Matematik
Matematik
Matematik är en bok för gymnasiets
A-kurs
i matematik
Anna Norberg Gunilla Viklund Rigmor Larsson
Matematik A har en mycket tydlig struktur med
• • •
en modell för varje viktigt delmoment t ypexempel och övningsuppgifter till varje modell blandade övningar på tre nivåer Bonniers
Matematik A är avsedd för SP, ES och gymnasiets yrkesinriktade program. I samma serie finns också
Pris
Matematik B från Bonnier Utbildning.
V = πr 2h Volym
U PP
ET
M ED G
D RA
(8958-4)
www.bonnierutbildning.se
ET
789162 262037
U PP
9
M ED D RA
G
ISBN 978 91-622-6203-7
1% 3 o s Espres 2 % Capuccino 2 % Caffe Latte 35 % Caffe Macchiato 12
Antal elever 10 8 6 4 2 0
0
1
2
3
4
5
Antal koppar
Matematik Anna Norberg Gunilla Viklund Rigmor Larsson
Bonniers
BONNIER UTBILDNING Postadres: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08- 696 86 00 Telefax 08 - 696 86 10 Redaktör: Karolina Danström Grafisk form och grafiska bilder: Bånges Grafiska Form AB Teckningar: Magdalena Wennberg-Lavebratt Bildredaktör: Lena Nistell Matematik A ISBN: 91-622-6203-3 © 2004 Anna Norberg, Gunilla Viklund, Rigmor Larsson och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck Almqvist & Wiksell Tryckeri, Uppsala 2004
BILDFÖRTECKNING Omslag: Anna Kern/Windh 2 Stellan Herner/Bildhuset 19 Mount Everest, Jacek Piwowarczyk/Atlas Photography/SCANPIX 20 Sjöberg 22 PhotoDisc 28 Ron Fehling/Masterfile/IBL Bildbyrå 42 Image State/IBL Bildbyrå 43 Fredrik Persson/Pressens Bild 45 EdelBits/Edelpix 50 Thure Wikberg/SCANPIX 62 Isglassar, Peter Ardito/Index Stock/Black Box/Pressens Bild 63 Posten 64 Mikael Sjöberg/Pressens Bild 70 Keith Black/Index Stock/Pressens Bild 76 Jeppe Gustafsson/SCANPIX 79 Tobias Röstlund/Pressens Bild 85 Tero Niemi 87 Jan Düsing/Pressens Bild 92 Peter Ardito/Index Stock/Black Box/Pressens Bild 99 Sucré Salé/IBL Bildbyrå 111 Rossi Rosster/SCANPIX 114 Pictor/IBL Bildbyrå 125 Science Photo Library/IBL Bildbyrå 127 PhotoDisc 128 Nisse Schmidt/Pressens Bild 130 First Light/IBL Bildbyrå 133 Hillevi Nagel/pixgallery.com 134 Provektor 145 Anna Hult/Tiofoto 150 Elisabet Omsén/Pressens Bild 158 Jan Halaska/Tiofoto 169 (1) Jessica Gow/Pressens Bild 169 (2) Peter Turnley/Corbis/SCANPIX 172 Martin Ruetschi/AP Photo/Pressens Bild 175 Provektor 176 Cathrine Wessel/Corbis/SCANPIX 178 Mats Kullander/SF Bio 185 Universal/The Cobal Collection/The Picture Desk 187 Bonnier Utbildning 188 Bernd Thissen/Pressens Bild 193 Photoresearchers/Tiofoto 208 Pål Hermansen/Edelpix 214 www.vasaloppet.se 216 Stellan Hemer/Bildhuset 224 Peter K-Henrikczon/Pressens Bild 234 Monika Bånge 240 Janerik Henriksson/SCANPIX 250 Keith Black/Index Stock/Pressens Bild 255 Karolina Danström 257 Karolina Danström 260 Anna Kern/Windh
1
MODELL
2
MODELL
3
MODELL
4
MODELL
5
MODELL
Miniräknaren 1 2 3 4 5 6 7 8
Beräkna sammansatta uttryck utan räknare 4 Beräkna sammansatta uttryck med räknare 5 Negativa tal utan räknare 6 Negativa tal med räknare 8 Att teckna sammansatta uttryck 10 Avrundning 12 Bråkräkning utan räknare 14 Bråkräkning med räknare 16 Blandade övningar 18 Utvärdering 24
Huvudräkning 1 2 3 4 5
42
Att beräkna delen 44 Att beräkna procenttalet 46 Att beräkna det hela 47 Promille 48 Procentuell förändring 49 Att beräkna ränta 50 Procent och procentenheter 53 Blandade övningar 54 Utvärdering 61
Statistik 1 2 3 4 5
64
Att tolka diagram 66 Att granska diagram 69 Frekvenstabeller 72 Att rita diagram 74 Beräkna lägesmått 77 Blandade övningar 79
Ekvationer 1 2 3 4 5 6
28
Ordna tal efter storlek 30 Addition och subtraktion med hjälp av stödanteckningar 31 Procenträkning med hjälp av stödanteckningar 32 Överslagsräkning 33 Hitta talet x med hjälp av övertäckning 34 Blandade övningar 36 Utvärdering 40
Procent 1 2 3 4 5 6 7
2
Utvärdering 88
92
Att lösa ekvationer 94 Andra typer av ekvationer 96 Att teckna och tolka uttryck 98 Räkna med parenteser 100 Problemlösning med ekvationer 102 Prövning av ekvationer 105 Blandade övningar 106 Utvärdering 112
6
MODELL
7
MODELL
8
MODELL
9
MODELL
Enheter 1 2 3 4 5 6 7
114
Stora och små tal på räknaren 116 Tiopotenser och prefix 118 Omvandla enheter med olika prefix 119 Omvandla area- och volymenheter 121 Omvandla mellan olika volymmått 122 Omvandla tidsenheter 124 Välj lämplig enhet 125 Blandade övningar 126 Utvärdering 132
Geometri 1 2 3 4 5
134
Att beräkna vinklar i trianglar och fyrhörningar 138 Att beräkna omkrets 140 Att beräkna area 142 Att beräkna volym 144 Arbeta med geometriska formler 146 Blandade övningar 147 Utvärdering 155
Potensekvationer 1 2 3 4 5
Kvadraten på ett tal 160 Kvadratroten ur ett tal 161 Andragradsekvationer 162 Problemlösning med andragradsekvationer 164 Pythagoras sats 166 Blandade övningar 168 Utvärdering 174
Funktioner 1 2 3 4
158
176
Samband mellan grafer och händelser 178 Koordinatsystem 181 Att göra värdetabeller och rita grafer 183 Exponentiella funktioner 186 Blandade övningar 188 Utvärdering 195
Uppdraget
198
Problemlösning 198 Kommunikation 220 Laborationer 237
Repetitionsuppgifter
245
Facit
261
Register
283
5
Ekvationer
Mål:
För att uppnå målet måste du kunna:
Du ska kunna lösa problem med hjälp av ekvationer. Problemen kan vara allmänna eller hämtas från dina karaktärsämnen.
• en metod för ekvationslösning • en kontrollmetod • teckna och tolka uttryck • räkna med parenteser • formellt korrekt uppställning för problemlösning
• lösa ekvationer genom att gissa och pröva.
4 ? 3
5 6
Vad ska den okända vikten väga för att det ska bli balans?
92
Jag köpte 20 kokosbollar och fick 3 kartonger och 2 lösa. Hur många kokosbollar är det i varje kartong?
Ekvationer
5
Ordet ekvation betyder likhet. I en ekvation har man en likhet med ett okänt tal, ofta kallat x. Målet med att lösa ekvationer är att ta reda på det okända talet x.
x + 8 = 20 vänstra ledet
högra ledet
Likhetstecknen mellan de två leden visar att x + 8 ska vara lika mycket värt som 20. Här kan du direkt se att
x = 12
Ekvationer används för att lösa problem där man inte direkt kan se svaret. Kapitlet börjar med så enkla exempel att du kan lösa dem i huvudet, men meningen är att du ska lära dig en bra metod så att du kan lösa även svårare ekvationer. När du är färdig med det här kapitlet kommer du bland annat att kunna lösa problemet i dialogen här nedanför:
Jag har fyra fulla paket med isglassar och 5 extra isglassar.
Jag har ett paket, men jag har tagit en glass ur mitt! Aha, då har jag precis fem gånger så många isglassar som du har.
Hur många isglassar finns det ett paket?
93
5
Ekvationer
1
MODELL
Att lösa ekvationer När du löser en ekvation kan du tänka på en balansvåg. Högra ledet och vänstra ledet ska hela tiden ”väga” lika mycket.
E X E M P E L
A
LÖSNING
Du får alltid addera, subtrahera, multiplicera och dividera med samma tal i båda leden. Det gäller att välja rätt räknesätt så att x blir ensamt kvar i ena ledet. Bokstaven x motsvarar ett okänt tal. Du ska ta reda på Lös ekvationen x + 15 = 37 vilket tal det är. Tänk att du har en balansvåg. x + 15 = 37
x
15
37
x + 15 – 15 = 37 – 15
x x = 37 – 15 x = 22
Svar: x = 22
22
Den okända vikten x och vikten 15 är i ena vågskålen. Vikten 37 är i andra. Vad väger x?
