9789144174839 by Smakprov Media AB

FAVORIT MATEMATIK 7 Elevpaket – Digitalt + Tryckt

LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR

FAVORIT MATEMATIK 7 Elevpaket – Digitalt + Tryckt Favorit matematik 7 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Favorit matematik innehåller varierat material oavsett vilken betygsnivå eleven strävar mot. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. Favorit Matematik uppfyller alla delar i Lgr 22, kursplanen för matematik.

ELEVBOK Bokens består av genomgångar som följs av räkneexempel, samt uppgifter som är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighetsgrad, repetitionsuppgifter och A-uppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas.

DIGITALT LÄROMEDEL I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva uppgifter. Det finns även programmeringsövningar i Python och Javascript med tilllhörande editor, samt instruktioner och filmer till båda programmeringsspråken.

Interaktiv version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Interaktiva övningar

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

klicka på bilden och prova

21 mm

Favorit matematik 7

Favorit matematik 7 Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där alla elever får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkne exempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighetsgrad, repetitionsuppgifter och A-uppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas. I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Inloggningen till den digitala delen är giltig i fyra år.

Favorit matematik

Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematik serien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.

Art.nr 39333

studentlitteratur.se

978-91-44-11470-5_04_cover.indd 1,3

2021-06-15 21:19

Favorit matematik

7 Martti Heinonen • Markus Luoma • Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio • Timo Tapiainen Tommi Tikka • Timo Urpiola

Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 39333 ISBN 978-91-44-17483-9 Upplaga 1:6 © 2018 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Nya Pi 7 © 2016 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola Printed by GPS Group, Austria 2023

i Arbeta med Favorit matematik 4 1 Tal och räknemetoder

1 Från siffror till tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Räkna med tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Naturliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Historiskt nedslag: Romerska siffror . . . . . 21 4 De naturliga talens delbarhet . . . . . . . . . . 22 Fördjupning: Minsta gemensamma multipel 25 5 Faktorisering och primtalsfaktorer . . . . . . . 26 Fördjupning: Största gemensamma faktor . 29 Historiskt nedslag: Eratosthenes såll . . . . 30 Programmering: JavaScript – Primtal . . . . 31 6 Heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Motsatta tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Addition av heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9 Subtraktion av heltal . . . . . . . . . . . . . . . . 44 10 Addition och subtraktion med heltal . . . . . 46 11 Multiplikation med heltal . . . . . . . . . . . . . 50 12 Division med heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 13 Potensform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 14 Prioriteringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Fördjupning: Huvudräkning . . . . . . . . . . 66 Fördjupning: Perfekta, fattiga och rika tal . . . 67 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Räkna i bråkform

1 Tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Förkorta och förlänga bråk . . . . . . . . . . . . 78 3 Addition och subtraktion av bråk med lika nämnare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . . 90 6 Delar och andelar av heltal . . . . . . . . . . . . 94 7 Division av bråk och heltal . . . . . . . . . . . . 98 8 Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Historiskt nedslag: Egyptiska bråk . . . . . . 105 9 Blandade räknesätt med bråk . . . . . . . . . .106 10 Problemlösning med bråk . . . . . . . . . . . . .110 11 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

3 Från tal till bokstäver

118

1 Talmönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2 Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3 Räkna med bokstäver . . . . . . . . . . . . . . . 128 4 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Programmering: JavaScript – Talföljder . . . 135 5 Uttryck med variabler . . . . . . . . . . . . . . . 136 Historiskt nedslag: Descartes . . . . . . . . . . 138 6 Värdet av ett uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Fördjupning: Flera variabler . . . . . . . . . . 143 7 Förenkling av variabler . . . . . . . . . . . . . . . 144 8 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Fördjupning: Olika termer . . . . . . . . . . . . 151 9 Division och multiplikation av ett tal och ett algebraiskt uttryck . . . . . . . . . . . . 152 Fördjupning: Kommutativitet och associativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10 Multiplikation med parenteser . . . . . . . . . 156 11 Addition och subtraktion av algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Programmering: GeoGebra – Förenkling av uttryck . . . . . . 163 12 Beräkningar med algebraiska uttryck . . . . . 164 13 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4 Ekvationslösning

170

1 Likheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Fördjupning: Magiska kvadrater . . . . . . . 175 2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3 Ekvationslösning med prövning . . . . . . . . . . 180 4 Ekvationslösning i ett steg . . . . . . . . . . . . . 184 5 Ekvationslösning i flera steg . . . . . . . . . . . . 188 6 Lös ekvationer med division . . . . . . . . . . . 192 7 Lös ekvationer med multiplikation . . . . . . . 196 8 Lös ekvationer med parenteser . . . . . . . . . 200 Programmering: JavaScript – Ekvationslösning . . . . . . . . . 203 9 Problemlösning med hjälp av ekvationer . . 204 10 Mer problemlösning med hjälp av ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Fördjupning: Räkna ut längd och omkrets med hjälp av en ekvation . . . . . . . . . . . 211 11 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5 Geometriska objekt och vinklar 216 1 Geometriska objekt . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Fördjupning: Geometri på en klotyta . . . . . . 221 2 Geometriska objekts ytor . . . . . . . . . . . . . 222 3 Grundläggande geometriska begrepp . . . . 226 4 Cirklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Programmering: JavaScript – Cirklar och vinklar . . . . . . . . 240 6 Kategorisera och rita vinklar . . . . . . . . . . . 242 7 Halvera och flytta vinklar . . . . . . . . . . . . . 246 Historiskt nedslag: Euklides . . . . . . . . . . 247 8 Parallella linjer och linjer som skär varandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 9 Sidovinklar och vertikalvinklar . . . . . . . . . 254 10 Likbelägna vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 11 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6 Symmetri och koordinatsystem

268

1 Månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 2 Triangelns grundläggande begrepp . . . . . . 274 3 Spets-, rät- och trubbvinkliga trianglar . . . . 278 4 Likbenta och liksidiga trianglar . . . . . . . . . 282 5 Rita trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Programmering: GeoGebra – Sköldpaddsgrafik . . . . . . . . 290 6 Fyrhörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7 Regelbundna månghörningar . . . . . . . . . . 296 8 Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9 Problemlösning med koordinatsystem . . . . . 304 Programmering: Geogebra – Fyrhörning . . 308 10 Kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11 Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314 12 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Facit till repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . 324 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

i Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till elevpaketet så att du kan lära dig så mycket som möjligt.

Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital del. Du aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida. I den digitala delen finns bland annat över 300 filmer som stöd för inlärningen.

Bokens upplägg I Favorit matematik 7 får du lära dig ett litet moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå. Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar för dig och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor. Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill du träna mer på lektionens moment, finns det i den digitala delen länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder. 4

Filmer

EXEMPEL 1

Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Du kan lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det mer än 300 filmer som handlar om precis det som står i boken. Du har varit sjuk och har missat matematiklektionerna förra veckan. Vad ska du göra? Lösning:

Läs förklaringarna i boken. Om du inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara! Ett tal anger antal (mängd), ordning eller storhet (t.ex. vikt, längd, tid). Ett tal består av siffror. I det decimala talsystemet finns tio Förklara! siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De kallas arabiska siffror.

EXEMPEL 2

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar för dig precis det som står i boken.

Du var med på lektionen, men du förstod inte riktigt när läraren räknade och förklarade. Du läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Du behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska du göra? Lösning:

Räkna!

EXEMPEL 1

Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Skriv talet 2 356 i utvecklad form. Lösning:

I talet 2 356 har siffrorna följande talsorter:

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar exemplet i boken och förklarar för dig.

Visa!

Det finns mycket mer i den digitala delen, t.ex. hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en liten film om hur den digitala delen fungerar.

Bokens olika uppgifter Det finns en kursplan som beskriver vad man ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt, gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Man får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor. I Favorit matematik 7 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. Vi använder samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som man måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast. Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om du förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem. • Metod (M) – testar om du kan metoder för beräkningar. • Problemlösning (P) – testar om du kan lösa olika problem som presenteras för dig, och att du kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet. • Kommunikation (K) – testar om du med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem. Begrepp och metod är en förutsättning för att du ska klara problemlösning och kommunikation. Därför lägger vi mycket fokus på de förmågorna i början. I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och programmeringsuppgifter.

Märkning av uppgifter Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerade med en streckad linje.

E/C-UPPGIFTER

Den här uppgiften tränar framförallt förmågorna Begrepp och Problemlösning.

1 Vilket tal är a) 11 större än talet 43 b) 16 mindre än talet 82 c) 37 större än talet 67?

12 Skriv talet 18 som en BP a) summa b) differens c) produkt d) kvot av två naturliga tal. Den streckade linjen visar gränsen mellan E- och C-uppgifter.

Under uppgiftsnumret ser du vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen tränar på: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.

A-uppgifterna är inte så många, men svårare. Du bör först vara säker på att du kan alla grunder på E- och C-nivå innan du går vidare med utmaningarna i A-uppgifterna och Resonera-/Laborera-uppgifterna. Försök först klara uppgifterna på egen hand innan du ber någon om hjälp. Det är viktigt att du verkligen förstår uppgifterna så att du klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.

Det blir tydligt vad du kan och vad du behöver träna mer på! Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När du får tillbaka provet finns en tabell, där du kan se vilka olika typer av uppgifter du har klarat. Du kan titta på den och se vilka typer av uppgifter du behöver träna mer på i fortsättningen! Lycka till!

UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter, A-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problem lösning, metod, begrepp och kommunikation. 2 Vad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel? 3 Läs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.

4 Öppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan. 5 Klicka runt i boken och hitta minst fem olika saker man kan göra. Jämför med resten av klassen och se om ni har hittat olika saker. 6 Fundera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!

Tal och räknemetoder

I det här kapitlet får du lära dig hur • talsystemet är uppbyggt • olika tal kan beskrivas, till exempel naturliga tal och primtal • du räknar med negativa tal • du använder potensform för att uttrycka tal • du använder prioriteringsreglerna.

Centralt innehåll • Reella tal och deras egenskaper samt talens användning i matematiska situationer. • Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. • Metoder för beräkningar med tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning och skriftlig beräkning.

1 Från siffror till tal Ett tal anger antal, ordning eller storhet (t.ex. vikt, längd, tid). Ett tal består av siffror. I det decimala talsystemet finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Förklara! De kallas arabiska siffror. Det decimala talsystemet är ett positionssystem med talbasen tio. En siffras värde i ett tal avgörs av vilken position siffran har i talet, det vill säga siffrans talsort: ental, tiotal, hundratal, tusental och så vidare.

Räkna!

EXEMPEL 1

Siffersumman av ett tal är summan av alla siffror i talet, utan att ta hänsyn till talsorten. T.ex. har talet 973 siffersumman 19, eftersom 9 + 7 + 3 = 19. Skriv talet 2 356 i utvecklad form. Lösning:

I talet 2 356 har siffrorna följande talsorter:

2356

Tusental

Hundratal

Tiotal

Ental

2 ∙ 1000

3 ∙ 100

5 ∙ 10

6∙1

tusental hundratal tiotal ental

Vi skriver och läser talet 2 356 som ”tvåtusentrehundrafemtiosex”. Skriver vi talsorterna var för sig, blir det 2 000 + 300 + 50 + 6. Svar: 2 ∙ 1 000 + 3 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 6 ∙ 1

Diskute r

I vilka sammanhang stöter du på tal som anger storhet, antal eller ordning? Beskriv skillnaden mellan begreppen. Kom på så många olika storheter du kan!

EXEMPEL 2

Vilken talsort är siffran fyra i talet? a) 1 243 b) 40 573 c) 800 624

d) 34 269

Svar: a) tiotal

d) tusental

b) tiotusental

c) ental

Decimaltal

EXEMPEL 3

Ett decimaltal (ett tal i decimalform) består av en heltalsdel och en decimaldel. Delarna skiljs åt med ett kommatecken. Den första decimalen uttrycker talsorten tiondelar, den andra hundradelar, den tredje tusendelar och så vidare. Skriv talet 25,306 i utvecklad form. Lösning:

2 5, 3 0 6

tiotal ental tiondelar hundradelar tusendelar

Tiotal

Ental

Tiondel

Hundradel

Tusendel

2 ∙ 10

5∙1

3 ∙ 0,1

0 ∙ 0,01

6 ∙ 0,001

heltal

decimaler

Vi skriver och läser talet 25,306 som ”tjugofem hela och trehundrasex tusendelar”. Skriver vi talsorterna var för sig, blir det 20 + 5 + 0,3 + 0,006.

EXEMPEL 4

Svar: 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 + 3 ∙ 0,1 + 6 ∙ 0,001

Skriv talet i utvecklad form. a) 392 b) 0,602 c) 547,38 d) 2 058,3 Svar: a) 3 ∙ 100 + 9 ∙ 10 + 2 ∙ 1 b) 6 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,001 c) 5 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 7 ∙ 1 + 3 ∙ 0,1 + 8 ∙ 0,01 d) 2 ∙ 1 000 + 5 ∙ 10 + 8 ∙1 + 3 ∙ 0,1

E/C-UPPGIFTER 1 Vilka siffror ingår i talet? B a) 15 b) 255 c) 30,26 d) 19 023

2 Skriv som ett tal. B a) trehundrasjuttiotvå b) tvåhundrasex c) fem hela tjugosju hundradelar d) sexhundranio tusendelar

10 Skriv talet i utvecklad form med varje BM platsvärde för sig. a) 2,9 b) 15,70 c) 60,04 d) 0,003

3 Skriv med ord. B a) 428 b) 2384 c) 4,35 d) 10037 4 Skriv heltalet i talet. B a) 53,746 b) 1325,9 c) 785,6 d) 34,91 5 Skriv decimalerna i talet. B a) 13,4 b) 53,746 c) 657,98 d) 0,62 6 Vilken talsort har siffran? B a) 5 i talet 235 b) 0 i talet 2 073 c) 1 i talet 2,317 d) 6 i talet 0,62 7 Räkna ut siffersumman i talet. B a) 520 b) 1 458 c) 3,067 d) 65 482 8 Vad är det för skillnad på begreppen K tal och siffra?

orera Lab Dela ett A4 papper i 6 delar. Skriv siffrorna 1–6 på pappersbitarna (1 på en och 2 på nästa o.s.v.). Hur ska du placera siffrorna för att vvv likheten nedan ska stämma? ∙ 12

9 Skriv talet i utvecklad form med varje platsvärde för sig. a) 34 b) 157 c) 820 d) 4 083

11 Vilket är talet? B a) 5 ∙ 10 + 3 ∙ 1 + 6 ∙ 0,1 b) 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,01 c) 5 ∙ 1 000 000 + 7 ∙ 10 000 + 3 ∙ 1 000 + 2 ∙ 100 d) 3 ∙ 100 + 8 ∙ 1 + 2 ∙ 0,001 12 Skriv det största och minsta fyrsiffriga P tal som kan bildas av siffrorna 6, 2, 9 och 5. 13 Vilket tal har: B a) tiotalssiffran 3 mer än 6427 b) hundratalsiffran 5 mer än 2491 c) entalsiffran 6 mindre än 5298 d) hundradelssiffran 7 mindre än 7,095? 14 Skriv det största och minsta P decimaltalet av siffrorna 2, 0, 6, 9. Du väljer själv antalet decimaler. 15 Ge bokstäverna A och B siffervärden P så att uttrycket stämmer. a) A,07 + 4,B4 = 6,41 b) 34,A6 − 2B,45 = 8,31 Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Vilka siffror ingår i talet? B a) 404 b) 0,73 c) 10,206 d) 379 150 17 Skriv talen med ord. P a) 5 421 b) 8,31 c) 703 716 d) 50 004,702 18 Vilken talsort är siffran? P a) 7 i talet 5,753 b) 9 i talet 9,27 c) 4 i talet 0,045 d) 2 i talet 25,725 19 Skriv talet i utvecklad form med varje BM platsvärde för sig. a) 17,3 b) 0,874 c) 20,05 d) 0,0601

A-UPPGIFTER 23 Använd siffrorna 4 och 9 för att bilda P två olika tresiffriga tal med en decimal. Både 4 och 9 måste finnas med minst en gång i varje tal. Summan av de två talen ska vara så a) stor som möjligt b) liten som möjligt c) så nära 150 som möjligt.

20 Vilket tal är BM a) 7 ∙ 1 000 + 6 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 8 ∙ 1 b) 5 ∙ 1 000 + 8 ∙ 10 + 3 ∙ 1 c) 4 ∙ 100 + 5 ∙ 1 + 8 ∙ 0,1 d) 3 ∙ 1 + 9 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,001? 21 Skriv talet. BP a) Heltalsdelen är femtiosex och decimaldelen tolv hundradelar. b) Talet utläses ”sextusenfem hela och fyrtionio tusendelar”. c) Talets utvecklade form är 7 ∙ 10 + 3 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,001. 22 Räkna ut siffersumman. B a) 5271 b) 819 c) 1109 d) 67,09

A 24 Använd varje siffra minst en gång P och bilda det största och minsta möjliga femsiffriga talet med två decimaler. a) 6, 0, 3, 7 och 1 b) 1, 9, 2 och 7 c) 5, 0, 3 och 2 d) 3 och 8 25 Ge bokstäverna siffervärden så att P uttrycket stämmer. a) A,7 − 5,B = 1,4 b) C,8D − 6,E4 = F,57

2 Räkna med tal

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

Det finns fyra räknesätt: addition, subtraktion, multiplikation och division. Förklara! • Vid addition adderas termer med varandra och svaret heter summa. • Vid subtraktion subtraheras termer och svaret heter differens. • Vid multiplikation multipliceras faktorer med varandra och svaret heter produkt. • Vid division divideras täljaren med nämnaren och svaret heter kvot.

term + term = summa term – term = differens faktor ∙ faktor = produkt täljare = kvot nämnare

Beräkna a) summan av 4 och 9

b) differensen av 10 och 3.

Lösning:

4 + 9 = 13

10 − 3 = 7

Svar: Summan är 13.

Svar: Differensen är 7.

Skriv talet 25 som en

a) produkt

Det är viktigt att veta vad orden betyder, för att veta vilket räknesätt du ska använda.

b) kvot.

Lösning: Lösning:

Det finns flera lösningar på uppgiften. Två tal multiplicerat med varandra ska ha svaret 25. Du kan tänka: x ∙ y = 25. Svar: 5 ∙ 5 = 25 eller 2 ∙ 12,5 = 25.

Det finns även här flera lösningar på uppgiften. Ett tal dividerat med ett annat tal ska bli 25. Du kan tänka: x = 25. y 75 200 = 25 eller = 25. Svar: 3 8

Diskute r HELSINGBORG

LANDSKRONA

LUND 100 MALMÖ 1 1 6 KÖPENHAMN 136

Hur många sekunder går det på en timme? Hur tänker du när du räknar ut det? Hur många 5-kronor går det på 200 kr och hur många mil eller meter går det på 100 km?

Uppställning av addition och subtraktion

EXEMPEL 3

Vid addition och subtraktion är det viktigt att varje talsort adderas eller subtraheras för sig. Vid uppställning är det viktigt att talen av samma talsort skrivs ovanför varandra. Beräkna med uppställning a) summan av 0,9 och 11,74

b) differensen mellan 46,23 och 7,44.

Lösning:

När du ställer upp additioner och subtraktioner skrivs decimaltecknen under varandra.

10 10 10

0,9 0 + 1 1,7 4 1 2,6 4

4 6,2 3 − 7,4 4 3 8,7 9

Svar: 12,64

Svar: 38,79

Uppställning av multiplikation

0,6 ∙ 0,4 = 0,24

Vid uppställning av multiplikation kan det vara enklast att skriva det tal som har flest antal siffror överst.

2 decimaler

EXEMPEL 4

När tal i decimalform multipliceras, räknas först multiplikationen som vanligt, utan tanke på decimaltecknen. Sedan räknas antalet decimaler i faktorerna. Produkten ska ha lika många decimaler som faktorerna har tillsammans.

0,02 ∙ 0,4 = 0,008 3 decimaler

Beräkna med uppställning. a) 152 ∙ 18 Lösning: 1 5 2

1 8 ∙ 1 2 1 6 + 1 5 2 2 7 3 6

b) 7,42 ∙ 1,6

2 decimaler

Svar: 2736 4

När du ställer upp multiplikationer, skriver du de sista siffrorna i varje tal under varandra.

Svar: 11,872

Lösning: 7 4

2 · 1,6 4 ,4 5 2 + 7 ,4 2 1 1 ,8 7 2

3 decimaler

Uppställning av division

EXEMPEL 5

Division kan beräknas antingen med kort division eller med en matematisk algoritm t.ex. trappan. Beräkna med kort division. 2 5 5 a) 20934 Lösning: 2 0 9 3 4 6 = 3 4 8 9 6

Svar: 3 489

b) 81,64

Svar: 20,41

Lösning:

EXEMPEL 6

8 1 ,16 4 = 2 0 ,4 1 4

Beräkna med trappan. a) 20934

b) 81,64

Lösning:

3 6 2 0 − 1 8 2 − 2

2 4 8 − 8 0 −

4 8 9 9 3 4

9 4 5 3 − 4 8 5 4 − 5 4 0

Svar: 3489

1 6 1 6 0 4 − 4 0

Svar: 20,41

E/C-UPPGIFTER 1 Beräkna B a) summan av 25 och 38 b) kvoten av 95 och 5 c) differensen av 80 och 23 d) produkten av 15 och 4. 2 Addera först 9 och 37, subtrahera sedan BM med 10 och multiplicera slutligen med 3. Vad får du? 16

0 ,4 1 1 ,6 4

3 Beräkna kvoten då täljaren är summan av 14 och 10 och nämnaren är produkten av 2 och 3. Ställ upp din uträkning innan du räknar ut talet.

4 Beskriv samtliga delar med rätt B terminologi. Beräkna svaret och benämn svaret korrekt. a) 5 + 6 b) 19 c) 8 ∙ 8 d) 18 − 5 7

5 Skriv talet 56 som en a) summa b) differens c) produkt d) kvot.

6 Beräkna med uppställning. M a) 15,47 + 23,91 b) 123,8 + 521,9 c) 2,5 − 1,87 d) 123,5 − 85,7 7 En affär säljer 4 st fikon för 20 kr. P a) Hur mycket kostar ett fikon? b) Hur många fikon kan du köpa för 80 kr? 8 Beräkna med uppställning. M a) 243 ∙ 15 b) 3,45 ∙ 2,4 17 334 85,5 c) d) 18 6

9 Tre affärer erbjuder 1,5 liters läskflaskor P till följande priser: Dryck

Affär A

Affär B

Affär C

Citron

14,40 kr/flaska

90,00 kr/6 flaskor

40,50 kr/3 flaskor

Apelsin

81,00 kr/6 flaskor

49,50 kr/3 flaskor

14,50 kr/flaska

Päron

45,00 kr/3 flaskor 14,40 kr/flaska

95,60 kr/6 flaskor

I vilken affär är literpriset lägst och vilket är det lägsta literpriset för a) Citron b) Apelsin c) Päron? 10 Bilda det största och minsta möjliga MP talet med tre decimaler av siffrorna 5, 9, 1, 8 och 4. Beräkna summan av talen. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 11 Räkna utan miniräknare. M a) 47,7 + 18,54 b) 92,04 − 37,23 c) 20,3 ∙ 5,8

281,92 8

12 I en affär säljs äpplen för 14,95 kr kg. M Hur mycket kostar 3,5 kg?

A-UPPGIFTER 15 Dividera produkten av 6 och 5 med 3, K addera sedan differensen mellan 60 och 5 och subtrahera slutligen med produkten av 0,5 och 93. Vad får du för svar? Redovisa dina uträkningar.

Resonera Produkten av summan av 4 och ett okänt tal och differensen av 7 och 2 är 50. Vilket är det okända talet?

13 Beräkna B a) kvoten av 125 och 5 b) differensen av 79 och 43. 14 Skriv talet 124 som en BM a) summa b) produkt.

A 16 Vilka är termerna? K • Summan av tre på varandra följande tal är 6. • Summan av 4 på varandra följande tal är 26. • Summan av 5 på varandra följande tal är 90. Beskriv sambandet och hur du kommer fram till dina svar i samtliga tre punkter ovan. 17

3 Naturliga tal Antal anges med hjälp av de naturliga talen. Det minsta naturliga talet är 0, noll, som Förklara! betyder ”inte en enda” eller “ingenting alls”. Tre punkter i slutet innebär att talföljden fortsätter utan slut.

De naturliga talen är 0, 1, 2, 3, …

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

Det finns oändligt många naturliga tal. Det innebär att det inte finns ett tal som är det största naturliga talet. Oändligheten är inget tal, men har ändå sin egen symbol, nämligen ∞. Vilket är det naturliga talet? a) fem större än talet 21

b) 25 mindre än talet 139

Lösning:

21 + 5 = 26

139 − 25 = 114

Svar: 26

Svar: 114

Vilka av följande tal är naturliga tal? 8 −7 0 2 − 3 2098 0,6 4 3 Lösning:

−7 är negativt, 2 och − 3 är bråktal och 0,6 är ett tal i decimalform. 4 3 Svar: De naturliga talen är 8, 0 och 2098

Diskute r

Vad kan vara ett naturligt tal? • Fundera ut tre saker som bara kan räknas med naturliga tal. • Kom på tre sammanhang där du måste använda dig av andra tal.

EXEMPEL 3

Skriv det minsta, femsiffriga naturliga tal som du kan bilda av siffrorna. Använd varje siffra minst en gång. a) 7, 5, 2, 3 och 1 b) 9, 5, 2 och 3 c) 6, 1 och 8 Svar: a) Det minsta möjliga talet är 12 357. b) Använd den minsta siffran två gånger i början för att bilda det minsta

möjliga talet, 22 359. c) Använd den minsta siffran tre gånger i början för att bilda det minsta möjliga talet, 11 168.

E/C-UPPGIFTER 1 Vilket tal är a) 11 större än talet 43 b) 16 mindre än talet 82 c) 37 större än talet 67?

2 Vilket naturligt tal är det a) största b) minsta?

3 Beräkna summan av siffrorna i talet. a) 397 b) 2 875 c) 34 893 d) 52 915 427

4 En affär ordnar en invigningsfest. M Inför festen beställer de 430 ballonger. Under dagen delar de ut 387. Hur många ballonger blir det kvar? 5 I början av ett läsår har en skola 77 M elever i årskurs 7, 92 elever i årskurs 8 och 86 elever i årskurs 9. Under läsårets gång ökar antalet elever med 17. Hur många elever har skolan sammanlagt när läsåret a) börjar b) slutar?

6 Olivia kommer på plats 57 i en orienteringstävling. Wilma placerar sig 12 platser bättre än Olivia och Alma 29 placeringar bättre än Olivia. På vilka platser kommer Wilma och Alma?

7 Räkna med uppställning. M a) 562 + 418 b) 4 527 + 974 c) 6 783 − 3 286 d) 1 785 + 25 548 8 Räkna med uppställning. M ) 725 − 532 a b) 77 ∙ 54 c) 678 ∙ 291 d) 391 / 17 9 I en fotbollsturnering spelas sex matcher. Den första matchen ses av 345 personer, den andra av 298 personer, den tredje av 268 personer, den fjärde av 521 personer, den femte av 495 personer och den sjätte av 736 personer. Hur många åskådare har de sex matcherna sammanlagt?

10 Uppskatta hur många matematik M lektioner du har i a) årskurs 7 b) årskurs 7 till 9. 19

11 Vi kan beteckna ett naturligt tal med BM bokstaven n. Det betyder att bokstaven n kan bytas ut mot vilket naturligt tal som helst. Hur kan vi beteckna ett tal som är a) ett större än n b) tre mindre än n c) fem större än n? 12 Skriv talet 18 som en BP a) summa b) differens c) produkt d) kvot av två naturliga tal. 13 Använd siffrorna 4, 6, 2 och 7 och PK bilda ett naturligt, fyrsiffrigt tal som är så a) stort som möjligt b) litet som möjligt c) nära talet 3 000 som möjligt.

14 Hur många små kuber består PK konstruktionen av? a)

15 Är svaret alltid ett naturligt tal om du BK a) adderar naturliga tal b) subtraherar naturliga tal c) multiplicerar naturliga tal d) dividerar två naturliga tal? Motivera och ge exempel. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Elliot har 12 kronor mer än Noah. M Hur många kronor har pojkarna sammanlagt, om Noah har 45 kronor? 17 Använd siffrorna 5, 0, 9 och 1 och PK bilda ett fyrsiffrigt, naturligt tal som är så a) stort som möjligt b) litet som möjligt c) nära talet 5 050 som möjligt.

era bor a L

• Ta ett papper och dela i 6 bitar. • Skriv 1 på två pappersbitar och 2 på två bitar och 3 på de två sista. • Placera siffrorna så att du bildar ett sexsiffrigt naturligt tal som har en siffra mellan ettorna, två siffror mellan tvåorna och tre siffror mellan treorna.

18 Hur många små kuber består PK konstruktionen av? a)

19 Räkna med uppställning. M a) 3 820 + 1 947 b) 5 247 − 3 974 c) 29 ∙ 46 d) 1 504 / 32 20 Rita av triangeln i ditt häfte. Skriv PK siffrorna 1 till 9 i cirklarna så att summan av talen längs med varje sida är 21. Du får bara använda varje siffra en gång. Hitta minst två olika lösningar.

FÖRDJUPNING: HISTORISKT NEDSLAG Romerska siffror Huvudtecken

100

1 000

Hjälptecken

500

Om flera likadana huvudtecken står bredvid varandra eller om en större siffra står framför en mindre adderas siffrorna. Om en mindre siffra står framför en större siffra subtraheras den mindre siffran från den större siffran, alltså är III = 1 + 1 + 1 = 3, IV = 5 − 1 = 4 och VI = 5 + 1 = 6.

EXEMPEL 5

EXEMPEL 4

När ett tal skrivs med romerska siffror får högst tre likadana huvudtecken skrivas efter varandra. Det här gäller alla tecken förutom tecknet M. Ett hjälptecken kan bara stå efter ett huvudtecken som har större värde. Flera likadana hjälptecken kan inte skrivas efter varandra. Skriv med arabiska siffror. a) XXVIII b) XLIV c) MCMLXXXIX Lösning och svar: a) XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 28 b) XLIV = (50 − 10) + (5 − 1) = 44 c) MCMLXXXIX = 1 000 + (1 000 − 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 − 1) = 1 989

Skriv med romerska siffror. a) 19 b) 1 850 c) 4 065 Lösning och svar: a) 19 = 10 + (10 − 1) = XIX b) 1850 = 1 000 + 500 + 100+ 100+ 100 + 50 = MDCCCL c) 4 065 = 4 000 + 50 + 10 + 5 = MMMMLXV

UPPGIFTER 21 Skriv med arabiska siffror. B a) XVI b) XXII c) XXXVIII d) CMLI 22 Skriv med romerska siffror. B a) 3 b) 15 c) 30 d) 64 23 Skriv årtalet med romerska siffror. B a) 1950 b) 1975 c) 2000 d) 2025

24 Ovanför ingången till ett museum står M det när muséet är byggt: MCDLXXIX. Vilket år är det? 25 Skriv ditt och dina familje MP medlemmars födelseår med romerska siffror. 21

4 De naturliga talens delbarhet

Räkna!

EXEMPEL 1

Ett naturligt tal är delbart med ett annat naturligt tal om kvoten av talen är ett naturligt Förklara! tal. Ett naturligt tal som är delbart med 2 är jämnt. Om ett naturligt tal inte är delbart med två är talet udda. Vartannat naturligt tal är jämnt och vartannat är udda. Talet 12 är delbart med talet 4, eftersom kvoten av divisionen 12 = 3 4 och 3 är ett naturligt tal. Talet 13 är inte delbart med talet 4, eftersom kvoten av divisionen 13 = 3,25 4 och 3,25 är inte ett naturligt tal. Är talet jämnt eller udda? a) 6 b) 9 Svar: a) Talet 6 är jämnt, eftersom det är delbart med två.

Kvoten 3 är ett naturligt tal. b) Talet 9 är udda, eftersom det inte är delbart med två. Kvoten 4,5 är inte ett naturligt tal.

EXEMPEL 2

Multiplikationstabellen för ett tal byggs upp av talets multiplar. En multipel är när ett tal multipliceras med ett naturligt tal. Vilka är de fyra första multiplarna av talet? a) 7 b) 11 Svar: a) De fyra första multiplarna av talet 7 är 7, 14, 21 och 28. b) De fyra första multiplarna av talet 11 är 11, 22, 33 och 44.

Talet 7 multipliceras med talen 1, 2, 3, 4 och så vidare.

Delbarhetsregler I vissa fall delbarheten hos ett naturligt tal avgöras utifrån från siffrorna i talet. Ett naturligt tal är delbart med talet • 2, om den sista siffran i talet är 0, 2, 4, 6 eller 8 • 5, om den sista siffran i talet är 0 eller 5 • 10, om den sista siffran i talet är 0 • 3, om siffersumman är en multipel av talet 3 (3, 6, 9, 12, …) • 9, om siffersumman är en multipel av talet 9 (9, 18, 27, 36, …). 22

EXEMPEL 3

Med vilka av talen 2, 3, 5, 9 och 10 är talet delbart? a) 2 206 b) 4 500 Lösning: a) Den sista siffran i talet 2 206 är 6, alltså är det delbart med talet 2, men inte

med talen 5 eller 10. Siffersumman i talet är 2 + 2 + 0 + 6 = 10, vilket inte är en multipel av talet 3 eller 9. Talet 2 206 är alltså inte delbart med 3 eller 9.

Svar: Talet 2 206 är delbart med talet 2. b) Den sista siffran i talet 4 500 är 0, alltså är det delbart med 2, 5 och 10.

Siffersumman i talet är 4 + 5 + 0 + 0 = 9, alltså är talet delbart med talen 3 och 9.

Svar: Talet 4 500 är delbart med talen 2, 3, 5, 9 och 10.

E/C-UPPGIFTER 1 Är talet jämnt eller udda? B a) 8 b) 9 c) 24

d) 103

2 Ta med hjälp av ett exempel reda M på om påstående är sant eller falskt. a) udda + udda = udda b) jämn + jämn = jämn c) jämn + udda = udda d) jämn ∙ udda = jämn e) udda ∙ udda = udda

5 Vilket tal saknas i rutan? M a) …, 21, 28, , 42, 49, … b) …, 27, 30, , 36, 39, … c) …, 22, 33, , 55, 66, … d) …, 24, 36, , 60, 72, … 6 Ta reda på om talet är delbart med talet 3. a) 18 b) 56 c) 123 d) 5 077

7 Med vilket eller vilka av talen 2, 3, 4 och 5 är talet delbart? a) 21 b) 24 c) 30 d) 65

3 Med vilket tal måste du multiplicera talet 9 för att få talet a) 54 b) 72 c) 99 d) 135?

4 Skriv ut de fem första multiplarna av talet. a) 2 b) 4 c) 8 d) 9 e) 12 f) 15

8 Med vilket eller vilka av talen 2, 3, 5, 9 och 10 är talet delbart? a) 12 b) 23 c) 45 d) 180 9 Ta reda på om talet 628 395 är delbart med a) två b) tre c) fem d) nio e) tio. Kontrollera dina svar med miniräknare.

10 Undersök och beskriv när ett tal är PK delbart med a) 4 b) 6 c) 8? 11 Hur många personer kan dela lika på PK a) 12 apelsiner b) 40 kort? Skriv alla alternativ. 12 Hur kan du avgöra att ett tal är delbart PK med a) 20 b) 25 c) 50 d) 100?

14 Om eleverna i en klass delas in i PK grupper med två, tre eller fem elever i varje blir det alltid en elev över. Hur många elever finns det i klassen? 15 Vilken siffra kan stå på entalets plats X PK i talet 3X, om talet är delbart med a) två b) tre c) fem d) sju e) nio f) tio?

13 Den första dagen år 2017 var en PK söndag. År 2016 var ett skottår. Vilken veckodag infaller den första dagen år a) 2016 b) 2018 c) 2019 d) 2021?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Ta reda på och motivera om talet 3 BM 540 är delbart med talet a) 2 b) 3 c) 5 d) 9. 17 Talföljden visar några multiplar av M ett tal. Vilket är talet? a) …, 35, 42, 49, 56, … b) …, 130, 140, 150, 160, … c) …, 90, 120, 150, 180, …

nera Reso

Vilket tal uppfyller alla följande kriterier? • Talet består av två siffror. • Det är udda. • Den andra siffran är mindre än den första. • Det är delbart med nio. • Den första siffran är delbar med tre.

18 En byrå har tre rader lådor. Lådorna P har numrerats nerifrån och upp, från 1 och uppåt. Finns lådan längst ner, i mitten eller högst upp om den har numret a) 12 b) 16 c) 20 d) 25 e) 54 f) 107? högst upp

mitten

längst ner

o.s.v.

19 Den 15 augusti 2012 var en onsdag. P a) Vilken veckodag var det 1 001 nätter senare? b) Vilket datum var det 1 001 nätter senare?

FÖRDJUPNING Minsta gemensamma multipel

EXEMPEL 4

Två tals minsta gemensamma multipel, som förkortas MGM, är det minsta positiva heltal som är delbart med båda talen. Hitta den minsta gemensamma multipeln för talen 5 och 7, alltså MGM (5, 7). Lösning:

Multiplarna till talet 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, … Multiplarna till talet 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, … Av de gemensamma multiplarna är 35 den minsta. Svar: Den minsta gemensamma multipeln för talen 5 och 7 är 35, det vill säga

EXEMPEL 5

MGM (5, 7) = 35.

Vilket är det minsta antal spelkort som vi kan dela jämnt mellan tre, fyra och sex spelare? Lösning:

Den minsta gemensamma multipeln för talen 3, 4 och 6, alltså MGM (3, 4, 6) är 12. Svar: Det minsta antalet spelkort är 12.

A-UPPGIFTER 20 Vilken är talens MGM? B a) 2 och 3 b) 5 och 10 c) 6 och 8 21 Vilket är det minsta tal som är delbart B med talen a) 5 och 9 b) 10 och 20 c) 12 och 18? 22 Vilken är talens minsta gemensamma B multipel? a) 2, 3 och 4 b) 2, 3 och 5 c) 3, 4 och 6

3, 6, 9, 12, 15, … 4, 8, 12, 16, 20, … 6, 12, 18, 24, 30, …

A 23 Deltagarna i ett läger kan delas lika i MP grupper med tre, fem och sex elever i varje grupp. Hur många personer deltar i lägret? 24 Vilket är det minsta antal elever vi MP kan fördela lika mellan grupper med a) tre och fem elever i varje grupp b) tre, fyra, fem och sex elever i varje grupp c) tre, fem och sju elever i varje grupp?

5 Faktorisering och primtalsfaktorer Räkna!

EXEMPEL 1

Alla positiva heltal som inte är primtal kan delas upp i två eller flera faktorer. Förklara! Multipliceras dessa faktorer med varandra så får du talet självt. Faktorisera talet 20, det vill säga skriv talet som en produkt av sina faktorer. Lösning:

Talet 20 har faktorerna 1, 2, 4, 5, 10 och 20, eftersom talet 20 är delbart med de här talen. Vi kan skriva talet 20 som en produkt av två faktorer på sex olika sätt: 20 = 1 ∙ 20 = 20 ∙ 1 = 2 ∙ 10 = 10 ∙ 2 =4∙5=5∙4 Vi kan dessutom skriva talet 20 som en produkt av tre faktorer till exempel så här: 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 eller 20 = 1 ∙ 2 ∙ 10 Svar: Faktoriseringar av talet 20 är 1 ∙ 20, 2 ∙ 10, 4 ∙ 5, 2 ∙ 2 ∙ 5 eller 1 ∙ 2 ∙ 10

Primtal är positiva tal vars enda faktorer är talet 1 och talet självt. Talet 1 räknas inte till primtalen.

EXEMPEL 2

Ett primtal är ett naturligt tal som är större än talet 1 och som bara är delbart med talet 1 och sig själv. Skriv de fem första primtalen. Lösning:

De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11, eftersom de endast är delbara med talet 1 och sig själva.

Diskute r

Melonen på bilden är delad i 8 bitar. En person kan få alla, två personer kan få 4 var och fyra personer kan få 2 var. Hur kan faktorisering hjälpa dig att komma fram till det? Hur kan chokladen och boken på 200 sidor delas lika?

Svar: 2, 3, 5, 7 och 11.

Primtalsfaktorer

EXEMPEL 3

Ett tal har primtalsfaktoriserats, när det skrivs som en produkt av primtal. Ett tal är delbart med sina primtalsfaktorer. Primtalsfaktorisera talet 45. Vilka primtalsfaktorer har talet 45? Lösning, metod 1:

Börja med att hitta två faktorer som har produkten 45. Fortsätt att dela upp i faktorer så långt det går. 45 = 9 ∙ 5 =3∙3∙5 Lösning, metod 2:

Vi kan primtalsfaktorisera talet 45 med hjälp av ett faktorträd: 45 9 3

5 3

Faktorträdet ger oss primtalsfaktorerna till talet 45: 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5

När vi fortsätter att dela upp ett tal i faktorer får vi till slut alltid primtalsfaktorerna.

Svar: Talet 45 är en produkt av sina primtalsfaktorer 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5.

Primtalsfaktorerna är alltså talen 3 och 5.

E/C-UPPGIFTER 1 Vilka faktorer har talet? a) 6 b) 15 c) 24

d) 30

2 Vilka av talen 5, 6, 10, 13, 17, 21, 23 och 27 är primtal? Motivera.

3 Är talet ett primtal? Motivera. a) 37 b) 155 c) 234 d) 4 617

4 Dela upp talet i primtalsfaktorer. a) 66 b) 78 c) 140 d) 234

5 Skriv talet som en produkt av sina primtalsfaktorer. a) 30 b) 42 c) 60 d) 84

6 Dela upp talet i primtalsfaktorer för att ta reda på om talet 3 är en faktor i talet. a) 6 b) 14 c) 42 d) 53

7 Skriv talet som en produkt av två faktorer som är positiva heltal. Skriv alla möjligheter. a) 16 b) 75 c) 100 d) 130

8 Dela upp talet i primtalsfaktorer. Vilka primfaktorer har talet? a) 27 b) 180 c) 392 d) 3 300

9 Använd räknare och dela upp talet i primfaktorer. a) 111 111 b) 404 586

10 Ge två exempel på tal som har BP följande faktorer. a) 2 och 6 b) 3 och 5 c) 2, 3 och 7 11 Hur många personer kan dela lika på PK frukterna? a) 6 päron b) 15 bananer c) 24 apelsiner d) 36 nektariner 12 Varför är alla primtal utom talet 2 BP udda? 13 Skriv talet som summan av två PK primtal. a) 9 b) 17 c) 18 d) 24 e) 25 f) 36

14 Är påståendet sant? Motivera. PK a) Summan av två primtal kan vara ett primtal. b) Produkten av två primtal kan vara ett primtal. 15 Inför föräldramötet ställer man PK sammanlagt 30 stolar i klassrummet. Det ryms som mest 20 stolar i en rad och det finns plats för högst 10 rader i salen. På vilka olika sätt kan stolarna placeras i salen om man ställer lika många stolar i varje rad?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Hur många personer kan dela lika på PK a) 8 isglassar b) 22 häften c) 51 godisbitar d) 53 spelkort? 17 Räkna upp de sju första primtalen. B

18 Är talet ett primtal? Motivera. BM a) 12 b) 13 c) 1 19 Skriv talets primfaktorer. BM a) 12 b) 42 c) 60 20 Kom på två tal som har faktorerna MP a) 3 och 4 b) 2 och 5 c) 2, 3 och 5.

era Labor Ta ett A4-papper och dela det i 8 delar. Numrera delarna från 1–8. Placera siffrorna i rutsystemet, så att efterföljande tal inte står i rutor intill varandra.

21 Använd räknare för att ta reda på om PK talet är ett primtal. Med vilka tal ska du undersöka delbarheten? a) 177 b) 179 c) 181 d) 221

FÖRDJUPNING Största gemensamma faktor

EXEMPEL 4

Två tals största gemensamma faktor, förkortas SGF, är det största tal som båda talen är delbara med. Den största gemensamma faktorn beräknas genom att produkten av talens gemensamma primtalsfaktorer räknas ut. Vilken är den största gemensamma faktorn för talen a) 24 och 30 b) 72 och 90? Lösning, metod 1: a) Talet 24 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24.

Talet 30 har faktorerna 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 och 30. Den största gemensamma faktorn, alltså SGF (24, 30), är 6. b) Talet 72 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 och 72. Talet 90 har faktorerna 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 och 90. Den största gemensamma faktorn, alltså SGF (72, 90), är 18. Lösning, metod 2:

Vi delar upp talen i primtalsfaktorer: a) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 Gemensamma primtalsfaktorer för båda talen är 2 och 3 och deras produkt är 6. Den största gemensamma faktorn för talen 24 och 30 är alltså 6. b) 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 90 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 Gemensamma primtalsfaktorer för båda talen är 2, 3 och 3 och deras produkt är 18. Svar: a) Den största gemensamma faktorn för talen 24 och 30, alltså SGF (24, 30) är 6. b) Den största gemensamma faktorn för talen 72 och 90, alltså SGF (72, 90) är 18.

A-UPPGIFTER 22 Räkna upp talens faktorer. Talen har BM gemensamma faktorer. Vilken är störst? a) 12 och 60 b) 56 och 32 23 Vilken är den största gemensamma BM faktorn för talen? a) 6 och 9 b) 25 och 70

A 24 Hitta den största gemensamma BM faktorn för talen a) 12 och 18 b) 25 och 30. 25 Talen har gemensamma faktorer. MP Vilken av dem är störst? a) 2, 6 och 30 b) 12, 28 och 36

HISTORISKT NEDSLAG Eratosthenes såll Alla primtal som är mindre än hundra kan sökas efter så här: • Talet 1 är inte ett primtal. Färglägg talet 1 med svart. • Talet 2 är det minsta primtalet. Färglägg hörnet uppe till vänster i alla tal som är delbara med två, förutom i talet 2, med rött. • Talet 3 är ett primtal. Färglägg hörnet uppe till höger i alla tal som är delbara med tre, förutom i talet 3, med gult. • Talet 5 är ett primtal. Färglägg hörnet nere till vänster i alla tal som är delbara med fem, förutom i talet 5, med blått. • Talet 7 är ett primtal. Färglägg hörnet nere till höger i alla tal som är delbara med sju, förutom i talet 7, med grönt. • De tal som är kvar är primtal. Eratosthenes såll

100

Eratosthenes var en grekisk vetenskapsman som levde på 200-talet f.Kr. Han blev berömd framförallt som astronom och matematiker. Han uppfann bl.a. en algoritm, som kan användas för att hitta primtal, Eratosthenes såll. På sin ålderdom blev han blind och enligt legenden var sorgen över detta så stor att han beslutade sig för att sluta äta och svälta sig själv till döds, 80 år gammal.

UPPGIFTER 26 Räkna upp alla primtal som är mindre BM än hundra.

31 Räkna upp alla tal som är mindre än BM hundra och delbara med 6.

27 Med vilka tal är följande tal delbara? BM a) 12 b) 40 c) 84

32 Räkna upp alla tal som är mindre än BM hundra och delbara med 35.

28 Räkna upp tal som har samma prim BM faktorer (färglagda på samma sätt).

33 Räkna upp alla tal som är mindre än BM hundra och delbara med 21.

29 Räkna upp de jämna primtal som är BM mindre än hundra.

34 Kom på en egen fråga om primtal.

30 Räkna upp de udda primtal som är BM mindre än hundra. 30

35 Hur kan du ta reda på alla primtal PK under 200?

Programmering

<JAVASCRIPT: PRIMTAL> JavaScript är ett av de hundratals olika programmeringsspråk som finns. Med det kan olika funktioner för program och webbsidor programmeras. För att göra och testa program i JavaScript behövs en enkel textredigerare och en webbläsare. Som textredigerare fungerar till exempel Anteckningar i Windows och Textredigerare på Mac. Kommandon i JavaScript skrivs på engelska.

Vad är HTML? HTML är en förkortning för HyperText Markup Language. Det är ett språk som används för att skapa webbsidor, som visas i en webbläsare. I HTML kan innehållets struktur (rubriker, styckeindelning m.m.) och metainformation (språk, författare, etc.) läggas in. HTML tillåter också att information av annan typ infogas, till exempel program skrivna i JavaScript. I HTML ligger all information i behållare. En behållare börjar alltid med en starttagg, <>, och slutar med en sluttagg, </>. Undantaget är behållaren för ny rad, <br />, som står ensam i texten där det ska vara ny rad. I taggarna skrivs vilken typ av behållare det är. All text som beskriver vilken typ av behållare det är, skrivs på engelska. Behållare ligger ofta inuti andra behållare. Vanliga html-taggar <html> och </html> <head> och </head> <body> </body> <strong> och </strong> <br /> <script> och </script>

Berättar för webbläsaren att det är ett html-dokument Behållare för bland annat dokumentets titel och formatering Behållare för allt innehåll i dokumentet Taggning för att göra text fet Taggning för radbrytning Behållare för Javascript

För att skapa en enkel webbsida behövs alltså bara en enkel textfil som man skapar i ett Python textredigeringsprogram, t.ex. Anteckningar. Det är viktigt att spara textfilen med filnamnstillägget .html, t. ex. minwebbsida.html, för att tala om för datorn att det är en sida som ska öppnas i en webbläsare. Kommandon i JavaScript window.alert document.write if else var for (var i = 0; i < x; i++)

en metod som visar en dialogruta med ett meddelande samt en OK-knapp en metod som skriver i ett html-dokument definierar ett villkor – om villkoret är sant körs efterföljande kod definierar också ett villkor, men måste komma efter en if-sats och utförs endast om if-satsens villkor inte uppfylls skapar en variabel med ett namn iteration som upprepar en kodsnutt x antal gånger

Operatorer + (addition) * (multiplikation) % (modulus) = = (lika med) > (större än) -- (minskning med ett) >= (större än eller lika med)

- (subtraktion) / (division) = (tilldelning) != (inte lika med) < (mindre än) ++ (ökning med ett) <= (mindre än eller lika med)

När ett javascript läggs på en webbsida görs det genom att kommandon skrivs i behållaren <script>. EXEMPEL 5

Programmering

Kom igång med JavaScript och HTML

Skapa en webbsida som när du öppnar den i en webbläsare, visar följande text: Fungerar mitt första program? Det verkar så! Lösning:

Skapa ett nytt, tomt dokument och skriv in nedanstående text. <html> <head> För att å, ä och ö ska visas <meta charset=”utf-8”/> rätt i alla webbläsare, måste </head> denna metatagg vara med. <body> <script> window.alert(”Fungerar mitt första program?”); document.write(”Det verkar så!”); </script> </body> </html>

För att webbläsaren ska kunna hantera ett JavaScript-program på rätt sätt används behållaren <script>.

Spara och namnge ditt dokument. Öppna sedan dokumentet i en webbläsare för att kontrollera att det fungerar.

Programmering

Om du klickar på övningslänken vid programmeringsuppgifterna, kommer du direkt till en textredigerare. Du behöver då bara skriva innehållet mellan scripttaggarna. UPPGIFTER 1 Skriv programmet (se nedan) som visar alla naturliga tal från 1 till 100. Spara och öppna i en webbläsare för att se att det fungerar. <html> <head> <meta charset=”utf-8”/> </head> <body> <script> var tal = ”<strong>Naturliga tal</strong><br />”; var def = ”Definition: Alla heltal större än noll <br />”; var uppgift = tal + def; document.write(uppgift); I teration som upprepar for (var i = 1; i <= 100; i++) { från 1 till 100. document.write(i + ”, ”); I nnehållet i for-, if och } else-satser innesluts av </script> måsvingar, { }. </body> </html>

2 Skriv programmet nedan som visar alla primtal mellan noll och hundra. Spara och öppna i en webbläsare för att se att det fungerar. <html> <head> <meta charset=”utf-8”/> </head> <body> <script> document.write(”<strong>Primtal mellan 0-100</strong> <br />”) for (var tal = 2; tal <= 100; tal++) { v ar kommer från var primTal = true; engelskans variable, for (var raknare = 2; raknare <= tal; raknare++) { variabel. if (raknare != tal && tal % raknare == 0) { i f-sats som avgör om primTal = false; ett tal är ett primtal } eller ej. } if (primTal == true) { document.write(tal + ”, ”); } } </script> </body> </html> 33

6 Heltal I vardagslivet och inom matematiken behövs tal som är mindre än noll, t.ex. vid Förklara! temperaturmätning och skuldberäkningar. Sådana tal kallas negativa tal. De har tecknet minus (−). Tal som är större än 0 kallas positiva tal. Framför positiva tal skrivs ett plustecken (+), men det brukar ofta utelämnas. Noll är varken ett negativt eller ett positivt tal. Till heltalen räknas alla naturliga tal och deras motsatta tal, vilket innebär negativa tal. Heltalen är …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

30 25 20 15

Heltal kan illustreras med hjälp av en termometer eller en tallinje. De negativa och positiva heltalen står på olika sidor om noll. negativa tal

10 5 0 –5

positiva tal

–10

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–15 –20

EXEMPEL 1

Räkna!

Vilka av heltalen som märkts ut på tallinjen är a) positiva? b) negativa? d

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

f 1

a 3

e 7

Svar: a) Talen a, e och f är positiva. b) Talen b, c och d är negativa.

Ett annat sätt att visa heltal är med röda cirklar som motsvarar positiva tal och blå cirklar som motsvarar negativa tal. Exempel: Tal

Modell

12 7 0

I Favorit matematik visar vi positiva heltal som röda cirklar och negativa heltal som blå cirklar.

–2 –10

En tallinje är användbar när storleksordningen ska avgöras. Ju större ett tal är, desto längre högerut står det på tallinjen.

EXEMPEL 2

Skriv talen –4, 5 och –8 i storleksordning. Lösning:

Vi placerar talen –4, 5 och –8 på tallinjen. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Talet 5 är störst, eftersom det står längst till höger på tallinjen. –8 är minst, eftersom det står längst till vänster. Vi skriver talen i storleksordning från det minsta till det största. Svar: −8, −4, 5

Likhetstecken och olikhetstecken För att uttrycka likheter och skillnader mellan tal eller mått används likhetstecken (=), approximationstecken (≈) eller olikhetstecken (≠, <, >, ≤, ≥). tecken

utläses

förklaring

exempel

är lika med

båda sidorna om tecknet är lika

1 m = 100 cm

approximationstecken ≈

ungefär lika med

används när svaret är avrundat

1 mån ≈ 30 d

olikhetstecken

≠

är inte lika med

motsatsen till en likhet

1 cm2 ≠ 1 mm2

olikhetstecken

är mindre än

x < 2 innebär att x är mindre än 2 −8 °C < −5 °C

olikhetstecken

är större än

x > 2 innebär att x är större än 2

100 min > 1 h

olikhetstecken

≤

är mindre än eller x ≤ 2 innebär att x är mindre än lika med eller lika med 2

1 mån ≤ 31 d

olikhetstecken

≥

är större än eller lika med

1 år ≥ 365 d

EXEMPEL 3

likhetstecken

< gapet är alltid mot den största sidan.

x ≥ 2 innebär att x är större än eller lika med 2

Hitta alla heltal x på tallinjen, som uppfyller villkoret: a) x ≥ −2 b) x < 4 c) x ≤ 0 och x ≥ −5 d) 2 < x ≤ 8. Lösning: a)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … b)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är …, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2 och 3. c)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är −5, −4, −3, −2, −1 och 0. d)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är 3, 4, 5, 6, 7 och 8. 35

E/C-UPPGIFTER 1 Vilket heltal föreställer cirklarna? B

9 Skriv de tre följande talen i talföljden. M a) 4, 8, 12, … b) −11, −8, −5, … c) 15, 9, 3, … d) 28, 16, 4, …

a) b) c)

2 Vid vilka tal står bokstäverna? B

b –15

c –10

fd –5

10 Hitta alla heltal x på tallinjen som MK uppfyller villkoret a) x > 4 b) x ≥ −5 c) x ≤ −2

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 Vilka av talen i föregående uppgift är B positiva och vilka är negativa? 4 Vid vilka tal står bokstäverna? B

b –20

–10

d 0

12 Hitta alla heltal x på tallinjen, som MK uppfyller villkoret. a) x < 3 b) x ≥ 2 och x < 6 c) −3 < x ≤ 2 d) −8 ≤ x ≤ −4.

5 Vid vilka tal står bokstäverna? B

–30

6 Vilket av talen är större? B a) 4 eller 0 b) −5 eller 2 c) −4 eller −3 d) 0 eller −6 7 Skriv utomhustemperaturerna 8 °C, B −8 °C, 0 °C, 12 °C, −14 °C, −21 °C, 7 °C och −9 °C i storleksordning. Börja med den minsta. 8 Tabellen visar temperaturer som uppmätts klockan 8 varje dag under en vecka. Vilken dag var temperaturen a) högst b) lägst? c) Hur stor var skillnaden mellan den högsta och den lägsta temperaturen?

Må

Lö

–4 °C –1 °C +3 °C +6 °C +4 °C 0 °C

11 Hitta alla heltal x på tallinjen som MK uppfyller villkoret. a) 1 < x < 6 b) 2 < x ≤ 7 c) −3 ≤ x < 1

Sö –1 °C

13 Skriv påståendet med hjälp av likhetsB eller olikhetstecken. Talet x är a) större än talet 3 b) större än talet −1, men mindre än eller lika med talet 3 c) olikt talet 2 d) minst −4. 14 Är påståendet alltid sant, alltid falskt PK eller kan det vara antingen sant eller falskt? a) Om a ≤ b och b ≤ c, så gäller att a ≤ c. b) Om a > b och b > c, så gäller att a = c. c) Om a < b och c < b, så gäller att a > c. d) Om a ≠ b och b ≠ c, så gäller att a ≠ c. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 15 Vid vilka tal står bokstäverna? B

f –10

a d

16 Vilka av talen i uppgift 15 är B a) positiva b) negativa? 17 Vilket är det B a) minsta positiva heltalet b) största negativa heltalet c) minsta negativa heltalet d) största positiva heltalet?

A-UPPGIFTER 20 Om x < a < y och b = x + y, vad BK stämmer? a) a < b b) a > b c) a = b d) Det beror på vilka tal x och y är.

18 Skriv heltalen i storleksordning, med B det minsta först. −9, 10, 0, −11, 11, 5, 3 19 Vilka heltal x uppfyller villkoret? MK a) x > −2 b) x ≥ 3 c) x ≤ 10 d) x < −5

A 21 Vilket eller vilka heltal kan x vara, om BK b är ett heltal och x > b, y < b, b > 4 och x < 2b?

Motivera med exempel.

Resonera På måndag morgon börjar en snigel klättra upp ur en brunn. Snigeln ska klättra uppför en 3 m lång cementvägg för att komma till markytan. På dagen klättrar snigeln 75 cm uppåt, men på natten glider den 30 cm neråt. Har snigeln lyckats komma upp till marknivån på söndag morgon? Motivera och förklara ditt resonemang.

7 Motsatta tal Två tal kallas för varandras motsatta tal, eller additiv invers, om de har olika förtecken och Förklara! befinner sig lika långt från noll på tallinjen, men på olika sidor. Talen −5 och 5 är varandras motsatta tal, eftersom de har olika förtecken och befinner sig lika långt från noll på tallinjen, men på olika sidor. Talet 5 har det motsatta talet −5 och −5 har det motsatta talet 5. 5

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Ett positivt tal har ett negativt tal som motsatt tal och ett negativt tal har ett positivt tal som motsatt tal.

Räkna!

EXEMPEL 1

Ett tals motsatta tal är när det skrivs ett minustecken framför talet. Skriv talets motsatta tal och förenkla uttrycket. a) 8 b) +14 c) −2 Lösning: a) Det motsatta talet till talet 8 skrivs −8. b) Det motsatta talet till talet +14 skrivs

−(+14), vilket är −14. c) Det motsatta talet till talet −2 skrivs −(−2), vilket är +2, alltså 2.

Svar: −8 Svar: −14 Svar: 2

Om det står flera förtecken framför ett tal kan talet förenklas, alltså kan talet skrivas på ett enklare sätt. Ett tal som innehåller två tecken förenklas efter reglerna i rutan.

EXEMPEL 2

Om ett tal har flera förtecken förenklas de så här, om det finns: • ett jämnt antal minustecken blir tecknet plus, • ett udda antal minustecken blir tecknet minus.

Förenkla. a) +(+10) b) +(−8)

c) −(+4)

d) −(−5)

Lösning: a) Talet +(+10) förenklas till 10. b) Talet +(−8) kan vi skriva som −8. c) Talet −(+4) kan vi skriva som −4. d) Talet −(−5) kan vi skriva som +5, alltså 5. e) Talet −(−(−3)) kan vi skriva som −3.

