9789144116921

Omslagsmall 170 × 245

Tillämpad termodynamik

I N G VA R E K R OT H Författare Författarsson ERIC GRANRYD

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 32065 ISBN 978-91-44-11692-1 Upplaga 2:1 © Författarna och Studentlitteratur 2006, 2021 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Printed by Dimograf, Poland 2021

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Förord Energiförsörjningen är en av de viktigaste frågorna för den mänskliga civilisationen. Tekniken att skapa mekanisk energi samt värme och kyla har haft avgörande betydelse för utvecklingen fram till i dag. Globalt sett är miljömässigt och ekonomiskt sunda lösningar inom energitekniken av hög prioritet. I ett svenskt perspektiv kommer dessa frågor säkerligen vara i hög grad aktuella under lång tid framåt.

Ett syfte med boken Tillämpad termodynamik är att den ska ge erforderliga förkunskaper för djupare studier inom ämnesområden som grundas på klassisk termodynamik. Det finns även oräkneliga tillämpningar i vardagslivet. Termodynamikens lagar och principer styr en mängd fenomen i naturen. De styr även tekniska utföranden av otaliga apparater och maskiner. För att förstå många företeelser av de mest skiftande slag som uppträder i det moderna samhället behöver man termodynamiken som hjälpmedel. Bokens syfte är därför också att bidra till den tekniska allmänbildning som varje civilingenjör förutsätts besitta.

Läroboken är främst avsedd som kurslitteratur vid universitet och högskolor.

Innehållet bygger på de traditioner som inleddes på 1940-talet av professor Matts Bäckström, Kungliga Tekniska högskolan, med kompendier i Mekanisk värmeteori, och som sedan vidareutvecklades av hans efterträdare Bo Pierre.

Föreliggande bok utgör en ytterligare modernisering och utvidgning. Tidigare versioner har tryckts och utgivits av Avdelningen för Tillämpad termodynamik och kylteknik, KTH. Detta är en andra, reviderad upplaga som utges av Studentlitteratur.

Efter ett inledande introduktionsavsnitt är texten uppdelad i tolv kapitel. Där behandlas termodynamikens huvudsatser, egenskaper för ideala gaser, verkliga medier och fuktig luft samt arbetsavgivande och arbetskrävande processer, både sådana med helt gasformiga arbetsmedier och sådana där mediet även uppträder i vätskeform. Vidare ges grunder avseende mediers strömning samt värmetransporter.

Inom termodynamiken förekommer åtskilliga begrepp. För en djupare förståelse är det nödvändigt att känna till flertalet av dessa, och att kunna använda dem på ett korrekt sätt. I början kan många begrepp upplevas som abstrakta och

3

Förord

svåra att förstå. Ambitionen har varit att göra storheter och företeelser så påtagliga som möjligt, bland annat genom viktiga exemplifieringar.

Författarna har väsentligen skrivit skilda kapitel. Eric ansvarar för innehållet i det inledande avsnittet och i kapitlen 1, 2, 4 - 6 samt 10 - 12, medan Ingvar skrivit kapitlen 3 och 7 - 9.

Det datortekniska arbetet avseende typografi, layout etc. har Eric personligen utfört i det inledande avsnittet och i sina kapitel. Malin Ekroth har ombesörjt dessa göromål i Ingvars kapitel, inklusive utformningen av Innehåll, Beteckningar och Sakregister.

Uppsala och Stockholm i juni 2021 Ingvar Ekroth

44

Eric Granryd

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

I jämförelse med den närmast föregående upplagan har texten uppdaterats angående de nya definitionerna av SI-enheterna, samt utvecklingen beträffande köldmedier, men även med en rad andra kompletteringar och förtydliganden.

Vidare har vissa figurer bytts ut och några skrivfel har korrigerats. Likaså har en del typografiska ändringar genomförts och boken har delvis fått en mer strukturerad layout.

Innehåll

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Beteckningar

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7.1 2.7.2

Energiomvandlingar och termodynamik Lite historia Teorin kom efter praktiken Perpetuum mobile av olika slag Några begrepp Energistatistik

Grundbegrepp och definitioner Översikt System Tillståndsstorheter Begreppet temperatur. Temperaturskalor Måttenheter Sammanfattning

Första huvudsatsen Introduktion Arbete Definitioner Volymändringsarbete Värme Inre energi Värme och arbete är ekvivalenta Första huvudsatsen vid system med kretsprocesser Första huvudsatsen vid slutet system Tillståndsstorheten inre energi Samband

sida 13

19 19 24 26 29 32

39 39 41 42 46 49 51

53 53 53 53 55 59 60 61 63 65 65 67

5

Innehåll

2.7.5

2.8

2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.9 2.10 3

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

3.3.5

3.3.6

3.3.7

3.3.8

66

3.3.9 3.3.10

Kommentarer om reversibilitet och friktionsarbete Kommentarer om kvasistatiska tillståndsförändringar och Joules försök Formulering av första huvudsatsen med entalpibegreppet infört Första huvudsatsen vid öppna system under stationära förhållanden Energiekvationen Tekniskt arbete kontra volymändringsarbete Exempel på tillämpningar av energiekvationen Första huvudsatsen vid öppna system under instationära förhållanden Sammanfattning

Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet Ideala gaslagen Inledning Ideala gaslagen Gaskonstanten Tillståndsytan Ideala gasblandningar Inledning Mass- och molkoncentration Partialtryck och Daltons lag Partialvolym och volymskoncentration Samband mellan partialtryck och volymskoncentration Samband mellan mol- och volymskoncentration Specifik värmekapacitet Definition av 𝑐𝑐𝜈𝜈 Ideala gasers 𝑐𝑐𝜈𝜈 Definition av 𝑐𝑐𝑝𝑝

