Nyhlén Johansson | Jan Persson
MODUL
Matematik 7–9
Olle
Om Modul Matematik 9
Kapitlen i Modul Matematik 9 har gemensam struktur. De är uppdelade i avsnitt och i avsnitten finns uppgifter på tre nivåer.
Kapitlen innehåller:
Inledning – Först finns en lista med vad du ska kunna efter att ha arbetat med kapitlet. Här finns även “Fem snabba”, en minidiagnos som visar vad du kan sedan tidigare och kan hjälpa dig att välja nivå.
Gruppuppgift – En introducerande uppgift till respektive avsnitt där du framför allt får möjlighet att träna din förmåga att kommunicera och resonera.
Teori – Du kan ta del av teorin både genom att läsa teoritexten och genom att titta på film via QR-koden vid avsnittets rubrik. Båda behandlar den grundläggande teorin inom varje avsnitt.
Exempel – Till respektive nivå finns exempel med lösning och redovisning. Exemplen finns även som filmade genomgångar som du kommer åt via QR-koden vid avsnittets rubrik.
Problemlösning – Sista avsnittet i respektive kapitel innehåller problemlösningsuppgifter där du får använda dina kunskaper från kapitlets olika avsnitt för att lösa uppgifterna.
Diagnos, Uppföljning och Utmaning – Efter problemlösning finns en diagnos i två delar. Del A är för dig som arbetat med nivå 1–2 och del B är för dig som arbetat med nivå 2–3. Beroende på resultatet på diagnosen arbetar du med Uppföljning för att reparera och repetera kapitlets innehåll. Utmaning är för dig som behöver mer utmanande uppgifter.
Tillämpad matematik – Respektive kapitel innehåller två större uppgifter av mer öppen och undersökande karaktär. Dessa hjälper dig att träna och tillämpa matematiken. Din lärare avgör hur ni arbetar med uppgifterna, enskilt eller i grupp, på dator eller för hand.
Begrepp – En lista över områdets begrepp med förklaring.
Sammanfattning – Sist i kapitlet sammanfattas vilka metoder du ska kunna.
Bokens sista kapitel innehåller övningsprov så att du kan förbereda dig inför provet till respektive kapitel 1–4.
Vi hoppas att du får utmanande och lärorika matematiklektioner. Författarna Olle och Jan
Innehåll
1.5
2.4
2.5
2.6
3. Samband och förändring
3.1
4. Algebra
4.1
4.4
4.5
4.6
4.7
5. Sammanfattning 7–9
5.1
6.
Taluppfattning och tals användning
När du har arbetat med kapitlet ska du kunna
• räkna med potenser
• kvadratrötter
• t al i grundpotensform
• prefix
• räkna med tiopotenser
• använda de begrepp som hör till arbetsområdet
• lösa problem som hör till arbetsområdet
Fem snabba
Vilka påståenden stämmer?
A) 20 = 1
B) 52 = 52
C) 7 kg = 700 g
D) 5 · 102 = 500
E) 4 · 102 · 2 · 103 = 8 · 105
1.1 Räkna med potenser
Gruppuppgift
Räknereglerna nedan gäller för potenser med samma bas.
Multiplikation: am · an = am + n
Division: a m a n = a m − n
Skriv talet 64 som
a) summan av två potenser
b) differensen mellan två potenser
c) produkten av två potenser
d) kvoten mellan två potenser
exponent bas "Fem upphöjt till två"
Om exponenten är 1 blir alltid värdet av potensen detsamma som basen, t.ex. 51 = 5 eller 0,31 = 0,3
Om exponenten är 0 blir värdet alltid 1 oberoende av basens storlek, t.ex. 60 = 1 eller 0,20 = 1
a3 = a · a · a
a2 = a · a
a1 = a
a0 = 1
Räknereglerna för potensräkning fungerar endast vid multiplikation och division av potenser med samma bas. I alla övriga fall måste potenserna beräknas först.
Räkneregler för potenser
Multiplikation: am · an = am + n
Division: a m a n = a m − n
1
Inga räkneregler för potensräkning
Addition och subtraktion med potenser Multiplikation och division med olika baser
32 + 23 = (3 · 3) + (2 · 2 · 2) = 9 + 8 = 17
32 – 23 = (3 · 3) − (2 · 2 · 2) = 9 − 8 = 1
Räkneregler för potensräkning
Multiplikation med samma bas Division med samma bas
23 · 24 = 23 + 4 = 27 8 5 8 3 = 8 5−3 = 8 2
Exempel 1
Beräkna i potensform. a) 103 · 104 b) 2 5 2 3 c) 32 · 33
Lösning:
a) 103 · 104 = 103 + 4 = 107
b) 2 5 2 3 = 2 5−3 = 2 2 c) 32 · 33 = 32 + 3 = 35
1001 I vilka uttryck går det att följa reglerna för potensräkning?
A) 3 5 2 3 B) 4 5 4 3 C) 42 · 33 D) 52 · 53
1002 I vilka uttryck går det att följa reglerna för potensräkning?
A) 24 + 24 B) 20 · 23 C) 4 5 4 3 D) 4 5 2 7
1003 Beräkna i potensform. a) 53 · 53 b) 34 · 38 c) 44 · 44 · 44
1004 Beräkna i potensform. a) 2 5 2 2 b) 5 7 5 3 c) 10 5 10 3
1005 Beräkna a) 23 + 52 b) 32 · 22 c) 32 − 22
1006 Beräkna
a) 4 2 2 2 b) 32 · 22 + 3 c) 22 · 52 − 32
1007 Vilket tal är x?
a) 5x · 53 = 55 b) 2x · 23 = 29 c) 84 · x2 = 86
1008 Vilket tal är x?
a) 2 7 2x = 2 2 b) 9 12 9x = 9 7 c) 6 7 x 0 = 6 7
1009 Vilket tal är x?
67 · 610 = 6x
9 x 9 5 = 9 3
9 5 9 x = 1
1010 Vilken eller vilka av nedanstående beräkningar är fel? Förklara varför.
A) 34 + 24 = (3 · 3 · 3 · 3) + (2 · 2 · 2 · 2) = 81 + 16 = 97
B) 23 · 24 = 23 + 4 = 27
C) 34 + 24 = 54 + 4 = 58
D) 2 5 2 2 = 2 5−2 = 2 3
Exempel 2
Beräkna i potensform.
Beräkna i potensform.
1014 Beräkna
1015 Vilket tal är x? a) 2x = 32
1016 Vilket tal är x?
3x − 23 = 19
1017 Beräkna 109 om 108 = 100 000 000.
1018 Beräkna 36 om 35 = 243.
1019 Beräkna värdet av uttrycket x3 + x2 + x1 om a) x = 2 b) x = 3 c) x = 10
1020 Said gjorde följande beräkning: 52 · 23 = 52 + 3 = 55
Hon förstår inte varför uppgiften blir fel. Förklara så att hon förstår.
Räkneregler för potenser
Med parentes: (am)n = am · n
Exempel 3
Beräkna i potensform
Beräkna i potensform
1025 Beräkna
1026 Vilket tal är x?
1027 Använd tabellen för att uttrycka värdet som en potens av 4.
1028 Använd tabellen för att uttrycka värdet som en potens av 5.
1029 Vad är x6 om x12 = 4 096?
1030 Vad är x om x8 = 6 561?
1.2 Kvadratrötter
Gruppuppgift
Vilka uttryck står för samma tal?
Med kvadratroten ur ett tal menas det positiva tal som multiplicerat med sig själv ger det ursprungliga talet.
√49 = 7 e ftersom 7 · 7 = 49
Det är inte alltid att roten ur ett tal är ett heltal men med hjälp av miniräknaren kan du alltid beräkna roten ur ett tal. Ofta får du svaret med många decimaler och då behöver du avrunda ditt svar.
rottecken
"kvadratroten ur 49” ”roten ur 49”
Ett alternativt sätt att svara för att slippa avrundningen är att inte utföra beräkningen, utan att låta svaret innehålla rottecknet. Då är svaret i exakt form, t.ex. √20 .
Beräkningar med rotuttryck
För att räkna ut uppgifter som √25 · √4 eller √81 √9 är de t bra att känna till reglerna för att räkna med kvadratrötter. Dessa gäller för rotuttryck men endast för räknesätten multiplikation och division.
Regel
√a · √a = a
√a · √b = √a · b
Exempel
√a √b = √ a b √16 · √16 = 16 √25 · √4 = √25 · 4 = √100 = 10 √81 √9 = √ 81 9 = √9 = 3
Exempel 4
En kvadrat har arean 49 cm2.
a) Hur lång är sidan?
b) Hur stor är kvadratens omkrets?
Lösning:
a) √49 = 7 cm
b) 4 · 7 = 28 cm
Beräkna
1031 a) 32 b) 92 c) 62
1032 a) 102 b) 72 c) 122
Beräkna utan miniräknare.
1033 a) √4
b) √36
c) √49
1034 a) √25 b) √81 c) √121
Beräkna med miniräknare och avrunda till en decimal.
1035 a) √3
1036 a) √15
b) √5
c) √8
b) √78 c) √114
Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna.
1037 a) √9 √9
b) √2 √8 c) √20 √5
1038 a) √8 √2 b) √16 √4 c) √45 √5
1039 En kvadrat har arean 64 cm2.
a) Hur lång är sidan?
b) Hur stor är kvadratens omkrets?
1040 En kvadrat har omkretsen 24 cm.
a) Hur lång är sidan?
b) Hur stor är kvadratens area?
O = 24 cm
Exempel 5
Beräkna
a) √1600 + √25 √9 b) ( √27 ) 2 3
Lösning:
a) √1600 + √25 √9 = 40 + 5 3 = 42
b) ( √27 ) 2 3 = √27 · √27 3 = 27 3 = 9
Beräkna utan miniräknare.
1041 a) 152 b) 142 c) 132
1042 a) 1 0002 b) 902 c) 642 1043 a) √45 √5 √75 √3 b) √3 √12 c) √4 √9 3
1044 a) √63 √7 √3 √3 b) 6 2 √4 c) 7 2 √7 · √7
1045 a) ( √15 ) 2 b) ( √23 ) 2 c) ( √0, 5 ) 2 1046 a) ( √15 ) 2 3
( √16 ) 2 4 c) ( √16 ) 2 √4
1047 a) √81 + √9 b) √100 √81 √1 c) √10 000 + √1
1048 Vilka av talen hör ihop?
A) √100 √25 √4 1) 25 B) 4 · √25 2) 21 C) √64 √25 √16 · √4 3) 5 D) √49 · √9 4) 20
1049 Vilka av följande tal har heltalslösningar?
A) √1 B) √92 C) √6 400 D) √0, 1
1050 Elton ska bygga en uteplats som ska vara 100 m2.
a) Föreslå två möjliga längder och bredder på uteplatsen.
b) Räkna ut omkretsen av uteplatsen med dina två förslag.
Exempel 6
Beräkna
Lösning:
Beräkna utan miniräknare.
Beräkna med miniräknare och avrunda till hundradelar.
Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna.
1060 De två kaninerna Lakrits och Vanilj ska få en ny bur. Buren ska ha en rektangulär botten där den ena sidan är dubbelt så lång som den andra. Arean av bottenytan ska vara 1 m2.
Vilka mått ska buren ha?
1.3 Stora och små tal i grundpotensform
Gruppuppgift
Sant eller falskt? Tre påståenden är sanna och tre är falska. Kan ni säga vilka?
A) 0,5 · 103 = 5 · 102 B) 5 · 10−2 = 0,005 C) 5 · 10−2 = 0,05
D) 5 · 102 = 0,05 E) 5 · 10−3 = 0,005 F) 0,05 · 100 = 1
Till sin absoluta fördel kommer tiopotenser då det gäller stora eller små tal. Hanteringen av talen blir mycket lättare om vi uttrycker dem som tiopotenser. Ett tal som är mindre än 1 har negativ exponent.
Decimalform Grundpotensform
0,3 = 3 · 0,1 3 · 10−1
0,05 = 5 · 0,01 5 · 10−2
0,0036 = 3,6 · 0,001 3,6 · 10−3
Till grundpotensform
Räkna stegen som värdesiffran (6:an) ska flyttas till vänster så att du får ett heltal. Antalet flyttade steg blir tiopotensens exponent.
Till decimalform
Sätt ut ett decimaltecken efter första faktorn. Skriv så många nollor efter decimaltecknet som exponenten visar. Värdesiffran ska flyttas till höger så många steg som exponenten visar.
6:an flyttas två steg åt vänster ⇒ exponenten −2.
Exponenten −2 ⇒ 6:an flyttas två steg åt höger. –2 0, 0 6 = 6 · 1 0 –2 6, 0 0 · 1 0 = 0, 0 6
Exempel 7
Skriv i grundpotensform.
a) 0,01 b) 0,001 c) 0,4
Lösning:
a) 0,01 = 1 · 10−2
b) 0,001 = 1 · 10−3
c) 0,4 = 4 · 10−1
Exempel 8
Skriv som tal i decimalform.
a) 2 · 10−1 b) 4 · 10−2 c) 8 · 10−3
Lösning:
a) 2 · 10−1 = 2 · 0,1 = 0,2
b) 4 · 10−2 = 4 · 0,01 = 0,04
c) 8 · 10−3 = 8 · 0,001 = 0,008
Skriv utan tiopotens.
1061 a) 103 b) 102 c) 104
1062 a) 1 · 10−2 b) 1 · 10−1 c) 1 · 10−3
Skriv i grundpotensform.
1063 a) 0,2 b) 0,03 c) 0,004
1064 a) 0,005 b) 0,02 c) 0,007
Skriv utan tiopotens.
1065 a) 6 · 10−1 b) 3 · 10−2 c) 9 · 10−1
1066 a) 3 · 10−1 b) 5 · 10−1 c) 6 · 10−4
1067 Vilket tal är x? a) 0,3 = 3 · 10 x b) 0,05 = 5 · 10 x c) 0,002 = 2 · 10 x
1068 Vilket tal är x? a) x = 9 · 10−1
b) x = 2 · 10−1
c) x = 7 · 10−3
1069 En blodkropps diameter är ungefär 0,000007 m. Skriv längden i grundpotensform.
1070 En tandtablett innehåller 0,0005 g fluor. Skriv vikten i grundpotensform. Nivå 2
Räkneregler för potenser
Multiplikation: am · an = aa + m
Division: a m a n = a m − n
När man multiplicerar och dividerar potenser där exponenterna är negativa gäller samma potensräkneregler som när exponenterna är positiva.
Multiplikation
Exempel 9
Vilket tal är x?
Beräkna
1073 Vilket tal är x?
1074 Skriv i grundpotensform.
a) 0,061
1075 Para ihop rätt alternativ.
A) 7,1 · 105
B) 7,1 · 10−6
C) 7,1 · 106
D) 7,1 · 107
E) 7,1 · 10−5
F) 7,1 · 10−7
Skriv utan tiopotens.
