9789147126170

Bokens pedagogiska idé skiljer sig markant från liknande böcker. Återkommande inslag är tydligt formulerade problem som fångar det och de metoder som behandlas, dels att stimulera till aktivt lärande.

Boken innehåller genomarbetade och lättillgängliga teoriavsnitt – som börjar med grundläggande vektoralgebra och slutar med kartesiska tensorer och en härledning av vektoranalysens huvudsats. Dessutom ingår ett stort antal konkreta exempel och många tillämpningar. Sist i varje kapitel finns en sammanfattning av den viktigaste teorin och övningsuppgifter med svar. Ledningar och fullständiga lösningar finns på Libers webbplats.

Vektoranalys

centrala i vektoranalysen. Syftet är dels att väcka intresse för den teori

JAN SCHEFFEL

behandlar ämnet mer utförligt.

SCHEFFEL

vändas för såväl grundläggande som avancerade kurser på högskolenivå,

LORENZO FRASSINETTI

FRASSINETTI

Läroböcker i vektoranalys är ofta kortfattade. Denna bok, som kan an-

JAN SCHEFFEL är professor i teoretisk fusionsplasmafysik vid KTH i Stockholm.

Han har lång erfarenhet av undervisning och pedagogisk utveckling. År 2014 tilldelades han KTH:s pedagogiska pris.

LORENZO FRASSINETTI är lektor i experimentell fusionsplasmafysik vid KTH och har mångårig erfarenhet av undervisning i vektoranalys på programmen Elektroteknik och Civilingenjör och lärare. År 2014 tilldelades han priset Årets lärare.

VEKTORANALYS Best.nr 47-12617-0 Tryck.nr 47-12617-0

9789147126170c1c.indd All Pages

17/04/19 2:45 PM

ISBN 978-91-47-12617-0 © 2019 Författarna och Liber AB Omslag och formgivning: Nette Lövgren Produktionsledare: Jürgen Borchert Illustrationer: Lorenzo Frassinetti Foton: Shutterstock Första upplagan 1 Sättning och repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: People Printing, Kina, 2019

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

Förord till studenten Det här är en annorlunda bok i vektoranalys. Tanken är att du som student hela tiden ska vara motiverad och ha klart för dig vad som händer när du fortsätter att läsa. Vi vill också att du ska känna dig inspirerad att lösa uppgifter. Vi som skriver denna bok har mångårig erfarenhet av undervisning i vektoranalys på KTH och vi har funnit att vektoranalys lär man sig bäst genom kontinuerligt arbete. I vår kurs får studenterna hemuppgifter varje vecka och bonuspoäng för inlämnade lösningar. Den här boken stödjer just ett kontinuerligt lärande, men kursuppläggen kan naturligtvis variera på olika lärosäten.

Varför ska man då läsa vektoranalys? Jo, världen vi lever i är tredimensionell och storheter som vindhastighet, vätskeflöde, elektriskt fält och magnetfält kan variera i olika riktningar. Vektorer är alltså lämpliga för att beskriva dem. Dessutom varierar som regel de här storheterna i både rummet och tiden. Vill vi exempelvis beskriva vindens kraft mot seglet på en segelbåt behöver vi en matematisk modell där variationer enkelt kan beskrivas. Vektoranalysen är just en sådan matematisk modell. Den generaliserar vektoralgebran genom att koppla till matematisk analys i en och flera variabler.

Du kommer att se att ganska komplicerade samband som innehåller skalärer (tal) och vektorer kan skrivas på ett kompakt och ofta vackert sätt med vektoranalys. Före förra sekelskiftet, då vektoranalysen såg dagens ljus, tvingades ingenjörer och forskare att hantera onödigt krångliga matematiska modeller. Boken kommer att hjälpa dig använda ett antal formler och lösningstekniker. När du sedan läser vidare som exempelvis ingenjör eller fysiker kommer du att upptäcka att vektoranalys är nödvändigt inom generella områden som mekanik, elektromagnetism och strömningsmekanik, men också inom mer specialiserade områden som plasmafysik och relativitetsteori.

Hur är då boken upplagd? Jo, du kommer att hitta en inledning och 18 kapitel.

Tanken är att din lärare ska kunna bygga en kurs utifrån dessa. Du ser också att kapitlen är samlade i större delar. På så vis kan du lättare se helheten i kursen. Varje kapitel inleds med en kort text om vad som ska komma och varför. För att motivera de nya begrepp som införs inleder vi varje kapitel med ett så kallat målproblem.

Tanken är att du ska tycka att problemet är intressant och vilja lösa det. För att kunna lösa det behöver du nya verktyg, som introduceras i texten som följer. När du läser vidare ser du att texten är färgmarkerad i tre nivåer. Färgmärkningen är till för att du lättare ska se vad som är viktigast. Den vanligaste färgen är svart och står för sådant som du bör kunna teoretiskt och använda praktiskt, men som du inte behöver kunna härleda. På brun nivå finns samband som är så avgörande att du ska kunna härleda dem. På grön nivå hittar du material som du endast behöver känna till.

3

Du kommer också att hitta sammanfattningar efter varje kapitel. Gå gärna tillbaka till inledningen då och då. Där får du en helhetsbild av vektoranalysen och bokens innehåll. Sist i varje kapitel hittar du räkneövningar. Svaren till dessa finns i slutet av varje del av boken, medan lösningstips och fullständiga lösningar återfinns på bokens webbplats på liber.se. Ha roligt med vektoranalys och lycka till med arbetet inom detta vackra område!

Förord till läraren Denna lärobok i vektoranalys har ett annorlunda upplägg. Som lärare och kursdesigner kan du emellertid använda den på samma sätt som en mer traditionell kursbok. Texten, som är fördelad på 18 kapitel för att underlätta kursbyggandet, motsvarar minst den teori som normalt ingår i kurser i vektoranalys.

Vad är det då som är nytt med boken? För det första inleds varje kapitel med en kort text som beskriver vad som följer och varför. Huvudtanken bakom detta är att motivera studenten inför varje nytt moment i kursen. För att konkretisera introducerar vi därefter ett målproblem. Detta är ett förhoppningsvis intressant problem som studenten ännu inte kan lösa – nya verktyg behövs. Lösningen till målproblemet presenteras i slutet av kapitlet.

För det andra är kapiteltexterna nivåindelade. Färgmärkningen av dessa är en kunskapstaxonomi och finns där för att studenterna ska veta vad de ska fokusera på. På ”normalnivån” (svart) återfinns den teori som studenten bör kunna utan att behöva härleda alla samband. På den högre nivån (brun) återfinns de samband som ska kunna härledas och på den lägre nivån (grön) finns material som studenten endast behöver känna till. Huvuddelen av texten har svart färgmarkering.

Inget hindrar naturligtvis att läraren på vissa ställen gör omprioriteringar av den föreslagna kunskapsnivån.

För det tredje är kapitlen samlade i större delar. Det ger studenten en bättre överblick över vektoranalysens delområden. I slutet av varje kapitel har vi också samlat de viktigaste begreppen och sambanden i en sammanfattning. Här återfinns även räkneövningar. Svar till dessa finns i slutet av varje del. Lösningstips och fullständiga lösningar återfinns på bokens webbplats på liber.se.

För det färde är boken relativt omfattande. Den kan därför användas för såväl grundläggande som mer avancerade kurser. Den inleds exempelvis med ett ofta välbehövligt avsnitt om vektoralgebra och innehåller även ett bevis för vektoranalysens fundamentalsats.

Inledningsvis sammanfattas boken ur ett helikopterperspektiv. Studenten kan med fördel gå tillbaka till inledningen då och då för att få en helhetsbild av vektoranalysen.

4

Vi som skriver denna bok har mångårig erfarenhet av undervisning i vektoranalys på flera program på KTH. Vår erfarenhet är att studenterna med fördel bör inspireras till att arbeta från dag ett i kursen – det är svårt att på kort tid lära sig vektoranalys inför ett avgörande slutprov. Därför använder vi löpande examination. Varje vecka lämnar studenterna in hemuppgifter. Dessutom löser de problem individuellt och i små grupper i samband med lärarledda räknestugor. Studenterna samlar på så sätt examinationspoäng och kan nå godkänt i kursen utan att tentera.

De kan sedan tentera för att nå ett högre betyg. Den som eventuellt inte vill delta i den löpande examinationen kan naturligtvis välja att endast gå upp på tentamen.

Vi har lyckats att, med bibehållet lärande, kraftigt öka examinationen i kursen med detta upplägg. Forskning visar att ”time-on-task” är centralt för lärandet, vilket just löpande examination är avsett att stödja. Detta säger vi som inspiration för kursdesign, men det finns naturligtvis andra mycket goda alternativ som man kan tänkas föredra som kursansvarig lärare.

5

INNEHÅLL

INLEDNING

11

DEL 1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

17

1

19

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2 2.1 2.2 2.3 2.4

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Vektoralgebra Vektorer Addition och subtraktion av vektorer Basvektorer i ett kartesiskt koordinatsystem Skalärprodukt och vektorprodukt Sammanfattning Räkneövningar

20 22 23 24 29 29

Skalära och vektorvärda funktioner

34

Skalära funktioner Vektorvärda funktioner Sammanfattning Räkneövningar

Introduktion till cylindriska och sfäriska koordinatsystem Cylindriska koordinatsystem Sfäriska koordinatsystem Skalärprodukt och vektorprodukt i cylindriska och sfäriska koordinatsystem Integration av uttryck som innehåller basvektorer Sammanfattning Räkneövningar

SVAR TILL RÄKNEÖVNINGAR

36 36 39 40

42 43 48 51 55 60 61 66

DEL 2 SKALÄRFÄLTETS VARIATION

69

4

71

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

5 5.1 5.2

Gradienten Skalärfält och vektorfält Ortsvektorn och dess differential Gradienten och riktningsderivatan Gradientens egenskaper Sammanfattning Räkneövningar

Skalära potentialen Definition av skalär potential Beräkning av skalära potentialen för ett vektorfält

72 74 75 75 80 81

83 84 85

7

5.3 5.4

Sammanfattning Räkneövningar

87 88

SVAR TILL RÄKNEÖVNINGAR

89

DEL 3 VEKTORFÄLTETS VARIATION

91

6

93

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

7

Linjeintegraler Linjeintegraler – grunderna Parametrisering av kurvor Beräkning av linjeintegralen Linjeintegralers egenskaper Andra varianter av linjeintegraler Sammanfattning Räkneövningar

Ytintegraler

94 95 97 99 102 107 108

112

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Flöden – grunderna Parametrisering av ytor Beräkning av flödesintegraler Andra varianter av ytintegraler Sammanfattning Räkneövningar

113 114 116 119 124 124

8

Divergensen och Gauss sats

129

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Flöde genom en sluten yta Divergensen Gauss sats Fysikalisk tolkning av divergensen Sammanfattning Räkneövningar

Rotationen och Stokes sats Rotationen och dess betydelse Stokes sats Greens formel i planet Konservativa fält, skalära potentialer och rotationsfria fält Fältet från en spole och vektorpotentialen Sammanfattning Räkneövningar

131 132 132 136 141 141

145 146 149 156 157 159 163 164

SVAR TILL RÄKNEÖVNINGAR

169

DEL 4 REFERENSRAMAR

173

10 Koordinatsystem

175

10.1 10.2

8

Kroklinjiga koordinatsystem Kovarianta basvektorer

176 177

10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11

Kontravarianta basvektorer Ortonormerade koordinatsystem Infinitesimala element Integration Gradienten, divergensen och rotationen Cylindriska koordinatsystem – nytt perspektiv Sfäriska koordinatsystem - nytt perspektiv Sammanfattning Räkneövningar

178 179 180 182 184 189 194 200 203

SVAR TILL RÄKNEÖVNINGAR

208

DEL 5 MATEMATISK STENOGRAFI – nablaräkning, indexräkning och tensorer

211

11 Nablaräkning 11.1 11.2 11.3 11.4 11.4 11.5

Operatorer Nablaoperatorn Nablaräkning Exempel på nablaräkning Sammanfattning Räkneövningar

12 Indexräkning 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Nablaräkning har begränsningar Indexräkning: ett alternativ till nablaräkning Permutationssymbolen och Kroneckers delta Gradienten, divergensen och rotationen Några exempel på indexräkning Sammanfattning Räkneövningar

13 Tensorer 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Tensorer och byte av koordinatsystem Kartesiska tensorer Kovarianta och kontravarianta tensorer Om allmäna tensorer Sammanfattning

SVAR TILL RÄKNEÖVNINGAR

213 216 217 219 221 223 225

230 231 232 233 234 235 238 239

241 244 246 249 252 253 255

DEL 6 VEKTORANALYS DE LUXE – viktiga vektorfält, integralsatser, Poissons ekvation och vektoranalysens huvudsats

257

14 Laplaceoperatorn

259

14.1 14.2

Laplaceoperatorn verkande på skalärfält Laplaceoperatorn verkande på vektorfält

260 263

9

14.3 14.4

Sammanfattning Räkneövningar

265 266

15 Integralsatser

269

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

Universalintegralsatserna Gauss generaliserade sats Stokes generaliserade sats Partialintegration i vektoranalysen Sammanfattning Räkneövningar

16 Viktiga vektorfält 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5

Punktkällan Dipolen Linjekällan Sammanfattning Räkneövningar

17 Laplaces och Poissons ekvationer 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7

Laplaces och Poissons ekvationer Symmetriska lösningar till Laplaces ekvation Randvillkor Lösning av Poissons ekvation Vektoranalysens huvudsats Sammanfattning Räkneövningar

SVAR TILL RÄKNEÖVNINGAR

270 271 273 275 277 278

280 282 286 289 292 293

296 297 298 299 304 311 322 324 327

DEL 7 AVSLUTNING

329

18 Användning av vektoranalys

331

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5

Kontinuitetsekvationen Värmeledning Hållfasthetslära Strömningsmekanik Maxwells ekvationer i relativitetsteorin

331 333 334 336 337

Litteratur

341

Register

342

På bokens webbplats på liber.se: • Appendix • Ledtrådar och fullständiga lösningar till räkneövningarna

10

INLEDNING

Vektoranalysen har utvecklats till ett elegant sätt att formulera matematiken för hur skalärer och vektorer kan variera i rummet. Redan i slutet av 1800-talet identifierades ett behov av ett mer kompakt och informativt sätt att formulera flervariabelsambanden för skalärfält och vektorfält. Huvuddelen av vektoranalysen, inklusive tensormetoder, utvecklades därefter inom några årtionden. I dag är vektoranalys ett viktigt verktyg för alla som studerar områden som grundläggande fysik, mekanik, hållfasthetslära, strömningsmekanik, elektromagnetism och elektrofysik. Hit hör naturvetare och ingenjörer inom fysik, elteknik och farkostteknik. Specialiserar man sig inom exempelvis teoretisk fysik är vektoranalys och tensorer dessutom omistliga verktyg.

