9789127453227

i n t e n s i vt rän i n g i m at emati k

HANDLEDNING

Algebra Kunskapskrav åk 6

iMatte4-6_handledning_algebra.indd 1

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

2019-11-29 09:30

i nt e n sivträn i ng i matematik

Materialet Intensivträning i matematik är ett hjälpmedel för att genomföra intensivundervisning, och bygger på den forskning och beprövad erfarenhet som beskrivs längre fram. Materialet består av en handledning och ett elevhäfte för vart och ett av de matematiska områden som ingår i serien.

Elevhäfte Det här elevhäftet omfattar 13 tillfällen och varje tillfälle utgör vanligtvis två uppslag, ibland bara ett. Första uppslaget, eller vänster sida, gör eleven tillsammans med läraren i skolan. Andra uppslaget, eller höger sida, med rubriken Hemma förbereder du och eleven i skolan. Sedan gör eleven uppgifterna hemma med en förälder, eller med läxhjälp i skolan.

Efter en del hemmauppgifter står det Kontrollera och läs i facit. Facit till de uppgifterna finns på sista sidan i elevhäftet, och förutom rätt svar finns förklaringar till en del av lösningarna.

Under Kommentarer i elevhäftet kan föräldern skriva hur hemarbetet har fungerat, eventuella frågor och hur eleven upplevt arbetet. Längst ned på sidan finns Lärandemål som gäller för det aktuella tillfället.

Det sista tillfället är en sammanfattning av det eleven har arbetat med i häftet.

Handledning Innan ni startar arbetet med materialet bör du läsa igenom hela inledningen så att du vet hur det är tänkt att användas, och är väl insatt i problematiken kring begreppsförståelse, svårigheter och missuppfattningar om algebra. Till varje tillfälle i elevhäftet finns utförliga förslag på hur du och din elev kan arbeta med innehållet. I handledningen finns följande rubriker: • Lärandemål: Lärandemål för just detta tillfälle.

• Material: Vad ni behöver ta fram till tillfället.

• Att ta hem: Material som eleven ska ha med sig hem inför hemmauppgifterna.

• Genomgång inför uppgift X: Förslag på hur undervisningen kan genomföras. Det är inte läraren som berättar hur allt fungerar, utan du och eleven för en dialog kring det nya begreppet eller

räkneoperationen som ni tillsammans undersöker genom att arbeta med konkret material, bilder och slutligen det formella symbolspråket. På sidan 6 finns förslag på olika frågeställningar som ger upphov till resonemang.

• Eleven gör uppgift X: Förslag på vad du kan observera, vilket kan innebära att ställa övergripande eller direkta frågor kring viktiga begrepp samt ibland ge förslag på samband och fördjupning.

• Förbered hemmauppgift X: Här förklaras uppgifter som avviker, eller spel där eleven först behöver genomgång i skolan.

• Sammanfatta: Förslag till resonemang om samband och jämförelser kring inforutan, som fokuserar på det begrepp eller de räkneoperationer som ni arbetat med.

Undervisningstillfälle Intensivundervisning innebär att läraren under­visar en elev. Ibland kan två eller tre elever fungera, om eleverna har samma kunskaps­behov.

Förbered varje tillfälle genom att läsa igenom uppslaget i handledningen, kopiera eventuella arbetsblad och se till att material finns så att själva undervisningstiden kan utnyttjas effektivt. Genomför arbetet med uppgifterna i elevhäftet och anteckna sådant som bör följas upp vid ett senare tillfälle. Ett positivt avslut på lektionen är viktigt, så avrunda alltid med något som eleven klarar bra. Det är också viktigt att allt som eleven ska göra hemma har introducerats i skolan, och att eleven får med sig både häftet och det material som behövs.

Tanken är att ni ska hinna ett tillfälle i elevhäftet under ett undervisningstillfälle, men det är givetvis bara du som kan avgöra i vilken takt just din elev kan arbeta. Vid behov kan innehållet delas upp på två undervisningstillfällen, t ex om eleven behöver arbeta med förkunskaper. Det går även att hoppa över aktiviteter om eleven behär­skar ett moment väl eller om du bedömer att något är för avancerat för eleven. Anteckna alltid på kopieringsunderlag K2, Elevuppföljning.

2

iMatte4-6_handledning_algebra.indd 2

2019-11-29 09:30

Färdighetsträning

Förkunskaper

För att utveckla hållbara räknestrategier och kunna göra effektiva beräkningar måste eleven ha god förståelse för tal och tals egenskaper, samt förstå vad det innebär att operera med tal (McIntosh, 2008). ­Kunskap om grundläggande talkombinationer samt förståelse för positionssystemet och räkneoperationer utgör grunden för att kunna hantera de fyra ­räknesätten med flersiffriga tal.

Färdighetsträning är viktigt, men ska alltid sättas in sent i en undervisningssekvens eftersom den bygger på att eleven förstår det som hen ska öva på. Det tar tid att befästa nya kunskaper. I elevhäftet finns förslag på miniräknarövningar och spel att prova.

• Ha god taluppfattning.

• Kunna beskriva strukturen i enkla mönster och talföljder och sedan fortsätta dessa.

• Kunna tolka, skriva och hantera enkla numeriska uttryck.

• Kunna använda de fyra räknesätten och räkneregler.

• Kunna lösa enkla likheter som 4 + __ = 10.

Målgrupp för detta häfte Innehållet i detta häfte är tänkt för elever på mellanstadiet som behöver lärarledd undervisning med fokus på algebra. Det kan vara elever som är osäkra på algebraiskt tänkande, likheter och likhetstecknet, att vid problemlösning använda och lösa enkla ekvationer samt att hantera bokstäver i algebraiska uttryck.

Att en elev inte kan lösa enkla ekvationer beror ofta på att hen inte kan se likhetstecknet statiskt, som en ”gungbräda”, utan endast dynamiskt, att det blir något. Det leder även till att elevens möjligheter att lära sig många andra aspekter av algebra begränsas eller hindras.

Ju tidigare skolan kan hjälpa dessa elever desto bättre. Det kan betyda mycket för deras självförtroende och framtid.

Diagnos För att ta reda på vilka elever som har nytta av att arbeta med detta häfte kan du använda kopieringsunderlagen K1a–b, Diagnos, i klassen. Men tänk på att en skriftlig diagnos är ett osäkert instrument för att ensamt mäta begreppsförståelse. Du bör därför följa upp med muntliga frågor till en del elever.

Lärandemål • Kunna hantera likheter och likhetstecken.

• Kunna bestämma x i enkla ekvationer och kontrollräkna genom att pröva.

• Kunna lösa enkla problemuppgifter med ekvationer.

• Ha kunskapen att en bokstav i ett algebraiskt uttryck är en variabel och kan stå för olika tal.

• Kunna uppfatta, konstruera, beskriva och fortsätta upprepade mönster.

• Kunna beskriva en mönsterdel med symboler.

• Kunna tolka, ange regeln och fortsätta enkla talföljder samt konstruera egna.

• Kunna beskriva växande mönster med konkret material, bilder, ord och matematiska symboler.

Material Här följer en lista över det material som ni behöver vid de olika tällfällena utöver pennor, färgpennor, blankt och rutat papper, saxar och linjaler.

Material Tillfälle K3 Algebrakort 4, 5 K4 Algebrarace 4 K5 Numeriska och algebraiska uttryck 5 K6 Algebraiska uttryck 6–12 K7 Problemlösning med ekvationer 9–12 Räkneloppor, tre färger 1, 2, 3, 6, 10 Tärningar 1–6, röda och vita 1, 4, 5, 10, 13 Tärningar 0–9 4 Spelpjäser 4 Stickor 10, 12, 13 Miniräknare 11, 13 Utklippta små kvadrater 12

Eleven kan rita eller skriva anteckningar på lösa papper, om det på vissa uppgifter inte ryms i häftet.

3

iMatte4-6_handledning_algebra.indd 3

2019-11-29 09:30

1 Likhetstecknet Lärandemål: ⋆ Kunna tolka, säga och använda tecknen = och ≠. ⋆ Kunna förklara att i en likhet är värdena lika på varsin sida om likhetstecknet. ⋆ Kunna förklara att likhetstecknet används både för att visa hur något ”blir”, och för att visa likheter.

Material: Ca 20 räkneloppor och 10 tärningar 1–6 (gärna i två olika färger).

Att ta hem: 5 tärningar 1–6.

Det är vanligt att en elev tänker sig likhetstecknet enbart dynamiskt, det vill säga att det blir något, t ex 4 + 5 = __ blir 9. Efter likhetstecknet skrivs då svaret. Enbart den begreppsuppfattningen fungerar inte när eleven ska lösa ekvationer.

Då krävs ett statiskt tänkande där likhetstecknet betecknar en likhet, nämligen att värdet av det som står till vänster om likhetstecknet ska vara samma som det som står till höger. Eleven behöver alltså ha förståelse av likhetstecknets olika innebörder, både statiskt och dynamiskt.

Vid det här tillfället möter eleven olika aktiviteter som tränar likheter och likhetstecknet i statiska situationer, som en förberedelse inför enkla ekvationer i nästa undervisningstillfälle.

Var noga med att eleven använder termerna likhet och likhetstecken i resonemangen.

Genomgång inför uppgift 1 • Be eleven skriva ett likhetstecken och berätta hur hen använder det, samt skriva ett exempel som hen förklarar. Ta reda på om eleven uppfattar likhetstecknet dynamiskt, statiskt eller både och.

• Rita två rektanglar/rutor på ett löst papper och skriv ett likhetstecken emellan. Ta ett valfritt antal loppor var och lägg dem i var sin ruta.

– Skriv den här situationen med matematiska symboler.

– Vad betyder tecknet mellan rutorna? (Det ska vara lika många loppor på vardera sidan.)

– Stämmer det här? (Troligen inte, men det kan ha råkat bli lika.)

– Hur kan vi ändra så att likhetstecknet gäller här?

(Lägga till eller ta bort loppor.)

=

• Rita nu ytterligare en ruta till vänster om likhetstecknet och skriv ett plustecken mellan rutorna.

Lägg loppor som på + = bilden.

Låt eleven lägga loppor i den tomma rutan så att likheten stämmer. (3 loppor) – Hur vet du att det är rätt?

– Varför skulle det inte kunna vara t ex 5 loppor i rutan?

Ta bort lopporna och låt eleven göra en liknande uppgift åt dig. Resonera om lösningen.

• Rita ett stort likhetstecken på ett papper. Ta 3 tärningar var, gärna i var sin färg. Du lägger sedan 1, 2 eller 3 tärningar till höger om likhetstecknet. Eleven ska då lägga 1, 2 eller 3 tärningar till vänster om likhetstecknet så att likheten stämmer. Värdet av alla tärningar på vänster sida ska vara lika som värdet av tärningarna på höger sida, men det ska inte vara exakt samma tärningar och ordningsföljd. Resonera om att det är en likhet eftersom värdet till vänster är lika som värdet till höger. Då kan man använda likhetstecknet, som då innebär är lika med (statisk situation). =

Turas om att börja lägga tärningar på ena sida om likhetstecknet och att sedan lägga tärningar på andra sidan för att skapa likheter. Låt eleven förklara varför det är likheter. Uppmärksamma om hen använder termen likheter. Ta annars upp det.

Eleven gör uppgift 1 Här finns bara en lösning till varje uppgift.

Låt eleven förklara någon av likheterna.

Genomgång inför uppgift 2 Låt eleven slå 5 tärningar i samma färg. Använd likhetstecknet på pappret från den förra genomgången, och resonera om vilka likheter som ni kan lägga med 2, 3, 4 eller 5 av tärningarna. Ta upp att i spelet Likheter får man 1 poäng för varje tärning, så man ska försöka att använda så många som möjligt av de 5 tärningarna.

12

iMatte4-6_handledning_algebra.indd 12

2019-11-29 09:30

Eleven gör uppgift 2

▶ 5

Titta på de två exemplen på sidan 5 i elevhäftet.

Låt sedan eleven slå 5 tärningar, pröva sig fram med dem vid likhetstecknet och sedan skriva in poängen i första omgången i protokollet på sidan 2. Resonera om olika möjligheter och använd termerna likheter och likhetstecken. Gör sammanlagt 4 slag och räkna sedan ihop poängen.

▶ 67

Genomgång inför uppgift 3 Skriv ett tal med likhetstecken efter, t ex 10 =. Turas om att skriva olika likheter med hela tal. Använd alla räknesätt. Exempel: 10 = 5 + 5 = 40 34 − 24 = 100 − 90 = 2 ∙ 5 = 100 10 = 4 . Samtala om att det kan stå hur många likhetstecken som helst på rad vid likheter och här har alltså alla uttryck värdet 10.

Fråga eleven vilket av räknesätten addition eller subtraktion som kan ge flest likheter. Addition är begränsat men i subtraktion finns oändligt många möjligheter.

Jämför på samma sätt multiplikation och division och upptäck att i division finns det också oändligt många möjligheter.

Eleven gör uppgift 3 Observera om eleven använder alla räknesätt.

Hur förklarar eleven likheter? Vågar eleven använda sig av tvåsiffriga och tresiffriga tal?

Genomgång inför uppgift 4 • Skriv några parvisa uttryck med en ruta emellan.

En del av uttrycken ska vara likheter och andra inte, t ex: 100 − 40 2 ∙ 30 och 3 + 5 7 + 2.

Det första exemplet är en likhet och där kan man skriva =. I det andra exemplet är värdet till vänster om likhetstecknet 8 och till höger 9, och därför får man inte skriva ett likhetstecken här.

I stället väljer man ≠ som betyder inte lika med eller skilt från. Tecknet benämns olikhetstecken.

• Skriv några fler parvisa uttryck med blandade räknesätt och med ruta emellan. Låt eleven skriva = eller ≠ och förklara sina val.

Eleven gör uppgift 4 Efter att eleven har gjort alla deluppgifter resonerar ni om hur man ibland kan avgöra om ett uttryck är en likhet eller inte utan att behöva utföra räkneoperationerna. Gå tillsammans igenom uppgifterna i den vänstra spalten i uppgift 4:

+ 4 6 + 4 Båda sidor har + 4 men till vänster om likhetstecknet är det 5 och till höger är det 6.

Det är ingen likhet och eleven ska alltså skriva ≠ i rutan.

+ 25 70 + 22 I uttrycket efter rutan har antalet 3 flyttats från den vänstra termen till den högra, men det sammanlagda värdet av termerna är desamma. Det ska alltså stå = i rutan.

I de kvarvarande uppgifterna på nedersta raden tillämpas kommutativa lagen.

Genomgång inför uppgift 5–7 • Lägg fram likheterna från genomgången inför uppgift 4. Håll över ett av talen och låt eleven avgöra vilket tal du gömmer, t ex 100 − 40 = 2 ∙ 30 och 100 − 40 = 2 ∙ 30. Resonera om att man först beräknar värdet på den sida där alla tal är givna och sedan kan man beräkna det sökta talet på den andra sidan om likhetstecknet.

• Välj en annan likhet och göm ett av tecknen för räknesätten och låt eleven avgöra vilket tecken du gömmer, t ex 100 − 40 = 2 ∙ 30 och 100 − 40 = 2 · 30. Resonera om hur man avgör det aktuella räknesättet på liknande sätt som med det gömda talet.

• Skriv 4 ∙ __ = __ + 10. Här saknas två tal och då finns det många olika lösningar. Låt eleven ge förslag på några lösningar och resonera om värdet på vänster och höger sida om likhetstecknet.

Eleven gör uppgift 5–7 Uppgift 5: I den sista uppgiften ska eleven skriva en valfri likhet. Det är en bra diagnos på hur eleven uppfattat uttryck som likheter. Resonera om elevens lösningar på sista raden.

Uppgift 7: Fråga varför svaret inte kan vara 20 i den

första uppgiften.

Förbered hemmauppgift 12 Läs reglerna tillsammans. Det är samma spel som ni har provat tidigare i uppgift 2, men här kan två personer ha var sin rad i protokollet.

Sammanfatta Samtala om inforutan på sidan 4 i elevhäftet och låt eleven förklara skillnaden mellan likhetstecknets två innebörder. Fråga om det är något som eleven är osäker på och vill resonera mer om.

13

iMatte4-6_handledning_algebra.indd 13

2019-11-29 09:30

Intensivträning i matematik bygger på forskning om intensivundervisning, och är ett material för elever som av någon anledning har missat grundläggande begrepp.

Dessa elever kan genom en intensivinsats få möjlighet att hämta upp kunskaper, knäcka en viktig matematisk kod och vara med på banan igen!

Intensivträning i matematik innebär att en elev får en-till-en-undervisning utöver undervisningen i klassen. Det sker under en begränsad tid, ungefär 30 minuter per dag, 4 – 5 dagar/vecka. Varje undervisningstillfälle har ett eller två uppslag i elevhäftet.

Där finns också uppgifter och aktiviteter som eleven ska göra hemma. Till varje elevhäfte finns en handledning med aktiviteter, uppgifter och utmanande frågor.

Handledningen har en tydlig arbetsgång att följa vid varje undervisningstillfälle.

Arbetsgången ger eleven möjlighet att arbeta konkret, använda språket och att utveckla inre föreställningar som stöd för abstrakt tänkande och för att generalisera.

Algebra Häftet är tänkt för elever som är osäkra på att uppfatta och hantera mönster och talföljder, likheter och likhetstecknet; att använda och lösa enkla ekvationer vid problemlösning samt att hantera bokstäver i algebraiska uttryck. Eleverna får arbeta med algebraiskt tänkande, som att uppfatta mönster och samband och att kunna generalisera dessa till nya situationer och problem.

Lärandemålen är: ⋆ Kunna hantera likheter, likhetstecknet och enkla ekvationer. ⋆ Kunna lösa enkla problemuppgifter med ekvationer. ⋆ Kunna beskriva och fortsätta upprepade och växande mönster. ⋆ Kunna tolka, beskriva och fortsätta enkla talföljder samt konstruera egna.

Följande häften siktar mot kunskapskraven i åk 6 och tar upp de vanligaste områdena som brukar vara förknippade med svårigheter för elevers lärande i matematik: I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K

Tal i bråkform

Tal i decimalform

Tal i procentform

Algebra

Textuppgifter

Räknemetoder

Tabellkunskaper

Namn

NATUR & KULTUR Box  ,   Stockholm Kundservice: Tel -  , kundservice@nok.se nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Box  ,   Stockholm Tel -  , order@forlagssystem.se fsbutiken.se Projektledare Veronica Thurén Textredaktör Eva Berg Grafisk form Kari Wahlström Illustrationer Åsa Gustafsson Förlaget Natur & Kultur är en stiftelse som utan ägare kan agera självständigt och långsiktigt. Vårt mål är att genom stöd, inspiration, utbildning och bildning verka för tolerans, humanism och demokrati.

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Namn

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Namn

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

matte

Namn

matte

Ingrid Olsson & Görel Sterner

Namn

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering är inte tillåten för undervisningsändamål. Detta gäller ej kopieringsunderlagen.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

©  Ingrid Olsson, Görel Sterner och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Estland  Första upplagans första tryckning ISBN --- - 

ISBN 978-91-27-45322-7

9 789127 453227

iMatte4-6_handledning_algebra.indd 48

2019-11-29 09:30