9789127455283

Matematik 5000 3c

För reviderad ämnesplan!

Varje kapitel har följande innehåll och struktur

KAPITELSTART

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Integral och area

En bil kör med konstant hastighet, v = 25 m/s.

Hur långt hinner bilen från t = 0 s till t = 6 s?

Sträckan ges av formeln s = v · t s = 25 m/s · 6 s = 150 m

2338 Förenkla

a) ln 5 + ln 0,2

a) ln 5 + ln 0,2 = ln (5 · 0,2) = ln 1 = 0

2338

Förenkla

a) ln 5 + ln 0,2

ÖVNINGSUPPGIFTER

1255 Lös ekvationen 2 1 2 x x + + 1 = 2 1 x +

a) algebraiskt

b) med symbolhanterande verktyg.

1273 Skriv ett förenklat uttryck för kvoten av sfärens och konens volymer.

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator).

Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller symbolhanterande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

VARIATION I UNDERVISNINGEN

Programmering

Derivering med programmering

Tema

Hastighet och acceleration

Historik

Matematik till och från Sverige

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

Problemlösning

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du ett symbolhanterande verktyg som t.ex. GeoGebra eller ett annat CAS-verktyg.

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

Sammanfattning 4

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.

Kan du det här?

BEGREPP

PROCEDUR

Testa dig själv 4

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Blandade övningar 4

Blandade övningar 1–4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Varje uppgift är märkt med den eller de förmågor som främst testas.

Innehåll

1. Algebra och funktioner 8

Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 9

1.1 Algebra och polynom 10

Repetition – Algebra och aritmetik 10

Polynom 13

Tema: Pascals triangel 16

Polynomekvationer 17

Faktorisera polynom 21

Programmering: Ekvationslösning med intervallhalveringsmetoden 24

Absolutbelopp 26

1.2 Rationella uttryck 29

Vad menas med ett rationellt uttryck? 29

Förlängning och förkortning 31

Ekvationer och rationella uttryck 35

Multiplicera och dividera rationella uttryck 39

1.3 Funktioner 42

Funktionsbegreppet 42

Aktivitet: Funktioner och nollställen 46

Polynomfunktioner 47

Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 52

Tangent och sekant 53

Kontinuerliga funktioner 56

Gränsvärde 59

Aktivitet: Sant eller falskt? 63

Sammanfattning 1 64

Kan du det här? 66

Testa dig själv 1 67

Blandade övningar 1 68

2. Derivata

72

Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 73

2.1 Ändringskvoter och derivata 74

Ändringskvoter 74

Begreppet derivata 79

Numerisk derivering och derivering med digitalt verktyg 84

Programmering: Derivering med programmering 88

Derivatans definition 90

2.2 Deriveringsregler 93

Derivatan av polynomfunktioner 93

Mer om derivatan av polynomfunktioner 97

Aktivitet: Derivatans värde på flera olika sätt 99

Tema: Hastighet och acceleration 100

Derivatan av potensfunktioner 102

Tangenter och derivata 105

Historik: Tangenter och derivata 108

2.3 Derivatan av exponentialfunktioner 109

Exponentialfunktioner 109

Aktivitet: Talet e 112

Talet e och derivatan av f ( x) = e k x 113

Naturliga logaritmer 117

Derivatan av f ( x) = a x 121

Tillämpningar och problemlösning 123

Aktivitet: Sant eller falskt? 127

Sammanfattning 2 128

Kan du det här? 130

Testa dig själv 2 131

Blandade övningar 2 132

Blandade övningar 1–2 135

3. Kurvor, derivator och integraler 138

Inledande aktivitet: Max och min 139

3.1 Vad säger derivatan om funktionens graf? 140

Växande och avtagande 140

Extrempunkter och terrasspunkter 143

Andraderivatan 147

Andraderivatan och funktionens graf 148

Funktionens graf och derivatornas grafer 151

Aktivitet: Funktioner och derivator 154

Största och minsta värde 156

Historik: Matematik till och från Sverige 159

3.2 Problemlösning med derivata 160

Extremvärdesproblem 160

Aktivitet: Vem tillverkar största lådan? 163

Fler extremvärdesproblem 164

Tillämpningar 168

Tillämpningar och problemlösning 171

Deriverbarhet 175

3.3 Från derivata till funktion 177

Primitiva funktioner 177

Primitiva funktioner med villkor 180

Integral och area 182

Aktivitet: Finn arean 187

Integralberäkning med primitiv funktion 188

Programmering: Integraler med programmering 192

Mer om integraler 194

Tillämpningar och problemlösning 198

Aktivitet: Sant eller falskt? 201

Sammanfattning 3 202

Kan du det här? 204

Testa dig själv 3 205

Blandade övningar 3 206

Blandade övningar 1–3 209

4. Trigonometri 214

Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 215

4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 216

Repetition 216

Några exakta trigonometriska värden 219

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln 220

Enhetscirkeln 220

Aktivitet: Enhetscirkeln 224

Trigonometriska ekvationer 226

4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar 229

Areasatsen 229

Sinussatsen 232

När ger sinussatsen två fall? 234

Cosinussatsen 238

Tillämpningar och problemlösning 242

Programmering: Heronska trianglar 246

Aktivitet: Sant eller falskt? 248

Sammanfattning 4 249

Kan du det här? 250

Testa dig själv 4 251

Blandade övningar 4 252

Blandade övningar 1–4 254

Repetitionsuppgifter 261

Svar, ledtrådar och lösningar 268

Register 318

ALGEBRA OCH FUNKTIONER 1

Ordet polynom kommer från de grekiska orden poly ”många” och noma ”namn”.

Med hjälp av polynom skapar vi funktioner som vi kan använda som modeller i många olika situationer. Våra verktyg för detta finner vi inom algebran.

Centralt innehåll

• Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar för hantering av dessa begrepp, såväl med som utan symbolhanterande verktyg.

• Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad.

