9789127455290 by Smakprov Media AB

Lena Alfredsson • Hans Heikne

Matematik

5000

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med större fokus på digitala verktyg.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-45529-0

9 789127 455290

M5000Plus_1b_Omslag_NY.indd 1-3

2021-05-12 11:27

Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Sinus- och cosinusfunktioner Många fenomen är periodiska och upprepar sig regelbundet. Några exempel är dagens längd under ett år, ebb och flod samt olika svängningar och vågrörelser.

y 1

y = sin x x 90°

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

360°

2101 a) Skriv 103 i faktorform. a) 103 = 10 · 10 · 10

REPETITIONSUPPGIFTER 2101 a) Skriv 103 i faktorform.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

ÖVNINGSUPPGIFTER 3452 Vilka av följande tal ingår i värdemängden om y = 8 – x och –2 < x ≤ 4? –3

5,5

3453 En koppargruva beräknas innehålla 500 miljoner ton brytbar malm. Man planerar att varje år bryta 20 miljoner ton malm. a) Ställ upp en funktion som beskriver hur mycket brytbar malm, y miljoner ton, som finns kvar efter x år. b) A nge funktionens definitionsmängd och värdemängd.

SVAR

00_Kurs 1b_Kap 0_210511.indd 4

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller ekvationslösande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

2021-05-11 18:40

VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Aktivitet Vilka uttryck är lika?

Tema

högskoleprov

Algebra

Historik

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen. Det finns även några teman med uppgifter från högskoleprov.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Algebra genom tiderna

KAPITELSLUT

Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP

PROCEDUR

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

00_Kurs 1b_Kap 0_210511.indd 5

2021-05-11 18:40

Innehåll 1. Aritmetik och algebra 8

Inledande aktivitet: Lägga tal 9

1.1 Repetition av räkneregler 10 Prioriteringsregler 10 Negativa tal 13

1.2 Repetition av bråk och decimaltal 17 Tal i bråkform 17 Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 21 Addition och subtraktion av tal i bråkform 22 Historik: Historiska bråk 24 Multiplikation och division av tal i bråkform 25 Tema: Aritmetik 28 Tal i decimalform och avrundning 29 Aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 33

1.3 Uttryck och ekvationer 34 Algebraiska uttryck 34 Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 38 Linjära ekvationer 39 Aktivitet: Ekvationsbilder 43 Ekvationer med flera variabeltermer 44 Historik: Algebra genom tiderna 48

1.4 Mer om uttryck och ekvationer 49 Multiplicera in i parenteser 49 Uttryck och ekvationer med parenteser 52 Uttryck, ekvationer och bråk 55 Tillämpningar och problemlösningar 59

1.5 Procent och förändringsfaktor 64 Repetition av procentberäkningar 64 Tema: Gyllene snittet 68 Förändringsfaktor 70 Tema: Moms 74 Procentuella förändringar och jämförelser 76 Procentuella förändringar i flera steg 79 Aktivitet: Sant eller falskt? 83 Sammanfattning 1 84 Kan du det här? 86 Testa dig själv 1 87 Blandade övningar 1 88

00_Kurs 1b_Kap 0_210511.indd 6

2. Potenser och formler 92

Inledande aktivitet: Vika papper 93

2.1 Potenser 94 Potenslagar 94 Exponenten noll och negativa exponenter 98 Aktivitet: Vilka är lika? 102 Mer om potenser och potenslagar 103

2.2 Potensekvationer 105 Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 105 Tema: Potenser 109 Potensekvationen x n = a 110 Ekvationslösning med digitalt verktyg 114

2.3 Uttryck och formler 116 Multiplikation av uttryck 116 Faktorisera 120 Aktivitet: Förenkla med digitalt verktyg 123 Använda och tolka formler 124 Lösa ut ur formler 128 Tema: Algebra 130

2.4 Algebra och geometriska formler 131 Repetition av prefix och enhetsbyten 131 Formler för area och omkrets 134 Formler för volym 137

2.5 Mönster och generella samband 140 Upptäcka och beskriva mönster 140 Upptäcka och uttrycka generella samband 143 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 148 Aktivitet: Sant eller falskt? 149 Sammanfattning 2 150 Kan du det här? 152 Testa dig själv 2 153 Blandade övningar 2 154 Blandade övningar 1–2 157

INNEHÅLL

2021-05-12 12:42

3. Funktioner 160

Inledande aktivitet: Hitta regeln 161

3.1 Grafer och funktioner 162 Koordinatsystem 162 Historik: René Descartes 162 Funktion – Formel, värdetabell och graf 166 Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 170 Rita grafer med digitala verktyg 172 Räta linjer i vardagliga sammanhag 174 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 178

3.2 Räta linjens ekvation 179 Avläsa k-värde och m-värde 179 Beräkna k-värdet och rita linjer 184 Bestäm räta linjens ekvation 188 Parallella linjer 191 Olika former för räta linjens ekvation 193

3.3 Olikheter 196 Intervall 196 Linjära olikheter 199 Tema: Olikheter 202

3.4 Funktioner och skrivsättet f (x) 203 Skrivsättet f (x) 203 Tema: Funktioner 207 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 208 Aktivitet: Tårtljus 212 Definitionsmängd och värdemängd 213

3.5 Olika typer av funktioner 216 Linjära funktioner 216 Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 220 Exponentialfunktioner 221 Potensfunktioner 225 Aktivitet: Para ihop formel och graf 230 Matematiska modeller – egenskaper och begränsningar 231 Aktivitet: Sant eller falskt? 237 Sammanfattning 3 238 Kan du det här? 240 Testa dig själv 3 241 Blandade övningar 3 242 Blandade övningar 1–3 246

4. Sannolikhet och statistik 250

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 251

4.1 Repetition av sannolikhet 252 Sannolikheten för en händelse 252 Sannolikhet och relativ frekvens 256

4.2 Slumpförsök i flera steg 258 Försök med två föremål 258 Träddiagram 261 Aktivitet: Lika eller olika färg? 265 Beroende händelser 266 Aktivitet: Byta eller inte byta? 268 Komplementhändelse 269 Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 271 Tema: Sannolikhet 272

4.3 Matematik och ekonomi 273 Repetition av procent och procentenheter 273 Index 275 Lån, ränta och amortering 280 Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 283 En introduktion till kalkylprogram 284 Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 286 Krediter och avgifter 290

4.4 Statistik 294 Stickprov och urvalsmetoder 294 Signifikans och felkällor 298 Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 303 Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 304 Korrelation och kausalitet 305 Tema: Statistik med Gapminder 310 Aktivitet: Sant eller falskt? 311 Sammanfattning 4 312 Kan du det här? 314 Testa dig själv 4 315 Blandade övningar 4 316 Blandade övningar 1–4 318

Repetitionsuppgifter 322 Svar, ledtrådar och lösningar 330 Register 392

INNEHÅLL 7

00_Kurs 1b_Kap 0_210511.indd 7

2021-05-11 18:40

ARITMETIK OCH ALGEBRA Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal. Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, al-Khwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.

