9789152343180

Synnöve Carlsson

Karl-Bertil Hake

SANOMA UTBILDNING

Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm

Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm

Hemsida: www.sanomautbildning.se

E-post: info@sanomautbildning.se

Order/Läromedelsinformation

Telefon: 08-587 642 10

Telefax: 08-587 642 02

Redaktion: Pia Ersmark, Helena Fridström, Kenneth Lovén

Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius

Layout: Typoform, Karin Olofsson

Omslag: Typoform, Andreas Lilius

Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson

Matte Direkt 8

ISBN 978-91-523-4318-0

© 2017 Synnöve Carlsson, Karl-Bertil Hake, Birgitta Öberg och Sanoma Utbildning AB, Stockholm

Tredje upplagan

Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller

Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Livonia Print, Lettland 2017

Välkommen till Matte Direkt 8

Boken består av sex huvudkapitel med följande struktur:

blå kurs

röd kurs diagnos grundkurs sammanfattning

● Grundkursen går igenom det innehåll och de begrepp som presenteras på ingressuppslaget. I kapitel 2, 3 och 6 finns uppslag där du får arbeta med digitala verktyg och programmering. I slutet av grundkursen finns Uppslaget.

● Uppslaget innehåller uppgifter och utmaningar där du kan utveckla dina olika förmågor i matematik.

● Diagnosen avslutar grundkursen.

● Blå kurs kan du välja om diagnosen kändes svår. I den blå kursen finns allt innehåll, vilket gör att du även kan arbeta med den parallellt med grundkursen.

● Röd kurs väljer du om diagnosen gick bra. I den röda kursen möter du fördjupande och mer krävande uppgifter. Du kan även arbeta med röd kurs parallellt med grundkursen.

● Svarta sidor finns i slutet av varje kapitel. Där finns uppgifter för dig som vill ha en ordentlig utmaning.

● Sammanfattningen repeterar kapitlets viktigaste moment.

● Problemlösning innehåller problem som kan lösas med olika strategier. Strategierna presenteras i kapitlet.

● Repetitionsuppgifter finns till varje kapitel. Precis som i kapitlen är repetitionsuppgifterna uppdelade i svårighetsnivåer.

● Verktygslådan är en sammanställning av begrepp och metoder som du kan ha nytta av i ditt arbete med matematiken.

● Facit hittar du i slutet av boken. Svaren till uppslagen, diagnoser och repetitioner har din lärare.

Innehåll

1 Tal

Grön kurs 8

Tal i bråkform och i decimalform

● Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform ● Multiplikation av tal i bråkform ● Multiplikation med tal i bråkform ● Multiplikation med två tal i bråkform ● Division med tal i bråkform ● Multiplikation med tal i decimalform ● Division med tal i decimalform ● Multiplikation och division med tal i decimalform ●Negativa tal ● Addition och subtraktion med negativa tal ● Multiplikation och division med negativa tal

Uppslaget ................ 26

Diagnos 28

2 Geometri

Blå kurs 30

Tal i bråkform och i decimalform

● Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform

● Multiplikation av tal i bråkform

● Multiplikation med tal i bråkform

● Multiplikation med två tal i bråkform ● Division med tal i bråkform

● Multiplikation med tal i decimalform ● Division med tal i decimalform ● Multiplikation och division med tal i decimalform ● Negativa tal

Röd kurs 42 Mer om tal i bråkform ● Mer om att multiplicera med bråk och decimaltal● Förkorta bråk ● Mer om division med tal i bråkform ● Mer om att räkna med negativa tal

● Cirkelns area ● Cirkelbåge och cirkelsektor ● Volym och volymenheter

Längd

● Cirkelns area ● Volym och volymenheter ● Rätblockets volym

Uppslaget

85

Uppslaget ................ 72 Diagnos 74 Blå kurs ................. 76

Röd kurs ................. 86 Mer om omkrets ● Mer om area och areaenheter ● Befolkningstäthet

övningar

Uppslaget ................ 93 Svarta sidorna 94 Sammanfattning 96

98

Blå kurs ................ 116

Addition och subtraktion av uttryck med variabler ● Ekvationer

● Ekvationer med x i båda leden

................ 114

● Addition och subtraktion med parenteser ● Multiplikation med parenteser ● Problemlösning med ekvationer Uppslaget 123

Röd kurs ................ 124

Mer om uttryck med variabler

● Ekvationslösning ● Mer om uttryck med parenteser ● Konjugatregeln

● Problemlösning med ekvationer

Uppslaget

131

4 Samband

Grön kurs

Samband ● Linjära samband ● Fler linjära samband ● Proportionalitet

● Linjära samband ● Fler linjära samband ● Proportionalitet

5 Procent

Grön

174

● Beräkna andelen i procent

● Beräkna förändringen i procent

● Beräkna delen ● Förändringsfaktor

● Beräkna förändringen med förändringsfaktor ● När förändringen

är mer än 100 % ● Jämför med

6 Sannolikhet

● Beräkningar med sannolikhet

● Upprepade händelser och träddiagram ● Oberoende och beroende händelser ● Sannolikhet genom statistik ● Simulera tärningskast med kalkylprogram

● Beräkna andelen i procent

förändringen i procent ● Beräkna delen ● Förändringsfaktor ● Jämför med förändrings-

● Slumpförsök

● Beräkningar med sannolikhet

● Upprepade händelser och träddiagram ● Beroende händelser

● Sannolikhet genom statistik ●

om sannolikhet och diagram

● Mer om upprepade händelser och träddiagram ● Mer om oberoende och beroende händelser ●

Tal

Innehåll

När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att

● jämföra tal i bråkform och i decimalform

● addera, subtrahera, multiplicera och dividera tal i bråkform och decimalform

● förklara vad ett negativt tal är

● räkna med negativa tal

Begrepp

andel

decimalform

bråkform

bråk blandad form förlänga

negativt tal motsatt tal

Under lång tid var längdmåtten baserade på längden av olika kroppsdelar. Det innebar att längden av en tum eller en fot blev olika. Det var opraktiskt när man skulle göra affärer eller bygga. I slutet av 1700-talet ville man därför införa en annan längdenhet, metern. Längden av metern skulle vara längden av sträckan mellan Nordpolen och ekvatorn dividerat med 10 miljoner.

● Hur långt är det runt jorden?

Omvandlingstabell för några gamla svenska mått.

● Hur många känner du igen?

● Hur många aln går det på en famn?

● Hur stor del av en fot är en tum?

Med nutida mått är 1 fot = 29,69 cm.

● Hur många mm är 1 tum?

En famn är avståndet mellan fingerspetsarna när man håller armarna rakt ut åt sidorna. Det är ungefär lika långt som personens längd.

● Testa om det stämmer på dig.

i bråkform och i decimalform

Kvadraten är indelad i hundra rutor. Två av hundra rutor är gula.

Andelen gula rutor kan skrivas i bråkform som 2 100 eller i decimalform som 0,02.

En andel kan vara

– del av en hel, till exempel två hundradelar av kvadraten är gul. – del av ett antal, till exempel två av hundra rutor är gula.

Exempel

Hur stor andel av hela kvadraten utgör de olika färgerna?

Svara i bråkform och i decimalform.

1 Hur stor andel av kvadraten utgör de olika färgerna?

Svara i bråkform och i decimalform. Välj ur rutan.

gul b) blå c) röd d) grön e) vit

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

2 a) 6 hundradelar b) 12 hundradelar c) 98 hundradelar d) 105 hundradelar

3 a) 6 tiondelar b) 9 tiondelar c) 10 tiondelar d) 15 tiondelar

4 Vilka av talen i rutan betyder samma andel?

Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform

Exempel

Beräkna hur stor andel av figuren som inte är vit.

a) Svara i bråkform. b) Svara i decimalform. 4 10 + 3 10 = 7 10 0,4 + 0,3 = 0,7 40 100 = 4 10

Beräkna. Svara i bråkform och i decimalform. 5

0,2 + 0,3

7 Skriv bråken i decimalform och gör beräkningen.

8 Filippa skuggar hälften av de 24 rutorna. Då ser hon hur många tjugofjärdedelar en halv motsvarar. Gör som Filippa, vad ska stå i de tomma rutorna?

9 Skriv bråken med samma nämnare och gör beräkningen. Använd dig av figuren i uppgift 8.

10 Beräkna. Svara i bråkform eller i decimalform. Motivera. Kom ihåg att till exempel 1 3 inte kan skrivas exakt i decimalform. a)

11 Lino har två lika stora flaskor med saft. Den ena flaskan är fylld till 1 4 och den andra flaskan är fylld till hälften. Lino häller över all saft till en flaska. Hur stor andel av flaskan är då fylld?

Arbetsbl Ad 1:2–1:4

Multiplikation av tal i bråkform

När ett tal adderas med sig själv flera gånger kan man skriva additionen som en multiplikation, till exempel 4 + 4 + 4 = 3 · 4. Det gäller även för tal i bråkform, till exempel 1 4 + 1 4 + 1 4 = 3 · 1 4

Exempel

a) Beräkna 4 · 1 3

12 Vilken av bilderna visar

13 Vad ska stå i rutan?

Svara i blandad form.

16 Felix och hans 6 kamrater plockar blåbär. De plockar 3 4 liter blåbär var. Hur många liter blåbär plockar de tillsammans?

17 På ett kalas bjöd Shirin på 5 lika stora tårtor. Gästerna åt upp 3 5 av varje tårta.

Hur många hela tårtor motsvarar det?

Multiplikation med tal i bråkform

Exempel

Hur mycket är 5 6 av 3 meter?

1 6 av 3 m är 3 m 6 = 1 2 m

5 6 av 3 m är 5 · 1 2 m = 2 1 2 m

Man kan även lösa uppgiften så här:

5 6 · 3 = 5 · 3 6 = 15 6 = 2 3 6 = 2 1 2

Svar: 2 1 2 m

Beräkna. Svara i blandad form om det går.

20 a) I en klass med 21 elever spelar 4 7 fotboll.

Hur många elever spelar fotboll?

b) Av eleverna som spelar fotboll är 2 3 flickor.

Hur många flickor spelar fotboll?

21 På Storskolan går det 240 elever i åk 8.

Cirkeldiagrammet visar vilken sorts böcker de gillar. Hur många elever gillar

a) spännande böcker b) fantasy

En sjättedel av de elever som gillar faktaböcker vill läsa om djur.

c) Hur många elever är det?

22 Hinken har volymen 12 liter. Hur många liter vatten finns i den om den fylls till

a) 1 4 b) 3 4 c) 1 6

d) 5 6 e) 1 5 f) 3 5

Multiplikation med två tal i bråkform

Axel tar hälften av en fjärdedels chokladkaka.

Fia tar två tredjedelar av en fjärdedels chokladkaka.

och nämnare med nämnare.

23 Rita en rektangel som är 6 rutor lång och 4 rutor bred.

a) Skugga 3 4 av rektangeln.

b) Rita prickar på 1 6 av det skuggade området.

c) Hur stor andel av hela rektangeln är skuggad och har prickar?

d) Gör en beräkning som visar andelen som är skuggad och prickad.

24 Vilken av bilderna visar uttrycket

25 Välj rätt uttryck ur rutan. Hur stor andel av chokladkakan är

a) en tredjedel av en halv

b) tre fjärdedelar av en halv

c) hälften av en halv

Beräkna. Skriv först bråken på samma bråkstreck.

om det går.

28

En flaska har volymen 3 4 liter.

Hur många liter vatten är det i flaskan när

a) 1 3 av flaskan är fylld med vatten

b) 2 3 av flaskan är fylld med vatten

c) 1 6 av flaskan är fylld med vatten

d) 2 5 av flaskan är fylld med vatten

29 Vilka av uttrycken betyder mer än en halv liter?

b) Motivera ditt svar i uppgift a.

30 Längden på ett rep är 4 5 m. Hur mycket är

31 a) Linnea har en påse med kulor. Hälften av kulorna är glaskulor. Två tredjedelar av glaskulorna är röda. Hur stor andel av alla kulor är röda glaskulor?

b) Två femtedelar av eleverna i Almskolan cyklar till skolan. Tre fjärdedelar av de som cyklar går i åk 8. Hur stor andel av alla elever är de elever som cyklar och går i åk 8?

c) Tre fjärdedelar av hinken är fylld med vatten. Lisa häller ut två tredjedelar av vattnet. Hur stor andel av hinken är nu fylld med vatten?

