9789144174778 by Smakprov Media AB

FAVORIT MATEMATIK 7 BAS Elevpaket – Digitalt + Tryckt

LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR

FAVORIT MATEMATIK 7 BAS Elevpaket – Digitalt + Tryckt Favorit matematik 7-9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential.

ELEVBOK Bas Favorit matematik är en förbrukningsbok och den digitala koden gäller i ett år. När eleverna skriver direkt i boken är det enklare att fokusera på matematiken.

DIGITALT LÄROMEDEL I elevpaketet ingår ett digitalt läromedel som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Det finns även en programmeringseditor till JavaScript och en till Python.

Interaktiv version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Interaktiva övningar

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

klicka på bilden och prova

Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Produktionsstöd till detta läromedel har erhållits från Specialpedagogiska skolmyndigheten.

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 43959 ISBN 978-91-44-17477-8 Upplaga 1: 3 Artikeln är tryckt i två delar. Detta är del 1. © 2021 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Pi 7 E Matematiikka © 2013 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola Printed by Interak, Poland 2023

i Arbeta med Favorit matematik 4 1 Tal och räknemetoder

1 Från siffror till tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Räkna med tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Naturliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Historiskt nedslag: Romerska siffror . . . . . 21 4 De naturliga talens delbarhet . . . . . . . . . . 22 Fördjupning: Minsta gemensamma multipel 25 5 Faktorisering och primtalsfaktorer . . . . . . . 26 Fördjupning: Största gemensamma faktor . 29 Historiskt nedslag: Eratosthenes såll . . . . 30 Programmering: JavaScript – Primtal . . . . 31 6 Heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Motsatta tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Addition av heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9 Subtraktion av heltal . . . . . . . . . . . . . . . . 44 10 Addition och subtraktion med heltal . . . . . 46 11 Multiplikation med heltal . . . . . . . . . . . . . 50 12 Division med heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 13 Potensform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 14 Prioriteringsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Fördjupning: Huvudräkning . . . . . . . . . . 66 Fördjupning: Perfekta, fattiga och rika tal . . . 67 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Räkna i bråkform

1 Tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Förkorta och förlänga bråk . . . . . . . . . . . . 78 3 Addition och subtraktion av bråk med lika nämnare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . . 90 6 Delar och andelar av heltal . . . . . . . . . . . . 94 7 Division av bråk och heltal . . . . . . . . . . . . 98 8 Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Historiskt nedslag: Egyptiska bråk . . . . . . 105 9 Blandade räknesätt med bråk . . . . . . . . . .106 10 Problemlösning med bråk . . . . . . . . . . . . .110 11 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

3 Från tal till bokstäver

118

1 Talmönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 2 Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 3 Räkna med bokstäver . . . . . . . . . . . . . . . .128 4 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . .132 Programmering: JavaScript – Talföljder . . . 135 5 Uttryck med variabler . . . . . . . . . . . . . . .136 Historiskt nedslag: Descartes . . . . . . . . . .138 6 Värdet av ett uttryck . . . . . . . . . . . . . . . .140 Fördjupning: Flera variabler . . . . . . . . . . 143 7 Förenkling av variabler . . . . . . . . . . . . . . .144 8 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . .148 Fördjupning: Olika termer . . . . . . . . . . . . .151 9 Division och multiplikation av ett tal och ett algebraiskt uttryck . . . . . . . . . . . .152 Fördjupning: Kommutativitet och associativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10 Multiplikation med parenteser . . . . . . . . .156 11 Addition och subtraktion av algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . .158 Programmering: GeoGebra – Förenkling av uttryck . . . . . . 163 12 Beräkningar med algebraiska uttryck . . . . .164 13 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 Facit till repetitionsuppgifter Register

i Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till elevpaketet så att du kan lära dig så mycket som möjligt.

Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital del . Du aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida . I den digitala delen finns bland annat över 300 filmer som stöd för inlärningen .

Bokens upplägg I Favorit matematik 7 får du lära dig ett litet moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå. Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar för dig och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor. Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill du träna mer på lektionens moment, finns det i den digitala delen länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C/A. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder. 4

Filmer

EXEMPEL 1

Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Du kan lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det mer än 300 filmer som handlar om precis det som står i boken. Du har varit sjuk och har missat matematiklektionerna förra veckan. Vad ska du göra? Lösning:

Läs förklaringarna i boken. Om du inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara! Ett tal anger antal, ordning eller storhet. Storhet är något som kan mätas till exempel vikt, längd och tid. Ett tal består av siffror. Förklara! I det decimala talsystemet finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De kallas arabiska siffror.

EXEMPEL 2

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar för dig precis det som står i boken .

Du var med på lektionen, men du förstod inte riktigt när läraren räknade och förklarade. Du läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Du behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska du göra? Lösning:

Räkna!

EXEMPEL 1

Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Skriv talet 2 356 i utvecklad form. Lösning:

I talet 2 356 har siffrorna följande talsorter:

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar exemplet i boken och förklarar för dig .

Visa!

Det finns mycket mer i den digitala delen, t.ex. hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en liten film om hur den digitala delen fungerar.

Bokens olika uppgifter Det finns en kursplan som beskriver vad du ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt, gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Du får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor. I Favorit matematik 7 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. Vi använder samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som du måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast. Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om du förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem. • Metod (M) – testar om du kan metoder för beräkningar. • Problemlösning (P) – testar om du kan lösa olika problem som presenteras för dig, och att du kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet. • Kommunikation (K) – testar om du med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem. Begrepp och metod är en förutsättning för att du ska klara problemlösning och kommunikation. Därför lägger vi mycket fokus på de förmågorna i början. I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och programmeringsuppgifter.

Märkning av uppgifter Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerade med en streckad linje.

E-UPPGIFTER

Den här uppgiften tränar framförallt förmågorna Begrepp och Problemlösning .

1 Vilket tal är a) 11 större än talet 43 b) 16 mindre än talet 82 c) 37 större än talet 67?

12 Skriv talet 18 som en BP a) summa b) differens c) produkt d) kvot av två naturliga tal.

Under uppgiftsnumret ser du vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen tränar på: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.

Försök först klara uppgifterna på egen hand innan du ber någon om hjälp. Det är viktigt att du verkligen förstår uppgifterna så att du klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.

Det blir tydligt vad du kan och vad du behöver träna mer på! Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När du får tillbaka provet finns en tabell, där du kan se vilka olika typer av uppgifter du har klarat. Du kan titta på den och se vilka typer av uppgifter du behöver träna mer på i fortsättningen! Lycka till!

UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problemlösning, metod, begrepp och kommunikation. 2 Vad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel? 3 Läs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.

4 Öppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan. 5 Klicka runt i boken och hitta minst fem olika saker du kan göra. Jämför med resten av klassen och se om ni har hittat olika saker. 6 Fundera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!

Tal och räknemetoder

I det här kapitlet får du lära dig hur • talsystemet är uppbyggt • olika tal kan beskrivas, till exempel naturliga tal och primtal • du räknar med negativa tal • du använder potensform för att uttrycka tal • du använder prioriteringsreglerna.

Centralt innehåll • Reella tal och deras egenskaper samt talens användning i matematiska situationer. • Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. • Metoder för beräkningar med tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning och skriftlig beräkning.

1 Från siffror till tal Ett tal anger antal, ordning eller storhet. Storhet är något som kan mätas till exempel vikt, längd och tid. Ett tal består av siffror. I det decimala talsystemet finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, Förklara! 4, 5, 6, 7, 8, 9. De kallas arabiska siffror. Det decimala talsystemet är ett positionssystem med talbasen tio. En siffras värde i ett tal avgörs av vilken position siffran har i talet, det vill säga siffrans talsort: ental, tiotal, hundratal, tusental och så vidare.

Räkna!

EXEMPEL 1

Siffersumman av ett tal är summan av alla siffror i talet, utan att ta hänsyn till talsorten. Till exempel har talet 973 siffersumman 19, eftersom 9 + 7 + 3 = 19. Skriv talet 2 356 i utvecklad form. Lösning:

I talet 2 356 har siffrorna följande talsorter:

2356

Tusental

Hundratal

Tiotal

Ental

2 ∙ 1000

3 ∙ 100

5 ∙ 10

6∙1

tusental hundratal tiotal ental

Vi skriver och läser talet 2 356 som ”tvåtusentrehundrafemtiosex”. Skriver vi talsorterna var för sig, blir det 2 000 + 300 + 50 + 6. Svar: 2 ∙ 1 000 + 3 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 6 ∙ 1

Diskute r

När stöter du på tal som anger storhet, antal eller ordning? Beskriv skillnaden mellan begreppen. Kom på så många olika storheter du kan!

EXEMPEL 2

Vilken talsort är siffran fyra i talet? a) 1 243 b) 40 573 c) 800 624

d) 34 269

Svar: a) tiotal

d) tusental

b) tiotusental

c) ental

Decimaltal

EXEMPEL 3

Ett decimaltal (ett tal i decimalform) består av en heltalsdel och en decimaldel. Delarna skiljs åt med ett kommatecken. Den första decimalen uttrycker talsorten tiondelar, den andra hundradelar, den tredje tusendelar och så vidare. Skriv talet 25,306 i utvecklad form. Lösning:

2 5, 3 0 6

tiotal ental tiondelar hundradelar tusendelar

Tiotal

Ental

Tiondel

Hundradel

Tusendel

2 ∙ 10

5∙1

3 ∙ 0,1

0 ∙ 0,01

6 ∙ 0,001

heltal

decimaler

Vi skriver och läser talet 25,306 som ”tjugofem hela och trehundrasex tusendelar”. Skriver vi talsorterna var för sig, blir det 20 + 5 + 0,3 + 0,006.

EXEMPEL 4

Svar: 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 + 3 ∙ 0,1 + 6 ∙ 0,001

Skriv talet i utvecklad form.

a) 392 b) 0,602 c) 547,38 d) 2 058,3

Svar: a) 3 ∙ 100 + 9 ∙ 10 + 2 ∙ 1 b) 6 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,001 c) 5 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 7 ∙ 1 + 3 ∙ 0,1 + 8 ∙ 0,01 d) 2 ∙ 1 000 + 5 ∙ 10 + 8 ∙1 + 3 ∙ 0,1

E-UPPGIFTER 1 Vilka siffror ingår i talet? B

a) 15

4 Ringa in heltalsdelen i talet. B

b) 255

a) 53,746

b) 1 325,9

c) 785,6

d) 34,91

5 Ringa in decimalerna i talet.

c) 30,26

d) 19 023

2 Skriv som ett tal. B a) trehundrasjuttiotvå

b) 53,746

c) 657,98

d) 0,62

6 Vilken talsort har siffran? B a) 5 i talet 235

b) tvåhundrasex

b) 0 i talet 2 073

c) fem hela och tjugosju hundradelar

c) 1 i talet 2,317

d) sexhundranio tusendelar

3 Skriv med ord. B a) 428

a) 13,4

d) 6 i talet 0,62

7 Räkna ut siffersumman i talet. B

a) 520 b) 2 384

5+2+0=

b) 1 458 c) 3,067

c) 4,35

d) 65 482

8 Vad är det för skillnad på begreppen K tal och siffra?

d) 10 037

orera Lab Dela ett A4 papper i 6 delar. Skriv siffrorna 1–6 på pappersbitarna (1 på en och 2 på nästa o.s.v.). vvv Hur ska du placera siffrorna för att likheten nedan ska stämma? 12

∙

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 9 Vilka siffror ingår i talet? B

13 Vilket är talet? BM a) 7 ∙ 1 000 + 6 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 8 ∙ 1

a) 404 b) 0,73

b) 5 ∙ 1 000 + 8 ∙ 10 + 3 ∙ 1

c) 10,206 d) 379 150

c) 4 ∙ 100 + 5 ∙ 1 + 8 ∙ 0,1

10 Skriv talen med ord. P a) 5 421

d) 3 ∙ 1 + 9 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,001

b) 8,31

14 Skriv talet. BP a) Heltalsdelen är femtiosex och decimaldelen tolv hundradelar.

c) 703 716

b) Talet utläses ”sextusenfem hela och

d) 50 004,702

fyrtionio tusendelar”.

11 Vilken talsort är siffran? P

c) Talets utvecklade form är

7 ∙ 10 + 3 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,001.

a) 7 i talet 5,753 b) 9 i talet 9,27 c) 4 i talet 0,045

15 Räkna ut siffersumman. B

d) 2 i talet 25,725

12 Skriv talet i utvecklad form med varje BM platsvärde för sig. a) 17,3 =

∙10 +

∙1 +

∙ 0,1

a) 5271

5+2+7+1=

b) 819 c) 1109 d) 67,09

b) 0,874 = c) 20,05 = d) 0,0601 =

2 Räkna med tal

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

Det finns fyra räknesätt: addition, subtraktion, multiplikation och division. Förklara! • Vid addition adderas termer med varandra och svaret heter summa. • Vid subtraktion subtraheras termer och svaret heter differens. • Vid multiplikation multipliceras faktorer med varandra och svaret heter produkt. • Vid division divideras täljaren med nämnaren och svaret heter kvot.

term + term = summa term – term = differens faktor ∙ faktor = produkt täljare = kvot nämnare

Beräkna a) summan av 4 och 9

b) differensen av 10 och 3.

Lösning:

4 + 9 = 13

10 − 3 = 7

Svar: Summan är 13.

Svar: Differensen är 7.

Skriv talet 25 som en

Det är viktigt att veta vad orden betyder för att veta vilket räknesätt du ska använda.

a) produkt

b) kvot.

Lösning:

Det finns flera lösningar på uppgiften. Du kan tänka att du ska multiplicera två tal med varandra så att svaret blir 25, till exempel 1 ∙ 25 eller 5 ∙ 5.

Det finns även här flera lösningar på uppgiften. Du kan tänka att du ska dividera ett tal med ett annat så att svaret blir 25, till exempel 75 dividerat med 3.

Svar: 5 ∙ 5 = 25 eller 2 ∙ 12,5 = 25.

Svar: 75 = 25 eller 200 = 25.

a a

sk DDisik uu tetrer

HELSINGBORG

LANDSKRONA

LUND

100

MALMÖ

116

KÖPENHAMN

136

Hur många 5-kronor går det på 200 kr? Hur många mil går det på 100 km? Hur många sekunder går det på 5 minuter?

Uppställning av addition och subtraktion

EXEMPEL 3

Vid addition och subtraktion är det viktigt att varje talsort adderas eller subtraheras för sig. Vid uppställning är det viktigt att talen av samma talsort skrivs ovanför varandra. Beräkna med uppställning

a) summan av 0,9 och 11,74

b) differensen mellan 46,23 och 7,44.

Lösning:

När du ställer upp additioner och subtraktioner skrivs decimaltecknen under varandra.

10 10 10

0,9 0 + 1 1,7 4 1 2,6 4

4 6 ,2 3 − 7 ,4 4 3 8 ,7 9

Svar: 12,64

Svar: 38,79

Uppställning av multiplikation

0,6 ∙ 0,4 = 0,24

Vid uppställning av multiplikation kan det vara enklast att skriva det tal som har flest antal siffror överst.

2 decimaler

EXEMPEL 4

När tal i decimalform multipliceras, räknas först multiplikationen som vanligt, utan att tänka på decimaltecknen. Sedan räknas antalet decimaler i faktorerna. Produkten ska ha lika många decimaler som faktorerna har tillsammans.

0,02 ∙ 0,4 = 0,008 3 decimaler

Beräkna med uppställning.

a) 152 ∙ 18

Lösning:

∙ 1 + 1 2

b) 7,42 ∙ 1,6

Lösning:

1 5 1 2 1 5 2 7 3

2 8 6

2 decimaler

3 decimaler

Svar: 2736 1

När du ställer upp multiplikationer, skriver du de sista siffrorna i varje tal under varandra.

7 ,4 2 · 1,6 4 ,4 5 2 + 7 ,4 2 1 1 ,8 7 2

Svar: 11,872 1

Uppställning av division

EXEMPEL 5

Division kan beräknas antingen med kort division eller med en matematisk algoritm till exempel trappan. Beräkna med kort division. 2 5 5 2 0 9 3 4 = 3 4 8 9 a) 20934 Lösning: 6 6

b) 81,64

Lösning:

EXEMPEL 6

8 1 ,16 4 = 2 0 ,4 1 4

Svar: 20,41

Beräkna med trappan. a) 20934

b) 81,64

Lösning:

3 6 2 0 − 1 8 2 − 2

2 4 8 − 8 0 −

4 8 9 9 3 4

9 4 5 3 − 4 8 5 4 − 5 4 0

Svar: 3489

1 Beräkna. B a) summan av 25 och 38 b) kvoten av 95 och 5 c) differensen av 80 och 23 d) produkten av 15 och 4

0,4 1 1,6 4 1 6 1 6 0 4 − 4 0

Svar: 20,41

E-UPPGIFTER

Svar: 3 489

2 Addera först 9 och 37, subtrahera sedan med 10 och multiplicera slutligen med 3. Vad får du?

3 Beräkna kvoten då täljaren är summan av 14 och 10 och nämnaren är produkten av 2 och 3. Ställ upp din uträkning innan du räknar ut talet.

6 Beräkna med uppställning. M a) 2,87 − 1,5

b) 123,5 − 85,7

4 Beskriv delarna med rätt ord. B

a) 5 + 6

b) 19 7 c) 8 ∙ 8

∙

d) 18 − 5

−

5 Beräkna med uppställning. M a) 15,47 + 23,91

7 Beräkna med uppställning. M a) 243 ∙ 15 b) 3,45 ∙ 2,4 8 Beräkna med uppställning. M 174 a) 8 85,5 b) 6 9 En affär säljer 4 fikon för 20 kr. P a) Hur mycket kostar ett fikon? b) Hur många fikon kan du köpa för 80 kr?

b) 123,8 + 521,9

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 10 Räkna utan räknare. M a) 47,7 + 18,54 b) 92,04 − 37,23 c) 20,3 ∙ 5,8

281,92 8

Resonera Produkten av summan av 4 och ett okänt tal och differensen av 7 och 2 är 50. Vilket är det okända talet?

11 I en affär säljs äpplen för 14,95 kr/kg. M Hur mycket kostar 3,5 kg? 12 Beräkna B a) kvoten av 125 och 5 b) differensen av 79 och 43. 13 Skriv talet 124 som en BM a) summa b) produkt. 17

3 Naturliga tal Antal anges med hjälp av de naturliga talen. Exempel på naturliga tal kan vara att det Förklara! finns 336 sidor i boken, eller att det står 18 på en kölapp. Det minsta naturliga talet är 0, noll, som betyder ”inte en enda” eller ”ingenting alls”. Tre punkter i slutet innebär att talföljden fortsätter utan slut.

De naturliga talen är 0, 1, 2, 3, …

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

Det finns oändligt många naturliga tal. Det innebär att det inte finns ett tal som är det största naturliga talet. Oändligheten är inget tal, men har ändå sin egen symbol, nämligen ∞. Vilket är det naturliga talet? a) fem större än talet 21

b) 25 mindre än talet 139

Lösning:

21 + 5 = 26

139 − 25 = 114

Svar: 26

Svar: 114

Vilka av följande tal är naturliga tal? 2 −3 2098 0,6 8 −7 0 4 3 Lösning:

−7 är negativt, 2 och − 3 är bråktal och 0,6 är ett tal i decimalform. 4 3

Svar: De naturliga talen är 2098, 8 och 0.

Diskute r

Vad kan vara ett naturligt tal? • Fundera ut tre saker som bara kan räknas med naturliga tal. • Kom på tre sammanhang där du måste använda dig av andra tal.

EXEMPEL 3

Skriv det minsta möjliga naturliga tal som du kan bilda med fem siffror. Använd varje siffra minst en gång. a) 7, 5, 2, 3 och 1 b) 9, 5, 2 och 3 c) 6, 1 och 8 Svar: a) Det minsta möjliga talet är 12 357. b) Använd den minsta siffran två gånger i början för att bilda det minsta

möjliga talet, 22 359. c) Använd den minsta siffran tre gånger i början för att bilda det minsta möjliga talet, 11 168.

E-UPPGIFTER 1 Vilket tal är

a) 11 större än talet 43

4 En butik ordnar en fest. Inför festen M beställer de 430 ballonger. Under dagen delar de ut 387 ballonger. Hur många blir det kvar?

b) 16 mindre än talet 82

c) 37 större än talet 67?

2 Vilket naturligt tal är det

a) största

b) minsta?

3 Beräkna summan av siffrorna i talet. a) 397

5 I början av ett läsår har en skola 77 M elever i årskurs 7, 92 elever i årskurs 8 och 86 elever i årskurs 9. Under läsårets gång ökar antalet elever med 17. Hur många elever har skolan sammanlagt när läsåret a) börjar

b) 2 875

c) 34 893

b) slutar?

d) 52 915 427

6 Olivia kommer på plats 57 i en tävling. Wilma placerar sig 12 platser bättre än Olivia och Alma 29 placeringar bättre än Olivia. På vilka platser kommer Wilma och Alma?

7 Räkna med uppställning. M a) 562 + 418 b) 4 527 + 974 c) 6 783 − 3 286

d) 1 785 + 25 548

8 Räkna med uppställning. M a) 725 − 532 b) 77 ∙ 54 c) 678 ∙ 29

392 7 Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 9 Elliot har 12 kronor mer än Noah. M Hur många kronor har pojkarna sammanlagt, om Noah har 45 kronor?

11 Hur många små kuber består PK figuren av?

10 Använd siffrorna 5, 0, 9 och 1 och PK bilda ett fyrsiffrigt, naturligt tal som är så a) stort som möjligt

12 Räkna med uppställning. M a) 3 820 + 1 947 b) 5 247 − 3 974 c) 29 ∙ 46 d) 1 504 / 32

b) litet som möjligt

c) nära talet 5 050 som möjligt.

era bor a L

• Ta ett papper och dela det i 6 bitar. • Skriv 1 på två pappersbitar och 2 på två bitar och 3 på de två sista. • Placera bitarna så att du bildar ett sexsiffrigt naturligt tal som har en siffra mellan ettorna, två siffror mellan tvåorna och tre siffror mellan treorna.

13 Skriv siffrorna 1 till 9 i cirklarna så att PK summan av talen längs med varje sida är 21. Du får bara använda varje siffra en gång. Hitta minst två olika lösningar.

FÖRDJUPNING: HISTORISKT NEDSLAG Romerska siffror Huvudtecken

100

1 000

Hjälptecken

500

Om flera likadana huvudtecken står bredvid varandra eller om en större siffra står framför en mindre adderas siffrorna. Om en mindre siffra står framför en större siffra subtraheras den mindre siffran från den större siffran. Alltså är III = 1 + 1 + 1 = 3, IV = 5 − 1 = 4 och VI = 5 + 1 = 6.

EXEMPEL 5

EXEMPEL 4

Högst tre likadana huvudtecken får skrivas efter varandra. Det här gäller alla tecken förutom M. Ett hjälptecken kan bara stå efter ett huvudtecken som har större värde. Flera likadana hjälptecken kan inte skrivas efter varandra. Skriv med arabiska siffror. b) XLIV c) MCMLXXXIX

a) XXVIII

Lösning och svar: a) XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 28 b) XLIV = (50 − 10) + (5 − 1) = 44 c) MCMLXXXIX = 1 000 + (1 000 − 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 − 1) = 1 989

Skriv med romerska siffror. a) 19 b) 1 850 c) 4 065 Lösning och svar: a) 19 = 10 + (10 − 1) = XIX b) 1850 = 1 000 + 500 + 100+ 100+ 100 + 50 = MDCCCL c) 4 065 = 4 000 + 50 + 10 + 5 = MMMMLXV

UPPGIFTER 14 Skriv med arabiska siffror. B a) XVI b) XXII

16 Skriv årtalet 1950 med romerska B siffror.

15 Skriv med romerska siffror. B a) 3 b) 30

17 Ovanför ingången till ett museum står M det när det är byggt: MCDLXXIX. Vilket år är det?

4 De naturliga talens delbarhet

Räkna!

