9789147114368

De tre delarna är: • Elmaskiner och elektriska drivsystem • Elkraftsystem 1 • Elkraftsystem 2 Elkraftsystem 1 behandlar bland annat elsäkerhet, standarder, elproduktionsanläggningar, överföring av växelström och likström, distributionsanläggningar, övervakning och automatisering, drift och underhåll.

Några av nyheterna i denna upplaga: • Helt omarbetade kapitel om högspänd likström, automatisering och fjärrstyrning, drift och underhåll.

• Uppdaterat och utökat kapitel om lagstiftning och standardisering.

• Mer om nya energiformer och hur dessa kompletterar varandra.

• Nya avsnitt om bland annat nät- och ställverksuppbyggnad, och om brytare/brytarmanöverdon/frånskiljare.

• Reaktiv effektkompensering och FACTS.

KARL AXEL JACOBSSON är ingenjör med elkraftteknisk lärarutbildning från KTH. Han har tidigare verkat inom gymnasieoch högskolan och även som konsult inom industrin. Mångårig läroboks- och fackboksförfattare.

CARL ÖHLÉN är civilingenjör inom elkraft från KTH och författare i Elkrafthandboken sedan första upplagan.

Han har 40 års internationell erfarenhet inom elkraftbranschen genom arbete för Vattenfall, ABB, Programma, Ripasso Energy och STRI. Under senare år har han för Energimyndigheten varit aktiv inom IEA/ISGAN samt som expert för EC DG-ENERGY i Bryssel.

Elkrafthandboken

Elkraftsystem 1

Redaktion: Karl Axel Jacobsson Stig Lidström Carl Öhlén Jacobsson Lidström Öhlén

STIG LIDSTRÖM är högskoleingenjör inom elkraft med lång erfarenhet från Vattenfall avseende driftledning, allmänna kontrollanläggningsfrågor, igångkörning, reläskyddsplanering, störningsanalyser och nätutredningar.

Han har även flera års erfarenhet från ABB GA Products, teknisk applikationssupport inom reläskydd för HV- och EHV-system, teknisk marknadsföring samt utbildning. Han är medlem i Cigré där han har medverkat i ett antal internationella arbetsgrupper.

Elkrafthandboken

Elkraftsystem 1

ELKRAFTHANDBOKEN är ett verk i tre delar som behandlar elproduktion, distribution, elanvändning, mätteknik och elmaskiner. Den är ett referensverk inom det elkrafttekniska området och ett lämpligt utbildningsmaterial på högskolenivå och annan högre teknisk utbildning.

Best.nr 47-11436-8 Tryck.nr 47-11436-8

9789147114368c1c.indd 1

24/05/16 1:39 PM

ISBN 978-91-47-11436-8 © 2016 Författarna och Liber AB Förläggare: Peter Rajan Redaktör: Lennart Köhler Formgivning och omslag: Björn Larsson Sättning: Björn Larsson Produktionsledare: Jürgen Borchert Illustrationer: OKS Prepress Services Pvt Ltd.

Tredje upplagan 1 Repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: People Printing, Kina, 2016

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

III

FÖRORD Elkrafthandboken består av de tre delarna Elkraftsystem 1, Elkraftsystem 2 och Elmaskiner – Elektriska drivsystem.

Serien är avsedd för elkraftteknisk ingenjörsutbildning och annan högre teknisk utbildning. Den är också lämplig som ett referensverk inom det elkrafttekniska området, och bör vara av intresse för alla som arbetar med planering, projektering, konstruktion, tillverkning, installation, drift och underhåll.

Den nya upplagan innebär en kraftig omarbetning av tidigare upplagor, med tillägg av flera nya kapitel med ett stort antal kontroll- och övningsuppgifter till de flesta kapitlen.

Elkraftteknik är en relativt mogen teknik, som bygger på välkänd, välbeprövad teori och praktik om exempelvis roterande maskiner, transformatorer, ledningar och ställverk. Trots detta sker en betydande utveckling inom flera områden med bland annat en digitalisering av kraftsystemet med ökad användning av kraftelektronik, samt information och kommunikationsteknik (IKT).

Utvecklingen av elkraftsystemen i Sverige och världen i övrigt har accelererat under de senaste åren med ökande investeringar som följd. Inom Europa finns tre huvudorsaker: · Kraven på fossilfri ren energi, som ökat utbyggnaden av sol- och vindkraft inkluderande havsbaserad (off-shore) vindkraft · Kraven på leveranssäkerhet inom hela energisektorn, vilket gett ökad fokusering på driftsäkerhet · Kraven på en öppen europeisk inre energimarknad, vilket gett nya regelverk.

Enligt International Energy Agency (IEA) innebär detta att världens framtida och rena energisystem med minimerade koldioxidutsläpp kommer att se en mycket större andel elektricitet som energibärare. Utvecklingen inom tillväxtmarknader som Brasilien, Indien och Kina har medfört en kraftig utbyggnad av dessa länders kraftsystem med bland annat en stor satsning på högspänd likström. Behoven av mer effektiv och snabbare övervakning och styrning av kraftsystemet har inneburit, att många länder bygger vad som brukar kallas för Smart Grids eller smarta elnät.

I samband med att arbetet med nyutgåvan av Elkrafthandbokens tre delar påbörjades, konsulterades högskolor och universitet med teknisk utbildning. Detta sågs som ett viktigt arbete och att Elkraftshandboken på svenska kompletterade engelskspråkig och mer teoretisk litteratur. När det gällde önskemål om ändringar, så påpekades just att IKT, vindkraft, driftsäkerhet och smarta elnät skulle behandlas mer utförligt. Den nya Elkraftshandboken har därför uppdaterats för att spegla utvecklingen och önskemålen enligt ovan.

Elkraftsystem 1 börjar med en historisk återblick till hur det en gång startade, och berättar om epoken fram till 3-fassystemets introduktion. Sedan tar dagens verklighet vid. Vi börjar räkna och behandlar då grunderna för DC och AC, vi gör en analys av trefassystemet, innan vi går in på elsäkerhet, lagstiftning och standardisering, vilka alla är viktiga delar att ha med sig när det gäller hela kedjan av elanvändning. Vi fortsätter med Sveriges energiförsörjning och går igenom vilka elproduktionsanläggningar som energin kommer från. Allt ska sedan överföras som högspänd lik- eller växelström och via olika typer av transformator- och fördelningsstationer, innan vi kommer till lokalnäten. Allt detta styrs, skyddas och övervakas från kontrollanläggningen lokalt eller från driftcentral.

IV

Förord

Huvudförfattare till delen Elkraftsystem 1 Jacobsson, Karl Axel, Elkraftingenjör, elkraftteknisk lärarutbildning från KTH

Har tidigare verkat inom gymnasie- och högskolan. Har haft konsultuppdrag och uppdragsutbildning inom industrin. Mångårig läroboks- och fackboksförfattare.

1–2, 4–8

Lidström, Stig, högskoleingenjör

Deltagare i Cigré, högskoleingenjör inom elkraft med lång erfarenhet från Vattenfall avseende bland annat driftledning, allmänna kontrollanläggningsfrågor, störningsanalyser och nätutredningar. Även flera års erfarenhet från ABB GA Products.

3, 10–11, 14

Öhlen, Carl, civ.ing, KTH

Har lång internationell erfarenhet inom elkraftteknik från bland annat Vattenfall, STRI, Programma (Megger), Ripasso Energy och ABB. Även erfarenhet från internationellt arbete inom IEA/ISGAN samt som expert för EC DG Energy. Han har varit medarbetare i Elkrafthandboken sedan starten.

9, 12–13,

Leif Andersson, ingenjör

Svenska Elverksföreningen, Stockholm

10.2

Rolf Blondell, civ.ing.

Har arbetat med drift- och produktionsfrågor vid Vattenfall

15*

Håkan Hermansson, ingenjör

Tidigare ansvarig för frekvens- och spänningsregleringsfrågor vid Vattenfall Elproduktion.

11.7

Lennart Lundén, civ.ing.

Tidigare utvecklingschef vid Göteborg Energi AB.

10 utom 10.2

Edgar Uddman

Tidigare vid Vattenfall Elteknik AB.

14

15

Övriga författare

*Delar av kapitel 15 bygger på tidigare upplaga av Elkraftsystem 1 och är skrivna av Rolf Blondell

Elkraftsystem 2

Elkraftsystem 2 omfattar följande 12 kapitel: Elkraftanvändning, Framtagning av nyanläggningar, Systemuppbyggnad och dokumentation, Driftsäkerhet, Elkraftekonomi, Elkraftberäkningar, EMC, Mätteknik, Provning och simulering, Smarta elnät, Utvecklingstendenser, Formler och data.

Elmaskiner – Elektriska drivsystem

Elmaskiner – Elektriska drivsystem omfattar följande 10 kapitel: Transformatorer, Elektromekanisk energiomvandling, Asynkronmaskiner, Synkronmaskiner, Likströmsmaskiner, Övriga maskiner, Strömriktare, Elektriska drivsystem samt Standarder och EU-direktiv.

V

INNEHÅLL

1

Historik – den osynliga elektriciteten

11

1.1 De första vetenskapsmännen 11 1.2 Om utvecklingen i Sverige 14 1.3 Kraftöverföring med växelström 15 1.4 Bolagsbildningar – hemma och i omvärlden 16 1.5 Anläggningar runt om i Sverige 17 1.6 Tidiga hjälpmedel för hemmet 18 1.7 Annan tidig utveckling 19 Referenser till kapitel 1 20 Övningsuppgifter till kapitel 1 21

2 DC – AC

23

2.1 DC/direct current – likström 23 2.2 AC/alternating current – växelström 25 2.3 3-fas växelström 31 Referenser till kapitel 2 35 Övningsuppgifter till kapitel 2 36

3 Analys av trefassystemet

41

3.1 Trefasstorheter 41 3.2 Symmetriska trefassystem 42 3.3 Osymmetriska trefassystem 45 3.4 Överförd effekt 47 3.5 Symmetriska komponenter 51 3.6 Superpositionsteoremet 53 3.7 Thevenin-Hemholtz teorem 54 Referenser till kapitel 3 74

4 Elsäkerhet

77

4.1 Skador orsakade av elektrisk ström 79 4.2 Brandfaran 90 4.3 Skador orsakade av elektriska och magnetiska fält 93 4.4 Arbete med spänning 94 Referenser till kapitel 4 95 Övningsuppgifter till kapitel 4 96

VI

Innehåll

5 Lagstiftning och standardisering

99

5.1 Allmänt 99 5.2 Myndigheter 100 5.3 Koncession 105 5.4 Gällande lagar – förordningar 108 5.5 Standardisering 109 5.6 EU-direktiv 112 5.7 Marknadskontroll 115 5.8 Miljölagstiftning och miljöstandard 116 Referenser till kapitel 5 121 Övningsuppgifter till kapitel 5 123

6 Sveriges energiförsörjning

127

6.1 Utnyttjande av naturen: sol, vind och vatten 127 6.2 Om jorden som förrådskälla för ändliga resurser 127 6.3 Världens energiförsörjning 129 6.4 Det europeiska elnätet är indelat i olika områden 131 6.5 Nordens energiförsörjning 132 6.6 Sveriges energiförsörjning 135 6.7 Svenska kraftsystemets uppbyggnad 139 6.8 Kraftförsörjningens organisation 150 6.9 Kostnader för olika elproduktion 152 6.10 Elförbrukningens variationer 159 6.11 Intelligenta elnät – smart grids 160 6.12 Den fria elmarknaden 160 6.13 Den nordiska och europeiska elbörsen 166 Referenser till kapitel 6 171 Övningsuppgifter till kapitel 6 172

7 Elproduktionsanläggningar

175

7.1 Vattenkraftanläggningar 176 7.2 Kärnkraftanläggningar 182 7.3 Fossil- och biobränsleeldade kraftverk 190 7.4 Gasturbiner 194 7.5 Övriga energikällor 196 7.6 Energilagring 210 7.7 Miljöpåverkan 211 Referenser till kapitel 7 213 Övningsuppgifter till kapitel 7 214

Innehåll

VII

8 Överföring med högspänd växelström 217 8.1 Kraftledningar allmänt 217 8.2 Luftledningar 222 8.3 Kablar 230 8.4 Ställverk 231 8.5 Brytare 242 8.6 Frånskiljare 253 8.7 Ventilavledare 258 8.8 Reaktiv effektkompensering och FACTS 261 Referenser till kapitel 8 269 Övningsuppgifter till kapitel 8 270

9 Överföring med högspänd likström

273

9.1 Stationsuppbyggnad – HVDC (Classic) 274 9.2 Överföring 279 9.3 Högspänd likström eller högspänd växelström? 282 9.4 UHVDC 284 9.5 HVDC VSC 287 9.6 HVDC-nät 296 Referenser till kapitel 9 299 Övningsuppgifter till kapitel 9 300

10 Distributionsanläggningar

303

10.1 Systemjordning 304 10.2 Ställverk 311 10.3 Nätstationer 314 10.4 Ledningar och kablar 320 10.5 Detaljdistributionsnät 327 10.6 Industridistributionsnät 332 10.7 Teknisk-ekonomisk optimering 337 10.8 Standardiserade spänningsnivåer 341 Referenser till kapitel 10 341

11 Lokal kontrollutrustning 343 11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Inledning 343 Systemutformning 343 Jordning och skärmning 348 Kontrollanläggningens delsystem 350 Automatiker 358 Nätvärn 365

VIII

Innehåll

11.6 Reglersystem i vattenkraftstationer 366 11.7 Datoriserad kontrollanläggning 382 Referenser till kapitel 11 386 Övningsuppgifter till kapitel 11 387

12 Automatisering och fjärrstyrning 389 12.1 Informationsutbyte i kraftsystemet 389 12.2 Teleanläggningar och datakommunikation 393 12.3 Fjärrkontroll 396 12.4 Exempel på system för driftövervakning och styrning 12.5 Stationsautomatisering 408 12.6 IT-säkerhet 413 Referenser till kapitel 12 417 Övningsuppgifter till kapitel 12 419

13 Skydd av olika systemdelar 421 13.1 Skyddssystemets uppgift 421 13.2 Överspänningsskydd 426 13.3 Feltyper och felstorheter 429 13.4 Feldetektering med reläskydd 435 13.5 Skyddsfilosofi 443 13.6 Reläskyddets design och historik 447 13.7 Generatorskydd 453 13.8 Transformatorskydd 459 13.9 Samlingsskeneskydd 462 13.10 Ledningsskydd 464 13.11 Skydd i stamnätet 471 13.12 Skydd i distributionsnät 472 13.13 Skydd i industrianläggningar 478 13.14 Säkringar 483 Referenser till kapitel 13 486 Övningsuppgifter till kapitel 13 487

14 Lokalkraftanläggningar 489 14.1 Inledning 489 14.2 Lokalkraftanläggning för växelström 489 14.3 Lokalkraftanläggning för likström 493 Referenser till kapitel 14 499

401

Innehåll

15 Drift och underhåll 501 15.1 Roller och ansvar 501 15.2 Nordiskt och europeiskt samarbete 503 15.3 Begreppssamband 505 15.4 Allmänt om kraftsystemdrift 506 15.5 Systemansvar 510 15.6 Skötsel och underhåll 516 15.7 Rapportering 521 15.8 Driftstörningar 523 15.9 Framtidens drift och underhåll 527 Referenser till kapitel 15 527 Övningsuppgifter till kapitel 15 528

Svar och anvisningar till övningsuppgifter 530 Register 534

IX

1 Field

Force

Current

Vänster hand – motorhanden.

Michael Faraday – en av de stora inom elteknikens utveckling.

Field

Force

Current

Högerhand – generatorhanden.

1

Historik – den osynliga elektriciteten

11

HISTORIK – DEN OSYNLIGA ELEKTRICITETEN Detta kapitel behandlar: • de första vetenskapsmännen • utvecklingen i Sverige • kraftöverföring med växelström • bolagsbildningar – hemma och i omvärlden • anläggningar runt om i Sverige • elektriska hjälpmedel för hemmet och andra tidiga användningsområden för elkraft.

1.1 De första vetenskapsmännen De första tecknen på att människan är medveten om elektriska fenomen härstammar från Grekland där en av Greklands sju vise, Thales från Miletos, kände till attraktionsförmågan hos magnetisk järnmalm. Kunskapen om elektriciteten utvecklades sakta under två hela årtusenden, innan engelsmannen William Gilbert (1544-1603) utkom med sitt stora verk Om magneter, magnetiska kroppar och den stora magneten jorden år 1600. Han räknas därför som en av elektroteknikens portalfigurer. Gilbert, som också var livläkare hos drottning Viktoria, var bland annat den förste att skilja mellan magnetiska och elektriska kroppar. Han introducerade flera grundläggande termer som fortfarande används, som t.ex. elektricitet av grekiskans elektron, bärnsten. Gilbert beskrev huvuddragen av jordmagnetismen liksom kraftverkan mellan magnetiska poler.

Experimenten fortsatte: 1737 kom fransmannen Charles Dufay (1698-1739) på att det var skillnad mellan positiv och negativ elektricitet. Den egenskapen utnyttjade Ewald Georg von Kleist (1700-1748) när han konstruerade den första kondensatorn, en så kallad Leidenflaska. Samma tema hade även amerikanaren Benjamin Franklin (1706-1790). Som naturforskare

studerade han främst elektriciteten och konstruerade åskledaren. Om Franklin kan även noteras att han var en av undertecknarna av USA:s Declaration of Independence 1776 och till USA:s författning 1789. Som politiker hade han även koppling till Sverige. Han var USA:s förste ambassadör för Sverige och Frankrike – med placering i Paris.

I den fortsatta utvecklingen kom ångmaskinen att spela en viktig roll. Engelsmannen Thomas Newcomen (1663-1729), konstruerade 1705 en ångmaskin – utan kondensor.

En bättre ångmaskin – med kondensor – konstruerade James Watt (1736-1819). För detta är han hågkommen genom enheten för effekt (watt – W). År 1769 fick han patent på en enkelverkande ångmaskin – som han även senare utvecklade till en dubbelverkande. Varvtalet hölls konstant med en centrifugalregulator.

Den italienske anatomiprofessorn Luigi Galvani (1737-1798) upptäckte galvanisk elektricitet – de elektriska fenomen som uppträder i beröringsytan mellan två ledare av olika slag. När Galvani hängde upp en död groda i två mässingskrokar råkade den komma i kontakt med ett järngaller vilket fick grodans ben att rycka konvulsivt. År 1800 uppfann italienaren Alessandro Volta (17451827) den elektriska stapeln – det första batteriet och första källan till likström. Han införde också principen för seriekoppling av strömkällor varigenom man kunde få ut en högre spänning än tidigare. År 1774 konstruerade Volta den första elektriska plattkondensatorn. Den bestod av två näraliggande plattor med luft emellan. Enheten för elektrisk spänning, volt, är uppkallad efter Volta.

Sir Humphry Davy (1778-1829), kemist vid Royal Institution i London, använde elektrolys i sin upptäckt av flera kemiska grundämnen och utvecklade den första

12

1

elektriska ljuskälllan. Med ett Volta-batteri bestående av 200 element med zink- och kopparplattor förevisade han det elektriska bågljuset – med spetsar av träkol. År 1849 uppfann Serin den reglerbara båglampan.

Dansken Hans Christian Örsted (1775-1851) upptäckte 1820 att en sluten galvanisk slinga påverkar en magnetnål. Därmed upptäcktes och åskådliggjordes sambandet mellan elektricitet och magnetism.

André-Marie Ampère (1775-1836) upptäckte att ett stycke vanligt järn blir magnetiskt, så snart en elektrisk ström leddes i en spole runt densamma. Förutom att det bildades ett magnetfält blev tråden också varm.

Han verifierade Örsteds experiment och upptäckte även kraftverkan mellan två parallella ledare. Efter honom har vi också enheten för ström – ampere.

William Sturgeon (1781-1850) böjde en järnstav till en hästskoliknande form, fernissade den och lindade bar koppartråd omkring den – vi hade fått den första elektromagneten – liknande de hästskoformade permanentmagneter vi ser idag, med nord- och sydände. År 1821 lyckades engelsmannen Michael Faraday (1791-1867) åstadkomma elektromagnetisk rotation genom att få en strömförande ledare att rotera kring en magnet – och omvänt – en magnet att rotera kring en ledare: den första elektriska motorn. År 1831 upptäcker Faraday den elektromagnetiska induktionen och samma år även transformatorprincipen.

Historik – den osynliga elektriciteten

Figur 1.1 Den första generatorn – konstruerad av Hippolyte Pixii.

1.1.1 De första elmotorerna Redan 1832, året efter det Faraday upptäckt den magnetiska induktionen, konstruerar Hippolyte Pixii (18081835) maskinen i figur 1.1. Fältet från den roterande hästskomagneten inducerade en växelspänning i de två spolarna. Genom att sätta in en kollektor på axeln till magneten fick man ut en likspänning.

Då växelspänningen inte kunde ge att konstant magnetfält i en spole, kunde man då inte se någon teknisk användning av en växelström. Likströmmen tog hand om utvecklingen. En likströmsgenerator ersatte Voltas batteri, se figur 1.3, och bågljusanvändningen tog riktig fart.

Figur 1.2 År 1849 visades en maskin konstruerad av Floris Nollet, professor vid militärakademin i Bryssel. Den installerades i Hotel des Invalides i Paris 1855. Maskinen på bilden har 24 stålmagneter – med 48 trådspolar.

1

Historik – den osynliga elektriciteten

N

A

Släp ringar

13

S

D

y last

x

Figur 1.3 A Spänning i roterande trådslinga med uttag via släpringar ger växelspänning.

N A

D

S

x

y

Figur 1.3 B Spänning i roterande trådslinga med uttag via kollektor ger likspänning.

År 1867 formulerade Werner Siemens (1816-1892) den dynamoelektriska principen och presenterade sin dynamoelektriska maskin. Siemens kungjorde upptäckten med de berömda orden: ”Tekniken har nu givits ett medel att överallt där arbetskraft är disponibel tillhandahålla elektrisk ström av obegränsad styrka, billigt och bekvämt. Detta kommer att få stor betydelse på många områden.” I London verkade, under samma tid som Siemens, Charles Wheatstone (1802-1875). Den 14 februari 1867 meddelande dessa båda uppfinnare oberoende av varandra Royal Society i London att de lyckats konstruera maskiner, med vilka man utan begagnande av stålmagneter, kunde inducera elektriska spänningar av högst betydlig styrka (orsakad av remanens i järnet).

Tankar kring ”remanensen” hade uttalats tidigare – av

Sören Hjort (se nedan) – redan 1848, och av tysken Wilhelm Sinsteden 1851. Det var en uppfinning som ställde sig inte bara billigare för att få fram elektricitet utan även med större styrka – byggd på ”tidigare generationers tålmodiga arbete”. Dynamomaskinen hade sett dagens ljus. Här kunde man omvandla mekanisk rörelseenergi till elektrisk energi.

Före Siemens hade likströmsmaskiner utvecklats främst av dansken Sören Hjort (1801-1870), som för övrigt också skapade Danmarks första järnväg mellan Köpenhamn och Roskilde, och av italienaren Antonio Pacinotti (1841-1912) som 1860 uppfann ringankaret, men inte lyckades väcka intresse för sin uppfinning.

Den första användbara maskinen konstruerades år 1867 av engelsmannen William Ladd. Den bestod av två

14

1

Figur 1.4 Ladds dynamoelektriska maskin.

platta elektromagneter, mellan vilkas poler två Siemensinduktorer roterade, en vid vardera ändan. Den mindre alstrar ström för elektromagneterna, den större får ett starkare fält, genererar en högre spänning och lämnar ström till en yttre last År 1869 lyckades belgaren Zénobe Théophile Gramme (1826-1901), genom att kombinera såväl Siemens som Pacinottis idéer, göra en dynamomaskin som var industriellt användbar. Det blev en maskin med mångdelad kollektor, där lindningarna mellan två borstar kom att ligga i serie. Grammes generator gav högre spänning än tidigare generatorer. Det var viktigt för elektroteknikens vidare praktiska användning eftersom de första systemen för elektriskt bågljus krävde hög spänning. År 1873 visade det sig att Grammes generator kunde användas även som motor.

1.1.2 Glödlampan dyker upp Den största praktiska tillämpningen kom 1879 med uppfinningen av glödlampan – en uppfinning som parallellt kom fram via Thomas Alva Edison (1847-1931) i USA och Joseph Wilson Swan (1828-1914) i Storbritannien. Det som gjort att Edison blivit den mest kände av de båda är att han snabbt kom i gång med såväl tillverkning av glöd-

Historik – den osynliga elektriciteten

Figur 1.5 Näs sågverk vid Hosjön var den första svenska industri som införde elektrisk belysning vid arbete utomhus: en båglampa monterad på ett torn.

lampor (koltrådslampor) som tillverkning av lampsockel (Edisongängan) Han bidrog även till uppbyggnaden av kraftstationer i flera länder, såväl i USA som i Europa.

1.2 Om utvecklingen i Sverige Vad hände i Sverige vid den här tiden?

• På Skeppsholmen i Stockholm provinstalleras år 1875 en elektrisk båglampa som matas från en lokomobil. ”Elektricitetsmaskinen kastade så starkt sken, motsvarande 2 000 normalljus, ut öfver viken mellan Skepps- och Kastellholmarna, att man der kunde läsa den finaste stil” (Blekingeposten den 23 mars, 1875). Den första kommersiella elanvändningen gällde elektriska båglampor för arbetsbelysning vid sågverken vid Näs i Dalarna respektive vid Marma i södra Hälsingland år 1876 • 1878 installerades båglampor i Blanches Café i Stockholm.

• 1882 producerades den första vattenkraftselen i Sverige vid Viskan i Västergötland.

1

Historik – den osynliga elektriciteten

1.2.1 Om förspelet till det som kom att bli ASEA År 1881 började affärsmannen Ludvig Fredholm (18301891) att intressera sig för olika slags belysningssystem – och han fastnade snart för el. Han började med provbelysning i Stockholm på Gustaf Adolfs torg, på Norrbro och kajen utefter Kungliga slottets norra fasad. Till sin hjälp hade han Göran Wenström (1857-1927). De använde utrustning från Anglo-American Brush Electrical Light Ltd. Göran Wenströms bror Jonas Wenström (1855-1893) hade på sommaren 1882 konstruerat och byggt sin första maskin som visade sig kunna konkurrera med vad

Figur 1.6 Jonas Wenströms första dynamomaskin från 1882.

Figur 1.7 En Grammes dynamomaskin från 1869.

15

som då fanns på marknaden. Jonas Wenström skriver avtal med Fredholm, som grundar Elektriska Aktiebolaget i Stockholm. Det börjar med tillverkning i Arboga, och som verkstadschef anställs Göran Wenström.

Här blir bolaget trångbott. Det flyttar 1891 till Västerås och bildar det nya bolaget ASEA. Det som var det unika med Jonas Wenströms maskin jämfört med andra DC-maskiner på marknaden var att Jonas lagt magnetiseringslingningarna i järnomslutna spår. Se figur 1.6 och 1.7.

1.3 Kraftöverföring med växelström I början av 1890-talet börjar det hända saker runt om i världen – olika personer börjar ta ut patent på ett flerfassystem. Nikola Tesla (1856-1943) får 1888 patent på ett tvåfassystem I USA som resulterar i att man där börjar bygga ut vattenfallen vid Niagara. Tvåfasig växelspänning om 2 200 volt och frekvensen 25 Hz. I Tyskland får 1891 Michael von Dolivo Dobrowolsky patent på trefassystemet för Tyskland. I samband med en utställning i Frankfurt am Main byggs en 175 km lång trefasöverföring mellan Lauffen, Heilbronn och Frankfurt. Överförd effekt var 200 kW, och frekvensen var 40 Hz. År 1890 ansöker Jonas Wenström om patent på ett trefassystem i Sverige och får det beviljat 1891. Det som skiljer detta patent från övriga från den tiden är att hans patent gällde ett helt system: synkrongenerator, transformator, asynkronmaskin och en maskin för AC/ DC-omvandling. I trefassystemet införde han även Yoch D-kopplingarna. År 1893 bygger ASEA Sveriges första trefasöverföring, mellan Hellsjön och Grängesberg. Överförd effekt var 344 kVA, frekvensen var 70 Hz. Under invigningsfesten ligger Jonas Wenström sjuk i Västerås och dör under tiden man hade fest i Grängesberg. Sverige förlorade ett av sina el-genier – endast 38 år gammal.

16

1

1.3.1 Ernst Danielson

1882

Historik – den osynliga elektriciteten

Maschinenfabrik Oerlikon

Schweiz

En bidragande orsak till Hellsjön/Grängesberg och många andra lyckade projekt från denna tid får tillskrivas en av våra tidiga skickliga tekniker, Ernst Danielson (1866-1907). Han var den som såg till att Jonas Wenströms teoretiskt beräknade och tillverkade maskiner fick en praktisk lösning. Han stod som garant för flera leveranser från ASEA, som inga andra tillverkare vågade offerera på grund av hårda konstruktionskrav med stränga leveransböter om allt inte hade fungerat till 100 procent. Ett sådant objekt var beställningen på världens då första elektriska valsverksanläggning i Hofors för trefas växelström. Danielson vistades 1890-1892 i USA, där han skaffade sig erfarenhet från bl.a Thomson Hueston Electric Co – senare ombildat till General Electric Co. Under den korta tiden i USA arbetade Danielson först som ritare, för att sedan bli chef för ett elektrotekniskt laboratorium och därefter maskinberäknare. År 1892 lyckades Göran Wenström locka hem honom. Han dog redan 1907 i sviterna av tuberkulos, som han hade ådragit sig i USA.

1883

Elektriska Aktiebolaget i Stockholm. Den

Sverige

första fabriken återfanns i Arboga.

Man sysslade främst med belysningsanläggningar. År 1889 bildades Wenström och Granströms Kraftbolag*. 1890 går bolagen samman och bildar Allmänna Svenska Elektriska Aktiebolaget (ASEA).

1883

Allgemeine Elektrizitäts-Gesellschaft

Tyskland

Aktiengesellschaft (AEG).

Bildades som Deutsche Edison-Gesellschaft für angewandte Elektrizität

1886

Westinghouse

USA 1891

Brown Boveri & Cie, AG (BBC)

Schweiz

Grundas av C. E. L. Brown (1863-1924) och Walter Boveri (1865-1924)

1892

General Electric Company (GE)

USA

Har sitt ursprung från ett Edison-bolag som

1.4 Bolagsbildningar – hemma och i omvärlden

bildades 1878 för att utveckla glödlampan.

Genom olika bolagssammanslagningar bildades GE 1892.

1847

Siemens & Halske. Började bl.a. som

Tyskland

telefonbolag. Blir en del av

1900

General Electric Company (GEC)

Storbritannien

Siemen AG. År 1880 anställer de en

1988

ASEA och BBC går samman och bildar

representant i Stockholm – mekanikus

Sverige/

ABB

J. E. Erikson.

Schweiz

1874

Schuckert & Co. Grundad av Sigmund

Tyskland

Schuckert i Nürnberg. Företaget uppgick 1903 i Siemens-Schuckert-Werke. Nu en del av Siemens AG. År 1883 startar John Rosén en installationsfirma som senare blir firman Luth & Rosén. Man köper maskiner från Schuckert & Co.

Figur 1.8 Bolagsbildningar.

1

Historik – den osynliga elektriciteten

1.5 Anläggningar runt om i Sverige Det fanns flera enskilda anläggningar runt om i Sverige som arbetade med olika nätfrekvenser, som gjorde att näten inte kunde kopplas samman.

17

42

1902

Skarped och överföring till Sunne 45

1891

Jösseforssystemet 1900

Frekvens

År:

Exempel på anläggning:

Kolboforsen 1899, Sälboda 1901, Motala, Arvika-

Anläggningar och nät i Sverige vid sekelskiftet år 1900 som arbetade med olika nätfrekvenser

AB Rottneros Bruks kraftstation vid

Billesholms-Bjufs AB, Bjuf, 1903 – Jonsereds fabriker

(46 2/3)

1895

Rydahl Manufaktur AB

48

1903

Gävle stads kraftstation vid

p/s – Hz:

Strömdalen

(10 2/3)

1896

Hofors valsverk – finverket.

15

1900

Kjellugnen vid Gysinge bruk

(16)

1896

Hofors valsverk – trådverket och

50

50 *

1894

Djursholms elektriska belysning

1895

Stockholm-Rimbo järnvägs AB

1895

J.H. Munktells Pappersfabriks AB,

mediumverket 20

1903

Alby Karbidfabrik

21,3

1899

Månsbo

25

1903

Värtaverket, Stockholm /

Bregsgården, 1897

Fagersta Bruks AB, överföring till Semla/Ramnäs Bruks AB –

1918 – Untra / Stockholms

valsverket i Ramnäs, Hornsdals järnverks AB 52

1902

Stridsberg & Biörck i Trollhättan

56,5

1902

Alby Karbidfabrik

60

1894

Morgårdshammars Mek. Verkstad

elektricitetsverk 1910

LKAB / Gällivare / 1911 - LKAB / Kiruna

1915

Porjus – järnvägselektrifiering Kiruna – Narvik / Porjussystemet

1910

AB m.fl.

60 **

Trollhätte Kraftverk –

1892

Fagersta

1894

Boxholmsbruk, Bergvik & Ala Nya

elleveranser till bl.a. Göteborg,

AB,

Trollhättesystemet

35

1901

Törnshammars bruk AB

1898

Trollhättans karbidfabrik / 1900: Nyhammars bruk

40

1901

1890

Hofors valsverk – motorer, Grängesbergssystemet

70 ***

1893

Hellsjön – Grängesberg

1898

Enkullen/Lernbo

Ludvika / 1914 – Loforsen / 1914 Ludvikasystemet

(41 2/3)

1896

Figur 1.9 Anläggningar med olika frekvenser. * 50 p/s hade blivit förhärskande på kontinenten under 1890-talet.

Motala – för gatu- och

Från och med bygget av Älvkarleby Kraftverk – klar 1915 – blev 50

bostadsbelysning

p/s (Hz) praktiskt taget standard i Sverige.

Bollnäs Nya Bryggeri / Gästgivaren J Larsson –

** En influens från USA. *** Hellsjön – Grängesberg var Sveriges första 3-fasöverföring.

18

1

Historik – den osynliga elektriciteten

1.6 Tidiga hjälpmedel för hemmet Nedan visas några tidiga tillämpningar för hemmabruk, daterade slutet av 1800-talet.

a b c a1 a

a b c

a b c

b1 c1

a1

b1 b

c1

a1

b1 c

a b c c1

a1

a1

b1

d

b1 c1

c1 e

Genom att skifta mellan stift på panna och uttag i kabel ändrade man värmeeffekten Figur 1.10 Elektrisk kaffekokare. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

Figur 1.11 Elektrisk panna. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

Figur 1.12 Elektriskt strykjärn. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

Figur 1.13 Elektrisk lödkolv. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

1

Historik – den osynliga elektriciteten

19

1.7 Annan tidig utveckling Artificiell äggkläckning kom ganska tidigt till användning. Den förste bonden som ska ha använde detta var en tysk lantbrukare vid namn Storbreck – 1883.

En elektrisk cigarrtändare konstruerades och byggdes av bl.a. AEG i Berlin – men utan inbyggd strömbrytare. Denna finess kom från Rohrbeck & Grünwald i Berlin. Glödkroppen satt i en glödlampsinfattning enligt Edisons system och kunde lätt och bekvämt skruvas in i handtaget – eller skruvas ur därifrån för eventuell service. ”Elektriska cigarrtändare förbruka endast ytterst ringa ström. Finsmakare på cigarrområdet hyllade den orientaliska åsikten, att man inte bör tända cigarrer på låga utan blott på en glödande kropp, och för dessa rökare bör den elektriska cigarrtändaren således vara en välkommen uppfinning.”

En annan apparat som fann sin kundkrets i teatrarnas klädloger var den elektriska värmeapparaten för frisertänger. ”Apparaten har fått en viss betydelse då man vid teatrar med elektrisk belysning gärna vill undvika varje användning av brinnande eld och i denna apparat alltså har ett medel att ersätta den för nämnda ändamål annars behövliga gas- eller spritlågan.”

Figur 1.14 Elektrisk cigarrtändare från firman Rohrbeck & Grünwald i Berlin. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

Figur 1.15 Elektrisk värmeapparat för frisertänger. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

Figur 1.16 Elektrisk droska.

Drivkällan var då som nu ett batteri. Bilen hade en elmotor på 2–2,5 hk, normal hastighet 20 km/timma. Räckvidden var omkring 40 km – inte illa i slutet av 1890-talet. Ur Die Schule des Elektrotechnikers, Alfred Holtz – Dritte band.

20

1

Referenser till kapitel 1 1. Holtz, Alfred: Die Schule des Elektrotechnikers. Trycktes i tre band i Leipzig 1896.

2. ASEA 1883–1948, 3 band.

3. Periodtalsutvecklingen i Sverige. Kungl. Vattenfallsstyrelsen. 1954.

4. An American Dream, A commemorative history of CutlerHammer Inc. 1892–1978. 1979.

5. Hutchinson: Encyclopedia of Science in Everyday Life.

1988.

6. 1893–1968, Svenska Siemens. 1968.

7. Spade, Bengt, Brunnström, Lasse & Grundmark, Bengt: Kraftöverföringen Hellsjön–Grängesberg. 1993. ISBN 91630-1712-1.

8. Glete, Jan: ASEA under 100 år. ISBN 91-7260-766-1.

9. von Friesen, Sten: Om mått och män. Bra Böcker. ISBN 91-7752-153-6.

10. Ohlon, Rolf: Gamla mått och nya. Ingenjörsförlaget 1986.

ISBN 91-7284-218-0.

11. 100 år med vatten, kraft och energi. Vattenfall 2009.

12. Supple, Curt: Milestones of Science. National Geographic 2000.

13. Hart-Davi, Adam: Sciece, The definitive visual guide.

ISBN 978-4093-8314-7.

14. Falu Elektriska Belysnings Aktiebolag 1891-1967.

15. Eriksson, Sture: Jonas Wenström, Välkänt och okänt. 2013 SBN 978-91-637-4080-0.

16. Eriksson, Sture: Electrical Machine Development – a study of four different machine types from a Swedish perspective. KTH 2007.

Historik – den osynliga elektriciteten

1

Historik – den osynliga elektriciteten

Övningsuppgifter till kapitel 1

21

1.2 Ditt samhälles första elverk

A Studera ditt eget lokalsamhälle. När/var/varför

byggdes det första elverket i din egen hemort?

1.1 Personalia

Skriv en sammanfattande personalakt om följande personer: A Benjamin Franklin B Alessandro Volta C Michael Faraday D Thomas Alva Edison E Nikola Tesla F Jonas Wenström

B Vem var den drivande kraften, var hade denna

person fått sin tekniska utbildning, och varifrån hade denna person fått impulsen till att driva detta elverk?

2

2

DC – AC

23

DC – AC Detta kapitel är en kort översikt som endast tjänar som en repetition för grunder som bör vara kända sedan tidigare.

El eller elektricitet är ingen egen energiform, utan ett resultat av en energiomvandlingsprocess.

Vi skiljer på elenergislagen likström (DC – direct current) och växelström (AC – alternating current). Likström kommer till exempel från en DC-generator, ett batteri eller en solcell, eller från en likriktare med AC-matning.

Växelström kommer till exempel från vatten i rörelse eller ånga som via en turbin (roterande axel) driver en el-generator, eller från en växelriktare med matning från en DC-krets.

man då med UPS (uninterruptable power supply), där batterier säkerställer den normala kraftförsörjningen från ett AC-nät.

Likström används också för kraftöverföring – så kallad HVDC, det vill säga High Voltage Direct Current. Då är teknikens viktigaste fördel att man får en enklare och billigare kraftledning med endast två ledare jämfört med normalt tre i ett AC-system. Med ett HVDC-system kan man även koppla samman två elnät som har olika frekvens eller som inte ligger i fas med varandra. Läs mer om HVDC i kapitel 9.

2.1.1 Olika sätt att kombinera battericeller

2.1 DC/direct current – likström I samband med elmaskiner är likströmmens viktigaste egenskap att den kan skapa ett magnetfält. Likströmsenergi kan man även lagra i batterier och i kondensatorer. Tekniken har kommit till användning för till exempel drift av elbilar samt för energilagring för elnätet.

Inom elektroniken arbetar man bara med likström.

För att säkerställa säker drift för datalagring arbetar

Normalt har en enskild battericell ett visst värde på sin cellspänning (Uc). Ett vanligt värde är 1,5 V. Battericellen är gjord för att lämna en viss ström (Ic). Vill man ha ett batteri med högre spänning kan man koppla flera celler i serie. Vill man ta ut en större ström kan man koppla flera likartade grupper parallellt. Se figurerna 2.1–2.4.

Standard för likspänningsnivåer är: 1,5 – 6 – 9 – 12 – 24 – 48 – 96 – 110 – 220 – 440 V. Uc = Cellspänningen

Up

–

+

Uc

Ri = Cells inre resistans

Ri

I = Ic

Up = Polspänning Ic = Ström genom en enskild cell

Ry

A En cells ekvivalenta schema.

Figur 2.1 En enskild battericell

I

B En cell inkopplad i en krets.

Up = Uc – Ic × Ri = I × Ry Ry = Resistans i yttre krets.

24

2

Uc

Uc

Rc

Uc

Rc

m · Uc

UO = m · U c

m · Ri

I = Ic

Ri × m

Rc

Ry

A Flera celler kopplade i parallell.

DC – AC

B Ekvivalent schema Uo = kretsens tomgångsspänning.

I

C Cellerna inkopplade till yttre krets.

Up = m × Uc – Ic × m × Ri

Figur 2.2 Flera (m stycken) battericeller kopplade i serie. Genom att koppla flera celler i serie (m) kan man ta ut en högre polspänning på ett batteri.

Uc

Up

Ri Uc

I = n · Ic

Ri/n

Uc

Uo = Uc Ri

Ri n Ry

I

Uc Ri

A Flera celler kopplade i serie.

B Ekvivalent schema.

Uo = kretsens tomgångsspänning

C Cellerna inkopplade till yttre krets.

Up = Uc – n × Ic × Ri/n

Figur 2.3 Flera (n stycken) battericeller kopplade parallellt. Genom att koppla flera celler parallellt kan man ta ut en högre ström från ett batteri.

Uc

Uc Ri

Uc Ri

Ri

Ic

Up Ua =

Uo = m · Uc

m ·Ri n

m · Uc

I = n · Ic

Ri × m n Ry

I

A Flera celler kopplade i en mix av serie- och B Ekvivalent schema.

C Cellerna inkopplade till yttre krets. parallellkopplade grupper.

Uo = kretsens tomgångsspänning. Up = m × Uc – n × Ic × m × Ri/n

Figur 2.4 En blandning av serie- och parallellkopplade battericeller. Genom att koppla flera likadana seriekopplade grupper i parallellkoppling, kan man ta ut både en högre spänning och en större ström från batteriet. Observera att de olika parallella kretsarna måste vara identiska annars kan det bli rundgång av strömmar mellan de olika parallella kretsarna.

2

DC – AC

25

2.2 AC/alternating current – växelström

2.1.2 Grundläggande DC-formler Ohms lag:

U=I×R

Med växelströmstekniken får vi enklare maskiner, jämfört med DC-tekniken. Inom växelströmstekniken finns transformatorn som gör att vi vid transmission kan höja spänningen samtidigt som strömmen blir lägre. Lägre strömmar kräver mindre ledningsarea och lägre strömmar ger mindre förluster i en ledare. Transformatorn kan också ge spänning för likriktning till DC, till exempel för elektronikkomponenter. Ju högre AC-spänningar vi har, desto bättre skydd krävs. Två exempel är grövre isolering och större skyddsavstånd.

Effektlagar:

P=U×I P = I2 × R Kirchoffs lagar: bl.a.:

I1 = I2 + I3.

2.2.1 Generering En sinusformig spänning u = Û sin ωt U

U û

ω=2πf û

f = 1/T U

π

3 2

π

π 2

u = spänningens momentanvärde / V Û = spänningens toppvärde / V

2π ω •t

ω •t

U = spänningens effektivvärde / V ω = vinkelhastighet T = periodtid / s

T

T

f = frekvens / Hz Vid sinusformig växelström: U = Û / "2

Figur 2.5 En sinusformig växelspänning genererad genom en trådslingas rotation i ett homogent magnetfält. Se även illustrationen i figur 2.6.

N

I1

u

= −N × Δϕ / Δt

u = inducerad spänning

Φ

N = antal lindningsvarv I2

Δϕ = flödesändring Δt = tidsändring

A = I1 • I2

S

Figur 2.6 En trådslinga roterar i ett homogent magnetfält och en växelspänning genereras. Spänningen mäts upp över släpringarna.

26

2

DC – AC

U=B×L×V×Z

N

U = inducerad spänning / V B = flödestäthet / Tesla / Wb/m2

+

L = ledarlängd i magnetfältet / m V

–

V = ledarens hastighet i magnetfältet / m/s Z = antal ledare

S

ΔΦ Δt

U = − N × Δϕ/Δt U = inducerad spänning / V N = antal varv i spolen Δϕ/Δt = flödesändring per tidsenhet U

/Wb/s

Figur 2.7 En spänning kan också alstras genom rörelse av en ledare i ett magnetfält (övre bilden) eller som i en transformator – flödesändring i en spole (nedre bilden).

2.2.2 Grundkomponenterna i en AC-krets: resistorn, spolen och kondensatorn Resistorn som ledare i en vanlig krets

Liksom i en likströmskrets ger en växelström (I) i en tråd upphov till värme och ett magnetfält (ϕ). Skillnaden mot likström, där vi får ett konstant magnetfält,

är att med växelström får vi ett växlande magnetfält, se figur 2.8 A. Ligger trådarna skilda åt så har en likström och en växelström samma påverkan på en krets, de elektriska formlerna är desamma, det vill säga: U/I = R/P = I2×R. Vid växelström ligger ström och spänning i fas i en resistor.

2

DC – AC

27

I

wt

Figur 2.8 B Strömmens växlingar i en spole ger upphov till en ”motriktad spänning”

Φ I

Φ I

I

Figur 2.8 A Strömmens växlingar i en ledare – skiftande magnetfält. Magnetfältet runt ledaren har ingen inverkan på strömmen I. Magnetfältet omsluter inga andra ledare.

Spolen som ledare i en elektrisk krets

När vi har lindat tråden som en spole kommer det växlande magnetfältet från ett enskilt trådvarv att omsluta även närliggande trådvarv. Magnetfältet kommer i dessa trådvarv att inducera en spänning, som ger upphov till en ström (Ii) som är motriktad strömmen (In) från nätet, se figur 2.8 B–C. Den motverkande spänningen/strömmen gör att resulterande strömmen (Itot) blir lägre. Kvoten U/Itot blir större än om tråden hade varit rak (ingen inverkan av det växlande flödet från näraliggande trådvarv). Den nya kvoten kallar vi komponentens impedans, Z (ohm).

Det växlande magnetfältets egenskap att generera en motspänning gör att spolen får en ny egenskap förutom resistansen R. Det nya frekvensberoende egenskapen kallar vi spolens reaktans, XL (ohm). XL = ω L: L kallar vi spolens induktans (Henry = Wb/A), vilket definieras som förhållandet mellan det magnetiska flödet och strömstyrkan.

N

S

N

I

Figur 2.8 C Effekten blir tydligare om spolen omsluter ett stycke järn – magnetfältet blir starkare. Strömmen I blir mindre – ”starkare motriktad spänning”.

Om R är försumbart är kvoten U/Itot = Z = XL. Ström och spänning ligger då fasförskjutna med vinkeln φ = 90o. Strömmen ligger efter spänningen.

Energin i magnetfältet innebär att spolen tar reaktiv effekt från nätet.

Om kondensatorn

Hos kondensatorn är resistansen normalt försumbar i förhållande till kvoten U/I = Z = Xc, Kondensatorns reaktans XC är frekvensberoende, XC = 1/(ωC). C är kondensatorns kapacitans och mäts Farad, C/V. Strömmen ligger 90 grader före spänningen. Kondensatorn lämnar reaktiv effekt till nätet.

Läs mer om fasläge mellan ström och spänning hos våra grundkomponenter i sammanställningen nedan.

Komponenternas dimensionerande egenskaper

Resistorns karakteristiska egenskap är dess resistans, som i de flesta fall är temperaturberoende. Det innebär att det i resistorn utvecklas värme, som den ska tåla.

28

2

Spolens karakteristiska egenskap är strömtålighet och dess induktans. Induktansen L är konstruktionsberoende av antalet varv i spolen och av vilket material som omger spolen (luft, järn etc.).

Allmänt elnät

0,4 kv

Aktiv effekt

Aktiv effekt 0,4 kv

Svenska Beteckning Enhet Engelska Tyska

Allmänt elnät 20 kv

Reactiv effekt

20 kv

Kondensatorns karakteristiska egenskaper är dess spänningstålighet, kapacitans inklusive +/- %-avvikelse, samt arbetsområde gällande temperatur, till exempel –25 oC/+85 oC.

b) Faskompenserat nät

a) Okompenserat nät

QL

=

Qc

Effekt

P

W

Power

Wirkleistung

Reaktiv

Q

var

Reactive

Blindleistung

effekt P

M

QL

DC – AC

Power

S=P M

S = P2 + QL2

Faskomp.

Bolestnin

Skenbar

S

VA

Apparent Scheinleistung

effekt

Power

Figur 2.9 Sambandet mellan aktiv och reaktiv effekt – ett språklexikon.

Sammanställning över grundkomponenterna.

Resistor

Spole

I

I

I

U

U

I

I U

ϕ

ϕ

U

XL R

Kondensator

ϕ

U

Xc

U

I

P=U×I 2

P=I ×R

Q = U × I × sin φ 2

Q = I × XL

XL = ωL U = I × Z, ω=2 π f, f = frekvensen i Hz, X = reaktansen

Q = U × I × sin φ Q = I2 × XC XC = 1/ωC

Figur 2.10 Sambanden mellan ström och spänning för resistor, induktor (förlustfri spole/spole utan resistans) och kondensator.

2

DC – AC

29

I

IC

Ubc R

IR

I

Ubl

G XL

Ubl

U ϕ

Xc

I* ϕ

Ubc

Uw

U

XL

XC

U

IR ϕ

IR

U

Ubl = Ubc

U

Uw

IL

IC

IL

I* = IC – IL

I*

I

IL

I a) Schaltung

IC

b) Zeigerbild der Spannungen

Visardiagram med strömmen som riktfas

Visardiagram med spänningen som riktfas

En seriekrets – strömmen som riktfas

Parallellkretsar – spänningen som riktfas

Figur 2.11 Grundkomponenter i serie- och parallellkoppling.

Exempel 2.1 Genomräknat typexempel – 1-fas krets

Typexempel på lösning, inklusive visardiagram.

Z = √ ( R2 + (XL - Xc)2) Z = √ (402 + (30 – 60)2) = 50 ohm, U = I × Z I = 100/50 = 2 A P = I 2 × R; P = 22 × 40 = 160 W; Q = I 2 × Xc; Q = 22 × 30 = 120 var (som matas ut på nätet).

Seriekrets: med strömmen som riktfas

Till en 1-fas växelspänning på 100 V kopplar vi tre komponenter i serie: en induktor med reaktansvärdet 30 ohm, en resistor på 40 ohm och en kondensator med reaktansvärdet 60 ohm. Beräkna strömmen i kretsen, utvecklad aktiv och reaktiv effekt i de olika komponenterna och resulterande uttagen aktiv och reaktiv effekt från nätet.

Xa = 30Ω L

R = 40Ω

Alternativ lösning

P = U × I × cos φ; cos φ = R/Z; cos φ = 40/50 = 0,8; P = 100 × 2 × 0,8 = 160 W. P = U × I × sin φ; sin φ = X/Z; sin φ = 30/50 = 0,6; Q = 100 × 2 × 0,6 = 120 var.

Xc = 60Ω

A

R = 40Ω L

A

100 v N

Figur 2.12 A Enfas växelströmkrets.

N

2.12 B Ekvivalent krets.

Xc = 30Ω

=

R

Ω

50 ϕ

R = 40Ω 2.12 C Kretsens impedanstriangel.

Xc = 30Ω

30

2

DC – AC

Ur = 80 v I×R

UL = I × XL 60 v I × XC = 120 v I I×7

S Q ϕ

U = 100 V

P

Figur 2.12 D

Figur 2.12 E

1

a

2

U

c

A

A V

b

I1 R1

X2 = 101

R2 = 201

I2 X2 = 201

d

20Ω

10Ω

R = 6,7 Ω

I3

A

A

I4

Figur 2.13 A Enfas växelströmkrets.

Exempel 2.2 Genomräknat typexempel – 1-fas krets, parallellkrets: med spänningen som riktfas

Till en 1-fas växelspänning på 100 V, 50 Hz kopplar vi ett antal komponenter i parallellkoppling enligt nedanstående schema, se figur 2.13 A. Strömmen I1 = 10 A. Beräkna eller rita enligt följande: A: Beräkna/visa kretsens ekvivalenta schema B: Beräkna strömmen i snitten 1 och 2.

C: Beräkna den resulterande aktiva- och reaktiva effektutvecklingen i kretsen.

Figur 2.13 B Grafisk lösning för kretsarna a och c.

Ersättningsvärdet = 6,7 ohm.

Typexempel på lösning, inkl. visardiagram:

A: Vissa värden är givna i fig 2.13 A. Vi börjar med övning med att beräkna övriga intressanta data.

Då alla är parallellkopplade är spänningen över alla 100 V Vi tar krets för krets.

Krets a: I1 = 10 A => R1 = 100/10 = 10 A Krets b: XC = 20 ohm => I2 = 5 A Krets c: R2 = 20 ohm => I3 = 5 A Krets d: XL = 10 ohm => I4 = 10 A

2

DC – AC

31

I

U

I4 I

I2 Xc

XL

C: Kretsarna b och d.

I4 = 10A

I= 5 X2 = 20Ω

R= 6.7Ω

X2 = 20Ω

I2 = 5A

D: Ström och spänning i dessa kretsar

E: Den resulterande strömmen I från figur 2.13 D på 5 A, som motsvaras av en spolreaktans på 20 Ω.

F: Ekvivalent krets till hela figur 2.13 A, för beräkning av strömmen i snitt 1.

Figur 2.13 C–F Grafisk lösning för kretsarna b och d. För beräkning av strömmen i snitt 2.

Vi gör kretsreduktion och noterar att R1 och R2 ligger parallellt: 1/R = 1/(R1 + 1/R2) = (1/20 + 1/10): => Rtot 6,7 ohm, se figur 2.13 B. Vi gör en kretsreduktion till med XL och XC – se figur 2.13 C. Se de olika strömmarna i figur 2.13 D – resultanten blir en induktiv ström på 5 A – vilket vid spänningen 100 V representeras av en reaktans på 20 ohm – se figur 2.13 E. Slutresultatet sammanfattas i 2.13 F.

QC = 52 × 20 = 500 var (kap – till nätet). QL = 102 × 10 = 1 000 var (ind – från nätet). Qtot = 1 000 – 500 = 500 var (ind - från nätet).

Detta resultat kan vi enkelt jämföra med om vi ser på figur 2.13 D. Ett XL på 20 ohm drar en ström på 5 A (vid 100 V). Q = 52 × 20 = 500 var (ind).

B: Strömmen i snitt 2. Vi har vi en resistiv ström I3 på 5 A, liksom också en resulterande induktiv ström (sammansatt av strömmarna I2 och I4 – se figur 2.13 D), likaledes på 5 A. Resultatet blir en ström = 5 × "2 = 7,1 A. Strömmen i snitt 1 beräkna utgående från att vi har en resistiv ström från R1 och R2 på 15 A och en induktiv/ kapacitiv ström från XL respektive XC på 5 A, som ger en total ström på tillsamman 15,7 A.

2.3 3-fas växelström

C: Total aktiv respektive reaktiv effektutveckling kan utgå antingen från det resulterande schemat (alt 1) – se figur 2.10 D – eller från de olika enskilda komponenterna (alt 2). I det här fallet tar vi alt 2 och använder uttrycken: P = I 2 R, Q = I 2X. PR1 = 102 × 10 = 1 000 W. PR2 = 52 × 20 = 500 W: Ptot = 1 500W.

Genom att använda 3-fas växelström kan vi överföra mer effekt och energi med mindre ledningsmaterial, jämfört med DC eller 1-fas växelström.

Vid Y-koppling kan vi få färre ledare, genom en gemensam returledare för alla tre faser. Vid D-koppling har vi ingen speciell returledare.

2.3.1 Generering av 3-fas-spänningar Figur 2.14 visar statorns tre poler med sina lindningar.

De ligger med en vinkel på 120 grader sinsemellan.

I rotorn har vi en likströmsmagnetiserad magnet med sina nord- och sydpoler, som vi sätter i rotation.

32

2

DC – AC

3-fas växelström: u1 = Û1 × sin ωt u2 = Û2 × sin (ωt + 120°)

Ständer

12

0°

Polrad

I

U1

II

III I2

I1

IV I3

I

u = momentanvärdet

U2

i N

V2

120°

u3 = Û3 × sin (ωt + 240°) Û = toppvärdet

120°

V1

90° S

α

180°

270°

360°

W2 W1

Figur 2.14 Generering av 3-fas växelström.

Vi genererar då tre lika spänningar som sinsemellan ligger 120 elektriska grader från varandra.

Frekvensen f (Hz) på spänningen beror på rotorns varvtal n (r/s). För att få frekvensen f (1/T) 50 Hz krävs att T =1/50 = 0,02 s. Varvtalet i r/min motsvaras då av n = 60 f/p. För en tvåpolig maskin motsvaras detta av ett varvtal på 3 000 r/min och för en 4-polig maskin motsvaras det av 1 500 r/min. Varvtalet för att hålla märkfrekvens kallar vi för det synkrona varvtalet, vilket betecknas nS. Har vi långsamgående generatorer, som för generatorer för vattenkraft, blir det många trefasgrupper i statorn.

Beräkning av reaktiv effekt

Generellt för både Y- och D-kopplade 3-fas laster gäller att: Q3-fas = "3 × Uh × Ih × sin φ Notera att vi räknar generellt med huvudspänningar och huvudströmmar Alternativt: Q3-fas = ∑I 2 × XC eller XL Mätning av 3-fas effekt A - Mätning av aktiv effekt A-1: Utan neutralledare ansluten – se figur 2.13.

2.3.2 3-fas växelströmskretsar Beräkning av aktiv effekt

Generellt för både Y- och D-kopplade 3-fas laster gäller att: P3-fas = "3 × Uh × Ih × cos φ

Resulterande effekten: Ptot = P1 + P2, under förutsättning av ”identisk lika inkoppling av wattmetrarna”. Visar någon wattmeter tecken på att ”gå baklänges”: skifta anslutningarna till antingen ström eller spänningsspolen på den wattmetern och räkna siffervärdet som negativt. Ptot = P1 – P2 A-2: Med ansluten neutralledare – se figur 2.14.

Notera att vi räknar generellt med huvudspänningar och huvudströmmar.

Resulterande effekten: Ptot = P1 – P2 + P3 B – Mätning av reaktiv effekt – se figur 2.15.

Alternativt: P3-fas = ∑I2 × R

Resulterande effekten: Qtot = "3 × Q

2

DC – AC

33

Allmänt: If = fasström = strömmen i en gren av en last Ih = huvudström = ström i matande ledning 3-fas Y-koppling Uf = fasspänning = spänning mellan fas och neutralpunkt

Uh = huvudspänning = "3 × Uf = spänning mellan två faser Ih = Uf /Z = huvudström = fasström

Figure 2.15 A

Ih = √ 3 If

A

L1 Uh

If

V A

L2

Z

A

Ih

A

L3

A

Uh = huvudspänning = spänning mellan två faser = Uf Ih = "3 × If

Z

Z Ih

3-fas D-koppling If

If

A Figure 2.15 B

U31

U3

U12 U1 I3 30° U1

120°

120°

ϕ

I1

I2 + I3 U2

I2 U23

Figur 2.15 A–B Samband mellan fas- och huvudströmmar och mellan fas- och huvudspänningar vid Y- resp. D-kopplade laster. C Spänningar och strömmars inbördes faslägen.

34

2

DC – AC

L1 W1

V

A

L2

P1

Nät

A

var

Last.

Q1

V W

L3

W2

P2

Figur 2.18

Figur 2.16 L1 V Nät L2

L3 L4

A

W

A

W

Last.

W

A

Figur 2.17

Delta till Y

R10 = R20 = R30 =

R12 · R31 R12 + R31 + R23 R12 · R23 R12 + R31 + R23 R31 · R23 R12 + R31 + R23

Y till Delta

R10 · R20 + R10 + R20 R30 R ·R R23 = 20 30 + R20 + R30 R10 R ·R R31 = 10 30 + R10 + R30 R20 R12 =

Figur 2.19 Omräkningstabell för Y/D-transformering.

A

Last.

2

DC – AC

OBS – gäller generellt: För att inte riskera att någon watt- eller var-meter blir överbelastad för större ström/ spänning än vad som anges på instrumenten för vi alltid in kontrollinstrument V-/A-meter, i de kretsar där vi har en mätspole.

Y-/D-transformering

Antingen man har en symmetrisk- eller osymmetrisk last kan det ibland bli enklare och bekvämare att vid blandad koppling ändra någon krets så att alla blir av samma typ: Y-eller D-koppling. Nedan visas hur dessa värden räknas om.

Mätning av ström och spänning via mättransformatorer: – se Elkraftsystem 2, kap. 8 - Mätteknik – se Elmaskiner, kap. 1 Transformatorer, kap. 1.13 – Mättransformatorer.

35

Referenser till kapitel 2 1. Nicklasson, Östen & Öberg, Ivan: Teknisk ellära, Läromedelsförlagen – Teknik och Ekonomi, Del 1: Likström, elstatik och magnetism, Del 2: växelström.

2. Mogensen, Hans: Elmaskiner. Hermods.

3. Wildi,Theodore: Electrical Machines, Drives, and Power Systems. 2006 - ISBN 0-13-196918-8.

36

2

Övningsuppgifter till kapitel 2

DC – AC

värdet på de olika fasströmmarna I (A), resp. komponenters aktiva (W) resp. reaktiva effektutveckling (var), resulterande aktiva- resp. reaktiva effektuttag från nätet.

2.1 Om ett batteri

Vi har 50 battericeller – vardera med märkdatan Uc = 1,5 V, Ri = 0,1 Ω - som vi vill koppla upp i en blandning av serie- och parallellkopplade celler.

A Vilken blir gruppens ekvivalenta värde på tomgångsspänningen Up och inre resistans Ri, om vi kopplar upp oss i fem parallella grupper med 10 celler i varje gren?

B Hur stor blir polspänningen över gruppen och strömmen genom en enskild cell, om vi har en yttre belastning av två parallellkopplade resistorer på 5 Ω vardera?

C Antag nu att två celler i en gren får kortslutning. Hur kommer nu strömfördelningen i kretsen att bli?

2.2 Om en enfaskrets

A Vad visar övriga instrument? (-P1 - - –P5) B Hur stor induktans (L/H), resistans (R2 ohm) resp.

kapacitans (C/μF) är inkopplad i kretsen?

C Beräkna den resulterande aktiva och reaktiva effek-

ten i kretsen.

–P1

–P2

A

A

I7 50 Hz Xl =

I6 20Ω

A

XL

10Ω

A

I4

500 w

–P5 250 w A

W2

V

–P3 Rz

I5

A

Iz –P4 I3

W2

R1 = 10Ω A

I1

Figur 2.20 Enfas växelströmskrets med olika typer av belastningar.

2.3

Seriekopplade laster”strömmen som riktfas”

Uppgift: Rita ett 3-fas schema under nedanstående förutsättningar.

Utgångsdata: Uh = 400 V, f = 50 Hz. Y-kopplad belastning.

Symmetrisk belastning per fas: R = 40 ohm, XL = 30 ohm, Xc = 60 ohm.

Beräkna: Fasspänningen Uf samt värdet på spolarnas induktans (L / H), kondensatorns kapacitans (C/F),

2.4 Parallellkoppling av olika komponentgrupper

Samma utgångsdata som i uppgift 2.3, men nu med D-kopplade belastningar, varvid varje komponentgrupp bildar en 3-fas last. Beräkna de olika lasternas fas- och huvudströmmar och respektive komponentgrupps aktiva (W) och reaktiva effektutveckling (var), samt resulterande aktiva och reaktiva effektuttag från nätet.

2.5 Belastningar som ligger parallellkopplade / D-Y-transformering

Uppgift: Rita ett kompletterande 3-fas schema under följande förutsättningar.

Utgångsdata: Uh = 400 V, f = 50 Hz. Symmetrisk belastning per fas: R = 40 ohm (D-koppling), XL = 30 ohm (kopplas i Y-koppling), Xc = 60 ohm (Y-koppling).

Samma värden som ovan, i exempel 2.3.

A Beräkna värdet på de olika fasströmmarna, värdet på huvudströmmen I (A), komponenters aktiva (W)- och reaktiva (var) effektutveckling, resulterande aktiva och reaktiva effektuttag från nätet.

B Om de blandade parallellkopplade lasterna – Y-/D-transformering.

Räkna om den D-kopplade lasten till ekvivalent värde, om den kopplas om till Y-koppling. Huvudströmmar och effekter ska motsvara dem vi hade vid D-kopplingen. Vilket värde ska då komponenterna ha?

C Räkna om de Y-kopplade lasterna till ekvivalenta värden, om de kopplats om till D-koppling. Huvudströmmar och effekter ska motsvara de vi hade vid Y-kopplingen. Vilket värde ska då komponenterna ha?

2.6 Mätning av strömmar, mätning av effekt.

A Rita i nedanstående schema in instrument så att

man kan mäta: – Alla fas- och huvudströmmar i schemat i krets 1 och krets 2. Ange dessa värden.

2

DC – AC

37

– Fasspänningen i krets 1 och krets 2 – Total aktiv effekt i kretsarna.

– Total reaktiv effekt i kretsarna.

B Beräkna: – Total aktiv effekt i kretsarna.

– Total reaktiv effekt i kretsarna.

2.8 Faskompensering

A

3 × 400 V 50 Hz Krets 1

Krets 2 A

A

Xc = 301

R = 151 XL = 201

R = 401

Figur 2.21 Att föra in instrument i schemat.

2.7

En motor är via en kabel inkopplad till ett AC-nät.

Motorns märkdata, se fig 2.23. Frekvens enligt svensk standard.

A Beräkna strömmen i kabeln vid märklast – motorn antas ha märkspänning. Spänningen i mottagarändan ska vara märkspänning/400 V. Obs! Märkeffekten på en motor är effekten som kan tas ut på motoraxeln.

B Ägaren till anläggningen vill minska överföringsförlusterna i kabeln genom att koppla in ett kondensatorbatteri i direkt anslutning till motorn. Till vilket värde kan man sänka strömmen i kabeln? Hur stor kondensator (i μF) krävs för detta?

C Koppla in instrument för mätning av aktiv och reaktiv effekt från generatorn till belastningen. Rita separat figur. Kommentera hur man kopplar in och hur man beräknar mätarkonstanten. Beräkna Ptot och Qtot.

Att mäta ström och spänning

A Kommentera eventuella felaktigheter i schemat.

Korrigera och fortsätt efter det korrigerade schemat.

B Tolka nedanstående schema. Vad mäter –T1, –T2 och –T3?

C Hur stort är utslaget hos respektive instrument som är anslutet till mättransformatorerna ? Fyll i värden på standardskalor för amperemetrarna (för –T1 och –T2) respektive voltmetern (för –T3) –T2

L1 3 × 11 KV L2 50 HZ L3

1.2 mw cosf = 0,9

–T1

N –T3 A

A

I1 = ?

I2 = ?

V

kabel

V

Motor

A

15 kw cos f = 0,8

Nät

P - 15 kw (märkdata) cos f = 0,8 Motorns verkningsgrad = 0,9

Figur 2.23 Faskompensering.

2.9 Osymmetrisk 3-faskrets med ansluten neutralledare.

A Beräkna alla strömmar i kretsen. Kommentera svaret.

B Vad tror ni hade hänt om N-ledaren inte hade varit

ansluten till PE-skenan i centralen – eller fått ett avbrott?

U= ?

Figur 2.22 Kretsar för mätning av ström och spänning via mättransformatorer.

T1 = 100/5 A; N = ?. Ange lämpligt värde på N. T2 = 100/5 A; N = 2.

T3 = 11 000/xxx V; Ange värdet på xxx.

L1 400/230V 50 Hz Symmetriskt starkt nät

R = 50 ohm

A

L2

A

L3

A

N

A

XL

= 100 ohm

XL

= 50 ohm

Figur 2.24 Osymmetrisk 3-faskrets med ansluten neutralledare.

38

2

2.10

till L1 − L2 − L3

Schema över ett TN-C-S nät.

Jämför figur 2.25 med figur 4.1 grund för TN-C-S-nät.

I ett TN-C-S-system finns i säkringscentralen, mellan PE- och N-skenorna en förbindning med skruv.

Denna skruv – åtdragen – kopplar samman de båda skenorna. Vill man göra en isolationsmätning på utgående kretsar från centralen, måste skruven koppla upp förbindningen mellan PE- och N-skenan, skruven måste öppna upp.

Om man efter provet glömmer att dra åt skruven, innebär detta att N-ledaren inte har någon sluten krets mot jord: att neutralpunkten i alla lägen inte har jordpotential. Detta innebär att om vi får en osymmetrisk belastning i faserna kommer vi att få en frisvävande neutralpunkt, som gör att vi får olika fasspänningar, fasspänningar som kan bli både lägre och högre än vi hade tidigare, nätet kan kollapsa och vissa delar kan bli överbelastade.

Nät med frisvävande neutralpunkt.

Laboratorieuppgift: Rita och koppla upp en enkel 3-faskrets – ha variabla osymmetriska 1-fas-laster.

Gör en serie mätningar med olika kombinationer av faslaster. Mät i varje mätserie spänningen över varje fasgrupp. Efter försöket gör vi en grafisk lösning.

Utgå från nätets tre Y-kopplade spänningsfaser som ritas upp i skala, 120 grader fasförskjutna. Med en passare, med utgång från spetsen av varje fas, ritar vi sedan skalenligt cirklar över uppmätta fasvärden på de olika lasterna från de olika faserna. Där dessa cirklar har gemensam skärningspunkt finner vi den nya neutralpunkten.

Blev det någon neutralpunktsförskjutning? Fick några mätningar höga osymmetriska fasspänningar ?

Diskutera era olika mätningar.

Kopplar ni även in A-metrar i varje fas, kan ni också kolla summaströmmen.

Gör ni en extra mätning med lika last i varje fas ska ni få en skärning i nätets neutralpunkt.

DC – AC

L1

L1

Z1

L2

L2

Z2

L3

L3

Z3

PEN

V

N PE

1

Ny neutralpunkt

U3

U2

1

U1 U2

1

U2 1

1

N U 1

1

U 1 – U 2 – U 3 = uppmätta värden

Figur 2.25 Schema över ett TN-C-S nät. Förslag till uppkoppling.

2.11 Seriekompensering

I en trefasledning – frekvensen är 50 Hz – har man tänkt koppla in kondensatorer med reaktansen 25 Ω i varje fas, i avsikt att undersöka möjligheten att kompensera ledningspänningsfallet. Vi vet att linjereaktansen är 22 Ω och dess resistans är 33 Ω per fas. I mottagaränden tas 1 385 kW ut vid ett tillfälle, cos φ = 0,8 (ind).

Vilken spänning måste man hålla i matningspunkten för att spänningen i mottagaränden ska vara 20 kV: A då seriekondensatorerna är inkopplade?

B då de inte är inkopplade?

R G

XL

C Bel.

Figur 2.26

2.12

En trefasmotor, som kommer att avge högst 25 kW, ska över en separat 300 m lång ledning anslutas till en

2

DC – AC

transformator, som håller spänningen 240 V. Vid full last är motorns verkningsgrad 0,89 och dess effektfaktor 0,85 (ind). Vid högsta belastning får spänningen på motorn ej bli lägre än 220 V. Beräkna ledararean.

Ledningens reaktans är 0,4 Ω per km och fasledare.

Ledarmaterialet är koppar. Kopparns resistivitet: se Elkraftsystem 2, kap. 12.5.

2.13

Shuntkompensering av last

En fabrik förbrukar 2 400 kW, som erhålls genom en trefasledning, vilken vid fabrikens transformator håller huvudspänningen 20 kV. Strömmen i ledningen är då 100 A. Vid en omläggning av driften fordras ytterligare motorer på sammanlagt 500 kW, vilkas sammanlagda reaktiva effekt är 300 kvar. Med hänsyn till effektförluster i kraftledningen får dock inte den överförda skenbara effekten ökas. För att om möjligt uppnå detta tänker man koppla in ett kondensatorbatteri på 20 kV-sidan i motorändan. Beräkna detta batteris storlek (i kvar och i μF). Batteriet förutsätts bli y-kopplat. Frekvensen är 50 Hz.

39

3

3

Analys av trefassystemet

41

ANALYS AV TREFASSYSTEMET I de flesta fall används trefassystemet för att överföra elektrisk effekt från en punkt till en annan, baserad på Jonas Wenströms patent år 1890. Trefassystemet kan ses som ett specialfall av ett allmänt m-system. Den följande analysen kan lätt generaliseras för till exempel de system med sex eller flera faser som används i samband med omriktning, det vill säga ändring av strömart.

Fas L1

il1

+

+

+ul1 ul1l2

Fas L2

ul1l3

il2 – +

3.1 Trefasstorheter

Fas L3

Vi betraktar en punkt i ett trefassystem med sinusformade strömmar med samma frekvens (se figur 3.1 nedan) Vinklarna α bestämmer respektive ströms momentanvärde. iL1 = i^L1 cos 1 ωt – αL1 2 iL2 = ^iL2 cos 1 ωt – αL2 2 iL3 = ^iL3 cos 1 ωt – αL3 2

(3.1)

De tre momentana fasströmmarna kan i enlighet med den elementära växelströmsteorin skrivas och behandlas som momentana tidsfunktioner eller som motsvarande visare.

De tre strömmarna benämns trefasström och motsvarande visare (vektor) för trefasvisare. (se figur 3.2).

På detta sätt kan man beskriva varje grupps storheter av samma slag. Så bildar till exempel de tre fasernas spänningar ul1, ul2 och ul3 relativt jord (nollpotential) en trefasstorhet och spänningarna ul1l2, ul2l3 och ul1l3 mellan faserna en annan trefasstorhet.

Vi utgår från fasströmmen som exempel och inför restriktionen att de tre fasstorheterna har samma amplitud och är inbördes fasförskjutna 120° i tiden.

+ul2 il3

ul2l3

+ul3 –

–

Figur 3.1 Trefasbranch med stationära sinusformade spänningar och strömmar.

Fasföljden antas positiv det vill säga strömmaxima inträffar i ordningen L1-L2-L3 (se figur 3.3). Som resultat får man en symmetrisk trefasstorhet (plusföljdstorhet) där strömmen i fas L1 valts som riktfas. iL1 = ^i cos ωt iL2 = ^i cos 1 ωt – 120 2 iL3 = ^i cos 1 ωt – 240 2 Vi inför operatorerna a respektive a2 a = ej120° = cos 1120° 2 + jsin 1120° 2 1 !3 = – +j 2 2 1 !3 2 j240° a =e = e – j120° = – – j 2 2

(3.2) (3.3)

42

3

IL1

IL3

Analys av trefassystemet

IL1 = 1

wt–a ref

120°

IL2 IL3 = al

IL2 = a2l

Figur 3.2 Trefasvisare med faskomponenterna IL1, IL2 och IL3.

Figur 3.3 Symmetrisk trefasvisare med faskomponenterna IL1, IL2 och IL3.

Vidare gäller följande uttryck vid beräkning med operatorn a:

kan ofta anses vara lika med avseende på sina impedanser. Man säger att systemet är impedanssymmetriskt eller balanserat. Ett trefassystem som uppfyller detta villkor kallas för ett symmetriskt trefassystem.

Vi ska nu analysera detta viktiga specialfall närmare.

Ett symmetriskt trefassystem kan kopplas antingen som Y-kopplad eller D-kopplad. I figur 3.4 nedan visas ett symmetriskt Y-kopplat nät.

Om systemet är balanserat och den påtryckta spänningen (emk:n) symmetrisk, är alla strömmar och spänningar symmetriska. Ingen ström flyter i den tänkta neutralledaren. Fysikaliskt innebär det att strömmen i varje ögonblick har en riktning i en av faserna och motsatt riktning i de två andra. Neutralledaren saknar betydelse i ett symmetriskt system och de båda neutralpunkterna har samma potential, oberoende av om de är förbundna till jord eller inte.

Någonstans i systemet, till exempel i en belastningspunkt, har visardiagrammet för strömmar och spänningar ett utseende som i figur 3.5.

Strömmarna IL1, IL2 och IL3 är systemets fasströmmar (strömmen i varje fas) och UL1, UL2 och UL3 är systemets fasspänningar. Fasspänningarna definieras enligt norm som fasens spänning mot sann jord. Spänningen mellan faserna benämns huvudspänning. De kan utifrån visardiagrammet beräknas som skillnadsspänningen mellan faserna:

a3 = 1 a* = a2 (a2)* = a

(3.4) (3.5) (3.6)

Med hjälp av operatorn a och a2 kan man teckna trefasströmmen som: IL1 = I IL2 = a2I IL3 = aI Man inser lätt att summan av faskomponenterna i en symmetrisk trefas plusföljdsstorhet är noll. Med hänvisning till ovanstående ekvationer kan vi teckna: iL1 + iL2 + iL3 = 0 IL1 + IL2 + IL3 = I · 1 1 + a2 + a 2 = 0

3.2 Symmetriska trefassystem De genererade spänningarna (emk:er) som matar ett trefassystem är, när det gäller ett krafttekniskt system, nästan undantagslöst symmetriska. Systemets faser

3

Analys av trefassystemet

43

EL1

UL1 Zs

ZL

Zbel

IL1 EL1

UL2

n

Zs

ZL

Zbel

n

IL2

EL1

UL3 Zs

ZL

Zbel

IL3 ZN

n = neutralpunkt

Figur 3.4 Symmetriskt Y-kopplat trefassystem.

Zs = den ekvivalenta källans impedans i plusföljd ZL = ledningens impedans i plusföljd Zbel = belastningens impedans.

I analogi med ovanstående definition och beräkning av huvudspänningarana definieras skillnadsströmmarna som:

UL1

IL1L2 = IL1 – IL2 IL2L3 = IL2 – IL3 IL3L1 = IL3 – IL1

IL1 IL3L1

UL3L1

IL3

IL1L2

ϕ

ϕ IL2L3

UL3

UL1L2

ϕ

UL2L3

IL2 UL2

Figur 3.5 Visardiagram för symmetriska spänningar och strömmar.

UL1L2 = UL1 – UL2 UL2L3 = UL2 – UL3 UL3L1 = UL3 – UL1

(3.7) (3.8) (3.9)

(3.10) (3.11) (3.12)

Fasspänning, huvudspänning och fasström är fysikaliska storheter som är direkt mätbara i systemet. Skillnadsströmmen får däremot ses som en matematiskt definierad ström, som det visat sig vara lämpligt att använda vid elkrafttekniska beräkningar. Den går dock att mäta med speciella arrangemang som bildar skillnaden mellan två fasströmmar. Denna möjlighet används ofta inom trefastekniken och inom reläskyddstekniken.

I det symmetriska fallet ovan gäller att: 0 UL1L2 0 = !3 · 0 UL1 0 det vill säga beloppet av huvudspänningen = !3 · fasspänningens belopp.

44

3

Analys av trefassystemet

1i 0° IL1 = IL1 · e *

+ AC

I

IL2 = IL2 ·

– 1i · 120°

IL3 = IL3 ·

1i · 120°

(3.13) (3.14) (3.15)

Z

Om vi summerar de tre fasströmmarna och beaktar att amplituden är densamma för de tre faserna i ett fullt symmetriskt nät, får vi:

U −

Ires = IL1 + IL2 + IL3 = IL1 a1 – Figur 3.6 Ekvivalent impedans Z = Zs + ZL + Zb, där Zs = källans impedans ZL = ledningens impedans Zb = belastningens impedans.

De tre fasströmmarna är fasförskjutna samma vinkel φ i förhållande till motsvarande fasspänning. Om det inte finns någon ömsesidig impedans mellan de tre faserna i figur 3.5, är det tillräckligt att räkna på en av de tre faserna eftersom man vet att samma storheter finns i de två andra faserna, med den skillnaden att dessa är fasförskjutna 120° respektive 240°.

Det ekvivalenta schemat för kretsen blir därmed: Om vi sätter strömmen i fas L1 som referens, kan de tre fasströmmarnas uttryck i polär form tecknas som

EL1

Zs

EL2 Zs

EL3 Zs

Figur 3.7 Symmetriskt D-kopplat system.

IL1

IL2

IL3

(3.16)

1 !3 1 !3 –j· – +j b=0 2 2 2 2

Samma exercis kan naturligtvis göras med spänningarna: summan av dessa i ett symmetriskt nät blir också noll.

Figur 3.7 visar samma principiella system, där dock belastningen är D-kopplad.

Inom krafttekniken förekommer det ofta att man behöver överföra D-kopplade impedanser som de i figur 3.7 (ZD) till dess motsvarighet som Y-kopplade impedanser. Detta görs lätt med den så kallade Kennely-transformeringen. Arthur Edwin Kennely formulerade denna teori redan 1899. Med hjälp av figur 3.8 kan vi definiera relationen mellan D- och Y-kopplade impedanser enligt följande:

Z1L

Z1L

Z1L

UL1

UL2

UL3

ZD

ZD

ZD

3

Analys av trefassystemet

45

1

Z1 = Z 2 = Z 3 =

Z 3

Y till D: Z12 Z2 C Z23 S = Y Z · C 0 a Z31 0

Z1 Z12

Z13

Z3

Z2

Där YΣ = Z

2

3

0 Z3 0

0 Z1 0 S · C Z2 S (3.22) Z1 Z3

1 1 1 + + som i specialfallet med Z1 Z2 Z3

Z1 = Z2 = Z3 = Z ger Z12 = Z23 = Z31 = 3Z

Z23

3.3 Osymmetriska trefassystem

Figur 3.8 Y-D koppling av impedanser.

D till Y transformation: Z1 =

Z12Z13 Z12 + Z13 + Z23

(3.17)

Z2 =

Z12Z23 Z12 + Z13 + Z23

(3.18)

Z3 =

Z13Z23 Z12 + Z13 + Z23

(3.19)

Y till D transformation: Z12 = Z1 + Z2 +

Z 1 Z2 Z3

(3.20)

Om man gör motsvarade beräkning i matrisform blir det D till Y: Z1 Z13 1 · C Z2 S = C 0 Zsum Z3 0 Där

0 Z12 0

0 Z12 · 0 S C Z23 S Z23 Z31

(3.21)

1 = = Z12 + Z23 + Z31 som i specialfallet med Zsum

Z12 = Z23 = Z31 = Z då blir

I tidigare kapitel har vi behandlat symmetriska trefassystem, det vill säga sådana system där strömmar och spänningar är balanserade trefasstorheter. I detta avsnitt ska vi gå igenom hur man med hjälp av Kirchoffs lag kan hantera osymmetriska trefassystem.

Vi betraktar en tre-fas krets enligt figur 3.9.

Egenimpedanserna för faserna benämns ZL med prefixet 1, 2 och 3 för fas 1, 2 respektive 3. Neutralledarens impedans betecknas ZN. Den ömsesidiga kopplingen mellan faserna och fas till jord förutsätts cykliskt symmetrisk, det vill säga impedanserna ZöL1L2, ZöL2L3 och ZöL1L3 ersätts med Zö och impedanserna ZöL1n, ZöL2n samt ZöL3n ersätts med impedanserna Zön mellan fas och neutralledare (jord). Denna restriktion är motiverad i de allra flesta fall. Den matande spänningskällan förutsätts vara symmetrisk.

Med utgångspunkt från ovanstående kan följande ekvationssystem ställas upp: EL1 = IL1 · ZL1 + IL2 · Zo$ + IL3 · Zo$ $ + U – 1 IL1 + IL2 + I31 2 · Zon n

(3.23)

EL2 = IL1 · Zo$ + IL2 · ZL2 + IL3 · Zo$ $ + U – 1 IL1 + IL2 + I3 2 · Zon n

(3.24)

46

3

Analys av trefassystemet

EL1 UL1 ZL1 ZöL1L2

EL2

IL1

ZöL1L3

UL2 n

ZöL2L3

IL2

ZöL1n

EL3

ZL2

Un

ZöL3n

IL3

ZöL2n

UL3

ZL3

ZN IN = IL1 + IL2 + IL3

Figur 3.9 Osymmetriskt trefassystem och osymmetriskt elektriskt tillstånd.

Ekvation (3.23–3.25) kan nu tecknas som: EL3 = IL1 · Zo$ + IL2 · Zo$ + IL3 · ZL3 $ + U – 1 IL1 + IL2 + IL3 2 · Zon n

(3.25)

Den s.k neutralpunktsspänningen eller nollpunktsspänningen Un kan tecknas som: Un = 1 IL1 + IL2 + IL3 2 · ZN – 1 IL1 + IL2 + IL3 2 · Zo$ n = 1 IL1 + IL2 + IL3 2 1 ZN – Zo$ n 2

(3.26)

Om vi betraktar det speciella fallet då systemet är balanserat, det vill säga ZL1 = ZL2 = ZL3 = Z och därmed strömmen en symmetrisk trefasström, blir Un = 0 eftersom IL1 + IL2 + IL3 = 0 (se ekvation 3.16).

EL1 = IL1 · Z + 1 IL2 + IL3 2 · Zo$ = IL1 · Z – IL1 · Zo$ = IL1 1 Z – Zo$ 2

(3.27)

EL2 = IL2 · Z + 1 IL1 + IL3 2 · Zo$ = IL2 · Z – IL2 · Zo$ = IL2 1 Z – Zo$ 2

(3.28)

EL3 = IL3 · Z + 1 IL1 + IL2 2 · Zo$ = IL3 · Z – IL3 · Zo$ = IL3 1 Z – Zo$ 2

(3.29)

Resultatet visar att ett balanserat trefassystem kan återföras till en enfaskrets, även om ömsesidig koppling finns mellan faserna och mellan faserna till jord.

Om egenimpedanserna mellan faserna inte är lika fås, om vi bortser från ömseinduktansen: EL1 = IL1 · ZL1 + 1 IL1 + IL2 + IL3 2 · ZN

EL2 = IL2 · ZL2 + 1 IL1 + IL2 + IL3 2 · ZN EL3 = IL3 · ZL3 + 1 IL1 + IL2 + IL3 2 · ZN

(3.30) (3.31) (3.32)

3

Analys av trefassystemet

47

Strömmen kan, om vi använder admittans, uttryckas som:

E L1

U L1n

EL1 · YL1 = IL1 + Un · YL1

(3.33)

EL2 · YL2 = IL2 + Un · YL2

(3.34)

EL3 · YL3 = IL3 + Un · YL3

(3.35)

Un

UL2n

U L3n

Om man summerar vänster och höger led får man: E L3

EL1 · YL1 + EL2 · YL2 + EL3 · YL3 = IL1 + IL2 + IL3 + Un · 1 YL1 + YL2 + YL3 2 = Un · Yn + Un 1 YL1 + YL2 + YL3 2

(3.36)

Ekvationerna kan sammanfattas enligt följande:

Un =

a EkYk Yn + a Yk

EL2

Figur 3.10 Fasspänningarna över belastningen vid osymmetrin Un.

3. Y-kopplad belastning utan ansluten neutralledare, det vill säga Yn = 0. Av visardiagrammet figur 3.10 inses att spänningen över belastningarna bildar en osymmetrisk trefasstorhet och att de för vissa obalanser kan avvika väsentligt från önskade värden.

(3.37)

där k = L1, L2 och L3. Om det inte finns någon neutralledare, sätts Yn = 0. När Un har beräknats kan man lätt bestämma kretsens övriga spänningar och strömmar.

Vi låter ZL1, ZL2 och ZL3 vara impedansen hos tre belastningar med samma märkspänning och undersöker belastningens driftförhållanden vid tänkbara kopplingar. Spänningsfall mellan källa och belastning försummas och den matande trefasspänningen antas vara symmetrisk med värden motsvarande belastningens märkdata.

1. Y-kopplad belastning med ansluten nolledare.

Un = 0, ty ZN = 0. Det ger att UnL1 = EL1, UnL2 = EL2 och UnL3 = EL3. De tre belastningsapparaterna får sålunda märkspänning.

2. D-kopplad belastning. Spänningen över belastningen är i detta fall lika med den matade huvudspänningen och belastningen får märkspänning även i detta fall.

Ur ett kraftsystemtekniskt perspektiv innebär ovanstående att en belastning som inte är symmetrisk bör Y-kopplas med ansluten neutralpunkt eller D-kopplas, för att belastningen inte ska få för hög spänning.

3.4 Överförd effekt Beräkning av överförd effekt är av central betydelse inom elkrafttekniken. I detta avsnitt går vi igenom några grundläggande fall.

3.4.1 Momentan effekt För att bestämma den momentana effekten betraktar vi ett enkelt enlinjeschema enligt figur 3.11 nedan.

Den momentana spänningen och strömmen kan tecknas enligt följande:

48

3

Analys av trefassystemet

Den momentana effekten som konsumeras av Z kan tecknas som:

Z=R+jX

p 1 t 2 = u 1 t 2 · i 1 t 2 = U · I · cos 1 ωt 2 · cos 1 ωt – φ 2 u(t)

men cos(ωt-φ) = cos(ωt) · cos(φ) + sin(ωt · sin(φ) vilket ger

i(t)

1 = U · I · 3 1 1 + cos 1 2ωt 2 · cos 1 φ 2 2 + 1 sin 1 2ωt 2 – sin 1 0 2 2 · sin 1 φ 2 4 U·I · 3 1 1 + cos 1 2ωt 2 2 cos 1 φ 2 = 2 + sin 1 2ωt 2 · sin 1 φ 2 4

Figur 3.11 Enlinjeschema för en last (Z) ansluten till en spänningskälla (u).

u 1 t 2 = U · cos 1 ωt 2 i 1 t 2 = I · cos 1 ωt – φ 2

(3.38) (3.39)

= P 1 1 + cos 1 2ωt + θ 2 + Q sin 1 ωt + θ 2 (3.40)

U = spänningens toppvärde I = strömmens toppvärde =

U 0Z0

ω = 2πf där f är frekvensen för källans spänning X φ = arctan = fasvinkel mellan spänningen och strömR men

2×10

Effekten P benämns den aktiva effekten och definieras som P=

U·I cos φ 2

Figur 3.12 Den momentana spänningen u(t) och strömmen i(t).

5

1×105

u(t) 0 i(t) ϕ −1×10

(3.41)

5

−2×105 0

0.01

0.02 t

0.03

0.04

3

Analys av trefassystemet

49

Q benämns den reaktiva effekten och definieras som U·I sin φ 2

Q=

(3.42)

Både P och Q oscillerar med dubbla vinkelfrekvensen.

U och I är effektivvärde (RMS), och härledning av uttrycken framgår av avsnitt 3.4.2 Effektivvärde nedan.

I figur 3.12 har u(t) och i(t) plottats för ett exempel där U = 130 kV, Z = 1 + j3.5. Vinkeln för spänningen har för enkelhets skull satts till 0. Fasvinkeln φ, som är ca 74°, har angivits i figuren.

Exempel 1. En resistor med resistansen 1210 Ω matas med en 50 Hz växelspänning på 220 V. Bestäm den utvecklade medeleffekten i resistorn (aktiv effekt).

Lösning: Den utvecklade medeleffekten över en period kan bestämmas enligt följande T

P=

T

1 1 · p 1 t 2 · dt = · 3 R · i2 1 t 2 dt T 30 T 0 T

=

T

2 1 2202 1 Ru 2 dt = u dt = T 30 R2 RT 30 1210

P = 40 W

3.4.2 Effektivvärde Effektivvärdet används ofta som mått på en signals amplitud. Det tolkas som att den effekt som signalen ger i en tänkt belastning är exakt densamma som fås av en likspänning med samma numeriska värde på amplituden. Effektivvärdet benämns i engelsk litteratur som RMS-värde för en given storhet. Effektivvärdet för sinusformad spänning och ström kan härledas enligt följande: 1 = u2 1 t 2 dt Å T 30 1 U2 sin 2 1 πt + θ 2 Å t 30

T 1 1 cos 1 2ωt + 2θ 2 =U b 3 a – ÅT 0 2 2

U2 T sin 1 2ωt + 2θ 2 · a – sin a = b T 2 4 U = (3.43) !2 T

IRMS = =

1 2 I cos 2 1 πt + γ 2 Å T 30 I !2

T

1 1 U + U cos 1 ωt + θ 2 · dt Å T 30 DC

(3.45)

där u 1 t 2 = U cos 1 ωt + θ 2 . Om vi kvadrerar vänster och höger led kan vi skriva om ekvationen till:

T

=

Om en växelspänning adderas till en likspänning, kan effektivvärdet av den sammanlagrade spänningen beräknas enligt följande: URMS =

T

URMS

3.4.3 Effektivvärde av en överlagrad likspänning på en sinusformad spänning

T

URMS2 =

1 1 U + 2UDC · U cos 1 ωt + θ 2 T 30 DC

+ U 2 cos2 1 ωt + θ 2

Vi använder trigonometriska likheten 1 cos 2α = 1 1 + cos 2α 2 och inför den i ekvationen 22 för URMS · T

(3.44)

(3.46)

URMS2 =

1 1 U + 2UDC · U cos 1 ωT + θ 2 T 30 DC 1 + U2 1 1 + cos 1 2ωT + 2θ 2 2 2

50

3

2

URMS =

1 · 1 UDC2 · T + 2UDC · sin 1 ωT + θ 2 T

1 sin 1 2ωT + 2θ 2 + U 2 a1 + b (3.47) 2 2ω

URMS =

2UDC · sin 1 ωT + θ 2 1 · B UDC2 · T + ω ÅT Å

+

U 2T U2sin 1 ωT + θ 2 + 2 2

Å

–

2UDC sin 1 θ 2 U 2 sin 1 θ 2 – R ω 4ω

Å Å

S1 = P1 + jQ1 = U1 c

U1 – U2 * d Z

2

2UDC U + bR ω 4ω

(3.49)

Om man inför förenklingen att spänningsvinkeln θ är noll och integrationen sker över en period eller multiplar av en period, blir sinustermerna noll, och uttrycket reduceras till

* U1 · U1 = U12 * U1 · U2 = U1U2 · ejψ * Z = Z · e – jε

(3.52) (3.53) (3.54)

Vinkeln ψ är vinkeln mellan U1 och U2 och vinkeln ε är vinkeln mellan ledningens Z och R. Ekvationen för S1 kan med gjorda beaktningar tecknas som

S1

U21 UU · e jε− 1 2 · e j 1 ε + ψ 2 Z Z

För andra ändan erhålls analogt

U1-U2

U1

U1

(3.51)

Vi beaktar att

2U U2T U2 + sin 1 ωT + θ 2 a DC + b 2 ω 2

– sin 1 θ 2 a

(3.50)

Komplex beräkning av den trefasiga effekten mellan två godtyckliga noder i till exempel ett kraftsystem är mycket användbart. Betrakta en ledning som går mellan punkt 1 och punkt 2 enligt figur 3.13 nedan.

Vi vill uttrycka effekten som går mellan punkt 1 och 2.

Den avgivna effekten i punkten 1 kan tecknas som

1 · BUDC2 · T = ÅT +

U2 2

3.4.4 Komplex beräkning av överförd trefaseffekt

(3.48)

Efter omskrivning erhålls

URMS

2

URMS = UDC +

Analys av trefassystemet

Z=R+jX

U2

2

ψ U2

S1=P1+jQ1

Figur 3.13 Figur för härledning av fyrpolsekvationen.

S2=P2+jQ2

(3.55)

3

Analys av trefassystemet

51

U2 UU 1 2 S2 = 1 · e jε – 1 2 · e j ε−ψ Z Z

(3.56)

Uppdelning av S1 och S2 i real- och imaginärdel ger följande uttryck för P och Q i repsektive ända: P1 =

U12 UU · cos 1 ε 2 – 1 2 · cos 1 ε + ψ 2 Z Z

(3.57)

Q1 =

U12 UU · sin 1 ε 2 – 1 2 · sin 1 ε + ψ 2 Z Z

(3.58)

P2 = – Q2 = –

2 2

U Z

· cos 1 ε 2 +

UL1

UL2

U1U2 · cos 1 ε – ψ 2 (3.59) Z

U1L3

U2L2

2 2

U UU · sin 1 ε 2 + 1 2 · cos 1 ε – ψ 2 (3.60) Z Z

Mer överskådliga och lätthanterliga uttryck erhålls om man i stället inför förlustvinkeln δ = 90, vilken kan bestämmas som tan δ = ZR . Vinkeln δ är rätt liten för transmissionsledningar. Om vi inför vinkeln δ och beaktar att cos(ε) = sin(90 − ε) = sin(δ) erhålls följande för ände 1 och 2: P1 =

Figur 3.14 Godtyckliga spänningar i ett nät.

UL3

U21 UU · sin 1 δ 2 + 1 2 · sin 1 ψ – δ 2 (3.61) Z Z

U2 UU Q1 = 1 · cos 1 δ 2 – 1 2 · cos 1 ψ – δ 2 Z Z

(3.62)

P2 = –

U22 UU · sin 1 δ 2 + 1 2 · sin 1 ψ + δ 2 (3.63) Z Z

Q2 = –

U22 UU · cos 1 δ 2 + 1 2 · cos 1 ψ + δ 2 (3.64) Z Z

För uttryck av överförd effekt med symmetriska komponenter hänvisas till avsnitt 3.5 nedan.

3.5 Symmetriska komponenter Symmetriska komponenter, som uppfanns av Charles Legeyt Fortescue redan 1918, är ett viktigt verktyg när det gäller analys av stationära tillstånd i kraftsystemet.

U2L1

U1L1

U1L2

Figur 3.15 A Plusföljd

U2L3

Figur 3.15 B Minusföljd Figur 3.15 C Nollföljd

Metoden bygger på att spänningar och strömmar i ett 3-fas nät kan uppdelas i tre komponentnät som benämns plusföljd, minusföljd och nollföljd (se figur 3.15 A–C).

Plusföljdsnätet består av ett balanserat system med tre spänningsvektorer med samma amplitud och fasvinkel som motsvarande spänning i figur 3.14 A, det vill säga vi har 120° respektive 240° fasvinkel mellan U1L3 respektive U1L2 mot U1L1 (U1L1= referens). Vi har med andra ord samma fasföljd.

52

3

Minusföljdsnätet består av ett balanserat system med tre spänningsvektorer med samma amplitud som nätet i figur 3.14, men där vektorerna för fas L2 och L3 fasvridits –120° respektive 120°. Vi har fått en annan fasföljd i minusföljdsnätet i förhållande till plusföljdsnätet och figur 3.14. Fasföljden i minusföljdsnätet är L1L3L2.

Nollföljdsnätet består av ett balanserat system med spänningsvektorer med samma amplitud som nätet i figur 3.14, men utan någon fasvinkel mellan de inbördes vektorerna.

De tre fasspänningarna i figur 3.15 kan matematiskt tecknas som: UL1 = U1 + U2 + U0 UL2 = U1L1 + U2L2 + U0L2 UL3 = U1L3 + U2L3 + U0L3

(3.65) (3.66) (3.67)

De olika komponentspänningarna kan skrivas om på polär form enligt följande U1L2 U1L3 U2L2 U2L3 U0L1

= = = = =

U1L1 U1L1 U2L1 U2L1 U0L2

· e – j120¡ · ej120¡ · ej120¡ · e – j120¡ = U0L3

(3.68) (3.69) (3.70) (3.71) (3.72)

Genom att sätta in fas operatorn a och a2 (se (3.2), (3.3)) i ekvationerna (3.65–3.67) kan vi teckna de sex grundekvationerna för respektive fasspänning och fasström som: UL1 = U1 + U2 + U0 UL2 = a2U1 + aU2 + U0 UL3 = aU1 + a2U2 + U0 IL1 = I1 + I2 + I0 IL2 = a2I1 + aI2 + I0 IL3 = aI1 + a2I2 + I0

(3.73) (3.74) (3.75) (3.76) (3.77) (3.78)

Utgår vi från fasstorheterna och söker storheterna i symmetriska komponenter så gäller följande relationer: 1 1 U + aUL2 + a2UL3 2 3 L1 1 U2 = 1 UL1 + a2UL2 + aUL3 2 3 U1 =

(3.79) (3.80)

Analys av trefassystemet

1 1 U + UL2 + UL3 2 3 L1 1 I1 = 1 IL1 + aIL2 + a2IL3 2 3 1 I2 = 1 IL1 + a2IL2 + aIL3 2 3 1 I0 = 1 IL1 + IL2 + IL3 2 3 U0 =

(3.81) (3.82) (3.83) (3.84)

Om vi inför matrisen T definierad enligt nedan, 1 T = C a2 a

1 a a2

1 1S 1

(3.85)

kan man föra över komponentspänningar och strömmar till fasdomänen genom följande matrisekvationer UL1 U1 Uf as = C UL2 S = T · C U2 S UL3 U0 1 2 = Ca a

1 a a2

U1 1 1 S · C U2 S 1 U0

(3.86)

Överföring av komponentströmmarna till fasdomänen kan ske på samma sätt det vill säga IL1 I1 If as = C IL2 S = T · C I2 S IL3 I0 1 = C a2 a

1 a a2

1 I1 1 S · C I2 S 1 I0

(3.87)

Om vi inför matrisoperatorn T – 1, kan man transformera spänningar och strömmar från fasdomänen till symmetriska komponenter genom att multiplicera matrisen T – 1 med matrisen för spänning eller ström, det vill säga

3

Analys av trefassystemet

T

Usym

–1

a2 aS 1

a 2 a 1

(3.88)

U1 = C U2 S = T – 1 · Uf as U0 =

Isym

1 1 = · C1 3 1

53

1 1 · C1 3 1

a a2 1

2

a UL1 a S · C UL2 S 1 UL3

(3.89)

I1 = C I2 S = T – 1 · If as I0 1 1 · = C1 3 1

a a2 1

a2 UL1 · a S C UL2 S 1 UL3

Exempel. Beräkna de symmetriska komponenterna utifrån de symmetriska spänningarna UL1 = 277V, φL1 = 0°, UL2 = 277V, φL2 = −120°, UL3 = 277V, w L3= 120°.

Lösning: Med hjälp av (3.89) kan vi direkt teckna och beräkna komponentspänningarna som U1 1 1 · U ¢ = C a 2 3 1 U0 1

=

(3.90)

1 ·C 3

a a2 1

a2 UL1 a S · C UL2 S 1 UL3

1 · 277 + 277 · ej1120° – 120°2 + 277 · e – j120° · ej120° 1 · 277 + 277 · e – j1120° + 120°2 + 277 · ej120° S 1 · 277 + 1 · 277 · e – j120° + 1 · 277 · ej120°

=

1 ·C 3

(3.93)

3.277 0 S 0

det vill säga U1 = 277 V, U2 = 0 V och U0 = 0 V. Den överförda tre-fasiga effekten S kan också uttryckas i symmetriska komponenter.

S = UL1 · I*L1 + UL2 · I*L2 + UL2I*L3 = 1 U1 + U2 + U0 2 · 1 I1 + I2 + I0 2 + 1 a2U1 + aU2 + aU0 2 1 a2I1 + aI2 + I0 2 * + 1 aU1 + a2U2 + U0 2 1 aI1 + a2I2 + I0 2 * (3.91) vilket efter reduktion och beaktande av (3.2-3.6) ger: S = 3U1I1 + 3U2I2 + 3U0I0 = S1 + S2 + S0 (3.92) där S1, S2 och S0 benämns plus-, minus- och nollföljdseffekten.

Notera att det endast är komponentströmmar och komponentspänningar av samma slag som bildar effekt.

Vidare lägger man här samman effekter, vilket inte är möjligt generellt. Dessa förhållanden kan tillskrivas egenskaperna hos det ekvationssystem (den transformationsmatris), som förbinder fasstorheterna med deras symmetriska komponenter.

3.6 Superpositionsteoremet Varje admittans i ett kraftsystem kan beskrivas av en admittansterminal, det vill säga I=Y·U

(3.94)

I = strömvektor injicerad in i punkten U = spänningsvektor injicerad in i punkten Superpositionsteoremet kan appliceras på variabler med linjärt beroende som visas i ekvation (3.95). Detta innebär att lösningen erhålls styckvis, till exempel för en generator åt gången. Den totala lösningen uppnås genom addering av alla dellösningar.

U1 I1 U1 U2 I 0 T =YD T + I=D 2T =YD ( ( ( Un In 0

De tre delarna är: • Elmaskiner och elektriska drivsystem • Elkraftsystem 1 • Elkraftsystem 2 Elkraftsystem 1 behandlar bland annat elsäkerhet, standarder, elproduktionsanläggningar, överföring av växelström och likström, distributionsanläggningar, övervakning och automatisering, drift och underhåll.

Några av nyheterna i denna upplaga: • Helt omarbetade kapitel om högspänd likström, automatisering och fjärrstyrning, drift och underhåll.

• Uppdaterat och utökat kapitel om lagstiftning och standardisering.

• Mer om nya energiformer och hur dessa kompletterar varandra.

• Nya avsnitt om bland annat nät- och ställverksuppbyggnad, och om brytare/brytarmanöverdon/frånskiljare.

• Reaktiv effektkompensering och FACTS.

KARL AXEL JACOBSSON är ingenjör med elkraftteknisk lärarutbildning från KTH. Han har tidigare verkat inom gymnasieoch högskolan och även som konsult inom industrin. Mångårig läroboks- och fackboksförfattare.

CARL ÖHLÉN är civilingenjör inom elkraft från KTH och författare i Elkrafthandboken sedan första upplagan.

Han har 40 års internationell erfarenhet inom elkraftbranschen genom arbete för Vattenfall, ABB, Programma, Ripasso Energy och STRI. Under senare år har han för Energimyndigheten varit aktiv inom IEA/ISGAN samt som expert för EC DG-ENERGY i Bryssel.

Elkrafthandboken

Elkraftsystem 1

Redaktion: Karl Axel Jacobsson Stig Lidström Carl Öhlén Jacobsson Lidström Öhlén

STIG LIDSTRÖM är högskoleingenjör inom elkraft med lång erfarenhet från Vattenfall avseende driftledning, allmänna kontrollanläggningsfrågor, igångkörning, reläskyddsplanering, störningsanalyser och nätutredningar.

Han har även flera års erfarenhet från ABB GA Products, teknisk applikationssupport inom reläskydd för HV- och EHV-system, teknisk marknadsföring samt utbildning. Han är medlem i Cigré där han har medverkat i ett antal internationella arbetsgrupper.

Elkrafthandboken

Elkraftsystem 1

ELKRAFTHANDBOKEN är ett verk i tre delar som behandlar elproduktion, distribution, elanvändning, mätteknik och elmaskiner. Den är ett referensverk inom det elkrafttekniska området och ett lämpligt utbildningsmaterial på högskolenivå och annan högre teknisk utbildning.

Best.nr 47-11436-8 Tryck.nr 47-11436-8

9789147114368c1c.indd 1

24/05/16 1:39 PM