7000 Matematik
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA
UPPGIFTER
Koordinatsystem
För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.
2326 Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.
a) 2 x + 6
a) 2 x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2(x + 3) 2326
2 är en gemensam faktor.
REPETITIONSUPPGIFTER
Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor. a) 2 x + 6
ÖVNINGSUPPGIFTER
3404 Låt f (x) = 4 x – 3 och beräkna a) f(0) b) f(0,5) c) f(–3)
1110 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13. Vilket svar får du?
2266 Lös ekvationen x 2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt.
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 . Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.
Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.
Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
3538 Minskningen var 14 % per år.
Ledtråd: Lös ekvationen 2 500 · x3 = 1 600 x är en förändringsfaktor.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Programmering
Ekvationslösning
Historik
Algebra genom tiderna
KAPITELSLUT
Sant eller falskt?
Sammanfattning 4
Kan du det här?
BEGREPP
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
Blandade övningar 1–4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Minst en aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll
1. Aritmetik och algebra 8
Inledande aktivitet: Lägga tal 9
1.1 Repetition av räkneregler 10
Tal och prioriteringsregler 10
Negativa tal 14
Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 18
1.2 Repetition av bråk och decimaltal 19
Tal i bråkform 19
Historik: Historiska bråk 24
Tal i decimalform 25
Tema: Aritmetik 28
Avrundning och gällande siffror 29
Aktivitet : Värdet av ett algebraiskt uttryck 31
1.3 Algebraiska uttryck 32
Algebraiska uttryck 32
Förenkling av algebraiska uttryck 35
Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 39
1.4 Linjära ekvationer 40
Lösning av linjära ekvationer 40
Mer om ekvationslösning 44
Uttryck, ekvationer och bråk 47
Historik: Algebra genom tiderna 51
Tillämpningar och problemlösning 52
Programmering: En problemlösningsstrategi
med programmering 57
Programmering: Reaktionssträcka 58
1.5 Procent och förändringsfaktor 60
Repetition av procentberäkningar 60
Repetition av procentenheter och jämförelser 63
Förändringsfaktor 66
Procentuella förändringar i flera steg 70
Programmering: Procentuella förändringar 74
Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 76
Aktivitet: Sant eller falskt? 77
Sammanfattning 1 78
Kan du det här? 80
Testa dig själv 1 81
Blandade övningar 1 82
2. Potenser och formler 86
Inledande aktivitet: Upptäck ett samband 87
2.1 Potenser 88
Potenslagar 88
Exponenten noll och negativa exponenter 92
Aktivitet: Vilka är lika? 94
Repetition av grundpotensform och prefix 95
2.2 Potensekvationer 98
Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 98
Potensekvationen x n = a 102
Potenslagar och kvadratrötter 106
Ekvationslösning med digitalt verktyg 108
Programmering: Ekvationslösning 110
Tema: Potenser 112
2.3 Uttryck och formler 113
Multiplikation av uttryck 113
Faktorisera 117
Aktivitet: Förenkla med digitalt verktyg 120
Formler 121
Lösa ut ur formler 125
Tema: Algebra 128
Tema: Hastighet och acceleration 129
2.4 Formler och generella samband 132
Algebra och geometriska formler 132
Upptäcka och uttrycka mönster 136
Upptäcka och uttrycka generella samband 138
Aktivitet: Sant eller falskt? 143
Sammanfattning 2 144
Kan du det här? 146
Testa dig själv 2 147
Blandade övningar 2 148
Blandade övningar 1–2 151
3. Funktioner 154
Inledande aktivitet: Hitta regeln 155
3.1 Grafer och funktioner 156
Koordinatsystem 156
Historik: René Descartes 156
Funktion – Formel, värdetabell och graf 160
Linjära samband 165
Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 169
Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 170
3.2 Räta linjens ekvation 172
Avläsa k-värdet och m-värdet 172
Bestäm räta linjens ekvation 177
Parallella och vinkelräta linjer 182
Olika former för räta linjens ekvation 185
Tema: Några linjära fysikaliska samband 188
3.3 Olikheter 190
Intervall 190
Linjära olikheter 193
3.4 Funktionsbegreppet 196
Skrivsättet f (x) 196
Tema: Olikheter och funktioner 200
Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 201
Aktivitet: Tårtljus 205
Definitionsmängd och värdemängd 206
3.5 Olika typer av funktioner 209
Linjära funktioner 209
Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 212
Exponentialfunktioner 213
Potensfunktioner 217
Programmering: Funktion, graf och area 222
Aktivitet: Para ihop formel och graf 224
Matematiska modeller –
egenskaper och begränsningar 225
Aktivitet: Sant eller falskt? 231
Sammanfattning 3 232
Kan du det här? 234
Testa dig själv 3 235
Blandade övningar 3 236
Blandade övningar 1–3 240
4. Trigonometri och vektorer 244
Inledande aktivitet: Tangens för en vinkel 245
4.1 Trigonometri 246
Beräkna sträckor med tangens 246
Beräkna vinklar med tangens 249
Sinus och cosinus 251
Sträckor och vinklar i koordinatsystem 255
Programmering: Pythagoreiska tripplar 258
4.2 Vektorer 260
Vad är en vektor? 260
Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 264
Beräkningar med vektorer 265
Vektorer i koordinatform 268
Tema: Krafter och hastigheter 271
Aktivitet: Sant eller falskt? 274
Sammanfattning 4 275
Kan du det här? 276
Testa dig själv 4 277
Blandade övningar 4 278
Blandade övningar 1–4 280
5. Sannolikhet och statistik 282
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 283
5.1 Repetition av sannolikhet 284
Sannolikheten för en händelse 284
Sannolikhet och relativ frekvens 288
5.2 Slumpförsök i flera steg 290
Försök med två föremål 290
Träddiagram 293
Aktivitet: Lika eller olika färg? 297
Beroende händelser 298
Aktivitet: Byta eller inte byta? 300
Komplementhändelse 301
Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 303
Programmering: Kasta fyra tärningar 304
5.3 Matematik och ekonomi 306
Lån, ränta och amortering 306
En introduktion till kalkylprogram 309
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 311
5.4 Statistik 315
Stickprov och urvalsmetoder 315
Signifikans och felkällor 319
Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 324
Korrelation och kausalitet 325
Tema: Statistik med Gapminder 330
Aktivitet: Sant eller falskt? 331
Sammanfattning 5 332
Kan du det här? 334
Testa dig själv 5 335
Blandade övningar 5 336
Blandade övningar 1–5 338
Repetitionsuppgifter 342
Svar, ledtrådar och lösningar 350
Register 412
ARITMETIK OCH ALGEBRA
Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.
Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, alKhwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.
Centralt innehåll
• Hantering av algebraiska uttryck.
• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg.
• Metoder för att lösa linjära ekvationer.
• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär, privatekonomi och samhällsliv.
• Exempel på hur programmering kan användas som verktyg i problemlösning.
Med andra ord
I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.
I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer.
För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.
Inledande aktivitet
LÄGGA TAL
Skriv upp beräkningar och resultat.
Finns det flera lösningar till några av uppgifterna?
Arbeta gärna i par eller grupp.
Placera talen 1, 2, 5 och 7 i rutorna så att …
1 summan av de två tvåsiffriga talen + blir så nära 60 som möjligt.
2 produkten ( + ) ( + ) blir
a) så nära 60 som möjligt
b) så stor som möjligt.
Hur ändras beräkningen och resultatet om parenteserna tas bort?
3 Ersätt bokstäverna i uttrycket ab cd + + med
talen 1, 2, 5 och 7 så att uttryckets värde är
a) det rationella talet 2 3
b) decimaltalet 0,25.
4 Ersätt bokstäverna i uttrycket ab cd med talen 1, 2, 5 och 7 så att uttryckets värde är
a) det naturliga talet 2
b) det negativa talet –2.
1.1 Repetition av räkneregler
Tal och prioriteringsregler
När vi räknar behöver vi olika typer av tal.
Vi börjar med att presentera de talmängder som vi använder i denna kurs.
talmängd En talmängd är en avgränsad samling av tal och beskrivs ofta med hjälp av symbolen { }.
naturliga tal Naturliga tal är tal som anger antal, dvs. talen i mängden N.
N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Med naturliga tal klarar vi många beräkningar men inte t.ex. 6 – 8.
För det krävs negativa tal. De naturliga talen och de negativa heltalen hela tal bildar tillsammans de hela talen, Z .
Z = {…, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
rationella tal De rationella talen Q definieras på följande sätt:
Q = {alla tal a /b där både a och b är heltal och b ≠ 0}
Decimaltal kan skrivas som bråk, t.ex. 1,5 = 3 2 och 0,07 = 7 100
Men inte ens de rationella talen räcker till i alla situationer.
Det exakta värdet på diagonalen i en kvadrat med sidan 1 är 2 . irrationella tal Talet kan inte skrivas som ett bråk. 2 är ett exempel på ett irrationellt tal
reella tal Slutligen kan de reella talen R definieras på följande sätt:
R = {alla rationella tal tillsammans med alla irrationella tal}
Av figuren kan vi se att ett naturligt tal också är ett heltal, ett heltal också är ett rationellt tal och att alla talmängder ovan är exempel på reella tal.
Alla reella tal kan hittas på tallinjen, t.ex:
Vi kommer i de kommande sidorna att repetera räkneregler för olika typer av tal.
Exempel Hilda har börjat träna judo och har betalat
300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle.
När hon tränat 10 gånger beräknar hon den genomsnittliga kostnaden i kr per träning:
300 10 70 10 = 300 700 10 = 1 000 10 = 100
Det har kostat 100 kr/träning.
Hon kontrollerar svaret på räknaren:
300+10*70/10 370
Räknaren visar 370. Varför blir det så?
Räknaren gör en annan beräkning än den Hilda tänkte sig:
300 + 10 · 70 /10 = 300 + 700 /10 = 300 + 70 = 370
För att få ett korrekt svar på räknaren finns två alternativ:
◗ Beräkna uttrycket i täljaren innan divisionen utförs:
300 10 70 10 = 1 000 10 = 100
◗ Använda en parentes: (300 + 10 · 70) /10 = 100
Prioriteringsreglerna anger i vilken ordning vi ska räkna:
1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.
Multiplikation och division beräknas före addition.
Prioriteringsreglerna
2 Därefter potenser (upphöjt till).
3 Sedan multiplikationer och divisioner.
4 Till sist additioner och subtraktioner.
Ett uttryck med en upprepad multiplikation med samma faktor kan skrivas som en potens, t.ex. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 3 . bas 2 3 utläses ”två upphöjt till tre” och är en potens med basen 2 exponent och exponenten 3.
Exponent 23 Bas potens
De fyra räknesätten
Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:
summa
Addition: 4 + 3 = 7
term term summa
differens
Subtraktion: 4 – 3 = 7
term term differens
produkt
Multiplikation: 3 · 12 = 36
term term produkt
Division: 15 3 = 5
täljare kvot nämnare kvot
1101
Beräkna utan räknare.
a) 5 · 4 + 32 – 2 b) 10 + 4 · (5 – 2)
Vi använder prioriteringsreglerna.
a) 5 · 4 + 3 2 – 2 = = 5 · 4 + 9 – 2 = = 20 + 9 – 2 = 27
b) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 = = 10 + 12 = 22
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
Sedan multiplikation
Först parentesen
Sedan multiplikation
1102
Beräkna med räknare 13 19 5 41750
Metod 1
Vi skriver uttrycket med parenteser: (13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14
Metod 2
Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först.
13 19 5 41750 = 252 18 = 14
Svar: 14
* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare, när du ska lösa uppgiften. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.
