9789127460089

Lena Alfredsson • Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin

1a

Matematik

5000

1a 5000

Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 1a Röd är anpassad för de serviceinriktade yrkesprogrammen.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen.

I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Teman gör undervisningen relevant för karaktärsämnen och yrkesliv Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Aktivitet och Historik bidrar till en varierad undervisning Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-46008-9

9 789127 460089

M5000Plus_1a röd_Omslag_220103.indd 1-3

1a

2022-01-03 17:55

Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet.

En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Tiopotenser

106 Bas

Stora och små tal kan skrivas med hjälp av potenser.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

      

1 miljon = 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10

Exponent

6

2169

6 tior

Förenkla

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

a) 9 + (2x – 8)

9 + (2x – 8) = a) = 9 + 2x – 8 = 2x + 1

Ta bort parentes utan att ändra något.

REPETITIONSUPPGIFTER

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter.

De är identiska med bokens lösta uppgifter.

2169 Förenkla a) 9 + (2x – 8)

ÖVNINGSUPPGIFTER 3307 Värdeminskningen på en ny bil som kostar 310 000 kr är 12 % under första året.

Hur mycket är bilen värd efter ett år?

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

2208 Lös ekvationerna.

a)

y + 125 2 y − 40 = 18 b) = 18 6 5

SVAR 2208 a) y = –17 Ledtråd: Börja med att multiplicera båda leden med 6. b) y = 65

4

Rod 1a kap 0.indd 4

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator).

Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda en enkel räknare, men inte ett grafritande eller ekvationslösande verktyg.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.



2022-01-03 14:33

VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Aktivitet Vilka uttryck är lika?

Tema

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till yrkesliv och programmens olika karaktärsämnen.

Läkemedel

Historik

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Från vargben till datorer

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

Sammanfattning 4 Kan du det här?

BEGREPP

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

Rod 1a kap 0.indd 5

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

PROCEDUR

Testa dig själv 4



Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet.

Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

5

2022-01-03 14:33

Innehåll 1. Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder 8 Inledande aktivitet: Lägga tal 9

1.1 Tal i olika former 10 I vilken ordning ska vi räkna? 10 Negativa tal 14 Aktivitet: Multiplikation och division med 10 och 100 17 Tal i decimalform 18

1.2 Tal och beräkningar 21 Avrundning 21 Överslagsräkning och uppskattningar 24 Enhetsbyten 27 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 30 Tiopotenser 31 Prefix 34 Historik: Från vargben till datorer 37 Tema: Måttenheter i köket 38 Tema: Läkemedel 40 Tema: Foderstater 42 Tema: Begrepp som utvecklas under förskoleåldern 44

1.3 Andelar och förhållanden 46 Tal i bråkform 46 Beräkningar med tal i bråkform 49 Beräkning av andelen i procent 52 Beräkningar när vi vet procentsatsen 56 Proportionalitet 59 Tema: Moms 62 Tema: Promille och ppm 64 Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 66 Tema: Svinnberäkningar i restaurang och dagligvaruhandel 68 Tema: Gyllene snittet 70 Tema: Underhållsservice och reparation 72 Tema: Prissättning av aktiviteter 75 Aktivitet: Sant eller falskt? 77 Sammanfattning 1 78 Kan du det här? 80 Testa dig själv 1 81 Blandade övningar 1 82

2. Algebra 86 Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 87

2.1 Algebraiska uttryck och ekvationer 88 Algebraiska uttryck 88 Aktivitet : Vilka uttryck är lika? 91 Skriva och förenkla uttryck 92 Linjära ekvationer 94 Ekvationer med flera variabeltermer 98 Uttryck med parenteser 102 Ekvationer med parenteser 104

2.2 Mer om algebraiska uttryck och ekvationer 106 Bråk i uttryck och ekvationer 106 Problemlösning med ekvationer 110 Multiplikation av uttryck 114 Faktorisera 117

2.3 Formler 120 Beräkningar med formler 120 Skriva och tolka formler 123 Lösa ut ur formler 126 Upptäcka och beskriva mönster 129 Upptäcka och uttrycka generella samband 131 Tema: Wilsonformeln (EOQ-formeln) 135 Tema: Dos, styrka och mängd 136 Tema: Glykemisk belastning 138 Tema: Kondition 140 Tema: Virkestransporter 142 Tema: Stoppsträcka 144 Aktivitet: Sant eller falskt? 146 Sammanfattning 2 147 Kan du det här? 148 Testa dig själv 2 149 Blandade övningar 2 150

3. Funktioner 154 Inledande aktivitet: Hitta regeln 155

3.1 Grafer och funktioner 156 Koordinatsystem 156 Funktion – formel, värdetabell och graf 159 Aktivitet Graf, formel, tabell och beskrivning 162 Rita grafer med digitala verktyg 164 Tema: Bostonmatris 166

3.2 Linjära funktioner 168 Linjära funktioner i vardagliga sammanhang 168 Egenskaper hos linjära funktioner 172 Problemlösning med linjära funktioner 175

6

Rod 1a kap 0.indd 6

INNEHÅLL

2022-01-03 14:33

3.3 Procentuella förändringar och exponentialfunktioner 177 Förändringsfaktor 177 Procentuella förändringar och jämförelser 181 Beräkning av förändringar i flera steg 184 Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 188 Exponentialfunktioner 189 Tema: Avskrivning och värdeminskning 192

3.4 Mer om funktionsbegreppet 194 Skrivsättet f (x) 194 Grafisk lösning av ekvationen f (x) = a 197 Ekvationslösning med digitalt verktyg 201

3.5 Matematiska modeller 203 Linjär funktion som modell 203 Exponentialfunktion som modell 206 Matematiska modeller – egenskaper och begränsningar 208 Tema: Nollpunktsanalys 212 Tema: Hur länge är läkemedlet verkdsamt? 214 Tema: Proportionell styrning 216 Aktivitet: Sant eller falskt? 217 Sammanfattning 3 218 Kan du det här? 220 Testa dig själv 3 221 Blandade övningar 3 222 Blandade övningar 1–3 225

4. Sannolikhet och statistik 228 Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 229

4.1 Repetition av sannolikhet 230 Sannolikheten för en händelse 230 Sannolikhet och relativ frekvens 233

4.2 Slumpförsök i flera steg 235 Försök med två föremål 235 Träddiagram 238 Aktivitet: Lika eller olika färg? 242 Beroende händelser 243 Komplementhändelse 245

4.4 Statistik 259 Stickprov och urvalsmetoder 259 Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 262 Signifikans och felkällor 263 Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 267 Korrelation och kausalitet 268 Tema: Nöjd-kund-index 273 Tema: Statistik med Gapminder 274 Aktivitet: Sant eller falskt? 275 Sammanfattning 4 276 Kan du det här? 278 Testa dig själv 4 279 Blandade övningar 4 280 Blandade övningar 1–4 282

5. Geometri – repetition och fördjupning 286 Inledande aktivitet: Omkrets och area 287

5.1 Geometri och formler 288 Omkrets och area 288 Tema: Stora och små planteringar 293 Volym 296 Begränsningsarea 301 Tema: Djur i bur 303 Tema: Hjärtats slagvolym 305 Tema: Turismens klimatpåverkan 307

5.2 Längdberäkningar 309 Likformighet, skala och ritningar 309 Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 312 Pythagoras sats 315

Repetitionsuppgifter 319 Svar, ledtrådar och lösningar 326 Register 373

4.3 Matematik och ekonomi 247 Beräkningar med kalkylprogram 247 Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 250 Tema: Index 254 Tema: Kostnadsberäkning med kalkylprogram 256

INNEHÅLL

Rod 1a kap 0.indd 7

7

2022-01-03 14:33

1

TAL OCH BERÄKNINGAR – GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OCH METODER Bokens första kapitel innehåller repetition av grundläggande matematiska begrepp och metoder inom området aritmetik.

Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.

En rubrik i det centrala innehållet i kursen Matematik 1a är ”Matematik inom karaktärsämnen och yrkesliv”.

Kapitlet har en direkt koppling till detta område.

Centralt innehåll

Med andra ord

• Begrepp som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. proportionalitet, procent och andelar samt vinstmarginal.

Du börjar kapitlet med att repetera en del grunder så som beräkningar med flera räknesätt, med negativa tal och med tal i decimalform.

• Beräkningsmetoder som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. uppskattningar, spill- och svinnberäkningar, överslagsräkning och avrundning.

• Hantering av storheter och enheter som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. enhetsbyten samt beräkning av kostnader och förbrukningsmaterial.

• Problemlösning med utgångspunkt i yrkesliv, privatekonomi och samhällsliv.

Därefter behandlas stora och små tal, enhetsbyten, prefix, avrundningar och uppskattningar.

Du avslutar med tal i bråk- och procentform.

Kapitlet innehåller också ett antal yrkesnära Teman.

Vissa beräkningar gör du för hand, andra med hjälp av räknare eller andra digitala verktyg.

8

Rod 1a_Kap 1_211221_liten ändring efter tryckis.indd 8

2021-12-30 15:57

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två.

Skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på fyra papperslappar.

2 5

1 7

3 Välj bland lapparna och lägg dem så att ∙ blir så produkten a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt.

4 Multiplikation beräknas före addition.

Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så a) liten som möjligt

1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt d) ett tal så nära 6 000 som möjligt e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.

2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så a) liten som möjligt

b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt.

5 Skriv siffrorna 1 till 9 på nio andra papperslappar.

Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång. +

=

−

=

∙

=

b) stor som möjligt c) nära 60 som möjligt.

9

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 9

2021-12-29 15:31

1.1 Tal i olika former I vilken ordning ska vi räkna?

De allra flesta beräkningar vi möter till vardags och i yrkesliv kan vi utföra med de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division.

Om vi vill göra en beräkning som innehåller flera olika räknesätt, måste vi beräkna dem i rätt ordning. Den ordningen bestäms av prioriteringsreglerna.

Exempel 1

Hilda har börjat träna judo och har betalat 300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle.

Kostnaden K kr att träna x gånger kan beräknas med formeln K = 300 + 70 ∙ x Vi beräknar kostnaden i kr för 8 träningar (x = 8) med räknare K = 300 + 70 ∙ 8 = 860 Om vi gör denna beräkning för hand måste vi veta i vilken ordning vi ska räkna.

K = 300 + 70 ∙ 8 = 300 + 560 = 860 Vi beräknar multiplikation före addition. Många räknare gör detta automatiskt. Kontrollera hur din räknare gör.

När vi gör beräkningar med flera räknesätt måste vi använda reglerna som talar om i vilken ordning vi ska räkna.

Prioriteringsreglerna

10

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 10

1

Först beräknas uttryck inuti parenteser.

23 är en potens som utläses ”2 upphöjt till 3”.

2

Därefter potenser (upphöjt till).

23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

3

Sedan multiplikationer och divisioner.

4

Till sist additioner och subtraktioner.

Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder

2021-12-29 15:31

Exempel 2

Hur gör vi beräkningen 1 060 − 185 37 + 88 på räknaren?

Metod 1:

1 060 − 185 875 =7 = 125 37 + 88

Metod 2:

(1 060 – 185)/(37 + 88) = 7

Vi beräknar täljaren och nämnaren först.

Vi skriver först parenteser runt täljaren och nämnaren.

Glömmer vi parenteserna och skriver 1 060 – 185/37 + 88 får vi fel svar.

Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:

De fyra räknesätten

Addition: 4 + 3 = 7

Multiplikation: 3 · 12 = 36

Term adderad med term ger en summa.

Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.

Subtraktion: 9 – 1 = 8

Division: 15 = 5 3 Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.

Term subtraherad från term ger en differens.

1101

Beräkna utan räknare. a) 4 + 5 · 7

b) 5 · 4 + 32 – 2

c) 10 + 4 · (5 – 2)

Vi använder prioriteringsreglerna. a) 4 + 5 · 7 = = 4 + 35 = 39 b) 5 · 4 + 3 2 – 2 = =5·4+9–2=

Först multiplikation Sedan addition Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9 Sedan multiplikation

= 20 + 9 – 2 = 27 c) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 =

Först parentesen Sedan multiplikation

= 10 + 12 = 22

1.1 TAL I OLIKA FORMER

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 11

11

2021-12-29 15:31

1102

*

Beräkna med räknare

13 ⋅ 19 + 5 4 ⋅ 17 − 50

Metod 1: Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först.

13 ⋅ 19 + 5 252 = 14 = 4 ⋅ 17 − 50 18 Metod 2: Vi skriver uttrycket med parenteser.

(13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14 (

13 × 19 + 5 )

÷

(

4 × 17 – 50

)

Svar: 14

* En ram runt uppgiftens nummer, t.ex. 1102 , betyder att du får använda

räknare eller annat digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av räknare eller digitalt verktyg.

1 1103–1106: Gör först beräkningen för hand.

Kontrollera sedan ditt svar med räknare.

1103 a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3 b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3 1104 a) 4 + 52 c) (7 + 2) ∙ 6 b) (4 + 5) · 2 d) 7 + 2 ∙ 6

1108 Kostnaden K kr att anlita en hantverkare x timmar en dag kan beräknas med formeln K = 350 + 480 ∙ x a) Vilket är priset per timme? b) Beräkna kostnaden för 2,5 timmar. c) Beräkna kostnaden för 6,5 timmar. d) Vad blir genomsnittspriset per timme om man anlitar hantverkaren 5 timmar?

14 − 8 c) 14 – 6/2 2+4 b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2

1109 Beräkna

1106 a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 b) (17– 32) /4

1110 Beräkna

1105 a)

1107 Elisa använder sin räknare till 42 + 18 2+8 Hon trycker 42 + 18/2 + 8.

beräkningen

a) Vilket resultat visar räknaren? b) Vilket fel gör Elisa? c) Vilket är rätt svar?

12

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 12

a) 138 + 17 31

b) 6 279 ⋅ 6 23 ⋅ 39

a) 2 ∙ 32 b) (2 ∙ 3)2 1111 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5 b) Eric skriver på ett prov:

2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45 Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför? c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.

Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder

2021-12-29 15:31

OlEd En 2-spaltsbild till 1112 önskas.

1112 I en musikförening kostar det 500 kr per år att vara medlem. För medlemmar är priset per konsert 150 kr.

1116 Rörelseenergin kan beräknas med formeln m ⋅ v2 2 där rörelseenergin W joule beror på massan m kg och hastigheten v m/s.

W=

Hassan är medlem i föreningen och går på 10 konserter. Genomsnittskostnaden i kr per konsert kan beräknas med 500 + 10 · 150 10

Beräkna rörelseenergin hos en a) bil med massan 1 200 kg som färdas med hastigheten 25 m/s (90 km/h).

Vilken är genomsnittskostnaden?

b) c yklist med massan 60 kg som färdas med hastigheten 5 m/s (18 km/h).

1113 Beräkna a)

10 ⋅ (2 + 10) 10 ⋅ (8 + 10) b) 10 ⋅ 2 + 10 10 ⋅ 8 + 10

1114 Vid beräkningar med de fyra räknesätten använder vi ofta bestämda matematiska begrepp.

2

Vid en addition, t.ex. 2 + 3 = 5, säger vi term + term = summa.

Skriv på motsvarande sätt a) en subtraktion b) en multiplikation c) en division.

1115 Beräkna a) 32 + 5 ∙ (3 – 1) b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2 c) 7 + 3 ∙ 22 d) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3 e) (8 – 2)2/3 – 1

1117 Vilket tal ska stå i rutan? a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ = 200 b) 4 + 8 ∙ ( – 1) = 36

□

□

1118 Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3.

Vilket blir värdet om a) parentesen runt täljaren tas bort b) parentesen runt nämnaren tas bort

3

c) båda parenteserna tas bort?

1119 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30. a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen.

Bestäm det nya värdet. b) Bestäm alla de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.

1120 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a/10) a) mindre än 1 c) mindre än 9 b) större än 9 d) större än 3?

1.1 TAL I OLIKA FORMER

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 13

13

2021-12-29 15:32

Tema

Begrepp som utvecklas under förskoleåldern Redan i förskolan ska barnen få möjlighet att upptäcka och utveckla matematiska begrepp och sin förståelse för hur matematik kan användas i olika situationer. Även om barnen ofta saknar de matematiska begrepp vi har, kan de resonera och diskutera sig fram till lösningar på mer eller mindre avancerade problem.

I förskolan upptäcker barnen matematiken utifrån aktiviteter och lekar.

Matematiken blir på så sätt ett lärorikt och lustfyllt inslag i lek och vardag.

Exempel

I en förskoleklass får barnen möjlighet att välja mellan två mellanmål, frukt eller smörgås. De röstar genom att bygga torn.

De barn som röstar på frukt lägger en duplo (blå) De barn som röstar på smörgås lägger en lego (gul)

på frukttornet. på smörgåstornet.

Resultatet blev så här:

Barnen får sedan diskutera vilket alternativ som vunnit.

Vissa barn påpekar att tornen är lika höga, alltså har de fått lika många röster.

Ett barn säger att frukt har vunnit eftersom det tornet är större än det för smörgås.

Ett annat barn protesterar då och säger att smörgås vunnit. Barnet börjar räkna antalet bitar och kommer fram till att smörgåstornet har 6 bitar medan frukttornet bara har 4 bitar. ”Men varför är tornen lika höga?” frågar ett barn, och diskussionen fortsätter med att barnen testar att bygga nya torn.

Det slutar med att barnen kommer fram till att bitarna måste vara lika stora för att de ska kunna se på tornens höjd vilket alternativ som vunnit.

Med den här aktiviteten får barnen möjlighet att utveckla sin förståelse för grundläggande egenskaper hos antal, tal, mätning och former.

44

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 44

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

2021-12-29 15:32

Tema Följande uppgifter är tänkta som grund för diskussion. Arbeta gärna i par eller grupper.

3 Alice och Liam ska avgöra vilket av glasen som innehåller mest saft.

1 En grupp barn får följande uppgift: Para ihop former Vilka former är lika? Hur är de lika?

Alice påstår att glaset till vänster innehåller mest saft eftersom det är högre.

Liam påstår att glaset till höger innehåller mest saft eftersom det är bredare. a) Vem har rätt? b) Ge förslag på hur du kan lägga upp en aktivitet där Alice och Liam får undersöka glasens volym.

Vilka frågor kan du ställa?

Vilka hjälpmedel och materiel får barnen användning för i undersökningen?.

4 a) Vilken figur har minst respektive störst volym?

Klot

Kub

a) Vilka figurer tror du att barnen parar ihop?

Hur kan de resonera då? b) Vad kan barnen utveckla för matematisk förståelse i den här aktiviteten?

2 a) Tre barn ska samarbeta för att dela 12 kakor lika mellan varandra.

Cylinder

Kon

Barnen kan räkna heltal (1, 2, 3 osv.) men ingen av dem förstår bråk eller bråkräkning.

Hur tror du att de går tillväga? Vilka diskussioner kan uppkomma? b) Fyra barn ska nu dela lika på 11 kakor.

Hur tror du att de går tillväga? c) Vad kan barnen utveckla för matematisk förståelse i den här aktiviteten?

TAL OCH BERÄKNINGAR – GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OCH METODER

Rod 1a_Kap 1_211230.indd 45

b) Ge förslag på hur du kan lägga upp en aktivitet där barn i förskoleåldern får gissa, diskutera, testa och utveckla sin förståelse för figurernas volym.

45

2022-01-03 10:47

Tema

Svinnberäkningar i restaurang och dagligvaruhandel Inom restaurangbranschen blir det alltid en del svinn när råvaror ska tillredas, t.ex. när man skalar grönsaker, putsar kött eller rensar fisk.

Svinnet i viktenheter är skillnaden mellan bruttovikt och nettovikt, dvs: Svinnet i vikt = Bruttovikt – Nettovikt där bruttovikten är råvarornas vikt innan de tillreds och nettovikten är den vikt som råvarorna har efter att de har tillretts.

Det kan även vara intressant att beräkna svinnets andel av bruttovikten, alltså hur många procent av bruttovikten som blivit svinn.

Inköpspriset för råvaror beräknas på bruttovikten. Även inom dagligvaruhandeln förekommer det svinn, t.ex. varor som kasseras när bäst före-datumet gått ut eller varor som stjäls.

Att minska svinnet är en vinst för både verksamheten och miljön.

Exempel 1

Marcel skalar 20 kg morötter. De skalade morötterna väger 17 kg. Vi beräknar svinnet i kg samt svinnets andel av bruttovikten.

Bruttovikten = 20 kg

Nettovikten = 17 kg

Svinnet i kg = Bruttovikt – Nettovikt = = 20 kg – 17 kg = 3 kg Svinnets andel =

3 kg Svinn = = 0,15 = 15 % Bruttovikt 20 kg

Svinnet blev 3 kg eller 15 % av bruttovikten.

Exempel 2

Cajsa arbetar i en dagligvaruhandel. I september köpte butiken in 365 kg tomater och svinnet var 8,2 %. Tomaterna hade inköpspriset 23,03 kr/kg och försäljningspriset 41,20 kr/kg.

Vi beräknar butikens förlorade intäkt pga svinn: Intäkt per kg = Försäljningspriset – Inköpspriset = = 41,20 kr/kg – 23,03 kr/kg = 18,17 kr/kg Svinnet i kg = 8,2 % av 365 kg = 0,082 ∙ 365 kg ≈ 30 kg Förlorad intäkt = Svinnet ∙ Intäkt per kg = 30 kg ∙ 18,17 kr/kg ≈ ≈ 545 kr Butikens förlorade intäkt på tomaterna blev 545 kr.

68

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 68

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

2021-12-29 15:33

Tema 1 Simon putsar 3,0 kg ryggbiff. Efter putsningen vägen ryggbiffen 2,7 kg.

Beräkna svinnet i procent.

2 När potatis skalas minskar vikten. Det är stor skillnad i svinn om potatisen skalas före eller efter kokning.

Följande uppgifter handlar om dagligvaruhandeln Emilias Mat. 6 Emilias Mat gör följande sammanställning för svinn under ett år.

Produkt Inköpsmängd

Svinn

banan

10 856 kg

24 kg potatis ska skalas.

gurka

3 004 kg

287 kg

a) Om potatisen skalas rå väger den 20,4 kg efter skalning. Beräkna svinnet i procent.

äpple

4 509 kg

452 kg

b) Om potatisen skalas efter kokning väger den 22,8 kg efter skalning. Beräkna svinnet i procent.

3 Lizen ska laga en maträtt med lax till 15 personer. Hon räknar med 180 g lax per person. Svinnet när en hel lax filéas är 40 %.

Räcker det om Lizen köper en lax som väger 4,5 kg?

4 Du ska koka pasta till 5 personer. Pasta och ris är exempel på råvaror som ökar i vikt vid tillagning. Pastans vikt ökar med 110 %.

308 kg

a) Beräkna andelen svinn för banan, gurka och äpple. b) Vad är butikens sammanlagda svinn för banan, gurka och äpple?

7 Kostnaden för produkter som måste kasseras kallas för svinnkostnad.

Tabellen nedan visar Emilias inköpspris för banan, gurka och äpple.

Produkt

Inköpspris

banan

14,88 kr/kg

gurka

13,87 kr/kg

äpple

15,96 kr/kg

Hur mycket pasta får varje person om du kokar 285 g?

a) Beräkna svinnkostnaden för banan, gurka respektive äpple.

5 Elli gör en kalkyl för en middag till 20 gäster.

b) Vad är den totala svinnkostnaden för butiken?

En sammanställning över middagens ingredienser visas i tabellen.

Ingrediens Bruttovikt Svinn i % Inköpskostnad Torsk

6 kg

40

90 kr/kg

8 Intäkt per kg för en produkt är skillnaden mellan försäljningspriset och inköpspriset.

Tabellen visar försäljningspriset för banan, gurka och äpple.

potatis

4,8 kg

17

5 kr/kg

paprika

700 g

18

27 kr/kg

Produkt

rödlök

3 kg

6

11 kr/kg

banan

24,70 kr/kg

Spenat

2 kg

0

30 kr/kg

gurka

25 kr/kg

47 kr/kg

äpple

24 kr/kg

persilja

60 g

40

a) Vad är den totala inköpskostnaden för ingredienserna? b) Vad blir kostnaden per portion? c) Hur mycket väger en portion?

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

Rod 1a_Kap 1_211221.indd 69

Försäljningspris

a) Beräkna butikens intäkt per kg för banan, gurka och äpple. b) Förlorad intäkt = Svinnet ∙ Intäkt per kg.

Beräkna affärens förlorade intäkt för de tre produkterna.

69

2021-12-29 15:33

Aktivitet Graf, formel, tabell och beskrivning I den här aktiviteten ska du koppla samman grafer, formler, värdetabeller och funktionsbeskrivningar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att växla mellan de olika sätten att representera en funktion.

Materiel: Sax, papper och tejp.

Arbeta i par eller grupp.

Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor: 1 En graf

3 En värdetabell

2 En formel

4 En funktionsbeskrivning

Tabellen är inte korrekt ordnad radvis.

Gör så här: Kopiera tabellen (ev uppförstorad), klipp den i rutor och tejpa upp rutorna radvis i rätt ordning.

Graf

➀

Formel

➀

y

1

y = 2x – 1

Värdetabell

➀

x 1

➁

➁

y

1

x 1

162

Rod 1a_Kap 3_211230.indd 162

y=2

➁

x

y

–1

–2

0

0

1

2

2

4

3

6

x

y

–1

–3

0

–1

1

1

2

3

3

5

Funktionsbeskrivning

➀

y är alltid två

➁

y är halva x

funktioner

2021-12-30 17:17

Graf

➂

Formel

➂

y

1

y = x2

Värdetabell

➂

x 1

➃

➃

y

1

y = 3x – 3

➃

x 1

➄

➄

y

1

y=3–x

➄

x 1

➅

➅

y

1

y = 0,5x

➅

x 1

➆

➆

y

1

x 1

3.1 GRAFER OCH FUNKTIONER

Rod 1a_Kap 3_211230.indd 163

y = 2x

➆

x

y

–1

–6

0

–3

1

0

2

3

3

6

x

y

–1

–0,5

0

0

1

0,5

2

1

3

1,5

x

y

–1

4

0

3

1

2

2

1

3

0

x

y

–1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

x

y

–1

2

0

2

1

2

2

2

3

2

Funktionsbeskrivning

➂

➃

➄

➅

➆

y är dubbla x

y är ett mindre än dubbla x

y är tre gånger så mycket som x minus tre

y är tre minskat med x

y är kvadraten på x

163

2021-12-30 17:17

Rita grafer med digitala verktyg När vi ritar grafen till en funktion med hjälp av ett digitalt verktyg behöver vi inte göra en värdetabell. Vi skriver in formeln direkt i verktyget, som sedan ger oss grafen som en sammanhängande linje eller kurva.

3124

Utgå från funktionen y = 7 – 2x och lös uppgiften med ett grafritande verktyg. a) Rita grafen till funktionen. b) Bestäm grafiskt y då x = 2,2.

Tänk på att många program använder decimalpunkt i stället för decimalkomma.

Hur är det i ditt program?

c) Bestäm grafiskt x då y = 4,5. a) Vi skriver in y = 7 – 2x i ett grafritande verktyg.

f : y = 7 2x

9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 0

b) Vi skriver in x = 2,2 och y = 7 – 2x och avläser skärningspunkten mellan graferna.

Skärningspunkten är (2,2; 2,6).

f : y = 7 2x Ekv1 : x = 2.2 A = Skärning (Ekv1, f) (2.2, 2.6)

Svar: När x = 2,2 är y = 2,6.

Skärningspunkten är (1,25; 4,5).

Svar: När y = 4,5 är x = 1,25.

f : y = 7 2x Ekv1 : y = 4.5 B = Skärning (Ekv1, g) (1.25, 4.5)

Rod 1a_Kap 3_211230.indd 164

2

x

3

x = 2.2

A

y = 7 2x 1

9 y 8 7 6 5 4 B 3 2 1 2 1 0

164

1

9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 0

c) På motsvarande sätt skriver vi in y = 7 – 2 x och y = 4,5

y = 7 2x

2

3

y = 4.5

y = 7 2x 1

x

2

3

x

funktioner

2021-12-30 17:17

1

2

3125 Rita grafen till y = 8,6 – 2,4x.

3130 Nedan ser du två grafer.

Bestäm grafiskt a) y-värdet där x = 2 b) y-värdet där x = 6 c) x-värdet där y = 4 d) x-värdet där y = 0

Wilma säger att det är samma funktion.

3126 Rita graferna till funktionerna y = 5 – 3x och y = x – 3 med grafritande verktyg och avläs skärningspunkten mellan graferna.

3127 Rita grafen till funktionen

y = 3 + 1,5x och avläs skärningspunkten mellan grafen och a) x-axeln b) y-axeln.

3128 Om en bil håller hastigheten v km/h, kan stoppsträckan s m vid ett visst väglag beräknas med formeln s = 0,3v + 0,0063v

2

Kan hon ha rätt?

Motivera ditt svar.

3131 Rita grafen till y = 2x –5 och punkterna A = (–2, –8) och B = (1, –3).

3

Ligger någon av punkterna på grafen?

3132 Mängden, y mg, av ett läkemedel varierar i blodet enligt formeln y = 25 + 2x ∙ 0,98 x där x är tiden i timmar efter en injektion.

Rita grafen till funktionen och bestäm a) mängden läkemedel i blodet efter 2 h b) när mängden läkemedel i blodet är över 60 mg.

a) Rita grafen till formeln.

Bestäm med hjälp grafen b) stoppsträckan när hastigheten är 50 km/h c) hastigheten som ger stoppsträckan 60 m d) hur mycket stoppsträckan ökar om hastigheten ökar från 70 km/h till 110 km/h.

3129 a) Rita grafen till funktionen y = 0,5x2 – 1. b) R ita av och fyll i värdetabellen med hjälp av grafen. x

–4

–2

y

3.1 GRAFER OCH FUNKTIONER

Rod 1a_Kap 3_211230.indd 165

2

4

–1

165

2021-12-30 17:17

Tema

Kondition Kondition kan beskrivas som maximal syreupptagningsförmåga.

Konditionen anger hjärtats och kärlens förmåga att skicka syre till de arbetande musklerna samt musklernas förmåga att tillgodogöra sig syret.

Syreupptagningsförmågan anges med enheten milliliter syre per kg och minut (ml syre/kg/min).

Syreupptagningsförmågan (konditionsvärde) Motionär

40–50 ml/kg/min

elitidrottare inom konditionsidrott > 70 ml/kg/min

Ett enkelt sätt att beräkna konditionen är med hjälp av Åstrands stegtest.

1 Kliv upp och ned på en låg bänk med hastigheten 30 kliv per minut.

2 Mät pulsen efter 5 minuter. nomogram

3 Använd ett nomogram (se nedan). Dra en linje mellan pulsvärdet och vikten.

Läs av syreupptagningen per minut.

4 Beräkna konditionsvärdet med formeln Syreupptagning 1 000 Konditionsvärdet = Vikt där syreupptagningen anges i liter/min och vikten anges i kg.

Exempel

Adrian som väger 85 kg gör Åstrands stegtest och mäter sin puls till 160 slag/min.

Vi drar en linje mellan puls och vikt i nomogrammet och avläser syreupptagningen till 3,2 liter/min.

3, 2 ⋅ 1 000 ≈ Konditionsvärdet = 85 ≈ 38 ml/kg/min Adrians konditionsvärde är 38 ml/kg/min.

Puls 180

Rod 1a_Kap 2_211230.indd 140

1,6

176 172 168 164 160 156 152 148 144 140 136 132 128 124 120

140

Syreupptagning mätt i liter/min

2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6

Vikt 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

algebra

2021-12-30 15:56

Tema 1 Leon som väger 75 kg gör Åstrands stegtest och mäter sin puls till 140 slag/min. a) Använd nomogrammet och bestäm Leons syreupptagning per minut. b) Beräkna Leons konditionsvärde.

2 Shelley som väger 62 kg mäter sin puls till 124 slag/minut efter att hon gjort Åstrands stegtest i 5 min. a) Läs av Shelleys syreupptagning i nomogrammet. b) Beräkna Shelleys konditionsvärde.

3 Syreupptagningsförmågan minskar med åldern. Konditionsvärdet blir i genomsnitt 7 % lägre för varje 10-årsperiod för både kvinnor och män.

Philippe är 25 år och väger 90 kg. När han gör Åstrands stegtest har han pulsen 136 slag/minut. a) Beräkna Philippes konditionsvärde. b) Vad bör Philippe ha för konditionsvärde när han är 35 år? c) Vad bör Philippe ha för konditionsvärde när han är 65 år?

7 Moa väger 70 kg och gör Åstrands stegtest.

Hennes konditionsvärde är 43 ml/kg/min. a) Vilken syreupptagning har Moa? b) Efter en tids sjukdom gör Moa stegtestet igen. Hennes puls har ökat med 12 slag/min.

Vilket konditionsvärde har Moa nu?

8 Måns tränar orientering som är en konditionskrävande sport. Han har konditionsvärdet 60 ml/kg/min. a) Vad har Måns för syreupptagning om han väger 75 kg? b) Måns vill få ännu bättre kondition och strävar efter att ha konditionsvärdet 75 ml/kg/min.

Vad har han då för syreupptagning?

9 Tuva och Max brukar vara ute och springa tillsammans. Båda har syreupptagningen 3,6 liter/min. Tuvas konditionsvärde är 55 ml/kg/min. Max har konditionsvärdet 42 ml/kg/min.

Om de skulle göra Åstrands stegtest, hur stor skulle differensen mellan Tuvas och Max puls vara?

4 Mohabs syreupptagning är 3,4 liter/min och pulsen är 152 slag/min. a) Vad väger Mohab? b) Vilket konditionsvärde har Mohab?

5 Ronja har konditionsvärdet 47 ml/kg/min och syreupptagningen 2,9 liter/min. a) Beräkna Ronjas vikt. b) Vilken puls har Ronja efter Åstrands stegtest?

6 Varför har formeln för beräkning av konditionsvärdet konstanten 1 000 i täljaren?

algebra

Rod 1a_Kap 2_211230.indd 141

141

2021-12-30 15:56

Aktivitet Lika eller olika färg?

I den här aktiviteten ska du bestämma sannolikheten för ett slumpförsök, både experimentellt och teoretiskt. Syftet är bland annat att du ska förstå vad som menas med en beroende händelse.

Arbeta gärna i par eller grupp.

Materiel: En skål eller burk, två kulor i en färg och tre i en annan färg.

1 Ta slumpvis upp två kulor ur burken, en efter en.

2 a) Har de två kulorna lika eller olika färg? b) Tror du att ditt resultat är vanligast förekommande om försöket utförs många gånger? c) Utför försöket några gånger till.

Vilket utfall tror du nu har störst sannolikhet: Lika eller olika färg på de två kulorna?

242

Rod 1a Kap 4_220101.indd 242

3 Utför försöket 50 gånger och redovisa resultatet i en tabell med frekvens och relativ frekvens för de två utfallen.

4 a) Gör en teoretisk beräkning av sannolikheterna för de två utfallen med hjälp av ett träddiagram. b) Jämför värdet på sannolikheten med värdet på relativa frekvensen. c) På vilket sätt påverkas sannolikheten om du istället tar upp båda kulorna samtidigt?

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2022-01-01 16:31

Beroende händelser Exempel

En straff i basket leder vanligtvis till två straffkast.

Keith har följande statistik på sina straffkast.

Sannolikheten för mål: 1:a kastet, 80 % 2:a kastet om första lyckades, 90 % 2:a kastet om första misslyckades, 70 % Vi visar detta med ett träddiagram: mål 80 %

Första straffkastet

Andra straffkastet

beroende händelser

4226

miss 20 %

miss 10 %

mål 90 %

miss 30 %

mål 70 %

Sannolikheten att lyckas i det andra kastet påverkas av resultatet i det första kastet. När sannolikheten i en senare händelse påverkas av en tidigare händelse, säger vi att händelserna är beroende.

I en skål ligger karameller med lakrits- och jordgubbssmak.

Emmy tar två karameller ur skålen.

Hur stor är sannolikheten att a) båda smakar lakrits

b) de har olika smak?

Vi ritar ett träddiagram där vi markerar smakerna med färg och med L (lakrits) och J (jordgubb).

När Emmy ska ta den andra karamellen finns det bara 7 karameller kvar i skålen.

2 8

1:a karamellen

6 8

L 1 2:a karamellen 7

J 6 7

L

2 7

L

J

a) P (2 lakrits) = P (L, L) =

4.2 SLUMPFÖRSÖK I FLERA STEG

Rod 1a Kap 4_220101.indd 243

J

2 1 2 1 · = = ≈ 0,036 8 7 56 28

b) P (olika smak) = P (L, J) + P (J, L) = 2 6 6 2 12 12 24 3 = · + · = + = = ≈ 0,43 8 7 8 7 56 56 56 7 Svar: a) P (2 lakrits) =

5 7

1 ≈ 3,6 % 28

Multiplicera sannolikheterna längs grenarna. Addera grenarna.

b) P (olika smak) =

3 ≈ 43 % 7

243

2022-01-01 16:31

1 4227 Åtta paket delas slumpmässigt ut till åtta personer. I tre av de åtta paketen ligger guldvinster. a) Hur stor är sannolikheten att första personen får en guldvinst? b) Om den första personen får en guldvinst, hur stor är då sannolikheten att nästa person får det? c) Om de två första personerna får var sin guldvinst, hur stor är då sannolikheten att den tredje personen får det?

4228 I kylskåpet står fyra burkar läsk, två med colasmak och två med apelsinsmak. Du tar slumpvis två burkar.

Svara i bråkform. a) Vad är sannolikheten att den första burken läsk har colasmak? b) A nta att den första burken har colasmak.

Vad är då sannolikheten att även den andra har colasmak? c) Vad är sannolikheten att båda burkarna har colasmak?

2

4229 I ett kortspel finns åtta kort av vardera färgen röd, gul, grön och blå.

På korten står det en siffra från 1 till 8.

Alla kort är olika.

Du drar slumpmässigt tre kort. a) Hur stor är sannolikheten att alla korten är gröna? b) Hur stor är sannolikheten att det står 8 på alla korten?

4230 Olga har fyra konservburkar med tomater och fem med persikor. Men tyvärr har alla etiketter ramlat av.

Hon öppnar två burkar på måfå. a) Vad är sannolikheten att de har olika innehåll? b) Vad är sannolikheten att de har samma innehåll?

244

Rod 1a Kap 4_220101.indd 244

4231 Antalet elever i två skolklasser är 24 i klass A och 32 i klass B. Tre elever ska slumpmässigt väljas ut för att representera klasserna i en tävling.

Hur stor är chansen att det blir a) tre från klass A b) tre från samma klass?

4232 I en låda ligger 4 blå, 4 vita och 4 svarta strumpor av samma sort. Du tar två strumpor utan att titta.

Hur stor är sannolikheten att a) du får en blå och en vit strumpa

3

b) samma färg på strumporna?

4233 Karameller med samma storlek, men olika färg och smak är placerade i två skålar.

Det ligger en röd och tre svarta i den första skålen och två röda och två svarta i den andra skålen.

Lea tar en karamell från den första skålen och lägger den i den andra skålen. Sen tar hon en karamell ur den andra skålen.

Hur stor är sannolikheten att den karamellen är röd?

4234 Ninni spelar på Lotto.

I spelet ska man välja sju av talen 1–35.

Talen slumpas fram vid dragningen.

När tre tal har slumpats fram har hon två rätt. a) Hur stor är sannolikheten för att detta ska ske? b) När hon har två rätt av tre, hur stor är då sannolikheten att hon får sex rätt på sin Lottorad?

sannolikhet och statistik

2022-01-01 16:31

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.

8 I ett kalkylprogram ligger cellen B3 till höger om cellen B2.

2 Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5.

9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant, så minskar räntekostnaden efter varje amortering.

3 Vid ett kast med två vanliga tärningar är P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).

10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.

4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) mindre är P ( A ).

11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.

5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8.

Om tre frön sätts, så är chansen mindre än 50 % att alla tre fröna gror.

6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor.

Om du tar två kulor ur burken, så är P (lika färg) = P (olika färg).

7 Om räntan på ett lån är hög, så är även amorteringen hög.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Rod 1a Kap 4_220101.indd 275

12 Om försäljningen av glass minskar samtidigt som lufttemperaturen minskar, innebär det en negativ korrelation.

13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %.

Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena. Det betyder att resultatet är statistiskt signifikant.

275

2022-01-01 16:32

Sammanfattning4 Sammanfattning Enkla slumpförsök Antalet gynnsamma utfall Sannolikhet = Antalet möjliga utfall

Beroende händelser Exempel:

Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1.

Exempel: Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula.

3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger 3 P (grön) = 7

B

A

Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor.

Vi tar två kulor.

Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten för färgen på den andra.

Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.

Motsvarande för en vit kula är 4 P (vit) = 7 Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %.

3 4 7 + = = 1 = 100 % 7 7 7 Slumpförsök i flera steg

Sannolikheten för den första: 3 P (röd) = 5 Sannolikheten för den andra om en röd är tagen: 2 P (röd) = 4 3 2 6 3 P (röd, röd) = · = = 5 4 20 10 Komplementhändelse Exempel:

En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller: P (träff) = 0,7

P (bom) = 0,3

Försöket kan beskrivas med ett träddiagram: 0,7

0,7 träff 0,49

Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor.

Vi tar två kulor.

0,3

träff

bom 0,3 bom 0,21

0,7 träff 0,21

0,3 bom 0,09

Sannolikheten för ”en gren” är produkten av sannolikheterna längs grenen.

Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1.

0,7 ∙ 0,7 + 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 + 0,03 ∙ 0,03 = 1 Exempel: P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 P (en träff) = P (träff, bom) + P (bom, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

276

Rod 1a Kap 4_220101.indd 276

Händelse A = minst en röd Händelse B = ingen röd Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall.

Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Det gäller att P (A) + P (B) = 1 Om vi vill beräkna P (A) är det i detta fall enklare att beräkna P (B): 3 2 6 1 ∙ = = P (B) = 10 9 90 15 1 14 P (A) = 1 – P (B) = 1 – = 15 15 SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2022-01-01 16:32

Lån, ränta och amortering

Felkällor och signifikans

Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.

Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.

När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.

Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.

Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal.

Kalkylprogram

Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.

I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.

Korrelation och kausalitet

Exempel: I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000 I B2 skriv vi räntan i %: 5 I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100 I C2 kommer värdet 500 att visas.

1 2

A B C Lån i kr Ränta i % Ränta i kr 10 000 5 =A2*B2/100

Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.

Negativ korrelation

Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C 2 automatiskt.

Stickprov och urvalsmetoder Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population.

Ingen korrelation

En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population.

Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning.

Om man gör ett genomtänkt urval av populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.

Ett urval kan vara: • systematiskt • slumpmässigt

Positiv korrelation

Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet.

• stratifierat.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Rod 1a Kap 4_220101.indd 277

277

2022-01-01 16:32

Kan du det här?

Delkapitel

BEGREPP

4.1 Repetition av sannolikhet

Sannolikhet Utfall Händelse P (händelse)

PROCEDUR • beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall • bestämma sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.

Frekvens Relativ frekvens 4.2 Slumpförsök i flera steg

Beroende och oberoende händelser

• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg

Träddiagram

• bestämma och beräkna komplementhändelser.

Komplementhändelse 4.3 Matematik och ekonomi

Ränta Amortering Kalkylprogram

4.4 Statistik

Population Urvalsmetoder Stickprov Felmarginal

• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.

• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och yrkesliv.

Konfidensintervall Spridningsdiagram Signifikans Korrelation Kausalitet

278

Rod 1a Kap 4_220101.indd 278

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2022-01-01 16:32

Testa dig själv 4 4.1 Repetition av sannolikhet 1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.

4.3 Matematik och ekonomi 6 I ett kalkylblad visas saldot på ett konto.

Värdet i cell C2 beräknas med en formel.

Beräkna sannolikheten a) att du tar en svart kula b) att du tar en kula som inte är svart.

4.2 Slumpförsök i flera steg 2 Två vanliga tärningar kastas. a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5? b) Ungefär hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger?

3 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla.

P (träff) = 0,4 för varje pil. a) Rita ett träddiagram till denna händelse. b) Beräkna P (miss, miss). c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar.

A B C Saldo i kr Ränta i % Saldo i kr e er 1 år 8 000 0,75 8 060

1 2

Vilket tal visas i cell C2 om värdet i cell B2 ändras till 1,5?

7 Karin har en kontokortsskuld på 5 400 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje månad i ett år. Månadsräntan är 2,5 %.

Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.

4.4 Statistik 8 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar.

9 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser.

Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva. a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?

4 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå.

Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade?

5 Enligt en undersökning håller 8 av 10 värmepumpar av ett märke i 15 år.

Hur stor är risken att av tre pumpar som installeras samtidigt a) ingen håller i 15 år b) minst en inte håller i 15 år?

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Rod 1a Kap 4_220101.indd 279

b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva, om vi antar att andelen positiva i bortfallet var densamma som bland de som svarade?

10

x

5

10

15

20

y

64

72

93

102

Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y?

11 Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %. Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant.

Vad vet man då om felmarginalen?

279

2022-01-01 16:32

Blandade övningar 4 1 Utan digitala verktyg 1 När man snurrar på ett chokladhjul är chansen att vinna lika stor för alla siffrorna från 0 till 9.

2 3

B Årsränta i %

C Årsränta i kr

a) Vilket tal visas i cell C2 om man skriver 2 000 i cell A2 och 5 i cell B2?

9 0

b) Vilket tal har man skrivit in i cell B2 om det står 1 000 i cell A2 och 120 i cell C2?

Hur stor är chansen att hjulet stannar på a) 5 b) 5 två gånger i rad

2

c) 5 tre gånger i rad?

2 En familj ska flytta från Stockholm till Melbourne i Australien. De hittar följande statistik över genomsnittliga månadstemperaturer.

Månad

A Lån i kr

Figuren visar ett kalkylblad där man i cellen A2 ska skriva lånets storlek och i B2 årsräntan i procent. En formel beräknar sedan årsräntan i kronor och skriver den i cell C2.

7 8

1

1 2

6

4 5

4

c) Vilken formel ska skrivas i cell C2 för att programmet ska räkna ut räntekostnaden?

5 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel.

Spelet går till så här: Programledaren kastar två tärningar som du inte ser.

Stockholm ( °C)

Melbourne ( °C)

Jan

–3

26

Mars

–1

24

Maj

10

17

Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna?

Juli

18

13

Motivera varför.

Sept

12

17

Nov

3

22

Rita ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturerna i Stockholm och Melbourne.

3 Vid en väljarundersökning får ett parti 3,6 % av rösterna. Felmarginalen är 0,5 procentenheter. Är det statistiskt säkerställt att partiet ligger under fyraprocentspärren som gäller för att komma in i riksdagen?

280

Rod 1a Kap 4_220101.indd 280

Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.

(NP)

6

B

A

Daniel tar två kulor ur skål A och Sofia tar två kulor ur skål B. Vem har störst chans att få a) två gula kulor b) en kula av varje färg c) minst en gul kula?

Motivera dina svar.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2022-01-01 16:32

1

Med digitala verktyg

7 Av de senaste 12 matcherna har ett fotbollslag vunnit 5 gånger, spelat oavgjort 4 gånger och förlorat resten.

Anta att laget fortsätter med samma fördelning mellan vinst, oavgjort och förlust.

Vad är sannolikheten att laget kommer att a) vinna de två följande matcherna b) förlora de två följande matcherna?

8 Tabellen visar åldersfördelningen hos de anställda i ett företag. Ålder i år Antal

18−34

35−49

50−65

250

150

100

Man ska välja ut 60 personer så att urvalet blir representativt för åldersfördelningen på företaget.

2

Hur många ska väljas ut från varje åldersgrupp?

11 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas.

Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva. En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva.

9 Hamsa ska baka en kaka och tar två ägg ur en kartong med fem ägg. Hon vet inte att två av äggen i kartongen är kokta. a) Vad är sannolikheten för att båda äggen som Hamsa tagit är kokta? b) Hur stor är sannolikheten att inget av äggen är kokta?

Hur många procent var positiva till konserthusbygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet?

12 Joar tar ett lån på 15 000 kr som ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 2,3 %.

Använd ett kalkylprogram och beräkna Joars

10 I ett spel kostar en spelomgång 20 kr.

a) ränta och amortering efter första månaden

Spelet är konstruerat så att på en miljon spelomgångar slumpas vinster ut enligt: Antal

Vinst i kr

10 000

250

5 000

500

2 500

750

500

5 000

Vilken är den förväntade vinsten eller förlusten i kronor om man spelar 1 000 gånger?

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Rod 1a Kap 4_220101.indd 281

b) ränta och amortering efter andra månaden

3

c) sammanlagda ränta under året.

13 Adam och Bobby spelar ett datorspel.

Sannolikheten för vinst är 0,7 för Adam och 0,3 för Bobby. En dag tävlar man så att den segrar som först vunnit två gånger.

Hur stor är sannolikheten att Bobby segrar?

281

2022-01-01 16:32

SVAR Kapitel 1 1103 a) 23 b) 43

c) 16 d) 0

1104 a) 29

c) 54

b) 18

d) 19

1105 a) 1 b) 6 1106 a) 66

c) 11 d) 4 b) 2

1114 a) Vid subtraktion, t.ex.

8 – 6 = 2, gäller att term – term = differens. b) Vid multiplikation, t.ex.

3 ∙ 5 = 15, gäller att faktor ∙ faktor = produkt. c) Vid division, t.ex.

20 = 4, gäller att 5 täljare = kvot. nämnare

b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte. c) 6 Lösning: Metod 1 Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.

42 + 18 60 = =6 10 2+8 Metod 2 Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.

42 + 18 = 2+8 = (42 + 18)/(2 + 8) = 6

b) 36

1111 a) 45

c) 19 Ledtråd: Beräkna potensen först. d) 13 e) 11 Lösning: (8 – 2)2/3 – 1 = 62/3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11

b) Rörelseenergin är 750 joule. b) 5 b) 13

c) 28

1120 a) 361, 362, 363 osv.

Ledtråd: a är större än 36.

10

Kalle tänker nog: Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken.

Minustecknen står inte intill varandra.

–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5.

1131 a) –63

1132 a) –17 b) –4 c) –6 Ledtråd: Skriv om uttrycket.

Ersätt – (–) med + e) –18 f) –1

c) 2 ∙ 52 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45

d) 119, 118, 117…. 3, 2, 1

c) 41, 42, 43 osv.

b) –2 °C

c) 12 d) –1

d) 7

b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt.

1113 a) 4 Ledtråd: Beräkna 120/30

1130 –12 ska minskas med 5.

Resultatet blir –17.

b) –3

b) 42, 84 och 96

1124 –4

c) Saldot är –100 kr.

Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17.

1116 a) Rörelseenergin är 375 000 joule.

1123 a) –5 °C

b) Saldot är 50 kr.

c) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2

b) 39, 38, 37…. 3, 2, 1

1112 Kostnaden är 200 kr.

1127 a) Saldot är 0 kr.

b) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4

1119 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84

1110 a) 18

c) –10

1129 a) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10

c) Kostnaden är 3 470 kr.

b) 42

b) –6

c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2

1118 a) 28

1109 a) 5

1126 a) –6

b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7

b) Kostnaden är 1 550 kr. d) Genomsnittspriset är 550 kr/h.

c) 2

1128 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3

b) 22 Lösning: (8 – 4)2 + 3 · 2 = = 42 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22

1117 a) 5

1108 a) 480 kr/h

b) –8

d) Saldot är –650 kr.

1115 a) 19

1107 a) 59

1125 a) –2

1133 a) Det negativa talet –18. c) –7 °C

b) Det positiva talet 8. c) Det positiva talet 19. d) Det negativa talet –2.

b) 2

326

1a_röd_Facit.indd 326

SVAR

2022-01-03 11:33

1134 a) –10

1143 a) 7,08 m 7,1 m 7,18 m 7,2 m b) 0,099 m 0,805 m 0,87 m 0,9 m

b) –20 Lösning: 10 + (–5) · 6 = 10 + (–30) = = 10 – 30 = –20

1144 a) 2,3 kg

b) 0,7 kg

c) 11

1145 a) 1,5 mm

c) 0,5 mm

d) –20 1135 a) 5 Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet.

3 + 7 10 = =5 2 2

b) 0,15 mm

d) 0,35 mm

1146 a) 0,8 Ledtråd: Multiplikationen först.

b) 2 c) 1

d) –0,4

e) –2,5 f) –14 1136 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = = –3 b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31 c) –11 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11 1140 a) 0,03 = 3 hundradelar b) 0,7 = 7 tiondelar c) 0,002 = 2 tusendelar d) 0,95 = 95 hundradelar eller 0,95 = 9 tiondelar och 5 hundradelar 1141 a) 4 hundradelar = 0,04 b) 24 hundradelar = 0,24

c) 56,41 s

b) 56,83 s

d) 55,94 s

1148 a) 0,60 = 60 hundradelar eller 0,60 = 0,6 = 6 tiondelar b) 0,072 = 72 tusendelar eller 0,072 = 7 hundradelar och 2 tusendelar

b) a = 0,3

d) a = 0,3

b) F 500 000 kr 1151 a) a = 4 b) a = 10 c) a = 200 1152 a) 0,9 mm Ledtråd: Beräkna medelvärdet. c) 0,11 mm 1153 a) 0,09

c) 5 tiondelar = 0,5

b) 0,009

d) 1 tiondel = 0,1

c) 0,016

1142 a) 0,07 är 7 hundradelar

c) a = 3

1150 a) E 300 000 kr

b) 0,025 mm

c) Bromssträckan är fyra gånger längre.

Ledtråd: Bromssträckan vid 100 km/h är 80 m.

Bromssträckan vid 50 km/h är 20 m.

b) 12,49 kg ≈ 12 kg c) 36,5 kg ≈ 37 kg 1204 a) 1,473 m ≈ 1,5 m 1,846 m ≈ 1,8 m

1147 a) 56,56 s

1149 a) a = 0,05

b) 60 m

1203 a) 9,81 kg ≈ 10 kg

b) 1,7 c) 0,58 Lösning: 2 ∙ 0,3 – 0,02 = 0,6 – 0,02 = = 0,60 – 0,02 = 0,58

d) –5

1154 a) Bromssträckan är 45 m.

b) 1,473 m ≈ 1,47 m 1,846 m ≈ 1,85 m 1205 a) 36 376 ≈ 36 000 b) 41 936 ≈ 42 000 c) 19 563 ≈ 20 000 d) 30 512 ≈ 31 000 1206 a) 51,5 g 51,7 g 51,9 g b) Medelvärdet är 51,7 g.

Lösning: Medelvärdet = 51, 47 + 51, 73 + 51, 85 = ≈ 3 ≈ 51,7 1207 A 159 kr per liter.

B 150 kr per liter.

C 144 kr per liter.

1208 Man bör avrunda längderna uppåt. Annars blir de för korta.

1209 a) Arean är 38,9 m 2 . b) 4 färgburkar ska köpas.

Ledtråd: Om 1 liter räcker till 4 m2 så behövs 9,7 liter till taket.

1210 a) Ca 1,3 miljoner kr per dygn. b) Ca 71 kr per anställd och timme.

b) 0,20 är 20 hundradelar c) 0,6 = 0,60 är 60 hundradelar

SVAR

1a_röd_Facit.indd 327

327

2022-01-03 11:33

Lena Alfredsson • Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin

1a

Matematik

5000

1a 5000

Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 1a Röd är anpassad för de serviceinriktade yrkesprogrammen.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen.

I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Teman gör undervisningen relevant för karaktärsämnen och yrkesliv Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Aktivitet och Historik bidrar till en varierad undervisning Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-46008-9

9 789127 460089

M5000Plus_1a röd_Omslag_220103.indd 1-3

1a

2022-01-03 17:55