1076 a) 4,6 · 10−1
1077 a) 7,52 · 10−1
b) 0,0021
1) 0,000071
2) 0,0000071
3) 71 000 000
4) 710 000
5) 0,00000071
6) 7 100 000
c) 0,000042
b) 8,1 · 10−2
b) 3,25 · 10−3
1078 Sätt ut rätt tecken >, < eller =.
a) 0,000456 4,56 · 10−5
b) 8,53 · 10−6 0,00000853
c) 0,007889 7,889 · 10−2
c) 1,1 · 10−4
c) 8,45 · 10−5
1079 Ange ett tal som är större än 3,5 · 10−2 men mindre än 3,5 · 10−1
1080 Enheten för atommassa anges i atommassenheten u. 1u ≈ 0,000000000000000000000000001660539 kg
Det motsvarar ungefär massan hos en proton eller neutron. Skriv protonens massa i grundpotensform. Avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.
Exempel 10
Beräkna 10 3 10 −6 10 −9 10 5
Lösning:
3 · 10 −6
−9 · 10 5 =
Beräkna
1081 a) 103 · 10−8
3,53 · 3,5−5
5−3 · 5−8 1082 a) 10 −5 10 8
1083 Vilket tal är x?
1084 Utgå från 10 x. Vad ska x ha för värde för att potensens värde ska bli mindre än
a) 0,000001 b) 0,000000001
1085 Beräkna värdet av uttrycket x4 + x3 − x2 om a) x = 2 b) x = 3 c) x = (−2)
1086 Beräkna i potensform. a) x−2 · x−3 b)
1087 Skriv i grundpotensform.
a) 0,00000012
1088 Skriv utan tiopotens.
a) 3,57 · 10−2
b) 0,02056
c) 13 tusendelar
b) 3,256 · 10−3 c) 5,41 · 10−4
1089 Utgå från talet 2,8 · 10−6. Svara i grundpotensform.
a) Vilket tal är 100 gånger större?
b) Vilket tal är 200 gånger mindre?
1090 Det fanns 10 553 341 invånare i Sverige juni 2024.
a) Skriv antalet invånare i grundpotensform. Avrunda till två decimaler.
b) De senaste åren har antalet invånare ökat med ungefär 27 000 personer per år. Vilket år kan man räkna med att avrunda antalet invånare till 1,08 · 107 om nuvarande befolkningsökning fortsätter?
1.4 Prefix
Gruppuppgift
Vad är det som saknas i tabellen?
Utan prefix och potens Med prefix I grundpotensform
6 000 m 6 km 6 · 103 m
0,03 m a) 3 · 10–2 m b) 6,7 km c)
0,75 m 7,5 dm d)
Prefix används till att beskriva stora eller små tal med bokstäver.
När man mäter längder används enheten meter. Ofta används dessutom ett prefix innan enheten för att få den att bättre passa till det man mäter.
Några välkända prefix är kilo, centi och milli men det finns många fler.
4 500 m skrivs i grundpotensform som 4,5 · 103 m.
Vi kan ersätta 103 med prefixet k = kilo.
4,5 · 103 m = 4,5 km
(T)
1 000 000 000 miljard giga (G)
1 000 000 miljon mega (M)
1 000 tusen kilo (k)
hundra hekto (h)
tio deka (da)
(d)
centi (c)
001
mikro (μ)
000 001 miljarddel nano (n)
000 000 001 biljondel piko (p)
Exempel 11
Byt enhet.
a) 35 cl = ml b) 3 ml = l c) 3,8 l = cl
Lösning:
a) 35 cl = 35 · 10 = 350 ml
b) 3 ml = 3 / 1 000 = 0,003 l
c) 3,8 l = 3,8 · 100 = 380 cl
multiplicera med 10 l dl cl ml
dividera med 10
1091 Hur många cm är a) 2 m b) 5 m c) 3,5 m
1092 Hur många dm är a) 4 m b) 4,7 m c) 0,5 m
Byt enhet.
1093 a) 3,5 l = ml
1094 a) 3 900 m = km
b) 1,5 l = cl c) 3,8 l = dl
b) 3,2 hg = g
c) 530 ml = cl
1095 a) 42 hg = kg b) 42 hg = g c) 0,62 l = dl
1096 Para ihop prefix med rätt förklaring.
A) deci 1) hundradel
B) milli 2) tiondel
C) hekto 3) tusendel
D) centi 4) hundra
1097 Para ihop prefix med rätt tiopotens.
A) deci 1) 10−1
B) milli 2) 102
C) hekto 3) 10−3
D) centi 4) 10−2
Skriv med lämpligt prefix.
1098 a) 100 b) 1 000 c) 1 000 000
1099 a) 0,1 b) 0,01 c) 0,001
1100 En dators minne mäts i B (Byte).
I affären säljs tre olika minnen.
Vilket är störst?
A) 8 kB
B) 8 GB
C) 8 MB
Exempel 12
a) Skriv 3 000 g med lämpligt prefix.
b) Ersätt prefixet med tiopotens i talet 7 mm.
Lösning:
a) 3 000 g = 3 · 103 g
103 ersätts med prefixet kilo (k)
3 000 g = 3 · 103 g = 3 kg
b) 7 mm = 7 · 10−3 m
1101 Vilka prefix är större än 103?
A) tera
C) giga
B) milli
D) hekto
1102 Vilka prefix är mindre än 10−1?
A) centi
C) nano
Ersätt prefixet med tiopotens.
B) milli
D) kilo
1103 a) 3 dl b) 2 cl c) 4 ml
1104 a) 7 hg b) 8 km c) 9,5 GB
Ersätt tiopotensen med ett prefix.
1105 a) 2 · 103 m b) 4 · 10−2 m c) 1,2 · 10−3 m
1106 a) 7,8 · 10−2 m
b) 3,5 · 102 g c) 9,2 · 10−1 m
1107 Sätt ut rätt tecken >, < eller =. a) 32 hg 3,2 kg
1108 Sätt ut rätt tecken >, < eller =.
a) 45 mm 4,5 dm
b) 6 200 m 6,2 km c) 12 cm 1,2 mm
1109 Para ihop prefix med rätt tiopotens.
A) giga
1) 10−6
B) mega 2) 10−9
C) mikro 3) 106
D) nano 4) 109
1110 En dator förbrukar cirka 100 W när den används. Om en dator används 10 timmar per dag under ett år, hur många kWh har datorn förbrukat?
Exempel 13
Varje år slänger vi i Sverige 35,7 miljoner ton avfall. Skriv mängden sopor i a) grundpotensform i enheten kg
b) med lämpligt prefix
Lösning:
a) 35,7 miljoner ton = 35,7 · 106 · 103 kg = 3,57 · 1010 kg
b) 3,57 · 1010 kg = 3,57 · 1010 · 103 g = 3,57 · 1013 g = 35,7 · 1012 g = 35,7 Tg
Ersätt tiopotensen med lämpligt prefix.
1111 a) 7 · 103 g
1112 a) 1,5 · 1012 W
b) 6,6 · 10−6 m c) 109 · 106 Hz
b) 580 · 10−9 m c) 1,34 · 109 Hz
Ersätt prefixet med lämplig tiopotens.
1113 a) 9,7 mm
1114 a) 89 kV
Skriv med lämpligt prefix.