EXEMPEL 1

Ett naturligt tal är delbart med ett annat naturligt tal om kvoten av talen är ett naturligt Förklara! tal. Ett naturligt tal som är delbart med 2 är jämnt. Om ett naturligt tal inte är delbart med 2 är talet udda. Vartannat naturligt tal är jämnt och vartannat är udda. Talet 12 är delbart med talet 4, eftersom kvoten av divisionen 12 = 3 4 och 3 är ett naturligt tal. Talet 13 är inte delbart med talet 4, eftersom kvoten av divisionen 13 = 3,25 4 och 3,25 är inte ett naturligt tal. Är talet jämnt eller udda? a) 6 b) 9 Svar: a) Talet 6 är jämnt, eftersom det är delbart med två.

6 =3 2

Kvoten 3 är ett naturligt tal. b) Talet 9 är udda, eftersom det inte är delbart med två. Kvoten 4,5 är inte ett naturligt tal.

9 = 4,5 2

EXEMPEL 2

Multiplikationstabellen för ett tal byggs upp av talets multiplar. En multipel är när ett tal multipliceras med ett naturligt tal. Vilka är de fyra första multiplarna av talet? a) 7 b) 11 Svar: a) De fyra första multiplarna av talet 7 är 7, 14, 21 och 28. b) De fyra första multiplarna av talet 11 är 11, 22, 33 och 44.

Talet 7 multipliceras med talen 1, 2, 3, 4 och så vidare.

Delbarhetsregler I vissa fall kan delbarheten hos ett naturligt tal avgöras utifrån siffrorna i talet. Ett naturligt tal är delbart med talet • 2, om den sista siffran i talet är 0, 2, 4, 6 eller 8 • 5, om den sista siffran i talet är 0 eller 5 • 10, om den sista siffran i talet är 0 • 3, om siffersumman är en multipel av talet 3 (3, 6, 9, 12, …) • 9, om siffersumman är en multipel av talet 9 (9, 18, 27, 36, …). 22

EXEMPEL 3

Med vilka av talen 2, 3, 5, 9 och 10 är talet delbart? a) 2 206 b) 4 500 Lösning: a) Den sista siffran i talet 2 206 är 6, alltså är det delbart med talet 2,

men inte med talen 5 eller 10. Siffersumman i talet är 2 + 2 + 0 + 6 = 10, vilket inte är en multipel av talet 3 eller 9. Talet 2 206 är alltså inte delbart med 3 eller 9.

Svar: Talet 2 206 är delbart med talet 2. b) Den sista siffran i talet 4 500 är 0, alltså är det delbart med 2, 5 och 10.

Siffersumman i talet är 4 + 5 + 0 + 0 = 9, alltså är talet delbart med talen 3 och 9.

Svar: Talet 4 500 är delbart med talen 2, 3, 5, 9 och 10.

E-UPPGIFTER 1 Är talet jämnt eller udda? B 8= 4 jämnt a) 8 2 9= jämnt b) 9 2 24 = jämnt c) 24 2 103 = jämnt d) 103 2

udda udda

a) 54

9∙

= 54

udda

b) 72

9∙

= 72

udda

c) 99

9∙

= 99

d) 135?

9∙

= 135

2 Ta med hjälp av ett exempel reda M på om påståendet är sant eller falskt. a) udda + udda = udda

1 + 3 = 4

sant

falskt

b) jämn + jämn = jämn

2 + 4 = 6 =

sant

falskt

sant

falskt

sant

falskt

sant

falskt

e) udda ∙ udda = udda

∙

b) 4 c) 8 d) 9

d) jämn ∙ udda = jämn

∙

4 Skriv ut de fem första multiplarna av talet.

a) 2

c) jämn + udda = udda

3 Med vilket tal måste du multiplicera talet 9 för att få talet

e) 12 f) 15

5 Vilket tal saknas i rutan? M

a) …, 21, 28,

, 42, 49, …

b) …, 27, 30,

, 36, 39, …

c) …, 22, 33,

, 55, 66, …

d) …, 24, 36,

, 60, 72, …

6 Ta reda på om talet är delbart med talet 3. a) 18 b) 56 c) 123

Nej

7 Med vilket eller vilka av talen 2, 3, 4 och 5 är talet delbart?

a) 21 b) 30 Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 8 Ta reda på och motivera om talet 3 540 är delbart med talet

a) 2 b) 3 c) 5 d) 9.

10 Ett skåp har tre rader fack. Facken har P numrerats nerifrån och upp, från 1 och uppåt. Finns facket längst ner, i mitten eller högst upp om det har numret högst upp

mitten

längst ner

9 Talföljden visar några multiplar av M ett tal. Vilket är talet? a) …, 35, 42, 49, 56, … b) …, 130, 140, 150, 160, … c) …, 90, 120, 150, 180, …

era Reson

Vilket tal uppfyller alla följande punkter? • Talet består av två siffror. • Det är udda. • Den andra siffran är mindre än den första. • Det är delbart med nio. • Den första siffran är delbar med tre.

mitten

o.s.v.

högst upp

a) 12 b) 16 c) 20 d) 25 e) 54 f) 107?

11 Den 15 augusti 2012 var en onsdag. P a) Vilken veckodag var det 1 001 nätter senare? b) Vilket datum var det 1 001 nätter

senare?

FÖRDJUPNING Minsta gemensamma multipel

EXEMPEL 4

Två tals minsta gemensamma multipel, som förkortas MGM, är det minsta positiva heltal som är delbart med båda talen. Hitta den minsta gemensamma multipeln för talen 5 och 7, alltså MGM (5, 7). Lösning:

Multiplarna till talet 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, … Multiplarna till talet 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, … Av de gemensamma multiplarna är 35 den minsta. Svar: Den minsta gemensamma multipeln för talen 5 och 7 är 35, det vill säga

EXEMPEL 5

MGM (5, 7) = 35.

Vilket är det minsta antal spelkort som vi kan dela jämnt mellan tre, fyra och sex spelare? Lösning:

Den minsta gemensamma multipeln för talen 3, 4 och 6, alltså MGM (3, 4, 6) är 12. Svar: Det minsta antalet spelkort är 12.

3, 6, 9, 12, 15, … 4, 8, 12, 16, 20, … 6, 12, 18, 24, 30, …

C-UPPGIFTER 12 Vilken är talens MGM? B a) 2 och 3 2 4 6 8 10 … 3 6 9 12 … MGM (2, 3) = b) 5 och 10

13 Vilket är det minsta tal som är delbart B med talen a) 5 och 9

…

b) 10 och 20

MGM (5, 10) = c) 6 och 8

…

c) 12 och 18?

MGM (6, 8) = 25

5 Faktorisering och primtalsfaktorer Räkna!

EXEMPEL 1

Alla positiva heltal som inte är primtal kan delas upp i två eller flera faktorer. Förklara! Multipliceras dessa faktorer med varandra så får du talet självt. Faktorisera talet 20, det vill säga skriv talet som en produkt av sina faktorer. Lösning:

Talet 20 har faktorerna 1, 2, 4, 5, 10 och 20, eftersom talet 20 är delbart med de talen. Vi kan skriva talet 20 som en produkt av två faktorer på sex olika sätt: 20 = 1 ∙ 20 = 20 ∙ 1 = 2 ∙ 10 = 10 ∙ 2 =4∙5=5∙4 Vi kan dessutom skriva talet 20 som en produkt av tre faktorer till exempel så här: 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 eller 20 = 1 ∙ 2 ∙ 10 Svar: Alla faktoriseringar av talet 20 är 1 ∙ 20, 2 ∙ 10, 1 ∙ 4 ∙ 5, 2 ∙ 2 ∙ 5 eller 1 ∙ 2 ∙ 10

Primtal är positiva tal vars enda faktorer är talet 1 och talet självt. Talet 1 räknas inte till primtalen.

EXEMPEL 2

Ett primtal är ett naturligt tal som är större än talet 1 och som bara är delbart med talet 1 och sig själv. Skriv de fem första primtalen. Lösning:

De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11, eftersom de endast är delbara med talet 1 och sig själva.

Diskute r

Melonen på bilden är delad i 8 bitar. En person kan få alla, två personer kan få 4 var och fyra personer kan få 2 var. Hur kan faktorisering hjälpa dig att komma fram till det? Hur kan chokladen och bokens 200 sidor delas lika?

Svar: 2, 3, 5, 7 och 11.

Primtalsfaktorer

EXEMPEL 3

Ett tal har primtalsfaktoriserats när det skrivs som en produkt av primtal. Ett tal är delbart med sina primtalsfaktorer. Primtalsfaktorisera talet 45. Vilka primtalsfaktorer har talet 45? Lösning, metod 1:

Börja med att hitta två faktorer som har produkten 45. Fortsätt att dela upp i faktorer så långt det går. 45 = 9 ∙ 5 =3∙3∙5 Lösning, metod 2:

Vi kan primtalsfaktorisera talet 45 med hjälp av ett faktorträd: 45 9 3

5 3

När vi fortsätter att dela upp ett tal i faktorer får vi till slut alltid primtalsfaktorerna.

Faktorträdet ger oss primtalsfaktorerna till talet 45: 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5

Svar: Talet 45 är en produkt av sina primtalsfaktorer 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5.

Primtalsfaktorerna är alltså talen 3 och 5.

E-UPPGIFTER 1 Hur många personer kan dela lika på

a) 6 äpplen b) 15 bananer c) 24 päron d) 30 meloner?

a) 37

personer

b) 155

personer personer personer

2 Vilka av talen 5, 6, 10, 13, 17, 21, 23 och 27 är primtal?

3 Är talet ett primtal? Motivera.

4 Skriv talet som en produkt av sina primtalsfaktorer.

a) 30 =

b) 84 =

primtal: inte primtal: 27

5 Dela upp talet i primtalsfaktorer.

a) 66

b) 78

6 Dela upp talet i primtalsfaktorer för att ta reda på om talet 3 är en faktor i talet.

a) 6

Nej

b) 14

Nej

7 Skriv talet som en produkt av två faktorer som är positiva heltal. Skriv alla möjligheter.

a) 16

c) 140

b) 75 Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 8 Hur många personer kan dela lika på

a) 8 glassar

11 Skriv talets primfaktorer. BM

a) 12

b) 22 böcker

b) 42

c) 51 kolor

c) 60

d) 53 kort?

12 Kom på två tal som har faktorerna

9 Räkna upp de sju första primtalen. B

a) 3 och 4 b) 2 och 5

10 Är talet ett primtal? Motivera. BM

a) 12

Nej

b) 13

Nej

c) 1

Nej

era Labor Ta ett A4-papper och dela det i 8 delar. Numrera delarna från 1–8. Placera siffrorna i rutsystemet, så att efterföljande siffror inte står intill varandra.

c) 2, 3 och 5.

13 Använd miniräknare för att ta reda PK på om talet är ett primtal. Tänk ut med vilka tal du ska undersöka delbarheten. a) 177

Nej

b) 179

Nej

c) 181

Nej

d) 221

Nej

FÖRDJUPNING Största gemensamma faktor

EXEMPEL 4

Två tals största gemensamma faktor är det största tal som båda talen är delbara med. Största gemensamma faktor förkortas SGF. Den största gemensamma faktorn beräknas genom att produkten av talens gemensamma primtalsfaktorer räknas ut. Vilken är den största gemensamma faktorn för talen b) 72 och 90?

a) 24 och 30

Lösning, metod 1: a) Talet 24 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24.

Talet 30 har faktorerna 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 och 30. Den största gemensamma faktorn, alltså SGF (24, 30), är 6. b) Talet 72 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 och 72. Talet 90 har faktorerna 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 och 90. Den största gemensamma faktorn, alltså SGF (72, 90), är 18. Lösning, metod 2:

Vi delar upp talen i primtalsfaktorer: a) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 Gemensamma primtalsfaktorer för båda talen är 2 och 3 och deras produkt är 6. Den största gemensamma faktorn för talen 24 och 30 är alltså 6. b) 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 90 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 Gemensamma primtalsfaktorer för båda talen är 2, 3 och 3 och deras produkt är 18. Svar: a) Den största gemensamma faktorn för talen 24 och 30, alltså SGF (24, 30) är 6. b) Den största gemensamma faktorn för talen 72 och 90, alltså SGF (72, 90) är 18.

