9789147051502

H

ur kan matematikundervisningen bli kreativ och varierad, och samtidigt ge eleverna tillräcklig förståelse för och träning

i matematikens grundläggande begrepp, konventioner och procedurer?

I denna bok vill författarna inspirera lärare och blivande lärare till att använda problemlösning som ett naturligt inslag i undervisningen, från förskola till högskola. Genom exempel från skolpraktiken och forskningsbaserade resonemang visar författarna hur lämpmål och samtidigt skapa variation och arbetsglädje.

Boken ger konkret vägledning i hur en lärare kan introducera ett problem, hur hon eller han kan låta eleverna arbeta med det, vilka matematiska idéer som kan tänkas dyka upp vid elevernas problemlösande och hur hon till slut ska kunna leda en sammanfattande diskussion så att alla elever får ut så mycket som möjligt av problemlösandet.

Boken ger också uppslag till variation av problemen, så att de kan anpassas till olika elevers skilda förutsättningar samt variation i former för bedömning av elevers kunnande.

Kerstin Hagland är universitetsadjunkt i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.

Rolf Hedrén var fil dr i pedagogik med inriktning mot matematikdidaktik, fil lic i matematik och biträdande professor emeritus i

Rika matematiska problem

ligt upplagd problemlösning kan vara ett sätt att nå kursplanernas

H A G L A N D H E D R É N TA F L I N

Rika matematiska problem – inspiration till variation

KE

RS

N TI

G HA

LA

ND

EV

RO

LF

HE

DR

A

TA

FL

IN

ÉN

Lib

er

matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.

Eva Taflin är fil dr i matematik med matematikdidaktisk inriktning och universitetsadjunkt i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.

Rika Best nr 47-05150-2

Tryck nr 47-05150-2-06

matematiska problem – inspiration till variation

NYOmslags Hagland.indd 1

2015-11-10 09:32

ISBN 978-91-47-05150-2 © 2005 Författarna och Liber förlagsredaktör: Björn Magnusson bildredaktör: Staffan Johansson montage och figurer: Björn Magnusson grafisk form: Birgitta Dahlkild teckningar: Anders Suneson, s. 85, 102, 111, 123, 136, 146, 160, ­ 173, 189, 196, 207, 219, 220 Första upplagan 7 Repro: Exakta Print, Malmö Tryck: People Printing, Kina 2016

kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www. bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

NYrika Problem 001-078.indd 2

15-11-10 09.46.31

Innehåll

Att arbeta med problemlösning – teoretiska utgångspunkter

DEL 1

7

Inledning 7 Varför problemlösning?

Skolkunskaper som framtidskunskaper Kursplaner och mål Teorier om lärande Forskning och utveckling Vad är problem?

Definitioner Kriterier för rika problem

13 13 14 17 19 27 27 28

Hur kan matematiska tankar uttryckas?

32

Vad har omvärlden med matematik att göra?

36

Hur kan man planera för elevers matematiklärande genom problemlösning?

39

Vilka matematiska mål kan eleverna nå genom att arbeta med ett problem?

Hur kan man anpassa ett problem så att det passar alla elever?

Hur kan man organisera arbetet?

Hur kan man bedöma elevers prestationer?

Varför ska lärare bedöma sina elever?

Om metakognition vid problemlösning Vad säger styrdokumenten?

I vilka situationer kan bedömning ske?

Slutdiskussion

Vad är viktigt i undervisning med problemlösning?

Så här vill vi alltså se problemlösning

NYrika Problem A .indd 3

39 53 58 67 67 67 68 70 75 75 78

09-03-02 14.40.39

DEL 2

Exempel på problem och deras användning 79

Översikt

79

Tornet

85 86 86 86 89

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av problemet Exempel på arbetssätt Kortfattade exempel på lösningar av problemet Tornet Exempel på elevlösningar med kommentarer Stenplattor

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av problemet Kortfattade exempel på lösningar av problemet Stenplattor Exempel på elevlösningar med kommentarer Bollbyte

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av uppgiften Kortfattade exempel på lösningar av problemet Bollbyte Exempel på elevlösningar med kommentarer Klippa gräs

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av uppgiften Kortfattade exempel på lösningar av problemet Klippa gräs Exempel på elevlösningar med kommentarer En hel och dess del

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassningar Kortfattade exempel på lösningar av problemet En hel och dess del Exempel på elevlösningar med kommentarer

NYrika Problem A .indd 4

91 94 102 103 103 103 105 109 111 112 112 112 115 120 123 124 124 124 126 131 136 137 137 137 139 144

09-03-02 14.40.39

Köpa böcker

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassningar Kortfattade exempel på lösningar av problemet Köpa böcker Exempel på elevlösningar med kommentarer Panta burkar

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av uppgiften Kortfattade exempel på lösningar av problemet Panta burkar Exempel på elevlösningar med kommentarer Tårtorna

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av problemet Kortfattade exempel på lösningar av problemet Tårtorna Exempel på elevlösningar med kommentarer Skolan

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av problemet Kortfattade exempel på lösningar av problemet Skolan Exempel på elevlösningar med kommentarer Tangram

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av problemet Kortfattade exempel på lösningar av problemet Tangram Exempel på elevlösningar med kommentarer Samlarbilder

Något om problemet Något om matematiken i problemet Exempel på anpassning av uppgiften

NYrika Problem A .indd 5

146 147 147 147 151 158 160 161 161 161 165 170 173 174 174 174 177 180 189 190 190 190 192 194 196 197 198 198 201 204 207 208 208 208

09-03-02 14.40.39

Kortfattade exempel på lösningar av problemet Samlarbilder Exempel på elevlösningar med kommentarer

NYrika Problem A .indd 6

210 214

Glassarna

219

Godisbitar

220

Författarpresentation

221

Samlad litteraturlista

222

Uppslagsord

227

Facit

229

09-03-02 14.40.39

DEL 1

Att arbeta med problemlösning – teoretiska utgångspunkter

Inledning

i vill ge alla lärare inspiration, enligt ordboken ett skapande tillstånd, som de behöver för att åstadkomma variation i undervisningen och få fram den arbetsglädje i klassen, som vi alla önskar oss, både elever, lärare, skolledare, föräldrar och beslutsfattare. Vi vill också skapa en nyfikenhet hos både lärare och elever, en nyfikenhet på vad olika problem kan leda till, en nyfikenhet på vilka olika lösningsmetoder som eleverna kan tänkas komma på och använda för att ta sig an problemet.

Vi tror att alla elever, ja faktiskt även lärare, behöver uppleva omväxling i undervisningen, ett varierande arbetssätt. Men det kanske inte alltid är så lätt för läraren att åstadkomma den här omväxlingen. Ett sätt skulle kunna vara att läraren låter sina elever lösa problem. Men det kan vara svårt för henne eller honom att hitta bra problem, som passar just den aktuella klassen. Det kan vara svårt att veta hur hon ska introducera problemet, hur hon ska låta eleverna arbeta med det, vilka matematiska idéer som kan tänkas dyka upp vid elevernas problemlösande och hur hon till slut ska kunna leda en sammanfattande diskussion så att alla elever får ut så mycket som möjligt av problemlösandet. Det är därför vi har skrivit den här boken.

Vi tror att lämpligt upplagd problemlösning kan vara ett sätt att få till stånd just variation och arbetsglädje. Boken betonar inte bara problemlösning som ett sätt att variera arbetssättet. Den ger också uppslag till variation av problemen genom utvidgningar eller anpassningar, variation i lösningsmetoder, variation i uttrycksformer, variation i det matematiska innehåll som problemet lyfter fram, och variation i former för bedömning av elevers kunnande.

V

Det är också viktigt att påpeka att problemlösningen i sig ger eleverna motivation och möjligheter att bygga upp och utvidga sina kunskaper i 7

NYrika Problem A .indd 7

09-03-02 14.40.39

matematik. Medan de arbetar med problemen ser de behov av kunskaper inom olika moment och får också tillfälle att öva sig i att välja bland och tillämpa sina redan uppbyggda kunskaper. Samtidigt får de nya och fördjupade insikter under samtalen med lärare och kamrater och genom att deras egna och andra elevers lösningar visas upp och diskuteras.

En önskan i dagens matematikundervisning, både ute i våra skolor och bland forskare i matematikens didaktik, är att se matematiken som ett kreativt ämne, som är levande och utvecklingsbart och som är en mänsklig konstruktion, snarare än att se ämnet som någonting för alltid fastlagt.

Man vill att elever ska återuppfinna matematiska kunskaper på motsvarande sätt som forskare i matematik uppfinner nyskapade teorier. Detta måste givetvis balanseras mot kravet på förmedling av begrepp, konventioner och procedurer, som även de ingår i det matematiska kulturarvet.

Vår nuvarande kursplan för matematik i grundskolan uttrycker detta mycket tydligt: För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar. (Skolverket 2000a.)

För gymnasieskolan finns en liknande formulering: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna … utvecklar sin förmåga att i projekt och gruppdiskussioner arbeta med sin begreppsbildning samt formulera och motivera olika metoder för problemlösning. (Skolverket 2000c.)

Vi ser att bägge kursplanerna lyfter fram arbete med problemlösning som en väsentlig, kreativ del av aktiviteterna på matematiklektionerna samtidigt som de visar på nödvändigheten av att eleverna skaffar sig goda kunskaper om matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta kommer med största sannolikhet att gälla även för kommande kursplaner.

Historiskt har utvecklingen för våra kursplaner gått från att räkna till att lära via problemlösning. Säkert kommer det även i framtiden vara så att matematikens kreativa sida kommer att ha större betydelse än rena beräkningar.

Vi vill i denna bok försöka att genom exempel från skolpraktiken visa hur kraven på att elever ges tillfälle att träna ett kreativt problemlösande 8

NYrika Problem A .indd 8

09-03-02 14.40.40

kan förenas med kraven på att de får möjlighet att träna och bygga upp kunskaper och färdigheter i ämnet som nämnts ovan.

En satsning på att låta elever i stor utsträckning lösa matematiska problem ger också lärarna en ökad möjlighet att sätta sig in i elevernas tankar och idéer och ge dem stöd och uppmuntran inom just de områden där de har största chansen att utveckla sina matematiska kunskaper.

Vi menar inte att all matematikundervisning ska bedrivas i form av problemlösning. Denna kan och bör dock vara ett regelbundet återkommande moment tillsammans med övriga inslag i en spännande matematikundervisning: projektarbeten, laborationer, experiment, undersökningar, spel, lekar osv. men också mer traditionella som lärarens genomgångar av nya moment och färdighetsträning på till exempel uppgifter i läromedel. Allt detta tillsammans ska leda till att eleverna får lust och motivation för ämnet och tillägnar sig de kunskaper och färdigheter som anges i mål att sträva mot och mål att uppnå för aktuella skolår eller kurser.

Boken har skrivits för en bred läsekrets. Vi vänder oss både till dem som i dag arbetar med elever och matematikundervisning och till dem som förbereder sig för sådan verksamhet i framtiden, liksom till skolledare och skolpolitiker. Vi tror också att anhöriga till elever i grundskolan och gymnasieskolan kan ha stor glädje och nytta av boken och dessutom inte minst eleverna själva. Vi ser det som en speciell fördel att boken kan användas i undervisningen under alla skolår i grundskola, gymnasieskola och högskola. Dels kan alla lärare känna att de har något att hämta ur boken, dels hjälper den till att skapa en röd tråd i matematikundervisningen genom skolåren.

Vi börjar med att tala om varför vi anser det så viktigt att föra in problemlösning i undervisningen. Det gör vi dels med utgångspunkt från tidigare och nuvarande kursplaner och dels från teorier om lärande. Vi tar sedan upp terminologi, som hänger samman med problem och problemlösning för att det ska vara helt klart vilken betydelse vi lägger in i olika uttryck. Vi ger också kriterier för vad vi ser som rika problem.

Genom att ta upp och noggrant diskutera problemet ”Glassarna” försöker vi visa på vilka stora möjligheter man som lärare har att föra in matematik i samband med problemlösning; matematik som kan ligga på många olika nivåer, alltifrån det barnen i en förskoleklass kan ta till sig, till den matematik som lärs ut på högskolenivå. Vi diskuterar utförligt sambandet mellan skolans och högskolans matematik samt den värld som vi lever och vistas i. Vi tar upp hur man på olika sätt kan se till att alla individer i just den grupp elever som man har framför sig kan få ett pro9

NYrika Problem A .indd 9

09-03-02 14.40.40

blem som passar just deras kunskaps- och erfarenhetsnivå. Vi diskuterar också olika sätt att arbeta på och hur man kan bedöma elevers förståelse och kunnande i samband med problemlösning.

