52 =

c) Enligt konjugatregeln har vi (x + 5)(x – 5) = x2 – 25 för alla tal x. Alltså gäller att x2 = (x + 5)(x – 5) + 25 oav­ sett värdet på x. Det gäller för­ stås även om inte x slutar på 5, men då är det inte särskilt effektivt att använda knepet.

4

2ab ab ____ ​​ ​​ = ​​ ___ ​​ . Om a och b har

(a + b)(a – b) = a2 – b2 v.s.v.

2154 B 2155 a) (a + 5)2 2

c) (y + 7)

2156 a) (a – 1)2 c) (y –

8)2

b) (x + 3)2 d) (s + t)2 b) (x – 5)2 d) (a – 6b)2

FACIT  2. Algebra och andragradsekvationer

361

=

2157 a) (y + 4)(y – 4)

2175 a) 3(x – 1)(x + 2)

b) (x + 8)(x – 8)

b) (x – 3y + 6) (x + 3y + 6)

c) (2x + 1)(2x – 1)

2201 a) x1 = 9; x2 = –9

d) (x + 10y)(x – 10y)

2158 a) (x + 1)2

( 2 )

y 2 c) ​​​ x – __ ​ ​ ​​ ​​

b) x1 = 7; x2 = –7

b) (x – 9)2

c) x1 = 10; x2 = –10

d) (5 – y)2

d) Ekvationen saknar lösning

2202 a) x2 = 64

2159 Ylvali har rätt eftersom

b) x1 = 8; x2 = –8

x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)

2160 a) 10 och 10 c) 7y och 7y

c) Sidan är 8 cm

b) 3

2203 a) x1 = 5; x2 = –5

d) 6x och 6x

b) x1 = 1; x2 = –1

2161 Ingen av kvadreringsreglerna

c) y1 = 4; y2 = –4

har ett minustecken innan sista termen.

=

2162 a) a + 6

d) y1 = 10; y2 = –10

2204 B

b) x – 5

2205 a) y1 ≈ –4,472; y2 ≈ 4,472

2163 2(x + 2)2

b) m1 ≈ –3,162; m2 ≈ 3,162

2164 (x – 11) dm

c) r1 ≈ –1,784; r2 ≈ 1,784

2165 a) –2(x + 2y)(x – 2y)

d) x1 ≈ –2,236; x2 ≈ 2,236

b) 4(a – 4)2

( ( __

)( ) )( )

3 3 a __ 4 __ a __ 4 b) ​​ ​ ​ + ​ ​ ​​​​ ​ ​ – ​ ​ ​​ 2 5__ 2 5__ c) (x + √ ​​ 3 ​​ ) (x − √ ​​ 3 ​​ )

( ) 1

2

2207 a) x1 = 5; x2 = –5 b) x1 = 0,5; x2 = –0,5 4 4 c) x1 = __ ​​ ​​ ; x2 = –​​ __ ​​ 9 9 2 2 __ __ d) x1 = ​​ ​​ ; x2 = –​​ ​​ 3 3

( ) 2

2

2167 a) ​​​ a + __ ​ ​ ​​ ​​ b) ​​​ x – __ ​ ​ ​​ ​​ 3 7 ___ ___ c) ​​ ( y + √ ​ 10 ​ )​​​​ ( y – √ ​ 10 ​ )​​

__ __ 2208 a) t1 = √ ​​ 5 ​​ __; t2 = –​​√5 ​​ __ b) a1 = √ ​​ 6 ​​ ; a2 = –​​√6 ​​

d) (a + b2) (a – b2)

c) Saknar lösning

2168 a) 4 b) 4 c) 18y

2209 a) Två lösningar

2169 2(4 – y2) cm x2 + x 5 − 2x

2170 a) ​​ ______

​​

(x = −6 och x = 6)

b) Ingen lösning

y2 − 3 b) ​​ ______

​​ 2 − 5y

c) En lösning (x = 0)

x+1 2171 a) ​​ _____ ​​

2210 x = –6 och x = 6

x−1 2(x − 3) b) ​​ _______ ​​

x+1 ​a2​ ​+ b ​ 2​ ​ c) ​​ _______ ​​ b−a

2211 a) 4,5 m

b) 2n – 1(​2n + 1 + 1​)

eller

​​2n​ ​​​​

(

​2n​ ​

)

1 + __ ​ ​ ​​ 2

c) (x + 5)(2 + x)(2 – x)

2173 (a + b) – 4ab = a + 2ab + b – 2

2

2

4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ≥ 0 (Det sista ledet eftersom en kva­ drat aldrig blir mindre än 0.) v.s.v. x+5 4x +2

2174 ​​ ______ ​​

362

b) Ca 94 km/h

2212 2,3 %

2172 a) an(a2 + 1)

b) 120 cm2

__ 2219 ​4​√A ​​

2220 Låt sidan på kvadraten vara

x cm. Pythagoras sats ger att x2 + x2 = d2, d.v.s. d2 = 2x2. Arean för kvadraten blir A = x2. Alltså är d2 = 2x2 = 2A, v.s.v

2221 a) x1 = 0 och x2 = 36 b) x1 = 0; x2 = 8 c) x = –13 d) x1 = 0; x2 = 36

2222 a) x(x – 2) = 0 b) x1 = 0; x2 = 2

2223 a) x1 = 0 och x2 = –8 b) x1 = 0; x2 = 1 c) x1 = 0; x2 = 4 1 d) x1 = 0; x2 = __ ​​ ​​ 2

2224 a) x1 = 12 och x2 = 4

2206 37 cm

2 2 2166 a) ​​ x + __ ​ ​ ​​​​ x – __ ​ ​ ​​

___ 2218 a) ​16​√10 ​​ cm

b) x1 = 0; x2 = –5 5 c) x1 = 3; x2 = __ ​​ ​​ 2 d) x1 = –3; x2 = 5

2225 a) x2 = 16 dvs. x1 = 4; x2 = –4 b) (x + 4)(x – 4) = 0 dvs. x1 = 4; x2 = –4

2226 a) x(x – 9) = 0 b) (x + 3)(x – 2) = 0

2227 a) x = 1

b) x1 = 2; x2 = –8

2228 Efter 5 s.

2229 Endast om produkten är 0 vet vi

att (minst) en av faktorerna är noll. Det finns oändligt antal par av tal vars produkt är 14. Att ett av dem är 2 och 7 hjälper oss inte.

2213 6 cm respektive 8 cm

2230 T.ex. 3x2 + x = 0

2214 50 cm2

2231 Om b = 1 och a = –2 eller om

__ __ 2215 x1 = ​3√ ​ 2 ​​ ; x2 = ​–3​√2 ​​

2216 a) x1 = 5; x2 = –1 b) x1 = –9; x2 = 3 7 17 c) x1 = −​​ __ ​​ ; x2 = ___ ​​ ​​ 2 2 10 26 9 9 19 11 ___ b) x1 = –​​ ​​; x2 = –​​ ___ ​​ 5 5 16 19 ___ ___ c) x1 = ​​ ​​; x2 = ​​ ​​ 7 7

2217 a) x1 = ___ ​​ ​​; x2 = ___ ​​ ​​

FACIT  2. Algebra och andragradsekvationer

2 b = 5 och a = –​​ __ ​​ 5

2232 a) x = 0 och x = 8 b) I andra steget dividerar Linus med x, vilket inte är tillåtet om x = 0. Därmed går lös­ ningen x = 0 förlorad i Linus lösning.

2301 (x − 5)2 = 100 ____ x – 5 = ±​​√100 ​​

2313 När Enya tar kvadratroten ur

båda led så får hon ett negativt tal i högra ledet vilket är fel efter­ som kvadratroten är ett positivt tal.

x – 5 = ±10 x = 5 ± 10 x1 = 15 och x2 = −5

2302 a) x + 4x = 12

2

b) x – 6x + ______ 5=0

x=3±√ ​​ 3 2 − 5 ​​ x=3±2 x1 = 5 och x2 = 1

x2 + 4x + 4 = 12 + 4 (x + 2)2 = 16 x + 2 = ±4 x1 = 2 och x2 = −6

b) x1 = 11; x2 = –5

2326 r = 3,5 cm

b) s1 = 3; s2 = –4 c) v1 = 1; v2 = –4

2317

a) 2x2

c) y1 = –1; y2 = –4 d) y1 = 4; y2 = 3

b) ​​x​2​​

2327 T.ex. x2 + 11x + 28 = 0 och 2x2 + 22x + 56 = 0

– 4x − 6 = 0

__ __ 2328 x = 3 + √ ​​ 3 ​​ eller x = 1 + √ ​​ 3 ​​

___ 2329 x1, 2 = ±​​√19 ​​ ; x3, 4 = ±1

− 2x − 3 = 0

c) x1 = 3; x2 = −1

2304 a) 12 och 13.

2318 a) x1 = 10; x2 = –2

b) 23 och 24.

b) x1 = 7; x2 = –19

2305 a) x1 = 3; x2 = –1 b) Ekvationen saknar lösning

___

__

c) x = 6 ± ​2√ ​ 7 ​​ ​​ ( = 6 ± √ ​ 28 ​ )​​

__ __ c) x1 = 2 + ​2√ ​ 3 ​​ ; x = 2 – ​2√ ​ 3 ​​

___ ____ 2 __ (​​√12 ​​ = ​​√4 · 3 ​​ = ​2​√3 ​​ )

4 8 b) x1 = −​​ __ ​​ ; x2 = −​​ __ ​​ 3

2307 11 cm (10,8) och 17 cm (16,8) 2308 148 × 210 mm 2309 a) a = −5 ger x = 1 och x = –5 b) a = 6 ger x = 1 och x = –7 c) a = 1 ger x = 1 och x = –6

2310 Ett sätt att kvadratkomplettera ekvationen är att följa stegen x2 + 12x + 3 = 0 x2 + 12x = –3 x2 + 12x + 36 = –3 + 36 (x + 6)2 = 33 Bosse kan ha haft avsikten att inledningsvis få x2 + 12x ensamt i VL och därför valt att subtrahera 3 från båda led.

Helena har nog tänkt att få VL = x2 + 12x + 36 och adderar därför båda led med 33.

2311 Talen är 3, 4 och 5

ax2 + bx + c = 0 med a och sätt in i pq-formeln.

Vi får

√ ( )

__ __ 5±√ ​ 5 ​

_______

c) y = 5 ± √ ​​ 2 ​​

d) t = ​​

2330 Dividera båda leden i ekvationen

b c ​​ ​​ + __ ​​ ​​ = 0 x2 + ___ ax a _________ b b 2 c x = –​​ ___ ​​ ± ​​ ​​ ___ ​ ​ ​ ​ – __ ​ ​ ​​ = 2a 2a a Förläng sista bråket med 4a så att det blir ​​(2a)​2​​som blir gemen­ sam nämnare under rottecknet.

2319 a) s1 = 4; s2 = –1 b) x = 2 (dubbelrot)

2306 a) x1 = –6; x2 = 2

b) Ca 11,5 m

2325 Till exempel 4x2 + x + 100 = 0

2316 a) t1 = –1; t2 = –6

b) x1 = 11; x2 = –1

2312 71 cm2 (71,25)

2324 a) 1,7 m

c) x1 = 13; x2 = 1

2303 a) x1 = 1; x2 = –9

3

Ekvation 3 kan lösas med ­kvadratkomplettering eller pq-­ formeln.

2315 a) x1 = 3; x2 = –7

b) x2 − 6x + 5 = 0 x2 − 6x + 9 = −5 + 9 (x − 3)2 = 4 x − 3 = ±2 x1 = 5 och x2 = 1

kvadratrotsdragning efter att ekvationen skrivits om så att konstanttermen står i högra ledet.

Ekvation 2 löses enklast genom faktorisering och utnyttjande av det faktum att en av faktorerna måste vara noll för att produkten ska bli noll.

2314 a) p = −6 och q = 5

2

2323 Ekvation 1 löses enklast med

​​

2

2320 a) x = 4 och x = −4

____________

√

b) x2 – 16 = 0 x2 = 16 x = ±4

b b2 4ac ​ = –​​ ___ ​​ ± ​​ _____ ​ ​ – ​ _____ ​ ​ = 2a (2a)2 (2a)2

c) Andragradsekvationer som saknar x-term kan lösas med hjälp av kvadratrötter.

Andragradsekvationer som saknar konstantterm kan lösas med hjälp av faktorise­ ring.

Fullständiga andragradsekva­ tioner kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering eller med hjälp av pq-formeln.

2a

________ ​√b 2 – 4ac ​ __________

–b ___ ​​ ​​ ± ​​

​​ = 2a

________ −b ± √ ​ ​b 2​ ​− 4ac ​ ______________

​​ ​​ 2a v.s.v.

2321 Sidorna är 12 cm och 18 cm långa.

2322 a) x1 = 5; x2 = –2 b) x1 = 9; x2 = 3 c) x1 = 5; x2 = 1

FACIT  2. Algebra och andragradsekvationer

363

=

2331 Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna ________ p p 2 a) x1 = –​​ __ ​​ + ​​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​​ 2 2

√ ( ) __ __ √( )

________

p p 2 x2 = –​​ ​​ – ​​ ​​ ​ ​ ​​ ​ – q ​​ 2 2

( √ ( ) ) ( √ ( ) ) ( √ ( ) )

________ p p 2 x1 + x2 = ​​ –​ __ ​+ ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​ ​​ 2 2 ________ p p 2 + ​​ –​ __ ​– ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​ ​​ = –p 2

2

v.s.v.

________

p p 2 b) x1 · x2 = ​​ –​ __ ​+ ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​ ​​ · 2 2

=

( √ ) ( ) ( √ ( ) )

______ p p p 2 ​​ –​ __ ​– ​ ___ ​ 2 ​ – q ​ ​​ = ​​​ –​ __ ​ ​​ ​​ – 2 2 2 ________ 2 p 2 ​​​ ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​ ​ ​​ = 2 Konjugatregeln p 2 p 2 = ​​​ __ ​ ​ ​​ ​​ – ​​​ __ ​ ​ ​​ ​​ + q = q 2 2 v.s.v.

( ) ( )

2332 Lösningen________ till ekvationen är

√ ( ) √ ( )

p p 2 x = –​​ __ ​​ ± ​​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​​.

Om q < 0, 2 2 ________ 2 p p så kommer ​​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​ – q ​​ > __ ​​ ​​ och 2 2 ekvationen får en positiv och en negativ rot.

2333 A Diskriminanten är noll och

ekvationen har alltså en lös­ ning (dubbelrot)

___ ___ 2339 a) a > √ ​​ 40 ​​ ___ ; a < –​​√40 ​​

b) a = ±​​√40 ​​

___ ___ c) –​​√40 ​​ < a < √ ​​ 40 ​​

2340 Om vi skriver ax2 + bx + c = 0 i formen x2 + px + q = 0 blir diskriminanten

( )

()

2

p 2 b c ​​ ​ __ ​ ​​ ​ – q = ​​ ​ ___ ​ ​​ ​ – __ ​ ​ = 2 2a a b2 c b2 – 4ac = ___ ​ 2 ​ – ​ __ ​ = _______ ​ ​

4a 4a2 a 1 Eftersom ​ ___ ​ > 0, för alla värden 4a2 på a måste b2 – 4ac ha samma tecken som

()

p 2 ​​ ​ __ ​ ​​ ​ – q.

2

2341 Om x1 = x2 = a, så kan ekvatio­ nen skrivas (x − a)2 = 0 x2 − 2ax + a2 = 0 vilket ger en diskriminant −2a 2 ​ ​ ​​ ​​ − a2 = a2 − a2 = 0 D = ​​​ ____ 2 v.s.v.

( )

2342 Talen är 123 och 124 eller –124 och −123

2343 Omkretsen är ca 29 cm 2344 Talen är 2 och 25

B Diskriminanten är större än noll och ekvationen har alltså två lösningar

2345 Talen är 8 och 12

C Diskriminanten är negativ och ekvationen saknar alltså reella lösningar

2347 Summan av det tre talen är 36

2334 a) Ekvationen har en lösning

eftersom diskriminanten är noll.

b) Ekvationen saknar reella lös­ ningar eftersom diskriminan­ ten är negativ. c) Ekvationen har två lösningar eftersom diskriminanten är positiv.

2335 a) Ekvationen saknar lösning b) x = 7 eller x = −1 c) x = 1

2336 a) T.ex. (x + 2)(x – 6) = 0 b) T.ex. (x − 4)2 = 0

c) T.ex. x2 + 16 = 0

2337 a) a < 9 b) a = 9 c) a > 9

364

2338 a = –9

2346 a) 155 m b) h = 0 c) 4,3 s 2348 Sträckan x är 5 m.

2349 a = ±12 ger dubbelrot.

2350 Heltalet är 7 2351 Den andra roten är x = 8 2352 a = 22 och b = 17 2353 Talen är 7 och 8 2354 a) x = −2, x = 0 och x = −22 b) x = 1, x = 0 och x = −4

2355 En liter mjölk kostade 7 kr innan prisökningen.

2356 Om talet i mitten är x så blir det

{

{

x​ = 3 x​ = −4 2357 ​​ ​​ ​ eller ​​ ​​​ y = 4​ y = −3​ ________ ___ 2358 a) a > √ ​​ 34 ​​

b) ​​√​2 a​2​+ 32 ​​

2359 Den __ längre sträckan är √5 ​ ​______ – 1 ​​

2

​​ m lång.

2360 a) 28 m2 b) Snöret delas i två delar med längderna x och 24 − x (m).

Kvadraternas sammanlagda area ges av uttrycket x 2 24 − x 2 f(x) = ​​​ __ ​ ​ ​​ ​​ + ​​​ ______ ​ ​ ​ ​​.

4 4 Ekvationen f(x) = 17 har ingen lösning. Arean kan alltså inte vara 17 m2.

( ) (

)

2361 Ca 1,8 m bred 2362 1 + x(2 − x)x – x2(1 − x) =

1 + x2(2 − x) − x2(1 − x) = 1 + x2(2 – x – (1 − x)) = 1 + x2.

Eftersom x2 är större än eller lika med noll för alla värden på x så kommer hela uttrycket att vara större än eller lika med ett.

Uttycket är alltså positivt för alla x. v.s.v.

______

√

a ​a2​ ​ 2 2363 x = __ ​​ ​​ ± ​​ ___ ​ ​ − __ ​ ​ ​​ .

2

4

a

För a > 2 har ekvationen två olika reella rötter.

2364 x = 2, x = −2, x = 1, x = 4 och x=3

2365 Siffersumman av konstanten c är 13.

« Blandade uppgifter 1 a) a + 10 b) 4x + 7 c) –a + 7b 2 a) x1 = 12 och x2 = –12 b) Ekvationen saknar lösning c) a1 = 30 och a2 = −30

___

3 a) x1 = 0 och x2 = –18 b) x1 = 3 och x2 = –17 c) x1 = 0 och x2 = 2 d) x1 = 5 och x2 = –8

minsta talet x – 1 och det största talet x + 1

4 a) x = −​​ __ ​​ och y = −​​ __ ​​

Vi tecknar (x + 1)2 – (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 – (x2 − 2x + 1) = 4x v.s.v.

5 a) 15x + 6

FACIT  2. Algebra och andragradsekvationer

___

d) b1 = √ ​​ 50 ​​ och b2 = –​​√50 ​​

1 3 b) x = 4 och y =2 c) 7x2

+ 8xy

7 3

b) 12a2 – 8ab

7 b) vid x = __ ​​ ​​ 3

6 a) vid y = –7 7 a) 81 + 54x + 9x2 –

121a2

c) Subtrahera 6 från ekvationens båda led.

8 a) 14a(4a2 + 3)

24 a) VL = (x − 6)2 och ekvationens

b) (y – 11)2

rötter är x = 1 och x = 11.

c) (3a + 6)(3a – 6) eller 9(a – 2)(a + 2)

9 a) x = 3

b) x = 2

c) x = 6

5 7 10 a) ​​ __ ​​ a – 2b + __ ​​ ​​ 2 2 b) 3x2 + 6x2y – 9xy

11 a) –22x – 13

b) –11x + 2

5x − 7 5x − 3 a 12 a) ​​ ______ ​​ b) ​​ ______ ​​ c) ​​ ___ ​​ 3x 3x 2b

14 Pär-Anders har rätt. Mie har missat “dubbla produkten”. Rätt resultat: 4x2 + 20x + 25 b) 50a2

– 30ab

c) 18x2 + 12xy b) A = c) A =

(2a2

d) A =

(25a2b

{

+ ab –

x​ = 1 ​​ ​ 17 a) ​​ y = −1​

b2)

a.e.

10ab2)

{

a.e.

9 x = __ ​ ​

b) ​​ ​ 7 ​​​ y = −4​

18 a) x = −2 och x = 3 b) x ≈ 0,268 och x ≈ 3,732​​

19 a) x = −1 och __ x = 7 __ √ b) x = –2 + ​2√ ​ 3 ​​

__ och x = –2 __− ​2​ 3 ​​ c) x = 1 + √ ​​ 5 ​​ och x = 1 − √ ​​ 5 ​​

13 3

20 t = ___ ​​ ​​ 21 a) x = 8 eller x = 4 b) x = 4 eller x = 2 7 c) x = __ ​​ ​​ eller x = −1 3 6 __ d) x = ​​ ​​ eller x = 0 5

22 a) Till exempel y = 5x + 2

Kapiteltest

1 a) 6x + 16x2

b) 3a2 + 2ab + 21a + 14b c) 4y2 – 24y + 36

2 B 3 a) 4a(1 + 3b) b) (a – 3)2 ___ ___ 4 a) x1 = √ ​​ 26 ​​ ; x2 = −​​√26 ​​

b) x1 = 0; x2 = −16 1 c) x1 = 5; x2 = −​​ __ ​​ 3 d) x1 = 2; x2 = 20

5 x = 3 6 a) 3x – 1

28 a) x2 + 20x = 629

7 a) (x + 6)2 = 81

x2

+ 20x + 100 = 629 + 100

29 a) y = 2x + 2

b) y = 12x – 43

c) y = 30x + 34

3 + 2x 31 a) ​​ ______ ​​

=

4–x b) ​​ _____ ​​ x+4

b) x + 6 = ±9 x = −6 ± 9 x1 = 3; x2 = −15

8 a) T.ex. konstantterm a = 82 (alla a > 81 är korrekta)

b) T.ex. a = 17 ger x1 = −1, x2 = −17

30 50 cm2

c) x – 2y

– xy) a.e. +

{ y = −2​

2

16 a) A = (6x2 + 16x) a.e. (y2

{ y = 4​

x​ = 1 ​​​ 27 ​​ x ​ = 3 ​​ ​ eller ​​

d) x = −37 eller x = 17

c) A = (8a + 12b) a.e.

+

c) Ekvationen saknar lösningar

c)

b) A = (24 – 3y) a.e.

15

25 Omkretsen är 174 cm

b) 10 m gånger 10 m

13 a) A = (6x + 6) a.e.

b2

b) VL = (y + 13)2 och ekvationens rötter är y = −20 och y = −6.

26 a) x = 1 eller__ x = 0 __ b) x = −7 + √ ​​ 7 ​​ eller x = −7 − √ ​​ 7 ​​

c) 4x

a) 4a2

led.

b) Dividera ekvationens båda led med 3.

b) 25z2 – 110z + 121 c) 16b2

23 a) Addera 6 till ekvationens båda

9 Kvadraten har 1 cm2 större area än

2a b) ​​ ___ ​​

rektangeln.

3

3 d) a – __ ​​ ​​ 2

32 (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab – b2 = a2 – 2ab – b2

10 a) x1 ≈ 0,88; x2 ≈ −0,88 b) x1 ≈ 1,32, x2 ≈ 318,68

11 a) 6x – 8

b) 2x2 – 6x + 2

c) Ca 17 cm

33 a = 2 och b = –6

12 a) x2 + 8x = 950

34 Ca 34 m2 (33,75)

b) x ≈ 27 eller x ≈ −35 c) Ca 27 m gånger 35 m

35 E a + 2b 3

36 a) ​​ ______ ​​

2m − n b) ​​ _________

​​ 3(2m + n)

37 13,2 kg nötfärs och 86,8 kg fläskfärs 39 38

38 x = ___ ​​ ​​

13  35 m u Vid vilken hastighet är stopp­

sträckan 0 m. u 0,005v2 + 0,15v = 50 (egentligen

olikheten 0,005v2 + 0,15v < 50)

u x ≈ 86. Aziz kan köra högst

39 a) 3a; 5 och 35 b) T.ex. 3; x; 2y; x och 2y

86 km/h, om han inte ska krocka med trädet.

c) 6n; 2m och 30n2

40 a = ±3 41 a) x = 0 eller x = −1 eller x = −2 eller x = −3 1 b) x = 0 eller x = −2 eller x = __ ​​ ​​ 4

b) Till exempel x = −2

FACIT  2. Algebra och andragradsekvationer

365

2b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för den reviderade ämnesplanen 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikations­uppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Natur­vetenskapsprogrammet och Tekniska programmet

ISBN 978-91-523-6052-1