Denna nya upplaga av Exponent 1c har förbättrats på flera punkter utifrån de synpunkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnesplanen om att använda digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt, bland annat hur ränteberäkningar används i kalkylprogram. Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 1c tillhör den röda serien. ■
■
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt. Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.
exponent
1c
GENNOW GUSTAFSSON SILBORN
y
exponent 1c
■
GENNOW GUSTAFSSON SILBORN
exponent
1c
6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
Författare till Exponent 1c är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
3
4
5
6 x
–2 ISBN: 978-91-40-69667-0
9 789140 696670
40696670_e1c_omslag.indd Alla sidor
1 2
–3 –4 –5
2017-06-29 14:27
INNEHÅLL 1
Taluppfattning 8
Tal i olika sammanhang, 9
1.0 Repetition av grundläggande begrepp 10 De fyra räknesätten, 10 Heltal, 11 Rationella tal, 14 Reella tal, 20
1.1 Heltal 26 Primtal och delbarhet, 27 Delbarhetsregler, 29 Minsta gemensamma multipel och största gemensamma delare, 31 Problemlösning, 33
1.2 Reella tal 36 Bråkform och decimalform, 36 Periodiska decimalutvecklingar, 39 Problemlösning, 41 Potensform, 43 Räkneregler för potenser med heltalsexponenter, 43 Potenser med negativ bas och rationell bas, 46 Potens med rationell exponent, 49 Kvadratroten ur en produkt eller kvot, 52 Problemlösning, 54 Storheter, mätetal, enheter och gällande siffror, 55
1.3 Talsystem 61 Det decimala talsystemet, 61 Binära talsystemet, 62 Andra baser, 64
2
Algebra 76
Algebra i olika sammanhang, 77
2.0 Repetition av grundläggande begrepp 78 Uttryck och formler, 78 Ekvationer, 80
2.1 Algebraiska uttryck 85 Formulera uttryck och formler, 89
6
innehåll
40696670_e1c.indb 6
2.2 Linjära ekvationer och olikheter 94 Linjära ekvationer, 94 Ekvationer med parenteser, 97 Ekvationer med variabelterm i båda leden, 100 Lösa ut variabler ur formler, 105 Problemlösning, 108 Linjära olikheter, 111
2.3 Potensekvationer 118 Kvadratrötter och andragradsekvation, 118 Kubikrötter och tredjegradsekvation, 120 Potensekvation, 122 Mer om potensekvationer, 125
3
Geometri 138
Geometri i olika sammanhang, 139
3.0 Repetition av grundläggande begrepp 140 Omkrets och area, 140 Fyrhörningar och trianglar, 141 Andra månghörningar, 142 Cirkeln, 144 Volymenheter, 145 Formler för volym, 146 Prismor, 147 Pyramid, kon och klot, 148 Vinklar och sträckor, 150 Koordinatsystemet, 152
3.1 Likformighet och Pythagoras sats 154 Likformighet, 154 Pythagoras sats, 156
3.2 Trigonometri 158 Trigonometriska samband för en spetsig vinkel, 158 Trigonometriska värden på räknaren eller datorprogram, 161 Sidor och vinklar i en rätvinklig triangel, 162
3.3 Vektorer 166 Vad är en vektor?, 166 Beräkningar med vektorer, 169 Koordinater och komposanter för vektorer, 171 Räknelagar, 172
2017-06-29 15:28
3.4 Argumentation, definition, axiom, sats och bevis 175 Definition, axiom, sats och bevis, 175 Implikation och ekvivalens, 178
4
Procent 190
Procenträkning i olika sammanhang, 191
4.0 Repetition av grundläggande procenträkning 192 Procent-, bråk- och decimalform, 192 Andelen, delen och hela mängden, 193
4.1 Promille, ppm och procentenheter 196 Promille och ppm, 196 Procentenheter, 199
4.2 Förändringsfaktor – procentuell förändring 201
5.1 Vad är en funktion? 252 Olika sätt att beskriva funktioner, 255 Definitionsmängd och värdemängd , 259
5.2 Egenskaper hos olika typer av funktioner 263 Linjära funktioner, 263 Potensfunktioner, 268 Grafisk lösning av linjära ekvationer, olikheter och potensekvationer, 270 Exponentialfunktioner, 272
Sannolikhetslära och statistik 288 6
Sannolikhetsberäkningar inom olika ämnesområden, 289
6.0 Begrepp och enkla slumpförsök 290
Upprepad förändring, 206
6.1 Relativa frekvenser 295
4.3 Index 209
Spelet ”Kasta gris”, 295 Simulering av försök med räknaren, 298 Simulering av försök med dator, 298
Konsumentprisindex, 212 Fasta priser*, 216
4.4 Lån 219
6.2 Oberoende händelser 300
4.5 Naturvetenskapliga tillämpningar 234
Försök i två steg med likformig sannolikhetsfördelning, 300 Betydelsen av orden och respektive eller, 304 Träddiagram, 306 Komplementhändelse, 310 Försök i många steg*, 314 Mer om multiplikationsprincipen och riskbedömningar*, 317
Radioaktivt sönderfall, 234 Tillväxter, 235
6.3 Beroende händelser 319
Avbetalningsköp och krediter, 219 Lån, räntor och amorteringar, 222 Räntor och amorteringar med kalkylprogram, 225 Effektiv ränta*, 231
5
Funktioner 248
Funktioner i olika sammanhang, 249
5.0 Repetition 250 Koordinataxlarnas gradering och avläsning i en graf, 250
6.4 Statistik 323 Tips 346 Facit 349 Register, 388 Bildförteckning, 390
innehåll
40696670_e1c.indb 7
7
2017-06-29 15:28
Ekvationer med variabelterm i båda leden En del ekvationer innehåller variabler i båda leden. Då gäller det att samla variabeltermerna i samma led. Enklast är att samla termerna i det led där det från början finns flest x.
Addera variabelterm i båda leden Lös ekvationen 3x 50 ‒ 2x lösning: 3x 50 ‒ 2x 3x + 2x 50 ‒ 2x + 2x 5x 50
Addera i båda leden med 2x. Förenkla. Dividera i båda leden med 5.
x 10 Prövning: VL 3 · 10 30
HL 50 – 2 · 10 50 – 20 30
Eftersom VL HL så är x 10 en rot till ekvationen. svar: x 10
Subtrahera variabelterm i båda leden Lös ekvationen 13x 15x ‒ 12 lösning: 13x 15x ‒ 12
Subtrahera i båda leden med 13x.
13x ‒ 13x 15x ‒ 13x ‒12 0 2x ‒ 12
Addera i båda leden med 12.
0 + 12 2x ‒ 12 + 12 12 2x
Dividera i båda leden med 2.
6 x x 6 Prövning: VL 13 · 6 78
När man svarar ska x stå i vänstra ledet.
HL 15 · 6 ‒ 12 90 ‒ 12 78
Eftersom VL HL så är x 6 en rot till ekvationen. svar: x 6
100
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 100
2017-06-29 15:31
Parenteser och variabler i büda leden LÜs ekvationen 3(2x ‒ 5) x ‒ 2(x + 4) lÜsning: 3(2x ‒ 5) x ‒ 2(x + 4)
Multiplicera in i parenteserna.
(6x ‒ 15) x ‒ (2x + 8)
Ta bort parenteserna och ändra tecken.
6x ‒ 15 x ‒ 2x ‒ 8
FĂśrenkla.
6x ‒ 15 ‒x ‒ 8
Addera i bĂĽda leden med x.
6x ‒ 15 + x ‒x ‒ 8 + x Addera i büda leden med 15.
7x ‒ 15 ‒8
PrÜvning: VL 3(2 ¡ 1 ‒ 5) 3(2 ‒ 5) 3 ¡ (‒3) ‒9 HL 1 ‒ 2(1 + 4) 1 ‒ 2 ¡ 5 1 ‒ 10 ‒9 Eftersom VL HL sü är x 1 en rot till ekvationen.
7x ‒ 15 + 15 ‒8 + 15 7x 7
Dividera i bĂĽda leden med 7.
x 1 svar: x 1
Ekvation med nämnare LÜs ekvationen
2x 1 x 1 – = + 3 7 9 3
lÜsning: 2x 1 x 1 – = + 3 7 9 3 2x 1 x 1 – + 63 ¡ = 63 ¡ 3 7 9 3
(
) ( )
63 ¡ 2x 63 ¡ 1 63 ¡ x 63 ¡ 1 = + – 3 7 9 3 42x ‒ 9 7x + 21
Multiplicera i bĂĽda leden med MGN
63
Multiplicera in i parenteserna.
FĂśrkorta och fĂśrenkla. Subtrahera i bĂĽda leden med 7x.
42x ‒ 9 ‒ 7x 7x +21 ‒ 7x 35x ‒ 9 21
Addera i bĂĽda leden med 9.
35x ‒ 9 + 9 21 + 9 35x 30 30 35 6 x 7 6 svar: x 7 x
Dividera i bĂĽda leden med 35. FĂśrkorta med 5.
PrÜvning: 2 6 1 2 ¡ 6 1 2 ¡ 2 1 4 1 3 VL – – –  ¡ – 3 7 7 3 ¡ 7 7 1 ¡ 7 7 7 7 7 1 6 1 1 ¡ 2 1 2 7 9 3  ¡ + = + = + = = 9 7 3 3 ¡ 7 3 21 21 21 7 6 Eftersom VL HL sü är x en rot till ekvationen. 7 HL
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 101
101
2017-06-29 15:32
öva i
102
· begrepp och procedur
öva ii
· flera förmågor
2059
Lös ekvationerna och kontrollera lösningarna a) 18a = 33 + 15a b) 5z – 4 = 3z c) 8x + 5 = 3x + 10 d) 12x – 8 = 15x – 15
* 2064
Lös ekvationerna och kontrollera lösningarna. a) 7(2 – y) + 2 = 3y – 24 b) 9(1 – z) + 5z = 3z – 5 c) 5(x – 1,2) – 2 = 4(x – 2) d) 7 + 6(5 – 3x) = –11 – 2x
2060
Lös ekvationerna och kontrollera lösningarna a) 2x + 10 = 3x – 9 b) 20 + 3y = y + 21 – 2y c) 3 + 2x = 3(x + 5) d) 4 + 5x + 9 = 7x – 1
* 2065
2061
Avgör med hjälp av kontroll vilka av följande ekvationer som har korrekt angiven rot. Lös de ekvationer som har felaktigt rot. a) Ekvationen 3,2x – 4 = 0,8(5 – x ) har roten x = 2. b) Ekvationen 9x – 13 = x – 29 har roten x = 2. c) Ekvationen 4(x – 3) + 3(9 – 2x ) = 19 har roten x = 2.
Avgör med hjälp av prövning vilka av följande ekvationer som har korrekt angiven rot. Lös de ekvationer som har felaktig rot. a) Ekvationen 4(x – 0,8) = 1,4 – 2(0,5 – x ) har roten x = 1 1 5 = har b) Ekvationen x + 3 7x + 1 roten x = 7 c) Ekvationen 20(4x – 7) – 50(8 – 3x) = 30x har roten x = 2,7
2062
a) Lös ekvationen 12y – 7y + 2 = 5 b) Förenkla uttrycket 5 – 12y + 2 + 7y och bestäm uttryckets värde för y = –0,7
2063
a) Förenkla uttrycket 5(a + 2) – 2(a + 5) b) Lös ekvationen 5(a + 2) – 2(a + 5) = 49 – 4a
* 2066
* 2067
a) Förenkla uttrycket x 1 − x − 3 3 2 9 4 x 1 x 3 T b) Lös ekvationen + = − 3 2 9 4 Lös ekvationerna genom att multiplicera i båda leden med minsta gemensamma nämnare (MGN). x x a) + = 2 6 2 b) 3 y − 1 − y 1 2 4 4 − c) 2x − 3 + x 1 = 1 4 3 d) Varför är det lämpligt att multiplicera med minsta gemensamma nämnare när du löser denna typ av ekvation?
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 102
2017-06-29 15:32
* 2068
Tre tiondelar av ett tal är ett mer än tvü sjundedelar av talet. Bestäm talet genom att fÜrsta ställa upp en ekvation och sedan lÜsa den.
* 2069
LĂśs ekvationen 5x(x 2) + 3(x + 4) = = 2x(1 + 2x) + x(x 6).
* 2070
a) Skriv ett uttryck fÜr att variabeln 7 x multipliceras med och frün 4 produkten subtraheras hälften av variabeln x. b) Bestäm x om uttryckets värde är 25.
** 2071
a) FĂśrklara det konstiga resultatet vid denna ekvationslĂśsning. 3x = 4x 3x 4x x x 3=4 b) Hur bĂśr lĂśsningen se ut?
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 103
103
2017-06-29 15:32
utmaning
Gruppaktivitet datumtabell Rita av nedanstående tabell och fyll i den med månadens datum. Må
Ti
On
To
Fr
Lö
1 2 3
Sö
kvadrat med rektanglar En kvadrat med sidan 1 längdenhet är delad i fyra rektanglar, vilka har samma area. Bestäm rektanglarnas mått.
5 6
1 2 3 5 6
Välj ut en 3 u 3-kvadrat med datum. T.ex.
Q
Bestäm summan K av talen i mittenkolumnen.
Q
Bestäm summan R av talen i mittenraden.
Q
Bestäm summan D1 av talen i den ena diagonalen.
8
9
10
Q
Bestäm summan D2 av talen i den andra diagonalen.
15
16
17
Q
Vilken slutsats drar du?
22
23
24
Välj ut en annan kvadrat och gör motsvarande beräkningar.
104
Q
Vilken slutsats drar du nu?
Q
Visa att detta alltid gäller hur du än väljer din 3 u 3-kvadrat.
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 104
2017-06-29 15:32
LÜsa ut variabler ur formler En formel beskriver ett matematiskt samband mellan en variabel i vänsterledet och en eller era variabler i hÜgerledet. Om man ska beräkna värdet pü nügon av variablerna i hÜgerledet kan det underlätta om man fÜrst lÜser ut den variabeln, dvs. ser till att den blir själv i vänsterledet. Formeln s v ¡ t används ofta. Den ger sambandet mellan storheterna sträcka (s), medelhastighet (v) och tid (t). Detta sätt att skriva formeln är att fÜredra om sträckan ska bestämmas. s Är det istället medelhastigheten som efterfrügas bÜr man skriva om sambandet som v . t s Om tiden efterfrügas skriver man t . v
Samband mellan massa, volym och densitet Mellan storheterna massa (m), volym (V) och densitet (U) ďŹ nns sambandet m U ¡ V. m Visa att detta samband även kan skrivas Ď = . V lĂśsning: Storheten U kan lĂśsas ut genom att dividera bĂĽda leden med V och därefter fĂśrkorta i hĂśgerledet. m Ď Â ÂˇÂ V
Dividera med V.
m Ď Â ÂˇÂ V = V V
FĂśrkorta i HL.
m Ď = V Ď =m V
Skriv den ensamma storheten i VL.
LÜs ut en variabel ur en formel LÜs variabeln x ur formeln 2x y + 8 0 lÜsning: Att lÜsa ut variabeln x innebär att den ska vara ensam i vänsterledet. 2x y + 8 0 2x + 8 y 2x y 8
Addera y i bĂĽda leden. Subtrahera 8 i bĂĽda leden. Dividera med 2 i bĂĽda leden.
y‒8 2 y‒8 svar: x = 2 x=
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 105
105
2017-06-29 15:32
¡ begrepp och procedur
Ăśva i 2072
LĂśs ut variabeln y ur formeln. a) y x + 5 = 0 b) 2x y + 8 = 0 c) 3y + 6x 15 = 0
2073
LĂśs ut x ur formlerna. a) c = 3x b) c = 3 + x 3 d) c = x 3 c) c = x e) c = 3 x f) c = 3 2x
* 2074
LĂśs ut den variabel som stĂĽr inom parentes efter formlerna. a) 2x + 5 = y (x) b) y = kx + m (m) x b c) y = kx + m (k) d) (x) a 2 x b x f) + 1 = b (a) e) (a) a 2 a
Ăśva ii
* 2075
¡ flera fÜrmügor
9C + 32 anger sam5 bandet mellan temperaturen F i grader Fahrenheit och temperaturen C i grader Celsius. a) FÜrklara formeln med ord. b) Bestäm temperaturen i grader Fahrenheit om C = 5. c) Skriv om formeln sü att man kan lätt beräkna temperaturen i grader Celsius om temperaturen i grader Fahreinheit är given. d) Beskriv med ord formeln i c). e) Skriv av tabellen och bestäm C.
Formeln F =
F (°F)
–49 –22
C (°C)
106
41
77
90
107
f) Finns det nügon temperatur som uttrycks med samma gradtal i Fahrenheitskalan och i Celsiusskalan? Bestäm den i sü fall.
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 106
2017-06-29 15:32
* 2076
Arean av en triangel kan beräknas b h med formeln A = ¡ där b är basen 2 och h är hÜjden. a) LÜs ut hÜjden h. b) Beräkna hÜjden om arean är 260 cm2 och basen är 39 cm. c) Hur ändras hÜjden om triangelns bas fÜrdubblas utan att arean ändras?
* 2077
Omkretsen O och arean A av en cirkel med radien r ges av formlerna O = 2πr och A = πr 2. a) LÜs ut variabeln r ur formeln fÜr cirkelns omkrets. b) Bestäm radien i en cirkel med omkretsen 122 cm. c) Bestäm cirkelns area.
Volymen V av en pyramid med basarean B och hĂśjden h kan bestämmas Bh med formeln V 3 a) LĂśs ut hĂśjden h. b) Bestäm hĂśjden h i en pyramid med volymen 137 m3 och kvadratisk basyta med sidan 4,7 m. m * 2079 LĂśs ut V ur formeln Ď = V och bestäm volymen fĂśr ett aluminiumfĂśremĂĽl som väger 56,7 g. Aluminium har densiteten 2,70 g/cm3.
* 2080
Mellan de fyra fysikaliska storheterna spänning U, strÜmstyrka I , resistans R och effekt P gäller sambanden U = R ¡ I och P = U ¡ I. Bestäm ett samband mellan a) R, I och P b) R, U och P.
Analog multimeter frĂĽn 1940-talet.
* 2078
** 2081
Bestäm talen x och b sü att 3x + b = 10 och 2x b = 10. T
** 2082
Bestäm ett samband mellan x och y 1 t om x och y = 1 − 2t 2
** 2083
Lena springer en viss sträcka med medelhastigheten v m/s. Sedan gür hon halva sträckan med medelhastigheten u m/s. Hur lüng sträcka har Lena fÜrflyttat sig om totaltiden fÜr de tvü delarna är T sekunder?
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 107
107
2017-06-29 15:32
strategier vid problemlösning med ekvationer
Problemlösning Vid problemlösning är ekvationer ett användbart redskap. I all problemlösning gäller det att motivera införda beteckningar, uttryck och ekvationer. Lösningen ska skrivas så att en utomstående kan läsa och förstå den.
Q Vad
är det som söks? Inför beteckningar. Q Vad är givet? Skriv uttryck. Q Ställ upp en ekvation. Q Lös ekvationen. Q Kontrollera lösningen. Q Skriv svar med enhet om sådan finns.
Farmors ålder Olivias farmor påstår att hon blir yngre. Hon har räknat ut att hon är fyra gånger så gammal som Olivia är nu, men hon minns att för fem år sedan var hon fem gånger så gammal som Olivia var då. Hur gamla är farmor och Olivia tillsammans nu? lösning: Q Söks: Olivias och farmors sammanlagda ålder. Anta att Olivia är x år idag. Q Givet: Nu är farmor 4x år. För fem år sen var farmor fem gånger äldre än Olivia. Det kan sammanställas i en tabell. Q Ekvation: 4x – 5 5(x – 5)
Olivia
Idag För fem år sen
Farmor
x
4x
x–5
4x – 5
Lösning av ekvationen
Q
5(x ‒ 5) (4x ‒ 5) (5x ‒ 25) (4x ‒ 5) 5x ‒ 25 4x ‒ 5 5x ‒ 4x ‒ 25 4x ‒ 5 ‒ 4x
Multiplicera in i parentesen i vänster led. Ta bort parenteserna. Subtrahera i båda leden med 4x.
x ‒ 25 ‒5 x ‒ 25 + 25 ‒5 + 25
Addera i båda leden med 25.
x 20 HL 4 · 20 ‒ 5 80 ‒ 5 75
Q
Prövning: VL 5(20 ‒ 5) 5 · 15 75
Q
Olivia är 20 år och farmor är 80 år. Tillsammans är de 100 år.
svar: Olivia och hennes farmor är tillsammans 100 år.
108
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 108
2017-06-29 15:32
öva ii 2084
2085
* 2086
· flera förmågor
I en rektangel är längden dubbelt så lång som höjden. Rektangelns omkrets är 36 cm. a) Rita figur och inför beteckningar. b) Beräkna rektangelns sidor. c) Beräkna rektangelns area. Summan av tio på varandra följande heltal är 9875. Vilka är talen? Till deltagarna i ett långlopp har man beställt 200 tröjor till en kostnad av 4 700 kr. Anmälningsavgiften för deltagarna är 50 kr. Vilket är det minsta antal deltagare som måste anmäla sig för att täcka kostnaden för tröjorna?
* 2087
Starta med ett tal, dubbla talet och addera 1. Dividera ditt svar med ett tal som är ett mindre än ditt starttal för att få slutresultatet. Vilket är starttalet om slutresultatet är 4?
* 2088
Om 8 år kommer Wille att vara tre gånger så gammal som han var för 12 år sedan. Hur gammal är Wille nu?
* 2089
Moa har hittat en ask med gamla 2-öringar och 5-öringar. Asken innehåller 50 mynt till ett värde av 1,81 kr. Hur många fler 5-öringar än 2-öringar finns det i asken?
* 2090
Vera tänker på två tal vars summa är 144. Summan av två gånger det minsta talet och fyra gånger det största talet är 444. Vilket är det minsta talet? T
* 2091
Summan av nio på varandra följande udda tal är 9. Bestäm det minsta talet.
** 2092
I en triangel är vinklarna u°, v° och w°. Bestäm triangelns vinklar om v är hälften så stor som w och om u är medelvärdet av v och w.
** 2093
Under en skoldag var två tredjedelar av tiden lektioner, en fjärdedel av tiden håltimmar och 35 minuter var lunchtid. När slutade skoldagen om den började 8.30?
** 2094
Alfred och Peter jämförde sina inkomster under de två senaste åren. Förra året tjänade Alfred dubbelt så mycket som Peter. I år tjänade Peter dubbelt så mycket som Alfred. Totalt har Alfred tjänat 49 000 kr under de två åren. Det är 7 600 kr mindre än Peters inkomst under samma tid. Hur hög var Alfreds inkomst under förra året?
** 2095
I en likbent triangel är skillnaden mellan den största och den minsta vinkeln 6°. Bestäm största möjliga vinkel i triangeln.
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 109
109
2017-06-29 15:32
** 2096
För en talföljd bestående av sex tal gäller följande. 1. Varje tal efter det andra talet är summan av de två föregående talen. 2. Det sista talet är fyra gånger det första. 3. Summan av de sex talen är 13. Bestäm det första talet.
** 2097
I ett stort akvarium finns 140 fiskar av olika arter. Om man skulle fylla på med 30 fler guldfiskar, så fördubblas andelen guldfiskar. Hur många guldfiskar finns det i akvariet?
** 2098
Vinklarna i en fyrhörning förhåller sig som 1:2:3:4. Bestäm fyrhörningens största vinkel. T
Gruppaktivitet 29
magisk stjärna Figuren visar en magisk stjärna bestående av sex rader med fyra cirklar i varje rad. För en magisk stjärna gäller att talen i de fyra cirklarna i varje rad har samma totalsumma. Talen i den här magiska stjärnan är tolv olika primtal. Fem primtal är inskrivna, inklusive det minsta och det största. Q
110
1
p
3
67 5 6
73
41
47
Bestäm primtalet p.
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 110
2017-06-29 15:32
Teorigenomgång
Linjära olikheter
I en linjär ekvation är det ett likhetstecken mellan vänster led och höger led. I en linjär olikhet ersätts likhetstecknet med ett olikhettecken. De tecken som kan förekomma är: > större än ≥ större än eller lika med < mindre än ≤ mindre än eller lika med. Eleverna vill veta hur många korgar de måste sälja för att få en vinst på minst 5 000 kr. Korgarna säljs för 150 kr och kostnaderna är 9 000 kr. Detta kan lösas med en linjär olikhet. Vi tecknar 150x ‒ 9 000 ≥ 5 000 (tecknet ≥ utläses ”större än eller lika med”), där x är antalet sålda korgar. Tidigare i detta kapitel finns en övning om ett UF-företag och julkorgar.
olikhettecken > större än ≥ större än eller lika med < mindre än ≤ mindre än eller lika med
Algebraisk lösning av en olikhet Hur många korgar måste eleverna sälja för att få en vinst på minst 5 000 kr? lösning: Vi löser olikheten 150x ‒ 9000 ≥ 5000 algebraiskt. 150x ‒ 9000 ≥ 5000
Addera 9000 till båda leden.
150x ‒ 9000 + 9000 ≥ 5000 + 9000 150x ≥ 14000
Dividera med 150 i båda leden.
150x 14000 Förkorta med 10. ≥ 150 150 1400 x≥ 15 1400 ≈ 93,33 15 Eftersom antalet korgar måste vara ett heltal så blir det minst 94 korgar. svar: Minst 94 korgar måste säljas.
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 111
111
2017-06-29 15:32
Markering av en olikhet på en tallinje a) Visa olikheten x < 1 grafiskt på en tallinje. b) Visa olikheten x ≥ 2 grafiskt på en tallinje. lösning: a) Alla tal som ligger till vänster om talet uppfyller olikheten x < 1. Talet 1 markerar vi med en ofylld ring eftersom x inte kan vara lika med 1.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
b) Alla tal som ligger till höger om talet 2, och talet 2 självt, uppfyller olikheten x ≥ 2. Talet 2 markerar vi med en fylld ring eftersom x kan vara lika med 2.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
Olikhet med variabler i båda leden Lös olikheterna algebraiskt och markera lösningarna på tallinjer. a) 7 ‒ 2x ! 9 + 3x
b) 2(x ‒ 3) + 11 ≤ 4x
lösning: a) 7 ‒ 2x ! 9 + 3x
Addera 2x till båda leden eftersom det är flest x i HL.
7 ‒ 2x + 2x ! 9 + 3x + 2x 7 ! 9 + 5x
Subtrahera 9 från båda leden.
7 ‒ 9 ! 9 + 5x ‒ 9 ‒ 2 ! 5x
Dividera med 5 i båda leden.
–2 5x 5 5 2 x − 5 2 x <− 5
2 De två olikheterna − 2 x och x < − betyder samma sak, 5 5 men man ska svara med x i vänsterledet.
x < –0,4 –1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
x
112
40696670_e1c.indb 112
2017-06-29 15:32
b) 2(x ‒3) + 11 ≤ 4x
Multiplicera in 2 i parentesen.
(2x ‒ 6) + 11 ≤ 4x
Ta bort parentesen.
2x ‒ 6 + 11 ≤ 4x 2x + 5 ≤ 4x
Subtrahera 2x från båda leden.
2x + 5 ‒ 2x ≤ 4x ‒ 2x 5 ≤ 2x
Dividera med 2 i båda leden.
5 2x ≤ 2 2 5 ≤x 2 5 x≥ 2 x ≥ 2,5
–1
Svar i bråkform med x i vänsterledet. Svar i decimalform med x i vänsterledet.
0
svar: a) x –
1
2 5
2
3
4
5
x
b) x ≥ 2,5
Ofta löser man olikheter på samma sätt som man löser ekvationer men det finns ett undantag. Om man multiplicerar eller dividerar leden i en olikhet med ett negativt tal måste man samtidigt vända på olikhetstecknet. Vi visar med ett exempel vad som händer om man inte vänder på olikhetstecknet: ‒3<6
Multiplicera båda leden med –2.
(‒3) · (‒2) < 6 · (‒2)
Förenkla.
6 < ‒12
Olikheten gäller inte längre!
För att inte få denna felaktighet måste man vända på olikhetstecknet när man multiplicerar en olikhet med ett negativt tal: ‒3 < 6
Multiplicera båda leden med –2 och vänd på olikhetstecknet.
(‒3) · (‒2) > 6 · (‒2)
Förenkla.
6 > ‒12
Olikheten gäller!
Vid multiplikation eller division med negativa tal i en olikhet vänds olikhetstecknet. a < b men –ka > – kb, k > 0
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 113
113
2017-06-29 15:32
Division med negativt tal i en olikhet Lös olikheten 5 ‒ 2x ! 3 lösning: 5 ‒ 2x ! 3
Subtrahera i båda leden med 5.
‒2x ! 3 ‒ 5 ‒2x ! ‒2
Dividera I båda leden med –2 och vänd på olikhetstecknet.
− 2x −2 < −2 −2 x<1 För att slippa division/multiplikation med negativt tal är följande lösningsmetod att föredra: 5 ‒ 2x ! 3
Addera i båda leden med 2x.
5 ! 3 + 2x
Subtrahera i båda leden med 3.
2 ! 2x
Dividera I båda leden med 2.
1!x x 1 svar: x 1
öva i 2099
2100
· begrepp och procedur Förklara med ord samt illustrera på en tallinje följande olikheter a) x > 2 b) x ≤ 10 c) x ≥ –3 d) x < –5
Lös olikheterna och markera lösningarna på tallinjer. a) 2x + 1 > 7 b) 3x – 2 ≤ 10 c) 13 + 5x < 5 d) 0 > 12 + 18x
2102
Lös olikheterna och markera lösningarna på tallinjer. a) 9 – 2x < 1 b) 7 – x > 5 d) –2x – 2 > 4 c) 20 ≤ 14 – 3x
2103
Lös olikheterna a) 1 + 5x < 2x + 13 b) x – 3 ≥ 4x + 6 c) 3x – 4 ≤ 5x – 7 d) 11x + 9 > 3x + 5
Vilken olikhet är markerad på tallinjen? a) –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
b) –5 –4 –3 –2 –1 0
114
2101
x
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 114
2017-06-29 15:32
2104
2105
Lös olikheterna a) 5x + 24 > 3 – 2x b) 3 – 2x ≥ 9 + x c) 2 – 3x > 5x – 4 d) 12 + 7x ≤ 13x Lös olikheterna a) –6x – 10 > – 2x b) 20 – x ≤ 5 – 2x c) 3 – 7x ≥ 5 – 9x d) –3x < 25 –13x
öva ii 2106
· flera förmågor
Att hyra en tennisbana kostar 290 kr per timme. Om man köper ett årskort för 600 kr kostar det 220 kr per timme. a) Ställ upp en olikhet som visar när ett årskort lönar sig. b) Hur många gånger måste man minst hyra tennisbanan för att ett årskort ska löna sig?
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 115
115
2017-06-29 15:32
* 2107
Ett telefonbolag tar 160 kr/månad i abonnemangsavgift. Dessutom kostar det 80 öre per minut att ringa. Hur många minuter per månad kan en familj ringa om kostnaden inte får överstiga 600 kr/månad?
* 2108
Lös olikheterna a) 3 + 4x ≥ 6(x – 1) – x b) 2(x – 8) – 3x < –8 c) 4(x + 7) – 5(x – 3) ≤ 0 d) 7 – (x – 9) > 12 + (x – 5)
* 2109
Lös olikheterna x −3 a) 5≤9 3 1 1 (4 − x ) b) (3 − x ) 2 3 c) 2x + 3 ≥ –x + 6 d) x – 2 < –3x + 2
* 2110
Din klasskompis har löst olikheten 3x + 2 > 6x – 4 (se nedan). Han har fått veta att han inte har gjort rätt, men kan inte hitta felet i sin lösning. Hjälp honom genom att ange var han har gjort fel och beskriv hur han kan rätta till felet. 3x + 2 > 6x – 4 3x – 6x > – 2 – 4 –3x > – 6 3x > 6 (NP, MaB, ht 1998) x>2
* 2111
För vilka reella tal x är värdet av uttrycket 5x − 9 större än värdet av uttrycket 15 − 3x?
x 1< x 1 + ≤ 3 4 6 ** 2113 För vilket värde på konstanten a har olikheten ax + 4 ≤ – 12 lösningen x ≥ 2?
* 2112
Lös olikheten
Ord och begrepp Koll på avsnittet
Gruppaktivitet 1
talpar Undersök vilka naturliga talpar (x, y) som uppfyller olikheten 2x + 3y 10. Med naturliga talpar (x, y) menas att x och y är naturliga tal.
116
3 5 6
k apitel 2 ; algebr a
40696670_e1c.indb 116
2017-06-29 15:32
utmaning bestäm åldrar I en familj på fyra personer, två föräldrar och deras två barn, är den sammanlagda åldern 174 år. Om de fyra familjemedlemmarnas ålder kan man göra följande iakttagelser: Mellan de två äldsta familjemedlemmarna skiljer det fem år. Q Mellan de två yngsta familjemedlemmarna skiljer det nio år. Q En ålder är ett primtal. Q En ålder är en potens av 2. Q Två av åldrarna är delbara med 3. Q Föräldrarna är tillsammans mer än dubbelt så gamla som sina barn. Q Alla åldrarna är tvåsiffriga. Q
1 2 3 5 6
Bestäm de fyra familjemedlemmarnas åldrar.
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 2.2 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 Om a > b så är ‒a > ‒b.
5 6
2 Om x
a så är ‒x ‒a
3 Om x + a 4
b så är x ‒ b a.
Om x + a b så är b ‒ x a.
40696670_e1c.indb 117
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
2017-06-29 15:32