9789144130408

xx mm

HENRIK PETERSSON

Henrik Petersson är docent från Chalmers tekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.

Matematik 3c för basår och gymnasium Avancera I är den första boken av två som ingår i en serie av kurs­ litteratur för basårets matematikundervisning. Boken motsvarar gymnasiets kurs matematik 3c, och seriens andra bok, Avancera II, täcker kurs 4 på gymnasiet. Lämpliga förkunskaper för denna bok är därmed kurs 1 (b eller c) och kurs 2 (b eller c) på gymnasiet.

I

Den stora skillnaden mellan Avanceraserien och traditionell gymnasie­ l­itteratur är dels de längre teoriavsnitten mellan övningsdelarna, dels att framställningen är mer högskolemässig. Böckernas syfte är att ge studenten en bra förberedelse inför högskolans matematik­ undervisning. Ett stort fokus ligger också på problemlösning och undersökande aktiviteter, vilket i dag präglar skol­undervisningen i matematik. I materialet integreras också teknikstöd och program­ mering – i enlighet med rådande kursplaner på gymnasiet.

Matematik 3c för basår och gymnasium

| Avancera

Avancera I

Avancera I

Bokserien är i första hand skriven för basårets matematikkurser, men böckerna kan med fördel även användas på motsvarande kurser på gymnasiet.

På författarens hemsida finns kompletterande övningsuppgifter. www.matterial.n.nu/avancera

Art.nr 40256

HENRIK PETERSSON studentlitteratur.se

978-91-44-13040-8_01_cover_Avancera 1.indd Alla sidor

2019-01-29 13:02

23 januari 2019 – sida 2 – # 2

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 40256 isbn 978-91-44-13040-8 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2019 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock.com Printed by Interak, Poland 2019

23 januari 2019 – sida 3 – # 3

INNEHÅLL

Förord 5 Bokens upplägg 7 KAPITEL 1

Introduktion 9

1.1

Repetition 9 Bråk och rationella tal 9 Potenser 12 Logaritmer 13 Linjära funktioner 16 Andragradsfunktioner 17 1.2 Tekniska hjälpmedel 22 Programmering 22 Grafritande och symbolhanterande hjälpmedel 30 KAPITEL 2

Algebra 31

2.1

Polynom 31 Polynom och polynomfunktioner 31 Polynomekvationer och faktorisering 36 2.2 Rationella uttryck 43 Rationella uttryck och rationella funktioner 43 Rationella ekvationer 49 2.3 Absolutbelopp 53 Absolutbelopp och funktioner innehållande absolutbelopp 53 Ekvationer innehållande absolutbelopp 58 2.4 Undersökande aktiviteter 61 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

3

23 januari 2019 – sida 4 – # 4

innehåll

KAPITEL 3

Analysens begrepp 65

3.1 3.2

Funktionsbegreppet 65 Gränsvärdesbegreppet 71 Gränsvärdesberäkning för rationella funktioner 74 3.3 Kontinuitet 80 Eulers tal och den naturliga logaritmen 84 3.4 Undersökande aktiviteter 89 KAPITEL 4

Differentialkalkyl 93

4.1 4.2 4.3

Derivatans definition 93 Deriveringsregler 99 Funktionsstudie 105 Monotona och konvexa funktioner 106 Extrempunkter 113 4.4 Optimering och modellering 119 4.5 Undersökande aktiviteter 126 KAPITEL 5

5.1 5.2 5.3 5.4

Integralkalkyl 129

Definition av integral 129 Integralberäkning 135 Tillämpningar 142 Undersökande aktiviteter 150

KAPITEL 6

Trigonometri 153

6.1 6.2 6.3

Trigonometriska funktioner 153 Trigonometriska ekvationer 160 Triangelsolvering 166 Sinussatsen 167 Cosinussatsen 174 6.4 Undersökande aktiviteter 181 Facit 185 Sakregister 203

4

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

23 januari 2019 – sida 5 – # 5

FÖRORD

Efter flera års undervisning på högskolan har jag de senaste tio åren undervisat på gymnasienivå. Jag har här inte varit riktigt nöjd med den befintliga litteraturen, vilket har resulterat i detta bokprojekt. Min erfarenhet är att gymnasielitteraturen innehåller en hel del implicita definitioner och satsformuleringar. Begrepp lyfts inte sällan fram genom exempel, och inte i klartext, i ord. Syftet med denna mjuka ingång är, misstänker jag, att lätta upp framställningen något. Men hjälper detta verkligen läsaren – eleven eller studenten? Läsaren riskerar känna sig dum inför en problemställning, då svårigheten snarare bottnar i att begreppen vid handen är oklart formulerade än det att uppgiften i sig är svår. Det skickar dessutom fel signaler, då matematikens signum snarare bottnar i tydliga definitioner och otvetydiga utsagor. Övergången från gymnasiestudier till högskolans mer formella framställning av matematiken blir förmodligen dramatisk för många. Vidare upplever jag den befintliga gymnasielitteraturen som påtagligt ”snuttifierad”. En traditionell gymnasiebok, för kurs 3 och 4, innehåller 50–60 övningsblock och därimellan korta teoriavsnitt på 1–3 sidor. Denna snuttifiering, som i alla fall inte passar min undervisning, gör det svårare att som lärare att koppla ihop begreppen, att förmedla en helhetsbild och en riktning i arbetet. Därtill bidrar denna upphackade framställning till att det blir stressat att hinna ta sig igenom stoffet till kursens slut, då eleverna närapå drunknar i ett stort antal uppgifter mellan de korta teoriavsnitten. Å andra sidan är gymnasielitteraturen och gymnasiets matematik i större grad präglad av problemlösning och dynamiska aktiviteter, än högskolans, ibland, mer ”torra” framställning (litteratur).

Jag har här försökt förena det bästa av två ”världar”. Genom denna bokserie så är min ambition att lyfta fram gymnasiets senare matematik med en något mer formel högskoleprägel, men där samtidigt problemlösning är ett © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

5

23 januari 2019 – sida 6 – # 6

förord

centralt inslag. De två böckerna i serien, som täcker gymnasiets kurs 3c respektive 4, är uppbyggda med tydliga definitioner och satsformuleringar.

Satser bevisas i de fall som verktygen finns. Jag har valt teoriblock på 5–6 sidor mellan övningsdelarna, som är ett 20-tal till antalet. Genom de något längre teoridelarna placeras de begrepp som lyfts fram samtidigt in ett sammanhang. Det mindre upphackade upplägget bidrar även till att eleverna tillåts landa i ett avsnitt, i såväl teoritexten som i övningarna. Jag har satsat på kvalitet, snarare än på mängd, när det gäller uppgifter. En speciell detalj i böckerna är instuderingsuppgifter. Dessa övningar är ett försök till att få elever och studenter som läser materialet att läsa teorin på ett aktivt sätt, och inte bara dyka ner i övningarna. Instuderingsuppgifterna är insprängda i teroriavsnittet, i anslutning till exempel. En instuderingsuppgift hjälper läraren att förstå tillhörande exempel, samtidigt som exemplet vägleder för övningen.

Det här bokmaterialet tar tydligt avstamp mot högskolestudier i matematik.

Ett prioriterat tillämpningsområde är basårsundervisning, för vilket det i skrivande stund närapå saknas riktad litteratur. Jag själv kommer att använda läromedlet i min egen gymnasieundervisning, och jag hoppas att böckerna träffar rätt även hos andra lärare här.

Henrik Petersson Göteborg 2019

6

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

23 januari 2019 – sida 7 – # 7

BOKENS UPPLÄGG

Innehållet i denna bok täcker gymnasiets kurs 3c. Boken inleds med ett introduktionskapitel. I ett första avsnitt sammanfattas här centrala delar av gymnasiets kurs 1 och 2, som man bör ha med sig inför studiet av denna bok. Denna repetitionsdel kan behandlas översiktligt, om det finns skäl för det. Introduktionens andra del berör tekniska hjälpmedel. Här behandlas speciellt grunder inom programmering (där vi har valt programspråket Python som utgångspunkt). Vissa exempel och uppgifter återkopplar till sektionen (och framför allt till programmeringsavsnittet).

Boken innehåller flera belysande exempel. I anslutning till exempel (och resonemang) presenteras instuderingsuppgifter. Syftet med dessa övningar är att de ska stimulera läsaren att läsa texten (exemplen) på ett aktivt sätt. Instuderingsuppgifterna, som alltså är insprängda i teoritexten, kretsar kring anslutande exempel. Man kan se exemplet och tillhörande instuderingsuppgift som ett paket, där övningen hjälper läsaren att förankra förståelse från exemplet. Instuderingsuppgifterna är, i och med det vägledande exemplet, av enklare karaktär.

Ett teoriavsnitt avslutas med flera övningsuppgifter. Uppgifterna är här indelade i basövningar och problemuppgifter. Basövningarna kretsar kring mer rutinmässiga procedurer, medan problemen är av öppnare karaktär: problem helt enkelt. Repetitions- och extra övningsuppgifter, för den som så önskar, finns att hämta via bokens webbsida hos förlaget, eller direkt via www.matterial.n.nu/avancera (Även annat extramaterial för böckerna förmedlas via denna webbplats, som successivt kommer att byggas upp.) © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

7

23 januari 2019 – sida 8 – # 8

bokens upplägg

Uppgifter märkta med TX är uppgifter där olika typer av tekniskt hjälpmedel är tänkta att användas som stöd. Mer precist: följande beteckningar syftar till respektive stödverktyg: TG: TD: TS: TP:

Grafritande tekniskt hjälpmedel (lämpligtvis Geogebra).

Dynamiskt tekniskt hjälpmedel (lämpligtvis Geogebra).

Symbolhanterande tekniskt hjälpmedel (lämpligtvis Wolfram Alpha).

Programmeringsmiljö (lämpligtvis Python).

(Alla de rekommenderade resurerna är fritt tillgängliga.) Med TD syftar vi till tillgång till den dynamiska glidarapplikation som exempelvis Geogebra erbjuder, vilken illustreras i introduktionskapitlet. Förkortningen TG avser ett grafritande verktyg, med tillhörande applikationer för bestämning av skärningspunkter, nollställen och extrempunkter med god noggrannhet. Symbolhanterande verktyg, TS, kommer i första hand att vara aktuellt i samband med bearbetning av polynom: faktorisering, bestämning av nollställen. En miljö för att skriva och köra kod, dvs. en programmeringsmiljö TP, kan erhållas via https://repl.it.

I slutet på varje kapitel finns det ett antal större problem av utredande karaktär – differentierade problem. Varje problem här är uppdelat i en sekvens av delproblem (med stegrad komplexitet) som mynnar ut i en mer öppen frågeställning, själva huvudproblemet. Syftet med de inledande delproblemen är att ge läsaren möjlighet att arbeta sig in i problemet. På detta sätt bjuds alla in i problemet, samtidigt som problemet erbjuder utmaning. Delproblemen syftar även till att exemplifiera hur komplexa problemställningar kan nystas upp i form av delproblem. Fler problem av denna karaktär och uppbyggnad finns att hämta ur Undersökande matematik (Studentlitteratur).

8

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

KAPITEL 1

23 januari 2019 – sida 9 – # 9

Introduktion

I detta avsnitt lyfter vi fram begrepp, regler och procedurer som man bör ha med sig inför studiet av denna och efterföljande bok. Det handlar om centrala områden från gymnasiets kurs 1 och 2, men även några grunder inom programmering och tillämpning av andra digitala resurser.

1.1 Repetition BRÅK OCH RATIONELLA TAL

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) ba av två heltal a och b (där b ≠ 0). Speciellt är varje heltal a = a1 ett rationellt tal.

Följande gäller, för multiplikation och division av rationella tal: Multiplikation och division av bråk a b a b c d

⋅

c d

=

= a b

a⋅c , b⋅d

⋅ dc .

(Ovan gäller även då a, b, c eller d inte är ett heltal.) Speciellt ger den första regeln för multiplikation att a ⋅ bc = ab = ac ⋅ b, då a = a1 . Det inverterade c värdet (talet) för ett tal a ≠ 0 definieras som talet a1 (= a −1 ), och den andra regeln för division ger speciellt att det inverterade värdet för ba ges av ba .

Om a och b innehåller en gemensam heltalsfaktor k ≠ 0, dvs. a = kc och b = kd för några heltal c och d, så kan bråkuttrycket ba förkortas, enligt a kc k c c = = ⋅ = . b kd k d d © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

9

23 januari 2019 – sida 10 – # 10

1 introduktion

Som exempel är 30 3 ⋅ 10 10 2 ⋅ 5 5 = = = = .

24 3 ⋅ 8 8 2⋅4 4 Genom bråket 108 har vi förkortat 30 , men genom 45 har vi förkortat 30 så 24 24 långt det går, eftersom 5 och 4 inte innehåller några gemensamma (heltals-) faktorer andra än ±1. Faktorisering är centralt vid förkortning.

Instuderingsuppgift 1

Skriv följande som ett bråk (ett rationellt tal), förkorta så långt det går. (a)

60 72 ⋅ , 54 45

1

(b) 6 ⋅

20 ,

(c)

3

12 15

2

⋅

3 .

10

Vid addition och subtraktion av rationella tal, är grundsteget att se till så att talen får samma nämnare – vi gör liknämnigt genom att förlänga bråkuttrycken. Vi har exempelvis att 1 1 1 1 1⋅4 1⋅5 + = + = + 30 24 6 ⋅ 5 6 ⋅ 4 6 ⋅ 5 ⋅ 4 6 ⋅ 4 ⋅ 5 9 3⋅3 4+5 = = = 6⋅5⋅4 6⋅5⋅4 3⋅2⋅5⋅4 3 = .

40

(liknämnigt) (förkortar) (förenklat uttryck)

Notera att då vi gör liknämnigt, är nyckeln för att finna minsta gemensamma nämnare att faktorisera nämnarna, som vi illustrerat.

Addition av bråk

Exempel 1.1 Förenkla följande uttryck 6 ⋅

14 45

+

3 .

10

Lösning: Till att börja med är 6⋅

14 6 ⋅ 14 2 ⋅ 3 ⋅ 14 28 = = = .

45 45 3 ⋅ 15 15

Minsta gemensamma nämnare för

10

28 15

och

3 10

är 30, 30 = 2 ⋅ 15 = 3 ⋅ 10,

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

23 januari 2019 – sida 11 – # 11

1 introduktion

vilket ger oss att 6⋅

14 3 28 3 2 ⋅ 28 3 ⋅ 3 + = + = + 45 10 15 10 2 ⋅ 15 3 ⋅ 10 56 9 65 5 ⋅ 13 13 = + = = = .

30 30 30 5 ⋅ 6 6

Då bråket

13 6

inte går att förkorta mer är det vårt sökta uttryck.

Instuderingsuppgift 2

Skriv följande som ett bråk (ett rationellt tal), förkorta så långt det går. (a)

7 1 + , 20 15

1 1 1 − + , 20 30 40

(b)

(c)

1 2 1 − (1 − ) .

6 5 3

Ekvation med bråk

Exempel 1.2 Lös ekvationen

x 6

−

x 9

= 41 .

Lösning: Genom att multiplicera höger och vänster led med ett tal (positivt heltal) i vilket talen 4, 6 och 9 alla är faktorer, så kan vi ”förkorta bort” nämnarna i ekvationen. Minsta möjliga sådant tal är 36: 36 = 9 ⋅ 4 = 6 ⋅ 6 = 4 ⋅ 9. Talet 36 är helt enkelt minsta gemensamma nämnare för bråken med nämnarna 4,6,9 i ekvationen (vi säger även att 36 är minsta gemensamma multipel av talen 4,6,9). Vi har nu att x x 1 x x 1 − = ↔ 36 ⋅ ( − ) = 36 ⋅ 6 9 4 6 9 4 36x 36x 36 ↔ − = 6 9 4 ↔ 6x − 4x = 9.

Det följer att x =

9 2

är ekvationens enda lösning.

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

11

23 januari 2019 – sida 12 – # 12

1 introduktion

POTENSER

Ett uttryck på formen a b kallas för en potens, med basen a och exponenten b.

Potenser är definierade för reella exponenter b och baser a > 0. Speciellt gäller: • a 0 = 1, • a n = a ⋅ ... ⋅ a (n faktorer) då n är ett positivt heltal, √ 1 • a n , även betecknat n a, är den positiva roten till ekvationen x n = a, där √ √ n är ett positivt heltal (speciellt betecknas 2 a något enklare a), • a −x = a1x då x är vilket som helst reellt tal.

För potenser gäller följande så kallade potenslagar: Potenslagarna a x ⋅ a y = a x+y a x ⋅ b x = (ab)x (a x ) y = a x y

ax ay ax bx

= a x−y x = ( ba )

(samma bas) (samma exponent) (potens av potens)

Potenslagar

Exempel 1.3 Förenkla följande potensuttryck

15 9 ⋅5−3 .

15 6

Lösning: Potenslagarna ger att 159 ⋅ 5−3 159 −3 = 6 ⋅ 5 = 159−6 ⋅ 5−3 = 153 ⋅ 5−3 .

156 15

(1.1)

Vi kan nu skriva 153 = (3 ⋅ 5)3 = 33 ⋅ 53 . Detta ger att 153 ⋅ 5−3 = 33 ⋅ 53 ⋅ 5−3 = 33 ⋅ 53+(−3) = 33 ⋅ 50 = 33 .

15 9 ⋅5−3 15 6 3 3 −3 hade, alternativt, efter steg (1.1) kunnat skriva 15 ⋅5 = 1553

Det följer att det givna uttrycket kan förenklas till

3

= 33 = 27. (Vi = ( 155 )3 = 33 .)

3

Potenslagarna ger speciellt att 9 2 kan beräknas antingen genom att 9 2 = 1 1 3 1 (93 ) 2 = 729 2 = ..., eller, vilket blir enklare, genom att 9 2 = (9 2 )3 = 33 = 27.

12

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

23 januari 2019 – sida 13 – # 13

1 introduktion

Instuderingsuppgift 3

Förenkla följande potensuttryck (a)

28 ⋅ 124 , 24 ⋅ 34

2

(b)

8 3 ⋅ 48 , 27 ⋅ 2−4

(c)

(68 ⋅ 12−3 )2 .

542 ⋅ 183

Man kan även, på ett naturligt sätt, definiera potenser för negativa baser, förutsatt att exponenten är ett heltal. Men här gäller inte potenslagarna rätt 2 1 av, eftersom då skulle nödvändigtvis följande gälla: −1 = (−1) 2 = ((−1)2 ) 2 = 1 1 2 = 1. Vidare sätter vi 0b = 0 för b ≠ 0. Uttrycket 00 är odefinierat.

LOGARITMER

Om 0 < a ≠ 1 och b > 0 så har ekvationen a x = b en unik lösning x.

Denna lösning x betecknar vi log a b, ”a-logaritmen av b”. Vi har exempelvis att log3 9 = 2, eftersom 32 = 9. Speciellt är log a 1 = 0 för alla a, eftersom a 0 = 1 för alla a > 0. Definitionen av logaritm innebär att följande gäller, se figur 1.1: Definierande egenskaper för logaritmer a log a x = x log a a x = x

för alla x > 0, för alla x.

Logaritmen med basen a = 10 har en särställning: vi skriver lg a i stället för log10 a. I princip behöver man bara en typ av logaritm, eftersom b = a log a b = (10lg a )

log a b

= 10lg a⋅log a b

och 10lg b = b, så gäller lg b = lg a ⋅ log a b, dvs. log a b =

lg b . lg a

(1.2)

Varje logaritm kan alltså uttryckas i 10-logaritmen (eller i logaritm med avseende på vilken bas som helst). © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

13

23 januari 2019 – sida 14 – # 14

1 introduktion

FIGUR 1.1

Grafisk illustration av begreppet logaritm.

Potenslagarna ger upphov till motsvarande logaritmlagar. Som exempel ger a x ⋅ a y = a x+y att lg(x ⋅ y) = lg (10lg x ⋅ 10lg y ) = lg 10lg x+lg y = lg x + lg y, för alla x,y > 0. Utifrån övriga potenslagar får vi följande logaritmlagar:

Logaritmlagarna (uttryckta i 10-logaritmen) lg x y = lg x + lg y lg xy = lg x − lg y lg x k = k lg x

för alla x,y > 0, för alla x,y > 0, för alla k och x > 0.

Motsvarande lagar gäller även för logaritmer i annan bas (det följer av (1.2)).

Notera att om vi vill lösa ekvationen 3x = 5, så ger definitionen av logaritm att lösningen kan uttryckas x = log3 5. En tillämpning av den sista logaritmlagen ovan ger 3x = 5 ↔ lg 3x = lg 5 ↔ x lg 3 = lg 5 ↔ x =

lg 5 , lg 3

och de båda uttrycken för x är linje med (1.2).

14

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

23 januari 2019 – sida 15 – # 15

1 introduktion

Exponentialekvation

Exempel 1.4 Lös ekvationen 103x = 8.

Lösning: Enligt definitionen av logaritm så innebär 103x = 8 att 3x = lg 8. Denna omskrivning av ekvationen kan även härledas genom att vi logaritmerar höger och vänster led i ekvationen 103x = 8 enligt 103x = 8 ↔ lg 103x = lg 8 ↔ 3x = lg 8 ↔ x =

lg 8 .

3

Eftersom lg 8 = lg 23 = 3 lg 2 kan uttrycket för lösningen x kan förenklas till x = lg 2.

Instuderingsuppgift 4

Bestäm ett exakt uttryck för lösningen till ekvationen (a)

42x = 9,

(b)

8 ⋅ 2x = 5,

(c)

5 ⋅ 2x = 4 ⋅ 3x .

Logaritmekvation

Exempel 1.5 Lös ekvationen lg x 2 = 4.

Lösning: Enligt definitionen av logaritm så kan villkoret lg x 2 = 4 skrivas x 2 = 104 . Vi kan även skriva på följande sätt 2

lg x 2 = 4 ↔ 10lg x = 104 ↔ x 2 = 104 .

2 Det följer att √ ekvationen lg x = 4 har två lösningar, x 1 = och x 2 = − 104 = −100.

√

104 = 100

Vi uppmanar till viss försiktighet vid tillämpning av logaritmlagarna. Vi har exempelvis att lg x y är definierat då x och y båda är negativa, men lg x + lg y är inte definierat. Det är alltså viktigt att reflektera över om förutsättningen © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

15

23 januari 2019 – sida 16 – # 16

1 introduktion

för att tillämpa respektive logaritmlag är uppfylld. Betrakta exempelvis ekvationen lg x 2 = 4 i exempel 1.5 ovan. Vi tappar här en lösning om vi skriver om ekvationen på formen 2 lg x = 4, som har enda lösningen x = 102 = 100. Men även x = −100 är en lösning till ursprungsekvationen lg x 2 = 4. Ekvationen lg x 2 = 4 är ekvivalent med 2 lg x = 4 endast då x är positivt, enligt logaritmlagarna.

Instuderingsuppgift 5

Bestäm ett exakt uttryck för lösningen till ekvationen (a)

lg 5x = 2, (b)

lg(x + 1) + lg 2 = 0, (c)

lg 3x = 3 lg x.

LINJÄRA FUNKTIONER

En funktion f på formen f (x) = kx + m sägs vara en linjär funktion. Dess graf, dvs. en kurva med ekvationen y = kx + m, är en rät linje genom punkten (0,m) och med lutning (eller riktningskoefficient) k. Att grafen/linjen har lutningen k innebär att y2 − y1 =k x2 − x1

(1.3)

för varje par (x 1 ,y 1 ) och (x 2 ,y 2 ) av olika punkter på grafen. Med andra ord gäller att k=

f (x 2 ) − f (x 1 ) x2 − x1

(1.4)

för alla x 1 och x 2 , då f är en linjär funktion med riktningskoefficient k.

Om vi exempelvis vet att en rät linje har lutningen k = 2 och går genom punkten (1,3), tar vi enklast fram en ekvation för linjen genom att sätta upp villkoret för att x = 1 och y = 3 ska uppfylla ekvationen y = kx + m, dvs.

3 = 2 ⋅ 1 + m, vilket ger att m = 1. Linjen ges alltså av ekvationen y = 2x + 1.

16

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

23 januari 2019 – sida 17 – # 17

1 introduktion

Ekvation för rät linje

Exempel 1.6 Bestäm en ekvation för den räta linje som går genom punkterna (2,3) och (4,9).

Lösning: Vi bestämmer först linjens lutning k enligt (1.3) ovan: k=

9−3 6 = = 3.

4−2 2

Vi vet nu att lutningen k = 3 och att linjen går genom (2,3), varpå vi kan bestämma en ekvation för linjen enligt ovan. Vi väljer alltså m så att x = 2 och y = 3 uppfyller att y = 3x + m, dvs. m = −3. En ekvation för linjen är därmed y = 3x − 3.

Instuderingsuppgift 6

Ange en ekvation för linjen som går genom punkterna (2, f (2)) och (4, f (4)) på grafen för f (x) = x 2 .

Två linjer, med ekvationerna y = k 1 x+m 1 respektive y = k 2 x+m 2 , är parallella precis då k 1 = k 2 . Linjerna skär varandra under rät vinkel precis då k 1 ⋅ k 2 = −1.

ANDRAGRADSFUNKTIONER

En funktion f på formen f (x) = ax 2 + bx + c, där a ≠ 0, kallas för en andragradsfunktion. Dess graf, dvs. en kurva med ekvationen y = ax 2 + bx + c, är en parabel. Om a > 0 så antar funktionen ett minsta värde, då a < 0 antas i stället ett största värde. Motsvarande minimipunkt respektive maximipunkt kan vi bestämma genom kvadratkomplettering. Kvadratkomplettering innebär att vi skriver om uttrycket ax 2 + bx + c för f enligt ax 2 + bx + c = A(x − B)2 + C,

(1.5)

där A, B,C är konstanter. Nyckeln för denna omskrivning är kvadreringsregeln:

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17

xx mm

HENRIK PETERSSON

Henrik Petersson är docent från Chalmers tekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.

Matematik 3c för basår och gymnasium Avancera I är den första boken av två som ingår i en serie av kurs­ litteratur för basårets matematikundervisning. Boken motsvarar gymnasiets kurs matematik 3c, och seriens andra bok, Avancera II, täcker kurs 4 på gymnasiet. Lämpliga förkunskaper för denna bok är därmed kurs 1 (b eller c) och kurs 2 (b eller c) på gymnasiet.

I

Den stora skillnaden mellan Avanceraserien och traditionell gymnasie­ l­itteratur är dels de längre teoriavsnitten mellan övningsdelarna, dels att framställningen är mer högskolemässig. Böckernas syfte är att ge studenten en bra förberedelse inför högskolans matematik­ undervisning. Ett stort fokus ligger också på problemlösning och undersökande aktiviteter, vilket i dag präglar skol­undervisningen i matematik. I materialet integreras också teknikstöd och program­ mering – i enlighet med rådande kursplaner på gymnasiet.

Matematik 3c för basår och gymnasium

| Avancera

Avancera I

Avancera I

Bokserien är i första hand skriven för basårets matematikkurser, men böckerna kan med fördel även användas på motsvarande kurser på gymnasiet.

På författarens hemsida finns kompletterande övningsuppgifter. www.matterial.n.nu/avancera

Art.nr 40256

HENRIK PETERSSON studentlitteratur.se

978-91-44-13040-8_01_cover_Avancera 1.indd Alla sidor

2019-01-29 13:02