1115 a) 8 500 000 kr
1116 a) 1,9 · 10−5 s
1117 Gör om enheten
a) 89 g till mg
b) 25 km
b) 62 mV
b) 4 750 W
b) 9,3 · 10−4 g
b) 20 GHz till MHz
c) 75 nm
c) 42 MV
c) 0,000002 s
c) 56 · 108 W
c) 16 TW till GW
1118 Vår galax, Vintergatan, roterar kring sitt eget centrum på 250 miljoner år. Skriv tiden i grundpotensform.
1119 En bakteries diameter är ungefär 200 nm. Ett virus är en hundradel så stor.
a) Skriv en bakteries diameter i grundpotensform.
b) Skriv ett virus diameter i grundpotensform.
1120 Skriv djuren i storleksordning som tal i grundpotensform. Börja med det största djuret.
A) Världens minsta ryggradsdjur (en fisk) 7,9 mm
B) Sveriges minsta däggdjur (dvärgnäbbmus) 48 000 μm
C) Världens minsta djur på land (parasit) 200 nm
D) Världens största djur (blåvalen) 0,03 km
1.5 Räkna med tal i grundpotensform
Gruppuppgift
Vilka påståenden stämmer? Motivera dina svar.
Påstående Ja Ibland Nej
a) Produkten av två potenser med samma bas kan beräknas enligt räknereglerna för potenser.
b) Division med en tiopotens där exponenten är mindre än noll ger en tiopotens med positiv exponent.
c) En potens med exponenten 0 är lika med summan av talets bas och exponenten.
d) En potens med exponenten 0 är lika med 1.
e) Multiplikation med en tiopotens där exponenten är mindre än noll ger en tiopotens med positiv exponent.
Potensräknereglerna kan även användas för tal i grundpotensform.
Multiplikation
Beräkna och svara i grundpotensform.
4 · 107 · 2 · 104 = 4 · 2 · 107 · 104 = 8 · 107 + 4 = 8 · 1011
Faktorerna före tiopotenserna multipliceras för sig och tiopotenserna multipliceras för sig.
Division
Beräkna och svara i grundpotensform.
4, 4 · 10 7 2, 2 10 4 = 4, 4 2, 2 · 10 7−4 = 2 · 10 3
Faktorerna före tiopotenserna divideras för sig och tiopotenserna divideras för sig.
Addition och subtraktion
Beräkna och svara i grundpotensform
4 · 105 + 2 · 104 − 3 · 103 = 400 000 + 20 000 – 3 000 = 417 000 = 4,17 · 105
Potensräknereglerna kan inte användas. Talen måste skrivas i utvecklad form innan beräkning.
Exempel 14
Vilket tal är x?
Beräkna
a) 103 · 103
a) 10 6 10 3
Beräkna och svara i grundpotensform. 1123 a) 2
Beräkna och svara i grundpotensform.
a)
1127 Vilket svar är rätt till uppgiften?
Beräkna och svara i grundpotensform. 8 10 5 4 · 10 3 A) 32 · 108 B) 2 · 108 C) 3,2 · 108 D) 2 · 102
Vilket tal är x?
1128 a) 4 · 10x · 2 · 102 = 8 · 108 b) x · 105 · 3 · 102 = 9 · 107 1129 a) 6 10 7 2 10 x = 3 · 10 4 b) 9 10 x 3 10 2 = 3 · 10 5
Nivå 2
1130 Ungefär hur många gånger mer vatten finns det i Vänern än i Vättern? Avrunda till heltal.
Sjö
Vänern
Volym (m3)
1,53 · 1011
Vättern 7,8 · 1010
Multiplikation med tiopotenser med negativ exponent
Beräkna och svara i grundpotensform
4,5 · 107 · 2 · 10−4 = 4,5 · 2 · 107 · 10−4 = 9,0 · 107 + (−4) = 9,0 · 107 − 4 = 9 · 103
Faktorerna före tiopotenserna multipliceras för sig och tiopotenserna multipliceras för sig.
Division med tiopotenser med negativ exponent
Beräkna och svara i grundpotensform
7, 5 · 10 5 2, 5 10 −4 = 7, 5 2, 5 · 10 5−(−4) = 3 · 10 5+4 = 3 · 10 9
Faktorerna före tiopotenserna divideras för sig och tiopotenserna divideras för sig.
Exempel 15
Beräkna a) 2,5 · 10−7 · 5 · 1010 b) 4, 2 10 2 8, 4 · 10 −6
Lösning: a) 2,5 · 10−7 · 5 · 1010 = 12,5 · 10−7+10 = 12,5 · 103 = 1,25 · 104 b) 4, 2 10 2 8, 4 · 10 −6 = 4, 2 8, 4 10 2+6 = 0, 5 10 8 = 5 10 7
Beräkna och svara i grundpotensform.
1131 a) 3 · 10−1 · 2 · 102 b) 2 · 1010 · 2 · 10−3
1132 a) 6 · 10−7 · 4 · 102 b) 2,5 · 10−3 · 4 · 10−5
1133 a) 2 10 3 8 10 −7 b) 1 10 4 5 10 −5 c) 1, 8 10 5 2 10 −4
1134 a) 2, 5 · 10 −5 5 10 3 b) 4, 9 · 10 2
Beräkna och svara i grundpotensform avrundat till en decimal.
1135 a) 2,5 · 109 · 4,2 · 104 b) 1,8 · 109 · 6,5 · 10−4
1136 a) 3 10 4 5, 1 10 −3 2 · 10 −3 · 1, 5 · 10 5 b) 4 10 4 4, 2 10 3 2, 4 · 10 −3 · 2, 4 · 10 −1
1137 En vattenmolekyl väger 3,0 · 10−26 kg. Hur många vattenmolekyler finns det i en liter vatten (1 kg)? Svara i grundpotensform och avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.
1138 Vilket tal är x?
a) 2,5 · 107 · 3 · 10 x = 7,5 · 104 b) 3,5 · 10x · 2 · 10−7 = 7 · 103
1139 Vilket tal är x?
a) 6 10 4 x = 3 · 10 8 b) x 3 10 −2 = 3, 0 · 10 10
1140 Mer än en miljon människor har åkt Vasaloppet sedan starten 1922. Loppet är 90 000 m långt.
a) Ungefär hur många km har deltagarna åkt sammanlagt i Vasaloppsspåren? Svara i grundpotensform.
b) Ett varv runt jorden är 40 000 km. Hur många varv runt jorden har deltagarna åkt sammanlagt?
Exempel 16
Ett år beräknar en husägare att producera 5 000 kWh el. Nästa år utökar han solcellerna och producerar 75 % mer. Hur mycket el produceras då? Svara i grundpotensform.
Lösning:
5 000 kWh = 5 000 · 103 Wh = 5 · 103 · 103 Wh = 5 · 106 Wh
Efter 1 år: 1,75 · 5 · 106 Wh = 8,75 · 106 Wh
Svar: Det produceras 8,75 · 106 Wh.
Beräkna och svara i grundpotensform. 1141 a) 9
a)
a)
1148 Beräkna och svara i grundpotensform avrundat till en decimal. 7,5 · 103 + 7,5 · 102 + 7,5 · 101 + 7,5 · 100
1149 Ett år stod vattenkraften för 65 000 GWh av den totala elproduktionen i Sverige. Andelen ökade med 21 % två år senare. Hur mycket el (Wh) producerades av vattenkraft då?
a) Svara i grundpotensform avrundat till en decimal.
b) Svara med lämpligt prefix.
1150 Ljusets hastighet är 300 000 km/s. Ett ljusår är den sträcka ljuset färdas på ett år. Hur många kilometer är ett ljusår? Svara i grundpotensform med en decimal.