Bokens målproblem, de exempel som ges, tillämpningarna i Kapitel 18 och det Appendix som återfinns på Libers webbplats för boken illustrerar de många användningsområdena för vektoranalys. Utifrån vektoralgebran och teorin för analys i en och flera variabler presenterar vi den bakomliggande teorin och härleder de viktigaste sambanden. Gauss sats är ett vackert exempel: i förstone kan det kanske förvåna att ett vektorfälts egenskaper i en volym kan uttryckas i dess beteende på volymens yta, men när vi går in i bevisets detaljer ser vi att det finns enkla, grundläggande förklaringar.

Denna introduktion är avsedd att ge ett helikopterperspektiv på den röda tråd som förbinder vektoranalysens satser och tillämpningar. Snarare än att upprepa de formler som ges i sammanfattningarna till varje kapitel, vill vi föra fram ett förhållningssätt till vektoranalysen som praktiskt verktyg för fortsatta studier.

Kapitel 1–3: Grundläggande begrepp Vektoralgebra är ofta välkänt från andra kurser, men vi ger för säkerhets skull i Kapitel 1 en översikt av de begrepp man behöver för att nå framgång inom vektoranalysen.

Målproblemet är avsett som inspiration: Vilka krafter verkar på en laddad partikel som rör sig i ett kombinerat magnetiskt och elektriskt fält? För att lösa problemet behöver man förstå vad en vektor är och kunna beräkna kryssprodukter mellan vektorer.

Vi är emellertid ännu inte mogna att bege oss in i vektoranalysen. I Kapitel 2 introducerar vi analytiska operationer som derivering, differentiering och integration av uttryck som innehåller både skalärer och vektorer. I målproblemet beräknar vi den energi som åtgår för att flytta runt partikeln i Målproblem 1 i de varierande fälten. För att kunna göra det behöver vi beräkna en integral över kraften på partikeln längs en given bana.

11

Nu har vi bakgrunden som behövs för vektoranalys och kan i Kapitel 3 beräkna kraften på en släggkastares armar när rotationen är som störst, just innan släggan släpps. Eftersom denna roterar runt en axel visar det sig bäst att överge kartesiska koordinater och göra beräkningarna i cylindriska koordinater i stället.

Här passar vi även på att diskutera sfäriska koordinater. Begrepp som basvektorer och även skalär- och vektorprodukt i dessa koordinatsystem introduceras. Eftersom basvektorerna varierar i rummet studerar vi också derivering och integration i dessa kroklinjiga koordinatsystem. Vid lösningen av målproblemet ser vi hur svårt problemet hade varit utan kunskaper i vektoranalys. Och till slut förvånas vi kanske över att se att kraften på släggkastarens armar inte bara bestäms av rotationshastigheten utan även av förändringen av denna. Vi sätter in siffror och ser att det behövs en hel del muskelmassa för att hålla emot.

Vektoranalys studeras med fördel parallellt med andra kurser; elektrostatik och elektromagnetism utgör ett exempel. I Appendix (se bokens webbplats på liber. se) introduceras viktiga skalärfält som punktladdningar och elektrisk linje-, yt- och volymladdningstäthet. Nu kan elektriska fält beräknas från punktladdningar och elektriskt laddade kroppar av olika form. Vi är tidigare vana vid att räkna med strömmar, men här introducerar vi strömtätheten som varierar inuti kroppar.

Kapitel 4–5: Skalärfältets variation I målproblemet i Kapitel 4 bemästrar en hungrig mygga vektoranalys genom att flyga i den riktning i rummet längs vilken temperaturen ökar mest, det vill säga dit där det står en person. Vi vill vara lite mer formella och ger en vektoranalytisk beskrivning av den optimala färden utifrån temperaturfördelningen i rummet. Vi behöver diskutera vektorfält, nivåytor, ortsvektorn och dess differential innan riktningsderivatan för temperaturvariationen kan beräknas. På köpet definierar vi gradienten av ett skalärfält, den vektor som anger i vilken riktning skalärfältet ökar mest. Vi kan slutligen beräkna myggans färd och temperaturvariationen längs denna.

Potentialer, som diskuteras i Kapitel 5, är direkt kopplade till gradienten. Genom att bilda gradienten av skalära potentialer kan fält beräknas. Den elektrostatiska potentialen ger det elektriska fältet. Potentialen för gravitationsfältet ger tyngdkraftsfältet. Trycket i en vätska utgör en potential för kraften på en nedsänkt kropp.

I målproblemet ser vi att kraften på en proton i ett elektriskt fält är proportionell mot gradienten av potentialen för det elektriska fältet. Vi lär oss också en metod för att avgöra om ett givet fält har en skalär potential eller inte.

Kapitel 6–9: Vektorfältets variation Kapitel 6 tar upp linjeintegraler, som följer naturligt på diskussionen av potentialer i Kapitel 5. Vi ser att om ett vektorfält har en potential, blir linjeintegralen av vektorfältet mellan två punkter helt enkelt lika med skillnaden mellan potentialens 12

värden i de två punkterna. Sådana linjeintegraler är alltså oberoende av vägen.

Målproblemet belyser det hela genom att handla om det arbete som behövs för att flytta en vagn i tyngdkraftfältet i stark blåst. Den senare kraften kan emellertid inte beskrivas med en potential. För fullständighetens skull diskuterar vi olika varianter av linjeintegraler för fält som saknar potential.

Steget från att integrera längs en kurva till integration över en yta tas i Kapitel 7. En typ av dessa ytintegraler är flödesintegralen, som också behandlas i målproblemet. Här vill vi veta hur mycket svart vinbärssaft som kan pressas genom en silduk givet vätskans hastighetsfördelning. Eftersom en yta endast utgör en del av hela det tredimensionella rummet R3 lär vi oss hur vi kan parametrisera ytan, det vill säga hur vi kan garantera att enbart röra oss längs ytan under integrationen av fälten.

I Kapitel 8 är det dags för introduktion av den mycket viktiga operatorn divergensen. Den är, som differentialoperator, besläktad med gradienten men opererar inte på skalärfält utan på vektorfält. Gauss sats, som vi härleder, visar mycket tydligt varför divergensen är så användbar. Vi vet ju att det finns fält i naturen som har tydliga källor. Exempel är ett vattenfall vid änden av en sjö, flödet från en slang i en pool och elektriskt fält från en punktladdning. Vi vill därför kunna beräkna styrkan på fälten utifrån vad vi vet om källorna. Från Gauss sats framgår att divergensen av fältet visar just detta. Vi konstaterar att divergensen för magnetfält alltid är noll, vilket inte innebär att magnetfält saknar källor utan snarare att magnetiska monopoler inte existerar; magnetfält är alltid associerade med både källa (nordpol) och sänka (sydpol).

Rotationen är en annan differentialoperator som har en huvudroll i vektoranalysen. Den utgör temat för Kapitel 9. Den tillämpas på vektorfält och ger även ett vektorfält som resultat. Man kan säga att rotationen av en vektor innehåller information om hur mycket vektorfältet roterar. I naturen finns exempel på rotationsfält som cykloner, vattenvirvlar och snurrande hjul. Det faktum att magnetfält kan se ut att rotera kring elektriska strömmar blir föremål för målproblemet, där magnetfältet i en strömgenomfluten spole beräknas. Till hjälp på vägen härleder vi Stokes sats, som säger att om ett flöde av ett fält genom en yta ska beräknas, och fältet i sin tur ges av rotationen av ett annat vektorfält, får vi svaret genom att helt enkelt bilda linjeintegralen av det senare fältet längs ytans kontur. Vi konstaterar också två viktiga, allmänna satser: ett vektorfält som har en skalär potential är rotationsfritt (”rotgrad ger noll”) och ett vektorfält som har en vektorpotential är divergensfritt (”divrot ger noll”).

Kapitel 10: Referensramar Kartesiska koordinatsystem, som vi är vana vid från skolan, är enkla att handskas med. De har, förutom vinkelräta koordinataxlar, konstanta basvektorer. Hur vi än flyttar dessa i rummet pekar de åt samma håll. Deriverar eller integrerar vi vektorfält, uttryckta i kartesiska koordinater, behöver vi alltså inte bry oss om basvektorerna utan kan helt fokusera på att arbeta med vektorfältets komponenter.

13

Det vore ur den här synpunkten naturligtvis enklast att alltid arbeta i kartesiska koordinatsystem. Men många problem har av naturen givits symmetrier av olika slag. De vanligaste är sfärisk symmetri och cylindersymmetri. Ett exempel på sfärisk symmetri är gravitationsfältet från solen: det är lika stort överallt på en yta på en given radie från solens mitt. Skulle vi studera gravitationsfältet helt och hållet i kartesiska koordinater skulle räkningarna bli ganska besvärliga. Vi illustrerar detta genom att beräkna gradienten av beloppet av ortsvektorn både i sfäriska och kartesiska koordinater. Vi inför alltså cylindriska och sfäriska koordinater, med allt som hör till kroklinjiga koordinatsystem: geometrisk definition av koordinater, beräkning av skalfaktorer, normerade basvektorer, infinitesimala längd-, yt- och volymelement, Jacobianer och allmänna uttryck för gradienten, divergensen och rotationen. Vi visar också något mycket användbart, nämligen att i kroklinjiga koordinatsystem kan beräkningar av exempelvis skalfaktorer förenklas avsevärt genom att skriva vektorerna med hjälp av de kartesiska basvektorerna.

Vid deriveringar med avseende på de kroklinjiga koordinaterna ger ju derivator av kartesiska basvektorer noll.

Målproblemet då? Ja, här handlar det om en elektriskt laddad sfär för vilken den elektriska potentialen var känd på insidan. Vi beslutar oss för att beräkna det elektriska fältet inuti sfären och även den elektriska laddningsfördelningen med hjälp av en av Maxwells ekvationer. Det går utmärkt i sfäriska koordinater, men hade varit riktigt besvärligt i kartesisk geometri.

Kapitel 11–13: Matematisk stenografi I Kapitel 11 introducerar vi nablaräkning. Genom att använda en symbol för den vektoriella partialderivatan kan enkla och avancerade vektoranalytiska beräkningar göras elegant och allmänt, utan att specificera koordinatsystemet. Uttrycken blir inte bara generella, de blir också kortare och vi kan därför lättare se olika samband. Nablasymbolen står för en differentialoperator, inte en vektor, men genom en listig metod i tre steg kan vi tillfälligt använda den som en vektor för att få enkla beräkningar. Efter att ha härlett ett batteri av allmänna deriveringsregler för nablaoperatorn, opererande på skalär- och vektorfält, blir vi nu bättre rustade att ta itu med olika problem. Målproblemet tas direkt från fusionsforskningen: Hur kan vi förstå magnetisk inneslutning av en het gas (plasma) som av tryckkraften vill expandera mot vakuumkärlets vägg?

Indexräkning, som är ämnet för Kapitel 12, är en metod för vektoranalytiska beräkningar som fokuserar på vektorernas index. Vektorernas bokstavsindex, som x, y och z, ersätts med siffrorna 1, 2 och 3. Derivator skrivs med hjälp av index och symbolen ∂ , som i sin tur ersätts med ett komma. Summakonventionen innebär att summor, som i skalärprodukten, inte behöver skrivas ut. Resultatet blir kompakta

14

och eleganta vektoranalytiska formler. Målproblemet visar att vissa uttryck kan vara svåra att hantera med nablaräkning, men enkla med indexräkning. I kapitlet tar vi fram formler för indexräkning, som vi kan lägga i verktygslådan. Hit hör exempelvis koncentrerade uttryck för vektorprodukten och rotationen. Tekniken för indexräkning är följande. De formler man vill förenkla, oftast uttryckta med hjälp av nablaoperatorn, skrivs på indexform. Därefter tillämpas indexräkning i ett kartesiskt system för att få fram önskade uttryck. Dessa transformeras sedan tillbaks med hjälp av nablaoperatorn. På så sätt kan generella formler erhållas, giltiga i alla koordinatsystem, utan att vi behöver använda tensorer.

När vi sedan i Kapitel 13 studerar tensorer, utvidgar vi alltså indexräkning så att även kroklinjiga koordinatsystem kan användas när man räknar på indexform.

Men vi gör mer än så. Genom att införa tensorbegreppet kan storheter av godtycklig ordning behandlas. Med ”ordning” menar vi antalet index som behövs för att beteckna storhetens komponenter. En skalär är en tensor av nollte ordningen; den har ju inget index. En vektor är en tensor av första ordningen eftersom det behövs ett index för att beteckna dess komponenter. En matris är en tensor av andra ordningen eftersom två index är nödvändiga. Vi tar upp två exempel från naturen där matriser och tensorer behövs för att beskriva vad som händer: en segelbåts rörelse i vinden och en elektrisk ströms väg genom ett ledande material under inflytande av ett externt elektriskt fält.

För att en vektor eller matris ska kvalificera som en tensor, så att den tensorformalism vi diskuterar i kapitlet kan användas, ska den transformeras på ett bestämt sätt vid byte av koordinatsystem. Vi ser att kartesiska tensorer introduceras enkelt, men att i kroklinjiga koordinatsystem kan tensorer transformeras på två olika sätt: kovariant och kontravariant. Ett bra sätt att lära känna tensorer lite närmare är att studera exempel i Kapitel 18 parallellt med läsningen av Kapitel 13.

Kapitel 14–17: Vektoranalys de luxe Vi blir nu mer avancerade och kan med en utvidgad analys lösa ekvationer för viktiga vektorfält. Laplaceoperatorn, som diskuteras i Kapitel 14, är en andra ordningens differentialoperator med omfattande tillämpning inom fysiken och ingenjörsvetenskapen eftersom den ingår i problem rörande exempelvis värmeledning, diffusion, elektrostatik, gravitation och vågutbredning. Laplaceoperatorn kan verka både på skalärfält och vektorfält och vi härleder ett allmänt uttryck som kan användas i godtyckliga kroklinjiga koordinatsystem. I målproblemet visar vi att elektromagnetiska vågor, som ljus och radiovågor för mobiltelefonen, beskrivs med hjälp av Laplaceoperatorn.

Gauss sats kopplar flödet av ett vektorfält genom en sluten yta till en volymintegral över vektorfältets divergens. Stokes sats kopplar ett vektorfälts cirkulation till

15

en flödesintegral över vektorfältets rotation. I Kapitel 15 ser vi att det går att generalisera integralsatser som dessa; vi formulerar exempelvis en sats som liknar Gauss sats men som kan användas för beräkning av flödet associerat med ett skalärfält.

Det gör vi för att beräkna lyftkraften på en simmande elefant och bekräftar på så vis Arkimedes princip. Men vi behöver dessa generaliseringar också för att i Kapitel 16 kunna beräkna de fält som alstras av punktkällan, linjekällan och dipolen och för att lösa Laplaces och Poissons ekvationer i Kapitel 17.

Målproblemet i Kapitel 16 handlar om Gauss lag, ej att förväxla med Gauss sats i Kapitel 8. Här studerar vi viktiga vektorfält, speciellt fördelningar av punktkällor och vill veta flödet av det elektriska fältet från dessa genom en omgivande sluten yta. Vi måste använda en del list eftersom de singulariteter som är förknippade med laddningarna omöjliggör en direkt användning av Gauss sats för beräkning av flödet. Två punktkällor kan kombineras till en dipol, vars beteende är av intresse för antenner.

Vi beräknar därför det fält som associeras med dipolen. När vi sedan studerar fältet från linjekällan med Stokes sats, råkar vi i svårigheter igen; fältet är ju singulärt på tråden. Vi löser åter upp singularitetsproblemet med ett elegant matematiskt knep och får en praktisk formel för magnetfältet runt en strömförande ledare.

Kapitel 17 ägnas helt åt lösning av Laplaces och Poissons ekvationer. Båda dessa är andra ordningens differentialekvationer i flera rumsvariabler. Därför stiftar vi bekantskap med olika typer av randvillkor, som alltså måste specificeras för unik lösning av varje praktiskt problem. Laplaces ekvation är homogen, dess högerled är noll, och vi visar på relativt enkla lösningar i olika geometrier. Poissons ekvation har däremot en källterm i högerledet och är som regel mer besvärlig att lösa. Men vi tar ett djupt andetag och löser även den ekvationen för en godtycklig volymfördelning av källpunkterna. Som lön för mödan kan vi nu bevisa vad som ibland kallas vektoranalysens huvudsats, alternativt Helmholtz sats eller Helmholtzuppdelningen. Satsen säger att varje vektorfält som regel kan skrivas som summan av två termer; gradienten till ett skalärfält och rotationen av ett vektorfält. Ett viktigt råd från detta kapitel är emellertid: ska Poissons ekvation lösas, är det klokast att först ställa upp differentialekvationerna och se om en lösning går att finna genom att stegvis integrera dessa. Först om denna väg inte är framkomlig eller opraktisk bör integralsatsen användas.

Kapitel 18: Användning av vektoranalys Om man är verksam inom natur- eller teknikvetenskaperna, uppstår många tillfällen då livet blir enklare med kunskaper inom vektoranalys. För att visa detta, och för att inspirera till studier inom vektoranalys, har vi i Kapitel 18 samlat några problem från grundläggande fysik, strömningsmekanik, hållfasthetslära och elektromagnetism och relativitetsteori.

16

DEL 1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP I del 1 behandlar vi den grund som vektoranalysen vilar på, det vill säga vektoralgebra i planet och rummet. Vi introducerar också skalära och vektorvärda funktioner, inte bara i kartesiska koordinatsystem utan även i cylindriska och sfäriska koordinater. Syftet med de inledande kapitlen är främst att förmedla en förståelse för behovet av vektoranalys som matematiskt verktyg.

I denna del: •

vektoralgebra

•

skalärprodukt

•

vektorprodukt

•

introduktion till cylinderkoordinater

•

introduktion till sfäriska koordinater

•

basvektorer

•

integration av vektorer.

1 VEKTORALGEBRA

Erfarenheter visar att goda kunskaper i vektoralgebra är en förutsättning för framgångsrika studier i vektoranalys. Du kan testa dina kunskaper genom att studera målproblemet nedan. Om du kan lösa det rekommenderar vi att du ögnar igenom resten av kapitlet för att se om du behöver repetera något. Tycker du att målproblemet är svårt bör du först noggrant studera teorin i Kapitel 1, och sedan lösa några av övningsuppgifterna i slutet av kapitlet.

MÅLPROBLEM: Lorentzkraften 3

4

3

2

1

5

Figur 1.1 Illustration av elektroner som rör sig i ett kombinerat elektriskt och

magnetiskt fält. Förklaringar: 1 – elektronernas rörelse i en strömgenomfluten ledare, 2 – elektronernas rörelse i en elektriskt ledande platta, 3 – statisk magnet, 4 – magnetfältslinjer, 5 – batteri som genererar elektriskt fält.

19

Del 1 Grundläggande begrepp

Lorentzkraften är den kraft som verkar på en punktformad laddning i ett kombinerat elektriskt och magnetiskt fält. Se Figur 1.1. Om vi skriver det elektriska fältet som vektorn E och det magnetiska fältet som vektorn B , blir Lorentzkraften F på en punktladdning med laddningen q och hastigheten v F = q(E + v × B) .

(1.1)

Vi tänker oss nu att en elektron med laddningen q = –e rör sig med hastigheten v = eˆx + 2eˆy i ett område med det elektriska fältet E = ê y och det magnetiska fältet B = − êz . Hur stor är totalkraften på elektronen?

LÖSNINGSSTRATEGI

För att lösa målproblemet behöver vi (1) förstå vad en vektor är samt (2) kunna addera vektorer och multiplicera med skalären q. Dessutom behöver vi (3) kunna beräkna kryssprodukter mellan vektorer. Slutligen behöver vi (4) förstå vad som menas med ê x , ê y och êz .

I det följande går vi igenom 1–4 och löser problemet. Vi repeterar även några andra begrepp som du kommer att ha användning av framöver: absolutvärdet (längden) av en vektor, skalärprodukt, projektionen av en vektor samt några allmänna vektorsamband.

1.1 Vektorer En vektor är en matematisk storhet som definieras av två egenskaper: storlek och riktning. Grafiskt representeras en vektor av en pil. Pilens längd anger vektorns storlek och pilens riktning visar vektorns riktning. Ett annat vanligt uttryck för vektorns längd är dess absolutvärde.

Ett exempel på en vektor visas i Figur 1.2. Vektorn v pekar 2 enheter längs x-axeln, 4 enheter längs y-axeln och 0 enheter längs z-axeln, och kan uttryckas som v = (2, 4, 0) .

Absolutvärdet v är vektorns längd: v = 22 + 4 2 = 20 . Vektorns riktning kan skrivas som (2, 4, 0), men enklare som (1, 2, 0). En multiplicerande faktor påverkar alltså inte en vektors riktning, utan endast dess storlek.

20

1. Vektoralgebra

y

v1

v

4

2 x

Figur 1.2 Exempel på vektor v . Vektorn v1 är identisk med v eftersom vektorer-

na har samma längd och riktning.

Riktningen av vektorn v uttrycks ofta med hjälp av enhetsvektorn v̂, det vill säga en vektor med samma riktning och med längden 1. Enhetsvektorn fås genom att dividera komponenterna med vektorns absolutvärde. I exemplet ovan är v̂ = (1, 2, 0) / 5. Enhetsvektorn är mycket användbar när vi arbetar med riktningar. Den kan också användas för att uttrycka vektorn själv: v = v v̂ .

För en godtycklig vektor med komponenterna a, b och c i ett ortogonalt koordinatsystem kan absolutvärdet och enhetsvektorn beräknas som vektor:

v = (a , b , c )

absolutvärde:

v = a2 + b2 + c 2

enhetsvektor:

vˆ =

v (a , b , c ) = v a2 + b2 + c 2

(1.2) ⇒

v = v v̂ .

Notera att uttrycket för absolutvärdet endast gäller i ett ortogonalt koordinatsystem. Sådana koordinatsystem beskrivs i detalj i Kapitel 3 och Kapitel 10, men här räcker det att komma ihåg att koordinataxlarna i dessa system alltid är vinkelräta mot varandra.

Som nämnts ovan bestäms en vektor helt av dess absolutvärde och riktning.

Vektorn v1 i Figur 1.2 är alltså identisk med vektorn v , trots att den ”startar” i en annan punkt. Att konstanta vektorer utgör samma matematiska storhet är viktigt i många tillämpningar, vilket kommer att framgå i nästa avsnitt när vektorer ska adderas och subtraheras.

21

Del 1 Grundläggande begrepp

1.2 Addition och subtraktion av vektorer Addition och subtraktion av vektorer används till exempel vid beräkning av totalkraften på föremål som påverkas av flera krafter eller det totala elektriska fältet från två punktladdningar.

Låt oss studera två vektorer v = (v x , v y , v z ) och w = (w x , w y , w z ) i ett kartesiskt koordinatsystem. Vektorsumman c = v + w definieras genom komponentvis addition: c = v + w = (v x + w x , v y + w y , v z + w z ) .

(1.3)

Grafiskt kan vi beräkna vektorsumman med hjälp av den så kallade parallellogramlagen. Se Figur 1.3(a). Resultanten c erhålls som summan av komposanterna v och w . (b)

(a) y

c=v +w

w

y

w

v

d =v −w

v x

x −w

v + (− w)

Figur 1.3 Addition och subtraktion av vektorer.

Subtraktion och addition av vektorer är närbesläktade operationer, vilket framgår om man bildar vektorn d = v − w = v + (− w ) . Vektorn − w har samma längd som w men motsatt riktning, se Figur 1.3(b). Notera att en vektor bibehåller sin identitet när den flyttas, så länge dess riktning och längd hålls konstanta. Vektorn d = v − w kan alltså ses som en vektor som startar från vektorn w:s ändpunkt och slutar på vektorn v :s ändpunkt.

22

1. Vektoralgebra

1.3 Basvektorer i ett kartesiskt koordinatsystem Om man vill uttrycka en vektor entydigt är basvektorerna i ett koordinatsystem mycket användbara. De tydliggör också vilket koordinatsystem som används, vilket är särskilt viktigt då man arbetar i olika koordinatsystem. I det här avsnittet ska vi introducera basvektorerna i kartesiska koordinatsystem. I Kapitel 3 introduceras basvektorer för de kroklinjiga cylindriska och sfäriska koordinatsystemen. I Kapitel 10, slutligen, kommer basvektorer att beskrivas generellt för varje typ av kroklinjigt koordinatsystem.

Basvektorer är enhetsvektorer (de har längden 1 enhet) och representerar riktningarna hos koordinatsystemets axlar. Låt oss studera koordinatsystemet i Figur 1.4.

Dess koordinater är x, y och z. Basvektorn för x-axeln är ê x = (1, 0, 0) . Den anger x-axelns riktning och också i vilken riktning x ökar. Motsvarande gäller för basvektorerna i y- och z-riktningarna. Basvektorerna kan användas för att uttrycka en godtycklig vektor i koordinatsystemet. z

êx = (1, 0, 0) êy = (0, 1, 0) êz = (0, 0, 1)

êz êy y êx x

Figur 1.4 Basvektorer i ett kartesiskt koordinatsystem.

Låt oss studera vektorn v = (a, b , c ) . Med detta skrivsätt är det inte klart vilket koordinatsystem som v ska uttryckas i. Vektorkomponenterna a, b och c kan ju vara givna antingen i ett kartesiskt eller ett kroklinjigt koordinatsystem. Vi antar nu ett kartesiskt koordinatsystem och skriver v = (a, b , c ) = (a, 0, 0) + (0, b , 0) + (0, 0, c ) = a(1, 0, 0) + b(0,1, 0) + c(0, 0,1) .

De tre vektorerna i högra ledet är precis ê x , ê y och êz . Vi kan alltså skriva: v = aeˆx + beˆy + ceˆz .

(1.4)

Om man använder denna formulering framgår det vilket koordinatsystem som avses.

I fortsättningen kommer vi ofta använda detta skrivsätt för att undvika missförstånd.

23

Del 1 Grundläggande begrepp

1.4 Skalärprodukt och vektorprodukt Skalärprodukt och vektorprodukt av två vektorer har många tillämpningar inom geometrin och natur- och ingenjörsvetenskaperna. Skalärprodukten kan till exempel användas för att beräkna hur vinden projiceras mot ett segel, och kryssprodukten för att beräkna kraften på en strömförande ledare i ett magnetfält.

Skalärprodukten Vi studerar två vektorer v = v x eˆx + v y eˆy + v z eˆz och w = w x eˆx + w y eˆy + w z eˆz . Här behöver vi inte nämna vilket koordinatsystem vi använder eftersom den kartesiska basen ê x , ê y och êz är specificerad. Skalärprodukten c = v ⋅ w definieras som v ⋅ w = v w cosα ,

(1.5)

där a är den minsta vinkeln mellan v och w , se Figur 1.5(a). Eftersom basvektorerna är inbördes vinkelräta enhetsvektorer ger (1.5) att v ⋅ w = v x w x + v y w y + vz wz . (a)

(b)

z

w

(1.6) (c)

z

v ×w

B v

b

v

α wv

α

γ O y

x

x

w

y a

A

Figur 1.5 (a) Projektion av en vektor i en viss riktning, (b) beräkning av avståndet mellan två punkter.

Skalärprodukten kan användas för beräkning av • vinkeln mellan två vektorer. Formlerna (1.5) och (1.6) ger cosα =

v ⋅w v w

(1.7)

• absolutvärdet av en vektor v = v x2 + v 2y + v z2 = v ⋅ v

24

(1.8)

1. Vektoralgebra

• projektionen av en vektor w längs riktningen av vektorn v (se Figur 1.4(a)) wv = w cosα =

w v w ⋅v cosα = v v

(1.9)

• komponenterna av vektorn a längs koordinataxlarna ax = a ⋅ ê x a y = a ⋅ ê y

(1.10)

az = a ⋅ êz .

Skalärprodukten och vektorer kan även användas för att bevisa cosinussatsen i matematiken. Betrakta en triangel definierad av punkterna A, B och origo O i Figur 1.5(b). Här är a vektorn från origo till A och b från origo till B. Alltså är a och b längderna av två sidor i en triangel. Vektorn c = a − b är vektorn från B till A. Då kan vi beräkna c , längden av tredje sidan av triangeln: L = c = c ⋅c =

(a − b ) ⋅ (a − b ) =

= a ⋅a − a ⋅b − b ⋅a + b ⋅b = =

2

2

a + b − 2a ⋅ b .

Vektorprodukten Studera vektorerna v = v x eˆx + v y eˆy + v z eˆz och w = w x eˆx + w y eˆy + w z eˆz . Kryssprodukten v × w (också kallad vektorprodukten) av v och w definieras som en vektor som är vinkelrät mot både v och w med amplituden v × w = v w sin α : v × w = v w sin α nˆ ,

(1.11)

där n̂ är en vektor som är vinkelrät mot både v och w , orienterad enligt ”högerhandsregeln”, se Figur 1.5(c). En ekvivalent definition kan ges med hjälp av determinanter:

v ×w =

(

eˆx

eˆy

eˆz

vx

vy

vz

wx

wy

wz

)

=

(

)

= v y w z − v z w y eˆx + ( v z w x − v x w z ) eˆy + v x w y − v y w x eˆz .

(1.12) 25

Del 1 Grundläggande begrepp

Den första definitionen är lämplig att använda då man handskas med geometriska storheter. Den andra ger kryssprodukten på ett enkelt sätt då komponenterna av vektorerna v och w är givna. Bevis för ekvivalensen mellan definitionerna återfinns i böcker om vektoralgebra. area = v w sin α = v × w w

w sin α α v

Figur 1.5 Geometrisk tolkning av kryssprodukten.

Den geometriska tolkningen av kryssprodukten ges i Figur 1.5. Kryssprodukten är en vektor vars abolutvärde (längd) utgörs av arean i parallellogrammen som definieras av vektorerna v och w och vars riktning är vinkelrät mot planet som v och w ligger i. Denna tolkning kommer vi att ha nytta av i Kapitel 7 när vi diskuterar flöden.

Användbara samband (se lösningen av målproblemet nedan) fås när kryssprodukten tillämpas på basvektorerna i ett kartesiskt koordinatsystem. Med hjälp av (1.12) får vi att eˆx × eˆy = eˆz eˆy × eˆz = eˆx

(1.13)

eˆz × eˆx = eˆy

Användbara egenskaper hos skalär- och vektorprodukterna Både som student och professionell användare av vektoranalys kommer man ofta i kontakt med uttryck som innehåller flera skalär- eller kryssprodukter. Lyckligtvis finns det ett antal räkneregler som kan användas för att förenkla mer komplexa uttryck: a ⋅b = b ⋅a

( sa ) ⋅ (tb ) = st ( a ⋅ b )

(

)

a ⋅ b + c = a ⋅b + a ⋅ c 26

1. Vektoralgebra

a ×a = 0 a × b = −b × a

( sa ) × (tb ) = st ( a × b )

(

)

a × b + c = a ×b +a × c

(

)

(

a ⋅ b × c = b ⋅(c × a ) = c ⋅ a × b

(

)

(

)

(trippelprodukter)

)

(bac-cab regeln)

( a × b ) × c = ( a ⋅ c )b − (b ⋅ c ) a

(bac-cab regeln).

a × b × c = b (a ⋅ c ) − c a ⋅ b

(1.14)

Här är a , b och c vektorer, medan s och t är skalärer. Flera av formlerna kan bevisas direkt från definitionerna av skalär- och kryssprodukterna. Det gäller till exempel skalärproduktens kommutativa och kryssproduktens anti-kommutativa egenskap. De mer avancerade relationerna (trippelprodukten och ”bac-cabregeln”) kommer att härledas i Kapitel 12, som en tillämpning av indexräkning.

MÅLPROBLEM: Lösning Vi har nu verktyg för att kunna lösa målproblemet i början av kapitlet. I Figur 1.6 visas de vektorstorheter som ingår i problemet. Hastighetsvektorn för punktladdningen ligger i xy-planet. Den elektriska fältvektorn är då riktad längs den positiva y-axeln och magnetfältet längs den negativa z-axeln (vinkelrätt mot boksidan): v = eˆx + 2eˆy E = ê y

(1.15)

B = − êz . y B

v v× B

E q x F

Figur 1.6 Geometri för målproblemet.

27

Del 1 Grundläggande begrepp

Lorentzkraften är F = q( E + v × B ) . Vi börjar med att beräkna termen som är relaterad till magnetfältet: v × B = (eˆx + 2eˆy ) × (− eˆz ) = − eˆx × eˆz − 2eˆy × eˆz .

(1.16)

Vi kan förenkla detta uttryck genom att tillämpa definitionen av kryssprodukten som bygger på determinanten, eller så kan vi utnyttja räknereglerna i (1.13) och (1.14). Lösningen via determinanter är också rättfram och rekommenderas som övning.

Vi får − eˆx × eˆz = −(eˆx × eˆz ) = eˆz × eˆx = eˆy −2eˆy × eˆz = −2(eˆy × eˆz ) = −2eˆx ⇒

(1.17)

v × B = eˆy − 2eˆx .

Nu kan vi addera termen från elektriska fältet och får F = q (eˆy + eˆy − 2eˆx ) = q (2eˆy − 2eˆx ) = 2q(eˆy − eˆx ) .

P

E

(1.18)

v ×B

Kraften som verkar på en elektron med laddningen –e är alltså: F = 2e(eˆx − eˆy ) .

Vi kan också konstatera att absolutvärdet av kraften som verkar på punktladdningen blir F = 2q(eˆy − eˆx ) = 2q eˆy − eˆx = 2q 12 + (−1)2 = 2 2q .

(1.19)

Kraftens riktning uttrycks med fördel med hjälp av enhetsvektorer. Om vi använder uttrycket i Avsnitt 1.1 får vi att enhetsvektorn d̂ i kraftens riktning blir F 2q(eˆy − eˆx ) (eˆy − eˆx ) dˆ = = = .

F 2 2q 2

28

(1.20)

1. Vektoralgebra

1.5 Sammanfattning • En vektor är en matematisk storhet som definieras av två egenskaper: storlek och riktning. Grafiskt representeras en vektor av en pil. Pilens längd anger vektorns storlek och pilens riktning visar vektorns riktning.

• Skalärprodukten mellan två vektorer v och w är storheten v ⋅ w = v x w x + v y w y + v z w z , som också kan skrivas v ⋅ w = v w cosα .

Med hjälp av dessa samband kan vinkeln a mellan vektorerna bestämmas.

• Vektorprodukten, eller kryssprodukten, mellan två vektorer v och w definieras som v × w = v w sinα nˆ, där n̂ är en vektor som är vinkelrät mot både v och w .

• Vektorprodukten beräknas ofta med hjälp av en determinant. I kartesiska koordinater gäller

v ×w =

eˆx

eˆy

eˆz

vx

vy

vz

wx

wy

wz

=

)

(

(

)

= v y w z − v z w y eˆx + ( v z w x − v x w z ) eˆy + v x w y − v y w x eˆz .

• Trippelprodukten kombinerar skalär- och vektorprodukten:

(

)

(

a ⋅ b × c = b ⋅(c × a ) = c ⋅ a × b

)

• Den dubbla kryssprodukten beräknas enligt ”bac-cab-regeln”:

(

)

(

a × b × c = b (a ⋅ c ) − c ⋅ a ⋅ b

)

( a × b ) × c = ( a ⋅ c )b – (b ⋅ c ) a .

1.6 Räkneövningar Övning 1.1

Skriv ut komponenterna av följande vektorer, definierade i ett kartesiskt koordinatsystem. Exempel: om v = ê x , blir komponenterna vx = 1, vy = 0, vz = 0, vilket kan skrivas v = (1, 0, 0).

29

Del 1 Grundläggande begrepp

a) v = 2eˆy b) v = 3eˆx + 2eˆz c) v = 4eˆy + 2eˆz d) v = sinϕ eˆx + cosϕ eˆz + eˆy e) v = cosϕ eˆx + 2sinϕ eˆz f) v = r cosϕ eˆy + r sinϕ eˆx

Övning 1.2 Beräkna absolutvärdet av vektorerna i övning 1.1.

Övning 1.3 Beräkna enhetsvektorer från vektorerna i övning 1.1.

Övning 1.4 Betrakta vektorerna v och w som definieras av v = 2eˆx w = eˆy − eˆx a) Beräkna och rita vektorn a = v + w . b) Beräkna och rita vektorn b = v − w . c) Beräkna vinkeln mellan v och w .

Övning 1.5 Betrakta vektorerna v och w som definieras av v = 2eˆz w = eˆz + 3eˆy a) Beräkna och rita vektorn a = v + w . b) Beräkna och rita vektorn b = v − w . c) Beräkna vinkeln mellan v och w .

30

1. Vektoralgebra

Övning 1.6 Betrakta vektorerna v och w som definieras av v = ρ cosϕ eˆx + ρ sinϕ eˆy w = ê y med r = 1 och j = (se Kapitel 3).

π . Parametrarna r och j är en cylindrisk parametrisering 2

a) Beräkna och rita vektorn a = v + w . b) Beräkna och rita vektorn b = v − w . c) Beräkna vinkeln mellan v och w .

Övning 1.7 Betrakta vektorerna v och w som definieras av v = ρ cos ϕ eˆx + ρ sin ϕ eˆy w = eˆy med r = 1 och j = –π. Parametrarna r och j ingår i en cylindrisk parametrisering (se Kapitel 3). a) Beräkna och rita vektorn a = v + w . b) Beräkna och rita vektorn b = v − w . c) Beräkna vinkeln mellan v och w .

Övning 1.8 Beräkna skalärprodukten c = a ⋅ b för följande vektorer: a) a = eˆx , b = eˆx + eˆy b) a = eˆz , b = 3eˆx + 2eˆy − 2eˆz c) a = eˆx + eˆy , b = eˆy + eˆz d) a = eˆx + 2eˆz − eˆy , b = eˆz − eˆy e) a = ρ cosϕ eˆx + ρ sinϕ eˆy , b = eˆx f) a = ρ cosϕ eˆx + ρ sinϕ eˆy , b = − ρ sinϕ eˆx + ρ cosϕ eˆy g) Vilket av dessa par av vektorer är vinkelräta?

31

Del 1 Grundläggande begrepp

Övning 1.9 Beräkna projektionen av vektorn a längs riktningen av vektorn b . a) a = eˆx + 2eˆy , b = eˆz b) a = eˆx + eˆz , b = eˆx c) a = eˆx + eˆy , b = eˆy + eˆz d) a = 3eˆx + 2eˆz − eˆy , b = eˆy e) a = cosϕ eˆx + sinϕ eˆz , b = eˆz f) a = ρ cosϕ eˆx + ρ sinϕ eˆy , b = eˆx + eˆy g) a = eˆz + 4eˆx + 2eˆy , b = eˆy − eˆz h) a = eˆz + 4eˆx + 2eˆy , b =

eˆy − eˆz

2 i) Varför fås samma resultat i 1.9 g) som i 1.9 h)?

Övning 1.10 Betrakta vektorerna r och r′ som börjar i origo. Ändpunkterna för vektorerna r och r′ definieras av punkterna P och Q. Beräkna avståndet mellan P och Q. a) r = eˆx r ′ = eˆy + eˆx b) r = eˆx + eˆy + eˆz r ′ = eˆx − eˆy c) r = ρ cos ϕ eˆx + ρ sin ϕ eˆy r ′ = ρ ′ cos ϕ ′eˆx + ρ ′ sin ϕ ′eˆy

med ρ = 1, ϕ = π / 2 med ρ ′ = 2, ϕ ′ = π / 4

Övning 1.11 Beräkna kryssprodukten c = a × b av följande vektorer. a) a = eˆx , b = eˆz + eˆy b) a = eˆz , b = eˆy − eˆx c) a = eˆx + eˆy , b = 2eˆy − eˆz d) a = eˆx + eˆz + eˆy , b = eˆy e) a = eˆx − 2eˆy , b = eˆy − 3eˆz f) a = ρ cosϕ eˆx + ρ sinϕ eˆy , b = eˆz g) a = − ρ sinϕ eˆx + ρ cosϕ eˆy , b = eˆz h) a = ρ cosϕ eˆx + ρ sinϕ eˆy , b = − ρ sinϕ eˆx + ρ cosϕ eˆy 32

1. Vektoralgebra

Övning 1.12 Lorentzkraften F på en punktladdning q i ett område med ett elektriskt fält E och ett magnetiskt fält B är F = q( E + v × B ) .

Beräkna kraften på en elektron (med q = –e) som rör sig med hastigheten v = 3 m/s i riktningen d = eˆx + 2eˆy + 2eˆz i ett område med det elektriska fältet E = eˆx − eˆy V/m och det magnetiska fältet B = eˆx + 2eˆz T .

Övning 1.13 Kraften F på en rak, lång ledare med strömmen I som befinner sig i ett magnetiskt fält B är F = I l ×B, där l = l d̂ , l är längden av ledningen och d̂ anger dess riktning. Beräkna kraften på en elledning med strömmen I = 1A, längden l = 2m och riktningen d = eˆx + eˆz .

Magnetiska fältet B = eˆx − eˆy T är konstant.

33

Bokens pedagogiska idé skiljer sig markant från liknande böcker. Återkommande inslag är tydligt formulerade problem som fångar det och de metoder som behandlas, dels att stimulera till aktivt lärande.

Boken innehåller genomarbetade och lättillgängliga teoriavsnitt – som börjar med grundläggande vektoralgebra och slutar med kartesiska tensorer och en härledning av vektoranalysens huvudsats. Dessutom ingår ett stort antal konkreta exempel och många tillämpningar. Sist i varje kapitel finns en sammanfattning av den viktigaste teorin och övningsuppgifter med svar. Ledningar och fullständiga lösningar finns på Libers webbplats.

Vektoranalys

centrala i vektoranalysen. Syftet är dels att väcka intresse för den teori

JAN SCHEFFEL

behandlar ämnet mer utförligt.

SCHEFFEL

vändas för såväl grundläggande som avancerade kurser på högskolenivå,

LORENZO FRASSINETTI

FRASSINETTI

Läroböcker i vektoranalys är ofta kortfattade. Denna bok, som kan an-

JAN SCHEFFEL är professor i teoretisk fusionsplasmafysik vid KTH i Stockholm.

Han har lång erfarenhet av undervisning och pedagogisk utveckling. År 2014 tilldelades han KTH:s pedagogiska pris.

LORENZO FRASSINETTI är lektor i experimentell fusionsplasmafysik vid KTH och har mångårig erfarenhet av undervisning i vektoranalys på programmen Elektroteknik och Civilingenjör och lärare. År 2014 tilldelades han priset Årets lärare.

VEKTORANALYS Best.nr 47-12617-0 Tryck.nr 47-12617-0

9789147126170c1c.indd All Pages

17/04/19 2:45 PM