C-UPPGIFTER 14 Vilken är den största gemensamma BM faktorn för talen? a) 6 och 9 6 1, 2, 3, 6 9 1, 3, 9

SGF (6, 9) = b) 25 och 70

15 Räkna upp talens faktorer. Talen har BM gemensamma faktorer. Vilken är störst? 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 30 och 60

SGF (12, 60) =

70 SGF (25, 70) = 29

FÖRDJUPNING: HISTORISKT NEDSLAG Eratosthenes såll Material: färgpennor Alla primtal som är mindre än hundra kan sökas efter så här: • Talet 1 är inte ett primtal. Färglägg talet 1 med svart. • Talet 2 är det minsta primtalet. Färglägg hörnet uppe till vänster i alla tal som är delbara med två, förutom i talet 2, med rött. • Talet 3 är ett primtal. Färglägg hörnet uppe till höger i alla tal som är delbara med tre, förutom i talet 3, med gult. • Talet 5 är ett primtal. Färglägg hörnet nere till vänster i alla tal som är delbara med fem, förutom i talet 5, med blått. • Talet 7 är ett primtal. Färglägg hörnet nere till höger i alla tal som är delbara med sju, förutom i talet 7, med grönt. • De tal som är kvar är primtal.

100

Eratosthenes var en grekisk vetenskapsman som levde på 200-talet f.Kr. Han blev berömd framförallt som astronom och matematiker. Han uppfann bland annat en algoritm, som kan användas för att hitta primtal, Eratosthenes såll.

Eratosthenes såll

UPPGIFTER 16 Räkna upp alla primtal som är mindre BM än hundra.

18 Med vilka primtal är följande tal BM delbara med? a) 12

b) 40

17 Räkna upp tal som har samma BM primfaktorer (färglagda på samma sätt).

c) 84

Programmering

<JAVASCRIPT: PRIMTAL> JavaScript är ett av de hundratals olika programmeringsspråk som finns. Med det kan olika funktioner för program och webbsidor programmeras. För att göra och testa program i JavaScript behövs en enkel textredigerare och en webbläsare. Som textredigerare fungerar till exempel Anteckningar i Windows och Textredigerare på Mac. Kommandon i JavaScript skrivs på engelska.

Vad är HTML? HTML är en förkortning för HyperText Markup Language. Det är ett språk som används för att skapa webbsidor, som visas i en webbläsare. I HTML kan innehållets struktur (rubriker, styckeindelning m.m.) beskrivas och metainformation (språk, författare, etc.) läggas in. HTML tillåter också att information av annan typ infogas, till exempel program skrivna i JavaScript. I HTML ligger all information i behållare. En behållare börjar alltid med en starttagg, <>, och slutar med en sluttagg, </>. Undantaget är behållaren för ny rad, <br />, som står ensam i texten där det ska vara ny rad. I taggarna skrivs vilken typ av behållare det är. All text som beskriver vilken typ av behållare det är, skrivs på engelska. Behållare ligger ofta inuti andra behållare. Vanliga html-taggar <html> och </html> <head> och </head> <body> </body> <strong> och </strong> <br /> <script> och </script>

Berättar för webbläsaren att det är ett html-dokument Behållare för bland annat dokumentets titel och formatering Behållare för allt innehåll i dokumentet Taggning för att göra text fet Taggning för radbrytning Behållare för Javascript

För att skapa en enkel webbsida behövs alltså bara en enkel textfil som skapas i ett Python textredigeringsprogram, exempelvis Anteckningar. Det är viktigt att spara textfilen med filnamnstillägget .html, till exempel minwebbsida.html, för att tala om för datorn att det är en sida som ska öppnas i en webbläsare. Kommandon i JavaScript window.alert document.write if else var for (var i = 0; i < x; i++)

en metod som visar en dialogruta med ett meddelande samt en OK-knapp en metod som skriver i ett html-dokument definierar ett villkor – om villkoret är sant körs efterföljande kod definierar också ett villkor, men måste komma efter en if-sats och utförs endast om if-satsens villkor inte uppfylls skapar en variabel med ett namn iteration som upprepar en kodsnutt x antal gånger

Operatorer + (addition) * (multiplikation) % (modulus) == (lika med) > (större än) -- (minskning med ett) >= (större än eller lika med)

- (subtraktion) / (division) = (tilldelning) != (inte lika med) < (mindre än) ++ (ökning med ett) <= (mindre än eller lika med)

När ett javascript läggs på en webbsida görs det genom att kommandon skrivs i behållaren <script>. EXEMPEL 5

Programmering

Kom igång med JavaScript och HTML

Skapa en webbsida som, när du öppnar den i en webbläsare, visar följande text: Fungerar mitt första program? Det verkar så! Lösning:

Skapa ett nytt, tomt dokument och skriv in nedanstående text. <html> <head> För att å, ä och ö ska visas <meta charset="utf-8"/> rätt i alla webbläsare, måste </head> denna metatagg vara med. <body> <script> window.alert("Fungerar mitt första program?"); document.write("Det verkar så!"); </script> </body> </html>

För att webbläsaren ska kunna hantera ett JavaScript-program på rätt sätt används behållaren <script>.

Spara och namnge ditt dokument. Öppna sedan dokumentet i en webbläsare för att kontrollera att det fungerar.

Programmering

Om du klickar på övningslänken vid programmeringsuppgifterna, kommer du direkt till en textredigerare. Du behöver då bara skriva innehållet mellan scripttaggarna. UPPGIFTER 1 Skriv programmet (se nedan) som visar alla naturliga tal från 1 till 100. Spara och öppna i en webbläsare för att se att det fungerar. <html> <head> <meta charset="utf-8"/> </head> <body> <script> var tal = "<strong>Naturliga tal</strong><br />"; var def = "Definition: Alla heltal större än noll <br />"; var uppgift = tal + def; document.write(uppgift); Iteration som upprepar for (var i = 1; i <= 100; i++) { från 1 till 100. document.write(i + ", "); Innehållet i for-, if och } else-satser innesluts av </script> måsvingar, { }. </body> </html>

2 Skriv programmet nedan som visar alla primtal mellan noll och hundra. Spara och öppna i en webbläsare för att se att det fungerar. <html> <head> <meta charset="utf-8"/> </head> <body> <script> document.write("<strong>Primtal mellan 0-100</strong> <br />") for (var tal = 2; tal <= 100; tal++) { var kommer från var primTal = true; engelskans variable, for (var raknare = 2; raknare <= tal; raknare++) { d.v.s. variabel. if (raknare != tal && tal % raknare == 0) { if-sats som avgör om primTal = false; ett tal är ett primtal } eller ej. } if (primTal == true) { document.write(tal + ", "); } } </script> </body> </html> 33

6 Heltal I vardagslivet och inom matematiken behövs tal som är mindre än noll, som vid Förklara! mätning av temperatur och beräkningar av skulder. Sådana tal kallas negativa tal. De har tecknet minus (−). Tal som är större än 0 kallas positiva tal. Framför positiva tal skrivs ett plustecken (+), men det brukar ofta utelämnas. Noll är varken ett negativt eller ett positivt tal. Till heltalen räknas alla naturliga tal och alla deras motsatta tal, vilket innebär negativa tal.

30 25 20 15

Heltalen är …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

10 5

Heltal kan illustreras med hjälp av en termometer eller en tallinje. De negativa och positiva heltalen står på olika sidor om noll. negativa tal

positiva tal

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–5 –10 –15

–20

Vilka av heltalen som märkts ut på tallinjen är a) positiva? b) negativa?

EXEMPEL 1

Räkna!

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

f 1

a 3

e 7

Svar: a) Talen a, e och f är positiva. b) Talen b, c och d är negativa.

En tallinje är användbar när storleksordningen ska avgöras. Ju större ett tal är, desto längre högerut står det på tallinjen. Ett annat sätt att visa heltal är med röda cirklar som motsvarar positiva tal och blå cirklar som motsvarar negativa tal. Exempel: Tal

Modell

12 7 0 –2 –10

I Favorit matematik visar vi positiva heltal som röda cirklar och negativa heltal som blå cirklar.

EXEMPEL 2

Skriv talen –4, 5 och –8 i storleksordning. Lösning:

Vi placerar talen –4, 5 och –8 på tallinjen. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Talet 5 är störst, eftersom det står längst till höger på tallinjen. –8 är minst, eftersom det står längst till vänster. Vi skriver talen i storleksordning från det minsta till det största. Svar: −8, −4, 5

Likhetstecken och olikhetstecken För att uttrycka likheter och skillnader mellan tal eller mått används likhetstecken (=), approximationstecken (≈) eller olikhetstecken (≠, <, >, ≤, ≥).

likhetstecken approximationstecken olikhetstecken olikhetstecken olikhetstecken

tecken

utläses

förklaring

exempel

= ≈ ≠ < >

är lika med

båda sidorna om tecknet är lika

1 m = 100 cm

ungefär lika med

används när svaret är avrundat

1 mån ≈ 30 dagar

är inte lika med

motsatsen till en likhet

1 cm2 ≠ 1 mm2

är mindre än

x < 2 innebär att x är mindre än 2 −8 °C < −5 °C

är större än

x > 2 innebär att x är större än 2

olikhetstecken

≤

är mindre än eller x ≤ 2 innebär att x är mindre än lika med eller lika med 2

olikhetstecken

≥

är större än eller lika med

EXEMPEL 3

Gapet < är alltid mot den största sidan.

x ≥ 2 innebär att x är större än eller lika med 2

100 min > 1 h 1 mån ≤ 31 dagar 1 år ≥ 365 dagar

Hitta alla heltal x på tallinjen, som uppfyller villkoret: a) x ≥ −2 b) x < 4 c) x ≤ 0 och x ≥ −5 d) 2 < x ≤ 8. Lösning: a)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … b)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är …, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2 och 3. c)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är −5, −4, −3, −2, −1 och 0. d)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: Talen är 3, 4, 5, 6, 7 och 8. 35

E-UPPGIFTER 1 Vilket heltal föreställer cirklarna?

8 Tabellen visar temperaturer klockan 8 varje dag under en vecka.

Må

Lö

–4 °C –1 °C +3 °C +6 °C +4 °C 0 °C

Sö –1 °C

a) Vilken dag var temperaturen högst?

2 Vid vilka tal står bokstäverna? B

b –15

c –10

fd –5

b) Vilken dag var temperaturen lägst?

c) Hur stor var skillnaden mellan den

högsta och den lägsta temperaturen?

3 Vilka av talen i föregående uppgift är B positiva och vilka är negativa?

positiva: C-UPPGIFTER

negativa:

9 Markera alla heltal x på tallinjen som uppfyller villkoret a) x > 4

4 Vid vilka tal står bokstäverna? B

b –20

–10

d 0

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b) x ≤ −5

5 Vid vilka tal står bokstäverna? B

–30

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30

6 Ringa in det större talet. B

a) 4 eller 0

b) −5 eller 2

c) −4 eller −3

d) 0 eller −6

7 Skriv temperaturerna 8 °C, −8 °C, 0 °C, B 12 °C, −14 °C, −21 °C, 7 °C och −9 °C i storleksordning. Börja med den minsta.

10 Markera alla heltal x på tallinjen som MK uppfyller villkoret. a) 1 < x < 6 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b) 2 < x ≤ 7 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c) −3 ≤ x < 1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Öva mer – E Öva mer – E/C 36

Öva mer – C/A

REPETITION 11 Vid vilka tal står bokstäverna? B

–10

a d

e 10

12 Vilka av talen i uppgift 11 är B

a) positiva b) negativa?

14 Skriv heltalen i storleksordning, med B det minsta först. −9, 10, 0, −11, 11, 5, 3

15 Vilka heltal x uppfyller villkoret? MK

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) x > −2

13 Vilket är det B

a) minsta positiva heltalet

b) största negativa heltalet

c) minsta negativa heltalet

b) x ≥ 3

c) x ≤ 10

d) x < −5

d) största positiva heltalet?

Resonera På måndag morgon börjar en snigel klättra upp ur en brunn. Snigeln ska klättra uppför en 3 m lång cementvägg för att komma till markytan. På dagen klättrar snigeln 75 cm uppåt, men på natten glider den 30 cm neråt. Har snigeln lyckats komma upp till marknivån på söndag morgon? Förklara hur du tänker.

7 Motsatta tal Två tal kallas för varandras motsatta tal (eller additiv invers) om de har olika förtecken Förklara! och befinner sig lika långt från noll på tallinjen, men på olika sidor. Talen −5 och 5 är varandras motsatta tal, eftersom de har olika förtecken och befinner sig lika långt från noll på tallinjen, men på olika sidor. Talet 5 har det motsatta talet −5 och −5 har det motsatta talet 5. 5

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Ett positivt tal har ett negativt tal som motsatt tal och ett negativt tal har ett positivt tal som motsatt tal.

Räkna!

EXEMPEL 1

Ett tals motsatta tal är när det skrivs ett minustecken framför talet. Skriv talets motsatta tal och förenkla uttrycket. b) +14 c) −2

a) 8

Lösning: a) Det motsatta talet till talet 8 skrivs −8. b) Det motsatta talet till talet +14 skrivs

−(+14), vilket är −14. c) Det motsatta talet till talet −2 skrivs −(−2), vilket är +2, alltså 2.

Svar: −8 Svar: −14 Svar: 2

Om det står flera förtecken framför ett tal kan talet förenklas, alltså kan talet skrivas på ett enklare sätt. Ett tal som innehåller två tecken förenklas efter reglerna i rutan till höger.

EXEMPEL 2

Om ett tal har flera förtecken förenklas de så här: • Om det finns ett jämnt antal minustecken blir tecknet plus. • Om det finns ett udda antal minustecken blir tecknet minus.

Förenkla.

a) +(+10)

b) +(−8)

c) −(+4)

d) −(−5)

Lösning: a) Talet +(+10) förenklas till 10. b) Talet +(−8) kan vi skriva som −8. c) Talet −(+4) kan vi skriva som −4. d) Talet −(−5) kan vi skriva som +5, alltså 5. e) Talet −(−(−3)) kan vi skriva som −3.

Vi skriver inte flera tecken efter varandra, i stället skriver vi parenteser mellan dem.

e) −(−(−3)) Svar: 10 Svar: −8 Svar: −4 Svar: 5 Svar: −3

+(+x) förenklas +x alltså x +(−x) förenklas −x −(+x) förenklas −x −(−x) förenklas +x alltså x

E-UPPGIFTER 1 Skriv talets motsatta tal. B

4 Vilka är de motsatta talen? B

a) 8

b) −3

c) +12

d) 0

2 Fyll i luckorna i tabellen.

–10

Tal

–6

–4

–2

D 6

5 Skriv talets motsatta tal och förenkla.

Motsatt tal

3 −8 −14

a) 35

b) −20

c) +19

d) −1

6 Förenkla.

3 Vilket tal har det motsatta talet B

–8

a) 4

b) −5

c) +6

d) 0

a) +(+35) = b) −(+20) = c) −(−19) =

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 7 Vilket är det motsatta talet? B

a) 2

b) −7

c) +15

d) −115

8 Skriv det motsatta talet och förenkla. B

a) −12 −(−12) = b) +23 −(

c) −59 −(

d) −71 −(

a) −(+3)

b) −(−4)

c) +(+8)

d) +(−11)

10 Vilket är det BM a) motsatta talet till summan av 4 och −10

4 + (−10) = −(

) =

b) motsatta talet till differensen av 10

nera Reso Varje bokstav motsvarar en siffra. Kan du komma på vilka, om A är ett positivt tal + och B är motsatt tal till A? Förklara hur du kommer fram till ditt svar.

9 Förenkla.

och 3?

= A 3 B 3 C

−(

) =

8 Addition av heltal

Räkna!

EXEMPEL 1

Summan är resultatet av en addition. Addition med heltal kan Förklara! visas med hjälp av cirklar. En modell är att låta positiva heltal vara röda cirklar och negativa heltal vara blå cirklar. Summan är det sammanlagda antalet cirklar av samma färg. Beräkna.

a) 7 + 5

modell:

b) (−8) + (−2)

Svar: 12 Svar: −10

10 + 8 = 18 termer summa

Det finns sammanlagt 12 röda cirklar som motsvarar talet +12.

EXEMPEL 2

Addition med tal av olika tecken visas med blå och röda cirklar. Då tar ett antal röda cirklar ut samma antal blå cirklar. Vilket tecken summan får beror på vilken färg det finns flest cirklar av. Om det finns lika många cirklar av båda färgerna tar de ut varandra och summan blir noll. Beräkna. a) 11 + (−7)

modell:

Svar: 4

b) (−9) + 6

Svar: −3

c) 12 + (−14)

Svar: −2

d) 9 + (−9)

Svar: 0

e) (−4) + 4

Svar: 0

De 7 blå cirklarna tar ut 7 röda cirklar.

Då vi adderar ett tal med dess motsatta tal är resultatet av additionen noll.

Summan av två motsatta tal är noll.

Diskute r I bilderna ser du olika sammanhang där du kan addera heltal. På vilket sätt?

EXEMPEL 3

På morgonen är temperaturen −13 °C. På eftermiddagen har temperaturen stigit med 8 grader. Vilken är temperaturen då?

10 5 0

Lösning:

−13 + 8 = −5

–5 –10

Svar: Temperaturen är −5 °C på eftermiddagen.

stiger 8 grader

–15 –20

Addition på tallinjen Additioner kan förtydligas med hjälp av en tallinje. Då positivt tal adderas till ett annat tal sker en förflyttning åt höger på tallinjen. Exempel: 7+1=8

modell:

−7 + 2 = −5

EXEMPEL 4

−4 + 9 = 5

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Vi adderar talet 1 till talet 7.

Vilket tal är

a) tre större än talet −5 b) åtta större än talet –2? Svar: a) −5 + 3 = −2

b) −2 + 8 = 6

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Du utgår från talet −5 på tallinjen och går tre steg åt höger.

E-UPPGIFTER 1 Vilken beräkning föreställer figuren? M

4 Räkna. Använd färgade cirklar eller M tallinje vid behov. a) 6 + 5 b) −4 + (−3)

c) 10 + 7 d) −5 + (−5)

5 Räkna. M

b) −7 + 4 c) 3 + (−5)

2 Vilken beräkning föreställer figuren? M

d) 6 + (−1)

a) −3 + 6

6 Räkna. M

a) −3 + 3 b) 5 + (−5)

c) −2 + 8

d) 5 + (−9)

3 Vilken beräkning föreställer figuren? M

7 Räkna.

b) −8 + 11 c) −3 + (−4) d) −7 + (−9)

–1 0 1 2 3 4

a) 5 + (−6)

b) –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Öva mer – E

Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 8 Räkna. M

11 Räkna. M

a) 1 + 6 b) 5 + 8

b) −11 + 11

c) −2 + (−5)

c) −13 + 17

d) −9 + (−3)

d) −28 + 34

9 Räkna. M

12 Räkna. M

a) 4 + (−6)

a) 100 + 90

b) −9 + 2

b) −130 + (−90)

c) −1 + 7

c) −200 + (−100)

d) 6 + (−5)

d) 60 + (−110)

10 Räkna. M

a) −18 + 15

13 Vilket tal är BM

a) −3 + 4

a) fem större än talet −4

b) 6 + (−2)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c) −5 + 5

b) sju mindre än talet 3?

d) 7 + (−9)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nera Reso I en additionspyramid skrivs summan av talen i två intilliggande rutor i rutan ovanför. Fyll i de tal som saknas i pyramiden. Förklara hur du kommer fram till dina resultat.

12 61

+ –6 –81

–35

65 43

9 Subtraktion av heltal Resultatet av en subtraktion kallas differens eller skillnad. Förklara!

13 − 9 = 4

Räkna!

EXEMPEL 1

termer differens Räkna.

a) 12 − 5

b) −14 − (−6)

Lösning och svar: a) 12 − 5 = 12 + (−5) = 7

Skillnaden mellan 13 och 9 är 4.

c) 5 − 9

d) −2 − 10

modell:

b) −14 − (−6) = (−14) + 6 = −8 c) 5 − 9 = 5 + (−9) = −4 d) −2 − 10 = (−2) + (−10) = −12

EXEMPEL 2

Även subtraktion kan visas med hjälp av en tallinje. När ett positivt tal subtraheras från ett annat tal sker en förflyttning åt vänster på tallinjen. Lös uppgiften med hjälp av tallinjen. a) 8 − 6 b) −2 − 5 c) 9 − 12

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Svar: 2 Svar: −7 Svar: −3

Diskute r

Hur kan du beskriva höjdskillnaderna i bilderna, i förhållande till vattenytan (0 meter) om du använder valen och dykaren som termer?

E-UPPGIFTER 1 Vilka beräkningar föreställer modellen? M Skriv uttrycket och räkna. a)

2 Vilka beräkningar föreställer modellen? M Skriv uttrycket och räkna. a) b)

–1 0 1 2 3 4

–4 –3 –2 –1 0 1 2

−

3 Räkna. M

a) −6 + 2 b) 4 − 4 c) 5 − 2 d) −5 + 4

4 Räkna. M

a) −5 − 1 b) −2 − 8 c) 6 − 11

Öva mer – E

d) 8 − 12

Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 5 Räkna. M

a) 8 − 4

a) −6 − 2

b) −8 − (−4)

b) −2 − 4

c) 7 − 2

c) 3 − 5

d) −7 − (−2)

d) −3 + 8

6 Räkna. M

7 Räkna.

a) 5 − 8

8 Räkna. M

a) 51 − (−37)

b) −4 − (−6)

b) −103 − 127

c) −6 − (−3)

c) −39 − (−20)

d) 9 − 9

d) 21 − 37

Resonera Varje bokstav motsvarar en siffra. Kan du komma på vilka? Förklara hur du kommer fram till ditt svar. AAB – C 6 B A

och subtraktion 10 Addition med heltal Om ett uttryck innehåller många räknesätt och tecken på rad, är första steget att förenkla Förklara! tecknen och sedan beräknas additionen och subtraktionen. Parenteser i ett uttryck förenklas med hjälp av teckenregler. Teckenregler: +(+x) förenklas till +x +(−x) förenklas till −x −(+x) förenklas till −x −(−x) förenklas till +x

Exempel +(+5) = +5 = 5 +(−5)= −5 −(+5) =−5 −(−5) = +5 = 5

Räkna!

EXEMPEL 1

Vid beräkning med hjälp av en tallinje betyder ett plustecken mellan talen att en förflyttning sker åt höger (värdet ökar), medan ett minustecken anger att en förflyttning sker åt vänster (värdet minskar). Räkna. a) −3 + ( + 9)

b) 9 + ( − 2)

Lösning och svar: a) −3 + ( + 9) = −3 + 9 = 6 b) 9 + ( − 2) = 9 − 2 = 7 c) 8 − ( + 14) = 8 − 14 = −6 d) −8 − ( − 3) = −8 + 3 = −5

c) 8 − ( + 14)

d) −8 − ( − 3)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

D Diisskkuuttee rr När kan addition och subtraktion användas samtidigt?

EXEMPEL 2

Räkna. a) −4 + (+6) − (−2)

b) 3 + (−7) − (−3)

Lösning och svar: a) −4 + (+6) − (−2) = −4 + 6 + 2 = 4

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

b) 3 + (−7) − (−3) = 3 − 7 + 3 = −1

Förenkla och räkna ut. a) −2 − (+13) b) 10 − (−5) Lösning och svar: a) −2 − (+13) = −2 − 13 = −15 c) −10 − (−10) = −10 + 10 = 0

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

c) −10 − (−10)

d) −9 − (−6)

b) 10 − (−5) = 10 + 5 = 15 d) −9 − (−6) = −9 + 6 = −3

Den lägsta punkten på ett fartyg befinner sig 8 meter under vattenytan. Toppen på fartygets antenn befinner sig 10 meter ovanför vattenytan. Hur högt är fartyget? Lösning:

Vi får skillnaden mellan den högsta och lägsta punkten på fartyget med hjälp av subtraktionen: Vi subtraherar det mindre 10 − (−8) = 10 + 8 = 18 talet från det större.

Svar: Fartyget är 18 meter högt.

EXEMPEL 5

Temperaturen i ett rum är +21 °C. Hur många grader a) högre är utomhustemperaturen +26 °C b) lägre är temperaturen i frysen, −18 °C? Lösning:

Vi får temperaturskillnaderna med hjälp av subtraktioner. a) 26 − 21 = 5 b) 21 − (−18) = 21 + 18 = 39 Svar: a) Utomhustemperaturen är 5 grader högre. b) Temperaturen i frysen är 39 grader lägre.

stiger med

5 grader

15 10 5

sjunker med 39 grader

0 –5 –10 –15 –20

E-UPPGIFTER 1 Räkna. M

6 Förenkla och räkna. M

a) 7 − 4 =

a) −7 + (+3) =

b) −3 + 9 =

b) 12 − (−5) =

c) −6 − 2 =

c) −23 − (−25) =

d) −7 + 2 =

d) 21 − (+1) =

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 Räkna. M

a) 5 − 8 = b) −8 + 5 =

7 Taket på en byggnad ligger 60 meter M ovanför markytan medan golvet i den nedersta våningen ligger 15 meter under markytan. Skriv uttrycket och räkna ut byggnadens totala höjd.

c) 2 − 6 = d) −9 − 12 =

3 Förenkla och räkna. M

a) 3 + (−4) = 3 − 4 = b) −4 − (−5) = −4 + 5 = c) 8 + (−8) =

d) −7 − (−9) =

4 Förenkla och räkna. M

a) 2 − (−3) =

b) −6 − (−6) =

c) −1 + (−1) =

d) 9 + (−5) =

5 Förenkla och räkna. M

8 Titicacasjön är världens högst belägna sjö. Vattenytan ligger 3 810 meter över havet. Döda havets yta ligger däremot 412 m under havet, vilket är världens lägst belägna ställe. Vilken är höjdskillnaden mellan Döda havet och Titicacasjön?

a) −8 + (−5) =

b) −7 − (−10) =

c) −11 − (−6) =

d) 9 − (+9) =

9 Vilket tal kan ersätta x? M

a) x + (+1) = 7 b) x + (−5) = 13 c) x − (+8) = 8 d) x − (−7) = 4

Öva mer – E Öva mer – E/C

Öva mer – C/A

REPETITION 10 Räkna. M

14 Vilket tal kan ersätta x? M

a) 9 + (−9) b) 16 + (−5)

b) x + 5 = −1

c) −4 + (−5)

c) x − 8 = −2

d) 11 − (−9)

d) x − (−2) = 9

11 Räkna. M

e) x + (−3) = −1

a) 3 + (+9)

f) x − (−4) = 2

b) −2 − (−9)

15 I tabellen ser du kokpunkten och MP smältpunkten för några olika ämnen.

c) 15 − (−7) d) −30 + (−15)

Ämne

12 Räkna. M

vatten

a) −2 + (+2)

kvicksilver

b) 5 − (+8) c) 5 + (−9)

Smältpunkt (°C) 0

Kokpunkt (°C) 100

–39

357

järn

1 535

2 750

syre

–218

–183

kväve

–210

–196

Hur många grader skiljer det mellan a) kokpunkterna för vatten och kvicksilver

d) −3 − (−5)

13 Räkna. M

a) x + 3 = 10

a) −7 + (−2) + 6 b) 3 − (−7) − 3

b) kokpunkterna för kvicksilver och

syre

c) 12 + (−11) − (−4) d) 37 − 29 + (−5)

c) smältpunkterna för järn och kväve

nera Reso Hitta vägen från start (S) till mål (M). Summan av talen längs vägen du går måste vara noll. Du får bara passera varje tal en gång. Skriv uttrycket som bildas och räkna ut värdet.

d) kokpunkterna för syre och kväve? S

–6

–4

–8

–4

–14

–12

–2

11 Multiplikation med heltal Produkten är resultatet av en multiplikation. En multiplikation kan skrivas på olika sätt. Förklara!

faktorer

produkt

2 ∙ 10 = 20

multiplikationstecken i programmering

multiplikationstecken på räknare

2 * 10 = 20

2 × 10 = 20

Räkna!

EXEMPEL 1

Multiplikation är ett sätt att förenkla en upprepad addition där alla termer är lika. Beräkna. a) 5 ∙ 7 Lösning: 5 ∙ 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

Svar: 35

b) 3 ∙ (−8) Lösning: 3 ∙ (−8) = −8 + (−8) + (−8) = −24

Svar: −24

−8

EXEMPEL 2

Faktorerna kan byta plats utan att det påverkar värdet på produkten. Det kallas att multiplikationen följer den kommutativa lagen. Beräkna.

a) 3 ∙ 5

Lösning: 3 ∙ 5 = 5 + 5 + 5 = 15

Svar: 15 b) 5 ∙ 3 Lösning: 5 ∙ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 Svar: 15

Diskute r När använder du dig av multiplikation med heltal?

EXEMPEL 3

Beräkna. a) 8 ∙ 5

b) 8 ∙ (−5)

c) −8 ∙ 5

d) −8 ∙ (−5)

Lösning och svar: a) 8 ∙ 5 = 40 b) 8 ∙ (−5) = −40 c) −8 ∙ 5 = 5 ∙ (−8) = −40 d) −8 ∙ (−5) = −(8 ∙ (−5)) = −(−40) = 40

Produkten av två tal är positiv, om faktorerna har samma tecken. Produkten av två tal är negativ, om faktorerna har olika tecken.

Teckenregler för produkten +a ∙ (+b) = +(a ∙ b) alltså a ∙ b –a ∙ (−b) = +(a ∙ b) alltså a ∙ b +a ∙ (−b) = −(a ∙ b) alltså −a ∙ b –a ∙ (+b) = −(a ∙ b) alltså −a ∙ b

Produkten av flera faktorer I en produkt som har flera faktorer bestäms tecknet av antalet negativa faktorer.

EXEMPEL 4

Teckenregel för produkten Produkten är positiv om det finns ett jämnt antal negativa faktorer. Produkten är negativ om det finns ett udda antal negativa faktorer. Beräkna. a) 2 ∙ 5 ∙ (−4) ∙ 2 ∙ (−1) c) (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2)

b) (−2) ∙ (−3) ∙ 4 ∙ (−5) d) 8 ∙ (−5) ∙ 0 ∙ 3 ∙ (−4)

EXEMPEL 5

Lösning och svar: a) 2 ∙ 5 ∙ (−4) ∙ 2 ∙ (−1) = 80 b) (−2) ∙ (−3) ∙ 4 ∙ (−5) = −120 c) (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = 16 d) 8 ∙ (−5) ∙ 0 ∙ 3 ∙ (−4) = 0

Beräkna. a) 2 ∙ 3 ∙ 5

Räkna antalet negativa tal så vet du om ditt svar ska vara positivt eller negativt!

b) 5 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 5

Lösning och svar: a) 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 10 ∙ 3 = 30 b) 5 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 5 = 5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 6 = 25 ∙ 4 ∙ 6 = 100 ∙ 6 = 600

Det är ofta lättare att räkna ut multiplikationer om du byter ordningsföljd på faktorerna.

E-UPPGIFTER 1 Skriv summan som en multiplikation. Räkna ut produkten. a) 1 + 1 + 1 + 1 =

∙

5 Räkna. M

b) +5 ∙ (−8) =

c) −7 ∙ (−8) =

b) −3 + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) =

∙

d) −5 ∙ (−5) =

c) 0 + 0 + 0 =

∙

d) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 =

∙

6 Räkna ut produkterna och skriv dem M i tabellen. •

b) 5 ∙ 6

–9

c) 2 ∙ (−9) =

d) 3 ∙ (−8)=

–6

–8

7 Räkna. M a) 2 ∙ 3 ∙ (−4) =

3 Skriv multiplikationen som en M upprepad addition och räkna ut den.

b) 3 ∙ (−9) =

c) −3 ∙ 9

d) −3 ∙ (−9) =

4 Räkna.

–3

a) 2 ∙ 4

a) 3 ∙ 9

–1

2 Skriv multiplikationen som en M upprepad addition och räkna ut den.

a) 5 ∙ (−6) =

b) −1 ∙ 5 ∙ 2 ∙ (−7) =

= c) 1 ∙ (−1) ∙ 3 ∙ (−6) ∙ (−2) =

= d) −2 ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ 5 ∙ (−5) =

= 8 En dykares djupmätare visar –12 m. Vad visar mätaren när dykaren är

a) 7 ∙ (−3) = b) −4 ∙ (−8) = c) 9 ∙ 6

d) −8 ∙ 9

a) dubbelt så djupt ner b) fem gånger så djupt ner?

Öva mer – E Öva mer – E/C

Öva mer – C/A

REPETITION 9 Skriv som en produkt och beräkna. a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =

12 Räkna. M a) 12 ∙ (−5)

b) −3 ∙ 15

b) −4 + (−4) + (−4) + (−4) + (−4) + (−4) =

c) −4 ∙ (−10)

c) −1 + (−1) + (−1) = d) −4 ∙ (−3) ∙ (−3)

= 10 Beräkna. M

a) 6 ∙ 7

b) −6 ∙ 7

c) 6 ∙ (−7) =

d) −6 ∙ (−7) =

13 Räkna. M a) 3 ∙ (−5) ∙ 4

= b) −2 ∙ (−4) ∙ (−7)

= c) 5 ∙ (−8) ∙ 0

11 Beräkna. M

a) 2 ∙ (−3) =

b) −8 ∙ 6

c) 7 ∙ 9

d) −4 ∙ (−7) =

d) −1 ∙ (−3) ∙ (−2) ∙ (−9)

= 14 Vilket tal kan ersätta x? M

5∙

= 45

−3 ∙

= −18

x= b) −3 ∙ x = −18

era Reson

x= c) x ∙ (−4) = 20

Skriv de tal som saknas i produktpyramiden. Förklara hur du kommer fram till dina svar. a)

–3

∙ (−4) = 20

x= d) x ∙ (−8) = 64

–96 –12

–5

a) 5 ∙ x = 45

∙ (−8) = 64

–6

12 Division med heltal Kvoten är resultatet av en division. En division kan skrivas på olika sätt. Förklara!

täljare divisionstecken nämnare

12 = 4 3

divisionstecken

divisionstecken på miniräknare

12 / 3 = 4

12 ÷ 3 = 4

Räkna!

EXEMPEL 1

Kvoten kan tänkas som ett tal som delats upp i delar. Kvoten anger också hur många gånger nämnaren går i täljaren. Beräkna. a) −24 4 Lösning och svar: a)

b) −24

−8

Då vi delar –24 i fyra delar är det –6 i varje del.

Svar: −6 b)

Talet –8 går tre gånger i talet –24.

Svar: 3

Noll dividerat med vilket tal som helst, förutom noll, är noll. Det går inte att dividera med talet noll, eftersom kvoten då hade blivit oändlig. Oändligheten är inget tal. På en räknare står det ofta ”error” om en division med noll utförs.

Diskute r

Vad är det för skillnad mellan att dela ett positivt tal eller ett negativt tal med ett tal?

EXEMPEL 2

Beräkna. a) 0 = 0 5

b) 15

Lösning och svar: a) 0 = 0

Talet 0 dividerat med vilket tal som helst är 0.

Svar: 0 b) 15 är inte definierat.

Svar: Går inte.

Tecknet för en kvot avgörs på samma sätt som tecknet för en produkt, eftersom division är det motsatta räknesättet till multiplikation.

Teckenregler för produkten +a = + a alltså a +b b b −a = + a alltså a −b b b +a = − a −a alltså −b b b −a = − a −a alltså +b b b

EXEMPEL 3

Teckenregler för kvoten En kvot är positiv, om täljaren och nämnaren har samma tecken. En kvot är negativ, om täljaren och nämnaren har olika tecken. Beräkna. a) 28 4

c) −28

−4

d) −28

−4

Lösning och svar: a) 28

4 b) 28 −4 c) −28 4 −28 d) −4

EXEMPEL 4

b) 28

Svar: 7, eftersom 7 ∙ 4 = 28.

Vi kan kontrollera divisioner med hjälp av multiplikation: kvot ∙ nämnare = täljare

Svar: −7, eftersom −7 ∙ (−4) = 28. Svar: −7, eftersom −7 ∙ 4 = −28. Svar: 7, eftersom 7 ∙ (−4) = −28.

Beräkna. a) -72 9

b) 63

−42 −6

b) 63 = −9

−42 = 7 −6

-7

Lösning och svar: a)

−72 = −8 9

−7

E-UPPGIFTER 1 Räkna genom att dela upp talet i delar. M a) -12 = 3

6 Beräkna. M a) 60 = 15

b) 14 =

c) -52 =

-13

c) -16 = 4 d) -18 =

2 Beräkna genom att ta reda på hur M många gånger nämnaren går i täljaren. Rita vid behov en figur. a) 12 = b) -15 = 3 -5 c) -20 =

-5

3 Beräkna. M a) 15 = 3 c) -15 =

d) -32 =

-4

b) 15

-3

d) -15 =

-3

b) 0

c) 0

d) 35

-3 0

8 Beräkna. M

a) 24 / 8 = b) 63 / 7 = c) −32 / (−8) =

9 Skriv uttrycket och räkna ut M a) talet −12 dividerat med talet −3

−12

c) −10 / 5 =

c) kvoten av talen 48 och −6

d) −16 / (−4) =

-11

d) -108 =

b) talet 24 dividerat med talet −8

b) 18 / (−3) =

c) -33 =

7 Beräkna. M a) 0 = 9

−3

a) 12 / 4 =

5 Beräkna. M a) -48 = 8

-15

d) 42 / (−7) =

4 Beräkna. M

b) 45

= b) 24

-6

d) -32 =

d) kvoten av talen −63 och −9.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 10 Beräkna.

13 Beräkna.

a) −35 / 5

a) −8 / 2

b) 56 / 8

b) −39 / (−3)

c) 63 / (−9)

c) −12 ∙ (−10)

d) 0 / 5

d) 15 ∙ (−8)

11 Beräkna. M

a) −36 / (−6) b) −18 / 9 c) 9 / (−9)

14 Skriv uttrycket och räkna ut BM a) kvoten, om täljaren är −96 och nämnaren 8

d) 27 / 0

12 Beräkna. M a) -48 = 6

b) täljaren, om nämnaren

är −9 och kvoten 12 =

b) -48 =

-12

c) 48

-3

c) nämnaren, om täljaren

d) -48 =

är −120 och kvoten −15. =

Resonera Varje bokstav motsvarar en siffra. Kan du komma på vilka? Förklara hur du tänker!

A –

13 Potensform Om alla faktorer i en multiplikation är lika kan den skrivas i en enklare form, som en Förklara! potens. Exponenten i en potens anger hur många gånger basen förekommer i multiplikationen. Potensens värde är multiplikationens resultat. exponent 34 = 81

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

bas

34 läser vi som ”tre upphöjt till fyra”.

potensens värde

Skriv multiplikationen 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 som en potens och räkna ut potensens värde. Lösning:

Vi kan skriva multiplikationen 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 i potensform, 34. Potensens värde är resultatet av multiplikationen, vilket är 81. Svar: 34 = 81

Skriv potensen som en multiplikation och beräkna potensens värde. a) 42 b) 53 c) 106 Lösning och svar: a) 42 = 4 ∙ 4 = 16

Vi kan läsa 42 som ”fyra i kvadrat”. Uttrycket skulle kunna ange arean för en kvadrat med sidan 4.

b) 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125

Vi kan läsa 53 som “fem i kubik”. Uttrycket skulle kunna ange volymen för en kub med sidan 5.

c) 106 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1 000 000

Den första potensen av ett tal är talet självt: 12 är alltså samma som 121. Exponenten 1 brukar sällan skrivas ut. Det är ofta så svårt att beräkna värdet av stora potenser, till exempel 175 = 1 419 857, att en räknare behövs.

EXEMPEL 3

Ett datorvirus sprids via e-post. Viruset sprids genom att det skickar sig självt i ett mejl till fem personer samtidigt. Detta upprepas sedan hos varje mottagare, gång på gång. Hur många personer har tagit emot ett mejl som innehåller ett virus när antalet utskick har varit a) 2 b) 10 c) 14? 1:a utskicket 2:a utskicket

Lösning och svar: a) 52 = 25

b) 510 = 9 765 625

c) 514 = 6 103 515 625

Negativ bas

EXEMPEL 4

Då basen i en potens är negativ skrivs basen inom parentes. Tecknet för potensens värde avgörs så här: • Om exponenten är ett jämnt tal är potensens värde positivt. • Om exponenten är ett udda tal är potensens värde negativt. Beräkna.

a) (−5)1

b) (−3)2

c) (−4)3

d) (−2)4

Lösning och svar: a) (−5)1 = −5 b) (−3)2 = (−3) ∙ (−3) = 9 c) (−4)3 = (−4) ∙ (−4) ∙ (−4) = −64 d) (−2)4 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = 16

EXEMPEL 5

Exponenten påverkar bara basen. Exponenten påverkar till exempel inte ett minustecken framför basen. Därför måste en negativ bas anges inom parenteser. Beräkna. a) (−3)4

b) −34

Lösning och svar: a) (−3)4 = (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) = 81 b) −34 = −(34) = −(3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = −81

Basen är –3. Talet –3 är upphöjt till 4. Basen är 3. Resultatet är det motsatta talet till talet 34. 59

E-UPPGIFTER 1 Granska potensuttrycket 53 = 125. Skriv B

a) exponenten

b) basen

5 Skriv som multiplikation och beräkna värdet.

c) värdet på potensen.

2 Skriv en potens med B a) basen 3 och exponenten 7

b) basen 7 och exponenten 3

a) 62 =

b) 25 =

c) 103 =

d) 27 =

6 Beräkna potensens värde.

a) 52 b) 33

c) basen 1 och exponenten 8

c) 15 d) 05

d) basen 10 och exponenten 1.

7 Skriv som en potens och beräkna värdet, när a) basen är 7 och exponenten 2

3 Skriv multiplikationen som en potens. B

a) 5 ∙ 5 ∙ 5 = b) 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = c) 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 = d) 15 ∙ 15 =

4 Skriv multiplikationen som en potens. B

a) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ … ∙ 3 = 9 st

b) 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ … ∙ 8 =

= b) basen är 4 och exponenten 3

= c) basen är −3 och exponenten 2

= d) basen är −2 och exponenten 5.

15 st

c) 59 ∙ 59 ∙ 59 ∙ … ∙ 59 = 59 st

d) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 = 1 024 st

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A

REPETITION 8 Skriv som en potens.

11 Beräkna potensens värde.

a) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = b) 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = c) 13 ∙ 13 =

9 Skriv potensen som en multiplikation BM och beräkna värdet. a) 12 =

b) 24 =

c) 34 =

d) 43 =

10 Skriv som en potens och beräkna BM värdet. a) (−4) ∙ (−4) ∙ (−4)

a) 62 =

6∙6

b) 33 =

c) 53 =

d) 105 =

e) −26 =

f) (−2)6 =

12 Skriv i storleksordning. Börja med MP den minsta. a) 32, 2 ∙ 3 och 23

b) (−3)2, −2 ∙ (−3) och (−2)3

b) (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3)

= c) (−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)∙(−1)

c) 65, 56, 74 och 47

era Reson Talen på den nedre raden har bildats med hjälp av talen på den övre raden. Hur? 5

18 61

14 Prioriteringsregeln När ett uttryck innehåller flera olika räknesätt så finns det en räkneordning som måste Förklara! följas för annars är risken stor att beräkningen blir fel. Räkneordningen brukar kallas för prioriteringsregeln och sker i följande ordning: först parenteser, sedan beräknas potenser, sedan multiplikationer och divisioner från vänster till höger och slutligen additioner och subtraktioner från vänster till höger. Parenteser kan användas för att ändra räkneordningen och de räknas alltid först.

Räkna!

EXEMPEL 1

Prioriteringsregeln 1 Parenteser 2 Potenser 3 Multiplikationer och divisioner 4 Additioner och subtraktioner Beräkna. a) 9 + 2 ∙ 3

b) 7 ∙ 3 − 16 / 4

c) 18 / 3 − 52

d) 2 ∙ 3 + 4 ∙ 23

Lösning: a) Börja med multiplikationen och beräkna sedan additionen:

9 + 2 ∙ 3 = 9 + 6 = 15

b) Börja med multiplikationen och divisionen och beräkna

sedan subtraktionen: 7 ∙ 3 − 16 / 4 = 21 − 4 = 17

c) Börja med potensen, beräkna sedan divisionen och

slutligen subtraktionen: 18 / 3 − 52 = 18 / 3 − 25 = 6 − 25 = −19

d) Börja med potensen, beräkna sedan multiplikationerna och

EXEMPEL 2

till sist additionen: 2 ∙ 3 + 4 ∙ 23 = 2 ∙ 3 + 4 ∙ 8 = 6 + 32 = 38

Svar: 15

Svar: 17

Svar: −19

Svar: 38

Förenkla och räkna. a) 2 ∙ (6 + 4) b) 2 ∙ (6 + 4)3 c) 2 ∙ (6 + 43) Lösning: a) 2 ∙ ( 6 + 4 ) = 2 ∙ 10 = 20 b) 2 ∙ ( 6 + 4 )3 = 2 ∙ 10 3 = 2 ∙ 1 000 = 2 000 c) 2 ∙ (6 + 4 3 ) = 2 ∙ ( 6 + 64 ) = 2 ∙ 70 = 140

Tänk på att skriva ut alla dina mellansteg i dina uträkningar.

Svar: 20 Svar: 2 000 Svar: 140

Börja med att förenkla parenteserna.

EXEMPEL 3

Om en division skrivs med divisionsstreck, måste de uttryck som utgör täljaren och nämnaren räknas först, innan kvoten kan räknas ut. Beräkna. 8+6 a) 3−1

b) 8 + 6 / 3 − 1

Lösning och svar: a)

8 + 6 = (8 + 6) = 14 = 7 3 − 1 (3 − 1) 2

Tänk att det finns en osynlig parentes om täljaren respektive nämnaren.

b) 8 + 6 / 3 − 1 = 8 + 2 − 1 = 9

Uttryck med flera parenteser

EXEMPEL 5

EXEMPEL 4

Om ett uttryck innehåller flera parenteser inuti varandra, räknas först de innersta parenteserna. Parenteser räknas alltid inifrån och ut. Beräkna. a) 2 ∙ (5 − ( 7 − 4 ))

b) 3 ∙ (( 2 + 7 ) + ( 5 − 2 ))

Lösning:

2 ∙ (5 − ( 7 − 4 )) = 2 ∙ (5 − 3) =2∙2 =4 Svar: 4

3 ∙ (( 2 + 7 ) + ( 5 − 2 )) = 3 ∙ (9 + 3) = 3 ∙ 12 = 36 Svar: 36

Beräkna 2 ∙ (15 − (13 − 4 ∙ (3 + 2))). Lösning:

2 ∙ (15 − (13 − 4 ∙ ( 3 + 2 ))) = 2 ∙ (15 − (13 − 4 ∙ 5 )) = 2 ∙ (15 − ( 13 − 20 )) = 2 ∙ (15 − (−7)) = 2 ∙ ( 15 + 7 ) = 2 ∙ 22 = 44 Svar: 44

E-UPPGIFTER 1 Räkna. M

6 Räkna.

b) 6 − 2 ∙ 3 =

b) (12 − 5) ∙ 5 =

c) 15 − 4 ∙ 3 =

c) 4 ∙ 8 + 3 ∙ 6 =

d) 12 + 2 ∙ 4 =

d) 4 + 6 ∙ 9 =

7 Räkna. M

b) 7 ∙ 8 + 4 ∙ 5 =

b) 3 − 5 ∙ 23 =

c) 6 ∙ 3 − 3 ∙ 4 =

c) (5 − 3) ∙ 23 =

d) 2 ∙ 3 + 9 / 3 =

d) (3 − 5) ∙ 23 =

a) 6 ∙ 2 / 3 =

b) 6 / 2 ∙ 3 =

c) 2 ∙ 3 / 6 =

d) 6 / 3 ∙ 2 =

a) 2 ∙ (−5) + 7 =

b) 2 + 52 =

c) 42 − 3 ∙ 5 + 32 =

d) 23 + 4 ∙ 6 / 2 =

9−3= 1+2

4∙5 = 7−2

7∙8+4 = 4∙5

d) 3 − 153 =

4+2

9 Addera kvoten av talen 10 och 5 till talet −3.

5 Räkna. M

=5−

8 Räkna.

4 Räkna. M

a) 5 − 3 ∙ 23 = 5 − 3∙

a) 16 / 4 − 3 =

3 Räkna. M

a) 6 ∙ 4 + 6 ∙ 2 = 24 + 12 =

2 Räkna. M

a) 3 ∙ 6 + 3 =

a) 23 − 32 =

b) 5 ∙ (4 − 2) =

c) (9 + 6) / 3 =

d) −3 ∙ (20 − 42) =

Öva mer – E Öva mer – E/C

Öva mer – C/A

REPETITION 10 Räkna. M

a) 12 − 4 ∙ 2 =

b) 6 ∙ 8 − 7 ∙ 5 =

c) 3 + 4 ∙ 10 =

d) 8 + 32 / 8 − 9 =

11 Räkna. M

a) 3 ∙ 4 + 5 ∙ 2 =

b) 3 ∙ (4 + 5) ∙ 2 =

c) (3 ∙ 4 + 5) ∙ 2 =

d) 3 ∙ (4 + 5 ∙ 2) =

12 Räkna. M

a) 6 ∙ 9 − 5 ∙ 8 =

b) 6 ∙ (9 − 5) ∙ 8 =

c) (6 ∙ 9 − 5) ∙ 8 =

d) 6 ∙ (9 − 5 ∙ 8) =

13 Räkna. M a) (−7) ∙ (−8) + (−5) ∙ 6

+ = 2 b) 2 ∙ 10 + 7 ∙ 10 + 5 ∙ 10 + 9 3

c) 15 − 24 / 12 ∙ 4 d) 3 ∙ (10 − 8)3

3∙(

)3 = 3 ∙

era Labor

14 Räkna. Kontrollera svaret med M miniräknare. a) 4 ∙ (2 ∙ (3 + 1) − 5) =

4 ∙ (2 ∙ (

) − 5) =

4∙(

b) (12 − 2 ∙ (4 − 1)) / 3 =

(12 − 2 ∙ ( (

)) / 3 =

)/3=

c) (2 ∙ ((3 + 4) − 6)) / (10 / 5) =

(2 ∙ (( 2∙(

) − 6)) / ( )/(

d) 32 − (11 − (7 − (3 + 2))) =

32 − (11 − (7 − ( 32 − (11 − ( 32 − (

))) = )) =

15 Skriv uttrycket och räkna ut BM a) summan av talen 5 och 3 multiplicerat med fyra

(

)∙

b) differensen av talen 14 och 8

dividerat med tre (

−

)/3=(

)/3=

c) summan av kvoten och produkten

av talen 6 och 3 6 +6∙3= 3

d) produkten av talen −4 och 5

2 = 10

3 = 10

4=5

5=4

subtraherat från talet 18.

Klipp ut små 18 − ( rutor i papper och skriv ∙, +, −, / på vardera 3 stycken. Placera sedan ut tecknen så att likheterna stämmer! Tänk på att du kan använda parenteser!

∙

FÖRDJUPNING Huvudräkningsmetoder

Räkna!

EXEMPEL 6

Summor och produkter påverkas inte av att ordningen på talen förändras. Det blir ofta lättare att räkna om platsen på talen i uttrycket byts. Det går också att förenkla multiplikationer och divisioner genom att räkna motsvarande talsort för sig eller genom att kombinera tal. Lös uppgiften med huvudräkning.

a) 57 − 77 − 56 − 38 + 77 + 37

b) 4 ∙ 59 ∙ 25

Lösning och svar: a) 57 − 77 − 56 − 38 + 77 + 37 = 57 − 56 − 77 + 77 − 38 + 37    b) 4 ∙ 59 ∙ 25 = 4 ∙ 25 ∙ 59 

−

EXEMPEL 7

100 ∙ 59 = 5 900

Lös uppgiften med huvudräkning. b) 99 ∙ 57 c) 93 ∙ 67 + 7 ∙ 67

a) 102 ∙ 32

d) 130 / 5 − 80 / 5

Lösning och svar: a) 102 ∙ 32 = 100 ∙ 32 + 2 ∙ 32 = 3 200 + 64 = 3 264 b) 99 ∙ 57 = 100 ∙ 57 − 1 ∙ 57 = 5 700 − 57 = 5 643 c) 93 ∙ 67 + 7 ∙ 67 = (93 + 7) ∙ 67 = 100 ∙ 67 = 6 700 d) 130 / 5 − 80 / 5 = (130 − 80) / 5 = 50 / 5 = 10

E-UPPGIFTER 16 Gruppera talen och räkna. M a) 8 + 7 + 2 + 3 + 9 =

18 Hur blir det enklast att räkna? M a) 99 + 50 − 98 − 49 =

8+2+ 7+3+9=  10

b) 26 − 37 + 14 =

b) 87 + 25 + 13 + 75 + 9 =

26 + 14 − 37 = 

17 Räkna utan miniräknare. M a) 12 ∙ 7 = 10 ∙ 7 + 2 ∙ 7 =

b) 16 ∙ 8 = 10 ∙ 8 + 6 ∙ 8 =

+ 66

19 Hur blir det enklast att räkna? M a) −17 + 29 + 17 + (−29) = −17 + 17 + 29 −29 = b) −1 +2−3+4− 5+6− 7+8− 9 + 10 =    

FÖRDJUPNING Perfekta, fattiga och rika tal Om ett naturligt tal är summan av alla sina faktorer (förutom talet självt) kallas det för ett perfekt tal. Om summan av ett tals faktorer (förutom talet självt) är mindre än talet kallas det för ett fattigt tal. På motsvarande sätt kallas ett tal där summan av faktorerna är större än talet för ett rikt tal.

EXEMPEL 8

Det minsta perfekta talet (som är större än talet 1) är talet 6, som är summan av sina faktorer 1, 2 och 3: 1 + 2 + 3 = 6. Talet 10 är ett exempel på ett fattigt tal, eftersom summan av dess faktorer 1, 2 och 5 är 8. Talet 12 är ett rikt tal, eftersom summan av dess faktorer 1, 2, 3, 4, och 6 är 16. Ta reda på om talet är ett fattigt, rikt eller perfekt tal. a) 27 b) 28 c) 18 a) 27

Lösning: Talet 27 är delbart med 1, 3, 9. 27 har alltså faktorerna 1, 3 och 9.

b) 28

Lösning: Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7 och 14 som är talets faktorer.

Summan av faktorerna är 1 + 3 + 9 = 13. Talet 13 < 27. Svar: 27 är ett fattigt tal.

Summan av faktorerna är: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Talet 28 = 28.

Svar: 28 ett perfekt tal. c) 18

Lösning: Talet 18 är delbart med 1, 2, 3, 6 och 9 som är talets faktorer.

Summan av faktorerna är: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21. Talet 21 > 18. Svar: 18 är ett rikt tal.

C-UPPGIFTER 20 Ta reda på om talet är ett fattigt, rikt BM eller perfekt tal. Använd räknare om det behövs. a) 11

c) 20

d) 220 b) 15

15 Repetition Från siffror till tal

Naturliga tal

1 Skriv talet i utvecklad form.

4 Skriv talet 12 som a) summan av två naturliga tal.

a) 235 b) 3 700

b) differensen av två naturliga tal

c) 10,25 d) 0,029

c) produkten av två naturliga tal

Räkna med tal

d) kvoten av två naturliga tal.

2 Beräkna med uppställning. M a) 22,5 + 67,8

De naturliga talens delbarhet

5 Ta reda på om talet 96 är delbart med nedanstående tal. Motivera.

b) 105,09 − 57,125

a) 2 b) 3 c) 18,8 ∙ 7,9

c) 5 d) 9

Faktorisering och primtalsfaktorer

6 Ringa in primtalen bland följande tal: 4, 7, 10, 11, 15, 17, 23, 33.

d) 256 / 5

7 Dela upp talet i primtalsfaktorer.

a) 24 b) 50

3 Beräkna. a) Summan av 38 och 54

Heltal

= b) Produkten av 46 och 2

= 68

8 Skriv heltalen i storleksordning, med B det minsta först. 9 −36 −46 75 35 0 −1

Motsatta tal

Multiplikation med heltal

9 Vilket är det motsatta talet till talet

14 Räkna. M a) 5 ∙ (−6)

a) 5

b) −3

c) +6

d) −11?

b) −4 ∙ (−8) = c) 3 ∙ (−2) ∙ 5 =

Addition av heltal

10 Räkna. M

Division med heltal

15 Räkna. M = a) 48 8 b) 75 = −15 −45 = c) 5

a) −3 + (−5) = b) 6 + (−9)

c) −5 + 4

Subtraktion av heltal

11 Räkna. M

Potensform

a) −5 − (−8) = b) 3 − 9

c) −5 − 11

16 Beräkna potensens värde. BM

Addition och subtraktion med heltal

12 Räkna. M

a) 82

b) −42 =

c) (−5)2 =

d) (−2)3 =

Prioriteringsregler

a) 18 − (-12) =

17 Räkna. M a) 5 ∙ 7 − 16 =

b) 14 + (−22) =

b) 25 − 8 ∙ 5 =

c) 21 − (+18) =

18 Räkna. M a) 12 − 3 = 2+1

13 Räkna. M

a) −15 − 4 + 10

b) −8 + 13 − 7

c) −8 + (−5) − (−2) =

b) 9 ∙ 5 =

7+2

19 Räkna. M a) 36 − 5 ∙ (2 + 3) = b) 15 / (5 − 2) + 3 =

Sammanfattning Det decimala talsystemet är ett talsystem med basen 10. Det syns till exempel när ett tal skrivs i utvecklad form. 2548 skrivet i utvecklad form: 2548 = 2 ∙ 1000 + 5 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 ∙ 1

Siffersumman i ett tal är summan av alla siffror i talet utan hänsyn till talsorten. Exempel: 578,2 har siffersumman 5 + 7 + 8 + 2 = 22

De fyra räknesätten Addition: term + term = summa Subtraktion: term – term = differens Multiplikation: faktor ∙ faktor = produkt Division: täljare = kvot nämnare

Naturliga tal är alla positiva heltal inklusive 0. De används för att uttrycka antal eller ordningstal. De naturliga talen är 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Heltal är alla positiva och negativa heltal inklusive 0. Heltalen är … −3, −2, −1 ,0 ,1 ,2 ,3 …

Primtal är naturliga tal som endast är delbara med 1 och sig själva. De tio första primtalen är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Primtalsfaktorer är faktorer till naturliga tal, som alla är primtal. Talet 105 skrivet som primtalsfaktorer är 3∙5∙7 för att 1) talet slutar på 5 alltså delbart med 5 2) siffersumman är 6 alltså delbart med 3 3) sista primtalsfaktorn är 7 för att 105 = 7. 15

Delbarhetsregler Ett naturligt tal är delbart med talet • 2, om den sista siffran i talet är 0, 2, 4, 6 eller 8 • 5, om den sista siffran i talet är 0 eller 5 • 10, om den sista siffran i talet är 0 • 3, om siffersumman är en multipel av talet 3 (3, 6, 9, 12…) • 9, om siffersumman är en multipel av talet 9 (9, 18, 27, 36…) 70

Två tal är varandras motsatta tal om de har olika förtecken och befinner sig på samma avstånd från noll på tallinjen. Motsatta talet till 8 är –8, och motsatta talet till –8 är 8.

Teckenregler för addition och subtraktion +(+a) = + a = a 7 + (+4) = 11 +(−a) = −a 8 + (−5) = 3 −(+a) = −a 3 − (+4) = −1 −(−a) = +a = a 9 − (−6) = 15 Teckenregler för multiplikation (+a) ∙ (+b) = +ab = ab (+2) ∙ (+3) = + 6 = 6 (−a) ∙ (−b) = +ab = ab (−4) ∙ (−5) = + 20 = 20 (+a) ∙ (−b) = −ab (+7) ∙ (−8) = −56 (−a) ∙ (+b) = −ab (−7) ∙ (+8) = −56

Teckenregler för division +a = + a = a +8 = + 8 = 4 b b +b +2 2 −a = − a −8 = − 4 b +b +2 +a = − a +8 = − 4 b −b −2 −a = + a = a −8 = + 8 = 4 b b −b −2 2

En potens är en förenkling av en multiplikation där alla faktorer är lika. 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35 (3:an är basen och 5:an exponenten)

Prioriteringsregeln 1 Parenteser

(3 + 4) ∙ 5 = 7 ∙ 5 = 35

2 Potenser

3 ∙ 23 = 3 ∙ 8 = 24

3 Multiplikation och division

4 ∙ 5 = 20 = 5 3+1 4

4 Addition och subtraktion

3 + 4 ∙ 5 = 3 + 20 = 23

Träna på begreppen Resonera mer 71

Favorit matematik 7 – Bas Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkneexempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighetsgrad och repetitionsuppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas. I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Inloggningen till den digitala delen är giltig i ett år. Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematikserien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.

Art.nr 43959 Bok 1

studentlitteratur.se