32 Beräkna. Svara både i bråkform och i decimalform.

33 a) Beräkna uttrycken som står i rutan.

b) Vilket tal ska du multiplicera bråket 3 5 med för att värdet ska bli 1?

c) Vilket tal ska du multiplicera bråket 5 6 med för att värdet ska bli 1?

Exempel

Kim har ett rep som är 3 meter långt.

a) Han delar det i bitar som är 1 2 m långa. Hur många bitar blir det?

3 m

1

2 m = 3 · 2 = 6 bitar

Det blir 2 bitar på varje meter

b) Han delar det i bitar som är 1 4 m långa. Hur många bitar blir det då?

3 m

4 m = 3 · 4 = 12 bitar

Det blir 4 bitar på varje meter

34 Vad ska stå i rutan?

36 Hur många kan dela på 3 pizzor om alla ska få

a) en halv pizza b) en tredjedels pizza

c) en fjärdedels pizza d) en sjättedels pizza

37 Basim ska hälla upp 4 liter saft i flaskor. Vilket uttryck i rutan visar hur många flaskor han behöver om varje flaska har volymen

a) 1 3 liter b) 1 4 liter

38 Timea har plockat 12 liter blåbär. Hon ska förpacka dem i påsar. Hur många påsar behöver hon om det i varje påse ska vara

a) 2 liter b) 1 2 liter c) 1 4 liter

1 3 liter

När man ska dividerar ett tal med ett bråk kan man förlänga bråket så att nämnaren blir 1. I det här exemplet blir nämnaren 1 om man förlänger med 5 3 .

Exempel

Beräkna. Börja först med att förlänga bråket så att nämnaren blir ett.

39 Beräkna. Börja med att förlänga bråket med 4 3 så att nämnaren blir ett.

Beräkna. Börja med att förlänga bråken så att nämnaren blir ett.

a) Vilket uttryck är större än 1?

b) Motivera ditt svar i a. c) Beräkna uttryckens värde.

Exempel

Eva handlar potatis. Vad kostar

a) 0,92 kg b) 1 kg c) 1,3 kg

Svar:

a) 0,92 · 15 kr = 13,8 kr

b) 1 · 15 kr = 15 kr

c) 1,3 · 15 kr = 19,5 kr

15 kr/kg

12 kr/kg

Köper lite mindre än 1 kg, betalar lite mindre än 15 kr. Köper 1 kg, betalar 15 kr. Köper lite mer än 1 kg, betalar lite mer än 15 kr.

44 Elias handlar lök. Vilket eller vilka av uttr ycken visar att kostnaden är

a) 12 kr

b) mer än 12 kr 0,97 · 12 kr 1,05 · 12 kr 1 · 12 kr 1,7 · 12 kr 0,69 · 12 kr

c) mindre än 12 kr

45 Beräkna först produkten med överslagsräkning . Välj sedan bland svaren

1, X eller 2.

Hur mycket är 1 X 2

a) 0,97 · 27

b) 0,02 · 62

c) 1,03 · 102

Lite mindre än 27 Mycket mindre än 27 Lite mer än 27

Lite mindre än 62 Mycket mindre än 62Lite mer än 62

Lite mindre än 102 Mycket mindre än 102Lite mer än 102

46 Gör ett överslag och skriv uttrycken i storleksordning. Börja med det minsta.

47 Var på tallinjen vill du placera produkten av talen. Välj bland pilarna på tallinjen. Två pilar blir över.

56 Para ihop de uttryck i rutan som ger samma resultat.

57 Skriv av likheten och skriv det tal som ska stå i rutan.

0,2 · 40 = 1

58 Använd huvudräkning och beräkna

59 Förklara varför

a) 0,5 · 41,8 är lite mer än 20

c) 0,25 · 79 är lite mindre än 20

0,5 · 29,8 är lite mindre än 15

0,25 · 41 är lite mer än 10

Du har ett rep som är 12 meter långt. Du ska dela repet i lika långa bitar. Hur många bitar får du om varje bit är

6 meter: 12 m 6 m = 2 bitar

1 meter: 12 m 1 m = 12 bitar

0,5 meter: 12 m 0,5 m = 24 bitar

0,1 meter: 12 m 0,1 m = 120 bitar

Du kan ta ut 6 meter 2 gånger ur 12 meter.

Du kan ta ut 1 meter 12 gånger ur 12 meter.

Du kan ta ut 0,5 meter 24 gånger ur 12 meter.

Du kan ta ut 0,1 meter 120 gånger ur 12 meter.

60 Du ska dela ett rep som är 20 meter långt. Hur många bitar får du om varje bit är

a) 10 m b) 4 m c) 0,5 m d) 0,1 m

61 a) Hur många personer kan du bjuda på pizza om du har 4 pizzor och varje person vill ha en halv pizza var?

b) Vilket av uttrycken visar beräkningen i uppgift a?

62 a) Du har en bil som drar 0,5 liter bensin per mil. Hur många mil kan du köra på 40 liter?

b) Vilket av uttrycken visar beräkningen i uppgift a?

63 a) Du ska hälla upp 2 liter juice i små glas som rymmer 0,1 liter. Hur många glas behöver du?

b) Vilket av uttrycken visar beräkningen i uppgift a?

64 Vilken eller vilka av uttrycken i rutan är

mycket större än 34

65 Förklara varför

Hur många 0,5-metersbitar går det på 12 meter?

Det är lättare att utföra en division med huvudräkning om nämnaren är ett heltal. Jämför följande uttryck:

= 15

Förläng med 10 så att nämnaren blir ett heltal. Förläng med 100 så att nämnaren blir ett heltal.

Skriv i enheten decimeter. Skriv i enheten centimeter.

Skriv först i enheten decimeter och beräkna sedan.

67 Skriv först i enheten centimeter och beräkna sedan.

68 Förläng först med 10 så att du dividerar med ett heltal. Beräkna

69 Förläng först med 100 så att du dividerar med ett heltal. Beräkna

Förläng först med 10, 100 eller 1 000 och beräkna sedan.

71 Felix har malt köttfärs och har 24 kg köttfärs som ska förpackas i påsar. Hur många påsar behöver han om varje påse ska innehålla

kg

kg

72 Pias häst äter 0,4 kg havre varje dag. Hon har 12 kg havre. Vilket avuttrycken visar antalet dagar som havren räcker?

Multiplikation och division med tal i decimalform

Exempel

120 kr/kg

Multiplicera med vikten i kilogram.

Svar: 750 g ost kostar 90 kr.

90 kr

Vikt: 750 g

Pris: 90 kr

a) Hur mycket kostar 750 gram ost? b) Hur mycket kostar 1 kilogram? 0,75 kg · 120 kr/kg= 90 kr

0,75 kg = 120 kr/kg

Dividera med vikten. Vikten måste vara i enheten kilogram.

Svar: 1 kilogram ost kostar 120 kr.

73 Ett kilogram lax kostar 120 kr. Hur mycket kostar

a) 2 kg b) 1,5 kg c) 0,9 kg d) 250 g

74 Ett kilogram tomater kostar 48 kr. Hur mycket kostar

a) 1,2 kg b) 0,45 kg c) 3 hg d) 450 gram

75 Vad kostar ett kilogram paprika om

a) 2 kg kostar 90 kr b) 5 kg kostar 200 kr

c) 0,9 kg kostar 45 kr d) 1,5 kg kostar 72 kr

76 Vad kostar ett kilogram köttfärs om

a) 3 kg kostar 240 kr b) 5 hg kostar 45 kr

c) 300 gram kostar 27 kr d) 650 gram kostar 52 kr

77 a) Cissi köper 8 hg köttfärs och 450 gram ost. Vad ska hon betala?

b) Hon köper också nachos. Beräkna priset för ett kilogram nachos.

78 En påse saffran kostar 25 kr. I påsen finns 0,5 g saffran. Beräkna kilopriset.

39 kr

Kom ihåg!

1 kg = 10 hg = = 1 000 g

80 kr/kg

60 kr/kg

Exempel

6 kg ost ska delas i bitar. Hur många bitar blir det om varje bit ska väga

a) 2 kg b) 200 gram

6 kg 2 kg = 3 bitar

6 kg 200 gram = 6 kg 0,2 kg = 60 2 = 30 bitar

Dividera med vikten för en bit. Vikten ska vara i samma enhet.

79 24 kg ost ska paketeras i mindre bitar. Hur många bitar får man om varje bit ska väga

a) 0,5 kg b) 12 kg c) 3 hg d) 800 g

80 Noemi har kokat 12 liter soppa. Hon ska hälla upp soppan i burkar. Hur många burkar behöver hon om det i varje burk ska vara

a) 2 liter b) 0,5 liter c) 6 dl d) 80 cl

Hur många gånger kan man ta ut 0,2 kg ur 6 kg?

1 l = 10 dl = 100 cl

81 Kajsa tankar sin bil så att bensintanken är full. Tanken rymmer 60 liter. Hur långt kan hon köra om bensinförbrukningen för varje mil är

a) 0,6 liter b) 0,8 liter c) 5 dl d) 4 dl

82 Hur mycket kostar en portion?

83 Du har ett snöre som är 2 meter långt.

Snöret delas i lika långa bitar.

Vilka kvoter visar antalet bitar om de är

a) 4 dm b) 4 cm

84 Skriv en uppgift som kan beräknas med uttrycket a) 2,4 kg · 60 kr/kg b)

liter

liter

kg

kg

Negativa tal

Tal som är mindre än noll kallas negativa tal. De ligger till vänster om talet 0 på tallinjen.

Negativa tal Positiva tal Negativa tal är mindre än noll. Positiva tal är större än noll.

–5 0 5

Talet 5 är större än (–5). Talet 5 ligger längre till höger på tallinjen än talet (–5).

(–5) och 5 ligger lika långt från noll på tallinjen. De är motsatta tal.

Ofta sätter man en parentes runt ett negativt tal. Till exempel skriver man (–5) för att visa att man menar det negativa talet 5 och inte subtraktionen minus 5.

85 Vilka tal är markerade

på tallinjen?

86 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först.

0,5 17,9 –32 –4,5

87 Vilket tal är motsatt tal till

(–5) kan utläsas som minus 5 eller som negativ 5.

13,4 –53 1,2 –8,9

–30 –20–100102030

2 b) (–4) c) 1 d) (–3,5)

88 Läs av termometrarna.

–30 –20–100102030 –30 –20–100102030 –30 –20–100102030

–30 –20–100102030

–30 –20–100102030

89 Temperaturen i Bydalen var –18 °C på morgonen. Efter två timmar hade temperaturen stigit med 6 grader. Vad var temperaturen då?

90 Förklara varför (–69) är ett mindre tal än 0,2.

Addition och subtraktion med negativa tal

(–2) + 5 = 3

Vid addition med ett positivt tal ökar värdet.

(–2) + (–5) = (–2) –5 = (–7)

Vid addition med ett negativt tal minskar värdet. Det ger samma resultat som att subtrahera med det motsatta talet.

(–2) – 5 = (–7)

Vid subtraktion med ett positivt tal minskar värdet.

(–2) – (–5) = (–2) + 5 = 3

Vid subtraktion med ett negativt tal ökar värdet. Det ger samma resultat som att addera med det motsatta talet.

91 Vilka minustecken, A–E, visar

a) en subtraktion

ett negativt tal

92 Vilket tecken ska stå i rutan?

Ta hjälp av tallinjerna i rutan och beräkna.

Beräkna. Ta hjälp av tallinjen om du behöver.

98 a) 2 + (–15) b) (–9) + 4 c) (–7) – (–12) d) 8 – (–5)

99 a) (–8) + (–9) b) (–5) – (–8) c) (–16) – (–4) d) (–16) – 4

Vilka tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

100 a) 6 + = 2 b) + (–6) = (–2) c) (–10) + = (–3) d) (–4) + = (–12)

101 a) (–6) – = (–5) b) (–2) – = 0

(–3) – = 1 d) 3 – = 7

102 Sofia har handlat för mer än hon har på sitt bankkonto. Det står –250 kr på kontobeskedet. Vad visar kontobeskedet om hon

a) sätter in 300 kr b) handlar för 150 kr c) sätter in 75 kr

103 Jordytans högsta punkt är Mount Everest, 8 850 m.ö.h. (meter över havsytan) och den lägsta är Döda havets strand –420 m.ö.h. Beräkna höjdskillnaden mellan platserna.

Skriv av uppgiften i ditt räknehäfte. Vilka negativa tal kan stå i rutan?

104 a) + = (–10) b) + = (–6) c) + = (–5) d) + = (–9)

105 a) – = 0 b) – = 5 c) – = (–10) d) – = (–6)

Historik

I Europa dröjde det länge innan de negativa talen accepterades. ”Ingenting kan ju vara mindre än ingenting”, hävdade inflytelserika matematiker. På 1200-talet skrev matematikern Fibonacci, en bok i handelsräkning. Där visar han att ett negativt tal kan betraktas som en förlust.

Symbolerna för (+) och (–) började inte användas förrän på 1700talet. De negativa talen markerades före det med en prick över talet.

Bilden visar matematikern Fibonacci.

Multiplikation med ett negativt tal

Multiplikation med två negativa tal

2 · 3 = 6 2 · (–3) = (–6)

1 · 3 = 3 1 · (–3) = (–3)

0 · 3 = 0 0 · (–3) = 0

(–1) · 3 = (–3)

(–2) · 3 = (–6)

Titta på mönstret

(–1) · (–3) = 3

(–2) · (–3) = 6

Produkten av ett negativt tal

(–a) b = (–ab)

Produkten av två och ett positivt tal är negativ. negativa tal är positiv.

109 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma?

110 Vilka negativa tal kan stå i rutorna för att likheten ska stämma?

111 Du vet att 4 · (–8) = (–32).

Beräkna

a) (–32) 4 b) (–32 ) (–8)

112 Du vet att (–4) · (–8) = 32.

Beräkna a) 32 (–4) b) 32 (–8)

113 Beräkna

a) 6 · (–0,5) b) (–6) · (–0,5)

c) 3 (–6) d) (–3) (–0,5)

Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal är alltid negativ.

(–a) b = ( –a b )

(–b) = ( –a b )

a

Kvoten av två negativa tal är alltid positiv.

(–a)

(–b) = a b

a (–b) = (–ab) (–a) (–b) = ab Arbetsbl

Begrepp och resonemang

Vem eller vilka har rätt?

När man multiplicerar två tal blir produkten alltid större än båda talen.

Produkten av två negativa tal är alltid negativ.

När man dividerar två tal blir kvoten alltid mindre än båda talen.

Claire

Vad blir 12?

När man multiplicerar två tal kan produkten bli mindre än båda de två talen.

Dante

Man kan skriva uttryck för ett tal på olika sätt. Exempelvis kan talet 12 uttryckas som:

4

1 3 = 12 0,5 ∙ 24 = 12 (–3) + 15 =12

Gör på samma sätt och skriv talet 12 på flera andra olika sätt. Använd dig av olika räknesätt och tal skrivna i decimalform, bråkform och negativa tal.

Begreppskarta

Gör klart begreppskartan genom att fylla i det som saknas.

Talet 4

är motsatt tal med adderat med (–7) är lika med ?

dividerat med (–8) är lika med

(–24) ? ? ?

Anna

Ben

Arbeta tillsammans

Luffarschack med tal

Spelet kan spelas av två spelare eller två lag. Varje spelare eller lag har spelbrickor eller små papperslappar i olika färger. En räknare kan vara bra att ha till hjälp för att kontrollera svaren.

● Välj två av talen i rutan.

0,1 4 6 0,5 3 0,9 0,2 50 12

● Multiplicera dem med varandra.

● Lägg din bricka eller papperslapp på det rätta svaret på spelplanen.

● Den som först får fyra i rad vinner. Raden kan vara vågrätt, lodrätt eller diagonal.

Problemlösning

A Danne samlar på mynt. Hälften är

svenska mynt, 1 4 är danska och 1 8 är finska. Dessutom har han 30 norska mynt. Hur många mynt har Danne?

B I en buss åker det ett antal personer. Vid första busshållplatsen stiger det på 5 personer. Vid nästa hållplats går en fjärdedel av personerna av. Nästa

gång bussen stannar går 2 3 av personerna av. Då är det 10 personer kvar i bussen. Hur många personer fanns det från början?

Sant eller falskt?

1 1 2 + 1 4 = 0,75

2 1 7 kan man skriva i decimalform som 0,17.

3 2 3 5 = 2 + 3 5

4 450 0,93 är mindre än 450 · 0,93.

5 Att dividera med 0,1 ger samma resultat som att multiplicera med 10.

6 När man räknar ut 12 m 0,25 m får man reda på hur många gånger man kan dela ett rep som är 12 m i bitar som är 25 cm långa.

7 När det blir kallare stiger temperaturen.

8 På en tallinje ligger –5 och 5 lika långt från noll.

9 När man subtraherar ett negativt tal med ett annat negativt tal, blir svaret alltid negativt.

Begrepp och metod

1 Vilka tal betyder samma andel?

2 Beräkna. Svara både i decimalform och i bråkform.

5 Sätt ut decimaltecknet på rätt ställe i svaret.

6 Alex har ett snöre som är 4 meter långt. Han delar det i bitar. Hur många bitar får han om varje bit ska vara

7 Vilken av kvoterna är

8 Ett kilogram päron kostar 16 kr. Hur mycket kostar

200 g

9 Hur stor är temperaturskillnaden mellan +15 °C och –8 °C?

10 Skriv talen i storleksordning. 4 –12 –3 0,7 Börja med det minsta talet.

11 Beräkna

+ 7

Resonemang och kommunikation

12 Motivera dina svar. Vilket eller vilka av uttrycken är

a) lika med 1

b) mindre än 1

c) större än 1

13 Förklara, utan att utföra beräkningen, varför

a) 4 0,6 är mindre än 8 b) 3 0,49 är lite mer än 6

14 Sara handlar mat. Hon köper 6 hg ost, 800 g köttfärs och 1,8 kg äpplen. Vad ska hon betala? Visa dina beräkningar.

Problemlösning

15 I ett akvarium finns det tetror, slöjbärare och guppies. Två tredjedelar av fiskarna är tetror och det finns lika många slöjbärare som guppies. Det finns 4 slöjbärare. Hur många fiskar finns det i akvariet?

16 Shirin får pengar av sin morfar när hon fyller år. Hon går först och klipper sig för en fjärdedel av pengarna, sedan köper hon en tröja som kostar 260 kr. Hennes lillebror får två femtedelar av de pengar som sedan är kvar. Då har hon 60 kr kvar. Hur mycket pengar får hon av sin morfar?

a) Skriv uttrycken i storleksordnning med det minsta först.

b) Motivera, med ord, varje uttrycks placering.

c) Beräkna värdet av varje uttryck.

Tal i bråkform och i decimalform

Kvadraten är indelad i hundra rutor.

● En av hundra rutor är röd.

● Andelen röda rutor kan skrivas

i bråkform som 1 100 eller

i decimalform som 0,01.

Hur stor andel av kvadraten utgör de olika färgerna? Svara i bråkform och i decimalform. Välj ur rutan.

1 a) grön b) röd c) blå

2 a) grön b) röd c) blå

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

3 a) 5 hundradelar b) 11 hundradelar c) 93 hundradelar d) 109 hundradelar

4 a) 1 tiondel b) 8 tiondelar c) 10 tiondelar d) 12 tiondelar

5 Vilka tal anger samma andel? Välj i rutan.

Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform

Exempel

Hur stor andel av figuren är färgad?

a) Svara i bråkform. b) Svara i decimalform.

3 10 + 2 10 = 5 10 0,3 + 0,2 = 0,5

Svar: 5 10 Svar: 0,5

Exempel

Om bråken har olika nämnare, så måste man + = först skriva dem med samma nämnare.

9 Beräkna. Börja med att skriva bråken som åttondelar.

Skriv först bråken med samma nämnare. Beräkna sedan. Ta hjälp av figuren om du vill.

Multiplikation av tal i bråkform

BNär ett bråk adderas med sig själv flera gånger kan man skriva additionen som en multiplikation, till

Exempel

ska stå i rutan?

Svara i blandad form om det går.

16 Olof och hans 3 kompisar dricker saft. De dricker 1 3 liter saft var. Hur många liter saft dricker de tillsammans?

17 Hur många liter saft innehåller flaskorna tillsammans.?

18 En påse nötter väger 2 5 kg. Hur mycket väger 6 påsar nötter? 19 Vilken av bilderna visar

Multiplikation med tal i bråkform

Hur långt är tre fjärdedelar av repet?

En fjärdedel är 2 m 4 = 1 2 m

Tre fjärdedelar är 3 · 1 2 m = 3 2 m = 1 1 2 m

Du kan också räkna så här:

m =

20 Beräkna. Ta hjälp av bilden om du behöver.

a) 1 2 av 6 m b) 1 4 av 6 m c) 3 4 av 6 m

21 Vad ska stå i rutan? a) 1 2 · 5 = 1 · 5 b) 3 4 · 5 = · 5 4

22 Beräkna. Svara i blandad form.

23 Therese häller vatten i hinken så att 3 4 av hinken är fylld. Hur många liter vatten finns det i hinken? a) 6 liter b) 8 liter c) 10 liter

24 Theo häller saft i flaskan så att 2 3 av flaskan är fylld. Hur många deciliter saft finns det i flaskan?

Multiplikation med två tal i bråkform

Ellen har ett rep som är 1 2 meter långt.

a) Hon klipper av hälften av repet. Det är 1 4 meter.

b) Hon klipper av en fjärdedel av repet. Det är

25 Oscar har en chokladkaka. Hur stor andel av chokladkakan tar han om han tar hälften av en

b) tredjedel c) sjättedel

26 Vilka tal ska stå i rutan?

Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.

1_12_A

29 Hur mycket saft finns det i flaskan om den fylls till hälften? Etiketten anger flaskans volym.

30 Det finns ett halvt paket glass i frysen. Alma äter först hälften av det. Hur stor andel av hela glasspaketet är då kvar?

Exempel

Abdu har 2 meter rep. Hur många bitar får han om varje bit ska vara a)

31 Abdu har flera rep med olika längd. Han vill dela dem i bitar som ska vara 1

2 meter långa. Hur många bitar får han om repet är a)

m b) 4 m c) 5 m d) 6 m 32

33 Abdu vill nu dela repen i bitar som ska vara 1 4 meter. Hur många bitar får han om repen är a)

1_12_B

35 Agnes har 3 liter saft och häller upp den i glas som rymmer 1 10 liter. Hur många glas saft blir det?

36 Philip har 5 liter soppa. Han häller 1 4 liter i varje skål. Hur många skålar soppa blir det?

Vilket uttryck ger samma resultat som

Multiplikation med tal i decimalform

Vilka av beräkningarna ger ett resultat som är

Skriv av uppgiften och sätt ut decimaltecknet

tal i rutan så att produkten blir

Exempel

Sina delar ett rep som är 2 meter långt. Hur många bitar blir det om bitarna är

48 Oscar har flera rep med olika längd. Han delar dem i bitar som är 0,5 meter. Hur många bitar blir det om repet är

51 En stor ost väger 8 kg. Hur många bitar kan man göra om bitarna ska väga

0,5 kg

52 Vilket av uttrycken i rutan ger samma resultat som

8

Vilken eller vilka av kvoterna i rutan är

Multiplikation och division med tal i decimalform

B1 kg ost kostar 80 kr.

2 kg ost kostar 2 · 80 kr = 160 kr

750 g ost kostar 0,75 · 80 kr = 60 kr

Skriv vikten i kilogram och multiplicera med kilopriset.

80 kr/kg

55 Gustav köper ost som kostar 80 kr/kg. Vad kostar ostbiten om den väger

a) 3 kg b) 2,5 kg c) 0,5 kg d) 800 g

56 Han köper också köttfärs. Vad kostar

a) 3 kg b) 1,5 kg c) 5 hg d) 300 g

57 Siri köper lök. Vad kostar

a) 4 kg b) 0,5 kg c) 800 g d) 750 g

58 Siri köper också gurka. Vad kostar

a) 2,5 kg b) 7 hg c) 400 g d) 350 g

59 Anton ska laga tacos till middag. Han köper 1 kg köttfärs, 0,3 kg gurka, en bit ost som väger 1,5 kg och 0,2 kg lök. Vad kostar alla varor tillsammans?

60 kr/kg

60 Vilket uttryck i rutan visar priset för ett kilogram om

a) 2 kg kostar 60 kr b) 0,5 kg kostar 60 kr

kr 0,25 60 kr 2 60 kr 0,5

61 Beräkna priset för ett kilogram ost om

a) 3 kg kostar 240 kr b) 500 g kostar 45 kr

c) 0,25 kg kostar 60 kr

c) 200 g kostar 40 kr

Negativa tal

Tal som är mindre än noll kallas för negativa tal och skrivs med ett minustecken framför.

i storleksordning. Börja med det minsta talet.

65 Skriv temperaturerna i storleksordning. Börja med den lägsta temperaturen.

64 Vilken temperatur ska stå i stället för bokstäverna?

(–4) + 5 = 1

Vi adderar med ett positivt tal.

BVärdet ökar.

(–4) + (–5) = (–4) – 5 = (–9)

Vi adderar med ett negativt tal.

Värdet minskar.

(–4) – 5 = (–9)

Vi subtraherar med ett positivt tal.

Värdet minskar.

(–4) – (–5) = (–4) + 5 = 1

Vi subtraherar med ett negativt tal.

ett negativt tal. Värdet ökar.

Addera med ett positivt tal. Värdet ökar.

Addera med ett negativt tal. Värdet minskar.

Begrepp

adderat med talet (–4) är lika med

dividerat med 0,5 är lika med ?

–12

A Bilal säger att när man adderar två tal, så är summan alltid större än de tal man adderar.

Leyla säger att när man multiplicerar två tal så är produkten alltid större än de tal man multiplicerar.

Förklara varför både Bilal och Leyla har fel.

B Elin handlar 1 4 kg ost, 5 hg skinka och 1,5 kg äpplen.

Vad ska hon betala? Skriv ned dina beräkningar.

Problemlösning

A Lina har en påse med kulor. Hälften är röda, en tredjedel är gula och resten är blå. Hon har 5 blå kulor. Hur många kulor finns det i påsen?

B I en buss åker det ett antal personer. Vid första hållplatsen kliver det av 2 personer. Vid nästa hållplats går hälften av personerna av. Då finns det 15 personer kvar i bussen. Hur många var det i bussen från början?

80 kr/kg 180 kr/kg 30 kr/kg Uppslaget 41 1 tal B

Mer om tal i bråkform

Exempel

Beräkna 1 3 + 4 7

1

R3 + 4 7 = 1 · 7 3 · 7 + 4 · 3 7 · 3 = 7 21 + 12 21 = 19 21

Förläng 1 3 med 7 och 4 7 med 3.

Minsta gemensamma nämnare till 1 3 och 4 7 är 21.

Beräkna. Börja med att skriva bråken med samma nämnare.

4 Vilket bråk ska adderas till 3 8 för att summan ska bli

7 8 b) 13 16 c) 23 24 d) 31 32 e) 21 40

5 Vilket bråk ska subtraheras från 5 6 för att differensen ska bli

6 b) 5 12 c) 7 18 d) 5 24 e) 13 30

6 a) Siri blandar en burk med 3 1 2 liter färg med två mindre färgburkar som innehåller 3 8 liter vardera. Hur mycket färg blir det totalt?

b) Siri har en annan burk med 2 1 2 liter färg. Av den färgen använder hon 3 4 liter. Hur mycket färg har hon kvar?

7 På en idrottsdag valde 2 3 av eleverna att åka skridskor, 1 6 att spela ishockey och 1 10 valde att åka längdskidor. Resten av eleverna promenerade. Hur stor andel av alla elever promenerade?

8 a) Felix och Bea klipper var sin del av gräsmattan. Felix har klippt 2 5 och Bea har klippt 3 8 av gräsmattan. Hur stor andel av gräsmattan har de kvar att klippa?

b) De tar hjälp av sin kusin när de ska klippa en annan gräsmatta. Felix klipper 1 6 , Bea 1 5 och kusinen klipper hälften av gräsmattan. Hur stor andel av gräsmattan har de kvar att klippa?

9 Toste och Annika seglar från Portugal till Västindien. Efter tre dagar når de Kanarieöarna. De har då klarat av en femtedel av halva seglingen. Hur många dagar tar det för dem att segla från Portugal till Västindien?

10 Under ett prov säger läraren att en tredjedel av provtiden har gått. Efter ytterligare 10 minuter säger hon: ”Nu har halva provtiden gått. ”Hur länge pågick provet?

11 a) Alma stickar mössor och säljer dem för 350 kr. Hon höjer priset med 1 7 av det ursprungliga priset, men då får hon inte sälja så många. Hon sänker priset med 1 8 av det nya priset och då kostar mössorna 350 kr igen. Visa att priset blir 350 kr efter höjning och sänkning av priset.

b) Tänk dig att hon höjer priset med 1 10 i stället. Hur stor ska sänkningen vara för att priset ska vara tillbaka till ursprungspriset?

12 De fyra vännerna Kalid, Sara, Kim och Serna ska dela på en spelvinst. Kalid ska ha 3 8 av vinsten, Sara 3 16 och Kim 1 4 av vinsten.

Hur mycket ska Serna ha om vinsten är 8 000 kr?

13 Frans har plockat körsbär. Han äter upp 1 3 av sina körsbär. Han bjuder sina kompisar på 3 5 av körsbären som är kvar. Han har då 4 körsbär kvar.

Hur många körsbär hade Frans från början?

Mer om att multiplicera med bråk och decimaltal

Exempel

Beräkna 1 2 · 3 5

RSvara i bråkform och i decimalform.

Bråkform Decimalform

14 Beräkna a) 1 2 · 2 5 b) 4 5 · 1 2 c) 0,5 · 0,4 d) 0,8 · 0,5

15 Välj i rutan vilka uttryck som visar andelen som är färgad

grön b) röd c) blå

16 a) Hur stor andel av figuren utgör den rektangel som består av de sex gröna rutorna?

b) Beräkna 2 3 · 2 5

c) Vilka två bråk kan multipliceras för att få svaret 1 15 ?

17 Beräkna och ange vilken färg i rektangeln som motsvarar andelen.

18 Ann och Kaleb målar ett plank. De har tillsammans målat 9 10 av planket.

Ann gjorde 2 3 av deras gemensamma arbete. Hur stor del av planket målade hon?

Förkorta bråk

När man multiplicerar bråk kan det vara enklare att förkorta bråken innan man multiplicerar.

Exempel

= 5 14 b) 5 12 · 8 35 = 5 · 8 12 · 35 = 1 · 2 3 · 7 = 2 21

Bråket kan förkortas med 3. Dividera 3 och 6 med 3.

1 Vilket tal kan du dividera både täljaren och nämnaren med?

·

Bråket kan förkortas med 5 och 4.

Skriv bråken på samma bråkstreck. Förkorta först och beräkna sedan.

23 En buss har 70 sittplatser. Av dem är 3 4 upptagna. På 2 7 av de upptagna platserna sitter det barn. På hur många platser sitter det barn?

24 I en musikklass spelar 5 9 av eleverna något musikinstrument. 3 10 av dessa elever spelar blåsinstrument. Hur stor andel av alla elever i klassen spelar blåsinstrument?

25 I Oscars akvarium simmar 56 fiskar. 3 8 av alla fiskar är röda och av dem är 4 21 dessutom randiga. Hur många fiskar är både röda och randiga?

Mer om division med tal i bråkform

Metod 1

Ett sätt att beräkna kvoten av två tal är att först skriva dem med samma nämnare.

RExempel

Elin har ett rep som är 6 meter långt. Hon delar repet så att varje del är 3 4 meter. Hur många sådana delar kan Elin göra av repet?

Förläng så att båda bråken får samma nämnare.

6 m 3 4 m =

6 m _____

3 __ 4 m Nämnare

6 1 3 4 =

6 1 · 4 4 3 4 =

24 4 3 4 = 8 Svar: Elin kan göra 8 bitar som är 3 4 m långa.

Tre fjärdedelar får plats 8 gånger i 24 fjärdedelar.

Beräkna. Börja med att förlänga täljaren till samma delar som nämnaren.

Ibland är både täljaren och nämnaren ett tal bråkform.

Beräkna. Förläng först båda bråken så att de får samma nämnare.

30 Pedram har 8 5 liter färg. Han målar tavlor och till varje tavla går det åt 2 15 liter. Till hur många tavlor räcker färgen?

Täljare Arbetsbl Ad 1:18

Metod 2

En annan bra metod när man dividerar med tal i bråkform, är att förlänga så att det bråk man delar med blir 1. Det gör man genom att förlänga med det inverterade talet till nämnaren.

Exempel

31 Skriv det inverterade talet till

Beräkna. Skriv först bråken på ett rakt huvudbråkstreck. Förläng sedan bråket så att nämnaren blir ett.

Det stämmer.

5 är lika mycket som 4 10 . Det går att ta ut

34 Vilket eller vilka av uttrycken i rutan

a) större än 1

b) lika med 1

c) mindre än 1

35 Motivera, med ord, dina svar i uppgift 34.

Mer om att räkna med negativa tal

Exempel

Beräkna

8 · (–8) + (–80) 8 – (–80) = (–64) + (–10) + 80 = (–74) + 80 = 6

Svar: 6

RBeräkna på samma sätt som i exemplet. 36

I ett matematiskt uttryck räknar man i den här ordningen:

1. Det som står i parentesen

2. Multiplikation och division

3. Addition och subtraktion

4 · (–4) + 48 – (–40)

+ (–32) 37 a) 25 + (–10) – (–2) · (–7)

Håll noga reda på tecknen. Skriv ner alla uträkningar steg för steg.

Exempel

Beräkna värdet av uttrycket 2x + 3y, om x = 4 och y = (–2).

2x + 3y = 2 · 4 + 3 · (–2) = 8 + (–6) = 8 – 6 = 2

Svar: 2

41 Beräkna värdet av uttrycket

a) 3x + 2y, om x = 4 och y = (–3)

b) 5x – 2y, om x = (–10) och y = (–50)

c) xy + x, om x = (–5) och y = 20

42 Beräkna värdet av uttrycket

a) 2a + 5b, om a = 5 och b = (–6)

b) 7a + 3b – 4, om a = 3 och b = (–8)

c) 4ab – b, om a = (–2) och b (–7)

Arbetsbl Ad 1:20

Problemlösning, resonemang och kommunikation

A Ge exempel på fem olika uttryck som har värdet (–64). Ett exempel är (–96) + (–2) 4 / (–0,25). Uttrycken ska bestå av minst fyra tal och minst tre olika räknesätt.

B Placera bråken i rutorna på lapparna så att uttrycket blir så

a) stort som möjligt

b) litet som möjligt

C Om du slår 1 4 på räknaren, så får du resultatet 0,25 och om du slår 1 3 , så får du resultatet 0,333333… Decimalutvecklingen tar aldrig slut! Man säger att bråket 1 4 har ändlig decimalutveckling och att bråket 1 3 har oändlig decimalutveckling.

a) Undersök vilka av följande bråk som kan skrivas i decimalform med ändlig decimalutveckling. Ta hjälp av en räknare om du vill.

b) Formulera en regel som beskriver vilka bråk som kan skrivas i decimalform med ändlig decimalutveckling.

1 Vilket tal ligger mitt emellan

a) 1 3 och 3 5 b) 3 4 och 6 5 c) 1 8 och 7 12

2 1111/101 = 11. Vad är 3333/101 + 6666/303?

3 0 x 1 y 2

Rita av tallinjen och markera var svaret till a) produkten x · y bör ligga b) kvoten y x bör ligga c) kvoten x y bör ligga

Lös uppgiften utan räknare.

4 Vilket är talet som multiplicerat med

a) 1 5 blir 1 10 b) 2 5 blir 3 4 c) 2 5 blir 5 2

5 I en triangel är alla vinklar mindre än 90 grader. Varje vinkel är ett heltal och den minsta vinkeln är 1 5 av den största. Vad är summan av de två största vinklarna?

6 I en klass går det 20 elever. De sitter två och två. Exakt en tredjedel av pojkarna sitter med en flicka och exakt hälften av flickorna sitter med en pojke. Hur många pojkar finns det i klassen?

7 En sjättedel av personerna på en buss är vuxna. Två femtedelar av barnen på bussen är pojkar. Hur stor del av personerna på bussen är flickor?

8 Vilket bråk är närmast 1 2 ? Använd resonemang – inte räknare.

9 Beräkna summan av stambråken

a) 1 2 + 1 4 + 1 8 b) 1 3 + 1 4 + 1 10 + 1 20

10 Skriv bråken som en summa av olika stambråk, alltså som en summa av olika bråk med täljaren 1.

a) 2 3 b) 2 5 c) 3 4

11 Studera produkterna.

Produkt 1 ( 1 + 1 1 ) · ( 1 + 1 2 )

Produkt 2 ( 1 + 1 1 ) · ( 1 + 1 2 ) · ( 1 + 1 3 )

Produkt 3 ( 1 + 1 1 ) · ( 1 + 1 2 ) · ( 1 + 1 3 ) · ( 1 + 1 4 )

a) Beräkna varje produkt. Hittar du något mönster?

b) Beräkna utifrån mönstret produkt 100.

12 Vilket tal ska stå i parenteserna (samma tal i båda)?

a) 1 · 2 + 0,25 = ( ) · ( )

b) 2 · 3 + 0,25 = ( ) · ( )

c) Använd svaren i uppgift a och b för att fundera ut vilket uttryck som ska stå i parenteserna.

n · (n + 1) + 0,25 = ( ) · ( )

I det gamla Egypten skrev man alla bråk med täljaren 1, så kallade stambråk. Ville de till exempel skriva 5/6 skrev de bråket som en summa 5 6 = 1 2 + 1 3

13 I en magisk kvadrat bildar varje rad, kolumn (–1)

och diagonal samma summa. Sätt in talen (–13), (–10), (–7), (–4), 2, 5, 8 och 11 så att kvadraten blir magisk.

14 Sätt ut tecken för de fyra räknesätten (+ – · /) mellan de negativa talen så att uträkningen blir 100. Det finns flera lösningar.

(–9) (–8) (–7) (–6) (–5) (–4) (–3) (–2) (–1)

15 Hur ska talen 2, –4, 6 och –8 vara placerade i rutorna så att svaret blir så

a) stort som möjligt

b) litet som möjligt

16 Sätt ut en parentes i uttrycket så att värdet blir så 3 – 2 · 4 + 4 2

a) stort som möjligt

b) litet som möjligt

Sammanfattning

● Tal i bråkform och i decimalform

5 4 = 1 1 4 = 1,25

bråkform blandad form decimalform

● Multiplikation med tal i bråkform

Exempel 3 2 5 = 3 · 2 5 = 6 5 = 1 1 5

● Addition och subtraktion med tal i bråkform

När man adderar eller subtraherar bråk måste nämnarna vara lika.

Exempel

● Multiplikation av två tal i bråkform

+ + =

Exempel 5 6 · 3 = 5 3 6 = 15 6 = 2 3 6 = 2 1 2

a b c = a ∙ b c a b c d = a c b d

● Division med tal i bråkform

Exempel 3m 1 4 m = 3 4 = 12 bitar

Det går att ta ut 12 bitar som är 1 4 m ur 3 m.

Exempel 3 4 2 5 = 3 4 · 5 2 2 5 5 2 = 15 8 10 10 = 15 8 1 = 1 7 8

Förläng bråket så att nämnaren blir 1.

När man multiplicerar två bråk, så multiplicerar man täljare med täljare och nämnare med nämnare.

Exempel 3 4 2 5 = 3 · 2 4 5 = 6 20 = 3 10 a b c d = a c b ∙ d

Skriv på samma bråkstreck.

● Division med tal i decimalform

Det är lättare att dividera med huvudräkning om nämnaren är ett heltal.

Exempel 12 0,3 12 0,3 = 12 · 10 0,3 10 = 120 3 = 40 35 0,07 35 0,07 = 35 100 0,07 · 100 = 3 500 7 = 500

Förläng med 10, så att man dividerar med ett heltal.

Förläng med 100, så att man dividerar med ett heltal.

● Negativa tal

Negativa tal Positiva tal

–5 0 5

Negativa tal är mindre än noll. Positiva tal är större än noll.

(–5) och 5 är motsatta tal. De ligger lika långt från 0 på tallinjen.

● Multiplikation och division med negativa tal

Produkten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ.

(–3) 4 = (–12)

Produkten av två negativa tal är positiv.

(–3) · (–4) = 12

Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal är alltid negativ.

(–24) 8 = (–3) 24 (–8) = (–3)

Kvoten av två negativa tal är alltid positiv.

(–24) (–3) = 8

● Addition och subtraktion med negativa tal

(–4) + 5 = 1

Vi adderar med ett positivt tal. Värdet ökar.

(–4) + (–5) = (–9)

Vi adderar med ett negativt tal. Värdet minskar. Det ger samma resultat som att subtrahera med det motsatta talet.

(–4) – 5 = (–9)

Vi subtraherar med ett positivt tal. Värdet minskar.

(–4) – (–5) = 1

Vi subtraherar med ett negativt tal. Värdet ökar. Det ger samma resultat som att addera med det motsatta talet.

Geometri 2

Innehåll

När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att

● beräkna omkrets och area av cirkel och cirkelsektor

● beräkna volym och begränsningsytans area av en cylinder

● beräkna volym av spetsiga kroppar och klot

● omvandla enheter för sträcka, area och volym

● använda kalkylblad och rita med kod

Begrepp

dimension

längd sträcka volym yta area kropp meter

kvadratmeter

kubikmeter

omkrets

cirkel

diameter radie

hektar

cirkelbåge

cirkelsektor

basyta

cylinder

mantelyta

begränsningsyta

kon

pyramid klot

Det kan vara svårt att föreställa sig hur stor en kvadratkilometer är. På bilden till vänster ser man att Stockholm city ungefär får plats på en kvadratkilometer. Man kan också räkna ut att

1 km · 1 km = 1 000 m · 1 000 m = = 1 000 000 m2.

Det går alltså en miljon kvadratmeter på en kvadratkilometer.

På bilden här nedanför ser du en avfallssäck. Den rymmer en kubikmeter. Globenarenan i Stockholm rymmer 605 000 kubikmeter.

● Ölands yta är 1 342 kvadratkilometer. Det bor ungefär 7 miljarder människor på jorden. Får hela jordens befolkning plats på Öland?

● Hur många personer får plats i en kubikmeter?

● Hur många personer får plats i hela klassrummet?

Dimensioner

En dimension – en sträcka

Man mäter längden av en sträcka. Grundenheten är meter (m).

Det är 263 km till Gdynia.

Två dimensioner – en yta

Man mäter arean av en yta.

Grundenheten är kvadratmeter (m2).

Karin har en tomt som är 740 m2.

Tre dimensioner – en kropp

Man mäter volymen av en kropp. Grundenheten är kubikmeter (m3).

Tunnan har volymen 0,2 m3.

Vilken enhet ska stå i rutorna? Välj mellan m, m2 och m3.

1 a) Ett rep kan ha längden 12

b) Ett badkar kan rymma volymen 0,4

c) Ett rum kan ha arean 18

2 a) Längden på en människa kan vara 1,8

b) En åker kan ha arean 4 000

c) Flaket på en lastbil kan rymma volymen 12

3 Vilka av figurerna visar något som är

a) endimensionellt

b) tvådimensionellt

c) tredimensionellt

4 Ge ett exempel på något som är

Avståndet mellan kryssen

a) endimensionellt b) tvådimensionellt c) tredimensionellt

Längd och längdenheter

Calle mäter längden och bredden av en stor spegel och beräknar omkretsen.

Omkretsen: 2 · 1 m + 2 · 0,8 m = 2 m + 1,6 m = 3,6 m

Han kan också skriva längderna i enheten centimeter.

Omkretsen: 2 · 100 cm + 2 · 80 cm = = 200 cm + 160 cm = 360 cm

5 Hur lång är Frida? Svara i

a) meter

b) decimeter

6 Beräkna omkretsen och svara i

a) meter b) decimeter

c) centimeter d) millimeter

7 Skriv i enheten meter.

m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

a) 200 cm b) 15 dm c) 95 cm d) 8 dm e) 1 250 mm

8 Skriv i enheten centimeter.

a) 3,5 dm b) 1,2 m c) 0,5 dm d) 0,89 m e) 15 mm

9 Skriv i enheten millimeter.

a) 45 cm b) 2,3 m c) 125 cm d) 0,3 m e) 0,9 cm

10 Skriv i enheten kilometer .

a) 1 400 m b) 15 000 m c) 5 mil d) 800 m

11 Skriv i storleksordning. Börja med den kortaste.

a) 18 dm 75 cm 950 mm 1,5 m

b) 0,5 mil 8 km 450 m

Cirkelns omkrets

Omkretsen av en cirkel är lite längre

än tre gånger så lång som diametern.

d d d d d d d

Omkretsen = π · diametern = π · d

O ≈ 3,14 · d

O ≈ 3 · d

Exempel

medelpunkt diameter radie

När du räknar med huvudräkning, kan du använda π ≈ 3.

Beräkna omkretsen av en cirkel som har diametern 8 cm.

Med räknare: O ≈ 3,14 · 8 cm = 25,12 cm

Med huvudräkning: O ≈ 3 · 8 cm = 24 cm

12 Ungefär hur lång är cirkelns omkrets.

8 cm Välj ur rutan.

13 Beräkna cirkelns

a) diameter b) omkrets 6 cm

π är en grekisk bokstav som uttalas pi. π ≈ 3,14

8 cm

Omkretsen < 3 · 8 cm

Omkretsen > 3 · 8 cm

Omkretsen = 3 · 8 cm

14 Beräkna omkretsen av en cirkel som har diametern

a) 10 cm b) 2 m c) 7 cm

15 Beräkna omkretsen av en cirkel som har radien

a) 10 cm b) 2 m c) 7 cm

16 Ett cykeldäck har diameter 60 cm.

a) Beräkna omkretsen.

b) Hur långt har du cyklat när hjulet har snurrat 100 var v?

Svara i hela meter.

17 En familj har ett matbord som har diametern 1,2 m. Hur många får plats runt bordet om varje person bör ha ungefär 60 cm utrymme vid bordet?

18 Alma syr en ny gardin. Gardinen ska ha ett kantband nertill. Hur långt band behöver hon?

19 Beräkna omkretsen av den blå figuren. a)

b)

20 Tre tennisbollar får precis plats i ett rör. Vilket är längst, omkretsen av röret eller längden av röret? Förklara utan att göra några beräkningar.

21 Arkimedes beräknade att värdet på π är ett tal mellan 223 71 och 22 7 .

a) Använd räknare och beräkna 223 71 och avrunda till fyra decimaler.

b) Använd räknare och beräkna 22 7 och avrunda till fyra decimaler.

c) I rutan är talet π avrundat till fyra decimaler. Hur stämmer det med Arkimedes beräkningar?

Historik

Arbetsbl Ad 2:2

Arkimedes levde på 200-talet f.Kr. i Syrakusa på Sicilien. Han var matematiker och naturforskare. Arkimedes är känd för att ha konstruerat lyftanordningar och krigsmaskiner som använde hävstänger.

Arkimedes blev också känd för att han sprang naken ut på Syrakusas gator och ropade ”Heureka! Jag har funnit det” efter att han hade kommit på lösningen på ett problem som han skulle lösa åt kung Hieron.

Arkimedes fick, enligt vad som berättas, en våldsam död. Han blev nedstucken av en romersk soldat när han ritade matematiska figurer i sanden. Det sägs att ”Rubba inte mina cirklar” var hans sista ord.

Area och areaenheter

Bordets yta och vattenpölens yta har en area som är en kvadratmeter (m2). Man kan också ange arean på ytorna i kvadratdecimeter (dm2).

1 m2 = 1 m · 1 m = 10 dm · 10 dm = 100 dm2

Exempel

Beräkna arean av spegelns yta.

A = 1,2 m · 0,8 m = 0,96 m2

A = 12 dm · 8 dm = 96 dm2

Svar: 0,96 m2 eller 96 dm2

22 Vilken enhet bör stå i rutan. Välj mellan enheterna i rutan. cm2 dm2 m2

a) Skärmen på en mobiltelefon kan ha arean 75

b) En vägg kan ha arean 15

c) En datorskärm kan ha arean 24

23 Beräkna arean på tavlan. Svara i

a) kvadratdecimeter b) kvadratcentimeter

24 Beräkna arean av stenplattan. Svara i

a) kvadratmeter b) kvadratcentimeter

25 Skriv i enheten kvadratmeter (m2). a) 200 dm2 b) 250 dm2

26 Skriv i enheten kvadratdecimeter (dm2).

1,5 m2

27 Skriv i storleksordning.

Börja med den minsta.