Innan vi går in på elva speciella problem, som vi tycker passar för alla åldrar av elever och studerande, vill vi vidga perspektivet ytterligare genom att ta upp forskning kring problemlösning, både vår egen och andras.

Därefter följer problemen som är hämtade från olika matematiska områden. Vi går utförligt igenom ett i taget. Vi ger några exempel på hur elever har löst problemen och visar på vilka matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer som kan komma att upptäckas och tränas i samband med lösandet av respektive problem. Boken avslutas med en avrundande diskussion.

Boken behöver inte läsas från pärm till pärm. Det går alldeles utmärkt att till exempel dyka ned på något exempel och se vad det har att ge dig som lärare, blivande lärare, anhörig eller elev.

Vi vill åter poängtera att boken är skriven för att kunna användas av lärare för alla skolår. Vi vill också stryka under att den inte är en lärobok i problemlösning, som talar om hur läraren ska lära ut detta område. Det skulle ju vara en självmotsägelse; vid problemlösning är det eleverna som är aktiva och kreativa. Lärarens uppgift är bara att organisera den, samla upp elevernas tankar och förslag och utvidga och fördjupa den matematik som finns i dessa. Men det är ju egentligen inte så ”bara”. Det är just på detta område vi vill ge läraren inspiration att vilja och våga ta sig an denna spännande verksamhet.

L I T T E R AT U RT I P S

• • •

Skolverket (2000a). Grundskolan – Kursplaner och betygskriterier 2000.

Stockholm: Skolverket. ISBN: 91-38-31729-X. Skolverket (2000b). Grundskolan – Kommentarer till kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket. ISBN: 91-38-31730-3.

Skolverket (2000c). Skolverkets föreskrifter om kursplaner och betygskriterier för kurser i ämnet matematik i gymnasieskolan och inom gymnasial vuxenutbildning. SKOLFS 2000:5.

Dessa tre skrifter kan även hämtas hem från Skolverkets hemsida: http://www3.skolverket.se/ Detta är de kursplaner som gäller när boken skrivs. Jämför gärna tidigare och nu gällande kursplaner. Särskilt tycker vi att bedömningskriterierna ger tydliga anvisningar om hur undervisningen kan ske. Alla elever ska ju i princip ha möjligheter att nå högsta betygsnivån och i

10

NYrika Problem A .indd 10

09-03-02 14.40.40

kriterierna för mycket väl godkänd kan man hitta bra exempel på vilket innehåll som då bör återfinnas i undervisningen.

•

Lindqvist, U. m.fl. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik.

Rapport nr 221. Stockholm: Skolverket. ISSN: 1103-2421.

Denna rapport kan även hämtas hem från Skolverkets hemsida: http://www2.skolverket.se/BASIS/skolbok/webtext/trycksak/DDD/1148.pdf Skolverket gjorde år 2001 och 2002 en nationell utvärdering av matematikundervisningen. Man kom då fram till att undervisningen var ganska lika i alla de undersökta kommunerna. Den var överlag i hög grad läroboksstyrd med liten variation. Skolverket föreslog bland annat en mer varierad undervisning, mer aktivt lärande och mindre fokusering på läroboken. Gemensamma samtal som utvecklar begreppsförståelse och matematiskt tänkande och som kan knyta matematiken till verkligheten ansåg man vara väsentliga för att öka elevernas lust att läsa matte.

•

Skolverket (2002). Kunskapsöversikt och bibliografi i matematik.

Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning.

Denna skrift kan hämtas hem från NCM:s hemsida: http://ncm.gu.se/index.php?name=litteratur-ncm-ovriga-publikationer.

Den har senare givits ut i bokform, i en något omarbetad version:

•

Myndigheten för skolutveckling (2003). Baskunnande i matematik.

Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. ISBN: 91-85128-08-2.

ISSN: 1651-9787.

NCM har på uppdrag av Skolverket tagit fram en kunskapsöversikt och bibliografi kring baskunnande i matematik. Det primära syftet var att skriften skulle ligga till grund för interna diskussioner och kompetensutveckling för personalen på Skolverket, men det är också tänkt att skriften ska stödja lärare och skolor att utveckla undervisningen i matematik och att den ska ge impulser till samtal om matematikämnets betydelse i dagens och morgondagens samhälle. Skriften består av fyra delar: 1. Vad menas med baskunnande i matematik?

2. Synen på baskunnande i ett tidsperspektiv.

3. Bedömning och betygssättning.

4. Bibliografi – baskunnande i matematik.

Del 4 är en omfattande samling exempel på aktuell och användbar litteratur med fokus på baskunnande i matematik, för förskola, grundskola, gymnasieskola och vuxenutbildning.

11

NYrika Problem A .indd 11

09-03-02 14.40.40

•

NCM (2001). Hög tid för matematik. NCM-rapport 2001:1. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning. ISSN: 1650-335X. Denna skrift kan hämtas hem från NCM:s hemsida: http://ncm.gu.se/index.php?name=litteratur-ncm-rapport_ht_pdf Här redovisas ett uppdrag som NCM fått av regeringen och skriften innehåller förslag till kompetensutvecklingsprogram för lärare i matematik. Som bakgrund till förslaget ges en analyserande lägesbeskrivning av svensk matematikutbildning. Rapporten avslutas med en vision som beskriver möjliga kvalitativa resultat av de föreslagna insatserna. Rapporten är i sig en sammanfattning av en mängd delrapporter, som kan läsas var för sig. Namn på samt sammanfattningar av dessa återfinns på ovanstående hemsida.

12

NYrika Problem A .indd 12

09-03-02 14.40.40

Varför problemlösning?

Skolkunskaper som framtidskunskaper enom att arbeta med problem kan eleverna utveckla sin förmåga att tänka såväl kreativt och självständigt som logiskt, systematiskt och strukturerat. Utmaningen att lösa problemen kan även i sig öka elevers lust att arbeta med matematik och motivera dem att lära sig mer. Elever, som löst problem där lösningsstrategin inte varit uppenbar, har berättat för oss att de fått lyckliga aha-upplevelser när de hittat en egen väg mot lösningen och att arbetet med problemet stärkt deras självförtroende och ökat tron på deras förmåga. Eleverna har också framhållit att det varit viktigt för dem att få ta del av och resonera om andras lösningar på samma problem. Ett av målen med att elever löser problem på matematiklektioner är naturligtvis också att de ska förbereda sig för att lösa matematiska problem i sitt framtida vardags- och yrkesliv. Via undervisning i problemlösning kan de få möjligheter att samla på sig en mängd lösningsstrategier, som de kan ta till i olika situationer senare i livet.

Till detta kommer dessutom förstås att eleverna under problemlösningslektioner, likaväl som i annan matematikundervisning, kan träna sina färdigheter och sitt symbolspråk samt bygga upp sin begreppsförståelse inom många olika matematiska områden.

Det är intressant att i detta sammanhang titta på hur diskussionen om problemlösningens roll förändrades i våra kursplaner för grundskolan under senare hälften av 1900-talet. Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz tar upp detta i sin rapport Problemlösning som metafor och praktik (2000) genom att använda sig av prepositionerna för, om och genom. Med undervisning för problemlösning menar de, att om eleven bara behärskade de nödvändigaste matematiska verktygen i form av tekniker, så var det tillräckligt för att eleven skulle kunna lösa problem eller uppgifter, som formuleringen oftast var. I Lgr 69 och tidigare läroplaner sågs alltså problemlösning som målet för övrigt lärande i matematik.

G

13

NYrika Problem A .indd 13

09-03-02 14.40.41

I nästa läroplan, Lgr 80, blev problemlösning ett eget huvudmoment.

Lärarna skulle undervisa om problemlösning och målet var att eleverna på egen hand sedan skulle klara av att hitta en lämplig lösningsstrategi.

Lärarna kunde till exempel undervisa om Polyas modell för problemlösning (Polya 1957). Denna modell beskriver fyra faser: att förstå problemet, att lägga upp en plan, att genomföra planen och att titta tillbaka och värdera lösningen. Eleverna kunde också få lära sig en mängd strategier som de skulle använda som verktyg för problemlösning, till exempel att gissa och pröva, rita en bild, göra en tabell eller ställa upp en ekvation.

I den nu gällande kursplanen från år 2000 ser man på problemlösning mer som ett medel att få eleverna att tänka matematiskt och därigenom utveckla sina kunskaper i ämnet. Lärarna ska undervisa i matematik genom problemlösning. Detta förutsätter bland annat att läraren har förmåga att välja ut och använda sig av problem som på bästa sätt kan få eleverna att befästa och fördjupa sina kunskaper eller upptäcka nya begrepp och samband. Man tänker sig även att rutinfärdigheter tränas under arbetet med problemen.

Kursplaner och mål Vi kommer nu att ge en översikt över vad som står att läsa om problemlösning i nu aktuella kursplaner för grundskolan och gymnasieskolan.

Dessa kommer säkert att skrivas om i framtiden. Om vi emellertid tar hänsyn till den historiska utvecklingen som skisserats ovan är det stor sannolikhet för att problemlösningen även fortsättningsvis kommer att ha en framträdande roll i våra kursplaner, en roll som kommer att uttryckas på likartat sätt.

Grundskolans kursplan för matematikämnet framhåller att problemlösning alltid har haft en central plats i ämnet. Den säger även att utbildningen i ämnet ”skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem” (Skolverket 2000a).

Kursplanen betonar alltså inte bara att det är viktigt med problemlösning i matematikundervisningen utan också att elever genom att arbeta med lämpligt valda problem ska få möjlighet att känna sig nöjda och glada. Många problem kan säkert också bidra till att eleverna upptäcker skönheten i matematiska mönster, former och samband.

14

NYrika Problem A .indd 14

09-03-02 14.40.41

Att kursplanen uttrycker en avsikt att eleven ska bli intresserad för ämnet torde vara ganska självklart. Men kursplanen framhåller dessutom att skolan ska sträva efter att eleven utvecklar ”tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer” (Skolverket 2000a). Det är vår uppfattning att en sådan tilltro kan utvecklas vid lösande av väl valda problem.

Problemlösning kommer än tydligare in i följande två mål att sträva mot: Skolan skall i sin undervisning matematik sträva efter att eleven – utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, – utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen (Skolverket 2000a).

Båda dessa mål talar tydligt för en undervisning där problemlösning i större och mindre grupper är en viktig ingrediens. Här läggs också enligt vår tolkning vikt vid en skriftlig redovisning av lösningen och en av läraren ledd diskussion i klassen, där olika grupper inte bara redovisar sina lösningar utan även argumenterar för dem samt värderar andra gruppers.

Ett viktigt påpekande i kursplanen är ”en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer” (Skolverket 2000a). Denna balans ska enligt kursplanen skapas för alla elever, ”såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar” (Skolverket 2000a). Det sägs alltså klart ut att problemlösning inte bara är till för elever som snabbt räknat uppgifterna i läroboken, utan även för elever som arbetar långsammare eller som av någon anledning har svårigheter med matematiken.

Gymnasieskolans kursplan tar också upp problemlösning som ett viktigt moment i utbildningen. Eleverna ska få tillfälle att utveckla sin kreativitet och problemlösningsförmåga och få uppleva matematikens estetiska värden och dess logiska uppbyggnad.

15

NYrika Problem A .indd 15

09-03-02 14.40.41

Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna ska kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.

Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik.

(Skolverket 2000c.)

Kursplanen fortsätter sedan i samma anda som grundskolans med att betona vikten av att eleverna stärker förmågan att tolka ett problem, finna en matematisk modell för det och hitta en metod att lösa det. De ska också bli bättre på att lösa problem både på egen hand och i samverkan med andra, att tolka och värdera lösningarna samt att redovisa sina egna tankegångar och sätta sig in i andras. Ännu starkare än grundskolans kursplan framhåller gymnasieskolans att elevernas begreppsbildning kan gynnas av gruppdiskussioner och projektarbeten. Den talar också om att ”problemlösning är en process som kräver tid” (Skolverket 2000c) och att den ”skall kunna utvecklas i en grupp men även genom att individer reflekterar över sin egen kunskap och inlärning” (Skolverket 2000c).

Slutligen vill vi framhålla att kursplanen betonar att matematiken inte är ett ”opersonligt färdigt ämne som är uppbyggt av fasta regler som endast skall läras utantill” (Skolverket 2000c). Vi menar att eleverna just genom att arbeta med väl valda problem får uppleva den spännande känslan av att vara skapande matematiker, som (åter)uppfinner matematiska idéer, mönster och samband.

Vilket ska då målet för matematikundervisningen vara? Svaret på denna fråga kan vi också hitta i kursplanerna för grund- och gymnasieskolan.

Det intressanta är att det finns två slag av mål, mål att sträva mot (strävansmål) och mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av femte eller nionde skolåret i grundskolan eller efter avslutad kurs i gymnasieskolan (uppnåendemål). Några av strävansmålen har citerats ovan.

Vi vill framhålla att strävansmålen är minst lika viktiga som uppnåendemålen. De senare anger ju i och för sig vart eleverna ska nå, och det känns givetvis viktigt för en lärare att se till att eleverna klarar av att göra det. Men hon/han kan ju för den skull inte glömma vägen dit, som enligt kursplanens intentioner går via strävansmålen. För att över huvud taget 16

NYrika Problem A .indd 16

09-03-02 14.40.41

kunna bygga upp sina matematiska kunskaper är det ju till exempel nödvändigt att ”eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik” (Skolverket 2000a) respektive ”utvecklar sin tilltro den egna förmågan att lära sig mera matematik, att tänka matematiskt” (Skolverket 2000c). Detta gäller inte minst de elever som av någon anledning har svårigheter med ämnet.

Det kan ju till och med vara så att svårigheterna beror på att man alltför mycket har betonat uppnåendemålen och försummat strävansmålen.

Kanske har man för mycket koncentrerat sig på undervisning och för litet ägnat sig åt att söka skapa intresse för matematik och att hjälpa eleverna att bygga upp sitt självförtroende i ämnet. Återigen är det vår uppfattning att de tillfällen, då man som lärare låter eleverna arbeta med problemlösning, kan skapa stora möjligheter för dem att utvecklas mot strävansmålen och därigenom även klara uppnåendemålen.

Teorier om lärande Under vår egen verksamhet som lärare i grundskola, gymnasieskola och högskola har vi varit i kontakt med många teorier om hur matematiklärande går till och vi har även sett hur dessa teorier påverkat kursplaner, läromedel och klassrumssituationer. Vi tror att det är viktigt att man då och då granskar sin egen utveckling och funderar över vilken syn man själv egentligen har på sambanden mellan elevens lärande, lärarens roll och det omgivande samhället.

I anslutning till vår egen forskning och i arbetet med den här boken vill vi närmast anknyta till socialkonstruktivism, som vi framför allt tolkar på följande sätt.

Eleven är aktiv

Eleven bygger själv upp sin egen kunskap när hon bearbetar de sinnesintryck som hon får från sin omgivning. När hon konstruerar denna kunskap spelar hennes tidigare erfarenheter och kunskaper en stor roll.

Hon försöker så långt det går att få den nya kunskapen att passa in i den erfarenhets- och kunskapssfär som hon redan skaffat sig. Det betyder också att varje elev i en grupp, som utsätts för identiska intryck, bygger upp sin unika, personliga och subjektiva kunskap. En lärare kan i viss mening inte lära sina elever någonting, men hon kan skapa goda miljöer 17

NYrika Problem A .indd 17

09-03-02 14.40.41

för lärande åt sina elever. Som vi senare ska visa är detta en nog så betydelsefull uppgift.

Eleven konstruerar sin kunskap tillsammans med andra

Vid elevens byggande av kunskap spelar studiekamrater en stor roll. När elever, som har liknande erfarenheter och kunskaper, tillsammans diskuterar ett problems lösning eller betydelsen av ett matematiskt begrepp, när de värderar och kritiserar varandras lösningar och tolkningar, då ges alla de deltagande personerna stora möjligheter att bygga på och fördjupa sina tidigare erhållna kunskaper. Man kan uttrycka det så att eleverna förhandlar kring insikter och vetande med varandra. Vi anser det viktigt att påpeka att det för eleverna ligger närmare till hands att värdera och kritisera kamraternas påståenden än lärarens. Kamraterna är inte några auktoriteter på samma sätt som läraren är. Med kamraterna har eleven ett gemensamt språk och är nära sitt eget lärande.

Det här sagda hindrar naturligtvis inte att läraren eller andra kunniga personer kan spela en stor roll vid elevens byggande av kunskap. Genom att ställa enkla men relevanta frågor, genom att visa på hur elevens tankegångar enkelt kan utvidgas och fördjupas kan de vara ett gott stöd vid elevens lärande.

Elevens närmaste utvecklingszon

En viktig aspekt är de tankegångar som vi hämtat från Vygotsky (1978).

Den närmaste utvecklingszonen brukar definieras som det kunskapsområde, där en elev inte kan klara en uppgift på egen hand men kan göra det med endast litet stöd och hjälp från en kunnigare person. Chansen att en elev ska vilja erövra ny kunskap är mycket större om kunskapen finns just i elevens närmaste utvecklingszon.

Kognitiv konflikt

Vi menar också att en elev många gånger har lättare att reflektera och på så sätt bygga upp sin kunskap när hon utsätts för en så kallad kognitiv konflikt, det vill säga när hennes uppfattningar inte stämmer med andra elevers eller med andra redovisade fakta och slutsatser. En lärare som arbetar efter dessa idéer låter eleverna själva upptäcka när de är ute på villospår, och använder deras eventuella misstag och felaktigheter för att på ett positivt sätt hjälpa dem att komma framåt i sitt lärande.

Vi vill slutligen sammanfatta lärarens roll, som vi uppfattar den.

18

NYrika Problem A .indd 18

09-03-02 14.40.42

Lärarens roll

Den bör vara att • ordna en miljö för lärande • förvissa sig om att eleverna har de redskap de behöver för att ha en rimlig chans att lyckas med att lösa en uppgift eller ett problem • gå in med vägledning och stöd utifrån elevens eller gruppens tankar och idéer • söka reda på de idéer och tankegångar hos enskilda elever och/eller elevgrupper, som kan vara värdefulla att föra fram i en gemensam diskussion • leda diskussioner i klassen så att elevernas fruktbärande idéer uppmuntras och utvecklas • bedöma vad eleven kan snarare än vad hon inte kan • förmedla engagemang för matematikämnet och vara en god förebild • vara bärare av det matematiska språket och av matematik som ett kulturarv.

Forskning och utveckling Forskning inom området

Det finns en omfattande forskning inom området problemlösning och det finns inte utrymme att beskriva den i detalj här. Vi kommer därför att begränsa oss till tre områden: problemlösningens faser, tänkbara strategier vid problemlösning och de kompetenser som är nödvändiga hos en problemlösare.

Polya (1957), som vi nämnt tidigare, är en forskare som undersökt och skrivit mycket om problemlösning. Han visar bland annat hur elevernas arbete med ett problem kan delas upp i fyra successiva faser: • att förstå problemet • att göra upp en plan • att genomföra planen • att se tillbaka och kontrollera resultatet.

Den kanske allra viktigaste fasen, men en som ofta glöms eller slarvas bort, inträffar, som vi tolkar Polya, efter det att man tror sig kommit fram till en lösning – att se tillbaka och kontrollera resultatet. Några frågor man kan ställa sig är: Stämmer lösningen verkligen med de förutsättningar, som ges i problemet? Finns det något annat, kanske enklare sätt att lösa problemet 19

NYrika Problem A .indd 19

09-03-02 14.40.42

på? Kan jag kontrollera mitt resultat genom att lösa problemet på ett annorlunda sätt? Har jag upptäckt några spännande matematiska samband, som jag kan ha nytta av i andra sammanhang? Vi tror att det är viktigt att läraren hjälper eleverna att ställa sig dessa frågor.

En annan forskare, Lester (1996), har beskrivit en mängd strategier som eleverna tar till när de gör upp och genomför problemlösningsplanen: • välja en eller flera operationer att arbeta med • rita bilder • söka mönster • arbeta baklänges • göra en lista • skriva upp en ekvation • dramatisera situationen • göra en tabell eller ett diagram • gissa och pröva • lösa ett enklare problem • använda laborativa material eller modeller.

Vi tror inte att man som lärare direkt ska undervisa om dessa strategier.

Enligt Schoenfelds forskning (1992) vinner man ingenting på att försöka att direkt lära ut en mängd strategier till eleverna. Däremot kan och bör de uppmärksammas och klargöras i samband med problemlösningsprocessen, till exempel när eleverna redovisar sina lösningar i storgrupp.

Det är alltid intressant att jämföra olika strategier som fört olika elever eller elevgrupper till resultat. De kanske ser olika ut men i grunden visar sig vara desamma. Vi kommer att bland ”Exempel på problem” visa hur ett och samma problem kan lösas med ett flertal skilda strategier.

Vi vill också påpeka att många av dessa strategier överlappar och stöder varandra. Så till exempel kan en elev som först väljer strategin ”rita bilder” senare byta till strategin ”göra en tabell” som i sin tur kan leda eleven vidare till strategin ”söka mönster”. Att dramatisera eller lösa ett enklare problem kan vara ett sätt att komma på en mer generell strategi.

Vad behöver då en elev kunna för att lösa problem? Schoenfeld (1983) har tagit upp fyra kompetenser, som han anser vara nödvändiga: • resurser • heuristik • kontroll • föreställning/tilltro.

20

NYrika Problem A .indd 20

09-03-02 14.40.42

Resurser är de kunskaper inom ett bestämt matematiskt område (till exempel om olika begrepp och algoritmer) som eleven behöver kunna för att lösa ett visst problem. Hit räknas också elevens matematiska intuition, det vill säga elevens känsla för vad som kan gälla.

Heuristik betyder att eleven känner till och kan använda en eller flera metoder och strategier för att angripa och lösa problemet. Ordet heuristik är släkt med det kända utropet heureka! (jag har funnit det!) som Archimedes lär ha utropat när han i badet kom på en metod att hjälpa sin kung att avslöja en guldsmeds fusk.

Kontroll innebär att eleven är medveten om och har ordning på vad han håller på med när han löser problemet. Det handlar också om att eleven har förmåga att fundera över sitt eget tänkande.

Föreställning/tilltro handlar om elevens uppfattning om vad matematik är och hennes förväntningar på sig själv som matematiker. Denna kompetens formar det sammanhang inom vilket både resurser, heuristik och kontroll rör sig.

En svensk forskare som ägnat sig mycket åt problemlösning är Wyndhamn (Wyndhamn, Riesbeck & Schoulz 2000). Han har främst undersökt hur olika yttre sammanhang påverkar elevernas förmåga att lösa ett givet problem. Han har till exempel jämfört lösningsfrekvenser när ett problem presenteras ensamt, respektive tillsammans med andra problem som kan lösas på liknande sätt.

Wyndhamns mest berömda problem torde vara det så kallade portoproblemet som lyder: Vad kostar det att sända ett 120 grams brev? Följande portotabell ges: Maximal vikt

Porto

i gram

i kronor

20

2,10

100

4,00

250

7,50

Problemet gavs dels på en lektion i matematik, dels på en lektion i samhällskunskap. Det visade sig i denna studie att eleverna gjorde fler korrekta lösningar på samhällskunskapslektionen än på matematiklektionen.

Wyndhamn förklarar resultatet med att eleverna på en lektion i matema21

NYrika Problem A .indd 21

09-03-02 14.40.42

tik var inställda på att kunna räkna sig fram till resultatet, medan det var mer naturligt för dem att gå in och göra en avläsning i tabellen på en lektion i samhällskunskap.

Forskning som handlar om lärares agerande och elevers lärande i matematik i samband med problemlösning

Så tidigt som 1983 skrev några forskare (Lesh, Landau & Hamilton) att problemlösning och tillämpningar i matematik inte kommer att användas i skolan, om inte lärare och andra praktiker blir övertygade om att dessa spelar en viktig roll, när det gäller att eleverna förvärvar grundläggande matematiska idéer.

Som vi såg i föregående avsnitt har de tankar och idéer som forskare fört fram i huvudsak rört sig kring hur elever löser problem och vilka strategier som kan förekomma. Det är däremot inte så många forskare som sysslat med att undersöka hur läraren via problemlösning kan hjälpa eleverna att bygga upp matematiska kunskaper. Ett undantag är Jaworski (1994). Hon intresserar sig för lärarens roll när elever löser problem. Hon tänker att lärarens agerande under problemlösningen kan delas in i tre delar, som hon kallar undervisningstriaden: • organiserande av lärandet, • känslighet för eleverna, • matematisk utmaning.

Organiserande av lärandet innebär att läraren skapar goda förhållanden i klassrummet genom sin utformning av aktiviteter, sin attityd till arbetet med eleverna och sina förväntningar på andan i klassrummet.

Känslighet för eleverna handlar om att läraren känner till enskilda elevers behov och vilka inlärningssätt de föredrar.

Matematisk utmaning slutligen innebär att läraren ger eleverna matematiska utmaningar, som passar just dessa elevers matematiska utveckling och tänkande.

Denna undervisningstriad har hon använt för att analysera lärares agerande under ett flertal problemlösningstillfällen.

Vi har själva arbetat med ett forskningsprojekt, som vi kallar ”Rika problem i matematikundervisningen”. Det går ut på att undersöka hur lärare arbetar med problemlösning, vad elever kan lära sig genom att syssla med problemlösning och hur de själva ser på detta arbete. I studien har undervisningen i ett antal klasser studerats under skolåren 7–9. Under 22

NYrika Problem A .indd 22

09-03-02 14.40.43

denna tid har eleverna arbetat med tio problem, som vi ansett vara rika (se avsnittet Kriterier för rika problem längre fram i boken). Vi har under denna tid kunnat studera hur lärarens agerande påverkat elevernas möjligheter att förstå och befästa matematiska procedurer, begrepp och konventioner och i vilka situationer det funnits goda förutsättningar för lärande. Vår forskning bygger på Jaworskis ovan beskrivna triad, men vi försöker att än mer detaljerat beskriva hur lärarens handlande kan vara ett stöd för eleverna och även i några fall ett hinder för dem i deras matematiklärande.

Forskning kring elevers skapande av egna problem

Matematiker sysslar i allmänhet med problem som de själva har formulerat, baserade på deras egna erfarenheter och intressen. De uppstår ofta vid försök att generalisera ett redan känt resultat eller också uppkommer de som troliga gissningar eller arbetshypoteser. Mycket ofta uppstår de som underproblem vid matematikernas försök att lösa större och mer komplicerade problem.

Silver (1993) har undersökt hur elever i olika åldrar på motsvarande sätt kan dra nytta av att skapa och lösa sina egna problem. Han menar att det inte endast är högpresterande eller speciellt kreativa elever i matematik som kan skapa sina egna problem. Det är en aktivitet som alla elever kan ha nytta av och det borde vara ett framträdande drag i all undervisning som bygger på ett undersökande arbetssätt.

Silver menar att skapande av egna problem kan hjälpa eleverna att bli bättre problemlösare och samtidigt stimulera deras intresse för matematik. Genom att studera de problem som eleverna skapat kan läraren också få en uppfattning om sina elevers förståelse för matematiska idéer.

Problemen kan också ge en bild av elevernas attityder och inställning till matematikämnet. Samtidigt har eleverna möjligheter att skapa problem, som bättre anknyter till deras egna intressen och matematiska insikter än vad de av läraren eller läroboken givna problemen gör.

Skapande av nya problem kan äga rum både före, under och efter det att man sysslar med ett annat problem, likaväl som det kan vara en egen fristående aktivitet. Efter det att eleverna löst ett problem, kan de till exempel ställa sig frågor som ”Vad händer om …?”, ”Vad händer om inte …?”.

I vår egen forskning har vi valt att låta eleverna finna på ett nytt problem, som bygger på samma matematiska idéer som det de har löst. Vi anser som ovan nämnts att lärarna på så sätt kan få en uppfattning om ifall eleverna uppfattat de matematiska idéer som det givna problemet bygger på.

23

NYrika Problem A .indd 23

09-03-02 14.40.43

L I T T E R AT U RT I P S

•

Ahlberg, A. (1995). Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur.

ISBN: 91-44-38431-9.

Denna bok är en sammanfattning av och fortsättning på författarens avhandling Att möta matematiska problem – en belysning av barns lärande från 1991. Syftet med boken är att ge en konkret bild av hur yngre elever uppfattar problem i matematiken, hur de räknar och löser problem i matematik. Utifrån det ger författaren förslag på utveckling av undervisningen. Boken inleds med en genomgång av forskning kring matematiklärande och konsekvenser för undervisningen.

•

Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur. ISBN: 91-44-02217-4.

Kapitel 7 i denna bok heter Problemlösning. Här ger författarna sin syn på problemlösning i skolan och hur elever kan lära sig lösa problem. De behandlar både vardagsproblem av olika slag, konstruerade problem och problem för nöjes skull.

•

Wyndhamn, J., Riesbeck, E. & Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och praktik. Linköping: Linköpings Universitet.

Rapporten innehåller bland annat en grundlig teoretisk genomgång av matematisk problemlösning i skolan och den beskriver hur problemlösning i kursplanerna har förändrats. Författarna redovisar ett flertal studier av hur elever, lärare och lärarstuderande uppfattar, arbetar med och samtalar om problemlösning.

•

Silver, E. A. & Smith, M. S. (2001). Samtalsmiljöer. Nämnaren årg. 28, nr 4, 11–15.

Kommunikation är en väsentlig del i klassrumsmiljön. Författarna diskuterar utifrån detta reformsträvanden i USA och hur dessa förverkligas i praktiken. Problemlösning med diskussion och argumentation kring olika lösningsförslag uppmärksammas som en väsentlig beståndsdel i en matematisk samtalsmiljö. I denna första del presenteras en klassrumsvision och ett konkret exempel från en klassrumsmiljö.

•

Silver, E. A. & Smith, M. S. (2002). Samtalsmiljöer 2. Att få elever att samtala om matematik. Nämnaren årg. 29, nr 1, 49–52.

I denna andra artikel om samtalsmiljöer ger författarna exempel på de möjligheter och svårigheter som lärare möter då de ska förverkliga idén om samtalsmiljön i klassrummet.

24

NYrika Problem A .indd 24

09-03-02 14.40.43

•

Silver, E. A. & Smith, M. S. (2002). Samtalsmiljöer: Berikande problem.

Nämnaren årg. 29, nr 2, 39–43.

I denna tredje artikel ges exempel på möjligheter och svårigheter då berikande problem används i undervisningen.

•

Silver, E. A. & Smith, M. S. (2002). Samtalsmiljöer 4. Att leda och stödja samtal. Nämnaren årg. 29, nr 3, 34–40.

I denna fjärde och avslutande artikel ges exempel på hur lärare aktivt kan stödja och leda samtal i klassrummet så att det får ett djupare matematiskt innehåll.

•

Jaworski, B. (1992). Can all pupils be mathematicians? Nämnaren årg. 19, nr 2, 31–39.

Artikeln visar betydelsen av att eleverna får utvecklas i en matematisk miljö. Exempel ges på aktiviteter för att illustrera det matematiska tänkandets natur, hur det uppstår och hur det kan stimuleras och stödjas i klassrummet.

•

Lester, F. (1988). Teaching mathematical problem solving. Nämnaren årg. 15, nr 3, 32–43.

Författaren beskriver problemlösning ur olika perspektiv. Han menar också att man ska komma ihåg att barn är naturliga problemlösare och att lärare bör försöka hjälpa dem att utveckla denna sin naturliga förmåga.

Han diskuterar vilka faktorer som ligger bakom problemlösningsförmågan samt hur en framgångsrik undervisning om och i problemlösning kan se ut.

•

De två sistnämnda artiklarna återfinns i bearbetad svensk översättning i kapitel 3 ”Problemlösning” i nedanstående bok: Emanuelsson, G. m.fl. (red.) (1996). Matematik – ett kommunikationsämne. Nämnaren TEMA. Mölndal: Göteborgs universitet, Institutionen för ämnesdidaktik. ISBN: 91-88450-06-6.

Övriga referenser i detta kapitel • •

•

Jaworski, B. (1994). Investigating Mathematics Teaching: A Constructivist Enquiry. London: The Falmer Press. ISBN: 0-203-45421-9.

Lesh, R., Landau, M., & Hamilton, E. (1983). Conceptual models in applied mathematical problem solving. I R. Lesh & M. Landau (red.)

Acquisition of Mathematics Concepts & Processes (s. 263–343). New York: Academic Press. ISBN-10: 012444220X, ISBN-13: 978-0124442207 Polya, G. (1957). How to Solve it. Second Edition. Princeton: Princeton University Press. ISBN: 0-691-08097-6.

25

NYrika Problem A .indd 25

09-03-02 14.40.43

•

•

•

•

• •

Schoenfeld, A. H. (1983). Episodes and Executive Decisions in Mathematical Problem-Solving. In R. Lesh & M. Landau (Eds.).

Acquisition of Mathematics Concepts and Processes (pp. 345–395).

New York: Academic Press, Inc. ISBN: 0-12-44422-0X. Schoenfeld, A. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition and Sense Making. In D. Grouws (Ed.). Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan Publishing Company (pp. 334–370). ISBN: 0-02-922381-4.

Silver, E. A. (1993). On Mathematical Problem Posing. In I. Hirabayashi et al. (Eds.). Proceedings of the Seventeenth International Conference in Psychology of Mathematics Education, PME XVII, July 18–23, 1993.

Vol. I (pp. 66–85). University of Tsukuba, Ibaraki, Japan.

Vygotsky, L. (1978). Mind in Society. The Development of Higher Psychological Processes. Cambridge, USA: Harvard University Press.

ISBN: 0-674-57629-2.

Skolverket (2000a). Grundskolan – Kursplaner och betygskriterier 2000.

Stockholm: Skolverket. ISBN: 91-38-31729-X. Skolverket (2000c). Skolverkets föreskrifter om kursplaner och betygskriterier för kurser i ämnet matematik i gymnasieskolan och inom gymnasial vuxenutbildning. SKOLFS 2000: 5.

26

NYrika Problem A .indd 26

09-03-02 14.40.43

Vad är problem?

Definitioner i vill gärna klargöra hur vi ser på vissa uttryck som förekommer i samband med matematikundervisning, till exempel tal, uppgift och problem.

3 7 ; π och i. ; Tal är till exempel: 348 ; –92 ; 65 ; 11,53 ; 4 Övriga uttryck som betecknar olika typer av övningar att arbeta med i undervisningen förhåller sig enligt vårt sätt att definiera dem till varandra på följande sätt:

V

5PPGIFT

2UTINUPPGIFT 3TANDARDUPPGIFT

4EXTUPPGIFT "ENËMND UPPGIFT 6ARDAGSUPPGIFT 2IKT PROBLEM

0ROBLEM

!NNAT PROBLEM

Uppgift är alltså den övergripande benämningen.

Rutin- eller standarduppgift är en övning som inte leder till några svårigheter för den person som löser den. Den är en uppgift som eleven är bekant med och som innebär en ren färdighetsträning för henne/honom.

Textuppgift/benämnd uppgift/vardagsuppgift är given med en text utöver eventuella matematiska symboler. Denna text är till för att visa på en tillämpning av matematik och/eller leda till en matematisk modell. En sådan uppgift kan vara ett problem, om den uppfyller de tre villkor, som anges nedan.

Problem är en speciell typ av uppgift som (1) en person vill eller behöver lösa, (2) personen ifråga inte har en på förhand given procedur för att lösa och (3) det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa.

27

NYrika Problem A .indd 27

09-03-02 14.40.44

H

ur kan matematikundervisningen bli kreativ och varierad, och samtidigt ge eleverna tillräcklig förståelse för och träning

i matematikens grundläggande begrepp, konventioner och procedurer?

I denna bok vill författarna inspirera lärare och blivande lärare till att använda problemlösning som ett naturligt inslag i undervisningen, från förskola till högskola. Genom exempel från skolpraktiken och forskningsbaserade resonemang visar författarna hur lämpmål och samtidigt skapa variation och arbetsglädje.

Boken ger konkret vägledning i hur en lärare kan introducera ett problem, hur hon eller han kan låta eleverna arbeta med det, vilka matematiska idéer som kan tänkas dyka upp vid elevernas problemlösande och hur hon till slut ska kunna leda en sammanfattande diskussion så att alla elever får ut så mycket som möjligt av problemlösandet.

Boken ger också uppslag till variation av problemen, så att de kan anpassas till olika elevers skilda förutsättningar samt variation i former för bedömning av elevers kunnande.

Kerstin Hagland är universitetsadjunkt i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.

Rolf Hedrén var fil dr i pedagogik med inriktning mot matematikdidaktik, fil lic i matematik och biträdande professor emeritus i

Rika matematiska problem

ligt upplagd problemlösning kan vara ett sätt att nå kursplanernas

H A G L A N D H E D R É N TA F L I N

Rika matematiska problem – inspiration till variation

KE

RS

N TI

G HA

LA

ND

EV

RO

LF

HE

DR

A

TA

FL

IN

ÉN

Lib

er

matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.

Eva Taflin är fil dr i matematik med matematikdidaktisk inriktning och universitetsadjunkt i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.

Rika Best nr 47-05150-2

Tryck nr 47-05150-2-06

matematiska problem – inspiration till variation

NYOmslags Hagland.indd 1

2015-11-10 09:32