F U R N E S S
F U R N E S S
H A N D L E D N I N G A R
H A N D L E D N I N G A R
MATEMATIK I SKOLÅR 2 • HANDLEDNING AV ANTHONY FURNESS
Många lärare och pedagoger i förskolan och skolan vill planera sin egen matematikundervisning efter elevernas behov och kunna integrera delar av matematikarbetet med annat arbete. Genom att undersöka och experimentera lär sig barnen att formulera egna frågor och lösa egna problem. Barnen ska kunna se det meningsfulla i att räkna och mäta genom att göra det i ett praktiskt sammanhang. De ska också kunna njuta av det lekfulla och estetiska när de med enkla material skapar olika matematiska mönster. Furness handledningar ger möjlighet att växla mellan olika sätt att arbeta – ibland med ett fritt undersökande och ibland utifrån en mer eller mindre styrd uppgift. Furness handledningar ger struktur åt matematikarbetet och stöd till lärarens planering för klassen och klassens individer. De är alla utformade för att kunna användas även om klassen inte tidigare har arbetat med materialet. Följande komponenter ingår i Furness handledningar: • Matematik i förskoleklassen, handledning och kopieringsunderlag. • Matematik i skolår 1, handledning och kopieringsunderlag. • Matematik i skolår 2, handledning och kopieringsunderlag. • Matematik i skolår 3, handledning och kopieringsunderlag.
Matematik i skolår 2
Anthony Furness är författare till ett flertal böcker om matematik. Han har arbetat med utställningar och tv-program om matematik och var ledare för projekten Matematikverkstad och Matematik i förskolan och med sexåringar i Stockholm.
H AN D L E D N I N G AV AN TH O NY FU R NE S S
ISBN 91-40-65024-3
Innehåll Lista över projekten Lista över arbetsområden med tal Talmönster och matematiskt tänkande Om handledningen Perioder Projekt Arbete med tal Aktiviteter Arbetsbladen Material Barnens dokumentation Presentation av barnens arbete Kopieringshäftet Hur gick det? Bilderna i början av varje period
Period 1 Projekt: Mäta skogen Arbete med tal Räkneramsan 1–210 Addition och tallinjer Subtraktion Positionssystemet
Period 2 Projekt: Mäta i kilogram Arbete med tal Positionssystemet Tal i rektanglar 1–4 Addition
Period 3 Projekt: Affären Arbete med tal Räkneramsan 1–210 En första multiplikationstabell Grupper om lika många Bilda talföljder genom addition Tallinjen 1–200 Subtraktion
4 5 6 9 9 9 9 10 10 10 10 12 12 12 12 13 14 18 18 19 20 21 25 26 30 30 32 35 37 38 42 42 43 45 46 47 48
Period 4 Projekt: Cirklar och polygoner Arbete med tal Räkneramsan 1–600 Multiplikation Addition Positionssystemet Subtraktion
Period 5 Projekt: Skapa tredimensionella former Arbete med tal Additionstabellen Addition Subtraktion
Period 6 Projekt: Tid och klockan Arbete med tal Bilda talföljder genom subtraktion Positionssystemet Hundrarutan
Period 7 Projekt: Mäta händer och fötter Arbete med tal Räkneramsan 1–1200 Addition Subtraktion Bråk
Period 8 Projekt: Hur många/hur ofta? Arbete med tal Multiplikation Division – en introduktion Addition Subtraktion
Ordlista
49 50 55 55 56 59 60 60 61 62 68 68 71 73 75 76 81 81 82 84
87 88 90 90 91 93 94 97 98 104 104 105 106 107 108 3
Lista över projekten Period Projekt
Beskrivning
1
Mäta skogen
Undersöka, rita och mäta en skogsdunge. Mäta i meter och centiRita en karta. meter.
14
2
Mäta i kilogram
Arbete med hushållsvåg, skapa egna enkilos- Mäta i kilogram. vikter. Väga yngre barn med personvåg.
26
3
Affären
Ordna en affär, prissätta varor, handla, ta Arbeteta med pengar, betalt och ordna kvitto. räkna summor och rester, växla.
38
4
Cirklar och polygoner
Rita cirklar, trianglar, kvadrater, rektang- Cirklar, trianglar, kvalar och sexhörningar. drater, rektanglar och sexhörningar.
50
5
Skapa tredimensionella former
Bygga polyedrar som kub, rätblock, prisma, pyramid m m i papper utifrån mallar.
Bekanta sig med flera tredimensionella former.
62
6
Tid och klockan
Arbeta med heltimmar och minuter, sedan halvtimmar och kvartar. Ta tid på olika aktiviteter och händelser.
Avläsa klockan. Ta tid.
76
7
Mäta händer och fötter
Rita runt händer och fötter. Mäta längd, bredd och antalet rutor som de täcker.
Längd och bredd i centimeter. En introduktion till area.
88
8
Hur många/hur ofta?
Göra stapeldiagram över hur eleverna tar Stapeldiagram, addition och några tankar kring sig till skolan och förekomsten av olika sannolikhet. bokstäver i texter. Kasta två tärningar och sammanfatta resulten i stapeldiagram.
98
4
Matematiskt innehåll
sida
Lista över arbetsområden med tal Period Arbete med tal 1
2
3
Beskrivning
Räkneramsan 1–210
18
Addition och tallinjer
Kombinationer av två tal vars summa är 10, 12, 15 och 20 19
Subtraktion
Subtraktion från 10, 12, 15 och 20
20
Positionssystemet
En introduktion till ental och tiotal
21
Positionssystemet
Arbete med ental och tiotal
30
Tal i rektanglar 1–4
Udda och jämna tal. Talmönster
32
Addition
Addition av två tal där summan är under 100
35
Räkneramsan 1-210
42
En första multiplikationstabell
Visuellt sätt att framställa upprepad addition
43
Grupper om lika många
Introduktion till multiplikation
45
Bilda talföljder genom addition
4
5
6
7
8
sida
46
Tallinjen 1–200
Tärningsspel på tallinjen
47
Subtraktion
Subtraktion från tal under hundra utan tiotalsövergång
48
Räkneramsan 1–600
55
Multiplikation
Multiplikation som rektanglar och som upprepad addition
56
Addition
Leta efter par som blir 10
59
Positionssystemet
Bilda tresiffriga tal med laborativt material
60
Subtraktion
Subtraktion från tal under 100 utan tiotalsövergång
60
Additionstabellen
Göra och färglägga en tabell 15 + 15
68
Addition
Addition av två tal utan och med tiotalsövergång
71
Subtraktion
Från tal under 100 utan och med tiotalsövergång
73
Bilda talföljder genom subtraktion
81
Positionssystemet
Abakusbilder av två- och tresiffriga tal
82
Hundrarutan
Mönster med multiplikationstabellerna 2 till 10
84
Räkneramsan 1–1200
90
Addition
Addition av två tvåsiffriga tal utan tiotalsövergång
91
Subtraktion
Subtraktion av tvåsiffriga tal utan tiotalsövergång
93
Bråk
Praktiskt arbete med halvor, tredjdelar och fjärdelar
94
Multiplikation
Grupper om två till tio
104
Division
En introduktion
105
Addition
Addition av tresiffriga tal utan tiotalsövergång
106
Subtraktion
Subtraktion från tal under 1000 utan tiotalsövergång
107 5
Projekt
Mäta skogen Projektbeskrivning Ett skogsområde, en park eller en skogsdunge i närheten av skolan ger många möjligheter till undersökningar där matematik ingår. Undersökningarna kan kombineras med bild och språk. Projektet kan begränsas till några besök, då barnen mäter med måttband och mäthjul. Men det kan också utvidgas till ett omfattande arbete där barnen ritar eller målar av det de har sett i naturen, ritar kartor och skriver om skogen, parken osv.
14
PERIOD 1
Aktiviteter och material Aktivitet 1: första besöket; definiera och dela upp området; rita Material: ritunderlag, klämma, ritpapper och blyertspenna eller svart tuschpenna Aktivitet 2: mäta avståndet mellan träden i meter Material: 1 m långa snören eller 1 m mätstickor (se nedan) eller mäthjul; anteckningsblock eller ritunderlag och ritpapper Aktivitet 3: mäta enskilda träd Material: måttband, linjal Aktivitet 4: göra en karta över området Material: ritpapper i A3 eller större
Aktivitet 1 Vid det första besöket i skogen, parken eller liknande kan barnen observera hur det ser ut och fundera över hur omfattande arbetet ska vara. De börjar med att bestämma undersökningsområdet och sedan dela upp det, så att varje arbetsgrupp (förslagsvis 2–4 barn) har var sitt mindre område. Hur många träd har gruppen på sitt område? Finns det olika sorters träd? Hur många sorter? Barnen behöver inte identifiera träden, utan bara bli uppmärksammade på skillnader mellan träden.
PERIOD 1
Låt barnen också dela upp träden och buskarna efter höjd, t ex mycket höga, mellanhöga, höga som en vuxen, höga som ett barn. Vad finns det mer i området? Högt gräs? Blommor? Stenbumlingar? Stigar? Det finns många möjligheter till bildarbete under besöket. Genom att teckna — i blyerts eller svart tusch — kan barnen skärpa sina iakttagelser. De kan rita både helhetsbilder och detaljer från stenar eller träd.
Aktivitet 2 Knyt en ögla i var ända på några snören. Snörena ska vara 1 meter långa (inklusive öglorna). 1 meter långa mätstickor kan lätt tillverkas av 20 mm bred trälist. De behöver inte delas in i centimeter eller decimeter. Barnen får arbeta i grupper om förslagsvis 2–4 barn. Gruppens uppgift är att mäta avstånden i meter mellan träden i sitt område och att anteckna på ett enkelt sätt. Grupperna får kanske numrera sina träd eller ge dem namn och rita en enkel karta som visar träden och avstånden mellan dem.
15
Aktivitet 3
Aktivitet 4
Nu ska barnen göra detaljerade mätningar av träd. Mätningarna ska ske även i centimeter. Barnen behöver måttband och linjal. Först kan de mäta omkretsen på varje träd i sitt område. Sedan fortsätter de med att mäta längden av ett antal blad från varje träd. Resultaten kan skrivas i en liten tabell. På barrträd kan barnen mäta några barr men även längden på olika grenar och kottar.
Anteckningar från Aktivitet 1 och 2 kan användas till att göra en mer detaljerad karta. Jag föreslår att varje grupp gör en karta över sitt eget område. Kartan ska inte vara skalenlig. Barnen kan bestämma själva hur de ritar träd, buskar, stenar och gräs och sedan skriver in sina mätningar. De kanske behöver komplettera de första mätningarna. Hur lång är stigen? Hur långt är det mellan den stora stenen och buskarna och från buskarna till träd 1? Kartan kan även få en teckenförklaring.
16
PERIOD 1
PERIOD 1
17
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
Arbete med tal
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
Räkneramsan 1–210 Addition och tallinjer Subtraktion Positionssystemet
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210
Räkneramsan 1–210 Aktivitet 1 Förmodligen är de flesta av barnen i klassen mogna för att lära sig räkneramsan upp till 210. Några är redan säkra på den, några behöver träna och andra är fortfarande osäkra på räkneramsan under 100. Jag vill påminna om att ramsräkning inte ger någon djupare förståelse av tal, men det är en förberedelse och förutsättning för att kunna arbeta med tal. Räkneramsan kan övas korta stunder (några minuter) flera gånger i veckan. Arbetet kan anpassas till klassen eller gruppen genom att man väljer övningar med räkneramsan från period 3, 4 eller 7. Gör aktiviteterna med hjälp av tallinjen. Kopiera och klipp ut tallinjen 1–210 från kopieringshäftet (sid 41−54). Klistra upp den på ett bakgrundspapper i rader om tio tal i varje. Se till att det är ett mellanrum mellan raderna. 18
Peka på tiotalen och räkna tillsammans: 10, 20, 30 … till 210.
Aktivitet 2 Räkna tillsammans från 100 till 110. Räkna tillsammans från 100 till 120. Räkna tillsammans från 90 till 110.
Aktivitet 3 Peka på och räkna tillsammans talen från 90 till 110, från 95 till 115, från 98 till 118. Låt ett av barnen välja ett tal mellan 90 och 100. Läs talet tillsammans och fortsätt tills ni kommer till talet som står under.
Aktivitet 4 Peka på och räkna tillsammans 5, 10, 15, 20, 25 … upp till 210. PERIOD 1
10 10 10 10 10 10
= = = = =
8 6 9 4 6
+ + + + +
2 4 1 6 4
osv.
Addition och tallinjer Här presenteras några enkla additionsövningar som för de flesta är en upprepning av det de har gjort i skolår 1. En upprepning kan behövas i början av skolåret. Sedan eleverna hittat additionsexemplen kan de också presentera dem som streck mellan termerna på två parallella tallinjer. Detta arbete med tallinjer utvecklar inte förståelsen av additionsbegreppet. Det är mer ett sätt att inpränta det som man redan har upptäckt och en övning i att använda linjalen.
Aktiviteter och material Aktivitet 1: hitta kombinationer av två tal vars summa är 10 Material: räknehäfte eller lösblad, olinjerat papper, linjal
PERIOD 1
Aktivitet 2: hitta kombinationer av två tal vars summa är 12, 15 respektive 20 Material: som ovan
Aktivitet 1 Uppgiften är att hitta så många kombinationer som möjligt av två tal vars summa är 10. Eleverna kan arbeta i ett räknehäfte eller på lösa blad som sparas i en pärm. Additionsexemplen kan skrivas med summan till vänster:
10 = 8 + 2 När eleverna har hittat alla kombinationer kan de rita dem som streck mellan två tallinjer. Visa eleverna hur de ska rita två parallella streck med linjal. Strecken ska vara 10 cm långa. Varje centimeter markeras och numreras på ”utsidan” av strecken. Sedan drar man streck mellan de två tal vars summa är 10. 19
Projekt
Hur många/hur ofta? Projektbeskrivning Vilken bokstav är vanligast i texter? Vilken använder man minst? Hur många av barnen går till skolan och hur många åker bil eller buss? Om man kastar två tärningar och resultatet läggs ihop, vilken summa får man oftast? Många vardagliga beslut tas utifrån sannolikheten att någonting ska ske eller
98
inte ske. Projektet ska väcka tankar kring sannolikhet och ge några enkla verktyg för att ta reda på och visualisera resultaten av olika undersökningar. Både aktiviteterna och diskussionen kan hållas på en praktisk nivå. Barnen får tillfälle att öva addition och subtraktion och rita stapeldiagram.
PERIOD 8
Aktiviteter och material Aktivitet 1: göra ett stapeldiagram över hur eleverna tar sig till skolan Material: cm-rutat papper Aktivitet 2: kasta två tärningar Material: tärningar, 8 mm- eller cm-rutat papper (sidorna 73 respektive 74 i kopieringshäftet) Aktivitet 3: undersöka förekomsten av olika bokstäver i texter Material: 8 mm-rutat papper (sidan 73 i kopieringshäftet), en bok
Aktivitet 1 Stapeldiagram kan göras för att redovisa resultat av olika undersökningar. Aktivitet 1 gäller att ta reda på hur eleverna tar sig till skolan och rita ett stapeldiagram över resultatet. Barnen kan arbeta i par. Vilken/Vilka klasser ska undersökas? När är bästa tiden att fråga? (Kanske när eleverna står i lunchkön?) Barnen kan förebereda diagrammet genom att skriva upp färdsätten och sätta ett kryss för var och en vid det färdsätt som hon eller han använder. Efter undersökningen gör de ett stapeldiagram över den insamlade informationen. Samtal och uppslag Hur många elever har barnen intervjuat? Vilket färdsätt förekommer oftast? Hur många fler/färre cyklar än åker buss? Låt barnen skriva några rader om hur de har gått till väga och om sina resultat. Kan barnen undersöka något annat? De skulle kunna ta reda på hur lärarna tar sig till skolan. Andra undersökningar som lämpar sig för stapeldiagram är:
PERIOD 8
Hur många som har födelsedag i varje månad. Vilken tid barnen lägger sig på kvällen. Vad barnen gör på lördagar. Vilka husdjur barnen har.
99
100
PERIOD 8
Barnens kast med två tärningar.
Aktivitet 2
Möjliga kombinationer med två tärningar.
PERIOD 8
Om man kastar två tärningar och resultatet läggs ihop, vad kan det bli för summa? Vilken summa är den lägsta man kan få? Vilken är den högsta? Vilken är vanligast? Efter en kort diskussion kan eleverna pröva. De kastar och noterar summan varje gång. När de har prövat en stund kan man diskutera vilka summor de fått. Sedan börjar de undersökningen. De kan arbeta individuellt eller i par. De samlar sina resultat på rutat papper. Längst ner skriver de de summor som man kan få (2–12). Sedan kryssar de i rätt kolumn efter varje kast. Istället för kryss kan de skriva resultatet med siffror. Förslagsvis kastar de ca 150 gånger. 101
Samtal och uppslag Förmodligen speglar barnens resultat sannolikheten att få de olika summorna. Två och tolv förekommer minst och sju förekommer mest. Lyssna på barnens resonemang. För en del barn räcker det att kasta tärningarna och räkna ut summan. Andra är fullt kapabla att resonera kring resultaten. På hur många sätt kan man få två med två tärningar? På
102
hur många sätt kan man få sju? Flera av barnen kan göra ett diagram där de skriver in samtliga kombinationer med två tärningar. Låt barnen pröva sig fram. De får ha tärningarna framför sig när de tänker ut kombinationerna. När de är klara med sina diagram kan de jämföra dem och skriva några rader om vad de har gjort och vad de har kommit fram till.
PERIOD 8
Aktivitet 3 Vilka bokstäver är vanliga och vilka är sällsynta? Barnen får arbeta i par. De kan börja med att skriva alla bokstäver från A till Ö längst ner på ett liggande blad 8 mm-rutat papper. De väljer några rader ur en bok. Det ena barnet läser, bokstav för bokstav, medan det andra kryssar i rutorna ovanför bokstäverna.
PERIOD 8
Samtal och uppslag Var det några bokstäver som inte förekom alls på boksidan? Vilken bokstav var vanligast? Vilken var näst vanligast? Fick alla liknande resultat? Låt barnen skriva några rader om vad de har gjort och om sina resultat.
103
Arbete med tal
Multiplikation Division – en introduktion Addition Subtraktion Multiplikation Aktiviteter och material Aktivitet 1: grupper om två, tre och fyra Material: 8 mm-rutat papper Aktivitet 2: grupper om fem, sex och sju Material: som ovan Aktivitet 3: grupper om åtta, nio och tio Material: som ovan
Aktivitet 1 Uppgiften är att rita flera grupper om två i varje, tre i varje respektive fyra i varje och skriva det som multiplikation. Visa hur man ritar två prickar och ringar in dem för att bilda en grupp. Rita flera grupper om två prickar i varje. Påminn eleverna om hur man skriver det som multiplikation. Eleverna kan börja med att rita en grupp om två prickar och
104
PERIOD 8
fortsätta upp till fem grupper om två prickar i varje. Sedan ritar de grupper om tre prickar i varje – från en grupp upp till fem grupper. De arbetar sedan med grupper om fyra prickar i varje på samma sätt. När de är klara kan de fortsätta med att rita fler grupper om två, tre och fyra prickar i varje.
Aktivitet 2 Uppgiften är att rita grupper om fem, sex respektive sju i varje. Arbetssättet är detsamma som i Aktivitet 1.
Aktivitet 3 Uppgiften är att rita grupper om åtta, nio respektive tio i varje. Arbetssättet är detsamma som i Aktivitet 1.
Aktivitet och material Aktivitet: dela ett antal kuber eller knappar i grupper om lika många i varje grupp Material: 1 cm kuber, knappar eller liknande
Aktivitet Uppgiften är att dela ett antal likadana föremål i flera lika stora grupper. Jag föreslår att man börjar med ett antal som kan delas på flera sätt, t ex 12. Lägg tolv knappar i en hög. Be en elev att dela de tolv knapparna i grupper om lika många. ”Läs av” händelsen: 12 delat i 3 grupper, 4 i varje grupp. Låt en annan elev pröva. Läs av, t ex: 12 delat i 2 grupper, 6 i varje grupp. Eleverna får nu själva försöka hitta alla sätt att dela 12 i lika stora grupper och skriva ner sina resultat. De kan sedan fortsätta med andra antal. T ex är talen 15, 16, 18, 20 och 24 alla delbara på flera sätt.
Division – en introduktion Division och multiplikation hör intimt ihop. Man kan säga att det är samma operation men att den ena är omvänd i förhållande till den andra. Ett bra sätt att introducera division är att dela ett antal knappar eller kuber i flera lika stora grupper.
PERIOD 8
105
1.
2.
3 och 4.
430 + 310 = 740 hundratal
tiotal
ental
hundratal
tiotal
ental
hundratal
tiotal
ental
Addition Arbetsbladen 19 och 20 Sidorna 24 och 25 i kopieringshäftet Addition av tresiffriga tal utan tiotalsövergång Material: abakusunderlag (sidan 40 i kopieringshäftet) och 1 cm kuber Det är viktigt att eleverna använder laborativt material. Arbetsblad 19A bör vara enkelt för dem. Det som är nytt är användning av hundratalskolumnen. Påminn eleverna om hur värdet av en kub beror på vilken plats den har på abakusen. När de är färdiga med 19A kan man introducera 19B. Eleverna kommer inte att behöva växla men det underlättar med en tydlig arbetsgång: 1) Lägg det första talet med kuber på abakusunderlaget. 2) Lägg det andra talet under det första talet. 3) Lägg ihop tiotalen (det finns inga ental). 4) Lägg ihop hundratalen. 5) Räkna ut summan. Arbetssättet för arbetsblad 20 är detsamma, men i de flesta exemplen får man lägga ihop ental innan man fortsätter med tio- och hundratalen.
106
PERIOD 8
Subtraktion Arbetsblad 21 Sidan 26 i kopieringshäftet Subtraktion från tal under 1000 utan tiotalsövergång Material: abakusunderlag (sidan 40 i kopieringshäftet) och 1 cm kuber PERIOD 8
Det är viktigt att eleverna använder laborativt material. Gå igenom arbetssättet först. Lägg ett tal på ett abakusunderlag, eller be en elev lägga ett tal. Ta bort en kub från någon av kolumnerna. Hur mycket har tagits bort? Hur mycket är kvar? Gör flera sådana exempel innan eleverna börjar arbeta individuellt.
107
F U R N E S S
F U R N E S S
H A N D L E D N I N G A R
H A N D L E D N I N G A R
MATEMATIK I SKOLÅR 2 • HANDLEDNING AV ANTHONY FURNESS
Många lärare och pedagoger i förskolan och skolan vill planera sin egen matematikundervisning efter elevernas behov och kunna integrera delar av matematikarbetet med annat arbete. Genom att undersöka och experimentera lär sig barnen att formulera egna frågor och lösa egna problem. Barnen ska kunna se det meningsfulla i att räkna och mäta genom att göra det i ett praktiskt sammanhang. De ska också kunna njuta av det lekfulla och estetiska när de med enkla material skapar olika matematiska mönster. Furness handledningar ger möjlighet att växla mellan olika sätt att arbeta – ibland med ett fritt undersökande och ibland utifrån en mer eller mindre styrd uppgift. Furness handledningar ger struktur åt matematikarbetet och stöd till lärarens planering för klassen och klassens individer. De är alla utformade för att kunna användas även om klassen inte tidigare har arbetat med materialet. Följande komponenter ingår i Furness handledningar: • Matematik i förskoleklassen, handledning och kopieringsunderlag. • Matematik i skolår 1, handledning och kopieringsunderlag. • Matematik i skolår 2, handledning och kopieringsunderlag. • Matematik i skolår 3, handledning och kopieringsunderlag.
Matematik i skolår 2
Anthony Furness är författare till ett flertal böcker om matematik. Han har arbetat med utställningar och tv-program om matematik och var ledare för projekten Matematikverkstad och Matematik i förskolan och med sexåringar i Stockholm.
H AN D L E D N I N G AV AN TH O NY FU R NE S S
ISBN 91-40-65024-3