0,25 m2

50 dm2

375 dm2

28 Hur många kvadratcentimeter får plats i en kvadratmeter?

till samma enhet.

Area av stora områden

Enheten hektar (ha) används som areaenhet för ytan på skogsmark och åkermark.

1 hektar (ha) = 10 000 m2

100 · 100 m2

Enheten kvadratkilometer (km2) används som areaenhet för ytan på stora landområden.

1 km2 = 1 000 m · 1 000 m = 1 000 000 m2

29 Skriv i enheten kvadratmeter.

a) 3 hektar b) 26 hektar

30 Skriv i enheten hektar.

a) 20 000 m2 b) 75 000 m2

31 En fotbollsplan kan ha måtten 50 m × 100 m.

a) Beräkna arean av fotbollsplanen och svara i kvadratmeter och i hektar.

b) Ungefär hur många fotbollsplaner

är 1 hektar?

32 Skriv i enheten kvadratmeter.

c) 0,5 hektar

1 ar = 100 m2

1 ha = 10 000 m2

1 km2 = 1 000 000 m2

d) 0,89 hektar

c) 9 000 m2

d) 500 000 m2

a) 7 km2 b) 0,5 km2 c) 7,5 km2

33 Skriv i enheten kvadratkilometer.

a) 1 200 000 m2 b) 900 000 m2

34 Skriv i storleksordning. Börja med den minsta.

a) 0,5 km2 32 000 m2 2 hektar

c) 100 000 m2

b) 3 km2

d) 12 km2

d) 4 500 000 m2

0,5 hektar 120 000 m2

35 Hur många Sverige ”får plats” i Afrika? Afrika30 370 000 km2

Sverige450 000 km2 Avrunda till tiotal.

Cirkelns area

Exempel

Beräkna arean av en cirkel med radien 5 cm.

A = π · r2 = π · r · r = 3,14 · r · r

r = 5 cm

A ≈ 3,14 · 5 cm · 5 cm = 3,14 · 25 cm2 = 78,5 cm2

Svar: 78,5 cm2

36 Beräkna arean av cirklarna.

a) 2 cm

b) 6 cm

r = 5 cm

37 Beräkna arean av en cirkel som har radien

a) 12 cm b) 25 cm c) 50 m

38 Beräkna arean av en cirkel som har diametern

a) 16 cm b) 80 m c) 150 cm

39 Beräkna arean av a) hela brottarmattan

b) det gula fältet på brottarmattan

c) det röda fältet

4,5 m 3,5 m

40 Lisa ska måla bordsytan. Räcker det om hon köper en burk färg?

41 Beräkna arean av

a) gräsmattan b) stenläggningen

42 a) Vilka figurer består hela figuren av? 8 cm 12 cm

b) Beräkna hela figurens area.

43 Beräkna hela figurens area. Mät i figuren.

a) b) c)

44 Cirkeln i rutan har radien 10 cm. Om man klipper sönder den i tårtbitar och lägger bitarna intill varandra får man nästan en rektangel.

a) Hur lång är rektangelns höjd jämfört med cirkelns radie?

b) Beräkna cirkelns omkrets.

c) Hur lång är rektangelns bas jämfört med cirkelns omkrets?

d) Skriv ett uttryck för rektangelns area.

e) Förklara varför det går att få fram formeln för cirkelns area på det sätt som visas i rutan.

Cirkelbåge och cirkelsektor

En cirkelbåge är en del av en cirkels omkrets. Hur lång cirkelbågen är beror på medelpunktsvinkelns storlek.

Cirkelns omkrets Medelpunktsvinkelns andel av ett helt varv.

En cirkelsektor är ett område som begränsas av en cirkelbåge och två radier. Cirkelsektorns storlek beror på medelpunktsvinkelns storlek.

a)

b)

46 När man stöter kula så ska kulan hamna inom ett område som har formen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkel 40°. Det området kallas för kastsektor.

a) Hur stor andel av en hel cirkel är kastsektorn?

b) Beräkna längden av bågen AB vid 21-metersmarkeringen.

c) Beräkna hela kastsektorns area.

d) Beräkna arean av området mellan 21-metersmarkeringen och 20-metersmarkeringen.

Volym och volymenheter

Linnea odlar sallad i en odlingslåda. Hon vill veta hur många säckar med jord hon måste köpa.

1 liter = 1 dm3

Hon beräknar därför volymen i enheten kubikdecimeter (dm3):

12 dm · 8 dm · 2 dm = 192 dm3

192 dm3 = 192 liter

47 Hur många säckar jord tycker du Linnea ska köpa? Motivera.

48 Linnea odlar också i en större låda. Hur mycket jord får plats i lådan? Gör om till lämplig längdenhet och svara i enheten

a) kubikmeter (m3)

b) kubikdecimeter (dm3)

c) liter (l)

49 Vilken enhet fattas? Välj i rutan.

50 Skriv i enheten kubikmeter (m3).

51 Skriv i enheten kubikdecimeter (dm3).

52 Skriv i storleksordning. Börja med den minsta.

53 Rita en skiss av två olika rätblock och sätt ut mått på kanterna. Rätblockens volym ska vara 400 cm3.

Cylinderns volym

Volym är ett mått på hur stor en kropp är eller hur mycket något innehåller. När man beräknar volymen av ett rätblock, ett prisma och en cylinder så kan man använda samma formel, V = B · h, där B är basytan och h är höjden. Rätblock Prisma Cylinder Sned cylinder

57 Hur många hinkar vatten behöver Felix hälla i barnbassängen för att vattnets nivå ska vara 10 cm under kanten på bassängen?

58 Beräkna volymen av Tobleroneasken.

Om man vecklar ut en cylinder så får man en rektangel och två cirklar.

Cylinderns mantelyta har formen av en rektangel.

Rektangelns bas har samma längd som cirkelns omkrets. Begränsningsytans area = mantelytans area + cirklarnas area

59 Du ska täcka cylinderns mantelyta med en etikett.

a) Hur långt är det runt cylindern?

b) Vilken geometrisk form har etiketten?

c) Vilka mått har etiketten?

d) Beräkna etikettens area.

60 Beräkna arean av cylinderns begränsningsyta. Begränsningsytan är mantelytan och båda cirklarna tillsammans.

61 a) Beräkna burkens volym.

b) Beräkna begränsningsytans area.

Pyramid och kon

I en pyramid som har lika stor bottenyta och höjd som ett rätblock är volymen en tredjedel av rätblockets volym.

I en kon som har lika stor bottenyta och höjd som en cylinder är volymen en tredjedel av cylinderns volym. Rätblock

62 Hur stor volym har pyramiden om

a) rätblocket har volymen 9 dm3

b) rätblocket har volymen 6 liter

63 Hur stor volym har cylindern om

a) konen har volymen 4 liter

b) konen har volymen 250 cm3

64 Beräkna volymen.

65 Alice poppar popcorn så att hela kastrullen blir full. Hur många strutar kan hon fylla med popcorn?

Klotets volym

Volymen av ett klot kan beräknas med formeln:

Exempel

Beräkna volymen av handbollen.

≈ 3 052 cm3 ≈ 3 dm3 = 3 liter

Svar: Handbollens volym är 3 liter.

66 Beräkna klotens volym.

67 Beräkna skålens volym.

68 Sara ska göra i ordning skålar med glasskulor. Hur många skålar kan hon göra med 3 kulor glass i varje skål?

69 Fyra tennisbollar ska packas i en förpackning.

a) Ge minst två olika förslag på hur en sådan förpackning kan se ut.

b) Beräkna volymen på dina förpackningar.

c) Beräkna hur stor andel av förpackningens volym som är luft.

d) Beräkna begränsningsytans area på dina förpackningar.

Beräkna pi med kalkylblad

Med hjälp av ett kalkylprogram kan man enkelt göra många liknande beräkningar. Här får du mäta omkrets och diameter på olika cirklar och låta ett kalkylprogram beräkna värden för pi.

● Börja med att öppna ett nytt kalkylblad och fyll i rubrikerna Föremål, Omkrets, Diameter och omkrets/diamater=pi i cellerna A1 till D1.

● Fyll i formeln =B2/C2 i cell D2 och tryck på Retur. Du behöver samma formel i fler celler. Klicka och dra i cellens nedre hörn för att fylla på med flera likadana formler. Eftersom det inte finns några värden att använda kommer ett felmeddelande att visas till exempel DIV/0!i cellerna.

Om omkrets = diameter · pi

så är pi = omkrets diameter

● Leta reda på olika cirkelformade föremål. Mät omkretsen och diametern med ett måttband. För in värdena i kalkylbladet.

● För att tolka värdena för pi kan du bestämma medelvärdet. Skriv Medel under värdena i kolumn C. Skriv formeln =MEDEL( under värdena i kolumn D och markera värdena för pi. Bekräfta genom att trycka på Retur.

● Kalkylprogrammet kan avrunda värdena som visas i kolumn D till ett bestämt antal decimaler. Markera de celler där värdena ska vara avrundade och klicka på knappen för att minska antal decimaler.

Kommandot kan vara olika i olika program, till exempel AVERAGE.

Så här brukar knappen för att minska antal decimaler se ut.

Här blev medelvärdet för pi 3,13.

70 Vilket medelvärde för pi visade ditt kalkylblad?

71 Jämför medelvärdet med klasskamraterna. Hur nära 3,14 kom ni?

72 Vad påverkar dina mätresultat?

73 Hur skulle du kunna göra för att få ett noggrannare resultat?

Arbetsbl Ad 2:18

Klicka och dra här.

Formeln beräknar medelvärdet för cell D2 till cell D4.

Rita med kod

Ett program kan göra mer än att skriva text på skärmen eller göra beräkningar. Här är ett program som ritar figurer på skärmen. I det här programspråket kallas ritmodulen för turtle (sköldpadda). Man liknar modulen vid en sköldpadda som är ute och går.

import turtle

t = turtle.Turtle()

t.forward(75)

t.left(120)

t.forward(75)

t.left(120)

t.forward(75)

Hämta modulen turtle så att vi kan använda programmet för att rita.

Sätt variabeln t till turtle.Turtle

Rita en linje som är 75 pixlar lång, vrid 120 grader osv.

74 Hur ska programmet ändras för att figuren ska bli större?

75 Hur ska koden ändras så att det ritar en

a) kvadrat b) rektangel c) liksidig femhörning d) liksidig sexhörning

import turtle

t = turtle.Turtle()

for x in range(0, 3):

t.forward(75)

t.right(120)

Hämta modulen turtle och ange variabeln t till turtle.Turtle(

Upprepa koden nedanför tre gånger.

Rita en linje som är 75 pixlar lång och vrid 120 grader.

76 Vad är fördelen med det här programmet jämfört med det tidigare?

77 Hur ska programmet ändras så att det ritar en

a) kvadrat b) pentagon c) hexagon

78 På vilket sätt fungerar den här metoden sämre om man vill att datorn ska rita en rektangel?

Begrepp och resonemang

Vem eller vilka har rätt?

Av ett A4 papper kan man göra en cylinder på två olika sätt. Har cylindrarna samma volym?

Ja, båda cylindrarna har samma volym. Deras mantelyta är ju lika stora.

Jag har gjort de här figurerna av papper och fyllt dem med ris. Figur A har större volym eftersom den rymmer mer ris än figur B.

A B

Anna

Nej, cylinder B har större volym för att höjden är större.

Begrepp

Cylinder A har en större radie än B. Eftersom man beräknar volymen så här: π · r · r · h, så är det viktigare att ha en större radie än en större höjd.

Beskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan.

A h B

Begreppskarta

Rita av begreppskartan och fyll i det som saknas.

rät vinkel basyta cirkel

triangel kvadrat sidoytor

mantelyta höjd parallella

med diametern och höjden 4 dm har volymen

har en begränsningsyta som består av

Cylindern ?

kon ? ?

Clara Dilan

Benjamin

Arbeta tillsammans

En behållare som har formen av ett rätblock fylls med vatten. 2 1

1

Innehållet hälls sedan i någon av de övriga behållarna A–J. Vilka av behållarna blir då

a) precis helt fyllda

b) fyllda till hälften

c) fyllda till mindre än hälften

d) fyllda och vatten rinner över

Problemlösning

A Beräkna hur stort område som fåret kan beta på. Fåret sitter fast med ett rep i ett hörn av huset. Repet är 5 meter långt.

Sant eller falskt?

1 En lägenhet kan ha arean 90 m2

2 1 dm2 = 10 cm2

3 1 m3 = 1 000 dm3

4 2 liter = 2 dm3

5 Cirkelns omkrets beräknas: Omkretsen = π · radien

6 Cirkelns area beräknas: Area = π · radien · radien

7 En pyramids volym kan beräknas så här:

V = B · h 3

8 500 liter = 0,5 m3

B Frida köper en bok för 225 kr. Sedan köper hon en baddräkt för 3 5 av det som är kvar. Då har hon 330 kr kvar. Hur mycket pengar hade Frida från början?

9 En yta som har storleken en kvadratmeter ser alltid ut som en kvadrat.

10 Cirkelns begränsningsyta består av 2 cirklar och en mantelyta.

Begrepp och metod

1 Skriv längden i decimeter.

a) 125 cm b) 0,8 m

2 Beräkna cirkelns

a) diameter b) omkrets c) area

3 Hur stor area har spegeln? Svara i a) cm2

b) dm2

4 Hur stor area har parken? Svara i

7 Beräkna lådans volym och svara i

10 Beräkna volymen av klotet.

formeln i rutan.

Resonemang och kommunikation

11 Jämför de olika kropparnas volym. Ordna dem i storleksordning utan att göra beräkningar. Förklara.

Problemlösning

12 Figuren visar en utvikt låda. Hur stor volym har lådan om du viker den till ett rätblock?

A Rita följande figurer. Du vet att omkretsen är 12 cm.

a) En rektangel med ena sidan dubbelt så lång som den andra.

b) En kvadrat.

c) En likbent triangel där endast två sidor är lika långa.

d) En liksidig triangel.

e) En cirkel.

B Beräkna areorna av de olika figurerna.

C Hur påverkar figurens form storleken av dess area? Motivera.

Längd och längdenheter

Sträckor har en längd.

BGrundenheten är meter. Pablo mäter längden på sin lillasyster.

1 Vilken enhet ska stå i rutan?

a) Längden på en säng kan vara 2

c) Längden på ett finger kan vara 0,6

2 Beräkna omkretsen. Svara i

a) meter

b) decimeter

3 Beräkna omkretsen. Svara i

a) decimeter

b) centimeter

4 Skriv i enheten meter (m).

b) Längden på ett barn kan vara 90

Längden på en penna kan vara 135

5 Skriv i enheten centimeter (cm).

6 Skriv i enheten millimeter (mm).

7 Skriv i storleksordning.

8 För längre avstånd som mellan två städer använder man

enheterna kilometer och mil.

Hur många mil är

a) 10 km b) 30 km

c) 120 km d) 5 km

Cirkelns omkrets

Du ska beräkna omkretsen av en cirkel.

1. Mät diameterns längd.

2. Multiplicera diameterns längd med 3.

Svaret du får är lite för litet. Om du vill ha ett mer exakt värde på omkretsen så ska du multiplicera med 3,14.

Cirkelns omkrets = π · diametern ≈ 3,14 · diametern ≈ 3 · diametern

π är en grekisk bokstav och uttalas pi.

Exempel

Beräkna omkretsen av cirkeln.

6 cm

Omkretsen ≈ 3 · 6 cm = 18 cm.

Svar: Omkretsen är 18 cm.

9 Hur lång är cirkelns radie om diametern är

a) 10 cm b) 9 cm c) 12 m

Jag räknar så här: 3,14 · 6 cm = = 18, 84 cm ≈ 19 cm Det blev en centimeter längre.

10 Använd π ≈ 3 och beräkna omkretsen på en cirkel som har diametern

a) 1 m b) 2 m c) 10 cm d) 5 cm

11 Använd π ≈ 3 och beräkna omkretsen på en cirkel som har radien

a) 1 m b) 2 m c) 10 cm d) 5 cm

12 Beräkna hur långt det är runt om dammen?

Använd π ≈ 3,14.

13 Omkretsen på hjulet är 60 cm.

Beräkna diametern.

Använd π ≈ 3.

m

Area och areaenheter

Area är ett mått på hur stort ett område eller en yta är. Arean av en handflata är ungefär 1 kvadratdecimeter. Arean av en nagel är ungefär 1 kvadratcentimeter.

Exempel

Beräkna arean av tavlan.

Svara i

a) kvadratmeter (m2) 1,2 m · 0,5 m = 0,6 m2

b) kvadratdecimeter (dm2)

12 dm · 5 dm = 60 dm2

Svar: Tavlans yta har arean 0,6 m2 = 60 dm2.

1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2

14 Vilken areaenhet ska stå på linjen? Välj mellan kvadratmeter, kvadratdecimeter och kvadratcentimeter. a) b) c)

15 Beräkna arean av pingisbordet. Svara i

a) kvadratmeter (m2)

b) kvadratdecimeter (dm2)

16 Skriv i enheten kvadratdecimeter (dm2).

17 Skriv areorna i storleksordning.

Skriv längderna i m, då blir arean i m2.

Skriv längderna i dm, då blir arean i dm2

Cirkelns area

Cirkelns area är ungefär 3 · radien · radien.

Cirkelns area ≈ 3 · r · r = 3 · r2

Exempel

Beräkna arean av en cirkel som har radien r = 4 cm.

Arean ≈ 3 · 4 cm · 4 cm = 3 · 16 cm2 = 48 cm2

Svar: Cirkelns area är ungefär 48 cm2

18 Använd π ≈ 3 och beräkna arean på en cirkel som har radien

a) 4 cm b) 5 cm c) 2 m d) 10 m

19 Använd π ≈ 3 och beräkna arean på en cirkel som har diametern

a) 4 cm b) 5 cm c) 2 m d) 10 m

20 Beräkna studsmattans area.

Använd π = 3,14.

a) r = 8 dm b) d = 3 m

21 Mät i figuren och beräkna arean av cirkelsektorerna. a) b)

22 Beräkna arean av cirkelsektorerna.

a) d = 24 m

b) r = 12 m

Volym och volymenheter

En liter är lika mycket som 1 kubikdecimeter (dm3).

Något som är 1 kubikdecimeter (dm3) har lika stor volym som en kub med sidan 1 decimeter.

23 Vilken av enheterna cm3, dm3 eller m3 ska stå i stället för rutan?

a) En läskburk kan ha volymen 330 .

b) En swimmingpool kan kan ha volymen 250 vatten.

c) En hink kan ha volymen 10 .

24 Skriv i enheten kubikdecimeter (dm3).

25 Skriv i storleksordning. Det kan vara bra att börja med att skriva om till samma enhet.

26 Hur stor volym har figurerna? 1 cm3 Varje kub har volymen 1 cm3.

Rätblockets volym

En kropp har en volym. Grundenheten för volym är kubikmeter (m3).

Exempel

Beräkna lådans volym.

a) Svara i kubikdecimeter.

V = B · h

B = 6 dm · 4 dm = 24 dm2

V = B · h = 24 dm2 · 5 dm = 120 dm3

b) Svara i kubikmeter.

B = 0,6 m · 0,4 m = 0,24 m2

V = B · h = 0,24 m2 · 0,5 m = 0,12 m3

Svar: Lådans volym är 120 dm3 = 0,12 m3

27 a) Beräkna basytans area.

b) Beräkna lådans volym.

c) Hur många liter är lådans volym? 28 Beräkna volymen. Svara i

a) kubikcentimeter

b) kubikdecimeter

30 a) Beräkna balkonglådans volym.

b) Till hur många balkonglådor räcker säcken med 50 liter jord?

En liter är lika mycket som en kubikdecimeter.

Cylinderns volym

En cylinder har en basyta i form av en cirkel.

Så här beräknas cylinderns volym: Volymen = Basytans area · höjden

Exempel

Beräkna cylinderns volym. Använd π ≈ 3.

= 75 cm2 · 10 cm = 750 cm3

32

a) Beräkna basytans area av kastrullen.

b) Beräkna kastrullens volym.

33 Beräkna hinkarnas volym. Svara i liter.

34 Hur många liter vatten rymmer

tunnan? Avrunda till hela liter.

Pyramidens och konens volym

Linda fyller strutar med popcorn från en kastrull.

När kastrullen är full kan hon precis fylla tre strutar.

b) Beräkna pyramidens volym.

c) Hur många gånger större är rätblockets volym jämfört med pyramidens volym?

volymen.

36 Titta på tepåsen.

37 En vindflöjel visar vindriktningen.

38 a) Beräkna rätblockets volym.

= Basytans area · höjden

Cylinder och klot

Om man vecklar ut en cylinder får man en rektangel och två cirklar.

39

Rektangelns bas har samma längd som cirkelns omkrets.

Cylinderns mantelyta har formen av en rektangel.

Använd π ≈ 3 när du löser uppgifterna.

3 cm

b) Beräkna omkretsen av cirkeln.

c) Beräkna mantelytans area.

a) Beräkna båda cirklarnas area. 7 cm

d) Beräkna arean på hela begränsningsytan.

40 Beräkna arean 1 m 2 m

a) av mantelytan

b) av cirklarna tillsammans

c) av begränsningsytan

41 Alicia ska beräkna volymen av hennes vaser. Använd formeln för klotets volym. Sätt in värden på radien och beräkna vasernas volym. a) 10 cm

Det här är mantelytan, och om man vecklar ut den blir den så här: Klotets volym:

b) 5 cm c) 2 dm

42 Akvariet har volymen 150 liter. Beräkna höjden.

dm2

Begrepp

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i rätt begrepp i cirklarna.

Rätblocket

med måtten 2 cm, 3 cm och 4 cm har volymen

med måtten 2 cm, 2 cm och 2 cm har begränsningsytan

12 cm3 ?

Resonemang och kommunikation

Vem har rätt? Varför har den personen rätt?

Hink B har dubbelt så stor volym som hink A.

Hink B har 4 gånger så stor volym som hink A.

r = 1 dm

Anna

Problemlösning

Benjamin

A Kevin köper en pocket för 79 kr. Sedan köper han godis för 1 3 av det som är kvar. Då har han 14 kr kvar. Hur mycket pengar hade Kevin från början?

B Beräkna hur stort område som fåret kan beta på. Fåret sitter fast med ett rep mitt på husets långsida. Repet är 2 meter långt.

B

h = 5 dm

A h = 5 dm

r = 2 dm

Mer om omkrets

1 Hjulen på Annas cykel har diametern 67,2 cm.

a) Beräkna omkretsen på hjulen.

b) Hur långt har Anna cyklat när hjulen har snurrat 1 000 varv?

R2 Annas lillasyster har också en cykel. Radien på hennes hjul är 29,5 cm.

a) Beräkna omkretsen på hjulen.

b) Hur långt har hon cyklat när hjulen snurrat 1 000 var v?

c) Hur många varv har hjulen snurrat när hon cyklat 1 km?

3 Med ett meterhjul kan man mäta avstånd. Omkretsen på hjulet är en meter. För varje varv som hjulet snurrar, så ökar ett räkneverk med ett. Beräkna hjulets diameter. Avrunda till hela centimeter.

4 Ekvatorns längd är cirka 40 000 km. Ungefär hur långt är det till jordens medelpunkt?

5 Tänk dig att du kan lägga ett rep runt jorden. Tänk dig sedan att du vill göra repet lite längre, så att du och många andra människor kan hålla repet en meter över markytan. Hur mycket längre måste du göra repet?

Diameter

6 Tre myror ska gå på den röda linjen längs

två olika figurer. Vilken av dem kommer att gå längst sträcka?

7 En fjärde myra vill vara med och gör en bana som ser ut så här: Kommer han att gå längre än, lika långt som, eller kortare än de övriga myrorna?

Räkna ut figurernas omkrets.

8 a) b) 9 a)

Mer om area och areaenheter

Jag har 190 ha åkermark och 200 ha skogsmark. Mina åkrar har olika storlek. Den minsta är 0,2 ha och den största är 20 ha.

Jag har 200 djur, 70 är mjölkkor. I ladugården går

R80 stora och 50 mindre djur fritt. Mjölkhallen är

150 m2. Ladugården har måtten 55 m × 18 m.

Liggbåsen är 1,3 m × 2,4 m. Kalvningsboxen är

3,3 m × 3,3 m.

11 Vilken area har

a) ladugården b) ett liggbås c) kalvningsboxen

12 Hur många kvadratmeter är

a) minsta åkern b) största åkern c) skogsmarken

13 Hur stort område har varje djur i ladugården? Avrunda till hela kvadratmeter.

14 Vilka mått kan mjölkhallen ha?

15 När man ska beskriva en stads eller ett lands area brukar man använda areaenheten kvadratkilometer, km2. En kvadratkilometer är ett område som är lika stort som en kvadrat med sidan 1 km.

Skriv 1 kvadratkilometer som

a) kvadratmeter b) hektar

16 Här räcker det om du räknar på ett ungefär med överslagsräkning.

a) Är Norrland större eller mindre än hälften av Sveriges yta?

b) Är Kiruna mer eller mindre än dubbelt så stort som Skåne?

c) Hur många gånger större är Kiruna kommun än Stockholms kommun?

d) Hur många gånger större är Norrland jämfört med Svealand?

e) Hur stor del av Sverige är Lappland?

Faktatabell december 2015

Befolkningstäthet

Ett lands befolkningstäthet anger hur många människor som finns på varje kvadratkilometer om landets befolkning är jämnt utspridd över hela landet.

Exempel

Sveriges area är 411 000 km2 och befolkningen är 10 miljoner invånare. Hur stor är Sveriges befolkningstäthet?

Befolkningstätheten: 10 000 000 invånare 411 000 km2 ≈ 24 invånare/km2

Svar: 24 invånare/km2.

Naturligtvis bor inte människor jämnt utspridda över landet. Det finns områden där folktätheten är betydligt högre och det finns områden där den är lägre.

17 Ta hjälp av tabellen på sidan 88. Hur stor befolkningstäthet har

a) Stockholms kommun b) Kiruna kommun

c) Skåne

d) Lappland

18 Bangladesh har en befolkning som är 16 gånger så stor som Sveriges och en yta som är ungefär 1/3 av Sveriges. Hur många skulle vi ha varit i Sverige, om vi hade bott lika tätt?

19 a) Hur stor yta skulle varje svensk ha, om ytan delas lika av alla?

b) Hur många villatomter skulle var och en få, om en villatomt var 1 000 m2?

20 Manhattan i New York är en av världens mest tätbefolkade öar. Den har arean 60 km2 och antalet invånare är 1,6 miljoner. Beräkna befolkningstätheten.

21 Lilla Essingen är en ö i Stockholm. Även den anses vara en av världens mest tätbefolkade öar. Storleken är 23 hektar och befolkningstätheten är 21 000 inv/km2. Beräkna antalet invånare.

Mer om klotets volym och begränsningsytans area

Ett klots volym beräknas med formeln:

V = 4 · π · r · r · r 3

REtt klots begränsningsyta är en sfär. Sfärens area beräknas med formeln:

A = 4 · π · r · r

Exempel

Beräkna klotets volym och begränsningsytans area.

Räkna exakt, det vill säga med π så långt det går.

Använd π ≈ 3,14 när du beräknar och avrunda svaret till en decimal.

22

Svar:

a) Hur många dimensioner har en yta?

b) Hur många dimensioner har en kropp?

c) Jämför formlerna för ett klots begränsningsarea och för ett klots volym. Hur kan du se på formlerna vilken som visar klotets begränsningsarea och vilken som visar klotets volym?

23 Beräkna klotens

a) volym

b) begränsningsyta

7 cm 11 cm

24 Glaset har formen av en halv sfär.

a) Beräkna volymen av glaset. Avrunda till hela centiliter.

b) Hur många glas kan du fylla med 1,5 liter dricka?

25 Den stora Peterskyrkan i Rom har en kupol i form av ett halvklot vars högsta punkt ligger 120 m över golvet. Kupolens diameter är 42 m.

a) Beräkna den totala volymen av luften i kupolen och i det cylinderformade rummet under den. Svara i tusental kubikmeter.

b) Varje kubikmeter luft väger 1,23 kg. Hur mycket väger luften i denna del av Peterskyrkan?

26 På bilden ser du en discokula med radien 2 decimeter. Ungefär hur många glasbitar får plats på kulan om en glasbit är ungefär 1 kvadratcentimeter.

27 Utgå från att jorden har formen av ett klot.

a) Beräkna arean på jordens yta om ekvatorn är 4 000 mil.

b) Ungefär hur många gånger större är jordens yta jämfört med Sveriges yta? Sveriges yta är 411 000 km2.

28 a) Hur förändras ett klots begränsningsyta om radien fördubblas?

b) Hur förändras ett klots volym om radien fördubblas?

29 För 2 500 år sedan fann Arkimedes att förhållandet mellan klotets volym och cylinderns volym alltid var 2:3 (2 till 3), om klotet precis får plats i cylindern.

a) Visa att klotets volym är 2/3 av cylinderns volym.

b) Det är faktiskt så att även klotets area är 2/3 av cylinderns begränsningsarea. Visa att det är så.

Tips: Sätt mått på klotet och cylindern och räkna med dina mått.

På Arkimedes gravsten lär det ha funnits en inskription som visade en cylinder med ett inskrivet klot.

Blandade övningar

30 a) Hur mycket vatten innehåller poolen? Svara i hela kubikmeter.

b) Hur mycket kostar det att fylla poolen?

c) Hur lång tid tar det att fylla poolen? Svara i hela timmar.

Rd) Hur många människor kan vara helt nedsänkta i poolen utan att det rinner vatten över kanten. En människas volym är cirka 70 liter.

31 Tunnan var tom när det började regna. Hur många millimeter regn har det kommit när tunnan svämmar över?

● Cirkulär pool med radie 2,75 m och vattendjup 1,18 m.

● Avstånd mellan vattenytan och poolkanten är 0,06 m.

● Varje år så fylls poolen från två vattenslangar som vardera ger 20 liter per minut.

● Pris för vattnet: 19 kr/m3.

32 a) Vilka kroppar består lådan av?

b) Beräkna arean av lådans begränsningsyta. Svara i hela kvadratdecimeter.

c) Beräkna volymen av lådan. Svara i hela kubikdecimeter.

33 Beräkna brödlådans

a) volym, svara i hela kubikdecimeter.

b) begränsningsytans area, svara i hela kvadratdecimeter.

34 Glas B

är fyllt till halva höjden jämfört med glas A. Hur många gånger mer är det i glas A jämfört med glas B?

Problemlösning, resonemang och kommunikation

A Ett rätblock ska rymma 6 liter. Ge minst två förslag på vilka mått det kan ha.

B Ett rätblocks begränsningsyta har arean 60 dm2. Ge förlag på vilka mått som rätblocket kan ha.

C En cylinderformad tunna ska ha volymen ungefär 120 liter. Vilka mått kan den ha?

D Du äger ett företag som tillverkar förpackningar till olika produkter. Du ska tillverka kartonger för att förpacka tvålar med måtten 2 cm × 3 cm × 4 cm.

a) Föreslå lämpliga mått på en förpackning för 60 tvålar.

b) Du vill att det ska gå åt så lite kartong som möjligt till förpackningarna. Vilka mått har en sådan förpackning?

c) Tvålarnas volym ökar med 25 %. Vilka mått föreslår du på tvålarna och på lådan med 60 tvålar?

E Du vill att din gris ska få böka fritt utanför huset. Du sätter därför ett 10 m långt koppel på grisen och fäster det i husväggen. Huset är 10 m × 20 m.

Beroende på var du fäster kopplet kommer grisen att få olika storta områden att böka på.

När du löser uppgiften kan du ha hjälp av ett 10 cm långt snöre som föreställer kopplet och en bit papper med storleken 10 cm × 20 cm som föreställer huset.

Rita lösningarna först och räkna sedan.

a) Välj fyra olika ställen att fästa kopplet på och räkna ut hur stort område som grisen kan nå.

b) Var är kopplet fäst när grisen får

– minsta möjliga område?

– största möjliga område?

c) Räkna ut arean av de båda områdena.

1 Niklas springer och sätter fart på en karusell som Emma sitter i. Här ser du karusellen uppifrån.

Niklas Emma 2 m3 m

a) Hur långt har Niklas sprungit när Emma har åkt 20 meter?

b) Niklas springer ett var v på 5 sekunder. Vilken hastighet har Emma? Svara i km/h.

2 Hur stor andel av området är skuggat? a) 3 2

b)

3 En 1,3 km lång skidbana ska täckas med snö. B anan som är 3 m bred ska täckas med ett 40 cm tjockt snölager. Ungefär hur många lastbilar snö behövs det till snöbeläggningen om varje lastbil lastar cirka 19 m3 snö?

4 En vattentank i form av ett rätblock har måtten 1,0 meter, 2,0 meter och 3,0 meter och innehåller 4,0 m3 vatten. Beroende på hur tanken är vänd, dvs. vilken sidoyta som är bottenyta, så ändras vattendjupet i tanken. Hur högt når vattnet i tanken beroende på hur tanken placeras?

5 Resultatet av en undersökning visas i två cirkeldiagram. Cirklarnas area är proportionell mot antalet elever. I undersökningen svarade 351 tjejer och killar ja.

a) Hur många elever deltog i undersökningen?

b) Hur många killar svarade nej?

1,1 cm

1 mm

6 Inre diametern i en silverring är 1,1 cm. Ringens tjocklek är 1 mm och bredden är 4 mm. 4 mm

a) Hur mycket väger ringen? Densiteten för silver är 10,49 g/cm3.

b) Lisa vill förgylla ringen. Då lägger man på ett lager guld med tjockleken 0,5 mikrometer. Hur mycket guld behövs? Svara i mm3.

c) Lisa planerar också att tillverka ett smycke i form av en silverkula. Hur många gram silver går det åt till en silverkula med diametern 9 mm?

7 En tandkrämstub innehåller 75 ml tandkräm. Anta att Pernilla varje gång trycker ut 2 cm tandkräm när hon borstar tänderna. Tandkrämstuben räcker ca 45 dagar. Pernilla borstar tänderna 2 gånger om dagen. Beräkna innerdiametern av hålet, genom vilket tandkrämen trycks ut.

1 ml = 1 cm3

figurens omkrets och vilket skulle kunna ange figurens area? Förklara.

9 Askarna är lika stora. I den ena finns 16 chokladbollar och i den andra finns 2 chokladbollar.

a) Vilken av askarna innehåller mest choklad?

b) Chokladbollarna är omgivna av folie. Vilken ask innehåller mest folie?

2d d d 60 m 30 m 8,5 m 8,5 m

● Längdenheter

1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

● Cirkel diameter radie

Radien är halva diametern.

radie = diameter 2 , r = d 2

Omkretsen = π · diametern

O = π · d

Använd π ≈ 3,14 när du arbetar med räknare och π ≈ 3 när du räknar i huvudet.

● Areaenheter

1 m2 = 100 dm2

1 dm2 = 100 cm2

1 hektar (ha) = 10 000 m2

1 km2 = 1 000 000 m2

● Beräkna arean av olika figurer

● Cirkelbåge och cirkelsektor

cirkelbåge 50° r

cirkelsektor

medelpunktsvinkel

Cirkelbågens längd = 50° 360° · π · 2r

Cirkelsektorns area = 50° 360° · π · r2

● Volymenheter

● Beräkna volym av olika kroppar

Rätblock

Prisma Cylinder Basytan är en månghörning. Basytan är en cirkel.

Kon Basytan är en månghörning. Basytan är en cirkel.

8

● Tydlig struktur – koppling till centralt innehåll åk 7–9 i Lgr11

● Eleven i fokus – vardagsnära uppgifter

● Programmering – anpassad till den reviderade kursplanen

● Uppslaget – koppling till förmågorna

● Svarta sidorna – rejäla utmaningar till varje kapitel

● Problemlösning – helt kapitel med strategier och uppgifter

● Repetition – blandade uppgifter på flera nivåer

● Verktygslådan – en uppslagsdel

Matte Direkt 8 består av Lärobok, Lärarguide, Arbetsblad, prov och aktiviteter samt Träningshäften. Matte Direkt 8 finns också som digital bok.

ISBN 978-91-523-4318-0

(523-4318-0)