9789144110790 by Smakprov Media AB

MODERN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL DRAGU ATANASIU ANDERS BENGTSSON

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av a llmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39084 ISBN 978-91-44-11079-0 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2015 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin Signalera Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2015

24 september 2015 – sida 3 – # 3

INNEHÅLL

KAPITEL 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Distributiva lagen 15 Binomialteoremet 20 Talmängder 24 Koordinatsystem 30 Räta linjen 31 Funktioner 35 Komplexa tal 37 Trigonometri 40 Induktion 43 Övningsuppgifter 44

KAPITEL 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

Grunder 15

Polynom 53

Polynom och deras egenskaper 53 Derivatan av polynom 67 Derivatan och grafer 82 Rolles sats för polynom 93 Anti-derivatan eller primitiven 99 Enkla differentialekvationer 103 Taylors polynom 111 Bestämda integraler och areor 126 Kontinuitet för polynom* 140 Derivatan som gränsvärde* 148 Derivering av sammansatta polynom* 152 Övningsuppgifter 155

24 september 2015 – sida 4 – # 4

innehåll

KAPITEL 3

Derivata, gränsvärde och kontinuitet 171

3.1 3.2 3.3 3.4

Derivata 171 Gränsvärde 179 Kontinuitet 186 Sammanfattning av nödvändig teori 193

KAPITEL 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12

Rationella funktioner 197 Grafer för rationella funktioner 204 Funktioner som avbildningar 210 Sammansättningar av funktioner 211 Differentialer 216 Inversa funktioner 225 Integrationsmetoden variabelsubstitution 236 Integration av rationella funktioner 244 Generaliserade integraler 254 Separabla differentialekvationer 257 Taylorutveckling av rationella funktioner 260 Övningsuppgifter 267

KAPITEL 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 4

Algebraiska funktioner 197

Transcendentala funktioner 281

Exponential- och logaritmfunktionerna 281 Första ordningens linjära differentialekvationer 291 Integrationsmetoden partiell integration 300 Härledning av Taylors formel 304 Andra ordningens linjära differentialekvationer (I) 307 Trigonometriska funktioner 313 Andra ordningens linjära differentialekvationer (II) 320 Komplexa exponenter och trigonometriska funktioner 324 Partialintegration med trigonometriska funktioner 328 Arcusfunktionerna 330 Metoder att bestämma partikulärlösningar 333 Övningsuppgifter 338 © F Ö R FAT TA R N A O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

24 september 2015 – sida 5 – # 5

innehåll

KAPITEL 6

6.1 6.2 6.3 6.4

Taylorserier 349

Taylorserier och konvergens 349 Taylorserier för trigonometriska funktioner 361 Exponentialfunktionen återbesökt 367 Övningsuppgifter 374

Svar till övningsuppgifter 379

Litteraturförteckning 413

Sakregister 415

KAPITEL 3

24 september 2015 – sida 171 – # 171

Derivata, gränsvärde och kontinuitet

I förra kapitlet gick vi genom mycket av den praktiskt användbara differentialoch integralkalkylen och hur man räknar i den. Nu ska vi studera en del av teorin som får det att fungera även för andra funktioner än polynom. För att definiera derivatan generellt behöver vi definiera och diskutera gränsvärden i detalj. När det är gjort kan vi studera kontinuitet. Därefter kan vi med gott samvete använda de metoder och satser som vi utvecklat för polynom. I kapitlets sista avsnitt 3.4 sammanfattar vi den nödvändiga teorin för den som snabbt vill komma vidare. I kapitlets tre första avsnitt 3.1 - 3.3 diskuterar vi teorin mer utförligt.

3.1 Derivata Definitionen av en funktion y = f (x) innehåller all information om funktionen. Varför behövs då dess derivata f ′ (x)? Den frågan har vi försökt besvara. Vi har sett att derivatan framkallar funktionens egenskaper på ett tydligt sätt. Differentialkalkylen kretsar därför kring begreppet derivata och det är nödvändigt att förstå sig på vad derivatan betyder, hur den används och hur man räknar med den. Vår praktiska kunskap från kapitlet om polynom ska nu kompletteras med en djupare förståelse som gör att vårt arbete med algebraiska och transcendentala funktioner i de kommande kapitlen 4 och 5 även det står på fast grund.

DIFFERENSKVOTEN ÅTERBESÖKT

Vi erinrar oss differenskvoten från avsnitt 2.2 som är själva kärnan i definitionen av derivatan. Vi har en funktion y = f (x) och vi ställer frågan: hur stor blir ändringen ∆y i y om x ändras med ∆x från x till x + ∆x? © F Ö R FAT TA R N A O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

171

24 september 2015 – sida 172 – # 172

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

Ändringen ∆y i y kan beräknas som en differens ∆y = f (x + ∆x) − f (x) och den relativa differensen beräknas som en differenskvot. ∆y f (x + ∆x) − f (x) = ∆x ∆x

(3.1)

Flera saker kan noteras. Inget är sagt om hur stort eller litet ∆x är, men vanligtvis tänker man sig ”små” ändringar och betecknar ∆x = h. Inget är heller sagt om tecknet på ändringen, ∆x kan vara positivt eller negativt. Inget är heller sagt om talet x annat än att det måste ligga i funktionens definitionsmängd och att det måste vara möjligt att beräkna differensen för tal nära x. Vill man speciellt framhålla att man intresserar sig för förändringar kring ett speciellt värde för x – men godtyckligt inom definitionsmängden – så kan man välja x = a och undersöka differensen f (a + h) − f (a) och därmed den relativa ändringen vid punkten x = a f (a + h) − f (a) h

(3.2)

Ett sätt att svara på frågan om hur liten förändringen ska väljas är att säga att man väljer den godtyckligt liten, eller hur liten som helst. Problemet är då att både täljare och nämnare i kvoten närmar sig noll. Hur kan man vara säker på att beräkningen är meningsfull? I kapitlet om polynom har vi sett att differenskvoten trots att den är odefinierad för h = 0 lika fullt kan ges en förnuftig mening. I det fall att f är ett monom f (x) = x n så har vi enligt formel (2.25) (a + h)n − a n n = na n−1 + ( )ha n−2 + . . . + nh n−2 a + h n−1 h 2

(3.3)

I högerledet är det inga problem att sätta in h = 0. Man får helt enkelt na n−1 . Eftersom ett polynom är en summa av monom c n x n så inser man differenskvoten för vilket polynom som helst kan skrivas om på en form där man kan sätta h = 0. Vi ska nu lägga den grund som behövs för att denna typ av resonemang ska kunna utsträckas till andra funktioner än polynom. Anmärkning 3.1 På detta sätt arbetade differentialkalkylens pionjärer, exempelvis Fermat och Descartes, under 1600-talet. Men det fanns en oro. När 172

24 september 2015 – sida 173 – # 173

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

man skriver om differenskvoten för ett polynom genom att uttnyttja formeln (3.3) så förutsätter man faktiskt att h ≠ 0, annars kan divisionen som leder till uttrycket på högersidan inte utföras. Sedan sätter man h = 0 i resultatet av divisionen. Det är en logisk motsägelse: man kan inte först ha h ≠ 0 för att kunna dividera med h och sedan sätta h = 0 i resultatet av divisionen. Ändå tycks tillvägagångssättet fungera bra. Metoderna utvecklades av Newton och Leibniz till vad som blev differentialoch integralkalkyl. Speciellt Leibniz, som även var filosof, diskuterade en grundval i termer av infinitesimaler – oändligt små tal. Begreppet gränsvärde – som utvecklades främst av Cauchy och Weierstrass – kom under 1800-talet kom att bli ”standardsvaret” på dilemmat. Det finns nu ett annat svar på dilemmat som bygger på Leibniz infinitesimaler som ställdes på en sund logisk grund av Abraham Robinson på 1960-talet [8]. Denna teori kallas för ”icke-standard analys". Innan vi studerar derivatans definition ska vi skriva differenskvoten i en alternativ form som ofta är praktisk.¹ I uttrycket (3.2) är a en godtycklig men bestämd punkt i definitionsmängden medan h är en variabel. Vi kan istället återinföra x som variabel genom att välja x = a + h. Därmed blir h = x − a. Differenskvoten tar då formen f (x) − f (a) x−a

(3.4)

Att välja små värden för h svarar då mot att välja x nära a. Nu till definitionen.

DERIVATANS DEFINTION

Definition 3.2 (Derivata) En funktion f sägs vara deriverbar i en punkt a om f är definierad i någon omgivning av a och om gränsvärdet lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

(3.5)

existerar. Alternativt kan gränsvärdet skrivas som lim

x→a

f (x) − f (a) x−a

(3.6)

1 Vi diskuterade detta i avnsnitt 2.7. Se formel (2.62).

173

24 september 2015 – sida 174 – # 174

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

Gränsvärdet kallas derivatan av funktionen f i punkten a och betecknas med f ′ (a). En funktion är deriverbar i ett intervall om den är deriverbar i alla punkter i intervallet. Derivatan är en funktion och betecknas med f ′ (x). I denna definition förekommer ett antal begrepp som måste klargöras. De har nämnts tidigare men nu måste deras betydelse redas ut. För att komma vidare måste vi därför tala om vad som menas med ”en omgivning” till en punkt och själva begreppet gränsvärde måste definieras. Vi ska därför börja med att påminna oss om begreppet intervall, sedan införa begreppet omgivning och till sist gränsvärde. Vi lånar en metod från litteraturvetenskapen och tänker oss att vi gör en textanalys av derivatans definition – ungefär som när man analyserar ett stycke poesi – för att förstå vad definitionen egentligen utsäger.

Analys av derivatans definition

Derivatan till en funktion f i en punkt a är något lokalt definierat. Vi behöver inte ha kännedom om funktionen i hela dess definitionsmängd. Det räcker att kunna räkna med den i punkter runt omkring punkten a. Man skulle kunna säga ”nära” a. Begreppet ”omgivning” ger oss ett exakt verktyg att prata om punkter i närheten av en viss punkt utan att för den skull vara onödigt restriktiva.

Begreppet omgivning

Definition 3.3 (Omgivning) Med en omgivning till en punkt a menas en mängd reella tal som innehåller ett öppet intervall I sådant att a ∈ I. Det öppna intervallet I kan väljas som ]a − δ, a + δ [ där δ är ett positivt reellt tal.

a−δ

a+δ

FIGUR 3.1: Exempel på omgivning till punkten a. Anmärkning 3.4 I praktiken kommer vi att göra det enkelt för oss och som omgivningar till en punkt a välja öppna intervall ]a − δ, a + δ [ centrerade kring a. Se även diskussionen i kapitel 1 på sidan 26 och framåt. 174

24 september 2015 – sida 175 – # 175

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

Inget sägs om hur ”stort” det öppna intervallet kan vara. Vanligtvis tänker man sig dock ett ”tillräckligt litet” intervall. Det motsvarar att talet δ väljs tillräckligt litet. Notera också att begreppet omgivning som sådant inte har något att göra med vilken funktion man studerar. Det är först när begreppet ska användas, när man behöver en omgivning till en punkt, som man måste försäkra sig om att det finns en omgivning till punkten som också är en delmängd av funktionens definitionsmängd. I derivatans definition förekommer frasen ” f är definierad i någon omgivning av a” Här räcker det inte med att punkten a har en omgivning utan också att denna omgivning ligger helt i funktionens definitionsmängd. Varför är det viktigt? Jo, det måste vara möjligt att beräkna differenskvoten f (a + h) − f (a) h ”nära” punkten a, det vill säga för små värden för h, alltså just i en omgivning av a. Då måste funktionsvärdena vara definierade. Detta betyder att derivatan inte kan definieras i en isolerad punkt. En punkt är isolerad om den inte har någon omgivning som ligger i defninitionsmängden, hur litet värde på δ man än väljer. Anmärkning 3.5 Lägg märke till att ordet ”definierad” används i något olika betydelser. När vi säger att en funktion ”är definierad i ett intervall” så menar vi att dess funktionsvärden kan beräknas för alla punkter i intervallet – det vill säga ”är definierade”.

Begreppet intervall

Definitionen av begreppet omgivning bygger på begreppet intervall, speciellt öppna intervall. När det gäller intervall hänvisar vi läsaren till avsnitt 1.3. Det är viktigt att omgivningar är öppna intervall. Man vill nämligen undvika att punkten x hamnar i en ändpunkt. Öppna intervall har inga ändpunkter, så det är omöjligt att x skulle kunna vara en ändpunkt. Om punkten x kan © F Ö R FAT TA R N A O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

175

24 september 2015 – sida 176 – # 176

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

väljas som en ändpunkt i ett slutet intervall skulle man kunna få problem med att differenskvoten i derivatans definition inte skulle kunna beräknas på grund av att funktionen inte är definierad utanför det slutna intervallet. Med öppna intervall som omgivningar är det aldrig något problem eftersom hur nära man än väljer x till exempelvis det öppna intervallets högra begränsning a + δ så finns det ändå punkter x i omgivningen mellan a och a + δ. Situationen illusteras för omgivningar i figur 3.2 och problemet med slutna intervall i figur 3.3. Vi går vidare och diskuterar begreppet gränsvärde. x a−δ

a+δ

FIGUR 3.2: Val av x i ett öppet intervall. x a−δ

a+δ

FIGUR 3.3: Möjligt val av x i slutet intervall.

Begreppet gränsvärde

Vi ska nu försöka förstå symbolen lim h→0 som förekommer i derivatans definition. Själva ordet ”lim” är en förkortning av det latinska ”limes” med betydelsen en ”gränslinje”². Vi läser ut hela symbolen lim h→0 som ”gränsen då h går mot noll”. Men låt oss först backa tillbaka till den differenskvot som utgör kärnan i derivatans definition, nämligen f (a + h) − f (a) h Denna kvot är tänkt att mäta den relativa förändringen i funktionens värde kring punkten a. Tanken är att välja allt mindre värden på h. Men man kan inte sätta in h = 0 ty då är både täljare och nämnare i differenskvoten noll. Nu 2 Det kom att användas som en beteckning för Romarrikets yttersta gräns.

176

24 september 2015 – sida 177 – # 177

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

har vi sett att för vissa enkla funktioner kan differenskvoten förenklas rent algebraiskt till ett uttryck där man kan sätta h = 0. För sådana funktioner kan man bryta ut en faktor h från differensen f (a+h)− f (a). Denna faktor kan då förkortas mot h i nämnaren och gränsvärdet och därmed derivatan tycks då kunna beräknas genom direkt insättning av h = 0. Dock – som redan påpekats – det ligger en logisk kullerbytta här i och med att vi faktiskt delat med h och därmed förutsatt att h inte är noll. Man kan heller inte bryta ut en faktor som är noll. Samtidigt är det klart att det fungerar i praktiken för polynom. Alternativt kan vi skriva differenskvoten som i (3.4) f (x) − f (a) x−a och nu vill vi välja x nära a. Samma problem uppstår med att kvoten är odefinierad för x = a. Således behöver vi ett gränsvärde limx→a . Numeriskt exempel För att bygga upp en intuitiv känsla för gränsvärde och derivata ska vi räkna genom ett exempel med polynom. Exempel 3.6 Vi väljer polynomet f (x) = 4x 3 − 3x + 2. Vi ska studera dels gränsvärdet för f (x) då x → 1, dels derivatan av f (x) i x = 1. De två gränsvärdena är alltså lim f (x) = lim (4x 3 − 3x + 2) x→1

x→1

f (x) − f (1) lim x→1 x −1 Vi börjar med det första. Vi förväntar oss inga problem med att sätta in x = 1 i polynomet. Men låt oss ändå beräkna värden för f i närheten av x = 1. Tabell 3.1 visar våra val och de resultat vi fått. Det är en bra övning att själv kontrollera några värden med miniräknare. Det är uppenbart att då vi väljer x allt mer nära 1 så hamnar funktionsvärdena allt närmare 3. Sätter vi in x = 1 i polynomet så får vi mycket riktigt f (1) = 3. För det första gränsvärdet kan vi skriva lim f (x) = f (1) = 3 x→1

177

24 september 2015 – sida 178 – # 178

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

TABELL 3.1: Funktionsvärden för f (x) = 4x 3 − 3x + 2 nära x = 1. x

f (x)

0.8

1.648

1.0001

3.0009

0.9

2.216

1.001

3.00901

0.99

2.9112

1.01

3.0912

0.999

2.99101

1.1

4.024

0.9999

2.9991

1.2

5.312

Detta faktum – att gränsvärdet är lika med funktionsvärdet – betyder att funktionen är kontinuerlig i punkten (se avsnitt 2.2 sidan 77). Vi ska videreutveckla detta begrepp i avsnitt 3.3 Sedan studerar vi det andra gränsvärdet, det som är ämnat att ge derivatan i punkten x = 1. Nu vet vi att f (1) = 3 varför det gränsvärde vi vill beräkna är följande lim x→1

f (x) − 3 4x 3 − 3x − 1 = lim x→1 x −1 x −1

I tabell 3.2 har vi beräknat värden. TABELL 3.2: Värden för differenskvoten nära x = 1. Plustecken är utsatta för att öka läsbarheten. x

x−1

4x 3 − 3x − 1

4x 3 −3x−1 x−1

0.8

−0.2

−1.352

6.76

0.9

−0.1

−0.784

7.84

0.99

−0.01

−0.088804

8.8804

0.999

−0.001

−0.008988

8.988

0.9999

−0.0001

−0.00089988

8.9988

1.0001

+0.0001

+0.00090012

9.0012

1.001

+0.001

+0.009012

9.012

1.01

+0.01

+0.091204

9.1204

1.1

+0.1

+1.024

10.24

1.2

+0.2

+2.312

11.56

Här ser vi (i andra och tredje kolumnen) att både nämnare och täljare i 178

24 september 2015 – sida 179 – # 179

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

differenskvoten närmar sig 0 då x → 1, ändå tycks differenskvoten själv närma sig värdet 9. Och mycket riktigt, derivatan av polynomet är f ′ (x) = 12x 2 − 3 och vi får att derivatan i punkten x = 1 är f ′ (1) = 12 − 3 = 9. Detta visar att vi mycket väl kan ha ett välbestämt gränsvärde för ett matematiskt uttryck – i detta fall en differenskvot – även om direkt insättning inte fungerar. Å andra sidan misstänker vi från vårt tidigare arbete med polynom att denna differenskvot kan förenklas. Det visar sig att 4x 3 − 3x − 1 = 4x 2 + 4x + 1 x −1 På den högra sidan kan x = 1 sättas in och resultatet blir 9. Men, som redan påpekat, vi har egentligen dividerat med noll. Vi lämnar nu detta exempel. Vi kommer inte längre i analysen av derivatans definition utan en definition av gränsvärde som undviker den logiska kullerbyttan. Därefter kan vi återvända till exemplet och se hur definitionen tar oss runt de logiska svårigheterna.

3.2 Gränsvärde Vi tänker oss att vi har en funktion som vi kallar д (för att undvika sammanblandning med f i differenskvoten) som är definierad i en omgivning av en punkt a men inte nödvändigtvis i själva punkten a. Vi kan alltså välja punkter a + h hur nära a som helst och sätta in i д och beräkna д(a + h). Men vi kan inte vara säkra på att vi kan sätta in a. Vi vill definiera en situation där vi väljer punkter i omgivningen allt närmare a och där д då närmar sig ett visst tal A. Punkten a kan vara 0 så vi täcker in båda situationerna då x → a och h → 0. Definition 3.7 (Gränsvärde) Låt д vara en funktion och a en punkt sådan att varje omgivning av a innehåller någon punkt ur funktionens definitionsmängd. Då sägs funktionen д ha gränsvärdet A då x → a om det till varje positivt tal є finns ett positivt tal δ sådant att ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣д(x) − A∣ < є

(3.7)

för punkter x i funktionens definitionsmängd. Man skriver antingen lim д(x) = A

x→a

eller

д(x) → A då x → a

(3.8)

179

24 september 2015 – sida 180 – # 180

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

Anmärkning 3.8 Pilen ⇒ i ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣д(x) − A∣ < є kallas för en implikationspil. Utsagan utläses som Om ∣x − a∣ < δ så ∣д(x) − A∣ < є och ska tolkas som att om påståendet ∣x − a∣ < δ är sant så följer därav att påståendet ∣д(x) − A∣ < є också är sant.

Analys av gränsvärdesdefinitionen

Vi roar oss med att fortsätta analysen som en textanalys av gränsvärdesdefinitionen. Ett sätt att få en intuitiv förståelse för denna något besvärliga definition är att tänka såhär. Om gränsvärdet existerar och är lika med A, då är funktionsvärdena д(x) ”tvingade” att ligga hur nära gränsvärdet A som helst för punkter x tillräckligt nära gränspunkten a. Notera också att inget sägs om att funktionen ska vara definierad i x = a. Det behöver alltså inte vara möjligt att sätta in x = a i funktionen. Det handlar enbart om att kunna komma hur nära gränsvärdet som helst. En liten komplikation i definitionen, som man kanske lägger märke till, är att i texten nämns talet є före talet δ medan i implikationen ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣д(x) − A∣ < є så kommer δ före є när man läser från vänster till höger. Det kommer sig av att då man använder definitionen för att visa att ett gränsvärde existerar så väljer man först ett є och svarar sedan med ett δ. Vi återvänder till exempel 3.6 för att se hur det går till i praktiken. Vi ska spela Epsilon-deltaspelet.

Epsilon-deltaspelet Vi ska nu se hur man kan använda definitionen för att visa att gränsvärdet för differenskvoten i vårt exempel 3.6 faktiskt är 9. Exempel 3.9 Om vi jämför med exemplet så har vi funktionen д lika med differenskvoten, det vill säga д(x) = 180

4x 3 − 3x − 1 = 4x 2 + 4x + 1 x −1

(3.9)

24 september 2015 – sida 181 – # 181

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

medan A = 9. Eftersom vi aldrig avser att sätta x = 1 är det inga problem att utföra divisionen i (3.9). Nu ska vi visa att vi kan tvinga д(x) − 9 hur nära 0 som helst genom att välja x − 1 tillräckligt litet. Vi ska spela Epsilon-deltaspelet.³ En utmanare kräver att ∣д(x) − 9∣ < є med allt mindre värden för є. Vi antar utmaningen och svarar med ∣x − 1∣ < δ med ett δ som är tillräckligt litet för att tvinga ∣д(x) − 9∣ < є. Vi vinner spelet om vi kan matcha varje є med ett tillräckligt litet δ, annars vinner utmanaren. Vi förbereder spelet genom att först skriva д(x) − 9 = 4x 2 + 4x − 8. Här kommer nu Taylors polynom väl till pass. Eftersom д(x) är differenskvoten för ett polynom f (x) och A är derivatan f ′ (a) för polynomet så vet vi från Taylors polynom att f (x) − f (a) − f ′ (a) x−a f ′′ (a) f (n) (a) = (x − a) + . . . + (x − a)n−1 2! n!

д(x) − A =

och därmed är д(x) − A med nödvändighet delbart med x − a. Och mycket riktigt i vårt exempel har vi д(x) − 9 = 4x 2 + 4x − 8 = (x − 1)(4x + 8) Nu kan spelet börja. Utmanaren väljer exempelvis є = 0.1. Det betyder att kravet är att ∣д(x) − 9∣ < 0.1, det vill säga att ∣(x − 1)(4x + 8)∣ = ∣x − 1∣∣4x + 8∣ < 0.1 Vi dividerar med ∣4x + 8∣ och får ∣x − 1∣ <

0.1 ∣4x + 8∣

Eftersom x ska vara nära 1 kommer nämnaren att vara nära 4 ⋅ 1 + 8 = 12. Vi väljer då att möta utmaningen med ett δ som är mindre än 0.1/12 ≈ 0.00833 exempelvis 0.005. Det betyder att 0.995 < x < 1.005. Med x i detta intervall 3 Idén till detta fann vi i David Bressouds mycket trevliga bok A Radical Approach to Real Analysis, [9]. Se sidan 61 och framåt.

181

24 september 2015 – sida 182 – # 182

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

kan 4x +8 aldrig bli större än 4⋅1.005+8 = 12.02. Det betyder att ∣x −1∣∣4x +8∣ < 0.005 ⋅ 12.02 = 0.0601. Vi klarar utmaningen med god marginal. Vi får en ny utmaning. Utmanaren kanske väljer є = 0.001. Kravet är då att ∣д(x) − 9∣ < 0.001 det vill säga att ∣(x − 1)(4x + 8)∣ = ∣x − 1∣∣4x + 8∣ < 0.001 Vi dividerar med ∣4x + 8∣ och får nu ∣x − 1∣ <

0.001 ∣4x + 8∣

Nämnaren är åter nära 4 ⋅ 1 + 8 = 12. Vi väljer därför ett nytt δ som är mindre än 0.001/12 ≈ 0.0000833 exempelvis 0.00005. Det betyder att 0.99995 < x < 1.00005. Med x i detta intervall kan 4x + 8 aldrig bli större än 4 ⋅ 1.00005 + 8 = 12.0002. Det betyder att ∣x −1∣∣4x +8∣ < 0.00005⋅12.0002 = 0.00060. Vi klarar åter utmaningen med god marginal. Man inser att hur svår utmaning man än får, det vill säga hur litet є utmanaren än väljer, så kan vi ändå finna ett tillräckligt litet δ som klarar utmaningen. På detta vis kommer man runt den logiska kullerbyttan att både inte ha och ha x − a = 0. Resultatet är att gränsvärdet är lika med 9, det vill säga 4x 3 − 3x − 1 = lim 4x 2 + 4x + 1 = 9 x→1 x→1 x −1

lim д(x) = lim x→1

I det sista ledet tycks det som att man kan beräkna gränsvärdet genom att helt enkelt sätta in x = 1. Man måste dock ha klart för sig att de båda funktionsuttrycken 4x 3 − 3x − 1 x −1

och

4x 2 + 4x + 1

faktiskt är olika. De överenstämmer överallt utom just för x = 1 där kvotuttrycket är odefinierat. Däremot har de samma gränsvärde då x → 1. Att man i uttrycket 4x 2 + 4x + 1 helt enkelt kan sätta in x = 1 beror på att detta funktionsuttryck är kontinuerligt för x = 1. Kontinuitet ska vi reda ut i nästa avsnitt. 182

24 september 2015 – sida 183 – # 183

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

Vi tillämpar derivatans definition och gränsvärdesbegreppet för att beräkna √ derivatan av rotfunktionen y = x.

DERIVERING AV ROTFUNKTIONEN

√ Vi ska nu beräkna derivatan av rotfunktionen f (x) = x för x > 0. Enligt derivatans definition ska vi alltså beräkna gränsvärden √ lim

h→0

x+h− h

√

(3.10)

Även denna differenskvot är odefinierad för h = 0. Vi kan inte bara sätta in h = 0. Innan något mer kan göras åt differenskvoten måste den skrivas √ √ √ √ om algebraiskt. Vi använder konjugatregeln ( b − a)( b + a) = b − a. Vi kan sedan förlänga kvoten √

√ √ √ √ √ 1 b− a b− a b+ a = ⋅√ √ =√ √ b−a b−a b+ a b+ a

som följer från konjugatregeln under förutsättning att a ≠ b. Om vi här väljer b = a + h så att b − a = h så får vi precis differenskvoten √

a+h− h

√

=√

1 a+h+

√

(3.11)

I själva differenskvoten till vänster kan h inte sättas till 0. Men i uttrycket till höger är det inga problem att sätta in h = 0. Uttrycken har samma värde för alla h utom just för h = 0. Däremot har de samma gränsvärde för h → 0 vilket kan bevisas genom att spela Epsilon-deltaspelet. Gränsvärdet kan då beräknas genom sätta in h = 0 i högerledet av (3.11). Resultatet är √ lim

h→0

x+h− h

√

1 = √ 2 x

(3.12)

Vi lämnar Epsilon-deltaspelet som en övning i detta fall. För många intressanta och i tillämpningarna användbara funktioner kan alltså differenskvoten förenklas rent algebraiskt och det förefaller som om © F Ö R FAT TA R N A O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

183

24 september 2015 – sida 184 – # 184

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

man beräknar derivatan genom att sätta in h = 0. Det man egentligen gör är att man förenklar differenskvoten under förutsättning att h ≠ 0 och sedan visar att gränsvärdet av differenskvoten då h → 0 är det samma som det värde man får om man sätter in h = 0 i det förenklade uttrycket. Beviset genomförs som ett Epsilon-deltaspel. I detta spel sätter man aldrig h = 0 och kan då räkna med det förenklade uttrycket. För funktioner i allmänhet kan sådana rent algebraiska förenklingar inte göras. Man måste då göra approximativa uppskattningar för att beräkna gränsvärdena och därmed derivatorna.

FLER TYPER AV GRÄNSVÄRDEN

För att göra gränsvärdesbegreppet komplett behöver vi ytterligare några typer av gränsvärden.

Ensidiga gränsvärden

I gränsvärdesdefinitionen kan x närma sig a från båda hållen, det vill säga, vi kan välja både x > a och x < a. Detta motsvarar att h = x − a är positivt eller negativt. Ensidiga gränsvärden får vi om det enbart är möjligt att välja – eller om vi enbart vill välja – antingen x > a eller x < a. Sådana situationer kan uppstå om funktionens definitionsmängd inte innehåller punkter till höger √ eller vänster om punkten a. Ett exempel är just rotfunktionen y = x. Man talar då om högergränsvärde (x > a) respektive vänstergränsvärde (x < a). Sådana gränsvärdet kan också vara intressanta då de båda existerar men råkar vara olika (se sidan 190). Höger- respektive vänstergränsvärde betecknas som följer lim д(x) = A

eller

д(x) → A då x → a +

lim− д(x) = A

eller

д(x) → A då x → a −

x→a + x→a

(3.13)

I definitionen av gränsvärde görs motsvarande ändringar i villkoret ∣x − a∣ < δ som byts ut mot a ≤ x < a + δ för högergränsvärde respektive a − δ < x ≤ a för högergränsvärde.

184

24 september 2015 – sida 185 – # 185

3 derivata, gränsvärde och kontinuitet

Gränsvärden i oändligheten

En speciell typ av ensidiga gränsvärden är gränsvärden i oändligheten. Det betyder att man undersöker om funktionen har något gränsvärde då x → ∞ eller x → −∞. Om gränsvärdena existerar skriver man lim д(x) = A

eller

д(x) → A då x → ∞

lim д(x) = A

eller

д(x) → A då x → −∞

x→∞ x→−∞

(3.14)

Definition 3.10 (Gränsvärde i +∞) Låt д vara en funktion definierad för godtyckligt stora tal M. Då sägs funktionen д ha gränsvärdet A då x → ∞ om det till varje positivt tal є finns ett positivt tal M sådant att x > M ⇒ ∣д(x) − A∣ < є

(3.15)

Motsvarande defintion för gränsvärde i −∞ lämnas som övning.

Oegentliga gränsvärden

Med oegentliga gränsvärden menas att ett funktion går mot ∞ eller −∞ i någon gräns. Vi har sett detta fenomen i samband med asymptoter.

RÄKNEREGLER FÖR GRÄNSVÄRDEN

I praktisk räkning deriverar man sällan funktioner utgående från derivatans definition. Istället använder man en uppsättning deriveringsregler och kunskap om de elementära funktionernas derivator. Samma sak gäller för beräkning av gränsvärden. Man faller tillbaka på ett antal standardgränsvärden och ett antal räkneregler för gränsvärden. Vi sammanfattar därför räknereglerna för gränsvärden i några satser. Vi lämnar bevisen som övningar. Sats 3.11 (Summa, produkt och kvot) Om f (x) → A och д(x) → B då x → a så gäller (a) f (x) + д(x) → A + B då x → a (b) f (x) ⋅ д(x) → A ⋅ B då x → a © F Ö R FAT TA R N A O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

185

Dragu Atanasiu är professor i matematik och forskar i abstrakt harmonisk analys. Han undervisar i matematik på grund- och avancerad nivå sedan 1980 och har stort intresse i att utveckla nya metoder för matematisk undervisning. Anders Bengtsson är teoretisk fysiker och forskar inom högre-spinn gaugefältteori. Anders har ett djupt intresse för matematik och matematikdidaktik. Han har bland annat tagit intryck av matematikundervisningen vid amerikanska liberal arts college och studerat och skrivit om matematik som ett humanistiskt ämne. Anders har egen erfarenhet av gymnasieundervisning i matematik och undervisar även tillämpade ingenjörsämnen på högskolan.

MODERN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL Denna bok bygger på många års erfarenhet av att undervisa matematisk analys på treåriga ingenjörsutbildningar. Hur hinner man med den stora mängd stoff som behöver gås igenom på den korta tid som ges? Hur tränar man algebra och hur bygger man upp begreppsförståelse? Kan ett traditionellt ämne lysas upp på ett nytt sätt? Boken är skriven i en utforskande stil där begrepp och metoder motiveras av de matematiska problem som naturligt uppstår när man utvecklar ämnet. Boken tar fasta på att de flesta studenter kan derivera xn. Författarna startar där och gör först hela kursen för polynom. Den blir direkt intressant, viktiga begrepp och metoder får leva från första veckan. Fördelen med att starta med polynom och göra analysen grundligt för dem, är att de är konkreta och att alla beräkningar kan göras rent algebraiskt. De mer abstrakta elementära funktionerna införs sedan. Begrepp som sammansatta och inversa funktioner, kedjeregeln och variabelsubstitution får sin motivering när man behöver arbeta med algebraiska funktioner. Transcendentala funktioner motiveras av behovet att kunna integrera alla rationella funktioner och av behovet att kunna lösa linjära differentialekvationer fullständigt. Boken innehåller rikligt med övningsuppgifter – den matematiska konditionen kan tränas upp! Boken är avsedd i första hand för treåriga ingenjörsutbildningar men kan även passa på masternivå i teknik, naturvetenskap och ekonomi. Förutom att träna grundläggande kunskaper och färdigheter i ”calculus” ger boken öppningar mot fortsättningskurser i matematisk analys.

Art.nr 39084