68

70

72 73 73 79 82

86 88

89 89 89 90 92 94 94 94 95 97 99 100 100 101 101 102 103

Ideala gasers 𝑐𝑐𝑝𝑝

104

Kvoten  = 𝑐𝑐𝑝𝑝 /𝑐𝑐𝜈𝜈

107

Generella samband för 𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑐𝑐𝜈𝜈 Molvärme

Verkliga värden för ideala gasers 𝑐𝑐𝑝𝑝

Medelvärden för ideala gasers värmekapacitet Tryckets inverkan på 𝑐𝑐𝑝𝑝

106 107

108

109 112

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

2.7.3 2.7.4

Innehåll

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8 3.5 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.2 4.2.1 4.2.2

4.2.3 4.3

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

Kinetisk gasteori Inledning Trycket Kinetiska gasteorins grundekvation Värmekapacitet enligt kinetiska gasteorin Molekylernas hastighet Fria medelväglängden Viskositet Värmeledningstal Sammanfattning

Processer med ideala gaser Enkla tillståndsförändringar Allmänt Isochorisk tillståndsförändring Isobarisk tillståndsförändring Isotermisk tillståndsförändring Isentropisk tillståndsförändring Polytropisk tillståndsförändring Sammansatta processer – kretsprocesser Förbränningsmotorn som exempel Kretsprocesser allmänt Värmemotorer – arbetsavgivande kretsprocesser Värmepumpar och kylanläggningar – arbetskrävande kretsprocesser Carnotcykeln Allmänt Samband Kommentarer om Carnotcykeln Sammanfattning

Andra huvudsatsen samt begreppen entropi och exergi Andra huvudsatsen Olika formuleringar av andra huvudsatsen Konsekvenser av andra huvudsatsen Entropi Definition s,T-diagrammet och termodynamisk temperatur Entropi och irreversibla förlopp

112 112 113 114 115 117 118 119 121 123

125 125 125 126 127 129 131 137 140 140 144 144

146 147 147 150 152 154

157 157 157 158 163 163 168 170

77

5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.5 5.6 5.7

Beräkning av entropin för ämnen Allmänt s,T-diagram Entalpi och inre energi i s,T-diagram Analys av tillståndsförändringar i s,T-diagram Exergi Exergi i värmemängd Exergi vid öppna system Exergi vid slutna system Exergi- och anergiflöden Entropi och sannolikhet Något om kemisk jämvikt Sammanfattning

7 7.1 7.1.1

Verkliga mediers egenskaper Tillståndsytan Ett inledande exempel: att koka vatten

6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7 6.3.8 6.3.9 6.3.10 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5

88

Kretsprocesser med gasformiga medier Allmänt Kompressorer och expansionsmaskiner (turbiner) Olika typer, kort orientering Definitioner av isentropiska verkningsgrader Arbetsavgivande kretsprocesser Allmänt Ottomotorn Dieselmotorn Blandad process Joule/Braytoncykel – den enkla gasturbincykeln Jetmotor Regenerativ gasturbincykel Ericssoncykeln Stirlingcykeln Kommentarer om olika cykler Arbetskrävande cykler Allmänt Kall-luft-cykeln eller omvänd Joule/Braytoncykel Omvänd Stirlingcykel Sammanfattning

173 173 175 176 178 181 181 183 187 188 191 194 201

203 203 204 204 207 210 210 211 216 219 221 228 230 233 237 241 243 243 244 247 249

251 251 251

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

Innehåll

7.1.2

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

7.2 7.2.1

7.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 7.3.6 7.3.7 7.4 7.5 7.5.1

7.5.2

7.5.3

7.5.4 7.5.5 7.6

8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3

Hela p,v,T-ytan Kokning och kondensation Kritiska punkten och reducerade storheter Smältning och stelning Sublimation Isotermer Tvåfasområden Fuktiga ångområdet Ångtryckskurvan Ånghalt och volymitet Ångbildningsvärme Clapeyrons ekvation Approximativa samband för ångtryckskurvan och ångbildningsvärme Smältområdet och sublimationsområdet Smältområdet Sublimationsområdet Termiska tillståndsekvationer van der Waals Redlich och Kwong Benedict, Webb och Rubin Martin och Hou Virial form Generaliserat kompressibilitetsdiagram Samband för vätskefasen Kaloriska tillståndsekvationer Ångtabeller och tillståndsdiagram Ångtabeller för mättningstillstånd

s,T-diagram s,h-diagram h,log(p)-diagram

Förenklingar för vätskefasen Sammanfattning

Ångkraftprocessen Enkel ångkraftprocess Funktionsprincip Termisk verkningsgrad Inverkan av driftparametrar

254 255 257 258 259 259 260 262 262 264 266 269

272 275 275 276 276 277 279 280 280 280 281 285 285 293 295

295

296

298 299 303

315 315 315 318 321

99

Innehåll

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5 9.1.6 9.1.7 9.2 9.2.1 9.2.2 9.3

10 10

Diskussion om exergiförluster Utvecklade ångkraftprocesser Matarvattenförvärmning Mellanöverhettning Luftförvärmning m.m.

Andra arbetsmedier Sammanfattning

Kylprocesser Kompressordriven förångningsprocess Funktionsprincip Köldfaktor Inverkan av driftparametrar Värmepumpen Köldmedier Allmänna urvalsprinciper Utvecklingstendenser Processer med underkylning Tvåstegsprocesser Enkel Lindeprocess Framställning av flytande luft Thomson-Joule-koefficienten Sammanfattning

10 Mediers strömning 10.1 Inledning 10.2 Inkompressibel strömning i rör och kanaler 10.2.1 Grundläggande samband Kontinuitetsekvationen Energiekvationen 10.2.2 Förlustfri strömning Bernoullis ekvation med tillämpningar Stagnationstryck och statiskt tryck Mätning av tryck och hastighet 10.2.3 Strömning med förluster Allmänt Samband för tryckförlusten Δ𝑝𝑝f Strömningsformer, Reynolds tal Laminär strömning i rör och kanaler

325 326 326 328 329 330 331

333 333 333 337 339 341 342 342 344 347 349 349 349 353 354

355 355 357 357 357 358 359 359 362 363 365 365 366 367 370

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

8.1.4 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.3

Innehåll

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7 10.3 10.3.1 10.3.2

Turbulent strömning i rör och kanaler Engångsförluster Flödesmätning Eulers turbinekvation Kort orientering om Navier-Stokes ekvationer Kort orientering om gränsskikt Kompressibel strömning Grundläggande samband Förlustfri strömning i munstycken Utströmningshastighet Machtal Kritiskt tryckförhållande Hugoniots ekvation Medieflöde Areaförhållandet vid de Laval-dysor v2-metoden

Förhållanden vid varierande avloppstryck Den raka kompressionsstöten 10.3.3 Kompressibel strömning i kanaler med friktion; Fannos kurvor 10.4 Sammanfattning

11 Värmetransporter 11.1 Definitioner och grundläggande samband 11.1.1 Inledning 11.1.2 Olika former av värmetransport 11.1.3 Värmegenomgång 11.1.4 Värmemotstånd och den elektriska analogin 11.2 Värmeväxlare 11.2.1 Allmänt 11.2.2 Samband för temperaturförlopp och temperaturverkningsgrad 11.2.3 Medeltemperaturdifferens 11.2.4 Regenerativa värmeväxlare 11.2.5 Orientering om transienta förlopp 11.3 Värmeledning 11.3.1 Värmeledning genom cylindriska och sfäriska väggar 11.3.2 Värmeledning i flänsar. Flänsverkningsgrad 11.3.3 Orientering om Fouriers differentialekvation

373 378 382 383 387 388 395 395 397 397 399 399 400 403 405 407 409 412

415 423

425 425 425 426 431 435 435 435

439 445 446 448 451 451 453 459

11 11

Innehåll

12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.4.1 12.4.2 12.4.3 12.5

Fuktig luft Inledning Grundläggande begrepp och samband Tillståndsdiagram för fuktig luft Exempel på användning av tillståndsdiagram för fuktig luft Daggpunkten Blandningsförlopp Kylgränsen Diffusionsförlopp med tillämpning på värmeövergång i fuktig luft 12.5.1 Inledning 12.5.2 Masstransport vid diffusion och konvektion Olika definitioner av massövergångstal Masstransport vid turbulens; Lewis samband Något om likformighetslagar för diffusionsförlopp 12.5.3 Värmeövergång i fuktig luft Diffusionsvärmeövergångstalet, 𝛼𝛼d ; Bäckströms samband Merkels ekvation 12.6 Sammanfattning Sakregister

12 12

460 460 462 462 463 471

473 477 477 479 481 481 483 486 492

493 493 493 498 502 502 502 505

507 507 508 508 509 511 515

515 518 521

523

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

11.4 Värmeövergång genom konvektion 11.4.1 Grundläggande samband 11.4.2 Värmeövergång vid påtryckt strömning Likformighetslagar Värmeövergång vid turbulent strömning i rör och kanaler Pump- eller fläkteffekt för turbulent värmeöverföring Värmeövergång vid laminär strömning i rör och kanaler 11.4.3 Värmeövergång vid egenkonvektion Likformighetslagar Samband för vertikala ytor och horisontella cylindrar 11.4.4 Värmeövergång vid kondensation och kokning Kondensation Kokning 11.5 Strålning 11.6 Sammanfattning

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet 3.1 Ideala gaslagen © F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.1.1 Inledning

3.01 Med en termisk tillståndsekvation för ett ämne avses ett samband som knyter samman jämviktsvärden för de termiska storheterna tryck p, volymitet v och temperatur T.

Trycket är som bekant den kraft dividerad med arean som mediet utövar på de, verkliga eller tänkta, omgivande väggarna. Volymiteten är mediets volym V dividerad med dess massa m, dvs. v = V/m och är alltså det inverterade värdet av densiteten 𝜌𝜌. Temperaturen T avser den absoluta temperaturen.

En termisk tillståndsekvation kan åskådliggöras som en rymdyta i ett treaxligt koordinatsystem med axlarna p, v och T. De tre aggregationstillstånden, samt övergångarna mellan dem, avbildas då som olika, sammanhängande ytor. I detta avsnitt ska vi studera den yta, eller det samband, som gäller för s.k. ideala gaser.

3.02 I en gas rör sig molekylerna relativt fritt i förhållande till varandra. Deras egenvolym är ofta liten jämfört med gasmassans volym. Krafterna mellan molekylerna kan också ofta försummas. Gasens tryck representeras av den stötverkan som uppstår då molekylerna träffar behållarens väggar. Ju tunnare gasen är desto bättre stämmer dessa approximationer, och i gränsfallet, med ett tryck som närmar sig noll, fås ideal gas.

Vid låga tryck och höga temperaturer uppför sig verkliga gaser som ideal gas. Med lågt tryck och hög temperatur menas här värden i förhållande till gasens s.k. kritiska tryck respektive kritiska temperatur, som vi återkommer till i kapitel 7. Det finns två viktiga skäl till att studera ideala gaser på detta stadium. Det ena är att luftens beståndsdelar, och därmed även luft, förbluffande väl kan beskrivas som ideala gaser inom vanliga tillämpningsområden.

Det andra skälet är att ha ett enkelt medium till förfogande för att konkret-

89

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

isera termodynamikens första och andra huvudsats. Många grundläggande egenskaper hos olika tillståndsförändringar och kretsprocesser kan illustreras relativt enkelt och överskådligt med hjälp av just ideala gaser.

3.1.2 Ideala gaslagen 3.03 Enklaste sättet att definiera begreppet ideal gas är att säga att det är en gas vars termiska tillståndsekvation lyder

(3.03)

Detta samband kallas ideala gaslagen eller allmänna tillståndslagen. Konstanten R kallas individuella gaskonstanten eller enbart gaskonstanten och antar olika värden för olika gaser. Måttenheten för R ges av enheterna för p, v och T som i SI-systemet är N/m2, m3/kg respektive K. För R blir enheten alltså

N m 3 1 = Nm/(kg·K) = J/(kg·K).   m 2 kg K

I punkterna 3.07–08 ska vi studera denna konstant, men först ska vi se något på den historiska bakgrunden till ideala gaslagen.

Ideala gaslagen utgör en sammanslagning av Boyle-Mariottes lag och Charles lag.

3.04 Boyle-Mariottes lag (år 1662 och 1676) utsäger att vid given temperatur är för en bestämd gasmassa produkten av tryck och volym en konstant, dvs. 𝑝𝑝 · 𝑉𝑉 = konstant

För två tillstånd 1 och 2, med samma temperatur, blir alltså

(3.04)

p1  V1  p2  V2 .

3.05 Charles lag (år 1787), även benämnd Gay-Lussacs första lag (år 1802), gäller vid givet tryck och lyder, för en bestämd gasmassa,

V  V0  1    t 

(3.05a)

där V är gasens volym vid temperaturen t och 𝑉𝑉0 är volymen vid t = 0 °C. Volymsutvidgningskoefficienten  har samma värde för alla (ideala) gaser.

Som medelvärde av många mätningar gäller numera, med t uttryckt i °C,

90 90

 = 0,0036610 = 1/273,15.

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

p  v  R T

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

Studeras två tillstånd 1 och 2, vid samma tryck, fås således att

V1 1    t 1 273,15  t 1 T1    V2 1    t 2 273,15  t 2 T2

varvid sambandet T/K = 273,15 + t/°C mellan absolut temperatur och Celsiustemperatur utnyttjats. Därmed får man att V = konstant T

(3.05b)

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

dvs. vid givet tryck är för en bestämd gasmassa kvoten mellan volym och absolut temperatur en konstant.

3.06 I de två studerade lagarna kan man i stället för volymen V använda volymiteten v (enklast inser man det genom att låta gasmassan omfatta en massenhet). På så sätt blir sambanden oberoende av gasmassans storlek.

Vid given temperatur gäller således att

p v = konstant

(3.06a)

v = konstant T

(3.06b)

Konstantens värde ändras givetvis om man studerar p och v vid en annan temperatur. Vid givet tryck fås att

där den uppträdande konstantens värde blir tryckberoende. I båda sambanden är vidare konstantens värde olika för olika gaser. Dessa samband står var för sig i överensstämmelse med ideala gaslagen.

Av ideala gaslagen, p · v = R · T, framgår även att vid fixerad gaskonstant R och given volymitet blir p = konstant T

(3.06c)

Det sambandet brukar kallas Gay-Lussacs lag (år 1802), kort och gott.

För att bestämma värdet på gaskonstanten R för olika gaser behövs även Avogadros lag samt kännedom om experimentella mätresultat. Det behandlas i punkt 3.08.

91 91

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.1.3 Gaskonstanten 3.07 Med v = 𝑉𝑉/𝑚𝑚 kan ideala gaslagen, p · v = R · T, skrivas 𝑝𝑝 · 𝑉𝑉 = 𝑚𝑚 · 𝑅𝑅 · 𝑇𝑇

(3.07a)

I vissa sammanhang, kanske främst inom kemin, vill man dock hellre basera beräkningarna på substansmängden i stället för massan. Med substansmängd N avses här det antal molekyler som massan m innehåller. Vid vanliga tillämpningar är detta antal ofantligt stort. Därför anger man substansmängden i enheten mol.

En mol innehåller det antal molekyler som ges av Avogadros tal 𝑁𝑁𝐴𝐴 . Med de nya definitionerna i SI-systemet, enligt punkt 1.18, har 𝑁𝑁𝐴𝐴 fixerats till exakt 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 6,022 140 76 · 1023 per mol (där den bakomliggande tanken är att efterlikna den tidigare, klassiska definitionen, nämligen antalet atomer i 12 gram kol-12, 12C). Eftersom vi använder kg som enhet för massa är det ofta praktiskt att använda kmol (= 103 mol) som enhet för substansmängd.

Med molmassa M för ett ämne avses massan m dividerad med substansmängden N. För t.ex. syrgas O2 är molmassan M = 32 kg/kmol. (Talvärdet, för syrgas 32, kallas molekylvikt, eller relativ molekylmassa, och är dimensionslöst. Även molekylvikten betecknas ofta med M.)

Sambandet mellan massa, substansmängd och molmassa är 𝑚𝑚 = 𝑁𝑁 · 𝑀𝑀

(3.07b)

𝑝𝑝 · 𝑉𝑉 = 𝑁𝑁 · 𝑅𝑅 · 𝑀𝑀 · 𝑇𝑇

(3.07c)

Nu kan vi skriva ekv. 3.07a på det likvärdiga sättet

3.08 Parallellt med att ideala gaslagen växte fram enligt uttrycken i punkterna 3.04–06 försökte man naturligtvis finna en systematik i de uppmätta konstanternas värden, speciellt i de fall när man hade använt olika gaser. Därvid innebar Avogadros lag (år 1811) så småningom ett genombrott. Enligt Avogadros lag innehåller lika volymer av alla ideala gaser vid lika tryck och lika temperatur samma antal molekyler.

92 92

Genom direkta och indirekta mätmetoder har man sökt fastställa den s.k. molvolymen (volymen för en mol) vid specificerade värden för tryck och temperatur. Man har funnit att substansmängden 𝑁𝑁 = 1 kmol av en ideal

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Det uttrycket är bekvämt att använda då man känner, eller vill beräkna, massan m, vars SI-enhet är kg. Inom den klassiska termodynamiken, med sitt makroskopiska betraktelsesätt, föredrar man i regel denna form.

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

gas intar volymen 𝑉𝑉 = 22,414 ± 0,0005 m3 vid trycket p = 1 atm = 1,01325 bar och temperaturen T = 273,15 K (t = 0 °C). Insättning av dessa värden i ekv. 3.07c ger 1,01325 · 105 · (22,414 ± 0,0005) = 1 · 𝑅𝑅 · 𝑀𝑀 · 273,15

dvs.

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

𝑅𝑅 · 𝑀𝑀 = 8314,5 ± 0,2 J/(kmol·K).

Denna produkt betecknar vi med 𝑅𝑅𝑀𝑀 (= 𝑅𝑅 · 𝑀𝑀) och det är en av fysikens grundkonstanter, och den har numera tilldelats ett exakt värde, se nedan.

Den kallas den absoluta gaskonstanten eller allmänna gaskonstanten. Om man hänför gaskonstanten till substansmängden får den alltså samma värde för alla gaser.

(Inom parentes kan vi observera att ekv. 3.07c nu kan skrivas 𝑝𝑝 · 𝑉𝑉 = 𝑁𝑁 · 𝑅𝑅𝑀𝑀 · 𝑇𝑇

som överensstämmer med den formulering av ideala gaslagen som brukar anges i kemiteknisk litteratur. I resten av denna bok använder vi emellertid de massbaserade uttrycken ekv. 3.03 och ekv. 3.07a.)

Längre fram i detta kapitel ges en orientering om kinetisk gasteori. Därvid intar Boltzmanns konstant k en principiellt viktig plats. Den är lika med absoluta gaskonstanten dividerad med Avogadros tal, dvs. 𝑘𝑘 = 𝑅𝑅𝑀𝑀 /𝑁𝑁𝐴𝐴 .

Med avancerade och reproducerbara mätmetoder har man lyckats fastställa värdet för Boltzmanns konstant k så noggrant att den numera ingår i SI-systemet med värdet 𝑘𝑘 = 1,380 649 · 10−23 J/K. Eftersom även värdet för Avogadros tal 𝑁𝑁𝐴𝐴 fixerats, enligt ovan, blir värdet för absoluta gaskonstanten 𝑅𝑅𝑀𝑀 lika med 𝑅𝑅𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 · 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 8314,46… J/(kmol·K). Ideala gaslagen, med anor från 1600-talet, har således fått en central ställning i SI-systemet.

Sammanfattning: Den individuella gaskonstanten R för en gas med molmassan M ges av sambandet 𝑅𝑅 =

𝑅𝑅𝑀𝑀 𝑀𝑀

där 𝑅𝑅𝑀𝑀 är den absoluta gaskonstanten 𝑅𝑅𝑀𝑀 = 8314,46 J/(kmol·K)

(3.08a)

(3.08b)

För t.ex. syrgas med M = 32 kg/kmol blir R = 260 Nm/(kgK). I Tabell 3.63 redovisas värden för ytterligare några gaser.

93 93

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.1.4 Tillståndsytan

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.09 Den tidigare nämnda rymdytan visas i Figur 3.09. På denna tillståndsyta återfinns den ideala gasens jämviktstillstånd. Vi kan observera att om man känner två av storheterna p, v och T så är även den tredje fixerad genom tillståndets läge på ytan. Detta, att två av dessa tillståndsstorheter räcker för att bestämma den tredje, framgår ju klart av ytans ekvation: p · v = R · T. Gasens sammansättning måste förstås vara given så att gaskonstanten är känd.

Figur 3.09 Tillståndsytan (p,v,T-ytan) för en ideal gas.

3.10 Uppgift. Rita skalriktiga projektioner av linjerna i Figur 3.09 på de tre planen a) v,p- b) T,p- c) v,T-planet.

Lösningen finns redovisad i punkt 3.64.

3.2 Ideala gasblandningar 3.2.1 Inledning

3.11 Inom termodynamikens tillämpningar förekommer ofta blandningar av olika rena ämnen. I detta avsnitt behandlas blandningar av ideala gaser och under förutsättning att inga kemiska reaktioner äger rum. Som exempel på gasblandningar som oftast kan betraktas som ideala kan nämnas luft, såväl torr som fuktig, se kapitel 12, och förbränningsgaser.

94 94

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.2.2 Mass- och molkoncentration 3.12 En blandnings sammansättning anges genom antingen komponenternas masskoncentrationer eller deras molkoncentrationer.

Om en blandning består av n komponenter, rena ämnen, med massorna 𝑚𝑚1 , 𝑚𝑚2 , … 𝑚𝑚𝑖𝑖 , … 𝑚𝑚𝑛𝑛 så är blandningens massa m 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2 + . .. 𝑚𝑚𝑖𝑖 + . .. 𝑚𝑚𝑛𝑛

eller

n

mi  mi

m

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

i 1

(3.12a)

i

Masskoncentrationen 𝑖𝑖 för den i:te komponenten definieras som förhållandet m i  i (3.12b) m Masskoncentrationen1 är en dimensionslös storhet2 och vidare gäller att

 i  1 . i

3.13 Vid kemiska beräkningar används i regel begreppet substansmängd som traditionellt även kallas molantal. Varje komponent har sitt molantal och de är m m m N1  1 , N2  2 , … Nn  n M1 M2 Mn eller

Ni 

mi Mi

(3.13a)

Om komponenternas mängd anges med deras molantal 𝑁𝑁1 , 𝑁𝑁2 , … 𝑁𝑁𝑖𝑖 , … 𝑁𝑁𝑛𝑛 så är blandningens molantal N

N

 Ni i

(3.13b)

1I

viss litteratur används benämningen masskoncentration för kvoten mi /V, dvs. komponentens densitet (kg/m3) i blandningen, se Figur 3.16. Förhållandet enligt ekv. 3.12b benämns då vanligtvis masshalt.

2 Det är inte helt korrekt att använda uttryck som dimensionslösa storheter eller dimensionslösa tal. Man ska hellre säga storheter med dimensionen ett, och som har SI-enheten ett (1).

95 95

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

Molkoncentrationen  i för den i:te komponenten definieras som förhållandet

i 

Ni N

(3.13c)

Liksom masskoncentrationen är molkoncentrationen en dimensionslös storhet och även här gäller att

 i  1 .

3.14 Blandningens molmassa 𝑀𝑀m (som numeriskt överensstämmer med medelmolekylvikten) definieras här genom sambandet

N

m Mm

(3.14a)

Denna definition innebär att 𝑀𝑀m är den genomsnittliga molmassan, som fås då blandningens massa 𝑚𝑚 fördelas lika på blandningens totala molantal N, 𝑀𝑀m = m/N. Divideras ekv. 3.13a ledvis med ekv. 3.14a får man direkt att

i 

Mm  i Mi

(3.14b)

3.15 Därmed kan den ena typen av koncentration beräknas om den andra är känd. Innan sambandet kan användas måste dock 𝑀𝑀m beräknas. Om masskoncentrationerna är kända utnyttjas därvid att

dvs.

1 N 1    Mm m m

1  Mm

m

1

 Ni  m   Mii i

i



 Mii i

Om molkoncentrationerna är kända används i stället att

Mm 

96 96

m 1   N N

1

mi  N  Ni  Mi  i

i

(3.15a)

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

i

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

dvs.

Mm 

 ψi  Mi  i

(3.15b)

Ovanstående definitioner och samband (3.12–15) gäller faktiskt generellt för alla blandningar, av såväl verkliga som ideala gaser, samt vätskor. För blandningar av ideala gaser, ideala gasblandningar, ska ytterligare några samband visas här.

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.2.3 Partialtryck och Daltons lag 3.16 Med partialtryck 𝑝𝑝𝑖𝑖 menas här det tryck en gaskomponent skulle ha då den ensam utfyller hela gasblandningens volym vid oförändrad temperatur, Figur 3.16.

Figur 3.16 Definition av partialtryck 𝑝𝑝𝑖𝑖 .

Enligt Daltons lag (år 1801) är trycket p för en blandning av ideala gaser lika med summan av partialtrycken 𝑝𝑝𝑖𝑖 , dvs. 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + . .. 𝑝𝑝𝑖𝑖 + . .. 𝑝𝑝𝑛𝑛

eller

p

 pi i

(3.16)

3.17 Vid inte alltför höga tryck gäller erfarenhetssatsen att en blandning av ideala gaser också uppför sig som en ideal gas, dvs. följer ideala gaslagen, ekv.

3.03. (Denna sats fås faktiskt som en konsekvens av Daltons lag.)

Det innebär att det måste finnas en medelgaskonstant 𝑅𝑅m för blandningen, definierad av sambandet p  v  Rm  T

(3.17a)

97 97

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

där v = V/m, dvs.

p  m  Rm 

T V

Observera att m och V avser blandningens massa respektive volym.

(3.17b)

Daltons lag å andra sidan leder till följande samband då ideala gaslagen tilllämpas separat på varje komponent, då den ensam utfyller hela volymen vid den givna temperaturen

T



T

 pi   mi  Ri  V    mi  Ri  V i

i

i

vilket står i överensstämmelse med ideala gaslagen. Identifiering med ekv.

3.17b, som definierar 𝑅𝑅m , leder till att

m  Rm 

eller

mi  Ri 

(3.17c)

i

 i  Ri 

Rm 

(3.17d)

i

3.18 Divideras detta uttryck ledvis med det tidigare uppställda, generella, sambandet ekv. 3.15a för 𝑀𝑀m fås att

R 



Rm  M m 

 i  Ri  i  MMi  i

i

 Mi



i

i

i

 Mi i

 RM .

Således har den absoluta gaskonstanten 𝑅𝑅𝑀𝑀 samma ställning vid ideala gasblandningar som vid enkomponentiga ideala gaser, dvs. är den ena av 𝑅𝑅m och 𝑀𝑀m känd, kan den andra beräknas med sambandet

Rm 

RM Mm

(3.18a)

med 𝑅𝑅𝑀𝑀 enligt ekv. 3.08b.

Vidare kan ekv. 3.14b skrivas under formen

i 

98 98

Mm R  i  i  i Mi Rm

(3.18b)

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

p

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.2.4 Partialvolym och volymskoncentration

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.19 Med partialvolym 𝑉𝑉𝑖𝑖 menas den volym en gaskomponent skulle inta vid gasblandningens tryck vid oförändrad temperatur. Den betraktade komponenten ska således tänkas separerad från de övriga och ensam utsättas för totaltrycket, Figur 3.19.

Figur 3.19 Definition av partialvolym 𝑉𝑉𝑖𝑖 .

Volymskoncentrationen ᵢ för den i:te komponenten definieras som förhållandet

i 

Vi V

(3.19a)

Vidare gäller att

Vi 

mi  Ri T p

(3.19b)

som summerat över alla komponenter ger att

T

T

Vi  mi  Ri  p  m  Rm  p  V i

i

varvid ekv. 3.17c och b utnyttjats. För en ideal gasblandning är alltså summan av alla partialvolymer lika med blandningens volym, såsom antytts i Figur 3.19. Vidare fås, som sig bör, att

V

i   Vi  1 . i

i

99 99

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.2.5 Samband mellan partialtryck och volymskoncentration 3.20 Då vi tidigare i punkt 3.17 studerade partialtryck använde vi sambandet pi  V  mi  Ri  T

gällande för en komponent som ensam utfyller hela volymen vid den givna temperaturen. Då samma komponent utsätts för gasblandningens tryck vid oförändrad temperatur utnyttjade vi, vid studiet av volymskoncentrationen i punkt 3.19, att Dessa två samband ger oss direkt att

pi Vi   i p V

(3.20)

3.2.6 Samband mellan mol- och volymskoncentration 3.21 Uttrycken 3.13a och 3.14a insatta i uttrycken 3.19b respektive 3.17b ger att p  Vi  N i  M i  Ri  T

och

p  V  N  M m  Rm  T .

Här är 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝑀𝑀𝑖𝑖 = 𝑅𝑅m ∙ 𝑀𝑀m = 𝑅𝑅𝑀𝑀 (ekv. 3.08a och 3.18a), dvs.

Vi Ni  V N

som med definitionerna 3.19a och 3.13c ger att

i   i

(3.21)

I en ideal gasblandning är således för varje komponent molkoncentration och volymskoncentration lika.

3.22 Uppgift.

1  Rm

100 100

Visa att följande samband gäller för en ideal gasblandning:



 Rii . i

Lösningen finns redovisad i punkt 3.65.

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

p  Vi  mi  Ri  T .

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.3 Specifik värmekapacitet 3.3.1 Definition av 𝒄𝒄𝝂𝝂

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.23 Erfarenhetsmässigt, enligt första huvudsatsen, är inre energin u en tillståndsstorhet, se punkt 2.27. Låt oss studera ett system som består av ett rent ämne (eller en blandning med oföränderlig kemisk sammansättning) och som uppträder i endast en fas (dvs. fast fas, vätskefas eller gasfas). För ett sådant system kan inre energin betraktas som en funktion av två andra oberoende inre intensiva tillståndsstorheter. Enligt Gibbs fasregel kan ju två sådana storheter väljas fritt för ett system av angivet slag. Således kan vi skriva inre energin u som en funktion av (t.ex.) temperaturen T och volymiteten v, dvs. u = f(T,v)

(3.23)

Ett samband av denna typ kallas kalorisk tillståndsekvation. I allmänhet blir funktionssambandet komplicerat vilket vi ska studera mera i kapitel 7. Här ska vi dock lägga på minnet att i det allmänna fallet, för ett rent ämne i en fas, är inre energin en funktion av två andra oberoende tillståndsstorheter.

3.24 Låt oss nu ändra volymiteten till v + dv och temperaturen till T + dT. Eftersom inre energin är en tillståndsstorhet så har den en fullständig differential

 u   u  du     dT     dv  T v  v T

(3.24a)

där index anger storhet som hålls konstant, jämför punkt 1.09.

Den första partiella derivatan kallas specifik värmekapacitet vid konstant volym och betecknas med 𝑐𝑐𝜈𝜈 . Den generella definitionen av 𝑐𝑐𝜈𝜈 är således

 u  cv     T v

(3.24b)

3.25 Förklaringen till namnet får vi när vi studerar reversibel värmetillförsel vid konstant volym. För ett reversibelt fall ger första huvudsatsen allmänt att

dqr  du  p  dv

(3.25a)

 u   dqr  cv  dT     p  dv  v T 

(3.25b)

eller

101 101

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

som vid konstant volymitet (dv = 0) ger att dqr  cv  dT

Mellan två tillstånd 1 och 2 måste man således tillföra värmet T2



qr  cv  dT T1

(3.25c)

(3.25d)

om förändringen sker vid konstant volymitet.

3.3.2 Ideala gasers 𝒄𝒄𝝂𝝂

3.27 Vid ideala gaser förenklas ovanstående avsevärt. Då försvinner nämligen volymitetsberoendet för u, och därmed även för 𝑐𝑐𝜈𝜈 . Detta kan visas på olika sätt. Det historiskt mest grundläggande sättet är vad som kallas Joules försök.

Figur 3.27 Joules försök.

102 102

Därvid har man ett slutet system som består av två behållare, Figur 3.27.

Behållarna är nedsänkta i ett vattenbad som har samma temperatur som dessa. Från början finns det (ideal) gas, med visst tryck och viss volymitet, i den ena behållaren medan den andra är evakuerad (p = 0). Sedan öppnar man ventilen i förbindelseledningen mellan behållarna, varvid gas strömmar över från den fyllda till den från början tomma behållaren så att trycken blir lika i båda. Efter det att strömningen upphört kan man konstatera att vattnet, och därmed även gasen, har samma temperatur som från början.

Gasen har således ej avgivit eller upptagit något värme, vilket ju skulle ha påverkat vattnets temperatur. Likaså har gasen ej avgivit något arbete utåt.

Första huvudsatsen för ett slutet system, q = u₂ − u₁ + 𝜀𝜀𝑦𝑦 , med q = 0 och 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 0 ger här att u₂ = u₁.

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.26 Eftersom u är en tillståndsstorhet blir även 𝑐𝑐𝜈𝜈 en sådan. Därmed kan 𝑐𝑐𝜈𝜈 betraktas som en funktion av temperaturen och volymiteten i det allmänna fallet, och dess värde är beroende av tillståndet.

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

Efter försöket har både inre energin och temperaturen samma värden som från början. Volymiteten, däremot, har ökat kraftigt. Därmed måste inre energin för en ideal gas vara oberoende av volymiteten (och oberoende även av trycket, som också ändrats). Det som återstår är en ren temperaturfunktion, dvs. u = f(T)

(3.27)

för ideal gas. Den slutsatsen stöds av den kinetiska gasteorin, se punkt 3.52.

Längre fram kommer vi stringent matematiskt, med hjälp av entropibegreppet, se att ideala gaslagen, p · v = R · T, faktiskt medför att u = f(T), se punkt 5.18.

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.28 Av ekv. 3.27 följer trivialt att

 u    0  v T

och ekv. 3.24a förenklas till du  cv  dT

(3.28a)

Det senare sambandet gäller alltså även om volymiteten varierar och generellt, för en ideal gas, är ändringen i inre energin bestämd av temperaturändringen enligt T2



u2  u1  cv  dT T1

(3.28b)

där dock 𝑐𝑐𝜈𝜈 fortfarande utgör en temperaturfunktion. För många gaser är 𝑐𝑐𝜈𝜈 nästan konstant inom vissa temperaturområden, varvid man kan skriva att u2  u1  cv  T2  T1 

(3.28c)

3.3.3 Definition av 𝒄𝒄𝒑𝒑

3.29 I punkterna 3.23–28 har vi uttagit samband för inre energin u. Här ska vi tillämpa ett analogt betraktelsesätt för entalpin h. Utgående från definitionen

h  u  pv

(3.29a)

kan vi konstatera att entalpin är en tillståndsstorhet, och som sådan kan den betraktas som en funktion av två andra oberoende inre intensiva tillståndsstorheter. Här väljer vi en kalorisk tillståndsekvation av formen h = f(T,p)

(3.29b)

103 103

3 Ideala gasers egenskaper samt begreppet specifik värmekapacitet

3.30 Den motsvarande fullständiga differentialen är

 h   h  dh     dT     dp  T  p  p T

(3.30a)

Här kallas den första partiella derivatan specifik värmekapacitet vid konstant tryck med beteckningen 𝑐𝑐𝑝𝑝 , och den generella definitionen är alltså

 h  cp     T p

(3.30b)

dq r  dh  v  dp

(3.31a)

 h   dqr  c p  dT     v   dp  p T 

(3.31b)

dqr  c p  dT

(3.31c)

eller

som för konstant tryck (dp = 0) leder till att dvs.

T2



qr  c p  dT T1

(3.31d)

3.32 I det allmänna fallet kan tillståndsstorheten 𝑐𝑐𝑝𝑝 betraktas som en funktion av temperaturen och trycket.

3.3.4 Ideala gasers 𝒄𝒄𝒑𝒑

3.33 Vid ideala gaser är h, och därmed även 𝑐𝑐𝑝𝑝 , rena temperaturfunktioner. Detta inser man direkt genom att införa ideala gaslagen i definitionen av entalpi h  u  p  v  u  R T

(3.33a)

Vi har tidigare sett att u = f(T) för en ideal gas och nu har vi adderat en annan temperaturfunktion, dvs. h = f(T)

104 104

för ideal gas.

(3.33b)

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3.31 Här har namnet sitt ursprung i den reversibla värmetillförsel som fordras vid konstant tryck. Första huvudsatsen ger allmänt att

Ingvar Ekroth är numera pensionerad från sin tjänst som universitetslektor i Tillämpad termodynamik och kylteknik vid Institutionen för Energiteknik, KTH. Under en lång följd av år var han, tillsammans med Eric Granryd, ansvarig för kursen i Tillämpad termodynamik som ges för studenter framför allt inom civilingenjörsprogrammen Maskinteknik och Design och produktframtagning på KTH. Eric Granryd är professor emeritus och tidigare ämnesansvarig vid avdelningen för Tillämpad termodynamik och kylteknik. Han var också prefekt för Institutionen för Energiteknik, KTH. Professor Granryd har arbetat med många slags termodynamiska processer och är framför allt känd för sitt stora kunnande rörande kyl- och värmepumpteknik.

Tillämpad termodynamik Termodynamikens lagar och principer hjälper oss att förstå många fenomen i naturen. De styr utförandet av en mängd apparater och maskiner, speciellt inom energitekniken.

För att förstå många frågeställningar i vardagslivet såväl som vid ingenjörsmässigt arbete av skiftande slag ger termodynamiken en viktig bakgrund. Syftet med boken Tillämpad termodynamik är att ge de grunder som fordras för god förståelse.

Boken är uppdelad i tolv kapitel. De första nio omfattar; begrepp och definitioner, termodynamikens huvudsatser, ideala gasers och verkliga mediers egenskaper, termodynamiska processer och arbetscykler, såväl arbetskrävande som arbetsgivande. De tre avslutande behandlar mediers strömning, värmetransporter samt egenskaper för fuktig luft.

Boken är i första hand avsedd som kurslitteratur vid universitet och tekniska högskolor.

Andra upplagan

Art.nr 32065

studentlitteratur.se