BAS FAVORIT MATEMATIK 9 Elevpaket – Tryckt + Digitalt
LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR
BAS FAVORIT MATEMATIK 9 Elevpaket – Tryckt + Digitalt Favorit matematik 7-9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential.
ELEVBOK Bas Favorit matematik är en förbrukningsbok. När eleverna skriver direkt i boken är det enklare att fokusera på matematiken. Det blir enklare för eleven att skriva i boken och det ger en härlig känsla när en del blir färdig.
DIGITALT LÄROMEDEL I elevpaketet ingår ett digitalt läromedel som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Det finns även programmeringsövningar i Python och Javascript med tillhörande editor, samt instruktioner och filmer till båda programmeringsspråken.
Interaktiv version av b oken, inläst med autentiskt tal och textföljning
Interaktiva övningar
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
klicka på bilden och prova
Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se
Produktionsstöd till detta läromedel har erhållits från Specialpedagogiska skolmyndigheten.
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 43961 ISBN 978-91-44-15075-8 Upplaga 1:1 Artikeln är tryckt i två delar. Detta är del 1. © 2022 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Pi 9 E Matematiikka © 2019 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola Printed by GPS Group, Austria 2022
i Arbeta med Favorit matematik
3 Geometriska kroppar och skala 116
1 Sannolikhet
1 Geometriska kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Fördjupning: Jordens yta . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2 Rita geometriska kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 Enhetsomvandlingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4 Begränsningsarean och volymen av rätblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5 Begränsningsarean av ett prisma . . . . . . . . . 134 6 Volymen av ett prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7 Begränsningsarean av en cirkulär cylinder . 142 8 Volymen av en cirkulär cylinder . . . . . . . . . . 146 9 Beräkningar av olika kroppar . . . . . . . . . . . . . 150 Fördjupning: Mått från världen . . . . . . . . . . . 153 10 Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Fördjupning: Gyllene snittet . . . . . . . . . . . . . . 157 11 Tillämpningar av skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12 Areaskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 13 Volymskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8
1 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Fördjupning: Fakultet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Klassisk sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Tärningskast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Programmering: Kast med två tärningar . . . . 24 4 Flera händelser i följd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Statistisk sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6 Som minst eller som mest? . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Sant eller falskt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9 Multiplikationsprincipen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 10 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Samband och funktioner
54
1 Samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Fördjupning: Valutakurser . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 Omvänd proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Grafer och tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6 Tolka grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7 Grafen till en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10 Rita en linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11 Punkter på en linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 12 Linjens lutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 13 Linjens placering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 14 Bestäm räta linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . 106 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Facit till repetitionsuppgifter Register
i Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till elevpaketet så att du kan lära dig så mycket som möjligt.
Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital del. Du aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida. I den digitala delen finns bland annat cirka 300 filmer som stöd för inlärningen.
Bokens upplägg I Favorit matematik 9 får du lära dig ett moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå. Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor. Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill du träna mer på lektionens moment, finns det länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder.
Filmer
EXEMPEL 1
Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Du kan lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det cirka 300 filmer som handlar om precis det som står i boken. Du har varit sjuk och missade matematiklektionerna förra veckan. Vad ska du göra? Lösning:
Läs förklaringarna i boken. Om du inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara! Precis som stora tal kan små tal skrivas om med tiopotenser. Positiva tal mindre än noll har negativ exponent i tiopotensen, till Förklara! exempel 0,01 = 10−2.
EXEMPEL 2
Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar precis det som står i boken.
Du var med på lektionen, men du förstod inte riktigt när läraren räknade och förklarade. Du läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Du behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska du göra? Lösning:
Räkna!
EXEMPEL 3
Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Skriv talet 12,036 i utvecklad form med tiopotenser. Lösning och svar:
12,036 = 1 ∙ 10 + 2 ∙ 1 + 0 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,01 + 6 ∙ 0,001
Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar och förklarar exemplet i boken.
Visa!
Det finns mycket mer i den digitala delen, till exempel hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en film om hur den digitala delen fungerar.
Bokens olika uppgifter
Det finns en kursplan som beskriver vad du ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Du får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor. I Favorit matematik 9 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. Vi använder samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som du måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast. Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om du förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem. • Metod (M) – testar om du kan metoder för beräkningar. • Problemlösning (P) – testar om du kan lösa olika problem som presenteras för dig, och att du kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet. • Kommunikation (K) – testar om du med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem. Begrepp och metod är en förutsättning för att du ska klara problemlösning och kommunikation. Därför läggs stor vikt vid de förmågorna i början. I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och Programmeringsuppgifter.
Märkning av uppgifter
Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerad med en streckad linje.
E/C-UPPGIFTER
Uppgift 1 tränar framförallt förmågan Begrepp medan uppgift 9 framförallt tränar förmågan Metod.
1 Granska talet 67,103. Vilken är talets B a) heltalsdel b) decimaldel?
EC
9 Räkna utan miniräknare. M a) 13 ∙ 2,4 b) 5,04 ∙ 3,9 c) 13,6 / 8 d) 6 / 0,2 Den streckade linjen visar gränsen mellan E- och C-uppgifter.
Under uppgiftsnumret ser du vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen handlar om: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.
A-uppgifterna är inte så många, men svårare. Du bör först vara säker på att du kan alla grunder på E- och C-nivå innan du går vidare med utmaningarna i A-uppgifterna och Resonera-/Laborera-uppgifterna. Försök först klara uppgifterna på egen hand innan du ber någon om hjälp. Det är viktigt att du verkligen förstår uppgifterna så att du klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.
Det blir tydligt vad du kan och vad du behöver träna mer på
Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När du får tillbaka provet finns en tabell, där du kan se vilka olika typer av uppgifter du har klarat. Du kan titta på tabellen och se vilka typer av uppgifter du behöver träna mer på i fortsättningen. Lycka till!
UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter, A-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problemlösning, metod, begrepp och kommunikation. 2 Vad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel? 3 Läs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.
4 Öppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan. 5 Klicka runt i boken och hitta minst fem olika saker du kan göra. Jämför med de andra i klassen och se om ni har hittat olika saker. 6 Fundera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!
1
Sannolikhet
I det här kapitlet får du lära dig hur • sannolikhet beräknas i vardagliga situationer t.ex. med hjälp av tärningar och kortlekar samt begrepp som beroende och oberoende händelser i ett och flera steg. • klassisk sannolikhet skiljer sig från statistisk sannolikhet. • Dirichlets lådprincip fungerar. • den matematiska betydelsen av orden och, eller och inte används. • många olika kombinationer som kan bildas t.ex. med hjälp av träddiagram. • multiplikationsprincipen och sannolikhet används.
Centralt innehåll • Sannolikhet och metoder för att beräkna sannolikhet i olika situationer. Bedömningar av risker och chanser utifrån datorsimuleringar och statistiskt material. • Kombinatoriska principer och hur de kan användas i olika situationer.
1 Sannolikhet När det frågas efter hur möjligt det är att en viss händelse inträffar är det händelsens Förklara! sannolikhet som beräknas. Ju större möjligheten är för att en händelse ska inträffa, desto större är sannolikheten. Alla sektorer i lyckohjulet på bilden är lika stora. V
V
F
F V
Eftersom vinstsektorerna (V) är fler än förlustsektorerna (F) är sannolikheten för vinst större än sannolikheten för förlust. Sannolikhet anges i bråk-, decimal- eller procentform. Sannolikheten för en omöjlig händelse är 0. För en säker händelse är sannolikheten 1, alltså 100 %. Sannolikheten är alltid i intervallet 0 till 1, alltså 0 till 100 %. omöjlig
lika stor sannolikhet
säker
osannolik
sannolik
0
1
Räkna!
EXEMPEL 1
0%
1 6
1 = 50 % 2
”Vi får en fyra.”
”Vi får klave.”
2 3
”Bollen är blå.”
Hur stor är sannolikheten a) att du får antingen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 när du kastar en sexsidig tärning b) att du får en åtta när du kastar en sexsidig tärning? Lösning och svar: a) När vi kastar en tärning är resultatet med säkerhet antingen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6.
Sannolikheten för resultatet 1–6 är 1, det vill säga 100 %.
b) Sannolikheten för att få en åtta vid ett tärningskast är 0 %,
eftersom 8 inte finns med på en sexsidig tärning.
10
100 %
EXEMPEL 2
Är sannolikheten för vinst större än sannolikheten för förlust, om var fjärde lott är en vinstlott? Lösning:
Vinstmöjligheten är 1 = 25 % och förlustmöjligheten 3 = 75 %. Det finns tre gånger 4 4 så många tomma lotter som det finns vinstlotter. TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT
TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT
TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT
TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT
TRISSLOTT
TRISSLOTT
TRISSLOTT
TRISSLOTT
V
V
V
V
EXEMPEL 3
Svar: Det är mer sannolikt att du förlorar än att du vinner.
Enligt en väderleksrapport är sannolikheten för regn i morgon 30 %. Vilken är sannolikheten för att det inte regnar i morgon? Lösning:
Sannolikheten för att det inte regnar i morgon får vi genom att från 100 procent subtrahera sannolikheten för att det regnar. 100 % − 30 % = 70 % Svar: Sannolikheten för att det inte regnar i morgon är 70 %.
EC
E-UPPGIFTER 1 Bedöm för vilken färg sannolikheten för vinst i lyckohjulet är a) störst
BM
b) minst.
2 Vi kastar en sexsidig tärning. Skriv utfallen från det mest osannolika till det mest sannolika. A: Vi får 8. B: Vi får ett jämnt tal. C: Vi får högst 6. D: Vi får 6.
BM
,
,
och
.
11
3 Skriv händelserna från den mest osannolika till den mest sannolika när vi lottar fram bokstäver ur alfabetet från A till Ö. A: Vi får bokstaven A eller E. B: Vi får en annan bokstav än bokstaven Ä. C: Vi får bokstaven Ä. D: Vi får en konsonant.
BM
,
,
och
.
4 Skriv händelserna från den mest osannolika till den mest sannolika när vi singlar slant: A: Vi får krona. B: Vi får krona eller klave. C: Myntet ställer sig på kant. D: Vi får klave.
7 Med hur stor sannolikhet sitter det inga fåglar på ett fågelbord, om sannolikheten för att det sitter fåglar på fågelbordet är
BM
a) 15 % 100 % – 15 % = b) 42 % 100 % – c)
8 Med vilket lyckohjul är sannolikheten för vinst (V)
MK
BM
,
,
och
5 Är det mest sannolikt att du vinner (V) eller förlorar (F)? F
V
F
F
V V
Lyckohjul 1 F
Lyckohjul 2 V
F
F
F V
F
F F
V
Lyckohjul 3
F
F F
F
V F
V F V
F F
F
9 I en simtävling lottas banorna ut till de åtta simmarna. Är det mer sannolikt att en av deltagarna får a) bana 1, än någon av banorna 2–8
MK
b) bana 1 eller 8, än bana 4
6 Hur stor är sannolikheten för uppehållsväder, om sannolikheten för regn är
BM
a) 25 % 100 % – 25 % =
1? 2
c) bana 5, än att hon inte får den d) någon av de två yttersta banorna, än
någon av de två mittersta?
b) 80 % 100 % –
12
b) minst?
F F
c)
a) störst
.
BM
1
100 % · 4 =
3? 4
1
100 % · 2 =
10 Är påståendet sant eller falskt? BK Motivera. a) En mamma väntar sitt fjärde barn. Barnet är med säkerhet en pojke, eftersom hennes tre första barn också är det. sant falskt
12 I en låda ligger tio svarta, sex blå och MK fyra röda suddgummin. Du tar suddgummin ur lådan utan att se vilket du tar. a) Vilken färg på suddgummit är det mest sannolikt att du får?
b) Eftersom sannolikheten för regn i
b) Vilken färg är det minst sannolikt
morgon är 80 %, så är sannolikheten för att det inte regnar 20 %. sant falskt
c) Vi har singlat slant tre gånger och
fått krona varje gång. Sannolikheten för krona och klave är lika stor i det fjärde kastet. sant falskt
att du får?
c) Hur många suddgummin måste du
ta ur lådan för att med 100 % säkerhet få två blå suddgummin?
C-UPPGIFTER 11 På en ostbricka ligger 30 bitar brie MK och 120 bitar hårdost. a) Är det mest sannolikt att en slumpmässigt utvald bit är en briebit?
b) Hur många bitar måste William
åtminstone ta, för att med säkerhet få en bit brie?
13 Är sannolikheten för händelsen större MK eller mindre än hälften? Ett slumpmässigt utvalt naturligt tal som är mindre än en triljon är a) 10 b) delbart med talet 5 c) udda.
Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A 13
REPETITION 14 Det finns 7 gula, 2 röda och 3 gröna M tuggummin i en burk. Du tar ett utan att titta. Skriv händelserna i ordning från det mest osannolika till det mest sannolika. A: Du får ett rött. B: Du får ett gult. C: Du får ett rött eller ett gult. D: Du får ett grönt.
,
,
och
.
15 Experterna uppskattar hemmalagets BM vinstchans till 45 % och sannolikheten för oavgjort till 20 %. Hur stor är sannolikheten för att hemmalaget a) antingen vinner eller spelar oavgjort
16 I en hatt ligger tio sifferlappar med MK talen från ett till tio. Är sannolikheten större eller mindre än hälften för att talet du drar ur hatten är större än mindre än hälften hälften
a) 7 b) 3–9 c) högst 3 d) 0 e) mindre än 20 f) udda?
17 Uppskatta med hur stor sannolikhet MK det a) kommer att vara minusgrader om en timme b) inte regnar i morgon på morgonen.
b) förlorar?
18 Ge ett exempel på en PK a) säker händelse b) möjlig men osannolik händelse.
ra Resone
Du kastar en 20-sidig tärning. Vilken är sannolikheten för att du får a) ett primtal b) ett tal som är delbart med 5 c) en faktor i talet 20?
14
FÖRDJUPNING Fakultet Fakulteten av ett naturligt tal är produkten av alla heltal från 1 upp till och med talet självt. Fakultet betecknas med !. n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n − 1) ∙ n
där n är ett naturligt tal
EXEMPEL 5
EXEMPEL 4
1! = 1 2! = 2 ∙ 1 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 och så vidare n! = n ∙ (n −1)! Beräkna a) fakulteten av talet 4
b) 5!
Lösning och svar: a) 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
b) 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
10! = 3 628 800. Hur mycket är då 11!? Lösning och svar:
11! = 11 ∙ 10! 11! = 11 ∙ 3 628 800 = 39 916 800
C
C-UPPGIFTER 19 Beräkna. BM
a) 2!
2·1=
b) 6!
6·5·4·3·2·1=
20 Beräkna. BM
a) 9!
b) 10! c) 13! c) Jämför resultaten för a) och b).
Vad märker du?
15
2 Klassisk sannolikhet När en tärning kastas finns 6 möjliga resultat som är lika sannolika. Utfall är ett möjligt Förklara! resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallen är lika sannolika och ett utfall kan inte inträffa samtidigt som något annat utfall. Den klassiska sannolikheten för att en händelse ska inträffa beräknas genom att det antal utfall som leder till en given händelse, det vill säga alla gynnsamma utfall, divideras med det totala antalet utfall.
EXEMPEL 2
Räkna!
EXEMPEL 1
Sannolikheten = antalet gynnsamma utfall totala antalet utfall Du singlar slant en gång. Vilken är sannolikheten för att du får krona? Lösning:
Det gynnsamma utfallet är att du får krona.
Det finns totalt två utfall – ”krona” eller ”klave”. Sannolikheten är 1 = 0,5 = 50 % 2 Svar: Sannolikheten för att du får krona är 50 %.
Vilken är sannolikheten för att lyckohjulet a) stannar på en sektor med 0 b) inte stannar på en sektor med 0? Lösning: a) Alla sektorerna är lika sannolika, eftersom de är
200
0
100
300
0
400 500
0
lika stora. Det finns 3 gynnsamma utfall och sammanlagt 8 möjliga utfall, alltså är sannolikheten 3 . 8 b) Det finns 5 gynnsamma utfall och sammanlagt 8 möjliga utfall, alltså är sannolikheten 5 . 8 3 Svar: a) Sannolikheten är . 8 5 b) Sannolikheten är . 8 Diskut
a
er
Sannolikhet används ofta vid beräkningar i spel. Kan du komma på andra situationer då det pratas om sannolikhet?
16
EC
E-UPPGIFTER 1 Du ska singla slant och hoppas på klave. a) Hur många gynnsamma utfall finns det?
BM
4 Sektorerna är lika stora. Vilken är sannolikheten för att du lottar fram en
BM
a) rosa b) gul
b) Hur många olika utfall finns det?
c) blå eller rosa d) blå, rosa eller lila sektor?
c) Vilken är sannolikheten för att du får
klave?
5 Du drar ett kort ur en vanlig kortlek med 52 kort. Vilken är sannolikheten för att kortet du drar är
BM
2 Du vill ta en gul boll ur lådan.
BM
a) rött b) en kung c) ruter?
det?
b) Hur många olika utfall finns det? c) Vilken är sannolikheten för att du får
en gul boll?
3 Du har singlat slant nio gånger. Du har fått klave varje gång. Vilken är sannolikheten för att du nästa gång får
BM
6 En klass lottar fram sina sittplatser. Vilken är sannolikheten för att en elev får en plats
BM
a) i främsta raden b) vid fönstret c) längst bak?
lärare
a) Hur många gynnsamma utfall finns
a) klave b) krona?
fönster
17
7 Du drar ett kort ur en vanlig kortlek med 52 kort. Vilken är sannolikheten för att kortet du drar är
BM
a) hjärter ess b) en sjua eller en åtta
9 En påse innehåller vita, blå och svarta pärlor. Om du tar en pärla ur påsen är sannolikheten för en vit pärla 2 och 11 sannolikheten för en blå 4 . 11 a) Vilken är sannolikheten för att få en svart pärla?
MP
c) klöver knekt, klöver dam eller klöver
kung?
b) Hur många pärlor kan påsen ha
innehållit till en början?
C-UPPGIFTER 8 En vanlig kortlek innehåller till en början 52 kort. Du har dragit klöver två, klöver åtta och ruter två ur leken. Vilken är sannolikheten för att det fjärde kortet du drar är a) spader
BM
b) en tvåa
10 Du kan slumpmässigt välja en bokstav PK ur ett ord. Ge exempel på ett ord för vilket påståendet är sant. a) Sannolikheten för att du väljer ett A är 20 %. b) Sannolikheten för att du väljer
ett S är 50 %.
c) Sannolikheten för att du väljer c) klöver
en vokal är 2 . 3
d) en sjua eller en åtta? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A 18
REPETITION
T ET LJ BI
BILJETT
B IL
JET
T
BI
T
JE T
T
BI LJ ET
T B IL
TT
ET
BI LJ
LJ
LJ
LJ
ET
T
B IL
JE T
T
TT
BI
B IL JE
ET
T LJ BI
T
B IL JE
TT
JE T
BI
BILJE TT
T
B IL JE
B IL
BILJETT
JE T
ET
T
B IL
BILJE TT
ET T
11 Du ska slumpmässigt välja en av BM biljetterna på bordet.
BILJETT
Vilken är sannolikheten för att biljetten är a) rosa b) blå c) gul?
12 Vilken är sannolikheten för att du BM öppnar en hundrasidig bok på sidan
13 En klass ska delta i en videotävling. BM Agnes, Nova, Liv, Nils, Moa och Max har anmält sig som filmare. Klassen lottar fram filmaren. Vilken är sannolikheten för att det a) blir Max b) blir en flicka c) inte blir Agnes?
14 Axel tar upp ett kort i spelet memory. BM Hur stor är sannolikheten för att han får ett par, om det finns kvar a) ett kort
a) 150 b) 1–100
b) fem kort
c) 50?
c) 11 kort?
rraa L Laabboorree 2–3 personer spelar med två tärningar. Turas om att kasta tärningarna och bilda det största möjliga talet: välj den ena tärningen till tiotalssiffran och den andra till entalssiffran. Följande spelare ska sedan kasta tärningarna och försöka bilda ett tal som är större än det föregående. Den som bildar störst tal vinner. 19
3 Tärningskast När en sexsidig tärning kastas är det totala antalet utfall alltid samma. De möjliga Förklara! utfallen är 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Oavsett hur många gånger tärningen kastas förändras inte antalet möjliga utfall. Tärningskast är ett exempel på en oberoende händelse. När två tärningar kastas kan utfallen bli: 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Räkna!
EXEMPEL 1
Totalt är det 6 ∙ 6 möjliga utfall. Kastas tre tärningar så blir det 6 ∙ 6 ∙ 6 möjliga utfall. Antalet möjliga utfall beräknas med multiplikation. Vilken är sannolikheten för att summan är högst 8 vid kast med två tärningar? Lösning:
Vi gör en tabell över kasten och motsvarande summor. 7
8
9 10 11 12
6
7
8
9 10 11
5
6
7
8
9 10
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
Det finns 36 möjliga utfall, varav 26 är gynnsamma. Sannolikheten är 26 = 0,722… ≈ 0,72 = 72 % 36 Svar: Sannolikheten för att summan är högst 8 är 72 %.
20
Sannolikhet kan även uttryckas i procentform.
EC
E-UPPGIFTER 1 Hur stor är sannolikheten att du får en etta, när du a) kastar en sexsidig tärning en gång
BM
5 Du kastar en tärning. Vilken är sannolikheten för att du får upp ett tal som är
MP
a) mindre än 5 b) fick en etta på det förra kastet c) fick en sexa på det förra kastet?
b) minst 4 c) högst 6?
6 Du kastar två likadana tärningar. Vilken är sannolikheten för att du får summan
BM
2 Du kastar en tärning. Vilken är sannolikheten för att du får
a) 5
BM
a) 3
b) 12
b) 1 eller 2
c) 1?
c) 3, 4, 5 eller 6?
7 Stellas rollspelstärningar har olika antal sidor. Den fyrsidiga tärningen visar 1–4, den sexsidiga tärningen 1–6 och så vidare. Vilken är sannolikheten för att hon får max tre, om hon kastar en tärning med
MP
3 Vilken är sannolikheten för att du kastar en tärning och hamnar i ruta
BM
a) 4 b) 6 a) Ä
c) 8
b) U
d) 10
c) V?
e) 12
4 Vilken är sannolikheten för att du i MP fallet i uppgift 3 kommer till
f) 20
sidor?
a) högst ruta T b) ruta Ä eller Ö c) åtminstone till ruta S?
21
C-UPPGIFTER 8 Du kastar två likadana sexsidiga tärningar. Vilken är sannolikheten för att summan är a) mindre än 5
MP
10 Du kastar två sexsidiga tärningar. MP Vilken är sannolikheten för att summan av prickarna på tärningarna är a) mindre än produkten av dem
b) större än produkten av dem? b) minst 9
c) minst 4 men högst 8?
9 Du kastar två likadana sexsidiga tärningar. Vilken är sannolikheten för att du får a) åtminstone en trea
MP
11 Du kastar en vit och en svart tärning. MP Vilken är sannolikheten för att du får a) en sexa enbart med den svarta tärningen
b) en sexa enbart med den vita
tärningen
b) samma antal på båda tärningarna c) en sexa med båda tärningarna? c) en etta och en sexa?
Öva mer – E
Laborera Kasta två tärningar. Beräkna summan av tärningarna. Beräkna sannolikheten att det blev just din summa. Upprepa tre gånger.
22
Öva mer – E/C Öva mer – C/A
REPETITION 12 Du har kastat en tärning en gång och MP fått en etta. Vilken är sannolikheten att du på nästa kast får a) 1
15 Du kastar en tärning två gånger. MP Vilken är sannolikheten för att a) det andra kastet ger ett större tal än det första
b) ett tal som är större än 1 c) ett udda tal?
13 Du kastar en grön och en orange MP tärning. Vilken är a) den mest sannolika summan av tärningarna b) sannolikheten för att summan är
minst 8
c) sannolikheten för att summan är ett
jämnt tal?
14 Du kastar en tärning två gånger. MP Vilken är sannolikheten för att a) båda kasten ger samma tal
b) det andra kastet är mindre eller lika
med det första kastet?
16 I Yatzy får du full poäng om du lyckas MP slå en yatzy, det vill säga om alla fem tärningar visar samma tal. Du har tre försök på dig, och du får efter varje omgång låta bli att kasta de tärningar som redan visar det antal du samlar på. Hur stor är sannolikheten för att du får yatzy a) på första kastet b) på det sista kastet, om du har
lämnat kvar två femmor på bordet
b) summan av kasten är mindre än 8?
23
Kast med två tärningar Python
Med programmering kan tärningskast enkelt simuleras. Kommandot Math.random används i exemplet för att simulera ett tärningskast. En sexsidig tärning kan simuleras genom en kombination av Math.random multiplicerat med antalet sidor på tärningen adderat med 1. Kommandot Math.floor används för att avrunda decimaltalet som Math.random slumpar ut nedåt till närmsta heltal. På så sätt skapas ett slumpmässigt tal mellan 1 och 6. För att kunna spara resultat från flera tärningskast sparas resultatet i en array (variabel som kan innehålla flera värden samtidigt). I programmet i exemplet nedan presenteras resultatet av kast med två tärningar i en tabell. Kommandon i JavaScript Math.floor() metod som avrundar ett tal nedåt till närmsta heltal Math.random() metod som slumpar ett decimaltal som är större än 0 och mindre än 1 Array.push() metod som adderar nytt värde i slutet av en array
EXEMPEL 2
Programmering
<JAVASCRIPT: KAST MED TVÅ TÄRNINGAR>
Skapa en slumpgenerator som kastar två tärningar och beräknar summan av tärningskasten. Resultatet ska presenteras i en tabell. <script> var antalSidor = 6; var resultat = skapaResultatMatris(antalSidor); var antalKast = prompt("Ange antal tärningskast: "); for (var k = 0; k < parseInt(antalKast); k++) { var tarning1 = kastaTarning(); var tarning2 = kastaTarning(); resultat[tarning1 - 1][tarning2 - 1] += 1; } skrivUtResultat(); function kastaTarning() { return Math.floor(Math.random() * antalSidor) + 1; }
24
Programmering
EXEMPEL 2, FORTS.
function skapaResultatMatris(antalSidor) { var matris = []; for (var x = 0; x < antalSidor; x++) { var kolumn = []; for (var y = 0; y < antalSidor; y++) { kolumn.push(0); } matris.push(kolumn); } return matris; }
Vi döper vår array till matris.
function skrivUtResultat() { document.write("Ditt utfall (siffra inom parentes är antalet träffar):"); document.write("<table border=’1’ cellpadding=’5’ cellspacing=’3’ style=’border-collapse:collapse’>"); for (x = antalSidor; x > 0; x--) { document.write("<tr>"); for (y = 1; y <= antalSidor; y++) { var traffar = resultat[x-1][y-1]; if (traffar > 0) { document.write("<td style=’background-color:green; width:40px’>", x + y, " (", traffar, ")</td>"); } else { document.write("<td style=’width:40px’>", x + y, "</td>"); } } document.write("</tr>"); } document.write("</table>"); } </script>
UPPGIFTER 1 Sannolikheten att du får summan 7 6 alltså när du kastar två tärningar är 36 1 6 . Beräkna den statistiska sannolikheten att du får 7 när du kastar tärningarna i programmet ovan a) 10 gånger b) 100 gånger c) 1000 gånger
2 a) Hur stor är den klassiska sannolikheten för att du får summan 9? b) Beräkna den statistiska
sannolikheten efter att du kastat tärningarna 1000 gånger.
c) Jämför resultaten för a) och b).
d) 10 000 gånger.
Vad kan du dra för slutsats?
25
4 Flera händelser i följd Räkna!
EXEMPEL 1
När sannolikheten ska beräknas för flera händelser i följd multipliceras Förklara! sannolikheten för händelserna med varandra. Du singlar slant två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får krona båda gångerna? Lösning, metod 1:
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 Det gynnsamma utfallet är ”krona och krona”.
Det finns 4 möjliga utfall, krona-krona, krona-klave, klave-krona, klave-klave, varav 1 är gynnsamt, krona-krona. Sannolikheten för krona-krona är antalet gynnsamma utfall dividerat med totala antalet utfall lika med 1 . 4 Lösning, metod 2:
Sannolikheten för att få krona på det första kastet är 1 . Eftersom kasten inte är 2 beroende av varandra är sannolikheten för att du ska få krona på det andra kastet också 1 . 2 Vi beräknar sannolikheten genom att multiplicera Sannolikheten är 1 ∙ 1 = 1 . sannolikheterna med varandra. 2 2 4 klave
krona
✗✗ ✓✗ krona
klave
Svar: Sannolikheten för att få krona båda gångerna är
1. 4
Om antalet möjliga utfall förändras efter föregående händelse kallas det för beroende händelse. Exempel på detta är kortdragning utan återläggning. Om utgångsläget är 52 kort och ett kort delats ut finns det bara 51 kort kvar.
26
EXEMPEL 2
En börs innehåller en 20-kronorssedel, en 50-kronorssedel, en 100-kronorssedel och en 200-kronorssedel. Du tar slumpmässigt två sedlar ur börsen. Hur stor är sannolikheten för att du först tar 50-kronorssedeln och sedan 20-kronorssedeln, om du a) lägger tillbaka den första sedeln i börsen b) inte lägger tillbaka sedeln i börsen? Lösning: a) 1 ∙ 1 = 1
4 4
16
b) 1 ∙ 1 = 1
4 3
12
1 . 16 b) Sannolikheten är 1 . 12
Svar: a) Sannolikheten är
Då sedeln läggs tillbaka förändras inte nämnaren, alltså är det oberoende händelser. Då en sedel tagits bort finns det bara tre kvar och nämnaren ändras, alltså är det beroende händelser.
E
E-UPPGIFTER 1 Du singlar slant två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får först a) krona och sedan klave
BM
∙
4 Hur stor är sannolikheten för att två slumpmässigt utvalda flickor är födda
BM
a) på en fredag
=
b) samma veckodag
b) klave och sedan krona?
∙
=
2 Du kastar en sexsidig tärning två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får a) två treor
BM
∙
=
c) olika veckodagar?
5 På måndag är sannolikheten för regn 60 %, på tisdag 70 % och på onsdag 20 %. Vilken är sannolikheten för att det regnar på a) måndag och tisdag
BM
b) först en etta och sedan en sexa?
∙
=
3 Du singlar slant två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får a) samma resultat
BM
b) tisdag och onsdag c) måndag, tisdag och onsdag d) måndag, men inte på tisdag?
b) olika resultat?
27
6 På måndag är sannolikheten för regn 60 %, på tisdag 70 % och på onsdag 20 %. Vilken är sannolikheten för att det a) regnar på tisdag, men inte på onsdag
b) gul eller blå
MK
c) gul, blå eller rosa
b) regnar på måndag och tisdag, men
inte på onsdag
d) någon annan färg än lila?
c) inte regnar på måndag och tisdag
9 Om du ur det ursprungliga nätet i föregående uppgift slumpvis tar två bollar, vilken är sannolikheten att a) den första bollen är blå och den andra rosa
BM
d) inte regnar på måndag, tisdag och
onsdag?
7 Du kastar två tärningar. Vilken är sannolikheten för att du får a) samma antal prickar på tärningarna
BM
b) den första bollen är rosa och
den andra blå?
b) olika antal prickar på tärningarna?
8 Bollar säljs i nät med 30 bollar i varje. I ett nät finns 8 blå, 7 gröna, 5 rosa, 6 lila och 4 gula bollar. Om du slumpvis tar en boll, vilken är sannolikheten att du får en a) grön eller blå
BM
Öva mer – E Öva mer – E/C 28
Öva mer – C/A
REPETITION 10 Du singlar slant tre gånger. BM Vilken är sannolikheten för att du får a) klave tre gånger
∙
∙
=
b) krona tre gånger?
∙
∙
=
11 En fyrsidig tärning har siffrorna BM 1, 2, 3, och 4. Vilken är sannolikheten för att du får a) en trea på ett kast b) två treor på två kast
12 Du kastar tre tärningar. Vilken är MK sannolikheten för att du får a) samma antal prickar på tärningarna
14 Av medlemmarna i en orkester spelar MK 40 % fiol. Av violinisterna är 70 % kvinnor. Hur stor är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald orkestermedlem a) inte är violinist b) är en kvinnlig violinist c) inte är en kvinnlig violinist?
15 I kortspelet ”tecknet” (även kallat MK ”kotte”) används endast 16 kort (knektarna, damerna, kungarna och essen). Vilken är sannolikheten för att a) de två första korten du får är ess
b) olika antal prickar på varje tärning? b) det första kortet du får är en knekt,
13 Du kastar en fyrsidig tärning tre MK gånger. Vilken är sannolikheten för att du får en etta på första kastet och en fyra på de två följande?
det andra en dam och det tredje en kung
c) du ska få fem ess?
neerraa R Reessoon En portfölj har två tresiffriga sifferkoder. En person försöker öppna portföljen genom att pröva olika koder. Hur många olika kombinationer måste personen som mest pröva för att med säkerhet få upp portföljen?
29
5 Statistisk sannolikhet Med hjälp av klassisk sannolikhet kan till exempel sannolikheten för att ett barn Förklara! som föds är en flicka beräknas. För att kunna beräkna sannolikheten för detta måste en slumpmässig grupp människor väljas ut för att sedan beräkna hur stor del av dem som är flickor. I sådana fall talas det om statistisk sannolikhet. Ju större antal observationer, desto noggrannare är den statistiska sannolikheten.
Räkna!
EXEMPEL 1
statistisk sannolikhet = antal gynnsamma observationer totalt antal observationer Amir räknar antalet tändstickor i tio askar. Han får följande värden: 50, 49, 50, 50, 52, 49, 51, 50, 50 och 50. Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald tändsticksask innehåller 50 tändstickor? Lösning:
Enligt Amirs undersökning innehåller sex av tio askar 50 tändstickor, alltså är sannolikheten Genom att undersöka ett större antal askar 6 = 0,6 = 60 % skulle vi få ett mer exakt svar. 10
EXEMPEL 2
Svar: Sannolikheten för att asken ska innehålla 50 tändstickor är 60 %.
Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är från Asien? Världsdel Uppskattat invånarantal Källa: FN (2013)
Asien
Afrika
4 298 723 000 1 110 635 000
Europa
Nordamerika Sydamerika Oceanien
Sammanlagt
742 452 000 355 361 000 616 645 000 38 304 000 7 162 119 000
Lösning:
4 298 723 000 = 0,600… = 60 % 7 162 119 000
Sannolikheten är förhållandet mellan antalet asiater och det totala antalet människor.
Svar: Sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är från Asien är 60 %.
a
Diskute r
Statistisk sannolikhet utgår ifrån insamlad data. Kan du komma på sammanhang där det används?
30
E
E-UPPGIFTER 1 Ungefär 15 % av alla människor är vänsterhänta. Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är
BM
4 Vilken världsdel kommer ett barn som föds nu a) mest sannolikt födas i
MK
a) vänsterhänt
2
BM
År 2000 2001 2002 2003 2004
Flickor 43 821 44 328 46 628 48 043 48 953
Pojkar 46 620 47 138 49 187 51 114 51 975
Totalt 90 441 91 466 95 815 99 157 100 928
Världsdel Asien Afrika Sydamerika Europa Oceanien Nordamerika
Källa: SCB (2018)
Det finns totalt flickor födda mellan 2000 och 2004. Det finns totalt pojkar födda mellan 2000 och 2004. Vilken är sannolikheten för att en kompis till dig som är född i början av 2000-talet (2000–2004) är en a) pojke b) flicka?
3 Tabellen visar hur bloddonatorer är BM fördelade efter blodgrupper. Rh står för rhesusfaktor. Blodgrupp A Rh+ O Rh+ B Rh+ AB Rh+
Andel 39 % 27 % 15 % 7%
Blodgrupp A RhO RhB RhAB Rh-
Andel 5% 4% 2% 1%
Antal födda per år 73 500 000 35 500 000 7 500 000 7 600 000 600 000 4 700 000
Källa: UNData (2011)
b) minst sannolikt födas i?
b) högerhänt?
5 Utgå från informationen i uppgift 4 och beräkna sannolikheten för att ett barn som föds nu a) föds i Europa
MK
b) föds i Asien
c) inte föds i Afrika
Vilken är sannolikheten för att en blodgivare har a) blodgrupp AB Rh+ b) blodgrupp A
d) föds i Amerika.
c) en blodgrupp med Rh–?
31
6 Stapeldiagrammet visar könsfördelningen för eleverna som deltar på en lägerskola.
BM
40 35 30 25 20 15 10 5 0
antal
38 32 25
15
pojke flicka
23
7 Kasta en tändsticksask 50 gånger och räkna hur många gånger den landar på rygg, på långsidan och på kortsidan. Hur stor är sannolikheten för att asken landar a) på rygg
MK
17
årskurs 7
årskurs 8
årskurs 9
Hur stor är sannolikheten för att en elev som deltar på lägerskolan a) går i årskurs 9
b) på långsidan
c) på kortsidan? b) är en flicka
c) är en pojke i årskurs 7?
Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A
ra Labore Gör en spelplan med storleken 5 x 5 rutor. Planen ska ha rutor i fyra olika färger och sannolikheten för färgerna i en slumpmässigt utvald ruta ska vara 16 %, 20 %, 28 % och 36 %. Hur ska spelplanen se ut? 32
REPETITION 8 Bestäm den statistiska sannolikheten för att du använder din mobil mellan att skolan slutar och du går och lägger dig.
st vin
vins
vins
9
BM
t
MP
t
a) Vilket är mest sannolikt, vinst eller
förlust (rosa)?
11 Följande data har samlats in över MK antalet rum i bostäderna i en stad: Antal rum och kök
Antal
1
7 304
2
19 453
3
12 570
4
8 011
5
3 563
6
920
minst 7
281
okänt
364
Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald bostad har a) 1 rum och kök
b) Mät den information du behöver i
bilden och beräkna sannolikheten för vinst.
10 Utgå ifrån bokstäverna i satsen ”Med BM hjälp av klassisk sannolikhet” för att beräkna sannolikheten för att följande förekommer i en svenskspråkig text. a) bokstaven A
b) 3−5 rum och kök
c) minst 7 rum och kök? b) bokstaven Ö
c) en vokal
33
Favorit matematik 9 – Bas Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkneexempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighetsgrad och repetitionsuppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas. I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Inloggningen till den digitala delen är giltig i ett år. Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematikserien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.
Art.nr 43961 Bok 1
studentlitteratur.se