9789144116587

FÖRSÖKSPLANERING För utveckling och förbättring

Bo Bergman Martin Arvidsson Ida Gremyr

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39419 ISBN 978-91-44-11658-7 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2017 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Interak, Poland 2017

INNEHÅLL

Förord 7 Författarpresentationer 9

1 Varför behövs försöksplanering? 11 1.1 1.2 1.3 1.4

Vad är försöksplanering? 11 Vad är syftet med planerade försök? 12 ”En-faktor-i-taget”-försök 15 Vad har vi lärt oss? 19

2 Inte så svårt! 21 2.1 2.2 2.3

Hur går det till? 21 Enkel försöksplanering ger mycket information 28 Vad har vi lärt oss? 31

3 Fullständiga faktorförsök 33 3.1 3.2 3.3 3.4

Två-nivåers faktorförsök 33 Vilka faktorer bedömer vi som aktiva? 43 Osäkerhet i skattade effekter 47 Vad har vi lärt oss? 49

4 Mer för mindre – reducerade faktorförsök 51 4.1 4.2

Ytterligare en faktor 51 Exempel på reducerade faktorförsök 53 4.2.1 Bearbetningstemperatur 53

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3

Innehåll

4.3

4.4 4.5 4.6 4.7

Val av försöksplaner 56 4.3.1 Exempel på ett kraftigt reducerat försök 56 4.3.2 Försökets upplösning 58 Förbättring av en limfog 59 Förklarande modeller 61 Blockindelning 62 Vad har vi lärt oss? 65

5 Finns någon hund begraven? 67 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Förklarande modell 67 Diagnostik 70 Transformationer 73 Finns det kvadratiska effekter? 74 Åtgärder vid bortfall 77 Verifiering 77 Vad har vi lärt oss? 78

6 Mätproblematik 79 6.1 6.2

6.3 6.4 6.5 6.6

Mätsystem 79 Systematiska avvikelser och brist på precision 80 6.2.1 Brist på repeterbarhet 80 6.2.2 Brist på reproducerbarhet 81 Hur uppskattar man storlek på mätfel? 82 Ett exempel 83 Hur kan mätfel hanteras? 84 Vad har vi lärt oss? 85

7 Arbetsgång – faktorförsök 87 7.1 7.2 7.3

4

En generisk arbetsgång 87 Vilket är det faktiska problemet? 88 Vad vet vi, och vilken information saknas? 90 7.3.1 Viktiga faktorer 90 7.3.2 Ovidkommande störande faktorer 93 © F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

Innehåll

7.4

7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

Hur ska vi få den information vi behöver? 93 7.4.1 Resultatvariabler 94 7.4.2 Val av försöksplan 95 Hur ska vi genomföra försöket? 95 Hur ska resultatet analyseras? 96 Är slutsatserna från analysen riktiga? 96 Vilka beslut ska fattas? 98 Vad har vi lärt oss? 98

8 Bristande randomisering 99 8.1 8.2 8.3 8.4

Fullständig randomisering 99 Konsekvenser av restriktioner i fullständig randomisering 101 Ett exempel 104 Vad har vi lärt oss? 109

9 Kvadratiska effekter 111 9.1 9.2

9.3 9.4

Sammansatta försöksplaner 111 Andra försöksplaner 113 9.2.1 Faktorförsök med flera nivåer 113 9.2.2 3-nivåers faktorförsök 113 Taguchis typ av försöksplaner: L 9, L27 och L18 116 Vad har vi lärt oss? 118

10 Fler gallringsplaner 119 10.1 Försöksplaner med många faktorer 119 10.1.1 Överlagringsmönster 120 10.1.2 En illustration 122 10.2 Både kvadratiska effekter och samspel – DSD-planer 125 10.2.1 Beroenden mellan skattade effekter 127 10.2.2 Grafisk utvärdering 128 10.2.3 En Illustration 129 10.3 Diskussion 131 10.4 Vad har vi lärt oss? 132 © F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

5

Innehåll

11 Vad och var kan man lära sig mer? 133 11.1 Metoder som stöds av försöksplanering 133 11.1.1 Robust konstruktionsmetodik 133 11.1.2 Conjoint analysis 135 11.2 Programvaror 136 11.2.1 Excel 136 11.2.2 Minitab 139 11.2.3 Design-Expert 142 11.2.4 JMP 143 11.2.5 Gratisprogramvaran R 143 11.3 Fortsatt fördjupning 143 Ordförklaringar och beteckningar 147 Statistisk variation 151 Normalfördelningsplottning 169 Transformationer 177 En annan tolkning: regressionsanalys 183 Referenser 201 Person- och sakregister 203

6

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

KAPITEL 3

Fullständiga faktorförsök

De första exemplen i föregående kapitel var fullständiga två-nivåers faktorförsök. I detta kapitel ska vi fortsätta att studera sådana försöksplaner och deras egenskaper. Det som redan har beskrivits i kapitel 1 och 2 skildras här på ett mer generellt sätt.

3.1

Två-nivåers faktorförsök

I en situation med k stycken påverkande faktorer, som man vill studera på vardera två nivåer, finns totalt 2k olika försöksbetingelser. Man kan tänka sig dessa som hörnen i en k-dimensionell kub. För k = 3 demonstrerades denna kub i figur 2.1. När k > 3 blir illustrationen svårare att utföra. Se dock figur 3.1 (a) och (b), där försöksbetingelserna för ett faktorförsök med fyra faktorer, k = 4, illustreras på två olika sätt.

I (a) illustreras att faktor 4 kan vara på låg och hög nivå i varje hörn i den tredimensionella kuben. I (b) beskrivs två kuber: en då faktor 4 är på låg nivå, och en annan då faktor 4 är på hög nivå. Självklart blir det allt svårare att på dessa sätt grafiskt illustrera försöksbetingelserna och resultaten när antalet faktorer ökar. För sex faktorer skulle man exempelvis behöva lägga till en tredimensionell kub i varje hörn på den kub som illustrerar de tre första faktorerna (en generalisering av figur 3.1 (a)).

Men denna typ av illustrationer av försöksbetingelserna skulle bli alltför komplex när man har många faktorer. Det blir mycket lättare att illustrera de olika försöksbetingelserna i en tabell – en försöksplan som illustreras i tabell 3.1. Notera det systematiska arrangemanget av + och – så att samtliga sexton kombinationer kommer med. I det generella fallet med k faktorer kan man på samma sätt enkelt arrangera tecknen på samma systematiska sätt så att alla 2k kombinationer kommer med. © F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

33

3 Fullständiga faktorförsök + + Faktor 4

+ +

–

+ +

–

–

–

Faktor 2

– +

+ +

–

+

–

–

–

–

+ –

–

Faktor 3

+

Faktor 1 (a)

– –

+

– –

+

+ +

Faktor 2

–

+

Faktor 2

+

–

–

–

–

–

+

Faktor 1 Faktor 4 låg

–

+

+ Faktor 3

–

+

+

+

–

+

Faktor 1 Faktor 4 hög

–

+ Faktor 3

(b)

Figur 3.1 Illustration av de 16 olika försöksbetingelserna i ett två-nivåers faktorförsök med fyra stycken faktorer: 1, 2, 3 och 4. I (a) har vi i varje hörn av kuben för tre faktorer representerat den fjärde faktorn med en låg nivå (nedåt) och en hög nivå (uppåt). Samma sak kan representeras som två tredimensionella kuber för de tre första faktorerna, där den första kuben har den fjärde faktorn på låg nivå, medan den andra kuben har den fjärde faktorn på hög nivå.

34

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök

Tabell 3.1 Försöksplan och resultat från ett fullständigt två-nivåers faktorförsök med fyra faktorer. Egentligen tillhör inte kolumnen med y försöksplanen, men när resultat erhållits kan det vara praktiskt att illustrera dessa tillsammans med försöksplanen.

Försöksnummer

Faktor

1

2

3

4

yi

1

−

−

−

−

y1

2

+

−

−

−

y2

3

−

+

−

−

y3

4

+

+

−

−

y4

5

−

−

+

−

y5

6

+

−

+

−

y6

7

−

+

+

−

y7

8

+

+

+

−

y8

9

−

−

−

+

y9

10

+

−

−

+

y10

11

−

+

−

+

y11

12

+

+

−

+

y12

13

−

−

+

+

y13

14

+

−

+

+

y14

15

−

+

+

+

y15

16

+

+

+

+

y16

Den genomsnittliga effekten av att höja nivån från låg till hög för en faktor brukar kallas denna faktors huvudeffekt. Huvudeffekten för faktor 1 kan enligt figur 3.1 och tabell 3.1 alltså skattas som: l1 =

^ y 2 - y 1 h + ^ y 4 - y 3 h + g + ^ y 16 - y 15 h

n/2

där n är totala antalet enskilda försök. Här är alltså n = 16. Vi noterar att exempelvis l1

R =

n

i = 1 ! yi n/2

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

35

3 Fullständiga faktorförsök

där plus- eller minustecken sätts ut enligt kolumnen för faktor 1 i försöksplanen. För yi har vi alltså ett plustecken i l1 om faktor 1 befinner sig på hög nivå vid försöksbetingelse i. På samma sätt kan de andra faktorernas huvudeffekter skattas. Huvudeffekten av exempelvis 4 kan beräknas på samma sätt, men man kan också skriva det annorlunda annorlunda, dvs. som genomsnittet av alla observationerna på hög nivå minus genomsnittet av alla observationerna på låg nivå: l4 =

y 9 + y 10 + g + y 16 y 1 + y 2 + g + y 8 n/2 n/2

Ett samspel mellan två faktorer innebär att den ena faktorns effekt beror på den andra faktorns nivå. En skattning av samspelet mellan exempelvis faktorerna 1 och 4 är skillnaden mellan den genomsnittliga effekten för faktor 1 då faktor 4 befinner sig på hög nivå och den förras genomsnittliga effekt då faktor 4 befinner sig på låg nivå. Denna skillnad är (se tabell 3.1):

(y 10 - y 9 ) + (y 12 - y 11 ) + g + (y 16 - y 15 ) n/4 (y 2 - y 1 ) + (y 4 - y 3 ) + g + (y 8 - y 7 ) n/4

-

Vi tolkar samspelseffekten som den genomsnittliga skillnaden mellan resultaten när faktorerna har samma tecken och när faktorerna har olika tecken.

Samspelseffekten mellan två faktorer (här 1 och 4) i genomsnitt över samtliga kombinationer av de andra faktorernas nivåer kan nu, med lämpliga val av tecken, skattas som: n l 14 = / ! y i / a n 2k i=1

Notera att plustecken väljs för sådana yi där de två faktorerna båda är på hög nivå eller båda på låg nivå, medan minustecken väljs om faktorerna har olika tecken. I det vänstra ledet ovan har vi minustecken då faktor 4 befinner sig på hög nivå och faktor 1 på låg nivå, medan det högra ledet ger ett minustecken om faktor 4 är på låg nivå och faktor 1 är på hög nivå. Vi kan alltså få fram teckenföljden för samspelet genom att multiplicera tecknen för de två huvudeffekterna, se figur 3.2.

På samma sätt kan ett trefaktorsamspel beskrivas som att samspelet 36

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök

Figur 3.2 Teckenföljden för skattning av samspelseffekten mellan faktorerna 1 och 4 fås som produkten av tecknen i teckenföljderna för 1 och 4.

1 – + – + – + – + – + – + – + – +

4 – – – – – – – – + + + + + + + +

14 + – + – + – + – – + – + – + – +

mellan två faktorer beror av den tredje faktorns nivå. Samspelet mellan faktor 1 och faktor 3, när faktor 4 är på hög nivå, kan preliminärt skattas som:

(y 14 - y 13 ) + (y 16 - y 15 ) n/8

-

(y 10 - y 9 ) + (y 12 - y 11 ) n/8

På samma sätt kan samspelet mellan 1 och 3 på låg nivå för faktor 4 skattas.

Skillnaden mellan dessa två olika skattningar ger ett uttryck för samspelet mellan alla tre faktorerna. Likom tidigare dividerar vi med n/2 i stället för som ovan med n/8. Notera att samspelseffekten då är den genomsnittliga skillnaden mellan resultaten där trefaktorsamspelskolumnen (kolumnen 134 i figur 3.3) har plustecken respektive minustecken.

Vi erhåller följande skattning av samspelseffekten: l 134 =

n

R ! y / ` n2 j i=1

i

där man har plustecken om produkten av faktorernas tecken är positiv, exempelvis om alla är på hög nivå (+++) → +, eller precis två är på låg nivå (− −) → +. På motsvarande sätt kan man beräkna skattningar för samspels­ effekten för alla fyra faktorerna. Denna samspelseffekt uttrycker att samspelet mellan tre av faktorerna beror på den fjärde faktorns nivå. Den teck© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

37

3 Fullständiga faktorförsök

enföljd man behöver för skattningen ges därför av produkten av tecknen i de fyra faktorernas teckenföljder.

Därmed kan totalt 15 olika effekter skattas, se figur 3.3. Dessutom kan vi skatta den genomsnittliga nivån av samtliga försöksbetingelser: yr =

n

Ry / n i=1

i

I figur 3.3 illustreras teckenföljderna för skattning av de olika effekterna.

Om man byter ut + mot 1 och − mot −1 erhålls en matris som i fortsättningen kommer att kallas försöksmatris (på engelska design matrix). Var och en av de 15 olika skattade effekterna (l[1],…, l[15]) är en linjärkombination av observationerna med koefficienter vars summa är lika med noll. En sådan linjärkombination av observationerna kallar vi kontrast och betecknar med lj eller l[j]. Om indexet inte är angivet inom hakparenteser avses en kontrast som skattar effekten av den till indexet svarande faktorn eller samspelet mellan faktorer. Ett index j som är angivet inom hakparenteser betecknar den kontrast som svarar mot kolumn j i försöksmatrisen. Vi kan alltså till exempel enligt figur 3.3 identifiera att l[1] = l1 och l[5] = l12. Anledningen till att man valt namnet kontrast är att den visar skillnaden, ”kontrasten”, mellan observationer på hög respektive låg nivå.

1 − + − + − + − + − + − + − + − +

2 − − + + − − + + − − + + − − + +

3 − − − − + + + + − − − − + + + +

4 − − − − − − − − + + + + + + + +

12 + − − + + − − + + − − + + − − +

13 + − + − − + − + + − + − − + − +

14 + − + − + − + − − + − + − + − +

23 + + − − − − + + + + − − − − + +

24 + + − − + + − − − − + + − − + +

34 + + + + − − − − − − − − + + + +

123 − + + − + − − + − + + − + − − +

124 − + + − − + + − + − − + + − − +

134 − + − + + − + − + − + − − + − +

234 1234 − + − − + − + + + − + + − + − − + − + + − + − − − + − − + − + +

Figur 3.3 Teckenföljder för skattning av effekter.

38

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök

Oftast lägger man till en första kolumn med bara ettor i försöksmatrisen.

Denna kolumn blir då kolumn nr 0. Notera att det inte finns någon kontrast associerad med denna kolumn – i stället svarar denna kolumn mot medelvärdet av samtliga observationer dvs. y.

Om spridningen för yi är σi blir spridningen för en kontrast l lika med:

v^ l h =

/

n

v 2i

i=1

n/2

I det specialfall som vi i denna bok oftast koncentrerar oss till, nämligen att alla σi är lika, dvs. σi = σ för alla i, gäller att: σ(l) = 2σ/√n Man kan också visa att de skattade effekterna är okorrelerade om y 1, y2,…, yn är det. Dessutom är varje l[j] summan (med tecken) av n stycken slump­ variabler. Centrala gränsvärdessatsen, som börjar bli applicerbar redan för relativt små värden på n, säger oss att l[j] (nästan) kan betraktas som en observation från en normalfördelning, se bilaga B. Om den faktiska effekt som svarar mot kolumn j är lika med noll, säger vi att motsvarande faktor eller samspel inte är aktivt. Då kommer kontrasten att vara ungefär normalfördelad med väntevärde noll och spridning 2σ/√n. Denna fördelning kallar vi referensfördelning.

Om ingen faktor eller samspel är aktivt, det vill säga har effekt skild från noll, är l[j], j = 1,…, n−1, oberoende observationer från referensfördelningen.

Om någon kontrast är ovanligt stor i förhållande till de andra, kan vi tolka detta som att motsvarande faktor eller samspel är aktivt. Studera återigen figurerna 2.4 och 2.5, där vi illustrerat vad som kan sägas vara ”ovanligt stort”: den skattade effekten passar inte in i referensfördelningen. Vi är nu färdiga för att tillämpa de introducerade tankarna på ytterligare ett exempel. För att avgöra om samtliga skattade effekter kan beskrivas med hjälp av referensfördelningen eller om några av effekterna avviker för mycket från referensfördelningen tar vi hjälp av ett normalfördelningspapper som beskrivs närmare i bilaga C.

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

39

3 Fullständiga faktorförsök

Exempel 3.1 Bearbetningstemperatur Följande exempel är baserat på en artikel av Wu och Meyer (1964), en relativt tidig tillämpning inom det verkstadstekniska området.

Artikeln behandlar hur man försökt finna faktorer som är av betydelse för bearbetningstemperaturen vid svarvning. Vi har dock inte helt följt den ursprungliga tillämpningen. Vi återkommer till den i nästa kapitel.

De studerade faktorerna och deras nivåer finns presenterade i tabell 3.2.

I tabell 3.3 presenteras försöksmatriser (dock utan kolumn 0 med bara plustecken) och de erhållna resultaten.

Tabell 3.2 Faktorer studerade i exempel 3.1 och deras nivåer.

Faktor

Nivå Låg (−)

Hög (+)

1

Skärhastighet (m/min)

15,2

42,7

2

Matning (mm/varv)

0,13

0,51

3

Skärdjup (mm)

1,02

2,03

Ställvinkel 1 (grader)

30

5

Ställvinkel 2

60

85

4

40

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök

Tabell 3.3 Försöksmatrisen (här angiven med tecken och utan kolumnen med ettor), försöksresultatet och skattade effekter i exempel 3.1.

Nr

1

2

3

4

12

13

14

23

24

34

123

124

134

234

1234

4

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

+

480

16

+

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

−

−

740

9

−

+

−

−

−

+

+

−

−

+

+

+

−

+

−

698

8

+

+

−

−

+

−

−

−

−

+

−

−

+

+

+

1 065

11

−

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

+

−

480

5

+

−

+

−

−

+

−

−

+

−

−

+

−

+

+

821

1

−

+

+

−

−

−

+

+

−

−

−

+

+

−

+

760

15

+

+

+

−

+

+

−

+

−

−

+

−

−

−

−

1 075

14

−

−

−

+

+

+

−

+

−

−

−

+

+

+

−

521

6

+

−

−

+

−

−

+

+

−

−

+

−

−

+

+

841

2

−

+

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

+

−

+

765

10

+

+

−

+

+

−

+

−

+

−

−

+

−

−

−

1 066

7

−

−

+

+

+

−

−

−

−

+

+

+

−

−

+

573

12

+

−

+

+

−

+

+

−

−

+

−

−

+

−

−

844

13

−

+

+

+

−

−

−

+

+

+

−

−

−

+

−

816

3

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

1 098

37

51

−2

−13

−11

−12

4,8

20,5

Eff.

307 255

9

−5 −14

3 −14

Temp

Vi plottar kontrasterna l[1],…, l[15] på ett normalfördelningspapper. De kontraster som inte svarar mot aktiva faktorer eller samspel bör då någorlunda väl ansluta sig till en rät linje i normalfördelningspapperet. Med hjälp av denna linje kan vi sedan skatta spridningen, σ(l), för en godtycklig kontrast l.

I figur 3.4 visas de skattade effekterna plottade på ett normalfördelningspapper. I detta fall är det inte svårt att anpassa en rät linje till punkterna.

Lutningen ger en skattning av σ(l) lika med 21,7.

För att kunna beskriva slumpvariationerna så väl som möjligt är det viktigt att ta med maximalt antal kontraster. När man har 16 försöks­ betingelser kan 15 oberoende kontraster bildas. Dessa ska man då lägga in i ett normalfördelningspapper, se också bilaga C. Referensfördelningen © F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

41

3 Fullständiga faktorförsök Procent 99,9

Sigma 3

Procent 99,9

Sigma 3

97,7

2

97,7

2

84,1

1

84,1

1

50,0

0,0

50,0

0,0

15,9

–1

15,9

–1

2,3

–2

2,3

–2

–3

0,1 –50

0,1 –50

0

50

100 150 200 250 300 350 Effekt (a)

–3 0

50

100 150 200 250 300 350 Effekt (b)

Figur 3.4 De skattade effekterna plottade på ett normalfördelningspapper. I (a) är de skattade effekterna plottade och i (b) visas också en anpassning av en rät linje genom punkten 0 och 50 % till de observerade skattningarna. Man kan också notera att standardavvikelsen för en kontrast l, dvs sigma(l), kan beräknas med hjälp av lutningen på linjen. Avståndet mellan punkterna där linjen korsar exempelvis –2σ och +2σ är ungefär 87, vilket ger en skattning av sigma som är 21,7

beskriver de skattade effekternas fördelning om man bara har slumpmässig variation. Linjen i normalfördelningsdiagrammet bör alltså gå genom punkten 0 och 50 %, om det inte finns några aktiva faktorer eller samspel; om man bara har slumpvariation, är det lika troligt att en skattad effekt är positiv som att den är negativ. En förskjutning kan ske om några effekter är skilda från noll. I detta exempel tycks exempelvis två kontraster avvika.

Ibland kan man göra om normalfördelningsplotten med de kontraster som man tydligt ser inte tillhör normalfördelningen. Man får då färre kontraster, men kan ibland mycket tydligare se om dessa resterande kontraster tillhör samma fördelning. Kanske blir det ytterligare någon som ser ut att vara förhållandevis extrem?

I figur 3.5 presenteras de skattade effekterna tillsammans med referensfördelningen för dessa. Det är uppenbart att l[1] och l[2] inte passar in i den antagna referensfördelningen. Vi kan med fog misstänka att faktorerna skärhastighet och matning är aktiva.

42

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök

–100

–50

0

50

100

150

200

250

300

Figur 3.5 De skattade effekterna tillsammans med referensfördelningen, där σ(l) har skattats till ungefär 22 (enligt lutningen på linjen i figur 3.5 (b).

Ett alternativt sätt att presentera försöksresultatet är att ange aritmetiska medelvärden för resultatvariabeln vid intressanta faktorkombinationer, se till exempel figur 3.6. Diagrammet i figur 3.6 kallas ett resultatdiagram.

Temperatur

900 + 700

+ ++

500

– – ––

+ + ++

–– – – Nivåfaktor 2

Symbol

Hög

+

Låg

–

Skärhastighet –

+

Figur 3.6 Ett resultatdiagram vari försöksresultatet för faktor 1 (skärhastighet) på hög respektive låg nivå presenteras. Även nivån för faktor 2 (matning) finns markerad.

3.2

Vilka faktorer bedömer vi som aktiva?

Med hjälp av normalfördelningsplotten kan vi välja ut de kontraster som tycks svara mot aktiva faktorer eller samspel, det vill säga sådana kontraster som avviker från en skattad linje för normalfördelningen. När man gör detta urval måste man vara medveten om hur stora avvikelserna kan vara när man inte har några aktiva effekter. Detta indikeras i figurerna 3.7a och 3.7b som visar ett antal simulerade normalfördelningsplottar med observationer från N(0,1)-variabler. © F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

43

3 Fullständiga faktorförsök Procent 99,9

Sigma 3

Procent 99,9

Sigma 3

97,7

2

97,7

2

84,1

1

84,1

1

50,0

0,0

50,0

0,0

15,9

–1

15,9

–1

2,3

–2

2,3

–2

–3

0,1

0,1 –3

–2

–1

0 Effekt

1

2

Procent 99,9

–3 –3

3 Sigma 3

–2

–1

0 Effekt

1

2

Procent 99,9

3 Sigma 3

97,7

2

97,7

2

84,1

1

84,1

1

50,0

0,0

50,0

0,0

15,9

–1

15,9

–1

2,3

–2

2,3

–2

–3

0,1

0,1 –3

–2

–1

0 Effekt

1

2

3

–3 –3

–2

–1

0 Effekt

1

2

3

Figur 3.7a Fyra olika normalfördelningsplottar, där sju observationer från en N(0,1)-fördelning har simulerats. Detta motsvarar det antal effekter, oberoende kontraster, som kan beräknas ur en försöksmatris med åtta försök.

Som synes har man en hel del avvikelser från den inritade teoretiska linjen.

I bilaga C, där normalfördelningsplottning diskuteras, tar vi upp lite mer om hur man ska rita linjen för ett empiriskt material och hur den, liksom avvikande kontraster, kan tolkas. En viktig tumregel är att det i regel bara är ett fåtal faktorer som är aktiva dvs. som ger effekter som förväntas vara skilda från 0. Detta kallas gleshetsprincipen.

Man kan i allmänhet förvänta sig att det är fler huvudfaktorer än samspel som är aktiva. Det är inte troligt att ett samspel är aktivt om ingen av de ingående faktorerna är aktiva. Denna princip kallas ärftlighetsprincipen.

44

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök Procent 99,9

Sigma 3

Procent 99,9

Sigma 3

97,7

2

97,7

2

84,1

1

84,1

1

50,0

0,0

50,0

0,0

15,9

–1

15,9

–1

2,3

–2

2,3

–2

–3

0,1

0,1 –3

–2

–1

0 Effekt

1

2

Procent 99,9

–3 –3

3 Sigma 3

–2

–1

0 Effekt

1

2

Procent 99,9

3 Sigma 3

97,7

2

97,7

2

84,1

1

84,1

1

50,0

0,0

50,0

0,0

15,9

–1

15,9

–1

2,3

–2

2,3

–2

–3

0,1

0,1 –3

–2

–1

0 Effekt

1

2

3

–3 –3

–2

–1

0 Effekt

1

2

3

Figur 3.7b Fyra olika normalfördelningsplottar, där 15 observationer tillhörande N(0,1)variabler har simulerats. Detta motsvarar det antal effekter (oberoende kontraster) som kan beräknas ur en försöksmatris med 16 försök.

Om man ändå bedömer ett samspel som aktivt bör man också bedöma de ingående faktorerna som aktiva.

När man väljer ut de effekter som man tror svarar mot aktiva faktorer och samspel, gör man en balans mellan vad som brukar kallas fel av första respektive fel av andra slaget. Fel av första slaget är att ange en faktor som aktiv när den faktiskt inte är det. Den avvikelse vi då iakttar är ett resultat av slumpvariationen, men vi har felaktigt trott att den är en aktiv effekt. Ofta betecknas risken för fel av första slaget med α (alfa).

Fel av andra slaget innebär att man inte väljer en faktor som aktiv, trots © F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

45

3 Fullständiga faktorförsök

att den faktiskt är det. Hur allvarligt detta är och hur stor risken är för att göra ett sådant fel är givetvis beroende på storleken av effektens faktiska avvikelse från noll. Chansen att upptäcka att en effekt är skild från noll beror på effektens storlek i förhållande till totala antalet observationer, n, och till spridningen σ. Endast effekter som är av storleksordningen 2σ/√n eller större har en rimlig chans att bli upptäckta. Det är svårt att sätta upp några exakta regler för hur urvalet bör ske och hur sträng man bör vara.

Olika problemformuleringar kan ge olika urvalskriterier. Risken för fel av andra slaget brukar ofta betecknas β (beta).

I ett försök som är avsett att vara kunskapsgenererande kan det vara rimligt att man betonar α-risken. Detta är det vanliga i exempelvis forskningsrapporter. I industriella sammanhang där man gör många planerade försök efter varandra kan det vara värt att i högre grad betona beta-risken.

Om vi tidigt avgör att en faktor inte påverkar de intressanta resultaten, trots att den faktiskt har en effekt, finns det en risk för att vi aldrig kommer att förstå denna faktors betydelse. Om faktorn däremot inte påverkar, men vi i ett initialt försök ändå säger att den gör det (fel av första slaget), kommer det troligen att bli uppenbart vid senare försök.

Till slut är det dock alltid kostnader och eventuella nyttor som avgör hur man ska balansera mellan fel av första och fel av andra slaget.

En princip, som ofta visar sig gälla är Joseph Jurans the vital few and trivial many. I detta sammanhang innebär den att enbart ett fåtal faktorer ger något väsentligt bidrag. Principen kallas också Pareto-principen och har nära släktskap med den så kallade 80–20-regeln. Oftast är enbart ett litet antal effekter så stora att det är viktigt att finna dem. Ovan kallade vi denna princip för gleshetsprincipen.

I en situation där många av effekterna faktiskt är väsentligt skilda från noll kan det uppstå problem: Hur ska man kunna skilja på den variation som beror på slump och den som beror på systematisk variation? Kanske tolkas alla kontraster som resultat av slumpvariation när faktiskt många av dem är aktiva.

Redan i början av boken rekommenderades att man delar upp sina resurser för försök på ett antal olika försöksomgångar. Detta påverkar riskbilden i hög grad. Slutsatser från en försöksomgång kan styrkas av resultatet i en senare omgång. Om ändå samtliga försöksresurser satsas i en enda omgång

46

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

3 Fullständiga faktorförsök

bör man åtminstone genomföra ett verifierande försök, så att inte felaktiga slutsatser dras.

Osäkerhet i skattade effekter

3.3

Skattade effekter är alltid behäftade med en viss osäkerhet. Vi har redan delvis diskuterat en källa till osäkerhet, nämligen den variation som man kan iaktta i samband med upprepning av observationer gjorda under samma försöksbetingelser. Ofta kan vi tolka denna variation som resultatet av variation i (ovidkommande) störande faktorer, som vi inte har någon kunskap om.

Tidigare har vi konstaterat att spridningen för den skattade effekten är 2σ/√n om vi har n olika försöksbetingelser och om spridningen för enstaka observationer är lika med σ för alla försöksbetingelserna.

Denna osäkerhet kan man minska genom att öka n eller genom att minska σ. Man kan minska σ genom att ta upprepade observationer under samma försöksbetingelser. I stället för den enstaka observationen yi vid försöksbetingelse nr i låter man motsvarande aritmetiska medelvärde yi gå in i analysen. Med mi stycken upprepningar kan man på detta sätt minska spridningen med faktorn 1/√mi.

När man har upprepade, men oberoende, försök under samma försöks­ betingelser kan man också skatta den slumpmässiga spridningen. Spridningen för försöksbetingelse nr i skattas med (se bilaga B): si =

R

mi

mi

y

j=1

^ y ij - yri h2

^ mi - 1 h

där

R y = ri

j = 1 ij

mi

Om man antar att man har samma spridning i alla försöksbetingelser, kan man väga ihop skattningarna. Enligt bilaga B blir den sammanslagna skattningen av spridningen: n

s=

R R

i=1 n

^ m i - 1 h s 2i

i=1

^ mi - 1 h

© F ö r fatta r na och S tudentlitte r atu r

47

Bo Bergman är professor emeritus i kvalitetsutveckling vid Chalmers, Teknikens ekonomi och organisation.

Martin Arvidsson är After Market and Operational Excellence Manager på Cochlear Bone Anchored Solutions AB och docent vid Chalmers, Teknikens ekonomi och organisation.

Ida Gremyr är biträdande professor i kvalitetsutveckling vid Chalmers, Teknikens ekonomi och organisation.

FÖRSÖKSPLANERING För utveckling och förbättring

Inom såväl industri som offentlig sektor är försöksplanering en viktig men underutnyttjad del av kvalitetsutveckling – både för att utveckla nya produkter och processer men också för att förbättra existerande. Kan det ibland begränsade användandet förklaras av att försöksplanering förknippas med avancerade beräkningar och svårbegriplig statistik?

I denna bok vill vi visa att försöksplanering är enkelt att använda.

Boken tar sin utgångspunkt i enkla försök som inte kräver omfattande bakgrundskunskaper och som snabbt kan omsättas i praktik. Med sin bredd passar boken för praktiker som vill komma igång med att göra försök eller som vill fördjupa sina kunskaper kring mer avancerade försök. Försöksplanering – För utveckling och förbättring passar på kurser eller kursmoduler för studenter på såväl kandidat- som magisternivå.

Art.nr 39419

studentlitteratur.se