1103 Beräkna
a) (3 + 5) ∙ 8 c) 14 – 6/2
b) 3 + 5 ∙ 8 d) (14 – 6)/2
1104 Beräkna
a) 2 ∙ 52 c) 4 + 52
b) (2 ∙ 5)2 d) 4 + 5 ∙ 2
1105 Beräkna
a) 9 + 2 ∙ 3 – 1
b) 17 – 3 ∙ 2 + 5 – 18/3
c) 12 – 12/3 – 3 + 1
d) (12 + 12)/3 ∙ 2
1106 Beräkna
a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3
b) (8 – 2)2 /3 – 1
c) 32 2 34 2 34 22
1107 Elisa använder sin räknare till beräkningen
42 18 28 + +
Hon trycker 42 + 18 / 2 + 8.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Elisa?
c) Vilket är rätt svar?
1108 Beräkna
a) 138 17 31 + b) 6 279 6 23 39 ⋅
c) 3 ∙ (12 + 19) + 8 3 – 9 ∙ 3
1109 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5.
b) Eric skriver på ett prov: 2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45
Svaret är rätt, men läraren ger ändå
Eric fel. Varför?
c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.
1110 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13.
Vilket svar får du?
1111 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ □ = 200
b) 4 + 8 ∙ (□ – 1) = 36
1112 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30.
a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet.
b) Bestäm de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.
1113 Produkten av 39 ∙ 40 = 1 560. Vad är då
a) 39 ∙ 41 b) 39 ∙ 38 + 2 ∙ 39?
1114 Vi antar att siffertangenten 4 är trasig på din räknare. Hur räknar du då ut
a) 14 ∙ 34 b) 478 ∙ 444 ?
1115 Uttrycket (30 – a) /(2 + 4) har värdet 3. Vilket blir värdet om
a) parentesen runt täljaren tas bort
b) parentesen runt nämnaren tas bort
c) båda parenteserna tas bort?
1116 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a /10)
a) mindre än 1 c) mindre än 9 b) större än 36 d) större än 3?
1117 Ett tal multipliceras med 4.
Från produkten subtraheras 7. Differensen divideras med 3.
Kvoten höjs upp med 3. Potensens värde är 27.
Vilket var det ursprungliga talet?
Ekvationslösning med digitalt verktyg
I det här avsnittet tar vi hjälp av ett digitalt verktyg för att lösa ekvationer. Med hjälp av en ekvationslösare kan vi snabbt kontrollera om vi löst en ekvation korrekt. Vi kan också lösa ekvationer, även för vilka lösningsmetoden inte ingår i kurs 1.
Exempel Vi löser ekvationen 112 5 = 7 x och får svaret x = 0,3125.
Sedan kontrollerar vi med ett digitalt verktyg. Olika program har olika kommandon, t.ex. Lös( ), Solve ( ) eller Nlös ( ).
Exakt Närmevärde
Lös = 112 5 7 x x 5 16 =
2263 Lös ekvationen x 5 = 20.
NLös = 112 5 7 x x 0.31 =
Svara exakt och med ett närmevärde med två decimaler.
Exakt Närmevärde
Lös (x5 = 20)
x = 5 20
Svar: x = 20 5 ≈ 1,82
NLös (x5 = 20)
x = 1.8206
svaret ges med ett likhetstecken trots att det är ett närmevärde.
I menyn för inställningar kan ofta antalet decimaler ändras.
2264 Lös ekvationen 2 000 · 1,06 x = 2 400 med ett digitalt verktyg.
Svara med en decimal.
Exakt Närmevärde
Lös(2000 1.06x = 2400)
x –ln(2) – ln(3) + ln(5) ln(2) + 2ln(5) – ln(53) =
Den exakta lösningen är ibland svår att tolka. Det ingår inte i kursen.
Svar: x ≈ 3,1
NLös (2000 1.06x = 2400)
x = 3.129
* En heldragen ram runt uppgiftens nummer t.ex. 2263 betyder att du får använda ett avancerat digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften, till exempel ekvationslösande verktyg, kalkylprogram eller grafräknare.
2265 Lös ekvationerna med digitalt verktyg.
Svara både exakt och med ett närmevärde med två decimaler.
a) x 2 5 = 7 b) x 3 = 100 c) 2 y 4 = 12
2266 Lös ekvationen x 2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt.
2267 Lös ekvationerna med digitalt verktyg.
Svara både exakt och med tre decimaler.
a) 13a – 24 = 17 + 21a
b) 0,63 – 1,7a = 0,24
c) 3a 5 = 23 328
d) 12 · 4 x = 96
2268 Summan av ett tal i kvadrat och kvadratroten ur talet är 1. Vilket är talet?
a) Teckna en ekvation som löser uppgiften.
b) Lös ekvationen och kontrollera om svaret är exakt.
2269 Loi sätter in 2 000 kr på ett konto med fast ränta, 1 % per år.
Hur många år tar det innan pengarna vuxit till 4 000 kr?
2
2270 Ett schackbräde har 64 rutor. Vi lägger 1 riskorn på den första rutan, 2 på den andra, 4 på den tredje, 8 på den fjärde och så vidare.
a) Hur många riskorn blir det på sista rutan?
b) Skriv ett uttryck för antalet riskorn på ruta nummer n.
c) Vilket nummer har rutan med ungefär en halv miljon riskorn?
2271 Kvadraten på ett tal är 6 mer än talet. Vilket är talet?
a) Teckna en ekvation som löser uppgiften.
b) Lös ekvationen och visa att lösningen stämmer.
2272 En akties värde fördubblas på 3,5 år. Hur stor är den genomsnittliga procentuella värdeökningen per år?
2273 Hur många rötter har ekvationen
a4 – 2 a 3 – 20 a 2 + 10 a + 75 = 0?
3
2274 Bestäm a så att ekvationen
x 2 + ax + 1 = a 2 har lösningarna x 1 = 1 och x 2 = –3.
Programmering
Ekvationslösning
Skriv ett program som löser ekvationer på formen ax + b = c
1 FÖRSTÅ
I ekvationer på formen ax + b = c är a, b och c konstanter, dvs. bokstäverna står för värden som inte ändras. Bokstaven x är en obekant, dvs. den står för ett värde som vi bestämmer när vi löser ekvationen.
• 3 x + 5 = 26 är ett exempel på en ekvation på formen ax + b = c.
I det fallet är a = 3, b = 5 och c = 26.
• –16 x = 135 – x är ett annat exempel, men den ekvationen måste vi först skriva om till –15 x = 135 innan vi kan se att a = –15, b = 0 och c = 135.
2 PLANERA
A Resultat
Om programmet ska lösa ekvationen 3 x + 5 = 26 vill vi att det skriver ut följande resultat:
Programmet löser ekvationen ax + b = c
Ange a: 3
Ange b: 5
Ange c: 26
Ekvationen har lösningen x = 7
B Lösning
Ekvationer på formen ax + b = c löser vi så här:
ax + b = c
ax + b – b = c – b
ax = c – b
ax a = c – b a
x = c – b a
C Variabler
Programmet ska använda följande variabler:
• a, b och c för konstanterna
• x för ekvationens lösning.
D Algoritm
Vi sammanfattar hur programmet steg för steg ska lösa uppgiften.
• Skriv att programmet löser ekvationen ax + b = c.
• Läs in ett värde och spara det i variabeln a.
• Läs in ett värde och spara det i variabeln b.
• Läs in ett värde och spara det i variabeln c.
• Beräkna ekvationens lösning och spara värdet i variabeln x.
• Skriv ut ekvationens lösning.
3 GENOMFÖR − KODA
Om vi väljer Python3 som programspråk kan programmet se ut så här:
print("Programmet löser ekvationen ax + b = c")
a = float(input("Ange a: ")) # Läser in a
b = float(input("Ange b: ")) # Läser in b
c = float(input("Ange c: ")) # Läser in c
x = (c — b)/a # Beräknar x
print("Ekvationen har lösningen x =", x)
OCH VÄRDERA
Programmet löser enkla ekvationer av typen ax + b = c men det skulle bli mer användbart om det kunde lösa ekvationer av andra typer, t.ex. ax + b = cx + d
Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.
1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det kan lösa ekvationen
3 x + 5 = 26.
2 Låt programmet i uppgift 1 lösa följande ekvationer.
a) 3 x – 5 = 26
b) 5(4x + 1) = 45
c) 16 – 3 x = 4x – 5
3 Ändra programmet i uppgift 1 så att det istället löser ekvationer av typen ax + b = cx + d.
4 Låt programmet i uppgift 3 lösa följande ekvationer.
a) 6 x – 7 = 3 x + 26
b) 0,5 x + 6 = 10 – 2 x
c) x – (–9 – 5 x) = 3(x + 18)
5 När man i fysik arbetar med resistans i elektriska kretsar behöver man ibland lösa ekvationer av typen
1 x = 1 a + 1 b
Skriv ett program som löser den här typen av ekvationer. Det ska tala om vad x är om värdet på konstanterna a och b anges.
6 Skriv ett program som beräknar v när övriga variabler i formlerna är kända.
a) s = vv + 0 2 b) E = mv 2 2
Potenser
Följande uppgifter är hämtade från tidigare högskoleprov.
Du får inte använda räknare.
Ett av alternativen A – D är korrekt. Vilket?
1 Vilket av svarsalternativen motsvarar uttrycket x 2 · x · x4?
A x6 C x8
B x 7 D x 16
2 Vad blir x x 2 4 5
A x–12 C x 3
B x D x 11
3 Vad är 025 , ?
A 0,05 C 0,125
B 0,5 D 2
4 Om a 2 = 7 Vad är då (3a)2?
A 21 C 63
B 42 D 147
5 Vad är x om (2 2)x = 4 4?
A 2 C 6
B 4 D 8
6 Vad är 12 10 410 210 16 15 13 , ?
A –1,4 ∙ 1014 C 40
B –1,4 ∙ 10 2 D 4 ∙ 10 2
7 Vilket svarsalternativ har samma värde som 5 –2 – (–2)–1?
A 27 50 C 1 9
B 7 –3 D 27
8 Vad är x om 3 –3 x + 4 = 1 9 ?
A 1 C 3
B 2 D 4
9 Vilket svarsalternativ är lika med 2 4 · 34?
A 6 4 C 612
B 6 8 D 616
10 Vad är 4 000 000 · 0,000 002 5?
A 101 C 10 3
B 10 2 D 10 4
11 Vad är (10 5 )2?
A 50 C 500
B 250 D 2 500
12 x är positivt.
Vad är x k + 1 ∙ x k ?
A x k(k + 1) C x
B x 2 k + 1 D x 2 k – 1
13 Vad är 32 – 18 ?
A 2 C 2 2
B 14 D 2 7
14 Vad är 3 3 ?
A 1 3 C 3
B 1 D 3
Linjära samband
Exempel 1 Tabellen och grafen visar vad det kostar att åka taxi med ett företag.
Räta linjens ekvation
I grafen kan vi se att företaget tar en fast avgift (startavgift) på 75 kr. I både tabellen och i grafen kan vi se att avgiften ökar i jämn takt. Den ökar med 25 kr för varje kilometer man åker.
Priset, y kr, för en taxiresa är en funktion av sträckan, x km, och kan skrivas med formeln y = 25 x + 75. Man kan också se sambandet mellan x och y som en ekvation med två variabler.
Det linjära sambandet y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation.
Grafen är en rät linje.
Exempel 2 Ett annat taxiföretag tar ingen startavgift, men i stället 40 kr per kilometer. Priset för en taxiresa med det företaget, y kr, är en funktion av sträckan, x km, och kan skrivas y = 40 x.
Vi gör en värdetabell och ritar funktionens graf.
Sträcka x km Pris y kr
Proportionalitet
När sträckan fördubblas, fördubblas priset.
När sträckan är tre gånger så lång, är priset tre gånger så stort osv.
Vi säger att priset y är proportionellt mot sträckan x
En linje av typen y = kx är en proportionalitet. Konstanten k kallas en proportionalitetskonstant.
Grafen är en rät linje genom origo.
3141 Vatten pumpas ut från en tunna. Grafen visar hur mycket vatten det finns i tunnan under 4 minuter.
a) Hur mycket vatten finns det i tunnan från början?
b) Hur mycket minskar vattenvolymen varje minut?
c) Skriv en formel för det linjära sambandet mellan volymen vatten i tunnan och tiden.
a) Vi avläser startvärdet på y-axeln. Det finns 20 liter i tunnan från början.
b) Volymen minskar från 20 liter till 15 liter på en minut. Volymen minskar i jämn takt med 5 liter per minut.
c) Formeln kan skrivas y = –5 x + 20 eller y = 20 – 5 x.
3142 Tabellen visar priser för att hyra en vindsurfingbräda några timmar. Undersök om priset är proportionellt mot uthyrningstiden.
Tid i h, x Pris i kr, y 2 360 3 540 5 800
Sambandet är en proportionalitet om formeln kan skrivas y = kx.
Vi beräknar k = y x för värdena i tabellen.
k1 = 360 2 = 180
k 2 = 540 3 = 180
k 3 = 800 5 = 160
Olika värden på k innebär att y ≠ kx.
Svar: Sambandet är inte en proportionalitet.
3143 Grafen visar hur Almas lön, y kr, ökar när hon arbetar x timmar.
000 5 000 3 000 kr
(lön) 2 000 5
(tid)
10 15 20 25 30 35 40 h
a) Hur många timmar ska Alma arbeta för att tjäna 8 000 kr?
b) Hur mycket tjänar hon per timme?
c) Skriv en formel för det linjära sambandet mellan lön och arbetad tid.
3144 Biancas hår växer med hastigheten 1,5 cm per månad. När hon klippt sig är håret 25 cm långt.
Skriv en formel som beskriver längden y cm när det gått x månader sedan hon klippte sig.
3145 Diagrammet visar kostnaden, y kr, för att hyra en stor båt tiden x timmar hos två olika företag.
h 34 2 1 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 kr y 6 000 Yacht Boat
a) Beskriv med ord hur de två företagen tar betalt. Tar de någon fast avgift och hur stor är kostnaden per timme?
b) Beskriv hur företagen tar betalt med två formler.
c) När lönar det sig att anlita Boat?
3146 Att hyra en musikstudio i 5 timmar kostar 3 900 kr. Hyran för 8 timmar är 5 700 kr.
Är hyran proportionell mot uthyrningstiden? Motivera.
3147 När ett stearinljus tänds minskar höjden enligt grafen i figuren.
(höjd)
a) Hur högt var ljuset från början?
b) Hur mycket minskar höjden varje timme?
c) Skriv en formel för sambandet mellan ljusets höjd och tiden.
3148 En nyfödd flickas vikt i kg efter x månader kan under första året beräknas med formeln y = 3,5 + 0,5 x.
a) Vilken ålder motsvarar vikten 8,0 kg enligt formeln?
b) Tolka formeln. Vad betyder 3,5 och 0,5?
3149 a) Para ihop graferna med löpning, bil- respektive mopedåkning.
b) Skriv en formel till respektive graf.
3150 I en båtaffär säljs rep som metervara.
x m rep av en sort kostar y kr.
x 5 15 25 35
y 60 180 300 420
a) Skriv en formel som beskriver sambandet mellan pris och replängd.
b) Hur långt rep får man för 720 kr?
c) Är sambandet mellan pris och längd en proportionalitet? Motivera.
3151 Vilka av följande funktioner beskriver en proportionalitet? Motivera dina val.
A Formeln: y = 15 x + 3
B Formeln: s = 30 t
C Formeln: y = 3
D Värdetabellen:
E Grafen:
F Grafen:
3152 När Sanna ska leasa en bil finns det två alternativ:
I 5 650 kr/månad.
3153 Resistansen hos en metalltråd är proportionell mot trådens längd.
En tråd på 1,25 m har resistansen 10,5 ohm.
Hur lång tråd ger resistansen 25,0 ohm?
3154 En patient får näringslösning genom dropp. Efter t minuter återstår V ml av lösningen, där V = 240 – 2,5t.
a) Hur många minuter räcker lösningen? Lös uppgiften algebraiskt och grafiskt.
b) Hur många droppar får patienten på tre minuter? (1 ml = 20 droppar)
3
3155 Johanna joggar hem från jobbet. Sträckan är 7 km och hon håller tempot 6 minuter per km.
Grafen visar hennes avstånd, y km, till hemmet x minuter efter att hon lämnat jobbet.
II 4 400 kr/månad och engångsavgift på 45 000 kr.
a) Ställ upp en formel för kostnaden, y kr, att leasa, x månader, med alternativ I respektive alternativ II.
b) Hur länge behöver hon leasa bilen för att tjäna på att välja alternativ II? x 2 3 4 5
a) Bestäm den räta linjens ekvation.
b) Ange koordinaterna för punkten P.
3156 x = 1 3 ∙ z och y = 2 x Visa att y är proportionell mot z.
3157 En lastbil med 3 m 3 sand väger 11 ton.
Med 6 m 3 sand väger den 17 ton.
Ställ upp en formel som visar hur lastbilens totala vikt, y ton, beror av hur många x m 3 sand som lastats. x y km min P
Räta linjer med grafritande verktyg
I den här aktiviteten ska du undersöka graferna till några olika funktioner som alla är skrivna på formen y = kx + m där k och m är konstanter. Syftet är att du ska se sambanden mellan grafens utseende och formeln för olika värden på k och m.
Materiel: Grafritande verktyg
1 Utgå från sambandet y = kx + m.
Vilket värde har konstanten k och vilket värde har konstanten m för
a) y = 2 x + 3
b) y = 3 x – 2
c) y = 2 x
d) y = –2 x + 3
2 Undersök hur ditt grafritande verktyg fungerar.
Rita sedan de tre funktionerna i a)–d) i samma koordinatsystem.
Besvara därefter följande frågor:
• Vilka likheter finns mellan de tre graferna?
• Vilka likheter finns mellan de tre formlerna?
• Var kan du avläsa värdet på m?
a) y = x + 3
y = 2 x + 3
y = 3 x + 3
b) y = x – 2
y = 2 x – 2
y = 3 x – 2
c) y = 2 x
y = 2 x + 3
y = 2 x – 1
d) y = –2 x
y = –2 x + 3
y = –2 x – 1
3 Avläs först värdet på konstanterna k och m och beskriv sedan grafen med en formel av typen y = kx + m.
Kontrollera om du har rätt formel genom att skriva in den i ditt grafritande verktyg.
Aktivitet
Graf, formel, tabell och beskrivning
I den här aktiviteten ska du koppla samman grafer, formler, värdetabeller och funktionsbeskrivningar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att växla mellan de olika sätten att representera en funktion.
Materiel: En kopia av rutorna från uppslaget.
Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen. Arbeta i par eller grupp.
Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor:
1 En graf 3 En värdetabell
2 En formel 4 En funktionsbeskrivning
Tabellen är inte korrekt ordnad radvis.
Klipp ut rutorna. Placera den graf, formel, tabell och beskrivning som representerar samma funktion på en rad. Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning
Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning 1 x y 1 y = x 2
–3
y är dubbla x 1 x y 1 y = 3 x – 3 x y –1 –0,5 0 0 1 0,5 2 1 3 1,5 y är ett mindre än dubbla x
y är tre gånger så mycket som x minus tre
är tre minskat med x
är kvadraten på x
Statistik med Gapminder
Gå in på websidan gapminder.org/tools
1 Använd diagramtypen Trends. Klicka på y-axeln och välj Health/Life expectancy. Avmarkera förvalda länder och välj Sweden och China
a) Hur många år ökade medellivslängden i Sverige från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000?
b) Vilket år var medellivslängden i Kina densamma som Sveriges medellivslängd år 1920?
2 Använd diagramtypen som visar människors inkomst i dollar per dag. Avmarkera förvalda länder.
a) Vilken är gränsen för extrem fattigdom (antalet dollar/dag)?
b) Hur har andelen människor som lever i extrem fattigdom i världen ändrats från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000? Svara både i procentenheter och i procent.
c) Stämmer det att antalet människor som lever i extrem fattigdom ungefär har halverats från år 1964 till år 2015?
3 Använd diagramtypen Bubbles
Välj Life expectancy på y-axeln och Income på x-axeln.
a) Vilket land har högst inkomst per person?
b) Vilket land har högst medellivslängd?
c) Ungefär hur många gånger högre medelinkomst har man i Norge jämfört med i Indien?
4 Det finns två sätt att visa skalan på axlarna, linear (Linjärt) eller log (Logaritmiskt).
a) Växla mellan linear och log på x-axeln. Förklara hur axlarna är graderade i de två fallen.
b) Diskutera fördelar och nackdelar med de två sätten att gradera x-axeln.
I Sverige och de flesta europeiska länder har vi ett sätt att namnge tiopotenser, USA och England har ett annat sätt.
I engelskspråkig text gäller alltså att en billion är 10 9 och i Sverige är en biljon 1012
10 3 kilo (k) kilo (k)
10 6 miljon (M) miljon (M)
10 9 miljard (G) billion (B) 1012 biljon ( t ) trillion ( t )
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5.
2 Vid ett kast med två vanliga tärningar är sannolikheten för poängsumman P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).
3 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.
4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) < P ( A ).
5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8. Om tre frön sätts så är chansen mindre än 50 % att alla fröna gror.
6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor. Om du tar två kulor ur burken så är P (lika färg) = P (olika färg).
7 Om räntan på ett lån är hög så är även amorteringen hög.
8 Om månadsräntan är 4 % så är även årsräntan 4 %.
9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant så minskar räntekostnaden efter varje amortering.
10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.
11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.
12 Om värdet på en variabel minskar samtidigt som värdet på en annan variabel minskar innebär det en negativ korrelation.
13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %.
Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena, vilket betyder att resultatet är statistiskt signifikant.
Enkla slumpförsök
Sammanfattning
Sammanfattning 5
Antalet gynnsamma utfall
Sannolikhet = Antalet möjliga utfall
Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1.
Exempel:
Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula. 3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger
P (grön) = 3 7
Motsvarande för en vit kula är
P(vit) = 4 7
Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %.
3 7 + 4 7 = 7 7 = 1 = 100 %
Slumpförsök i flera steg
En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller:
P (träff) = 0,7 P (miss) = 0,3
Försöket kan beskrivas med ett träddiagram:
0,7 0,3
0,3 0,7 träff miss träff miss miss miss
0,3 0,7
0,49 0,21 0,09 0,21
Sannolikheten för ”en gren” = produkten av sannolikheterna längs grenen.
Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1.
0,49 + 0,21 + 0,21 + 0,09 = 1
Exempel:
P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49
P (en träff) = P (träff, miss) + P (miss, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42
Beroende händelser
Exempel:
Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten
för färgen på den andra.
Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.
Sannolikheten för den första:
P(röd) = 3 5
Sannolikheten för den andra om en röd är tagen:
P(röd) = 2 4
P(röd, röd) = 3 5 · 2 4 = 6 20 = 3 10
Komplementhändelse
Exempel:
Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Händelse A = minst en röd
Händelse B = ingen röd
Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall.
Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Då gäller P(A) + P(B) = 1
Om vi vill beräkna P(A) är det i detta fall enklare att beräkna P(B):
P(B) = 3 10 ∙ 2 9 = 6 90 = 1 15
P(A) = 1 – P(B) = 1 – 1 15 = 14 15
Lån, ränta och amortering
Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.
En månadsränta på 10 % motsvarar en enkel årsränta på 120 %.
När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.
Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.
Kalkylprogram
I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.
Exempel:
I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000
I B2 skriv vi räntan i %: 5
I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100
I C2 kommer värdet 500 att visas.
AB C
1 Lån i kr Ränta i % Ränta i kr
2 10 000 5 =A2*B2/100
Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C2 automatiskt.
Stickprov och urvalsmetoder
Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population.
En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning.
Om man väljer ett slumpmässigt urval från populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.
Felkällor och signifikans
Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.
Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal
Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.
Korrelation och kausalitet
Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.
Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet negativ korrelation ingen korrelation
Positiv korrelation
Kan du det här?
Delkapitel BEGREPP
5.1 Repetition av sannolikhet
Sannolikhet
Händelse, utfall
P (händelse)
Frekvens
Relativ frekvens
5.2 Slumpförsök i flera steg
Beroende och oberoende händelser
Träddiagram
Komplementhändelse
5.3 Matematik och ekonomi
Ränta, amortering
Kalkylprogram
5.4 Statistik
Population
Urvalsmetoder
Stickprov
Felmarginal
Konfidensintervall
Spridningsdiagram
Signifikans
Korrelation
Kausalitet
PROCEDUR
• beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall
• uppskatta sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.
• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg
• bestämma och beräkna komplementhändelser.
• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.
• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och inom vetenskap.
5.1 Repetition av sannolikhet
Testa dig själv 5
1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.
Beräkna sannolikheten
a) att du tar en svart kula
b) att du tar en kula som inte är svart.
2 I en kommun föddes ett år 840 barn.
Ungefär hur många av dessa kan man vänta sig var pojkar som föddes på en fredag?
5.2 Slumpförsök i flera steg
3 Två vanliga tärningar kastas.
a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5?
b) Hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger?
4 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla. P (träff) = 0,4 för varje pil.
a) Rita ett träddiagram till denna händelse.
b) Beräkna P (miss, miss).
c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar.
5 För en viss sorts värmepumpar gäller att 8 av 10 fungerar efter 15 år.
Om tre sådana pumpar installeras samtidigt, hur stor är risken att
a) ingen fungerar efter 15 år
b) minst en har slutat fungera efter 15 år?
6 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå. Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade?
5.3 Matematik och ekonomi
7 Sara sparade 8 000 kr i en fond. Fondens värde ökade med 1,75 % per år. Hur mycket var fonden värd efter tre år?
8 Karin har ett lån på 50 000 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje år under 10 år. Årsräntan är 5,2 %.
Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.
5.4 Statistik
9 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar.
10 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser. Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva.
a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?
b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva?
11 x 5 10 15 20 y 64 72 93 102
Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y?
12 Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %.
Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant.
Vad vet man då om felmarginalen?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 5
1 När man snurrar på ett chokladhjul är chansen att vinna lika stor för alla siffrorna från 0 till 9.
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
Hur stor är chansen att hjulet stannar på
a) siffran 5
b) siffran 5 två gånger i rad
c) siffran 5 tre gånger i rad?
2 En familj ska flytta från Stockholm till Melbourne i Australien. De hittar följande statistik över genomsnittliga månadstemperaturer.
Månad
Rita ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturerna i Stockholm och Melbourne.
3 Förklara med ett exempel begreppet bortfall i en statistisk undersökning.
4
Vid en väljarundersökning får ett parti 3,6 % av rösterna. Felmarginalen är
0,5 procentenheter. Är det statistiskt säkerställt att partiet ligger under fyraprocentspärren som gäller för att komma in i riksdagen?
5
AB C
Lån i kr Årsränta i % Årsränta i kr
Figuren visar ett kalkylblad där man i cell A2 ska skriva lånets storlek och i cell B2 årsräntan i procent.
Vilken formel ska skrivas i cell C2 för att programmet ska räkna ut räntekostnaden?
2
6 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel.
Spelet går till så här: Programledaren kastar två tärningar som du inte ser.
Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna?
Motivera varför. (NP)
7
B
Daniel tar två kulor ur skål A och Sofia tar två kulor ur skål B. Vem har störst chans att få
a) två gula kulor
b) en kula av varje färg
c) minst en gul kula?
Motivera dina svar.
Med digitala verktyg 1
8 Av de senaste 12 matcherna har ett fotbollslag vunnit 5 gånger, spelat oavgjort 4 gånger och förlorat resten.
Vad är sannolikheten att laget kommer att förlora de två följande matcherna om laget fortsätter med samma fördelning mellan vinst, oavgjort och förlust?
9 Hamsa ska baka en kaka och tar två ägg ur en kartong med fem ägg. Hon vet inte att två av äggen i kartongen är kokta.
a) Vad är sannolikheten för att båda äggen som Hamsa tagit är kokta?
b) Hur stor är sannolikheten att inget av äggen är kokta?
10 Två n-sidiga tärningar är numrerade från 1 till n.
Bestäm sannolikheten att de visar lika när man kastar dem.
11 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas.
Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva. En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva.
Hur många procent var positiva till konserthusbygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet?
12 Anta att du kastar en sexsidig tärning sex gånger.
Visa med en beräkning att sannolikheten att du får minst en sexa är mycket nära 2 3
13 Sauli och Kajsa har ett bolån med räntesatsen 5,45 %. Om banken höjer räntan med 0,25 procentenheter så ökar deras årsräntekostnad med 1 280 kr.
Vilken blir då deras totala årsräntekostnad?
14 I ett spel kostar en spelomgång 20 kr.
Spelet är konstruerat så att på en miljon spelomgångar slumpas det ut 10 000 vinster på 250 kr, 5 000 vinster på 500 kr, 2 500 vinster på 750 kr och 500 vinster på 5 000 kr.
Vilken är den förväntade vinsten eller förlusten i kronor om man spelar 1 000 gånger?
15 Joar tar ett lån på 15 000 kr som ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 2,3 %.
Använd ett kalkylprogram och beräkna Joars
a) ränta och amortering efter första månaden b) ränta och amortering efter andra månaden
c) sammanlagda ränta under året.
16 Adam och Bobby spelar ett datorspel.
Sannolikheten för vinst är 0,7 för Adam och 0,3 för Bobby. En dag tävlar de så att den segrar som först vunnit två gånger.
Hur stor är sannolikheten att Bobby vinner?
Kapitel 1
1103 a) 64 c) 11
b) 43 d) 4
1104 a) 50 c) 29
b) 100 d) 14
1105 a) 14 c) 6
b) 10 d) 16
1106 a) 13 b) 11 c) 1
1107 a) 59
b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte. c) 6
Lösning:
Metod 1
Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.
42 18 28 + + = 60 10 = 6
Metod 2
Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.
42 18 28 + + = (42 + 18)/(2 + 8) = 6
1108 a) 5 b) 42 c) 578
1109 a) 45
b) Det matematiska språket är inte korrekt. Likhetstecknen används felaktigt.
c) 2 ∙ 52 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45
1110 4
1111 a) Talet 5 ska stå i rutan.
b) Talet 5 ska stå i rutan.
1112 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84
b) 42, 84 och 96
1113 a) 1 599 b) 1 560
1114 a) T.ex. (15 – 1) ∙ (33 + 1)
b) T.ex. (500 – 22) ∙ (500 – 56)
1115 a) 28 b) 13 c) 28
Ledtråd: a = 12
1116 a) För a större än 360.
Ledtråd:
Kvoten har värdet 1 då a = 360.
b) För alla positiva heltal mindre än 10.
c) För a större än 40.
d) För alla positiva heltal mindre än 120.
1117 Talet är 4.
1120 a) –2 < 5 c) –2 > –5 b) 5 > –2 d) 0 > –7
1121 a) –4 c) –5
b) –9 d) 150
1122 a) –3
b) –10
Lösning: –8 + (–2) = = –8 – 2 = –10
c) 4
d) 8 e) 1 f) 7
1123 a) –10 c) 12
b) –4 d) 5
1124 –12 ska minskas med 5. Resultatet blir –17.
Kalle tänker nog:
Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra, dvs. de är inte två negativa tal multiplicerade med varandra.
–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5.
Resultatet blir ett ännu mindre tal än –12, nämligen –17.
1125 a) 5
Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet.
37 2 + = 10 2 = 5
b) 2
c) 1
d) –5
e) –2,5 f) –14
1126 a) –3
Lösning: 20 5 41 = 15 5 = –3
b) 4
c) –1
Lösning:
45 45 () () = 45 45 = 1 1 = –1
d) 3
e) –2 f) 11
1127 a) Nej.
Motivering: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t.ex. –10 + (–10) = –20
b) Ja.
Motivering:
T.ex. –25 – (–5) = –20
1128 a) –8 c) –27
b) –20 d) –4
1129 a) 2 c) –36
b) –9 d) 32
1130 a) –1
b) 36
c) –13
1131 a) T.ex. (–4) ∙ (–8) = 32
b) T.ex. (–4) + (–6) = –10
c) T.ex. (–4) – (–12) = 8
d) T.ex. (–12) – (–4) = –8
1132 –4
Motivering: b – a = – a + b = –(a – b) = –4
1133 a) –1 – (–1) ∙ () () 1 1 = = –1 + 1 ∙ 1 = 0
b) –12 – (–1)2 ∙ () () 1 1 = = –1 – 1 ∙ 1 = –2
1134 a) –3
Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = –3
b) 31
Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31
c) –11
Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11
d) 15
Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15
1135 Värdet ändras från 2 till –10.
1136 a) 40 c) 30 b) –7 d) –5
1137 a) –14 b) –7
1138 a) Ja, 6 rätt och 4 fel ger 0 poäng.
b) Nej, det krävs 5 frågor, 3 rätt för varje 2 fel om summan ska bli noll. Antalet frågor måste vara 5, 10, 15 ...
1139 Din kompis har rätt. Motivering:
Skillnaden mellan två på varandra följande udda tal är 2. Skillnaden mellan två udda tal är därför alltid något tal multiplicerat med 2, vilket är ett jämnt tal.
1140 Förklaring: (–3) ∙ (–4) = 12 kan tolkas ”För tre dagar sedan var glaciären 12 dm längre fram eftersom den minskar 4 dm varje dag”.
1206 a) 9/24 b) 24/64
1207 a) 1 6 c) 1 20 b) 3 4 d) 1 12
1208 2/3 = 4/6 = 10/15
1209 a) 18 min
b) 36 min
c) 16 min
1210 a) 3 9 = 1 3 är färgad och 6 9 = 2 3 är ofärgad.
b) 5 8 är färgad och 3 8 är ofärgad.
1211 Lösning:
3 8 = 9 24 och 1 3 = 8 24 9 24 > 8 24
1212 a) 1 : 4 eller 1 4 b) 5 : 3 eller 5 3
1213 a) 3/8 c) 1/6 b) 1/4 d) 3/22
1214 a) 1/4
b) 3/8
Ledtråd: 1/2 = 4/8
c) 2/15
Ledtråd: 1/3 = 5/15
d) 3 15 = 1 5
1215 a) 6/7 d) 35/12
b) 6/18 = 1/3 e) 1/10
c) 1/6 f) 7/18
1216 a) 5/6 c) 3/7 b) 3/4 d) 2/3
1217 a) 10/27 c) 2/13 b) 8 d) 5/7
1218 a) 23/24 c) –9/10 b) 3/5 d) –10
1219 a) 5 1 5 c) 1 8 b) 3/40 d) 4
1220 a) Värdet blir dubbelt så stort. b) Värdet blir hälften så stort. c) Värdet blir dubbelt så stort.
1221 a) 4 13 b) 3 7
Utan digitalt verktyg:
=
= 3 7
Med digitalt verktyg: Förenkla ( ) 108 252 3 7
1222 a) 11/16 b) 13/9 c) 6/11
1223 a) 5 12 c) 67 112 b) 5 8 d) 47 48
1224 a) 1 3 c) 2 9 b) 3 1 30 = 91 30 d) 5 12
1225 a) 34/9 b) 3/5
1226 a) 1/28
Ledtråd: Beräkna differensen av 2/7 och 1/4. b) 1/4
1227 a) 32 c) 14/15 b) 9/4 d) 8
1228 25/48
Ledtråd: Beräkna summan och dividera med 3.
7000 Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.
Nivå 1c
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du:
digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar
utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE