Matematikboken UTMANINGEN Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken. Utmaningen X erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken X. I Utmaningen X finns: • Målsidor • Genomgångar • Typexempel • Uppgifter av undersökande karaktär • Mycket problemlösning • Ledtrådar och lösningsförslag
Matematikboken X
Bashäfte
Utmaningen
Lärarhandledning
Pluswebb
Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurserna 7– 9. I varje årskurs finns, utöver Utmaningen, en lärobok, ett enklare bashäfte och en lärarhandledning. I serien finns också Pluswebben med interaktivt material för både lärare och elever. Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, undvall@vasteras.bostream.se respektive 021-14 49 10. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Best.nr 47-08519-4 Tryck.nr 47-08519-4
Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén
ISBN 978-91-47-08519-4 © 2011 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt och Peter Larshammar Formgivning och layout: Eva Jerkeman, Christer Langseth Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: 1010 Printing, Kina 2011
Bildförteckning 5 Thomas Oneborg/SvD/Scanpix 7 Ulf Rennéus/Mary Square Images 10 Ljupco/iStockphoto 13 Beatrice Lundborg/DN/Scanpix 16 Team Baldos/Luleå tekn universitet 18 Sari Gustafson/Hehkuva/Scanpix 20 The Living Earth 21 Historical/Scanpix 22 (1) Mark Earthy/Scanpix 22 (2) Stockfood/NordicPhotos 22 (3) Staffan Löwstedt/SvD/Scanpix 24 Olivier Morin/AFP/Scanpix 25, 27 NASA 28 Filip Nicklin/Minden/Scanpix 32 Robert Henriksson/Scanpix 33 Ulf Rennéus/Mary Square Images 35 Conny Welén 38 Sebastien Pirlet/Reuters/Scanpix 44 Fotokoncept/AGE/Scanpix 46 Sören Andersson/Scanpix 47 Dan Hansson/Scanpix 48 Ulf Palm/Scanpix 50 Lee Snider/Image Works/Topfoto/Scanpix 55 Gregg Matthews/NYT/Scanpix 59 Ulf Palm/Scanpix 63 Bertil Persson/Scanpix 66 Henrik Montgomery/Scanpix Övriga bilder: Edelpix, Haléns, Liber arkiv, OPV Online och Photodisc.
Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/ universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
2
11
Tal och räkning
55
5
Delbarhet 6 Primtal och sammansatta tal 7 Rika och fattiga tal 9 Magiska kvadrater 10 Ditt personnummer 12 Räkna med miniräknare 13 Problemlösning 15
22
Stort, smått och enheter
16
Längd, tid och samband
Algebra och mönster
Numeriska uttryck 39 Talmaskinen 40 Mönster 42 Förenkling av uttryck 43 Ekvationer 45 Ekvationer kan lösa problem 47 Problemlösning 48
66
Bråk och procent
59
Bråk med olika nämnare 60 Promille 62 Hur sannolikt är det? 64 Beräkning av det hela 66 Problemlösning 67
Ledtrådar 68
Avstånd i rymden 25 Tidszoner 26 Räkna med hastighet 28 Rita och tolka diagram 29 Histogram och cirkeldiagram 31 Medelvärde ur histogram och tabeller 34 Problemlösning 36
44
50
Geometri med tändstickor 51 Vinklar 52 Konstruera månghörningar 54 Area och areaenheter 55 Geometri och ekvationer 56 Problemlösning 57
Potenser 17 Multiplicera med en bild 19 Räkna med stora och små tal 20 Från gammal tid 21 Räkna med recept 22 Problemlösning 23
33
Geometri
38
24
Facit och lösningar 70 Problemlösningsstrategier 78 Begreppsregister 80
5
Geometri
Här får du utveckla din kompetens i att:
u använda yttervinkelsatsen u konstruera geometriska figurer u lösa geometriska problem med hjälp av ekvationer u tolka information och välja lämplig metod för att lösa
50
va tio n
Ar ea
Ek
ke lsa vin Ytt er
ke l vin Ytt er
Bi se kt ris
Be
gr
ep
p
tse
n
matematiska problem
Geometri med tändstickor 501 Med tolv tändstickor kan man bygga den här figu
ren. Hur kan man ta bort två tändstickor så att man endast får två kvadrater kvar?
502 Med nio tändstickor kan man bygga den här
figuren. Ta bort två stickor så att det återstår två trianglar.
503 Flytta på tre stickor så att du får fem
kvadrater kvar.
504 Ta bort sex stickor
så att de stickor som finns kvar bildar två kvadrater.
505 a) Hur många olika rektanglar kan byggas med hjälp av 12 tändstickor?
b) V ilken är den största area någon av rektanglarna kan ha? Räkna med att tändstickorna är 5 cm långa.
5 • Geometri
51
Problemlösning 528 Rita av kvadraten. Fyll sedan de
tomma rutorna med siffrorna 1–4 så att var och en av de fyra siffrorna finns en gång i varje vågrät rad och en gång i varje lodrät rad. 4
530 Hur stor andel av rektangeln är
färglagd?
1
2
531 Hur stor är summan av de tre
vinklarna x, y och z?
1 529 Fyra hus ligger intill varandra.
I varje hus bor en elev i klass 7b. De har olika husdjur och olika favoritämnen i skolan.
– E leven som bor näst längst till höger tycker bäst om fysik.
– H unden bor granne med marsvinet.
– J onas favoritämne är mate matik.
– E mma bor mellan marsvinet och eleven med fysik som favo ritämne.
– Filip bor intill kattägaren.
– D en elev som bor längst till höger tycker bäst om teknik.
– Katten bor granne med den elev som gillar svenska bäst.
a) I vilket hus bor Åsa?
b) Vem äger apan?
x
y
z
532 Vilken är den 1 000:e bokstaven i
den här följden av bokstäver:
ABBCCCABBCCCABB…
533 I engelska Premier League spelar
20 lag. Alla lag möter alla andra en gång borta och en gång hemma varje säsong. Hur många matcher spelas sammanlagt under en säsong?
5 • Geometri
57
Ledtrådar 1
Tal och räkning
104 b) Titta på talens siffersumma. 112 a) Tänk på vilka de tre första primtalen är. 113 Vilken egenskap är gemensam för talen? 114 Tänk på att summan är ett jämnt tal. Vad säger 115 125 127
140 143 144 145
146 147 148 149 150
det om de tre primtalen? Dela upp talet 1 680 i faktorer. Börja med att dividera med 2. Vilken är summan i alla rader? a) Skriv talen 3, 8, 6, 5 och 11 ovanför de fem kolumnerna. Skriv sen talen 4, 1, 2, 10 och 0 till vänster om raderna. Hur kommer du sen fram till talen i rutorna? Kvadraten bygger på att: 3 + 8 + 6 + 5 + 11 = 33 4 + 1 + 2 + 10 + 0 = 17 33 + 17 = 50 Vilket är det minsta tal som är delbart med 5, 9 och 20? Hur mycket saktar sig klockan på ett dygn? Det har med produkter att göra. a) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas med 2 siffror? Hur många tresiffriga tal kan bildas med 3 siffror? Hur många fyrsiffriga tal kan bildas med 4 siffror? Ser du något samband? b) Hur många tal börjar med siffrorna 1 och 2? Vilket är det första som börjar med 3? Siffrorna i första och sista kolumnen hör ihop, liksom siffrorna i de två mellersta kolumnerna. a) Hur många kvadrater finns det av de olika storlekarna, 1x1, 2x2, 3x3, 4x4 och 5x5? b) Hur många kvadrater av respektive sort innehåller den röda rutan? Para samman termerna två och två. Om 100 dividerat med n ger resten 2, vilket närmast mindre tal är då delbart med n? Hur många gånger förekommer siffrorna i varje position?
2 205 206 207
Stort, smått och enheter
Tänk på att 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ∙ 4. Vilket är medelvärdet av de fem talen? Det är den första termen som ska ändras.
208 214 215 216 220 221 222 227 228 229 230 231 232
233 234 235 236
3 313 314
331 332 333 334 335 336 337 338
68
Ledtrådar
Ett tal är delbart med 3 om talets siffersumma är delbar med 3. Tänk dig att du lägger mynten i högar med den fördelning som anges i uppgiften. Vilket är det tredje primtalet? Vilka måste de tre första siffrorna i talen vara? Hur mycket väger 3 000 liter havsvatten? Hur mycket kostar barrveden per famn? Hur mycket tjänade den ene arbetaren på 35 dagar? Det har med summa att göra. Tänk på att en motorväg från A till B är samma väg som från B till A. Hur länge dröjer det innan Peters klocka visar 1 h mer än Saras? Rita en bild där du delar in rummet i 12 delar. Lägg märke till att sista talet på respektive rad är 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3 och så vidare. Addera alla vänsterled med varandra och alla högerled med varandra. Du får då att 2A + 2B + 2C = 140. Dividera sen båda leden med 2. Vad får du då? Vilken siffra måste S vara? Då kan du sen räkna ut vad T är, och sen H. Lös problemet steg för steg. På hur många sätt kan Weronika gå till B, C, D och så vidare. På vilken siffra slutar 2 · 4 · 6 · 8? Addera första och sista termen, andra och näst sista och så vidare.
Längd, tid och samband
Hur långt bort var åskvädret först och hur långt bort var det sen? Dela in sträckan Stockholm-Göteborg i tio lika delar. Hur stor andel av sträckan har de båda tågen åkt, när de möts? Jämför antalet prickar på brickorna. Vilka kan de fyra minsta talen vara? Hur många dagars arbete återstår när Maria får hjälp? Vad får du reda på om du adderar alla tal i uppgiften? Summan är ett udda tal. Vad säger det om de två primtalen? Rita en bild och arbeta baklänges. Räkna ut tiden för hela resan fram och tillbaka inklusive stoppet. Pröva dig fram.
Matematikboken UTMANINGEN Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken. Utmaningen X erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken X. I Utmaningen X finns: • Målsidor • Genomgångar • Typexempel • Uppgifter av undersökande karaktär • Mycket problemlösning • Ledtrådar och lösningsförslag
Matematikboken X
Bashäfte
Utmaningen
Lärarhandledning
Pluswebb
Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurserna 7– 9. I varje årskurs finns, utöver Utmaningen, en lärobok, ett enklare bashäfte och en lärarhandledning. I serien finns också Pluswebben med interaktivt material för både lärare och elever. Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, undvall@vasteras.bostream.se respektive 021-14 49 10. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Best.nr 47-08519-4 Tryck.nr 47-08519-4
Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén