Page 1

Stefan Lemurell är docent i matematik och forskar inom talteori. Båda undervisar i matematik vid Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola och har mångårig erfarenhet av forskning och undervisning i ämnet.

ALGEBRA OCH DISKRET MATEMATIK Boken vänder sig främst till studerande under första året på universitet eller teknisk högskola. Den är i första hand avsedd som kursbok till en inledande kurs i matematik i allmänhet och diskret matematik i synnerhet. Materialet presenteras i den ordning som teorin byggs upp och på ett sådant sätt att inga logiska luckor uppstår. Stor vikt läggs vid att introducera läsaren till matematiskt tänkande och bevisföring. I det första kapitlet avhandlas grundläggande sats- och predikat­ logik. Följande kapitel behandlar i tur och ordning mängdlära, funktioner och relationer, induktion, heltalsaritmetik, kombinatorik, grafer, grupper och ringar och diskret sannolikhetslära. I slutet av boken finns ett kapitel om talens uppbyggnad, främst avsett som överkurs för den intresserade läsaren. Boken är försedd med ett stort antal lösta exempel och gott om övningar av olika svårighetsgrad. Det finns svar till alla övningar och till de flesta även förslag till lösningar

Andra upplagan

Art.nr 35193

Johan Jonasson Stefan Lemurell  |  ALGEBRA OCH DISKRET MATEMATIK

Johan Jonasson är biträdande professor i matematik. Hans forskningsområde är diskret sannolikhetsteori och statistisk mekanik.

2:a uppl.

Algebra OCH DISKREt MATEMATIK

Johan Jonasson Stefan Lemurell

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08050-4_01_cover.indd 1

2013-08-09 10.47


.

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. ­ Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 35193 ISBN 978-91-44-09050-4 Upplaga 2:2 © Författarna och Studentlitteratur 2004, 2013 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2014


Innehåll

Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Tips till läsaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

1 Logik

1

1.1

Vad är matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Utsagor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Konjunktion, disjunktion och negation . . . . . . .

6

1.4

Implikation och ekvivalens . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Tautologi och logisk ekvivalens

1.6

Argument och bevis

1.7

Logisk implikation

. . . . . . . . . . .

10

. . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.8

Matematiska satser är giltiga argument . . . . . . .

21

1.9

Predikat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.10 Logisk fullständighet . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.11 Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Övningar

2 Mängdlära

39

2.1

Mängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2

Delmängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3

Mängdoperatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


iv 2.4

Sammanfattning

Övningar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3 Funktioner och relationer

55

3.1

Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2

Injektivitet, surjektivitet, bijektivitet och invers . .

60

3.3

Sammansatta funktioner . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.4

Operatorer

68

3.5

Summasymbolen och besläktade symboler

. . . . .

71

3.6

Relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.7

Ekvivalensrelationer

. . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.8

Partiella ordningar

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.9

Sammansatta relationer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.10 Sammanfattning Övningar

4 Induktions- och motsägelsebevis

102

4.1

Induktion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.2

Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

4.3

Aritmetiska och geometriska summor . . . . . . . .

111

4.4

Motsägelsebevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

4.5

Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

Övningar

5 Heltalen

122

5.1

Delbarhet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Diofantiska ekvationer

5.3

Primtal

5.4

Kongruensräkning

122

. . . . . . . . . . . . . . . .

131

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

137


v 5.5

Kinesiska restsatsen

. . . . . . . . . . . . . . . . .

144

5.6

Eulers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

5.7

RSA-krypto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

5.8

Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

Övningar

Φ-funktion

6 Kombinatorik

172

6.1

Multiplikationsprincipen . . . . . . . . . . . . . . .

172

6.2

Permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

6.3

Kombinationer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

6.4

Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

Övningar

7 Grafer

187

7.1

Det formella grafbegreppet

. . . . . . . . . . . . .

187

7.2

Träd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

7.3

Riktade grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

7.4

Eulervägar och Eulercykler

. . . . . . . . . . . . .

196

7.5

Relationsgrafer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

7.6

Grannmatriser

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201

7.7

Isomorfa grafer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

7.8

Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

Övningar

8 Grupper, ringar och kroppar

215

8.1

Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215

8.2

Ringar och kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

8.3

Homomorer och isomorer

. . . . . . . . . . . . .

234

8.4

Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241


vi Övningar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Diskret sannolikhetsteori

246

251

9.1

Utfallsrum och sannolikhet

. . . . . . . . . . . . .

252

9.2

Betingade sannolikheter

. . . . . . . . . . . . . . .

260

9.3

Oberoende händelser . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

9.4

Stokastiska variabler

266

9.5

Väntevärde, varians och de stora talens lag

. . . .

273

9.6

Slumpvandringar på grafer . . . . . . . . . . . . . .

284

9.7

Sammanfattning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

Övningar

. . . . . . . . . . . . . . . . .

A Talen från grunden

301

A.1

De positiva heltalen

. . . . . . . . . . . . . . . . .

303

A.2

Addition och multiplikation

A.3

Olikheter

A.4

Tal och antal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

A.5

Induktionsprinciperna och välordningsprincipen . .

311

A.6

De positiva rationella talen

. . . . . . . . . . . . .

313

A.7

De positiva reella talen . . . . . . . . . . . . . . . .

315

A.8

De reella talen

319

A.9

De komplexa talen

. . . . . . . . . . . . .

305

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B Matriser

321

322

B.1

Matriser, rader och kolonner . . . . . . . . . . . . .

322

B.2

Addition och subtraktion av matriser . . . . . . . .

323

B.3

Transponat

325

B.4

Produkter av matriser

. . . . . . . . . . . . . . . .

326

B.5

Identitetsmatriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

334

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


vii B.6

Sammanfattning

ร–vningar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

334

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336

Svar till รถvningar

338


Förord

Denna bok är tänkt att fungera som litteratur till en inledande kurs i matematik på universitetsnivå med ett dominerande inslag av diskret matematik. Stor vikt läggs på att introducera läsaren till den högre matematikens språkbruk och begrepp. Målet med detta är att lindra den kulturchock som de esta drabbas av vid övergången från gymnasie- till högskolematematik. Den mer teoretiska framställningen på högskolan blir lätt en barriär istället för en trygg grund att stå på. Det ställs plötsligt krav på att kunna förstå logiska argument och att själv kunna genomföra enklare bevis. Detta är något helt nytt för de esta nybörjare på universitetet. Första halvan av boken lägger därför stor vikt vid att introducera läsaren till grundläggande begrepp och konsten att konstruera matematiska bevis. Genom hela boken byggs matematiken upp från grunden med ambitionen att undvika luckor i framställningen. I stort sett alla satser har fullständiga bevis. Materialet är rikligt försett med exempel, övningar och illustrationer. Det nns svar till samtliga övningar. Till de teoretiska övningarna nns det dessutom antingen fullständig lösning eller lösning med små hål för läsaren att själv fylla i. Varje kapitel avslutas med en sammanfattning som kan användas som referens vid repetition och för att snabbt hitta viktiga resultat. Detta är den andra upplagan och skiljer sig från den första främst genom att antalet övningar kraftigt utökats samt att ett kapitel om

i


grupper, ringar och kroppar tillkommit. Dessutom har två kapitel från första upplagan lagts sist som appendix. Till slut några ord om bokens olika kapitel: Det första kapitlet behandlar satslogik, predikatlogik samt argument och bevis. Det försöker också sätta in matematiken i dess logiska sammanhang. Kapitel nummer två ger en enkel heuristisk introduktion till mängdläran. I en inledande kurs i diskret matematik nns det absolut ingen anledning att gripa sig an en axiomatisk framställning. Det abstrakta funktionsbegreppet introduceras i det tredje kapitlet. Här behandlas också operatorer på en abstrakt nivå samt summasymbolen och besläktade symboler. Kapitlet avslutas med grunderna för relationsbegreppet. Det fjärde kapitlet introducerar den viktiga bevismetoden induktion samt det besläktade begreppet rekursion. Det innehåller också avsnitt om aritmetiska och geometriska summor samt om motsägelsebevis. Kapitlet om heltalen inleder med de grundläggande begreppen delbarhet, primtal och kongruensräkning. Den andra halvan av kapitlet behandlar sedan all teori som behövs för RSA-kryptering som förklaras utförligt i det sista avsnittet. Det sjätte kapitlet ger en introduktion grunderna i kombinatorik och behandlar permutationer och kombinationer. Kapitlet om grafer innehåller de vanligaste begreppen inom grafteorin. Här knyter vi också samman graferna med relationer och matriser genom att ta upp relationsgrafer och grannmatriser. Vidare nner man ett kapitel om grupper, ringar och kroppar. Kapitlet tar upp de grundläggande begreppen och några enkla resultat och knyter samman med tidigare kapitel genom att visa hur grupper, ringar och kroppar är naturliga generaliseringar av era tidigare begrepp. Vi presenterar också det gruppteoretiska beviset av Eulers sats. Det sista ordinarie kapitlet ger en omfattande genomgång av grunderna i den diskreta sannolikhetsteorin. Begrepp som introduceras är bl. a. betingning, stokastiska variabler, väntevärde och varians.

ii


Det sista avsnittet om slumpvandringar på grafer ansluter naturligt till grafkapitlet. Till sist presenteras två kapitel som appendix. Talen från grunden är ett kapitel som kan ses som bredvidläsning. Här visar vi hur man kan bygga upp talsystemet utifrån Peanos axiom. Vi har lagt stor vikt vid att vara fullständiga. Man får alltid reda på att matematiken byggs upp från axiomen, men det är sällan det ges några konkreta bevis på detta. Vi tror att detta kapitel kan ge en idé om hur det går till att skapa matematik från så till synes små resurser som Peanos axiom utgör vid en första anblick. Kapitlet om matriser innehåller bara precis vad vi behöver i boken och är därför en minimal introduktion till de grundläggande begreppen. Ett komplement till boken som vi hoppas att du kommer att ha mycket nytta av är bokens egen webbplats som du hittar på

www.studentlitteratur.se/diskretmatematik.

Här nns kompletta lösningar till många av bokens övningar, ett interaktivt index över alla begrepp med länkar till bl. a. Wikipedia, instuderingshjälp, lista med eventuella tryckfel m. m.. Webbplatsen kommer att utvidgas efterhand och synpunkter på denna och på bokens innehåll (inklusive tryckfel) mottages tacksamt till epostadressen webmaster@diskretmatematik.se. Innan du hoppar till texten och börjar läsa så ta en titt på de kortfattade tipsen på nästa sida. Mycket nöje!

Johan Jonasson och Stefan Lemurell Göteborg, juli 2013.

iii


iv


Tips till läsaren

Alla exempel, denitioner, satser, anmärkningar etc numreras inom varje kapitel med en och samma räknare. T. ex. fÜljs sats 7.19 av exempel 7.20 som fÜljs av denition 7.21 etc och dessa ligger i kapitel 7. Detta gÜr det enklare att hitta till säg exempel 7.20 eftersom man vet att den ligger efter t. ex. sats 7.12 och fÜre sats 7.22. Varje kapitel avslutas med ett antal Üvningar. Dessa är indelade i tvü olika kategorier. Kategorin BasÜvningar är uppdelade efter kapitlets avsnitt och innehüller uppgifter som testar fÜrstüelsen av de olika grundläggande begreppen som behandlats. Detta är i regel enkla uppgifter och samtliga har svar i facit. Kategorin Blandade Üvningar är precis just blandade uppgifter ifrün hela kapitlet. De är inte indelade efter avsnitten, men ordningen fÜljer ändü sü gott det gür ordningen i kapitlet. En bra strategi kan vara att i fÜrsta hand gÜra de esta basÜvningar efterhand som du gür igenom avsnitten. Därefter när du avslutat ett helt kapitel eller när du kommer tillbaka och repeterar sü gÜr du ett urval av de blandade Üvningarna. Det kan inte nog poängteras hur viktigt det är att lÜsa uppgifter. Inget annat är eektivare fÜr att lära sig matematik. I stort sett alla uppgifter inleds med en kod som anger om det nns svar, tips och/eller fullständig lÜsning. Koden (s) anger att det nns svar i facit, (l) att det nns lÜsning i facit, (t) att det nns ett tips i facit och (w) att det nns en fullständig lÜsning pü bokens webbplats. En kombination av dessa, som t. ex. (sw), betyder fÜrstüs att det nns büde och.

v


vi


Kapitel 3 Funktioner och relationer

3.1 Funktioner Begreppet funktion har du säkert stött på tidigare, exempelvis i gymnasiekurser i matematik, fysik och kemi. I en sådan kurs lär man sig (förmodligen) att en funktion är en regel för att till ett eller era tal ordna exakt ett tal. Exempelvis är funktionen

2 f (x) = x2 den regel som √ till varje tal x ordnar talet x , så att t. ex. f (4) = 16 och f ( 2) = 2. Ett annat exempel är funktionen g(a, b) = a+b+4 som till varje talpar (a, b) ordnar talet a+b+4, så att t. ex. g(0, 0) = 4 och g(4.3, 7.2) = 15.5. Notera speciellt här att de specika bokstäverna x, a och b är oviktiga, d. v. s. funktionen f i exemplet ovan kan precis lika gärna anges via f (c) = c2 eller 2 via f (r) = r etc, och g kan lika gärna anges via g(j, q) = j + q + 4. Vi ska här inte ändra på gymnasiets tolkning av funktionsbegreppet, men vi ska göra det en aning mer allmänt och knyta ihop det med vad vi i övrigt har lärt oss. Det allmänna funktionsbegreppet är som följer:

Denition 3.1.

En funktion

f

från mängden

är en regel som till varje element

A

till mängden

B

a ∈ A ordnar ett entydigt element

f (a) i B . Lite löst sagt: Man stoppar in ett element från

55

Aif

och får ut ett


element i

B . Att f

är en funktion från

A till B

skrivs på symbolisk

form som

f : A → B. Om man vill beteckna vad som händer med ett element

a kan man

skriva

a 7→ f (a) vilket utläses som att  a avbildas på

f (a). En illustration till funk-

tionsbegreppet nns i gur 3.1.

A

B

f a

f(a)

f(x)

t f(t)=f(z)

x z

a , t, x och z i A avbildas på punkterna f (a), f (t), f (x) respektive f (z) i B. Figur 3.1: En illustration av funktionsbegreppet: Punkterna

Mängden

A kallas för f 's denitionsmängd eller denitionsområde, B kallas för f 's målmängd. Om C är en delmängd

medan mängden av

A

denierar man

f (C) = {f (x) : x ∈ C} ⊆ B, d. v. s.

f (C)

väljas fritt i

är mängden av alla möjliga värden av

C.

Man kallar

f (C)

för

56

bilden av C .

f (x)

om

Mängden

x får f (A),


f 's värdemängd f (A) ⊆ B , d. v. s.

d. v. s. bilden av hela denitionsmängden, kallas för och har också beteckningen

Vf .

Observera att

värdemängden är en delmängd till målmängden. Det nns dock inget som säger att

f (A) = B . (Det kan verka onödigt att hålla sig

med en målmängd som är större är funktionens värdemängd. Det nns dock era skäl till att ibland göra så, exempelvis behandlar man ibland era olika funktioner som på ett naturligt sätt har samma målmängd, men inte samma värdemängd.)

Anmärkning 3.2.

Observera att vårt funktionsbegrepp är iden-

tiskt med det som brukar användas inom programmering. Denitionsmängden svarar mot `typen' hos indata och målmängden svarar mot `typen' hos utdata.

Denition 3.3. f = g , om x ∈ A.

Låt

f :R→R

f (x) = sin(2x) Då har

f

och

g

f : A → B och g : C → D är lika, A = C , B = D och f (x) = g(x) för alla

Två funktioner

och endast om

Exempel 3.4.



och

g:R→R

med

g(x) = 2 sin x cos x.

och

samma denitionsmängd och samma målmängd

och enligt en välkänd trigonometrisk identitet är alla

x ∈ R.

Alltså är

f (x) = g(x)

för

f = g.

Om man däremot sätter

f1 : [0, π] → R respektive f2 : R → [−1, 1]

och

f1 (x) = sin(2x)

f2 (x) = sin(2x).

f ̸= f2

eftersom antingen denitionsmängd eller

målmängd skiljer sig åt.



så är

f ̸= f1

och

and

Ett vanligt sätt att illustrera en viss funktion är genom att rita dess

graf.

Formellt denieras grafen till en funktion

som delmängden graf(f )

= {(x, f (x)) : x ∈ A} ⊆ A × B. 57

f : A → B


Vi avslutar avsnittet med ett antal exempel som illustrerar de nya begreppen.

Exempel 3.5.

Låt

A = {Lotta,Maria,Jonas}

och låt funktionen

f : A → R ges av de tre personernas längd i centimeter, så att f (Lotta) = 164, f (Maria) = 176 och f (Jonas) = 179. Då är Vf = f (A) = {164, 176, 179} och exempelvis f ({Lotta,Jonas}) = {164, 179}. I gur 3.2 nns f 's graf utritad.  f(x)

180 176 172 168 164 160

Lotta

Maria

x

Jonas

Figur 3.2: Grafen till funktionen given av Lottas, Marias och Jonas längd.

Exempel 3.6. och

Låt

g(x) = x2 − 1.

f :R→R

och

g:R→R

ges av

f (x) = x + 5

Då är

Vf = f (R) = R, eftersom ekvationen

f (x) = y

har lösning

har också

Vg = g(R) = [−1, ∞), 58

x

oavsett vad

y

är. Vi


ty

x2

antar exakt alla ickenegativa reella tal. Exempel på bilder av

delmängder till

R

är

f (Z) = Z, f ([0, ∞)) = [5, ∞), g((0, 1)) = (−1, 0), g(Z) = {−1, 0, 3, 8, 15, 24, 35, . . .}. Delar av de funktionernas grafer nns i gur 3.3



16

14

12

10

8

6

4

2

0

−2 −4

−3

−2

−1

0

1

2

Figur 3.3: Delar av graferna till funktionerna

3

4

f (x) = x + 5

och

g(x) = x2 − 1.

Exempel 3.7.

Antag att det i familjen Perssons fruktskål ligger

en banan, ett äpple och ett päron. Då kommer syskonen Elsa och Mattias och tar för sig så att Elsa får bananen och päronet medan Mattias får äpplet. Detta kan beskrivas av en funktion där denitionsmängden utgörs av de tre frukterna och där funktionens värde för en viss frukt ges av den person som äter upp den. Med andra ord: Mattias},

f : A → B där A = {banan, äpple, päron}, B = {Elsa, f (banan) = Elsa, f (äpple) = Mattias och f (päron) = 59


Elsa. Grafen till en funktion av detta slag kan man ge i tabellform, se gur 3.4.



f(x) x

Elsa

Mattias

banan äpple päron

Figur 3.4: Grafen till funktionen given av konsumtionen av familjen Perssons fruktskål.

Exempel 3.8.

Låt A vara mängden av alla utsagor. Låt f (p), p ∈ A, vara p's sanningsvärde (i ett givet sammanhang). Då är f en funktion från A till mängden B = {S, F }. Observera att vi i kapitlet om logik för att förenkla något identierade utsagan med dess sanningsvärde. Det är mer formellt korrekt att som här betrakta utsagorna som en mängd

A och använda vår funktion att

beräkna dess sanningsvärde.

(p, q), av utsagor, sätt g(p, q) = p ∧ q . Då är g en A×A som denitionsmängd och A som målmängd.

För varje par, funktion med

3.2 Injektivitet, surjektivitet, bijektivitet och invers Om man vill, kan man tänka på en funktion

f : A → B som en a ∈ A och

maskin där man stoppar in ett godtyckligt element får ut ett entydigt element

f (a) ∈ B .

Man kan då tänka sig att

man skulle vilja kunna köra maskinen baklänges. Med det menar

b ∈ B , så vill man att a ∈ A b = f (a) ska komma ut. För att detta ska fungera krävs

vi att om man stoppar in något sådant att

60


att två villkor är uppfyllda; dels att varje element i

B

nns i

värdemängd för annars kan man inte hitta något sådant det för varje för att

a

b ∈ B

bara nns ett element

a ∈ A

med

f 's

a, dels att f (a) = b

ska vara entydigt. Dessa två viktiga egenskaper kallas för

surjektivitet och injektivitet. Här följer de formella denitionerna:

Denition 3.9. Låt f : A → B . Om f (A) = B , så säges f vara surjektiv. Om det för alla par a1 , a2 av element i A gäller att a1 ̸= a2 ⇒ f (a1 ) ̸= f (a2 ), så säges

f

f bijektiv.

vara

injektiv. Om f

är både surjektiv och injektiv så är

Diskussionen före denitionen mynnade alltså ut i att för att man ska kunna köra maskinen baklänges krävs att tera också att om

f :A→B

f

är bijektiv. No-

f (A) ⊂ B , f (A) och få en

inte är surjektiv, d. v. s.

så kan man alltid minska målmängden från

B

till

surjektiv funktion. Innan vi tittar på ett par exempel så kommer här ett par allmänna råd i konsten att undersöka om funktioner är injektiva respektive

f : A → B är surjektiv, så tar man ett godtyckligt element b ∈ B och visar på något sätt att det nns a ∈ A sådant att b = f (a). (Hur visar man att en surjektiva. För att visa att en funktion

funktion inte är surjektiv?) När det gäller injektiviteten så är det oftast enklast att göra ett kontrapositivt bevis, d. v. s. visa att

f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 .

Exempel 3.10.

A = {0, 1, 2} och B = {2, 3, 4} och låt f : A → B ges av att f (0) = 2, f (1) = 4, f (2) = 2. Då är f varken surjektiv eller injektiv, ty f (A) = {2, 4} ⊂ B och f (0) = f (2). Om man betraktar f som en funktion från A till {2, 4} blir den dock Låt

surjektiv i enlighet med observationen ovan.

Exempel 3.11.



f : R → R ges av f (x) = 2x − 5. Ekvationen f (x) = y , d. v. s. 2x − 5 = y , har lösning x = (y + 5)/2. Det betyder att för alla y ∈ R så nns x sådant att f (x) = y . Funktionen

61


f (R) = R så f är surjektiv. Är f även injektiv? f (x1 ) = f (x2 ) för reella tal x1 och x2 . Då är alltså

Med andra ord är Antag att

2x1 − 5 = 2x2 − 5, vilket medför att

2x1 = 2x2

x1 = x2 .

så att

var godtyckligt valda har vi visat att för alla

Eftersom

x1

och

x2

x1

och

x2

gäller att

f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 , vilket är ekvivalent med att har vi visat att

f

x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 ). Således f också är surjektiv är den

är injektiv. Eftersom

alltså bijektiv.

Exempel 3.12. f (x) =

 Låt

f : [0, ∞) → R

ges av

1 . 1 + x + x2

Funktionen är injektiv ty antag att

f (x) = f (y).

Då gäller

1 + x + x2 = 1 + y + y 2 , d. v. s.

x − y + x2 − y 2 = 0 och eftersom

x2 − y 2 = (x + y)(x − y),

så gäller

x − y + x2 − y 2 = x − y + (x + y)(x − y) = (x − y)(1 + x + y) = 0. 0. Den andra 0, eftersom funktionen bara är denierad för ickenegativa reella tal så att x ≥ 0 och y ≥ 0. Således följer det att x − y = 0, d. v. s. x = y som önskat. Men om produkten är

0

måste en av faktorerna vara

faktorn kan dock inte vara

Funktionen är dock inte surjektiv, ty

x=0

f (x) ≤ 1.

Dessutom antar

62

1 + x + x2 ≥ 1 med likhet då 1 + x + x2 alla värden större


1 så f (x) antar alla positiva värden större än 0. Därmed är f ([0, ∞)) = (0, 1] ̸= R. Om vi istället betraktar f som en funktion från [0, ∞) till (0, 1], så blir den surjektiv. Eftersom den var injektiv än

blir den i så fall även bijektiv.



Bijektivitet är alltså precis den egenskap som krävs av en funktion för att den ska kunna köras baklänges. Mer formellt säger man

f : A → B är en g : B → A som ges av att att om

bijektiv funktion så har

f

en

invers

f (x) = y ⇔ g(y) = x. Inversen till

f

f (x) = y

f −1 . Med andra ord: Inversen A som ges av att f −1 (y) = x då

brukar betecknas med

f −1 är en funktion från

B

till

(gur 3.5 illustrerar). En synonym till bijektiv som ofta

används är helt naturligt

A

inverterbar.

B

f y=f(x)

f -1

-1

x=f (y)

f -1

z=f (w)

f -1

w=f(z)

Figur 3.5: Inversen till en funktion.

Exempel 3.13.

Vi bestämmer inversen till funktionen f (x) = 2x − 5 som vi i ett exempel ovan såg var en bijektiv funktion −1 (y) ska vi bestämma för vilket från R till R. För att bestämma f x som f (x) är just y , d. v. s. lösa ekvationen f (x) = y som i detta fall blir

2x − 5 = y. 63


Denna har vi redan löst och vi ck ju att

f −1 (y) =

x=

y+5 2 . Alltså är

y+5 . 2

Eftersom själva bokstaven

y

som vi anger funktionen med är ut-

bytbar kan vi om vi vill byta ut den mot (till exempel)

−1 är den funktion från att f

R

till

R

x

och har

som ges av

x+5 . 2

f −1 (x) =

Exempel 3.14.



Låt oss också bestämma inversen till funktionen

som dök upp i det tredje exemplet ovan. Nu är ju den funktionen inte surjektiv så den saknar invers. Dock är den ju bijektiv om vi minskar målmängden och betraktar den som funktion

f : [0, ∞) →

(0, 1] så låt oss göra det. Då är inversen f −1 den funktion från (0, 1] −1 (y) är lösningen till ekvationen till [0, ∞) som ges av att x = f f (x) = y . y=

I detta fall får vi ekvationen

1 1 ⇔ x2 + x + 1 − = 0. 2 1+x+x y

Denna andragradsekvation har den allmänna lösningen

1 x=− ± 2

1 3 − , y 4

men eftersom inversens målmängd är de ickenegativa reella talen är vi bara intresserade av den ickenegativa lösningen. Vi får att

f

−1

1 (y) = − + 2

Notera här att

1/y ≥ 1,

1 3 − ≥ y 4

1 3 − , y ∈ (0, 1]. y 4 så

3 1− = 4

1 1 = 4 2

och vi får ett icke-negativt tal.

 64


3.3 Sammansatta funktioner f är en funktion från A till B och att g är en funktion B till någon tredje mängd C , d. v. s. det som kommer ut f går att stoppa in in g . Man kan då bilda en ny funktion h A till C genom att för varje x ∈ A sätta

Antag att från från från

h(x) = g(f (x)). h kallas för sammansättningen av f och g och h = g ◦ f , d. v. s. man har g ◦ f : A → C (se gur

Funktionen

man

skriver

3.6).

Om man använder liknelsen med funktioner som maskiner, så kan man tänka på funktionen

g◦f

som den maskin man får om man

kopplar ihop utgången på maskinen

f

med ingången på maskinen

g.

A

B f 11 00 11 00 a

C

g 1 0 0 1

h(a)=g(f(a))

11 00 11 00

f(a)

Figur 3.6: Den sammansatta funktionen Det är viktigt att observera att saker. Det är ju inte säkert att

g◦f

g◦f f ◦g

och

f ◦g

f,

d. v. s. om

A = C.

i regel är olika

ens existerar bara för att

existerar; det hänger på om utgången till

ingången till

h = g ◦ f.

g

passar ihop med

I det allmänna fallet gäller inte

detta så det ska snarare betraktas som undantag än regel att även

f ◦g

existerar. Även om både

f ◦g

och

g◦f

existerar så är de i

allmänhet olika.

Exempel 3.15.

Låt A vara mängden av alla utsagor, låt g : A × A → A ges av g(p, q) = p∧q och låt f : A → {S, F } ges av att f (p) är sanningsvärdet av p. Då är h = f ◦ g den funktion från A × A till {S, F } som ges av att h(p, q) är sanningsvärdet av p ∧ q .  65


Stefan Lemurell är docent i matematik och forskar inom talteori. Båda undervisar i matematik vid Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola och har mångårig erfarenhet av forskning och undervisning i ämnet.

ALGEBRA OCH DISKRET MATEMATIK Boken vänder sig främst till studerande under första året på universitet eller teknisk högskola. Den är i första hand avsedd som kursbok till en inledande kurs i matematik i allmänhet och diskret matematik i synnerhet. Materialet presenteras i den ordning som teorin byggs upp och på ett sådant sätt att inga logiska luckor uppstår. Stor vikt läggs vid att introducera läsaren till matematiskt tänkande och bevisföring. I det första kapitlet avhandlas grundläggande sats- och predikat­ logik. Följande kapitel behandlar i tur och ordning mängdlära, funktioner och relationer, induktion, heltalsaritmetik, kombinatorik, grafer, grupper och ringar och diskret sannolikhetslära. I slutet av boken finns ett kapitel om talens uppbyggnad, främst avsett som överkurs för den intresserade läsaren. Boken är försedd med ett stort antal lösta exempel och gott om övningar av olika svårighetsgrad. Det finns svar till alla övningar och till de flesta även förslag till lösningar

Andra upplagan

Art.nr 35193

Johan Jonasson Stefan Lemurell  |  ALGEBRA OCH DISKRET MATEMATIK

Johan Jonasson är biträdande professor i matematik. Hans forskningsområde är diskret sannolikhetsteori och statistisk mekanik.

2:a uppl.

Algebra OCH DISKREt MATEMATIK

Johan Jonasson Stefan Lemurell

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08050-4_01_cover.indd 1

2013-08-09 10.47

Profile for Smakprov Media AB

9789144090504  

9789144090504  

Profile for smakprov

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded