VARIABEL A3
Elevpaket – Digitalt + Tryckt
LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS
SAMTLIGA DELAR
VARIABEL A3
Elevpaket – Digitalt + Tryckt
Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.
ELEVBOK
I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet samtidigt som eleverna successivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.
DIGITALT LÄROMEDEL
Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt i finns också en kort filmad introduktion.
Digital version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning
Filmer
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn
Studentlitteratur AB
Box 141
221 00 LUND
Besöksadress: Åkergränden 1
Telefon 046-31 20 00
studentlitteratur.se
Bilder:
Sid. 20: Natata/Shutterstock.com
Övriga bilder: Shutterstock.com
Kopieringsförbud
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Det är ett engångsmaterial och får därför, vid tillämpning av Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, överhuvudtaget inte kopieras för undervisningsändamål. Inte ens enstaka sida får kopieras, dock får enstaka fråga/övning kopieras för prov/skrivning. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.
Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.
Användning av detta verk för text- och datautvinningsändamål medges ej.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.
Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 45077
ISBN 978-91-44-15919-5
Upplaga 1:1
© Författarna och Studentlitteratur 2024
Formgivning och illustrationer: Karin Österlund
Illustrationer: Jonny Hallberg
Printed by Latgales Druka, Latvia 2024
INNEH Å LL
1
T A L OCH MÖNS T ER
För att bli en bra problemlösare är det viktigt att du känner igen olika mönster och använder dig av dem. Många av dessa mönster hänger dessutom ihop på ett intressant sätt. I det här kapitlet ska vi studera några sådana mönster hos talföljder.
Film: Talmönster
TALM Ö NSTER
När vi vid problemlösning har hittat ett bra mönster kan vi använda mönstret på nytt för att lösa fler uppgifter av liknande slag. Det är detta som avsnittet handlar om.
1.1 Hur många vita trianglar behöver du för att bygga det här mönstret om det är
Du kan undersöka mönstret genom att rita trianglar till figuren.
Om du har hittat och förstått mönstret så är det lätt att lösa mycket svårare uppgifter.
a) 4 gula trianglar.
Svar:
b) 5 gula trianglar.
Svar:
1.2 Ser du något mönster i de föregående uppgifterna?
Svar:
1.3 Använd mönstret för att bestämma hur många vita trianglar som behövs för att bygga ett liknande mönster med a) 10 gula trianglar.
Svar:
b) 15 gula trianglar.
Svar:
1.4 Hur många vita kvadrater behövs det för att bygga det här mönstret om det är
a) 4 gula kvadrater?
Svar: b) 5 gula kvadrater?
Svar:
1.5 Ser du något mönster i de föregående uppgifterna?
Svar:
1.6 Använd mönstret för att bestämma hur många vita kvadrater som behövs för att bygga ett liknande mönster med a) 10 gula kvadrater.
Svar: b) 20 gula kvadrater.
Svar:
1.7 Hur många vita cirklar behövs det för att bygga det här mönstret om det är
a) 4 gula cirklar?
Svar:
b) 5 gula cirklar?
Svar:
1.8 Ser du något mönster i de föregående uppgifterna?
Svar:
1.9 Använd mönstret för att bestämma hur många vita cirklar som behövs för att bygga ett liknande mönster med
a) 8 gula cirklar?
Svar:
b) 12 gula cirklar?
Svar:
1.10 Vilket mönster kan du se i talföljden?
Fortsätt varje talföljd med tre tal.
a) 2, 4, 6, 8, 10, …
Svar:
b) 1, 3, 5, 7, 9, …
Svar:
c) 1, 4, 9, 16, 25, …
Svar:
1.11 Vilket mönster kan du se i talföljden?
Fortsätt talföljden med tre tal.
a) 1, 2, 4, 7, 11, 16, …
Svar:
b) 1, 2, 4, 5, 7, 8, …
Svar:
c) 1, 2, 3, 1, 2, 3, …
Svar:
1.12 Vilket mönster kan du se i talföljden? Fortsätt talföljden med tre tal.
a) 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
Svar:
b) 1, 2, 4, 8, 16, …
Svar:
c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Svar:
1.13 Fortsätt talföljden med tre tal.
a) 365, 366, 365, 365, 365, 366, 365, 365, …
Svar:
b) 31, 28, 31, 30, 31, 30, …
Svar:
c) 9.27, 9.42, 9.57, 10.12, 10.27, …
Svar:
Fundera över de här talmönstren.
Inom matematiken kan vi beskriva mönster med hjälp av formler. Det handlar då ofta om att byta ut en variabel (ofta en bokstav) mot ett tal. Vi ska nu studera några sådana formler.
Vi börjar med formeln 2 · n – 1 och låter variabeln n anta värdena 1, 2, 3, 4, 5, …
Om du byter ut n mot 1 får du 2 · 1 – 1 = 1.
Om du byter ut n mot 2 får du 2 · 2 – 1 = 3.
Om du byter ut n mot 3 får du 2 · 3 – 1 = 5.
1.14 a) Använd formeln 2 · n – 1. Vilka tal får du om byter ut n mot 4, 5 och 6?
Svar:
b) Beskriv den talföljd som ges av formeln 2 · n – 1.
Svar:
1.15 Vilken talföljd ger formeln 3 · n – 1 för n = 1, 2, 3, 4, 5, … ?
Svar:
1.16 Vilken talföljd ger formeln 1 n för n = 1, 2, 3, 4, 5, … ?
Svar:
1.17 Vilken talföljd ger formeln n – 1 n för n = 1, 2, 3, 4, 5, … ?
Svar:
FACIT VARI A BEL A3
1 TAL OCH MÖNSTER
TALMÖNSTER
1.1 a) Det behövs 9 vita trianglar.
b) Det behövs 11 vita trianglar.
1.2 Mönstret börjar med 1 vit triangel. För varje gul triangel som läggs till behövs det 2 nya vita trianglar. Antalet vita trianglar är 1 + (2 gånger antalet gula trianglar).
1.3 a) 21 st. Det behövs 1 + 2 ∙ 10 vita trianglar.
b) 31 st. Det behövs 1 + 2 ∙ 15 vita trianglar.
1.4 a) Det behövs 10 vita kvadrater. b) Det behövs 12 vita kvadrater.
1.5 Mönstret börjar med två vita kvadrater. För varje gul kvadrat som läggs till behövs det 2 nya vita kvadrater. Antalet vita kvadrater är 2 + (2 gånger antalet gula kvadrater).
1.6 a) 2 + 2 · 10 = 22. b) 2 + 2 · 20 = 42.
1.8 a) Det behövs 18 vita cirklar.
1.8 Mönstret börjar med 2 vita cirklar. För varje gul cirkel som läggs till behövs det 4 nya vita cirklar. Antalet vita cirklar är 2 + (4 gånger antalet gula cirklar).
1.9 a) Det krävs 2 + 4 ∙ 8 = 34 vita cirklar.
b) Det krävs 2 + 4 ∙ 12 = 50 vita cirklar.
1.10 a) De jämna talen: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
b) De udda talen: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
c) Kvadrattalen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64.
1.11 a) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37. Differensen mellan termerna är 1, 2, 3, 4 osv.
b) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13.
Vart tredje tal i talraden har hoppats över.
c) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3. Talföljden 1, 2, 3 upprepas.
1.12 a) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27. Alla talen är delbara med 3.
b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Talen fördubblas efter hand.
c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Varje tal (utom de två första) är summan av de två föregående talen. Man kan alltså skriva talföljden så här:
1, 1, (1 + 1) = 2, (1 + 2) = 3, (2 + 3) = 5, (3 + 5) = 8, (5 + 8) = 13 osv.
Dessa tal kallas för Fibonaccital. Fibonacci eller Leonardo från Pisa levde omkring år 1200. Han införde inte bara Fibonaccitalen utan även vårt talsystem med hinduarabiska siffror.
1.13 a) Det handlar om antalet dagar per år från och med år 2022.
365, 365, 366, 365, 365, 365, 366, 365, 365, 365, 366, 365 …
b) Det handlar om antalet dagar per månad under ett år som inte är ett skottår.
31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30 …
c) Det är en busstidtabell. Bussen går var femtonde minut.
9.27, 9.42, 9.57, 10.12, 10.27, 10.42, 10.57, 11.12, …
1.14 a) Du får talen 7, 9 och 11, alltså 2 · 4 – 1 = 7, 2 · 5 – 1 = 9 och 2 · 6 – 1 = 11.
b) Formeln ger de udda naturliga talen.
1.15 Talföljden är 2, 5, 8, 11, 14 . …alltså 3 · 1 – 1 = 2, 3 2 – 1 = 5, 3 3 – 1 = 8, 3 4 – 1 = 11 och 3 5 – 1 = 14, …
1.16 Talföljden är 1 1 = 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , …
1.17 Talföljden är 0 1 = 0, 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , …
b) Det behövs 22 vita cirklar
”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”
(Karlsson, Kilborn)
Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har här tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.
I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder.
I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter.
Elevboken innehåller ca 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.
Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik.
Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.