9789127452701

Lena Alfredsson • Hans Heikne • Bodil Holmström

1c

Matematik

5000

1c 5000

Matematik

för gymnasiet och VUX är framtaget enligt ämnesplanen för 2018 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik

5000

Matematik 5000 plus är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet lyfter fram allt centralt innehåll i ämnesplanen och tränar samtliga matematiska förmågor.

I kombination med en tydlig progression ger detta eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Nyheter: Problemlösning med programmering i alla kapitel Symbolhanterande och digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Kalkylprogram lyfts fram Teman och Historik som belyser matematikämnets relevans Aktiviteter med fokus på förmågorna Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer

ISBN 978-91-27-45270-1

9 789127 452701

M5000_Bla_1c_Omslag_180709.indd Alla sidor

1c

2018-07-10 15:37

Varje kapitel har följande innehåll och struktur: KAPITELSTART Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet.

En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Primtal – delbarhet och faktorisering

En lärare vill fördela 17 elever i ett antal grupper med lika många elever i varje.

Hen märker att det inte går, eftersom 17 bara är delbart med 1 och 17.

17 är ett primtal.

1101

Beräkna utan digitalt verktyg a) 50 – 48/6 + 3 ∙ 6

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken, ofta med exempel från vardagen.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

a) 50 – 48 /6 + 3 · 6 =

= 50 – 8 + 18 =

= 42 + 18 =

= 60

REPETITIONSUPPGIFTER 1101 Beräkna utan digitalt verktyg a) 50 – 48/6 + 3 ∙ 6

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter.

De är identiska med bokens lösta uppgifter.

ÖVNINGSUPPGIFTER 3308 Talet 42 875 är en produkt av tre faktorer som alla är samma tal.

Vilket är talet?

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

3309 Lös ekvationerna a) x 3 = 8

b) z 3 + 15 = 140

3310 Lös ekvationerna algebraiskt. Svara både exakt och med ett närmevärde med 3 gällande siffror. a)

x3 = 4 4

b) 18 = 0,2 x 3 + 10

SVAR

4

Kap 0.indd 4

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator).

Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller symbolhanterande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.



2018-07-13 15:46:55

VARIATION I UNDERVISNINGEN Aktivitet

begrepp

Förenkla med symbolhanterande verktyg

Programmering

Problemlösning

Pythagoreiska tripplar

Tema

RELEVANS

Krafter och hastigheter

Historik

RELEVANS

Tre historiska talsystem

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du ett symbolhanterande verktyg som t.ex. GeoGebra eller ett annat CAS-verktyg.

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

Sammanfattning Kan du det här?

BEGREPP

PROCEDUR

Testa dig själv 6

Blandade övningar 6 Blandade övningar 1–6

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet.

Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Varje uppgift är märkt med den eller de förmågor som främst testas.

 5

Kap 0.indd 5

2018-07-13 15:46:55

Innehåll 1. Aritmetik – Om tal 8

Inledande aktivitet: Lägga tal 9 Historik: Från vargben till datorer 10

1.1 Hela tal 11

Olika typer av tal 11 Räkneordning och räknesätt 12 Aktivitet: Faktorisera heltal med symbolhanterande verktyg 15 Primtal – delbarhet och faktorisering 16 Historik: Euklides 18 Mer om primtal och delbarhet 19 Negativa tal 21

1.2 Rationella och reella tal 25

Repetition av bråkbegreppet 25 Räkna med bråk 28 Tal i decimalform 32 Avrundning och gällande siffror 35 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 37 Kvadratrötter 38

1.3 Tal i potensform 40

Positiva heltalsexponenter 40 Negativa heltalsexponenter och exponenten noll 43 Grundpotensform 45 Prefix och enhetsbyten 47 Talsystem med olika baser 49 Historik: Tre historiska talsystem 53

1.4 Problemlösning 54

En problemlösningsstrategi 54 Programmering: En problemlösningsstrategi med programmering 56

Programmering: Reaktionssträcka 57 Aktivitet: Sant eller falskt? 59 Sammanfattning 1 60 Kan du det här? 62 Testa dig själv 1 63 Blandade övningar 1 64

2. Procent 66

Inledande aktivitet: Pärlor, plattor och procent 67

2.1 Andelen, delen och det hela 68

Repetition av procentberäkningar 68 Promille och ppm 71 Tema: Alkohol och promille 74

2.2 Procentuella förändringar och jämförelser 75

6

Kap 0.indd 6

Förändringsfaktor 75 Upprepade procentuella förändringar 78 Programmering: Procentuella förändringar 82 Procentenheter och procentuell förändring 84 Procentuella jämförelser 87 Problemlösning 88

2.3 Lån och index 89

Lån, ränta och amortering 89

En introduktion till kalkylprogram 92

Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 94

Krediter och avgifter 98

Index 102 Aktivitet: Sant eller falskt? 106 Sammanfattning 2 107 Kan du det här? 108 Testa dig själv 2 109 Blandade övningar 2 110 Blandade övningar 1–2 112

3. Algebra 114

Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 115

3.1 Algebraiska uttryck och förenklingar 116

Algebraiska uttryck 116

Förenkling av algebraiska uttryck 119 Aktivitet: Förenkla med symbolhanterande verktyg 123

Faktorisera 124

3.2 Linjära ekvationer och olikheter 126

Lösning av linjära ekvationer I 126 Lösning av linjära ekvationer II 130 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 133 En problemlösningsstrategi 134 Problemlösning 137 Aktivitet: Pärlor med x 139 Lösning av linjära olikheter 140

3.3 Potensekvationer 144

Enkla x 2 och x ³ -ekvationer 144 Potensekvationen x n = a 148

Mer om potensekvationer 150

Ekvationer och olikheter med

symbolhanterande verktyg 152

Programmering: Ekvationslösning 154

3.4 Formler och mönster 156

Formler 156 Mönster 160 Lösa ut ur formler 162 Tema: Hastighet och acceleration 165

3.5 Undersök och bevisa 168

Aktivitet: Från decimaltal till bråk 172

Aktivitet: Sant eller falskt? 173 Sammanfattning 3 174 Kan du det här? 176 Testa dig själv 3 177 Blandade övningar 3 178 Blandade övningar 1–3 181

INNEHÅLL

2018-07-13 15:46:55

4. Geometri 184

Inledande aktivitet: Omkrets och area 185

4.1 Geometri och algebra 186

Formler för omkrets, area och volym 186 Historik: Geometri i tusentals år 186 Aktivitet: Pucken 192

4.2 Geometri och bevis 193

Vinklar och vinkelsummor 193 Några bevis med vinklar 198 Några bevis med area och volym 200 Implikation och ekvivalens 202 Pythagoras sats 204 Historik: Pythagoras sats 207 Programmering: Pythagoreiska tripplar 208 Aktivitet: Tangens för en vinkel 210

4.3 Trigonometri och rätvinkliga trianglar 211

Räkna med tangens 211 Sinus och cosinus 215

4.4 Vektorer 219

Beräkningar med vektorer 219

Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 221

Komposanter, koordinater och vektorlängd 222

Tema: Krafter och hastigheter 225

Historik: Talet π 228 Aktivitet: Sant eller falskt? 229 Sammanfattning 4 230 Kan du det här? 232 Testa dig själv 4 233 Blandade övningar 4 234 Blandade övningar 1–4 237

5. Grafer och funktioner 240

Inledande aktivitet: Finn regeln 241

5.1 Linjära och exponentiella funktioner 242

Koordinatsystem 242 Historik: Cartesius 242 Funktion – formel, värdetabell och graf 246 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 250 Linjära funktioner 251 Räta linjens ekvation – fördjupning 258 Exponentialfunktioner 261

5.2 Funktioner och matematiska modeller 264

Funktionsbegreppet och skrivsättet f(x) 264

Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck,

ekvation, olikhet och funktion 268

Definitionsmängd och värdemängd 270

Potensfunktioner 272

Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 276

Problemlösning och matematiska modeller 279

Programmering: Funktion, graf och area 282 Aktivitet: Sant eller falskt? 284

Sammanfattning 5 285 Kan du det här? 286 Testa dig själv 5 287 Blandade övningar 5 288 Blandade övningar 1–5 291

6. Sannolikhet och statistik 294

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 295

6.1 Enkla slumpförsök 296

Teoretiska sannolikheter 296 Experimentella sannolikheter 300

6.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 302

Försök med två föremål 302 Träddiagram 305 Aktivitet: Lika eller olika färg? 309 Beroende händelser 310 Aktivitet: Byta eller inte? 312 Komplementhändelse 313 Historik: Sannolikhetslärans födelse 315 Programmering: Kasta fyra tärningar 316

6.3 Statistik 318

Tolka statistiska resultat 318

Aktivitet: Statistik med Gapminder 323

Tema: Vägtrafikskador i Sverige 324

Vilseledande statistik 326 Aktivitet: Sant eller falskt? 330 Sammanfattning 6 331 Kan du det här? 332 Testa dig själv 6 333 Blandade övningar 6 334 Blandade övningar 1–6 337

Repetitionsuppgifter 341 Svar, ledtrådar och lösningar 349 Register 409

INNEHÅLL 7

Kap 0.indd 7

2018-07-13 15:46:55

1

ARITMETIK � OM TAL Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal. Aritmetik är den del av matematiken där vi studerar de fyra räknesätten, potenser och rotutdragningar av tal.

Centralt innehåll

Med andra ord

• Generalisering av aritmetikens räknelagar.

I det här kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning man ska räkna och hur man räknar med negativa tal, decimaltal, bråktal och tal i potensform.

• Strategier för användning av digitala verktyg.

• Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.

• Metoder för beräkningar inom vardagslivet och karaktärsämnena med reella tal skrivna i olika former.

• Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.

Du får lära dig vad primtal är, vad de kan användas till och hur man kan skriva tal med bara 1:or och 0:or. Sådana tal kallas binära tal och används i datorer.

Problemlösning ingår i varje kapitel.

Du får träna dig att lösa matematiska problem både med och utan hjälpmedel som t.ex. programmering.

8

Kap 1.indd 8

2018-07-17 16:39:57

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två.

Skriv upp beräkningar och resultat.

Finns det flera lösningar till några av uppgifterna?

Placera talen 1, 2, 5 och 7 i rutorna så att …

1 summan av de två tvåsiffriga talen + blir så nära 60 som möjligt.

2 produkten (

+

)·(

+

) blir

a) så nära 60 som möjligt. b) så stor som möjligt.

Hur ändras beräkningen och resultatet om parenteserna tas bort?

3 kvoten

+ +

blir det rationella talet

4 kvoten

– –

blir

2 3

a) det naturliga talet 2 b) det negativa talet –2.

5 Placera ut heltalen 1–9 i rutorna så att alla tre likheterna stämmer.

Du får bara använda varje siffra en gång. +

=

–

=

∙

=

9

Kap 1.indd 9

2018-07-17 16:39:59

Historik

RELEVANS

Från vargben till datorer Den matematik vi idag känner till och använder oss av, har utvecklats under tusentals år och härstammar från många olika kulturer.

• Ett av de äldsta fynden med matematisk anknytning hittades i Tjeckien. Det är ett ca 30 000 år gammalt vargben med inristade skåror ordnade fem och fem.

• Nästan 4 000 år gamla egyptiska papyrusrullar och babyloniska lertavlor visar oss hur och till vad matematiken användes.

• Grekerna skapade för ca 2 500 år sedan den rena matematiken och den struktur med satser och bevis som används än idag.

• Den arabiska matematiken gav oss bl.a. algebran, men bidrog också till att sprida känd matematik som t.ex. siffror och talsystem från indierna.

• I Europa fick matematiken en stark ställning och blev ett viktigt verktyg när naturvetenskapen utvecklades från 1500-talet och framåt.

Gammal babylonisk lertavla. Babylonien var beläget vid floderna Eufrat och Tigris i nuvarande Irak.

• Idag spelar datorer och matematiska modeller en viktig roll i vårt samhälle och dess utveckling.

I det gamla romarriket, för 2 500 år sedan, skrev man tal med hjälp av bokstäver.

De romerska talsymbolerna är: 1= I 5=V 10 = X 50 = L

100 = C 500 = D 1 000 = M

Andra tal skrivs t.ex. så här: 23 = XXIII 327 = CCCXXVII. En mindre symbol framför en större betyder att den ska dras ifrån den större, t.ex. 4 skrivs IV och 19 skrivs XIX.

10

Kap 1.indd 10

1 Skriv med romerska siffror a) 37 b) 59 c) summan av XXXIII och XXVIII d) produkten av XII och IX e) differensen mellan DL och CCXX. 2 I datorer används binära tal. Det binära talsystemet är ett positionssystem med endast två siffror: 0 och 1.

Talen 1–5 i vårt vanliga talsystem skrivs 1, 10, 11, 100, 101 i det binära systemet.

Vilket tal i vårt talsystem skrivs 1101 i det binära systemet?

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:00

1.1 Hela tal

Olika typer av tal När vi räknar behöver vi olika typer av tal.

Vi börjar med att presentera de talmängder som vi använder i denna kurs.

talmängd En talmängd är en avgränsad samling av tal och

beskrivs ofta med hjälp av symbolen { }.

naturliga tal

Naturliga tal är tal som anger antal, d.v.s. talen i mängden N. N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

hela tal

Med naturliga tal klarar vi många beräkningar men inte t.ex. 6 – 8.

För det krävs negativa tal. De naturliga talen och de negativa heltalen bildar tillsammans de hela talen, Z. Z = {…, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

jämnt tal

udda tal

Ett jämnt tal är ett heltal som är delbart med 2.

Jämna tal slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8.

Ett udda tal är ett heltal som inte är delbart med 2.

Udda tal slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9.

Med heltal klarar vi beräkningen 6 – 8 = – 2 men inte t.ex. 4 / 6.

För det krävs tal i bråkform.

rationella tal

De rationella talen Q definieras på följande sätt: Q = {alla tal a/b där både a och b är heltal och b ≠ 0} 3 7 Decimaltal kan skrivas som bråk, t.ex. 1,5 = och 0,07 = 2 100 Men inte ens de rationella talen räcker till i alla situationer.

Det exakta värdet på diagonalen i en kvadrat med sidan 1 är 2 .

irrationella tal

Talet kan inte skrivas som ett bråk. 2 är ett exempel på ett irrationellt tal.

Slutligen kan de reella talen R definieras på följande sätt:

reella tal

R = {alla rationella tal tillsammans med alla irrationella tal} Av figuren kan vi se att ett naturligt tal också är ett heltal, ett heltal också är ett rationellt tal och att alla talmängder ovan är exempel på reella tal.

2

7/9

–13 –1 0

Alla reella tal kan hittas på tallinjen, t.ex:

7

N

Z

Q

R

1

−

–5 – 4 – 3 – 2 –1

1 2

2 0

1

2

π

17 4

3

4

π

–8 –2/3

1.1 HELA TAL 11

Kap 1.indd 11

2018-07-17 16:40:00

Räkneordning och räknesätt Vi repeterar några begrepp och metoder.

De fyra räknesätten

Addition: 4 + 3 = 7

Multiplikation: 3 · 12 = 36

Term adderad med term ger en summa.

Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.

Subtraktion: 9 – 1 = 8

Division:

Term subtraherad från term ger en differens.

15 =5 3

Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.

Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar?

Exempel 1

Vi undersöker med några exempel.

Addition

6+2=2+6

Subtraktion

6–2≠2–6

Multiplikation

6∙2=2∙6

Division

≠ betyder ”är skilt från” eller ”är inte lika med”

6 2 ≠ 2 6

Vi kan byta plats på termer vid addition och faktorer vid multiplikation.

Det kallas kommutativa lagar.

Kommutativa lagar

a+b=b+a a∙b =b∙a Hur blir det när flera räknesätt är inblandade?

Exempel 2

Milla och Sofie ska beräkna värdet av uttrycket 6+3∙5–1 Milla: Det blir 9 ∙ 4 = 36 Sofie: Det blir 6 + 15 – 1 = 20 De fick olika resultat. Milla har utfört additionen och subtraktionen först och Sofie har börjat med multiplikationen.

prioriteringsreglerna

12

Kap 1.indd 12

En beräkning med flera räknesätt måste alltid ge samma resultat.

Man har därför inom matematiken kommit överens om en räkneordning, prioriteringsreglerna, som bland annat innebär att multiplikation går före addition och subtraktion. Sofie hade alltså rätt.

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:01

1 Först beräknas uttryck inuti parenteser 2 Därefter potenser (upphöjt till)

Prioriteringsregler

3 Sedan multiplikationer och divisioner 4 Till sist additioner och subtraktioner Digitala verktyg följer prioriteringsreglerna, men ibland kan det ändå bli fel.

Vi visar det med ett exempel med en division:

Exempel 3

37 + 75 112 =8 = 14 15 − 1 Skriver vi 37 + 75/15 – 1 gör datorn/räknaren beräkningen 37 + 5 – 1 = 41.

Eftersom vi vill att uttrycken i täljaren och nämnaren ska beräknas först, måste vi använda parenteser och skriva (37 + 75)/(15 – 1) för att få svaret 8.

Kontrollera att ditt digitala verktyg ger resultatet 8.

1101 Beräkna utan digitalt verktyg

*

1102

a) 50 – 48/6 + 3 ∙ 6

b) (15 – 3)/3 + 2 ∙ 32

a) 50 – 48 /6 + 3 · 6 =

b) (15 – 3) /3 + 2 ∙ 32 =

Börja med parentesen.

= 50 – 8 + 18 =

= 12/3 + 2 ∙ 32 =

Fortsätt med potensen.

= 42 + 18 =

= 12/3 + 2 ∙ 9 =

= 60

Fortsätt med division och multiplikation.

= 4 + 18 =

Till sist addition.

= 22

Beräkna med digitalt verktyg

13 ⋅ 19 + 5 4 ⋅ 17 − 50

Vi skriver uttrycket med parenteser: (13 ∙ 19 + 5)/(4 ∙ 17 – 50) = 14

* En ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 , betyder att du får använda digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av digitalt verktyg.

1.1 HELA TAL 13

Kap 1.indd 13

2018-07-17 16:40:01

1 1111 a) Beräkna 7(4 + 3)

1103 Beräkna a) 9 + 2 ∙ 3 – 1

b) Beräkna 7 ∙ 4 + 7 ∙ 3

b) 17 – 3 ∙ 2 + 5 – 18/3

c) Beräkna 65(28 + 39)

c) 12 – 12/3 – 3 + 1

d) Beräkna 65 ∙ 28 + 65 ∙ 39

d) (12 + 12)/3 ∙ 2

e) A nvänd dina resultat och skriv en räknelag med hjälp av algebra: a(b + c) = …

1104 I vilken ordning ska beräkningarna utföras?

A

B C

A B C D

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ ↓ 3

a) 8 + 3 ∙ (4 – 1) b) 5 ∙ 2 + 3 ∙ 4 1105 Beräkna a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3 b) (8 – 2)2/3 – 1

2

1112 Skriv talet 340 som en produkt av tre olika faktorer större än 1.

Visa att det går att göra på flera olika sätt.

1113 Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen så att värdet av uttrycket 2 ∙ 52 + 3 ∙ 4 a) blir så stort som möjligt

1106 Beräkna 6 279 ⋅ 6 a) 138 + 17 b) 31 23 ⋅ 39 3 c) 3 ∙ (12 + 19) + 8 – 9 ∙ 3 1107 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5

b) blir så litet som möjligt c) är lika med 112.

1114 Produkten av 39 ∙ 40 = 1 560.

Vad är då a) 39 ∙ 41 b) 39 ∙ 38 + 2 ∙ 39 ?

b) Eric skriver på ett prov: Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför?

1115 Stämmer påståendet att det finns 12 udda tresiffriga tal där hundratalssiffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran?

c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.

1116 Vi antar att siffertangenten 4 är trasig på din räknare. Hur räknar du då ut

2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45

1108 Addera talen 237 och 387 och dividera summan med produkten av 12 och 13.

Vilket svar får du?

a) 14 ∙ 34 b) 478 ∙ 444 ?

1117 Uttrycket (30 – a) /(2 + 4) har värdet 3.

Vilket blir värdet om a) den vänstra parentesen tas bort

1109 a = 3 och b = 2 Beräkna värdet av uttrycket: a) 5a + b

c) 5ab2

b) 5(a + b)

5b2 d) a+b

1110 Vilket tal ska stå i rutan? a) 8 ∙ 50 – 40 ∙

□ = 200

□ – 1) = 36

b) 4 + 8 ∙ (

14

Kap 1.indd 14

b) den högra parentesen tas bort

3

c) båda parenteserna tas bort?

1118 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a/10) a) mindre än 1

c) mindre än 9

b) större än 36

d) större än 3?

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:01

Aktivitet

begrepp

Faktorisera heltal med symbolhanterande verktyg I den här aktiviteten ska du undersöka hur några heltal kan delas upp i faktorer. Syftet är att du ska utveckla din förståelse för begreppen faktorisering och delbarhet.

Materiel: Symbolhanterande verktyg ◗ Att skriva ett heltal som en produkt av faktorer kallas att faktorisera.

T.ex. kan talet 124 skrivas som en produkt av tre faktorer (med eller utan potenser): 124 = 22 ∙ 31 = 2 ∙ 2 ∙ 31 ◗ E tt heltal kan faktoriseras med hjälp av ett symbolhanterande verktyg.

Faktorisera (124) 22 31

1 Undersök om det går att faktorisera heltalen 125, 126, 127, 128, 129 och 130 med hjälp av ett symbolhanterande hjälpmedel.

Skriv upp resultaten både med och utan potenser och använd dem för att besvara frågorna i uppgifterna 2–7.

2 a) Finns det något eller några av talen som inte kan faktoriseras? b) Vad kallas ett sådant tal?

3 Hur många faktorer har de olika talen?

5 Vilket eller vilka av talen är delbara med a) 5 b) 7 c) 13? d) Hur kan din faktorisering av talen hjälpa dig att svara på frågan?

6 a) Är något av talen delbart med 14 (14 = 2 ∙ 7)? b) Hur kan din faktorisering av talen hjälpa dig att svara på frågan?

7 Talet 130 är delbart med 6 olika tal.

Vilka?

4 V ilka av talen kan skrivas som en enda potens, d.v.s. som en produkt av ett och samma tal?

1.1 HELA TAL 15

Kap 1.indd 15

2018-07-17 16:40:03

Primtal – delbarhet och faktorisering

Exempel

En lärare vill fördela 17 elever i ett antal grupper med lika många elever i varje.

Hen märker att det inte går, eftersom 17 bara är delbart med 1 och 17.

17 är ett primtal.

Naturliga tal som är större än 1 och som bara är jämnt delbara med 1

primtal och sig själv kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13 och 17.

sammansatta tal

Alla heltal som är större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal. primtalsfaktorer

Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer,

d.v.s. faktorer som är primtal.

Talet 18 är ett sammansatt tal som kan skrivas 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3. Även talet 1 001 är ett sammansatt tal som kan skrivas 1 001 = 7 ∙ 11 ∙ 13.

Uppdelningen i primtalsfaktorer är entydig. Det betyder att det inte finns några andra primtal än 7, 11 och 13 som ger produkten 1 001.

Många digitala verktyg kan dela upp sammansatta tal i primtalsfaktorer, t.ex. 42 568 = 23 ∙ 17 ∙ 313 Kontrollera hur detta fungerar på ditt verktyg. delbarhet Ett sammansatt tal är alltid delbart med primtalsfaktorerna och deras

produkter. Talet 18 skrivs som en produkt av primtal 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 Produkter av dessa tal är 2 ∙ 3 = 6 och 3 ∙ 3 = 9

18 är alltså delbart med 2, 3, 6 och 9 (förutom 1 och 18).

Dessa tal kallas delare till 18 och det innebär också att kvoterna 18/2, 18/3, 18/6 och 18/9 är heltal.

Primtal används idag inom datasäkerhet för att kryptera känsliga data.

Krypteringen sker med ett mycket stort tal som är en produkt av två 100-siffriga primtal. Även med dagens datorer är det tidsmässigt omöjligt att identifiera det 200-siffriga talet och knäcka koden.

16

Kap 1.indd 16

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:04

2

Vilka tal är delbara med 2, 3, 4, 5 och 9?

Exempel

Alla jämna tal, d.v.s. tal som slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8.

18, 280 och 594

3 Alla tal vars siffersumma är delbar med 3.

201 och 642 642 har siffersumman 6 + 4 + 2 = 12

4 Alla tal vars två sista siffor bildar ett tal som är delbart med 4.

1724 24 är delbart med 4

5 Alla tal som slutar på 0 eller 5.

45 och 920

9 Alla tal vars siffersumma är delbar med 9.

387 387 har siffersumman 3 + 8 + 7 = 18

1119 a) Dela upp talet 42 i primtalsfaktorer. b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (förutom 1 och 42)? faktorträd

a) Faktoruppdelningen blir lättare om vi ritar ett faktorträd: 42

42

42 = 2 · 21 2

42 = 6 · 7

21 3

6 7

2

7 3

De båda faktorträden ger samma slutresultat.

Svar: 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

b) 42 är delbart med 2, 3, och 7 och med produkter av dessa tal.

2∙3=6

2 ∙ 7 = 14

3 ∙ 7 = 21

Svar: 42 är delbart med 2, 3, 6, 7, 14, 21.

1120 Talet 690 kan skrivas som en produkt av fyra primtal. Vilka?

690 slutar på 0 och är därför delbart med 2 och 5, som båda är primtal.

Vi kan skriva 690 = 10 ∙ 69 = 2 ∙ 5 ∙ 69 Talet 69 har siffersumman 6 + 9 = 15 som är delbar med 3.

Då vet vi att 69 är delbart med 3. Vi skriver 69 = 3 ∙ 23.

690 = 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 23 ger de fyra primtalsfaktorerna.

Svar: 690 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 23

1.1 HELA TAL 17

Kap 1.indd 17

2018-07-17 16:40:04

Programmering

problemlösning

En problemlösningsstrategi med programmering När man arbetar med problemlösning med hjälp av programmering kan man använda sig av strategin på föregående uppslag och komplettera den med steg som är anpassade för programutveckling.

1 FÖRSTÅ Innan du tar fram datorn måste du förstå vad uppgiften handlar om.

Vad ska lösas eller räknas ut? Vilken information behövs? Var hittar du den?

2 PLANERA Planeringen gör du utan dator enligt följande steg: A Resultat

C Variabler

Bestäm vilket resultat som ska skrivas ut när det färdiga programmet körs.

Bestäm vilka variabler programmet ska använda.

B Lösning

D Algoritm

Beskriv principerna för hur uppgiften ska lösas.

Det kan handla om formler eller beskrivningar med ord.

Sammanfatta med ord hur programmet stegvis ska lösa uppgiften. Ordningen är viktig eftersom datorn läser programmet uppifrån och ner.

3 GENOMFÖRA – KODA Nu är det dags att ta fram datorn och börja skriva koden. Översätt algoritmen till ett programspråk som datorn förstår och skriv programmet uppifrån och ner.

4 TESTA OCH VÄRDERA Testa ditt program. Löser det uppgiften? Vilka begränsningar har programmet? Går det att förbättra på något sätt?

56

Kap 1.indd 56

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:51

problemlösning

Reaktionssträcka Nu använder vi strategin för att lösa en uppgift: Jana kör bil på en landsväg. Plötsligt dyker en ren upp på vägen.

Hur långt hinner bilen innan Jana börjar bromsa?

1 FÖRSTÅ Sträckan som bilen hinner köra innan Jana börjar bromsa kallas reaktionssträcka.

Reaktionssträckan beror på: • Reaktionstiden som är den tid det tar innan Jana reagerar och börjar bromsa.

• Hastigheten som bilen håller innan Jana börjar bromsa.

Eftersom vi varken får reda på Janas reaktionstid eller bilens hastighet, måste vi själva uppskatta dessa värden. Därefter kan vi beräkna reaktionssträckan.

2 PLANERA A Resultat

C Variabler

Om vi uppskattar reaktionstiden till 0,5 s och bilens hastighet till 120 km/h vill vi att programmet skriver ut följande resultat:

Programmet ska använda följande variabler:

Ange reaktionstiden (s): 0.5 Ange hastigheten (km/h): 120

• t för reaktionstiden i sekunder • v för hastigheten i kilometer per timme • s för reaktionssträckan i meter.

Reaktionssträcka (m): 17

D Algoritm

B Lösning

Vi sammanfattar hur programmet steg för steg ska lösa uppgiften.

Först måste vi byta enhet på hastigheten:

• L äs in reaktionstiden och spara den i variabeln t.

1 000 m 120 120 km/h = 120 ∙ = m/s 3 600 s 3,6

• Läs in hastigheten och spara den i variabeln v.

Detta visar att vi kan byta enhet från km/h till m/s genom att dividera hastigheten med 3,6.

Därefter kan reaktionssträckan beräknas:

• B eräkna reaktionssträckan och spara värdet i variabeln s.

Reaktionssträcka = Hastighet ∙ Reaktionstid

• Omvandla hastigheten från km/h till m/s.

• Skriv ut reaktionssträckan.

1.4 PROBLEMLÖSNING 57

Kap 1.indd 57

2018-07-17 16:40:52

problemlösning

3 GENOMFÖRA – KODA I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: t = float(input("Ange reaktionstiden (s): ")) v = float(input("Ange hastigheten (km/h): "))

# Läser in reaktionstiden # Läser in hastigheten

v = v/3.6 # Enhetsomvandlar s = v * t

# Beräknar reaktionssträckan

print("Reaktionssträcka (m): ", s)

# Skriver ut reaktionssträckan

4 TESTA OCH VÄRDERA Programmet gör en korrekt beräkning av reaktionssträckan men svaret avrundas inte till ett helt antal meter. Dessutom accepterar programmet orimliga värden på reaktionstiden och hastigheten. Det går t.ex. att skriva in t = –5 och v = 1 000.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.

1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.

2 Ändra programmet i uppgift 1 så att reaktionssträckan avrundas till ett helt antal meter.

Använd funktionen round() och ändra sista raden till: print("Reaktionssträcka (m):", round(s))

3 Ändra programmet igen så att det skriver ut Janas reaktionstid när du anger bilens hastighet och reaktionssträckan.

Om bilens hastighet är 120 km/h och reaktionssträckan är 17 meter ska programmet skriva ut följande resultat:

4 Alina har en liten tärning som är gjord av metall och formad som en kub.

Vilken densitet har metallen som tärningen är gjord av?

5 En affär vill ha ett program till en automatisk kassaapparat som består av en våg och ett inkast för pengar. Om kunden placerar 0,8 kg äpplen på vågen och stoppar in 50 kr i inkastet ska programmet skriva ut följande resultat: Pris: 24 kr

Betalt: 50 kr Växel: 26 kr

Reaktionstid (s): 0.5

58

Kap 1.indd 58

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:52

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska.

Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang.

Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Differensen mellan två negativa tal blir alltid ett negativt tal.

8 10 kJ kan skrivas 0,1 MJ. 9 ab ∙ ba kan skrivas (ab)ab.

2 När ett tal i bråkform förkortas blir värdet mindre.

10 Summan av två primtal blir alltid ett primtal.

3 Talet 330 kan skrivas som en produkt av fyra primtal.

11 Med en parentes i uttrycket 3 ∙ 4 – 5 ∙ 2 kan värdet bli 14.

4 Det finns heltal som inte är naturliga tal.

12 Talet 108 är dubbelt så stort som 104.

5 25 + 25 kan skrivas 26.

13 2 –3 är större än 3 –2.

6 Det minsta positiva heltal som är delbart med 8 och 30 är 240.

14 11011två kan skrivas 1000tre.

7 När vi dividerar ett tal med 0,025 blir resultatet 40 gånger så stort.

ARITMETIK – OM TAL

Kap 1.indd 59

RESONEMANG

15

0,25 är ett tal som är större än 0,25.

16 Produkten av 5 ∙ 10 –3 och 2 ∙ 10 –4 är en miljondel.

59

2018-07-17 16:40:53

Sammanfattning 1 Olika talmängder

Negativa tal

De naturliga talen N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Addition och subtraktion 2 – 5 + 1 = –3 + 1 = – 2 –3 + (–2) = – 3 – 2 = –5 17 – (–5) = 17 + 5 = 22

De hela talen Z = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} De rationella talen Q = {alla tal a/b där a och b tillhör Z och b ≠ 0} De reella talen R = {alla rationella tal och alla irrationella tal, t.ex. 2, π} Räkneordning

Minustecknet kan symbolisera både negativt tal, subtraktion och motsatt tal.

4(2 + 3)2 – 6 + 1 = 4 · 52 – 6 + 1 = = 4 · 25 – 6 + 1 = 100 – 6 + 1 = 95

Tal i bråkform Förkortning (med 7)

Förlängning (med 7)

Först beräknas parenteser, sedan potenser, därefter multiplikationer och divisioner och till sist additioner och subtraktioner.

21 21 / 7 3 = = 49 49 / 7 7

5 5·7 35 = = 63 9 9 ·7

Primtal

Med förhållande mellan två tal menas kvoten av talen. Förhållandet mellan 150 och 200 är

Positiva heltal större än 1 kan delas in i primtal och sammansatta tal.

150 3 = Förhållandet 3/4 skrivs ofta 3:4.

200 4

Ett primtal är bara delbart med 1 och sig självt. Övriga tal är sammansatta tal som kan skrivas som en produkt av primtal på ett entydigt sätt.

83 är ett primtal och kan inte faktoriseras.

84 är ett sammansatt tal, 84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7.

84 är delbart med primtalsfaktorerna (2, 2, 3, 7) samt produkter av primtalsfaktorerna (4, 6, 12, 14, 21, 28, 42 och 84).

Minsta gemensamma multipel (MGM) är det som används till minsta gemensamma nämnare.

MGM(12, 18) = 36 Tal i decimalform Hundradelarna avläses i de två första decimalerna, tusendelarna i de tre första och miljondelarna i de sex första decimalerna.

0,08 = 8 hundradelar = 8 procent 0,0162 = 16,2 tusendelar = 16,2 promille 0,000 019 = 19 miljondelar = 19 ppm

60

Kap 1.indd 60

Multiplikation och division (–a) ∙ b = –ab (–a) / b = –a /b a ∙ (–b) = –ab a /(–b) = – a /b (–a) ∙ (–b) = ab (–a) /(–b) = a /b

Addition och subtraktion 2 5 1 12 25 10 27 9 + – = + – = = 5 6 3 30 30 30 30 10 Vid multiplikation multipliceras täljarna för sig och nämnarna för sig. a c a·c · = b d b· d

a · b = a · b = a ·b c c 1 c

b /a är det inverterade talet till a /b.

Att dividera med ett bråk ger samma värde som att multiplicera med det inverterade talet.

4 7 = 4 · 5 = 4 · 5 = 20 3 7 3 7·3 21 5

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:55

Avrundning och antal gällande siffror

Grundpotensform

När vi avrundar ersätter vi ett tal med ett närliggande men mindre noggrant tal.

Talet skrivs a ∙ 10n, där 1 ≤ a < 10 och n är ett heltal.

3 500 = 3,5 ∙ 103 0,000 003 = 3 ∙ 10 –6

Talet 10,2 har tre gällande siffror.

Talet 0,007 har en gällande siffra.

8,624 9 ≈ 8,62 (avrundat nedåt till två decimaler) 8,65 ≈ 8,7 (avrundat uppåt till två siffror) Kvadratrötter Kvadratroten ur det positiva talet x är ett positivt tal som skrivs x . x∙ x=

( x( = x 2

5∙ 5=5

16 = 4 och

T G M k h d

tera giga mega kilo hekto deci

1012 109 106 103 102 10 –1

4 GB = 4 ∙ 109 B

c m μ n p f

centi milli mikro nano piko femto

10 –2 10 –3 10 –6 10 –9 10 –12 10 –15

5 μm = 5 ∙ 10 –6 m

Talsystem med olika baser

Potenser

2 304tio = 2 ∙ 103 + 3 ∙ 102 + 0 ∙ 101 + 4 ∙ 10 0

53 är en potens med basen 5 och exponenten 3.

2 304fem = 2 ∙ 53 + 3 ∙ 52 + 0 ∙ 51 + 4 ∙ 50 = = 2 ∙ 125+ 3 ∙ 25+ 0 ∙ 5 + 4 ∙ 1 = = 329tio

3

5 = 5 ∙ 5 ∙ 5 (positiv heltalsexponent) (exponenten noll) 50 = 1 5 –3 =

1 53

(negativ exponent)

Potenslagarna Om x och y är reella tal gäller a a =a x

y

(a ) x

y

a x = a x – y (a ≠ 0) ay

x+ y

=a

xy

(ab) = a b x

x

x

10 010två = 1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1 = = 18tio Strategi för problemlösning Många matematiska problem kan lösas med följande strategi: 1 Förstå problemet Vad ska beräknas?

2 Gör upp en plan Hur, och i vilken ordning, ska beräkningarna ske?

x

 a  ax b = x   b 5

(34) 3 6 320 ⋅ 3−6 314 = = −2 = 316 2 −2 3 3 3 2

12 1 1 (5x)2 +   = 52 x 2 + 2 = 25x2 + 4 2 2  

ARITMETIK – OM TAL

Kap 1.indd 61

Vanliga prefix

3 Genomför planen Utför och redovisa beräkningarna.

Ska svaret avrundas?

4 Värdera resultatet Är svaret rimligt? Finns det även andra lösningar?

61

2018-07-17 16:40:56

Kan du det här?

Delkapitel

BEGREPP

1.1 Hela tal

Naturliga tal Summa, differens, produkt, kvot, term, faktor, täljare och nämnare Primtal, sammansatt tal, ”delbart med” och siffersumma Motsatt tal

1.2 Rationella och reella tal

• beräkna värdet av ett uttryck som innehåller flera räknesätt, parenteser och potenser • dela upp sammansatta tal i primtalsfaktorer • bestämma vilka tal ett positivt heltal är delbart med • använda räknereglerna för negativa tal.

Andel och förhållande

• skriva och jämföra tal i bråkform

Förlänga, förkorta, enklaste form och blandad form

• skriva tal i bråkform på olika sätt

Inverterat tal Avrundning, närmevärde och gällande siffra Rationella och reella tal Kvadrat och kvadratrot

1.3 Tal i potensform

PROCEDUR

• beräkna summa, differens, produkt och kvot av tal i bråkform och decimalform • använda avrundningsreglerna • använda reglerna för avrundning av svar • beräkna kvadraten av och kvadratroten ur ett tal.

Potensform, bas och exponent

• beräkna och tolka tal i potensform

Tiopotens, grundpotensform och prefix

• använda potenslagarna

Talbaser och binära talsystemet

• tolka, skriva och utföra beräkningar med tal i grundpotensform • använda prefix • skriva och tolka tal skrivna i talsystem med andra baser än tio.

1.4 Problemlösning

62

Kap 1.indd 62

Problemlösning

• lösa matematiska problem

Överslagsräkning

• göra en enkel överslagsräkning.

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:56

Testa dig själv 1 1.1 Hela tal

1.3 Tal i potensform

1 Beräkna a) 2 ∙ 32 – 8 + 2

b) (3 ∙ 8 + 12)/4 – 1

2 Beräkna 2 975 a) 7 · 25

87 · 26 + 16 b) 88 – 7 · 3

3 a) Skriv 126 som en produkt av primtal. b) Använd resultatet i a) för att svara på frågan: Är 126 delbart med något eller några av talen 6, 9, 16, 21? Förklara hur du tänker.

4 Beräkna a) –8 + (–3) + (–3)2

b)

−18 − (−2) −1 − 3

5 Ett rektangulärt rum har bredden 300 cm och längden 480 cm.

Skriv i enklaste form förhållandet mellan bredden och längden.

1 1 – 3 4

7 Hur mycket är

c) 0,1 ∙ (–0,5) + 0,42 d) 1,2 +

0, 25 (−0, 5)

1 1 av 2 liter?

4 3

a) två decimaler

c) två gällande siffror

b) tiondelar

d) en gällande siffra.

9 Beräkna a) 52 + 25 + 5 ∙ 5 4 1 + 9 16

ARITMETIK – OM TAL

Kap 1.indd 63

2

d) ( x 3 )4 ⋅ x −2

b) 2 ⋅ 2 x = 42

12 Skriv i grundpotensform a) 75 000

c) 12 miljoner

b) 0,0265

d) 12 tusendelar

13 Beräkna och svara i grundpotensform.

3 · 1015 · 2 · 10 –3 4 ·10 5

b)

8 · 10 8 · 5 · 10 –2 2 ·10 –3

14 Skriv i grundpotensform utan prefix. a) 6,9 mm

c) 350 MJ

b) 50 kW

d) 0,25 μs

2,45 · 10 5 · 6,93 · 10 –7 1,39 ·10–6 · 10 12 16 Skriv med basen 10 a) 231fem

b) 101101två

1.4 Problemlösning

8 Avrunda 85,206 till

b)

11 Vilket värde har x?

10 x = 105 a) 10−3

 3m3  c)    2 

15 Beräkna och avrunda svaret till 3 gällande siffror.

6 Beräkna

b) 12 1 1+ 3

3 2 b) (2a) (2a )

a)

1.2 Rationella och reella tal

a) 2 ∙

10 Förenkla 7 5 a) 3 3 2 3

17 Maria startar kl 09.50 och springer med jämn fart i ett motionsspår som är 7,0 km. Kl 10.15 passerar hon en skylt som visar att hon sprungit 4,0 km.

Vid vilken tidpunkt kommer Maria i mål?

18 En vattenmolekyl har massan 3 ∙ 10 –26 kg.

Ungefär hur många vattenmolekyler finns i ett glas vatten?

63

2018-07-17 16:40:58

Blandade övningar 1 B: Begrepp PL: Problemlösning R: Resonemang

2

P: Procedur M: Modellering K: Kommunikation

11 5 ⋅ 102 ⋅ 2 ⋅ 10a = 10−5 Vilket tal är a?

1 Utan digitala verktyg

12 Visa att kvadratroten ur 0,04 är mindre än kvadratroten ur 1/16.

(B, P)

1 Hur ändras värdet av uttrycket 5 – 2 ∙ (1 – 4) – 32 om parentesen tas bort?

(P, K)

2 Dela upp talet 28 i primtalsfaktorer.

(B, P)

3 Skriv i grundpotensform utan prefix. a) 700 MW

b) 25 μm

(B, P)

 4 Skriv ett heltal i rutan så att bråket 18 1 1 får ett värde mellan och .

(B, PL) 3 2 5 Visa att 45 = 210

(P)

6 Skriv talen i storleksordning med det minsta först.

(B, P) 10 –2

0,02

1 200

10 0

2,5 ∙ 10 –2

0,1

(P)

8 Vilket av talen 47

86

(B, P)

15 Vilka positiva tal är 56 delbart med (förutom 1 och 56)?

(B, P)

16 Talet 510 kan skrivas som en produkt av fyra primtal. Vilka?

(B, P) 17 Skriv samma tal i båda rutorna och beräkna 2 differensen – .

□ □

3

Vera påstår att differensen alltid är negativ.

Undersök om det gäller för alla tal.

(R)

(PL, R)

(R, K)

9 Vilket är det minsta tal som är delbart med 6, 9 och 12?

(B, P) 10 Beräkna differensen 0,02 – 0,005 och skriv resultatet i grundpotensform.

 1 − 1   1 − 1   1 − 1  ...  1  1    1 − 49   1 − 50  2   3   4      (PL)

Visa att summan av två på varandra följande udda tal alltid är delbar med 4.

(R, K)

947 ?

Motivera ditt svar.

Kap 1.indd 64

14 Skriv talet 55tio med basen två.

20 Udda tal –3, –1, 1, 3, 5, 7 … kan skrivas 2 k + 1, där k är ett heltal.

470

är bästa närmevärde till

64

(P)

19 Beräkna produkten

0

31

13 Beräkna och svara i grundpotensform.

8, 0 ⋅ 106 ⋅ 1, 5 ⋅ 102 3 ⋅ 10−3

18 Visa att 6 80 > 3120

7 Vilket tal är a? a

19

(P)

21 Talet p = 231 – 1 är ett primtal.

Hur många siffror har p?

(PL, K)

(B, P)

ARITMETIK – OM TAL

2018-07-17 16:40:59

1

Med digitala verktyg

29 Kugghjul finns i många maskiner och växellådor.

15 + 3 7 15 − 3 7 Avrunda svaret till 3 gällande siffror.

22 Beräkna

När hjul med olika antal kuggar sätts ihop får man en utväxling.

(P)

23 När Jeremy dansar förbrukar han energin 30 kJ/min.

Hur länge ska han dansa för att förbruka energimängden i 50 cl läsk, 0,7 MJ? (PL, M) 24 I Sydafrika är förhållandet mellan antalet barn och vuxna ungefär 2 : 3,5.

2

Hur stor andel är barn?

(B)

25 Du kommer sist till en fest där det bjuds på pizza. Vid bord A sitter 9 personer med 4 pizzor och vid bord B sitter 7 personer med 3 pizzor.

Vid vilket bord ska du vara med och dela pizzorna om du vill ha så stor bit som möjligt?

(PL, M)

a) Hur många varv snurrar det lilla hjulet med 8 kuggar när det stora med 16 kuggar snurrar ett varv (startläget uppnås)? b) Utgå från ett hjul med 6 kuggar och ett med 9 kuggar.

Hur många varv snurrar hjulen innan startläget uppnås?

26 En lördag delade Maja och Malcolm ut reklambroschyrer i ett bostadsområde.

Mellan kl 8 och 14 delade Maja ut 1 100 broschyrer. Malcolm delade ut 900 broschyrer mellan kl 10 och 14.

Hur bör de fördela pengarna de fick för sitt arbete för att det ska bli rättvist? (PL, R)

c) Utgå från ett hjul med 14 kuggar och ett med 35 kuggar.

Hur lång tid tar det innan startläget uppnås om hastigheten är 25 kuggar/ sekund? d) Ernie påstår att två hjul med 17 och 19 kuggar snurrar längre än två hjul med 18 och 20 kuggar innan startläget uppnås om antalet kuggar per sekund är densamma.

27 Vilket eller vilka av talen –3

5,2

13

2/7

0

5

är

a) naturliga tal

d) primtal

b) heltal c) udda tal

e) rationella tal f) irrationella tal

(B)

28 New Horizons är en obemannad rymdsond som sändes ut från jorden den 19 januari 2006. Den passerade och fotograferade Pluto och dess månar den 14 juli 2015. Sonden hade då färdats ca 6 ∙ 1012 m.

Beräkna New Horizons medelhastighet under färden mot Pluto. Svara i enheten km/s. (M)

ARITMETIK – OM TAL

Kap 1.indd 65

3

(M, PL)

Stämmer det? Förklara.

30 Skriv kvadraten av 88nio med nio som bas.

(B, P) 31 Hur många siffror är det i talet? a) 10

2010

b) 100

2010

c) 200

(PL) 2010

65

2018-07-17 16:40:59

En introduktion till kalkylprogram Ett kalkylblad i t.ex. Excel, Google Docs eller GeoGebra är uppbyggt av kolumner med namnen A, B, C, ... och rader med namnen 1, 2, 3, .... celler Rutorna i kalkylbladet kallas för celler och namnges både med

en kolumnbokstav och ett radnummer.

1 2 3 4 5

A

B

C

D

Cellen B3 är markerad.

I cellerna kan man skriva text, siffervärden eller formler.

Exempel Vi skriver in tre tal och formler för summan och produkten av talen.

Vi skriver 19 i cellen B1, 14 i B2 och 7 i B3.

I A4 skriver vi ordet Summa och i A5 ordet Produkt.

I B4 skriver vi =B1+B2+B3 och i B5 skriver vi =B1*B2*B3

I Excel skriver man ”=” framför formeln, men det gör man inte i GeoGebra. I Excel använder man decimalkomma och i GeoGebra decimalpunkt.

När man trycker Enter i cellerna med formler beräknas värdet och formeln döljs.

1 2 3 4 5 6

A

Summa Produkt

B

19 14 7 =B1+B2+B3 =B1*B2*B3

C

1 2 3 4 5 6

A

Summa Produkt

B

19 14 7 40 1862

Formlerna i cellerna syns inte.

C

För att ändra något i en cell som inte innehåller en formel, måste man klicka i den.

Om man ändrar värdet i t.ex. B1, ändras summan och produkten automatiskt, eftersom formlerna innehållet värdet i B1.

Vi testar genom att skriva 9 i cellen B1.

B4

1 2 3 4 5 6

92

Kap 2.indd 92

A

Summa Produkt

fx

=B1+B2+B3

B

C

9 14 7 30 882

Klickar du i en cell med en formel i Excel, visas formeln i formelfältet. I GeoGebra dubbelklickar man istället i cellen.

PROCENT

2018-07-13 15:52:17

2316 Skriv in fyra valfria tal i cellerna B1–B4 i ett kalkylblad.

Skriv en formel som a) beräknar summan av talen

b) beräknar medelvärdet av talen.

a)

b)

1 2 3 4 5 6

A

B

C 16 27 9 42 =B1+B2+B3+B4

Summa

1 2 3 4 5 6 7

De valda talen ger summan 94.

A

B

Summa Medelvärde =B5/4

16 27 9 42 94

C

De valda talen ger medelvärdet 23,5.

Summan kan också beräknas genom att markera cellerna B1–B4 och trycka på Σ Autosumma eller skriva =summa(B1:B4) i B5.

Medelvärdet kan också beräknas genom att markera cellerna B1–B4 och välja Medel i menyn under summatecknet ∑ eller skriva =medel(B1:B4) i B6.

1 2317 Tabellen visar ett kalkylblad med formler för en momsberäkning.

1 2 3

A B Pris 300 Moms =0,25*B1 Pris inkl moms

C

a) Vilket värde visas i cell B2? b) I cell B3 skriver vi =B1+B2.

Vilket värde visas? c) Vad ska stå i B3 för att beräkna priset inklusive moms med förändringsfaktor? d) Vilka värden visas i B2 och B3 om priset ändras till 5 600?

2318 Firman Tekniklagret firar sin 15-årsdag.

Alla varor säljs med 15 % rabatt. Med hjälp av ett kalkylblad beräknas de nya priserna.

1 2 3

A

Pris Raba Reapris

B

280

C

a) Vilka formler ska skrivas i cellerna B2 respektive B3? b) Vilka värden visas i B2 och B3?

2319 En fotbollsförening säljer fika på sina matcher.

De säljer läsk för 15 kr/st, kanelbullar för 12 kr/st och kaffe för 20 kr/kopp.

De har börjat skriva i ett kalkylblad för att ha koll på intäkterna.

1 2 3 4 5

A Kaffe Bulle Läsk Summa

B Antal

C Intäkter

a) I kolumn B skriver de in antalet kaffe, bullar och läsk som de har sålt vid varje match.

Vilka formler ska de skriva i C2, C3 respektive C4? b) Första matchen säljer de 25 bullar, 43 kaffe och 18 läsk.

Beräkna summan av antalet sålda varor och summan av intäkterna med hjälp av kalkylbladet. c) A ndra matchen säljer de 15 bullar, 23 kaffe och 12 läsk.

Beräkna summan av intäkterna.

2.3 LÅN OCH INDEX 93

Kap 2.indd 93

2018-07-13 15:52:18

Lån, ränta och amortering med kalkylprogram Att beräkna lånekostnader, som räntor och amorteringar, för hand är besvärligt och tar lång tid. Ett kalkylprogram är ett bra hjälpmedel.

Vi tar här hjälp av programmet Excel eller GeoGebra. De fungerar på liknande sätt, men Excel använder decimalkomma och GeoGebra decimalpunkt.

Exempel

Vi utgår från lånet i uppgift 2303: Ett lån på 10 000 kr ska amorteras på fyra år.

Räntesatsen är 7,00 % och inbetalningarna sker i slutet av varje år. i öppnar ett kalkylblad och börjar med att skriva in rubrikerna överst i kolumnerna V och justerar bredden så att hela texten syns. Sedan skriver vi in de startvärden vi har i rätt celler. ◗ I cell A2 skriver vi 1 (första inbetalningen) ◗ I cell B2 skriver vi 10 000 (lånebeloppet) ◗ I cell C2 skriver vi 2 500 (amorteringsbeloppet 10 000/4 = 2 500)

Så här ser kalkylbladet ut:

1 2

A År 1

B Återstående lån 10000

C Amortering 2500

D Årsränta

E A betala ll banken

Nu ska vi mata in de formler som krävs för att utföra alla beräkningar.

I Excel skriver man ”=” framför formeln, det behövs inte i GeoGebra.

Cell

Inmatning av formel

Förklaring och beräkning

D2

=0,07*B2 eller =7%*B2

7 % av beloppet i B2 Beräkning: 0,07 ∙ 10 000 = 700

E2

=C2+D2

Summan av beloppen i C2 och D2 Beräkning: 2 500 + 700 = 3 200

Så här ser kalkylbladet ut:

1 2

94

Kap 2.indd 94

A År 1

B Återstående lån 10000

C Amortering 2500

D Årsränta 700

E A betala ll banken 3200

PROCENT

2018-07-13 15:52:18

Vi fortsätter och skriver två formler till: Cell

Inmatning av formel

Förklaring och beräkning

A3

=A2+1

Värdet i A2 ökar med 1 Beräkning: 1 + 1 = 2

B3

=B2−C2

Beloppet i B2 minskas med beloppet i C2 Beräkning: 10 000 – 2 500 = 7 500

Så här ser kalkylbladet ut:

1 2 3

A År 1 2

B Återstående lån 10000 7500

C Amortering 2500

D Årsränta 700

E A betala ll banken 3200

Den stora fördelen med att använda ett kalkylprogram är att vi enkelt kan utföra samma typ av beräkning många gånger. i klickar i cellen A3 där formeln = A2 + 1 finns inmatad och sätter muspekaren V på den lilla kvadraten nere till höger och drar den nedåt till sista cellen A5 (vi får 4 celler med 4 inbetalningar). När vi förlänger kolumnen kommer programmet att skriva nya formler av samma typ i rutorna under: ◗ I A4 skriver programmet = A3 + 1 och vi ser resultatet 3. ◗ I A5 skriver programmet = A4 + 1 och vi ser resultatet 4.

Vi drar på samma sätt: • B3 till B5 (vi måste dra kolumn C innan de rätta värdena syns i kolumn B, eftersom formeln i kolumn B innehåller värden från C).

• C2 till C5 (samma värde, 2 500, skrivs i hela kolumnen) • D2 till D5 och E2 till E5.

Nu ser kalkylbladet ut så här:

1 2 3 4 5

A År 1 2 3 4

B Återstående lån 10000 7500 5000 2500

C Amortering 2500 2500 2500 2500

D Årsränta 700 525 350 175

E A betala ll banken 3200 3025 2850 2675

2.3 LÅN OCH INDEX 95

Kap 2.indd 95

2018-07-13 15:52:18

Vi vill nu beräkna summan av amorteringarna, räntekostnaderna och summan av alla inbetalningar till banken.

Vi markerar de celler vi vill summera och använder

∑ Autosumma

i Excel

och ∑ i GeoGebra.

Så här ser det färdiga resultatet ut:

A År 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

2320

B Återstående lån 10000 7500 5000 2500 Totalt

C Amortering 2500 2500 2500 2500 10000

D Årsränta 700 525 350 175 1750

E A betala ll banken 3200 3025 2850 2675 11750

En långivare ger följande information: Lånebelopp: 85 000 kr Ränta: 4,5 % Amortering: E n gång per år i 10 år, lika stort belopp varje gång. a) Gör ett kalkylblad med de fem rubrikerna: År, Återstående lån, Amortering, Årsränta, Att betala till banken.

Vilka värden och formler ska du skriva i kalkylbladet innan du kan ”förlänga kolumnerna”? b) Vilka värden kommer att visas i kalkylbladet innan du ”förlänger kolumnerna”? a) Vi skriver i kalkylprogrammet: 1 2 3

År

=A2+1

b) 1 2 3

96

Kap 2.indd 96

A

År

A

1

B C D Återstående lån Amortering Årsränta 85000 =B2/10 =0,045*B2 =B2–C2 =C2

B C Återstående lån Amortering 1 85000 8500 2 76500 8500

D Årsränta 3825

E A betala ll banken =C2+D2

E A betala ll banken 12325

PROCENT

2018-07-13 15:52:19

Lös följande uppgifter med hjälp av ett kalkylprogram.

2

1

2323 Ellen och Rasmus ska köpa en bubbelpool för 95 000 kr. De tänker låna till hela beloppet och hittar två olika låneerbjudanden.

Räntorna avser månadsränta och amorteringarna är lika stora varje månad. a) Vad blir totalkostnaden med det billigaste lånealternativet? b) Hur stor är skillnaden i kostnad mellan det dyraste lånealternativet och att betala direkt? c) Vilket är det billigaste lånealternativet, om de istället väljer att låna 50 000 kr?

Pooldirekt ERBJUDANDE

2321 Robin lånar 240 000 kr för att renovera sin lägenhet. Amorteringstiden är 8 år och räntan 5,50 %. Inbetalningarna ska göras en gång per år och amorteringarna ska vara lika stora varje gång. a) Hur stor är varje amortering? b) Hur stor är summan av de belopp som han ska betala till banken vid första inbetalningen? c) Hur stor är summan av de belopp som han ska betala till banken vid sista inbetalningen? d) Vilken är den totala kostnaden för lånet, d.v.s. summan av alla ränteinbetalningar?

2322 Yosef köper en TV som har kontantpriset 8 700 kr. Han betalar TV:n genom att ta ett lån på 8 700 kr. Lånet ska betalas tillbaka på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 3,00 %. a) Hur stor inbetalning ska han göra efter en månad? b) Hur mycket har han betalat för TV:n när alla inbetalningar är gjorda?

Köp nu och dela upp betalningen på ett år.

Ränta: 7,5 %

NordSwea Låna upp till 100 000 kr i två år.

Ränta endast 3,75 %

3 2324 En långivare ger följande information: Lån: 40 000 kr Ränta: 2,15 % Amortering: En gång per år a) Efter hur många år är lånet återbetalat om amorteringsbeloppet är 5 000 kr första året och därefter ökar det med 5 % per år? b) Hur mycket har man sammanlagt betalat i ränta när lånet är avbetalat, om amorteringen är 2 500 kr/år och räntesatsen ökar med 0,5 procentenheter per år? c) Efter hur många år är lånet återbetalat om summan av ränta och amortering varje år ska vara 5 000 kr?

c) Hur många procent mer har han betalat för TV:n jämfört med kontantpriset?

2.3 LÅN OCH INDEX 97

Kap 2.indd 97

2018-07-13 15:52:20

Lena Alfredsson • Hans Heikne • Bodil Holmström

1c

Matematik

5000

1c 5000

Matematik

för gymnasiet och VUX är framtaget enligt ämnesplanen för 2018 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik

5000

Matematik 5000 plus är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet lyfter fram allt centralt innehåll i ämnesplanen och tränar samtliga matematiska förmågor.

I kombination med en tydlig progression ger detta eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Nyheter: Problemlösning med programmering i alla kapitel Symbolhanterande och digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Kalkylprogram lyfts fram Teman och Historik som belyser matematikämnets relevans Aktiviteter med fokus på förmågorna Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer

ISBN 978-91-27-45270-1

9 789127 452701

M5000_Bla_1c_Omslag_180709.indd Alla sidor

1c

2018-07-10 15:37