Vi skriver inte flera tecken efter varandra, i stället skriver vi parenteser mellan dem.

e) −(−(−3)) Svar: 10 Svar: −8 Svar: −4 Svar: 5 Svar: −3

+(+x) förenklas +x alltså x +(−x) förenklas −x −(+x) förenklas −x −(−x) förenklas +x alltså x

onera Res Varje bokstav motsvarar en siffra. Kan du komma på vilka, om A är en positiv siffra och B är motsatt tal till A? Förklara hur du kommer fram till ditt svar. A 3 + B 3 C

E/C-UPPGIFTER 1 Skriv talets motsatta tal. B a) 8 b) −3 c) +12

d) 0

2 Rita av tabellen i ditt häfte och fyll i B luckorna. Tal

Motsatt tal

3 −8 −14 24

3 Vilket tal har det motsatta talet B a) 4 b) −3 c) +6 d) 0? 4 Vilka är de motsatta talen? B

A –10

–8

–6

–4

B –2

C 0

D 6

5 Skriv talets motsatta tal och förenkla. B a) 35 b) −20 c) +19 d) −1 6 Förenkla. B a) +(+35) 7 Förenkla. B ) −(+27) a c) +(−100)

b) −(+20)

c) −(−19)

b) −(−35) d) +(+47)

8 Förenkla. B a) −(−(−2)) c) −(−(−(+9)))

b) −(+(−7)) d) −(−(−(−4)))

9 Räkna ut B a) det motsatta talet till summan av talen −7 och 4 b) summan av de motsatta talen till talen −7 och 4. 10 Vilket är det BM a) motsatta talet till det motsatta talet till talet 2 b) motsatta talet till det motsatta talet till talet −5 c) motsatta talet till det motsatta talet till det motsatta talet till talet 10? 11 Vad betyder följande beteckningar? BK a) Havsvattennivån är −12 cm. b) Saldot på bankkontot är −250 kr. c) Prisförändringen är +29 kr. 12 Vilket tal kan ersätta bokstaven k? PK a) −k = −5 b) −k = 6 Öva mer – E c) k = −k Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 Vilket är det motsatta talet? B a) 2 b) −7 c) +15 d) −115 14 Skriv det motsatta talet och förenkla. B a) −12 b) +23 c) −59 d) −71

16 Vilket är det BM a) motsatta talet till summan av 4 och −10 b) motsatta talet till differensen av 10 och 3?

15 Förenkla. B a) −(+3) b) −(−4) c) +(+8) d) +(−11) 39

8 Addition av heltal

Räkna!

EXEMPEL 1

Summan är resultatet av en addition. Addition med heltal kan Förklara! illustreras med hjälp av cirklar. En modell är att låta positiva heltal vara röda cirklar och negativa heltal vara blå cirklar. Summan är det sammanlagda antalet cirklar av samma färg. Beräkna. a) 7 + 5

modell:

b) (−8) + (−2)

Svar: 12 Svar: −10

10 + 8 = 18 termer summa

Det finns sammanlagt 12 röda cirklar som motsvarar talet +12.

EXEMPEL 2

När addition med tal av olika tecken illustreras med blå och röda cirklar, tar ett antal röda ut samma antal blå cirklar. Vilket tecken summan får beror på vilken färg det finns flest cirklar av. Om det finns lika många cirklar av båda färgerna tar de ut varandra. Beräkna. a) 11 + (−7)

modell:

Svar: 4

b) (−9) + 6

Svar: −3

c) 12 + (−14)

Svar: −2

d) 9 + (−9)

Svar: 0

e) (−4) + 4

Svar: 0

De 7 blå cirklarna tar ut 7 röda cirklar.

Då vi adderar ett tal med dess motsatta tal är resultatet av additionen noll.

Summan av två motsatta tal är noll.

Diskute r I bilderna ser du olika sammanhang där du kan addera heltal. På vilket sätt?

EXEMPEL 3

På morgonen är temperaturen −13 °C. På eftermiddagen har temperaturen stigit med 8 grader. Vilken är temperaturen då?

10 5 0

Lösning:

–5

−13 + 8 = −5

–10

Svar: Temperaturen är −5 °C på eftermiddagen.

stiger 8 grader

–15 –20

Addition på tallinjen Additioner kan förtydligas med hjälp av en tallinje. Då ett positivt tal adderas till ett annat tal sker en förflyttning åt höger på tallinjen. Exempel: 7+1=8

modell: 1

−7 + 2 = −5

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

−4 + 9 = 5

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

EXEMPEL 4

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Vi adderar talet till talet 7. 1

Vilket tal är a) tre större än talet −5 b) åtta större än talet –2?

Du utgår från talet −5 på tallinjen och går tre steg åt höger.

Svar: a) −5 + 3 = −2

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

b) −2 + 8 = 6

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

E/C-UPPGIFTER 1 Vilken beräkning föreställer figuren? M

8 Rita en likadan tabell och fyll i M summorna. +

2 Vilken beräkning föreställer figuren? M

3 Vilken beräkning föreställer figuren? M

b) –1 0 1 2 3 4

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

4 Räkna. Använd färgade cirklar eller M tallinje vid behov. a) 6 + 5 b) −4 + (−3) c) 10 + 7 d) −5 + (−5) e) −3 + 6 f) −7 + 4 g) 3 + (−5) h) 6 + (−1) 5 Räkna. M a) −3 + 3 c) −2 + 8 e) 5 + (−6) g) −3 + (−4)

b) 5 + (−5) d) 5 + (−9) f) −8 + 11 h) −7 + (−9)

6 Räkna. M a) −4 + 2 c) −2 + 7 e) 7 + 5 g) −15 + 11

b) 4 + (−6) d) −6 + 6 f) −8 + 12 h) −18 + 15

7 Räkna. M a) 14 + (−7) c) −13 + 10 e) 21 + (−18) g) 19 + (−19)

b) 10 + (−12) d) −8 + (−5) f) 27 + (−30) h) −20 + 10

–1

–8

5 11 –7 –12

9 Vilket tal är a) fyra större än talet −2 b) åtta större än talet −5 c) sex mindre än talet 3 d) fem större än talet −5?

10 Vilka två räkneoperationer är MK avbildade intill varandra? Hur skiljer sig beräkningarna från varandra? Hur skiljer sig resultaten från varandra? a)

11 Vilket tal kan ersätta x? M a) 28 + x = 6 b) −15 + x = −3 c) 21 + x = −9 d) x + 19 = 5 12 Kom på två negativa tal så att likheten MP stämmer. a) − = −40 b) − = 60 Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 Räkna. M a) 1 + 6 c) −2 + (−5)

b) 5 + 8 d) −9 + (−3)

16 Räkna. M a) −18 + 15 c) −13 + 17

14 Räkna. M a) 4 + (−6) c) −1 + 7

b) −9 + 2 d) 6 + (−5)

17 Räkna. M a) 100 + 90 b) −130 + (−90) c) −200 + (−100) d) 60 + (−110)

15 Räkna. M a) −3 + 4 c) −5 + 5

b) 6 + (−2) d) 7 + (−9)

18 Vilket tal är BM a) fem större än talet −4 b) sju mindre än talet 3?

b) −11 + 11 d) −28 + 34

A-UPPGIFTER 19 Varje bokstav representerar en siffra. MK Lika bokstäver representerar samma siffra, olika bokstäver representerar olika siffror. Vilka siffror representerar bokstäverna? +

S E N D M O R E M O N E Y

21 Differensen mellan ett positivt och ett BK negativt heltal är 8. a) Vad är den största summan av deras motsatta tal? Motivera. b) Vad är den minsta summan av deras motsatta tal? Motivera. 22 I en additionspyramid skriver man MK summan av talen i två intilliggande rutor i rutan ovanför. Rita av additionspyramiden och fyll i de tal som saknas.

20 Räkna ut summan. PK 1 + (−2) + 3 + (−4) + … + 27 + (−28) + 29

Resonera

–7

–1

I en additionspyramid skrivs summan av talen i två intilliggande rutor i rutan ovanför. Rita av additions pyramiden och fyll i de tal som saknas. Förklara hur du kommer fram till dina resultat. a)

+ 12 61

+ –6 –81

–35

9 Subtraktion av heltal Differensen betyder skillnaden och är resultatet av en subtraktion. Förklara!

13 − 9 = 4

Räkna!

EXEMPEL 1

termer differens Räkna. a) 12 − 5

b) −14 − (−6)

Lösning och svar: a) 12 − 5 = 12 + (−5) = 7

Skillnaden mellan 13 och 9 är 4.

c) 5 − 9

d) −2 − 10

modell:

b) −14 − (−6) = (−14) + 6 = −8 c) 5 − 9 = 5 + (−9) = −4 d) −2 − 10 = (−2) + (−10) = −12

EXEMPEL 2

Även subtraktion kan illustreras med hjälp av en tallinje. När ett positivt tal subtraheras från ett annat tal sker en förflyttning åt vänster på tallinjen. Lös uppgiften med hjälp av tallinjen. a) 8 − 6 b) −2 − 5 c) 9 − 12

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: 2 Svar: −7 Svar: −3

Diskute r

Hur kan du beskriva höjdskillnaderna i bilderna, i förhållande till vattenytan (0 meter) om du använder t.ex. valen och dykaren som termer?

E/C-UPPGIFTER 1 Vilka beräkningar föreställer modellen? M Skriv uttrycket och räkna. a)

c) –1 0 1 2 3 4

d) –4 –3 –2 –1 0 1 2

2 Räkna. M ) −6 + 2 a c) 5 − 2 e) −5 − 1 g) 6 − 11

b) 4 − 4 d) −5 + 4 f) −2 − 8 h) 8 − 12

3 Räkna. M ) 12 − 10 a c) −6 − 4 ) −45 + 29 e g) 99 − 101

b) −5 + 8 d) −10 + 9 f) 30 − 50 h) −89 + 95

4 Räkna. M ) −3 + 2 − 4 a c) −4 − 2 + 11 e) 9 − 7 g) 5 − 5

b) 5 − 8 − 4 d) −12 + 3 + 7 f) −4 − (−3) h) 7 − 3

5 Räkna. M a) 13 − 8 c) −8 − (−6)

b) −10 − (−7) d) −6 − (−6)

6 Räkna. M ) −2 − (−3) a c) −2 − 8

b) 5 − 9 d) 4 − (−7)

7 Räkna. M a) −4 − 2 c) −11 − (−7)

b) 12 − (−5) d) 10 − 15

8 Räkna. Kontrollera svaret med M miniräknare. a) 425 − 537 b) −849 + 697 c) 1 843 − 1 750 d) −2 075 − 766 9 Vilket tal kan ersätta x? M a) 12 − x = 3 b) 8 − x = 9 c) −6 − x = −16 d) x − 5 = −15 Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 10 Räkna. M a) 8 − 4 c) 7 − 2

b) −8 − (−4) d) −7 − (−2)

Resonera Varje bokstav motsvarar en siffra. Kan du komma på vilka? Förklara hur du kommer fram till ditt svar. A A B – C 6 B A

11 Räkna. M a) 5 − 8 c) −6 − (−3)

b) −4 − (−6) d) 9 − 9

12 Räkna. M a) −6 − 2 c) 3 − 5

b) −2 − 4 d) −3 + 8

13 Räkna. M a) 51 − (−37) c) −39 − (−20)

b) −103 − 127 d) 21 − 37

och subtraktion 10 Addition med heltal Om ett uttryck innehåller många räknesätt och tecken på rad förenklas först tecknen Förklara! innan additionen och subtraktionen utförs. Parenteser i ett uttryck förenklas med hjälp av teckenregler. Teckenregler: +(+x) förenklas till +x +(−x) förenklas till −x −(+x) förenklas till −x −(−x) förenklas till +x

Exempel +(+5) = +5 = 5 +(−5)= −5 −(+5) =−5 −(−5) = +5 = 5

Räkna!

EXEMPEL 1

Vid beräkning med hjälp av en tallinje betyder ett plustecken mellan talen att en förflyttning sker åt höger (värdet ökar), medan ett minustecken anger att en förflyttning sker åt vänster (värdet minskar). Räkna. a) −3 + ( + 9)

b) 9 + ( − 2)

Lösning och svar: a) −3 + ( + 9) = −3 + 9 = 6 b) 9 + ( − 2) = 9 − 2 = 7 c) 8 − ( + 14) = 8 − 14 = −6 d) −8 − ( − 3) = −8 + 3 = −5

c) 8 − ( + 14)

d) −8 − ( − 3)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Diskute r I vilka olika sammanhang kan addition och subtraktion användas samtidigt?

EXEMPEL 2

Räkna. a) −4 + (+6) − (−2)

b) 3 + (−7) − (−3)

Lösning och svar: a) −4 + (+6) − (−2) = −4 + 6 + 2 = 4

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

b) 3 + (−7) − (−3) = 3 − 7 + 3 = −1

Förenkla och räkna ut. a) −2 − (+13) b) 10 − (−5) Lösning och svar: a) −2 − (+13) = −2 − 13 = −15 c) −10 − (−10) = −10 + 10 = 0

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

c) −10 − (−10)

d) −9 − (−6)

b) 10 − (−5) = 10 + 5 = 15 d) −9 − (−6) = −9 + 6 = −3

Den lägsta punkten på ett fartyg befinner sig 8 meter under vattenytan. Toppen på fartygets antenn befinner sig 10 meter ovanför vattenytan. Hur högt är fartyget? Lösning:

Vi får skillnaden mellan den högsta och lägsta punkten på fartyget med hjälp av subtraktionen: Vi subtraherar det mindre 10 − (−8) = 10 + 8 = 18 talet från det större.

EXEMPEL 5

Svar: Fartyget är 18 meter högt.

Temperaturen i ett rum är +21 °C. Hur många grader a) högre är utomhustemperaturen +26 °C b) lägre är temperaturen i frysen, −18 °C?

30 25

stiger med

5 grader

Lösning:

Vi får temperaturskillnaderna med hjälp av subtraktioner. a) 26 − 21 = 5 b) 21 − (−18) = 21 + 18 = 39 Svar: a) Utomhustemperaturen är 5 grader högre. b) Temperaturen i frysen är 39 grader lägre.

10 5

sjunker med 39 grader

0 –5 –10 –15 –20

E/C-UPPGIFTER 1 Räkna. M a) 7 − 4 c) −6 − 2 e) 5 − 8

b) −3 + 9 d) −7 + 2 f) −8 + 5

2 Förenkla och räkna. M a) 3 + (−4) b) −4 − (−5) c) 8 + (−8) d) −7 − (−9) e) 2 − (−3) f) −6 − (−6) g) −1 + (−1) h) 9 + (−5) 3 Förenkla och räkna. M a) −8 + (−5) b) −7 − (−10) c) −11 − (−6) d) 9 − (+9) e) −7 + (+3) f) 12 − (−5) g) −23 − (−25) h) 21 − (+1) 4 Räkna. M a) −4 + 2 − 3 b) 4 − 2 − 5 c) 5 + (−2) − (−3) d) −3 + 2 + (−5) + 6 5 Räkna. M a) 17 − (−12) + 6 b) 13 + (−27) − (−14) c) −12 − (−17) − 10 d) −9 + (−10) − (−5) 6 Taket på en fabriksbyggnad ligger 60 M meter ovanför markytan medan golvet i den nedersta källarvåningen ligger 15 meter under markytan. Skriv uttrycket och räkna ut byggnadens totala höjd. 7 Titicacasjön är världens högst belägna sjö. Vattenytan ligger 3 810 meter över havet. Döda havets yta ligger däremot 412 m under havet, vilket gör det till jordytans lägst belägna ställe. Vilken är höjdskillnaden mellan Döda havet och ytan på Titicacasjön?

8 Ett höghus har 4 våningar under M markytan och 12 våningar ovanför. Hur många våningar åker hissen i byggnaden, om den åker a) från våning 5 till våning −1 b) från våning −3 till våning 10 c) från våning −4 till våning 12 och sedan ner till marknivån? 9 a) Vilket tal ska du addera till talet 15 för att få summan −3? b) Till vilket tal ska du addera talet −5 för att få summan −16? c) Vilket tal ska du subtrahera från talet 20 för att få differensen −1? d) Från vilket tal ska du subtrahera talet −3 för att få differensen 10?

10 Vilket tal kan ersätta x? M a) x + (+1) = 7 b) x + (−5) = 13 c) x − (+8) = 8 d) x − (−7) = 4 e) −5 − x = 0 f) 8 − (−x) = −10 11 Ge x och y tre olika heltalsvärden, MP som uppfyller villkoret. a) x + y = 2 b) x + y = −4 c) 2 ∙ x = −y. 12 Räkna. MP a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 b) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 c) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + … + 99 − 100

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 Räkna. M a) 9 + (−9) c) −4 + (−5)

b) 16 + (−5) d) 11 − (−9)

14 Räkna. M a) 3 + (+9) c) 15 − (−7)

b) −2 − (−9) d) −30 + (−15)

15 Räkna. M a) −2 + (+2) c) 5 + (−9)

b) 5 − (+8) d) −3 − (−5)

16 Räkna. M a) −7 + (−2) + 6 b) 3 − (−7) − 3 c) 12 + (−11) − (−4) d) 37 − 29 + (−5)

18 I tabellen ser du kok‑ och MP smältpunkten för några olika ämnen. Hur många grader skiljer det mellan a) kokpunkterna för vatten och kvicksilver b) kokpunkterna för kvicksilver och syre c) smältpunkterna för järn och kväve d) kokpunkterna för syre och kväve? Ämne vatten

Smältpunkt (°C)

Kokpunkt (°C)

100

–39

357

järn

1 535

2 750

syre

–218

–183

kväve

–210

–196

kvicksilver

17 Vilket tal kan ersätta x? M a) x + 3 = 10 b) x + 5 = −1 c) x − 8 = −2 d) x − (−2) = 9 e) x + (−3) = −1 f) x − (−4) = 2

A-UPPGIFTER 19 Hitta heltal för x och y som gör att PK 3x − 2y = 2. Finns det mer än en lösning?

nera Reso Hitta vägen från start (S) till mål (M). Summan av talen längs vägen du går måste vara noll. Du får bara passera varje tal en gång. Skriv uttrycket som bildas och räkna ut värdet.

–6

–4

–8

–4

–14

–12

–2

20 Hur många lösningar med heltal finns PK det till 3 − 2x = 3x − 2? Motivera. 21 Differensen mellan två olika BK differenser är 2. Vilka termer kan det vara? Finns det fler lösningar? Om man istället beräknar summan mellan differenserna, kommer den alltid att vara samma? Motivera. 22 Vilket tal kan ersätta x? MP a) 9 − (−x) = 0 b) −x − (−8) = 10 c) 12 + (−x) = 18 d) 7 − (−x) = 10 e) 3 − (−x) = −2 f) −9 + (−x) = 0 49

11 Multiplikation med heltal Produkten är resultatet av en multiplikation. Förklara!

2 ∙ 10 = 20 faktorer produkt

Räkna!

EXEMPEL 1

Multiplikation är ett sätt att förenkla en upprepad addition där alla termer är lika. Beräkna. a) 5 ∙ 7 Lösning: 5 ∙ 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 Svar: 35 b) 3 ∙ (−8) Lösning: 3 ∙ (−8) = −8 + (−8) + (−8) = −24 Svar: −24

EXEMPEL 2

Faktorerna kan byta plats utan att det påverkar värdet på produkten. Det kallas att multiplikationen följer den kommutativa lagen. Beräkna. a) 3 ∙ 5 Lösning: 3 ∙ 5 = 5 + 5 + 5 = 15 Svar: 15 b) 5 ∙ 3 Lösning: 5 ∙ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

Svar: 15

Diskute r I vilka sammanhang använder du dig av multiplikation med heltal?

EXEMPEL 3

Beräkna. a) 8 ∙ 5

b) 8 ∙ (−5)

c) −8 ∙ 5

d) −8 ∙ (−5)

Lösning och svar: a) 8 ∙ 5 = 40 b) 8 ∙ (−5) = −40 c) −8 ∙ 5 = 5 ∙ (−8) = −40 d) −8 ∙ (−5) = −(8 ∙ (−5)) = −(−40) = 40

Produkten av två tal är positiv, om faktorerna har samma tecken. Produkten av två tal är negativ, om faktorerna har olika tecken.

Teckenregler för produkten +a ∙ (+b) = +(a ∙ b) alltså a ∙ b –a ∙ (−b) = +(a ∙ b) alltså a ∙ b +a ∙ (−b) = −(a ∙ b) alltså −a ∙ b –a ∙ (+b) = −(a ∙ b) alltså −a ∙ b

Produkten av flera faktorer I en produkt som har flera faktorer bestäms tecknet av antalet negativa faktorer.

EXEMPEL 4

Teckenregel för produkten Produkten är positiv om det finns ett jämnt antal negativa faktorer. Produkten är negativ om det finns ett udda antal negativa faktorer. Beräkna. a) 2 ∙ 5 ∙ (−4) ∙ 2 ∙ (−1) c) (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2)

b) (−2) ∙ (−3) ∙ 4 ∙ (−5) d) 8 ∙ (−5) ∙ 0 ∙ 3 ∙ (−4)

EXEMPEL 5

Lösning och svar: a) 2 ∙ 5 ∙ (−4) ∙ 2 ∙ (−1) = 80 b) (−2) ∙ (−3) ∙ 4 ∙ (−5) = −120 c) (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = 16 d) 8 ∙ (−5) ∙ 0 ∙ 3 ∙ (−4) = 0

Beräkna. a) 2 ∙ 3 ∙ 5

Räkna antalet negativa tal så vet du om ditt svar ska vara positivt eller negativt!

b) 5 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 5

Lösning och svar: a) 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 10 ∙ 3 = 30 b) 5 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 5 = 5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 6 = 25 ∙ 4 ∙ 6 = 100 ∙ 6 = 600

Det är ofta lättare att räkna ut multiplikationer om du byter ordningsföljd på faktorerna.

E/C-UPPGIFTER 1 Skriv summan som en multiplikation. Räkna ut produkten. a) 1 + 1 + 1 + 1 b) −3 + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) c) 0 + 0 + 0 d) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

7 Hur många böcker finns det på M hyllorna om det finns a) 10 hyllor med 15 böcker varje hylla b) 3 hyllor med 90 böcker varje hylla c) 11 hyllor med 200 böcker varje hylla?

2 Skriv multiplikationen som en M upprepad addition och räkna ut den. a) 2 ∙ 4 b) 5 ∙ 6 c) 4 ∙ (−9) d) 3 ∙ (−8) e) 5 ∙ 9 f) 5 ∙ (−9) g) −5 ∙ 9 h) −5 ∙ (−9)

3 Räkna. M a) 7 ∙ (−3) c) 9 ∙ 6 e) 5 ∙ (−6) g) −7 ∙ (−8)

b) −4 ∙ (−8) d) −8 ∙ 9 f) +5 ∙ (−8) h) −5 ∙ (−5)

4 Rita av tabellen. Räkna ut produkterna M och skriv dem i tabellen. •

–1

–6

–8

2 –3 7 –9

5 Räkna. M ) 2 ∙ 3 ∙ (−4) a b) −1 ∙ 5 ∙ 2 ∙ (−7) c) 1 ∙ (−1) ∙ 3 ∙ (−6) ∙ (−2) d) −2 ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ 5 ∙ (−5) 6 Räkna. M a) 5 ∙ 2 ∙ (−3) b) −4 ∙ (−1) ∙ (−9) c) 3 ∙ (−3) ∙ 2 d) −2 ∙ (−4) ∙ (−1) ∙ (−3)

8 En dykares djupmätare visar –12 m. Vad visar mätaren när dykaren är a) dubbelt så djupt ner b) fem gånger så djupt ner c) hälften så djupt ner? 9 Skriv fyra olika produkter som har värdet a) 20 b) −12 c) −20 d) 35.

10 Vilket tal kan ersätta x? M a) 4 ∙ x = −24 b) −3 ∙ x = −9 c) −5 ∙ x = 0 d) 2 ∙ x ∙ (−3) = 48 11 Vilken är den andra faktorn i BM produkten, om värdet är a) 96 och den första faktorn är 8 b) 84 och den första faktorn är −12 c) −144 och den första faktorn är 24 d) −169 och den första faktorn är −13? 12 Räkna. MP ⋅…⋅ ( −1) 1 ⋅ ( −1) ⋅ ( − 1) a) − 10 st.

⋅…⋅ ( −1) 1 ⋅ ( −1) ⋅ ( − 1) b) − 21 st.

⋅…⋅ ( −1) 1 ⋅ ( −1) ⋅ ( − 1) c) − 100 st.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 Skriv som en produkt och beräkna. BM a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 b) −4 + (−4) + (−4) + (−4) + (−4) + (−4) c) −1 + (−1) + (−1) 14 Beräkna. M a) 6 ∙ 7 c) 6 ∙ (−7)

b) −6 ∙ 7 d) −6 ∙ (−7)

15 Beräkna. M a) 2 ∙ (−3) c) 7 ∙ 9

b) −8 ∙ 6 d) −4 ∙ (−7)

16 Räkna. M a) 12 ∙ (−5) c) −4 ∙ (−10)

b) −3 ∙ 15 d) −4 ∙ (−3) ∙ (−3)

17 Räkna. M a) 3 ∙ (−5) ∙ 4 b) −2 ∙ (−4) ∙ (−7) c) 5 ∙ (−8) ∙ 0 d) −1 ∙ (−3) ∙ (−2) ∙ (−9) 18 Vilket tal kan ersätta x? M a) 5 ∙ x = 45 b) −3 ∙ x = −18 c) x ∙ (−4) = 20 d) x ∙ (−8) = 64

A-UPPGIFTER 19 Räkna ut produkten och motivera M ditt svar. 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ … ∙ (−8) ∙ (−9) ∙ (−10)

21 Vilket/vilka tal mellan 0 och 100 kan PK skrivas som en produkt av två olika heltalsfaktorer på flest olika sätt?

20 Är produkten av 1 ∙ (−2) ∙ 3 ∙ (−4) ∙ MK … ∙ 97 ∙ (−98) ∙ 99 ∙ (−100) positiv eller negativ? Motivera.

Resonera Skriv de tal som saknas i produktpyramiden. Förklara hur du kommer fram till dina svar. a) b) –96 –12 –5

–3

–6 53

12 Division med heltal Kvoten är resultatet av en division. En division kan skrivas på olika sätt. Förklara!

täljare divisionstecken nämnare

täljare nämnare 12 = 4 3

12 / 3 = 4 divisionstecken

divisionstecken på miniräknare 12 ÷ 3 = 4

Räkna!

EXEMPEL 1

Man kan tänka på kvoten som att talet delats upp i delar. Kvoten anger också hur många gånger nämnaren går i täljaren. Beräkna. a) −24

Lösning:

Då vi delar –24 i fyra delar är det –6 i varje del.

Lösning:

Talet –8 går tre gånger i talet –24.

Svar: −6 b) −24

−8

Svar: 3

Noll dividerat med vilket tal som helst, förutom noll, är noll. Man kan inte dividera med talet noll, eftersom talet hade blivit oändligt. Oändligheten är inget tal. På en räknare står det ofta ”error” om du dividerar med 0. Testa att dela 6 med 0 på din räknare!

Diskute r

Vad är det för skillnad mellan att dela ett positivt tal eller ett negativt tal med något?

EXEMPEL 2

Beräkna. a) 0 = 0 5 b) 15 är inte definierat.

Talet 0 dividerat med vilket tal som helst är 0.

Svar: 0 Svar: Går inte.

Tecknet för en kvot avgörs på samma sätt som tecknet för en produkt, eftersom division är det motsatta räknesättet till multiplikation.

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

Teckenregler för kvoten En kvot är positiv, om täljaren och nämnaren har samma tecken. En kvot är negativ, om täljaren och nämnaren har olika tecken.

+a / (+b) = +(a / b) alltså a / b –a / (−b) = +(a / b) alltså a / b +a / (−b) = −(a / b) alltså −a / b –a / (+b) = −(a / b) alltså −a / b

Beräkna. a) 28 / 4

Svar: 7, eftersom 7 ∙ 4 = 28.

b) 28 / (−4)

Svar: −7, eftersom −7 ∙ (−4) = 28.

c) −28 / 4

Svar: −7, eftersom −7 ∙ 4 = −28.

d) −28 / (−4)

Svar: 7, eftersom 7 ∙ (−4) = −28.

Beräkna. a) -72 9

b) 63

−42 −6

b) 63 = −9

−42 = 7 −6

-7

Vi kan kontrollera divisioner med hjälp av multiplikation: kvot ∙ nämnare = täljare

Lösning och svar: a) −72 = −8

−7

E/C-UPPGIFTER 1 Räkna genom att dela upp talet i delar. M a) -12 b) 14 c) -16 d) -18 3 7 4 6 2 Beräkna genom att ta reda på hur M många gånger nämnaren går i täljaren. Rita vid behov en figur. a) 12 b) -15 c) -20 d) -32 3 -5 -5 -4 3 Beräkna. M a) 15 b) 15 -3 3 4 Beräkna. M a) 12 / 4 c) −10 / 5

c) -15

d) -15

-3

5 Beräkna. M a) -48 b) 24 -6 8

c) -33

d) -32

e) 60

f) 45

g) -52

h) -108

i) 0

j) 0

k) 0

l) 35

-15

6 Beräkna. M a) 24 / 8 c) −32 / (−8)

-3

-13

b) 63 / 7 d) 42 / (−7)

7 Beräkna. Kontrollera med M multiplikation. a) -136 2 c) 69 / (−3)

e) -256 f) 0

-16

-7

g) -399 h) -408

-24

10 Hur mycket är en fjärdedel av talet? M Räkna. a) 60 b) −84 c) 132 d) 0 11 Skriv fyra olika kvoter som har värdet BM a) 2 b) −3 c) −7 d) 12. 12 Hur avgör du tecknet för en produkt? BM Skriv regeln.

b) 18 / (−3) d) −16 / (−4)

-11

9 Beräkna. M a) -90 b) 2 750 c) -540 d) -480 -30 -30 -50 90

13 Hur avgör du tecknet för en kvot? BM Skriv regeln. 14 Vilket tal kan ersätta x? M a) x / 2 = 12 b) −36 / x = −4 c) −49 / x = 7 d) x / (−8) = 3 15 I en divisionspyramid finns plus- och BM minustecken. Fyll i pyramiden så att lådan ovanför innehåller rätt tecken med hjälp av talen under och teckenreglerna för kvoter. Rita av divisionspyramiderna och fyll i rätt tecken. a)

b) −56 / (−4) d) 47 -47

8 Skriv uttrycket och räkna ut M a) talet −12 dividerat med talet −3 b) talet 24 dividerat med talet −8 c) kvoten av talen 48 och −6 d) kvoten av talen −63 och −9.

–

– +

–

+ – –

–

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Beräkna. M a) −35 / 5 c) 63 / (−9)

b) 56 / 8 d) 0 / 5

17 Beräkna. M a) −36 / (−6) c) 9 / (−9)

b) −18 / 9 d) 27 / 0

18 Beräkna. M a) -48 6

b) -48

c) 48

d) -48

-3

-12

19 Beräkna. M a) −8 / 2 c) −12 ∙ (−10)

20 Skriv uttrycket och räkna ut BM a) kvoten, om täljaren är −96 och nämnaren 8 b) täljaren, om nämnaren är −9 och kvoten 12 c) nämnaren, om täljaren är −120 och kvoten −15.

A-UPPGIFTER 21 Vilken är divisionens BM a) kvot, om täljaren är 903 och nämnaren −43 b) täljare, om nämnaren är −17 och kvoten −23 c) nämnare, om täljaren är −319 och kvoten 29?

Resonera Varje bokstav motsvarar en siffra. Kan du komma på vilka? Förklara hur du tänker! A –

b) −39 / (−3) d) 15 ∙ (−8)

22 För vilket eller vilka heltal x gäller att PM x =x−2 ? 2 Gäller för samma värden på x även att x = x − 3 eller x = x − 4 ? 4 3 Motivera med exempel. 23 Vilka påståenden stämmer om PK x = x +3 ? a b a) a + b = 3 b) a + 3 = b c) a > b d) a < b e) Mer än ett påstående stämmer. f) Det beror på vad a och b har för värden.

Motivera ditt svar.

13 Potensform Om alla faktorer i en multiplikation är lika kan den skrivas i en enklare form, som en Förklara! potens. Exponenten i en potens anger hur många gånger basen förekommer i multiplikationen. Potensens värde är multiplikationens resultat. exponent 34 = 81

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

bas

34 läser vi som ”tre upphöjt till fyra”.

potensens värde

Skriv multiplikationen 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 som en potens och räkna ut potensens värde. Lösning:

Vi kan skriva multiplikationen 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 i potensform, 34. Potensens värde är resultatet av multiplikationen, vilket är 81. Svar: 34 = 81 Skriv potensen som en multiplikation och beräkna potensens värde. a) 42 b) 53 c) 106 Lösning och svar: a) 42 = 4 ∙ 4 = 16

Vi kan läsa 42 som ”fyra i kvadrat”. Uttrycket skulle kunna ange arean för en kvadrat med sidan 4.

b) 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125

Vi kan läsa 53 som “fem i kubik”. Uttrycket skulle kunna ange volymen för en kub med sidan 5.

c) 106 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1 000 000

Den första potensen av ett tal är talet självt: 12 är alltså samma som 121. Exponenten 1 brukar sällan skrivas ut. Det är ofta så svårt att beräkna värdet av stora potenser, t.ex. 175 = 1 419 857, att en räknare behövs.

EXEMPEL 3

Ett virus sprids via mejl. Viruset sprider sig genom att skicka sig själv i ett meddelande till fem personer samtidigt. Detta upprepas sedan hos varje mottagare, gång på gång. Hur många personer har tagit emot ett meddelande som innehåller ett virus när antalet utskick har varit a) 2 b) 10 c) 14? 1:a utskicket 2:a utskicket

Lösning och svar: a) 52 = 25

b) 510 = 9 765 625

c) 514 = 6 103 515 625

Negativ bas

EXEMPEL 4

Då basen i en potens är negativ skrivs basen inom parentes. Tecknet för potensens värde avgörs så här: • Om exponenten är ett jämnt tal är potensens värde positivt. • Om exponenten är ett udda tal är potensens värde negativt. Beräkna. a) (−5)1

b) (−3)2

c) (−4)3

d) (−2)4

Lösning och svar: a) (−5)1 = −5 b) (−3)2 = (−3) ∙ (−3) = 9 c) (−4)3 = (−4) ∙ (−4) ∙ (−4) = −64 d) (−2)4 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = 16

EXEMPEL 5

Exponenten påverkar bara basen. Exponenten påverkar till exempel inte ett minustecken framför basen. Därför måste en negativ bas anges inom parenteser. Beräkna. a) (−3)4

b) −34

Lösning och svar: a) (−3)4 = (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) = 81 b) −34 = −(34) = −(3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = −81

Basen är –3. Talet –3 upphöjt till 4. är Basen är 3. Resultatet är det motsatta talet till talet 34. 59

E/C-UPPGIFTER 1 Granska potensuttrycket 53 = 125. Skriv B a) exponenten b) basen c) värdet på potensen. 2 Skriv en potens med B a) basen 3 och exponenten 7 b) basen 7 och exponenten 3 c) basen 1 och exponenten 8 d) basen 10 och exponenten 1.

10 Beräkna potensens värde. BM a) 92 b) −92 c) (−9)2 d) (−3)3 e) −33 f) 33

3 Skriv multiplikationen som en potens. B a) 5 ∙ 5 ∙ 5 b) 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 c) 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 d) 15 ∙ 15 4 Skriv multiplikationen som en potens. B a) 3 b) 8 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅…⋅ ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅…⋅ 3 8 9 st.

c) 59 ⋅ 59 ⋅ 59 ⋅…⋅ 59 59 st.

15 st.

d) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅…⋅ 2

5 Skriv som multiplikation och beräkna värdet. a) 62 b) 25 c) 103 d) 27

6 Beräkna potensens värde. a) 52 b) 25 c) 15 2 3 e) 10 f) 2 g) 1247

11 Räkna med miniräknare. M a) 174 b) (−24)4 c) 67 d) (−225)2 5 e) (−14) f) (−3)9 12 Vilket heltal kan ersätta bokstaven n? M a) 2n = 64 b) n3 = 27 5 c) n = −32 d) 10n = 10 000

1024 st.

9 Skriv multiplikationen som en potens och beräkna värdet. a) (−6) ∙ (−6) b) (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) c) (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1)

d) 05 h) 3501

7 Skriv som en potens och beräkna värdet, när a) basen är 3 och exponenten 4 b) basen är 4 och exponenten 3 c) basen är −3 och exponenten 2 d) basen är −2 och exponenten 5.

8 Skriv multiplikationen som en potens. B a) (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) b) (−7) ∙ (−7) ∙ (−7) ∙ (−7) ∙ (−7) ∙ (−7) c) (−13) ∙ (−13) ∙ (−13)

13 Vilket eller vilka heltal kan ersätta M bokstaven n? a) n3 = −1 000 b) 1n = 1 c) n10 = 1 d) 2n = −16 14 Avgör om potensens värde är positivt MK eller negativt. a) 3 5797 307 b) (−2 035)5 302 4 531 c) (−9 034) d) −2 1401 284 15 Avgör om potensens värde är positivt BP eller negativt när a) basen och exponenten är jämna tal b) basen och exponenten är udda tal c) basen är jämn och exponenten udda d) basen är udda och exponenten jämn. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Skriv som en potens. B a) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 b) 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 c) 13 ∙ 13 17 Skriv potensen som en multiplikation BM och beräkna värdet. a) 12 b) 24 c) 34 d) 43 18 Skriv som en potens och beräkna BM värdet. a) (−4) ∙ (−4) ∙ (−4) b) (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) c) (−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)

A-UPPGIFTER 21 Finns det något tal där x2 = 2 ? BK Motivera. 22 När är xy= −xy ? BK

19 Beräkna potensens värde. BM a) 62 b) 33 c) 53 d) 105 e) −26 f) (−2)6 20 Skriv produkterna i storleksordning. MP Börja med den minsta. a) 32, 2 ∙ 3 och 23 b) (−3)2, −2 ∙ (−3) och (−2)3 c) 65, 56, 74 och 47

A 23 Enligt legenden ville den som P uppfann schackbrädet ha sin belöning på ett speciellt sätt. Ett riskorn skulle läggas på den första rutan på brädet och dubbelt så många på den följande rutan. Detta skulle upprepas på schackbrädets alla rutor. Hur många riskorn skulle det bli på sista rutan? Motivera ditt svar.

Resonera Talen på den nedre raden har bildats med hjälp av talen på den övre raden. Hur? 5

18 61

14 Prioriteringsregler När ett uttryck innehåller flera olika räknesätt så finns det en räkneordning Förklara! som måste följas för annars är risken stor att beräkningen blir fel. Räkneordningen brukar kallas för prioriteringsregler och sker i följande ordning: först parenteser, sedan beräknas potenser, sedan multiplikationer och divisioner från vänster till höger och slutligen additioner och subtraktioner från vänster till höger. Parenteser kan användas för att ändra räkneordningen och de räknas alltid först.

Räkna!

EXEMPEL 1

Prioriteringsregler 1 Parenteser 2 Potenser 3 Multiplikationer och divisioner 4 Additioner och subtraktioner Beräkna. a) 9 + 2 ∙ 3

b) 7 ∙ 3 − 16 / 4

c) 18 / 3 − 52

d) 2 ∙ 3 + 4 ∙ 23 Tänk på att skriva ut mellanstegen i dina uträkningar.

Lösning: a) Börja med multiplikationen och beräkna sedan additionen:

9 + 2 ∙ 3 = 9 + 6 = 15

Svar: 15

b) Börja med multiplikationen och divisionen och beräkna

sedan subtraktionen: 7 ∙ 3 − 16 / 4 = 21 − 4 = 17

c) Börja med potensen, beräkna sedan divisionen och

Svar: 17

slutligen subtraktionen: 18 / 3 − 52 = 18 / 3 − 25 = 6 − 25 = −19

d) Börja med potensen, beräkna sedan multiplikationerna och

EXEMPEL 2

till sist additionen: 2 ∙ 3 + 4 ∙ 23 = 2 ∙ 3 + 4 ∙ 8 = 6 + 32 = 38

Svar: 38

Förenkla och räkna. a) 2 ∙ (6 + 4) b) 2 ∙ (6 + 4)3 c) 2 ∙ (6 + 43) Lösning: a) 2 ∙ ( 6 + 4 ) = 2 ∙ 10 = 20 Svar: 20 b) 2 ∙ ( 6 + 4 )3 = 2 ∙ 10 3 = 2 ∙ 1 000 = 2 000 Svar: 2 000 c) 2 ∙ (6 + 4 3 ) = 2 ∙ ( 6 + 64 ) = 2 ∙ 70 = 140 Svar: 140

Svar: −19

Börja med att förenkla parenteserna.

EXEMPEL 3

Om en division skrivs med divisionsstreck, måste de uttryck som utgör täljaren och nämnaren räknas först, innan kvoten kan räknas ut. Beräkna. 8+6 a) 3−1

b) 8 + 6 / 3 − 1

Lösning och svar: a)

8 + 6 = 14 = 7 3−1 2

Tänk att det finns en osynlig parentes om täljaren respektive nämnaren.

b) 8 + 6 / 3 − 1 = 8 + 2 − 1 = 9

Uttryck med flera parenteser

EXEMPEL 5

EXEMPEL 4

Om ett uttryck innehåller flera parenteser inuti varandra, räknas först de innersta parenteserna. Parenteser räknas alltid inifrån och ut. Beräkna. a) 2 ∙ (5 − ( 7 − 4 ))

b) 3 ∙ (( 2 + 7 ) + ( 5 − 2 ))

Lösning:

2 ∙ (5 − ( 7 − 4 )) = 2 ∙ (5 − 3) =2∙2 =4 Svar: 4

3 ∙ (( 2 + 7 ) + ( 5 − 2 )) = 3 ∙ (9 + 3) = 3 ∙ 12 = 36 Svar: 36

Beräkna 2 ∙ (15 − (13 − 4 ∙ (3 + 2))). Lösning:

2 ∙ (15 − (13 − 4 ∙ ( 3 + 2 ))) = 2 ∙ (15 − (13 − 4 ∙ 5 )) = 2 ∙ (15 − ( 13 − 20 )) = 2 ∙ (15 − (−7)) = 2 ∙ ( 15 + 7 ) = 2 ∙ 22 = 44 Svar: 44

E/C-UPPGIFTER 1 Räkna. M a) 3 ∙ 6 + 3 c) 15 − 4 ∙ 3 e) 16 / 4 − 3 g) 6 ∙ 3 − 3 ∙ 4

b) 6 − 2 ∙ 3 d) 12 + 2 ∙ 4 f) 7 ∙ 8 + 4 ∙ 5 h) 2 ∙ 3 + 9 / 3

2 Räkna. M a) 6 ∙ 2 / 3 b) 6 / 2 ∙ 3 c) 2 ∙ 3 / 6 d) 6 / 3 ∙ 2 e) 2 ∙ 5 − 4 ∙ 3 f) 2 ∙ (5 − 4) ∙ 3 g) (2 ∙ 5 − 4) ∙ 3 h) 2 ∙ (5 − 4 ∙ 3) 3 Räkna. M a) 2 ∙ (−5) + 7 c) 42 − 3 ∙ 5 + 32 e) 23 − 32 g) (9 + 6) / 3

b) 2 + 52 d) 23 + 4 ∙ 6 / 2 f) 5 ∙ (4 − 2) h) −3 ∙ (20 − 42)

4 Räkna. M a) 5 − 3 ∙ 23 c) (5 − 3) ∙ 23

b) 3 − 5 ∙ 23 d) (3 − 5) ∙ 23

5 Räkna. M a) 9 − 3 1+ 2 c) 7 ⋅ 8 + 4

4 ⋅5

b) 4 ⋅ 5

7−2

d) 3 − 153

4+2

6 Räkna. B a) −4 ∙ 6 / 3 ∙ (−2) b) −4 ∙ (6 / 3) ∙ (−2) c) −4 ∙ 6 / (3 ∙ (−2)) d) −4 ∙ (6 / 3 ∙ (−2)) 7 Vilket tal kan ersätta bokstaven x? a) 29 − 3 ∙ x = 2 b) (x + 5)3 = 8 c) 15 − 4 ∙ x = x d) x ∙ (4 + 1) = −20 e) −3 ∙ (x + 7) = −24 f) 4 ∙ x + 9 = 1

Skriv uttrycket och räkna.

8 a) Addera kvoten av talen 10 och 5 till talet −3. b) Addera produkten av talen 3 och −5 till talet 12. c) Subtrahera produkten av talen 5 och 4 från produkten av talen 2 och 6. d) Subtrahera produkten av talen 3 och 7 från kvoten av talen 20 och 5.

9 a) Multiplicera summan av talen −2 och 7 med talet 3. b) Dividera differensen av talen 30 och 10 med talet 5. c) Subtrahera differensen av talen 8 och 5 från talet 21.

10 Beräkna. M a) 7 − (5 + 3 ∙ (2 + 3)) b) (4 ∙ (5 − 2) − 7) / 5 c) 2 ∙ (8 − (1 + 4)) 11 Beräkna. M a) 40 − (5 + 4 ∙ (2 + 2 ∙ 3)) b) 12 − (11 − (10 − (9 − 8))) c) 3 ∙ (1 + (4 ∙ (2 + 3) − 10) / 5) 12 Skriv uttrycket med ord och beräkna M värdet. a) (5 + 15) ∙ 4 b) (14 − 6) / 4 c) (12 − 5) ∙ (5 + 3) d) 18 − (80 − 50) / 10

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 Räkna. M ) 12 − 4 ∙ 2 a c) 3 + 4 ∙ 10

b) 6 ∙ 8 − 7 ∙ 5 d) 8 + 32 / 8 − 9

14 Räkna. M a) 3 ∙ 4 + 5 ∙ 2 c) (3 ∙ 4 + 5) ∙ 2

b) 3 ∙ (4 + 5) ∙ 2 d) 3 ∙ (4 + 5 ∙ 2)

15 Räkna. M a) 6 ∙ 9 − 5 ∙ 8 c) (6 ∙ 9 − 5) ∙ 8

b) 6 ∙ (9 − 5) ∙ 8 d) 6 ∙ (9 − 5 ∙ 8)

16 Räkna. M ) (−7) ∙ (−8) + (−5) ∙ 6 a b) 2 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 5 ∙ 10 + 9 c) 15 − 24 / 12 ∙ 4 d) 3 ∙ (10 − 8)3

17 Räkna. Kontrollera svaret med M miniräknare. a) 4 ∙ (2 ∙ (3 + 1) − 5) b) (12 − 2 ∙ (4 − 1)) / 3 c) (2 ∙ ((3 + 4) − 6)) / (10 / 5) d) 32 − (11 − (7 − (3 + 2))) 18 Skriv uttrycket och räkna ut BM a) summan av talen 5 och 3 multiplicerat med fyra b) differensen av talen 14 och 8 dividerat med tre c) summan av kvoten och produkten av talen 6 och 3 d) produkten av talen −4 och 5 subtraherat från talet 18.

A-UPPGIFTER 19 Använd prioriteringsregler och BM parenteser för att uttrycket 2 + 8 ∙ 3 − 1 + 3 ∙ 2 + 5 − 4 ska bli a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt.

20 Vilka olika svar kan man få genom att MP använda prioriteringsregler och parenteser av uttrycket 2 ∙ 3 + 4 ∙ 5 ?

era Labor 2

2 = 10

3 = 10

4=5

5=4

Klipp ut små rutor och skriv ∙, +, −, / på vardera 3 stycken. Placera sedan ut tecknen så att likheterna stämmer! Tänk på att du kan använda parenteser!

FÖRDJUPNING Huvudräkningsmetoder

Räkna!

EXEMPEL 6

Summor och produkter påverkas inte av att ordningen på talen förändras. Det blir ofta lättare att räkna om platsen på talen i uttrycket byts. Det går också att förenkla multiplikationer och divisioner genom att räkna motsvarande talsort för sig eller genom att kombinera tal. Lös uppgiften med huvudräkning. a) 57 − 77 − 56 − 38 + 77 + 37

b) 4 ∙ 59 ∙ 25

Lösning och svar: a) 57 − 77 − 56 − 38 + 77 + 37 = 57 − 56 −  77 + 77 − 38 + 37   b) 4 ∙ 59 ∙ 25 = 4 ∙ 25 ∙ 59

−

EXEMPEL 7

100 ∙ 59 = 5 900

Lös uppgiften med huvudräkning. a) 102 ∙ 32 b) 99 ∙ 57 c) 93 ∙ 67 + 7 ∙ 67 Lösning och svar: a) 102 ∙ 32 = 100 ∙ 32 + 2 ∙ 32 = 3 200 + 64 = 3 264 b) 99 ∙ 57 = 100 ∙ 57 − 1 ∙ 57 = 5 700 − 57 = 5 643 c) 93 ∙ 67 + 7 ∙ 67 = (93 + 7) ∙ 67 = 100 ∙ 67 = 6 700 d) 130 / 5 − 80 / 5 = (130 − 80) / 5 = 50 / 5 = 10

E/C-UPPGIFTER 21 Gruppera talen och räkna. M a) 8 + 7 + 2 + 3 + 9 b) 26 − 37 + 14 c) 67 + 81 + 75 + 19 + 25 + 33 d) 99 − 45 − 20 + 1 22 Räkna utan miniräknare. M a) 12 ∙ 7 b) 16 ∙ 8 c) 9 ∙ 16 d) 6 ∙ 32 23 Hur blir det enklast att räkna? M a) 99 + 50 − 98 − 49 b) 87 + 25 + 13 + 75 + 9

d) 130 / 5 − 80 / 5

EC 24 Hur blir det enklast att räkna? M a) −17 + 29 + 17 + (−29) b) −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10 25 Räkna utan miniräknare. M a) 13 ∙ 7 b) 15 / 4 + 5 / 4 c) 99 ∙ 20 d) 11 ∙ 12 26 Räkna utan miniräknare. M a) 7 ∙ 24 + 3 ∙ 24 b) 93 ∙ 37 + 7 ∙ 37 c) 87 ∙ 42 − 85 ∙ 42 d) 56 ∙ 120 − 56 ∙ 20

FÖRDJUPNING Perfekta, fattiga och rika tal Om ett naturligt tal är summan av alla sina faktorer (förutom talet självt) kallas det för ett fullkomligt tal eller perfekt tal. Om summan av ett tals faktorer (förutom talet självt) är mindre än talet kallas det för ett fattigt tal. På motsvarande sätt kallas ett tal där summan av faktorerna är större än talet för ett rikt tal. Det minsta perfekta talet (som är större än talet 1) är talet 6, som är summan av sina faktorer 1, 2 och 3: 1 + 2 + 3 = 6. Talet 10 är ett exempel på ett fattigt tal, eftersom summan av dess faktorer 1, 2 och 5 är 8. Talet 12 är ett rikt tal, eftersom summan av dess faktorer 1, 2, 3, 4, och 6 är 16. EXEMPEL 8

Ta reda på om talet är ett fattigt, rikt eller fullkomligt tal. a) 27 b) 28 c) 18 a) 27

Lösning: Talet 27 är delbart med 1, 3, 9. 27 har alltså faktorerna 1, 3 och 9.

b) 28

Lösning: Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7 och 14 som är talets faktorer.

c) 18

Lösning: Talet 18 är delbart med 1, 2, 3, 6 och 9 som är talets faktorer.

Summan av faktorerna är 1 + 3 + 9 = 13. Talet 13 < 27. Svar: 27 är ett fattigt tal.

Summan av faktorerna är: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Talet 28 = 28. Svar: 28 ett perfekt tal. Summan av faktorerna är: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21. Talet 21 > 18. Svar: 18 är ett rikt tal.

C-UPPGIFTER 27 Ta reda på om talet är ett fattigt, rikt BM eller perfekt tal. Använd räknare om det behövs. a) 11 b) 15 c) 20 d) 220 e) 284 f) 496 28 Kan ett primtal vara perfekt? BP Pröva dig fram på några av de första primtalen.

C 30 Vad kan du hitta för gemensamma K egenskaper hos de perfekta talen du hittat? 31 Gör en sökning på internet på B ”perfekta tal”. Hur många perfekta tal har hittats och hur många siffror innehåller det högsta perfekta talet?

29 Kan ett primtal vara ett rikt tal? B

15 Repetition Från siffror till tal

Motsatta tal

1 Skriv talet i utvecklad form. a) 235 b) 3 700 c) 10,25 d) 0,029

Räkna med tal

2 Beräkna med uppställning. M a) 22,5 + 67,8 b) 105,09 − 57,125 c) 18,8 ∙ 7,9 d) 256 / 5 3 Beräkna. a) Summan av 238 och 154 b) Produkten av 46 och 2,8

Naturliga tal

4 Skriv talet 12 som a) summan av två naturliga tal. b) differensen av två naturliga tal c) produkten av två naturliga tal d) kvoten av två naturliga tal.

De naturliga talens delbarhet

5 Ta reda på om talet 96 är delbart med nedanstående tal. Motivera. a) 2 b) 3 c) 5 d) 9

Faktorisering och primtalsfaktorer

6 Vilka av talen 4, 7, 10, 11, 15, 17, 23 och 33 är primtal? Motivera.

7 Dela upp talet i primtalsfaktorer. a) 24 b) 50 c) 54 d) 143

Heltal

8 Skriv heltalen i storleksordning, med B det minsta först. 9 −36 −46 75 35 0 −1

9 Vilket är det motsatta talet till a) det motsatta talet till talet 5 b) det motsatta talet till talet −3 c) det motsatta talet till det motsatta talet till talet +6 d) det motsatta talet till det motsatta talet till talet −11?

Addition av heltal

10 Räkna. M a) −3 + (−5) c) −5 + 4

b) 6 + (−9) d) 9 + (−5)

Subtraktion av heltal

11 Räkna. M a) −5 − (−8) c) −5 − 11

b) 3 − 9 d) 5 − (−1)

12 Vilket tal kan ersätta bokstaven x? M a) 15 + x = 9 b) −4 + x = −3 c) 5 − x = −9 d) x − 8 = −2 Addition och subtraktion med heltal

13 Räkna. M a) 18 − (-12) c) 21 − (+18) e) −5 − 3 + 6

b) 14 + (−22) d) −27 + (+12) f) 12 − 5 − 7

14 Räkna. M a) −15 − 4 + 10 b) −8 + 13 − 7 c) −8 + (−5) − (−2) d) 8 + (−3) − 10 e) −9 + (−6) − (−2) f) −11 + 7 − (−4)

Multiplikation med heltal

15 Räkna. M a) 5 ∙ (−6) c) 3 ∙ (−2) ∙ 5

b) −4 ∙ (−8) d) −4 ∙ (−2) ∙ (−1) ∙ 3

16 Vilket tal kan ersätta bokstaven x? M a) 3 ∙ x = −36 b) −5 ∙ x = −45 c) x ∙ (−6) = 60 d) x ∙ (−7) = −49 Division med heltal

17 Räkna. M a) 48 8

b) 75

c) -45

d) -55

e) −72

f) 84

-5

-15

−9

−7

18 Skriv tre olika kvoter som har värdet BM a) 3 b) −5 c) −15. Potensform

19 Beräkna potensens värde. BM a) 82 b) −42 c) (−5)2 d) (−2)3 e) −23 f) 43 20 Avgör om potensen har ett positivt MK eller negativt värde. a) 457395 b) (−528)689 848 c) (−975) d) −589724 Prioriteringsregler

21 Räkna. M a) 5 ∙ 7 − 16 c) 7 ∙ 8 − 4 ∙ 14 e) 24 / 6 - 5 g) 96 / 3 - 3 ∙ 4

b) 25 − 8 ∙ 5 d) 12 ∙ 3 + 5 ∙ 4 f) 4 ∙ 7 + 20 / 4 h) 72 / 3 + 45 / 3

22 Räkna. M 2 a) 12 − 3 b) 9 ∙ 5 c) 27−36 d) 4 −1 2+1 7+2 3+6 3 ∙ (−1)

23 Räkna. M a) 36 − 5 ∙ (2 + 3) b) 15 / (5 − 2) + 3 c) 4 ∙ (10 − (12 − 4)) d) 9 ∙ (12 − 4) / 12 Sammanfattande uppgifter

24 Vilket är det minsta naturliga tal som är BM delbart med a) tre och fem b) två, tre och fem c) två, tre, fem och sju? 25 Räkna. M a) 25 − 5 ∙ 7 b) 12 + 62 c) 23 − 3 ∙ 8 + 42 d) 6 / 2 + 3 ∙ 23 − 10 / 2 ∙ 5 26 Räkna. M a) 5 + (14 − 3 ∙ (2 + 2)) b) 25 − (6 + (18 − (5 + 3))) c) 48 / (2 − (4 ∙ (8 − 2) − 10)) 27 Vilken siffra kan ersätta X, då BP talet 81 X75 är delbart med a) två b) tre c) fem d) nio e) tio f) 25? 28 Räkna med miniräknare. M a) 123 b) (−18)5 c) 410 d) (−45)4 e) (−9)5 f) (−2)20 29 Vilket eller vilka heltal kan ersätta BM bokstaven n? a) n5 = −32 b) 10n = 1 000 15 c) n = −1 d) n20 = 1 e) 1n = −1 f) 5 ∙ n4 = 405 69

Sammanfattning Det decimala talsystemet är ett talsystem med basen 10. Det syns t.ex. när ett tal skrivs i utvecklad form. 2548 skrivet i utvecklad form: 2548 = 2 ∙ 1000 + 5 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 ∙ 1

Siffersumman i ett tal är summan av alla siffror i talet utan hänsyn till talsorten. Exempel: 578,2 har siffersumman 5 + 7 + 8 + 2 = 22

De fyra räknesätten Addition: term + term = summa Subtraktion: term – term = differens Multiplikation: faktor ∙ faktor = produkt Division: täljare = kvot nämnare

Naturliga tal är alla positiva heltal inklusive 0. De används för att uttrycka antal eller ordningstal. De naturliga talen är 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Heltal är alla positiva och negativa heltal inklusive 0. Heltalen är … −3, −2, −1 ,0 ,1 ,2 ,3 …

Primtal är naturliga tal som endast är delbara med 1 och sig själva. De tio första primtalen är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Primtalsfaktorer är faktorer till naturliga tal, som alla är primtal. Talet 105 skrivet som primtalsfaktorer är 3∙5∙7 för att 1) talet slutar på 5 alltså delbart med 5 2) siffersumman är 6 alltså delbart med 3 3) sista primtalsfaktorn är 7 för att 105 = 7. 15

Delbarhetsregler Ett naturligt tal är delbart med talet • 2, om den sista siffran i talet är 0, 2, 4, 6 eller 8 • 5, om den sista siffran i talet är 0 eller 5 • 10, om den sista siffran i talet är 0 • 3, om siffersumman är en multipel av talet 3 (3, 6, 9, 12…) • 9, om siffersumman är en multipel av talet 9 (9, 18, 27, 36…) 70

Två tal är varandras motsatta tal om de har olika förtecken och befinner sig på samma avstånd från noll på tallinjen. Motsatta talet till 8 är –8, och motsatta talet till –8 är 8.

Teckenregler för addition och subtraktion +(+a) = + a = a 7 + (+4) = 11 +(−a) = −a 8 + (−5) = 3 −(+a) = −a 3 − (+4) = −1 −(−a) = +a = a 9 − (−6) = 15 Teckenregler för multiplikation (+a) ∙ (+b) = +ab = ab (+2) ∙ (+3) = + 6 = 6 (−a) ∙ (−b) = +ab = ab (−4) ∙ (−5) = + 20 = 20 (+a) ∙ (−b) = −ab (+7) ∙ (−8) = −56 (−a) ∙ (+b) = −ab (−7) ∙ (+8) = −56

Teckenregler för division +a = + a = a +8 = + 8 = 4 +b b b +2 2 −a = − a −8 = − 4 +b b +2 +a = − a +8 = − 4 −b b −2 −a = + a = a −8 = + 8 = 4 −b b b −2 2

En potens är en förenkling av en multiplikation där alla faktorer är lika. 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35 (3:an är basen och 5:an exponenten)

Prioriteringsregler 1 Parenteser

(3 + 4) ∙ 5 = 7 ∙ 5 = 35

2 Potenser

3 ∙ 23 = 3 ∙ 8 = 24

3 Multiplikation och division

4 ∙ 5 = 20 = 5 3+1 4

4 Addition och subtraktion

3 + 4 ∙ 5 = 3 + 20 = 23

Träna på begreppen Resonera mer 71

Favorit matematik 7 Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkne exempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/Cuppgifter i stigande svårighetsgrad, repetitionsuppgifter och Auppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas. I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Inloggningen till den digitala delen är giltig i fyra år. Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematik serien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.

Art.nr 39333

studentlitteratur.se