1.6 Problemlösning
Gruppuppgift
Tänk som Einstein. Använd Einsteins formel och försök lösa uppgifterna.
1. Använd Einsteins formel E = mc2 och beräkna energiinnehållet i 1 kg uran.
m = massan i kg
c = 3 · 108 m/s (ljusets hastighet)
E = energin i J (joule)
Svara i grundpotensform.
2. Sveriges årsförbrukning av elenergi är 150 TWh.
Hur många kg uran motsvarar det, om allt uran kan användas som energi?
1 TWh = 1012 Wh
1 Wh = 3 600 J
Vid arbete med problemlösningsuppgifter är det bra att följa en arbetsordning.
Förslag på arbetsordning:
1. Läs uppgiften noga.
5. Hitta en metod.
2. Ta reda på vad som är frågan. 6. Lös uppgiften.
3. Gör ett antagande utifrån frågan.
4. Rita en skiss.
7. Skriv ett svar med rätt enhet.
Exempel 17
Sveriges 10 miljoner invånare dricker 76 miljoner kg kaffe per år. Hur mycket blir det per person?
Lösning:
76 miljoner kg = 76 · 106 kg
10 miljoner inv = 10 · 106 inv
Antal kg per person: 76 10 6 10 · 10 6 = 7, 6 · 10 6−6 = 7, 6 · 100 = 7,6 kg
Svar: 7,6 kg per person.
1151 Ett lok väger 9,5 · 107 g. Hur många kg väger loket?
1152 Hur många dm går det på 1 km? Svara i potensform och som ett tal.
1153 Skriv tvåtusen miljoner i grundpotensform.
1154 Ge två exempel på värden som x och y kan anta för att likheten nedan ska gälla.
10x · 10y = 106
1155 Ge två exempel på värden som x och y kan anta för att likheten nedan ska gälla.
10x 10y = 10 6
1156 Bea tränar inför ett maratonlopp. Hon springer en bana i skogen som är 5,3 km lång. Ett maratonlopp är ungefär 4,2 mil långt. Hur många hela varv måste hon springa på banan för att hon ska springa minst lika långt som ett maratonlopp? (1 mil = 10 km) ( Äp9Ma15)
1157 Hur stor är figurens omkrets?
m2
m2
1158 Hur stor är figurens omkrets? Avrunda till en decimal.
Nivå 2
1159 En by med 1 000 hushåll vann tillsammans 110 miljoner kr. Hur mycket fick varje hushåll?
1160 Till julen får alla 1,2 · 106 kommunanställda 2 000 kr i bonus. Hur mycket får de tillsammans?
Exempel 18
Elsa har gått 8 km en dag. Hennes steg är 7,0 · 10−1 m långa. Hennes pappa gick 1,0 · 104 steg på samma sträcka.
a) Hur många steg tog Elsa?
b) Hur mycket längre är pappans steg?
Lösning:
a) Sträckan till potensform: 8 km = 8 · 103 m
Antal steg: 8 10 3 7 10 −1 ≈ 1,1 · 104 st
Svar: Elsa tog 1,1 · 104 steg.
b) Steglängd: 8 10 3 1, 0 10 4 = 8 · 10−1 m
Skillnad i steglängd: 8 · 10−1 − 7 · 10−1 = 0,8 − 0,7 = 0,1 m = 1 dm
Svar: Pappan tar 1 dm längre steg.
1161 I varje påse paketeras det 25 g. Hur många påsar behövs för att paketera 3 kg?
1162 Ge två förslag på tal som är större än 5 · 10−2 men mindre än 5 · 10−1.
1163 I en apelsinodling skördades 3,5 · 109 apelsiner ett år och året efter blev det 3,5 · 1010 st. Hur många gånger större skörd blev det andra året?
Nivå 3
1164 En noshörning kan få mycket långa horn. Ett horn växer cirka 0,5 cm i månaden. Noshörningens horn kan bli 1,55 m. Ungefär hur lång tid tar det för ett horn att bli så långt? ( Äp9Ma13)
1165 Ge två förslag på x så att olikheten stämmer. √64 < x < √125
1166 Karin tar 6,0 · 10−1 m långa steg. Under en dag tar hon i genomsnitt 8,5 · 103 steg. Hur långt har hon gått på en vecka?
1167 En ångström (Å) är 10−10 m. Hur många ångström går det på 1 mm?
1168 Vad ska stå istället för A i tabellen?
1169 Du tar i genomsnitt ca 12 andetag per minut. Hur många andetag har du tagit efter 15 år? Svara i grundpotensform och avrunda till en decimal.
1170 Jordens avstånd till månen är ca 3,8 · 105 km. Jordens avstånd till solen är ca 1,5 · 109 km. Hur många gånger längre är det till solen? Svara i grundpotensform och avrunda till en decimal.
Exempel 19
Aluminiumfolie har en tjocklek på 15 μm. Hur många lager folie behöver du lägga på varandra för att få en tjocklek på 1 mm? Avrunda ditt svar till heltal.
Lösning:
Tjocklek: 1 mm = 1 · 10−3 m
Folie: 15 μm = 15 · 10−6 m
Antal lager: 1 10 −3 15 10 −6 ≈ 0,0667 · 10−3−(−6) = 0,0667 · 103 = 6,67 · 101 ≈ 67 st
Svar: Det krävs 67 lager folie.
1171 Avogadros tal säger att det finns ungefär 6,0 · 1023 atomer i en mol. Hur många atomer finns det i 200 mol av ett ämne?
1172 Av 10 miljoner svenskar sparar 32 % ca 3 000 kr/mån. Hur mycket har de sparat tillsammans under ett år? Svara i grundpotensform och avrunda till en decimal.
1173 Vi antar att det finns 5 miljoner löntagare i Sverige, och varje löntagare tjänar 478 000 kr per år i medellön. Hur många kronor ska betalas i skatt om skattesatsen är 30 %? Svara i grundpotensform avrundat till en decimal.
1174 Världens största däggdjur är blåvalen som väger cirka 1,8 · 105 kg och till världens minsta däggdjur räknas olika arter av näbbmöss som kan väga 2 · 10–3 kg. Hur många näbbmöss behövs för att de tillsammans ska väga lika mycket som en blåval?
1175 En kvadrat har sidan s och arean A. Vilket eller vilka av påståendena är korrekta?
A) s = A 2 B) s = √A C) s = 4A D) s = A
1176 Vad ska stå istället för A i tabellen?
1177 Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna. Ange ditt svar som en potens med basen a. a) √a 6 · √a 6
1178 På jorden lever ca 7,8 miljarder människor och i genomsnitt väger de 62 kg. Jordklotet väger 5,972 · 1024 kg. Hur många gånger mer väger jordklotet än alla människorna tillsammans? Svara i grundpotensform och avrunda till två decimaler.
1179 Plastfolie till höbalar har tjockleken 21 μm. Hur många lager kan du lägga ovanpå varandra för att få 1 cm? Avrunda till heltal.
1180 En röd blodkropp är 7 μm. En människa har ca 25 biljoner st. Hur långt blir det om de läggs bredvid varandra? Svara i km.
Diagnos 1A Nivå 1–2
A1 Beräkna i potensform.
a) 52 · 54
A2 Beräkna utan miniräknare.
a) √16
A3 Skriv i grundpotensform.
a) 0,01
A4 Skriv med lämpligt prefix.
a) 0,01
b) 5 5 5 3
b) √3 · √3
b) 3 000
b) 0,001
A5 Beräkna och svara i grundpotensform.
a) 3 · 102 · 3 · 102 b) 2 · 10 5 8 · 10 −5
c) 42 − 32
c) √27 √3
c) 380
c) 1 000
A6 Ljuset färdas med hastigheten 3 · 108 m/s. Hur många meter kommer en ljusstråle på 4 minuter? Svara i grundpotensform.
B1 Beräkna i potensform.
a) 4 5 4 2 4 2 4 5 · 4 2 b) 10 7 10 5 10 3 10 0 c) ( 3 2 ) 3 ( 3 2 ) 3
B2 Beräkna utan miniräknare.
a) √64 √16 √81 √9 b) √5 √5 √5 √5 c) 9 2 √9 · √9
B3 Skriv utan tiopotens.
a) 7,02 · 10 2 b) 9,056 · 102 c) 6,25 · 10 4
B4 Sätt ut rätt tecken >, < eller =.
a) 405 km 40,5 Mm
b) 6,2 mm 6 200 μm
c) 107 hg 1,07 kg
B5 Beräkna och svara i grundpotensform avrundat till en decimal.
a) 3,6 · 106 · 2,2 · 104 b)
B6 Bo tar 7,5 · 10−1 m långa steg. Under en dag tar han i genomsnitt 9,8 · 103 steg. Hur långt har han gått på en vecka? Avrunda till tiondels km.
Uppföljning Nivå 1
1181 Vilket tal är x?
a) 10x · 105 = 107
1182 Beräkna i potensform.
a) 10 5 10 2
1183 Beräkna
a) 32 + 42
b) 2x · 25 = 26
b) 5 10 5 8
b) 22 · 23
c) 83 · x6 = 89
c) 10 9 10 7
c) 42 − 32
1184 Beräkna med miniräknare och avrunda till en decimal.
a) √5
1185 Beräkna utan miniräknare.
a) √49
b) √12
c) √15
b) √64
1186 Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna.
a) √6 √6
1187 Skriv i grundpotensform.
a) 0,7
1188 Skriv utan tiopotens.
a) 6 · 10−2
1189 Vilket tal är x?
a) 0,08 = 8 · 10 x
1190 Byt enhet.
a) 4,5 dl = ml
1191 Byt enhet.
a) 4 030 m = km
b) √27 √3
b) 0,007
b) 8 · 10−3
c) √100
c) √2 √18
c) 0,0007
c) 6 · 10−4
b) 0,0007 = 7 · 10 x c) x = 2 · 10−3
b) 175 cl = l
b) 8,75 kg = hg
c) 4,8 l = cl
c) 509 ml = cl
1192 Ersätt tiopotensen i 9 · 10−3 g med lämpligt prefix. Vilket alternativ stämmer?
A) 9 kg
C) 9 μg
B) 9 dg
D) 9 mg
1193 Para ihop prefix med rätt tiopotens.
A) deci
B) milli
C) kilo
D) centi
1194 Beräkna
1) 10−2
2) 103
3) 10−3
4) 10−1
a) 104 · 105 b) 102 · 107 c) 106 · 106
1195 Beräkna a) 10 8 10 3
1196 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 2 · 101 · 4 · 106
4 · 107 · 1,5 · 102
1197 Vad ska stå istället för x?
a) 3 · 10x · 2 · 107 = 6 · 1011
b) 9 10 x 3 10 2 = 3 · 10 5
1198 Hanna har 103 kr. Hon ger bort alla pengarna till sina fyra barn. Hur mycket pengar får var och en?
1199 Skriv trehundra miljoner i grundpotensform.
1200 Hur stor är figurens omkrets?
Uppföljning Nivå 2
1201 Beräkna
a) 42 − 23
1202 Vilket tal är x?
a) 4x = 64
1203 Beräkna 46 om 45 = 1 024.
1204 Beräkna utan miniräknare.
a) √100 √4 √64 √16
1205 Beräkna
b) 72 − 52 c) 33 + 52
b) 3x + 20 = 28 c) 10x − 33 = 9 973
√6 3 √6
√7 √7 5
a) ( √66 ) 2 b) ( √2, 3 ) 2 c) ( √0, 1 ) 2
1206 Beräkna
a) √100 √49
b) √144 √121 √1
c) √10000 + √1 √3 √3
1207 Skriv i grundpotensform.
a) 0,043
1208 Skriv utan tiopotens.
a) 7,52 · 10 2
b) 0,0031 c) 0,00035
b) 3,25 · 10 3 c) 8,45 · 104
1209 Ange ett tal som är större än 4,7 · 10−3 men mindre än 4,7 · 10−2.
1210 Ersätt prefixet med tiopotens.
a) 6 mg
b) 7 cm c) 6,35 kg
1211 Vilka motsvarar prefixet mega (M)?
A) 0,001
C) 1 000 000
B) 106
D) 10 3
1212 Hur många mm går det på en km?
a) Svara i potensform.
b) Svara som ett tal.
1213 Det centrala nervsystemet består av cirka 1011 nervceller.
a) Skriv antalet utan tiopotens.
b) Vilket prefix vore lämpligt för att ange antalet?
Beräkna och svara i grundpotensform.
1214 a) 6,4 · 10−8 · 2 · 107 b) 1,5 · 10−3 · 2 · 10−8
1215 a) 5 10 −5 2, 5 10 6 b) 7, 5 · 10 2 2, 5 10 −6 c) 8,4 · 10 −6 2,1 10 8
1216 Vilket tal är x?
a) 2,5 · 109 · 3 · 10 x = 7,5 · 103 b) x 3 · 10 −6 = 3 10 10
1217 En ångström (Å) är 10−10 m. Hur många ångström går det på 1 cm?
1218 Ljuset färdas med hastigheten 3 · 108 m/s. Hur långt kommer en ljusstråle på en halv minut?
1219 Anta att det finns 2 miljoner bilar som går på bensin i Sverige, och att varje bil förbrukar 1 200 liter bensin varje år. Hur många liter förbrukas totalt på ett år?
1220 Varje år plockas ca 2,5 · 108 kg blåbär i de svenska skogarna. Det är bara 5 % av de blåbär som finns. Hur mycket blåbär finns det totalt? Svara i kg.
Uppföljning Nivå 3
1221 Beräkna i potensform.
a) 10 10 / 10 5 10 4 / 10 2
1222 Beräkna
a) 104 − 103 · 100
1223 Vad är x5 om x10 = 1 024?
b) 10 10 10 4 10 11 c) ( 10 3 ) 4 10 10 3
b) 52 + 52 · 51 − 52
1224 Beräkna med miniräknare och avrunda till hundradelar.
a) √215 b) 4 · √32
1225 Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna.
a) 2 √2 b) ( √3 3 ) 2 c) √ 8 3 √ 8 3 2
1226 Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna.
a)
1227 Skriv i grundpotensform.
a) 0,000025
1228 Skriv utan tiopotens.
a) 2,8 · 10−2
b) 1 025
b) 7,1 · 10−6
1229 Utgå från talet 1,3 · 106. Svara i grundpotensform.
a) Vilket tal är 1 000 gånger större?
b) Vilket tal är hälften så stort?
1230 Vilket tal ligger mitt emellan 3 · 10−4 och 3 · 10−5?
1231 Ersätt tiopotensen med lämpligt prefix.
a) 5 · 10−3 g
c) 0,008052
c) 5,41 · 105
b) 7,4 · 106 m c) 112 · 103 Hz
1232 Ersätt prefixet med lämplig tiopotens.
a) 89 mV
b) 62 kV c) 42 GV
1233 En människa består av 37 biljoner celler. Skriv antalet celler i grundpotensform.
1234 Beräkna och svara i grundpotensform.
a) 9, 5 · 10 14 4, 75 10 −3
b) 8, 1 · 10 −5 9, 0 10 −3 c) 4, 5 · 10 −4 3, 0 10 −5
1235 Beräkna och svara i grundpotensform med en decimal.
a) 7, 8 · 10 −4 3, 0 10 −8 b) 3, 6 · 10 −5 · 2, 5 · 10 −4 1, 5 10 −15
1236 Ett år stod vattenkraften för 27 500 GWh av den totala elproduktionen i Sverige. Andelen ökade med 25 % två år senare. Hur mycket el (Wh) producerades av vattenkraft då?
a) Svara i grundpotensform avrundat till en decimal.
b) Svara med lämpligt prefix.
1237 Energiförbrukningen i ett land är 45 TWh. Hur mycket blir det i genomsnitt per invånare om det finns 8,9 miljoner invånare i landet?
1238 I Spanien bor det 4,7 · 107 människor och i Sverige bor det 1,0 · 107 människor. Både Spanien och Sverige har ungefär 5 · 105 km2 stor yta. Hur många gånger fler bor det per km2 i Spanien jämfört med Sverige?
1239 Konsumentverket räknar med att en normal energiförbrukning för en mindre lägenhet är ca 2 000 kWh/år. Totalkostnaden för el per kWh är 220 öre/kWh för en liten lägenhet, som en etta eller en mindre tvåa.
a) Vad kostar elen i en liten lägenhet per år?
b) Hur många Wh är 2 000 kWh? Skriv i grundpotensform
1240 En människa nyser i genomsnitt 10 gånger per dygn. Vid varje tillfälle sprids små droppar i luften. En sådan droppe innehåller 0,1 ml vätska. Hur mycket nyser man ut under 10 år? Svara i enheten liter.
Utmaning
Gällande siffror
Ofta när man mäter olika saker är det inte möjligt att vara exakt. För att ta reda på noggrannheten hos ett tal används begreppet gällande siffror. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 är alltid gällande siffror i ett tal. Talet 0 är gällande siffra om den står mellan andra siffror eller efter andra siffror i decimaltal. I tal som slutar på 0 kan man inte vara säker. Talet 700 kan ha en, två eller tre gällande siffror. För att ange antalet gällande siffror anger man ofta talet i grundpotensform. T.ex. 7,00 · 102, talet sjuhundra skrivet med tre gällande siffror.
53 687 fem 5,3687 · 104
53 690 fyra 5,369 · 104
53 700 tre 5,37 · 104
54 000 två 5,4 · 104
0,0067 två 6,7 · 10−3
0,0607 tre 6,07 · 10−2
Minnesregel
Använd lika många gällande siffror i svaret som det minst noggrant angivna talet i uppgiften.
Exempel 20
Beräkna och svara med lämpligt antal gällande siffror.
a) 23 900 · 20
Lösning:
b) 35 320 · 3,00 · 102
a) 23 900 · 20 = 478 000 ≈ 500 000
Talet 20 har en gällande siffra.
b) 35 320 · 3,00 · 102 = 10 596 000 ≈ 10 600 000
Talet 3,00 · 102 har tre gällande siffror.
1241 Avrunda måttet till a) tre gällande siffror b) två gällande siffror
1242 Den minsta valören på mynt är 1 kr. Många priser är avrundade till närmast hela kronor. Vilket är det högsta respektive lägsta priset varorna nedan skulle kunna ha kostat?
a) 1 255 kr
b) 399 kr c) 1 000 kr
1243 Avrunda talen till tre gällande siffror. a) 4,239 b) 134,9 c) 0,039245
1244 Avrunda talen till en gällande siffra. a) 156 b) 999 c) 3333
1245 Hur många gällande siffror har talen? a) 2,5 · 103 b) 2,50 · 103 c) 2,50 · 10−3
I följande beräkningar är de ingående talen närmevärden. Beräkna och svara med lämpligt antal gällande siffror.
1246 a) 3 609 7, 6 b) 3,9 · 9 785 c) 656,7 · 185
1247 a) 8,4 · 105 · 6 · 103 b) 1,4 · 105 · 6,5 · 103
1248 a) 8, 4 · 10 5 3, 45 · 10 3 b) 4, 00 · 10 3 1, 52 · 10 2
1249 Sveriges statsskuld var ett år 1 293 miljarder kronor. Hur stor var statsskulden per person om Sveriges befolkning vid tillfället var 9 644 864 invånare?
Avstånd i solsystemet
Planet Avstånd till solen (AE) Avstånd till solen (1 000 000 km)
0,39
1250 En Astronomisk enhet (1 AE) motsvarar medelavståndet mellan jorden (Tellus) och solen.
a) Hur många AE är det mellan Merkurius och solen?
b) Hur många AE är det mellan Neptunus och Jupiter?
c) Hur många m är 1 AE? Svara i grundpotensform.
1251 Hur många gånger större omloppsbana har Neptunus (den yttersta planeten) jämfört med Tellus?
1252 Hur stor är skillnaden mellan det minsta möjliga avståndet och det största avståndet mellan de två yttersta planeterna i vårt solsystem?
Svara i antal AE.
1253 En rymdexpedition är planerad till Sirius (den ljusstarkaste stjärnan sett från jorden). Dit är det 8,6 ljusår.
a) Hur långt är det uttryckt i km om ljusets hastighet är 300 000 km/s?
b) Med vilken hastighet skulle du behöva färdas för att nå Sirius på 6 år? Svara i enheten km/s.
c) Ljudets hastighet i luft är 340 m/s. Hur många gånger snabbare än ljudet skulle du behöva färdas?
Coacha Lo
En niondeklass någonstans i Sverige har haft sitt första matteprov.
En av eleverna, Lo, har förstått en hel del, men några saker har hen missat.
Uppgift
1. Rätta provet.
2. Fundera på hur Lo tänkt när hen räknat uppgifterna.
a) Lyft fram minst två saker som Lo är bra på.
b) Föreslå vad Lo behöver träna på.
3. Gör nya provuppgifter där Lo kan visa vad hen lärt sig.
Prov åk 9
1) Beräkna i potensform
52 · 102
2) Beräkna i potensform
2 5 2 2
3) Använd reglerna för kvadratrötter för att beräkna.
√9 √9
4) Skriv i grundpotensform 0,03
5) Ange ett tal som är större än 3,5 · 10−4 men mindre än 3,5 · 10−3.
6) Ersätt prefixet med tiopotens.
3 ml
7) Byt enhet
7,84 hg = ___ g
8) En tipsklubb med 10 000 medlemmar vann tillsammans 200 miljoner kr. Hur mycket fick varje medlem?
Los svar
1) 5 · 10 2 + 2 = 50 4
Svar: 50 4
2) 2 5 2 2 = 2 5−2 = 2 3
Svar: 2 3
3) √ 9 · √ 9 = √9 · 9 = √ 81 = 9
Svar: 9
4) 0,03 = 3 · 10 –3
Svar: 3 · 10 –3
5) 3,5 · 10 –5
Svar: 3,5 · 10 –5
6) 3 ml = 3 · 0,001 = 0,003 l
Svar: 0,003 l
7) 7,84 hg = 78,4 g
Svar: 78,4 g
8) 10 000 = 1 · 10 4 200 milj = 2 · 10 8 2 · 10 8 1 10 4 = 2 1 · 0 8−4 = = 2 · 10 4 = 2 000
Svar: 2 000 kr per medlem.
Tillämpad matematik
En liten insats gör stor skillnad!
En av de störst bidragande orsakerna till att planeten mår dåligt är att vi slösar med jordens resurser. Den resurs som vi lätt skulle kunna minska förbrukningen av är energi. För att få alla våra elektriska apparater att fungera krävs elektricitet. Minskar vi användandet av elektriska apparater - minskar också behovet av el.
Hur snabbt en apparat gör av med energi kallas effekt och mäts i enheten watt (W). En apparat som har effekten 600 W gör av med mer energi än en som förbrukar 30 W.
El är inte gratis. Förutom att vi sparar miljön sparar vi också pengar när vi gör av med mindre el. Elpriset kan variera mellan olika elbolag och man betalar en viss kostnad per förbrukad kilowattimme (kWh).
Elbolaget Rörligt elpris Totalpris för elhandel 82 öre/kWh
Exempel
Hur mycket skulle vi i Sverige spara per år på att inte torka håret med hårtork?
Så här mycket skulle familjen Johansson spara per år.
Antal: 3 personer
Torktid 5 min/ dag ⇒ 3 · 5 · 365 min/år = 5 475 min/år ⇒
5 475/60 h/år ≈ 91 h/år
Hårtorkens effekt: 1 000 W
Energiförbrukning per år: 1 000 · 91 = 91 000 Wh ⇒
91 kWh (1 000 Wh = 1 kWh)
Kostnad per kWh: 0,82 kr (hos Elbolaget ovan)
Total kostnad: 91 · 0,82 kr = 74,62 kr ≈ 75 kr
Familjen Johansson sparar 75 kr per år om de inte använder hårtork.
Det finns ungefär 10 miljoner människor i Sverige. Vi tänker oss att en fjärdedel av befolkningen i Sverige använder hårtork lika mycket som familjen Johansson.
10 4 miljoner människor = 2,5 miljoner människor
Var och en av dessa sparar el för 75 3 kr = 25 kr.
Tillsammans kan de spara el för: 2 500 000 · 25 kr = 62 500 000 kr (62,5 miljoner kr).
Uppgift
Nu är det din tur. Här nedan följer ett antal exempel på undersökningar.
Låt endast fantasin sätta gränser. Hitta på egna kreativa spartips och gör redovisningar som kan påverka din klass eller skola.
• S å här mycket sparar du på att stänga av en apparat med strömbrytaren istället för med fjärrkontrollen per år.
• S å här mycket sparar du per år på att inte glömma laddaren i uttaget.
• S å här mycket extra kostar det att titta på tv med surround-systemet i gång.
• Om du borstar tänderna utan eltandborste sparar du så här mycket.
• Om vi inte hade slarvat med att släcka lamporna i skolan hade vi sparat så här mycket.
• S å mycket skulle skolan tjäna på att installera rörelsesensorer som strömbrytare.
• Vad skulle vi tjäna på att byta ut alla lampor till LED-lampor?
Apparat
Effekt
W Användning
Tvättmaskin 1 250 1 h/dygn
Frys 120 -
Kyl 100 -
Spisplatta 1 500 40 min/dygn
Ugn 1 500 2 h/vecka
TV, användning 140 3 h/dygn
TV, standby 10 21 h/dygn
Dator med skärm, användning 125 1 h/dygn
Dator med skärm, standby 15 23 h/dygn
Strykjärn 1 000 1 h/vecka
Dammsugare 1 000 1 h/vecka
Hårtork 1 000 1 h/vecka
Källa: Energi- och klimatrådgivningen
Potens
Bas
Exponent
Tiopotens
Kvadratrot
Exakt form
Tal i grundpotensform
Prefix
Gällande siffror
Uttryck av formen bx. Talet läses ”b upphöjt till x”.
T.ex. talet 16 kan även skrivas i potensform som 42 dvs. 4 · 4.
Det tal i en potens som upphöjs till något, t.ex. 53 där 5 är basen.
Det tal i en potens som basen upphöjs till, t.ex. 53 där 3 är exponenten. Exponenten anger det antal gånger basen ska multipliceras med sig själv.
Tal i potensform med basen 10, t.ex. 103
Talet som multiplicerat med sig själv är lika med talet som roten tas ur, t.ex. √25 = 5 (“roten ur 25 är lika med fem”)
Tal som inte har avrundats, t.ex. √2 eller π.
Tal i tiopotensform där faktorn framför tiopotensen är mellan 1 och 10, t.ex. 9,78 · 103.
En förstavelse som har ett särskilt värde. Prefix används för att skriva stora och små tal, t.ex. k som står för kilo och betyder tusen.
Talar om hur noggrant ett tal är skrivet, t.ex. 3 har en gällande siffra och 3,0 har två gällande siffror.
Exempel
Räkna med potenser
a) 34 + 24
b) 34 − 24
c) 33 · 35
d) 3 7 3 5
Kvadratrötter
a) √36 · √9
b) √100 √4
Skriva tal i grundpotensform
Skriv i grundpotensform.
a) 450 000
b) 0,058
Skriv utan potens.
c) 8,6 · 104
d) 7,2 · 10−4
Prefix
Skriv med lämpligt prefix.
a) 105,2 · 106 Hz
b) 6,6 · 10−9 m
Skriv i grundpotensform.
c) 16 GHz
d) 45 μm
Räkna med tiopotenser
Beräkna och svara i grundpotensform.
a) 8 · 104 · 6 · 102
b) 4· 10 7 2· 10 4
Problemlösning
Lösningsförslag
a) 34 + 24 = 81 + 16 = 97
b) 34 − 24 = 81 − 16 = 65
Enligt reglerna för potensräkning:
c) 33 · 35 = 33 + 5 = 38 d) 3 7 3 4 = 3 7−4 = 3 3
a) √36 · √9 = 6 · 3 = 18
b) √100 √4 = 10 2 = 5
a) 450 000 = 4,5 · 105
b) 0,058 = 5,8 · 10−2
c) 8,6 · 104 = 86 000
d) 7,2 · 10−4 = 0,00072
a) 105,2 · 106 Hz = 105,2 MHz
b) 6,6 · 10−9 m = 6,6 nm
c) 16 GHz = 16 · 109 = 1,6 · 1010 Hz
d) 45 μm = 45 · 10−6 = 4,5 · 10−5 m
a) 8 · 6 · 104 · 102 = 48 · 104+2 = = 48 · 106 = 4,8 · 107 b) 4 · 10 7 2 10 4 = 4 2 · 10 7−4 = 2 · 10 3
Ett företag delar ut en bonus på totalt 10 miljoner kr till sina 500 anställda. Hur mycket får varje anställd i genomsnitt? 1 10 7 5 10 2 = 0, 2 · 10 5 = 2 · 10 4 kr
Matematik på rätt nivå!
Modul är ett läromedel i matematik för årskurs 7–9. Tydliga genomgångar och exempel, både som text och filmer via QR-koder, hjälper eleverna att förstå. Med ett rikligt antal uppgifter på tre nivåer får alla elever förutsättningar att lyckas med matematiken.
Modul Matematik finns även som Basbok på grundläggande nivå, där eleven skriver direkt i boken.
Modul Matematik innehåller:
• rikligt med uppgifter på tre nivåer
• QR-koder i kapitlens samtliga avsnitt till teori- och exempelfilmer
• t ydliga teorigenomgångar
• stödjande exempel med lösningar på respektive nivå
• gruppuppgifter till samtliga avsnitt
• diagnos och uppföljningsuppgifter
• utmaningsuppgifter
• större uppgifter av mer öppen och undersökande karaktär
