Issuu on Google+

Kurs

C BlĂĽ

LENA ALFREDSSON ∙ PATRIK ERIXON HANS HEIKNE ∙ ANNA PALBOM

Kurs

C BlĂĽ

MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fÜregüngaren Matematik 3000 baserad pü färdigheter – fÜrstüelse – problemlÜsning, men nu med Ükat fokus pü kommunikation. Nya begrepp introduceras pü ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

BÜckerna i Matematik 4000 finns i tre svürighetsnivüer: RÜd, GrÜn och Blü, där Blü är den mest krävande. FÜr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

*4#/



 

4000

Eleverna für med hjälp av denna bok och tillhÜrande kompletterande material münga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken – genom elevnära exempel, aktiviteter och Üvningar, de senare av olika slag och svürighetsgrad.

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

4000 MATEMATIK


Till lärare och elever Matematik 4000

Varje kapitel har följande struktur:

är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxen­utbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning.   Den ger eleven goda möjligheter att utveckla de förmågor och nå de mål som beskrivs i kursplanen.

1. De olika momenten har delats in i mindre avsnitt med underrubriker för att underlätta lektionsplaneringen. Varje sådant avsnitt har den struktur som beskrivs ovan.

Denna bok, Kurs C Blå lärobok, riktar sig främst till dem som planerar för vidare studier i ­matematik, som t ex naturvetare och tekniker. Kurs C Blå lärobok är en komplett lärobok för kurs C. Den förutsätter att eleven har tillgång till en grafritande räknare, men går även att använda tillsammans med mer kraftfulla symbolhanterande räknare. Framställningen är oberoende av vilken typ av räknare som används. För att underlätta användningen av räknare finns aktiviteter, tips samt markeringar i marginalen som visar när eleven kan behöva instrueras i hur räknaren ska användas.

Varje enskilt avsnitt har följande struktur: 1. Teorin framställs så att eleverna ges en chans att förstå och upptäcka matematiken och så att den är möjlig att läsa på egen hand. Teorin utgår oftast från ett konkret Exempel. 2. Lösta uppgifterbelyser det viktigaste och stärker förståelsen. 3. Övningsuppgifterna är uppdelade i tre nivåer, A, B och C, i stigande svårighetsgrad.

2. I varje kapitel finns Aktiviteter och Historik i anslutning till teorin. Aktiviteterna är främst avsedda för arbete i par eller i grupp och finns i fyra olika kategorier: Undersök, Upptäck, Laborera och Diskutera. På några ställen i boken finns också *-märkta fördjupningsavsnitt. 3. Kapitlet avslutas med • förslag till Hemuppgifter som är grupperade efter momentrubrikerna. • en Sammanfattning där eleven kan repetera det viktigaste i kapitlet. • Blandade övningarsom består av två likvärdiga och parallella test med uppgifter även från tidigare kapitel. Blandade övningar innehåller A-, B- och C-uppgifter och har en struktur liknande ett Nationellt prov.   Del I ska lösas utan räknare och Del II avslutas med Utredande uppgifter. • en sida Problem för alla med problemlösning av annorlunda slag.

Boken avslutas med • Repetitionsuppgifter, vilka är texten till de lösta uppgifterna i varje kapitel. Dessa kan användas som en självständig repetition. Vi hoppas att Matematik 4000 är lätt att använda, att den inbjuder till en variation av arbetssätt samt att den erbjuder många olika möjligheter för lärare och elever att lägga upp undervisningen. Lycka till med matematiken! önskar Författarna

förord

Bla C Kap 1.indb 3



08-08-06 16.00.37


Innehåll 1. Algebra och funktioner  6

2. Förändringshastigheter och derivator  87

Aktivitet: Undersök – Algebratrianglar  7

Aktivitet: Undersök – Hastighet och lutning  87

1.1 Polynom  8

2.1 Förändringshastigheter  88

Polynom och räkneregler  8 Ekvationer och lösningsmetoder  12 Mer om ekvationer  15 Polynom i faktorform  18 * Faktorsatsen  20

1.2 Rationella uttryck  22

Vad menas med ett rationellt uttryck?  22 Förlängning och förkortning  25 Addition och subtraktion  30 Multiplikation och division  34

1.3 Linjära och icke-linjära funktioner  36

Funktionsbegreppet  36 Linjära funktioner  39 Andragradsfunktioner  42 Grafiska lösningsmetoder  45 Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats  47 Aktivitet: Undersök – Funktioner och symmetrier  48

1.4 Potenser och logaritmer  49

Exponetialfunktioner och potenser  49 Potenslagarna  51 Bråk som exponenter  53 Tillämpningar på potenser  56

1.5 Logaritmer  58 Exponentialekvationer och logaritmer  58 Logaritmlagarna  61 Logaritmer med olika baser  63 Historik: Logaritmerna – ett tidigt räknehjälpmedel  64 Tillämpningar på exponentialekvationer  65 Från graf till algebraiskt uttryck  71 Aktivitet: Laborera – Termosen  72 Aktivitet: Laborera – Pendeln  73 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?  74 Hemuppgifter 1  75 Sammanfattning 1  78 Blandade övningar 1A  80 Blandade övningar 1B  83 Problem för alla 1  85

2

Bla C Kap 1.indb 4

Genomsnittlig förändringshastighet  88 Kurvors lutning  92

2.2 Derivata  97

Begreppet derivata  97 Derivatans definition  100 Grafritande räknare och derivators värde  103

2.3 Deriveringsregler  104

Derivatan av polynom  104 Derivatan av potensfunktioner  108 Historik: Tangenter och derivata  111 Aktivitet: Upptäck – Det märkliga talet e  112 Derivatan av exponentialfunktioner  113 Naturliga logaritmen och derivatan av a x  117 Blandade tillämpningar och problem  119

2.4 Grafisk och numerisk derivering  122 Olika differenskvoter  122 * Mer om gränsvärden  125 Aktivitet: Laborera – kvadratiska pappskivor  127 Aktivitet: Undersök – En kurvas lutning i en punkt  128 Problem för alla 2  129 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?  130 Hemuppgifter 2  131 Sammanfattning 2  134 Blandade övningar 2A  136 Blandade övningar 2B  139

  innehåll

08-08-06 16.00.38


3. Kurvor och derivator  143

4. Talföljder och summor  191

Aktivitet: Undersök – Max och min  143

Aktivitet: Undersök – Hittar du mönstret?  191

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?  144

4.1 Talföljder  192

Är grafen fullständig?  144 Växande eller avtagande  145 Hur används förstaderivatan vid kurvkontruktion?  146 Historik: Matematik till och från Sverige  151 Skissa grafer  152 Största och minsta värde  155

3.2 Derivator och tillämpningar  158 Polynomfunktioner  158 Några enkla potensfunktioner  165 Exponentialfunktioner  168 Grafritande räknare  171 Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar den största lådan?  173 Aktivitet: Funktioner och derivator  174 * Kan alla funktioner deriveras?  176 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?  178 Problem för alla 3  179 Hemuppgifter 3  180 Sammanfattning 3  182 Blandade övningar 3A  184 Blandade övningar 3B  187

Vad menas med en talföljd?  192 Historik: Fibonaccis talföljd  196

4.2 Summor  197

Aritmetisk summa  197 Geometrisk summa  199

4.3 Tillämpningar  201

Ekonomi  201 Naturvetenskap  204 Aktivitet: Laborera – Hur högt studsar bollen?  206 Aktivitet: Undersök – Hur högt blir trädet?  207

4.4 Kalkylmodeller  208 Kalkylprogram  208 Upprepade beräkningar med grafritande räknare  212 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?  214 Problem för alla 4  215 Hemuppgifter 4  216 Sammanfattning 4  217 Blandade övningar 4A  218 Blandade övningar 4B  221

Repetition  224 Svar  230 Register  262 Bildförteckning  263

innehåll

Bla C Kap 1.indb 5

3

08-08-06 16.00.38


I matematikens v채rld 채r algebra och funktioner viktiga verktyg.

Bla C Kap 1.indb 6

08-08-06 16.00.49


1   algebra och funktioner Inledande aktivitet

Undersök

algebratrianglar 1 I ”trianglarna” nedan beror värdet i en ruta på de två undre angränsande rutorna. Skriv av trianglarna och fyll i de tomma rutorna om de två undre rutorna ska

2 Med hjälp av ”Pascals triangel” nedan kan vi ta reda på vad olika potenser av (a + b)n blir när vi utvecklar dem. 1

d) multipliceras

a) adderas

1 a+

x + (x + 2)

1 a2 +

2x + 2 x

x+2

4

b) adderas

x–4

c) subtraheras

x+4

x

e) multipliceras x2 – 4

2x + 1

2x + 8

x

x+2 x+2

f) multipliceras.

(2x + 1) – 2 2x4 + 8x2 2x – 1

2x + 1 2 x

   

a3 +

1 b

2 ab + a2 b +

1 b2 ab2 +

b3

I översta raden ser vi att (a + b)0  =  1 Andra raden ger att (a + b)1  =  a + b Tredje raden ger (a + b)2  =  a2 + 2ab + b2 a) Skriv av triangeln ovan. Beräkna (a + b)3 och fyll i koefficienterna i de tomma rutorna i den fjärde raden. (Utnyttja att (a + b)3 = (a + b)(a + b)2.) b) Studera mönstret i den triangel som bildas av rutorna med koefficienterna. Utöka sedan triangeln med en rad till. Vad bör (a + b)4 bli om vi utvecklar? Undersök. c) K an vi bilda en liknande triangel för (a – b), (a – b)2, …?

1 algebra och funktioner 

Bla C Kap 1.indb 7

08-08-06 16.00.56


1.1  Polynom Polynom och räkneregler

Exempel I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska modeller.

Ett straffkast i basket kan beskrivas med andragradsfunktionen eller polynomfunktionen

y  =  2,15 + 2,1x – 0,41x2

2,15 + 2,1x – 0,41x2 är ett andragradspolynom. Den första termen, 2,15, är en konstantterm.

De båda följande termerna, 2,1x och –0,41x2, är variabeltermer.

Talen 2,1 och –0,41 kallas koefficienter.

Kastets högsta punkt är i detta fall 4,84 m. Rita och kontrollera! Fundera. Varför ökar chansen till poäng om kastkurvan är hög?

När vi arbetar med polynom är det viktigt att behärska grundläggande räkneregler.



Bla C Kap 1.indb 8

1.1 polynom

08-08-06 16.00.57


Addition och subtraktion av polynom

Parentes med + före kan tas bort.

(8 + 2x) + (3 – 4x) = 8 + 2x + 3 – 4x = 11 – 2x (8 + 2x) – (3 – 4x) = 8 + 2x – 3 + 4x = 5 + 6x

Parentes med – före kan tas bort om alla tecken ändras.

Multiplikation av polynom

Lika tecken ger plus, olika ger minus.

(8 – 2x) (3 – 4x) = 8 ∙ 3 – 8 ∙ 4x – 2x ∙ 3 + 2x ∙ 4x = 24 – 38x + 8x 2 Konjugat- och kvadreringsreglerna

Repetition

(a + b) (a – b) = a 2 – b 2

(2x + 3) (2x – 3) = 4x 2 – 9

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

(2x + 3)2 = 4x 2 + 12x + 9

(a – b)2 = a 2 – 2ab + b 2

(2x – 3)2 = 4x 2 – 12x + 9

Faktorisering genom utbrytning 5xy – 25x 2y = 5xy (1 – 5x) Faktorisering med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna 4s 2 – 9t 2 = (2s + 3t) (2s – 3t) 18a2 + 12a + 2 = 2(9a 2 + 6a + 1) = 2(3a + 1)2 (x + 1)2 – 4y 2 = (x + 1)2 – (2y)2 = (x + 1 + 2y) (x + 1 – 2y)

1101

Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar och lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först uppgiften utan räknare.

Förenkla x + (2x + 5)2 – 4(x + 3)(x – 3).

x + (2x + 5)2 – 4(x + 3)(x – 3) =

Utveckla med kvadreringsoch konjugatregel.

= x + (4x2 + 20x + 25) – 4(x2 – 9) =

Multiplicera in i parentes.

= x + (4x2 + 20x + 25) – (4x2 – 36) =

Ta bort parenteser, om – framför så ändra tecken.

= x + 4x2 + 20x + 25 – 4x2 + 36 =

Förenkla.

= 21x + 61

1.1 polynom 

Bla C Kap 1.indb 9

08-08-06 16.00.59


1102

En bakteriekultur tillväxer enligt formeln

N (x)  =  2 500 + 350x + 25x2

där N (x) är antalet bakterier  x minuter efter försökets början.

Beräkna och tolka N (5) – N (4).

N (4)  =  2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 42  =  4 300

Efter 4 minuter finns det 4 300 bakterier.

N (5)  =  2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 52  =  4 875

Efter 5 minuter finns det 4 875 bakterier.

N (5) – N (4)  =  4 875 – 4 300  =  575 ≈ 580

Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten.

1108 

1103 Utveckla och förenkla

a) 4x + 2(2x – 3)

c) (x + 3)(2x + 4)

b) 6a – 2(11 – 7a)

d) (y – 4)(2 – y)

1104 Utveckla med konjugatregeln

a) ( x – 4)(x + 4)

b) (7 – 2a)(7 + 2a)

1105 Utveckla med kvadreringsreglerna

a) (a + 5)2

c) (3x + 4)2

b) (x – 9)2

d) (5 – 6y)2

1106 Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten. Vad ska stå i A och B? A

2a – 4

Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N(p) kan beräknas med

B

3(b – a)

a–b

6(a – b + 1)

b–a

N (p)  =  3 000 – 20p

Beräkna N (140) och tolka resultatet i ord.

1109 Beräkna värdet för uttrycket 2(a – 2)2 – 2a (a – 3) om a  =  4

1107 Bryt ut så mycket som möjligt.

a) 5x + 25x 3

c) 24h + 4h2

a) före förenkling

b) 4h + 8h + 12

d) 6hx + 3h x,

b) efter förenkling.

10

Bla C Kap 1.indb 10

2

2

1.1 polynom

08-08-06 16.01.09


1110 Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsregel

a) x2 – 49

c) 81x2 – 16y2

b) x2 – 6x + 9

d) 16x2 + 8x + 1

1111 Utveckla och förenkla

a) 5x2 – 4(2x – 3)(x – 5)

b) 3(a – b) – 2(a – b)

c) (x – 2)3

d) (x – 1)x + (x2 – 2x – 4)(x + 1)

2

2

1112 Konstreproduktioner AB producerar högst 30 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar x målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter:

Kostnad i kr: K (x)  =  5 000 + 80x + 10x2

Intäkt i kr: I (x)  =  x(1 200 – 20x)

Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst. Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten, V (x).

1115 Kostnaden T kr för att producera q enheter av en produkt är T (q)  =  800 + 15q + 0,3q2 Vinsten vid försäljning av q enheter är V (q) kr. Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten då produkterna säljs för 90 kr/st. 1116 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer till en fiskerulle. Firmans totala kostnad K kr för att producera x detaljer uppskattas till K (x)  =  16 000 + 50x + 0,2x2. Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden ändras om produktionen höjs från x detaljer till (x + 1) detaljer. 1117 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda om hon tar 3 000 kr för en vecka, och för varje hundralapp som hon ökar hyran med förlorar hon en hyresgäst. Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten beror av en höjning med x hundralappar och undersök vad den maximala intäkten är.

1113 Bollens höjd y m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln

y (x)  =  2,15 + 2,1x – 0,41x2

där x m är avståndet från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y (2,5) – y (2,0). 1114 Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsregel.

a) 2x2 – 8y2

b) x2 – 12xy + 36y2 d) (a+3)2 – 9b2

1.1 polynom

Bla C Kap 1.indb 11

c) 50a2 + 40a + 8 1118 p (a+1)  =  a2 + 2a + 1. Bestäm p (x).

11

08-08-06 16.01.33


Ekvationer och lösningsmetoder Exempel

Stoppsträckan s m för en bil vid ett visst väglag kan beräknas med formeln

s  =  v ∙ tr + 0,1 ∙ v2

där v är hastigheten i m/s och tr är förarens reaktionstid i s.

Vad är reaktionstiden, om stoppsträckan vid 25 m/s (90 km/h) är 100 m?

Vid vilken hastighet är stoppsträckan 60 m, om förarens reaktionstid är 1,0 s?

Svaren får vi ur förstagradsekvationen 100  =  25 ∙ tr + 0,1 ∙ 252

samt andragradsekvationen 60  =  v + 0,1 ∙ v2

Vi repeterar några exakta lösningsmetoder.

1119

Lös ut x ur formeln y  =  a – bx.

När vi skriver om formler använder vi samma metoder som när vi löser ekvationer. Här överför vi steg för steg formeln till x  =  ...

y  =  a – bx

Addera först b x till båda leden.

y + bx  =  a

Subtrahera sedan y från båda leden.

bx  =  a – y

Dividera nu båda leden med b.

x  = 

1120

a–y b

(b xb  =  x)

Lös ekvationen

a) (z – 1)2  =  5

b) 2x2 – 5x  =  0

kvadratrotsmetoden

a) (z – 1)2  =  5

En kvadrat = en konstant. Ta först kvadratroten ur båda leden.

z – 1  =  ± √5

Obs! Två lösningar.

z  =  1 + √5 ≈ 3,24 eller z  =  1 – √ 5  ≈  –1,24

nollproduktmetoden

b) 2x2 – 5x  =  0

x(2x – 5)  =  0

Faktorisera först VL genom att bryta ut x. Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll.

x  =  0 eller (2x – 5)  =  0 x  =  0 eller x  =  2,5 (Observera att 2 x2 – 5 x  =  6 inte kan lösas på detta sätt.) 12

Bla C Kap 1.indb 12

1.1 polynom

08-08-06 16.01.38


Lösningsformeln

x 2 + px + q = 0   (normalform) p x = –  ± 2

p 2

2

–q 2

1121

 p Andragradsekvationen saknar (reella) rötter om   –  q  <  0.  2 Lös ekvationen 3s2 + 9s – 12  =  0

3s2 + 9s – 12  =  0

Dividera ekvationen med 3 för att få normalform.

s2 + 3s – 4  =  0

Använd sedan lösningsformeln.

2

3 s  =  – 3 ±   + 4  2 2

9 16 + s  =  – 3 ± 4 4 2

s  =  – 3 ± 5 2 2

s1  =  1    s2  =  – 4

Om vi får ett negativt tal under rottecknet saknar ekvationen reella rötter.

Till exempel saknas reella rötter till ekvationen x2 – 2x + 10  =  0, då x  =  1 ± √ 1 – 10 .

faktorisering som lösningsmetod

1122

Nollproduktmetoden kan vi använda även för ekvationer av högre grad, om vi klarar av att faktorisera och bestämma när faktorerna är noll. Lös ekvationen

a) x 4 – x 3  =  0     b)  x 3 – 2 x2 – 3 x  =  0

a) x 4 – x 3  =  0

Faktorisera VL genom att bryta ut x 3.

x 3 (x – 1)  =  0

Undersök när produkten är noll.

x  =  0 eller x  =  1

b) x 3 – 2 x 2 – 3 x  =  0

Bryt ut x i VL.

x ∙ ( x 2 – 2 x – 3)  =  0 x  =  0  eller   x 2 – 2 x – 3  =  0 x1  =  0

x  =  1 ± √1 + 3

x  =  1 ± 2

x2  =  3

1.1 polynom

Bla C Kap 1.indb 13

x3  =  –2 13

08-08-06 16.01.44


1133 Den totala kostnaden K  kr för att produ cera x detaljer i en syateljé uppskattas till

Lös ekvationerna 1123 a) 12 – 4x  =  6

b) 3x + 2  =  5x – 3

1124 a) x2  =  81

c) x2 + 31  =  0

d) (y – 4)2  =  64

b) 2 t  =  70 2

1125 a) x(x + 5)  =  0

c) x2 + 4x  =  0

d) 3x2 – 12x  =  0

b) 2x (x – 8)  =  0

1126 a) 4x2  =  8x

c) (x + 1)(x – 1)  =  0

d) (x – 3)(2x + 4)  =  0

b) 8x  =  2x 2

K (x)  =  16 000 + 50x + 0,2x 2

Hur många detaljer kan produceras för 100 000 kr?

1127 Lös ut x ur formeln b) H – hx  =  f a) ax + b  =  c 1128 (Tal 1)2 – (Tal 2)2  =  14 Tal 1 är 2 större än Tal 2. Vilka är talen? Lös ekvationerna 1129 a) x2 – 4x + 3= 0

b) x2 + 8x – 9  =  0

c) y2 – 3y + 4  =  0

1130 a) 2t2+ 40t + 34  =  0

b) 3x2 + 12x  =  36

c) (x + 3)(x – 2)  =  7

1134 Lös ekvationerna

a) x 3 – 4x  =  0

1131 a) 4(x + 7)2  =  36

b) x 3 – 8x2 + 15x  =  0

b) 4x = 2x

c) 4(3 – 3x)(8 – 2x2)  =  0

c) (x +3)(x – 4)(2x + 1)  =  0

2

1132 Lös ekvationerna och besvara frågorna från det inledande exemplet på förra uppslaget.

1135 Ekvationen x2 (4x + 5a)  =  0 har en lösning x  =  2. Vilket värde har a? 1136 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln

a) 100  =  25 ∙ tr + 0,1 ∙ 25

b) 60  =  v + 0,1 ∙ v2

där N (x) är antalet bakterier  x  minuter efter försökets början. Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats?

2

N (x)  =  2 500 + 350x + 25x2

1137 Lös ekvationerna

14

Bla C Kap 1.indb 14

a) x2 (x + 1) – 64(x + 1)  =  0

b) (x 3 – 3x2 ) – (2x – 6)  =  0 1.1 polynom

08-08-06 16.02.03


Mer om ekvationer Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Det är då extra viktigt att kontrollera svaret. Här följer två exempel.

ersätta ett uttryck med t Om samma uttryck förekommer flera gånger i en ekvation, kan

ekvationen ofta förenklas genom att vi ersätter hela uttrycket med en bokstav, t ex t.

1138

Lös ekvationerna

a) (x2 – 2)2 – 16(x2 – 2) + 28  =  0

a) Sätt x2 – 2  =  t.

b) x + √x  =  12

b) Sätt √x = t. Då blir x  =  t2. t2 – 16t + 28  =  0 t2 + t – 12  =  0 t  =  8 ± √64 – 28  t  =  – 1 ± 2

1 + 12 4

t  =  8 ± √36  t  =  – 1 ± 2

1 48 + 4 4

t  =  8 ± 6 t  =  – 1 ± 7 2 2

√ x  är

positivt.

t1  =  14

t2  =  2 t1  =  3

t2  =  – 4

x2 – 2  =  14

x2 – 2  =  2 √ x   =  3

√ x   =  – 4

x2  =  16

x2  =  4 x  =  9

Saknar lösning.

x  =  ± 4

x  =  ± 2

Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 och 4.  b) Lösningen är 9.

Ekvationer av typen √ x – 3  =  5 – x, där x förekommer under rottecknet, Rotekvationer kallas rotekvationer. Kvadrerar vi båda leden, försvinner rottecknet. kvadrera

1.1 polynom

Bla C Kap 1.indb 15

Falsk rot prövning

√ x – 3  =  5 – x ger efter kvadrering x – 3  =  25 – 10x + x2. Men samma resultat får vi om vi kvadrerar ekvationen √ x – 3  =  – (5 – x). Detta betyder att vi vid kvadrering kan få så kallade falska rötter som inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Vi måste pröva svaret!

15

08-08-06 16.02.05


1139

Lös ekvationen √ x – 3  =  5 – x.

√ x – 3  =  5 – x

Vi kvadrerar båda leden.

x – 3  =  (x – 5)2

Utveckla HL.

x – 3  =  x2 – 10x + 25

Förenkla.

x2 – 11x + 28  =  0

x  = 

x  = 

11  121 ± 121 −28     4 – 28 2 4

121 112 – 4 4

9  4

11 3  ±   2 2 x1  =  4   x2  =  7

Prövning:

x = 4: VL = √ 4 – 3 = 1, HL = 5 – 4 = 1

VL  =  HL

x = 7: VL = √ 7 – 3 = 2, HL = 5 – 7 = – 2

VL ≠ HL

Prövningen visar att x = 7 är en falsk rot.

Lägg märke till att vi måste pröva i den ursprungliga ekvationen!

Lösningarna x = 4 och x = 7 kommer från den kvadrerade ekvationen.

Svar: Ekvationen √ x – 3  =  5 – x har roten x = 4.

Jämför vi de två ekvationerna √ x – 3 = 5 – x och x – 3 = (5 – x )2 grafiskt, ser vi tydligt att de har olika antal lösningar. y

y

y = √ x – 3 börjar där x = 3. Är inte definierad om x < 3.

4

4

x

x 4

4

4

4

  y = √ x – 3 och y = 5 – x   y = x – 3 och y = (5 – x)2   har  en  skärningspunkt.   har  två  skärningspunkter.

16

Bla C Kap 1.indb 16

1.1 polynom

08-08-06 16.02.09


Lös ekvationerna

1148 Lös ekvationen 13 √ x  =  x + 36

1140 a) √ x   =  5

c) √ 2x – 1   =  –3

b) √ x + 2   =  3

d) √ x + 2   =  x

1141 a) √ 2x + 1   =  3

c) √ u – 3   =  u – 5

b) √ 2x + 5   =  x + 1 d) √ 3x – 5   =  x – 1

1142 a) (x + 4)2 – 16(x + 4) + 63  =  0

b) (x2 + 5)2 – 15(x2 + 5) + 54  =  0

1143 a) x4 – 2x2 – 8  =  0

a) genom kvadrering och prövning

b) genom att sätta √ x = t c) genom att rita y1  =  13 √ x och y2  =  x + 36.

Lös ekvationerna 1149 a) √ 4 t + 1   =  3 – 3t  c ) √ x + 1  – 1 = x

b) √ 4 x  – x + 3  =  0  d) 3 √ x + 13  =  x + 9

1150 a) √ 3 x – 2 + 2 – x  =  0

b) x4 – 2x2 – 3  =  0

1144 Förklara kortfattat vad som menas med en falsk rot. 1145

y

b) √ t + 9  – √ t   =  1

c) √ s + 13  – √ 7 – s  = 2

1151 a) x – 5√ x + 4  =  0

b) (x + 1) – 27√ x + 1 + 170  =  0

c) (x2 + 2x – 3)2 + 2(x2 + 2x – 3) – 3  =  0

2

1152 Lös ut den variabel som står inom parentes efter formeln. x

2

4

Ovan ser vi graferna till

y  =  √ x  och y  =  x – 2.

Avläs och bestäm lösningen till ekvationen √ x   =  x – 2. 1146 Bestäm med två decimalers noggrannhet rötterna till följande ekvationer.

a) x 4 – 14 x 2 + 44  =  0

b) x 4 – 6 x 2 – 1  =  0

1147 Visa grafiskt att

√ x + y (x) N a+b b)  =  n √ a – b (a) a) z  =  

x

1153 Lös ekvationen 1 1  =  650 + x x

a)

b) x2/3 – 5x1/3 + 6  =  0

1154 Konstruera själv en rotekvation av typen √ x  =  ax + b, där a ≠ 0,

a) som har två rötter

a) √ x + 2   =  3 – x har en rot

b) som har en rot

b) x + 2  =  (3 – x)2 har två rötter.

c) som saknar rötter.

Kontrollera dina lösningar grafiskt.

1.1 polynom

Bla C Kap 1.indb 17

17

08-08-06 16.02.11


Polynom i faktorform

från faktorform till nollställen

Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p (x)  =  5 (x +3) (x – 4),

d v s bestämma polynomets nollställen.

5 (x +3) (x – 4)  =  0  (nollproduktmetoden)

så kan vi lätt lösa ekvationen p (x)  =  0,

x + 3  =  0

x – 4  =  0

x  =  – 3

x  =  4

Polynomet har nollställena –3 och 4.

från nollställen Omvänt så kan vi direkt faktorisera ett polynom om vi vet till faktorform samtliga nollställen. Om vi vet att andragradspolynomet p (x)

har nollställena –2 och 6 får vi:

p (x)  =  k(x + 2)(x – 6)

( x – (– 2))  =  ( x + 2)

För att bestämma konstanten k behöver vi få veta mer, t ex att x  =  0 ger p (0)  =  –24, d v s polynomets värde är –24 då x är 0.

p (0)  =  k(0 + 2)(0 – 6) vilket ger –24  =  k ∙ 2 ∙ (–6)

Obs! k ! k  =  2       p (x)  =  2 ( x + 2) ( x – 6) eller i utvecklad form p ( x)  =  2 x2 – 8 x – 24

1155

Faktorisera polynomen

a) p (x)  =  x2 + 4x – 5

b) p (x)  =  – 4x2 + 24x – 32

a) x2 + 4x – 5  =  0

b) –4x2 + 24x – 32  =  0 

bestäm nollställen

Bryt ut –4.

x  =  –2 ± √ 4 – (– 5)  –4(x2 – 6x + 8)  =  0 x  =  –2 ± 3 x2 – 6x + 8  =  0 x1  =  –5   x2  =  1 x  =  3 ± √ 9 – 8  x1  =  4   x2  =  2

ställ upp i faktorform

identifiera k

p (x)  =  k · (x – (–5)) (x – 1) p (x)  =  k ∙ (x – 4) (x – 2) Termen x2 ger k  =  1. Termen –4x2 ger k  =  –4.

p(x)  =  (x + 5) (x – 1) p(x)  =  –4(x – 4)(x –2) Obs! Om nollställen saknas så kan polynomet inte faktoriseras.

18

Bla C Kap 1.indb 18

1.1 polynom

08-08-06 16.02.12


1156 Faktorisera andragradspolynomet vars graf är

y 4

Nollställena –1 och 2 ger

x

p (x)  =  k(x + 1)(x – 2)

Vi avläser att p (x)  =  4 om x  =  0, vilket ger

4  =  k(0 + 1)(0 – 2)

4  =  k ∙ (–2) ger k  =  –2

p (x)  =  –2(x + 1)(x – 2)

1

2

1157 Ange polynomets nollställen, d v s lös ekvationen p (x)  =  0.

1164 Skriv i faktorform

a) p (x)  =  (x + 3) (x – 10)

a) f (t)  =  4t – 4t2 – 1

b) p (x)  =  5x(x – 4)

b) h (x)  =  4x2 + 4x + 4

c) p (x)  =  –3x2 – 2x + 1

1158 Du vet att polynomet f (x)  =  x2 – 12x + 35 har nollställena 5 och 7. Skriv f (x) i faktorform.

1165 Ett andragradspolynom har en graf med nollställena x  =  1 och x  =  4. Grafen skär y-axeln där y  =  –2. Skriv polynomet i faktorform.

1159 Skriv i faktorform

1166 Figuren visar grafen till ett tredjegrads­ polynom. Skriv polynomet i faktorform.

a) p (x)  =  x2 – 10x + 16

b) g (x)  =  x2 – 5x + 6

y 24

1160 I vilka punkter skär grafen till y  =  p(x) koordinataxlarna?

a) p (x)  =  2 (x + 3) (x + 5)

b) p (x)  =  6 (x – 2) (x – 9)

1161 Faktorisera polynomen

a) h (x)  =  4x2 – 24x + 32

b) p (z)  =  6 + 3z – 3z

c) p (x)  =  2x2 – 18

2

x 2

3

8

1167 Skriv i faktorform en ekvation för andragradspolynomet. y 3

1162 Tobbe och Carro ska skriva polynomet p (x)  =  3x2 – 24x + 21 i faktorform. Tobbe får p (x)  =  3 (x + 1) (x + 7). Carro får p (x)  =  (x – 1) (x – 7). Båda har gjort fel. Förklara vilka fel de gjort.

1163 Skriv två olika polynom som båda har nollställena –10 och 20.

1168 Finn nollställena till polynomet p (x)  =  x2 – (a + b)x + ab och försök tolka resultatet.

1.1 polynom

Bla C Kap 1.indb 19

Nollställen –1 och 2

x 3

19

08-08-06 16.02.15


*Faktorsatsen Exempel

Talet 12 har en faktor 4 eftersom 12  =  4 ∙ 3.

På samma sätt har x 3 – 3x2 – x + 3 en faktor (x – 1) eftersom

x 3 – 3x2 – x + 3  =  (x – 1) (x2 – 2x – 3)

kontrollera gärna likheten

Nollproduktmetoden ger att x  =  1  är lösning till (x – 1) (x2 – 2x – 3)  =  0

Likheten ovan måste då ge att x  =  1  är lösning till x 3 – 3x2 – x + 3  =  0

I exemplet ovan har polynomet x 3 – 3x2 – x + 3 en faktor (x – 1), samtidigt som polynomet har ett nollställe x  =  1.

Man kan visa att följande gäller generellt: Ett polynom p (x) har en faktor (x – a) om och endast om a är en rot till ekvationen p (x) = 0

Faktorsatsen

eller Om p (a) = 0 så är a ett nollställe till polynomet p (x) och p (x)  =  (x – a) ∙ q (x) där q (x) är ett polynom med ett lägre gradtal än p (x).

Faktorsatsen gör att vi kan faktorisera polynom av högre grad utan att behöva känna till alla nollställen. 1169

Polynomet p (x)  =  x3 – 4x2 + x + 6.

a) Visa med hjälp av faktorsatsen att p (x) har en faktor (x – 3).

b) Finn ett polynom q (x) så att p (x)  =  (x – 3) ∙ q(x).

a) p (3)  =  33 – 4 ∙ 32 + 3 + 6  =  0, d v s x  =  3 är ett nollställe. Faktorsatsen ger då att (x – 3) är en faktor till polynomet.  

Obs! 3:e-gradspolynom = = 1:a-grads · 2:a-grads

b) q (x) måste vara ett polynom av andra graden,

d v s q (x)  =  ax2 + bx + c, vilket ger x3 – 4x2 + x + 6  =  (x – 3) ∙ (ax2 + bx + c) Utvecklar vi HL och jämför med VL kan vi hitta värdena på a, b och c. HL  =  ( x – 3) ∙ (ax2 + bx + c)  =  ax3 + bx2 + cx – 3ax2 – 3bx – 3c =   1 a  =  1     = a x3 + (b – 3)x2 + (c – 3b) x – 3c 2 (b – 3)  =  –4 ger b  =  –1

                     1 2 3 4        

3 (c – 3b)  =  1 ger c  =  1 + 3b  =  –2

VL  =  x – 4x + x + 6

4 – 3c  =  6

3

2

ger också c  =  –2

q (x)  =  x – x – 2 2

20

Bla C Kap 1.indb 20

1.1 polynom

08-08-06 16.02.16


1170

Vi kan även använda metoden för att lösa ekvationer.  kvationen x3 – 4x2 + x + 6  =  0 har en lösning x  =  3. E Lös ekvationen fullständigt.

I uppgiften på föregående sida visade vi med hjälp av faktorsatsen att

x3 – 4x2 + x + 6  =  (x – 3)(x2 – x – 2)

Ekvationen kan därför skrivas

(x – 3)(x2 – x – 2)  =  0 där

x1  =  3   eller

x2 – x – 2 = 0

x  = 

1 ± 2

x  = 

1 3 ± 2 2

x2 = 2 och x3 = – 1

1 +2 4 vilket ger

Svar: Ekvationen x3 – 4x2 + x + 6  =  0 har lösningarna –1, 2 och 3.

1171 Polynomet p (x)  =  x2 + 5x – 14.

a) Beräkna p (2).

b) Har polynomet en faktor (x – 2)?

1172 Bestäm först värdena på a och b och sedan polynomets bägge nollställen om  

1177

y 4 x

a) x2 + 10 x + 9  =  ( x + 1)(a x + b) –1 –4

b) x2 – 7x + 6  =  (x – 1)(ax + b)

1173 Filip hävdar att polynomet x 3 + x2 – 22x – 40 har en faktor (x – 6). Sant eller falskt? 1174 Bestäm a, b och c om x3 + 5x2 + 3x – 9  =  (x + 3)(ax2 + bx + c)

1

Ovan ser vi grafen till polynomet x 3 + x2 + x + 1. Faktorisera polynomet.

1178 Undersök och finn samtliga reella lösningar till ekvationen

1175 Ekvationen x 3 + 5x2 + 2x – 8  =  0 har en rot x  =  1.

a) x 3 + 5x2 + 3x – 9  =  0

a) Visa att x  =  1 är en rot.

b) 4x 3 – 8x2 + 2x – 4  =  0

b) Finn ekvationens övriga två lösningar.

1.1 polynom

Bla C Kap 1.indb 21

1176 Ekvationen x 3 + x2 – 22x – 40 har tre lösningar. Två av dessa är x = –2 och x = –4. Finn den tredje.

1179 Ekvationen x 4 – 5x 3 – 3x 2 + 45x – 54  =  0 har en dubbelrot x  =  3. Bestäm övriga två lösningar. 21

08-08-06 16.02.20


Kurs

C BlĂĽ

LENA ALFREDSSON â&#x2C6;&#x2122; PATRIK ERIXON HANS HEIKNE â&#x2C6;&#x2122; ANNA PALBOM

Kurs

C BlĂĽ

MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fĂśregĂĽngaren Matematik 3000 baserad pĂĽ färdigheter â&#x20AC;&#x201C; fĂśrstĂĽelse â&#x20AC;&#x201C; problemlĂśsning, men nu med Ăśkat fokus pĂĽ kommunikation. Nya begrepp introduceras pĂĽ ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

BÜckerna i Matematik 4000 finns i tre svürighetsnivüer: RÜd, GrÜn och Blü, där Blü är den mest krävande. FÜr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

*4#/



 

4000

Eleverna fĂĽr med hjälp av denna bok och tillhĂśrande kompletterande material mĂĽnga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken â&#x20AC;&#x201C; genom elevnära exempel, aktiviteter och Ăśvningar, de senare av olika slag och svĂĽrighetsgrad.

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

4000 MATEMATIK


9789127413597