9789144150833

Favorit matematik

8 BAS Del 1

Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Produktionsstöd till detta läromedel har erhållits från Specialpedagogiska skolmyndigheten.

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopierings­avtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 43960 ISBN 978-91-44-15083-3 Upplaga 1:1 © 2021 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Pi 8 E Matematiikka © 2016 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola

i Arbeta med Favorit matematik 4 1 Procent

8

1 2 3 4

En hel är hundra procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bråk i procentform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Från procent till decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Hur många procent? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fördjupning: Problemlösning med procent och stavmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Procent av en helhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6 Hur mycket är 100 %? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Fördjupning: Problemlösning med procent . . 33 7 Förändring i procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8 Procentuell jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Fördjupning: Ökning eller minskning? . . . . . . 41 9 Beräkna det ursprungliga värdet . . . . . . . . . . . 42 10 Rabatter och prishöjningar . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11 Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Fördjupning: Flera procentuella förändringar 53 12 Räkna med procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 13 Matematik i ekonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Fördjupning: Ränta på ränta . . . . . . . . . . . . . . . 63 14 Matematik i kemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Fördjupning: Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Statistik

72

1 Tolka diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Stapel- och stolpdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Fördjupning: Befolkningspyramid . . . . . . . . . . . 84 Fördjupning: Gapminder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3 Cirkel- och linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4 Bearbeta och presentera statistik . . . . . . . . . . 92 5 Medelvärde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6 Typvärde och median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7 Variationsbredd och fördelning . . . . . . . . . . . 104 8 Blandade statistiska begrepp . . . . . . . . . . . . . 108 9 Samla in data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10 Vilseledande statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Fördjupning: Vilseledande statistik . . . . . . . . 121 11 Rita linje- och stapeldiagram . . . . . . . . . . . . . 122 12 Rita cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Digitala verktyg: Rita diagram i ett kalkylprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

13 Kategorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14 Statistisk undersökning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3 Längder, areor och cirklar

148

1 Närmevärden och avrundning . . . . . . . . . . . . 150 2 Uppskatta och räkna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Programmering: Javascript – Avrundning av decimaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3 Mäta och uppskatta längder . . . . . . . . . . . . . . 160 Historiskt nedslag: Gamla längdenheter . . . 165 4 Längduträkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5 Mäta och uppskatta area . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Historiskt nedslag: Gamla svenska mått för area . . . . . . . . . . . . . 175 6 Arean av rektangel och parallellogram . . . . . 176 7 Triangelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8 Arean av månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Programmering: Javascript – Arean av några geometriska figurer . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9 Kvadratroten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 11 Cirkelns omkrets och pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12 Cirkelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 13 Räkna med cirklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Historiskt nedslag: Cirkelns kvadratur . . . . . 211 14 Längden av en cirkelbåge . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 15 Sektorns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Fördjupning: Arean av ett segment . . . . . . . . 219 16 Räkna med areor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 17 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4 Potenser 230 1 Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 2 Produkten av potenser med samma bas . . . 236 3 Kvoten av potenser med samma bas . . . . . . 238 Fördjupning: Inverterade tal . . . . . . . . . . . . . . 241 4 Negativa heltal och noll som exponent . . . . 242 5 Räkna med potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Fördjupning: Potensekvationer . . . . . . . . . . . . 249 6 Potensen av en produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Fördjupning: Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7 Potensen av en kvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8 Potensreglerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 9 Tiopotenser och stora tal . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10 Tiopotenser och små tal . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Fördjupning: Tiopotenser med exponenter delbara med tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11 Enheter och prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Fördjupning: Fler prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Fördjupning: Binära tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 12 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5 Algebra

278

1 Uttryck med variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Fördjupning: Uppställning med algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 2 Uttryck och dess värde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 3 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Historiskt nedslag: Pascals triangel . . . . . . . . 291 4 Addition av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5 Subtraktion av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6 Multiplikation med enkla uttryck . . . . . . . . . . 300 7 Multiplikation med ett tal och ett uttryck . . 304 Fördjupning: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8 Multiplikation med parenteser . . . . . . . . . . . . 310 9 Division av ett uttryck och ett tal . . . . . . . . . 314 10 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Facit till repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

i

Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till elevpaketet så att du kan lära dig så mycket som möjligt.

Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital del. Du aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida. I den digitala delen finns bland annat cirka 300 filmer som stöd för inlärningen.

Bokens upplägg

I Favorit matematik 8 får du lära dig ett moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå.

Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor.

Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill du träna mer på lektionens moment, finns det länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder.

4

Filmer

EXEMPEL 1

Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Du kan lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det cirka 300 filmer som handlar om precis det som står i boken.

Du har varit sjuk och matematiklektionerna förra veckan. Vad ska du göra?

Lösning:

Läs förklaringarna i boken. Om du inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara!

Förklara!

Precis som stora tal kan små tal skrivas om med tiopotenser.

Positiva tal mindre än noll har negativ exponent i tiopotensen, till exempel 0,01 = 10−2.

EXEMPEL 2

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar precis det som står i boken.

Du var med på lektionen, men du förstod inte riktigt när läraren räknade och förklarade. Du läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Du behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska du göra?

Lösning:

Räkna!

EXEMPEL 3

Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Lyssna i din egen takt, så många gånger du vill.

Skriv talet 12,036 i utvecklad form med tiopotenser.

Lösning och svar:

12,036 = 1 ∙ 10 + 2 ∙ 1 + 0 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,01 + 6 ∙ 0,001

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar och förklarar exemplet i boken.

Visa!

Det finns mycket mer i den digitala delen, till exempel hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en liten film om hur den digitala delen fungerar.

5

Bokens olika uppgifter

Det finns en kursplan som beskriver vad eleven ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Eleven får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor.

I Favorit matematik 8 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. I boken används samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som eleven måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast.

Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om du förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem.

• Metod (M) – testar om du kan metoder för beräkningar.

• Problemlösning (P) – testar om du kan lösa olika problem som presenteras för dig, och att du kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet.

• Kommunikation (K) – testar om du med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem.

Begrepp och metod är en förutsättning för att du ska klara problemlösning och kommunikation. Därför läggs stor vikt vid de förmågorna i början.

I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och Programmeringsuppgifter.

Märkning av uppgifter

Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerade med en streckad linje.

E/C-UPPGIFTER

Uppgift 1 tränar framförallt förmågan Begrepp medan uppgift 9 framförallt tränar förmågan Metod.

1 Granska talet 67,103. Vilken är talets B a) heltalsdel b) decimaldel?

EC

9 Räkna utan miniräknare.

M a) 13 ⋅ 2,4 b) 5,04 ⋅ 3,9 c) 13,6 / 8 d) 6 / 0,2 Den streckade linjen visar gränsen mellan E- och C-uppgifter.

Under uppgiftsnumret ser du vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen handlar om: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.

6

A-uppgifterna är inte så många, men svårare. Du bör först vara säker på att du kan alla grunder på E- och C-nivå innan du går vidare med utmaningarna i A-uppgifterna och Resonera-/Laborera-uppgifterna. Försök först klara uppgifterna på egen hand innan du ber någon om hjälp. Det är viktigt att du verkligen förstår uppgifterna så att du klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.

Det blir tydligt vad du kan och vad du behöver träna mer på!

Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När du får tillbaka provet finns en tabell, där du kan se vilka olika typer av uppgifter du har klarat.

Du kan titta på tabellen och se vilka typer av uppgifter du behöver träna mer på i fortsättningen!

Lycka till!

UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter, A-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problem­ lösning, metod, begrepp och kommunikation.

2 V ad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel?

3 L äs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.

4 Ö ppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan.

5 K licka runt i boken och hitta minst fem olika saker du kan göra. Jämför med de andra i klassen och se om ni har hittat olika saker.

6 F undera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!

7

8

1

Procent

I det här kapitlet får du lära dig hur • du räknar med procent i olika sammanhang • du hanterar övergången mellan bråkform, decimalform och procentform • rabatter och prisförändringar beräknas • förändringsfaktor kan användas • procentuella förändringar och procentuell jämförelse beräknas • procent kan tillämpas i ekonomi och kemi.

Centralt innehåll • Procent och förändringsfaktor för att uttrycka förändring samt beräkning med procent i vardagliga situationer och inom olika ämnes­områden.

• Formulering av matematiska frågeställningar utifrån olika situationer och ämnesområden.

• Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.

9

1 En hel är hundra procent Förklara!

Procent betyder hundradel och en helhet motsvarar 100 %. En helhet kan till exempel vara hundra rutor i en kvadrat, alla elever i en klass, det maximala antalet poäng på ett prov, längden av en lektion eller det totala priset på ett inköp.

Ordet procent kommer från latinet, där pro centum betyder ”för hundra” eller ”på hundra”.

Räkna!

EXEMPEL 1

Procent kan användas för att till exempel • uttrycka hur stor del eleverna i en klass utgör av det totala elevantalet i en skola • räkna ut hur stor del rabatten är på en vara • jämföra tal • ange prisförändring • räkna ut det hela, då en viss andel i procent är känt.

Alla kvadrater nedan består av hundra rutor.

Hur många procent av kvadraten har färglagts? a)

b)

c)

Svar: a) 100 %

b) 10 %

c) 1 %

a

Diskute r Procent kan användas i många sammanhang.

Vilka har du stött på?

10

EXEMPEL 2

Figuren består av fyra lika stora trianglar.

Hur många procent av figuren färglagd?

Lösning:

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

Eftersom hela figuren är 100 % utgör en triangel 100 % = 25 % av den totala figuren.

4 Svar: 25 % av figuren är färglagd.

Selma har laddat ner 58 % av en fil. Hur många procent av filen är kvar att ladda ner?

Lösning och svar:

Selma har 100 % − 58 % = 42 % kvar att ladda ner.

Hur lång är den totala staven, om den del vi ser på bilden är 20 % av staven?

Lösning:

Eftersom 100 % = 5 ∙ 20 %, är längden på den totala staven 5 ∙ 3 = 15 rutor.

En femtedel av det hela är 20 %.

Svar: Hela staven är 15 rutor.

EC

E-UPPGIFTER 1 H ur många procent av rutorna i kvadraten är färglagd?

BM

a)

2 H ur många procent av figuren är färglagd?

BM

b)

a)

b)

3 H ur många procent av figuren har färgats?

BM

a)

b)

11

4 Färglägg

BM

a) 50 % b) 20 %

8 V arje vecka går 25 % av Adams arbets­ M tid till möten. Hur många timmar i veckan arbetar Adam, om han sitter i möten sammanlagt 9 timmar per vecka?

c) 90 %.

5 M ässing är en legering (blandning) av C-UPPGIFTER M koppar och zink. Mässing består till Hur lång är den totala staven, om den 63 % av koppar. Till hur många procent 9 M del vi ser på bilden utgör består mässing av zink? a) 100 % b) 50 % c) 75 %?

6 4 1 % av eleverna i en skola går till M skolan, 34 % cyklar och resten tar sig dit på något annat sätt. Hur många procent av eleverna tar sig dit på något annat sätt?

10 H ur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 50 % b) 25 % c) 20 %?

7 M änniskor har blodgruppen A, 0, B M eller AB. I Sverige har 44 % av befolk­ ningen blodgrupp A, 38 % blodgrupp 0 och 12 % blodgrupp B. Resten har AB. Hur många procent av befolk­ningen i Sverige har blodgrupp AB?

11 B estäm hur mycket det hela är, alltså BM 100 %, då a) 8 % är 12

b) 36 % är 27.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C 12

REPETITION 12 Hur många procent av figuren har M

16 B estäm hur mycket det hela är, alltså BM 100 %, då a) 50 % är 4

a) färglagts b) inte färglagts?

13 L uft består till cirka 78 % av kväve och M 21 % syre. Hur många procent av luften utgörs av andra gaser?

b) 30 % är 12

c) 70 % är 28.

14 H ur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 20 % b) 40 % c) 30 %?

17 6 0 % av eleverna i en grupp läser MP spanska och 35 % franska. 5 % av eleverna läser båda språken. Hur många procent av eleverna läser varken spanska eller franska?

15 E n person har 20 % kvar av sin MP samtalstid för en månad, vilket motsvarar 120 minuter. Hur mycket taltid hör det till abonnemanget per månad?

era Reson Hur många procent av stjärnan är färglagd?

13

2 Förklara!

Bråk i procentform Ett bråk beskriver en helhet och dess delar. Ett bråk som uttrycker en andel kan omvandlas till procent genom att det skrivs som hundradelar.

Räkna!

EXEMPEL 1

1 = 1% 100

1 = 0,5 = 50 % 2 1 = 0,333… ≈ 33 % 3

1 = 0,25 = 25 % 4 1 = 0,2 = 20 % 5

1 = 0,125 = 12,5 % 8 1 = 0,10 = 10 % 10

Hur stor del av figuren är färglagd? Skriv andelen i bråkform och i procentform. a)

b)

c)

Lösning och svar:

Vi omvandlar bråket som anger andel genom att förlänga det till hundradelar.

EXEMPEL 2

a)

1 = 1 ∙ 50 = 50 = 50 % 2 2 ∙ 50 100

Skriv i procentform. a) 31 b) 7 100 10 Lösning och svar: a) 31 = 31 %

100

c)

13 = 13 ∙ 4 = 52 = 52 % 25 25 ∙ 4 100

b)

1 = 1 ∙ 25 = 25 = 25 % 4 4 ∙ 25 100

c) 13

25

c)

2 = 2 ∙ 20 = 40 = 40 % 5 5 ∙ 20 100

d) 14

200

b)

7 = 7 ∙ 10 = 70 = 70 % 10 10 ∙ 10 100

d)

14 = 14 / 2 = 7 = 7 % 200 200 / 2 100

Vid behov förlänger eller förkortar vi bråket till hundradelar.

a

Diskute r

Beskriv sambandet mellan bråk och procent.

När passar det ena eller det andra?

14

EXEMPEL 3 EXEMPEL 4

Skriv i bråkform. a) 29 % b) 20 %

c) 45 %

d) 4 %

Lösning och svar: a) 29 % =

29 100

b) 20 % =

c) 45 % =

45 = 45 / 5 = 9 100 100 / 5 20

d) 4 % =

20 = 20 / 20 = 1 100 100 / 20 5

4 = 4/4 = 1 100 100 / 4 25

En familj spenderar en fjärdedel av sina inkomster på boende, en femtedel på mat, en tiondel på fritidsintressen och tre tiondelar på övrig konsumtion. Resten sparar de.

Hur många procent av inkomsterna sparar familjen?

Lösning:

Vi anger andelarna i procent.

En fjärdedel är 100 % = 25 %, 4

sparande boende 1 4

en femtedel 100 % = 20 % och 5 en tiondel 100 % = 10 %.

10 Tre tiondelar är därmed 3 ∙ 10 % = 30 %.

övrig konsumtion 3 10

mat 1 5 fritidsintressen 1 10

25 % + 20 % + 10 % + 30 % = 85 %.

Familjen sparar 100 % − 85 % = 15 %.

Svar: Familjen sparar 15 procent av sina inkomster.

EXEMPEL 5

Ett bråk är större än 1 om täljaren är större än nämnaren eller om bråket skrivs i blandad form. Bråket kan då omvandlas till ett procenttal större än 100%.

Skriv 21 i procentform a) 1 25

b) 230 % i bråkform.

Lösning och svar: a) 1

21 = 1 + 21 ∙ 4 = 1 + 84 = 100 % + 84 % = 184 % 25 25 ∙ 4 100

b) 230 % =

230 = 2 30 / 10 = 2 3 100 100 / 10 10 15

E

E-UPPGIFTER 1 a) Hur stor del av figuren är färglagd?

M b) Hur många procent av figuren är färglagd?

6 H ur stor del av figuren är färglagd?

Ange andelen i bråkform och i procentform.

BM

a)

A

a) b)

b)

B

a) c)

b) C

a)

7 Skriv i procentform.

3 3 a) = b) = 4 5

b)

BM

2 Skriv i procentform.

M 43 = a) b) 100 10 = c) d) 100

1 = 100 99 = 100

c) 2 =

2

d) 24 =

25

8 H ur många procent M av figuren är färglagd?

3 Skriv i bråkform.

M

a) 57 % =

b) 93 % =

c) 19 % =

d) 3 % =

9 Skriv i bråkform.

BM

4 a) Hur stor del av M figuren är färglagd? b) Hur många procent av

figuren är färglagd?

a) 44 % =

b) 90 % =

c) 24 % =

d) 6 % =

10 Ange andelen i procentform.

BM

a) hälften av alla svenskar b) en fjärdedel av cyklarna

5 Skriv i procentform.

BM

a) 2 =

b) 9 =

c) 13 = 25

d) 19 = 50

10

16

20

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 11 Färglägg M a) 30 %

14 Skriv i procentform.

BM a) 4 = 5 17 = b) 20 3 c) = 3 d) 130 = 200

b) 27 %

c) 89 %.

15 2 av eleverna på en skola dricker 5 BM mjölk till lunchen. Övriga dricker vatten. Hur många procent av eleverna dricker vatten?

12 H ur stor del av figuren är färglagd?

BM Ange andelen i bråkform och i procentform. a)

b)

c)

13 Skriv i procentform.

BM 1 = 1 a) b) = 2 4 c) 1 = 5

era Reson

d) 1 = 10

16 Ange andelen i procentform.

BM

a) tre tiondelar b) en fjärdedel c) tre femtedelar.

Vilka är talen a, b och c, a b c då = = och 3 4 6 abc = 576?

17

3 Förklara!

Från procent till decimaltal Delar av det hela går att uttrycka i procentform, bråkform eller decimalform. Ett tal i procentform kan på ett enkelt sätt omvandlas till decimalform. Först skrivs ­andelen i bråkform, med talet 100 som nämnare. Därefter skrivs bråket som ett decimaltal.

Räkna!

EXEMPEL 1

1 % = 1 = 0,01 100 Skriv som ett decimaltal. a) 23 % b) 7 %

Tiondel 0

c) 92 %

Hundradel 1

d) 125 %

Lösning och svar: a) 23 % = 23 = 0,23

100 92 = 0,92 c) 92 % = 100

EXEMPEL 2

Ental 0,

b) 7 % =

7 = 0,07 100

d) 125 % =

Skriv i procentform. a) 0,42 b) 0,03

125 = 1,25 100

c) 1,05

d) 2,30

Lösning och svar: a) 0,42 =

42 = 42 % 100

b) 0,03 =

3 =3 % 100

c) 1,05 =

105 = 105 % 100

d) 2,30 =

230 = 230 % 100

EXEMPEL 3

Ett bråk som uttrycker en andel kan omvandlas till procentform genom att bråket förlängs eller förkortas till hundradelar. Om det inte går att förlänga eller förkorta till hundradelar beräknas divisionen i bråket med till exempel miniräknare eller med uppställning.

Resultatet anges då i decimalform som sedan kan skrivas om till procentform.

Skriv i procentform. Ange svaret med en noggrannhet på en tiondels procent. a) 1 b) 3 3 13 Lösning och svar: 1 a) = 0,3333... ≈ 0,333 = 33,3 %

3

18

b)

3 = 0,2307... ≈ 0,231 = 23,1 % 13

Procent kan även illustreras med stavar eller block. Då illustreras en viss procent med en viss längd av en stav. Sambanden kan ses mellan den stav och andra stavar med motsvarande procent. Hundra procent motsvarar hela stavens längd. ursprunglig stav

100 %

50 % av den ursprungliga staven

50 %

EXEMPEL 4

100 %

50 %

150 % av den ursprungliga staven

Rita en stav som är 50 % större än den ursprungliga staven.

Lösning och svar:

100 % = 50 % = 150 % =

EC

EC-UPPGIFTER 1 Skriv som ett decimaltal.

M

5 Fyll i tabellen.

a) 33 % =

b) 76 % =

c) 29 % =

d) 50 % =

M

Procentform

a) 5 %

=

c) 135 % =

21 100 0,39

b) 100 % = d) 1 %

=

6 H ur många procent av figuren är M färglagd? Ange svaret med en noggrannhet på en tiondels procent. a)

3 Skriv i procentform.

M

Decimalform

17 %

2 Skriv som ett decimaltal.

M

Bråkform

a) 0,71 =

b) 0,04 =

c) 0,85 =

d) 1,38 =

b)

4 Skriv i procentform.

M

a) 0,08 =

b) 0,8

=

c) 1,08 =

d) 1,0

=

c)

19

7 H ur många procent av figuren är M ofärgad? a) b)

C-UPPGIFTER 12 R ita en stav som jämfört med den M ursprungliga staven a) är 10 % större b) är 40 % mindre c) är 80 % mindre d) är 25 % större.

c)

8 U ppskatta om andelen i procent är mer M eller mindre än 50 %. mer mer 12 27 a) b) mindre mindre 21 52 c) 37

mer mindre

76

d) 57

115

mer mindre

9 S kriv i procentform. Ange svaret med M en noggranhet på en tiondels procent. a) 1 = b) 1 = 3 6 c)

1 8

=

d)

1 = 12

10 S kriv i procentform. Ange svaret med M en tiondels procents noggrannhet.

2 = 5 = a) b) 7 9 c) 6 =

6

13 H ur lång är den 12 cm M ursprungliga sträckan, om sträckan på bilden har förstorats till a) 200 %

b) 300 %?

d) 9 =

11

11 Fyll i tabellen.

M

Procentform

Bråkform

Decimalform

4% 11 25

14 H ur lång är skalbaggen M i sin naturliga storlek, om den på bilden har förstorats till a) 150 % b) 400 %?

1,07

Öva mer – E Öva mer – E/C 20

Öva mer – C

REPETITION 15 Skriv som ett decimaltal.

M

a) 18 % =

b) 90 % =

c) 125 % =

d) 150 % =

18 S kriv i procentform. Använd räknare M och avrunda till tiondelar. a) 8 = b) 5 = 9 6 6 c) = 11

16 Skriv i procentform.

M

a) 0,07 =

b) 0,24 =

c) 1,05 =

d) 1,85 =

19 Hur många procent av figurens yta är M

17 Fyll i tabellen.

M

Procentform

Bråkform

Decimalform

31 %

a) färglagd 33 50

b) inte färglagd?

1,3

Resonera Priset på en aktie på börsen är 250 kronor. Priset stiger först 100 % och sjunker sedan 50 %. Vad kostar aktien efter förändringarna?

21

4 Hur många procent?

Förklara!

Förhållandet mellan två tal eller värden kan uttryckas som en division. Andelen av det hela är ett bråk som beräknas med en division. Andelen skrivs ofta i procentform.

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel hela Av 25 par skor är 11 par blå. Hur många procent av skorna är blå?

Lösning:

Vi skriver andelen blå skor som förhållandet 11/25 = 11 .

25

EXEMPEL 2

Andelen blå skor är alltså 11 = 11 ∙ 4 = 44 = 44 %.

25 25 ∙ 4 100 Svar: 44 % Ange i procent hur stor andel av figuren som är färglagd.

Lösning:

EXEMPEL 3

Fem av åtta kvadrater i figuren är färglagda.

5 Vi betecknar den färgade delen av figuren med bråket 8 .

Den färgade andelen i procent är 5 = 0,625 = 62,5 %.

8 Svar: 62,5 % Hur många procent av ett dygn är 7 timmar?

Skriv svaret med en decimals noggrannhet.

Lösning:

Den efterfrågade andelen är

7h = 0,29166... ≈ 0,292 = 29,2 %.

24 h

Svar: 7 timmar av ett dygn är ungefär 29,2 %.

Beräkning av andel i procent: 1. Skriv andelen i bråkform.

2. Beräkna divisionen.

3. Skriv decimaltalet i procentform.

22

Vi omvandlar tiderna till samma enhet.

E

E-UPPGIFTER 1 S kriv andelen färgade rutor i bråkform M och i procentform. a)

6 T ariq har ett 1-kronorsmynt, ett M 2-kronorsmynt och en 20-kronorssedel.

Hur många procent av Tariqs pengar, med en procents noggrannhet, är a) mynt

b)

c) b) sedlar?

2 H ur många procent av M rutorna i kvadraten har färgats a) rosa b) gröna

c) blå?

7 V ilken veckodag har störst andel M konsonanter i namnet?

3 H ur många procent av figuren är M färgad? a) b) c)

4 Hur många procent är talet 20 av talet M a) 100 = b) 50 = c) 40 =

d) 25? =

5 Hur många procent är talet 48 av talet M a) 100 = b) 80 = c) 50 =

8 T a reda på hur många procent av M eleverna i din klass som a) cyklade till skolan i dag

d) 48? =

b) läser spanska

c) har svarta byxor på sig

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

23

REPETITION 9 H ur många procent utgör talet 8 av M talet a) 10

12 Hur många procent är M a) 15 minuter av en timme

b) 16 c) 25 b) 32 centimeter av en meter?

d) 64?

10 I en skål ligger 11 äpplen och 13 M clemen­tiner. Hur många procent av frukten är a) äpplen

b) clementiner?

13 N är du handlar i en webbshop får du PK 300 kronors rabatt när du beställer för minst 1 200 kronor. Hur många hela procent är rabatten, om du handlar för a) 1 149 kr

11 T iokronorsmyntet innehåller 5,874 g M koppar, 0,33 g zink, 0,33 g aluminium och 0,0066 g tenn. Hur många procent koppar innehåller myntet? Avrunda svaret till hela procent.

b) 1 698 kr?

c) Hur många procent kan rabatten

vara som störst?

nera Reso 19 av 28 elever i en klass har valt att ha slöjd.

Av dem som valt slöjd har 3 elever också valt bild.

5 elever har varken slöjd eller bild.

Hur många procent av eleverna i klassen har valt bild?

24

FÖRDJUPNING

EXEMPEL 4

Problemlösning med procent och stavmodellen Utifrån 1 400 svar på en kundenkät besökte 1 218 kunder ett köpcentrum och 448 kunder en klädaffär. Hur många procent av kunderna besökte både köpcentrumet och klädaffären a) som minst b) som mest?

Lösning och svar:

1 218 = 0,87 = 87 %. av kunderna besökte köpcentrat.

1 400 448 = 0,32 = 32 %. av kunderna besökte klädaffären.

1 400 De 87 % som besökte köpcentrat.

De 87 % som besökte köpcentrat.

100 % De 32 % som besökte klädaffären.

De som besökte båda.

100 % De 32 % som besökte klädaffären.

De som inte besökte någondera.

a) Minst (87 % + 32 %) − 100 % = 119 % − 100 % = 19 % besökte båda. b) Andelen kunder som besökte båda som mest är samma som den andel kunder

som besökte klädaffären, det vill säga 32 %.

C

C-UPPGIFTER 14 A v de 30 eleverna i en klass sysslar MP 21 med idrott och 15 med musik.

Hur många av eleverna sysslar med både musik och idrott a) som mest

b) som minst?

15 T re fjärdedelar ­av eleverna i en klass MP spelar fotboll. Hälften av eleverna spelar basket. Hur många procent av eleverna i laget spelar både fotboll och basket a) som mest

b) som minst?

25

5 Förklara!

Procent av en helhet Ofta efterfrågas hur mycket en viss procent är av något. Hur stor del av en helhet något är beräknas genom att helheten multipliceras med det decimaltal som motsvarar procentandelen.

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel eller delen = andel ∙ det hela hela

Staven är 15 rutor lång. Bestäm 20 procent av stavens längd.

Lösning 1:

Eftersom 20 procent är en femtedel delar vi staven i fem lika långa delar.

100 %

20 %

20 procent av stavens längd är en femtedel av 15 rutlängder, det vill säga 3 rutlängder.

Lösning 2:

Omvandla 20 % till decimalform: 20 = 0,20 100 Beräkna 20 % av 15: delen = 0,20 ∙ 15 = 3 andel

det hela

Svar: 20 procent av stavens längd är 3 rutor.

a

Diskute r Det finns lite

olika sätt att tänka och räkna när du beräknar procent. Hur skulle du räkna ut antal procent blommor som finns i en viss färg, ljudnivån eller lediga platser på en läktare?

26

EXEMPEL 2

Hur mycket är 42 % av talet 500?

Lösning:

Omvandla 42 % till decimalform: 42 = 0,42.

100 Beräkna 42 % av talet 500: 0,42 ∙ 500 = 210.

EXEMPEL 3

Svar: 42 procent av talet 500 är 210.

Hur mycket är 30 % av talet 230?

Lösning:

Omvandla 30 % till decimalform: 30 % = 30 = 0,30.

100 Beräkna sedan multiplikationen 0,30 ∙ 230 = 69.

EXEMPEL 4

Svar: 30 procent av talet 230 är 69.

I en ishall finns 4 700 åskådarplatser, varav 30 % är ståplatser och resten är sittplatser. 10 % av sittplatserna är loger.

Hur många sittplatser finns det sammanlagt i logerna?

Lösning:

Sittplatserna är 100 % − 30 % = 70 %.

Sittplatserna är 0,70 ∙ 4 700 = 3 290.

I logerna finns 10 % av sittplatserna, det vill säga 0,10 ∙ 3 290 = 329 sittplatser.

Svar: Det finns 329 sittplatser i logerna.

Beräkning av andelen med hjälp av procent: 1.

Omvandla procent till decimalform.

2. Multiplicera decimaltalet med helheten.

27

E

E-UPPGIFTER 1 H ur lång är en stav jämfört med staven M på bilden, om dess längd är

5 Beräkna, av talet 300, M

a) 10 %

0,1 · 300 =

b) 5 % a) 100 % b) 50 % c) 25 %?

c) 1 %

6 Beräkna, av 400 kronor, M

2 H ur lång är en stav jämfört med staven M på bilden, om dess längd är a) 50 % b) 20 %

b) 25 % c) 20 %

7 Hur mycket är 15 % av talet M

a) 25 % b) 50 % c) 75 %?

4 M ed vilket decimaltal ska du M multiplicera talet, när du vill ha a) 90 % b) 25 % c) 3 %?

a) 300 b) 140

c) 10 %?

3 H ur lång är en stav jämfört med en stav M som är 8 rutor lång, om dess längd är

a) 50 %

c) 80?

8 Bestäm 30 % av talet M

a) 600 b) 150 c) 60.

9 E n lärare har 40 häften. Hur många M häften delar läraren ut till sina elever, om det delas ut a) 20 % b) 70 % c) 5 %?

Resonera Isak har gått 100 % mer än vad han har kvar av sin 1 200 meter långa väg till skolan. Hur långt har han kvar att gå?

28

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 10 Beräkna, av talet 360, M

a) 20 % b) 10 % c) 5 %

13 S idan i en kvadrat är 8,0 cm. Hur M lång är kvadratens sida om sidan förminskas till (ange svaret med en decimal) a) 90 procent

11 Hur mycket är M a) 2 % av talet 150 b) 75 procent

b) 37 % av talet 300 c) 50 procent? c) 85 % av talet 180?

12 E n mässingstaty innehåller M 72 % koppar och resten zink.

Beräkna hur mycket koppar och zink det är i statyn som väger 1 500 kg.

14 N är ett tåg startar från Malmö har P det 400 passagerare. I Halmstad stiger 20 % av passagerarna av och 40 nya passagerare stiger på.

I Göteborg stiger en fjärdedel av passagerarna av tåget och 30 nya passagerare stiger på. Hur många passagerare har tåget när det åker från Göteborg?

29

6 Hur mycket är 100 %?

Förklara!

I vissa situationer är endast delen och andelen i procent kända men inte helheten, 100 %.

Helheten kan beräknas på olika sätt, till exempel genom att först beräkna vad 1 % motsvarar eller genom att dividera delen med andelen i procent.

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel eller delen = hela hela andel Hur lång är hela staven, om bilden visar 20 % av staven?

Lösning och svar:

EXEMPEL 2

Eftersom 20 procent är en femtedel av 100 procent är längden för hela staven 5 ∙ 2 = 10 rutor.

Av eleverna i en klass har 30 procent, det vill säga sex elever, glasögon.

Hur många elever går i klassen?

Lösning, metod 1:

Lösning, metod 2:

Vi beräknar antalet elever i klassen genom att först räkna ut vad en procent motsvarar.

Vi gör en tabell och listar ut antalet elever i klassen med hjälp av tabellen.

30 procent är 6.

1 procent är 6 = 0,2.

30 100 procent är 100 ∙ 0,2 = 20.

Svar: Det går 20 elever i klassen.

Andel av eleverna (%)

Antal elever

30

6

10

2

100

20

a

Diskute r Vad är 100 %?

Kan 100 % förändras?

30

E-UPPGIFTER 1 H ur lång är hela staven, om bilden M visar 10 % av staven?

C-UPPGIFTER 5 L önernas andel i ett projekt utgör 30 %.

M Hur mycket är de totala kostnaderna för projektet, om lönekostnaderna är 45 000 kr?

2 Vilket är talet, då M

a) 50 % är 28 b) 25 % är 7 c) 20 % är 14

6 I ett möte deltar sex personer, vilket är M 75 % av hela arbetsgruppen. Hur många personer ingår i arbetsgruppen?

d) 5 % är 3?

3 Av vilket tal är 6 M a) 20 %

b) 4 %

7 A v Jolines månadslön går 30 % till att M betala hyran. Hur mycket tjänar Joline, om hennes hyra är 6 300 kr?

c) 1 %?

8 2 5 % av eleverna i en grupp är flickor.

M Hur många flickor är det i gruppen, om antalet pojkar är nio?

4 2 0 % av barnen i en familj är pojkar.

M Hur många barn ingår i familjen, om det finns en pojke i familjen?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C 31

REPETITION 9 Av vilket tal är 4 M

a) 25 % b) 5 % c) 2 %?

12 M ässing är en legering av koppar och M zink, och innehåller 63 % koppar. Du har tillgång till 8,5 kg zink. Hur mycket mässing kan du framställa av zinkmängden?

10 E n orkester har 12 manliga musiker.

M Männens andel av musikerna är 40 %.

Hur många musiker spelar i orkestern?

13 P å ett bord ligger en 100- och en M 50-kronorssedel samt ett 10-kronorsoch ett 5-kronorsmynt. De utgör 75 % av Selmas pengar. Hur mycket pengar har Selma sammanlagt?

11 5 % av alla invånare i Sverige har M blodgruppen AB. Hur många elever går det utifrån den här informationen i en klass, om två av eleverna har blodgrupp AB?

14 6 5 % av tillverkningskostnaderna för M en vara är materialkostnader. Hur mycket kostar varan, om materialkostnaderna är 455 kr?

Resonera En rektangel har basen 7 rutlängder och höjden 4 rutlängder. Basen ökar med 2 rutlängder och höjden med 1 rutlängd.

Hur många procent ökar rektangelns area?

32

FÖRDJUPNING

EXEMPEL 3

Problemlösning med procent Just nu är Noomis månadslön 23 500 kr. I början av nästa år stiger lönen med 2,0 % och i början av maj med ytterligare 1,5 %. a) Beräkna Noomis lön efter årsskiftet. b) Beräkna Noomis lön efter maj. c) Vilken månadslön skulle Noomi få om lönen steg med 3,50 % på en gång?

Lösning: a) Ökningen är 0,02 ∙ 23 500 kr = 470 kr, alltså är lönen efter årsskiftet

23 500 kr + 470 kr = 23 970 kr.

b) Ökningen är 0,015 ∙ 23 970 kr = 359,55 kr, alltså är lönen efter maj månad

23 970 kr + 359,55 kr = 24 329,55 kr.

c) Ökningen är 0,035 ∙ 23 500 kr = 822,50 kr, alltså skulle lönen efter förhöjningen

vara 23 500 kr + 822,50 kr = 24 322,50 kr.

Svar: a) 23 970 kr

b) 24 329,60 kr

C-UPPGIFTER 15 E n skola får 4,2 % rabatt på en MP beställning på läroböcker. Dessutom får de ytterligare 1,5 % rabatt på det rabatterade priset eftersom de betalar direkt. Vilket är det slutgiltiga priset på beställningen, om priset var 149 605 kr innan rabatterna?

c) 24 322,50 kr

C 16 N ormalpriset på en cykelhjälm är MP 990 kr. Vid en rea får du ytterligare 20 procent rabatt på alla redan rabatterade varor. Hur mycket kostar hjälmen efter tilläggsrabatten, om priset redan var nedsatt med 15 %?

33

7 Förändring i procent Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

Hur stor en förändring är kan anges i procent. Då jämförs förändringen med det ursprungliga värdet, det vill säga värdet före förändringen.

Ett städföretag har 28 anställda. Antalet anställda ökar med 3.

Med hur många procent ökar antalet anställda?

Lösning:

Förändringen, det vill säga ökningen av antalet anställda, är 3.

Det ursprungliga värdet, det vill säga antalet anställda innan förändringen, är 28.

Förändringen av antalet anställda i procent är 3 = 0,1071... ≈ 0,107 = 10,7 %.

28

Vi jämför förändringen med det ursprungliga värdet.

EXEMPEL 2

Svar: Antalet anställda ökar med cirka 10,7 %.

Just nu har en kommun 7 380 invånare. Förra året var invånarantalet 7 490.

Hur många procent har invånarantalet förändrats under ett år?

Lösning:

Förändringen är 7 490 − 7 380 = 110.

Invånarantalet har minskat med 110 personer.

Det ursprungliga värdet är 7 490.

Förändringen i procent är Vi kan också ange förändringen 110 = 0,0146... ≈ 0,015 = 1,5 %. som −1,5 %.

7 490 Svar: Invånarantalet i kommunen har minskat med cirka 1,5 %.

Beräkna förändring i procent: 1. Beräkna hur stor förändringen är.

2. Dividera förändringen med det ursprungliga värdet.

3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. förändringen = procentuell förändring det ursprungliga värdet

34

EXEMPEL 3

Vem förbättrade sig mest a) poängmässigt

b) procentuellt?

Namn

Match 1

Match 2

Nils

11

18

Elliot

19

29

Lösning: a) Nils förbättrade sig med 18 − 11 = 7 poäng.

Elliot förbättrade sig med 29 − 19 = 10 poäng.

b) Nils:

7 = 0,6363... ≈ 0,636 = 63,6 % 11

Elliot: 10 = 0,5263... ≈ 0,526 = 52,6 % 19

Svar: a) Elliot förbättrade sig poängmässigt mest. b) Nils förbättrade sig procentuellt mest.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 H ur många procent förändras priset på M väskan?

3 H ur många procent förändras priset, M om Lo får 200 kr rabatt på

1 200 kr

999 kr

−300 kr 1 199 kr

300 kr = 1 200 kr = %

Priset minskade med

%

a) kappan

2 H ur många procent ökar hyran av en M kanot, om priset stiger med 20 kr/tim? b) jackan 200 kr/timme

c) både kappan och jackan?

35

4 P riset på en bok stiger med 30 kr från M det ursprungliga priset 150 kr. Hur många procent förändras priset?

8 Hur många procent förändras priset?

M a) Priset stiger från 80 kr till 100 kr.

b) Priset sjunker från 100 kr till 70 kr.

5 T im förbättrar sitt höjdhoppsrekord M från 125 cm till 130 cm. Med hur många procent förbättrar han sitt resultat?

6 E levantalet i en klass sjunker från 28 till M 25 elever. Med hur många procent förändras elevantalet?

c) Priset sjunker från 800 kr till 760 kr.

9 Bestäm förändringen i procent.

M a) Du får en femtedel rabatt på en jacka. b) Åskådarantalet ökar med en

fjärdedel.

C-UPPGIFTER 7 I början av säsongen består ett lag av 8 M backar och 13 mittfältare. Efter den första veckan går en back och två mittfältare med i laget. Med hur många procent ökar a) antalet backar b) antalet mittfältare c) antalet spelare i laget?

ra Labore Rita en figur i ditt häfte och färglägg i hela rutor a) 10 % b) 25 % c) 40 %.

Hur många rutor måste figuren bestå av som minst?

36

c) Deltagarantalet minskar

med hälften.

10 A nge förändringen i det talspråkliga M uttrycket i procent. a) Antalet besökare fördubblas. b) Frånvaron halveras. c) Det nya priset är två gånger större än det ursprungliga.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 11 Hur många procent är rabatten?

M

3 500 kr

−700 kr

14 I en biltidning jämförs två M Volkswagen Golf-bilar av olika årsmodell. Beräkna hur många procent bilens mått och massa har ökat. Avrunda svaret till en decimal.

Golf I

Golf VII

längd 3 705 mm

längd 4 255 mm

bredd 1 610 mm

bredd 1 799 mm

höjd 1 390 mm

höjd 1 452 mm

massa 750 kg

massa 1 205 kg

12 H ur många procent förändras priset, M då det a) sjunker från 790 kr till 150 kr

b) stiger från 890 kr till 1 050 kr

15 Bestäm förändringen i procent.

M a) Invånarantalet minskar med en fjärdedel.

b) Antalet observationer fördubblas. c) sjunker från 45 kr till 39 kr? c) Vinsten är två gånger större än den

ursprungliga.

13 E n familj konsumerar 6 800 kWh M elektricitet per år. Efter en sparkampanj minskar deras konsumtion till 6 200 kWh per år.

Hur många procent minskar familjens elkonsumtion?

16 ” Köp tre, betala för två.” Hur många MP procent är rabatten som störst?

Tips: Det är den billigaste som är gratis.

37

8 Procentuell jämförelse

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

När två värden jämförs är det ofta bra att ange storleksskillnaden i procent.

Den procentuella jämförelsen beräknas genom att differensen, alltså skillnaden divideras med det värde som jämförs med.

Hur många procent a) kortare är den rosa staven än den gröna staven b) längre är den gröna staven än den rosa staven?

Lösning:

Längdskillnaden mellan stavarna är 10 − 8 = 2 rutor. a) Vi jämför differensen 2 med talet 10. Storleksskillnaden i procent är 2 = 0,20 = 20 %.

Differensen mellan talen finns i täljaren och det tal som står efter ordet än i nämnaren.

10 b) Vi jämför differensen 2 med talet 8. Storleksskillnaden i procent är

2 = 0,25 = 25 %.

8

Resultatets storlek beror på vilket tal vi jämför differensen med.

EXEMPEL 2

Svar: a) Den rosa staven är 20 % kortare än den gröna staven. b) Den gröna staven är 25 % längre än den rosa staven.

Hur många procent större är talet 25 än talet 18?

Lösning:

Differensen mellan talen är 25 − 18 = 7.

Vi jämför differensen 7 med talet 18. Storleksskillnaden i procent är 7 = 0,388... ≈ 0,39 = 39 %.

18 Svar: Talet 25 är cirka 39 % större än talet 18.

Att jämföra procentuellt: 1. Beräkna differensen mellan talen.

2. Dividera differensen med det tal du jämför med.

3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. skillnaden = procentuell jämförelse jämförelsetalet 38

E

E-UPPGIFTER 1 H ur många procent kortare är den M gröna staven än den rosa staven?

Skillnaden är 10 – 7 = 3 3= = % 10 2 H ur många procent fler är de gröna M cirklarna än de lila?

4 H ur många procent mindre är talet 12 M jämfört med talet a) 15

15 – 12 = 3 3= = % 15 b) 16

c) 20?

5 Hur många procent M a) större är talet 45 än talet 40 3 H ur många procent större är talet 12 M jämfört med talet a) 10

12 – 10 = 2 2= = % 10 b) 8

c) 6?

b) mindre är talet 45 än talet 60?

6 Vilket tal är M a) 50 % större än talet 8

b) 10 % mindre än talet 20?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

39

REPETITION 7 Hur många procent M a) mindre är talet 40 än talet 50

9 E n kaffe kostar 19 kr och en bulle M 24 kr. Hur många procent a) billigare är kaffet än bullen b) dyrare är en kaffe och en bulle ­tillsammans än bara en kaffe?

b) större är talet 40 än talet 32

c) större är talet 40 än talet 20?

10 R iskakor av en affärs eget varumärke PK kostar 10,90 kr. En annan tillverkares riskakor kostar 13,50 kr. Jämför priserna på så många sätt som möjligt.

8 H ur många procent mer energi är det i M en flaska hallon-/blåbärsjuice än i en flaska spenat-/äpplejuice?

Hallon-/blåbärsjuice 249 kcal/100 ml

Spenat-/äpplejuice 172 kcal/100 ml

11 E n tidningsprenumeration kostar MP 1 290 kr om du betalar allt på en gång. Om du delar upp betalningen på två tillfällen kostar det 675 kr per betalning och i fyra tillfällen 360 kr per betalning. Hur många procent billigare är det att betala hela prenumerationen på en gång än i a) två tillfällen

era Reson Hur många vägar hittar du från start (S) till mål (M), om du bara får gå rakt neråt eller snett neråt?

40

S

M

b) fyra tillfällen?

FÖRDJUPNING Ökning eller minskning?

EXEMPEL 3

Procentuell förändring kan också beräknas genom att dividera med talet som jämförs med och sedan beräkna hur mycket procenttalet skiljer sig från hundra procent.

Hur många procent mindre är talet 10 än talet 15?

Lösning:

Vi jämför talet 10 med talet 15, varpå vi får 10 = 0,666... ≈ 0,67 = 67 %.

15 100 % − 67 % = 33 % Svar: Talet 10 är cirka 33 % mindre än talet 15.

C-UPPGIFTER 12 H ur många procent mindre är talet 30 BM än talet a) 40

b) 60?

13 H ur många procent större är talet 48 BM än talet a) 42

C 14 J akob är 146 cm lång och Daniel BM 173 cm. Hur många procent a) kortare är Jakob än Daniel

b) längre är Daniel än Jakob?

15 E n läsplatta kostar 3 690 kr online och BM 4 490 kr i en affär. Hur många procent billigare är läsplattan på nätet?

c) 39?

41

9 Beräkna det ursprungliga värdet Förklara!

På samma sätt som 100 %, alltså det hela, kan beräknas kan även det ursprungliga värdet beräknas. En allmän lösningsstrategi är att ersätta det ursprungliga värdet med x och att sedan lösa ekvationen utifrån följande samband:

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel hela

eller

förändringen = procentuell förändring ursprungliga värdet

Av de totala kostnaderna för att laga en telefon går 30 % till reservdelarna.

Reservdelarna kostar 150 kr. Hur mycket kostar reparationen?

Lösning:

Vi skriver 30 % i decimalform: 30 % = 0,30.

Vi betecknar de totala reparationskostnaderna med x och bildar en ekvation utifrån det vi vet: 150 = 30% eller 150 = 0,3. x x Vi multiplicerar båda sidorna av ekvationen med x och får 150 = 0,3x.

Sedan löser vi ekvationen: 0,30 ∙ x = 150 kr.

0,30 ∙ x = 150 kr x = 150 kr 0,30 x = 500 kr

Dividera sedan båda sidorna med 0,3.

Eftersom 30 % är 150 kr, är 10 % 50 kr. Då är 100 % 500 kr.

EXEMPEL 2

Svar: Det kostar 500 kr att reparera telefonen.

Wilmer får 30 procent rabatt på ett par skor. Efter rabatten kostar skorna 805 kr. Beräkna det ursprungliga priset på skorna.

Lösning:

Eftersom Wilmer får 30 procent rabatt betalar han 70 % av det ursprungliga priset. 100 % − 30 % = 70 % Vi skriver 70 % i decimalform: 70 % = 0,70.

Vi betecknar det ursprungliga priset med x och bildar en ekvation utifrån det vi vet.

805 kr = 70 % eller 805 kr = 0,7 x x Efter multiplikation med x på båda sidorna får vi 805 = 0,7x 805 = 0,7x Dividera sedan båda 0,7 0,7 sidorna med 0,7. x = 1150 kr Svar: Det ursprungliga priset på skorna var 1 150 kr.

42

Rabatten var 0,30 ∙ 1150 kr = 345 kr.

EXEMPEL 3

Stella får 50 % lördagstillägg på sin vanliga timlön. Vilken är Stellas vanliga timlön, om hon tjänar 267 kr i timmen på lördagar?

Lösning:

Den förhöjda timlönen är 100 % + 50 % = 150 % av grundlönen.

Vi skriver 150 % i decimalform: 150 % = 1,50.

Vi betecknar den vanliga timlönen med x och bildar ekvationen utifrån det vi vet.

267 kr = 150 % eller 267 kr = 1,5 som ger 267 = 1,5x x x 267 = 1,5x 1,5 1,5

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x.

Dividera sedan båda sidorna med 1,5.

x = 178 kr Svar: Stellas vanliga timlön är 178 kr.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Av vilket tal är M

a) 50 procent 23 b) 70 procent 42

% Rea 25 set är

5700 kr

Reapärirkt på utm ran. va

c) 30 procent 36?

2 Av vilket tal är M

a) 200 procent 50 b) 300 procent 210 c) 150 procent 300?

3 P å rea får Elise 50 procent rabatt på ett M linne. Priset blir då 139,50 kr. a) Hur många procent av det ursprungliga priset måste Elise betala?

4 a) Hur många procent av cykelns M ursprungliga pris måste Sigrid betala?

b) Vad kostade cykeln innan rabatten?

b) Vilket var det ursprungliga priset?

43

5 I ris får 20 % kvällstillägg på sin timlön.

M Vilken är Iris normala timlön, då hon tjänar 144 kr i timmen under en kväll?

6 P å en lördagsrea kostar en tröja 559,20 M kr. Beräkna det ursprungliga priset på tröjan, om rabatten är 20 %.

8 J osef köper ett par byxor med M 30 procent rabatt och betalar 560 kr.

Vilket var det ursprungliga priset på byxorna?

9 S portavdelningen stod för 17 % av M en butiks försäljning under sommaren.

Vilken var butikens totala försäljning under sommaren, då sportavdelningen sålde varor för 260 000 kr?

7 E nligt en varning har en bärbar dator M 50 minuter batteritid kvar (42 %).

Hur länge kan du utifrån den här informationen använda datorn då batteriet är fulladdat?

C-UPPGIFTER 10 H ur många elever var närvarande M den första skoldagen 16/8?

Laborera

Datum Antal elever

Förändring från föregående

16/8

44

Släpp en boll från 150 centimeters höjd. a) H ur högt studsar bollen när den studsar för första gången? b) Hur högt studsar bollen när den studsar för andra gången? c) Hur många procent av 150 cm studsar bollen första gången? d) Hur många procent av höjden av första studsen studsade bollen andra gången?

−7,0 %

22/9 18/12

240

+12,0 % Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 11 Av vilket tal är M

a) 120 procent 60 b) 75 procent 36

13 O mars hyra stiger med 2,5 % och är M därefter 4 346 kr i månaden. Hur hög var hyran innan höjningen?

c) 15 procent 300?

12 Beräkna de ursprungliga priserna.

M

a)

−20 %

36 kr

14 Å ren 2005−2006 deltog 417 000 barn M och ungdomar i Finland i olika idrotts­föreningars aktiviteter. Antalet deltagande barn motsvarade 42 % av alla 3–18-åringar i landet. Hur många 3−18-åringar fanns det i Finland dessa år? Avrunda till närmsta tusental.

b)

−30 %

28,70 kr

15 A v godisbitarna i en påse är 40 % MP svarta, 35 % gula och resten röda.

Hur många godisbitar finns det sammanlagt i påsen, om det finns 35 röda godisbitar?

c)

−45 %

32,50 kr

16 L uften innehåller ungefär 21 volymMP procent syre. För att 170 gram kol ska förbrännas fullständigt krävs det 315 liter rent syre. Hur mycket luft krävs det för förbränningen?

45

10 Rabatter och prishöjningar Förklara!

Rabatter på priser brukar anges i procent. Det rabatterade priset beräknas genom att först beräkna rabatten i kronor och sedan subtrahera den från det ursprungliga priset.

Räkna!

EXEMPEL 1

Precis som rabatter anges också prisökningar i procent. Det nya priset beräknas genom att prishöjningen i kronor adderas till det ursprungliga priset.

Ett par skor kostar 1 290 kronor. Under en kampanj säljs skorna med 30 procents rabatt.

Beräkna a) rabatten i kronor b) det nedsatta priset.

Lösning: a) Rabatten är 0,30 ∙ 1 290 kr = 387 kr.

Vi kan också beräkna rabatten genom att först räkna ut hur mycket en procent motsvarar.

b) Det nedsatta priset är 1 290 kr − 387 kr = 903 kr.

EXEMPEL 2

Svar: a) Rabatten är 387 kr. b) Det nedsatta priset är 903 kr.

Hyran för en bostad är 4 600 kr/månad. Hyran ökar med 2,5 %. Beräkna a) hyreshöjningen b) den nya hyran.

Lösning: a) Hyreshöjningen är 0,025 ∙ 4 600 kr = 115 kr. b) Den nya hyran är 4 600 kr + 115 kr = 4 715 kr.

Svar: a) Hyreshöjningen är 115 kr. b) Den nya hyran är 4 715 kr/månad.

a

Diskute r Varför är det

viktigt att kunna procenträkning när du handlar? Hur många procents rabatt kan du få som mest om du köper 3 och betalar för 2 och du får den billigaste?

46

EC

E/C-UPPGIFTER 1 U ndersök priser på varor och rabatter i M en affär eller i annonser i en tidning. a) Skriv upp det normala priset, det sätt som rabatten angetts på och det nedsatta priset på minst fem varor. b) Beräkna varornas rabatt i procent.

Normalt Efter pris rabatt

150

120

4 Beräkna M

a) rabatten du får med studentkort

Rabatt i % 30 150 = 0,2 = 20 %

b) priset som betalas med studentkort.

649 kr

2 Beräkna M a) rabatten b) det nedsatta priset.

−50 %

5 Beräkna M

BOKA NU

a) 649 · 0,5 = b) 649 –

3 800 kr

=

3 M ajken får en löneförhöjning på 6,0 M procent. Beräkna hennes nya timlön, då timlönen innan löneförhöjningen var 125 kr/timme.

a) prishöjningen på 5 %

b) det förhöjda priset med 5 % efter

den 30 november.

47

6 P riset på tågbiljetter höjs med 4,0 M procent. Beräkna det nya priset för en resa som tidigare kostade 325 kr.

8 H ur många kronors rabatt får du på M varorna? Beräkna det nedsatta priset. a)

1 600 kr

−40 %

7 E n butik fyller år och erbjuder M kunderna 43 procents rabatt på alla varor. Beräkna det nya priset a) på en klocka, som kostade 1 790 kr innan rabatten

b) 900 kr

−25 %

C-UPPGIFTER b) på en vas, som kostade 750 kr innan

rabatten.

9 Vilken resväska har M a) den största rabatten i kronor b) det billigare priset efter rabatten?

1 200 kr

−25 %

1 400 kr

−30 %

Resonera

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

Av kostnaderna för att tillverka en soffa står materialet för 60 % och produktionen för 40 %. Priset på materialet stiger med 20 % och kostnaden för produktionen med 10 %. Med hur många procent ökar kostnaden för att tillverka soffan?

48

REPETITION 10 S ixten får 40 % rabatt på ett par jeans M som kostar 870 kronor. Hur mycket a) är rabatten i kronor b) kostar jeansen efter rabatten?

13 M ånadspriset för ett mobil­ M abonnemang höjsw med 2,5 procent. Hur många kronor a) stiger priset på ett abonnemang som tidigare kostade 160 kr

11 P riset på bussbiljetter höjs med 2,0 %.

M Beräkna det nya priset, då priset innan prisökningen var a) 149 kr b) 740 kr c) 842 kr.

b) är priset efter prisökningen?

14 E n resa kostade 3 490 kr/person. Inför P sportlovsperioden steg priset med 8 %. Efter säsongen sjönk priset med 10 %. Beräkna priset på resan a) under sportlovsperioden 12 Beräkna de nya priserna.

M

890 kr 1 400 kr

−10 %

−30 %

b) efter sportlovsperioden.

120 kr

−50 %

49

11 Förändringsfaktor

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

För att få fram ett värde efter en procentuell ökning eller minskning kan förändrings­faktor användas. För att få fram förändringsfaktorn vid en ökning adderas hundra procent med den procentuella ökningen och vid en minskning subtraheras den procentuella minskningen från hundra procent, till exempel: Vid en ökning med 10 %: 100 % + 10 % = 110 % = 1,1 – Förändringsfaktorn är 1,1.

Vid en minskning med 10 %: 100 % − 10 % = 90 % = 0,9 – Förändringsfaktorn är 0,9.

Maryam får 30 % rabatt på en tröja som kostar 599 kr. Beräkna det nedsatta priset.

Lösning:

Maryam får 30 % rabatt, alltså ska hon betala 100 % − 30 % = 70 % av det ursprungliga priset.

Vi uttrycker det med 70 % i decimalform, alltså 0,70.

Förändringsfaktorn är 0,70.

Det nedsatta priset är 0,70 ∙ 599 kr = 419,30 kr.

EXEMPEL 2

Svar: Det nedsatta priset är 419,30 kr.

Elevantalet på en skola ökar i genomsnitt 3 % per år.

Beräkna elevantalet om ett år, om skolan just nu har 272 elever.

Lösning:

Det nya elevantalet är 100 % + 3 % = 103 % av det ursprungliga, det vill säga det nuvarande elevantalet.

Vi skriver 103 % i decimalform: 103 % = 1,03.

Förändringsfaktorn är 1,03.

Det nya elevantalet är 1,03 ∙ 272 = 280,16 ≈ 280.

EXEMPEL 3

Svar: Om ett år är elevantalet ungefär 280 elever.

Bestäm förändringsfaktorn du ska multiplicera med, då det ursprungliga värdet a) ökar med 75 % b) minskar med 80 % c) ökar med 100 %.

Lösning och svar: a) Det ökade värdet är 100 % + 75 % = 175 % av det ursprungliga värdet.

Förändringsfaktorn är 1,75.

b) Det minskade värdet är 100 % − 80 % = 20 % av det ursprungliga värdet.

Förändringsfaktorn är 0,20.

c) Det ökade värdet är 100 % + 100 % = 200 % av det ursprungliga värdet.

Förändringsfaktorn är 2,00.

50

EC

E/C-UPPGIFTER 1 H ur många procent av det ursprungliga M priset måste betalas, om priset a) sjunker med 10 %

10 % = 100 % – b) stiger med 5 %

100 % + = c) sjunker med 30 %?

5 V ilken är förändringsfaktorn om M invånarantalet, utifrån det nuvarande, a) ökar med 5 % b) minskar med 3 % c) förblir oförändrat?

100 % – = 2 M ed vilken förändringsfaktor M multiplicerar du det ursprungliga värdet, om värdet ökar med a) 15 %

115 % =1,15

b) 50 %

150 % =

c) 3 %?

3 M ed vilken förändringsfaktor M multiplicerar du det ursprungliga priset, om priset minskar med a) 5 %

100 % –5 % =95 % =

b) 30 %

100 % –30 % =

6 P riset på bussbiljetter höjs med 5 %.

M Tidigare kostade Noels biljett 144 kr. a) Hur många procent utgör det nya biljettpriset av det ursprungliga?

c) 75 %?

4 B eräkna det förändrade priset, då det M ursprungliga priset är 1 400 kr och det a) sjunker med 20 %

b) Med vilken förändringsfaktor ska du

multiplicera det ursprungliga priset, för att få det nya priset?

100 % –20 % = 80 % 0,8 · 1400 = b) ökar med 15 % c) Beräkna biljettpriset efter

prisökningen.

c) sjunker med 90 %.

51

7 I en liten by växer invånarantalet i C-UPPGIFTER M genomsnitt med 2 % per år. Just nu bor 8 Hur många procent är förändringen, det 850 personer i byn. Hur många M och innebär den en ökning eller personer bor i byn om ett år utifrån den sänkning, om du multiplicerar det här ökningen? ursprungliga talet med förändringsfaktorn a) 1,15

1,15 – 1 =

=

%

b) 0,91 c) 1,04? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 9 N ormalpriset på en faktabok är M 348 kr. Beräkna det nedsatta priset då du får 15 procent rabatt på boken.

10 M ed vilken förändringsfaktor M multiplicerar du det ursprungliga värdet, då värdet a) ökar med 30 % b) sjunker med 50 %?

11 I nvånarantalet i en kommun minskar M med cirka 3 % per år. Uppskatta hur många invånare kommunen har om ett år om den idag har 5 250 invånare.

12 T yra strävar efter att förbättra sitt M resultat på 800 meter med 10 procent.

I föregående testlopp sprang hon på 3.00. Beräkna hur snabbt Tyra måste springa för att nå sitt mål.

13 H ur många procent är förändringen, M och är det fråga om en ökning eller en minskning, då du multiplicerar det ursprungliga värdet med förändringsfaktorn a) 2,00

b) 0,1

c) 1,00?

52

FÖRDJUPNING Flera procentuella förändringar

EXEMPEL 4

Storleken på en förändring kan beräknas i procent även om det ursprungliga värdet är okänt. Den procentuella förändringen beror inte på storleken av det ursprungliga värdet.

I november ökar besökarantalet i ett köpcentrum med 10 % och i december med ytterligare 15 %. Hur många procent ökar besökarantalet allt som allt?

Lösning:

Vi betecknar det ursprungliga besökarantalet med bokstaven a. Besökarantalet i november är 1,10 gånger så stort som det ursprungliga besökarantalet, det vill säga 1,10 ∙ a = 1,1a. Besökarantalet i december är 1,15 gånger så stort som besökarantalet i november, det vill säga 1,15 ∙ 1,1a = 1,265 ∙ a = 1,265a.

Besökarantalet i december är 1,265 gånger så stort som det ursprungliga antalet.

Svar: Besökarantalet ökade med 26,5 %.

A-UPPGIFTER 14 H ur många procent förändras talet M ,och är det fråga om en ökning eller en sänkning, då det a) först ökar med 15 % och sedan minskar med 20 %

1,15 · 0,80 =

A 15 5 0 % av produktionskostnaderna för BP en vara består av löner till arbetare.

Hur många procent stiger priset på varan, om lönekostnaderna ökar med 4,2 %? De andra kostnaderna förblir oförändrade.

b) först minskar med 5 % och sedan

ökar med 10 %

c) först minskar med 50 % och sedan

ökar med 100 %?

16 E nligt en uppskattning växer en skog BM med cirka 4 procent per år. Hur många procent växer skogen på 10 år utifrån den här uppskattningen?

era Reson Hur många procent måste sidan i en kvadrat förändras, för att kvadratens area ska a) fördubblas b) krympa till hälften?

Ange svaret med en procents noggrannhet.

53

12 Räkna med procent

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

Vid beräkning av procent är det viktigt att ta reda på vad det är som efterfrågas.

Antingen frågas det efter procent, vad en viss del av något är eller vad det hela är, alltså någon av de tre i sambandet delen/hela = andel.

På slutrean säljs skor och väskor med 35 procents rabatt i en affär.

Hur mycket kostar ett par skor för 490 kr efter rabatten?

Vi skriver 35 % i decimalform: 35 % = 0,35.

Rabatten i kronor är 0,35 ∙ 490 kr = 171,50 kr.

Priset efter rabatten är 490 kr − 171,50 kr = 318,50 kr.

EXEMPEL 2

Svar: Skorna kostar 318,50 kr efter rabatten.

Kostnaden för ett hotellrum är just nu 800 kr/natt. Kostnaden höjs med 5 %.

Hur mycket kostar det att bo på hotellet i tre nätter efter prishöjningen?

Lösning::

Den nya kostnaden är 100 % + 5 % = 105 %.

Vi skriver 105 % i decimalform: 105 % = 1,05.

Det höjda priset per natt 1,05 ∙ 800 kr = 840 kr.

Kostnaden för att bo tre nätter i hotellrummet är 3 ∙ 840 kr = 2 520 kr.

EXEMPEL 3

Svar: Efter prishöjningen kostar det 2 520 kr för tre nätter.

Priset på ett bildäck sänks vid en kampanj från 849 kr till 699 kr.

Hur många procent förändrades priset?

Lösning:

Prisförändringen är 849 kr − 699 kr = 150 kr.

Vi jämför prisförändringen med det ursprungliga priset, alltså är förändringen i procent 150 kr = 0,176... ≈ 0,18 = 18 %.

849 kr Svar: Priset förändras ungefär 18 %.

54

EXEMPEL 4

Ellinor köper en cykel som kostar 3 450 kr. Pennys cykel kostar 4 800 kr.

Hur många procent dyrare är Pennys cykel än Ellinors cykel?

Lösning:

Prisskillnaden är 4 800 kr − 3 450 kr = 1 350 kr.

Vi jämför prisskillnaden med priset på Ellinors cykel, alltså är förändringen i procent 1 350 kr = 0,391... ≈ 0,39 = 39 %.

Jämförelsepriset är priset på Ellinors cykel.

3 450 kr Svar: Pennys cykel är ungefär 39 % dyrare än Ellinors cykel.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 a) Hur många procent av priset på M väskan betalar du efter rabatten?

100 % – % = % b) Hur mycket kostar väskan efter

rabatten?

3 H ur många procent sänks priset på M datorn?

5 900 kr

−1000 kr

0,3·1190 = kr 1190 – = kr 1 190 kr

−30 %

2 Priset på en biobiljett höjs med 4,0 %.

M a) Hur många kronor dyrare blir biljetten som kostar 125 kr?

4 A licia är 172 cm lång och Liam M 185 cm. Hur många procent kortare är Alicia än Liam?

0,04 ·125 = b) Beräkna biljettpriset efter

prishöjningen.

55

5 I skola A går 480 elever och i skola B M 620 elever. Hur många procent fler elever går i skola B jämfört med skola A?

6 P riset på taxiresor höjs med 1,5 %.

M Beräkna det nya priset på en taxiresa som innan prisökningen kostade 246 kr.

8 V incent har som mål att förbättra sitt M resultat på 100 meter löpning med 5 procent. Beräkna Vincents mål, om hans nuvarande tid är 14,2 s.

C-UPPGIFTER 9 E tt 10-gångers kort till en simhall kostar 400 kr och en enkelbiljett 55 kr.

Hur många procent billigare är 10-kortet än enkelbiljetten?

MP

7 K ajsa fick 17 av 24 poäng på det första M provet och 20 av 24 poäng på det andra.

Hur många procent bättre blev poängen?

Öva mer – E Öva mer – E/C

nera o s e R Av den totala tillverkningskostnaden för en vara är materialkostnaden 70 % och produktionskostnaden är 30 %. Hur många procent och i vilken riktning förändras tillverkningskostnaden då materialkostnaden a) stiger med 10 % och produktionskostnaden stiger med 20 % b) sjunker med 10 % och produktionskostnaden sjunker med 20 % c) stiger med 10 % samtidigt som produktionskostnaden sjunker med 20 % d) stiger med 10 % samtidigt som produktionskostnaden sjunker med 15 %?

56

Öva mer – C

REPETITION 10 D u får en rabatt på 200 kr på jeans.

M Hur många procent är rabatten, om normalpriset för jeansen är

14 Hur många procent M a) minskade frånvaron i period 2

200

a) 390 kr 390 = =

b) ökade frånvaron i period 3

b) 790 kr c) förändrades frånvaron från period

c) 1 090 kr?

11 F ilips månadslön höjs med 1,7 %.

M Beräkna den nya månadslönen, då Filip tjänade 31 800 kr/mån innan löneökningen.

12 B eräkna den procentuella M förändringen i procent i städerna.

Stad

Antal invånare

Ökning

Stockholm

949 761

14 142

Göteborg

564 039

7 399

Malmö

333 633

5 139

Källa: SCB (2017)

1 till period 3?

Frånvaro Frånvaro i period 1

Frånvaro i period 2

Frånvaro i period 3

52 timmar

23 timmar

52 timmar

15 I en bokhandel var det ursprungliga MP priset på en bok 259 kr. Boken såldes med 30 procents rabatt. I ett varuhus var det ursprungliga priset på samma bok 229 kr och rabatten 50 kr. Hur många procent a) förändrades priset på boken i varuhuset b) lägre var varuhusets ursprungliga

13 I december ökar försäljningen av M mobiltelefoner med 230 %. Hur många mobiltelefoner säljs i december, om det såldes 9 400 stycken i november?

pris jämfört med bokhandelns ursprungliga pris

c) dyrare är boken i bokhandeln än

i varuhuset efter rabatten?

57

13 Matematik i ekonomi Procentenhet

Räkna!

Då skillnaden mellan två storheter som angetts i procent beräknas, används ofta procentenheter. Procentenheterna är differensen mellan procenttalen.

Procenttecknet kan ses som en enhet precis som kronor.

EXEMPEL 1

Förklara!

Innan Eltons hyra höjdes gick 20 % av hans lön till hyran. Efter hyresökningen går 22 % av lönen till hyran. a) Med hur många procentenheter steg hyran? b) Med hur många procent steg hyran?

Lösning: a) 22 % − 20 % = 2 procentenheter mer.

22

Differensen är 2 procentenheter.

20

2

b) När vi jämför förändringen i den andel av lönen som går till hyran kan vi

uttrycka förändringen i procent så här: 22 % − 20 % = 2 % = 1 % = 0,10 = 10 %.

20 % 20 % 10 % 20 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Talet 2 ingår i talet 20 tio gånger.

Svar: a ) 2 procentenheter b) 10 %

Beräkna ränta

EXEMPEL 2

Om en kund sätter in pengar på banken betalar banken ränta på pengarna. Om en kund lånar pengar av banken betalar kunden ränta på de lånade pengarna.

Emma sparar 40 000 kronor i ett år med årsräntan 2,0 procent.

Hur stor är summan efter ett år, då hon tar ut sina besparingar?

Lösning:

Decimaltalet vi ska multiplicera med är 100 % + 2,0 % = 102,0 %.

Förändringsfaktorn är 1,02.

Efter ett år har besparingarna ökat till 1,02 ∙ 40 000 kr = 40 800 kr.

Svar: Emmas besparingar har ökat till 40 800 kr.

58

EXEMPEL 3

William tar ett lån på 8 000 kr för att köpa en begagnad vespa.

Lånet ska betalas av om ett halvår. Den årliga räntan på lånet är 6,5 %. Hur många kronor betalar William a) i ränta b) för lånet och räntan tillsammans?

Lösning: 1 a) Räntan för ett halvår är ∙ 0,065 ∙ 8 000 kr = 260 kr.

2 b) Räntan och lånet tillsammans är 8 000 kr + 260 kr = 8 260 kr.

Svar: a) Räntan är 260 kr. b) Lånet och räntan tillsammans är 8 260 kr.

Beräkna skatt

EXEMPEL 4

I Sverige och många andra länder betalas skola, sjukvård, tandvård m.m. med skattepengar. Alla som tjänar över en viss summa pengar betalar skatt. Hur många procent som betalas beror på lönens storlek och i vilken kommun löntagaren bor.

Lova betalar 23,0 % i skatt på sin lön. Hur mycket är hennes nettolön, det vill säga den lön som återstår efter att hon betalat skatten, då hennes ursprungliga lön (bruttolönen) är 24 803 kr?

Lösning:

Av Lovas lön återstår 100,0 % − 23,0 % = 77,0 %, vilket betyder att hennes nettolön är 0,77 ∙ 24 803 kr = 19 098,31 kr ≈ 19 098,30 kr.

Svar: Lovas nettolön är 19 098,30 kr.

59

EC

E/C-UPPGIFTER 1 D en årliga räntan för ett lån stiger från M 2,1 procent till 2,7 procent. Hur många procentenheter stiger räntan?

2,7 % – 2,1 % =

procentenheter

5 M ilton sparar 35 000 kr med räntan M 1,0 procent i ett år. Hur stor a) är den ränta som Milton får på insättningen

2 Hur många M a) procentenheter stiger marknadsandelen

26,0 %–13,0 % = procentenheter

b) procent stiger marknadsandelen?

b) är den totala summan efter ett år?

År

Marknadsandel

2012

13,0 %

2013

26,0 %

3 L eo beviljas ett lån på 100 000 kr med M räntan 2,0 %. Lånet ska betalas tillbaka inom ett år, inklusive ränta. Hur många kronor betalar Leo a) i ränta

0,02· 100 000 =

=

4 H edda betalar 18,5 procent i skatt M på sin lön. Hur mycket av sin lön på 16 820 kr a) betalar Hedda i skatt

16 820 · 0,185 =

b) blir kvar efter skatt?

16 820 – =

60

6 M oa får ett arv på 75 000 kr som hon M sätter in på banken med 1,75 % ränta.

Hur mycket pengar har hon efter a) ett år

75 000 · 1,0175 =

b) allt som allt?

100 000 +

C-UPPGIFTER

b) två år

c) tio år?

7 Hur många M a) p rocentenheter fler röster har kandidat A

8 L ovisa beviljas ett lån på 120 000 kr, M som vid den tidpunkt då lånet tas har räntan 2,8 %. Hon betalar tillbaka lånet plus räntan ett halvår efter att hon tog lånet. Hur mycket betalar Lovisa till banken efter ett halvår?

b) p rocent kan stödet för kandidat B

vara som störst, enligt mätningen?

9 V ilgot ska betala 23,0 procent i skatt av M sin lön på 23 475 kr. Han får en utbetalning på 18 456 kr i lön. Dras tillräckligt med skatt av Vilgots lön?

Kandidat

Röster

A

43,0 %

B

37,5 %

Felmarginalen är ±2,0 procentenheter. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

61

REPETITION 10 A ron betalar 24,5 % i skatt på sin M inkomst. Hur mycket blir kvar efter skatt om han tjänar 26 709 kr?

13 F rans beviljas ett lån på 80 000 kr M med räntan 2,5 %. Han betalar tillbaka lånet och räntan efter ett år.

Hur många kronor betalar Frans allt som allt till banken för sitt lån?

11 S parräntan stiger från 1,2 procent till M 1,5 procent. Hur många a) procentenheter ökar sparräntan

b) procent ökar sparräntan?

12 F reja sparar 65 000 kr på sitt sparkonto M med räntan 1,9 procent i ett år.

Hur mycket pengar kan hon ta ut efter ett år?

Resonera

62

På grund av stor efterfrågan på hotellrum höjs priset med 500 kr per natt. Senare sänks priset med 20 procent, då kostar ett rum 100 kr mer än det gjorde till en början.

Vilket var det ursprungliga rumspriset?

14 M ila beviljas ett lån på 90 000 kr med M räntan 3,2 %. Hon betalar tillbaka lånet inklusive ränta efter ett år. Hur mycket betalar Mila för sitt lån?

FÖRDJUPNING Ränta på ränta

EXEMPEL 5

Om en viss summa sätts in på banken och står kvar där i flera år, betalar banken ränta på kapitalet varje år. Det första året läggs räntan till kapitalet, och följande år ger banken ränta på det nya kapitalet som betalades ut under det första året. Detta kallas ränta på ränta.

Hedvig sparar 60 000 kr i två år med årsräntan 2,5 procent. Hur mycket pengar har Hedvig på kontot efter två år då hon bestämmer sig för att ta ut sina besparingar?

Lösning, metod 1:

Räntan för det första året är 0,025 ∙ 60 000 kr = 1 500 kr.

Efter att räntan för det första året har lagts till kapitalet är sparsumman 60 000 kr + 1 500 kr = 61 500 kr.

Räntan för det andra året är 0,025 ∙ 61 500 kr = 1 537,50 kr.

Efter att räntan för det andra året har lagts till kapitalet är sparsumman 61 500 kr + 1 537,50 kr = 63 037,50 kr.

Lösning, metod 2:

Den förändringsfaktor som motsvarar ökningen är 100 % + 2,5 % = 102,5 % = 1,025.

Efter det första året är besparingarna 1,025 ∙ 60 000 kr = 61 500 kr.

Om n år skulle Efter det andra året är besparingarna 1,025 ∙ 61 500 kr = 63 037,50 kr. besparingarna vara Svar: När Hedvig tar ut sina besparingar har de ökat till 63 037,50 kr.

C-UPPGIFTER 15 V ide sparar 45 000 kr på ett konto BM med räntan 1,8 % i två år.

Hur mycket har Vides besparingar ökat till efter två år?

1,025n ∙ 60 000 kr.

C 16 S ebastian placerar 30 000 kr i två år BM i en fond, där räntan är 2,1 % under första året och 3,0 % under det andra året. Hur mycket pengar i ränta får Sebastian under de två åren?

63

14 Matematik i kemi

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

I ämnet kemi utförs ofta beräkningar. Till exempel kan koncentrationen i en lösning beräknas om har en viss mängd av ett ämne löst i vätskan. Lösningens koncentration anger hur många procent av den totala lösningen det upplösta ämnet utgör. Koncentration anges med mass- eller volymprocent. På samma sätt bestäms halten i en blandning.

Om till exempel ett koncentrat ska spädas ut i förhållandet 1:9, ska den färdiga blandningen bestå av 1 del koncentrat och 9 delar vatten. Den färdiga blandningen innehåller 1 det vill säga 10 % av koncentratet.

10 500 gram salt blandas i 8 liter vatten. Beräkna salthalten för lösningen i massprocent. En liter vatten har massan 1 kilogram.

Lösning:

Det finns totalt 500 g + 8 ∙ 1 000 g = 8 500 g lösning.

500 g Lösningen har salthalten = 0,0588... ≈ 0,059 = 5,9 %.

8 500 g Svar: Salthalten i lösningen är ungefär 5,9 massprocent.

Woods metall är en metallegering som innehåller 44,5 % vismut, 35,5 % bly, 10,0 % kadmium och 10,0 % tenn. Hur många kilogram av varje metall behövs för att framställa 500 kilogram legering?

Lösning:

Metall

Andel

Mängd

vismut

44,5 %

0,445 ∙ 500 kg = 222,5 kg

bly

35,5 %

0,355 ∙ 500 kg = 177,5 kg

kadmium

10,0 %

0,10 ∙ 500 kg = 50,0 kg

tenn

10,0 %

0,10 ∙ 500 kg = 50,0 kg

Svar: 222,5 kg vismut, 177,5 kg bly, 50,0 kg kadmium och 50,0 kg tenn.

a

Diskute r När har du stött på matematik i NO-ämnena?

64

EC

E/C-UPPGIFTER 1 E tt koncentrat ska spädas ut M i förhållandet 1:4. Hur många procent koncentrat innehåller den färdiga blandningen?

1

% 4 = =

2 I en flaska med 100 g saltsyra, M hur många gram av innehållet a) är syra

C-UPPGIFTER 5 M ärta framställer en kopparsulfat­ M lösning genom att tillsätta 128 g kopparsulfat i 672 g vatten. a) Hur många gram kopparsulfatlösning bildas?

HCl 37 %

b) B eräkna lösningens koncentration b) är vatten?

3 V i löser ett kilogram socker i tre M kilogram vatten. a) H ur många kilogram lösning får vi allt som allt?

b) Vilken är sockerhalten i lösningen?

4 E n saltlösning består av 100 g salt och M 400 g vatten. Beräkna salthalten i lösningen.

i massprocent.

6 I oceanerna är salthalten i vattnet (i M massprocent) i genomsnitt 3,5 procent.

Hav

Salthalt (%)

Atlanten

3,3−3,7

Östersjön

0,8

Röda havet

4,1

Döda havet

26−33

Hur många gram salt innehåller 8 kilogram havsvatten, som tagits ur a) Döda havet

b) Östersjön?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

65

REPETITION 7 E tt gödselmedel ska spädas i M förhållandet 1:3. Hur många procent koncentrerad gödsel innehåller en liter lösning?

8 3 00 gram salt löses i två liter vatten.

M Beräkna salthalten i lösningen.

9 E n metallegering med namnet silumin M består av 87 % aluminium och resten kisel. 1 200 kg av legeringen fram­ställs.

Hur många kilogram behövs av a) aluminium

10 D u vill framställa 5-procentig M syralösning till ett kemikalieförråd.

Hur många gram syra behöver du, om du framställer 800 gram 5-procentig lösning?

11 D et går att lösa 20 g kopparsulfat MP i 100 gram vatten med temperaturen 10 °C. När vattnet har temperaturen 90 °C går det att lösa 70 g kopparsulfat i samma mängd. Hur många procent kopparsulfat innehåller en lösning med temperaturen a) 10 °C

b) 90 °C?

b) kisel?

66

FÖRDJUPNING Promille

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

Vid sidan om procent kan också andel av en hel anges med promille, det vill säga tusendelar. Promille används bland annat för att ange halter av olika metaller i legeringar, alkoholhalt i blodet och lutning av järnvägar.

Ett guldföremål har en stämpel med beteckningen 540 ‰.

Hur stor del av föremålets massa består av guld, i procent mätt?

Lösning och svar:

Minst 540 = 0,540 = 54 % av föremålets massa består av guld.

1000 Lutningen av en järnväg anges till 14 promille. Hur många meter stiger eller sjunker banan per kilometer?

Lösning och svar:

Banan sjunker eller stiger 14 meter per tusen meter, det vill säga per kilometer.

C-UPPGIFTER 12 E n guldring har beteckningen BM 580 ‰. Hur många gram rent guld innehåller ringen, om den väger 16,1 g?

580 = 580 ‰ = 1000

era Reson Invånarantalet i en stad ökar först med 500 invånare.

Sedan minskar invånaran­talet med 5,0 %, varefter det bor 400 invånare färre i staden än till en början.

Vilket var det ursprungliga invånarantalet i staden?

C 13 E n gammal ljusstake av silver väger M 280 g. I bottnen finns beteckningen 813, som anger att silverhalten i ljusstaken är 813 promille.

Hur många gram silver innehåller ljusstaken?

14 R ödguld är en metallegering som MP förutom guld också innehåller koppar och silver (Au 585 ‰, Cu 277 ‰ och Ag 138 ‰). Hur många gram av varje metall innehåller en ring som väger 12,4 gram?

67

15 Repetition En hel är hundra procent

Procent av en helhet

1 I en familj är andelen kvinnor 57 %.

M Hur många procent av familjemedlemmarna är män?

5 Av talet 3 800, beräkna

a) 70 %

0,7 · 3 800 =

b) 45 % c) 7 %.

Bråk i procentform

Hur mycket är 100 %?

2 Skriv bråket i procent.

M

M

6 Vilket är talet då M a) 75 % är 240

11 50 9 b) 25 18 c) 200 4 d) 5 a)

1% = 240 75 = 3,2 100 % är 100 ·3,2 = b) 90 % är 72

Från procent till decimaltal

3 Fyll i tabellen.

M

Andel

Bråk

Decimaltal

b) 35 % är 42?

11 % 31 50

0,08

Hur många procent?

4 H ur många procent av bokstäverna i M ordet utgör bokstaven A? a) MATEMATIK 2

9=

b) LAVA

68

Förändring i procent

7 E levantalet på en skola stiger från 358 till M 396 elever. Hur många procent ökar elevantalet? Ange svaret med en procents noggrannhet.

Procentuell jämförelse

Förändringsfaktor

8 I en webbutik kostar ett par skor 990 kr.

Du kan köpa dem på avbetalning och betala 108,50 kr/mån i 12 månader. Inga andra avgifter tillkommer. Hur många procent dyrare är det att köpa skorna på avbetalning än att betala för dem direkt?

11 B eräkna Ayas nya timlön, då den nu är M 120,00 kr/h och höjs med 2,5 %.

MP

Beräkna det ursprungliga värdet

9 E n stadsbiljett (20 resor) kostar 420 kr.

MP Med stadsbiljetten kostar en resa 70 % av priset på en enkelresa. Beräkna hur mycket en enkelresa kostar.

Räkna med procent

12 P å en rea är ett erbjudande: ”Ta tre, MP betala för två. Vi bjuder på den billigaste.” Idun köper en blus för 490 kr, ett par byxor för 300 kr och en tröja för 690 kr. Hur många procent billigare än normalt blir det med erbjudandet?

Matematik i ekonomi

13 S tina lånar 80 000 kr av banken.

MP Banken kräver 3,5 % ränta per år på lånet. Under det första året amorterar Stina ingenting, utan betalar enbart räntekostnaden. Hur många kronor betalar Stina i ränta under det första året?

Matematik i kemi

Rabatter och prishöjningar

10 D u får 700 kr i rabatt på en vara som M normalt kostar 3 990 kr. a) Vilket är det nedsatta priset?

b) Hur många procent är rabatten?

14 E tt mätglas innehåller 150 g vatten.

M Du löser 30 g salt i vattnet. Hur många procent salt innehåller lösningen?

Sammanfattande uppgifter

15 D et säljs samma sorts toapapper MP i förpackningar med 24 eller 40 rullar.

Hur många procent dyrare är en rulle i den mindre förpackningen, om den med 24 rullar kostar 73 kr och förpackningen med 40 rullar kostar 120 kr?

69

Sammanfattning Andelar i bråkform, decimalform och procentform 1 % = 1 = 0,01 100 1 = 0,5 = 50 % 2 1 ≈ 0,333… ≈ 33 % 3

Ental 0,

Tiondel 0

1 = 0,25 = 25 % 4 1 = 0,2 = 20 % 5

Hundradel 1

1 = 0,125 = 12,5 % 8 1 = 0,10 = 10 % 10

Hur många procent är?

Beräkning av andel i procent: delen = andel 1. Skriv andelen i bråkform. hela 2. Beräkna divisionen.

3. Skriv decimaltalet i procentform.

Hur stor är delen? delen = andel eller delen = andel ∙ det hela hela Beräkning av andelen med hjälp av procent: 1. Omvandla procent till decimalform.

2. Multiplicera decimaltalet med helheten.

Hur mycket är 100 %? delen = andel eller delen = hela hela andel Beräkning av det hela med hjälp av procent: 1. Omvandla procent till decimalform.

2. Dividera delen med andelen.

70

Förändring och jämförelse i procent Beräkna förändring i procent: 1. Beräkna hur stor förändringen är.

2. Dividera förändringen med det ursprungliga värdet.

3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. förändringen = procentuell förändring det ursprungliga värdet Att jämföra procentuellt: 1. Beräkna differensen mellan talen.

2. Dividera differensen med det tal du jämför med.

3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. skillnaden = procentuell jämförelse jämförelsetalet

Beräkna det ursprungliga värdet delen = procent förändringen eller = procentuell förändring hela ursprungliga värdet

Förändringsfaktor Vid en ökning med 10 %: 100 % + 10 % = 110 % = 1,1 – Förändringsfaktorn är 1,1.

Vid en minskning med 10 %: 100 % − 10 % = 90 % = 0,9 – Förändringsfaktorn är 0,9.

Procentenhet Procentenheterna är differensen mellan procenttalen.

Till exempel är skillnaden mellan 7 % och 3 % 4 procentenheter. Procenttecknet kan ses som en enhet precis som kronor.

Träna på begreppen Resonera mer 71

Favorit matematik 8 – Bas Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att intro­ducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential.

På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkne­exempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighets­grad och repetitionsuppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas.

I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar.

Inloggningen till den digitala delen är giltig i ett år.

Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematik­ serien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.

Art.nr 43960 Bok 1

studentlitteratur.se