Ta bort vikten 15 från den vänstra vågskålen. Då blir x ensamt kvar där. För att behålla jämvikten måste du ta bort 15 från den högra vågskålen också. Då blir det 22 kvar där. Den okända vikten x väger alltså 22.
Kontrollera ditt svar genom att jämföra med ekvationen du hade från början. Sätt in 22 istället för x i ekvationen x + 15 = 37. Kontroll: 22 + 15 = … Stämmer det? Då har du gjort rätt!
94
Ekvationer
E X E M P E L
B
Lös ekvationen x – 9 = 47 x – 9 = 47
LÖSNING
5
Målet är att x ska bli ensamt i ena ledet. Hur ska du få bort ”minus nio” från vänstra ledet?
x – 9 + 9 = 47 + 9 Lägg till 9 i båda leden. x = 47 + 9 x = 56 Kontrollera svaret i den ekvation du hade från början: 56 – 9 = … Stämmer det? Då har du gjort rätt! Svar: x = 56 E X E M P E L
C
Lös ekvationen 7x = 38,5 x ska bli ensamt. Hur ska du få bort faktorn 7 från vänstra ledet?
7x = 38,5
LÖSNING
7x 38,5 = 7 7 38,5 7 x = 5,5
Dividera båda leden med 7.
x=
Svar: x = 5,5 E X E M P E L
Kontrollera svaret: 7 · 5,5 = … Stämmer det? Då har du gjort rätt!
D Lös ekvationen 6x = 12 x = 12 6
LÖSNING
x · 6 = 12 · 6 6 x = 12 · 6 x = 72
x ska bli ensamt. Hur får du bort nämnaren? Multiplicera båda leden med 6. I exemplen skriver vi ut detta mellanled för att vara tydliga, men du behöver inte skriva det varje gång. Kontrollera svaret: 72 / 6 = … Stämmer det?
Svar: x = 72 Lös ekvationerna 501
a)
x + 17 = 24
b)
x + 15 = 95
c)
x + 13,5 = 21,4
502
a)
x – 26 = 48
b)
x – 36 = 75
c)
x – 1,4 = 10,3
503
a)
14x = 70
b)
15x = 63
c)
0,5x = 10
504
a)
x = 55 3
b)
x = 11 12
c)
x =0 5
95
5
Ekvationer
IDÉ HISTORIA
559
Formler för beräkningar av kulbanor inom det militära kallas ballistik och utvecklades under 1800-talet. Samma ballistiska samband används idag även i datorspel, men man vill att rörelserna ska gå långsammare så att den som spelar spelet hinner se kaströrelsen. Dessutom måste kastet rymmas på skärmen. mynningshastighet v
höjd h
sträcka s
11
12
1
10
2
9
Den tid t (sekunder) det tar för kulan att landa på avståndet s (meter) när kanonen är på höjden h (meter) har att göra med vilken mynningshastighet v (m/s) kulan har och vilken tyngdacceleration a (m/s2) som råder. Följande formler gäller: a·t·t h= 2 s=v·t
a)
Maxy är actionspelshjältinna i ett pc-spel. Från datorskärmens övre vänstra hörn kastar hon ett silverankare som efter 0,5 s landar 0,1 m längre ner. Teckna en ekvation som beräknar den tyngdacceleration som programmeraren måste räkna med.
b)
Maxy kastar silverankaret med utgångshastigheten 0,4 m/s. Hur långt bort landar ankaret?
c)
I ett barnspel som utspelar sig i en sjö finns elaka sjöstjärnor som puttar ner småsten på den snälla fisken. Rörelser under vatten ska vara långsamma så programmeraren väljer tyngdaccelerationen 0,18 m/s2. Kommer ett kast som tar 3 sekunder att rymmas på bildskärmen?
3 8
4 7
6
5
560
Du har 5 minuter på dig att lösa följande uppgifter utan att använda räknare. 1 Lös ekvationen 3x + 4 = 19 2 Lös ekvationen 5(x – 3) = 30 (2 – x) 3 Lös ekvationen = 10 7 4 Peter har x stycken olika bilspel till sin dator. Han säljer tre av spelen, och ger hälften av spelen som han har kvar till sin bror. Brodern får 4 spel. Hur många hade Peter från början?
Vilken ekvation nedan löser uppgiften? 0,5x – 4 0,5x – 3 A =3 B =4 C 0,5(x – 3) = 4 2 7 108
D 0,5(x – 4) = 3
UPPDRAG P17 L7
Ekvationer
G
— --
5
BL ANDADE ÖVNINGAR
Lösgodis 50 kr/kg
Jag har 100 kr och godiset kostar 50 kr/kg. Pengarna räcker till 2 kg.
561
från odis g t g i Bill eckan v förra
100 kr/kg
I den här affären kostar det 100 kr/kg. Pengarna räcker bara till 1 kg. er
alin
pr Lyx
Lösgodis 75 kr/kg
I den här affären kostar det 75 kr/kg. Pengarna räcker alltså till 1,5 kg. - n dis Go sessa n i pr
Nehej du, dina pengar räcker bara till 1,33 kg!
Vem har rätt, expediten eller Anders?
562
563
Triangeln här bredvid kan beskrivas på följande sätt: ”en vinkel är dubbelt så stor som den andra, och den tredje vinkeln är 18°”. Beräkna triangelns vinklar (triangelns vinkelsumma är 180°). a)
b)
Beskriv med ord hur triangelns vinklar förhåller sig till varandra. Beräkna triangelns vinklar.
x 2x
18°
x
2x
3x
109
5
Ekvationer
564
Summan av två på varandra följande udda tal är 136. Vilka är talen?
565
En liten hamburgare kostar 12 kr mer än en grillkorv. Mark handlar åt sig och sina kompisar. Han köper 3 grillkorvar och 2 hamburgare. Han betalar 94 kr. Vad kostar en hamburgare? Lista ut vad x har för värde i ekvationerna. Använd till exempel metoden prövning från detta kapitel eller metoden med övertäckning från kapitlet Huvudräkning.
566
a)
x+3 = 17 4
b)
3–
567
a)
x · x – 9 = 40
b)
x · x + 15 = 640
568
a)
x 3 17 + = 4 5 20
b)
569
Summan av tre på varandra följande heltal är 57. Vilka är talen?
570
x =1 5
4 x 2 – = 5 3 15
c)
60 x +1=6
c)
x·x+x=2
c)
x–
1 x =5+ 4 4
Jag tänker på ett tal som är större än 10. Om jag multiplicerar talet med sig självt och lägger till det ursprungliga talet blir svaret 380. Vilket tal tänker jag på? Pröva dig fram, använd miniräknare eller kalkylprogram.
571
Medelvärdet av fyra tal är 24,5. Talen är 15, 26, 35 och x. Bestäm talet x.
572
Eva och Anne köper 5 par sportsockar var. De som Anne vill ha är 12 kr billigare per par. Alltihop kostar 260 kr. Vad kostar ett par av Annes sockar?
573
Robins morfar är åtta gånger så gammal som Robin. Robins mamma är hälften så gammal som sin far. Morfar, mamma och Robin är tillsammans 91 år. Hur gammal är Robins morfar?
574
Ett okänt tal ökat med fyra är lika med fem minskat med det okända talets dubbla värde. Bestäm talets exakta värde. UPPDRAG P18
110
Ekvationer
G
— — --
5
BL ANDADE ÖVNINGAR
575
Albin köper blommor. Han köper rosor och blåklint. En ros kostar 12 kr och en blåklint 4 kr. Hans bukett består av 15 blommor och kostar 116 kr. Hur många rosor har han i buketten?
576
Gelégodis kostar 7 kr/hg och chokladgodis 11 kr/hg. Bodil köper sammanlagt 5 hg och betalar 39 kr. Hur mycket köpte hon av varje sort?
577
Jag tänker på ett tal. Jag tar talet gånger tre och drar sedan bort fyra. Sen subtraherar jag med talet jag tänkte på från början, och minskar med fem. Då har jag fått tillbaka talet jag tänkte på från början! Vilket tal var det?
578
Jag har dubbelt så många femtiokronorssedlar som jag har tjugokronorssedlar, och dubbelt så många tjugokronorssedlar som tior. Jag har lika många enkronor som jag har femtiokronorssedlar. Sammanlagt har jag 2 794 kr. Hur många tjugokronorssedlar har jag?
579
Lös ekvationerna x x 4 a) + = 3 3 3 c)
x x 5 – = 3 6 12
b)
3x x – =5 4 4
d)
10 x + 2 x – = 3 2 12
580
Tuva köper cd-skivor i en viss prisklass. Hon köper en skiva till ordinarie pris och tre för halva priset. Den dagen är det dessutom 10 % rabatt på alla köp så hon behöver inte betala mer är 369 kr. Vad var ordinarie pris på en skiva?
581
Patrik ska sätta kakel på en vägg i köket. Han köper 48 plattor och en tub fogmassa, som kostar 56 kr. Alltsammans kostar 1 304 kr. När han kommer hem ser han att färgen på plattorna inte blev riktigt bra så han åker tillbaka och byter plattorna. Han får då betala 120 kr till. Vad kostade de nya plattorna per styck? 111
5
Ekvationer
UTVÄRDERING
Sammanfattning Gör en sammanfattning som visar att du har uppnått kapitlets mål. Den ska innehålla exempel som visar att du kan
• en metod för ekvationslösning (MODELL 1 OCH 2) • en kontrollmetod (MODELL 1 OCH 2) • teckna och tolka uttryck (MODELL 3) • räkna med parenteser (MODELL 4) • en formellt korrekt uppställning för problemlösning med de fyra stegen (MODELL 5)
• lösa ekvationer genom att gissa och pröva (MODELL 6) Testa dig själv MUNTLIGT
1
Visa hur man löser ekvationer, och förklara hur man kan resonera. Exempel: 5x + 4 = 39
2
Hur gör du när du kontrollerar ditt svar?
3
Följande lösningar är hämtade från ett prov i matematik A. Förklara vad eleverna har gjort för fel i förenklingarna. a) 2(3x – 5) har förenklats till 6x – 5 b) 2(3x – 5) har förenklats till 6x + 10 c) – 7(2a – 6) har förenklats till – 14a – 42 d) – 7(2a – 6) har förenklats till – 14a – 13
4
Vilka fyra steg kan man använda vid problemlösning med ekvationer? Visa hur man gör när man löser problemet: Ett okänt tal dubblas och därefter drar man ifrån 16. Svaret blir 60. Vilket är talet? SKRIFTLIGT
112
1
Lös ekvationerna a) x + 23 = 41
2
a)
3
a)
x + 18 = 56 2 3x + 2 = 2x – 5
4
a)
5(x – 4) = 20
b)
x = 13 14
c)
x – 29 = 41
b)
17x + 12 = 97
c)
9=
b)
9x + 15 = 48 – 2x
c)
x –9 3 14x + 1 = 1 – 16x
b)
4(x – 5) = 2
c)
5 – 3(1 – 2x) = 8
Ekvationer
UTVÄRDERING
5
5
Inträde till en cirkus är x kr för vuxna och halva priset för barn. a) Teckna uttrycket för barnbiljettens pris. b) Teckna uttrycket för vad en familj bestående av två vuxna och två barn ska betala. c) Ge två olika tolkningar av uttrycket 3,5x.
6
Ett tal multipliceras med fem och därefter drar man ifrån 42. Svaret blir 38. Vilket är det okända talet?
7
Olle är 6 år äldre än Lasse. Tillsammans är de 34 år. Hur gammal är Lasse?
8
Layal får 12 % rabatt på sportkläder. Rabatten på ett par shorts blir 16,20 kr. Hur mycket kostade shortsen före rabatten?
9
Anders säljer begagnade pc-tidningar för halva nypriset. Victor köper en ny tidning i kiosken och fyra begagnade av Anders. Det kostar sammanlagt 117 kr. Hur mycket kostar en ny pc-tidning?
10
En läsk kostar 5 kr mer än en kaka. Sven serverar 13 personer som vill ha både läsk och kaka. De betalar 143 kr. Vad kostar läsken?
Fördjupning
IDÉ HISTORIA
1
Konstruera några problem som går att lösa med hjälp av ekvationer.
2
Ett klot, en cylinder och en kub väger tillsammans 240 g. Vad väger var och en?
3
Gör en intervju med någon som arbetar med ekvationer. Det kan vara en tredje årets gymnasieelev som läser fysik, en ingenjör eller en fysiker.
4
Undersök var ordet algebra kommer ifrån. UPPDRAG L8 P19
113
UPPDRAGET Människor har i alla tider försökt lösa problem och lära sig mer om det okända. Det är viktigt att kunna strategier för att lösa problem och att kunna kontrollera andras lösningar för att inte bli lurad. I detta kapitel får du uppdrag att lösa. Det ska du göra ensam eller tillsammans med dina klasskamrater, teoretiskt eller praktiskt. Du ska presentera dina lösningar så att de är lätta att följa och förstå. Du ska också försöka använda ett så korrekt matematiskt språk som möjligt. Problemlösning P1–P35
Begåvning är visserligen bra att ha, men det räcker inte för att bli en bra problemlösare. Alla behöver träning. Kreativitet, självförtroende, tålamod och förmågan att tänka logiskt behöver utvecklas, men viktigast är nog förmågan att använda de kunskaper som redan finns. Eftersom det inte finns några enkla regler för hur matematiska problem ska lösas så gäller det att tänka efter vad man känner till sedan tidigare, och då inte bara det man lärt sig på matematiklektionerna.
Kommunikation K1–K26
Ofta finns det flera lösningar på ett problem. De olika lösningarna kan ha både för- och nackdelar. Det kan också finnas flera vägar att komma fram till lösningarna. När du arbetar tillsammans med andra och kommunicerar kring problemet finns det goda chanser att värdera olika metoder och på så sätt komma fram till den bästa lösningen. Kommunikationsuppgifterna passar väldigt bra att arbeta med i grupp. I det här avsnittet finns problem som kan lösas på olika sätt, och ni behöver kanske leta fakta i andra böcker eller på internet för att hitta den information som krävs för att lösa problemet.
Laborationer L1–L16
Här ska du lösa problem praktiskt. Detta kan du göra genom att mäta, väga och konstruera men också genom att söka data, mönster och samband. Du kan dessutom ofta kontrollera ditt resultat. I flera av uppgifterna är det dock inte resultatet utan processen som är det viktiga för din inlärning. Därför måste du vara mycket noggrann med att göra anteckningar så att de är lätta att följa när du ska redogöra för vad du har gjort. Du har stor användning av din räknare eller av en dator. Ledning till några av uppdragen finns på sidan 275.
198
PROBLEMLÖSNING P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17
Hamburgerrestaurangen Långresan Flygbolaget Resväg till jobbet Skjortor till salu Löneförhöjning Bostadslånet Fondsparande Insjöfisk Internetcafé Alkoläsk Lathund för diagram Lathund för lägesmått Jordbruksstatistik Äpplen Kostnader för festen Shorts till salu
P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29 P30 P31 P32 P33 P34 P35
Vad kostar korven? Räkna baklänges Tre tramsiga plugghästar Rekommenderat dagsintag Utsläpp i ishallen Måns och Johanna Vasaloppet Semesterkorten Rektangelns area Kvadrater i en cirkel Klotet i lådan Bakning Feber i Amerika Snickarglädje Areor Kravodlad potatis Växlingskurs Tygköp på IKEA
K14 K15 K16 K17 K18 K19 K20 K21 K22 K23 K24 K25 K26
Galna barnlängder Fina fisken! Glykemiskt index Livespelet Handla kläder Räkna rutor Skala Bouleklotet Hundgård och stall Vad väger klossarna? Ett halvt glas, tack! Cykelturen Fågelholkar
L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16
Olika fyrhörningar Tillverka ett decilitermått Från 3D till 2D Passande klipp Klipp en kopp Pythagoras sats Rundstavars vikt Fyll upp tre glas!
KOMMUNIKATION K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13
Kluriga kvadrater Billigaste resan Mobiltelefon Mat och notor Sport och rörelse Algoritmer från 1300-talet Allsvensk tabell Alkohol och bilkörning Att spekulera i aktier Nyckelhålet Konsumentprisindex Tokiga bilfärger Okänt diagram
LABORATIONER L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8
Glaskulans volym Spelhörnan Blanda saft Gissa ärtorna Hur många ettor? Räkna bilar Tändsticksaskspel Snittade snören
199
UPPDRAGET
Problemlösning
PROBLEMLÖSNING MÅL Du ska kunna lösa matematiska problem från såväl vardagslivet som från dina karaktärsämnen. I problemlösningsavsnittet finns den information du behöver i uppgifterna och det finns alltid ett bestämt svar. Du kan ha stor hjälp av att
• • • • • • •
rita en figur gissa och pröva tänka efter om du mött något liknande enklare problem tidigare göra en tabell eller ett diagram använda laborativa material eller modeller arbeta baklänges ställa upp en ekvation eller ett uttryck Källa: Nämnarens temahäfte, Matematik – ett kärnämne
P1
Hamburgerrestaurangen Liza är med i ett internationellt ungdomsutbyte. Förra sommaren var hon två veckor i USA och nästa år ska hon åka till Finland. Den här sommaren har hon besök av en finsk tjej, Maarit och en amerikansk kille, Charles. När Liza visade dem runt i stan blev de hungriga och gick in på en hamburgerrestaurang.
Kapitel 1 sidan 5
Liten hamburgare (90 g) Stor hamburgare (120 g) Ostburgare Strips
29 kr 39 kr 49 kr 14 kr
Coca Cola, liten Coca Cola, medel Coca Cola, stor Glass
12 kr 16 kr 19 kr 22 kr
Maarit åt en stor hamburgare och strips, Charles åt en ostburgare och en liten hamburgare och Liza åt en stor hamburgare. Maarit och Liza åt dessutom var sin glass och alla tre drack var sin medelstor Coca Cola. Växlingskurser 1 US dollar = 7,86 svenska kr 1 euro = 9,11 svenska kr
200
• • •
Eftersom Liza var den enda som hade svenska pengar så betalade hon alltihop. Hur mycket ska hon betala? Maarit hade bara euro. Hur många euro är hon skyldig Liza? Charles gav Liza 20 dollar men ville gärna ha växeln i svenska kronor. Hur många kronor får han?
UPPDRAGET
P2
Problemlösning
RESAN
Kapitel 1 sidan 9
Pia och Beppe har bestämt att de ska ut och resa när de tagit studenten. Beppe vill gärna bestiga Kilimanjaro medan Pia är sugen på att bada i Döda havet. De tar reda på en del om dessa platser.
1. Normalt lufttryck vid Döda havet är ca 1 060 mb (mb betyder millibar). De vet att normalt lufttryck vid havsytan är 1 010 mb och att lufttrycket sjunker med ungefär 1 mb när man förflyttar sig 8 m uppåt. 2. Det är ca 6 300 meters höjdskillnad mellan Kilimanjaros topp och Döda havet och temperaturen sjunker med ca 1 grad då man förflyttar sig 100 m uppåt. Kan du besvara någon av följande frågor om du har de fakta som finns i 1, de fakta som finns i 2 eller de som finns i både 1 och 2?
• • •
På vilken nivå ligger Döda havet? Hur högt är Kilimanjaro? Hur kallt kan man räkna med att det är på toppen av Kilimanjaro om det är +20 °C vid basstationen som ligger på 2 000 meters höjd?
Flygbolaget
P3 Kapitel 1 sidan 13
Tre kompanjoner, Andersson, Pettersson och Lundström, äger ett flygbolag.
• Andersson äger 2/5 av bolaget, Pettersson äger 1/4. Hur stor del äger Lundström?
•
Ett av planen har 96 platser. Under en resa mellan Stockholm och Paris var 1/8 av platserna tomma. Hur många passagerare har planet?
•
Två av bolagets flygplan flyger sträckan Stockholm–Paris varje dag med en timmes mellanrum. Vid ett tillfälle var 3/5 av platserna tomma i det ena planet och 3/7 i det andra. Flygplanen har lika många platser och flygbolaget bestämmer sig för att ställa in den ena turen och boka om alla passagerare till en tur. Hur stor del av platserna blir ändå tomma?
201
UPPDRAGET
Kommunikation
K7 Kapitel 2 sidan 37
224
Allsvensk tabell Inför 25 omgången i allsvenskan i herrfotboll 2003 ser resultaten ut så här:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Djurgården Malmö FF Hammarby Örgryte Helsingborg Halmstad Elfsborg Göteborg AIK Örebro SK Landskrona Sundsvall Öster Enköping
24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24
17 1 6 54–22 14 6 4 49–19 14 5 5 47–29 12 3 9 39–39 11 4 9 31–31 11 3 10 38–32 9 7 8 29–31 9 6 9 33–26 9 6 9 35–33 9 6 9 27–32 7 7 10 22–37 2 10 12 22–40 3 7 14 26–48 3 5 16 21–54
52 48 47 39 37 36 34 33 33 33 28 16 16 14
•
Förklara vad som anges i de 6 kolumnerna och hur resultaten räknas fram?
•
Hur många matcher spelar varje lag i allsvenskan? Hur många matcher spelas det sammanlagt? Hur gör ni för att beräkna det?
•
Hur tror ni att sluttabellen kommer att se ut? Konstruera en sluttabell, jämför med andra grupper, diskutera och argumentera för er sluttabell.
UPPDRAGET
K8 Kapitel 3 sidan 48
Kommunikation
och bilkörning Håkan är på en fest. Han dricker 35 cl starksprit och är sedan så berusad att han totalt förlorar omdömet och tar bilen för att köra hem. Någon på festen förstår vad Håkan tänker göra och ringer polisen som snabbt dyker upp och stoppar hans livsfarliga tilltag innan han kommit ut från gårdsplanen. Håkan blev fast för rattfylla med två promille i blodet.
•
När han nyktrat till börjar han räkna: – Jag har ca 5 liter blod i kroppen och jag drack 0,35 liter sprit. Det borde bli 0,35/5 = 7 % alkohol i kroppen. Men jag hade ju ”bara” 2 ‰. Vad finns det för brister i hans resonemang?
•
Ta reda på hur man skulle komma fram till 2 ‰. Gör en trovärdig förklaring och motivera med en beräkning.
• Vad är straffpåföljden för Håkans brott? Är det troligt att Håkan är alkoholist?
K9 Kapitel 3 sidan 52
Att spekulera i aktier Ronja spekulerar i aktier. I början av januari köpte hon 40 aktier i ett byggföretag för 140 kr/st, och det visade sig vara ett riktigt lyckokast. Efter tre månader hade aktierna stigit med 19 %. Då slog hon till och köpte 20 aktier till. Efter ytterligare tre månader hade aktierna stigit 42 % jämfört med värdet vid årsskiftet. Då köpte hon 15 aktier till. När det återigen gått tre månader hade aktierna stigit med 61 % jämfört med årsskiftet, då fick hon kalla fötter och sålde alla sina aktier.
•
Hur mycket fick hon vid försäljningen? Hur stort är GAV (genomsnittliga anskaffningsvärdet) dvs. vad kostar de 75 aktierna i genomsnitt?
•
Hur mycket hade hon tjänat på affären? Ta reda på t.ex. courtageavgift och hur mycket man ska skatta på aktievinster.
•
Välj ut en aktie som du kunde ha köpt vid senaste årsskiftet. Vad hände med den efter tre månader, och efter ytterligare tre etc. Säg att du köpte lika många som Ronja, hur mycket hade du vunnit eller förlorat?
225
UPPDRAGET
Laborationer
L6 Kapitel 4 sidan 76
Du Du beh behöve överr en en pås påsee Ah Ahlgr lgrens ens bila bilar.r.
Räkna bilar
•
Räkna hur många du har av varje färg och gör ett stapeldiagram som visar hur färgerna fördelas.
•
Jämför ditt diagram med dina kamraters. Kan du dra någon slutsats om vilka färger som är vanligast respektive ovanligast?
•
Hur mycket väger varje bil i snitt? Vad kostar en påse? Vad kostar en bil?
L7
Tändsticksaskspel
Kapitel 5 sidan 108
•
Det är lika många tändstickor i varje ask. Hur många tändstickor är det i en ask? + SOLSTICK
•
AN
SOLSTICK
=
+
240
+ SOLSTICK
AN
AN
SOLSTICK
SOLSTICK
AN
AN
SOLSTICK
AN
Hur många tändstickor är det i en ask?
SOLSTICK
•
Du behöver kar 10 tomma tändsticksas ickor. och minst 50 lösa tändst
AN
SOLSTICK
AN
SOLSTICK
AN
SOLSTICK
AN
=
+ SOLSTICK
AN
Spela två och två. Rita ett stort likhetstecken på ett papper. Dra lott om vem som ska börja. Den som börjar stoppar i ett okänt antal tändstickor i några askar (samma antal i varje ask) och lägger askar och stickor så att det blir en ekvation. Den andra ska nu lösa ekvationen för att ta reda på hur många stickor det är i varje tändsticksask. Har den som löser ekvationen gjort rätt får den 2 poäng. Har den som la ekvationen gjort rätt får den 1 poäng och har den gjort fel blir det 1 minuspoäng. Den som först kommer till tio vinner.
UPPDRAGET
L8 Kapitel 5 sidan 113
Snittade snören
Laborationer Du behöver 120 cm snöre, linjal och sax.
•
Klipp till två bitar snöre. Det ena snöret ska vara dubbelt så långt som det andra. Sammanlagda längden ska vara 40 cm.
•
Klipp till tre bitar snöre. Ett snöre ska vara 7 cm längre än de andra två, som ska vara lika långa. Sammanlagda längden ska vara 40 cm.
•
Klipp till fem bitar snöre. Varje bit snöre ska vara 1 cm längre än den närmast kortare biten. Sammanlagda längden ska vara 40 cm. Du behöver papper och sax.
L9
Olika fyrhörningar
Kapitel 7 sidan 139
Tror du att du kan få en kvadrat genom att klippa på det sätt figuren visar? Pröva!
• Vik ett rektangulärt papper längs symmetrilinjen som figuren visar:
Vikning
Klipp efter den streckade linjen. Vik ut pappret. Vilken figur fick du?
L10 Kapitel 7 sidan 146
•
Hur ska du klippa för att alla sidor i din figur ska bli lika långa? Vad kallas en sådan figur? Vad måste du veta för att kunna beräkna figurens area?
•
Kan du få en kvadrat på det här sättet? Hur ska du i så fall klippa?
Tillverka ett decilitermått
Du behöver papper sax tejp passare och linjal.
• Tillverka ett cylinderformat decilitermått. • Beräkna hur mycket material som behövdes. • Vilka mått ska decilitermåttet ha för att det ska gå åt så lite material som möjligt? Hur brukar decilitermått se ut? Varför?
241
Matematik
Matematik
Matematik är en bok för gymnasiets
A-kurs
i matematik
Anna Norberg Gunilla Viklund Rigmor Larsson
Matematik A har en mycket tydlig struktur med
• • •
en modell för varje viktigt delmoment t ypexempel och övningsuppgifter till varje modell blandade övningar på tre nivåer Bonniers
Matematik A är avsedd för SP, ES och gymnasiets yrkesinriktade program. I samma serie finns också
Pris
Matematik B från Bonnier Utbildning.
V = πr 2h Volym
U PP
ET
M ED G
D RA
(8958-4)
www.bonnierutbildning.se
ET
789162 262037
U PP
9
M ED D RA
G
ISBN 978 91-622-6203-7
1% 3 o s Espres 2 % Capuccino 2 % Caffe Latte 35 % Caffe Macchiato 12
Antal elever 10 8 6 4 2 0
0
1
2
3
4
5
Antal koppar