9789127453241

i n t e n s i vt rän i n g i m at emati k

HANDLEDNING

Räknemetoder Kunskapskrav åk 6

iMatte4-6_handledning_raknemetoder.indd 1

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

2020-03-09 13:49

i nt e n sivträn i ng i matematik

Materialet Intensivträning i matematik är ett hjälpmedel för att genomföra intensivundervisning, och bygger på den forskning och beprövad erfarenhet som beskrivs längre fram. Materialet består av en handledning och ett elevhäfte för vart och ett av de matematiska områden som ingår i serien.

Elevhäfte Det här elevhäftet omfattar 16 tillfällen och varje tillfälle utgör ett eller två uppslag. Första uppslaget, eller vänster sida, gör eleven tillsammans med läraren i skolan. Andra uppslaget, eller höger sida, med rubriken Hemma förbereder du och eleven i skolan.

Sedan gör eleven uppgifterna hemma med en förälder, eller med läxhjälp i skolan.

Efter en del hemmauppgifter står det Kontrollera och läs i facit. Facit till de uppgifterna finns på sista sidan i elevhäftet, och förutom rätt svar finns förklaringar till en del av lösningarna.

Under Kommentarer i elevhäftet kan föräldern skriva hur hemarbetet har fungerat, eventuella frågor och hur eleven upplevt arbetet. Längst ned på sidan finns Lärandemål som gäller för det aktuella tillfället.

Det sista tillfället är en sammanfattning av det eleven har arbetat med i häftet.

Handledning Innan ni startar arbetet med materialet bör du läsa igenom hela inledningen så att du vet hur det är tänkt att användas, och är väl insatt i problematiken kring begreppsförståelse, svårigheter och missuppfattningar vid olika räknemetoder. Till varje tillfälle i elevhäftet finns utförliga förslag på hur du och din elev kan arbeta med innehållet. I handledningen finns följande rubriker: • Lärandemål: Lärandemål för just detta tillfälle.

• Material: Vad ni behöver ta fram till tillfället.

• Att ta hem: Material som eleven ska ha med sig hem inför hemmauppgifterna.

• Genomgång inför uppgift X: Förslag på hur undervisningen kan genomföras. Det är inte läraren som berättar hur allt fungerar, utan du och eleven för en dialog kring det nya begreppet eller

räkneoperationen som ni tillsammans undersöker och resonerar om genom att arbeta med konkret material, bilder och slutligen det formella symbolspråket. På sidan 6 finns förslag på olika frågeställningar som ger upphov till resonemang.

• Eleven gör uppgift X: Förslag på vad du kan observera, vilket kan innebära att ställa övergripande eller direkta frågor kring begrepp samt ibland ge förslag på samband och fördjupning.

• Förbered hemmauppgift X: Här förklaras uppgifter som avviker, eller spel där eleven först behöver genomgång i skolan.

• Sammanfatta: Förslag till resonemang om samband och jämförelser kring inforutan, som fokuserar på det begrepp eller de räkneoperationer som ni arbetat med.

Undervisningstillfälle Intensivundervisning innebär att läraren under­visar en elev. Ofta kan två eller tre elever fungera, om eleverna har samma kunskaps­behov.

Förbered varje tillfälle genom att läsa igenom uppslaget i handledningen, kopiera eventuella arbetsblad och se till att material finns så att själva undervisningstiden kan utnyttjas effektivt. Genomför arbetet med uppgifterna i elevhäftet och anteckna sådant som bör följas upp vid ett senare tillfälle. Ett positivt avslut på lektionen är viktigt, så avrunda alltid med något som eleven klarar bra. Det är också viktigt att allt som eleven ska göra hemma har introducerats i skolan, och att eleven får med sig både häftet och det material som behövs.

Tanken är att ni ska hinna ett tillfälle i elevhäftet under ett undervisningstillfälle, men det är givetvis bara du som kan avgöra i vilken takt just din elev kan arbeta. Tänk på att skillnaden mellan olika elevers kapacitet kanske är allra störst här vid rent räknande. Vid behov kan innehållet delas upp på två undervisningstillfällen, t ex om eleven behöver arbeta med förkunskaper. Det går även att hoppa över aktiviteter om eleven behär­skar ett moment väl eller om du bedömer att något är för avancerat för eleven. Det är lämpligt att göra ett uppehåll efter addition och subtraktion och låta eleven färdighets-­

2

iMatte4-6_handledning_raknemetoder.indd 2

2020-03-09 13:49

träna, och bli säker på dessa räknesätt innan multiplikation och division tas upp. Anteckna alltid på kopieringsunderlag K2, Elevuppföljning.

Talfakta tillhör förkunskaperna, här exempelvis talkamraterna för talen 1–10 vid addition och subtraktion samt multiplikationstabellerna upp till 10 ∙ 10 vid multiplikation och division. Eftersom fokus i detta häfte ligger på att förstå och kunna använda räknemetoder bör en lathund med talfakta finnas för de elever som behöver det stödet.

Diagnos För att ta reda på vilka elever som har nytta av att arbeta med detta häfte kan du använda kopieringsunderlaget K1, Diagnos, i klassen. Men tänk på att en skriftlig diagnos är ett osäkert instrument för att ensamt mäta begreppsförståelse. Du bör därför följa upp med muntliga frågor till en del elever.

Förkunskaper

Har du en elev som löser t ex 32 + 13 genom att räkna framåt i talramsan (33, 34, 35 … 45) och kanske använder fingrarna för att veta när det är dags att stoppa? Då måste eleven först få arbeta med tiotal och ental i positionssystemet, för att sedan kunna addera varje talsort för sig, här 3 tiotal + 1 tiotal och 2 ental + 3 ental. Detta är en förkunskap i detta häfte.

Läs mer om detta i intensivträningshäftet Räknemetoder utan övergångar, kunskapskrav åk 3, som fokuserar just på att hjälpa elever att bryta fingerräknandet och utveckla effektivare metoder.

• Ha förtrogenhet med positionssystemets idé om enhetsgruppering, positionsvärde och nollans funktion.

• Kunna behärska talfakta som talkombinationerna för talen 1–10 samt multiplikationstabellerna upp till 10 ∙ 10.

• Ha utvecklat god taluppfattning av hela tal och tal i decimalform.

• Kunna avrunda till olika talsorter.

• Kunna använda sig av kommutativa lagen: vid addition a + b = b + a, vid multiplikation a ∙ b = b ∙ a.

• Kunna beräkna t ex 32 + 13 genom att beräkna tiotalen för sig och entalen för sig.

Färdighetsträning

Lärandemål

För att utveckla hållbara räknestrategier och kunna göra effektiva beräkningar måste eleven ha god ­förståelse för tal och tals egenskaper, positionssystemet, samt förstå vad det innebär att operera med tal (McIntosh, 2008).

Färdighetsträning är viktigt, men ska alltid sättas in sent i en undervisningssekvens eftersom den bygger på att eleven förstår det som hen ska öva på.

• Kunna välja effektiva räknemetoder vid de fyra räknesätten med hela tal och tal i decimalform.

• Kunna använda sig av räknemetoderna huvudräkning, uppställning, överslagsräkning och miniräknare.

• Kunna välja en räknemetod som passar en själv utifrån talen i en uppgift.

Elever som räknar på fingrarna

Målgrupp för detta häfte Innehållet i detta häfte är tänkt för elever som behöver lärarledd undervisning med fokus på räknemetoderna huvudräkning, uppställning, miniräknare och överslagsräkning vid de fyra räknesätten.

Att en elev inte behärskar olika räknemetoder beror ofta på bristande kunskaper kring positionssystemet, svag taluppfattning och bristande talfakta.

Att ständigt få kämpa med enkel huvudräkning är inte särskilt roligt, och kan dessutom påverka elevens självkänsla i matematik. Ju tidigare skolan kan hjälpa dessa elever, desto bättre. Det kan betyda mycket för deras självförtroende och framtid.

Material Här följer en lista över det material som ni behöver vid de olika tillfällena utöver pennor, färgpennor, blankt och rutat papper, saxar och linjaler.

Material Tillfälle K3 Additions- och subtraktionskort K4 Fler huvudräkningsstrategier + K5 Underlag för uppställning K6 Fler huvudräkningsstrategier − K7 Arbetsgång, subtraktion med växling K8 Decimalsystemet och sifferkort Räkneloppor, stenar och stickor Miniräknare: 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16 Sedlar 1 000 och 100, tiokronor, enkronor:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 9 2 3, 7, 11 6 7 7, 10, 11 1, 2 2, 3, 6, 7, 11, 13

Eleven kan använda lösa papper när det inte ryms att skriva i häftet.

3

iMatte4-6_handledning_raknemetoder.indd 3

2020-03-09 13:49

1 Huvudräkning utan övergångar vid addition och subtraktion Lärandemål: ⋆ Kunna lösa additioner och subtraktioner utan övergångar med huvudräkning.

Material: Stenar, 3 stickor, miniräknare samt K3.

Förberedelser: Kopiera K3. Klipp ut korten och lägg addition för sig och subtraktion för sig.

Ta fram korten som är märkta med * och •.

Aktiviteterna inleds med att tolka och visa tal, en repetition av decimalsystemets positioner/ de olika talsorterna. Eftersom det inte blir några övergångar här kan man direkt se svaren och då börja från vänster med den största talsorten.

Om eleven lär sig att känna igen denna uppgiftstyp, blir alltså många uppgifter sedan enkla.

I tillfället tas addition och subtraktion upp parallellt, vilket ger möjlighet till jämförelse.

En god begreppsförståelse av decimalsystemets uppbyggnad är ”ryggraden” i aritmetiken och en förkunskap här. För att få flyt i räknandet krävs också förkunskapen att behärska talkombinationerna av talen 1–9.

Genomgång inför uppgift 1–2 Börja med att ta reda på elevens kunskaper om tals uppbyggnad och decimalsystemets positioner i de första aktiviteterna. Elevens kunskaper avgör hur många exempel ni bör göra av varje aktivitet. Om eleven ramsräknar på fingrarna, t ex beräknar 21 + 7 som 22, 23…27, 28 eller 35 + 12 som 36, 37…46, 47 är det lämpligt att hen först får jobba med uppgifter från intensivträningshäftet Räknemetoder utan övergångar, kunskapskrav åk 3.

• Rita tre långa fåror och lägg talet 315 med stenar.

– Vilket tal visar stenarna? (315) – Vilka talsorter visar de tre fårorna?

(Från höger: ental, tiotal och hundratal.)

Låt eleven lägga några olika tal och skriva dem med siffror. Säg sedan några tal som eleven får lägga och skriva, t ex 503, 740 och 61. Rita därefter en ny fåra till vänster om hundratalsfåran och låt eleven namnge den (tusental).

Samtala om att stenarna är likadana men att de får olika värden beroende på i vilken fåra de ligger. Jämför med en siffras olika värde i tal.

• Rita ett decimaltecken efter två fåror. Låt eleven lägga några olika tal med stenar och skriva dem.

• Säg några tal i decimalform som eleven får lägga och skriva, t ex 4 hela och 5 hundradelar, 23 hela och 8 tiondelar och 0 hela och 16 hundradelar.

• Lägg fram tre A4-papper och rita tre fåror på vart och ett av dem. Låt eleven lägga samma tal, 123, på vart och ett av underlagen. Hen ska sedan med hjälp av stenar addera talet 2 på det första underlaget, talet 20 på det andra och talet 200 på det tredje underlaget, och slutligen skriva de tre additionerna. Jämför de olika additionerna och resonera om likheter och skillnader. +2

+ 20

+ 200

Lägg sedan en sticka som decimaltecken efter den första fåran på varje underlag. Låt eleven lägga talet 1,23 och sedan addera talen 2, 0,2 respektive 0,02 genom att lägga stenar och sedan skriva additionerna. Jämför de olika additionerna och resonera om likheter och skillnader.

• Gör på motsvarande sätt med subtraktion. Låt eleven lägga talet 345 på vart och ett av de tre underlagen och sedan subtrahera talen 2, 20 respektive 200 genom att ta bort stenar samt skriva subtraktionerna. Jämför subtraktionerna och resonera om likheter och skillnader.

Lägg sedan en sticka som decimaltecken efter den första fåran på varje underlag. Låt eleven lägga talet 3,45 och sedan subtrahera talen 2, 0,2 respektive 0,02, skriva subtraktionerna samt resonera om dem. Jämför subtraktionerna och resonera om likheter och skillnader.

Eleven gör uppgift 1–2 Här får eleven rita till stenar vid addition och kryssa över vid subtraktion. Låt eleven förklara en uppgift med addition och en med subtraktion.

Verkar eleven säker på positionerna?

– Vilken summa hade det blivit om du adderat 0,21 i stället för 2,1?

– Vilken differens hade det blivit om du subtraherat 12 i stället för 1,2?

12

iMatte4-6_handledning_raknemetoder.indd 12

2020-03-09 13:49

Genomgång inför uppgift 3a • Skriv uppgifterna 56 + 30 = __ och 821 + 42 = __. Återkoppla till arbetet med fårorna och uppmana eleven att berätta hur hen kan tänka på liknande sätt för att lösa dessa uppgifter.

Resonera om att man måste addera lika talsorter som vid fårorna, och att det kan vara bra att stryka under den största talsorten som ska adderas. I huvudräkning är det enklast att börja med den största talsorten. Uppmärksamma eleven på att summan av varje talsort aldrig blir större än 9 här, och då kan man börja från vänster och se summan direkt.

Skriv 42 + 13 = __, 320 + 105 = __ , 2 350 + 210 = __, 12,5 + 1,3 = __ och 3,25 + 0,4 = __.

Låt eleven stryka under den största talsorten som ska adderas och sedan lösa uppgifterna. Ställ frågor utifrån resonemanget ovan.

• Låt eleven skriva egna liknande uppgifter där ingen talsort blir större än 9. Det är den bästa diagnosen på om och hur hen uppfattat uppgiftskategorin.

• Låt eleven sortera additionskorten med * från K3 genom att lägga alla kort där summan av varje talsort är högst 9, inga övergångar, i en hög och sedan säga summorna.

• Titta tillsammans på stycket om addition i inforutan på sidan 3 i elevhäftet.

Eleven gör uppgift 3a Uppmärksamma om eleven stryker under siffrorna för den största talsorten som ska adderas, och förvissa dig om att hen verkligen börjar med den största talsorten och läser svaret från vänster till höger. Är det någon uppgift som eleven verkar osäker på? Resonera i så fall om den lösningen.

Genomgång inför uppgift 3b Gör på motsvarande sätt med subtraktion, som ni gjorde med addition inför uppgift 3a.

• Skriv uppgifterna 56 − 20 = __ och 654 − 42 = __. Titta på den andra uppgiften och samtala om att vid subtraktion ska man minska den första termen. Resonera om att man måste subtrahera lika talsorter som vid fårorna, och att det kan vara bra att stryka under den största talsorten som ska subtraheras.

I huvudräkning är det enklast att börja med den största talsorten. Uppmärksamma eleven på

att alla talsorter räcker till här och då kan man börja från vänster och se differensen direkt.

Skriv 63 − 13 = __, 327 − 105 = __ , 2 350 − 210 = __ , 12,5 − 1,3= __ och 3,75 − 0,4 = __.

Låt eleven stryka under den största talsorten som ska subtraheras och sedan lösa uppgifterna. Ställ frågor utifrån resonemanget ovan.

• Låt eleven skriva egna liknande uppgifter där alla talsorter räcker till. Det är den bästa diagnosen på om och hur hen uppfattat uppgiftskategorin.

• Låt eleven sortera subtraktionskorten med • från K3 genom att lägga alla kort där talsorterna räcker till, inga övergångar, i en hög och sedan säga differenserna.

• Titta tillsammans på stycket om subtraktion i inforutan på sidan 3 i elevhäftet.

Eleven gör uppgift 3b Uppmärksamma om eleven stryker under siffrorna för den största talsorten som ska subtraheras, och förvissa dig om att hen verkligen börjar med den största talsorten och läser svaret från vänster till höger. Är det någon uppgift som eleven verkar osäker på? Resonera i så fall om den lösningen.

Genomgång inför uppgift 4 • Skriv 5 + 3 = __ och 3 + 5 = __ . Låt eleven skriva svaren på uppgifterna. Resonera om varför svaren kan bli lika och att man kan addera tal i valfri ordning, summan blir alltid densamma.

Skriv 8 − 5 = __ och 8 − 3 = __ . Låt eleven skriva svaren. Jämför de fyra uttrycken. Resonera om sambanden, att de tre talen finns med i alla fyra uttrycken. De bildar en talfamilj.

• Skriv 9 + 7 = 16 och låt eleven skriva de tre andra uttryck som sambandet mellan dessa tre tal ger.

Resonera om sambanden.

• Skriv 37 + 52 = 89. Låt eleven skriva de tre andra uttryck som sambandet mellan dessa tre tal ger.

Eleven gör uppgift 4 Låt eleven förklara hur hen tänkt och muntligt beskriva sambanden.

Sammanfatta Samtala om inforutan på sidan 3 i elevhäftet.

Jämför huvudräkning i addition och subtraktion.

Fråga sedan eleven om det är något som hen är osäker på och vill resonera mer om.

13

iMatte4-6_handledning_raknemetoder.indd 13

2020-03-09 13:49

Intensivträning i matematik bygger på forskning om intensivundervisning, och är ett material för elever som av någon anledning har missat grundläggande begrepp.

Dessa elever kan genom en intensivinsats få möjlighet att hämta upp kunskaper, knäcka en viktig matematisk kod och vara med på banan igen!

Intensivträning i matematik innebär att en elev får en-till-en-undervisning utöver undervisningen i klassen. Det sker under en begränsad tid, ungefär 30 minuter per dag, 4 – 5 dagar/vecka. Varje undervisningstillfälle har ett eller två uppslag i elevhäftet.

Där finns också uppgifter och aktiviteter som eleven ska göra hemma. Till varje elevhäfte finns en handledning med aktiviteter, uppgifter och utmanande frågor.

Handledningen har en tydlig arbetsgång att följa vid varje undervisningstillfälle.

Arbetsgången ger eleven möjlighet att arbeta konkret, använda språket och att utveckla inre föreställningar som stöd för abstrakt tänkande och för att generalisera.

Räknemetoder Häftet är tänkt för de elever som är osäkra på räknemetoder vid de fyra räknesätten med hela tal och tal i decimalform, samt att utifrån talen i uppgifter välja den räknemetod som passar dem själva bäst. En förkunskap här är att kunna tänka med tiotal och ental i uppgifter utan övergångar, istället för att räkna ett och ett med fingrarnas hjälp.

Lärandemål: ⋆ Kunna välja effektiva räknemetoder vid de fyra räknesätten med hela tal och tal i decimalform. ⋆ Kunna använda sig av räknemetoderna huvudräkning, uppställning, överslagsräkning och miniräknare. ⋆ Kunna välja en räknemetod som passar en själv utifrån talen i en uppgift.

Följande häften siktar mot kunskapskraven i åk 6 och tar upp de vanligaste områdena som brukar vara förknippade med svårigheter för elevers lärande i matematik: I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

Tal i bråkform

Tal i decimalform

Tal i procentform

Algebra

Textuppgifter

Räknemetoder

Tabellkunskaper

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

NATUR & KULTUR Box  ,   Stockholm Kundservice: Tel -  , kundservice@nok.se nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Box  ,   Stockholm Tel -  , order@forlagssystem.se fsbutiken.se Projektledare Veronica Thurén Textredaktör Eva Berg Grafisk form Kari Wahlström

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Namn

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Namn

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Namn

matte

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering är inte tillåten för undervisningsändamål. Detta gäller ej kopieringsunderlagen.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

©  Ingrid Olsson, Görel Sterner och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Estland  Första upplagans första tryckning ISBN --- - 

Förlaget Natur & Kultur är en stiftelse som utan ägare kan agera självständigt och långsiktigt. Vårt mål är att genom stöd, inspiration, utbildning och bildning verka för tolerans, humanism och demokrati.

ISBN 978-91-27-45323-4

9 789127 453234

iMatte4-6_handledning_raknemetoder.indd 48

2020-03-09 13:49