9789147083398

MatematikUtvecklingsSchema ¹ ~}|{· ¶¹ ~}|{ {¶¹ ~}| |{¶¹ ~} }|{¶¹ ~ ~}|{¶¹ ~}|{¶¹ ~}|{¶¹

Välkommen till MUS! Ta dig några minuter och svara på frågorna nedan med utgångspunkt i din lärarerfarenhet.

När kan de flesta elever – räkna till 100?

– känna till och kan använda de vanligaste längdenheterna (m/cm)?

– veta att 1 m = 100 cm?

– på egen hand sammanställa data och redovisa i ett stapeldiagram?

När vi har frågat lärare så har vi fått ungefär följande svar: – Elever kan vanligen räkna till 100 när de är 6–7 år.

– Längdenheter och att 1 m = 100 cm brukar elever i normalfallet behärska runt 10–11 år.

– Att på egen hand kunna sammanställa data och redovisa dessa i ett stapeldiagram brukar elever runt 13 år klara av.

Fundera ett ögonblick – speglar svaren din egen uppfattning?

Exakt så här har vi arbetat för att få fram MUS. Vi har under många år ställt frågor till ett stort antal erfarna lärare kring när elever uppvisar olika slags kunskap.

Med begreppet kunskap eller uttrycket att kunna menar vi att eleven visar upp sådana igenkänningstecken på kunnande att en erfaren lärare kan sluta sig till att eleven faktiskt äger den aktuella kunskapen. Men, och ett viktigt men, är att eleven ska kunna visa upp kunskapen när som helst – inte enbart att eleven har klarat en uppgift av en viss karaktär i samband med ett test eller prov efter ett avsnitt i matteboken.

Förresten – finns det elever som klarar av att sammanställa data och redovisa dessa i ett stapeldiagram – men – som inte kan räkna till 100?

Vår idé är att det är möjligt att på ett någorlunda lättbegripligt sätt beskriva en utveckling när det gäller kunskapande i matematik. Eftersom det bedrivs undervisning i matematik i de flesta länder och det produceras läromedel för elever i olika åldrar är vi övertygade om att det också finns ett antal utvecklingsnivåer (även om de oftast är outtalade) som undervisningen och produktionen av läromedel följer. Vår intention har varit att synliggöra de här utvecklingsnivåerna genom att ge erfarna lärare möjlighet att berätta om sin uppfattning.

Om du är nyfiken på hur vi tänkt och arbetat när vi har tagit fram MUS finns det en kortfattad sammanställning i slutet av den här boken. Som ett komplement kommer även en handbok till MUS att ges ut och där kommer vi att ge en fylligare bakgrund samt knyta an till forskning. Det bästa sättet att bli bekant med MUS är kanske ändå att läsa igenom materialet och att därefter testa hur din bedömning stämmer överens med den som gjorts av de lärare som vi har frågat.

Välkommen in i MUS!

Kan dubbla, halvera, tolka diagram och själv bygga vidare på enkla mönster

Hanterar enkla tal, likhetstecknets innebörd, använder matteord i vardagen

Äger språk för att lösa problem i addition och subtraktion

Adderar och ordnar

Jämför, förstår relationer i tid och rum, ser mönster, hanterar/tolkar data

Löser problem genom konkret räknande

Använder siffror för att beskriva antal

Använder kardinalprincipen

Grupperar, delar och hittar rätt

Ser matematik mest som en lek

Har begrepp för längd, area, volym, massa, tid och vinklar

Tider digitalt, enkla kartor, beskriver geometriska figurer, avbildar mönster

Sambandet addition/subtraktion, de fyra räknesätten vid problemlösning

Matematik som tankeverktyg, gissar och prövar, mätandets idé, enkla överslag

Äger språk för att lösa problem i multiplikation och division

Söker mönster – begynnande formeltänkande samt förstår begreppet sannolikhet

Begreppet ekvation, parallella problemlösningsmetoder, tolkar grafer, hastighet

Har en uppsättning metoder/strategier för att lösa problem

Förstår begreppet medelvärde samt inser hur diagram kan manipuleras

Använder överslagsräkning, arbetar med tal i bråk och procentform (figurer)

Positionssystemet, använder de fyra räknesätten, löser flerstegsproblem

Tolkar kartor/tabeller, fortsätta på talmönster, arbeta konkret med rationella tal

Kunna hantera data i tabeller och diagram samt medelvärde

Kan använda begreppet sannolikhet i enkla slumpsituationer

Tolkar grafer, förstår begreppet funktion och kan upprätta formler

27.

28.

Använder relevant typvärde, förklarar några viktiga geometriska samband

Söker mönster samt använder och upprättar enkla formler

5

26.

25.

FAS IV Principtänkande

24.

23.

22.

21.

20.

19.

18.

17.

FAS III Rutiner för att lösa problem

16.

15.

14.

13.

12.

Kan använda matematik utanför skolan

klass:

11.

FAS II Rutin, begrepp och problemlösning

10.

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

FAS I Från lek till svar på frågor

MUS Skola:

Namn

Punkt 1, 2

FAS I

Från lek till svar på frågor

Punkt

1

Ser matematik mest som en lek

a

Visar tydligt intresse för att ramsräkna

b

Är intresserad av siffror - utför ”beräkningar” som en lek, det vill säga gestaltar matematiken genom att härma efter

c

Kan sortera föremål utifrån olika egenskaper – t.ex. färg eller form (sortera och klassificera)

Punkt

2

Grupperar, delar och hittar rätt

8

a

Kan se par- eller tregrupper (subitizing – subtisera eller se ”talgestalter”)

b

Kan dela lika (praktiskt) – en till dig, en till mig, en till dig…

c

Kan beskriva för en kamrat hur man går t.ex. från klassrummet till matsalen (läge och riktning)

– en, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta, nio, tio, tolv, femton...

Punkt 3, 4

Punkt

3

Använder kardinalprincipen

a

Kan ramsräkna till 10

b

Kan ramsräkna till 40

c

Kan räkna ett antal föremål i en mängd

Eleven ska oberoende av hur föremålen är placerade eller ser ut förstå att det sista räkneordet anger antalet – den så kallade ”kardinalprincipen”. Eleven ska också inse att det går att räkna föremålen i vilken ordning som helst – jämför kommutativa lagen.

Punkt

4

Det är sex stycken.

Det är fem kvadrater i varje rad.

Använder siffror för att beskriva antal

a

Kan ramsräkna till 100

Kunskap om att färdigheten i ramsräkning har ett starkt samband med barnets räknefärdighet har varit känt länge. Redan 1946 redovisade Frits Wigforss med all önskvärd tydlighet detta i rapporten ”Barnens färdighet i räkning vid skolgångens början” i publikationen ”Pedagogiska skrifter”. Wigforss visade att sambandet mellan ramsräkning och räknefärdighet är mycket stort (korrelationskoefficient 0,93). Följande citat av Frits Wigforss ur ovanstående rapport talar för sig själv: ”Det är tydligt att resultatet i provet ´Hur långt kan du räkna´ är ganska upplysande för hela frågan om barnets räknefärdighet.

Den ringa respekt som många lärare synes ha för värdet av barnens färdigheter i att ´rabbla´ upp talen är tydligen ej berättigad.”

b

Använder siffror för att beskriva antal (förstår att siffror är symboler för tal)

9

Punkt 5

c

Kan skriva alla siffrorna 0 – 9

d

Utför enkla additioner och subtraktioner korrekt

Punkt

4+3 6–3

5

Löser problem genom konkret räknande

a

Använder ”konkret material” för att lösa enkla problem ”Hur många bilar behövs om det får plats 4 dockor i varje bil?”

b

Ritar och räknar för att lösa enkla problem Exempel

1

c

3 kr

4 kr

styck

styck

Du har 20 kr.

Köp frukter och räkna ut vad det kostar.

Berätta också hur många kronor du har kvar.

2

3

Särskiljer några enkla geometriska figurer cirkel

10

kvadrat

triangel

Punkt 6

Punkt

6

Gör jämförelser, förstår relationer i tid och rum, ser mönster och hanterar och tolkar data

a

Kan göra allmänna jämförelser Exempel Hunden är större än katten. Katten är mindre än hunden.

Kaninen är mindre än fåret. Fåret är större än kaninen.

Hunden är större än fåret. Fåret är mindre än hunden.

Hunden är störst och kaninen är minst.

Katten är mindre än fåret. Fåret är större än katten.

Kaninen är mindre än hunden. Hunden är större än kaninen.

b

Kan ange enkla relationer i tid och rum Exempel Rumsuppfattning över – under, framför – bakom

Vad finns under (över, framför, bakom) bordet?

Ordinaltalsuppfattning första, andra, tredje …

Vilken färg på tröjan har barnet på fjärde plats?

Tidsuppfattning Förstår och använder begrepp som igår – i morgon, förra veckan – nästa vecka, tidigare – senare, före rasten – efter rasten Kan avläsa klockan Kännetecken på att eleverna behärskar klockan/ klockslagen visar sig till exempel genom att de vet när – en lektion börjar/slutar – det är lunchrast etc.

11

Punkt 10

Punkt

10

Kan dubbla, halvera, tolka diagram och själv bygga vidare på enkla mönster

a

Förstår multiplikation som dubblering och dubblering igen

2 treor är 6 4 treor är 12 – dubbelt

b

1.3=3 2.3=6 4 . 3 = 12 8 . 3 = 24

8 treor är 24 – dubbelt igen

Förstår begreppet likadelning (division) Exempel 1. Två flickor delar lika på 40 kr.

Hur mycket får var och en?

c

2. Fyra flickor delar lika på 40 kr.

Hur mycket får var och en?

Kan tolka enkla givna diagram

Kan identifiera talet med den största frekvensen – egna data – t.ex. undersökningar i klassen – vilket är den vanligaste skostorleken / längden / huvudomkretsen / veckopengen etc.

Exempel Vilken hundras är mest populär i klassen?

Schäfer

d

Golden R

Labrador

Avbildar och fortsätter på mycket enkla mönster Exempel Rita av mönstret på ett cm-rutat papper.

Fortsätt sedan så att mönstret får 12 kvadrater.

? ?

18

Punkt 11

FAS I1 Rutin, begrepp och problemlösning Punkt

11

Kan använda matematik utanför skolan

a

Förstår klockans indelning och kan läsa av klockslag (analogt)

b

Använder matematik utanför skolan

Sparar till något – vet hur mycket som fattas / hur lång tid det kommer att ta etc. Gör enkla tidsberäkningar i vardagen – Jag kommer att hinna till skolan / Nu kommer jag 5 minuter för sent.

c

Förstår att miniräknaren är snabb och säker om man trycker rätt. Kan utföra enkla beräkningar, t.ex. för att kontrollera ett svar

Hinner jag till bussen?

Den går om 12 minuter.

Det tar knappt 10 minuter att gå till hållplatsen.

Jag hinner!

Jag kollar med miniräknaren.

Den kunskapsstandard som eleverna ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret är att de ska förvärvat sådana grundläggande kunskaper och färdigheter som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i sin närmiljö.

Den här typen av kunskap är följdriktigt också en del av bedömningens inriktning i matematik. Bland annat ska läraren vid bedömning inrikta sig på elevens förmåga att använda och utveckla sitt matematiska kunnande för att tolka och hantera olika slag av uppgifter och situationer som förekommer i skola och samhälle.

19

Punkt 14

Punkt

14

Förstår sambandet addition/ subtraktion – använder de fyra räknesätten vid enkla överslag och vid problemlösning

a

Använder de fyra räknesätten vid ”problemlösning” i en känd kontext.

Antingen i huvudet, med miniräknare eller med algoritm – det handlar inte om vilken räknemetod som används Exempel 40 + 30 = 70

Du har 45 kr och får 34 kr till.

Hur många kronor har du då?

5+4=9 Svar: 79 kr

Joel vill köpa en resväska för 700 kr.

Han har sparat 380 kr.

Hur mycket pengar fattas?

Ridklubben köper fyra ridspön för 89 kr styck.

Hur mycket ska klubben betala?

Lovisa, Elin och Edit köper en ridhjälm i present till Selma.

Hjälmen kostar 360 kr.

Hur mycket ska var och en betala?

24

380, hm... 20 till 400.

500, 600, 700 blir 300.

Det fattas 320 kr.

4 . 89 = 356 Svar: De ska betala 356 kr.

3 6 0 = 120 3 Svar: De ska betala 120 kr var.

Punkt 14

b

Förstår och utnyttjar sambandet mellan addition och subtraktion (”samma sak men tvärtom”) för att få ekonomi i tänkandet Exempel Om 5 + 5 är 10 måste 10 – 5 vara 5!

12 minus 6 är 6.

Det vet jag för att 6 + 6 = 12.

9 + 9 = 18 och därför är 18 – 9 = 9!

c

Kan använda sig av överslagsberäkningar inom de fyra räknesätten Exempel När jag räknar på ett ungefär tänker jag så här: 214 + 389 är ungefär 200 + 400 621 – 293 är ungefär 600 – 300 4 . 32 är ungefär 4 . 30 294/3 är ungefär 300/3

Överslagsberäkningar förekommer frekvent i vardagslivet och är en viktig kunskap, till exempel i samband med miniräknaranvändning. Samtidigt vet vi av erfarenhet att många elever uppfattar överslagsberäkningar som något svårt och att de hellre vill göra exakta beräkningar. Att göra en överslagsberäkning kräver dessutom god taluppfattning, en förmåga att bedöma tals storlek.

Exemplen ovan visar nivån på en godtagbar kunskapsstandard för elever i årskurs 5.

25

Punkt 21

Punkt

21

Förstår begreppet medelvärde samt inser hur diagram kan manipuleras

a

Kan beräkna medelvärde (naturliga tal) Exempel Höjdhoppstävling - resultat Namn

My

Elvira

Petra

Alva

Kia

Mia

Lina

Hanna

Klara

Resultat

110

142

110

105

144

105

139

110

115

Räkna ut medelvärdet av alla resultat.

b

Kan på egen hand sammanställa data och välja lämpliga tabeller och diagram (stapel/cirkel etc.) för att redovisa sina data

I samband med arbetet förutsätts att eleverna har tillgång till miniräknare och att de har en modell för hur procentsatsen räknas fram (antal elever per alternativ dividerat med det totala antalet elever).

Exempel Kia och Carl frågade 130 elever i årskurs 6 och 7 vad de ansåg om skolmaten.

Eleverna fick fem alternativ att välja mellan.

Hur ofta är du nöjd

Antal elever

Svar i procent

med skolmaten?

Alltid Nästan alltid Fifty-fifty Ibland Aldrig

39 elever 52 elever 22 elever 4 elever 13 elever

Hur skulle du välja att redovisa resultatet?

46

30% 40% 17% 3% 10%

Punkt 21

Exempel Kia valde att redovisa resultatet i ett stapeldiagram. procent 40% 30% 20% 10% 0%

Alltid

Nästan alltid

Fifty-fifty

Ibland

Aldrig

Carl valde att redovisa resultatet i ett cirkeldiagram. Han arbetade i Word (Office), infogade ett diagram och skrev in procentsatserna för de olika alternativen: Tycker du att Kia och Carl har valt bra redovisningsformer?

Varför?

c

Aldrig Ibland Fifty-fifty Alltid Nästan alltid

Kan i ett gemensamt resonemang, i klass eller grupp, avläsa, tolka och förstå/genomskåda tabeller och diagram i dagstidningar och andra publikationer dvs. ”kritiskt granska” Exempel

Titta på arean hos den lilla triangeln till vänster.

Jämför med arean på den stora triangeln till höger.

Ungefär hur många gånger större area har den stora triangeln?

Hur många små kuber ryms i den stora kuben?

Beskriv vad du tycker om diagrammet.

Fördubbling av skogsdöden...?

Beskriver diagrammet en fördubbling?

Tidigare

Idag

Halvering av karies bland skolbarn...?

Vad beskriver diagrammet?

Tidigare

Idag 47

ISBN 978-91-47-08339-8 © 2008 Didaktikcentrum och Liber AB Redaktör: Mirvi Unge Thorsén Formgivare: Sara Ånestrand Tecknare: Christina Andersson Produktion: Bertil Stålenmark Första upplagan 1 Tryck: Elanders i Falköping 2008

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t ex kommuner och landsting.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

K

unskapsutveckling i matematik är en komplex process som kan beskrivas på en mängd olika vis.

Matematikutvecklingsschemat – MUS – är ett tidsekonomiskt, lättanvänt, överblickbart och kommunicerbart verktyg som bygger på lärarerfarenhet.

Med hjälp av MUS kan läraren, skolan, området eller kommunen genomföra en snabb och enkel resultatuppföljning. Därefter kan man föra en dialog kring resursfördelning, undervisningens uppläggning och uppföljningsinsatser för elever. Genom att visa på vilken kunskapsnivå en elev faktiskt befinner sig kan man också föra en dialog om var i sin utveckling eleven bör befinna sig i relation till kravnivåerna i kursplanen.

MUS är uppdelat på fyra faser med sammanlagt 28 punkter.

MUS har tagits fram av Didaktikcentrum AB under ledning av Håkan Johansson.

Best.nr 47-08339-8 Tryck.nr 47-08339-8