9789147019236

Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet.

Tal & Rum är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier.

Författargruppen består av gymnasielärare, lärar­ utbildare och en matematikprofessor.

www.liber.se

tal & rum Mate mati k

tal & r u m

tal & rum

Ki m mo E r i ksson • lasse B e rg lu n d • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

Best nr 47-01923-6 Tryck nr 47-01923-6

S A

S ABC

li b e r

Mate mati k

tal & S rum KURS

A

Ki m mo E r i ksson • lasse B e rg lu n d • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

li be r

Tal&Rum S - s 1-4 - inledn.indd 1

07-04-02 11.08.24

Till lärare och elever Tal & Rum är en lärobokserie i matematik för gymnasium och komvux. Serien har ett spår för Natur/Teknik och ett spår för Samhällsprogrammet och övriga studieförberedande program. Till serien hör också extra material för lärare och elever som publiceras på Libers webb.

Matematikämnet utmärks av att det är uppbyggt i nivåer som hänger samman på ett enastående sätt.

I den här serien försöker vi betona sammanhanget – det är lättare att studera matematik på nästa nivå om man ser hur det hänger ihop med det man redan lärt sig.

Matematiken hänger ihop även ”på bredden” – det finns ett sammanhang mellan aritmetik, algebra och geometri. Om man förstår detta sammanhang blir alla delar av matematiken enklare. För att visa matematikens struktur och hur allt hänger ihop använder vi oss i Tal & Rum av en hel del resonerande text samt ordentliga definitioner, satser och ibland bevis.

Kunskaper i matematik krävs särskilt på naturvetenskapliga, tekniska och ekonomiska högskoleutbildningar. Men matematik ger ett språk och ett sätt att tänka som man har nytta av inom alla ämnen. Över huvud taget är det centralt med tänkande i matematik. Visst kan man lära sig ett antal exempel på hur man använder matematiska verktyg – men genom att också förstå själva verktygen blir de användbara i många fler situationer än vad exemplen täcker.

Bokens övningar Som ni kommer att märka så innehåller boken uppgifter av många olika slag, sorterade under rubrikerna Övningar, Begrepp, Resonemang och Problemlösning. Uppgifterna är genomtänkta och utvalda för att i stigande svårighetsgrad belysa och träna både metodfärdighet, begreppsbildning och tankeförmåga. Uppgifter som kräver lite extra tankearbete är märkta med .

Sist i varje kapitel finns repetitionsövningar och ett avsnitt med blandade problem. Utöver rent matematiska uppgifter rymmer boken gott om til�-

Tal&Rum S - s 1-4 - inledn.indd 3

lämpningar, både allmänbildande och programspecifika. På Libers Webb för Tal & Rum finns flera extra fördjupningsavsnitt.

Svar med kommentarer Längst bak i boken finns svar till alla övningar. När det krävs ett resonemang presenterar vi ofta hela resonemanget, inte bara svaret. Då och då kan det också finnas ledtrådar om man kör fast.

Matematik i den verkliga verkligheten För att visa på matematikens användbarhet har vi sist i boken ett speciellt kapitel om Tillämpad matematik. I avsnitt om t.ex. privatekonomi och samhällsekonomi tillämpas och fördjupas stoff som behandlats i tidigare kapitel.

Användning av digitalt stöd För att ge ökade möjligheter till variation och individualisering av studierna har Liber också ett datorstöd, matteboxen. I rätt sammanhang är datorer och moderna räknare fantastiska hjälpmedel. Man kan arbeta snabbare och utföra mer omfattande och realistiska beräkningar än vad som annars vore möjligt. Matteboxen är ett i Europa väl utprövat programpaket med ett antal moduler inom områdena grafer/funktioner, statistik och sannolikhetslära. Här finns bl.a. ett antal träningsmoduler och ett antal simuleringar/experiment. I läroböckerna ger vi en del exempel på hur matteboxen kan användas. Datafiler, arbetsövningar, laborationer mm kommer på Libers Webb för Tal&Rum.

Tack för synpunkter Författarna vill tacka alla de hjälpsamma personer – bl.a. Henrik Eriksson, Andreas Ryve, Olle Häggström och Jonas Sjöstrand – som har läst och gett synpunkter på olika delar av manuset. Har även du synpunkter på hur boken kan förbättras? Då är du varmt välkommen att lämna dem på Liber. Adress hittar du på föregående sida.

07-04-02 11.08.26

Innehåll 1 Vad är matematik?

5

Matematik är mer än att räkna 6 Hur beskriver man tal? 7 Hur beskriver man rum? 12 Vad är en metod? 16 Vad är ett begrepp? 20 Vad är ett resonemang? 23 Vad är problemlösning och modellering? 27

2 Tal och räknesätt

33

Taluppfattning 34 Plus och gånger med positiva heltal 37 Potenser av positiva heltal 40 Subtraktion och negativa tal 43 Division och rationella tal 47 Potenser med allmänna exponenter 56 Ekvationer 60 Från ”ett, två, många” till reella tal 64 Repetition av kapitlets begrepp 67 Repetitionsövningar 68 Blandade problem 71

3 Numerisk räkning

73

Exakta tal och approximationer 74 Överslagsräkning 78 Översikt av olika sätt att skriva tal 81 Tiopotensform 83 Procent 89 Förändringsfaktor 93 Repetition av kapitlets begrepp 96 Repetitions­övningar 97 Blandade problem 98

4 Geometri

101

Vinklar 102 Area 108 Volym 119 Skala 131 Likformighet 134 Pythagoras sats 138 Fördjupning: Trigonometri 142 Repetition av kapitlets begrepp 148 Repetitionsövningar 149 Blandade problem 152

5 Samband i matematiken

155

Samband 156 Formler 157 Koordinatsystem 165 Funktioner 173 Några viktiga typer av funktionssamband 179 Använda Grafhuset 189 Repetition av kapitlets begrepp 193 Repetitionsövningar 194 Blandade problem 197

6 Statistik

199

Antal och andelar, tabeller och diagram 200 Insamling och Sammanställning av statistik 207 Medelvärde och median 213 Spridning 222 Repetitionsövningar 228 Blandade problem 231

7 Tillämpad matematik

235

Lån 236 Fonder och index 247 Hastighet 253 Avstånd och tid på Jordklotet 256

Svar med kommentarer 261

Tal&Rum S - s 1-4 - inledn.indd 4

07-04-02 11.08.27

Vad är matematik?

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 5

1

I gymnasiet blir matematikämnet mer omväxlande och roligt. Det gäller inte längre bara att räkna, du måste tänka också! Matematik är en mäktig medhjälpare när man ska lösa problem i verkliga livet, och gymnasiekursen ska hjälpa dig att ta makten över matematiken.

Men vad är matematik? Det ska vi försöka besvara här i kapitel 1. Läs noga!

Här läggs grunden till gymnasiekursen.

07-04-02 11.09.28

Kapitel 1 vad är matematik?

Matematik är mer än att räkna Matematik handlar om alla tänkbara aspekter på talen, bland annat: • hur man kan skriva tal, t.ex. –17, 106, π • egenskaper hos tal, t.ex. att 17 är ett udda heltal • hur man räknar med tal och bokstäver, t.ex. att 17x · 2 = 34x Men matematik innefattar också geometri, dvs. läran om rummet: • hur man beskriver lägen, t.ex. punkten (3, −2) • hur man beskriver figurer, t.ex. cirklar och rektanglar • storheter som avstånd, ytor och volymer, t.ex. cirkelns area

y 3

Utgående från talen och rummet har matematiken byggts på under årtusenden av mänsklig aktivitet. Det finns nu mycket mer matematik än vad någon enskild människa behärskar! Den kan delas upp i olika områden som talteori, geometri, algebra, sannolikhetslära, etc. Men inom varje område kan man urskilja samma fyra aspekter på matematik:

2 1 0

1

–1

2

3

4

5

x

(3, –2)

–2

Metoder – hur man gör för att lösa uppgifter.

Lägen beskrivs enkelt i koordinatsystem sid 13.

Begrepp – termer som man är överens om precis vad de betyder.

Resonemang – logiska förklaringar.

Problem och modellering – svåra frågor om verkligheten.

Exempel

1.1 Om övningar

För att du ska se att du arbetar med alla fyra aspekter av matematik är uppgifterna i denna bokserie uppdelade under fyra rubriker: • Övningar (vanliga metoduppgifter) • Begrepp • Resonemang samt • Problemlösning & modellering.

Olika aspekter

Para ihop följande frågor med rätt aspekt på matematik. a) Vad menas med att ett tal är jämnt? b) Hur kan man veta att summan av två udda tal alltid blir jämn? c) Räcker en kronas skattehöjning till en fördubbling av lärarlönerna? d) Hur gör man för att dra 18 från 94?

Lösning:

a) jämna tal är ett begrepp b) förklaring kräver ett resonemang c) frågan är ett problem (som kräver modellering) d) att dra 18 från 94 kräver en metod

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 6

07-04-02 11.09.29

Hur beskriver man tal?

Hur beskriver man tal?

För att man ska kunna arbeta med tal måste man ha namn på dem. Det tog lång tid av utveckling innan man fann det smarta sättet att beteckna tal som vi använder nu. Länge skrev man tal bara med ett antal streck: I = 1, II = 2, III = 3, etc.

Detta är praktiskt för små tal, men opraktiskt för större tal. Vad gör man?

Jo, man inför nya symboler! Samma idé dök upp i olika kulturer. Till exempel ansåg romarna att tiopotenser (10, 100, 1000) och hälften av tiopotenser (5, 50, 500) var särskilt viktiga tal och utvecklade därför de romerska siffrorna som du säkert känner till: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 Också i det gamla Egypten använde man symboler för tiopotenser. Där såg symbolerna ut så här:

=1

= 10 000

= 10

= 100

= 100 000

Egyptiska talsymboler. Värdet beror inte på positionen.

Att just tio och fem är viktiga tal i flera kulturer beror på att människan har fem fingrar på varje hand.

= 1 000

= 1 000 000

betyder 230 000.

Med dessa symboler kunde romare och egyptier enkelt skriva stora tal.

Fortfarande återstod dock vissa problem, till exempel att man för varje ny tiopotens måste komma överens om en ny symbol. Dessutom var det mödosamt att utföra multiplikation och division i dessa system. Försök tänka efter hur det skulle vara att multiplicera XXXVI · LIIII För att lösa dessa problem har flera kulturer kommit på den snillrika idé som kallas positionssystem. I ett positionssystem kan samma symbol ha många olika värden beroende på dess position i talet.

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 7

07-04-02 11.09.34

Kapitel 1 vad är matematik?

Troligen var det mayafolket i Centralamerika som utvecklade det första positionssystemet. Mayafolket använde basen tjugo, dvs. det fanns symboler för talen 0 till 19 och värdet av en symbol blev tjugo gånger större om den stod ovanpå ett annat tal.

decem är tio på latin

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Mayafolkets positionssystem. En position upp betyder tjugo gånger större tal.

Det system som numera används över nästan hela världen har basen tio, och kallas därför det decimala systemet. Ursprungligen utvecklades det av indiska matematiker på 500-talet. Symbolerna för talen noll till nio vidareutvecklades av arabiska matematiker och kallas nu för arabiska siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Arabiska siffror från 1000-talet. Som du ser har de fortsatt att utvecklas sedan dess.

Tiopotenser 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 etc.

Mayafolket ställde sina symboler ovanpå varandra, men i det decimala systemet skriver vi siffrorna bredvid varandra. Varje steg till vänster innebär multiplikation med tio, och därför står varje siffra för en viss tiopotens.

Som tur är har svenskans sätt att benämna tal blivit nästan helt anpassat till det decimala systemet. Vi har ord för siffrorna och för vissa tiopotenser (tio, hundra, tusen, miljon, etc.). Namn på andra tal bildas med hjälp av dessa grundläggande ord.

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 8

07-04-02 11.09.36

Hur beskriver man tal?

Danska språket har ibland basen tjugo istället: 60 = ”tres” 80 = ”firs”.

Inte lika praktiskt!

Exempel

1.2

Decimala systemet

Hur skriver man talet åttahundrasextiotre i det decimala systemet?

Lösning: Som tur är har svenskans sätt att benämna tal blivit nästan helt anpassat till det decimala systemet.

863 = 8 · 100 + 6 · 10 + 3

åtta

hundra

sex

tio tre

Övningar på talsystem 1.3

Skriv som vanligt decimaltal: a) XIII b) MMVII

1.4

1.5

1.6

1.7

Skriv som vanligt decimaltal: a) MDXXXII b) DCLXVI

Skriv med Mayafolkets siffror: a) sexton b) tjugofem

1.8

Skriv med romerska siffror: a) etthundraelva b) tvåtusentrehundrasjuttiosju

Skriv med Mayafolkets siffror a) etthundraelva b) femhundra

1.9

Skriv med siffror: a) tvåtusentrehundrasjuttiosju b) hundratusenelva

Skriv med romerska siffror a) femtiotre b) femhundratrettio

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 9

07-04-02 11.09.45

Kapitel 1 vad är matematik?

1.12 I mayafolkets talsystem är det viktigt att

Begrepp

skilja på två prickar direkt ovanpå två streck och två prickar en bit ovanför två streck.

Varför?

1.10 För vissa heltal är de svenska namnen inte

särskilt väl anpassade till decimalsystemet.

Vilka tal skulle egentligen uttalas ”ettiotre” och ”tvåtioett”?

1.13 Även med romerska siffror spelar positionen

1.11 Till Europa kom siffrorna från araberna, och

därför kallas de arabiska siffror. Men var utvecklades siffersystemet ursprungligen?

en viss roll, nämligen att om en liten siffra kommer före en stor siffra ska den subtraheras och inte adderas. T.ex. är IV = 5 – 1 = 4.

Vad betyder MCMXCIX?

Egenskaper hos det decimala systemet I text skrivs små tal ofta med bokstäver, t.ex. ”tio” i stället för 10.

Det decimala systemet bygger på att varje steg åt vänster innebär multiplikation med tio. Därför är det alltid extra enkelt att multiplicera med tio. exempel

Multiplikation med tio

1.14 Multiplicera 863 med tio.

Lösning: Vi ska flytta alla siffrorna i talet ett steg till vänster, och det gör vi genom att stoppa in en nolla sist: 863 · 10 = 8630

Ett steg åt vänster betyder multiplikation med 10.

Ett steg åt höger betyder då division med 10.

Om man vill dividera med tio måste man kunna fortsätta till höger om entalssiffran! Därför har man infört decimalkomma. Genom att sätta ett komma efter entalssiffran markerar man att efterföljande siffror står för tiondelar, hundradelar, etc.

0, 25 =

2 5 + 10 100

Ett annat sätt att tolka 0,25 är som tjugofem hundradelar, alltså

0, 25 =

25 100

Båda har rätt!

10

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 10

07-04-02 11.09.46

Hur beskriver man tal?

exempel

Decimaler

1.15 Förklara varför 0,25 är en fjärdedel.

Lösning: Fyra fjärdedelar är ett. Vi ska alltså visa att fyra gånger 0,25 blir 25 100 ett: 4 ⋅ 0, 25 = 4 ⋅ = =1 100 100 Varje steg åt höger från decimalkommat innebär division med tio. Därför är det alltid enkelt att dividera med tio.

Exempel

Division med tio

1.16 Dividera 863 med tio.

Lösning: Vi ska flytta alla siffror i talet ett steg till höger, och det gör vi genom att stoppa in ett decimalkomma före sista siffran:

863 = 86,3 10 Övningar på decimalsystemet 1.17 Skriv följande tal på decimalform:

a) åtta tusendelar b) en femtedel c) fyrtiofem hundradelar d) fem fjärdedelar 1.18 Utför följande multiplikationer i huvudet.

a) 10 · 20 c) 100 · 41

b) 10 · 91,5 d) 1000 · 2,12

1.19 Utför följande divisioner i huvudet.

a) 400/10 c) 7,1/100

b) 873/10 d) 33/1000

1.24 Motivera hur man ska göra för att ett tal

med decimalkomma (t.ex. 43,75) ska bli exakt tio gånger större.

1.25 Motivera hur man ska göra för snabbt divi-

dera ett tal med tio. (Observera att det finns två olika fall.)

1.26 Förklara varför 0,2 är en femtedel.

1.27 Förklara varför 0,04 är en tjugofemtedel.

1.28 Förklara varför 0,375 är tre åttondelar.

Problem

Begrepp

1.20 Beskriv hur decimalsystemet fungerar för att

beskriva heltal.

1.21 Vilken funktion har decimalkommat?

1.22 Hur många gånger större blir ett tal, som

inte är ett heltal, om man lägger till en nolla sist i talet?

Resonemang

1.29 När man byter plats på siffrorna i ett tvåsiff-

rigt tal är förändringen alltid delbar med nio.

Om vi t.ex. utgår från 64 och byter plats får vi 46. Förändringen är 64 – 46 = 18 som ju är 9 · 2. a) Testa att det stämmer även på talen 21, 35 och 82. b) Visa att det stämmer för ett godtyckligt tvåsiffrigt tal med siffrorna a och b.

1.23 Förklara varför ett heltal blir exakt tio

gånger större om man lägger till en extra nolla sist i talet.

11

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 11

07-04-02 11.09.47

Kapitel 1 vad är matematik?

Hur beskriver man rum?

Vi lever ju i en tredimensionell värld med längd, bredd och höjd. Den matematiska motsvarigheten kallas för det tredimensionella rummet. Ett plan är ett tvådimensionellt rum, och en linje är ett endimensionellt rum. Ett endimensionellt rum har bara utsträckning i en ledd, som en gata.

För att ange läget på en gata räcker det med ett tal, gatunumret, som talar om hur långt man ska gå längs gatan.

Ett tvådimensionellt rum har utsträckning i två ledder, som en stad med flera gator. För att ange ett läge i en stad måste man tala om två saker: gatunamn och gatunummer.

Ett tredimensionellt rum har utsträckning i tre ledder, som ett stort sjukhus.

För att ange läge för ett visst rum måste man tala om tre saker: våningsplan, korridor och salsnummer.

1 C2

2 3 4 A

B

C

En lägesbeteckning kallas för en koordinat. För att ange ett läge i ett plan, t.ex. på en karta, behövs alltså två koordinater. I kartböcker ser man ofta att kartan är indelad i rutor, där raderna är numrerade och kolumnerna angivna med bokstäver. Eftersom C är den tredje bokstaven anger koordinaterna C2 den tredje rutan i andra raden.

12

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 12

07-04-02 11.09.49

Hur beskriver man rum?

Avstånd och koordinatsystem På kartor och schackbräden använder man bokstäver som koordinater, men i matematik använder man i allmänhet bara tal. På en linje kallas punkten med koordinat noll för origo. Koordinat 1 finns på avståndet 1 från origo på linjens positiva sida, medan koordinat −1 är lika långt från origo på andra sidan. Avståndet mellan två punkter på en linje är differensen mellan höga och låga koordinaten.

Definition

Avståndet mellan två punkter på en linje är differensen mellan höga och låga koordinaten.

exempel

Avstånd på linje

1.30 Två punkter på en linje har koordinater –1 respektive 2. Vad är avståndet

mellan punkterna?

Lösning: Avståndet är 2 – (–1) = 3 som figuren visar. avstånd = 3 –2

–1

0

1

2

3

När man har två koordinater brukar man skriva (x, y) där x är läget i sidled och y är läget i höjdled, mätt från origo. Koordinaterna (5, 4) anger då läget för den punkt som ligger fem steg åt höger och fyra steg uppåt från origo. y-axel

(5, 4)

4

Fem steg åt höger, fyra uppåt

3 2 1

origo

1

2

3

4

5

Den smarta idén att använda tal för att beskriva rum kommer från René Descartes (1596–1650), fransk filosof som dog i Stockholm!

x-axel

Detta brukar kallas för ett koordinatsystem för planet. Genom att lägga till en z-axel riktad ut ur papperet kan man på samma sätt beskriva lägen i ett tredimensionellt rum.

13

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 13

07-04-02 11.09.54

Kapitel 1 vad är matematik?

Exempel

Avstånd mellan punkter

1.31 Vad är avståndet mellan punkterna (1, 1) och (5, 4)?

Lösning: Om koordinatsystemet ritas upp på papper med centimeterstora rutor kan vi helt enkelt mäta avståndet till fem centimeter med en linjal.

Alternativt kan man beräkna avståndet som längden av hypotenusan på en rätvinklig triangel med sidorna 4 och 3. Pythagoras sats (se kapitel 4) ger hypotenusans längd.

(5, 4)

4

(5, 4)

4

6 5

3 2 1

3

4 3

(1, 1)

3

2

2

(1, 1)

1

1

4

0

1

exempel

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Avstånd längs gator

1.32 På Manhattan i New York går avenyer i nord-sydlig riktning och gator i

öst-västlig riktning. Du befinner dig i korsningen mellan första avenyn och första gatan. Du ska gå till korsningen mellan andra avenyn och fjärde gatan. Hur många kvarterslängder måste du gå?

Broad way

Av e n ue

Av e n u e

Fi r s t

Sec ond

Av enu e Third

St. S t.

R

ow

Lafa yett e C en tre

rk

Broadw ay

Pa t.

ay

lS

hw H ig

ar

Pe

ue en Av

so

ck

Ja

S t.

ia l

erc

hw

tt

.

an

Br

BROOKLYN id

ge

dge

Str vy .

Av Na in g Broo sh kly F lu . n Q .w ueens Exp

Til

la r

y

et

BROOK LY N H EIGHT S

re

E le

va

te d

t

ee

mm

Av. Park

Lexington

Ave n u e

Ave n u e

Ave n u e Tr inity

Co

the

of

S tr

et

n B ri

ig

ha

St

t

er

re

an

er

St

at

ue et

M

at

ay

ee

W

d

en

ar

Fif t h

ev

re

We st Broadwa y Church Street

ul

St

St

Place

Bo

Av

t

Seventh

es

an in

es

kl

W

an

Avenue

nn tt

Fr

Ninth

ui

Ave nue

G ha

St.

o k ly

ed

ge bu rg Brid

et

s et am re Ad St n lto Fu ee t He nry Str

St .

er

e

t va

e tr

W

p Brooklyn Queens Ex

nw ich

v a rd

Gr ee

u le

av

an

t.

Bo

DISTRICT

M

S

El

B ro

FINANCIA L Jo hn St .

Li be rt y S t.

W al l St .

c

Ave nue

M

Te n th

rd

Wes t S i d e H i g h w a y

le va

Elventh

t

B ou

ne

ri n

City Hall Woolworth Building

Be

H

ri

Ma

St.

S

Seward Park on is ad M

CHINA TOWN he

z

y

Stre et

Canal St.

at

no

et

t

Str eet

SIDE

C

Mu

S re

Gran d

S tr ee

World Trade Center

S tr ee

is

Ave nue

ery Mo ntg om

rr a

n

non

al

rive lt D

C an

Mu

Del anc ey

Broo me St. ITALY

TRIBECA

ve

n el

Wi llia ms

EAST

Str eet

Tu n

se

t. k S

LITTLE

Fish Park

LOWER

St.

SOHO

ri c

an d

ie Ch ry st er y

Va

H o ll

Str eet

Ho ust on Hamilton

Eas t

St.

Al le n

r

W. Housto n

Street

10th Street To mpkins square Park East 5th Street

East

EAST VILLAGE

Bo w

St

ay

Lu

New ark

East 14th

st

nue

Wa lker Park

.R oo

D

park

er Riv

Wa shington

in

GREENWICH

VILLAGE Square

We

A ve

t. . S 1 4 th S t. th .

12

ra

nue

Ho

West 14th Street 14th St. .

St U nion Square tio

GREENPOIN T

kl

Park

t S tr eee t e S tr

a

We st 20th St.

Av e

lo w

ew

rig hw er veH

East 23rd Street G armency park East 20th St.

4 th

W il

N

bs r kO

East 30th Street Bellevue H ospital East 25th Street

nion MANHATTAN USquare

t e e S tr ee t S tr o n w ic h ds H u G re e n t ee

so n H u d in g to n h W as

Problemet är det­samma som att finna längden av en vandring i ett koordinat­system från punkten (1, 1) till (2, 4) när man bara får gå parallellt JERSEY med koordinat­axlarna. I x-led CITY blir vandringen 2 – 1 = 1 steg lång, och i y-led 4 – 1 = 3 steg.

Totalt 1 + 3 = 4 kvarter.

East 34th St.

M adison Sq. Park

We st 23rd St.

Tu nn el

QUEENS

an

St .

CHELSEA

We st 25th St.

Mi dto wn

Fr

uc t

HILL

y

Vi ad

Qu ee ns

MURRAY

wa

5

ad

4

Station

Bro

3

GARMENT DISTRICT

United Nations

East 45th Street

East 4 2n d Street New York Street Public LibraryEast 40th

42nd St. We st Ti mes Square 40th Street

r Rive

2

son

1

Ti mes Square

34th St. Penn Station West 34th Street Pennsylvania Empire Station State We st 31st St. Building We st 30th St. Chelsea Park Penn

Hud

x

Street

S t.

Ver

Rockefeller

East

(1, 1)

42nd

D ri ve

45 th

East 50th Street

11 th

L in co ln Tu n n el

We st 45th Street 42nd St. Port Authority

West

B ridge

Roosvel t Island

THEATER Center DISTRICT

3

1

Queensboro

Street

East 55th Street M useum of M odern Ar t

21 st

We st 50th Street

57th

East Bro adw ay

(2, 4)

4

2

57th Street

We st 55th Street

E i g h t Ave n u e

West

y

Central Park East 60th Street Central park South

We st 60th Street

59th St .

Columbus Circl e

Americas

Lösning:

Livin

e re St Fl

t

at

bu

sh

Av

.

Fulton Street gsto n Street

.w

.

Brooklyn Battery Tu nnel

14

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 14

07-04-02 11.09.58

Hur beskriver man rum?

Övningar på koordinater och rum 1.33 Mona ska till gatunummer 21 men numren

syns dåligt. Hon frågar dig hur långt hon ska gå. Du vet att ni nu står utanför nummer 5, och att gatan på denna sida har udda nummer. Vad svarar du?

1.34 Vilka koordinater har de markerade punk-

terna? y 5 4 3 C

2 1

1.39 Rita ett koordinatsystem där varje steg på

axlarna är två rutor i blocket. Gradera sedan axlarna från –5 till 5. Mät med linjal avståndet mellan punkterna a) (5, 2) och (2, 2) b) (5, 2) och (2, 6) c) (5, 2) och (–3, –4) Begrepp

G

1.40 Vad är skillnaden mellan en linje och ett

plan?

B

1.41 Vad är en koordinat?

A H

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5 x

1.42 Hur många koordinater går det åt för att

ange ett läge i planet respektive rymden?

–2 –3 D

–4

E F

–5

1.35 Rita ett koordinatsystem och pricka ut föl-

jande punkter: A = (2, 3), B = (1, – 4), C = (5, 0), D = (–2, –1), E = (0, 1), F = (1, – 2), G = (0, – 4) 1.36 Punkterna (2,3), (–2, 3), (2, –1) och (–2, –1)

bildar en kvadrat. Rita dem i ett koordinatsystem. Vilken koordinat har punkten i mitten av kvadraten?

1.43 Vilken dimension har

a) ett streck (ett linjestycke) b) en rektangelyta c) ett rätblock d) ett klot e) en triangelyta Problem

1.44 Om man befinner sig i en gatukorsning i ett

stort kvadratiskt gatunät, hur många andra punkter (gatukorsningar) kan man nå genom att gå

1.37 Förbind i tur och ordning följande punkter

i ett koordinatsystem. Sista punkten ska förbindas med första punkten. Vilken form bildas? a) (1, 1), (1, 4), (3, 4), (3, 1) b) (2, 2), (0, 0), (2, 0) c) (3, 0), (0, 3), (3, 6), (6, 3) 1.38 Du befinner dig på Manhattan i korsningen

mellan femte avenyn och 34:e gatan (Empire State Building). Hur många kvarterslängder måste du gå om du ska till a) åttonde avenyn, 77:e gatan (Naturhistoriska museet) b) tredje avenyn, 59:e gatan (Bloomingdale’s)

a) ett kvarter bortåt b) två kvarter bortåt (se figur) c) tre kvarter bortåt d) n kvarter bortåt 1.45 Markera i ett koordinatsystem alla punkter

i alla riktningar som ligger exakt på avstånd 1 från punkten (2, 2). Vad blir det för form?

15

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 15

07-04-02 11.09.59

Kapitel 1 vad är matematik?

Vad är en metod?

Många räknemoment behöver man utföra ofta, såsom att multiplicera tal.

Då vill man ha en effektiv metod, dvs. ett beprövat recept att följa för att enkelt och korrekt få fram svaret.

Metoder (och även begrepp, se nästa avsnitt) kan man se som matematiska verktyg som underlättar tankearbetet. Under tusentals år har människor fyllt på en matematisk verktygslåda med bra metoder och begrepp.

Metoder och begrepp är matematiska verktyg. Lär dig att använda dem!

Med de rätta verktygen blir det matematiska arbetet lättare och tankekraft frigörs för svårare frågor på en högre nivå.

Du vet väl att

en matematisk metod också kallas för en algoritm?

Ordet kommer från namnet på den arabiska matematikern al-Khwarizmi som levde på 800-talet.

Att själv komma på en bra metod är inte lätt. Man måste därför lära sig färdiga metoder för olika sorters uppgifter. En del metoder har du lärt dig i grundskolan. Som exempel ska vi repetera algoritmen för multiplikation.

För de gamla romarna var det ju en rejäl utmaning att multiplicera stora tal, men i decimalsystemet går det ganska enkelt om man vet hur man ska göra..

Förkunskapskrav: multiplikationstabellen

·

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4 6 8 10 12 14 16 18

3

9 12 15 18 21 24 27

4

16 20 24 28 32 36

5

25 30 35 40 45

6

36 42 48 54

7

49 56 63

8

64 72

9

81

Det räcker att lära sig halva multiplikationstabellen.

Eftersom tal byggs upp av siffror från 0 till 9 krävs det till att börja med att man kan multiplicera dessa byggstenar. Därför får barn i alla världsdelar lära sig multiplikationstabellen. Har du tänkt på att det räcker att lära sig halva tabellen?

Multiplikationstabellen är symmetrisk kring diagonalen, så den undre triangeln är bara en spegling av den övre. exempel

Multiplikationstabellen

1.46 Vad är 7 gånger 6?

Lösning: I tabellen ser vi att 6 · 7 = 42. Då är även 7 · 6 = 42.

Kan du ge en förklaring? Se övning 1.53.

16

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 16

07-04-02 11.10.01

Vad är en metod?

Multiplikationsalgoritmen för flersiffriga tal Hur räknar man ut 36 gånger 4? Man kan tänka så här:

Dela upp 36 som 6 + 30.

Då kan 36 · 4 skrivas 6 · 4 + 30 · 4.

Vi vet att 6 · 4 = 24.

Vi vet också att 3 · 4 = 12, och därför är 30 · 4 = 120.

Alltså är 36 · 4 = 24 + 120 = 144.

Den här idén för att multiplicera två tal kan sammanfattas i en metod med ett särskilt sätt att ställa upp beräkningen: 1. Varje siffra i första talet multipliceras med varje siffra i andra talet.

2. Varje produkt följs av lika många nollor som summan av siffrornas positioner anger.

3. Alla resultat adderas.

3 · 2 + 1 2 1 4

exempel

6 4 4 4

Ofta skriver man inte ut de tillagda nollorna eftersom de ändå inte påverkar additionen.

2 3 6 · 4 1 4 4

3 · 2 + 1 2 1 4

6 4 4 0 4

Om man håller tungan rätt i mun kan man utföra additionen direkt i huvudet med hjälp av minnessiffra.

Multiplikationsalgoritmen

1.47 Vad är 36 gånger 54?

Lösning: Fler siffror i talen ger fler rader i uppställningen, annars ingen skillnad.

3 6 · 5 4 2 4 1 2 3 0 + 1 5 1 9 4 4

eller, med minnessiffror:

3 2 3 · 5 1 4 + 1 8 0 1 9 4

6 4 4 4

17

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 17

07-04-02 11.10.04

Kapitel 1 vad är matematiK?

multiplikation av tal med decimaler Om talen innehåller decimalkomma är det inget problem. Man kan börja med att multiplicera talen utan att tänka på decimalkommat. Sedan placerar man decimalkommat i svaret så att det blir lika många decimaler som i faktorerna tillsammans. Till exempel blir 3,6 · 5,4 = 19,44:

3 2 3, · 5, 1 4 + 1 8 0 1 9, 4

Faktorerna har tillsammans två decimaler

6 4 4 4

Då blir det två decimaler i produkten

övningar på metod för multiplikation 1.48 Repetera multiplikationstabellen:

a) 7 b) 9 c) 8 d) 8 e) 7 f) 9

· · · · · ·

7 6 7 9 9 7

resOnemang

1.53 Försök förklara varför m · n = n · m.

(Vi tar upp detta i kapitel 2.)

1.54 I följande uppställning,

förklara varför 120 står ett steg åt vänster.

1.49 Räkna ut med multiplikationsalgoritmen:

a) 21 · 8 b) 3 · 45 c) 63 · 45 d) 28 · 21 1.50 Räkna ut med multiplikationsalgoritmen:

a) 6,3 · 4,5 b) 0,28 · 2,1 c) 0,1 · 72 d) 0,11 · 72 e) 0,11 · 7,2 1.51 Räkna ut med multiplikationsalgoritmen

a) 0,35 · 0,84 b) 215 · 12 c) 123 · 3,5 d) 512 · 0,25 begrepp

1.52 Vad menas med en algoritm?

· 1 + 1 2 1 3

4 3 6 0 6

0 4 0 0

1.55 Förklara varför decimalkommat efter mul-

tiplikation ska placeras så att det blir lika många decimaler som i faktorerna tillsammans.

1.56 I följande korrekta beräkning

A A A B

står A och B för två olika siff. ror.

B a) Varför kan A inte stå för 1? b) Varför kan A inte stå för 4 eller större? c) Alltså måste A stå för 2 eller 3. I dessa fall, beräkna vad B står för. prOblem

1.57 I följande korrekta beräkning

står E, N och T för tre olika sffror, nämligen vilka?

E N . E N E T T

1

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 18

07-04-02 11.10.06

vad är en metOd?

Hjälpmedel för räkning Algoritmer kan ses som mentala verktyg för räkning. Andra hjälpmedel är fingrar, papper och penna, kulram etc.

Numera finns fantastiska elektroniska hjälpmedel: dator och räknare. Med dem kan man arbeta snabbare och utföra mer omfattande beräkningar än vad som annars vore möjligt. exempel

Räkna med räknare

1.58 Vad är 3,6 gånger 5,4?

Lösning: På räknaren slår man in: ¬ À ∏Ø ∑ À ∂ Sedan trycker man på Õ och svaret ges blixtsnabbt i sifferfönstret:

Räknare och datorer är bra, men det finns två viktiga skäl till att man också ska behärska hur man räknar utan tekniska hjälpmedel: • Bedömning. Man måste kunna bedöma om räknaren gav rätt resultat, eller om man kanske tryckte på fel knappar.

• Förståelse. När man räknar med bokstäver duger inte räknaren särskilt långt. Har man då inte förstått hur räkning fungerar blir det svårt.

I den här boken är det meningen att du ska öva dig på att arbeta både med och utan räknare. Ibland markerar vi övningar där du inte ska använda räknare med symbolen:

övningar på räknare 1.59 Bekanta dig med din räknare. Utför följande

1.61 Tävla med dig själv! Utför följande beräk-

beräkningar: a) 3,7 – 4,7 b) (3,7 – 4,7)4 c)

ningar på tre olika sätt: först med huvudräkning, sedan med hjälp av papper och penna, sist med räknare. Vad går snabbast? a) 15 gånger 10 b) 8 gånger 12 c) 100 minus 75 d) 101 minus 73 e) 2 · 2 · 2 · 2 f) 699 plus 111 g) 369 delat med 3 h) 12 delat med 30

(3, 7 − 4, 7)4

1.60 Beräkna med räknare 1/(4 · 6 + 1) på två

olika sätt. a) Utför divisionen som den står. b) Beräkna först 4 · 6 + 1 och tryck sedan på knappen ó (Den står för invertering, dvs ”ett delat med talet”, och är ofta praktisk.)

1 s

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 19

07-04-02 11.10.08

Kapitel 1 vad är matematik?

Vad är ett begrepp?

Matematiska begrepp är ord som heltal, rektangel eller udda. Bra begrepp är oumbärliga verktyg när man ska angripa verkliga problem (se avsnitt 1.7).

Begrepp Metoder

ktyg ever Matt

Det är viktigt att alla som använder ett begrepp är överens om vad det betyder, annars blir det förvirring. Att specificera betydelsen kallas att definiera begreppet. Även om man har en tydlig uppfattning av vad ett begrepp innebär så kan det vara svårt att formulera en användbar definition. Vad är till exempel ett heltal? Här är ett försök till svar: ”Heltal är tal som är hela.”

Det är ett dåligt svar, eftersom den definitionen inte är användbar om man inte redan vet vad som menas. En bra definition utgår från enklare begrepp.

Om man antar att personen åtminstone vet vad ett antal är så kan man definiera heltal så här: En bra definition utgår från enklare begrepp.

Definition

av heltal

Heltalen består av noll samt alla tal som är ett antal (1, 2, 3, …) eller minus ett antal ( −1, −2, −3, …).

Varje begrepp definieras med andra enklare begrepp. Till slut kommer man ner till vissa grundbegrepp som man tycker får klara sig utan närmare definition. Antal och punkt är sådana grundbegrepp.

20

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 20

07-04-02 11.10.10

Vad är ett begrepp?

Exempel

1.62 Varför är den vänstra definitionen av begreppet rektangel bättre än den

högra?

Definition

av rektangel

En rektangel är en fyrhörning där alla vinklar är räta.

Definition

av rektangel

En rektangel är en fyrhörning där motstående sidor är lika långa. b a

a b

Lösning: Det är visserligen sant att motstående sidor i en rektangel är lika långa. Men det räcker a inte för att specificera just rektanglar. Den dåliga definitionen passar in på alla parallellogrammer, inte bara på rektanglar. En bra definition stämmer endast för det begrepp man vill definiera!

b a b

En bra definition stämmer endast för det begrepp man vill definiera.

Det finns ofta alternativa sätt att definiera samma begrepp, t.ex. jämna tal.

Definition

av jämna och udda tal

Ett heltal är jämnt om det är delbart med två.

14 är jämnt, ty det är delbart med 2 eftersom kvoten blir heltalet 7.

De heltal som inte är jämna kallas udda.

15 är udda, ty om man delar det med 2 får man 7,5 som inte är heltal.

Samma definition kan också uttryckas mer algebraiskt så här: Definition

av jämna och udda tal

Jämna tal kan skrivas på formen 2 · n där n betecknar något heltal.

Udda tal kan skrivas som 2 · n + 1.

14 är jämnt, ty 14 = 2 · 7.

15 är udda, ty 15 = 2 · 7 + 1.

Om man nöjer sig med att definiera udda och jämnt för antal (dvs. bara för positiva heltal) kan definitionen formuleras väldigt konkret: Definition

av jämna och udda antal

Ett jämnt antal rutor kan delas upp i två lika långa rader, men för ett udda antal rutor blir det en ruta över.

14 är jämnt 15 är udda

21

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 21

07-04-02 11.10.12

Kapitel 1 vad är matematik?

Övningar 1.63 Är följande tal udda eller jämna?

a) 175332 b) –21 c) 35,8

1.65 Dålig definition: ”En kvadrat är en fyrhör-

ning där alla sidor är lika långa” Vad är bristen?

1.64 Är följande figurer parallellogram?

a)

9 5

5 9

b)

9,1 5

5,1

9 5

1.66 Begreppen rektangel och parallellogram hör

ihop på det sättet att en rektangel är ett specialfall av parallellogram. Para ihop följande begrepp på samma sätt: heltal, kvadrat, likbent triangel, rektangel, udda tal, liksidig triangel.

1.67 Försök definiera följande begrepp ur grund-

9

c)

Begrepp

5

skolans matematik: a) triangel b) bråk c) ekvation d) rät vinkel e) klot 1.68 Vad menas med ett grundbegrepp?

9

22

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 22

07-04-02 11.10.13

Vad är ett begrepp?

Vad är ett resonemang?

En tankekedja kallas för ett resonemang. I matematik ska man kunna motivera varje steg man gör i sina resonemang. Det är en god vana att skriva ut motiveringarna. Målet är att andra ska kunna följa med i vartenda steg.

Matematikämnet ger utmärkt övning på att argumentera logiskt och tänka kritiskt, dvs. ifrågasätta allt man inte förstår.

Till exempel, varför är två plus två lika med fyra?

Exempel

Resonemang

1.69 Förklara varför 2 + 2 = 4.

Lösning: Med 2 menas följande antal:

Pappans resonemang

• Vi är fyra personer i familjen.

• Alla bruka vilja ha var sin kotlett.

• Om dottern säger att det räcker med tre betyder det att hon inte vill ha någon.

• Alltså äter hon någon annanstans.

• När hon inte äter hos oss brukar hon vara hos sin bästis Rebecka.

Med 4 menas följande antal: Med + menas att lägga ihop. 2 + 2 är alltså följande antal: Vi ser att 2 + 2 är lika många som 4.

Att 2 + 2 = 4 har ingen bestämt! Det följer logiskt ur definitionerna av begreppen två, fyra, plus och lika med.

23

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 23

07-04-02 11.10.18

Kapitel 1 vad är matematik?

Satser och bevis Hur vet man att ett matematiskt påstående är sant? Jo, som i exemplet ovan så kan påståenden följa logiskt av definitioner. Det kallas att man bevisar påståendet. En sats är ett påstående som kan bevisas. Förklaringen till att påståendet är sant kallas för ett bevis. Här är ett exempel på hur det kan se ut.

Sats

Satsen är ett sant påstående.

Summan av jämna tal

Summan av två positiva jämna tal är alltid jämn.

Bevis: Varje positivt jämnt tal kan visas som två lika långa rader av rutor.

Beviset är förklaringen till att påståendet är sant.

Exempelvis: 10 =

4=

Om vi lägger ihop två jämna tal genom att lägga ihop de övre raderna för sig och de undre raderna för sig blir raderna förstås fortfarande lika långa, dvs. summan är ett nytt jämnt tal.

Exempelvis:

+

=

Från definitionerna av udda och jämnt vet vi att Här låter vi ”udda” beteckna ett udda tal och ”jämnt” ett jämnt tal.

jämnt + 1 = udda Då är det lätt att bevisa alla de välkända reglerna för addition av udda och jämnt.

Sats

Summor av udda och jämna tal

När man adderar heltal gäller att 1. jämnt + jämnt = jämnt 2. jämnt + udda = udda 3. udda + udda = jämnt

Bevis: 1. Att jämnt + jämnt = jämnt har vi redan bevisat.

2. Genom att utnyttja att redan kända samband får vi

jämnt + udda = jämnt + jämnt + 1

= jämnt + 1

= udda

eftersom jämnt + 1 = udda eftersom jämnt + jämnt = jämnt

3. Att udda + udda = jämnt bevisas i övning 1.77.

24

Tal&Rum S A - s 5-32 - Kap 1.ind24 24

07-04-12 12.35.08

Vad är ett begrepp?

Satser beskriver matematiska mönster Matematik är mest räkning och problemlösning. Men matematiker försöker också att hitta nya satser. Idéer till nya satser kann man få genom att man upptäcker ett mönster.

Exempel

Hitta mönster

Att försöka komma på nya satser kallas att forska i matematik. Det svåra är att lyckas komma på en sats som ingen har tänkt på förut!

1.70 Titta på multiplikationstabellen och se vilka produkter som är jämna tal.

Ser du något mönster?

Lösning: Alla produkter är jämna utom när det är två udda tal som multipliceras! · 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Om jämna tal färgas gröna får multiplikationstabellen ett speciellt mönster.

För multiplikation av udda och jämna tal gäller alltså följande regler: Sats

Multiplikation av udda och jämna tal

När man multiplicerar heltal gäller att 1. jämnt · jämnt = jämnt 2. jämnt · udda = jämnt 3. udda · udda = udda

Bevis: Vi ska utnyttja att multiplikation är upprepad addition av ena faktorn, t.ex. 3 · 4 = 4 + 4 + 4.

1 och 2. Enligt känd sats är jämnt + jämnt = jämnt. Därför får vi alltid

ett jämnt tal om en faktor är jämn.

När man bevisar en ny sats kan man använda redan kända satser.

3. Enligt känd sats är jämnt + udda = udda och udda + udda = jämnt.

När man lägger ihop många udda tal skiftar alltså summan mellan udda och jämn för varje term. Ett udda antal termer gör att summan blir udda.

25

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 25

07-04-02 11.10.19

Kapitel 1 vad är matematik?

Övningar 1.71 På vilka siffror slutar jämna tal?

1.72 På vilka siffror slutar udda tal?

1.73 Är följande summor jämna eller udda?

a) 16 + 100 b) –1000 + 100 c) 2 + 4 + 6 + 8 d) 11 + 12 e) 1 + 3 f) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 1.74 Är följande produkter jämna eller udda?

a) 13 · 12 b) 13 · 13 c) (3 + 3) · 99 d) (3 + 3 + 3) · 999 1.75 Är följande summor jämna eller udda?

a) 13 · 12 + 100 b) 2 · 17 + 79 c) 4 · 17 + 80 · 79

Begrepp

1.80 Vad menas med en definition?

1.81 Vad menas med en sats?

1.82 Vad menas med ett bevis?

Problem

1.83 Är följande summor jämna eller udda?

a) n + n b) (n + n + 3) · 999 c) 2 · n + 8 · n + 17 1.84 Ett klassiskt logiskt problem: Fyra spelkort

ligger på ett bord. Två kort har baksidan upp, varav ett är rött och ett är blått. Två kort har framsidan upp, varav en visar spader och en visar hjärter. Vilka av korten måste man vända på för att kontrollera om alla hjärter har röd baksida?

3

10

Resonemang 10

1.76 Förklara varför 2 + 3 = 5.

3

1.77 Bevisa att summan av två udda positiva tal

alltid är jämn genom att utgå från att ett udda positivt tal kan visas som två rader av rutor där den ena raden är en ruta längre än den andra.

1.78 Oliver, Pontus, Rebecka och Sam spelar boll

på skolgården. Plötsligt krossar bollen en ruta.

Oliver: ”Det var inte jag!”

Pontus: ”Det var inte jag!”

Rebecka: ”Det var Sam!” Sam: ”Det var Oliver!”

En av ungdomarna talade inte sanning. Vem hade sönder rutan?

1.79 Pröva att logiskt resonera dig fram till varför

påståendet ”Soligt väder leder till mer glasspapper i sopkorgarna” kan stämma.

1.85 Fyra personer står och dricker i en bar. Du

ska avgöra om någon som är under arton dricker alkohol. På två av personerna vet du redan åldern (sexton respektive trettio år) men inte vad de dricker. För de andra två vet du vad de dricker (vodka respektive läsk) men inte hur gamla de är. Vilka personer måste du kolla?

1.86 Problemet med korten utformades på

1960-talet av psykologen Peter Wason.

På 1980-talet jämförde psykologen Leda Cosmides folks lösningar på kortproblemet och barbesökarproblemet. Hon konstaterade att problemen ovan, om spelkort respektive barbesökare, logiskt sett är exakt samma problem. a) Förklara hur hon menar! b) Är problemen lika svåra i praktiken?

26

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 26

07-04-02 11.10.20

vad är ett prOblemlösning OcH mOdellering?

vad är prOblemlösning OcH mOdellering?

Matematikens verktyg är väldigt allmängiltiga. Det går inte att i förväg förutse alla sammanhang när matematik kan användas. Därför ställs man ofta inför uppgifter som man inte har lärt sig en färdig metod för. Sådana uppgifter kallas problem.

När man ställs inför ett problem krävs dels påhittighet, dels förmåga att utvärdera olika uppslag. Genom träning ökar man snabbt sin problemlösningsförmåga, och därför ingår många problem bland övningarna i denna bok. Här ska vi ta upp två viktiga problemlösningstekniker: • Införa variabler och ställa upp en ekvation.

• Hitta ett mönster.

exempel

En bokstav, t.ex. x, som man räknar med kallas variabel.

Ekvationslösning

1.87 För sjutton år sedan var Charlotte dubbelt så gammal som sin syster

Caroline. Det skiljer sex år mellan systrarna. Hur gamla är de nu?

Lösning: Kalla Charlottes nuvarande ålder för x år. Då är Caroline x – 6 år. För sjutton år sedan var Charlotte var x – 17 år och Caroline (x – 6) – 17 = x – 23 år. Charlotte var då dubbelt så gammal som Caroline, dvs. x – 17 = 2 · (x – 23). Genom att lösa ekvationen får i svaret:

x

x–6

x – 17 = 2 · (x – 23) Förenkla: ”Flytta över”: Förenkla:

x – 17 = 2x – 46 46 – 17 = 2x – x

Ekvationslösning tränas i kap 2.

29 = x

Charlotte är alltså 29 år och Caroline är 29 – 6 = 23 år.

I kapitel 2 kommer vi att träna mer på ekvationer.

2

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 27

07-04-02 11.10.21

Kapitel 1 vad är matematik?

Exempel

Hitta mönster

1.88 Nedan har vi fyra tändsticksfigurer som är utlagda efter ett visst mönster.

Om man fortsätter att bilda figurer enligt samma regel, hur många stickor ingår i den 759:e figuren?

Lösning: I första figuren har vi ”1 sticka plus 3”: 1 + 3

= 1 + 3 · 1

I andra figuren lägger vi till 3 stickor: 1 + 3 + 3

= 1 + 3 · 2

Sedan lägger vi till ytterligare 3:

1 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 · 3

Aha! Det ökar med 3 stickor för var figur. Vi ser mönstret och kan nu generalisera. Antalet stickor i den 759:e figuren blir 1 + 3 · 759 = 2278 stickor.

Exempel

Hitta mönster och lös ekvation

1.89 I följden av tändsticksfigurer ovan, vilken figur i ordningen kommer att ha

481 stickor?

Lösning: Kalla den sökta figurens ordningsnummer för n. Då gäller att dess antal stickor ska vara 481 = 1 + 3n. Detta är en ekvation som har lösningen

n=

481 − 1 = 160 .

3

Problem

1.90 Karin är dubbelt så gammal som Pär. Om tre

år är summan av deras åldrar 42. Hur gammal är Karin?

1.91 Ingvar har sex gånger så mycket pengar som

Fredrik. Stefan har tre gånger så mycket som Fredrik. Tillsammans har de tusen kronor.

Hur mycket har var och en?

c) ”Varje nytt tal är summan av de två närmast tidigare.”

1.93 Byggklossar är uppställda i högar enligt figu-

ren. a) Hur många klossar ingår i hög nr 4? b) Hur många klossar ingår i hög nr n? c) Vilken hög innehåller 35 klossar?

1.92 En talföljd som följer en viss regel börjar 2,

3, 5, 8… Vilka av nedanstående regler kan det vara, och vilket blir nästa tal i dessa fall? a) ”Varje ny ökning ska vara ett större än förra ökningen.” b) ”Talen är primtal.” (bara delbart med sig själv och 1)

28

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 28

07-04-02 11.10.24

Vad är ett problemlösning och modellering?

1.94 I figurerna nedan växer bokstaven E likadant

hela tiden. Fjärde figuren kommer att innehålla 26 brickor osv. a) Hur många brickor går det åt för att bygga figur nr 5? b) Hur många brickor går det åt för att bygga figur nr n? c) Vilken figur innehåller 166 brickor?

1.95 Trappan i figuren har fyra lager och består

av 16 klossar. Den växer genom att man fyller på med lager underifrån. Hur många klossar ingår i trappan då den är tre gånger så hög?

Begrepp

1.96 Vad menas med en variabel?

1.97 Vad menas med att generalisera?

Verkliga problem och matematiska modeller Matematikens begrepp är abstrakta, de finns inte i naturen utan i människors tankar. För att kunna använda matematik på verkliga problem måste man först beskriva verkligheten matematiskt. Detta kallas att man gör en modell.

Att modellera innebär att man gör två sorters antaganden: • Man inför tal och variabler för verklighetens storheter.

• Man ställer upp samband för hur storheterna hänger ihop.

Poängen med modeller är att man försöker fånga det väsentliga, även om antagandena inte stämmer särskilt väl med verkligheten.

En modelljärnväg är inte en riktig järnväg men fångar det väsentliga.

29

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 29

07-04-02 11.10.30

Kapitel 1 vad är matematik?

Exempel

Antaganden

1.98 Hur lång tid tar det att cykla från Stockholm till Uppsala?

Lösning: Frågan är inte i sig matematisk, men det matematiska sambandet tiden = sträckan/hastigheten borde gå att utnyttja. Sträckan beror förstås på precis vilken väg man tar, och precis var man börjar och slutar. Låt oss anta att sträckan är ca 70 km.

Hastigheten är naturligtvis inte konstant när man cyklar, utan den beror på lutning, underlag, vindförhållanden, blodsockernivå, motivation, m.m. För att kunna räkna måste man göra en uppskattning av medelhastigheten, låt oss säga ca 20 km/h.

I denna modell blir tiden 70/20 h = 3,5 h. Om antagandena är ungefärligen korrekta tar det alltså ca tre och en halv timme att cykla från Stockholm till Uppsala.

Exempel

Samband

1.99 Om två personer gräver ett dike på 30 minuter, hur lång tid tar det för tre

personer?

Lösning: Vi antar att alla personer alltid har lika stor grävhastighet, oavsett vilka de är och hur många som gräver. Sambandet är då antal grävda diken = antal personer ∙ antal minuter ∙ grävhastighet Om två personer gräver ett dike på 30 minuter får vi att sambandet 1 = 2 · 30 · grävhastighet dvs. 1/60 (med enheten dike per personminut).

För 3 personer tar det därför 20 minuter (= 60 personminuter) att gräva ett dike En särskild sorts modelleringsproblem är fermifrågor, där nödvändig information inte är given utan måste uppskattas.

Enrico Fermi var en av 1900-talets största fysiker. En av hans käpphästar var att man inte behöver veta så mycket för att kunna räkna ut vad som helst. Med sunt förnuft kan man göra rimliga antaganden och räkna fram ett resultat som är i rätt storleksordning.

30

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 30

07-04-02 11.10.35

Vad är ett problemlösning och modellering?

Exempel

Fermifråga

1.100 Ryms alla européer att samtidigt ligga raklånga på Gotlands yta?

Lösning:

rs jö n te

2. Hur många européer finns det? Tja, det finns ca nio miljoner invånare i Sverige. Det finns ca tjugofem länder i Europa. Om alla länder vore lika folkrika som Sverige skulle det finnas ca en kvarts miljard invånare. Men Sverige är nog mindre folkrikt än genomsnittet. En grov uppskattning är att det åtminstone finns färre än en miljard européer.

Visby

s

1. Hur mycket plats tar en person som ligger raklång? En människa är i allmänhet mindre än två meter lång och ca en halvmeter bred, och tar alltså upp ungefär en kvadratmeter.

Ö

3. Hur stort är Gotland? Det är en ö som är några få mil bred (minst 2 mil) och några fler mil lång (minst fem mil). En mil är 10 000 meter, så två mil gånger fem mil är 1000 000 000 kvadratmeter. Gotland är alltså minst en miljard kvadratmeter stort.

4. Hur mycket plats blir det per person? Minst en miljarder kvadratmeter åt högst en miljard människor ger minst en kvadratmeter per person.

Svaret är ja, alla européer ryms att samtidigt ligga raklånga på Gotlands yta.

31

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 31

07-04-02 11.10.42

Kapitel 1 vad är matematik?

Modellering

1.101 Hur många gånger varje sekund spolas det

i en toalett i Sverige?

1.102 Ett område som ska hägnas in är ungefär

hundra kvadratmeter stort. Frågan är hur många meter stängsel som går åt. Gör antaganden och ställ upp en modell så att du kan räkna ut ett svar.

1.103 Hur många mjölkpaket ryms i klassrummet?

1.104 Hur många hårstrån har en normalperson på

huvudet? (Titta på en kamrat hur tätt hårstråna verkar sitta.)

1.105 Hur lång skulle en människa bli om hon

under helas sitt liv växte med samma hastighet som babyn växer med under graviditeten?

1.106 Om tre personer städar huset på en timme,

hur lång tid tar det för fyra personer?

1.107 Om det tar tre minuter att koka fyra korvar,

hur lång tid tar det att koka sex korvar?

Begrepp

1.108 Vad menas med en matematisk modell?

1.109 Vad är en fermifråga?

1.110 Vad menas med att något är abstrakt?

32

Tal&Rum S - s 5-32 - Kap 1.indd 32

07-04-02 11.10.42

ISBN 978-91-47-01923-6 © 2007 Kimmo Eriksson, Lasse Berglund, Mikael Jonsson, Hillevi Gavel och Liber AB Redaktion Anders Sörensen Formgivare Eva Jerkeman Bildredaktion Marie Olsson Illustrationer Staffan Schulz (frihandsillustrationer), Piroska von Gegerfelt, Björn Magnusson Första upplagan 1 Sättning och ombrytning Monica Schmidt/ Printing Malmö AB Repro Printing Malmö AB Tryck Nørhaven Book AS, Viborg, Danmark 2007

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinne­havare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundtjanst.liber@liber.se

Tal&Rum S A - s 1-4 - inledn.ind2 2

Bildförteckning s. 5 Joseph Paduano/Nonstock/Scanpix s. 7 Mark Duncan/AP/Scanpix s. 9 Jörgen Schytte/Scanpix s. 13 Musee des Augustins, Frankrike/Bridgeman Art Library/IBL s. 19, 174 Texas Instruments s. 29 Tim Boyle/Getty Images/All Over Press s. 30 IBL s. 31 Stig Hammarstedt/Scanpix s. 33 Photodisc SS 21 s. 45 Photodisc OS 28 s. 55 Ulf Huett Nilsson/Bildhuset/Scanpix s. 59 Jurek Holzer/Scanpix s. 61 Photodisc V 8 s. 64 Åke Håkansson/Scanpix s. 66 Scott Smith/Scanpix s. 71 Fredrik Funck/Scanpix s. 73 Ed Bailey/AP/Scanpix s. 79 Filmbolag/Scanpix s. 83 Photodisc V 34 s. 86 John D McHugh/Scanpix s. 100 Doug Scott/AGE/Scanpix s. 101 Nonstock/Scanpix s. 103 Gamma/IBL s. 116 Bridgeman Art Library /IBL s. 129 Henryk T. Kaiser/AGE/Scanpix s. 138 Detlev van Ravenswaay/Science Photo Library/IBL s. 156 Kunst & Scheidulin/Scanpix s. 160 Erich Lessing/IBL s. 164 Ulf Palm/Scanpix s. 170 Trons/Scanpix s. 172 Torbjörn Gustafsson/Scanpix s. 179 OPV-Online s. 188 Robert Ekegren/Scanpix s. 199 Mike Eliason/AP/Scanpix s. 200 Denny Lorentzen/Scanpix s. 202 Ulf Palm/Scanpix s. 205 Photodisc V 34 s. 208 Rosemary & Peter Grant, USA s. 210 Håkan Liljenberg/Scanpix s. 211 Peter Hoelstad/Scanpix s. 217 Roland Weihrauch/Scanpix s. 224 Patrick Sörquist/Scanpix s. 233 Photodisc V 89 s. 235 Robyn Beck/Scanpix s. 250 Claudio Bresciani/Scanpix s. 253 Tomeu Ozonas/AGE/Scanpix s. 257 Stig-Göran Nilsson/Scanpix

Kartor s. 14 Liber AB, Stockholm s. 257 Världskarta ur ESRI Data CD, bearbetat med ARC GIS. Kartografi: Liber AB, Stockholm

07-04-18 07.52.51

Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet.

Tal & Rum är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier.

Författargruppen består av gymnasielärare, lärar­ utbildare och en matematikprofessor.

www.liber.se

tal & rum Mate mati k

tal & r u m

tal & rum

Ki m mo E r i ksson • lasse B e rg lu n d • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

Best nr 47-01923-6 Tryck nr 47-01923-6

S A

S ABC

li b e r