9789144133256

15 mm

Henrik Petersson

Henrik Petersson är docent från Chalmers tekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.

Matematik 4 för basår och gymnasium Avancera II är den andra boken av två som ingår i en serie av kurslitteratur för basårets matematikundervisning. Boken motsvarar gymnasiets kurs matematik 4, och seriens första bok, Avancera I, täcker kurs 3c på gymnasiet. Denna bok bygger därmed vidare på Avancera I och matematik 3c på gymnasiet.

Matematik 4 för basår och gymnasium

| Avancera II

Avancera II

Avancera II

Den stora skillnaden mellan Avanceraserien och traditionell gymnasielitteratur är dels de längre teoriavsnitten mellan övnings­delarna, dels att framställningen är mer högskolemässig.

Böckernas syfte är att ge studenten en bra förberedelse inför högskolans matematikundervisning. Ett stort fokus ligger också på problemlösning och undersökande aktiviteter, vilket i dag präglar skolundervisningen i matematik. I materialet integreras också teknikstöd och programmering – i enlighet med rådande kursplaner på gymnasiet.

Bokserien är i första hand skriven för basårets matematikkurser, men böckerna kan med fördel även användas på motsvarande kurser på gymnasiet.

På författarens hemsida finns kompletterande övningsuppgifter. www.matterial.n.nu/avancera

Art.nr 40366

HENRIK PETERSSON studentlitteratur.se

978-91-44-13040-8_01_cover avancera 22.indd Alla sidor

2019-09-11 14:15

10 september 2019 – sida 1 – # 1

Avancera II Matematik 4 för basår och gymnasium

h enrik petersson

10 september 2019 – sida 2 – # 2

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 40366 isbn 978-91-44-13325-6 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2019 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock.com Printed by Interak, Poland 2019

10 september 2019 – sida 3 – # 3

INNEHÅLL

Förord 5

Bokens upplägg 7

KAPITEL 1

1.1 1.2 1.3

Lösningsmetodik 9

Tekniska hjälpmedel 9 Bevismetoder 18 Undersökande aktiviteter 25

KAPITEL 2

Funktioner 29

2.1 2.2 2.3

Sammansatt funktion 29 Invers funktion 37 Asymptoter 44 Asymptotbestämning för rationella funktioner 46 2.4 Undersökande aktiviteter 52 KAPITEL 3

3.1 3.2 3.3 3.4

Trigonometriska funktioner 57 Trigonometriska identiteter 66 Trigonometriska ekvationer 74 Undersökande aktiviteter 83

KAPITEL 4

4.1

Trigonometri 57

Differentialkalkyl 85

Derivator av elementära funktioner 85

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

3

10 september 2019 – sida 4 – # 4

innehåll

4.2

Deriveringsregler 93 Kedjeregeln 94 Produkt- och kvotregeln 99 4.3 Tillämpningar 107 Optimering och modellering 107 Differentialekvationer 115 4.4 Undersökande aktiviteter 121 KAPITEL 5

Integralkalkyl 125

5.1 5.2

Integralberäkning 125 Tillämpningar 134 Area- och volymberäkningar 134 Statistik 143 5.3 Undersökande aktiviteter 151 KAPITEL 6

Komplexa tal 153

6.1 6.2 6.3 6.4

Vektorer 153 Komplexa tal 161 Räkning med komplexa tal 168 Ekvationer 175 Potens- och exponentialekvationer 175 Polynomekvationer 181 6.5 Undersökande aktiviteter 188 Facit 191

Sakregister 217

4

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

10 september 2019 – sida 5 – # 5

FÖRORD

Efter flera års undervisning på högskolan har jag de senaste tio åren undervisat på gymnasienivå. Jag har här inte varit riktigt nöjd med den befintliga litteraturen, vilket har resulterat i detta bokprojekt. Min erfarenhet är att gymnasielitteraturen innehåller en hel del implicita definitioner och satsformuleringar. Begrepp lyfts inte sällan fram genom exempel, och inte i klartext, i ord. Syftet med denna mjuka ingång är, misstänker jag, att lätta upp framställningen något. Men hjälper detta verkligen läsaren – eleven eller studenten? Läsaren riskerar känna sig dum inför en problemställning, då svårigheten snarare bottnar i att begreppen vid handen är oklart formulerade än det att uppgiften i sig är svår. Det skickar dessutom fel signaler, då matematikens signum snarare bottnar i tydliga definitioner och otvetydiga utsagor. Övergången från gymnasiestudier till högskolans mer formella framställning av matematiken blir förmodligen dramatisk för många. Vidare upplever jag den befintliga gymnasielitteraturen som påtagligt ”snuttifierad”.

En traditionell gymnasiebok, för kurs 3 och 4, innehåller 50–60 övningsblock och därimellan korta teoriavsnitt på 1–3 sidor. Denna snuttifiering, som i alla fall inte passar min undervisning, gör det svårare att som lärare att koppla ihop begreppen, samt att förmedla en helhetsbild och en riktning i arbetet.

Därtill bidrar denna upphackade framställning till att det blir stressat att hinna ta sig igenom stoffet till kursens slut, då eleverna närapå drunknar i ett stort antal uppgifter mellan de korta teoriavsnitten. Å andra sidan är gymnasielitteraturen och gymnasiets matematik i större grad präglad av problemlösning och dynamiska aktiviteter, än högskolans, ibland, torra framställning (litteratur).

Jag har här försökt förena det bästa av två världar. Genom denna bokserie är min ambition att lyfta fram gymnasiets senare matematik med en något mer formel högskoleprägel, men där samtidigt problemlösning är ett © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

5

10 september 2019 – sida 6 – # 6

förord

centralt inslag. De två böckerna i serien, som täcker gymnasiets kurs 3c respektive 4, är uppbyggda med tydliga definitioner och satsformuleringar.

Satser bevisas i de fall som verktygen finns. Jag har valt teoriblock på 5–6 sidor mellan övningsdelarna, som är ett 20-tal till antalet. Genom de något längre teoridelarna placeras de begrepp som lyfts fram samtidigt in ett sammanhang. Det mindre upphackade upplägget bidrar även till att eleverna tillåts landa i ett avsnitt, i såväl teoritexten som i övningarna. Jag har satsat på kvalitet, snarare än på mängd, när det gäller uppgifter. En speciell detalj i böckerna är instuderingsuppgifter. Dessa övningar är ett försök till att få elever och studenter som läser materialet att läsa teorin på ett aktivt sätt, och inte bara dyka ner i övningarna. Instuderingsuppgifterna är insprängda i teroriavsnittet, i anslutning till exempel. En instuderingsuppgift hjälper läraren att förstå tillhörande exempel, samtidigt som exemplet vägleder för övningen.

Det här bokmaterialet tar tydligt avstamp mot högskolestudier i matematik.

Ett prioriterat tillämpningsområde är basårsundervisning, för vilket det i skrivande stund närapå saknas riktad litteratur. Jag själv kommer att använda läromedlet i min egen gymnasieundervisning, och jag hoppas att böckerna träffar rätt även hos andra lärare här.

Henrik Petersson Göteborg 2019

6

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

10 september 2019 – sida 7 – # 7

BOKENS UPPLÄGG

Detta är den andra boken i bokserien Avancera I & II. Seriens första bok motsvarar gymnasiets Matematik 3c, medan innehållet i denna bok täcker Matematik 4. Då Avancera II bygger vidare på Avancera I är det positivt, men inte nödvändigt, att ha tillgång till Avancera I vid studiet av denna bok.

Ett avsnitt om vektorer har lagts till i samband med (det relaterade begreppet) komplexa tal, då vektorbegreppet inte ingår i gymnasiets kurs 1b och 2b.

Denna, förhållandevis koncentrerade, sektion kan väljas att läsas översiktligt.

Boken innehåller flera belysande exempel. I anslutning till exempel (och resonemang) presenteras instuderingsuppgifter. Syftet med dessa övningar är att de ska stimulera läsaren att läsa texten (exemplen) på ett aktivt sätt. Instuderingsuppgifterna, som alltså är insprängda i teoritexten, kretsar kring anslutande exempel. Man kan se exemplet och tillhörande instuderingsuppgift som ett paket, där övningen hjälper läsaren att förankra förståelse från exemplet. Instuderingsuppgifterna är, i och med det vägledande exemplet, av enklare karaktär.

Ett teoriavsnitt avslutas med flera övningsuppgifter. Uppgifterna är här indelade i basövningar och problemuppgifter. Basövningarna kretsar kring mer rutinmässiga procedurer, medan problemen är av öppnare karaktär: problem helt enkelt. Repetitions- och extra övningsuppgifter, för den som så önskar, finns att hämta via bokens webbsida hos förlaget, eller direkt via www.matterial.n.nu/avancera (Även annat extramaterial för böckerna förmedlas via denna webbplats, som successivt kommer att byggas upp.) © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

7

10 september 2019 – sida 8 – # 8

bokens upplägg

Uppgifter märkta med TX är uppgifter där olika typer av tekniskt hjälpmedel är tänkta att användas som stöd. Mer precist: följande beteckningar syftar till respektive stödverktyg: TG: TD: TS: TP:

Grafritande tekniskt hjälpmedel (lämpligtvis Geogebra).

Dynamiskt tekniskt hjälpmedel (lämpligtvis Geogebra).

Symbolhanterande tekniskt hjälpmedel (lämpligtvis Wolfram Alpha eller Geogebra).

Programmeringsmiljö (lämpligtvis Python).

(Alla de rekommenderade resurerna är fritt tillgängliga.) Med TD syftar vi till tillgång till den dynamiska glidarapplikation som exempelvis Geogebra erbjuder, vilken illustreras i introduktionskapitlet. Förkortningen TG avser ett grafritande verktyg, med tillhörande applikationer för bestämning av skärningspunkter, nollställen och extrempunkter med god noggrannhet. Symbolhanterande verktyg, TS, kommer i första hand att vara aktuellt i samband med bearbetning av polynom: faktorisering, bestämning av nollställen. En miljö för att skriva och köra kod, dvs. en programmeringsmiljö TP, kan erhållas via https://repl.it.

Exemplen i boken bygger på Python, version 3. (Använder man äldre versioner, som Python 2, kan vissa anpassningar behövas göras.)

I slutet på varje kapitel finns det ett antal större problem av utredande karaktär – differentierade problem. Varje problem här är uppdelat i en sekvens av delproblem (med stegrad komplexitet) som mynnar ut i en mer öppen frågeställning, själva huvudproblemet. Syftet med de inledande delproblemen är att ge läsaren möjlighet att arbeta sig in i problemet. På detta sätt bjuds alla in i problemet, samtidigt som problemet erbjuder utmaning. Delproblemen syftar även till att exemplifiera hur komplexa problemställningar kan nystas upp i form av delproblem. Fler problem av denna karaktär och uppbyggnad finns att hämta ur boken Undersökande matematik (Studentlitteratur).

8

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

KAPITEL 1

10 september 2019 – sida 9 – # 9

Lösningsmetodik

Vi kommer här att lyfta fram olika verktyg för att lösa problem. Vi inleder med att studera tekniska hjälpmedel som resurs, både möjligheter och begränsningar. I efterföljande avnitt lyfter vi fram logiken som verktyg vid bevisföring.

1.1 Tekniska hjälpmedel Programmering underlättar omfattande prövningar.

Prövning med programmering

Exempel 1.1 Undersök möjliga par (n,m) av positiva heltal n och m sådana att m 2 + 4n = 1234.

Lösning: Eftersom n och m är positiva heltal, finns det endast ett ändligt antal möjliga talpar för vilka likheten gäller. Det följer att m måste √ vara mindre än 36, då 1234 ≈ 35,1, och n är omöjligen större än 308 eftersom 1234/4 = 308,5. En strategi är därmed att pröva likheten m 2 + 4n = 1234 för alla (n,m) sådana att 1 ≤ n ≤ 308 och 1 ≤ m ≤ 35.

Följande program gör detta, och det visar att lösning söknas: L=0 # ändrar värde om lösning existerar for n in range(1,309): ...for m in range(1,36): ......if m**2+4*n == 1234: .........print(”n=”,n,”m=”,m,”ger en lösning”) .........L=1 if L == 0 ...print(”Lösning saknas”)

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

9

10 september 2019 – sida 10 – # 10

1 lösningsmetodik

Instuderingsuppgift 1

Undersök möjliga par (n,m) av positiva heltal n och m sådana att likheten mn = 100 − 2m − n gäller. (TP) Notera hur vi i exempel 1.1 får problem om vi släpper kravet på att heltalen n och m är positiva. Då har vi inte längre ett ändligt antal fall att pröva. (I nästa sektion visar vi på hur vi kan bevisa att lösningar saknas även i detta fall.)

Programmering lämpar sig alltså väl för upprepade procedurer, som prövningar.

I exemplet lyckades vi lösa problemet, då vi uttömde alla möjliga fall. Ibland får man nöja sig med att undersöka fall, för att avfärda eller stärka en hypotes.

Vi exemplifierar.

Prövning med programmering

Exempel 1.2 Låt f (x) = x 2 + ax + b vara en andragradsfunktion med heltalskoefficienter a och b. Låt M vara det minsta heltalsvärde som f antar, och låt m vara det minsta värde som f antar i en heltalspunkt.

Undersök om m = M. Lösning: Antag först att f (x) = x 2 + 4x + 5. Kvadratkomplettering ger att f (x) = (x + 2)2 + 1. Eftersom f nu antar ett minsta värde i en heltalspunkt, x = −2, följer det att m = M = f (−2) = 1. Vi inser att då a 2 är jämnt kommer m och M vara lika, eftersom f (x) = (x + a2 )2 − a4 + b som antar minimum i en heltalspunkt x = − a2 och f (− a2 ) är ett heltal.

Vi kan därför koncentrera oss på fallet då a är udda. Antag exempelvis att f (x) = x 2 + 3x + 5. Då är 3 2 3 2 3 2 11 f (x) = (x + ) − ( ) + 5 = (x + ) + .

2 2 2 4

(1.1)

Vi har att M är det närmaste heltalet större än 11 4 , dvs. M = 3. Eftersom symmetrilinjen x = − 32 ligger mitt emellan två heltalspunkter, kommer m att antas i punkten − 32 + 12 = −1 samt i − 32 − 12 = −2. Vi finner att m = f (−1) = f (−2) = 3, så m = M.

10

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

10 september 2019 – sida 11 – # 11

1 lösningsmetodik

För att underöka fler fall kan vi tillämpa följande program (Python): import math a=int(input(”udda koefficient för x:”)) b=int(input(”konstantterm:”)) def f(x): ...y=x**2+a*x+b ...return y m=f(-a/2+1/2) # Minsta värde i en heltalspunkt M=math.ceil(f(-a/2)) # Minsta heltalsvärde print(m,M) Här har vi importerat modulen math, vilket gör att vi kan använda funktionen math.ceil(x), som ger det minsta heltalet n sådant att n ≥ x. Man kan visa att m = M för varje andragradsfunktion på formen f (x) = x 2 + ax + b.

Instuderingsuppgift 2

Undersök för vilka heltal a = 1,2,...,100 som M = m gäller för funktionen f (x) = 100x 2 + ax, där M och m definieras som i exemplet ovan. (TP) Genom modulen math erhåller vi speciellt följande funktioner: math.pi math.e math.sqrt(2) math.exp(2) math.log(2) math.fabs(2) math.sin(2) math.cos(2)

ger värdet π ger värdet e √ ger värdet 2 ger värdet e 2 ger ln 2, dvs. e-logaritmen av 2 ger ∣2∣, dvs. absolutbeloppet av 2 ger sin 2, dvs. sinusvärdet av 2 (radianer) ger cos 2, dvs. cosinusvärdet av 2 (radianer).

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

11

10 september 2019 – sida 12 – # 12

1 lösningsmetodik

På bokens webbplats www.matterial.n.nu/avancera, och även i inledningen av Avancera I, finns en introduktion i programmering (Python).

Här behandlas speciellt moduler och andra applikationer.

Vi övergår till att studera grafiska metoder.

Grafisk undersökning med grafritande hjälpmedel

Exempel 1.3 Undersök exakta rötter till ekvationen 2x 3 + 3 = x 2 + 6x.

Lösning: En strategi är här att försöka identifiera rötter grafiskt. Vi börjar med att definiera f (x) = 2x 3 − x 2 − 6x + 3, ekvationen kan då skrivas f (x) = 0. Med tekniskt hjälpmedel erhåller vi följande graf för f :

Visuellt ser det ut som att x = 12 är en exakt rot (nollställe till f ). Detta måste verifieras med beräkning, kontroll visar att f ( 12 ) verkligen är noll.

Från grafen ovan identifierar vi ytterligare två rötter, x ≈ 1,7 och x ≈ −1,7.

Här har vi svårt att fastslå exakta värden på rötterna. Men eftersom vi har en exakt rot kan Faktorsatsen tillämpas. Satsen säger att x − 12 , eller bättre, att 2x − 1 är en faktor i f (se sid. 46 för en formulering av satsen).

Vi ansätter därför (2x − 1)(x 2 + ax + b) = 2x 3 − x 2 − 6x + 3. Jämför vi konstanttermen i höger och vänster led finner vi att b = −3, som i sin tur ger att a = 0 då vi jämför koefficienten för x i de båda leden. Med andra ord är f (x) = (2x − 1)(x 2 − 3), varpå det följer att de två övriga √ √ rötterna är x = 3 och x = − 3. Detta är exakta värden.

12

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

10 september 2019 – sida 13 – # 13

1 lösningsmetodik

Instuderingsuppgift 3

Bestäm exakta rötter till ekvationen 7x 3 + 69x = 43x 2 + 9. (TG) Om vi i exempel 1.3 nöjer oss med närmevärden för rötterna, kan dessa bestämmas med god noggrannhet med grafritande hjälpmedel, såsom Geogebra; då vi utnyttjar applikationens tillhörande resurser för att lokalisera skärningspunkter. På samma sätt kan extrempunkter och nollställen bestämmas med god precision. Visuella avläsningar från graf ger dålig noggrannhet.

Instuderingsuppgift 4 1 1 Funktionen f (x) = √ −√ , definierad för x > 0, har en extrempunkt.

5 3 x x Bestäm denna extrempunkt med tre korrekta decimaler. (TG)

Det finns två viktiga aspekter då det gäller grafiska metoder vid funktionsstudier. Den ena, som vi berört, är att vi på detta sätt aldrig kan vara säkra på att rötter eller extrempunkter som vi erhåller är exakta. Det andra är att då vi aldrig kan fånga hela grafen för en funktion på en skärm, kan man behöva komplettera med teoretiska resonemang kring; varför avlästa rötter är de enda möjliga eller; varför ett lokalt maximum (minimum) verkligen också är ett globalt maximum (minimum). I exempel 1.3 ovan vet vi att ekvationen har högst tre rötter. Eftersom vi bestämmer tre, är dessa de enda möjliga. Vi påminner om följande teoretiska verktyg från Avancera I: Sats 1.4 (Satsen om mellanliggande värden) Antag att f är kontinuerlig på intervallet [a,b]. Om m är ett tal mellan f (a) och f (b) så finns en punkt s på [a,b] sådan att f (s) = m.

Sats 1.5 (Växande och avtagande) Antag att f är deriverbar på intervallet (a,b). Om f ′ är positiv (negativ) på (a,b) så är f strängt växande (avtagande) på (a,b), dvs. f (x 2 ) är större (mindre) än f (x 1 ) då a < x 1 < x 2 < b.

(Intervallbeteckningarna (a,b) och [a,b], som introducerades i Avancera I, förklaras även på sidan 29.) Då f är kontinuerlig på [a,b], ger sats 1.4 att om f (a) och f (b) har olika tecken så har f minst ett nollställe på (a,b). Om f är deriverbar på (a,b), ger sats 1.5 att om f ′ har samma tecken på (a,b) så har f högst ett nollställe på (a,b). © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

13

10 september 2019 – sida 14 – # 14

1 lösningsmetodik

Grafisk undersökning med dynamiskt hjälpmedel

Exempel 1.6 Undersök värden på konstanten a för vilka funktionen f (x) = ax + e −x har precis ett nollställe.

Lösning: Detta problem kan vi undersöka med stöd av dynamiskt hjälpmedel. Vi introducerar då en glidare a, och ritar sedan grafen för f (x) = ax + e −x . Genom att variera värdena på a erhåller vi, visuellt, att f har precis ett nollställe för ett värde a ≈ 2,7, se figur 1.1(a).

Vidare pekar undersökningen på att a < 0 borde ge ett nollställe, se figur 1.1(b). Vi kan nu ställa oss följande frågor: (i) hur vet vi att inga andra nollställen existerar utanför skärmfönstret, för våra värden på a (a ≈ 2,7 och a < 0)? (ii) finns det möjligtvis fler värden på a då vi har precis ett nollställe?

Vi kan omöjligen täcka alla värden på a med en glidarvariation.

Om vi kompletterar med beräkningar finner vi att om a < 0 så är f ′ (x) = a − e −x negativt för alla x. Det innebär, enligt sats 1.5, att vi har högst ett nollställe, för negativa värden på a. Men f (0) = 1 och eftersom e −x ≈ 0 för stora x är f (s) < 0 för något positivt (stort) tal s.

Därmed finns det ett nollställe mellan x = 0 och x = s (sats 1.4). Vi har verifierat att för negativa a har vi verkligen precis ett nollställe.

Då i stället a är positivt har derivatan f ′ (x) = a − e −x precis ett nollställe, x = − ln a. Teckenstudie visar att f ′ har teckenväxlingen − 0 + över punkten x = − ln a. Vi inser nämligen att f ′ (s) > 0 för ett tillräckligt stort tal s, medan f ′ (s) < 0 då s är stort negativt. Ett värde på a, som a ≈ 2,7, där vi har ett minimivärde f (− ln a) = 0 kommer därför garanterat vara det enda nollstället för f .

Fallet då a = 0 ger inget nollställe, eftersom e −x > 0 för alla x. Vår kompletterande undersökning visar därmed att; för alla negativa värden på a har f verkligen precis ett nollställe; för ett positivt värde på a har f precis ett nollställe om och endast om f (− ln a) = 0. (Det finns endast ett sådant positivt a, a ≈ 2,7, se instuderingsuppgift 6.)

14

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

10 september 2019 – sida 15 – # 15

1 lösningsmetodik

(a)

FIGUR 1.1

a = 2,7.

(b)

a = −0,3.

Grafen för f (x) = ax + e −x för olika värden på a, med hjälp av Geogebra.

Instuderingsuppgift 5

Undersök för vilka värden på a som olikheten x 2 + 4ax − 6a ≥ 0 gäller för alla x. (TD) I själva verket kommer a = 2,7 inte att ge precis ett nollställe för funktionen f i exempel 1.1. Det krävs nämligen att vi här erhåller ett exakt värde på a > 0, för att vi verkligen ska ha precis ett nollställe. Om vi ställer krav på noggrannhet har en glidarundersökning i regel inte tilltäckligt hög precision. En studie, med hjälp av glidare, bör ses som en undersökning för att antingen bygga hypoteser eller för att kontrollera resultat. Vi kan också ta fram (grova) uppskattningar.

Instuderingsuppgift 6

Visa att om a är positivt så har funktionen f (x) = ax + e −x i exempel 1.3 exakt ett nollställe om och endast om a = e (≈ 2,7).

Symbolhanterande verktyg, avslutningsvis, kan utföra algebraiska procedurer samt generera icke-numeriska resultat (uttryck med variabler). Ett sådant hjälpmedel kan exempelvis användas för att skriva om uttryck eller bestämma derivator och primitiver. Vi kan även få fram numeriska resultat (tal), som rötter till en ekvation, och i kraft av den symbolhanterande förmågan finns en större kapacitet att ge exakta numeriska uttryck jämfört med grafritande resurser. De flesta symbolhanterande applikationer övergår till att ge närmevärden, vid en beräkning, då rutiner för att ge exakta uttryck (arbeta symboliskt) saknas. Är detta exakta värden? och finns det fler lösningar? är därmed frågor man även måste ställa sig då vi tillämpar en symbolhanterande applikation.

Symbolhanterande verktyg är effektiva framför allt vid hantering av polynom och rationella uttryck.

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

15

10 september 2019 – sida 16 – # 16

1 lösningsmetodik

Instuderingsuppgift 7

Undersök rötter för ekvationerna 7x 3 + 69x = 43x 2 + 9 och ex + e −x = 0 (instuderingsuppgift 3 respektive 6) med symbolhanterande verktyg. (TS) Vi sammanfattar: programmering lämpar sig väl vid prövning och andra upprepade procedurer. Problem där vi endast har ett ändligt antal fall att undersöka (pröva), kan vi lösa med programmering. Även om en prövning är ändlig, kan den ta mycket lång tid med ett ineffektivt program. Med grafritande hjälpmedel kan vi bestämma närmevärden (för rötter, extempunkter, integraler etc.) med hög noggrannhet. Då vi söker exakta uttryck krävs det kompletterande beräkningar eller andra metoder. En viss studie kan krävas för att ringa in var vi, grafiskt, ska leta efter, säg, rötter, eller för att säkerställa att vi fångat samtliga sådana. Detsamma gäller vid ekvationslösning med symbolhanterande applikation. En sådan resurs har större kapacitet att ge exakta uttryck, vid numeriska beräkningar, jämfört med grafritande hjälpmedel. Dynamiska verktyg – som bygger på att vi visuellt anpassar och ställer in – ger i regel grova uppskattningar. Detta kan tillämpas för att antingen bygga hypoteser, eller kontrollera resultat.

Övningar Basövningar

1. Undersök för vilka värden på a som ekvationen x 3 + 1 = ax har (minst) en lösning i intervallet [1,2] (TD). Kan du bevisa dina observationer? x3 2. Bestäm samtliga rötter till ekvationen 1000 + x + 1000 = 0 med tre korrekta decimaler. Motivera speciellt varför rötterna är de enda möjliga. (TG) 3. Bestäm samtliga extrempunkter, med tre korrekta decimaler, för funktio4 nen f (x) = 280x − 388x 3 − 17x 2 + 210x. (TG) √ x 4. Kurvan y = e har en tangent y = ax. Uppskatta värdet på a. (TD) 5. Funktionen f (x) = 6x 3 − 77x 2 − 15x + 26 har ett heltalsnollställe. Bestäm exakta värden på samtliga nollställen. (TP,TG) 6. Låt a > 0. Ekvationen x 2 + ax + y 2 = 1 beskriver då en cirkel. Undersök a så att cirkelns radie blir just a (TD). Vilket är det exakta värdet på a?

7. Låt a = x + x1 . Uttryck a 4 − 4a 2 + 2 i variabeln x. (TS) 8. Ge exempel på fyra par (n,m) av heltal n och m sådana att punkten (n,m) tillhör grafen för andragradsfunktionen f (x) = x 2 + mx + n. (TP) 16

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

10 september 2019 – sida 17 – # 17

1 lösningsmetodik

9. Räkneregeln ”addiplikation” definieras av a ⊗ b = a ⋅ b + a + b, där a och b är vilka som helst tal. Bestäm 120 (= 1 ⊗ 1 ⊗ ... ⊗ 1, 20 ”faktorer”). (TP) 10. En rektangel har två hörn utmed de båda koordinataxlarna samt ett hörn P på kurvan y = 3/(x 2 + 2), x > 0. Bestäm koordinaterna för P, med tre korrekta decimaler, då arean för rektangeln är största möjliga. (TG)

Problem

1. Undersök värden på a och b sådana att ekvationen ∣x + a∣ + ∣x + b∣ = x saknar lösningar (TD)? Kan du bevisa dina observationer?

2. En rektangel har ett hörn på kurvan y = 1/x i första kvadranten, samt ett hörn på kurvan y = 1/x 2 i andra kvadranten. Övriga två hörn ligger utmed x-axeln, som figuren nedan illustrerar. Avgör om rektangeln har en minimal omkrets. (TG)

3. Bestäm x, med två korrekta decimaler, då f ′ (x) = 2 och f (x) = xe −x .

(TD,TS,TG) 4. Kurvan y = 3a + (a − 3)x − x 2 skär koordinataxlarna i tre olika punkter då a > 0. Undersök för vilka värden på a dessa tre skärningspunkter bildar en rätvinklig triangel (TD). Kan du bestämma a exakt?

5. Låt a = x + x1 √ . Uttryck x 5 + x15 i variabeln a. (TS) 6. Kurvan y = e x har en tangent y = ax. Bestäm a exakt. (TS,TG) 7. Låt n beteckna ett positivt heltal. Låt sedan L(n) beteckna antalet lösningar (x,y), där x och y är positiva heltal, till ekvationen 2x ⋅ 4 y = 8n .

Undersök vad som händer med L(n) för stora n, dvs. undersök gränsvärdet n L(n) limn→∞ n . (TP)

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17

15 mm

Henrik Petersson

Henrik Petersson är docent från Chalmers tekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.

Matematik 4 för basår och gymnasium Avancera II är den andra boken av två som ingår i en serie av kurslitteratur för basårets matematikundervisning. Boken motsvarar gymnasiets kurs matematik 4, och seriens första bok, Avancera I, täcker kurs 3c på gymnasiet. Denna bok bygger därmed vidare på Avancera I och matematik 3c på gymnasiet.

Matematik 4 för basår och gymnasium

| Avancera II

Avancera II

Avancera II

Den stora skillnaden mellan Avanceraserien och traditionell gymnasielitteratur är dels de längre teoriavsnitten mellan övnings­delarna, dels att framställningen är mer högskolemässig.

Böckernas syfte är att ge studenten en bra förberedelse inför högskolans matematikundervisning. Ett stort fokus ligger också på problemlösning och undersökande aktiviteter, vilket i dag präglar skolundervisningen i matematik. I materialet integreras också teknikstöd och programmering – i enlighet med rådande kursplaner på gymnasiet.

Bokserien är i första hand skriven för basårets matematikkurser, men böckerna kan med fördel även användas på motsvarande kurser på gymnasiet.

På författarens hemsida finns kompletterande övningsuppgifter. www.matterial.n.nu/avancera

Art.nr 40366

HENRIK PETERSSON studentlitteratur.se

978-91-44-13040-8_01_cover avancera 22.indd Alla sidor

2019-09-11 14:15