L ärare gör
Rika, öppna och kreativa uppgifter
Problemlösning ger dig som lärare bra problemuppgifter till alla i klassen. Med hjälp av det här materialet får du på ett enkelt och lekfullt sätt in mer problemlösning i din undervisning, både i mindre grupper och i helklass. Uppgifterna är indelade i olika matematiska områden så att du lätt kan använda dem som komplement till klassens basläromedel.
Lina Pfannenstill och Erika Tengrud är båda speciallärare med inriktning på matematikutveckling och arbetar med elever från förskoleklass till årskurs 6 i Trelleborg och Malmö.
Lärare gör
PROBLEMLÖSNING Rika, öppna och kreativa uppgifter
Erika Tengrud · Lina Pfannenstill
Matematik åk 1–3
Matematik åk 1–3
Materialet innehåller kopieringsmaterial till 68 problemuppgifter. Uppgifterna är indelade i tre problemtyper – rika, öppna och kreativa. Till varje uppgift finns en lärarsida med stöd för arbetssätt och vilka strategier som passar till varje problemuppgift.
Lärare gör PROBLEMLÖSNING
PROBLEMLÖSNING
Innehåller kopieringsunderlag
Lärare Gör-serien ger konkreta förslag på arbetssätt och aktiviteter som är väl beprövade och direkt kan användas i undervisningen.
ISBN 978-91-27-45779-9
9 789127 457799
problemlösning_cover.indd Alla sidor
2020-12-14 11:29
R = Rika uppgifter Ö = Öppna uppgifter K = Kreativa uppgifter
Innehåll Förord 4 Del 1 Problemlösning 6 Tre typer av problem 6 Rika uppgifter 7 Öppna uppgifter 8 Kreativa uppgifter 8 Strategier vid problemlösning 9 Rita en bild 9 Utesluta 10 Pröva sig fram 10 Börja bakifrån 11 Göra en tabell 11 Använda laborativt material 12 Använda hjälpmedel 12 Arbeta med problemlösning 13 Gruppsammansättning 13 Lärarstöd till uppgifterna 14 Del 2 Taluppfattning Tallinjen R 18 Familjen Andersson Ö 20 Panta burkar Ö 22 Kalaset Ö 24 Gömt mönster K 26 Positionssystemet Tidslinjen R 28 Plånboken Ö 30 Försvunna siffror K 32 Miniräknaren K 34 Talgåtor K 36 Bråk Godisskålen R 38 Pizzan Ö 40 Dela upp kulor K 42 Den kvadratiska pizzan K 44 Vilken tårtbit? K 48 De fyra räknesätten Hur många år är hundarna? R 50 Skolkören Ö 52 Byta kulor med varandra Ö 54 Kiosken K 56 Marknaden K 58 Likheter och likhetstecknet Försvunna tal R 60 Vattna plantor Ö 62 Hur tänker du? Ö 64 Tjuven K 66 Fantasizoo K 68
Problemlösning_textsection.indd 3
Mönster och talföljder Pärla halsband R 70 Dekorera sandslott R 72 En ska bort Ö 74 Klassresa Ö 76 Fortsätt talföljden K 78 Geometri Bygga figurer R 80 Dela figurer Ö 82 Sova över Ö 84 Sandlådan K 88 Vem är jag? K 90 Längd och skala Hur många pennor? R 92 Ridhuset R 94 Limousinen Ö 96 Hagen Ö 98 Hur högt är huset? K 100 Störst area K 102 Volym Blanda saft R 104 Kolakakor R 106 Varm choklad Ö 108 Vilken rymmer mest? K 110 Asken K 112 Massa Vad ska Smilla betala? R 116 Elefantungen Ö 118 Vågen Ö 120 Hissen Ö 122 Mjölpåsen K 124 Hur många mynt? K 126 Tid Hur många år? R 128 Kaninen Ö 130 Hur lång tid? Ö 132 Födelsedagskalaset K 134 Utflykten K 136 Sannolikhet och statistik Packa väskan R 138 Kramen R 140 Bygga torn Ö 142 Spela yatzy K 144 Fredagsmys K 146 Samband och förändring Hemlisen R 148 Lego R 150 Blåbärsmuffins R 152 Klädnypor Ö 154 Korthus K 156 Hur många steg? K 158
2020-12-14 09:59
Förord Vi vill med denna bok visa hur alla elever kan lyckas med att lösa matematiska problem och hur du på ett roligt sätt kan arbeta med ett och samma problem med hela gruppen. Bokens syfte är att stötta dig som lärare i arbetet med att hitta lämpliga problemlösningsuppgifter som inkluderar alla elever! Vår erfarenhet från klassrummet är att alla elever inte hinner till problem lösningsuppgifterna när de arbetar individuellt i sin mattebok, eftersom de ofta finns sist i ett kapitel eller samlade på specifika temasidor. Att kunna kom municera och resonera är viktigt för kunskapsutvecklingen i matematik och därför är det bra att avsätta tid för att arbeta specifikt med problemlösning där eleverna ges goda möjligheter att träna på dessa förmågor. Vi har valt att dela in uppgifterna i tre olika typer av problem – rika, öppna och kreativa, för att eleverna ska få möta problem som har olika karaktär. Det ger dem möjlighet att utveckla olika förmågor genom att till exempel kommu nicera matematik med varandra och använda sin kreativitet tillsammans för att lösa dem. Det finns olika sätt att benämna problemlösningsuppgifter. Vi kommer att variera oss med problem, problemuppgift och uppgift beroende på text och sammanhang. När vi tog examen som speciallärare i matematikutveckling skrev vi ett gemensamt examensarbete om problemlösning. Redan då hade vi tankarna på en bok som denna. Nu är den äntligen här och vi hoppas att många lärare och elever kommer att ha glädje av den.
L ina och Erika
4 PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 4
2020-12-14 09:59
Problemlösning I skolans matematikundervisning är problemlösning en viktig del. Elever bör ges möjlighet att utveckla en medvetenhet om att det finns flera sätt att lösa problem på. När elever känner tilltro till sin förmåga att använda matematik vågar de testa nya metoder och kan då också reflektera över vad de gör och vad resultatet blir. Ett varierat utbud av undervisningsmetoder som matematiska diskussioner och undersökande aktiviteter varvat med enskilt arbete i ett läromedel ger eleverna möjlighet att utveckla matematiska förmågor. Förmågorna att kunna resonera, analysera, samtala, argumentera och redogöra för beräkningar och slutsatser hänger alla ihop med problemlösning. Därför är det viktigt att eleverna återkommande får möta olika typer av problemuppgifter.
Tre typer av problem Den här boken presenterar tre olika typer av problem, eftersom det är viktigt att eleverna får erfarenheter av att möta uppgifter som kräver olika angreppssätt. De tre olika problemtyperna är rika uppgifter, öppna uppgifter och kreativa uppgifter. För att skapa de bästa förutsättningarna för en problemlösningssituation krävs ett lämpligt problem, att genomgången utgår från viktiga begrepp och att man har kunskap om vanliga missuppfattningar. Att låta elever diskutera misstag och dela med sig av olika kategorier av elevlösningar är till stor hjälp för alla, eftersom de då får möjlighet att reflektera över både sina egna missuppfattningar och andras. Problemlösning behöver få ta tid eftersom kunskap fastnar när eleverna måste fundera och kämpa. När elever får vara kreativa, upptäcka och sätta ord på sina idéer ökar förståelsen. Förståelse är en förutsättning för fortsatt framgång i matematikundervisningen och ökad förståelse leder till att elever får ett annat synsätt på matematiken. De kan då ta kontroll över sitt eget lärande, blir mer motiverade och deras självförtroende i matematik blir större.
PROBLEMTYPER
Rika uppgifter
Öppna uppgifter
Kreativa uppgifter
Innehåller deluppgifter på olika svårighetsnivåer.
Har fler än ett rätt svar.
Kan lösas på många olika sätt men har endast ett rätt svar.
6 PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 6
2020-12-14 09:59
Rika uppgifter Rika uppgifter har allt viktigt innehåll som behövs för att möta elever på olika nivåer. De är enkla nog att möta elever på en lägre kunskapsnivå och erbjuder samtidigt fördjupning, så att även elever på högre nivå kan utmanas av dem. Rika uppgifter möjliggör samarbete och diskussion i form av grupparbeten och uppmuntrar elever att utveckla självförtroende, självständighet och kritiskt tänkande. För att ett problem ska benämnas som rikt ska följande sju kriterier uppfyllas: n
Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
n
Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha möjlighet att arbeta med det.
n
Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
n
Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.
n
Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, resonemang som visar på olika matematiska idéer.
n
Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
n
Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. (Eva Taflin, 2007)
Rika uppgifter i klassrummet kan bidra med olika nivåer av utmaningar obe roende av elevens kunskapsnivå och möjlighet till utbyggnad av problemet för dem som kräver det. Exempel på rik uppgift Laila har 12 suddgummin i rött, grönt och blått. Hur många suddgummin har Laila i de olika färgerna om: a Tre är röda. Fem är gröna. b Det finns lika många av varje färg. c Tre är röda. De blå är dubbelt så många som de gröna. c Gör en liknade uppgift.
Problemlösning 7
Problemlösning_textsection.indd 7
2020-12-14 09:59
Öppna uppgifter Öppna uppgifter innebär att det finns olika möjligheter till korrekta svar på en uppgift. Historiskt sett har matematiken presenterats som ett ämne med absoluta sanningar där det bara finns ett rätt svar på ett problem. Forskare framhåller vikten av att få bort fokus på rätt eller fel, vilket bidrar till att många elever kan slappna av och bli problemlösare. Något som främst lågpresterande elever vinner på. Man lyfter också fram vikten av att inte bara belöna ett korrekt svar och menar att det är viktigt att ha en bredare syn på vad matematik är och vad det innebär att vara ”smart”. Öppna uppgifter är bra för elever med matematikångest eller oro. Ofta är det fokuset på ”rätt eller fel” som ställer till det, då man är rädd för att göra fel. Fokus på ett enda rätt svar är oftast inte lika stort i andra ämnen. Öppna upp gifter gynnar alla elevers förmåga att tänka och resonera kring problem eftersom det ger en större variation av lösningar. Exempel på öppen uppgift Laila har 12 suddgummin i rött, blått och grönt. Hur många av de olika färgerna kan hon ha? Ge flera exempel.
Kreativa uppgifter Kreativa uppgifter är problemlösning med färre instruktioner och mer själv ständigt tänkande, vilket gör att kunskaperna som elever tillägnar sig vid arbetet med lösningen blir mer beständig. Det finns fortfarande endast ett rätt svar men det finns många olika sätt att lösa uppgiften på. Många av uppgifterna som elever stöter på i de nationella proven är just kreativa. De nationella proven innefattar en stor del uppgifter vars lösning kräver mer än att ha memorerat procedurer och fakta. Matematikuppgifter som främjar kreativt matematiskt resonemang är mer effektiva för elevers matematikinlärning än de som istället främjar algoritmiska resonemang, där utantillinlärning står i fokus. Alla elever gynnas av att arbeta med kreativt utformade uppgifter. Exempel på kreativ uppgift Laila har 12 suddgummin i olika färger. Hur många suddgummin av varje färg har hon? • Tre av suddgummina är blå. • Det finns dubbelt så många gröna som blå suddgummin. • Resten av suddgummina är röda.
8 PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 8
2020-12-14 09:59
Strategier vid problemlösning För att lösa matematiska problem kan elever ta hjälp av olika strategier. Strate gierna är till för att visualisera, konkretisera och strukturera problemen för den som försöker att lösa dem. I den här boken är eleverna fria att välja strategi vid varje uppgift, men det finns tips på vilka strategier som kan passa att använda om man som elev känner sig osäker på hur man ska komma igång. Det finns också alltid en kort beskrivning av vad strategin hjälper till med och ibland finns det ledtrådar som eleverna kan få. Stategierna som förekommer i boken är: n
Rita en bild
n
Utesluta
n
Pröva sig fram
n
Börja bakifrån
n
Göra en tabell
n
Använda laborativt material
n
Använda hjälpmedel
Rita en bild Uppmuntra eleverna att rita bilder som visualiserar problemet. Bilden är en bro mellan det konkreta och det abstrakta. Observera att eleverna behöver få förtydligat att det är skillnad på att rita på matematiklektioner och att rita vid övriga tillfällen. Eleverna ska inte lägga tid på detaljer utan göra enkla representationer av bilder. Om en uppgift handlar om en person kan den representeras av en streckgubbe eller dylikt. Pizzan Tre kompisar ska dela på en pizza. Agnes äter ½ pizza Peter äter ¼ pizza Isa äter ⅛ pizza Hur stor är delen som blir över?
Att rita en bild passar bra när bilden kan motsvara verkligheten. Att hålla bråktalen i huvudet och arbeta med olika nämnare kan vara en utmaning för elever som inte har en klar uppfattning av vad bråktalen innebär. Eleverna kan rita runda cirklar, men det finns inget som hindrar att de ritar kvadrater eller rektanglar. Var medveten om att det kan finnas ett visst motstånd hos elever som inte är vana vid att rita eftersom det då kan ta längre tid att lösa en uppgift.
Strategier vid problemlösning 9
Problemlösning_textsection.indd 9
2020-12-14 09:59
Lärarstöd till uppgifterna I den här boken finns ett antal problemlösningsuppgifter med utgångspunkt i förmågorna och i det centrala innehållet för Lgr 11. Bokens syfte är att elever ska få möjlighet att möta olika problemtyper – rika, öppna och kreativa. Till varje problem finns ett kopieringsunderlag samt ett lärarstöd med förslag på arbetssätt, viktiga förkunskaper, strategier, vanliga missuppfattningar och facit. Uppgifterna är sorterade i tretton matematiska områden och färgkodade efter problemtyp för att det ska vara enkelt att hitta problem som passar att ta in i den ordinarie undervisningen. Vissa uppgifter vill uppmunta eleverna att använda utvalda begrepp när de samtalar i grupper. Samtalsorden finns på elevernas kopieringsunderlag och efter varje ord finns en ruta där de kan markera när de har använt ett ord i ett matematiskt sammanhang. Uppgifterna är inte indelade i nivåer eftersom valet av uppgift är beroende av gruppen man har framför sig. En del grupper har kommit längre i sin matematikutveckling medan andra grupper inte har kommit lika långt. Det som är genomgående är att uppgifterna är utvalda och konstruerade så att de ska inkludera alla elever. En del elever kommer bara att hinna göra första delen, eller endast ge ett förslag på lösningen av uppgiften, medan andra hinner längre, vilket är helt naturligt. Vid uppgifter där det inte finns flera steg finns ofta en utmaning istället om eleverna skulle lösa uppgiften snabbt.
14 PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 14
2020-12-14 09:59
Förkunskaper
Gör så här
Beskriver de kunskaper eleverna förväntas ha för att kunna ta sig an uppgiften.
Tips för hur du som lärare kan genomföra lektionen.
Varm choklad
Volym
ÖPPEN UPPGIFT
Svårigheter och missuppfattningar
Förkunskaper Volym, rymmer, innehåll, volymmått (dl, l), en liter = tio deciliter, 1,5 liter = 15 dl, addition och subtraktion 0–20
Samtalsord
Svårigheter och missuppfattningar
volym, rymmer, innehåll, deciliter, liter, addition, subtraktion
n
Eleverna tänker inte på att barnen kan hälla i olika mycket. Något barn kanske inte häller i något alls.
Gör så här
n
Introducera uppgiften för eleverna. Skriv den på tavlan. Därefter arbetar eleverna i par och kommer överens om en eller flera lösningar.
Eleverna blir förvånade av att det finns flera korrekta svar.
Utmaning
Strategier och ledtrådar Tipsa eleverna om strategin att pröva sig fram, med eller utan laborativt material. Strategin att börja bakifrån går också oftast bra att använda om eleverna utgår från 10 och subtraherar “en deciliter” åt gången.
FACIT a Exempel på lösningar: 4 dl+4 dl+2 dl 1 dl+3 dl+6 dl 5 dl+0 dl+5 dl
Om något par blir färdigt fort och har flera lös ningar kan man t.ex. låta dem göra en liknande uppgift själva.
Avslutning Låt några par presentera sin lösning och hur de kom fram till den. De flesta par har antagligen samma svar, använd tiden för diskussion kring vilken/vilka metoder som är bra att använda sig av.
Utmaning Om en elev blir klar snabbt eller tycker att uppgiften är lätt, så kan den här uppgiften användas som komplement.
Avslutning Förslag på hur du kan avsluta lektionen. Lika viktigt som det är att starta upp på ett bra sätt, är det att avsluta tillsammans.
b 5 dl Utmaning: Individuella svar.
110
Anledningar till att elever kan tycka att uppgiften är svår samt tips på hur du kan förebygga att eleverna missförstår.
PROBLEMLÖSNING
Facit
Strategier och ledtrådar
Svar till uppgiften. Till uppgifter som har flera svarsalternativ, finns några exempel angivna.
Förslag på hur du kan hjälpa elever som behöver stöd vidare.
SAMTALSORD volym rymmer innehåll deciliter liter addition
Samtalsord
Material
Begrepp som elever bör uppmuntras att använda när de samtalar om en uppgift. Samtalsorden finns även på elevernas kopieringsunderlag.
Penna, sudd och papper förväntas eleverna ha tillgång till. Om något annat material krävs för att lösa uppgiften beskrivs det här.
subtraktion
STRATEGIER VID PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 15
15
2020-12-14 09:59
Hagen ÖPPEN UPPGIFT
Längd och skala
Förkunskaper Längdenheter, rimlighet, uppskatta, förstora, förminska
Gör så här
Svårigheter och missuppfattningar
Inled med att hoppa hage med eleverna. Presen tera uppgiften och repetera vad att förstora något innebär. Dela ut kopieringsunderlaget. Låt eleverna arbeta i grupp och komma överens om ett svar samt ett underlag för hur de kommit fram till svaret. Att arbeta utomhus med en utekrita kan vara ett sätt att knyta an till vardagen.
n
En del elever har inte kunskaper om längdenheter.
n
Eleverna väljer att gissa men har svårt att bedöma rimlighet.
n
Det kan vara ovant att det inte finns ett exakt svar.
n
Eleverna förstorar på längden men inte på bredden.
n
Eleverna förstår inte hur man förstorar, proportionerna blir fel.
Strategier och ledtrådar Tipsa eleverna om strategin att rita en bild för varje förstoring. De kan vara utomhus med krita om det underlättar. Strategin att börja bakifrån kan fungera om eleverna utgår från hur stor de vill att hagen ska vara och sedan förminskar den istället.
FACIT
Avslutning Lyft några gruppers olika sätt att lösa uppgiften i klassen. Fokusera på strategierna de har använt sig av och vilka som fungerar bra och mindre bra.
Om eleverna tycker att en 2 m lång hage är lagom behöver de förstora den 20 gånger. Om de tycker att den ska vara 3 m lång för att vara lagom stor behöver den förstoras 30 gånger.
98 PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 98
2020-12-14 10:03
Hagen Hagen är för liten för att du ska kunna hoppa i den. Hur många gånger måste du förstora hagen för att den ska få lagom storlek?
Namn
KOPIERINGSUNDERLAG © 2021 Erika Tengrud, Lina Pfannenstill och Natur & Kultur Problemlösning ISBN 978-91-27-45779-9
Problemlösning_textsection.indd 99
ÖPPEN UPPGIFT 99
2020-12-14 10:03
Hur högt är huset? KREATIV UPPGIFT
Längd och skala
Förkunskaper Meter, decimeter, centimeter, rimlighet, uppskatta, mäta
Samtalsord
Svårigheter och missuppfattningar
längre än, kortare än, meter, centimeter, uppskatta, rimligt, dubbelt, hälften
n
Eleverna saknar kunskaper om att man kan mäta på olika sätt.
n
Eleverna väljer att gissa. Men utan en god taluppfattning kan det vara svårt att bedöma rimlighet.
n
Eleverna blir förvånade när det inte finns ett exakt svar.
Gör så här Inled med att prata om elevernas erfarenheter av att mäta objekt samt vilka längdenheter de känner till. Rita bilden på tavlan. Låt eleverna fundera själva först. Därefter delas kopieringsunderlaget ut. Eleverna arbetar i par eller i grupper om tre och kommer överens om en lösning samt olika tillvägagångssätt för att lösa uppgiften.
Strategier och ledtrådar Tipsa om strategierna att rita och pröva sig fram genom att markera på huset. Det kan också fungera att göra en tabell där man fyller på tills det inte får plats fler ”Rimor”.
Avslutning Lyft några olika lösningar i den stora gruppen. Ställ frågor till gruppen, till exempel: Finns det andra sätt att lösa uppgiften på? Finns det fler lösningar? Är det någon som har en annorlunda idé eller ett annat sätt att tänka kring uppgiften?
1 Rima 150 cm 2 Rima 150 cm + 150 cm = 300 cm 3 Rima 150 cm + 150 cm + 150 cm = 450 cm
FACIT Det får plats 13 Rima på höjden, huset är ca 19 m.
100 PROBLEMLÖSNING
Problemlösning_textsection.indd 100
2020-12-14 10:03
Hur högt är huset? Rima är 150 cm lång. Hur högt tror ni att huset är?
SAMTALSORD längre än kortare än meter centimeter uppskatta rimligt dubbelt hälften
Namn
KOPIERINGSUNDERLAG © 2021 Erika Tengrud, Lina Pfannenstill och Natur & Kultur Problemlösning ISBN 978-91-27-45779-9
Problemlösning_textsection.indd 101
KREATIV UPPGIFT 101
2020-12-14 10:03
L ärare gör
Rika, öppna och kreativa uppgifter
Problemlösning ger dig som lärare bra problemuppgifter till alla i klassen. Med hjälp av det här materialet får du på ett enkelt och lekfullt sätt in mer problemlösning i din undervisning, både i mindre grupper och i helklass. Uppgifterna är indelade i olika matematiska områden så att du lätt kan använda dem som komplement till klassens basläromedel.
Lina Pfannenstill och Erika Tengrud är båda speciallärare med inriktning på matematikutveckling och arbetar med elever från förskoleklass till årskurs 6 i Trelleborg och Malmö.
Lärare gör
PROBLEMLÖSNING Rika, öppna och kreativa uppgifter
Erika Tengrud · Lina Pfannenstill
Matematik åk 1–3
Matematik åk 1–3
Materialet innehåller kopieringsmaterial till 68 problemuppgifter. Uppgifterna är indelade i tre problemtyper – rika, öppna och kreativa. Till varje uppgift finns en lärarsida med stöd för arbetssätt och vilka strategier som passar till varje problemuppgift.
Lärare gör PROBLEMLÖSNING
PROBLEMLÖSNING
Innehåller kopieringsunderlag
Lärare Gör-serien ger konkreta förslag på arbetssätt och aktiviteter som är väl beprövade och direkt kan användas i undervisningen.
ISBN 978-91-27-45779-9
9 789127 457799
problemlösning_cover.indd Alla sidor
2020-12-14 11:29