matematik
3c
Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG
I
Innehåll Kapitel 1 Rubrik
Övningsblad Polynom
Aktiviteter
Prov
Nivå 1
Beskrivning Begreppet polynom och beräkningar med polynom.
Förenkla och faktorisera 1
1–2
Förenkla och faktorisera polynom med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.
Förenkla och faktorisera 2
2–3
Förenkla och faktorisera polynom med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.
Polynomekvationer 1
1
Lösa polynomekvationer, bl.a. med hjälp av faktorisering.
Polynomekvationer 2
2–3
Lösa polynomekvationer, bl.a. med hjälp av faktorisering.
Grafen till en polynomfunktion 1
1
Egenskaper hos grafen till en polynomfunktion, t.ex. hur antalet nollställen hör ihop med polynomets grad.
Grafen till en polynomfunktion 2
2–3
Egenskaper hos grafen till en polynomfunktion, t.ex. hur antalet nollställen hör ihop med polynomets grad.
Vilka är polynomfunktionerna?
1–3
Att kunna bestämma funktionsuttrycket för en polynomfunktion utifrån funktionens graf.
Bråkräkning
1
Repetition av de fyra räknesätten med bråk.
Förkorta rationella uttryck 1
1
Begreppet rationellt uttryck och att kunna förkorta rationella uttryck.
Förkorta rationella uttryck 2
2–3
Begreppet rationellt uttryck och att kunna förkorta rationella uttryck.
Rationella uttryck och ekvationer
1–2
Addera, subtrahera, multiplicera och dividera rationella uttryck. Att kunna lösa ekvationer med rationella uttryck.
Egenskaper hos funktioner
1–2
Begreppen definitionsmängd, värdemängd, kontinuerlig funktion och diskret funktion.
Gränsvärden
1–2
Begreppet gränsvärde och bestämning av enkla gränsvärden.
Blandade extrauppgifter: Algebraiska uttryck
1–3
Blandade uppgifter på momenten i kapitlet.
Ebolautbrott
Eleverna får testa olika modeller (bl.a. polynommodeller) för att beräkna antalet insjuknade vid ett ebolautbrott.
Designa en funktion
Eleverna får finna funktionsuttryck till polynomfunktioner som uppfyller vissa villkor.
Speed-dejting med rationella uttryck
I den här aktiviteten får eleverna på ett lekfullt sätt träna på att finna minsta gemensamma nämnare till två rationella uttryck.
Vad kan du om algebraiska uttryck?
Eleverna får lösa en numerisk rebus genom att svara på frågor om algebraiska uttryck.
Prov 1 Origo 3c
Kapitel 1 och 2
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Övningsblad Förenkla och faktorisera 1 Räkneregler för binom Första kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Andra kvadreringsregeln (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2
Konjugatregeln
1 Förenkla uttrycken. 3
a) x(x + 2) b) (x + 5)2 – 25 c) (x2 + 1)(x – 4)
4 Figuren här nedanför visar två kvadrater. Teckna och förenkla ett uttryck för skillnaden mellan kvadraternas areor.
d) (2x + 10)(2x – 10) e) (5 + y)(y – 5)
x+8
2 Faktorisera uttrycken genom att bryta ut största gemensamma faktor.
5 Faktorisera uttrycken med hjälp av konjugatregeln eller kvadreringsreglerna.
a) 12x3 – 6x2
a) x2 – 81
b) 5ab – 15a
b) x2 – 10x + 25
c) 40xy + 8xy2
c) 16x2 – 9y2
d) 35x4
d) 100x2 + 20x + 4
+
7x3
3 Förenkla med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna. a) (x +
3)2
b) (x –
5)2
+ (x +
4)2
– (x + 5)(x – 5) x2 c) (0,1x + 15)2 – ____ 100 d) x(8x + 2)(8x – 2)
x+6
6 Faktorisera uttrycken så långt som möjligt. T
a) x3 + 6x2 + 9x b) y4 + 2y3 + 1y2 c) –z3 + 12z2 – 36z
7 Låt f(x) = x2 + 3. a) Beräkna f(4). b) Ställ upp och förenkla uttrycket f(4 + h). c) Ställ upp och förenkla uttrycket f(4 + h) – f(4).
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Övningsblad Potenser och rotuttryck Potenslagar För positiva tal a och heltal n > 0 gäller 1 1 n t.ex. 3–2 = __ 2 a–n = __ a 3
___
__
a1/n = √ a n
t.ex. 251/2 = √ 25
1 Välj rätt potens i rutan. 1 a) ___ 3 10 1 b) ___ 10–3 2–5 2 · 5–1 16 4–2 16–2 2 __ c) 5
4 Skriv i potensform 3
__
Exempel: x ∙ √ x = x ∙ x1/3 = x1 + 1/3 = x4/3 __
a) √x 3
__
b) √ x __
c) x√x __
2 Skriv i potensform 5 Exempel: __ 2 = 5x–2 x 1 a) __2 x 5 b) __4 x 2 c) __ x 3 d) __6 x
3 Välj rätt uttryck i rutan a) x1/2 b) x1/3 c) x–1/2
__ __ 1 x 3 __ __ √x ___ –√x √ x __ 3 √x
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
d) x2√x
5 Skriv i potensform 1 __ a) ___ x √ 10 __ b) ___ x √ 1 c) ___ 3 __ √ x 6 Förenkla och skriv svaret i potensform. x __ a) ___ √x x2 __ b) ___ x √ x c) ___ 3 __ √ x __ 4√x d) ____ x
Övningsblad Teckentabell 1 Utgå från teckentabellen och skissa ett förslag på hur grafen till y = f(x) kan se ut.
1
x
x�4
4
x>4
f´(x)
–
0
+
f(x)
•
–6
•
y
x
1 1
2
x
x � –5 –5 –5 � x � 2
2
x>2
f´(x)
+
0
–
0
+
f(x)
•
7
•
–3
•
y
x
1 1
3
x
x�3
3
x>3
f´(x)
+
0
+
f(x)
•
2
•
y
x
1 1
4
x
x � –6 –6 –6 � x � 5
5
x>5
f´(x)
+
0
+
0
–
f(x)
•
1
•
7
•
y
x
1 1
5
x
y
x � –4 –4 –4 � x � 1 1 1 � x � 6 6 x > 6
f´(x)
–
0
+
0
+
0
–
f(x)
•
–8
•
–1
•
5
• x
1 1
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Övningsblad Triangelsatserna 2 1 Figuren visar en skiss av en triangulär tomt med sidlängderna 110 m, 65 m och 80 m. Beräkna tomtens area.
Q
S
65
80
(m)
4 En villatomt har formen av en fyrhörning ABCD där AB = 25 m, BC = 30 m och CD = 28 m. Vinkel B är rät och vinkel C är 85°. Bestäm villatomtens area. 5 I en enhetscirkel är en regelbunden sexhörning inskriven. Beräkna sexhörningens area. Svara exakt.
110
6 Bestäm arean av fyrhörningen i figuren.
R
2 Avståndet mellan de två punkterna på var sin sida om en sjö ska bestämmas, se figur.
A
4,5
D
60°
A
C
220
48° 110
D
En lantmätare som befinner sig i A kan inte se B som skyms av en trädbevuxen holme i sjön. Från de två punkterna C och D, som tillsammans med A ligger längs en rät linje, kan hon se B. Hon mäter upp vinkeln ACB till 60° och vinkeln ADB till 48° samt sträckan AC till 220 m och sträckan CD till 110 m. Beräkna avståndet AB. (NP MaD vt2011)
3 I triangeln är vinkeln v trubbig. Triangelns area är 15 cm2. Bestäm vinkeln v. (cm)
8 v 6
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
64,1° 8,9
C
7 Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en 9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa. Armand betecknar triangeln ABC och bestämmer sig för att vinkeln A ska vara 30°, sidan AB 4,2 cm och sidan BC 3,2 cm. Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas. (NP MaD vt2011)
8 I rektangeln ABCD är sidan CD 27 cm. Punkten E är så belägen på sidan AB att sträckan DE har längden 13 cm och vinkeln DEC är 114°. Beräkna längden av sträckan BE. (CP NT3 1990)
(cm) 107,9°
d
(m)
B
B
6,0
Aktivitet Speed-dejting med rationella uttryck
LÄRARHANDLEDNING
Bakgrund I den här aktiviteten får eleverna på ett lekfullt sätt träna på att finna minsta gemensamma nämnare till två rationella uttryck. Aktiviteten kan utvidgas till att addera, subtrahera, multiplicera eller dividera rationella uttryck samt lösa ekvationer med rationella uttryck.
två ska eleverna hitta en gemensam nämnare till sina rationella uttryck. Om de hinner kan de även skriva ett förenklat uttryck för uttryckens summa eller differens.
Syfte och centralt innehåll Aktiviteten behandlar det centrala innehållet
Ett bra tips till elever som kör fast är att börja med att faktorisera nämnaren i de rationella uttrycken så långt som möjligt.
Matematik 3b 1.1 Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar för hantering av dessa begrepp. Matematik 3c 1.2 Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar för hantering av dessa begrepp.
Materiel Lappar med rationella uttryck. Genomförande Arrangera bänkarna så att de står två och två bredvid eller mittemot varandra. Dela ut en lapp med ett rationellt uttryck till varje elev. Två och
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Efter en viss tid ringer klockan och eleverna flyttar till en ny sittplats. Därefter upprepas proceduren med en ny partner och nya rationella uttryck.
För att jämföra metoder och få syn på missuppfattningar kan det vara givande att, efter varje omgång, gå igenom en av beräkningarna gemensamt på tavlan.
Utvidgning och variation Uppgiften kan varieras så att eleverna ska multiplicera eller dividera sina rationella uttryck. Ytterligare en variant är att eleverna sätter sina rationella uttryck lika och löser ekvationen som då uppstår. Det kan vara värt att uppmärksamma att en del elever då kommer att få ekvationer som de inte kan lösa algebraiskt utan kräver tillgång till digitala verktyg.
Aktivitet Speed-dejting med rationella uttryck Sida 1 av 4
1 ________ 10x + 10
1 ____________ (x + 3)(x + 1)
1 _______ 3(x – 6)
1 ___________ x2 + 12x + 36
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
8x + 1 ______ 2x + 8
2 ___________ x2 + 10x + 24
x ______ x2 + 6x
x + 2 ______ x2 – 36
Aktivitet Derivatan av x2 Här nedanför ser du grafen till f(x) = x2. •• Beräkna derivatan till f i några punkter, t.ex. de som ges i tabellen. y 24 22 20 f(x) = x2
18 16 14 12 10 8 6 4 2
x 1
–5 –4 –3 –2 –1
x
−2
−1
0
2
3
1
4
5
2
3
4
f’(x)
•• Markera värdena i tabellen som punkter i koordinatsystemet här nedanför. Hur ser grafen till derivatan y = f '(x) ut? y 12 10 8 6 4 2
x 1
–5 –4 –3 –2 –1
2
3
–2 –4 –6 –8 –10 –12
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
4
5
Aktivitet Begreppskarta Här nedanför ser du ett exempel på hur en begreppskarta kan se ut. Beroende variabel
beror på
Oberoende variabel
Strängt avtagande
då är
Strängt växande
då är
k�0
kan vara Rät linje Ord
kan vara
kan vara
beskriver ett samband mellan är en
kan beskrivas med Linjära samband
kan beskrivas med
kan beskrivas med
hos kan beskrivas med
Värdetabell
Graf
Lutning anger
y = kx + m kallas Räta linjens ekvation
har en
har ett m-värde är y-värdet då x=0
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Riktningskoefficient (k)
Konstant
då är
k�0
k=0
✂
Aktivitet Begreppskarta
Derivata
Strängt växande
Strängt avtagande
f '(x) > 0
f '(x) < 0
f '(x) = 0
Extrempunkt
Maximipunkt
Minimipunkt
Terrasspunkt
Riktningskoefficient (k-värde)
Linjär funktion
Tangent
Lutning
Nollställe
Momentanhastighet
Sekant
Medelhastighet
f(x) = x3
f(x) = 3x2
f(x) = 6x
Andragradsfunktion
Tredjegradsfunktion
Andraderivata
Inflexionspunkt
f ''(x) > 0
f ''(x) < 0
f ''(x) = 0
Konkav
f(x + h) – f(x) lim ____________ h→0 h
Konvex
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
Matematik Origo 3c Prov 2 Kapitel 3 och 4 Resultatsammanställning Elevens namn: Begrepp
Procedur
Problemlösning och Modellering
Resonemang och Kommunikation
Totalt
Max
E
20
C
24
A
8
Summa Max
52 9
Kommentarer:
Provresultat:
matematik origo © sanoma utbildning och författarna
14
16
13
52