9789147105854

Om författarna Per-Olof Bentley är lärarutbildare samt fil. dr i matematikdidaktik och docent vid Göteborgs universitet. Han har varit Skolverkets expert när det gäller djupanalysen av TIMSS-resultaten i Sverige. Christine Bentley är fil. dr i språkdidaktik, forskare och lärare med lång erfarenhet av matematikundervisning.

Tillsammans har de två genomfört ett stort forskningsprojekt om matematikutvecklingen i Lilla Edets kommun. De har dessutom analyserat orsakerna till elevers misstag i matematik i ett antal kommuner i västra Sverige.

Bentley Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen

Den här boken är upplagd efter ”matematikens milstolpar”, dvs. moment som eleverna måste förstå för gå vidare. Om eleverna inte når milstolparna, kan de heller inte utveckla sina matematiska förmågor och nå högre kunskapsnivåer. I matematiken finns många fallgropar som eleverna kan hamna i, och som gör att de inte klarar av nästa teoretiska nivå. De misstag eleverna gör är systematiska, dvs. ett stort antal elever gör likartade fel. I den här boken får lärarna hjälp med att identifiera misstagen och kartlägga orsakerna till dessa, och de får förslag på vilka åtgärder som bör vidtas.

Boken tar upp problem som kan uppstå inom alla de olika momenten i matematikens centrala innehåll, från årskurs 1 i grundskolan till och med kursen Matematik 2 på gymnasiet.

Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen Matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder Per-Olof Bentley och Christine Bentley

Best.nr 47-10585-4 Tryck.nr 47-10585-4

9789147105854c1c.indd All Pages

05/11/15 11:05 AM

Per-Olof Bentley och Christine Bentley

Milstolpar och fallgropar i matematikinl채rningen Matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och 책tg채rder

9789147105854b1-224c.indd 1

05/11/15 1:00 pm

Innehåll Inledning 7 Vad forskningen säger 7 Så här är boken upplagd 7 Misstag som blockerar lärandet 8 Undervisningens betydelse 9 Uppföljning av undervisningen 10 Hjärnans roll i lärandet 11 Arbetsminnets roll 11 Långtidsminnets roll 12 Förmågan att uppfatta antal 13 Hur vi lär oss begrepp 13 Arbetsminnets optimala funktion 14

1. Taluppfattning och tals användning 15 1.1 Att förstå talbegreppet 16 1.1.1 Talraden 16 1.1.2 Ett-till-ett-principen 18 1.1.3 Uppfattningar av räkneordstal och antal 22 1.1.4 Övergången mellan språklig kod och sifferkod 27 1.1.5 Olika notationssystem 29 1.1.6 Positionssystemets struktur 31

1.2 Att behärska beräkningar 36 1.2.1 Begreppet likhet 36 1.2.2 Talfakta 38 1.2.3 Huvudräkningsstrategier 47 1.2.4 Skriftliga beräkningsmetoder 49 1.2.5 ± 1-misstaget 56 1.2.6 Resonemang 60

9789147105854b1-224c.indd 3

05/11/15 1:00 pm

1.3 Att förstå hur man räknar med tal i bråkform 63 1.3.1 Pizzamodellen 63 1.3.2 Kvadratmodellen 68 1.3.3 Andelsmodellen – en förrädisk fallgrop för tal i bråkform 71 1.3.4 Del av annan helhet än ett 75 1.3.5 Innehållsdivision och division av tal i bråkform 79

1.4 Att förstå hur man räknar med tal i decimalform 82 1.5 Att förstå hur man räknar med tal i procentform 91 1.6 Att behärska negativa hela tal 95

2. Algebra 105 2.1 Begreppet likhet 106 2.2 Begreppet variabel 108 2.3 Ekvationer 112 2.4 Uttryck 119 2.5 Formler 123

3. Geometri – att förstå några centrala begrepp 125 3.1 Fyrhörningar och deras begreppsstrukturer 126 3.2 Begreppen omkrets och area 129 3.3 Några begreppsstrukturer i två och tre dimensioner 137 3.4 Begreppet vinkel 140 3.5 Begreppet kongruens 142 3.6 Kongruensavbildningar 145 3.7 Att inse strukturen i mönster 150

4. Statistik och sannolikhet 155 4.1 Statistik 156 4.2 Sannolikhet 161

9789147105854b1-224c.indd 4

05/11/15 1:00 pm

5. Problemlösning 165 5.1 Modellering och beräkning 165 5.2 Modellering – olika typsituationer i benämnda problem 167 5.3 Relationen typsituation och beräkningsstrategi – en fallgrop 173

6. Samband och förändring 177 6.1 Proportionella samband 178

7. Kommentarer och svar 185 1 Taluppfattning och tals användning 186 2 Algebra 199 3 Geometri – att förstå några centrala begrepp 203 4 Statistik och sannolikhet 207 5 Problemlösning 208 6 Samband och förändring 210

Referenser 213 Register 215

9789147105854b1-224c.indd 5

05/11/15 1:00 pm

9789147105854b1-224c.indd 6

05/11/15 1:00 pm

Inledning

Syftet med den här boken är att vägleda lärare i matematikundervisningen i grundskolan och gymnasiet. Vi redogör för vanliga misstag och missuppfattningar som kan blockera elevernas fortsatta kunskapsinhämtning. Vi beskriver också vad läraren ska göra för att leda in eleverna på rätt spår.

Beskrivningen baserar sig på såväl egna som andras forskningsresultat. En referenslista finns i slutet av boken (s. 213).

Vad forskningen säger Forskning visar att bristfällig behandling av innehållet i undervisningen leder till att eleverna får svårigheter och begår misstag, som kan blockera deras fortsatta matematikutveckling. I en studie genomfördes drygt hundra djupintervjuer av elever, som valts ut av sina lärare för att de hade matematiksvårigheter (Bentley & Bentley, 2014). Studien omfattade elever från tvåan i grundskolan till årskurs två i gymnasieskolan.

Av studien framkom att misstag av individuell karaktär var ovanliga.

Däremot begick eleverna i hög grad misstag av strukturell karaktär, dvs. många elever begick samma slags misstag. Dessa misstag visade sig huvudsakligen bero på brister i undervisningen. Eleverna hade alltså missförstått det matematiska innehållet. Slarvfel förekom däremot nästan inte alls.

Så här är boken upplagd Boken är upplagd i avsnitt efter det centrala innehållet i ämnet matematik, dvs. taluppfattning, algebra, geometri, statistik och sannolikhet, problemlösning samt samband och förändring. Inom varje område tar vi upp ”milstolpar” som eleverna måste nå för att de ska kunna bygga vidare på sina matematikkunskaper.

7

9789147105854b1-224c.indd 7

05/11/15 1:00 pm

Inledning

I de olika avsnitten ingår två typer av uppgifter, Analysövningar för dig som lärare och Öva och bedöm betygssättning. De förstnämnda är till för att träna på att analysera elevmisstag, alltså för att hitta orsakerna till dem.

De andra ger möjlighet att träna betygssättning och bedömning av eleverna.

De flesta av analys- och bedömningsuppgifterna har autentiskt ursprung, men vi har använt fingerade namn och gjort vissa ändringar av innehållet så att personerna som svarat inte ska gå att identifiera.

I kapitlet Kommentarer beskrivs inte bara tänkbara svar utan också faktiska förhållanden vad gäller både Analysövningar för dig som lärare och Öva och bedöm betygssättning. I de autentiska uppgifterna är de faktiska orsakerna till misstagen kända. Ibland kan även andra orsaker vara tänkbara, vilket vi då påpekar.

Bedömningskriterierna för godtagbara kunskaper för årskurs tre samt betygskriterierna för årskurserna sex och nio ska inte användas för att bedöma en enstaka uppgift, utan för att bedöma en serie av uppgifter och situationer. Först då får de så kallade värdeorden en adekvat tillämpning.

Dessutom kan konstateras att en bedömning som vilar på ett fåtal uppgifter eller situationer är väldigt osäker. Säkerheten i bedömningen ökar ju med antalet uppgifter och situationer över tid. Hur ska man kunna avgöra om en elev ”kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak (E) fungerande sätt …” om man endast bedömer en enda uppgift? Bedöms däremot ett tillräckligt stort antal uppgifter vid upprepade tillfällen över tid, och någon eller ett fåtal uppgifter inte är helt korrekt lösta, då kan man konstatera att problemen är lösta på ett i huvudsak fungerande sätt.

Misstag som blockerar lärandet Om elever missuppfattar ett moment eller några viktiga begrepp i matematiken, så kan detta blockera fortsatt inlärning. Deras inkorrekta kunskaper kan direkt motsäga eller förvränga förutsättningarna för förståelsen av ett senare moment. Det är inte bara intressant utan också nödvändigt att följa upp vad eleverna inte kan och på vilket sätt de missförstått ett visst moment, eftersom orsaken till ett missförstånd också kan vara anledningen till att eleven inte tillägnar sig ett efterkommande moment. Den sekventiella gången i matematikinlärningen är därför av stor betydelse för en lärare att känna till, detta för att kunna avgöra om en elev har fastnat i ett missförstånd som kan blockera den fortsatta inlärningen.

8

9789147105854b1-224c.indd 8

05/11/15 1:00 pm

Det är orsakerna till misstagen som måste behandlas. Det är sällan verkningsfullt att låta en elev fortsätta att träna mer på samma sätt, för risken är då stor att felinlärningen permanentas.

Om man som lärare inte känner till vilka orsakerna till misstagen kan vara, så vet man inte hur man ska hjälpa en elev. Ett planlöst letande tar inte enbart onödigt lång tid, utan gör det också svårare, om ens möjligt, att hitta orsaken. Har man däremot som lärare kunskap om tänkbara orsaker till ett visst misstag, så kan konstruktiva frågor till eleverna vara framgångsrikt. Vi tar ett exempel: Vid beräkningar av enklare subtraktioner får en elev en enhet fel: 13 – 2 = 10. Det ser ut som om eleven behöver träna mer på att subtrahera. Det kan dock vara en felaktig slutsats, då orsaken kan vara en helt annan. Det visade sig i det fall som exemplet bygger på att eleven hade en ofullständig talrad: ett tal saknades. Att i ett sådant läge be eleven att räkna till hundra skulle avslöja luckan i talraden, som då skulle kunna kompletteras. Härmed är orsaken till misstaget kartlagd och åtgärden blir att eleven får träna på talraden.

I boken har vi mot denna bakgrund analyserat och beskrivit orsakerna till en rad vanligt förekommande misstag. Vi har benämnt orsakerna matematikundervisningens fallgropar. Det är känt från internationell forskning, att erfarna lärare i sin undervisning vet hur man förebygger missuppfattningar så att elever hindras från att trilla ner i fallgroparna (Berliner, 1988). Det är alltså viktigt att man som lärare lär sig vilka fallgroparna är.

Sådana misstag som gör att eleverna hamnar i fallgropar av olika slag har vi valt att benämna blockerande, eftersom dessa misstag just blockerar elevens fortsatta lärande.

Undervisningens betydelse Internationell forskning visar att hur innehållet behandlas av lärare i undervisningen påverkar elevernas prestationer påtagligt. Sambandet mellan lärarens kompetens och elevernas prestationer är väl dokumenterat, bland annat i ett antal storskaliga studier i Kalifornien (Fetler, 2001). Studier i Sverige, som vi gjorde i samband med TIMSS 2007, visade att hur det matematiska innehållet behandlades i klassrummet var den mest avgörande faktorn för hur elevernas kunskaper utvecklades. Det som komplicerade bilden var att lärarna inte bedrev någon faktisk undervisning, utan att eleverna huvudsakligen var hänvisade till läroboken och självstudier. Nästan samtliga lärare uppgav att läroboken och dess planering var grunden för elevernas självstudier. Vi kunde fastställa att eleverna relativt frekvent gjorde flertalet av de från forskningen tidigare kända misstagen.

9

9789147105854b1-224c.indd 9

05/11/15 1:00 pm

Inledning

Studier av gymnasieskolans matematikundervisning gav likartade resultat (TIMSS Advanced 2008; Lithner & Berqvist, 2003). De misstag som eleverna gjorde i TIMSS Advanced 2008, har varit kända från den internationella forskningen alltsedan 80-talets början utan att dessa forskningsresultat nått ut till lärarna.

På senare tid tycks dock en förändring av lärares undervisning vara på väg, med genomgångar av de matematiska momenten och uppföljningar för att utröna om eleverna har förstått innehållet.

Innehållets behandling i klassrummet har utan tvekan stor betydelse för hur elever utvecklar sitt matematikkunnande, medan variabler som klasstorlek, socioekonomiska faktorer och förekomst av grupparbete i sig inte har någon direkt avgörande effekt på elevernas prestationer. Däremot kan dessa faktorer spela roll för om läraren kan bedriva en högkvalitativ undervisning eller inte. Flera internationella studier visar på undervisningens betydelse. En av de mer kända är den av Blatchford och Mortimore (1994) i samband med STAR-projektet i staten Tennesse i USA. Trots att klasstorleken minskades, så förbättrades inte alltid elevernas prestationer.

Forskarna kunde visa att det var undervisningens uppläggning och genomförande som avgjorde elevernas resultat i matematik.

Uppföljning av undervisningen Ett av huvudresultatet från djupanalysen av TIMSS 2011 var att uppföljningen av undervisningen var otillräcklig eller ineffektiv. Med tanke på den mängd av misstag som så många elever gjorde så kan inte lärarna ha kontrollerat om eleverna hade förstått matematiken. Säkert har feluppfattningar blockerat många elevers fortsatta matematikutveckling, något som inte gjort situationen direkt lättare för lärarna.

Ett vanligt sätt att följa upp undervisningen är att eleverna får göra ett diagnostiskt test. Gör de misstag så får de träna mer på samma sak, men problemet är att orsakerna till misstagen inte identifieras och åtgärdas. Tränar en elev mer på samma uppgifter som eleven gör fel på, så är risken stor att misstagen lärs in och befästs istället för att ersättas av det som är korrekt.

10

9789147105854b1-224c.indd 10

05/11/15 1:00 pm

Hjärnans roll i lärandet Alla vet vi att hjärnan är det organ vi tänker med och att det är där som minnen skapas och lagras. Man brukar skilja på arbetsminne (= korttidsminne) och långtidsminne. I långtidsminnet finns det vi varit med om, medan arbetsminnet är det som används när vi behöver komma ihåg något tillfälligt, som exempelvis ett telefonnummer. Det kan man göra i ca 30 sekunder, och det finns också en gräns för hur många olika nya fakta man kan hålla i huvudet samtidigt i arbetsminnet. Arbetsminnet har olika funktionella delar och dessa spelar en avgörande roll vid all inlärning.

Arbetsminnets roll Inom den matematikdidaktiska forskningen har man intresserat sig för arbetsminnets funktion i över 25 år. Via forskningsdesignen ”dual task” har man kunnat visa hur olika funktionella delar av arbetsminnet arbetar vid matematikinlärning. Med denna design kan man alltså avgöra vilken funktionell del som är aktiv vid olika matematiska operationer. På senare tid har ”dual task” kompletterats med MRI-undersökningar.

Arbetsminnet kan sägas bestå av fyra funktionella delar: den fonologiska loopen, den visuellt spatiala funktionen, den exekutiva funktionen och den episodiska bufferten. Den fonologiska loopen svarar för att språkljud avkodas till ord, meningar och betydelser, och där lagras både talad och skriven data. Dessa data kan dock bara behållas där något tiotal sekunder. Loop-benämningen kommer av att den är ständigt aktiv, så länge som data uppfattas.

Resultaten från de studier som genomförts pekar på att presentationssättet av data är avgörande för i vilken funktionell del av arbetsminnet som data lagras. Då skriftliga data presenteras vågrätt så hamnar dessa i den fonologiska loopen. Om skriftliga data däremot presenteras lodrätt, så aktiveras normalt den visuellt-spatiala funktionen, och data lagras istället där.

Lodräta algoritmer representeras följaktligen i den spatiala funktionen.

Den exekutiva funktionen övervakar och samordnar verksamheten i arbetsminnet. För att arbetsminnet ska fungera optimalt ska data i normalfallet hämtas från långtidsminnet, och inte processas i arbetsminnet. Men när resultaten av beräkningar av olika anledningar inte kan hämtas från långtidsminnet, så belastar dessa den exekutiva funktionen. Dessutom svarar den exekutiva funktionen för hur och vad vi riktar vår uppmärksamhet på. Eftersom uppmärksamhet är avgörande för all inlärning, så har den exekutiva funktionen en central roll i den processen. Att då belasta den ex-

11

9789147105854b1-224c.indd 11

05/11/15 1:00 pm

Inledning

ekutiva funktionen med beräkningar är olyckligt, eftersom detta minskar arbetsminnets kapacitet.

I arbetsminnets fjärde funktionella del, den episodiska bufferten, lagras den episod i vilken inlärningen har skett. En viktig del av en sådan episod är känslotillstånd, som har avgörande betydelse för lagringen av data i långtidsminnet.

Långtidsminnets roll Vid inlärning hamnar informationen först i arbetsminnet. Det som lärts in under dagen överförs från arbetsminnet och mellanlagras i hippocampus, som ligger i mellanhjärnan. För att inlärning ska ske måste informationen sedan föras över till långtidsminnet och långtidslagras där. Men först kontrollerar den så kallade VTA-loopen om informationen redan finns i långtidsminnet. När informationen överförs till långtidsminnet, struktureras och ordnas den i associativa domäner, dvs. på så vis att minnena lätt plockas fram när man får de relevanta associationerna. En förutsättning för att minnen ska permanentas är att sömnen är tillräckligt lång, dvs. en normal natts sömn. Överföringsprocessen är egentligen mer komplicerad än så. Amygdala, en annan del av mellanhjärnan, lagrar emotioner som är förknippade med den inlärda informationen. Dessa påverkar överföringen från hippocampus till långtidsminnet. Den episodiska bufferten spelar här en viktig roll, eftersom det är den delen av arbetsminnet som lagrar emotioner. Det känslotillstånd man befann sig i när inlärningen skedde, avgör om överföring äger rum eller inte. Om känslotillståndet är positivt eller negativt laddat, så kan överföring ske. Men om känslotillståndet är likgiltighet, är det inte sannolikt att det sker någon överföring. Detta talar för att elever behöver en lärares uppmärksamhet och intresse för vad de gör. Likgiltigheten har ofta lättare att få fotfäste om eleverna sitter för sig själva och försöker lära sig genom att följa läroboken. Genomgångar, däremot, där läraren betonar vad som är viktigt, kan stimulera inlärningen genom att överföring då lättare sker från hippocampus till långtidsminnet.

Ett problem som troligen inte har uppmärksammats tillräckligt är att elever även kan lära sig sådant som är felaktigt. Detta kan då lagras i långtidsminnet som ett nytt resultat av exempelvis en addition. Låt säga att 5 + 6 beräknas till 12 och eleven inte får någon feedback och korrigeras.

Då kan det felaktiga resultatet lagras i långtidsminnet parallellt med det korrekta resultatet så att två resultat av samma addition finns lagrade i långtidsminnet. Det kan leda till det så kallade plusminusett-felet. Det är

12

9789147105854b1-224c.indd 12

05/11/15 1:00 pm

därför det är så viktigt att bara det som är korrekt lärs in. Uppföljning och korrekt feedback är alltså avgörande för lyckad inlärning.

Försök har visat, att vissa kemiska substanser kan blockera överföring av information från hippocampus till långtidsminnet. De yttre tecknen på en sådan blockering är att eleven ena dagen tycks behärska det inlärda, medan det är som bortblåst ett par dagar senare. Vi har stött på några fall där morfin har använts som smärtstillande medel, med bieffekten att överföringen från hippocampus till långtidsminnet har blockerats eller försvårats.

Förmågan att uppfatta antal Att kunna uppfatta antal är en medfödd förmåga som vi delar med exempelvis fåglar och vissa däggdjur. Eftersom den här förmågan är medfödd, så behöver elever inte lägga ner särskilt mycket tid på att lära sig de positiva heltalen. Men när tal i bråkform introduceras, är det ett större steg för många elever att ta, eftersom de begreppsmodeller som vi använder i skolan inte bygger på antalsbegreppet.

Genom erfarenhet av olika tals storlek bygger vi upp en mental representation av alla tal. De lägre talen representeras noggrannare än de högre talen, som uppfattas mer ungefärligt. För att denna mentala representation ska utvecklas, måste elever erfara de olika talens storlekar. Sådana situationer måste fortlöpande erbjudas i matematikundervisningen.

Hur vi lär oss begrepp Ett begrepp är en klass av objekt med vissa gemensamma egenskaper. Dock behöver objekten inte ha alla egenskaper gemensamt. Begreppet ”bil”, exempelvis, omfattar bilar med bl.a. olika färger. Det karakteristiska är dock att alla är bilar, eftersom de har fyra hjul och en motor.

När det lilla barnet har lärt sig ett antal begrepp utnyttjar barnet dessa för att tillägna sig nya begrepp. Så tidigare inlärda begrepp är utgångspunkten för inlärning av nya. När data som representerar ett nytt begrepp tas in via sinnena, gör barnet ett försök att tolka dessa data med hjälp av något av de tidigare inlärda begreppen. Barnet upptäcker då en egenskap hos det nya begreppet, som inte stämmer med det tidigare inlärda. Man brukar kalla en sådan för särskiljande egenskap. Om en elev ska lära sig begreppet sträcka och tidigare behärskar begreppet linje, så kan linje vara utgångspunkten för inlärningen av det nya begreppet sträcka. Vad särskiljer en sträcka från en linje? Sträckan är begränsad genom två ändpunkter medan linjen saknar begränsning. Den särskiljande egenskapen är då begränsningen hos sträckan.

13

9789147105854b1-224c.indd 13

05/11/15 1:00 pm

Inledning

Ibland har inte det nya begreppet någon särskiljande egenskap. Det finns gott om exempel på det i matematiken och i omvärlden i övrigt. En rektangel är ju en fyrhörning, men alla fyrhörningar är inte nödvändigtvis rektanglar. Rektangeln har ju den specificerande egenskapen att dess vinklar är lika stora, en egenskap som inte gäller alla fyrhörningar. Motsvarande exempel gäller för en gaffel, som är ett bestick, men alla bestick är inte gafflar. Det finns ju skedar och knivar, som också är bestick.

Arbetsminnets optimala funktion Arbetsminnet fungerar optimalt när fakta hämtas från långtidsminnet, en process som på engelska brukar benämnas ”retrieved facts”. För att dessa fakta ska etableras och lagras i långtidsminnet krävs att man upplever regelbundenhet och mönster. För att denna regelbundenhet ska kunna erfaras av elever på matematiklektionen, krävs att de får korrekta resultat.

När exempelvis additionen 3 + 5 och dess resultat överförs till hippocampus och därefter till långtidsminnet, så kan denna additionskombination lagras där. Om additionen någon dag senare beräknas ånyo och resultatet då är felaktigt, och eleven inte upptäcker att det är felaktigt, så förs den nya informationen över till hippocampus. Därefter söker VTA-loopen av om denna kombination tidigare har lagrats i långtidsminnet, något som inte skett – och därför lagras kombinationen i långtidsminnet. Att ha två olika resultat av en och samma addition lagrade i långtidsminnet innebär självfallet ett problem för eleven. Om detta skulle fortsätta med ytterligare avvikelser från korrekta resultat, så kommer eleven så småningom att sluta att leta efter regelbundenheter och mönster, eftersom erfarenheten visar att några sådana inte existerar. Omfattande träning i huvudräkning, så att eleven exponeras för korrekta kombinationer, kan råda bot på den typen av felinlärning. Träningen kan gärna vara i form av läxor; forskningen visar att det är mer fördelaktigt för eleverna om de får läxor av färdighetskaraktär än om de får så kallade ”kluringar”.

När samverkan mellan arbetsminnet och långtidsminnet fungerar, frigörs kognitiv kapacitet för inlärning genom att den exekutiva funktionen då huvudsakligen kan användas för att koncentrera uppmärksamheten på det som ska läras in.

14

9789147105854b1-224c.indd 14

05/11/15 1:00 pm

1. Taluppfattning och tals anv채ndning

15

9789147105854b1-224c.indd 15

05/11/15 1:00 pm

1. Taluppfattning och tals användning

1.1 Att förstå talbegreppet Flera olika begrepp och förmågor ingår i talbegreppet. Talradens roll behandlas i första avsnittet. I det andra tas ett-till-ett-principen upp. Uppräkning från delen i stället för från början är ett viktigt utvecklingssteg som analyseras i det tredje avsnittet. Övergången mellan språklig kod och sifferkod är ofta underskattad i undervisningen, men utgör en viktig komponent i utvecklingen av talbegreppet. Detta avhandlas i det fjärde avsnittet.

Elever kan ha lärt sig det indiska notationssystemet istället för det arabiska, vilket kan vålla särskilda svårigheter för dem. Dessa problem redovisas i det femte avsnittet. Strukturen i positionssystemet är av central betydelse för elevers förståelse av talbegreppet, vilket beskrivs i det sista avsnittet.

1.1.1 Talraden MILSTOLPE 1.1.1.1

Det lilla barnet börjar med att försöka rabbla talraden.

MISSTAG 1

I början särskiljer inte barnet alla talord. Detta rättas dock till efter hand.

MISSTAG 2

Vi har i forskningen funnit att övergångar till vissa högre tiotal vid uppräkning av talraden kan vara problematiska. Mest problematiska visade sig övergångarna från 39 till 40 och från 69 till 70 vara.

Orsak

Dessa två övergångar förväxlades ofta, vilket skulle kunna bero på att de båda talen 40 och 70 fonetiskt ligger nära varandra. De låter helt enkelt förhållandevis lika. Framför allt elever med annat modersmål än svenska har den här typen av svårigheter.

16

9789147105854b1-224c.indd 16

05/11/15 1:00 pm

1.1 Att förstå talbegreppet

Åtgärd

Det är av vikt att lärare i sin dagliga undervisning artikulerar väl, för att minimera denna typ av svårighet. Vid uttalet av 40 kan det uttryckas som fyr-tio för att poängtera uttalsskillnaden från sju-tio. Detta sätt att uttrycka sig visar också på positionssystemets uppbyggnad med olika talsorter.

MISSTAG 3

En del elever använder uttrycket ”tjugotio” i stället för trettio.

Orsak

Detta uttryck har dock en logisk bakgrund som beror på en övergeneralisering som eleven gör. Åtgärd

Det här problemet är förhållandevis lätt att rätta till, eftersom det bara handlar om att lära sig själva namnet på talet.

MISSTAG 4

Barn kan ibland relativt långt upp i åldrarna utelämna ett eller flera tal i talraden. Det kan vara en mer permanent företeelse eller en mer tillfällig.

Vi träffade bland annat på en flicka i årskurs tre, som inte hade med talet elva i sin talrad.

Konsekvens

Alla additions- och subtraktionsuppgifter utfördes egentligen korrekt om man tog hänsyn till att talet elva inte fanns med i hennes talrad. Intrycket av elevens beräkningsförmåga blev bedömd som undermålig, eftersom eleven fick fel på alltför många uppgifter. Misstagen hade dock inte sin orsak i en svag beräkningsförmåga utan i hennes ofullständiga talrad.

Orsak

Otillräcklig övning av talraden och i vilken ordning talen kommer kan alltså vara orsaken till felaktiga beräkningar. Åtgärd

Öva talraden.

17

9789147105854b1-224c.indd 17

05/11/15 1:00 pm

1. Taluppfattning och tals användning

1.1.2 Ett-till-ett-principen MILSTOLPE 1.1.2.1

Att kombinera ett räkneordstal med ett objekt är också en viktig milstolpe i barnens matematikutveckling.

MISSTAG 1

Till en början kan ett och samma objekt tillordnas flera räkneordstal, och vissa objekt inte tillordnas några räkneordstal alls.

Orsak

Misstaget beror på att eleven inte behärskar talraden. Hop-parningen enligt ett-till-ett-principen sker oftast korrekt när eleven behärskar talraden. Åtgärd

Träna talraden.

MISSTAG 2

Elever får fel antal föremål när de räknar.

Orsak

Elever kan missa att hålla ordning på vilka objekt som räknats och vilka som inte räknats. De vill ofta räkna objekten i en viss ordning för att hålla reda på vilka objekt som är medräknade. Detta beteende ska inte förväxlas med principen om oberoende ordning, som Gelman och Gelistel (1978) formulerat. Att träna elever att räkna objekt oberoende av ordning gagnar inte elevernas matematikutveckling. Genom ordningen kan eleverna hålla reda på om ett objekt är medräknat eller ej. Åtgärd

En lämplig åtgärd är att träna ett ”administrativt” sätt att hålla reda på de föremål som redan räknats. Ett sätt kan vara att lägga föremålen på en rad efter varandra.

MILSTOLPE 1.1.2.2

En viktig milstolpe är att eleverna lär sig att räkna objekt oberoende av deras beskaffenhet.

MISSTAG 1

Ibland vägrar elever att räkna objekt av olika beskaffenhet.

18

9789147105854b1-224c.indd 18

05/11/15 1:00 pm

1.1 Att förstå talbegreppet

Orsak

Brist på erfarenhet av att räkna objekt av olika beskaffenhet är oftast förklaringen till beteendet. Åtgärd

Detta är olyckligt då eleverna lätt får uppfattningen att det inte går att räkna objekt av olika slag, som att exempelvis en myra och en elefant är två till antalet. Om läraren kontinuerligt namnger objekten, och exempelvis frågar efter antalet myror, så ges eleverna inte tillfälle att bortse från objektens beskaffenhet. Eleverna får ibland i läroböcker i matematik och av material i klassrummet lära sig att endast räkna objekt av samma slag. Fokus bör i stället vara på antalet objekt. Därför bör frågan ställas mer öppet, som: hur många finns det?

Konsekvens

Eleverna förstår inte att tal är abstrakta storheter. Denna förståelse infinner sig först när de kan räkna objekt av olika beskaffenhet. En sådan förståelse är en förutsättning för att eleverna längre fram ska kunna lära sig att handskas med negativa hela tal då dessa är just abstrakta storheter.

MILSTOLPE 1.1.2.3

Parallellt med att eleven rabblar talraden och räknar objekt så inleds ett skede då eleven intresserar sig för att skriva siffror. Då blir övergången från språkliga uttryck av tal, till uttryck av tal med siffror central. Man brukar prata om övergång från språklig kod till sifferkod. I olika språk uttrycks talorden på olika sätt. Några tal kan språkligt uttryckas med omkastningar av de ingående talsorterna, som exempelvis femton på svenska. Tiotalet sägs efter entalet men tiotalssiffran skrivs före entalssiffran, alltså i omkastad ordning. Talet tjugotre varken uttalas eller skrivs ju i omkastad ordning; tiotalssiffran skrivs först och entalssiffran sedan, precis som talet läses.

MISSTAG 1

Ett misstag som försenar elevernas matematikutveckling förekommer då eleverna skriver reverserade tal. Det innebär att entalet och tiotalet skrivs i omvänd ordning. Exempelvis skrivs talet 27 som 72.

Orsak

Omkastningar som övergeneraliserats.

19

9789147105854b1-224c.indd 19

05/11/15 1:00 pm

1. Taluppfattning och tals användning

Åtgärd

Medvetenhet om var i talraden omkastningar sker och var de inte sker.

MISSTAG 2

Elever som skriver spegelvända siffror bör läraren vara särskilt uppmärksam på då detta även kan vara ett tecken på andra problem.

Orsak

Då barnen stöter på bokstäver och siffror är det första gången som ett föremåls orientering i rummet får betydelse. En stol, till exempel, kan ju vändas hur som helst men förblir ändå en stol. I skolan upplever barnen att vissa föremåls orientering i rummet avgör föremålens betydelse. Exempel på detta kan vara bokstäverna b, d och p, men även siffrorna 6 och 9.

Skulle siffran 9 spegelvändas och sättas upp och ned så har vi inte längre symbolen för talet nio utan för talet sex. Även hur vägmärken uppfattas kan ju vara problematiskt. Om en pil som anger körriktning uppfattas peka i motsatt riktning än den avsedda kan detta få allvarliga konsekvenser. Åtgärd

Eleverna måste få erfara att orienteringen i rummet har betydelse. Ett bra sätt att lösa detta kan vara att använda planscher som visar hur siffrorna skrivs och vilket antal de representerar. Viktigt att observera är riktningarna uppifrån och ner samt från vänster till höger. Om eleverna från början lär sig rätt hur siffrorna skrivs behövs ingen påfrestande ”avinlärning” och ominlärning. Att sifferskrivandet tränas till automatisering gör att kognitiv kapacitet i arbetsminnet kan frigöras.

MISSTAG 3

Att skriva spegelvända siffror kan vara förknippat med sammanlänkade strukturer, exempelvis att talet tjugosju skrivs som tvåhundrasju, 27 → 207.

Orsak

Eleven behärskar inte positionssystemets struktur utan skriver talen som han/hon läser dem. Åtgärd

Träna på och förklara positionssystemets struktur mer.

20

9789147105854b1-224c.indd 20

05/11/15 1:00 pm

1.1 Att förstå talbegreppet

Analysövningar för dig som lärare 1.1

Lena beräknar additionen 7 + 9 och får resultatet 17. Vad kan orsaken vara? (Autentisk)

1.2

Bill uppmanas att skriva talet tjugosex och skriver 62. Ange en tänkbar orsak samt föreslå lämpliga åtgärder. (Autentisk)

1.3

Jenny skriver vissa siffror spegelvända. Vad kan detta vara tecken på? (Autentisk)

Öva och bedöm betygssättning

Begreppsförmågan godtagbara kunskaper i årskurs 3: – Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt.

1.4

Anders skriver då och då siffrorna tre och sju spegelvända. Hur ska detta bedömas? (Autentisk)

1.5

Ia missar ibland något tal när hon räknar baklänges. Är hennes kunskaper avseende talbegreppet godtagbara? Motivera din bedömning!

(Autentisk)

1.6

Efter 39 kommer Ali till 70 när han ska räkna till hundra. Bedöm hans kunskaper enligt kriteriet. (Autentisk)

1.7

Lina skriver 82 då läraren ber henne skriva tjugoåtta. Hur ska detta bedömas? (Autentisk)

21

9789147105854b1-224c.indd 21

05/11/15 1:00 pm

1. Taluppfattning och tals användning

1.1.3 Uppfattningar av räkneordstal och antal När man behandlar talbegreppet avser man oftast talen som ett kollektivt begrepp, ett så kallat metabegrepp, som kännetecknas av vissa gemensamma egenskaper såsom räkneordstal och antal. Räkneords-egenskapen utgörs av talens inbördes ordning, och antal avser talens antalsegenskaper.

Att uppfatta antal är en medfödd förmåga som innebär att eleven visuellt kan uppfatta högst fem föremål, så kallad subitisering. Räkneordstal är något som eleven måste lära in. Kopplingen mellan dessa två delar är mycket viktig för elevens matematikutveckling.

MILSTOLPE 1.1.3.1

Initialt uppfattar eleven de två aspekterna, räkneordstal och antal, var för sig utan någon inbördes koppling. En elev kan alltså avgöra hur många föremål det finns om antalet är under fem samtidigt som eleven kan tilldela föremålen räkneordstal enligt ett-till-ett-principen.

MILSTOLPE 1.1.3.2

Att eleven uppfattar kopplingen från räkneordstal till antal i just den riktningen utgör en viktig utvecklingsfas. Eleven kan svara på frågan hur många genom att koppla det sista föremålets räkneordstal till antal. Detta sker mer eller mindre mekaniskt i början för att efterhand mer vila på förståelse. Detta mekaniska förfarande brukar benämnas ”the Last Number Word Rule”.

Ett annat yttre tecken på denna utvecklingsfas är att eleven vid addition dubbelräknar från början. Då eleven ska utföra 5 + 3 kan det låta så här: ”Ett, två, tre, fyra, fem. Ett, två, tre. Ett, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta. Det är åtta.” I ett senare skede i elevens utveckling kan det bli något kortare: ”Ett, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta. Det är åtta.”

22

9789147105854b1-224c.indd 22

05/11/15 1:00 pm

1.1 Att förstå talbegreppet

MISSTAG

I ett experiment tog intervjuaren fram sju stenar, och tog tre av dem i ena handen, fullt synliga för eleven. Intervjuaren tog sedan inte fullt synligt resten av stenarna i den andra handen och frågade eleven hur många stenar det fanns i den handen. Ett antal elever svarade sju stenar istället för fyra.

Orsak

Förklaringen till detta visade sig vara en mekanisk tillämpning av ”the Last Number Word Rule”. De elever som menade att den sten som var nummer sju måste finnas i den andra handen och därför var det sju stenar, förstod inte att de tre första stenarna saknades i den andra handen och att antalet därmed minskat med tre. Åtgärd

Erfarenheter av additiv uppdelning av tal kan förbättra förståelsen, så att problemet åtgärdas.

MILSTOLPE 1.1.3.3

Eleven kan nu göra kopplingen åt andra hållet, från antal till räkneordstal. Detta är ett avgörande kliv i elevens matematikutveckling som gör att eleven kan dubbelräkna upp från delen. Först utförs uppräkningen i uppgifter med enklare och mindre tal, och därefter inkluderas även större tal.

Det antal steg som eleven räknar upp i talraden hålls alltså reda på med hjälp av dubbelräkning. Dubbelräkning blir följaktligen en viktig milstolpe i elevens tidiga matematikutveckling. Vid addition sker dubbelräkning som en uppräkning enligt nedan: 5 + 3:

5, 61, 72, 83

För att räkna upp från delen krävs att eleven kan gå från antal till räkneordstal, alltså i omvänd ordning. Om talen fem och tre ska adderas krävs att eleven kan gå från antalsegenskapen av talbegreppet till räkneordsegenskapen, i detta fall från att ha fem objekt till att veta att det är objektet med räkneordet fem. Uppräkningen börjar då med dubbelräkning på objekt sex och omfattar tre steg till och med objekt åtta. Eleven går nu från räkneordsegenskapen, dvs. från objekt åtta, tillbaka till antalsegenskapen, dvs. åtta till antalet, och konstaterar att det är åtta objekt.

23

9789147105854b1-224c.indd 23

05/11/15 1:00 pm

1. Taluppfattning och tals användning

MISSTAG

Ibland tar elever inte steget att räkna upp från början till att räkna upp från delen utan fortsätter att räkna upp från början betydligt längre än sina kamrater. En sådan fördröjd aritmetisk utveckling kan göra att eleven kommer mer än en termin efter i sin utveckling. Förutom uppräkning från början finns några ytterligare tecken på detta misstag. Eleven • • • •

skriver spegelvända siffror, skriver omkastade tal, skriver sammanlänkade tal behärskar inte talraden.

Orsak

Sifferskrivandet är heller inte automatiserat. Detta leder till en ökad belastning på arbetsminnet och en minskad kognitiv kapacitet, vilket torde vara den direkta orsaken till fördröjningen. Åtgärd

Det är viktigt att lärare vaksamt följer upp så att samtliga elever får ett automatiserat sifferskrivande. I vissa klasser har vi funnit att upp till tio elever har en fördröjd aritmetisk utveckling.

MILSTOLPE 1.1.3.4

I detta skede uppfattar eleven aspekterna räkneordstal och antal simultant, och kopplingen går åt båda hållen. Denna samtidighet gör att eleven kan pendla mellan de båda aspekterna, vilket kan bidra till en djupare förståelse vid upp- och nedräkning vid addition respektive subtraktion.

Subtraktioner kan ha två fundamentalt olika nedräkningsstrategier.

Den första strategin innebär en nedräkning till svaret. Vid subtraktionen 8 – 3 startar dubbelräkningen på åtta och eleven räknar ner tre stycken tal i talraden. Då har tre objekt tagits bort och det återstår fem objekt, som nedan: 8 – 3:

5, 63, 72, 81

Eftersom subtraktion är den motsatta operationen till addition, så är denna ordinära nedräkning samma procedur som den additiva uppräkningen, fast åt motsatt håll.

Den andra strategin vid subtraktion benämns nedräkning till delen. Ska 8 – 3 beräknas, så räknar eleven ner till delen tre, vilket innebär fem steg.

De fem stegen utgör då svaret på subtraktionen. Denna strategi kan an24

9789147105854b1-224c.indd 24

05/11/15 1:00 pm

ISBN 978-91-47-10585-4 © 2016 Per-Olof Bentley, Christine Bentley och Liber AB Projektledare och redaktör: Cecilia Söderpalm-Berndes Omslag: Nette Lövgren Formgivning: Nette Lövgren Illustratör: Cicci Lorentzson Produktion: Lars Wallin Första upplagan 1 Tryck: People Printing, Kina 2016

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 kundservice.liber@liber.se

9789147105854b1-224c.indd 2

05/11/15 1:00 pm

Om författarna Per-Olof Bentley är lärarutbildare samt fil. dr i matematikdidaktik och docent vid Göteborgs universitet. Han har varit Skolverkets expert när det gäller djupanalysen av TIMSS-resultaten i Sverige. Christine Bentley är fil. dr i språkdidaktik, forskare och lärare med lång erfarenhet av matematikundervisning.

Tillsammans har de två genomfört ett stort forskningsprojekt om matematikutvecklingen i Lilla Edets kommun. De har dessutom analyserat orsakerna till elevers misstag i matematik i ett antal kommuner i västra Sverige.

Bentley Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen

Den här boken är upplagd efter ”matematikens milstolpar”, dvs. moment som eleverna måste förstå för gå vidare. Om eleverna inte når milstolparna, kan de heller inte utveckla sina matematiska förmågor och nå högre kunskapsnivåer. I matematiken finns många fallgropar som eleverna kan hamna i, och som gör att de inte klarar av nästa teoretiska nivå. De misstag eleverna gör är systematiska, dvs. ett stort antal elever gör likartade fel. I den här boken får lärarna hjälp med att identifiera misstagen och kartlägga orsakerna till dessa, och de får förslag på vilka åtgärder som bör vidtas.

Boken tar upp problem som kan uppstå inom alla de olika momenten i matematikens centrala innehåll, från årskurs 1 i grundskolan till och med kursen Matematik 2 på gymnasiet.

Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen Matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder Per-Olof Bentley och Christine Bentley

Best.nr 47-10585-4 Tryck.nr 47-10585-4

9789147105854c1c.indd All Pages

05/11/15 11:05 AM