15 mm
Christian Bennet och Madeleine Löwing
Christian Bennet är författare och fil.dr i teoretisk filosofi med doktorskompetens även i matematik. Madeleine Löwing är fil.dr i matematikämnets didaktik och har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och kompetensutveckling av lärare.
1 MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
| PYRAMID 1
De fyra räknesätten Bokserien Pyramid – Matematik från grunden erbjuder en ny chans att lyckas med matematik, och ger verktyg för grundläggande och fördjupad förståelse.
MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
De fyra räknesätten Christian Bennet och Madeleine Löwing
MATEMATIK FRÅN GRUNDEN De fyra räknesätten
Matematiska missförstånd från tidig inlärning kan orsaka svårigheter i många åldrar, och ytlig förståelse ger problem när matematiken bli mer komplex. Pyramid – Matematik från grunden innehåller förklarande texter för fördjupad förståelse och ett stort antal övningar. Filmer, digitala övningar och test ger ett bra komplement till teorin och övningarna i boken.
1
Böckerna i serien behandlar matematik från grundskolan, men med ett tilltal som passar målgrupperna elever i högstadiet och på gymnasiet, studerande på Komvux och folkhög skola och pedagogisk personal i fortbildning. Böckerna passar som förberedelse för hög skolestudier. Böckerna lämpar sig för dig som vill repetera, bli säkrare på grundläggande räkning och få fördjupad begreppsförståelse. Pyramid 1. Matematik från grunden – De fyra räknesätten Denna första bok i serien handlar om addition, subtraktion, multiplikation och division med talen 0, 1, 2, 3 och så vidare (de naturliga talen). Boken behandlar strategier vid huvudräkning och skriftlig räkning samt samband mellan de olika räknesätten. Räknelagarna förklaras och används som strategier vid huvudräkning.
Art.nr 43833
studentlitteratur.se
978-91-44-14524-2_01_cover.indd 1,3
2021-12-02 10:33
1 MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
De fyra räknesätten Christian Bennet och Madeleine Löwing
978-91-44-14524-2_01_book.indd 1
2021-12-03 13:45
Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Det är ett engångsmaterial och får därför, vid tillämpning av Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, överhuvudtaget inte kopieras för undervisningsändamål. Inte ens enstaka sida får kopieras, dock får enstaka fråga/övning kopieras för prov/skrivning. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Art.nr 43833 ISBN 978-91-44-14524-2 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur AB 2022 Formgivning: Johanna Szemenkar Remgard Omslagsbild: Shutterstock Foton och illustrationer: Shutterstock Bilder av pengar: Riksbanken Printed by Dimograf, Poland 2022
978-91-44-14524-2_01_book.indd 2
2021-12-03 13:45
Innehåll
Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Schema över innehållet i boken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Naturliga tal – egenskaper och begrepp. . . . . . . . . . 7 Antal och liktalighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Större än och mindre än. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Talet före och talet efter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Jämna och udda tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Hälften och dubbelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Steg längs talraden och delbarhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Likhetstecknet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Tal, siffror och räkneord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Positionssystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10 . . . 17 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Addition med 1 och 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fler additioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Subtraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Subtraktion med 1 och 2 och subtraktion med differens 1 och 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fler subtraktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Tiokamrater och talens uppbyggnad. . . . . . . . . . . . . 27 Talens uppbyggnad från 10 till 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Talens uppbyggnad från 20 till 99. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Talens uppbyggnad från 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Addition och subtraktion – tal från 10 till 19 utan tiotalsövergång. . . . . . . . . . . . 33 Addition utan tiotalsövergång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Subtraktion utan tiotalsövergång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Subtraktion där båda termerna är tvåsiffriga . . . . . . . . . . . . . 37
5. Addition och subtraktion – tal från 10 till 19 med tiotalsövergång. . . . . . . . . . . . 39 Addition med tiotalsövergång. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Subtraktion med tiotalsövergång. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Att subtrahera 9 eller 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
978-91-44-14524-2_01_book.indd 3
6. Addition och subtraktion – tal från 20 till 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Addition och subtraktion med hela tiotal. . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Subtraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Addition och subtraktion av tiotal och ental. . . . . . . . . . . . . . 48 Talens uppbyggnad med hjälp av addition. . . . . . . . . . . . . . 48 Talens uppbyggnad med hjälp av subtraktion . . . . . . . . . . . 49 Addition och subtraktion utan tiotalsövergång. . . . . . . . . . . 51 Addition utan tiotalsövergång. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Subtraktion utan tiotalsövergång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Addition och subtraktion med tiotalsövergång. . . . . . . . . . . 54 Addition med tiotalsövergång. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Subtraktion med tiotalsövergång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Differensen mellan två tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7. Multiplikation – del 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Multiplikationstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Multiplikation med 0, 1 och 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Multiplikation med 2, 3, 4 och 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Multiplikation med 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Multiplikation med 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Multiplikation med 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Multiplikation med 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8. Multiplikation – del 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Multiplikation med 6, 7, 8 och 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Multiplikation med 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Multiplikation med 7, 8 och 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Att skriva ett tal som en produkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Generaliserad multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Multiplikation av tiotal med ental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Multiplikation av två tiotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9. Division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Öppna multiplikationsutsagor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Divisionstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Division där nämnare och kvot är mindre än 10. . . . . . . . . . . 84
2021-12-03 13:45
10. Division med större tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Division där täljare och kvot är hela tiotal . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Division där nämnare och täljare är ett tiotal och kvoten ett ental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Division med 2 och 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Division som inte går jämnt upp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Den associativa lagen och division med 0. . . . . . . . . . . . . . . . 91 Division med 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Den associativa lagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11. Faktorisering och primtal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 12. Taluppfattning – addition och multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13. Taluppfattning – subtraktion och division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Subtraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14. Skriftlig addition och subtraktion. . . . . . . . . . . . . . 123 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Subtraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15. Skriftlig multiplikation och division . . . . . . . . . . . 137 Multiplikation där den ena faktorn är mindre än 10. . . . . . 138 Multiplikation med en tvåsiffrig faktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Division med liggande stolen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Kort division med nämnare mindre än 10. . . . . . . . . . . . . . 159 Kort division med nämnare större än 10. . . . . . . . . . . . . . . 163
16. Avslutning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Om andra tal än de naturliga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Att använda naturliga tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 När de naturliga talen inte räcker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Facit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
978-91-44-14524-2_01_book.indd 4
2021-12-03 13:45
Förord
I matematiken bygger du ny kunskap på det du redan kan. Det betyder att du ibland behöver gå tillbaka till tidigare avsnitt och öva mer när det behövs. Risken är annars att du inte får möjlighet att förstå det nya och att matematiken blir tråkig. Detta är en bok som vänder sig till dig som tidigare har missat en del av den grundläggande matematiken och du får här de viktiga baskunskaper som behövs. Boken handlar om talen 0, 1, 2, 3, 4 och så vidare och de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division. Du lär dig att räkna både i huvudet och skriftligt och du får möjlighet att förstå hur räkne sätten hänger ihop och hur de olika räknelagarna används när du räknar. För att förstå och ha glädje av matematik är det viktigt att du kan göra grundläggande beräkningar automatiskt, alltså utan att behöva tänka efter. Du ska direkt kunna se till exempel att 7 + 8 = 15 och att 6 · 9 = 54. Efter att du har arbetat dig igenom den här boken kan du det och en hel del mer. Då är du väl förberedd för att gå vidare i matematiken och har verktyg att använda när du löser matematiska problem. Det är viktigt att du gör alla uppgifter när de dyker upp i texten. Precis som inom idrott är det övning som ger resultat. Förutom uppgifterna i boken finns det digitala uppgifter som du kan göra. Det finns också digitala test där du kan pröva om du har förstått ett lite längre avsnitt. Inför vissa avsnitt kan du också titta på en kort film där vi som har skrivit boken beskriver innehållet. Filmer, övningar och test finns på bokens webbplats.
Eftersom boken börjar med det mest grundläggande kanske du redan behärskar en del avsnitt. Sådana avsnitt kan du läsa igenom snabbt och då kanske du bara behöver göra några uppgifter, läsa sammanfattningarna och för säkerhets skull göra de digitala test som finns efter varje kapitel. Ibland kanske du i stället har glömt hur något hänger ihop och då kan du gå tillbaka och göra fler uppgifter eller läsa de faktarutor som finns i texten. Lycka till på din resa in i matematiken!
© Författarna och Studentlitteratur
978-91-44-14524-2_01_book.indd 5
5
2021-12-03 13:45
Schema över innehållet i boken Här ser du hur olika avsnitt i boken hänger ihop. Du kan följa pilarna bakåt för att se vilka förkunskaper som behövs för de olika avsnitten. Varje ruta svarar mot ett kapitel eller avsnitt. När du är klar med hela boken kan du en hel del matematik och är redo att gå vidare till nästa bok. 1 Naturliga tal – egenskaper och begrepp
2 Addition och subtraktion med tal mindre än 10
3 Tiokamrater och talens uppbyggnad
4
5 Addition och subtraktion – Tal från 10 till 19 utan tiotalsövergång
7 Addition och subtraktion – Tal från 10 till 19 med tiotalsövergång
6
Multiplikation del 1
11 Addition och subtraktion – Tal från 20 till 100
8
12
9 Taluppfattning – Addition och multiplikation
14
13 Skriftlig addition och subtraktion
Multiplikation del 2
Faktorisering och primtal
Division
10 Taluppfattning – Subtraktion och division
Division med större tal
15 Skriftlig multiplikation och division
6
978-91-44-14524-2_01_book.indd 6
© Författarna och Studentlitteratur
2021-12-03 13:45
Kapitel 2
Addition och subtraktion med tal mindre än 10
978-91-44-14524-2_01_book.indd 17
2021-12-03 13:45
Titta på Film 2 på bokens webbplats.
Att lägga ihop antal är att addera. Om Sari har två systrar och en bror, så har hon tre syskon. Antalet systrar är 2 och antalet bröder är 1, så antalet syskon är 3. Matematiskt skriver vi 2 + 1 = 3. Om du har fyra bollar och får fem bollar till så har du nio bollar. I matematiken säger vi 4 + 5 = 9. I det här avsnittet lär du dig att addera tal som är mindre än 10. Detta är också grunden för att addera större tal och det är viktigt att du lär dig att addera automatiskt. När du är färdig med avsnittet ska du inte behöva tänka för att beräkna till exempel 2 + 7 utan du ska se direkt att 2 + 7 = 9. Det är viktigt att du behärskar talraden och att du vet vilket som är talet före och talet efter ett tal, det vill säga vet vilket tal som kommer direkt före och direkt efter ett visst tal. Att i stället dra ifrån ett antal från ett annat är att subtrahera. Om Sara har tre bollar och ger bort två så har hon en boll kvar. Antalet bollar som Sara har är 3 och antalet bollar hon ger bort är 2. Antalet bollar hon har kvar är 1. Detta kan formuleras som 3 – 2 = 1. Om du har åtta körsbär och äter upp tre så har du fem körsbär kvar, 8 – 3 = 5. I det här avsnittet lär du dig också att subtrahera ett mindre tal från ett större med tal från 1 till och med 10. Precis som för addition ska du när du är färdig med avsnittet inte behöva tänka för att beräkna till exempel 7 – 2 utan du ska se direkt att 7 – 2 = 5.
Addition 2 + 3 = 5 utläses två plus tre är lika med fem. Här är 2 och 3 termer och 5 är summan av 2 och 3.
När vi ska addera till exempel 2 och 3, skriver vi 2 + 3. Resultatet av additionen är 5, så 2 + 3 = 5. Här kallar vi 2 och 3 termer, + utläses plus och resultatet av en addition kallas summa. Summan av 2 och 3 är alltså 5. I texten nedan får du hjälp med hur du kan tänka när du adderar. Sedan ska du öva tills du kan göra beräkningarna automatiskt. Det sätt du lär dig att tänka på här kommer du att ha stor nytta av vid beräkningar med större tal.
a+0=0+a=a
Om du adderar 0 till ett tal så får du samma tal igen: 1 + 0 = 1, 2 + 0 = 2, 3 + 0 = 3 och så vidare. Lägger du till 0 föremål, alltså inga föremål alls, så ändras inte antalet. Även 0 + 0 = 0. Här följer alla additioner mellan 0 och 10 som du ska lära dig, öva och sedan kunna automatiserat. Vi börjar med addi tionerna inom markeringen. 1+1
2+1
3+1
4+1
5+1
6+1
7+1
1+2
2+2
3+2
4+2
5+2
6+2
7+2
1+3
2+3
3+3
4+3
5+3
6+3
1+4
2+4
3+4
4+4
5+4
1+5
2+5
3+5
4+5
1+6
2+6
3+6
1+7
2+7
8+1
1+8
18
978-91-44-14524-2_01_book.indd 18
2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10 | © Författarna och Studentlitteratur
2021-12-03 13:45
Addition med 1 och 2 På första raden i tabellen handlar det om att addera 1, till exempel 2 + 1, 3 + 1 och 5 + 1. Tänk här att när du adderar 1 får du talet efter i talraden. Till exempel gäller 3 + 1 = 4, eftersom 4 är ett steg från 3 och 5 + 1 = 6, eftersom 6 är ett steg från 5. Att addera 1 ger alltså talet efter i talraden.
a + 1 ger talet efter a i talraden.
Vid addition spelar det ingen roll i vilken ordning termerna står. Till exempel gäller 3 + 1 = 1 + 3 = 4. Att ha tre bollar och få en boll till ger dig samma antal som att ha en boll och få tre till. Tre bröder och två systrar är samma antal syskon som två bröder och tre systrar: 3+2=2+3=5 Att ordningen vid addition inte spelar någon roll kallas den kommutativa lagen för addition: a + b = b + a, oavsett vilka talen a och b är.
Den kommutativa lagen för addition: a+b=b+a
Den kommutativa lagen för addition innebär att det inte spelar någon roll i vilken ordning man adderar två tal: a + b = b + a, vilka tal a och b än är.
När det gäller den första kolumnen kan du alltså tänka på samma sätt som för den första raden i additionstabellen. Du kan tänka på 1 + 3 som på 3 + 1, alltså talet efter 3 i talraden: 1+3=3+1=4 I den andra raden handlar det om att addera 2, till exempel 3 + 2, 5 + 2 och 7 + 2. Att addera 2 är detsamma som att addera 1 två gånger och resultatet blir då det tal som kommer efter talet efter, det vill säga två steg efter i talraden. Talet två steg efter 3 i talraden är 5. Alltså är summan av 3 och 2 lika med 5, det vill säga 3 + 2 = 5. Tänk två tal efter i talraden. För att beräkna 7 + 2 tänker du att två steg från 7 är 9, så 7 + 2 = 9. I den andra kolumnen i additionstabellen är den första termen 2. Igen kan du använda den kommutativa lagen och byta ordning på termerna: 2+3=3+2=5 För att beräkna 2 + 6 kan du tänka på samma sätt som för 6 + 2, alltså två tal efter 6 i talraden: 2+6=6+2=8 eftersom 8 är två steg efter 6 i talraden.
© Författarna och Studentlitteratur | 2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10
978-91-44-14524-2_01_book.indd 19
19
2021-12-03 13:45
2.1 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Beräkna. a) 3 + 1 =
d) 4 + 2 =
g) 5 + 0 =
b) 3 + 2 =
e) 1 + 8 =
h) 0 + 7 =
c) 1 + 5 =
f) 1 + 1 =
i) 0 + 0 =
Fler additioner Nu återstår följande additioner: 1+1
2+1
3+1
4+1
5+1
6+1
7+1
1+2
2+2
3+2
4+2
5+2
6+2
7+2
1+3
2+3
3+3
4+3
5+3
6+3
1+4
2+4
3+4
4+4
5+4
1+5
2+5
3+5
4+5
1+6
2+6
3+6
1+7
2+7
8+1
1+8 Det är alltså ytterligare tio additioner som du ska lära dig. Två av dem innebär att dubbla: 3 + 3 är dubbelt 3 och 4 + 4 är dubbelt 4. Vi börjar med 3 + 3. Här tänker du att 3 + 3 är dubbelt så mycket som 3 och dubbelt 3 är lika med 6. Alltså gäller 3 + 3 = 6. För 3 + 4 kan du tänka att 4 = 3 + 1 och att 3 + 4 = 3 + 3 + 1. 3 + 4 är alltså talet efter 3 + 3, det vill säga talet efter 6. Alltså gäller 3 + 4 = 7. Eftersom 4 + 3 = 3 + 4 gäller också 4 + 3 = 7. Här kan du också tänka att 7 är dubbelt 3 plus 1. Du kan tänka på samma sätt för 4 + 4, att 4 + 4 är dubbelt 4, det vill säga 4 + 4 = 8. För 4 + 5 kan du tänka att detta är talet efter 4 + 4 eftersom 5 = 4 + 1. Då får du 4 + 5 = 4 + 4 + 1. Men 4 + 4 = 8 så 4 + 5 = 9 eftersom 9 är talet efter 8. Du vet att 5 + 4 = 4 + 5, så 4 + 5 = 9. Även här kan du tänka dubbelt 4 plus 1. För 3 + 6 kan du tänka att 6 = 3 + 3. Det innebär att 3 + 6 = 3 + 3 + 3 och du kan tänka i 3-steg, tre, sex, nio, och du får 3 + 6 = 9. 6 + 3 = 3 + 6 = 9. Även här kan du tänka i 3-steg. Du kan också tänka att 3 = 2 + 1 och att 6 + 3 = 6 + 2 + 1. Summan 6 + 3 är alltså talet efter 6 + 2, det vill säga talet efter 8. Alltså gäller 6 + 3 = 9.
20
978-91-44-14524-2_01_book.indd 20
2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10 | © Författarna och Studentlitteratur
2021-12-03 13:45
Nu återstår 5 + 3 och 3 + 5. Här kan du tänka att 5 + 3 är talet efter 5 + 2. Du kan också tänka att du har två grupper av föremål, fem i den ena gruppen och tre i den andra. Flyttar du ett föremål från den första gruppen till den andra har du fyra föremål i varje grupp. Tillsammans har du alltså dubbelt fyra föremål, alltså 5 + 3 = 4 + 4 = 8.
Det är ofta praktiskt att kunna dela upp tal på det sättet och för att markera hur talen hör ihop använder vi parenteser i matematiken. Här är ett exempel på det: 5 + 3 = (4 + 1) + 3 = 4 + (1 + 3) = 4 + 4 = 8 Här använder vi den associativa lagen för addition: (a + b) + c = a + (b + c). Den innebär att om du har tre tal som ska adderas så spelar det ingen roll vilka två tal du börjar med. Vi skriver mer om den associativa lagen senare.
Den associativa lagen för addition: (a + b) + c = a + (b + c)
Den associativa lagen för addition innebär att det inte spelar någon roll vilka två tal man adderar först: (a + b) + c = a + (b + c), vilka tal a, b och c än är. 2.2 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Beräkna. a) 3 + 3 =
d) 4 + 5 =
g) 3 + 5 =
b) 5 + 4 =
e) 4 + 4 =
h) 3 + 6 =
c) 3 + 6 =
f) 1 + 8 =
i) 5 + 3 =
I nästa uppgift ska du fylla i rätt tal. Vi använder uttryck av typen 2 = 1 + __, där du ska fylla i 1 på den tomma platsen så att likheten gäller. Sådana uttryck kallas ofta för öppna utsagor.
En öppen utsaga är ett uttryck av typen 3 + = 5, där en plats behöver fyllas i.
2.3 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Dela upp följande tal med hjälp av addition. a) 3 = 2 +
d) 9 = + 6
g) 0 = 0 +
b) 5 = 1 +
e) 9 = 5 +
h) 7 = 4 +
c) 6 = + 3
f) 8 = 4 +
i) 4 = + 1
© Författarna och Studentlitteratur | 2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10
978-91-44-14524-2_01_book.indd 21
21
2021-12-03 13:45
Titta på Film 3 på bokens webbplats.
Att subtrahera är att dra ifrån. 5 – 2 = 3 utläses fem minus två är lika med tre. Här är 5 och 2 termer och 3 är differensen mellan 5 och 2.
Subtraktion När vi adderar så lägger vi till. Additionen 5 + 2 innebär två mer än fem. Att subtrahera innebär i stället att dra ifrån. Subtraktionen 5 – 2, som utläses fem minus två, innebär två mindre än fem. När vi ska subtrahera 2 från 5 skriver vi alltså 5 – 2. Resultatet är 3 och vi skriver 5 – 2 = 3. Även här är 5 och 2 termer, medan resultatet kallas differens. Uttrycket 5 – 2 = 3 utläses fem minus två är lika med tre. Subtraktion är inversen till addition. Det innebär att om du först adderar ett tal och sedan subtraherar samma tal, så är du tillbaka vid det tal du började med. Adderar du 2 till 5 får du 7 och subtraherar du sedan 2 från 7 är det 5 igen, det vill säga (5 + 2) – 2 = 5. Detsamma gäller om du först subtraherar och sedan adderar samma tal. 5 minus 3 är 2 och 2 plus 3 är 5, (5 – 2) + 2 = 5. Ofta säger man dra ifrån i stället för subtrahera. Att dra 2 ifrån 5 är detsamma som att subtrahera 2 från 5.
5
–
2
=
3
I den här boken lär du dig inte att subtrahera ett större tal från ett mindre. Det beror på att differensen ska vara ett naturligt tal. Att subtrahera 3 från 4 går bra. Om du har 4 kakor och äter upp 3 så har du en kaka kvar, 4 – 3 = 1. Men vad skulle det innebära att ha 3 kakor och äta upp fyra? Senare kommer du att lära dig att subtrahera större tal från mindre och om vad det kan betyda, men då behöver du först lära dig om så kallade negativa tal. Vid subtraktion är alltså ordningen mellan termerna viktig. Subtraktionen 4 – 3 är inte densamma som 3 – 4. I texten nedan får du först hjälp med hur du kan tänka när du subtraherar. Sedan ska du öva tills du kan göra beräkningarna automatiskt. Det sätt du lär dig att tänka på kommer du att ha nytta av också vid beräkningar med större tal. Om du subtraherar 0 föremål, alltså inga föremål alls, från ett givet antal så ändras inte antalet. Du har helt enkelt kvar de föremål du hade från början: 1–0=1 2–0=2 3–0=3 och så vidare.
22
978-91-44-14524-2_01_book.indd 22
2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10 | © Författarna och Studentlitteratur
2021-12-03 13:45
Också 0 – 0 = 0. Om du i stället subtraherar ett tal från sig självt så blir resul tatet 0. Har du nio föremål och tar bort alla nio så har du noll, det vill säga inga, föremål kvar. Alltså gäller 9 – 9 = 0. Här följer alla subtraktioner mellan 0 och 10 som du ska lära dig, öva och sedan kunna utan att behöva tänka efter. Vi börjar med subtraktionerna inom markeringen. 2–1
3–1
4–1
5–1
6–1
7–1
8–1
3–2
4–2
5–2
6–2
7–2
8–2
9–2
4–3
5–3
6–3
7–3
8–3
9–3
5–4
6–4
7–4
8–4
9–4
6–5
7–5
8–5
9–5
7–6
8–6
9–6
8–7
9–7
a – 0 = a och a – a = 0
9–1
9–8
Subtraktion med 1 och 2 och subtraktion med differens 1 och 2 När det gäller första raden i tabellen handlar det om att subtrahera 1, exempelvis 3 – 1, 4 – 1 och 5 – 1. Tänk här att minus 1 ger talet före i talraden, att minska med 1 är att ta ett steg bakåt. Exempelvis gäller 3 – 1 = 2 och 5 – 1 = 4. Ett steg bakåt från 3 är 2 och ett steg bakåt från 5 är 4. Att subtrahera 1 ger alltså talet före i talraden.
a – 1 är talet före a i talraden.
I den första kolumnen är alla differenser 1: 2–1=1 3–2=1 4–3=1 och så vidare. Här kan du tänka att talen ligger bredvid varandra i talraden, det är ett steg bakåt från 3 till 2. Alltså är 3 – 2 = 1. Talen 4 och 3 ligger bredvid varandra i talraden så 4 – 3 = 1. Det är ett steg bakåt från 4 till 3. Att subtrahera 1 från ett tal ger talet före. På andra raden subtraheras 2: 3–2 4–2 5–2 och så vidare. Tänk att minus 2 ger talet två steg före i talraden. Tänk alltså att 5 – 2 = 3 eftersom 3 är två steg bakåt från 5. På samma sätt gäller 6 – 2 = 4 eftersom 4 är två steg bakåt från 6.
© Författarna och Studentlitteratur | 2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10
978-91-44-14524-2_01_book.indd 23
23
2021-12-03 13:45
I den andra kolumnen är alla differenser 2: 5–3=2 6–4=2 7–5=2 och så vidare. Tänk att talen 6 och 4 ligger nästan bredvid varandra i talraden. Det är två steg bakåt från 6 till 4, så 6 – 4 = 2. Från 5 är det också två steg bakåt till 3, så 5 – 3 = 2. 2.4 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Beräkna. a) 3 – 2 =
d) 8 – 7 =
g) 5 – 4 =
b) 5 – 1 =
e) 4 – 3 =
h) 9 – 7 =
c) 6 – 2 =
f) 9 – 1 =
i) 7 – 5 =
Lägg märke till att subtraktion och addition är inverser. Att det är två steg bakåt från 6 till 4, det vill säga att 6 – 2 = 4, svarar mot att det är två steg framåt från 4 till 6, det vill säga att 4 + 2 = 6. På samma sätt svarar 6 – 4 = 2 mot att 2 + 4 = 6. Det är 4 steg framåt från 2 till 6 och alltså 4 steg bakåt från 6 till 2. Att det är två steg bakåt från 6 till 4 svarar alltså mot att det är 4 steg bakåt från 6 till 2. 4 steg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 steg
Fler subtraktioner Nu återstår följande subtraktioner: 2–1
3–1
4–1
5–1
6–1
7–1
8–1
3–2
4–2
5–2
6–2
7–2
8–2
9–2
4–3
5–3
6–3
7–3
8–3
9–3
5–4
6–4
7–4
8–4
9–4
6–5
7–5
8–5
9–5
7–6
8–6
9–6
8–7
9–7
9–1
9–8
24
978-91-44-14524-2_01_book.indd 24
2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10 | © Författarna och Studentlitteratur
2021-12-03 13:45
Här är det enklast att tänka på att det finns ett samband mellan addition och subtraktion. Säg att du har 7 föremål. Dessa kan du gruppera på olika sätt. Du kan ha en grupp med tre föremål och en grupp med fyra. Tillsammans blir det sju föremål, det vill säga 3 + 4 = 7. Om du tar bort de tre föremålen har du fyra kvar, alltså gäller 7 – 3 = 4. Tar du i stället bort de fyra föremålen har du tre kvar, så 7 – 4 = 3.
3+4=7 Ta bort 3
7–3=4 Ta bort 4
7–4=3
7 – 4: Du har 7 och tar bort 4. Om du adderar 4 till 3 får du 7, så om du subtraherar 4 från 7 får du 3. Därför gäller 7 – 4 = 3. 9 – 4: Tänk på samma sätt som du just har lärt dig. Du har 9 och ska ta bort 4. Du vet att 4 plus 5 är 9, det vill säga 4 + 5 = 9. Alltså är 9 minus 4 lika med 5, det vill säga 9 – 4 = 5. 9 – 5: Tänk igen på samma sätt. Du har 9 och ska ta bort 5. Du vet att 5 plus 4 är 9, det vill säga 5 + 4 = 9. Alltså är 9 minus 5 lika med 4, det vill säga 9 – 5 = 4. 6 – 3: Du vet att 3 + 3 = 6. Alltså är 6 minus 3 lika med 3, det vill säga 6 – 3 = 3. Differensen mellan 6 och 3 är 3. Du kan också tänka på talraden och att avståndet från 3 till 6 är ett 3-steg. 8 – 4: Du vet att 4 + 4 = 8. Alltså är 8 minus 4 lika med 4, det vill säga 8 – 4 = 4. Differensen mellan 8 och 4 är 4. Du kan också tänka på sambandet mellan addition och subtraktion. Att 4 + 4 = 8 betyder att du får 8 genom att addera 4 till 4. Om du har 8 och tar bort 4 så har du alltså 4 kvar, det vill säga 8 – 4 = 4. 2.5 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Beräkna. a) 6 – 3 =
d) 7 – 4 =
g) 7 – 3 =
b) 9 – 5 =
e) 9 – 4 =
h) 9 – 3 =
c) 8 – 5 =
f) 8 – 3 =
i) 8 – 4 =
© Författarna och Studentlitteratur | 2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10
978-91-44-14524-2_01_book.indd 25
25
2021-12-03 13:45
2.6 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Att 4 + 3 = 7 svarar mot att 7 – 3 = 4 och mot att 7 – 4 = 3. Vilka subtraktioner svarar följande mot? a) 2 + 5 = 7 b) 6 + 3 = 9 c) 5 + 3 = 8 d) 3 + 3 = 6 e) 4 + 5 = 9 f) 2 + 2 = 4 g) 3 + 6 = 9 h) 1 + 1 = 2 i) 1 + 4 = 5 2.7 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Fyll i rätt siffra. a) 3 + = 8
d) 7 = 3 +
g) = 6 – 3
b) 4 + = 9
e) 8 = 4 +
h) + 8 = 9
c) 5 + = 8
f) 9 – 7 =
i) – 3 = 5
Sammanfattning: Addition och subtraktion med tal mindre än 10 Att addera är att lägga till och att subtrahera är att dra ifrån. Addition betecknas i matematiken med ett plustecken, +. Exempelvis gäller 3 + 2 = 5. Här är 3 och 2 termer och resultatet 5 är summan av 3 och 2. Subtraktion betecknas med ett minustecken, –. Exempelvis gäller 8 – 1 = 7. Här är 8 och 1 termer medan resultatet 7 kallas differens. För addition gäller den kommutativa lagen och den associativa lagen. Ingen av de här räknelagarna gäller för subtraktion. Efter det här kapitlet ska du kunna formulera och använda de två räknelagarna och du ska utan att behöva tänka efter, kunna addera och subtrahera tal som är mindre än 10.
TESTA DIG SJÄLV
Test 2 Öva tills du känner dig säker på kapitlets begrepp och uppgifter. Gör sedan Test 2 på bokens webbplats.
26
978-91-44-14524-2_01_book.indd 26
2. Addition och subtraktion med tal mindre än 10 | © Författarna och Studentlitteratur
2021-12-03 13:45
15 mm
Christian Bennet och Madeleine Löwing
Christian Bennet är författare och fil.dr i teoretisk filosofi med doktorskompetens även i matematik. Madeleine Löwing är fil.dr i matematikämnets didaktik och har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och kompetensutveckling av lärare.
1 MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
| PYRAMID 1
De fyra räknesätten Bokserien Pyramid – Matematik från grunden erbjuder en ny chans att lyckas med matematik, och ger verktyg för grundläggande och fördjupad förståelse.
MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
De fyra räknesätten Christian Bennet och Madeleine Löwing
MATEMATIK FRÅN GRUNDEN De fyra räknesätten
Matematiska missförstånd från tidig inlärning kan orsaka svårigheter i många åldrar, och ytlig förståelse ger problem när matematiken bli mer komplex. Pyramid – Matematik från grunden innehåller förklarande texter för fördjupad förståelse och ett stort antal övningar. Filmer, digitala övningar och test ger ett bra komplement till teorin och övningarna i boken.
1
Böckerna i serien behandlar matematik från grundskolan, men med ett tilltal som passar målgrupperna elever i högstadiet och på gymnasiet, studerande på Komvux och folkhög skola och pedagogisk personal i fortbildning. Böckerna passar som förberedelse för hög skolestudier. Böckerna lämpar sig för dig som vill repetera, bli säkrare på grundläggande räkning och få fördjupad begreppsförståelse. Pyramid 1. Matematik från grunden – De fyra räknesätten Denna första bok i serien handlar om addition, subtraktion, multiplikation och division med talen 0, 1, 2, 3 och så vidare (de naturliga talen). Boken behandlar strategier vid huvudräkning och skriftlig räkning samt samband mellan de olika räknesätten. Räknelagarna förklaras och används som strategier vid huvudräkning.
Art.nr 43833
studentlitteratur.se
978-91-44-14524-2_01_cover.indd 1,3
2021-12-02 10:33