MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON
ISBN 978-91-47-08592-7 © 2012 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: People printing, Kina 2012
BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: IBL bildbyrå 6 (1) Matton Images 6 (2) Shutterstock 15 Anders Good/IBL 17, 22 Shutterstock 23 Helena Larsson/ Naturfotograferna/IBL 28 Philippe Wojazer/Reuters/ Scanpix 31 Lars Lindqvist/DN/Scanpix 33 Filip Singer/EPA/Scanpix 35 Heide Benser/Corbis/Scanpix 39 Lars Pehrson/SvD/Scanpix 40 Mark Raycroft/Minden/ Scanpix 47 Bridgeman Art Library /IBL 48 Camilla Cherry/Scanpix 51 Science Photo Library /IBL 55 Pontus Lundahl/Scanpix 56 Shutterstock 63 Adam Ihse/Scanpix 64 Claudio Bresciani/Scanpix 65 Sterba Martin/CTK/Scanpix 68 Jochen Luebke/Scanpix 74, 81, 86, 95 Shutterstock 89 Georgios Kefalas/Keystone/ Scanpix
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
98 Drago Prvulovic/Scanpix 104 Peter Widing/Scanpix 107, 115, 117 Shutterstock 120 Dan Hansson/SvD/Scanpix 125 Justin Sullivan/AFP/Scanpix 126 OPV Online 127 Linus Meyer/Scanpix 131, 132, 139 Shutterstock 147 Camilla Cherry/Scanpix 151 Shutterstock 153 Frank Gunn/AP/Scanpix 157 Richard Nebesky/Lonely Planet/Scanpix 158 Leif R Jansson/Scanpix 165 Matton Images 172, 182 Shutterstock 184 Elisabeth Alvenby/GP/IBL 187 Roy Ooms/Masterfile/Scanpix 189 Jeppe Wikström/Scanpix 195, 199, 202, 207 (2) Shutterstock 207 (1) Science Source/ PhotoResearchers/IBL 211 Johanna Hanno/Scanpix/ Bildhuset 214 Niklas Gustavsson/ Helsingborgs Dagbl/Scanpix 217 Image State/IBL 219 Shutterstock 221 Leif Å Andersson/Sydsv/IBL
225 Christer Wahlgren/KVP/ Scanpix 227 Martha Holmes/NP/IBL 234 Shutterstock 240 Michael Medgyesi/Imagine Scandinavia/Scanpix 244 Anders Hofgren/GP/IBL 247, 249, 252 Shutterstock 254 Johan Gunseus/Scanpix 257 Shutterstock 258 Koen Suyk/ANP/Scanpix 261 Sara Arnald/Scanpix/Bildhuset 266 Andrew Burke/Lonely Planet/ Scanpix 268 Bertil Ericson/Scanpix 273, 277 Trons/Scanpix 278 Shutterstock 280 Richard Hauglin/Scanpix 284 Lennart Hyse/Scanpix 287 Bengt Ekman/ Naturfotograferna/IBL 293 Nils-Johan Norenlind/Tiofoto/ NordicPhotos 299, 300, 305, 309, 315 Shutterstock 318 Matton
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 2b och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. EXEMPEL
! Antalet värdesiffro
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! I regelrutorna finns det som är extra viktigt. Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Till vissa uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av boken. I facit har dessa uppgifter röda uppgiftsnummer.
FÖRDJUPNING
I varje kapitel finns det Fördjupningsavsnitt. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.
digiTaLa ruTan
I digitala rutan får du använda digitala verktyg för att lösa problem.
nog-uppgifTer
NOG-uppgifter har samma upplägg som på Högskoleprovet.
TEST
TanKenöT
Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens lösta exempel. I slutet av boken finns repetitionsavsnitt. Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen! Författarna 3
Innehåll 1
Uttryck och ekvationer 6
Förenkla uttryck 7 Multiplikation 10 Ekvationer 13 Ekvationer med nämnare 18 Digitala rutan: Tänk på ett tal 20 Parentesmultiplikation 21 Kvadreringsregler 25 Konjugatregeln 29 Upptäck & visa: Pascals triangel 32 Ekvationer med x2-termer 34 Enkla andragradsekvationer 36 Kvadratkomplettering 41 Fullständiga andragradsekvationer 43 Problemlösning med ekvationer 47 Dubbelrot eller ingen rot? 49 Komplexa tal 52 Digitala rutan: Moms 55 Uppdelning i faktorer 56 Faktorisering med konjugatregeln 59 Faktorisering och ekvationer 61 Digitala rutan: Budget 64 F Mer problemlösning 65 Sammanfattning 66 Blandade uppgifter 67 Nog-uppgifter 71 Test 1A 72 Test 1B 73
4
2
Linjära funktioner
74
Avläsa grafer 74 Bestäm linjens lutning 77 Rita linjen y = kx + m 82 Formel för k 87 Skriv på formeny = kx + m 90 F Ekvationen y – y1 = k(x – x1) 94 Parallella linjer 95 Mer om y = kx + m 99 Räta linjen på allmän form 101 Upptäck & visa: Linjen och punkten 104 Ekvationssystem, grafisk lösning 105 Ekvationssystem, ersättningsmetoden 108 Ekvationssystem, additionsmetoden 111 Problemlösning med ekvationssystem 115 Digitala rutan: Matematisk modell 118 F Ekvationssystem med tre obekanta 119 Sammanfattning 121 Blandade uppgifter 122 Nog-uppgifter 128 Test 2A 129 Test 2B 130
3
Geometri
132
Trianglar och vinklar 132 Pythagoras sats 137 Digitala rutan: Avståndsformeln 141 Likformighet och kongruens 142 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 148 Randvinklar och medelpunktsvinklar 154 F Mer problemlösning 158 F Bisektrissatsen och kordasatsen 159 Upptäck & visa: Mönster och formler 161 Sammanfattning 162 Blandade uppgifter 163 Nog-uppgifter 167 Test 3A 168 Test 3B 170
4
Linjära funktioner
172
Repetition 172 Andragradsfunktionens graf 176 Nollställen och symmetrilinje 179 Digitala rutan: Allmänna andragradsfunktionen 185 Problemlösning 186 Upptäck & visa: Kurvan och linjen 189 Potenser med rationella exponenter 190 Exponentialfunktioner 193 Linjära och exponentiella modeller 200 Vad är logaritmer? 203 Logaritmlagarna 208 Ekvationen 209 Tillämpningar på exponentiell förändring 212 Fler funktioner 215 F Mer om logaritmlagarna 218 F Kol-14-metoden 220 Sammanfattning 222 Blandade uppgifter 224 Nog-uppgifter 230 Test 4A 231 Test 4B 232
5
funktioner
234
Diagram och lägesmått 234 Klassindelning och histogram 238 Upptäck & visa: Generella samband 243 Några spridningsmått 244 Standardavvikelse 250 Normalfördelning 255 Population och stickprov 262 Felkällor 263 Korrelation och linjär regression 269 Exponentiell regression 275 Orsakssamband 277 F Mer om regression 279 Digitala rutan: Logaritmera och rita 280 Sammanfattning 281 Blandade uppgifter 283 Nog-uppgifter 288 Test 5A 289 Test 5B 291
6
Repetitionsuppgifter 293
Repetition 1 Repetition 2 Repetition 3 Repetition 4 Repetition 5
293 296 300 306 312
Facit
318
Facit Tankenötter 343 Facit Upptäck & visa 344 Facit Digitala rutan 345 Facit NOG-uppgifter 345 Ledtrådar och lösningar 346 Sakregister 352
5
1
Uttryck och ekvationer Tänk på ett tal mellan 1 och 10
7
Fördubbla talet
14
Lägg till 10
24
Dra bort 4
20
Dela med 2 Dra bort 3 Vad fick du?
10 7
Samma tal som jag tänkte på!
Kan det här stämma för alla tal? Om vi kallar vårt tal för x kan vi se hur det fungerar. – – – – – – –
Tänk på ett tal mellan 1 och 10 Fördubbla talet Lägg till 10 Dra bort 4 Dela med 2 Dra bort 3 Vad fick du? 6
UTTRYCK OCH EKVATIONER
x 2x 2x + 10 2x + 10 – 4 vilket blir 2x + 6 När både 2x och 6 delas med 2, får vi x + 3 x+3–3 x
KAPITEL 1
Precis som i frågeleken ”Tänk på ett tal” kan många problem förklaras och lösas med bokstavsräkning. Här följer nu några avsnitt som repeterar uttryck och ekvationer från boken M1b.
Förenkla uttryck EXEMPEL 1
Amanda och Cesar går på gymnasiet och har startat firman ”Data och trädgård”. De använder följande taxor: Amanda: 200 kr + 250 kr/tim Cesar: 180 kr + 200 kr/tim Om x är antalet timmar får vi följande uttryck:
Amanda Cesar 200 + 250x 180 + 200x
a) Vilket blir uttrycket för kostnaden då både Amanda och Cesar anlitas i x timmar?
Vi adderar och får
(200 + 250x) + (180 + 200x) = 200 + 250x + 180 + 200x = = 380 + 450x
En parentes visar att något ”hör ihop”. Då det är plus framför parentesen, kan parentesen tas bort.
Siffertermerna adderas: 200 + 180 = 380 x–termerna adderas: 250x + 200x = 450x
svar: 380 + 450x
b) Skriv ett uttryck som visar skillnaden i kostnad mellan Amanda och Cesar.
(200 + 250x) – (180 + 200x) = = 200 + 250x – 180 – 200x = 20 + 50x
svar: 20 + 50x
Eftersom det är minustecken framför parentesen måste vi ändra tecknen inuti parentesen när parentesen tas bort!
c) Vilken blir skillnaden i kronor för 2 timmars jobb?
Vi beräknar värdet av uttrycket 20 + 50x då x = 2.
20 + 50 · 2 = 120
svar: 120 kr
UTTRYCK OCH EKVATIONER
7
KAPITEL 1
! Ett uttryck som 20 + 50x kallas ett polynom. Ett polynom är ett uttryck som innehåller flera termer. Här gäller att siffertermen är 20 och x-termen är 50x. Bokstaven x kallas variabel och 50 är x-termens koefficient.
EXEMPEL 2
Förenkla följande uttryck. a) 8 – 5x + 1 – 2x = 8 + 1 – 5x – 2x = 9 – 7x b) 4y + (8 – 3y) = 4y + 8 – 3y = 8 + 4y – 3y = 8 + 1y = 8 + y c) 9 – (5 + 2x) = 9 – 5 – 2x = 4 – 2x
Lägg märke till att 1y skrivs y.
d) 6x – (3 – x) = 6x – 3 + x = 7x – 3 e) 2y – (8y + 5) + 5 = 2y – 8y – 5 + 5 = –6y Siffertermerna ”försvinner”, eftersom – 5 + 5 blir noll.
Förenkla följande uttryck. 1001
a) x + 2x + 5x
b) 6x – 2x + 3x
1002
a) 2x + 6 + 3x – 2
b) 2 – 3x – 4x + 1
1003
a) 2x + (5 + 7x)
b) 10 – (x – 8)
1004
a) 3x – (9x – 2)
b) x – (2 + 4x) + 7
1005
a) x – (3x – 6) + 7
b) 8 – (5 – x) + 3x
1006
Vilka av följande uttryck betyder samma som 6x? 3 · 2x
1007
2 + 4x
8x + (–2x)
Förenkla polynomen och beräkna värdet då x = 12. a) 2x – 9 – x + 5 + 8x + 9x – 5x – 3x + 3 b) 2x – (2 – x) + 3x – (4x + 5) c) –x – (7 – 8x) + (8 + 9x)
8
2 – (2 – 6x)
UTTRYCK OCH EKVATIONER
12 x 2
KAPITEL 1
1008 Förklara vilka termer och koefficienter
som finns i uttrycket 4y + 5?
1009
Titta på uttrycken A och B!
A = 12 – 4x
B = 9 – 3x
Skriv och förenkla det uttryck som visar a) summan A + B b) differensen A – B c) differensen B – A d) Vilket värde får uttrycket A + B då x = 2? 1010
Beräkna värdet av uttrycket x – x2 + x3 då a) x = 3
1011
b) x = –1
c) x =
2 3
Beräkna värdet av (x + 3)y då a) x = 4 och y = 2
b) x = –5 och y = 3
c) x = 7 och y = –2 1012
a) Förenkla uttrycket
x 3x 5 x 7 x 9 x − + − + 2 2 2 2 2
Beräkna uttryckets värde då 2 b) x = 16 c) x = − 15 7 − 2x 5 − 2x − 3 3
1013
Förenkla uttrycket
1014
Värdet av uttrycket U = 2 x − y + 3 ska bli ett heltal. Välj själv värden på x och y så att a) x > 1 och y > 0 b) x < 1 och y < 0 TAnKEnöT 1
Dela 12 i två lik a stora delar så att en del blir 7.
UTTRYCK OCH EKVATIONER
9
KAPITEL 1
muLTIPLIKATIon I en multiplikation får vi ändra ordningen mellan faktorerna. T ex gäller att 3 · 4 = 4 · 3. På motsvarande sätt gäller att x · y = y · x Det är vanligt att multiplikationstecknet utelämnas, och vi skriver endast xy. En multiplikation som t ex 3 · (5 + x) kan alltid skrivas som en upprepad addition: 3 · (5 + x) = (5 + x) + (5 + x) + (5 + x) = 5 + x + 5 + x + 5 + x = 15 + 3x Det är enklare att multiplicera in faktorn 3 i parentesen på följande sätt: 3 · (5 + x) = 3 · 5 + 3 · x = 15 + 3x
! Distributiva lagen: a · (b + c) = a · b + a · c
EXEMPEL 1
a) 5 · (y + 4) = 5 · y + 5 · 4 = 5y + 20 b) x(x + 3y + 4) = x · x + x · 3y + x · 4 = x2 + 3xy + 4x
Lägg märke till att x · x = x2
c) 3x(4x – 2) = 3x · 4x + 3x · (–2) = 12x2 – 6x d) (5x – 3) · 2 = 2 · 5x – 2 · 3 = 10x – 6
Då faktorn 2 finns efter parentesen är det viktigt att multiplikationstecknet skrivs ut.
Utför följande multiplikationer. 1015
a) 5y · y
b) 2y · 3
c) x · 8x
1016
a) x · 2 · 3
b) 2x · 4x
c) x · 3 · 4x
1017
a) 2(x + 5)
b) 5(y – 3)
c) 7(2 – a)
1018
a) (2x + y) · 4
b) 3(y – 5x)
c) (x + 3) · x
1019
a) 5x(x – 1)
b) 4x(0,5 + 2x) c) 2y(3x – 5y)
10
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1020 Skriv ett uttryck för rektangelns
a) omkrets
b) area.
5 2x + 3
EXEMPEL 2
a) –2(5 + y) = (–2) · 5 + (–2) · y = –10 – 2y b) –3(2a – 1) = – 6a + 3 c) 4(–3 + 5x) = –12 + 20x EXEMPEL 3
Förenkla a) 3x + (x + 2) · 6 – 3(4 – 2x) =
3x + 6x + 12 – 12 + 6x = 15x
svar: 15x
b) x(x – 6) – x(1 – 8x) = x2 – 6x – x + 8x2 = 9x2 – 7x
Förenkling av x2-termerna: x2 + 8x2 = 9x2
Förenkling av x-termerna: – 6x – x = – 7x
Svaret 9x2 – 7x kan inte förenklas ytterligare.
svar: 9x2 – 7x
Förenkla följande uttryck 1021 a) 8x + 3(x – 5)
b) 4 + 5(y + 3) – 19
1022 a) 2(a – 7) – 2a
b) 15x – 4(x – 5)
1023 a) 2(x – 3) + 4(x + 2)
b) 6(a + 1) + (a – 2) · 3
1024 a) x(x – 2) – x(x + 3)
b) y(3y + 2) + (y – 3y2)
1025 a) y(5 – y) – (5y – y2)
b) 5(x – 4) – 2(x – 10)
1026 Vilket av uttrycken nedan är inte likvärdigt med de andra?
a) x – y + z
b) z – y + x
c) z – (y – x)
d) x – (y – z)
e) –y – (–x – z)
f) y – (z – x)
UTTRYCK OCH EKVATIONER
11
KAPITEL 1
Förenkla följande uttryck 1027 a) 9x + (x – 3) · 2 + 6
b) 6x – 5(x – 1) – x
1028 a) 7 – 4(y + 2) + 1
b) 3(4y – 5) – 2(5 – y)
1029 a) 1,4 x −
2 ⋅ (5 + 3,5 x ) 5
b) 1,5(2x – y) – (x – 0,6y) · 3
1030 Vilka av följande påståenden är sanna?
a) 2 + b = b + 2
b) 4n = n + n + n + n
c) x · y · 3 = 3xy
d) 5 · 3 = 53
e) b · a = ab
f) ax + ya = ay + xa
g) 8 + 3 · 5 = 8 + 15
h) a – b = b – a
1031 Skriv de uttryck (förenklade) som saknas i tabellens högra kolumn.
a) b) c) d)
Pris (kr) utan moms
+ 25 % moms
x
?
1,4x
?
x + 40
?
4x + 100
?
1032 Nedan ser du en rektangel där den ena
sidan är a och den andra sidan är b + c.
Förklara den distributiva lagen med hjälp av rektangeln.
b
c
a
2 y x (9 − 3x + 2 y ) − ( − + 0,5) ⋅ 4 3 3 4 b) Beräkna uttryckets värde då x = –5 och y = 10 –2
1033 a) Förenkla uttrycket
1034 Beräkna utan räknare.
a)
3( 12 + 3)
b)
2( 8 − 18)
1035 Motivera varför uttrycket 1 + x(2 – x) · x – x2(1 – x)
aldrig har ett negativt värde.
12
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
EKvATIonEr Titta på balansvågen som är i jämvikt. I vänstra vågskålen finns 5 lika stålkulor. I den högra skålen finns 3 lika stålkulor och en säck med 8 kg sand.
5x
8 + 3x
Hur mycket väger en stålkula? I exemplet nedan använder vi en ekvation för att bestämma stålkulans vikt, som vi kallar x. Jämför gärna ekvationen med ditt eget sätt att tänka. EXEMPEL 1
Lös ekvationen 5x = 8 + 3x Här finns det x-termer i ekvationens båda led. Vi subtraherar därför båda leden med 3x så att siffertermen blir ensam kvar i högra ledet. 5x – 3x = 8 + 3x – 3x Vi kan ”tänka” subtraktionen och direkt skriva så här: 5x – 3x = 8 2x = 8 8 x= 2
Båda leden divideras med 2.
x=4 svar: x = 4
Om vi jämför svaret med balansvågen, så betyder det att varje stålkula väger 4 kg.
! När vi löser en ekvation får vi subtrahera, addera, multiplicera och dividera med samma tal i båda leden.
UTTRYCK OCH EKVATIONER
13
KAPITEL 1
EXEMPEL 2
Lös ekvationen 10 – 2x = 22 10 – 22 = 2x –12 = 2x 2x = –12 x=
−12 2
Båda leden divideras med 2.
x = –6 svar: x = – 6 EXEMPEL 3
Lös följande ekvationer. a) 7x + 5 = 4x + 4 + 1
b) x + 5 = x + 8
7x – 4x = 5 – 5
x–x=8–5
3x = 0
0=3
x=0
svar: x = 0
Orimligt! Ekvationen saknar lösning!
svar: Ekvationen saknar lösning.
Lös följande ekvationer. 1036 a) 8x = 5x + 18
b) 6x + 9 = 4x + 11
1037 a) 10x – 3 = 29 + 6x
b) 3x + 40 = 5x
1038 a) 7s + 100 = 3s
b) 12 + 4s = 10s – 12
1039 a) 9x – 2 = 4x + 13
b) 20 + 7x = 4 – x
1040 a) 10x + 1 = 20x – 3
b) 15x – 5 = 5x + 35
1041 a) 8 – 5x = 20 – 3x
b) 1 – 2x = 16 – 5x
1042 a) – 2 – 3 + 4x = 5 – 6x
b) 2x – 1 + 4x – 8 = 5x – 9
1043 Vilka av följande ekvationer saknar lösning?
14
a) 4x = 2x
b) x + 9 = x + 8
c) 3x – 5 = 2x – 5
d) 2x – 4 = x + 4
e) 2x – 10 = 2x – 11
f) 2x – 3x = 0
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1044 Titta på ekvationen 5x + 4z = 100. Bestäm x om du vet att
a) z = 10
b) z = –50
1045 Ekvationen x + 4 = 12 har roten x = 8.
Skriv en liknande ekvation som har roten a) x = 1
b) x = 10
c) x = –5
1046 Summan av ett tal och talets fjärdedel är 8. Vilket är talet?
1047 Titta på uttrycken 2n och n + 2.
Vilket är störst? Förklara.
EXEMPEL 4
Agnes, Leo och Stina ska dela på 500 kr så att Agnes får dubbelt så mycket som Stina, och Leo får 80 kr mer än Stina. Hur mycket pengar får Leo? Stina får x kr
Agnes får 2x kr
Leo får (x + 80) kr
Vi får följande ekvation. x + 2x + x + 80 = 500
Tillsammans får de 500 kr
4x + 80 = 500 4x = 500 – 80 4x = 420 x=
420 4
x = 105 Leo får (x + 80), dvs (105 + 80) kr = 185 kr svar: Leo får 185 kr
UTTRYCK OCH EKVATIONER
15
KAPITEL 1
EXEMPEL 5
Lös ekvationen 22 – 3(x – 2) = 5(4 – x) Vi börjar med att multiplicera in faktorerna 3 och 5. Samtidigt tar vi bort parenteserna. Observera teckenändringarna i vänstra ledet eftersom det är minus framför parentesen. 22 – 3x + 6 = 20 – 5x 28 – 3x = 20 – 5x –3x + 5x = 20 – 28 2x = –8 x=
−8 2
x = –4 svar: x = –4
Lös följande ekvationer. 1048 5x + (3 + 2x) = 18 – (x – 1) 1049 12 – (2x + 8) = (x + 16) 1050 13 + (x – 13) – (2 – 5x) = 2,8 1051 5(y + 2) = 18 – (1 – 3y) 1052 (2a + 10) – 4(a + 5) = 0 1053 0,5(4x + 1) + 2(2 – 0,5x) = (4,5 – 2,5x) 1054 2 – 3(y + 5) = 26 – 5y
1055 Den här likbenta triangeln har
omkretsen 50 cm. Förklara hur du kan beräkna triangelns bas. Lös ekvationen.
x+4
x+4
x
16
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1056
1057
Vilka är ekvationer och vilka är uttryck? a) 3x + 5y
b) 2x + 5 – x
c) 2x + 5 = x
d) 2x = 5
Lös ekvationerna. a) 12 – 1,2(x – 5) = 22 – 2(x + 4) b) 3(s + 1) – (s – 1) · 2 = 10 – (5 – 3s)
1058
En summa pengar ska fördelas på följande sätt: Billy får 5000 kr mer än Emil. Frida får tre gånger så mycket som Emil. a) Hur mycket pengar får Billy om man ska dela på 20 000 kr? b) Hur mycket får Frida om man ska dela på 40 000 kr?
1059
Jim är dubbelt så gammal som Eva. Max är 4 år äldre än Jim. Den sammanlagda åldern för Eva, Jim och Max är 64 år. Hur gammal är Max?
1060
Ett rep som är 190 meter långt ska delas i tre delar A, B och C så att … … C är dubbelt så lång som B … A är 1/6 av B Hur lång blir den längsta delen?
1061
Lös ekvationen (400 + 4x) · 3 + 2(350 + 3x) = 2800
1062
Två vuxna och tre barn får betala 1500 kr för fem teaterbiljetter. Varje vuxenbiljett kostar 50 % mer än en barnbiljett. Vad kostar en vuxenbiljett?
Lös följande ekvationer. 1 1063 a) x ⋅ ( + 2) = 14 x
3 3 b) 0 = 2 x ( − ) − 7 x 2
1064
a) –9x – x = 100 – 32
b) 4(x – 3) – (x + 4) · x = 5x – x2
1065
Pröva om x = –2 är rot till ekvationen. 12 a) x 3 − x + = 0 b) 7 − x = 5 + x x
UTTRYCK OCH EKVATIONER
17
KAPITEL 1
Ekvationer med nämnare EXEMPEL 1
Lös ekvationen 1 −
8− x =x 3
Vi multiplicerar ekvationens båda led med 3, så att vi sedan kan ”förkorta bort” nämnaren 3. 3 ⋅1 −
3 ⋅ (8 − x ) = 3⋅ x 3
Observera parentesen!
Efter förkortning med 3 får vi 3 – (8 – x) = 3x 3 – 8 + x = 3x –5 = 2x −5 x= 2 x = –2,5 svar: x = –2,5 EXEMPEL 2
Lös ekvationen
5 1 25 + = x 2 4x
Här är den minsta gemensamma nämnaren 4x. Man säger att mgn = 4x. Vi multiplicerar med 4x. 2
1
1
4 x ⋅ 5 4 x ⋅1 4 x ⋅ 25 + = x 2 4x 1
1
1
Vi förkortar med x, 2 och 4x.
20 + 2x = 25 2x = 25 – 20 2x = 5 x=
5 2
x = 2,5 svar: x = 2,5
18
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
Lös ekvationerna 1066 a) 20 +
x =x 6
b)
y y + = 15 3 2
1067 a)
3p 9 7 p + = 2 10 5
b)
1 2 3 + = x 5 2x
1068 a)
1 1 2 − = 2p 3 p
b)
20 5 = y 7
5 4 = ledning: Mgn = x(x + 1) x +1 x 1 3 = b) x+2 x
1069 a)
1070 a)
x +1 1 − 2x = 10 + 4 3
b) 2y −
3(10 − 2y ) 3 + 5y − =6 4 2
1071 Bestäm x så att medelvärdet av de tre talen 48, (x + 15) och 2x
blir 60.
1072 Pia, Adam och Jon ska dela på en summa pengar så att Jon
får 2/7 av pengarna, Adam får 1/3 och Pia får 12 000 kr. Hur mycket pengar delar de på?
1073 ”Om man fördubblar ett visst tal och dessutom lägger till
en niondel av talet får man svaret 133. Vilket är talet?” Lös uppgiften med hjälp av en ekvation.
1074 Då Ohran står i kö till en rock-konsert, märker han att han har
1/7 av kön framför sig och 5/6 bakom sig. Hur många står i kön?
Lös ekvationerna 1 2 1075 a) = 6 1− x 1076 a) x (9 − x ) − 2 x (3 − x ) =
b) 5 −
1 − 3x = 40 + x 1 2
b)
3 2 = x − 2 x +1
3 7 ⋅ + x2 7 3
1077 Elias har en motorbåt. Han ska hälla x liter olja i 25 liter bensin så
att den oljeblandade bensinen innehåller 2 %. Hur många deciliter olja behöver Elias?
1078 Visa att x =
1 9 1 − 3,5 är en rot till ekvationen = x 1− x 7
UTTRYCK OCH EKVATIONER
19
KAPITEL 1
dIgITALA ruTAn
Tänk på ett tal
Använd ett kalkylblad (t ex Excel) och lös följande uppgifter. uppgift 1 A
B
1
Tänk på ett tal x
?
2
Multiplicera med 9
= B1*9
3
Addera 12
= B2+12
4
Dividera med 3
5
Subtrahera 3x
I kolumn A ser du vad som ska göras. Skriv ett tal i cell B1. I cell B2 ser du hur formeln skrivs för ”muliplicera med 9” och i cell B3 hur du ”adderar med 12” Skriv formler i cellerna B4 och B5 så att beräkningarna i kolumn A görs. Prova med olika tal i B1. Vilket svar får du? Förklara svaret med algebra. uppgift 2 A 1
Tänk på ett tal
2
Addera 5
3
Multiplicera med 4
4
Subtrahera 20
5
Dividera med 2
B
?
Gör på samma sätt som i uppgift 1, dvs skriv ett tal i B1, skriv formler i de tomma rutorna och bestäm svaret. Ändra sedan talet i B1 och formulera en slutsats. Visa din slutsats med algebra. uppgift 3 Välj ett godtyckligt tal. Addera det tal som är dubbelt så stort. Addera 90. Multiplicera summan med 2. Subtrahera 180 från den erhållna produkten. Dividera med 6. Vilket blir svaret? a) Lös uppgiften med hjälp av kalkylbladet b) Visa med algebra att detta gäller för alla tal
20
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
PArEnTESmuLTIPLIKATIon I det här avsnittet ska vi undersöka vad som händer när vi multiplicerar två binom, t ex (x + 3) · (y + 2)
! Polynom betyder ett uttryck med flera termer. Ett polynom som består av bara två termer kallas ett binom. E XEMPEL :
3x + 4
Peter har ett trädgårdsland där han odlar potatis. Trädgårdslandet har längden x meter och bredden y meter. Se figuren.
xx Potatis Potatis
Peter odlar alltså potatis på en area som är x · y kvadratmeter. Nästa år vill Peter göra trädgårdslandet större, så att han kan odla fler grönsaker. xx
33
yy
Potatis Potatis xx ·· yy
Sallad Sallad 33 ·· yy
22
Morötter Morötter 22 ·· xx
Persilja Persilja 22 ·· 33
xx
33
xx
33
Potatis Potatis xx ·· yy
Sallad Sallad 33 ·· yy
Morötter Morötter 22 ·· xx
Persilja Persilja 22 ·· 33
Det nya landet blir 3 m längre och 2 m bredare. Se figuren. Potatisen har fortfarande arean = xy Morötterna har arean = 2x Salladen har arean = 3y Persiljan har arean = 2 · 3 = 6 Totalt har Peter alltså odlat på en area som är xy + 2x + 3y + 6 Hela trädgårdslandet har längden (x + 3) meter och bredden (y + 2) meter. Arean kan alltså skrivas A = (x + 3) · (y + 2) Eftersom hela trädgårdslandets area är lika med summan av delarna får vi följande samband: (x + 3) · (y + 2) = xy + 2x + 3y + 6
yy
22
Vi får samma resultat om vi multiplicerar i den ordning som pilarna anger: 1
yy
xx ·· yy
xx ++ 33
2
(x + 3)(y + 2) = x · y + x · 2 + 3 · y + 3 · 2 = xy + 2x + 3y + 6 3
4
UTTRYCK OCH EKVATIONER
21
yy
22
yy ++ 22
KAPITEL 1
Vi kan sammanfatta detta så här:
! (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
EXEMPEL 1
Multiplicera parenteserna och förenkla. a) (x + 7)(3 + x) = x · 3 + x · x + 7 · 3 + 7 · x = = 3x + x2 + 21 + 7x = x2 + 10x + 21 b) (3x + 4)(5x + 1) = 15x2 + 3x + 20x + 4 = 15x2 + 23x + 4 EXEMPEL 2
Skriv som polynom och förenkla. Tänk på teckenreglerna! a) (x + 5)(x – 3) = x2 – 3x + 5x – 15 = x2 + 2x – 15 b) (x – 8)(4 – x) = 4x – x2 – 32 + 8x = 12x – x2 – 32 c) (5x – y)(3x – 4y) = 15x2 – 20xy – 3xy + 4y2 = 15x2 – 23xy + 4y2
! Kom ihåg teckenreglerna: Om två faktorer har lika tecken blir produkten positiv. Om två faktorer har olika tecken blir produkten negativ.
Utför multiplikationerna och förenkla. 1079
a) (x + 5)(y + 2)
b) (x + 3)(x + 1)
c) (x + 4)(y – 3)
1080
a) (y + 8)(y + 2)
b) (y – 5)(y + 4)
c) (y – 1)(7 + y)
1081
a) (3 + y)(y – 1)
b) (x – 5)(2 + y)
c) (y – 7)(y – 1)
1082
a) (3x + 2)(2x + 4)
b) (5 – 2x)(x – 3)
c) (x – 3y)(5x + 7y)
22
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1083 (x + 8)(x + 3) – 11x 1084 y2 + (2x + y)(3x – y) – 6x2 1085 (x + 4)(x + 3) + (x + 2)(x – 6) 1086 (x + 2)(4 – x) + (x + 6)(x + 1) EXEMPEL 3
Förenkla 4y(1 – 3x) – (3x – 1)(2 – 4y) Den här parentesen behåller vi eftersom den föregås av minustecken
4y – 12xy – (6x – 12xy – 2 + 4y) = = 4y – 12xy – 6x + 12xy + 2 – 4y = 2 – 6x svar: 2 – 6x Förenkla så långt som möjligt. 1087 (5 – x)(x – 3) – (x + 3)(x – 5) 1088 2(4x2 + 7x) – (x + 2)(8x – 2) 1089 10x2 – (x + 4)(4x – 1) – 4 1090 (2x – 3)(x – 5) + (x – 6)(x – 3) – 3(x2 – 1) 1091 (3x + 1)(6 – 2y) – 2(3 – y) – 6(3x – xy) 1092 3x(2x – 5) – (x + 8 )(x – 1) + 2(2,5x – 1)(4 – x)
UTTRYCK OCH EKVATIONER
23
KAPITEL 1
1093 Emma genomför en förenkling enligt
nedan, men gör inte helt rätt. Förklara vad Emma gjort för fel och hjälp henne att förenkla korrekt.
3 – (x – 7)(2x + 6) = 3 – 2x2 + 6x – 14x – 42 = = –2x2 – 8x – 39 1094
Rektangeln nedan består av fyra områden. I tre av områdena finns ett uttryck för arean. Vilket är uttrycket för den fjärde arean? xy uy
1095
uz
Fyll i de tomma rutorna. a) (x + 4)(x + ) = x2 + 5x + 4 b) (x + 9)(x + ) = x2 + 11x + c) (x + 2)( + ) = x2 + 5x + 6
1096
Förenkla (x + y + 2)(3 + x) – (x – y)(–3 – x)
TAnKEnöT 2
Vid ett minne stest har man tillverka t ”memory-ko rt”. På varje kort finns en siffra på framsidan oc h en bokstav på baksidan. Kim lägger fr am dessa fyra kort och säger: ”Jag på står att på baks idan av ett A så finns alltid en 2:a.” Vilket/vilka ko rt måste vänd as och kontrolleras för att avgöra om Kim har rä tt?
24
UTTRYCK OCH EKVATIONER
A
D
2
9
KAPITEL 1
KvAdrErIngSrEgLEr I det här avsnittet ska vi multiplicera två parenteser som är lika. Vad blir (a + b) · (a + b)? Vi multiplicerar på vanligt sätt och får 2
1
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 3
4
Lägg märke att ba = ab och att termen 2ab kommer från ab + ba. 2ab kallas här ”dubbla produkten”. Eftersom (a + b)(a + b) kan skrivas (a + b)2, dvs ”parentesen i kvadrat”, får vi kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 regeln visas geometriskt: Titta på kvadraten som har sidan (a + b). Vi ska skriva kvadratens area på två sätt. 1) Hela kvadratens area = sidan · sidan = (a + b)2
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
2) Titta nu på kvadratens delar! guL: en kvadrat med arean = a2
röd: två rektanglar som var och en har arean = ab
BLÅ: en kvadrat med arean = b2
Summan av delarna = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Eftersom hela kvadratens area = summan av delarnas area får vi (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
! 1:a kvadreringsregeln 2 · första termen · andra termen kallas ”dubbla produkten”
(a + b)2 =
a2
Kvadraten på första termen
+
2ab
+
b2
Kvadraten på andra termen
UTTRYCK OCH EKVATIONER
25
KAPITEL 1
EXEMPEL 1
Använd kvadreringsregeln och utveckla. a) (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 b) (x + 6)2 = x2 + 2 · 6x + 36 = x2 + 12x + 36 Vi skriver ”kvadraten + 2 · produkten + kvadraten” c) (x + 4)2 = x2 + 2 · 4x + 16 = x2 + 8x + 16 d) (y + 10)2 = y2 + 20y + 100
Naturligtvis kan vi också skriva kvadraten som två parenteser och multiplicera på vanligt sätt.
(y + 10)(y + 10) = y2 + 10y + 10y + 100 = y2 + 20y + 100
Båda metoderna ger samma svar, men det går snabbare att använda kvadreringsregeln.
Använd kvadreringsregeln och utveckla. 1097 a) (x + 4)2
b) (x + 5)2
c) (x + 7)2
1098 a) (y + 8)2
b) (y + 1)2
c) (x + y)2
1099 a) (a + 9)2
b) (a + c)2
c) (3 + a)2
1100 Vad ska skrivas i rutan för att
uttrycken ska bli ”jämna kvadrater”? Förklara hur du tänker. a) x2 + + 16
b) x2 + + 9
c) x2 + 16x +
1101 Vad ska skrivas i rutan för att uttrycken ska bli ”jämna kvadrater”?
a) x2 + 6x +
b) x2 + + 100
c) x2 + 2x +
EXEMPEL 2
Utveckla med hjälp av kvadreringsregeln. a) (5x + y)2 = 5x · 5x + 2 · 5x · y + y2 = 25x2 + 10xy + y2 b) (0,5 + 2x)2 = (0,5)2 + 2 · 0,5 · 2x + (2x)2 = 0,25 + 2x + 4x2
26
UTTRYCK OCH EKVATIONER
Observera att (5x)2 = 25x2
KAPITEL 1
Använd kvadreringsregeln och utveckla. 1102
a) (3x + 5)2
b) (4x + 1)2
c) (6x + 0,5)2
1103
a) (7x + y)2
b) (8 + 3x)2
c) (2x + 3y)2
1104
a) (0,3 + 4x)2
b) (1,5x + 9y)2
c) (0,5x + 10y)2
Nu ska vi utveckla en kvadrat, där det är minustecken mellan termerna. (x – 3) 2 = (x – 3) · (x – 3) = x2 – 3x – 3x + 9 = x2 – 6x + 9
! 2:a kvadreringsregeln Dubbla produkten är negativ (a – b)2 =
a2
–
2ab
+
b2
Kvadraterna är alltid positiva
EXEMPEL 3
Utveckla med hjälp av kvadreringsregeln. a) (x – 5)2 = x2 – 2 · x · 5 + 52 = x2 – 10x + 25 b) (4 – 3y)2 = 42 – 2 · 4 · 3y + (3y)2 = 16 – 24y + 9y2 c) (5x – 6)2 = 5x · 5x – 2 · 5x · 6 + 6 · 6 = 25x2 – 60x + 36 Hoppa över mellanledet när du blir mer van!
Utveckla med hjälp av kvadreringsregeln. 1105
a) (x – 4)2
b) (x – 10)2
c) (x – y)2
1106
a) (5 – y)2
b) (1 – y)2
c) (3y – 2)2
1107
a) (2x – 5y)2
b) (0,5x – 10)2
c) (5x – 0,2)2
1108
Förklara varför (a – b)2 och (b – a)2 alltid ger samma resultat.
UTTRYCK OCH EKVATIONER
27
KAPITEL 1
Använd en kvadreringsregel och skriv som en parentes i kvadrat. 1109 a) x2 + 2xy + y2
b) p2 – 2px + x2
1110
a) x2 + 6x + 9
b) y2 – 8y + 16
1111
a) 4x2 + 4x + 1
b) 9a2 + 4b2 – 12ab
1112
Beräkna med huvudräkning. a) ( 2 + 8)2
1113
b) ( 12 − 3)2
Använd bilden för att visa andra kvadreringsregeln. a
a
b b
1114
Utveckla och förenkla a) (x + h)3 – (x – h)3
b) (x + 2)3 – (x + 2)2 – (x – 2)
Klänningens mönster är inspirerat av den holländske konstnären Piet Mondrian (1872–1944). Mondrian, som egentligen var landskapsmålare, lät med tiden sina landskap förenklas till geometriska former.
28
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
KonJugATrEgELn Om vi har binomet x + 3 så kallas x – 3 för dess konjugat. På motsvarande sätt är 2 + 5y konjugat till 2 – 5y. Här ska vi undersöka vad som händer när vi multiplicerar ett binom med sitt konjugat. Vad blir (x + 3)(x – 3)? Vi multiplicerar på vanligt sätt och får följande: (x + 3)(x – 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9 Observera att x-termerna försvinner. Generellt kan vi visa multiplikationen så här: (a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2
! Konjugatregeln (a + b)(a – b) = a2 Kvadraten på första termen
b2
–
Kvadraten andra termen
EXEMPEL 1
Utveckla med hjälp av konjugatregeln. a) (x + 5)(x – 5) = x2 – 52 = x2 – 25 b) (x – 6)(x + 6) = x2 – 36 c) (4x + 0,3)(4x – 0,3) = (4x)2 – 0,32 = 16x2 – 0,09
Utveckla med hjälp av konjugatregeln 1115
a) (x + 4)(x – 4)
b) (x – 7)(x + 7)
1116
a) (x + 3)(x – 3)
b) (3 + x)(3 – x)
1117
a) (y – 0,5)(y + 0,5)
b) (y + 1,5)(y – 1,5)
1118
a) (3x + 2)(3x – 2)
b) (5x – y)(5x + y) UTTRYCK OCH EKVATIONER
29
KAPITEL 1
EXEMPEL 2
Utveckla (6 + x)(x – 6) Här är det inte samma termer på samma plats. Vi ändrar i ”plus-parentesen” så här: (x + 6)(x – 6) = x2 – 36 svar: x2 – 36 Här följer några blandade uttryck som ska utvecklas. 1119
a) (9 + x)(x – 9)
b) (3x + 5y )(5y – 3x)
1120 a) (x + 5)2
b) (3x – 4)2
1121 a) (7x + 3)(7x – 3)
b) (5x + 2y)2
1122 Vad ska det stå i rutan?
a) ( – 6)( + 6) = 25x2 – 36 9 b) (x + )(x – ) = x 2 − 4 Utveckla och förenkla. 1123 a) (10 – 4x)2
b) (3x + 0,5)(3x – 0,5)
1124 a) (2x + 1,5)
b) (5x – 10y)(5x + 10y)
1125 a) (5x – 0,3)2
b) (1 + 10x)2
1126 a) (0,1 + 4x)(4x – 0,1)
b) (10x + 9y)(10x + 9y)
2
2
1127 a)
x y y2 b) ( + )2 − 3 2 4
1128 a) (x2 + 3)2 – x2
b) (x – y2)2 + x(2y2 – x)
1129 a) (5 + x )(5 − x )
b) ( x 2 + 2 7 )( x 2 − 2 7 )
x + 3 − 9 2
1130 För två tal a och b gäller att a – b = 5 och a2 – b2 = 195.
Bestäm summan av a och b.
EXEMPEL 3
Förenkla 4 – 20x – (2 – 5x)2 Vi behåller parentesen eftersom det är minustecken framför. 4 – 20x – (4 – 20x + 25x2) = = 4 – 20x – 4 + 20x – 25x2 = – 25x2
30
UTTRYCK OCH EKVATIONER
svar: – 25x2
KAPITEL 1
EXEMPEL 4
Förenkla 9x2 – (3x – y)(3x + y) Vi förenklar med hjälp av konjugatregeln och får 9x2 – (9x2 – y2) =
Observera att parentesen fortfarande är kvar.
9x2 – 9x2 + y2 = y2 svar: y2 Förenkla följande uttryck. 1131
(x + 1)2 + (x – 3)2 + 4x
1132
(x + 5)(x – 5) + (x + 5)2 – 2x2
1133
(x + 4)2 – (x – 4)2
1134
(x + 0,5)(x – 0,5) – (x + 0,8)(x – 0,8)
1135
(4x – 3)(4x + 3) + (x – 9)2
1136
(2x – 1)2 – (x – 1)(2 + 4x)
1137
34 – (8x – 5)2 + (8x + 3)(8x – 3)
1138
(6x + y)(6x – 3y) – (6x – y)2
1139
10(x – 0,2)2 – 100(0,3x + 5)(0,3x – 5) – (x – 50)2
TAnKEnöT 3
Alla elever på Tims skola ha r olika antal hå rstrån. Ingen av dem har precis 20 12 hårstrån. Ti m är den elev på skolan som har flest hårstrån. Antalet elever är en fler än Ti ms hårstrån. Vilk et är det stör sta möjliga antal elever på Tims skola? Välj av följand e: 2010 2011 2012 2013 2014
UTTRYCK OCH EKVATIONER
31
KAPITEL 1
Pascals triangel
Tänk dig att du kastar en basketboll och sannolikheten för ”träff” är 0,6. Träddiagrammet beskriver de olika utfallen om du kastar två gånger. 1
Fyll i de sannolikheter som saknas i de tomma rutorna.
0,4
0,6
0,4
0,6 0,4
0,6
0,4
0,6
0,36
Vi antar nu att sannolikheten för träff är a och sannolikheten för miss är b. Vi ritar motsvarande träddiagram. Antal kast n n=0
1 a
b
a a
b b
a
1a
1b
n=1
b
a2
1a2
n=2
n=3
2
Fyll i sannolikheterna i de tomma rutorna i trädet till vänster.
3
Samla ihop lika termer och fyll i ”trädet” (rutorna) till höger.
4
Om du tittar på trädet till höger verkar det som att summan av termerna i rutorna motsvarar (a + b)n där n är antalet kast.
Visa att detta stämmer för n = 1, 2 och 3. För n = 3 måste du utföra parentesmultiplikationen.
5
Trädet på nästa sida visar början till den berömda Pascals triangel. Fyll i raden där n = 3
32
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
6
Ser du mönstret? Fyll i resten av triangeln. Antal kast n
Summa
n=0 n=1 n=2
1
1 1 1
2
1 2
1
4
n=3
?
n=4
?
n=5
?
7
Kontrollera koefficienterna för den rad där n = 4 genom att utveckla (a + b)4.
8
Addera koefficienterna (talen i rutorna) i varje rad och skriv summan i kolumnen till höger. Teckna till sist ett uttryck för summan då antalet kast är x.
UTTRYCK OCH EKVATIONER
33
KAPITEL 1
Ekvationer med x2–termer Nu ska vi lösa ekvationer som även innehåller x2- termer, men där dessa termer ”försvinner” vid förenklingen. EXEMPEL 1
Lös ekvationen (x + 5)2 – x2 = 40 x2 + 10x + 25 – x2 = 40 10x + 25 = 40 10x = 15 15 x= 10 x = 1,5 svar: x = 1,5 EXEMPEL 2
Lös ekvationen (3x – 4)2 – (x – 7)2 = 8x(x – 2) Behåll parentesen eftersom det är minustecken framför.
9x2 – 24x + 16 – (x2 – 14x + 49) = 8x2 – 16x 9x2 – 24x + 16 – x2 + 14x – 49 = 8x2 – 16x 8x2 – 10x – 33 = 8x2 – 16x Nu kan x2-termerna subtraheras och vi får följande ekvation: –10x – 33 = –16x 16x – 10x = 33 6x = 33 33 x= 6 x = 5,5 svar: x = 5,5 Lös följande ekvationer. 1140 (x + 3)2 – x(x – 4) = 29 1141
(x + 6)(x – 6) = 10x + (x – 4)2
1142 (x + 4)(x + 7) = (x + 11)(x + 1)
34
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1143 Bestäm x så att rektangeln och kvadraten får samma area. (cm)
x+3
x x x–1
1144 4x2 – (x + 2)(x – 1) = 3x(x –2) 1145 2x(8x –5) = (5 – 4x)2 1146 (2x + 1)2 + (x + 2)2 – x(5x + 13) = 0 1147 (3x – 4)(x – 1) + 21 – (x – 1)(3x + 5) = 0 1148 (2x + 1)(2x – 1) = 4x2 – 3x + 2 1149 (3x + 4)2 – (4 – 3x)2 = (2x + 3)2 – (3 – 2x)2 1150 I en klass har eleverna fått följande gruppuppgift.
Lös ekvationen (x – a)2 = x2 med avseende på x. Vilket blir svaret?
UTTRYCK OCH EKVATIONER
35
KAPITEL 1
Enkla andragradsekvationer Titta på rektangeln. Hur långa är sidorna? (cm) A = 45 cm2
x
5x
Längd · Bredd = Area 5x · x = 45 5x2 = 45 x2 = 9
Båda leden har dividerats med 5.
x2 = ± 9
Vi drar roten ur båda leden.
x = ±3 Lägg märke till att en andragradsekvation av typen x2 = 9 har både ett positivt och ett negativt svar, nämligen x = 3 eller x = –3. Här förkastas roten x = –3 eftersom en sträcka inte kan vara negativ. Rektangelns sidor är 3 cm och 5 · 3 cm = 15 cm svar: 3 cm och 15 cm
EXEMPEL 1
Lös ekvationen a) 3x2 – 1 = 11
b) 4x2 + 1 = 0
3x2 = 12
4x2 = –1
x2 = 4
x2 = –0,25
x = ±2
svar: x = ±2
Eftersom vi inte kan beräkna kvadratroten ur ett negativt tal, saknar den här ekvationen reella rötter.
svar: Ekvationen saknar reella rötter.
36
UTTRYCK OCH EKVATIONER
Martin Holmstrรถm Eva Smedhamre Jonas Sjunnesson
LIBER
M2b Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 2b. Den riktar sig till samhällsvetenskapsoch ekonomiprogrammet, samt till estetiska och humanistiska programmet. Boken passar också för vuxenutbildning. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera. • Upptäck & visa, Kommunicera, NOG-uppgifter samt Digitala rutan ger möjlighet att träna många förmågor. • I facit finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-08592-7 Tryck.nr 47-08592-7