Centralt innehåll

Med andra ord

• Hantering av algebraiska uttryck.

I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.

• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg. • Metoder för att lösa linjära ekvationer. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen.

I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer. För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.

Kap 01_1b_Kap 1_210517.indd 8

2021-05-17 13:42

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två. Använd fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på dem.

2 5

1 7

1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt

3 Välj bland lapparna och lägg dem så att ∙ blir så produkten a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt. 4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt. 5 Använd en räknare för att få ett svar.

d) ett tal så nära 6 000 som möjligt

Utgå från svaret och förklara i vilken ordning beräkningarna är gjorda?

e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.

a) 5 + 3 · 2

2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt

b) 12 – 6 / 3 c) (5 + 3) · 2 d) 2 · 52 e) (2 · 5)2

c) nära 60 som möjligt.

Kap 01_1b_Kap 1_210517.indd 9

2021-05-17 13:43

1.1 Repetition av räkneregler Prioriteringsregler Exempel Hilda har börjat träna judo och har betalat

300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle.

När hon tränat 10 gånger beräknar hon den genomsnittliga kostnaden i kr per träning: 300 10 70 300 700 1 000 = = = 100 10 10 10 Det har kostat 100 kr/träning. Hon kontrollerar svaret på räknaren: 300+10*70/10

370

Räknaren visar 370. Varför blir det så? Räknaren gör en annan beräkning än den Hilda tänkte sig: 300 + 10 · 70 /10 = 300 + 700 /10 = 300 + 70 = 370

Multiplikation och division beräknas före addition.

För att få ett korrekt svar på räknaren finns två alternativ: ◗ Beräkna uttrycket i täljaren innan divisionen utförs: 300 10 70 1 000 = = 100 10 10 ◗ Använda en parentes: (300 + 10 · 70) /10 = 100 Prioriteringsreglerna anger i vilken ordning vi ska räkna: 1 Först beräknas uttryck inuti parenteser. Prioriteringsreglerna

2 Därefter potenser (upphöjt till). 3 Sedan multiplikationer och divisioner. 4 Till sist additioner och subtraktioner.

potens

Ett uttryck med en upprepad multiplikation med samma faktor kan skrivas som en potens, t.ex. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23.

bas 23 utläses ”två upphöjt till tre” och är en potens med basen 2 exponent och exponenten 3.

Kap 01_1b_Kap 1_210511.indd 10

Exponent

Bas

aritmetik och algebra

2021-05-11 18:47

Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:

De fyra räknesätten

Addition: 4 + 3 = 7

Multiplikation: 3 · 12 = 36

Term adderad med term ger en summa.

Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.

Subtraktion: 9 – 1 = 8

Division: 15 = 5 3 Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.

Term subtraherad från term ger en differens.

1101 Beräkna utan digitalt verktyg. a) 5 · 4 + 32 – 2

b) 10 + 4 · (5 – 2)

Vi använder prioriteringsreglerna. a) b)

5 · 4 + 3 2 – 2 = = 5 · 4 + 9 – 2 =

Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9 Sedan multiplikation

= 20 + 9 – 2 = 27 10 + 4 · (5 – 2) =

= 10 + 4 · 3 =

= 10 + 12 = 22

Först parentesen Sedan multiplikation

1102 Beräkna med digitalt verktyg

13 19 5 4 17 50

Metod 1 Vi skriver uttrycket med parenteser. (13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14 Metod 2 Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först. 13 19 5 252 = = 14 4 17 50 18 Svar: 14

* En ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 , betyder att du får använda

digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av digitalt verktyg.

1.1 REPETITION AV RÄKNEREGLER 11

Kap 01_1b_Kap 1_210511.indd 11

2021-05-11 18:47

1 1103 Beräkna a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3 b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3 1104 Beräkna a) 4 + 52 c) 2 ∙ 32 b) (4 + 5) · 2 d) (2 ∙ 3)2

1112 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13.

1113 Beräkna a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3 b) (8 – 2)2/3 – 1

1105 I vilket räknesätt beräknar man en differens?

3 23 24 32 4 22 Kontrollera dina svar med räknare.

1106 Beräkna 14 8 c) 14 – 6 /2 2 4 b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2

1114 Vilket tal ska stå i rutan? a) 8 ∙ 50 – 40 ∙

b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2 d) 7 + 3 ∙ 22

1115 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30. a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet.

Kontrollera dina svar med räknare. 1108 Elisa använder sin räknare till 42 + 18 beräkningen 2+8 Hon trycker 42 + 18/2 + 8.

b) Bestäm de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes. 1116 Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3. Vilket blir värdet om

a) Vilket resultat visar räknaren?

a) parentesen runt täljaren tas bort

b) Vilket fel gör Elisa?

b) parentesen runt nämnaren tas bort

c) Vilket är rätt svar? 1109 Beräkna 6 279 ⋅ 6 a) 138 + 17 b) 23 ⋅ 39 31 c) 3 ∙ (12 + 19) + 83 – 9 ∙ 3 1110 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5 b) Eric skriver på ett prov:

□ = 200

b) 4 + 8 ∙ (□ – 1) = 36

1107 Beräkna a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 c) 32 + 5 ∙ (3 – 1)

Vilket svar får du?

c) båda parenteserna tas bort? 1117 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då a) 17 ∙ 40 c) 40 ∙ 15

b) 16 ∙ 41 d) 17 ∙ 41?

1118 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a/10)

2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45

a) mindre än 1 c) mindre än 9

Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför?

b) större än 9 d) större än 3?

c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning. 1111 Visa hur man beräknar. (2 ∙ 3)2 a) 2 ∙ 32 b)

Kap 01_1b_Kap 1_210511.indd 12

1119 Ett tal multipliceras med 4. Från produkten subtraheras 7. Differensen divideras med 3. Kvoten höjs upp med 3. Potensens värde är 27. Vilket var det ursprungliga talet? aritmetik och algebra

2021-05-11 18:47

Aktivitet Värdet av ett algebraiskt uttryck I den här aktiviteten ska du undersöka vilka värden olika algebraiska uttryck kan anta. Syftet är att kunna beräkna värdet av ett uttryck för både positiva och negativa värden på variabler. Materiel: 2 tärningar i olika färg, t.ex. en vit och en röd. Arbeta i par eller grupp.

Kasta en vit och en röd tärning. Låt v vara den vita tärningens poängtal och r vara den röda tärningens poängtal. Om v = 3 och r = 4 är värdet av det första uttrycket 2v + r:

2v betyder 2 ∙ v

2 ∙ 3 + 4 = 6 + 4 = 10

Uttryck

Beräkning av uttryckets värde

2v + r 3v – r v 2 + r 2 (v + r)2 vr Summan av uttryckens värde:

1 Börja med att var och en skriver av tabellen ovan. • Första personen kastar tärningarna, skriver in värdet på v och r och beräknar det första uttryckets värde. • Den andra personen gör likadant. • Fortsätt med de andra uttrycken. • När ni har kastat fem gånger var beräknar ni summan av de fem uttryckens värden. Högst poängsumma vinner!

2 Skriv av tabellen ovan en gång till och upprepa uppgift 1. Den här gången ger den vita tärningens poängtal ett positivt tal och den röda tärningens poängtal ett negativt tal. 3 a) Vilken är den största möjliga summa man kan få i tävlingen i uppgift 2? b) Vilken är den minsta möjliga summa man kan få i tävlingen i uppgift 2?

1.2 REPETITION AV BRÅK OCH DECIMALTAL 33

Kap 01_1b_Kap 1_210511.indd 33

2021-05-11 18:48

Historik Algebra genom tiderna Matematiker har genom alla tider löst problem med obekanta tal. I Kina och Egypten förekom tidigt en sorts ”retorisk algebra” där man beskrev matematiken med ord i stället för symboler. Såväl frågeställningar som lösningar innehöll mycket text och blev därför svåra att förstå. I det antika Grekland infördes vissa symboler i algebran men den var ändå till största delen retorisk. Matematikern Diofantos, som levde i dagens Egypten runt år 250, kallas ofta den första algebraikern. Han arbetade bland annat med ekvationer skrivna på formen Ax + Bx = C, där A, B och C är heltal. Sådana ekvationer är uppkallade efter honom och kallas diofantiska ekvationer. Ordet ”algebra” kommer från ett verk från år 825 av matematikern al-Khwarizmi, som verkade i Bagdad i dagens Irak. Titeln innehöll ordet al-Jabr, vilket kan översättas till återförening. Verket innehöll bland annat metoder för att lösa ekvationer. Algebran var fortfarande till största delen retorisk. Den symboliska algebran infördes på allvar på 1400-talet av matematikern Al-Qalasādī, som levde i dagens Spanien. Han använde bl.a. symboler för de fyra räknesätten, upphöjt och lika med. Först drygt 100 år senare införde fransmannen François Viète standarden att använda bokstäver som x och y.

1 Utgå från ekvationen 2x + 3y = C där x, y och C är positiva heltal. a) Vad är x om y = 4 och C = 26? b) Vad är y om x = 5 och C = 25? c) Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till 2x + 3y = 25 respektive 2x + 3y = 26.

2 I antikens Grekland var det vanligt med matematiska gåtor. Följande är hämtad från boken Matematikens kulturhistoria av John McLeish: ”Ett antal äpplen skall delas mellan sex personer. Den förste får 1/3 av det totala antalet, den andre 1/8, den tredje 1/4, den fjärde 1/5. Den femte får 10 äpplen, varefter endast 1 äpple återstår till den sjätte personen. Hur många äpplen finns det allt som allt?” a) Lös uppgiften med en ekvation. b) Lös uppgiften utan att använda algebra.

Kap 01_1b_Kap 1_210511.indd 48

aritmetik och algebra

2021-05-11 18:49

Tema

HÖGSKOLEPROV

Potenser Följande uppgifter är hämtade från tidigare högskoleprov. Du får inte använda räknare. Ett av alternativen A–D är korrekt. Vilket?

1 Vilket av svarsalternativen motsvarar uttrycket x2 · x · x4? A x6 C x8 B x7 D x16 2 Vad blir

1 8 Vad är x om 3 –3x + 4 = ? 9 A 1 C 3 B 2 D 4 9 Vilket svarsalternativ är lika med 24 · 34?

x A x–12 C x3 B x D x11

A 64 C 612 B 6 8 D 616 10 Vad är 4 000 000 · 0,000 002 5?

3 Vad är 0, 25? A 0,05 C 0,125 B 0,5 D 2

A 101 C 103 B 102 D 104 11 Vad är (10 5) ? 2

4 Om a2 = 7 Vad är då (3a)2? A 21 C 63 B 42 D 147 x

5 Vad är x om (22) = 44? A 2 C 6 B 4 D 8 16 4 1015 ? 6 Vad är 1, 2 10 13 2 10

A –1,4 ∙ 1014 C 40 B –1,4 ∙ 102 D 4 ∙ 102 7 Vilket svarsalternativ har samma värde som 5 –2 – (–2)–1 ? 1 A 27 C 9 50 –3 B 7 D 27

A 50 C 500 B 250 D 2 500 12 x är positivt. Vad är x k + 1 ∙ x k ? A x k(k + 1) C x B x 2k + 1 D x 2k – 1 13 Vad är 32 – 18? A 2 C 2 2 B 14 D 2 7 14 Vad är 3 ? 3 1 A C 3 3 B 1 D 3

2.2 POTENSEKVATIONER 109

Kap 02_1b_Kap 2_210511.indd 109

2021-05-11 18:57

Ekvationslösning med digitalt verktyg I det här avsnittet tar vi hjälp av ett digitalt verktyg för att lösa ekvationer. Med hjälp av en ekvationslösare kan vi snabbt kontrollera om vi löst en ekvation korrekt. Vi kan också lösa ekvationer, även för vilka lösningsmetoden inte ingår i kurs 1.

Exempel

112 7 Vi löser ekvationen = och får svaret x = 0,3125. 5 x Sedan kontrollerar vi med ett digitalt verktyg. Olika program har olika kommandon, t.ex. Lös( ), Solve ( ) eller Nlös ( ). Exakt

Närmevärde

7 Lös 112 = x 5 x= 5 16

2244

7 NLös 112 5 = x

x = 0.31

Svaret ges med ett likhetstecken trots att det är ett närmevärde. I menyn för inställningar kan ofta antalet decimaler ändras.

Lös ekvationen x5 = 20 Svara exakt och med ett närmevärde med två decimaler. Exakt Närmevärde Lös (x5 = 20) x = 5 20

NLös (x5 = 20) x = 1.8206

Svar: x = 5 20 ≈ 1,82

2245 Lös ekvationen 2 000 · 1,06x = 2 400 med ett digitalt verktyg. Svara med en decimal. Exakt Lös(2000 1.06x = 2400) x = –ln(2) – ln(3) + ln(5) ln(2) + 2ln(5) – ln(53)

Den exakta lösningen är ibland svår att tolka. Det ingår inte i kursen.

Närmevärde NLös (2000 1.06x = 2400) x = 3.129

Svar: x ≈ 3,1

114

Kap 02_1b_Kap 2_210511.indd 114

Potenser och formler

2021-05-11 18:57

2246 Lös ekvationerna med digitalt verktyg. Svara både exakt och med ett närmevärde med två decimaler.

2251 Ett schackbräde har 64 rutor. Vi lägger 1 riskorn på första rutan, 2 på andra, 4 på tredje, 8 på fjärde och så vidare.

x2 = 7 5

b) x 3 = 100

a) Hur många riskorn blir det på sista rutan?

c) 2 y 4 = 12

b) Skriv ett uttryck för antalet riskorn på ruta nummer n.

2247 Lös ekvationen x2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt. 2248 Lös ekvationerna med digitalt verktyg. Svara både exakt och med tre decimaler.

c) Vilket nummer har rutan med ungefär en halv miljon riskorn? 2252 Kvadraten på ett tal är 6 mer än talet. Vilket är talet?

a) 13a – 24 = 17 + 21a

a) Teckna en ekvation som löser uppgiften.

b) 0,63 – 1,7a = 0,24

b) Lös ekvationen och visa att lösningen stämmer.

c) 3a5 = 23 328 d) 12 · 4 x = 96

2253 En akties värde fördubblas på 3,5 år. Hur stor är den genomsnittliga procentuella värdeökningen per år?

2249 Summan av ett tal i kvadrat och kvadratroten ur talet är 1. Vilket är talet? a) Teckna en ekvation som löser uppgiften. b) Lös ekvationen och kontrollera om svaret är exakt. 2250 Loi sätter in 2 000 kr på ett konto med fast ränta, 1 % per år. Hur många år tar det innan pengarna vuxit till 4 000 kr?

2254 Hur många rötter har ekvationen

a4 – 2a3 – 20a2 + 10a + 75 = 0?

2255 Bestäm a så att ekvationen x2 + ax + 1 = a2 har lösningarna x1 = 1 och x2 = –3.

2.2 POTENSEKVATIONER 115

Kap 02_1b_Kap 2_210511.indd 115

2021-05-11 18:58

Aktivitet

MODELLERING

Räta linjer med grafritande verktyg I den här aktiviteten ska du undersöka graferna till några olika funktioner som alla är skrivna på formen y = kx + m där k och m är konstanter. Syftet är att du ska se sambanden mellan grafens utseende och formeln för olika värden på k och m. Materiel: Grafritande verktyg

1 Vilket värde har konstanten k och vilket värde har konstanten m i följande formler? a) y = 3x – 1

3 Avläs först värdet på konstanterna k och m och beskriv sedan grafen med en formel av typen y = kx + m. Kontrollera om du har rätt formel genom att skriva in den i ditt grafritande verktyg.

b) y = –4x + 6 c) y = 4 + 2x d) y = 3 – x

2 Undersök hur ditt grafritande verktyg fungerar. Rita sedan de tre funktionerna i a)–d) i samma koordinatsystem.

6 5

Besvara därefter följande frågor:

• Vilka likheter finns mellan de tre graferna?

3 2

• Vilka likheter finns mellan de tre formlerna? • Var på grafen kan du avläsa värdet på m? a) y = x + 3 y = 2x + 3 y = 3x + 3

1 x

‒4

‒3

‒2

‒1 0

‒1

b) y = x – 2 y = 2x – 2 y = 3x – 2

c) y = 2x y = 2x + 3 y = 2x – 1

d) y = –2x y = –2x + 3 y = –2x – 1

‒1

‒2

178

Kap 03_1b_kap 3_210511.indd 178

‒1 0

‒3

1 ‒2

‒1 0

‒4

funktioner

2021-05-11 19:08

3.2 Räta linjens ekvation Avläsa k-värde och m-värde I räta linjens ekvation, y = kx + m, kan variablerna x och y stå för både positiva och negativa tal.

Exempel 1

Vi ritar grafen till tre funktioner med samma k-värde men med olika m-värde. y = 2 x – 4 y = 2 x + 1 y = 2 x + 3

y 4

k = 2 och m = –4 k = 2 och m = 1 k = 2 och m = 3

I den punkt där linjen skär y-axeln är x = 0.

2 x –2

Om x = 0 kan y = kx + m skrivas y = k · 0 + m. Vi får y = m.

m-värdet

Exempel 2

–2 –4

m-värdet är detsamma som y-värdet där linjen skär y-axeln. Vi undersöker hur y-värdet ändras då x-värdet ökar med 1 för funktioner med olika k-värden. a) y = 3 x + 1

k = 3 och m = 1

x 1

Om x-värdet ökar med 1, ökar y-värdet med 3. Linjen stiger. b) y = –2 x + 5 k = –2 och m = 5 +1

1 steg åt höger 3 steg uppåt k=3

1 steg åt höger 2 steg nedåt k = –2

+1 5

−1

–2

Om x-värdet ökar med 1, minskar y-värdet med 2. Linjen faller.

k-värdet

x 1

k-värdet är ett mått på linjens lutning och anger hur mycket linjen stiger eller faller för varje enhet vi går åt höger i x-led.

3.2 RÄTA LINJENS EKVATION 179

Kap 03_1b_kap 3_210511.indd 179

2021-05-11 19:08

En introduktion till kalkylprogram Ett kalkylblad i t.ex. Excel, Google Sheets eller GeoGebra är uppbyggt av kolumner med namnen A, B, C, ... och rader med namnen 1, 2, 3, .... celler Rutorna i kalkylbladet kallas för celler och namnges både med

en kolumnbokstav och ett radnummer. 1 2 3 4

I cellerna kan man skriva text, siffervärden eller formler. Exempel Vi skriver in tre tal och formler som beräknar summan och

produkten av talen. Vi skriver 19 i cellen B1, 14 i B2 och 7 i B3. I A4 skriver vi ordet Summa och i A5 ordet Produkt. I B4 skriver vi =B1+B2+B3 och i B5 skriver vi =B1*B2*B3 I Excel skriver man ”=” framför formeln, men det gör man inte i GeoGebra. I Excel använder man decimalkomma och i GeoGebra decimalpunkt.

När man trycker Enter i cellerna med formler beräknas värdet och formeln döljs. 1 2 3 4 5 6

Summa Produkt

19 14 7 =B1+B2+B3 =B1*B2*B3

1 2 3 4 5 6

Summa Produkt

19 14 7 40 1862

Formlerna i cellerna syns inte.

Om man ändrar värdet i t.ex. B1, ändras summan och produkten automatiskt, eftersom formlerna innehållet värdet i B1. Vi testar genom att skriva 9 i cellen B1. B4

1 2 3 4 5 6

284

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 284

Summa Produkt

=B1+B2+B3

9 14 7 30 882

Klickar du i en cell med en formel i Excel, visas formeln i formelfältet. I GeoGebra dubbelklickar man istället i cellen.

sannolikhet och statistik

2021-05-11 19:15

4349 Skriv in fyra valfria tal i cellerna B1–B4 i ett kalkylblad. Skriv en formel som a) beräknar summan av talen

b) beräknar medelvärdet av talen.

1 2 3 4 5 6

C 16 27 9 42 =B1+B2+B3+B4

Summa

1 2 3 4 5 6 7

Summa Medelvärde =B5/4

16 27 9 42 94

De valda talen ger summan 94.

De valda talen ger medelvärdet 23,5.

Summan kan också beräknas genom att markera cellerna B1–B4 och trycka på Σ Autosumma eller skriva =summa(B1:B4) i B5.

Medelvärdet kan också beräknas genom att markera cellerna B1–B4 och välja Medel i menyn under summatecknet ∑ eller skriva =medel(B1:B4) i B6.

1 4350 Tabellen visar ett kalkylblad med formler för en momsberäkning. 1 2 3

A B Pris 300 Moms =0,25*B1 Pris inkl moms

a) Vilket värde visas i cell B2? b) I cell B3 skriver vi =B1+B2. Vilket värde visas? c) Vad ska stå i B3 för att beräkna priset inklusive moms med förändringsfaktor? d) Vilka värden visas i B2 och B3 om priset ändras till 5 600? 4351 Firman Tekniklagret firar sin 15-årsdag. Alla varor säljs med 15 % rabatt. Med hjälp av ett kalkylblad beräknas de nya priserna. 1 2 3

A Pris Raba Reapris

280

a) Vilka formler ska skrivas i cellerna B2 respektive B3? b) Vilka värden visas i B2 och B3?

4352 En fotbollsförening säljer fika på sina matcher. De säljer läsk för 15 kr/st, kanelbullar för 12 kr/st och kaffe för 20 kr/kopp. De har börjat skriva i ett kalkylblad för att ha koll på intäkterna. 1 2 3 4 5

A Kaffe Bulle Läsk Summa

B Antal

C Intäkter

a) I kolumn B skriver de in antalet kaffe, bullar och läsk som de har sålt vid varje match. Vilka formler ska de skriva i C2, C3 respektive C4? b) Första matchen säljer de 43 kaffe, 25 bullar och 18 läsk. Beräkna summan av antalet sålda varor respektive summan av intäkterna med hjälp av kalkylbladet. c) A ndra matchen säljer de 15 bullar, 23 kaffe och 12 läsk. Beräkna summan av intäkterna för de båda matcherna.

4.3 MATEMATIK OCH EKONOMI 285

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 285

2021-05-11 19:15

Signifikans och felkällor Exempel Har svenska elever blivit bättre i matematik?

poäng

För att svara på frågan tar vi hjälp av diagrammet till höger. Det visar svenska elevers resultat vid en internationell undersökning av 15-åringars matematikkunskaper (PISA). Diagrammet visar att resultaten har förbättrats från år 2012 till år 2018.

505

502

500 495

494

490 485 480

I diagrammet ser vi att resultatet år 2009 var 494 poäng.

478

475

Mätningarna var stickprovsundersökningar, så vi kan inte vara helt säkra på att resultaten gäller för alla svenska 15-åringar.

felmarginal

Resultat PISA

470 2009 2012 2015 2018 år

Man kan med statistiska beräkningar (som inte ingår i denna matematikurs) visa att resultat från år 2009 hade en felmarginal på ±6 poäng. Det betyder att om alla 15-åringar i Sverige hade deltagit, hade resultatet med 95 % säkerhet varit mellan 494±6 poäng dvs. mellan 488 och 500 poäng.

konfidensintervall

Detta intervall kallas ett konfidensintervall på 95 %-nivån. I diagrammet till höger visas konfidensintervallen med lodräta streck.

signifikant

Eftersom intervallen för år 2012 och 2015 inte överlappar varandra är ökningen mellan dessa år statistiskt säkerställd. Man kan också säga att ökningen är statistiskt signifikant.

poäng 505

502

500 495

494

490

Detsamma gäller ökningen från år 2012 till år 2018.

485

Däremot kan vi inte säga att ökningen är statistiskt säkerställd från år 2015 till 2018 eftersom intervallen överlappar varandra.

475

Värdet för hela populationen kan t.ex. ha varit 498 poäng både år 2015 och 2018.

Resultat PISA

480

478

470 2009 2012 2015 2018 år Intervallen överlappar inte varandra.

Intervallen överlappar varandra.

Vårt svar på den inledande frågan kan då vara: "Enligt PISA-undersökningen har svenska 15-åringars matematikkunskaper ökat både mellan år 2012 och 2015 och mellan år 2015 och 2018. Den första ökningen är statistiskt signifikant."

298

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 298

sannolikhet och statistik

2021-05-11 19:15

Felkällor Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor. Vi beskriver några av dem här: urvalsfel stickprovstorlek

bortfall

mätfel tolkningsfel

4415

◗ Om personerna eller mätvärdena i ett stickprov inte är representativa för hela populationen ger detta ett urvalsfel. ◗ Om stickprovets storlek är för litet kan slumpen göra att resultatet inte är representativt för hela populationen. Ett större stickprov innebär att felmarginalen minskar. ◗ Bortfall är ett stort problem vid många undersökningar. Det kan handla om en enkät som är ofullständigt ifylld eller en utvald person som inte vill eller kan vara med i en undersökning. ◗ En undersökning kan ge felaktiga data på grund av svårtolkade frågor i en enkät. En undersökning kan även ge felaktiga data på grund av att mätinstrument visar felaktiga värden eller avläses fel. Dessa typer av felkällor kallas mätfel. ◗ Personen som tolkar resultaten kan dra felaktiga slutsatser. Vid en undersökning ställde man följande fråga till 1 230 slumpmässigt valda personer i ett samhälle. ”Kan du tänka dig ett vindkraftverk nära din bostad?” 1 000 personer svarade: Ja: 380 Nej: 410 Vet ej: 210 Hur stor andel svarade Ja om vi a) bortser från bortfallet b) antar att svaren i bortfallet har fördelningen Ja: 30 % Nej: 30 % Vet ej: 40 % 380 = 38 % 1 000 Svar: 38 % svarade Ja.

a) Andelen Ja =

b) Bortfallets storlek = 1 230 – 1 000 = 230 30 % av 230 = 0,3 · 230 = 69

Antalet som skulle svara Ja om vi tar med bortfallet: 380 + 69 = 449 449 = 0,365 ≈ 36,5 % Andelen Ja = 1 230 Svar: 36,5 % antas svara Ja.

4.4 STATISTIK 299

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 299

2021-05-11 19:15

Tema Statistik med Gapminder Gå in på websidan gapminder.org/tools 1 Använd diagramtypen Trends. Klicka på y-axeln och välj Health/Life expectancy. Avmarkera förvalda länder och välj Sweden och China. a) Hur många år ökade medellivslängden i Sverige från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000? b) Vilket år var medellivslängden i Kina densamma som Sveriges medellivslängd år 1920? 2 Använd diagramtypen som visar människors inkomst i dollar per dag. Avmarkera förvalda länder. a) Vilken är gränsen för extrem fattigdom (antalet dollar/dag)? b) Hur har andelen människor som lever i extrem fattigdom i världen ändrats från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000? Svara både i procentenheter och i procent. c) Stämmer det att antalet människor som lever i extrem fattigdom ungefär har halverats från år 1964 till år 2015? 3 Använd diagramtypen Bubbles. Välj Life expectancy på y-axeln och Income på x-axeln. a) Vilket land har högst inkomst per person? b) Vilket land har högst medellivslängd? c) Ungefär hur många gånger högre medelinkomst har man i Norge jämfört med i Indien? 4 Det finns två sätt att visa skalan på axlarna, linear (Linjärt) eller log (Logaritmiskt). a) Växla mellan linear och log på x-axeln. Förklara hur axlarna är graderade i de två fallen. b) Diskutera fördelar och nackdelar med de två sätten att gradera x-axeln. I Sverige och de flesta europeiska länder har vi ett sätt att namnge tiopotenser, USA och England har ett annat sätt. I engelskspråkig text gäller alltså att en billion är 109 och i Sverige är en biljon 1012.

Tiopotens 10

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 310

Sverige

USA & England

kilo (k)

106

miljon (M)

109

miljard (G)

billion (B)

biljon (T)

trillion (T)

310

sannolikhet och statistik

2021-05-11 19:15

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5. 2 Vid ett kast med två vanliga tärningar är P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).

8 Om månadsräntan är 4 % så är även årsräntan 4 %. 9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant så minskar räntekostnaden efter varje amortering.

3 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.

10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.

4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) < P ( A ).

11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.

5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8. Om tre frön sätts så är chansen mindre än 50 % att alla fröna gror. 6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor. Om du tar två kulor ur burken så är P (lika färg) = P (olika färg). 7 Om räntan på ett lån är hög så är även amorteringen hög.

12 Om värdet på en variabel minskar samtidigt som värdet på en annan variabel minskar innebär det en negativ korrelation. 13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %. Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena, vilket betyder att resultatet är statistiskt signifikant. 14 I en indexserie är alla tal större eller lika med 100.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 311

311

2021-05-11 19:15

Sammanfattning Sammanfattning4 Enkla slumpförsök Antalet gynnsamma utfall Sannolikhet = Antalet möjliga utfall

Beroende händelser Exempel:

Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1. Exempel: Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula. 3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger 3 P (grön) = 7

Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor. Vi tar två kulor. Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten för färgen på den andra. Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.

Motsvarande för en vit kula är 4 P(vit) = 7 Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %. 3 4 7 + = = 1 = 100 % 7 7 7 Slumpförsök i flera steg

Sannolikheten för den första: 3 P(röd) = 5 Sannolikheten för den andra om en röd är tagen: 2 P(röd) = 4 3 2 6 3 P(röd,röd) = · = = 5 4 20 10 Komplementhändelse Exempel:

En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller: P (träff) = 0,7

P (bom) = 0,3

Försöket kan beskrivas med ett träddiagram: 0,7

0,7 träff 0,49

Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor. Vi tar två kulor.

0,3

träff

bom 0,3 bom 0,21

0,7 träff 0,21

0,3 bom 0,09

Sannolikheten för ”en gren” = produkten av sannolikheterna längs grenen. Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1. 0,49 + 0,21 + 0,21 + 0,09 = 1 Exempel: P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 P (en träff) = P (träff, bom) + P (bom, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

312

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 312

Händelse A = minst en röd Händelse B = ingen röd Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall. Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Då gäller P(A) + P(B) = 1 Om vi vill beräkna P(A) är det i detta fall enklare att beräkna P(B) 3 2 6 1 ∙ = = P(B) = 10 9 90 15 1 14 P(A) = 1 – P(B) = 1 – = 15 15 SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2021-05-11 19:15

Lån, ränta och amortering

Felkällor och signifikans

Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.

Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.

En månadsränta på 10 % motsvarar en enkel årsränta på 120 %. När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.

Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal.

Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.

Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.

Kalkylprogram

Korrelation och kausalitet

I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.

Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.

Exempel: I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000 I B2 skriv vi räntan i %: 5 I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100 I C2 kommer värdet 500 att visas. 1 2

Negativ korrelation

A B C Lån i kr Ränta i % Ränta i kr 10 000 5 =A2*B2/100

Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C2 automatiskt. Index Index är ett jämförelsetal som visar den procentuella förändringen i förhållande till ett startvärde.

Ingen korrelation

Stickprov och urvalsmetoder Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population. En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning. Om man väljer ett slumpmässigt urval från populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 313

Positiv korrelation

Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet.

313

2021-05-11 19:15

Kan du det här? Delkapitel

BEGREPP

4.1 Repetition av sannolikhet

Sannolikhet Händelse, utfall P (händelse) Frekvens

PROCEDUR • beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall • uppskatta sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.

Relativ frekvens 4.2 Slumpförsök i flera steg

Beroende och oberoende händelser

• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg

Träddiagram

• bestämma och beräkna komplementhändelser.

Komplementhändelse 4.3 Matematik och ekonomi

Procentenheter

• göra och tolka en indextabell

Index

• använda och tolka KPI

Basår

• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.

KPI Ränta, amortering Kalkylprogram 4.4 Statistik

Population Urvalsmetoder Stickprov Felmarginal

• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och inom vetenskap.

Konfidensintervall Spridningsdiagram Signifikans Korrelation Kausalitet

314

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 314

SANNOLIKHET OCH STATISTIK

2021-05-12 11:24

Testa dig själv 4 4.1 Repetition av sannolikhet

7 Tabellen visar ett börsindex.

1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken. Beräkna sannolikheten b) att du tar en kula som inte är svart.

a) Rita ett träddiagram till denna händelse. b) Beräkna P (miss, miss). c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar.

a) ingen håller i 15 år b) minst en inte håller i 15 år? 5 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå. Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade? 4.3 Ekonomi och matematik 6 Karin har en kontokortsskuld på 5 400 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje månad i ett år. Månadsräntan är 2,5 %.

595

b) 1 januari?

4.4 Statistik 8 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar. 9 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser. Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva. a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?

4 Enligt en undersökning håller 8 av 10 värmepumpar av ett märke i 15 år. Om tre pumpar installeras samtidigt, hur stor är risken att

1 juli

580

a) 1 juli

2 Två vanliga tärningar kastas.

3 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla. P (träff) = 0,4 för varje pil.

1 april

568

Hur mycket hade han

4.2 Slumpförsök i flera steg

b) Hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger?

1 jan

Index

Liam har pengar i en fond som har följt börsindex mellan 1 januari och 1 juli. Den 1 april hade han 4 500 kr i fonden.

a) att du tar en svart kula

a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5?

Tidpunkt

b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva? 10

102

Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y? 11 Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %. Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant. Vad vet man då om felmarginalen?

Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.

SANNOLIKHET OCH STATISTIK

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 315

315

2021-05-12 11:24

Blandade övningar 4 1 Utan digitala verktyg 1 När man snurrar på ett chokladhjul är chansen att vinna lika stor för alla siffrorna från 0 till 9.

5 1 2

7 8

2 3

4 5

Hur stor är chansen att hjulet stannar på a) siffran 5

b) siffran 5 två gånger i rad c) siffran 5 tre gånger i rad? 2 En familj ska flytta från Stockholm till Melbourne i Australien. De hittar följande statistik över genomsnittliga månadstemperaturer. Månad

A Lån i kr

B Årsränta i %

C Årsränta i kr

Figuren visar ett kalkylblad där man i cell A2 ska skriva lånets storlek och i cell B2 årsräntan i procent.

9 0

4 Vid en väljarundersökning får ett parti 3,6 % av rösterna. Felmarginalen är 0,5 procentenheter. Är det statistiskt säkerställt att partiet ligger under fyraprocentspärren som gäller för att komma in i riksdagen?

Vilken formel ska skrivas i cell C2 för att programmet ska räkna ut räntekostnaden?

6 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel. Spelet går till så här: Programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.

Stockholm ( x °C)

Melbourne ( y °C)

Jan

–3

Mars

–1

Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna?

Maj

Motivera varför.

Juli

Sept

Nov

Rita ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturerna i Stockholm och Melbourne. 3 Förklara med ett exempel begreppet bortfall i en statistisk undersökning.

(NP)

Daniel tar två kulor ur skål A och Sofia tar två kulor ur skål B. Vem har störst chans att få a) två gula kulor b) en kula av varje färg c) minst en gul kula? Motivera dina svar.

316

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 316

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2021-05-11 19:15

Med digitala verktyg

14 I ett spel kostar en spelomgång 20 kr. Spelet är konstruerat så att på en miljon spelomgångar slumpas det ut 10 000 vinster på 250 kr, 5 000 vinster på 500 kr, 2 500 vinster på 750 kr och 500 vinster på 5 000 kr.

8 Av de senaste 12 matcherna har ett fotbollslag vunnit 5 gånger, spelat oavgjort 4 gånger och förlorat resten. Vad är sannolikheten att laget kommer att förlora de två följande matcherna om laget fortsätter med samma fördelning mellan vinst, oavgjort och förlust? 9 Priset på ett par jeans var 850 kr år 1998. Vad borde samma jeans ha kostat om priset hade följt KPI a) år 2010

Vilken är den förväntade vinsten eller förlusten i kronor om man spelar 1 000 gånger? 15 Joar tar ett lån på 15 000 kr som ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 2,3 %. Använd ett kalkylprogram och beräkna Joars

b) år 1980?

a) ränta och amortering efter första månaden

Utgå från tabellen på sidan 275.

b) ränta och amortering efter andra månaden c) sammanlagda ränta under året.

10 Hamsa ska baka en kaka och tar två ägg ur en kartong med fem ägg. Hon vet inte att två av äggen i kartongen är kokta. a) Vad är sannolikheten för att båda äggen som Hamsa tagit är kokta? b) Hur stor är sannolikheten att inget av äggen är kokta?

3 16 Adam och Bobby spelar ett datorspel. Sannolikheten för vinst är 0,7 för Adam och 0,3 för Bobby. En dag tävlar man så att den segrar som först vunnit två gånger. Hur stor är sannolikheten att Bobby vinner?

11 Två n-sidiga tärningar är numrerade från 1 till n. Bestäm sannolikheten att de visar lika när man kastar dem. 12 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas. Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva. En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva. Hur många procent var positiva till konserthusbygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet? 13 Anta att du kastar en sexsidig tärning sex gånger. Visa med en beräkning att sannolikheten att 2 du får minst en sexa är mycket nära 3

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 317

317

2021-05-11 19:15

Blandade Blandadeövningar övningar1–4 1 1 Utan digitala verktyg

9 Figuren visar grafen till y = g(x). y

1 Vilken förändringsfaktor motsvararar en ökning med 0,5 %?

6 5

2 a) Förenkla uttrycket. 3x(x + 1) – (x2 – 5x)

4 3

b) Faktorisera det förenklade uttrycket i a). 3 Vilket eller vilka av talen –3

–2

–1

ingår i båda intervallen

–1

–4 < x < 2 och x > –1?

b) 2x2 – 1 = 31 2x 4 = 11 33

5 Ge ett eget sifferexempel på ett uttryck man kan förenkla med potenslagen ax = a x – y och där y > x. ay

a) Ange linjens ekvation. b) Var skär linjen y-axeln? c) Avgör om punkten (3, 8) ligger på linjen. 7 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först. 10 –4

1 000

8 Bestäm värdet av uttrycket då x = 18,95.

11 Maja har gjort en indextabell för prisutvecklingen på en vara. Januari har prisindex 100. 1 2 3 4 5

6 En rät linje går genom punkterna (1, –4) och (5, 12).

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 318

318

10 Ge exempel på två räta linjer som går genom punkten (–2, 4).

d) 5 –2 · (54) = 5x

10 0

b) Använd grafen för att lösa ekvationen g(x) = 3.

a) 4(3 + x) = 3(2x – 1)

104

a) Bestäm g(3).

4 Lös ekvationerna.

y = g(x)

3x + 7 x x

A Månad Januari Februari Mars

B Pris (kr) 60,00 63,60 66,78

C Index 100,0 106,0 111,3

Om Maja skriver in priserna i kolumn B i kalkylbladet visas motsvarande index i kolumn C. Vilken formel har Maja skrivit in i cell C3 respektive cell C4? 12 Bestäm ett uttryck för y + 2 om x + y = 3. 13 Förenkla så långt som möjligt. a)

x +1+ x +1 x +1

x 2( x − 1) − x 2 x2

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2021-05-11 19:15

14 I figuren är fyra räta linjer A, B, C och D ritade.

Ekvationen för linje B är y = –x – 2.

(2, 9)

Linje C är parallell med x-axeln. Linje A går genom origo och skär linje C i punkten (1, 2). (0, 4)

Linje D skär linje B på x-axeln och linje C på y-axeln. y

Figuren visar grafen till en exponentialfunktion som går genom de markerade punkterna.

C x

Vilken är funktionen? 21

9 8

7 6

Ange ekvationen för a) linje A

b) linje C

c) linje D.

4 3

15 Två sexsidiga tärningar kastas.

19 En rät linje går genom punkterna (0, –2) och (18, a) och är parallell med linjen x y= +7 2 Bestäm talet a.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

Kap 04_1b_Kap 4_210511.indd 319

9 10

För vilka värden på x är a) f( x) < g( x)

f(4) – f(2) = 10 och f(–2) = –2.

18 Bestäm b om a = –1 och 3a2 b – 2a + b = 52.

I figuren visas graferna till funktionerna f och g.

16 Bestäm den funktion f(x) = kx + m för vilken gäller att

Motivera ditt svar.

x 1

b) är större än 3.

17 Finns det något värde på k sådant att linjen y = kx + 2 aldrig skär linjen 2x + 3y + 2 = 0?

f (x )

Bestäm sannolikheten att differensen mellan tärningarnas poängtal a) är 1

g (x )

b) f( x) > g( x) c) g( x) = f( x) – 2?

3 22 I en låda ligger 3 st högerskor och 2 st vänsterskor. Någon råkar stöta till lådan så att 3 skor ramlar ur. Beräkna sannolikheten att det är en högersko och en vänstersko som ligger kvar i lådan. 1 3 dubbelt så stort som värdet av uttrycket x +1 ? 4

23 För vilket x är värdet av uttrycket 2x +

319

2021-05-11 19:15

Lena Alfredsson • Hans Heikne

Matematik

5000

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med större fokus på digitala verktyg.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

ISBN 978-91-27-45529-0

9 789127 455290

M5000Plus_1b_Omslag_NY.indd 1-3

2021-05-12 11:27