matematik
DELKURS
4
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny WelĂŠn
DELKURS 4
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny WelĂŠn LIBER
förord Den här boken innehåller stoff som täcker det centrala innehållet för delkurs 4 i kursplanen för kommunal vuxenutbildning på grundläggande nivå. Delkursen består av sex kapitel som är indelade i avsnitt. I avsnitten finns uppgifter på tre nivåer. Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: P B M R K
Problemlösning Begrepp Metod Resonemang Kommunikation
Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering. Kapitlen innehåller: Ingress – En kort fördiagnos (Kan du det här?) som visar vad du redan kan och hjälper dig att välja nivå, ETT, TVÅ eller TRE. Här finns även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet. Inledning – Varje avsnitt inleds med teori som följs av typexempel. Uppgifter – Uppgifterna finns på tre nivåer. På nivå ETT finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå TRE kan erbjuda rejäla utmaningar. Du väljer själv på vilken nivå du ska börja ditt arbete. Ledtrådar – Till en del uppgifter finns ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter är markerade med L. Blandade uppgifter – Här blandas uppgifter från hela kapitlet. Test – Visar om du behärskar det grundläggande i kapitlet. Träna – Innehåller uppgifter av samma slag som testet och används som repetition. Utveckla – Innehåller utmanande uppgifter för dig som klarar testet bra. Förmågorna i fokus – Hjälper dig att utveckla de matematiska förmågor som anges i kursplanen. Sammanfattning – Kapitlen avslutas med en sammanfattning av centrala begrepp och metoder. Lycka till med dina studier i matematik! Författarna
3
Delkurs 4 1
Taluppfattning och tals användning (I)
1.1
Multiplikation och division med stora och små tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2
Division med stora och små tal . . . . . . 13
1.3
Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4
Addition och subtraktion av bråk . . . . 26
1.5
Multiplikation av bråk. . . . . . . . . . . . . . 31
1.6
Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Träna Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Utveckla Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Taluppfattning och tals användning (II)
54
2.1
Räkna med negativa tal. . . . . . . . . . . . . 56
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2
Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3
Tiopotenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4
Räkna med potenser . . . . . . . . . . . . . . . 73
Träna Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5
Små tal och tiopotenser. . . . . . . . . . . . . 78
2.6
Räkna med tal i grundpotensform . . . 84
2.7
Kvadrater och kvadratrötter . . . . . . . . . 89
3 ALGEBRA
Utveckla Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 108
3.1
Uttryck och mönster . . . . . . . . . . . . . . 110
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.2
Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . 119
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.3
Uttryck med parenteser . . . . . . . . . . . 123
Träna Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.4
Multiplikation av parenteser . . . . . . . 129
Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.5
Uttryck med potenser . . . . . . . . . . . . . 135
Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.6
Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.7
Problemlösning med ekvationer . . . . 145
4
4 Samband och förändring
166
4.1
Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.2
Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Träna Samband och förändring. . . . . . . . . . 211
4.3
Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Utveckla Samband och förändring . . . . . . . 214
4.4
Linjära funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.5
Tillämpning av linjära funktioner . . . 194
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5 Geometri
220
5.1
Volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2
Prisma och pyramid . . . . . . . . . . . . . . 228
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.3
Cylinder, kon och klot. . . . . . . . . . . . . 233
Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.4
Skala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.5
Likformighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.6
Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6 Sannolikhet och statistik
274
6.1
Hur stor är sannolikheten? . . . . . . . . . 276
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.2
Oberoende och beroende händelser . . . . . . . . . . . . . . . 284
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.3
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.4
Tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . 296
6.5
Cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Träna Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . 314 Utveckla Sannolikhet och statistik . . . . . . . 317 Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Programmeringsövningar . . . . . . . . . . . . . . 359
5
KAN DU DET HÄR? 1 5 C: 1,15
ETT
1 Vilket tal är lika med 1 ? A: 1,5
B: 11,5
D: 1,2
2 Vilken omvandling är korrekt gjord? 3 11 A: 1 = 8 8 9 1 C: = 3 3 3
2 3 B: 1 = 4 4 12 2 =1 D: 4 4 1 3 Hur mycket är 0,4 + ? 4 A: 0,54 B: 0,65 C: 0,414
D: 0,1
TVÅ
4 Hur mycket är 20 ∙ 600? A: 1 200 B: 20 600
C: 12 000
D: 120 000
3 =1 ? 4 D: 1,75
5 Vilket tal saknas i uträkningen 2 – A: 0,25
B: 1,4
C: 1,25
6 Vilket av talen är inte lika med 0,4? A:
2 5
B: 0,400
C:
40 100
3 1 + ? 4 5 B: 0,9 C: 0,95
D:
?
4 100
TRE
7 Hur mycket är A:
4 9
D:
17 20
2 och 0,64? 5 C: 0,525 D: 0,62
8 Vilket tal ligger mitt emellan A: 0,32
B: 0,52
9 Vilket tal pekar pilen på? A:
11 15
B: 2 3
6
3 4
C:
8 15
D:
1 15 4 5
DELkurs 4 1 Taluppfattning och tals användning (I) UR CENTRALA INNEHÅLLET Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer.
Begrepp bråkform täljare nämnare blandad form decimalform förlängning
Rimlighetsbedömningar vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.
förkortning enklaste form minsta gemensam nämnare
7
1.1
Multiplikation och division med stora och små tal
Multiplikation och division med 10, 100, 1 000 EXEMPEL
a) 100 ∙ 1,23
b)
32,5 10
c) 0,17 ∙ 1 000
a) 100·1,23 = 123,0 = 123 l
e al l ad at dr tal de ndr al n n t hu tio tio hu en
1, 2 1 2 3
b)
d) 75 / 100
När ett tal multipliceras med 100 så blir alla siffror hundra gånger mer värda. Om du utför beräkningen 100 ∙ 1,23 så flyttar siffran 1 från positionen för ental till positionen för hundratal. När siffrorna flyttar sig två steg ser det ut som om decimaltecknet flyttar sig två steg åt höger. Du kan tänka så om du tycker att det är lättare.
3
32,5 = 3,25 10 l
l de ta ra l el dra l d d a a n n n t t hu tio tio hu en
3 2, 5 3, 2 5
När ett tal divideras med 10 så blir alla siffror tio gånger mindre värda. Om du utför beräkningen 32,5 / 10 så flyttar siffran 3 från positionen för tiotal till positionen för ental. Du kan tänka att decimaltecknet flyttar sig ett steg åt vänster.
c) 0,17·1000 = 170
Tänk så här: ”Decimaltecknet ser ut att flytta sig tre steg åt höger från 0,17 till 170,0.”
75 d) 75 / 100 = = 0,75 100
När ett tal divideras med 100 så blir alla siffror hundra gånger mindre värda. Om du utför beräkningen 75 / 100 så flyttar siffran 7 från positionen för tiotal till positionen för tiondelar. Du kan tänka: ”75 är lika med 75,0. Decimaltecknet ser ut att flytta sig två steg vilket ger 0,750 eller 0,75.”
Svar: a) 123
8
1.1
b) 3,25
c) 170
d) 0,75
M U LT I P LI K AT I O N O C H D I V I S I O N M E D STO R A O C H S M Å TA L
Del 4
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Multiplikation med stora och små tal EXEMPEL
a) 40 · 600
b) 5 ∙ 0,9
c) 20 · 0,7
a) 40·600 = 4·6000 = 24000
b) 5·0,9 = 4,5
9 . 10 Fem gånger nio tiondelar är lika 45 med 45 tiondelar det vill säga 10 som är lika med 4,5.
d) 0,4·0,3 = 0,04 · 3 = 0,12
c) 14
Om du gör den ena faktorn 10 gånger mindre och den andra 10 gånger större kommer du att få samma produkt. 40 / 10 = 4 och 600 · 10 = 6 000.
0,9 är lika med nio tiondelar,
c) 20·0,7 = 2·7 = 14
Svar: a) 24000
d) 0,4 · 0,3
Du kan tänka: ”5 gånger 9 är lika med 45. Produkten ska ha en decimal, alltså 4,5.”
Gör den första faktorn tio gånger mindre och den andra tio gånger större. 20 / 10 = 2 och 0,7 · 10 = 7.
Gör den första faktorn 10 gånger mindre och den andra 10 gånger större. 0,4 / 10 = 0,04 och 0,3 · 10 = 3. Sedan kan du tänka att 3 · 4 hundradelar = 12 hundradelar = 12 = = 0,12. 100
b) 4,5 d) 0,12
• Skriv av uppgiften.
K
• Visa mellanledet i dina beräkningar. • Skriv svar.
1.1
M U LT I P LI K AT I O N O C H D I V I S I O N M E D STO R A O C H S M Å TA L
9
ETT 1 2
3
a) 10 ∙ 42
b) 10 · 3,7
c) 0,75 ∙ 100
d) 0,054 ∙ 10
11 Ser du sambanden mellan talen? Vilka tal saknas?
M
a) 0,2
18,5 a) 10
b) 72,2 / 100
164 c) 10
2,37 d) 10
M
Vilket är priset per liter?
M K
b) 30
3
c) 0,015
1,5
5 6 7 8
43 100 34,5 c) 1 000 · 0,13 d) 10 a) 10 · 0,65
a) 30 · 50
b) 20 · 300
c) 40 · 0,6
d) 0,02 · 9 000
a) 3 · 0,5
b) 0,4 · 3
c) 6 · 0,3
d) 0,2 · 5
a) 0,2 · 0,4 c) 5 · 0,7
b) 0,5 · 0,7 d) 2 · 0,04
Vilka tal ska stå i rutorna för att likheterna ska stämma? a)
9
?
10
= 2,25
M
0,03
150
?
A: 0,25 liter
B: 4 liter
C: 2,5 liter
D: 0,4 liter
en burk med 90 tabletter?
a) Är det okända talet större eller mindre än 0,5? Förklara hur du tänker. L
M K
M
M K
M
M K
P M K
?
∙ 40 = 24
b) 0,72 · ? = 720
Hur mycket magnesium får Elin i sig per dag om hon äter tre tabletter om dagen?
1.1
?
b) Vilket är det okända talet?
10 Hur mycket C-vitamin innehåller
10
200
100 mil. Hur mycket drar den per mil? M R Vilket alternativ är rätt?
13
b)
20
12 Ximenas scooter drar 25 liter bensin på
398 kr 10 liter
4
?
P B
En vanlig multivitamintablett kan innehålla 0,5 g Cvitamin, 0,15 g magnesium och 0,01 g zink.
M U LT I P LI K AT I O N O C H D I V I S I O N M E D STO R A O C H S M Å TA L
M R P K
TVÅ 72,8 10 c) 1 000 ∙ 0,76 d) 0,03 · 10
14 a) 100 · 6,2 15
0,5 a) 10 25 c) 100
16 a) 20 · 800 c) 0,8 · 7
21 Vilket tecken saknas
b)
M
a) 20 · 0,4 ? 100 · 0,075 c) 0,07 · 30 ? 7 · 3
d) 0,17 · 1 000
M
b) 0,2 · 300 d) 0,3 · 0,7
0,8 m långt. Hur långt har Jamal gått när han tagit 500 steg?
c) 0,07 ∙ 400
B M
b) 0,3 · 200 ? 0,03 · 2 000
b) 6,5 · 100
19 Vilket tal är x?
d) 0,07 ∙ 3 000
b) ? c) 6 500
M K
a) 0,0923 · x = 9,23 x = 0,34 b) 10
40 8
P B
?
8 000 65
?
0,004 8 miljoner 0,0065
24 Talet A är 10 ggr så stort som B.
Talet B är i sin tur 10 ggr så stort som C. a) Hur många gånger större är talet A M än talet C? b) Ge exempel på vilka de tre talen kan vara.
M R
M K
23 Ser du sambanden mellan talen? a) 4 000
M K
M
20 Förklara varför Noomi har rätt.
b) 40 · 900
Vilka tal saknas?
b) 20 · 2 000 d) 500 ∙ 300
22 a) 20 · 0,8 c) 30 ∙ 0,03
M K
17 Varje steg som Jamal tar är ungefär
18 a) 400 · 0,3
(>, < eller =)?
P K
25 a) Vilket värde har siffran 3 i talet 1,238?
0,04 gånger 7 000 är lika med 4 gånger 70
B
b) Vilket värde får siffran 3 om vi multiplicerar 1,238 med 1 000?
B M
c) Vilket värde får siffran 3 om vi dividerar 1,238 med 10?
B M
26 Sergej ska dividera ett tal med
100 på miniräknare. Men han råkar trycka på fel knapp och multiplicerar med 100 istället. Räknarens sifferfönster visar då 542. Vad skulle sifferfönstret ha visat om Sergej tryckt på M rätt knapp?
1.1
M U LT I P LI K AT I O N O C H D I V I S I O N M E D STO R A O C H S M Å TA L
11
K
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
TRE 27 a) 0,12 ∙ 1 000 c) 4 · 0,14 · 25
28 a) 0,5 ∙ 300 c) 50 ∙ 7 000
1,5 100 20 ⋅ 0,6 d) 10
36 Om vi multiplicerar talet A med 1 000
b)
M K
b) 0,2 ∙ 0,8 d) 7 000 ∙ 0,02
M K
ett annat tal så kan produkten bli mindre än 25. Hur kan det bli mindre än 25? P R
30 Innan Helena åkte till London för att
shoppa köpte hon 200 pund i en bank. Hur mycket fick hon betala om värdet M på 1 pund var 12,50 kr?
K
a) Att multiplicera ett tal med 0,1 ger samma resultat som att dividera B talet med ? . b) Att dividera ett tal med 100 ger samma resultat som att multiplicera talet med ? .
M K
32 En dag fick man betala 964 kr för
100 dollar och 1 044 kr för 100 euro. Hur mycket mer värd var en euro M än en dollar den dagen?
B M
båt förbrukar den 8 liter bensin på 10 min. På en timme hinner Erik köra 5 mil. Hur mycket bensin drar B båten per mil? L
är en vandrande pinne. Den är cirka 60 cm lång. Hur många gånger M längre än spottstriten är den?
M K
39 Produkten av två tal är 6. Summan av K
talen är 30,2. Vilka är talen?
L
33 Den längsta insekten i hela världen
K
34 Det svenska rekordet i höjdhopp är
242 cm och innehas av Patrik Sjöberg. Tänk dig att Patrik skulle ha varit lika duktig på att hoppa som en spottstrit. Hur högt skulle han kunnat hoppa då? P B K Patrik Sjöberg är 2 m lång.
35 Den minsta bakterie man känner till
är cirka 1 000 000 gånger kortare än spottstriten. Hur lång är den bakterien? M K Svara i mikrometer.
Spottstriten är en insekt. Den är 6 mm lång. Den skyddar sig genom att omge sig med skum. Om den blir skrämd kan den hoppa sex decimeter högt.
1 mikrometer = 1 000 millimeter
1.1
M
38 När Erik kör fort med sin motor-
31 En dag gick Elsa 8 000 steg. Hur
12
R
37 Vilka tal saknas?
29 När man multiplicerar talet 25 med
många kilometer är det om hennes steg i genomsnitt är 60 cm långa? B
får vi talet B. Om vi dividerar talet A med 1 000 får vi talet C. ”Då är talet B en miljon gånger så stort som talet C” säger Daniel. Tänker han rätt? M Motivera ditt svar.
M U LT I P LI K AT I O N O C H D I V I S I O N M E D STO R A O C H S M Å TA L
P B K
Del 4
Division med stora och små tal
1 Taluppfattning och tals användning (I)
1.2
Division med stora tal När man ska dividera med ett tal som slutar på en eller flera nollor kan man först förkorta med exempelvis 10, 100 eller 1 000 för att få en ensiffrig nämnare. När man förkortar ett tal innebär det att man dividerar täljare och nämnare med samma tal. EXEMPEL
a)
18,6 30
b) 45 / 500
18,6 18,6 / 10 1,86 = = = 0,62 a) 30 30 / 10 3 b) 45 / 500 =
Här förkortar du med 10 för att få ett ental i nämnaren. Sedan räknar du ut kvoten med huvudräkning eller kort division.
45 45 / 100 0,45 = = = 0,09 500 500 / 100 5 Här förkortar du med 100 för att få ett ental i nämnaren. Sedan räknar du ut kvoten med huvudräkning. 45 hundradelar dividerat med 5 är lika med 9 hundradelar, vilket skrivs 0,09.
Svar: a) 0,62
b) 0,09
1.2
D I V I S I O N M E D S T O R A O C H S M Å TA L
13
Division med små tal När man ska dividera med ett tal i decimalform kan man först förlänga med 10, 100 eller 1 000 för att få en ensiffrig nämnare. När man förlänger ett tal innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. EXEMPEL
a)
12 0,2
a)
b) 42,8 / 0,04
12 12·10 120 = = 60 = 0,2 0,2·10 2
b) 42,8 / 0,04 =
Förläng med 10 så att du får ett ental i nämnaren. Beräkna sedan 120 / 2 med huvudräkning.
42,8 42,8·100 4280 = =1070 = 4 0,04 0,04·100 Förläng med 100 så att du får ett ental i nämnaren. Beräkna 4 280 / 4 med huvudräkning eller med kort division.
Svar: a) 60
b) 1070
• Skriv av uppgiften. • Visa mellanledet i dina beräkningar. • Skriv svar.
EXEMPEL
Du får veta att 3,2 / 5 = 0,64. Hur mycket är då a) 3,2 / 50
b) 3,2 / 0,05
a) 3,2 / 50 = 0,064
50 är en tio gånger större nämnare än 5. Därför är kvoten tio gånger mindre.
b) 3,2 / 0,05 = 64
0,05 är en hundra gånger mindre nämnare än 5. Kvoten är därför hundra gånger så stor.
Svar: a) 0,064
14
1.2
b) 64
D I V I S I O N M E D S T O R A O C H S M Å TA L
K
ETT 800 40 12 c) 30
3500 500 48 d) 20
6 0,2
b) 2 / 0,4
40 a)
41 a)
49 Adam och Theo har räknat ut
b)
c) 5 / 0,01
d)
a) Vem har räknat rätt? M
4 0,08
M
Kartongen kostar 48 kr. Vad kostar ljusen per styck?
M K
43 En bräda är 2,5 m lång. Brädan
sågas i bitar som är 0,5 m långa. Hur många bitar blir det?
c) 328 / 40
M R
1,2·10 1,2 12 = = =3 0,04 0,04·100 4
Theo 1,2·100 120 1,2 = = = 30 0,04 0,04·100 4
b) 12 / 0,3 d) 1,5 / 0,05
när Johan räknar så här:
M K
b)
50 Hur många dominobrickor måste
läggas efter varandra för att raden ska bli 3 m lång?
B M R
720 7,2 = = 1,8 400 4
c) 2,5 / 50
b) Vilket fel har den andre gjort?
M K
45 Förklara varför det blir rätt svar
46 a) 120 / 300
M
Adam
42 I en kartong finns 30 stearinljus.
44 a) 860 / 200
1,2 . 0,04
P K
51 Brickorna i ett dominospel
väger 2,24 hg. Hur många brickor är det?
M K
2 0,04
d) 42 / 70
M K
47 Ett kort på ett gym kostar 680 kr för 20 gånger. Vilken är kostnaden per gång? 12,6 60 17,5 c) 70
48 a)
M K
b) 0,08 / 0,4 d) 0,4 / 0,08
M K
1.2
Dominobrickorna uppfanns i Kina för minst 300 år sedan. En dominobricka är 0,05 m lång och 0,025 m bred. Vikten är 0,08 hg. Prickarna motsvarar prickarna på två slagna tärningar. En blank sida är noll.
D I V I S I O N M E D S T O R A O C H S M Å TA L
15
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
TVÅ 40 0,8 2,4 d) 0,03
65 50 243 c) 30
52 a)
61 Ali räknar så här:
b)
3 0,6 4,8 c) 0,08
53 a)
72 12 = = 0,12 600 100
M K
b) 4,5 / 50 d)
64 200
a) Räknar han rätt eller fel? b) Förklara hur du tror att Ali har tänkt.
M K
54 Under en laboration i fysik kom Amina
62 Vilka tal saknas?
3
fram till att 30 cm (kubikcentimeter) T-Röd väger 27 g. Hur mycket väger M 1 cm3 T-röd?
K
M K
mindre än 60. Men om man dividerar 60 med 0,3 blir kvoten större än 60. M Förklara varför.
c) En division med 0,25 ger samma resultat som en multiplikation med ? .
R
63 Du får veta att 24,3 / 0,3 = 81.
c) 61,5 / 300
Hur mycket är då a) 24,3 / 30
57 Hugo räknar 58 a) 22,8 / 60
b) 0,243 / 3
M R
b) 2,45 / 0,7 d) 2,88 / 0,09
M K
59 På en ritning över en 400-metersbana
är alla sträckor 200 gånger kortare än i verkligheten. Hur lång är raksträckan M K på ritningen?
60 När Johanna springer är hennes steglängd 0,8 m. Hur många steg tar Johanna när hon springer ett varv runt löparbanan?
16
1.2
B M
b) En division med 0,5 ger samma resultat som en multiplikation med ? .
56 Om man dividerar 60 med 3 blir kvoten
65 och får kvoten 13. 50 Vad tror du att han har gjort för fel?
R
a) En division med 0,1 ger samma resultat som en multiplikation med ? .
55 Manas scooter drar 0,3 liter bensin
per mil. Hur långt kan hon köra på 9 liter?
M
P K
D I V I S I O N M E D S T O R A O C H S M Å TA L
Det är en hel vetenskap hur man bygger en 400 m löparbana. Till exempel får längden på banan bara variera med 4 cm. Raksträckan ska vara 84 m och radien på kurvan 36,5 m.
B
TRE 64 a) 4,2 / 0,06 c) 0,64 / 0,2
0,8 40 87,5 d) 700
72 En miljon kronor i tusenlappar
b)
väger 1,4 kg.
M K
65 Produkten av två tal är 6,5. Det ena talet är 50. Vilket är det andra?
B M K
66 ”Att dividera ett tal med 5 ger samma
svar som att multiplicera talet med 0,2”, säger Kamal. a) Pröva om det stämmer.
B M
b) Förklara ditt resultat.
R
67 När Lukas ska räkna ut hur mycket en tiondel av 50 är så räknar han 50 . Räknar Lukas rätt? så här: 0,1 Motivera ditt svar.
68 Vilka tal saknas?
M R B M
a) En division med 10 ger samma resultat som en multiplikation med ? .
c) En division med 50 ger samma resultat som en multiplikation med ? .
73 a) c)
0,6 ⋅ 0,4 0,2 900 ⋅ 0,07 30
50 ⋅ 0,3 0,05 400 ⋅ 0,8 d) 0,4 ⋅ 0,5 b)
M K
74 Den längsta raden mynt som lagts ut
någon gång gjordes i Kansas, USA. Raden var nästan 70 km lång och innehöll ungefär tre och en halv miljon 1-cents mynt. Vilken diameter har ett sådant mynt? Svara i millimeter. P B K
75 Lisa har 12 flaskor med lingondricka.
Varje flaska rymmer 0,5 liter. Nu vill hon istället hälla över lingondrickan i mindre flaskor som rymmer 0,3 liter.
0,3 ⋅ 0,5 12
B:
12 ⋅ 0,5 0,3
C:
12 ⋅ 0,3 0,5
b) Räkna ut hur många småflaskor det blir.
M K
B M
70 Hur många dygn tar det för 30 elever P K
71 Bianca väger 60 kg. Hur många
dygn tar det för henne att byta ut all sin hud? L
b) Hur mycket väger en miljard kronor i tusenlappar?
A:
69 Du ska dividera 50 med 0,2. Ge minst
i en klass att sammanlagt tappa 6 kg hud? L
a) Hur mycket väger en tusenlapp? Svara i gram.
a) Med vilken uträkning kan du räkna ut hur många småflaskor lingonP drickan räcker till?
b) En division med 1 000 ger samma resultat som en multiplikation med ? .
två förslag på hur du kan göra.
B M K
Huden är människans största organ. Den utgör ungefär en femtedel av vår totala vikt. En människa tappar cirka 0,002 kg hudceller varje dygn.
P K
1.2
D I V I S I O N M E D S T O R A O C H S M Å TA L
17
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
Räkna med bråk
1.3
Andel Rektangeln är indelad i fem lika stora delar. Två av dessa är röda. 2 Vi säger att andelen som är röd är 2 femtedelar. Det kan vi skriva som . 5 Andelen har då skrivits i bråkform. 2 är ett bråk. De båda talen som bildar ett bråk kallas 5 täljare och nämnare.
Talet
Om vi utför divisionen 2 / 5 får vi 0,4. Det läses som ”fyra tiondelar” 2 eller ”noll komma fyra”. Bråket har då skrivits i decimalform. 5 Följande samband mellan bråkform och decimalform är viktiga att kunna utantill: 1 = 1 1
2 ≈ 0,67 3
1 = 0,5 2
1 ≈ 0,33 3
1 = 0,25 4
1 = 0,2 5
1 1 = 0,01 = 0,001 1 000 100
1 = 0,1 10
4
18
+
1.3
4 4
+
4 4
13 i bråkform. Vi kan rita det så här: 4
+
RÄKNA MED BRÅK
1 4
=
5
≈ betyder ”är ungefär lika med”.
bråkform 4
2
13 4
bråkstreck nämnare
Bråkform och blandad form Talet 13 fjärdedelar skrivs
täljare
Del 4
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Det behövs 4 fjärdedelar för att bygga en hel. Vi kan därför också rita så här:
blandad form 1
+
Vi ser att
1
+
1
+
1 4
=
3
1 4
13 1 = 3 . Vi har då skrivit bråket i blandad form. 4 4
Förlängning och förkortning Värdet av ett bråk kan uttryckas på oändligt många sätt. 1 Till exempel kan skrivas så här: 2 1 2 3 4 5 6 = = = = = =… 2 4 6 8 10 12 1
2
3
4
5
6
2
4
6
8
10
12
När ett bråk skrivs i bråkform på ett nytt sätt kallas det för att förlänga eller förkorta bråket. 1 1⋅ 2 2 = = 2 2⋅2 4
Här förlänger vi med 2 vilket betyder att både täljare och nämnare multipliceras med 2.
6 6/6 1 = = 12 12 / 6 2
Här förkortar vi med 6 vilket betyder att både täljare och nämnare divideras med 6.
När ett bråk är skrivet med så liten nämnare som möjligt, är det skrivet i enklaste form. Bråket kan då inte förkortas mer. Däremot kan ett bråk förlängas hur många gånger som helst.
Jämföra tal i bråkform Om man vill jämföra storleken av två bråk med olika nämnare, så är en bra metod att skriva bråken med samma nämnare. Den nämnare som man då ofta väljer är den minsta gemensamma nämnaren (MGN). 3 4 Till exempel har bråken och den minsta gemensamma nämnaren 20 4 5 eftersom 20 är det minsta tal som är delbart med både 4 och 5. Vi förlänger det första bråket med 5 och det andra bråket med 4. 3 3 ⋅ 5 15 4 4 ⋅ 4 16 = = och = = . 4 4 ⋅ 5 20 5 5 ⋅ 4 20 Eftersom
15 16 3 4 < så är < . 20 20 4 5
< betyder ”är mindre än” > betyder ”är större än
1.3
RÄKNA MED BRÅK
19
EXEMPEL
Vilket tal är störst,
2 5 eller ? 3 7
MGN: 21 2 2·7 14 = = 3 3·7 21 5 5·3 15 = = 7 7·3 21
För att kunna jämföra bråken skriver vi dem med samma nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren till 3 och 7 är 21. För att få nämnaren 21 förlänger du
2 3
med 7 och
5 7
med 3.
Ett annat sätt att jämföra bråken är att skriva dem i decimalform. 2 5 Du får då att ≈ 0, 67 och ≈ 0, 71 . 3 7
K
Svar:
• Skriv en gemensam nämnare, till exempel den minsta gemen samma nämnaren.
5 är störst. 7
• Visa förlängningarna. • Skriv svar.
EXEMPEL
Hur stor andel av rektangeln är vit? Svara med ett bråk i enklaste form.
3
1
4
5
3 1 3 Eftersom = 0, 25 så är = 0, 75 . = 0,75 4 4 4 1 = 0,2 5 Andel vit: 1– 3 – 1 =1– 0,75 – 0,2 = 0,05 = 5 = 5 / 5 = 1 4 5 100 100 / 5 20 Du kan förkorta med 5.
1 Svar: av rektangeln är vit. 20
K • Presentera och teckna beräkningen. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar.
20
1.3
RÄKNA MED BRÅK
ETT 76 Skriv talen i bråkform. 2 3 4 c) 1 5
a) 1
B M
blandad form och i bråkform.
1 4 1 d) 3 2 b) 2
B
a)
77 Hur stor andel av blommorna är blåa? Svara med ett bråk i enklaste form.
80 Skriv de tal som bilderna visar i
B K
b)
1 + 0,9 2 1 c) 1 + 0,7 4
3 − 0,3 4 1 1 d) + 2 4
81 a)
b)
M K
82 Vilket tal är störst? a)
1 3 eller 4 8
b)
M K
2 7 eller 3 9
1 = 1,4 och förstår inte 4 att det är lika med 0,25. Förklara B R för henne hur hon kan tänka.
83 Hibak tror att
84 Skriv talen i blandad form. 78 Förläng bråken så att nämnaren blir 20.
3 10 1 c) 2 a)
10 15 4 c) 14
10 3
b)
27 4
c)
22 5
d)
22 9
B M
1 4 2 d) 5 b)
79 Skriv bråken i enklaste form. a)
a)
3 12 8 d) 12 b)
B M
85 Vilken pil pekar på vilket tal? B M
a)
5 2
b)
4 3
c)
3 2
d)
9 4
AB
0
1
1.3
P
C D
2
3
RÄKNA MED BRÅK
21
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
TVÅ
Tre femtedelar av alla som dör i trafiken färdas i bil.
86 Skriv talen som bråk i enklaste form.
B M
a)
12 16
b) åtta tiondelar
c)
10 35
d) 0,24
89 Av alla som dör i trafiken per år är
87 Visa om påståendena stämmer eller ej.
M R
a)
2 5 < 3 6
b)
3 7 > 5 10
c)
3 5 < 4 6
d)
1 = 0,33 3
är ungefär lika med de här talen? Motivera dina svar. 1 3
11 12
22
1.3
P R
d) 1 8 23
2 19
47 49
RÄKNA MED BRÅK
5 21
B M K
a) Hur stor andel av de som dör är kvinnor? Svara i decimalform.
90 Hur stor andel av de som dör
b) 0,25
c) 0,1
3 män. 4
b) Hur stor andel av de som dör i trafiken har inte färdats i bil? Svara i bråkform.
88 Vilket eller vilka av bråken i rutan
a)
1 av de omkomna är under 18 år. 25 Tre tiondelar av alla som dör är 65 år eller äldre.
7 68
i trafiken är 18-64 år? Svara i decimalform.
P B K
94 I gymnasieskola A går 160 av skolans
50-lappar?
400 elever i årskurs 1. På gymnasieskola B är det 90 av skolans 300 elever som går i årskurs 1.
b) Hur stor andel av sedlarnas värde är 50-lappar? Svara med bråk i enklaste form.
B M K
a) På vilken skola är andelen i årskurs 1 störst? L
M K
b) Hur stor är andelen elever i årskurs 1 på den skolan? Svara med ett bråk i enklaste form.
B M
95 Vilket tal pekar pilen på?
L
P K
a) 1
5 6
3
b) 2 3
24 vatten. ”Då 25 12 vatten” består en halv gurka av 25 säger Ester. Tänker hon rätt eller fel? M Förklara hur du tänker.
3 4
92 En gurka består av
R
93 a) Vilken av följande beräkningar
ger det största svaret och vilken ger det minsta? 2 + 1,3 5 7 4 C: + 10 5 A:
M
3 4 3 D: 3,2 − 1 5 B: 3,4 − 1
b) Skriv det minsta svaret i blandad form.
B
1.3
RÄKNA MED BRÅK
23
1 Taluppfattning och tals användning (I)
91 a) Hur stor andel av sedlarna är
Del 4
TRE 96 Skriv bråken i blandad form med så liten nämnare som möjligt. 12 9 25 c) 15
B M
15 6 42 d) 35
a)
b)
97 Hur stor andel av figurens area är lila? Svara med ett bråk i enklaste form. a)
1
3
P B K
(cm)
2
2
4
b)
2
101 Albin lagar lunch. Han lagar 120 g kött-
4
2
2
bullar, 200 g pasta och 80 g ärtor. Hur B M stor andel av lunchen består av a) köttbullar
(cm)
98 Skriv talen i storleksordning. Börja med det största. 2 3 3 b) 4 a)
3 4 4 5
M K
5 11 6 12 7 13 10 20
1 2 4 5 1 3 1 b) 1 − + 2 10 5 4
c) Albin äter upp alla köttbullarna, fyra femtedelar av pastan och tre fjärdedelar av ärtorna. Hur stor andel av det som finns kvar är ärtor? Svara i bråkform.
102 Vilket tal pekar pilen på?
1
b) M K
5 men 6 mindre än 1. Hur många sådana bråk finns det? Förklara hur du tänker.
RÄKNA MED BRÅK
P K
3 4
3
1 12
1
100 Skriv ett bråk som är större än
1.3
L
a)
99 a) 2 − 1,9 +
24
b) ärtor
Svara med bråk i enklaste form och i decimalform.
2
1
K
6 15 28 och är 7 16 29
103 Vilket av bråken , P
närmast 1? Förklara hur du tänker.
P R
104 Vid en expedition till Antarktis hittade
några biologer flera nya djur. En fjärdedel av djuren var jättestora maskar och tre femtedelar var väldiga havsspindlar. Resten var sjöpungar. a) Hur stor andel av djuren var sjöpungar? Svara med bråk i enklaste B M form och i decimalform. b) Hur många sjöpungar hittade biologerna om antalet havsspindlar var 12? L
105 Salper och sjöpungar tillhör båda
familjen manteldjur. Salper simmar vid ytan på dagen, men på natten vilar de på 800 m djup. Hur mycket djupare är det jämfört med det djup sjöpungar oftast finns på?
M K
K
P K
På 1 500 m djup i Antarktis har man hittat en ny form av sjöpungar som ser ut som jättestora blommor av glas. Oftast finns sjöpungar på sju tjugofemtedelar av det djupet.
1.3
RÄKNA MED BRÅK
25
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
Addition och subtraktion av bråk
1.4
Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare Om vi ska addera bråken
1 1 och kan vi göra det på två sätt. 2 3
METOD 1 Vi förlänger bråken så att de får samma nämnare. Det enklaste är oftast att välja den minsta gemensamma nämnaren (MGN). I det här fallet är 6 den minsta gemensamma nämnaren eftersom det är det minsta tal som är delbart med både 2 och 3. Den här metoden ger ett exakt svar. 1 1 1⋅3 1⋅ 2 3 2 5 + = + = + = 2 3 2⋅3 3⋅2 6 6 6
Det första bråket förlängs med 3 och det andra med 2.
Vi kan visa förlängningen och beräkningen med bilder:
=
+ 1
+
2
1
3 6
3
I den första kvadraten är
Vi delar in de båda kvadraterna i lika delar, sjättedelar. Det motsvarar för längningen. Då får vi den här bilden:
+
+
2 6
1 1 3 2 5 3 2 orange och i den andra . Vi ser då att + = + = . 2 3 6 6 6 6 6
METOD 2 Vi skriver bråken i decimalform och adderar därefter. Eftersom vi i det här fallet avrundar ett av talen så får vi ett ungefärligt svar. 1 1 + ≈ 0,5 + 0,33 = 0,83 . 2 3 Även när man subtraherar bråk måste man först göra om termerna till samma nämnare eller göra om dem till decimalform.
26
1.4
ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK
a)
a)
5 3 + 8 4
2 8 b) 1 − 9 9
c)
1 + 0,7 6
5 3 5 3·2 5 6 11 3 + = + = + = =1 8 4 8 4·2 8 8 8 8
Det minsta tal som är delbart med 8 och 4 är 8. Alltså är den minsta gemensamma nämnaren 8 (MGN: 8).
Förläng
MGN: 8
3 4
med 2 för att få nämnaren
8. Svara med ett bråk i blandad form..
2 8 11 8 3 3 / 3 1 = b) 1 – = – = = 9 9 9 9 9 9/3 3
Här har bråken samma nämnare från 2 början. Då skriver du 1 i bråkform. 9 Sedan blir det enklare att subtrahera. Förkorta med 3 för att få bråket i enklaste form.
c)
med att26 skriva sju 26 tiondelar 1 / 2i 13 1 7 1·5 7·3 5 Börja21 =0, 7 = 107 . = = + +0 ,7 = + = + = bråkform, 6 6 10 6·5 10·3 30 30 30 30 / 2 15
7 1·5 7·3 5 21 26 26 / 2 13 = + = + = = = 10 6·5 10·3 30 30 30 30 / 2 15
Förkorta med 2.
MGN: 30
Svar: a) 1
3 8
Minsta gemensamma nämnaren (MGN) är 30. För att få nämnaren 30 i båda bråken förlänger du det första bråket med 5 och det andra bråket med 3.
b)
13 c) 15
1 3
1.4
K • Teckna uppgifterna. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar.
ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK
27
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4 EXEMPEL
ETT 106 a) 1 −
2 9
c) 2 −
1 5
4 5
107 a) 2 − 1 c)
7 1 − 8 8
5 1 + 8 8 3 1 d) + 4 4
109 a) 0,9 −
b)
1 5
2 1 2 + + 3 3 3 2 2 d) 1 + 2 7 7
c)
M K
1 1 + 2 4 3 1 d) + 4 12 b)
1 1 − 4 8
M K
110 Svaren på uppgifterna finns markerade
b)
på tallinjen. Vilken pil hör till vilken uppgift?
M K
108 En bloggare frågade sina följare om 8 svarade ”ja” 21 6 svarade ”vet ej”. medan 21 Resten svarade ”nej”. Hur stor andel svarade ”nej”?
1 5
de tror på spöken.
a)
6 1 + 8 4
b)
7 1 − 10 5
c)
2 1 +1 5 10
d)
11 1 − 12 6
e) Beräkna summan av A och B. A
B
C
P
B M K
D
M K
0
2 1 + 3 4 2 4 c) − 3 9
111 a)
1
2
b)
1 5 + 3 6
d) 0,9 −
3 5
M K
1 1 + får hon svaret 4 4 2 . Gör Maja rätt? Förklara hur du 8
112 När Maja räknar
tänker.
M R
113 Patrik, Diamond och Armin ska dela på en summa pengar. Patrik ska ha hälften och Armin en fjärdedel. Diamond får 60 kr. Hur mycket får Patrik och Armin? L
28
1.4
ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK
P K
TVÅ 7 + 9 3 + c) 4
114 a)
4 9 3 3 + 4 4
115 a) 0,13 − c)
7 3 − 8 4
3 50
b) 2 −
2 5
7 1 d) 2 − 1 8 8 3 + 0,7 20 4 7 d) 1 − 9 9
119 a) Vilken beräkning ger det största
och vilken ger det minsta svaret?
M K
b)
1 5 + 9 6
B: 2 −
C:
3 − 0,1 4
D:
3 3 − 8 4
2 3 1 − + 3 4 6
M K
b) Beräkna differensen mellan de två svaren i uppgift a).
116 Omar blandar juicen och mineralvattnet i en stor kanna. Hur stor volym har blandningen?
A:
120 Vid en undersökning frågade
att det skulle vara bra med ett förbud mot mobiltelefoner i skolan. En fjärdedel svarade att ett förbud skulle vara dåligt. Resten svarade ”vet ej”. Hur stor andel svarade ”vet ej”? Svara B M K med ett bråk i enklaste form.
117 Sofia beräknar −
P R
118 I en skål finns en fruktsallad av
mango och hallon. Fruktsalladen väger 150 g. Två tredjedelar av salladen är mango. Hur mycket hallon måste du lägga till för att hälften av salladen ska vara mango?
B M K
121 55 hundradelar av eleverna svarade
3/4 liter
1 1 7 och får . 3 4 12 Förklara varför hon direkt borde kunna inse att svaret är fel.
B M K
M K
man elever hur de får använda mobiltelefonen i skolan. Hur stor andel av eleverna får använda mobiltelefon under lektionstid?
1/3 liter
M
Hälften av eleverna svarade att de bara får använda 2 mobiltelefonen på rasten. får inte använda 5 telefonen alls under skoldagen. Resten får använda den även under lektionstid.
P K
1.4
ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK
29
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
TRE 11 2 − 12 3 3 5 c) + 1 8 6
122 a)
4 3 + 5 4 1 11 d) 3 − 1 4 12
b)
126 Världens högsta träd är ett mammut-
träd. Sveriges högsta träd är en gran. Granen är cirka 9/25 av mammutträdets höjd. Hur högt är Sveriges högsta träd? B M K Avrunda till hela meter.
M K
123 I tabellen ser du andelen barn som
har valt samma yrke som någon av sina föräldrar. För vilket yrke är det vanligast? Yrke
P
127 Sveriges äldsta tall har en ålder som är
2/25 av världens äldsta träd. Sveriges äldsta ek har en ålder som är 2/19 av världens äldsta träd. Hur mycket äldre är eken än tallen? Avrunda till B M tiotal år.
Andel personer
Städare Fiskare Skomakare Djuruppfödare Vårdpersonal
1 5 37 hundradelar 4
K
128 En tredjedel av träden i en skog är gra-
25
nar och en fjärdedel är tallar. Hälften av de övriga träden är lövträd. Hälften av lövträden är björkar. Hur stor andel av träden i skogen är björkar? Svara med P B K ett bråk i enklaste form. L
1/4 70 200
124 Åsa, Emma och Nishti äger en häst till-
2 1 och Emma äger . 5 3 B M K a) Hur stor andel äger Nishti?
sammans. Åsa äger
b) Det kostar 45 000 kr per år att ha hästen i ett stall. Hur mycket ska var och en betala?
Världens äldsta träd är en gran som är 9 550 år gammal och står på Fulufjället i nordvästra Dalarna i Sverige. Världens högsta träd är 115 m högt och finns i Kalifornien, USA.
P K
125 Tänk dig att du skriver MATEMATIK ÄR TOPPEN. Sedan skriver du meningen igen, men denna gång flyttar du den sista bokstaven i varje ord till början av ordet. Du får då KMATEMATI RÄ NTOPPE. Sedan skriver du det igen med den nya sista bokstaven först. Du får då IKMATEMAT ÄR ENTOPP. Hur många gånger totalt måste du skriva om meningen för att det ska stå MATEMATIK ÄR TOPPEN igen? L 30
1.4
129 a) Ge exempel på vilka tal x och y kan
P K
ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK
1 1 1 vara om x + y = 2 . b) Hur många lösningar finns det? Motivera ditt svar. L
P R
Del 4
Multiplikation av bråk
1 Taluppfattning och tals användning (I)
1.5
Multiplikation av två bråk (cm)
(cm)
(cm) 1 2
1
1
1
2
2 1
1
1
1
2
2
2
Om vi delar in sidornas längder i två
Kvadratens area är 1 cm · 1 cm = 1 cm2.
1 lika delar blir varje del cm lång. 2
Hur stor area har då den lilla gula kvadraten?
Vi ser att det får plats fyra små kvadrater i den stora kvadraten. 1 1 Alltså är den gula kvadratens area av den stora kvadratens area, alltså cm2. 4 4 1 1 Men arean är lika med basen gånger höjden. Vi kan därför teckna den så här: ⋅ cm2. 2 2 1 1 1 ⋅1 1 = Alltså är ⋅ = 2 2 2⋅2 4 När man multiplicerar bråk så multipliceras täljarna för sig och nämnarna för sig.
Multiplikation av ett heltal och ett bråk Hur är det då när man multiplicerar ett heltal med ett bråk?
1 . 2 1 1 1 1 3 1 Om vi tecknar multiplikationen som en addition får vi: 3 ⋅ = + + = = 1 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 ⋅1 3 1 Vi kan också skriva 3 som och får då: 3 ⋅ = ⋅ = = =1 1 2 1 2 1⋅ 2 2 2 Vi kan som exempel titta på multiplikationen tre gånger en halv, 3 ⋅
+ 1 2
+
+ 1 2
= 1
+
2 3·
1 2
= =
= 3 2 3 2
=
1
=
1
1.5
1 2 1 2
M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K
31
EXEMPEL
a)
1 3 ⋅ 2 5
a)
b) 3 ⋅
4 7
c)
1 3 1·3 3 · = = 2 5 2·5 10
3 6 ⋅ 4 7 När du multiplicerar två bråk med varandra multi plicerar du täljarna för sig och nämnarna för sig.
4 3 4 3·4 12 5 b) 3· = · = = =1 7 7 1 7 1·7 7 3
3 6 3·6 3· 6 9 = = c) · = 4 7 4·7 4 ·7 14 2
Skriv 3 i bråkform som
3 1
.
Det finns ett tal i täljaren (6) och ett tal i nämnaren (4) som är delbart med 2. Vi kan då förkorta med 2. Du kan också först multiplicera och sedan förkorta 3 ⋅ 6 18 18 / 2 9 = = = med 2. Då får du: 4 ⋅ 7 28 28 / 2 14
K
Svar: a)
3 10
5 b) 1 7
c)
• Skriv av uppgiften.
9 14
• Visa mellanleden i dina beräkningar. • Omvandla till enklaste form. • Skriv svar.
EXEMPEL
I ett kassaskrin finns 120 mynt. Två tredjedelar av mynten är femkronor. Hur många femkronor finns i kassaskrinet?
Mynt totalt: 120 st
40
2·120 2 2 120 Antal femkronor: ·120 st = · st = st = 80 st 3·1 3 3 1 1
Du kan också räkna ut antalet genom att först dividera 120 med 3 och därefter multiplicera med 2. K • Presentera dina fakta. • Presentera och teckna dina beräkningar.
Svar: Det är 80 femkronor i kassaskrinet.
• Visa alla steg i lösningen. • Ta med enheter i varje led. • Skriv svar.
32
1.5
M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K
ETT 1 1 ⋅ 2 3 1 1 c) ⋅ 3 4
2 2 ⋅ 5 3 1 d) 2 ⋅ 3
1 ⋅4 8 2 c) 5 ⋅ 7
1 4 ⋅ 2 5 3 5 d) ⋅ 4 9
130 a)
134 Hur mycket innehåller de tre glasen
b)
131 a)
sammanlagt?
L
M K
M K
b)
M K
132 Bilden nedan kan som addition tecknas
4 4 + . 5 5
1
+
dl
1
3 1 ⋅ 8 6 3 5 c) ⋅ 10 7
135 a)
a) Hur kan bilden tecknas som en multiplikation? b) Räkna ut svaret. Svara i blandad form.
1 2
B M
B M K
1 1 4 8 Tänker han rätt? Motivera ditt svar utan att räkna.
1 2
dl
1
b) 6 ⋅ d)
1 2
2 9
3 ⋅ 10 5
136 a) Teckna multiplikationen 4 ⋅ som en addition.
b) Vilket är svaret?
133 Noah tror att 2 ⋅ = .
M R
1 3
137 Visa att 3 ⋅ = 1 .
1.5
dl
M K
4 9
P B K M
L
M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K
P
33
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
TVÅ 2 1 ⋅ 5 3 2 6 c) ⋅ 9 7
138 a)
b) 3 ⋅
2 5
142 Förklara vad det är för skillnad på
7 d) ⋅ 2 8
139 a) 2 ⋅ 3
b) 5 ⋅
3 5 3 4 c) ⋅ 8 9
d)
M K
7 ⋅3 12
M K
är lika mycket som en femtedel av en halv. Kan det stämma? Motivera ditt P svar.
B M
b) Vilken är produkten?
M K
+
båda faktorerna i bråkform. 5 1 ⋅1 6 3 1 1 c) 2 ⋅ 1 2 10 a)
145 a) 141 a) Hur stor andel av pizzan är uppäten?
b) Rasmus äter upp tre fjärdedelar av det som är kvar av pizzan. Hur stor andel av hela pizzan B äter han? L c) Hur stor andel finns sedan kvar av pizzan?
34
1.5
M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K
R
144 Beräkna genom att först skriva
en multiplikation?
+
B R
143 Fadi påstår att hälften av en femtedel
7 10
140 a) Hur kan bilden tecknas som
+
att förlänga ett bråk med 2 och att multiplicera ett bråk med 2.
B
2 5 1 ⋅ − 3 8 4
b) 4 ⋅ 2
P B
1 8
2 1 d) 4 ⋅ 1 3 5 b)
7 2 1 + ⋅ 12 3 6
4 1 1 c) + ⋅ 7 2 3 1 3 d) 0,4 + 2 ⋅ 1 4 5
M K
B M K
L
M K
TRE 7 4 ⋅ 8 5 5 c) 0,1 ⋅ 6
146 a)
b) 5 ⋅ d)
3 4
2 ⋅ 12 9
M K
147 Beräkna genom att först skriva båda faktorerna i bråkform. 3 a) 2 ⋅ 14 7 2 c) 1,2 ⋅ 1 3
B M K
2 1 b) 3 ⋅ 1 3 8 1 2 d) 4 ⋅ 1 5 7
153 I undersökningen svarade 3/4 av
männen och 3/5 av kvinnorna att de var ute i naturen ”minst en eller ett par gånger i veckan”. Hur stor andel av alla svarade så? L
2 3
148 Vilka av produkterna är större än ? Svara utan att räkna ut svaret och förklara hur du tänker. 2 A: ⋅ 2 3 C: 0,7 ⋅
D:
P K
B M R
Vid en undersökning i Linköpings kommun tillfrågades 150 kvinnor och 120 män om olika naturfrågor. 27 % svarade att de var ute i naturen dagligen.
2 4 B: ⋅ 3 7 2 3
2 att 5 ”det ökar livskvalitén att vara ute i skog 1 och mark”. Av övriga var det som 9 svarade att det ”saknar betydelse för livskvalitén”. Hur stor andel svarade P K något annat? L
152 Vid en undersökning svarade
8 2 ⋅ 5 3
149 a) Skriv 0,75 ∙ 0,4 som en multiplikation av två bråk i enklaste form.
b) Vilken är produkten? 1 3 3 1 3 3 ⋅ + b) ⋅ + 3 8 4 3 8 4 4 3 3 c) ⋅ ⋅ 1 9 5 4 2 1 1 L d) 0,9 − ⋅ + 5 2 4
B B M
150 a)
M K
151 Av Ninas lön dras 1/3 i skatt. Av det som är kvar efter skatt betalar Nina 2/5 i hyra för sin lägenhet.
a) Hur stor andel av lönen betalar B Nina i hyra? L
M K
b) Hur stor andel av lönen har Nina kvar efter hon har betalat skatt och hyra?
P K
1.5
M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K
35
1 Taluppfattning och tals användning (I)
Del 4
bildförteckning 11 Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå 12 Stephen J. Krasemann/Photo Researchers/ IBL Bildbyrå/TT 17 Matton Collection/Johnér Bildbyrå 22 Henrik Trygg/Johnér Bildbyrå 23:1 Riksbanken 23:2 Susanne Walström/Johnér Bildbyrå 24 Anna Skoog/Johnér Bildbyrå 25 Morten Rasmussen/Biofoto/TT 29:3 Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå 30 Peter Turander/Azote 35 plainpicture/Johnér Bildbyrå 40 Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå 48 Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå 59 NASA 61 Johnathan Ampersand Esper/Getty Images 65 Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå 66 Cultura Creative/Johnér Bildbyrå 70 NASA 71 NASA 77 Angelica Tånneryd/Johnér Bildbyrå 81:3 Science Photo Library/TT 81:4 Steve Gschmeissner/Science Photo Library/TT 82:4 Susanne Walström/Johnér Bildbyrå 88 NASA/ESA/STSCI/Hubble Heritage Team/ /Science Photo Library/TT 93 Tetra Images/Getty Images 97 National Cancer Institute/Science Photo Libarary/TT 98 National Human Genome Research Institute 100 Hans Berggren/Johnér Bildbyrå 110 Jean Vaillancourt/Mostphotos 116 Elliot Elliot/Johnér Bildbyrå 120 Conny Welén 122 Robin Skjoldborg/Getty Images 128 Matton Collection/Johnér Bildbyrå 133 Hans Bjurling/Johnér Bildbyrå 134 Niclas Vestefjell/Johnér Bildbyrå 142 Jörgen Wiklund/Johnér Bildbyrå 143 Cloetta Sverige 152 Beatrice Lundborg/TT 154 Caiaimage/Johnér Bildbyrå 157:3 Susanne Walström/Johnér Bildbyrå 160 Michael Erhardsson/Mostphotos 169 Conny Welén 173 Steven Ruiter/NiS/Minden Pictures/Getty Images
358
BILDFÖRTECKNING
174 Peter Unger/Getty Images 177 Henry Groskinsky/Getty Images 178:2 Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå 179:1 Franco Banfi/Getty Images 181 Mikael Svensson/Johnér Bildbyrå 182 Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå 183:3 © PostNord Frimärken 185 Daniel Lillman/Mostphotos 186 Jan Töve/Johnér Bildbyrå 193 Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå 201 Peter Hoelstad/Johnér Bildbyrå 203 Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå 205 Nigel Cattlin/Getty Images 207 Hans Geijer/Johnér Bildbyrå 217 Susanne Walström/Johnér Bildbyrå 223 Arla 224 Fazer Kvarn Lidköping 226:3 GK Hart/Vikki Hart/Getty Images 227:1 Kungsörnen 227:2 Jörgen Larsson/jlfoto.com 230 Aquael, Warszawa 232 Tue Fig/TT 235:1 Anna Roström/Johnér Bildbyrå 241:2 Rodolfo Buhrer/Reuters/TT 241:4 Eric Roxfelt/TT 242.1 De Agostini Picture Library/Bridgeman Images/TT 253 Dan Norrå/TT 255 Mikael Svensson/Johnér Bildbyrå 258:2 Arla 260:1 Massimo Borchi/Atlantide Phototravel/ Getty Images 261 Anna Kern/Johnér Bildbyrå 265:2 © Midsona 281 Henrik Trygg/Johnér Bildbyrå 283 Erik G Svensson 289 Matton Collection/Johnér Bildbyrå 295 Anna Kern/Johnér Bildbyrå 300 Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå 302 Hans Berggren/Johnér Bildbyrå 307 Stefan Isaksson/Johnér Bildbyrå 308 Brian Stablyk/Getty Images 316 Birger Lallo/Johnér Bildbyrå Övriga bilder: Shutterstock Kartor: Liber kartor Sedlar och mynt: Riksbanken
ISBN 978-91-47-12552-4 © 2020 Lennart Undvall, Christina Melin, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare Mats Juhlin redaktör Mattias Ljung/Rent-a-brain formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB, Eva Jerkeman sättning Daniel Sjöfors, Blå huset bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Johan Unenge, Björn Magnusson omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Programmeringsövningar av Helena Kvarnsell Första upplagan 1 repro: Exakta, Malmö tryck: People printing i Kina 2020
kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
Matematik Grundvux, delkurs 4 är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel som innehåller det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp
www.matematikxyz.com Matematik Grundvux, delkurs 1 och 2
Matematik Grundvux, delkurs 3
Matematik Grundvux, delkurs 4
Matematik XYZ hemsida
På seriens hemsida finns uppgifter för extra träning i form av arbetsblad, repetitionsuppgifter m m. På www.liber.se finns kostnadsfri träning i webbappar. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.
Best.nr 47-12552-4 Tryck.nr 47-12552-4