• Begreppen sekant, tangent, absolutbelopp och gränsvärde.

• Orientering om kontinuerliga och diskreta funktioner.

• Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av modellering av realistiska situationer såväl med som utan digitala medier och verktyg och programmering.

Med andra ord

Vi börjar med begreppet polynom och en repetition av några algebraiska regler och lagar.

Du får repetera och fördjupa dina kunskaper om förenkling av uttryck och lösning av ekvationer.

Med hjälp av nya matematiska begrepp får du vidga och fördjupa dina kunskaper om olika typer av funktioner.

Inledande aktivitet

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?

Arbeta tillsammans två och två.

Dela ett A4-papper så att ni får 16 papperslappar.

På lapparna skriver ni följande matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).

Lägg lapparna i grupper så att

1 de uttryck som är lika hamnar i samma grupp

2 de uttryck som har samma värde då x = 0 hamnar i samma grupp.

1.1 Algebra och polynom

Repetition – Algebra och aritmetik

Vi börjar med en kort repetition av några regler och lagar inom algebra och aritmetik.

Parentesreglerna

(a + b) + (c + d ) = a + b + c + d

(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d

(a + b) – (c + d ) = a + b – c – d

(a + b) – (c – d ) = a + b – c + d

Kvadreringsreglerna

(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2 (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b2 Potenser

Distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac

(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd

(a – b)(c – d ) = ac – ad – bc + bd

Konjugatregeln

(a + b)(a – b) = a 2 – b2

konjugatregeln

förenkla kvadreringsregeln

Skriv uttrycket i en parentes

x 2 + 22 x – 32

1102

1103 Utveckla och förenkla (3 x + y)2 – (2 x – y)(2 x + y).

med symbolhanterande verktyg.

Förenkla ((3x + y)2 (2x y)(2x + y))

5x2 + 6xy + 2y2

Svar:

+

y + 2 y 2

1104 Utveckla och förenkla.

a) 4 x + 2(2 x – 3) c) ( x + 3)(2 x + 4)

b) 6 a – 2(11 – 7a) d) ( y – 4)(2 – y)

1105 Utveckla med konjugatregeln.

a) ( x + 4)( x – 4) c) ( x 2 + 4)( x 2 – 4)

b) (7 – 2 a)(2 a + 7) d) (3 – 2 a 3)(3 + 2 a 3)

1106 Utveckla med kvadreringsreglerna.

a) (a + 5)2 c) (3 x + 4)2

b) ( x – 9)2 d) (5 – 6y)2

1107 Skriv som en enda potens.

a) x 7 ∙ x–2 d) a a

b) x x

5 3

6 8 e) b ∙ (b2 )–4

c) (4 x )3 f) bb bb 23 2

1108 Förenkla

a) ( x + y)2 – (6 x + y2)

b) ( x + 6)( x – 6) – 36

c) x 2 – ( x – 6)2

d) 25 x – (5 – x)(5 + x)

Tema

Pascals triangel

Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, vetenskapsman, filosof och författare som bland annat utvecklade talteorin.

Figuren visar en del av Pascals triangel. Siffrorna i de färgade kvadraterna motsvarar koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b)n där n är ett positivt heltal.

Rad 1: (a + b)0 = 1

Rad 2: (a + b)1 = a + b

Rad 3: (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2

Rad 4: (a + b)3 = ...

Gradtalet för en term med flera variabler, t.ex. a 3 b2 , är summan av graderna på de ingående variablerna.

Termen a 3 b2 har graden 5.

1 a) Utveckla och förenkla (a + b)3 genom att skriva (a + b)(a + b)2 .

b) Utveckla (a + b)3 med symbolhanterande verktyg, t.ex. med hjälp av Expandera( ).

2 Utveckla och förenkla (a + b)4 . Kontrollera svaret med symbolhanterande verktyg.

3 a) Skriv av triangeln ovan och fyll i koefficienterna i den fjärde raden.

b) Utöka triangeln med en femte rad som visar utvecklingen av (a + b)4 .

c) Förklara hur du kan finna koefficienterna i en rad med hjälp av koefficienterna i raden ovanför.

4 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b)5 utvecklas och skrivs som ett polynom?

b) Utveckla (a + b)5.

c) Utveckla (a + b)6 .

5 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad med exponenten i (a + b)n . Vad upptäcker du?

b) Utgå från det mönster som du har upptäckt. Vilka är de två första termerna i utvecklingen av (a + b)10?

6 Går det att använda Pascals triangel för att utveckla (a – b)2 , (a – b)3 , ... ?

Vad blir det för skillnad? Undersök med symbolhanternade verktyg.

polynomekvation

Polynomekvationer

Förstagradsekvationen 4x + 7 = 0 och andragradsekvationen

x 2 + 2 x – 3 = 0 är exempel på polynomekvationer.

Allmänt kan en polynomekvation skrivas p( x) = 0, där p( x) är ett polynom.

Polynomekvationer av andra graden kan allmänt skrivas

a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) eller k( x 2 + px + q) = 0 (k ≠ 0).

Vi repeterar algebraiska lösningsmetoder för andragradsekvationer från kurs 2.

Kvadratrotsmetoden Nollproduktmetoden

x 2 – 7 = 0

x 2 = 7

x = ± 7

x 1 = 7 x 2 = – 7 Lösningsformeln

x 2 + 6 x = 0

x( x + 6) = 0

x 1 = 0 x 2 = –6

x = –3 ± 16

x = –3 ± 4

x 1 = 1 x 2 = –7

Lösning av potensekvationen x n = a

x 3 = 100 ( x 3)1/3 = 1001/3

x = 1001/3 ≈ 4,64

Polynomekvationer av högre grad

x 2 + 6 x – 7 = 0

x 2 + 6 x = 7 ( x + (6/2))2 = 7 + (6/2)2

( x + 3)2 = 16

x + 3 = ±4

x 1 = 1 x 2 = –7

Ekvationer av högre grad kan vi i vissa fall lösa algebraiskt med hjälp av metoderna ovan om vi först gör en faktorisering eller en substitution (se uppgifterna på nästa sida).

Vi kan även lösa polynomekvationer grafiskt eller med symbolhanterande verktyg.

1142 Lös ekvationen x( x – 3)(2 x + 1)( x + 7) = 0.

x( x – 3)(2 x + 1)( x + 7) = 0

ekvationen är skriven i faktorform.

Vänster led är noll om någon av faktorerna är noll.

Svar: x 1 = 0 x 2 = 3 x 3 = –0,5 x4 = –7

Programmering

Ekvationslösning med intervallhalveringsmetoden

Lös ekvationen x 3 – 7x 2 + 29 = 0.

1 FÖRSTÅ

När vi saknar algebraisk metod för att lösa en ekvation kan vi använda oss av intervallhalveringsmetoden. Den bygger på följande resonemang:

Anta att funktionen y = f ( x) har en sammanhängande graf och att f (a) och f (b) har olika tecken. Då har funktionen ett nollställe någonstans i intervallet a ≤ x ≤ b, d.v.s. ekvationen f ( x) = 0 har en rot i intervallet.

Genom att dela intervallet på mitten och jämföra funktionsvärdet för mittpunkten, f (m), med f (a) och f (b) kan vi ta reda på i vilken halva funktionens nollställe finns. Om denna intervallhalvering upprepas många gånger blir intervallet allt mindre och roten till ekvationen f ( x) = 0 kan bestämmas tillräckligt noggrant.

2 PLANERA

A Resultat

När vi kör programmet vill vi att det skriver ut följande resultat:

Ekvationen har en rot x = där en rot till ekvationen ska stå istället för strecket.

B Lösning

Med hjälp av ett grafritande verktyg kan vi se att funktionen f ( x) = x 3 – 7x 2 + 29 har tre nollställen, varav ett i intervallet 2 ≤ x ≤ 3.

y 3

y = f (x )

Vi börjar med att söka roten i detta intervall och bestämmer därför intervallets mittpunkt m:

m = (a + b)/2 = (2 + 3)/2 = 2,5

Eftersom f (2) ∙ f (2,5) > 0 finns roten i intervallet 2,5 ≤ x ≤ 3.

Den nya mittpunkten blir då:

m = (2,5 + 3)/2 = 2,75

Eftersom f (2,5) ∙ f (2,75) < 0 finns roten i intervallet 2,5 ≤ x ≤ 2,75.

Intervallhalveringen upprepas tills intervallets längd är 0,001, vilket innebär att vi har hittat roten med tre decimalers noggrannhet.

x

C Variabler

Programmet ska använda följande variabler:

• a för den nedre gränsen i intervallet

• b för den övre gränsen i intervallet

• m för mittpunkten mellan a och b.

D Algoritm

PROBLEMLÖSNING

Programmet ska skrivas i följande ordning:

• Definiera funktionen f( x) = x 3 – 7x 2 + 29.

• Spara värdet 2 i a och värdet 3 i b.

• Så länge b – a > 0,001 ska (a + b)/2 sparas i m och

om f (a) ∙ f (m) < 0 ska m sparas i b, annars ska m sparas i a

• Skriv ut ekvationens rot, d.v.s. värdet på m, avrundat till tre decimaler.

3 GENOMFÖRA KODA

I programspråket Python3 skriver vi programmet så här:

def f(x):

return x**3 - 7*x**2 + 29

a = 2

b = 3

while b - a > 0.001:

m = (a + b)/2

if f(a)*f(m) < 0:

b = m

else:

a = m

print("Ekvationen har en rot x =", round(m,3))

4 TESTA OCH VÄRDERA

Programmet hittar ett närmevärde till en av ekvationens rötter. Det kräver dock att man känner till i vilket intervall roten finns.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.

1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.

2 Ändra i programmet så att det hittar roten till ekvationen x 3 – 7x 2 + 29 = 0 i intervallet

a) –2 ≤ x ≤ –1 b) 6 ≤ x ≤ 7

3 Använd programmet för att hitta en rot till

a) ekvationen 25 x4 – 149x 2 + 196 = 0, där roten ligger i intervallet 0 ≤ x ≤ 2

b) ekvationen x 5 – 2 x + 1 = 0, där roten ligger i intervallet –5 ≤ x ≤ 0.

4 Använd programmet för att hitta samtliga nollställen till funktionen

f (x) = x 5 – 3 x 4 – 4 x 3 + 12 x 2 – 2

Numerisk derivering och

derivering med digitalt verktyg

Derivatans värde i en punkt kan bestämmas på många olika sätt. Numerisk derivering innebär att man beräknar differenskvoten (ändringskvoten) för en sekant i ett litet intervall runt den aktuella punkten. Då liknar sekantens lutning tangentens lutning och differenskvotens värde ger ett närmevärde till derivatans värde i punkten. Vi visar med ett exempel.

Exempel Figuren visar grafen till funktionen f ( x) = x

Vi vill bestämma f ¢(2), alltså derivatans värde i den punkt där x = 2, med numerisk derivering. Här nedanför visar vi två olika sätt att beräkna differenskvoten.

Differenskvot framåt

Vi utgår från x = 2 och väljer en punkt lite till höger om x = 2, t.ex. x = 2,1.

Differenskvoten ger då följande närmevärde till derivatan:

f ¢(2) ≈ ff (, )( ) , 21 2 21 2 = 212 01 , , ≈ 0,3492

Om vi väljer en punkt ännu närmare x = 2, t.ex. x = 2,01, får vi ett bättre närmevärde:

f ¢(2) ≈ ff (, )( ) , 2012 2012 = 2012 001 , , ≈ 0,3531

Central differenskvot

Vi väljer en punkt på vänster sida och en på höger sida om x = 2, t.ex. x = 1,9 och x = 2,1.

Differenskvoten ger då följande närmevärde till derivatan:

f ¢(2) ≈ ff (, )( ,) ,, 21 19 21 19 = 2119 02 ,, , ≈ 0,3537

Om vi väljer de två punkterna ännu närmare x = 2,

t.ex. x = 1,99 och x = 2,01, får vi ett bättre närmevärde:

f ¢(2) ≈

ff (, )( ,) ,, 2011 99 2011 99 = 201199 002 ,, , ≈ 0,3536

Med hjälp av numerisk derivering kan vi alltså bestämma derivatans värde för f ( x) när x = 2 till f ¢(2) ≈ 0,35.

differenskvot framåt central differenskvot

Allmänt gäller att vi får ett ungefärligt värde på derivatan där x = a, om vi beräknar lutningen på en sekant genom punkterna där x = a respektive x = a + h.

f ¢(a) ≈ fa hf a ah a () () () +− +− = fa hf a h () () +−

Detta kallas en differenskvot framåt

På motsvarande sätt får vi en central differenskvot genom att beräkna lutningen på en sekant mellan punkterna där x = a – h och x = a + h.

f ¢(a) ≈ fa hf a ah ah h () () () () +− +− = fa hf ah h () () +− 2

2134 Alice kör 100 m på 10 s enligt funktionen f ( x) = x 2 där f ( x) är sträckan i meter och x är tiden i sekunder.

a) Beräkna differenskvoten ff (, )( ) , 42 4 42 4

b) Rita en graf och förklara vad du har beräknat i a).

c) Teckna och beräkna en differenskvot framåt i intervallet 4 ≤ x ≤ 4 + h för h = 0,1 och h = 0,01.

d) Vilket värde verkar troligt på derivatan i punkten där x = 4? Tolka derivatan.

a) ff (, )( ) , 42 4 42 4 = 424 02 22 , , = 162 02 , , = 8,2

b) Vi har beräknat lutningen på en sekant mellan en punkt P där x = 4 och en punkt Q där x = 4,2. Detta ger att medelhastigheten är 8,2 m/s mellan tidpunkterna t = 4,0 s och t = 4,2 s.

c) h = 0,1 och h = 0,01 ger:

f ¢(4) ≈

f ¢(4) ≈

ff (, )( ) , 41 4 41 4 = 414 01 22 , , = 081 01 , , = 8,1

ff (, )( ) , 4014 4014 = 4014 001 22 , , = = 0 0801 001 , , = 8,01

d) Tangentens lutning verkar vara 8. Det innebär att derivatan är 8 när x = 4, f ¢(4) = 8.

Alice hastighet efter 4 sekunder är 8 m/s.

Historik

Hur funktionsbegreppet utvecklats

Vår önskan att med hjälp av matematiska modeller beskriva och förstå omvärlden har med tabeller, diagram, formler, ekvationer och grafer lett fram till funk tionsbegreppet.

I mitten av 1700-talet gav Euler, en mycket produktiv matematiker från Schweiz, en samlad beskrivning av de enkla funktioner som ingår i dagens skolkurser. Euler införde beteckningen f (x) och gav 1734 följande definition:

”En funktion f( x) är ett algebraiskt uttryck med konstanter och variabler, definierat genom en ekvation eller en graf.”

Eulers definition skärptes under nästa århundrade, och 1837 gav den tyske matematikern Dirichlet oss den definition som används än idag:

”Om två variabler x och y har ett sådant samband, att när vi ger x ett värde ordnas till detta automatiskt genom någon regel ett bestämt värde på y, då säger vi att y är en funktion av x.”

1 En cirkel med radien 2 ges av ekvationen y 2 + x 2 = 2 2 .

a) Beräkna alla värden på y om x = –2, –1, 0, 1, 2.

b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem.

c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets och Cantors definition?

Dirichlets definition skiljer sig på två viktiga sätt från Eulers: Funktionsregeln behöver inte vara given med ett algebraiskt uttryck, och varje värde på x ska ge endast ett värde på y.

Den tyske matematikern

Georg Cantor skapade på 1870-talet mängdläran som ett beskrivningssätt för all matematik. Cantors funktionsdefinition är:

”Om X och Y är två givna mängder, och om till varje element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y, har vi en funktion från X till Y.”

Enligt denna definition behöver inte elementen x och y vara tal.

2 Elementen i Cantors definition behöver inte vara tal. Beskriver följande tabell en funktion?

a) b)

x –2 0 2 4 y 2 –2 2 14

x blå röd grön blå

y röd grön blå blå

Leonhard Euler (1707 – 1783)

Peter Dirichlet (1805 – 1859)

Georg Cantor (1845 – 1918)

Aktivitet

Derivatans värde på flera olika sätt

I den här aktiviteten ska du bestämma derivatans värde. Syftet är att du ska repetera och jämföra alla metoder du lärt dig för att bestämma derivatans värde i en punkt.

Materiel: Digitala verktyg

Filip släpper en liten sten från en klippa som är 100 m hög. Stenens höjd över vattnet, h(t) meter, efter t sekunder ges av funktionen h(t) = 100 – 5t 2

I figuren visas grafen till funktionen.

1 Bestäm stenens hastighet efter 2 sekunder med så många olika metoder som möjligt.

2 Ange om metoderna ger ett exakt eller approximativt värde.

3 I vilka fall är respektive metod lämplig?

Talet e

I den här aktiviteten får du undersöka exponentialfunktioner för att hitta talet e. Syftet är att hitta ett tal a så att exponentialfunktionen f ( x) = a x har derivatan f ¢( x) = a x .

Materiel: Applikation som du hittar på nok.se/matematik5000plus

1 Klicka i rutan f ( x) = 2 x för att se grafen till exponentialfunktionen. Klicka därefter i rutan för tangenten till kurvan. Dra punkten A längs kurvan för att se olika tangenter i intervallet –2 ≤ x ≤ 2.

Klicka i rutan som ger tangentens lutning. Skriv av och fyll i tabellen genom att läsa av y-värdet och lutningen för de olika värdena på x.

3 Jämför värdena på f ( x) och f ¢( x) i tabellerna.

a) Är det sant att f ( x) > f ¢( x) för f ( x) = 2 x?

b) Är det sant att f ( x) > f ¢( x) för f ( x) = 3 x?

c) Klicka i rutan f ( x) = a x Genom att dra i glidaren kan du välja

värde på a mellan 2 och 3.

Ställ in funktionen f ( x) = 2,5x och

undersök vilket som är störst, y-värdet eller derivatan.

Skriv av och fyll i tabellen.

Funktion Vilket är störst, y -värdet eller derivatan?

f (x ) = 2 x

f (x ) = 3 x

f (x ) = 2,5 x

f (x ) = 2,8 x

f (x ) =

2 Klicka i rutan för f ( x) = 3 x Skriv av och fyll i tabellen.

d) Det finns ett värde på a för funktionen f ( x) = a x som gör att y-värdet och derivatans värde är lika i alla punkter, d.v.s. f ( x) = f ¢( x).

Kan du bestämma talet med två decimalers noggrannhet?

Talet kallas e.

Talet e och derivatan av f ( x ) = e kx

Exempel 1 Vi vill bestämma derivatan av en exponentialfunktion f ( x) = a x och använder derivatans definition.

Först ställer vi upp och förenklar differenskvoten:

fx hf x h () () +− = aa h xh x = aa a h xx h = a a h x h () 1 = a x ∙ a h h 1

Därefter ställer vi upp gränsvärdet av differenskvoten.

f ¢( x) = lim h → 0 a a h x h () 1 = a x ∙ lim h → 0 a h h 1

Bryt

I uttrycket för derivatan ovan har vi brutit ut a x eftersom det inte innehåller h.

Gränsvärdet är då ett tal som är oberoende av x. Vi kallar gränsvärdet för k

Funktionen f ( x) = a x har alltså derivatan f ¢( x) = a x · k

Vi väljer några olika värden på basen a och bestämmer gränsvärdet k

numeriskt genom att sätta in allt mindre värden på h i kvoten a h h 1

Tabellen visar att om basen a ≈ 2,72 är gränsvärdet k ≈ 1

Vi kan dra slutsatsen att det finns ett värde på basen, ett tal mellan 2 och 3, som ger k = 1 och f ( x) = f ¢( x).

talet e Detta viktiga tal kallas e och har närmevärdet e ≈ 2,72.

Derivatan av

(x ) = e x

Funktionen f (x ) = e x har derivatan f '(x ) = e x

Funktionsvärdet och derivatans värde är detsamma för alla x för funktionen f ( x) = e x .

T.ex. i punkt A gäller att f (0) = 1 och f ¢(0) = 1 och i punkt B gäller f (1) ≈ 2,7 och f ¢(1) ≈ 2,7.

y -värdet är 2,7 och tangentens lutning är 2,7.

Area mellan två kurvor

Mer om integraler

Vi har visat att arean mellan en kurva och x-axeln kan approximeras med hjälp av arean av ett stort antal rektanglar.

Vi kan göra på motsvarande sätt när vi vill bestämma arean A mellan två kurvor f och g.

A ≈ i

n = ∑ 1 ( f(x i ) – g( x i )) ∙ Δ x

Bas: ∆ x höjd: f (x ) – g (x )

i intervallet 0 ≤ x ≤ 4 är y = f (x ) övre funktion och y = g (x ) undre funktion

approximera betyder "ge ett närmevärde".

När n → ∞ går ∆ x → 0 och summan går mot en integral:

A = ( f ( x) – g ( x)) d x

arean A mellan två kurvor y = f (x ) och y = g (x ) i intervallet a ≤ x ≤ b, där f (x ) ≥ g (x ) för alla x i intervallet, ges av integralen

A = (f (x ) – g (x))dx

Exempel Figuren visar grafen till f ( x) = 2 – x i intervallet 0 ≤ x ≤ 4 och två områden A

area under x -axeln

där arean A1 = arean A 2 = 2 a.e. Vi jämför detta värde med värdet på två integraler.

och A

Vi ser att integralens värde är positivt och lika med A1 när grafen ligger över x-axeln och negativt och lika med A 2 när grafen ligger under x-axeln.

Arean A 2 , som ligger under x-axeln, kan vi beräkna med en integral där vi sätter x-axeln ( y = 0) som övre funktion och y = f ( x) som undre funktion.

A 2 = (0 – (2 – x)) dx = 2

Slutligen beräknar vi integralen över hela området. (2

x) dx = 2

Det innebär att vi kan skriva (2 – x) dx = A 2 – A1 = 0

En geometrisk tolkning av integralen f(x) dx är att värdet motsvarar

"Arean över x-axeln" – "arean under x-axeln" i intervallet a ≤ x ≤ c.

I figuren ser vi att följande gäller för integralernas värde

f ( x) dx > 0 och f ( x) dx < 0

f ( x) dx = 0 eftersom arean av området över x-axeln

är lika stor som den under x-axeln.

Den totala arean är A + A = 2 A.

en integral kan anta både positiva och negativa värden. den kan också vara noll.

en area har alltid ett positivt värde.

3368 I figuren visas grafen till funktionen y = g(x)

Bestäm

a) integralen g( x) dx

b) arean av det färgade området.

a) g( x) dx= (3 ∙ 2 + 22 2 ) – 3,5 = 4,5

Svar: Integralens värde är 4,5.

b) Arean = (3 ∙ 2 + 22 2 ⋅ ) + 3,5 = 11,5

Svar: De färgade arean är 11,5 a.e.

ovanför x -axeln – arean under x -axeln

integraler saknar enhet.

arean ovanför x -axeln + arean under x -axeln

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln

Enhetscirkeln

Vi har tidigare definierat sin v, cos v och tan v med hjälp av rätvinkliga trianglar där vinkeln v ligger i intervallet 0° < v < 90°.

För att vidga definitionerna till att gälla godtyckliga vinklar tar vi hjälp av enhetscirkeln. Det är en cirkel med medelpunkt i origo och radie 1 längdenhet. Vinkeln v anger vridningen av radien från utgångsläget längs positiva x-axeln.

Figuren visar en vridning v grader i positiv riktning (moturs).

Punkten P = ( x, y) ligger på enhetscirkeln i figuren. Definitionerna för sinus, cosinus och tangens med hjälp av rätvinkliga trianglar ger

cos v = x 1 = x (cos v = x-koordinaten för P)

sin v = y 1 = y (sin v = y-koordinaten för P)

tan v = y x = sin cos v v

Punkten P = ( x, y) kan alltså skrivas P = (cos v, sin v).

Vi kan utvidga dessa definitioner till att gälla även när punkten P ligger i de övriga kvadranterna och därmed för godtyckliga vinklar v Följande definitioner gäller för alla vinklar v:

sin v = y

cos v = x

tan v = y x (x ≠ 0)

där vinkeln v ger läget av punkten

P = (x, y) på enhetscirkeln.

En given punkt på enhetscirkeln kan motsvaras av flera olika vinklar.

Vi visar detta i exemplet på nästa sida.

Exempel Punkten Q i figuren nedan motsvaras både av vinkeln 50° och vinkeln 410°.

Vinkeln 410° innebär en vridning 50° och ytterligare ett helt varv (360°).

Punkten R i figuren nedan motsvaras både av vinkeln 325° och vinkeln –35°.

En negativ vinkel, som –35°, innebär en vridning medurs.

4201 Bestäm koordinaterna för en punkt P på enhetscirkeln om vinkeln mellan radien OP och positiva x-axeln är

a) 90° b) 105°

a) Eftersom enhetscirkelns medelpunkt ligger i origo och dess radie är 1, ligger punkten P på y-axeln där y = 1.

Svar: Punkten P = (0, 1)

b) Vi beräknar koordinaternas värde med ett digitalt verktyg.

P = (cos v, sin v)

x = cos 105° ≈ –0,26

y = sin 105° ≈ 0,97

Svar: Punkten P = (–0,26; 0,97)

4202 För punkten P i figuren gäller P = (0,94; 0,34).

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Ekvationen sin v = 0,4 har två lösningar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

2 Ekvationen cos v = 0,4 har två lösningar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

3 Summan sin 90° + sin 180° + sin 270° har värdet noll.

4 Areasatsen gäller endast för trianglar med spetsiga vinklar.

5 Om sidan AB är den kortaste sidan i en triangel så måste vinkeln A vara mindre än 90°.

6 Om vi vet två vinklar och en sida så kan sinussatsen ge två olika trianglar.

7 Om vi vet längden på alla sidor i en triangel så kan vi beräkna storleken på vinklarna med sinussatsen.

8 Om punkten P har koordinaterna (a, 2 a) så är vinkeln v = 60°.

(1, 0)

9 Om AB > AC i A B C så är ∧ A > ∧ C

10 Värdet på sin 300° är dubbelt så stort som värdet på sin 150°.

11 Om cos x = 0 så är sin x = 1.

12 Om vi vet två vinklar och en sida i en triangel så kan vi beräkna längden av de två andra sidorna med cosinussatsen.

13 En cirkel med ekvationen x 2 + y 2 + 4 y = 5 har medelpunkten (0, −2) och radien 3.

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

ABC är en rätvinklig triangel.

c a

sin v = a c motståendekatet hypotenusa

cos v = b c närliggande katet hypotenusa

tan v = a b motstående katet närliggande katet

Två speciella trianglar

Enhetscirkeln

OP är radie i en enhetscirkel.

y P (cos v, sin v) v (1, 0)

si n v = y-koordinaten för P

cos v = x-koordinaten för P

x

sin (180° – v) = sin v cos (180° – v) = –cos v

sin (180° + v) = –sin v cos (180° + v) = –cos v

sin (360° – v) = –sin v cos (360° – v) = cos v Triangelsatserna

(0, 1) O (–1, 0) (0, –1) A B

Areasatsen

Arean T = ab C sin 2 = ac B sin 2 = bc A sin 2

Sinussatsen

3 2

C b c 60°

Med hjälp av figurerna kan vi t.ex. bestämma

cos 45° = 1 2 och sin 30° = 1 2

sin A a = sin B b = sin C c

Cosinussatsen

a 2 = b2 + c 2 – 2 bc cos A

a 30° halv liksidig triangel 1

Sinussatsen kan ibland ge två fall. Detta sker då sinussatsen ger en ekvation som har två möjliga lösningar mellan 0° och 180°.

Delkapitel BEGREPP PROCEDUR

4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Motstående och närliggande katet, hypotenusa Sinus, cosinus och tangens

• beräkna vinklar och sidlängder i rätvinkliga trianglar

• bestämma exakta värden på sin v och cos v för v = 30°, 45° och 60°.

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln Enhetscirkeln Trigonometriska ekvationer

• använda enhetscirkeln för att bestämma närmevärden till sinus och cosinus för en vinkel mellan 0° och 360°

• lösa enkla trigonometriska ekvationer för vinklar i intervallet 0° ≤ x < 360°.

4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar

Areasatsen Sinussatsen Cosinussatsen

• bestämma arean av en godtycklig triangel med hjälp av areasatsen

• bestämma vinklar och längder i godtyckliga trianglar med hjälp av sinus- och cosinussatsen

• bevisa area-, sinus- och cosinussatsen

• använda triangelsatserna i några naturvetenskapliga och tekniska tillämpningar.

Testa dig själv 4

4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

1 I tria ngeln ABC är vinkeln A rät. Rita figur och bestäm med en decimal triangelns minsta vinkel då

a) AB = 41,5 cm och AC = 73,1 cm

b) AB = 37,9 cm och BC = 92,3 cm

c) AC = 54,2 cm och BC = 83,6 cm.

2 Skriv i storleksordning med det minsta värdet först.

cos 90° sin 45° tan 45°

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln

3 Lös ekvationerna om v är i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°.

a) sin v = 0,65

b) cos v = 0,72

c) sin v = –0,56

d) cos v = –0,22

4 Beräkna vinkeln v och x-koordinaten a för punkten P i figuren.

y P (a; 0,936) (1, 0) v

4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar

6 Beräkna triangelns area.

7 I triangeln ABC har AB längden 25 cm och AC 18 cm. Triangelns area är 175 cm 2 . Beräkna vinkeln A

8 Hur långa är sidorna AC och AB i triangeln ABC ?

9 Beräkna den största vinkeln i en triangel med sidorna 9 m, 10 m och 15 m. Svara i hela grader.

10 Från en ubåt syns toppen av ett isberg under vinkeln 24,5°. Efter att båten kommit 140 m närmare syns samma topp under vinkeln 31,8°.

Bestäm isbergets höjd över havet.

x

5 Bestäm med enhetscirkeln de vinklar x i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° för vilka

a) sin x = 0

b) sin x = –1

c) cos x = 0

d) cos x = 1

11 I triangeln ABC är sidan AB = 18 cm, sidan AC = 12 cm och vinkeln B = 30°.

Beräkna längden av sidan BC med a) cosinussatsen b) sinussatsen.

Blandade övningar 4

B: Begrepp P: Procedur

PL: Problemlösning M: Modellering

R: Resonemang K: Kommunikation

Utan digitala verktyg 1

1 Punkten P i en enhetscirkel har koordinaterna (a, b).

y P (a, b) v (1, 0)

2

5 Ordna följande tal i storleksordning:

a = sin 24° b = cos 100° c = sin 165°

Motivera ditt svar. (NP) (B, R)

6 Bestäm det exakta värdet av sin 240°. (B, P)

x

Uttryck med hjälp av koordinaterna för punkten P

a) sin v b) cos v c) tan v (B)

2 Ekvationen sin x = 0,47 har en lösning x ≈ 28°. Har ekvationen någon mer lösning i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°?

Motivera ditt svar. (B, R)

3 Ekvationen cos x = 0,47 har en lösning x ≈ 62°. Har ekvationen någon mer lösning i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°?

Motivera ditt svar. (B, R) 4

1 5

Bestäm med hjälp av figuren

a) sin v c) sin (90° – v)

b) cos v d) cos (180° – v) (B)

8

4 2 (R, K)

För vinkeln v i figuren gäller att sincos sincos vv vv + ⋅ = k · 5

Bestäm talet k. (B, P)

9 Fyrhörningen AB C D har sidorna AB = 5 cm, BC = 4 cm, C D = 4 cm och D A = 3 cm.

a) Visa att cos A = 116 15 + cos C

b) Bestäm cos A exakt, om fyrhörningen är inskriven i en cirkel. (P, R)

10 En cirkel med radien r och medelpunkt i (a,b) har ekvationen (x – a)2 + ( y – b)2 = r2 .

Visa att linjen 3 x + 4y – 5 = 0 är en tangent till enhetscirkeln. (R, K) v

11 a) Beräkna längden av sidan AB.

15 I en triangel med arean 88 m 2 är en vinkel 75° och en annan 65°. Beräkna triangelns längsta sida. (P, PL)

16 Bestäm tan 22,5° med hjälp av figuren. Svara exakt.

b) Bestäm triangelns area. (B, P)

12 Hur stor är den största vinkeln i en triangel med sidorna 6,5 cm, 7,2 cm och 9,8 cm?

13 I triangeln ABC är vinkeln B = 30°, sidan AB = 18 cm och sidan AC = 12 cm.

Beräkna längden av sidan BC . (B, P)

1

Med digitala verktyg

Denna typ av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

• vilka matematiska kunskaper du har visat

• hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar.

Du kan visa förmågorna B, P, PL, M, R och K.

17 a) Beräkna (sin 30°)2 + (cos 30°)2

b) Beräkna (sin 127°)2 + (cos 127°)2

En solig och vindstilla vinterdag är Helen och Lotta ute och åker långfärdsskridskor. Klockan 12.00 kommer de fram till Kapellskär. De vet att det tar 35 minuter att åka från Kapellskär till Sundskär och att det tar 60 minuter att åka från Kapellskär direkt till Furusund. Bussen från Furusund går kl. 14.30.

Vinkeln mellan siktlinjerna mot Sundskär och mot Furusund uppskattas till 105°. De bestämmer sig för att åka till Sundskär och fika och sedan åka raka vägen från Sundskär till Furusund. Hur lång fikapaus kan de ta och ändå hinna med bussen som går 14.30?

Vi förutsätter att Helen och Lotta färdas med konstant fart. (NP) (P, PL)

c) Välj en vinkel v mellan 0° och 180° och beräkna (sin v)2 + (cos v)2

d) Vad upptäcker du?

e) Bevisa din upptäckt.

18 I en parallellogram är två sidor 24 cm och 15 cm.

a) Beräkna parallellogrammens area om den mellanliggande vinkeln är 130°.

b) Anta att den mellanliggande vinkeln varierar mellan 30° och 150°. Mellan vilka värden varierar då parallellogrammens area?

c) En parallellogram har två sidor a och b och en mellanliggande vinkel v. Bestäm en formel för parallellogrammens area.

SVAR

Kapitel 1

1104 a) 8 x – 6

b) 20 a – 22

c) 2 x 2 + 10 x + 12

d) –y 2 + 6 y – 8

1105 a) x 2 – 16

b) 49 – 4 a 2

c) x4 – 16

d) 9 – 4 a 6

1106 a) a 2 + 10 a + 25

b) x 2 – 18 x + 81

c) 9 x 2 + 24 x + 16

d) 25 – 60 y + 36 y 2

1107 a) x 5 d) a 8

b) x –2 e) b –7

c) 4 3 x f) b 0 (= 1)

1108 a) x 2 + 2 x y – 6 x Lösning: (x + y)2 – (6 x + y 2 ) = = x 2 + 2 x y + y 2 – 6 x – y 2 = = x 2 + 2 x y – 6 x

b) x 2 – 72

c) 12 x – 36 Lösning: x 2 – (x – 6)2 = = x 2 – ( x 2 – 12 x + 36) = = x 2 – x 2 + 12 x – 36 = = 12 x – 36

d) x 2 + 25 x – 25

Lösning: 25 x – (5 – x)(5 + x) = = 25 x – (25 – x 2) = = 25 x – 25 + x 2

, = x x

2 ,, = x 2 =

Uttrycket

b) 4 x

c) 2 x 3 + 2 x 2 y + 6 x y 2 – 2 y 3

1120 a) 8 a 3 + 60 a 2 + 150 a + 125

b) a 2 – b2 – 10 b – 25

c) a 6 – 2 a 3 b2 + b4

1121 a) 3 a c) 3 n + 1

b) x4m – 2n d) 4

1125 a) Fyra termer

b) Grad 3

c) Koefficienten är 1.

d) p(2) = 1

:

: Använd potenslagarna.

Uttrycket

15 x x –7a 6 b) 4 2 4 a b – 8 b 6 d) 4 a9

x b)

:

ab

1126 a) T.ex. x 2 + 5

b) T.ex. x 4 + 2 x 3 – x

1127 Exponenten i 4 x –2 är inte ett positivt heltal eller noll (inget naturligt tal).

1128 a) Polynomets värde är 4.

b) Polynomets värde är 7.

c) Polynomets värde är 36.

1129 a) Fyra termer

b) Grad 5

c) Koefficienten är –2.

d) Koefficienten är 5.

1130 A , B, E och F är polynom.

1131 a) Det förenklade uttrycket x 4 + 5 har grad 4.

b) Det förenklade uttrycket 5 x 4 – 5 har grad 4.

c) Det förenklade uttrycket 15 x 4 – 6 x 8 har grad 8.

1132 a) a = 23

Ledtråd: Sätt in x = 1 i 2 x 4 – 5 x 2 + a = 20

b) a = 8

1133 x = 0 ger y = 2,15

x = 2,56 ger y ≈ 4,84

x = 4,65 ger y ≈ 3,05

1134 a) x 7 – 5 x 3

b) 3 y 5 – 2 y 4

c) –8 x 6 + 6 x 3 + 9

d) –25

e) 4 y 6 – 16

1135 a) Grad 3

Motivering: Termen där exponenten är 3 ändras inte.

b) Grad 5

Motivering: Exponenten i termen med högst exponent ökar från 3 till 5.

1136 a) T.ex. p( x) = x 2 – 17

b) T.ex. p( x) = x 2 – 9

1137 Första termen 2 x

kan skrivas 2 x 1 .

Andra termen –1

kan skrivas –1 x 0 .

1138 Alla utom D. Motivering: Uttrycken kan skrivas

1140 p ( x) = 5 + 2 x – 3 x 2 Ledtråd: p( x) = ax 2 + b x + c Ställ upp och lös ett ekvationssystem.

1141 p( x) = x 2 + x + 2

Tema Relevans: Pascals triangel 1

1148 a) x ≈ 2,19

Ledtråd: Lös potensekvationen x 5 = 50

b) x ≈ ±6,32

Ledtråd: Kvadratrotsmetoden

c) t1 ≈ –0,890 t2 ≈ –19,1

Ledtråd: Dividera med 2 och använd lösningsformeln eller kvadratkomplettering.

d) x 1 = 0 x 2 = 5/7 ≈ 0,714

Ledtråd: Nollproduktmetoden

c) Koefficienten är summan av koefficienterna snett ovanför. 4

Alla termer har gradtalet 5.

1149

a) x 1 = –3 x 2 = 4 x 3 = –0,5

b) x 1 = 0 x 2 = x 3 = 5

c) x 1 = 0 x 2 = –4 x 3 = 4

d) x 1 = 0 x 2 = –3 x 3 = 3

e) x 1 = 0 x 2 = –4 x 3 = 2

f) x 1 = 0 x 2 = 9 x 3 = 11

5 a) Den andra koefficienten är identisk med exponenten n

1150

a) T.ex. x( x – 3) = 0

b) T.ex. ( x + 1)( x – 1)(x – 4) = 0

c) T.ex. ( x + 7)( x – 2)2 = 0

1151 a) x 1 ≈ –0,84, x 2 ≈ 0,69 och x 3 ≈ 2,75

Lösning:

f(x) = x3 2.6x2 x + 1.6

A = ( 0.8423, 0)

B = (0.6902, 0)

C = (2.7521, 0)

Uttrycket D har en term med negativ exponent.

1139 a) Sant

Motivering: x 5 -termen är –12 x 5

b) Falskt

Motivering: Uttrycket kan utvecklas till 16 x 4 – 32 x 3 + 24 x 2 – 8 x + 1

c) Sant

Motivering: Alla termer får gradtalet 4. Kommentar: Termen – 4 x 2 y 2 är också av grad 4. Gradtalet är summan av graderna på de ingående variablerna.

6 Ja, det fungerar. Skillnaden är att varannan term

b) x 1 = –0,84 x 2 = 0,69 och x 3 = 2,75

1152 a) Kostnaden är 79 000 kr.

b) 535 detaljer kan produceras för 100 000 kr.

Matematik 5000

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Problemlösning med programmering i alla kapitel

Symbolhanterande och andra digitala verktyg såsom

kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter

Utmanande uppgifter på alla nivåer

Aktivitet, Tema och Historik med fokus på förmågorna

Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer

Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-45528-3

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne